Téma 6 Normálová napětí v prutech namáhaných na ohyb

Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia

Téma 6 Normálová napětí v prutech namáhaných na ohyb • Základní vztahy a předpoklady řešení • Výpočet normálového napětí • Dimenzování nosníků namáhaných na ohyb • Složené namáhání prutu • Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Pruty namáhané na ohyb Při ohybu prutu vznikají v jeho průřezech ohybové momenty a zpravidla i posouvající síly.

M

Prostý ohyb

a

M

b

l V

M



M M

Rovinný ohyb: vnitřní i vnější síly leží v rovině xy nebo xz – hlavní roviny. V rovině xz platí:

N  V y  M x  M z  0 Vz , M y  0

V rovině xy platí:

N  Vz  M x  M y  0 V y , M z  0

Základní vztahy a předpoklady řešení

2 / 84

Základní typy namáhání – prostý ohyb

Princip ohybové zkoušky Základní vztahy a předpoklady řešení

3 / 84


Ohybová zkouška Základní vztahy a předpoklady řešení

4 / 84



5 / 84



6 / 84



7 / 84



8 / 84



9 / 84



10 / 84



11 / 84


Vzorek po ukončení ohybové zkoušky Základní vztahy a předpoklady řešení

12 / 84


Zlomená keramická stropnice Hurdis po zatěžovací zkoušce ohybem foto: Doc. Ing. Václav Cepek, CSc. Základní vztahy a předpoklady řešení

13 / 84


Ověření odolnosti vláknobetonů a drátkobetonů při působení vysokých teplot foto: Zuzana Ševčíková, studentka oboru Stavební hmoty a diagnostika staveb


14 / 84


Ověření odolnosti vláknobetonů a drátkobetonů při působení vysokých teplot foto: Zuzana Ševčíková, studentka oboru Stavební hmoty a diagnostika staveb


15 / 84


Zkouška drátkobetonových trámů, ČVUT, Praha


16 / 84


Zkouška betonových trámů, ČVUT, Praha


17 / 84




18 / 84




19 / 84




20 / 84

Základní předpoklady a) průřezy rovinné a kolmé k ose prutu před deformací zůstávají rovinnými a kolmými k deformované ose (Bernoulliova hypotéza) x Daniel Bernoulli (1700 - 1782)

y z

z

y

Předpoklad má povahu deformačně – geometrickou.

b) podélná vlákna na sebe vzájemně netlačí M

M a


z

y z  0

b 21 / 84

Poměrné přetvoření za ohybu x

B

A C

E z

r ... poloměr křivosti

dx o  r.2 

d

r

dx  AB  r.d

dx  CE  r  z .d dx  DE  dx  dx  z.d

x 

dx z.d z   dx r.d r

Podle Hookova zákona

x

z x    x   x .E  .E r E Výpočet normálového napětí

B D E

A

C dx dx 

z dx

22 / 84

Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu prutu dN   x dA

N    x dA

Průřez prutu Těžiště průřezu

A

obdobně

 xy

Střednice prutu

V y    xy dA A

x  xz +x

Působiště výslednice vnitřních sil +y

Vz    xz dA A

M x  Vz . y  V y .z    xz . y   xy .z  dA

N

A

z

M y  N .z    x .z  dA

Vy +z

Vz

A

M z   N . y     x . y  dA A

(str.8 učebnice, téma č.1)

Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu

y 23 / 84

Závěry vyplývající z odvození Vztahy, které obsahují  x 1. N    x dA



S y  z dA

A

z   x   x .E  .E r 

A

N

E E . z.dA  .S y  0 r r A

Statický moment A k ose y je nulový, neboť osa průřezu prochází těžištěm. Potvrzení předpokladu, že neutrálná osa prochází těžištěm, kde  x  0 . 3. M z     x . y  dA A

D yz   y.z dA A

 Mz  

E E . y.z dA   .D yz  0 r A r

Dyz … deviační moment k hlavním osám setrvačnosti. Výpočet normálového napětí

24 / 84

Určení normálového napětí za ohybu z   x   x .E  .E r

Vztahy, které obsahují  x 2. M y    x .z  dA A

E E 2 M  . z d A  .I y y   r A r

I y   z 2 dA A

z toho plyne E M y  .I y r



y

1 My  r E .I y

 max

Dle Hookova zákona z  x   x .E  .E r

 x 

z

z M y .z Iy

x

x

 max

Normálové napětí x probíhají lineárně po výšce nosníku a extrémní hodnoty vznikají v krajních bodech. Výpočet normálového napětí

25 / 84

Závěry a omezená platnost odvozeného vztahu  max (tlak)

x 

M y .z Iy

x

z h a

Raz

x

b

(tah)

l

Rbz

• Vztah platí pro případ prostého ohybu, stálého průřezu a h << l. • Tvar průřezu se deformuje v souladu  y   z   . x Příčné deformace nemají u nosníků velký význam. • Pokud je Vz  0, vztah je pouze přibližný. Vz způsobuje smykové napětí, zkosení, a tím i ztrátu rovinnosti průřezu. Je-li l > 5h, lze použít s dostatečnou přesností. Výpočet normálového napětí

y z

26 / 84

Omezená platnost odvozeného vztahu

x 

M y .z

x

h

Iy

a

Raz

b

l

Rbz

Vztah neplatí v místě náhlých průřezových změn.

Výpočet normálového napětí

27 / 84

Omezená platnost odvozeného vztahu x 

(tlak)

M y .z Iy

-1,5275

-1,8632

5,00

4,00

3,00

2,00

x

1,9644

-1,1979

6,00

-1,0186

-1,4158

[kN/m2]

9,1922

Průběh hlavního napětí  1

1,00

h 0,00

[m]

Vztah neplatí u stěn, kde l < 3h . Blíže předmět Pružnost a plasticita II. Výpočet normálového napětí

a

(tah)

z

Raz

l

b

Rbz 28 / 84

Výpočet extrémních normálových napětí za ohybu  x ,c1 

My Iy

 x ,c 2   W y ,c1 

.c1 

My Iy

Iy c1

 x ,c 2

My W y ,c1

.c2  

My W y ,c 2

W y ,c 2 

c2

y z

Iy c2

c1

x

 x ,c1 Neutrálná osa v těžišti průřezu

x  0

… Průřezové moduly ke krajním vláknům [m3]

Výpočet průřezových modulů u jednoduchých průřezů

d I I  .d 3  W d 32 2

 .d 4

Iy 1 2 1 3 I y  .b.h  W y  h  .b.h 6 h 12 2

64

 

Výpočet normálového napětí

Iz 

b

1 3 I .b .h  Wz  y  1 .b 2 .h 12 b 6 2 29 / 84

Návrh a posouzení v pružném oboru Návrh nosné konstrukce

M Ed  max M d

M Ed , Wmin , f d

Wmin 

M Ed fd

Dimenzování

zvětšit

M Rd Posouzení návrhu dle MS únosnosti

M Ed  M Rd  Wmin . f d

M Ed 1 M Rd

Realizace Dimenzování nosníků namáhaných na ohyb

fd 

fk

M

Předpoklad posouzení: u materiálu je stejná pevnost v tahu a tlaku, zanedbán vliv smykových napětí 30 / 84

San Sebastian, Auditorium, Španělsko Prostorový rám

Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

31 / 84

San Sebastian, Auditorium, Španělsko


32 / 84

Pavilon C, Brněnské výstaviště Prostorový rám se skořepinovou nádstavbou


33 / 84

Pavilon C, Brněnské výstaviště


34 / 84



35 / 84



36 / 84

Tramvajový most, Brno – Pisárky

Železobetonový předpjatý tramvajový most: • Specifický svým prostorovým zakřivením, stoupáním a nestejnoměrnou tloušťkou • Šířka 9 m Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

37 / 84

Maloměřický most, Brno – Husovice

Trojkloubový oblouk z roku 1928: • 3 oblouky o rozpětí 33 m s průřezem 1 m2 • Mezilehlá mostovka Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

38 / 84


Trojkloubový oblouk z roku 1928: • 3 oblouky o rozpětí 33 m s průřezem 1 m2 • Mezilehlá mostovka Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

39 / 84


Vnitřní momentový kloub Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

40 / 84

Rámová ocelová konstrukce průmyslové haly Rozpětí 20,5 m


41 / 84

Rámová ocelová konstrukce průmyslové haly


42 / 84

Hala pro výrobu komponent jaderných elektráren, Vítkovice • Půdorys 130 x 320 m • Jeřáby o nosnosti 80 a 200 t • Poddolované území


43 / 84

Rámová ocelová konstrukce dvojhalí, Vítkovice • Rozpětí 30 a 24 m • Jeřáby o nosnosti 80 a 50 t • Poddolované území


44 / 84

Víceúčelová hala, Frýdek - Místek • Čtvercový půdorys o straně 82,26 m, výška 31,06 m • Hlavní nosný prvek střechy 2 rámy tvaru A • Rozpětí 118,12 m, vzdálenost 10,2 m • Průřez truhlíkový 3,65 m x 0,8 m


45 / 84

Víceúčelová hala, Frýdek - Místek

Rámová ocelová konstrukce Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

46 / 84

Tribuna fotbalového stadiónu na Bazalech, Ostrava

• Poddolované území Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

47 / 84

Tribuna fotbalového stadiónu na Bazalech, Ostrava Detail momentového kloubu


48 / 84

Most přes řeku Ostravici, Černá louka, Ostrava

Gerberův nosník: • 3 pole • 2 vnitřní momentové klouby Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

49 / 84

Most přes řeku Ostravici, Černá louka, Ostrava

Gerberův nosník: • 3 pole • 2 vnitřní momentové klouby Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

50 / 84

Most přes řeku Ostravici, Ostrava - Kunčice • Langerův nosník (trám vyztužený obloukem) • Rozpětí 100 m


51 / 84

Posluchárny VŠB-TU, budova C, Ostrava


52 / 84



53 / 84


• Průměr budovy 50 m • 15 radiálně umístěných plnostěnných svařovaných nosníků, ve středu vetknuty do prstence uzavřeného průřezu Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

54 / 84

Výzkumné energetické centrum, VŠB-TU Ostrava

Stropní konstrukce: • Ocelové válcované profily I • Trapézový plech • Betonová podlaha Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

55 / 84


Stropní konstrukce: • Ocelové válcované profily I • Trapézový plech • Betonová podlaha Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

56 / 84


Konzola ochozu: • Ocelový svařovaný a válcovaný profil I • Trapézový plech • Betonová podlaha Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

57 / 84


Konzola ochozu: • Ocelový svařovaný a válcovaný profil I • Trapézový plech • Betonová podlaha Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na ohyb

58 / 84

Svislý, vodorovný a prostorový ohyb

Svislý ohyb

Vodorovný ohyb  x  y   

 x  y, z  

M y .z Iy



M z .y Iz

Složené namáhání prutu



 x z  

M y .z Iy

M z .y Iz

působí My i Mz – složené namáhání prutu (prostorový ohyb) 59 / 84

Svislý, vodorovný a prostorový ohyb  x z  

M y .z

 x y  

M z .y Iz

Svislý ohyb

Vodorovný ohyb

Iy

Prostorový ohyb

 x  y, z  

M y .z Iy



M z .y Iz

Souřadnicový systém a znaménková konvence pro prut namáhaný prostorovým ohybem Složené namáhání prutu

60 / 84

Svislý, vodorovný a prostorový ohyb Průběhy normálového napětí x

Svislý ohyb

 x z  

M y .z Iy


Vodorovný ohyb M .y  x y   z Iz

Prostorový ohyb

 x  y, z  

M y .z Iy



M z .y Iz 61 / 84

Prostorový ohyb a osové namáhání Průběhy normálového napětí x

Prostorový ohyb

 x  y, z  

M y .z Iy

M .y  z Iz


Prostý tlak N x  A

Prostorový ohyb a osové namáhání

 x  y, z  

N M y .z M z . y   A Iy Iz 62 / 84

Mimostředný tah a tlak Prostorový ohyb a osové namáhání N M y .z M z . y  x  y, z     A Iy Iz

Účinek My a Mz lze nahradit posunutím N mimo těžiště T M y  N .ez

M z   N .e y

Normálové napětí x pak lze určit: ey  N  ez  x  y, z   .1  2 .z  2 . y  A  iy iz  Složené namáhání prutu

Schéma prutu namáhaného mimostředným tahem 63 / 84

Výpočet úseků neutrálné osy Pro neutrálnou osu platí: ey  N  ez  x  y, z   .1  2 .z  2 . y   0 A  iy iz 

splněno pro ey ez 1  2 .z  2 . y  0 iy iz

Úseky yn a zn, které neutrálná osa vytíná na hlavních centrálních osách průřezu: ey . y

iz2  0  yn   ey

z0

1

y0

ez .z i y2 1  2  0  zn   iy ez

iz2


Schéma prutu namáhaného mimostředným tahem 64 / 84

Jádro průřezu Nutno určit u materiálů, kde f t  f c Jádro průřezu je oblast v okolí těžiště, v níž musí působit výslednice vnitřních sil, aby normálové napětí x mělo v celém průřezu stejné znaménko. Řešení: Nechť se neutrálná osa průřezu pouze dotýká Iy b.h 3 h2 2 b2 2 Např.: iy    iz  A 12.b.h 12 12

zn  

yn  

i y2 ez

2 z

i ey

h a) z n  2

b 2

 ey  

b b    y e  y d) n 2 6


b 3

b 3

h  ez   6

h h b) z n   2  ez  6 c) yn 

b 3

N ez

h 3

zn

h 3

y b 6

h 3

Neutrálná osa a)

z 65 / 84

Jádro průřezu Tlačený sloup obdélníkového průřezu s vyznačenou neutrálnou osou (působiště zatěžovací síly F leží mimo jádro průřezu)

Obdélníkový průřez s vyznačeným působištěm posunuté zatěžovací síly F a neutrálnou osou, která se dotýká průřezu (působiště zatěžovací síly F leží na okraji jádra průřezu) Složené namáhání prutu

66 / 84

Ideálně pružno-plastický materiál x

úsek

Téma č.1

TAH

Y-Y’

Hookův zákon

Y-A

Plastický stav – volný nárůst deformací

A-B

Odlehčení

B-C

Opětovné zvýšení napětí

A,C

Y

fy

B

 = arctan E 0

p

e

x

p … plastická (trvalá) deformace e … pružná deformace

TLAK Y’ Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru

fy 67 / 84

Ohyb nosníku v pružnoplastickém oboru Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průřez

x

Průběh x   x ,max

Průřez tlak

fy

h

y

Pracovní diagram Y

x

krajní vlákna průřezu

M Ed

tah

z

b

 x ,max 

M Ed Wy

x

0

f yd

stav I.

Normálové napětí v krajních vláknech

M Ed  M Rd ,el  W y . f yd Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru

1  .b.h 2 . f yd 6

 x ,max  f yd f yd 

f yk

M 68 / 84


x

Průběh x  f yd

Průřez tlak

fy

h

y z

stav II.

Y krajní vlákna průřezu

x

M Rd ,el

tah

b

Pracovní diagram

f yd

0

zplastizování

Normálové napětí v krajních vláknech

M Rd ,el  W y . f yd Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru

x

el

1  .b.h 2 . f yd 6

 x ,max  f yd f yd 

f yk

M 69 / 84


tlak

2 y

A

x


Průřez

h

A

1 b

stav III.

fy

x

A f yd

zplastizování


M Rd ,el , pl

tah

z

Pracovní diagram

0

el,pl

x

Zvyšuje-li se stále zatížení M Ed  M Rd ,el , vznikají plastické oblasti: 1 – v tahu, 2 – v tlaku. Zbytek průřezu stále pružné chování.

Bernouliho hypotéza platí i nadále, x je stále lineární. V bodě A je  x  Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru

f yd E 70 / 84


x


Průřez

Pracovní diagram

tlak

A2 y

fy

h

x

z

b

krajní vlákna průřezu

M Rd , pl

tah

A1

f yd

Y

0

pl x

zplastizování

Průřez je zplastizován, vznik tzv. plastického kloubu, únosnost v ohybu je vyčerpaná.

stav IV.

N    x dA  0 A



f

A1

yd

dA   f yd dA  f yd . A1  A2   0



A2

A1 , A2 … plochy průřezu v plastickém stavu. Neutrálná osa půlí plochu průřezu. (u nesymetrických průřezů se při plastizování posouvá) Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru

A1  A2 

A 2

71 / 84


x


Průřez tlak

A2 y

fy

h

x

z

b

f yd


M Rd , pl

tah

A1

Pracovní diagram

0

pl x

zplastizování

Průřez je zplastizován, vznik tzv. plastického kloubu, únosnost v ohybu je vyčerpaná.

stav IV.

M Rd , pl    x .z dA  A

f

A1

yd

.z dA    f yd .z dA  f yd .S1 y  S 2 y 

S1 y   S 2 y  S1 y  S 2 y  0 W y , pl  2.S1 y

A2

 M Rd , pl  f yd .2.S1 y  f yd .W y , pl

… plastický průřezový modul [m3]

Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru

72 / 84


x


Průřez tlak

A2 y

fy

h

x

z

b

f yd

stav IV.

0

pl x

zplastizování Konkrétně:

h h h 1 S1 y  A1.  .b.  .b.h 2 4 2 4 8 W y , pl

Plastická rezerva obdélníkového průřezu

W y , pl

W y ,el 1 1 2 2  2.S1 y  2. .b.h  .b.h 8 4



M Rd , pl

tah

A1

Pracovní diagram

1 .b.h 2 6 4   1,5  50% 1 .b.h 2 4 6 73 / 84

Příklad 1 Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průřez Zadání: Určete Wy,el,pl pro průřez se zplastizovanými krajními čtvrtinami  h  h h  1 1 h 3  .b.   2.b. .    .b.h 2  .b.h 2 6 2 16  4  4 8  24 2

Řešení: Wy ,el , pl  Wy ,el  Wy , pl W y ,el

Výsledek: (platí pouze pro případ zplastizování krajních čtvrtin!!!)

W y , pl

Wy ,el , pl 

stav

b

 f yd h 4

2 y

h 4

1 z

tlak

x

h

M Rd ,el , pl

tah

zplastizování

f yd


Wy [m3]

II.

1 .b.h 2 6

III.

11 .b.h 2 48 1 .b.h 2 4

IV.

11 .b.h 2 48

0,1 6 .b.h 2 0,2291 6 .b.h 2 0,25.b.h 2 74 / 84

Příklad 2.1 Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průřez Zadání: Určete maximální zatížitelnost nosníku qd [kN/m] za předpokladu: a) maximální normálové napětí x = fyd qd = ? a

h

b

Raz

Rbz

l

Vstupní údaje: l  6 m

b

 M 0  1,15

f yk  235 MPa

b  20 mm h  80 mm

Řešení: M Ed ,el  M y ,max

 x ,max  f yd 

1 1  .qd ,el .l 2 Wy ,el  .b.h 2  2,1 3 .10 5 m 3 8 6

M Sd ,el W y ,el



f yd 


qd ,el .l 2 8.W y ,el



f yd 

qd ,el 

f yk

M0

 204,35 MPa

8. f yd .W y ,el l2

 0,97 kN/m 75 / 84

Příklad 2.2 Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průřez Zadání: Určete maximální zatížitelnost nosníku qd [kN/m] za předpokladu: b) dojde k zplastizování krajních čtvrtin průřezu qd = ? a

h

b

Raz

Rbz

l

Vstupní údaje: l  6 m

b  20 mm h  80 mm

b

 M 0  1,15

f yk  235 MPa

Řešení: M Ed ,el , pl

1  .qd ,el , pl .l 2 8

 x ,max  f yd 

M Sd ,el , pl W y ,el , pl

W y ,el , pl 

11  .b.h 2  2,9 3 .10 5 m 3 48

qd ,el , pl .l 2 8.W y ,el , pl




qd ,el , pl 

8. f yd .W y ,el , pl l2

f yd 

f yk

M0

 204,35 MPa

 1,33 kN/m 76 / 84

Příklad 2.3 Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průřez Zadání: Určete maximální zatížitelnost nosníku qd [kN/m] za předpokladu: c) dojde k úplnému zplastizování průřezu qd = ? a

h

b

Raz

Rbz

l

b

 M 0  1,15

Vstupní údaje: l  6 m b  20 mm h  80 mm f yk  235 MPa Řešení: M Ed , pl f yd 

1  .qd , pl .l 2 8 M Sd , pl W y , pl



qd , pl .l 2 8.W y , pl

W y , pl 

1  .b.h 2  3,2.10 5 m 3 4

qd , pl 


8. f yd .W y , pl l

2

f yd 

f yk

M0

 204,35 MPa

 1,45 kN/m 77 / 84

Příklad 2 - shrnutí Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průřez a)

x

 f yd y

x

Pracovní diagram

M Rd ,el z

b)

f yd

fy

 f yd

a)

x

y

Y b)

c)

M Rd ,el , pl z

zplastizování

c)

0

f yd  f yd

y

x

M Rd , pl z

qd ,el

1,45   1,5 0,97

stav

Wy [m3]

qd [kN/m]

a)

2,13.10-5

0,97

b)

2,93.10-5

1,33

c)

3,20.10-5

1,45

f yd

Plastická rezerva obdélníkového průřezu

qd , pl

x



50%


78 / 84

Ukázka studie plastizování prostého nosníku

Profil I – zatížení osamělým břemenem, autor: Prof. Ing. Jan Hudák, CSc.


79 / 84

Ukázka studie plastizování prostého nosníku

Profil I – zatížení spojité, autor: Prof. Ing. Jan Hudák, CSc. Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru

80 / 84

Ukázka studie plastizování důlní výztuže

Autor: Ing. Ivan Kološ, Ph.D. Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru

81 / 84

Ukázka úplného zplastizování průřezu

Destrukce ocelové konstrukce zastřešení stadionu, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc. Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru

82 / 84

Ukázka úplného zplastizování průřezu

Destrukce ocelové konstrukce zastřešení stadionu, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc. Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru

83 / 84

Okruhy problémů k ústní části zkoušky 1. Ohyb nosníků v pružném stavu 2. Ohyb nosníků v pružnoplastickém oboru 3. Neutrálná osa, průřezový modul, ohyb prutů nesymetrického průřezu 4. Návrh a posudek prutu namáhaného ohybem 5. Svislý, vodorovný a prostorový ohyb 6. Mimostředný tah a tlak 7. Jádro průřezu

Podklady ke zkoušce

84 / 84

Téma 6 Normálová napětí v prutech namáhaných na ohyb

Recommend Documents