Předmět: MECHANIKA
Ročník:
Vytvořil: ŠČERBOVÁ M. DRUHÝ PAVELKA V. Název zpracovaného celku:
Datum: 14. ČERVENCE 2013
NAMÁHÁNÍ NA OHYB
D) VETKNUTÉ NOSNÍKY ZATÍŽENÉ SOUSTAVOU ROVNOBĚŽNÝCH SIL ÚLOHA 1 Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţující síly F = 1 000 N a vzdálenost l = 0,5 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů. ŘEŠENÍ:
+M
Točivý účinek pro určení reakčních sil.
+y -M MA F
RAy
+
+
Točivý účinek pro určení ohybových momentů.
A +x
l
–
RAy
–
F +
T
M
-
MoA
MoF
Stránka 1 z 17
∑
∑
Ohybové momenty budou řešeny u první úlohy v jednotlivých průřezech z obou stran průřezu: L – levá strana průřezu, R – pravá strana průřezu.
Maximální ohybový moment je MoA.
Stránka 2 z 17
ÚLOHA 2 Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţujících sil F1 = 1 200 N, F2 = 600 N, F3 = 500 N a vzdálenosti a = c = 0,2 m a b = 0,15 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů. ŘEŠENÍ:
+M
+y
-M
MA F1 RAy F3
+
+
A +x –
–
F2 a
b
c
RAy + F2
+
T
F3 F1
M
Mo3 Mo1
Mo2
MoA
Stránka 3 z 17
∑
∑ (
)
(
(
)
) (
(
) )
(
(
)
(
( )
(
)
(
)
) )
(
)
Maximální ohybový moment je MoA.
Stránka 4 z 17
ÚLOHA 3 Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţujících sil F1 = 1 100 N, F2 = F3 = 800 N, F4 = 600 N a vzdálenosti a = b = c = d = 0,15 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů. ŘEŠENÍ:
+M
+y
-M MA
F2 +
F3 +
RAy
+x
A –
F4
–
F1 a
c
b
d
F1 F2
+ T
RAy
-
F4
F3
Mo3 Mo2 + M
Mo4 MoA Mo1 Stránka 5 z 17
∑
∑ (
)
(
(
)
)
(
(
)
(
(
(
( (
)
(
)
)
) )
)
)
(
( )
(
(
)
)
(
)
(
(
) )
)
( (
) )
(
)
Maximální ohybový moment je ƖMo1Ɩ = Mo3
Stránka 6 z 17
ÚLOHA 4 Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţujících sil F1 = 1 000 N, F2 = 800 N, F3 = 1 300 N, F4 = 1 100 N a vzdálenosti a = c = 0,2 m a b = d = 0,15 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů.
+M +y -M F3 F1 +
+ A +x –
–
F2 a
b
c
d
F4
Výsledek: RAy = 400 N, MA = -135 Nm, Mo,max = Mo1 = 215 Nm
Stránka 7 z 17
E) VETKNUTÉ NOSNÍKY ZATÍŽENÉ PO CELÉ DÉLCE SPOJITÝM ZATÍŽENÍM Q Úlohu budeme řešit jen obecně. ŘEŠENÍ:
+M +y -M
MA q
x
RAy
+
+
A –
+x –
l 2
Q l
x
q
Mox
Tx
T
RAy
x 2
Qx
-
M MoQ
MoA = Mo,max Stránka 8 z 17
Velikost reakce RAy určíme z podmínky rovnováhy ∑
Ve vzdálenosti x od volného konce nosníku bude platit: a) Posouvající síla . Závislost je lineární. Hodnoty Tx:
b) Ohybový moment bude
Závislost je parabolická. Hodnoty Mox:
( )
Tento moment je maximální.
Stránka 9 z 17
F) NOSNÍKY VETKNUTÉ ZATÍŽENÉ KOMBINOVANÝM ZATÍŽENÍM ÚLOHA 1 Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţující síly F1 = 1 500 N, spojité zatíţení Q = 1 000 N a vzdálenost l = 0,4 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů. ŘEŠENÍ:
+M +y 𝑄
-M
𝑞 𝑙
MA q RAy
F1
+
A –
l 2
Q
l 4
+
+x
Q 2
–
l
Q
RAy +
F1 T
M
Mo1 -
MoQ
MoA Stránka 10 z 17
∑
∑
Maximální ohybový moment je MoA.
Stránka 11 z 17
ÚLOHA 2 Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţující síly F1 = 1 300 N, spojité zatíţení Q = 1 200 N a vzdálenosti a = 0,3 m a b = 0,25 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů. ŘEŠENÍ:
+M +y MA
𝑄
-M
𝑞 𝑙
q
RAy +
+
A –
a 2
Q
B
Q 2
–
a 4
F1
a
T
+x
b a
RAy F1
Q
-
MoA MoQ M
MoB + Mo1
Stránka 12 z 17
∑
∑ (
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Maximální ohybový moment je MoA.
ÚLOHA 3 Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţující síly F1 = 1 400 N, spojité zatíţení Q = 1 000 N a vzdálenosti a = b = 0,15 a c = 0,2 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů.
+M +y -M
F1 +
+ A +x
–
–
Q a
b
c
Výsledek: RAy = 2 400 N, Mo,max = MA = - 610 Nm
Stránka 13 z 17
DEFORMACE PŘI OHYBU Přímá osa nosníku se vlivem zatíţení deformuje. Zakřivená osa se nazývá ohybová čára. Pro potřebu praxe musíme umět zjistit průhyb, úhel natočení a poloměr zakřivení ohybové čáry. Při výpočtu nosníku nesmí nejen napětí překročit dovolenou hodnotu, ale i maximální průhyb musí být v předepsaných mezích. Například u ocelových konstrukcí se klade poţadavek, aby průhyb nepřekročil ( ) rozpětí. Poloměr zakřivení ohybové čáry potřebujeme znát např. při ohýbání plechů, abychom mohli určit potřebný ohybový moment. Kromě toho potřebujeme znát průhyb nosníku i úhel natočení k řešení staticky neurčitých nosíků. Hodnoty úhlu natočení průřezu a průhybů jsou uvedeny ve strojnických tabulkách. A) Deformační podmínky pro vetknuté nosníky úhel natočení průřezu:
Průhyb:
kde xT je vzdálenost těţiště momentové plochy od volného konce nosníku.
Stránka 14 z 17
ÚLOHA 1 Ocelový válcovaný nosník tvaru I, pevně vetknutý ve zdi, je na volném konci ve vzdálenosti l = 2 m od zdi zatíţen elektrickým kladkostrojem o nosnosti F = 4 000 N. Vlastní tíha kladkostroje G = 800 N. Navrhněte velikost profilu I pro σDo = 120 MPa. Vypočtěte úhel natočení průřezu a průhyb na konci nosníku. ŘEŠENÍ:
+y MA
F+G
RAy +
+ A y
+x –
–
l
M T
-
𝑥𝑇
𝑙
xT
MoA
(
|
)
(
)
|
Vypočtené velikosti W o odpovídá profil I 140, jehoţ Wx = 81,9 cm
3
Stránka 15 z 17
Úhel natočení průřezu: (
)
(
)
rozměrová rovnice
Hodnota ( )
je převzata ze strojnických tabulek
(
)
Průhyb nosníku na konci: (
)
(
)
rozměrová rovnice
(
)
Dovolený průhyb je ( Navrţený ( (
profil
) nevyhovuje
I 140
(
)
deformační
podmínce.
Navrhneme
profil
I 160
) )
Navrţený profil I 160 vyhovuje deformační podmínce.
Stránka 16 z 17
ÚLOHA 2 Ocelový válcovaný nosník tvaru I, pevně vetknutý ve zdi, je na volném konci ve vzdálenosti l = 3 m od zdi zatíţen elektrickým kladkostrojem o nosnosti F = 5 000 N. Vlastní tíha kladkostroje G = 1 000 N. Navrhněte velikost profilu I pro σDo = 120 MPa. Navrţený průřez musí vyhovovat i deformační podmínce. (Dovolený průhyb je (3÷12) mm). Výsledek: I 220; y = 8,4 mm
NOSNÍKY STEJNÉHO NAPĚTÍ Nosníkem stejného napětí nazýváme takový nosník, který pro určité zatíţení má v okrajových vláknech všech průřezů stejné napětí. Při minimální spotřebě materiálu má maximální deformaci a má také nejlepší součinitel vyuţití materiálu. Nosník stejného napětí musí splňovat podmínku
Proto jsou průřezové moduly v ohybu u jednotlivých průřezech přímo úměrné ohybovým momentům v těchto průřezech. Výpočet nosníku stejného napětí je uveden ve strojnických tabulkách.
POUŢITÁ LITERATURA [1] MRŇÁK, L. a DRDLA, A. Mechanika pruţnost a pevnost pro SPŠ strojnické. 3. opravené vyd. Praha: SNTL, 1980. 366 s. [2] SKÁLA, V. a STEJSKAL, V. Mechanika pro SPŠ nestrojnické. 3. vyd. Praha: SNTL, 1986. 207 s. [3] LEINVEBER, J., VÁVRA, P. Strojnické tabulky: Pomocná učebnice pro školy technického zaměření. Čtvrté doplněné vydání. Úvaly: Albra, 2008, 914 s. ISBN 978-80-7361-051-7.
Stránka 17 z 17
