´ ´I PRAKTIKUM FJFI CVUT ˇ FYZIKALN V PRAZE Datum mˇ eˇ ren´ı: 19.3.2011 Pracovn´ı skupina: 2 Spolupracovn´ıci: Viktor Pol´ ak
Jm´ eno: Jakub K´akona Hodina: Po 7:30 Hodnocen´ı:
Ohniskov´e vzd´alenosti a vady ˇcoˇcek a zvˇetˇsen´ı optick´ych pˇr´ıstroj˚ u Abstrakt Vu ´loze bylo pouˇzito nˇekolik metod mˇeˇren´ı ohniskov´ ych vzd´alenost´ı spojn´ ych ˇcoˇcek. Urˇcili jsme ohniskovou vzd´ alenost spojky, okul´aru a objektivu. Naslednˇe jsme sestavili dalekohled a mikroskop. Zmˇeˇrili jsme zvˇetˇsen´ı obou tˇechto pˇr´ıstroj˚ u a porovnali s teoretick´ ym v´ ypoˇctem.
´ Uvod
1
Geometrick´a optika popisuje z´akladn´ı jevy pˇri ˇs´ıˇren´ı svˇetla a zanedb´av´a jeho vlnov´e projevy. Proto nelze stejn´ ym zp˚ usobem popisovat i sloˇzitˇejˇs´ı dˇeje, jako je polarizace ˇci interference svˇetla. V t´eto u ´loze budeme proto zkoumat pouze z´akladn´ı optick´e elementy, jako jsou ˇcoˇcky a jejich soustavy.
1.1
Zad´ an´ı
1. Urˇcete ohniskovou vzd´alenost spojn´e ˇcoˇcky +200 Besselovou metodou a ze znaloasti polohy pˇredmˇetu a jeho obrazu (minim´alnˇe pro 5 r˚ uzn´ ych konfigurac´ı; prov´est t´eˇz graficky) V pˇr´ıpravˇe odvod’te rovnici ˇc. 8, naˇcrtnˇete chod paprsk˚ u pro obˇe metody a zd˚ uvodnˇete nutnost podm´ınky e > 4f . 2. Zmˇeˇrte ohniskovou vzd´alenost mikroskopick´eho objektivu a Ramsdenova okul´aru Besselovou metodou. V pˇr´ıpravˇe vysvˇetlete rozd´ıl mezi Ramsdenov´ ym a Huygensov´ ym okul´arem. 3. Zmˇeˇrte zvˇetˇsen´ı lupy pˇri akomodaci oka na konvenˇcn´ı zrakovou vzd´alenost. Stanovte z ohniskov´e vzd´alenosti lupy zvˇetˇsen´ı pˇri oku akomodovan´em na nekoneˇcno. 4. Urˇcete polohy ohniskov´ ych rovin tlust´ ych ˇcoˇcek (mikroskopick´ y objektiv a Ramsden˚ uv okul´ar) nutn´ ych pro v´ ypoˇcet zvˇetˇsen´ı mikroskopu. 5. Z mikroskopick´eho objektivu a Ramsdenova okul´aru sestavte na optick´e lavici mikroskop a zmˇeˇrte jeho zvˇetˇsen´ı. 6. Ze spojky +200 a Ramsdenova okul´aru sestavte na optick´e lavici dalekohled. Zmˇeˇrte jeho zvˇetˇsen´ı pˇr´ımou metodou a z pr˚ umˇeru pupil. V pˇr´ıpravˇe vysvˇetlete rozd´ıl mezi Galileov´ ym a Keplerov´ ym dalekohledem. 7. V´ ysledky mˇeˇren´ı zvˇetˇsen´ı mikroskopu a dalekohledu porovnejte s hodnotami vypoˇc´ıtan´ ymi z ohniskov´ ych vzd´alenost´ı.
1.2
Teoretick´ yu ´ vod
Pro tenkou spojnou ˇcoˇcku plat´ı v pˇr´ıpadˇe geometrick´e optiky ˇcoˇckov´a zobrazovac´ı rovnice 1 1 1 + 0 = , a a f
(1)
obdobnou rovnici m˚ uˇzeme zapsat i pro rozptylku 1 1 1 − =− . 0 a a f
(2)
V obou pˇr´ıpadech je a i a0 pˇredmˇetov´a a obrazov´a vzd´alenost. Boˇcn´ı zvˇetˇsen´ı je pak definov´ano vztahem
β=
y0 . y
(3)
Kde y a y 0 jsou velikosti objektu a obrazu. Pro mˇeˇren´ı Besselovou metodou pouˇzijeme v´ yraz (odvozeno d´ale v 2.2.4).
f=
e2 − d2 . 4e
(4)
e je pak celkov´a vzd´alenost mezi pˇredmˇetem a st´ın´ıtkem a d je vzd´alenost mezi polohami ˇcoˇcky v kter´ ych je moˇzn´e na st´ın´ıtku pozorovat ostr´ y obraz. Zvˇetˇsen´ı okul´aru je d´ano vztahem
Z2 =
l . f2
(5)
Zvˇetˇsen´ı mikroskopu spoˇcteme vztahem
Z = Z1 Z2 =
∆l , f1 f2
(6)
Oboje je vztaˇzeno k takzvan´e konvenˇcn´ı zrakov´e vzd´alenosti, kter´a je l = 25cm.
2 2.1
Experiment´ aln´ı uspoˇ r´ ad´ an´ı a metody Pom˚ ucky
Optick´a lavice s jezdci a drˇza´ky ˇcoˇcek, ˇza´rovka, mikroskopick´ y objektiv, Ramsden˚ uv okul´ar v drˇz´aku s Abbeho kostkou, spojn´a ˇcoˇcka +200, matnice, clona se ˇsipkou, pomocn´ y svˇeteln´ y zdroj s milimetrovou stupnic´ı, objektivov´ y mikrometr / clona se stupnic´ı 100 x 0,01 mm, matnice se stupnic´ı 50 x 0,1 mm, pomocn´ y mikroskop se stupnic´ı v zorn´em poli, pomocn´ y dalekohled.
2.2 2.2.1
Ohniskov´ a vzd´ alenost tenk´ e spojky Odhadem
Vyuˇzijeme-li toho, ˇze obraz dostateˇcnˇe vzd´alen´eho objektu vznik´a pˇribliˇznˇe v ohniskov´e rovinˇe ˇcoˇcky. Jako pˇribliˇzn´ y odhad ohniskov´e vzd´alenosti ˇcoˇcky pak bereme vzd´alenost ˇcoˇcky od vznikl´eho obrazu. 2.2.2
Autokolimaˇ cn´ı metoda
V t´eto metodˇe se vyuˇz´ıv´a faktu, ˇze paprsky bodov´eho zdroje um´ıstˇen´eho v ohnisky spojn´e ˇcoˇcky se l´amou rovnobˇeˇznˇe. Po odrazu od rovinn´eho zrcadla se vytvoˇr´ı obraz. Je-li bodov´ y zdroj realizovan´ y pomoc´ı Mal´eho kruhov´eho otvoru, m˚ uˇzeme nepatrn´ ym vych´ ylen´ım zrc´atka doc´ılit toho, ˇze se zobraz´ı tˇesnˇe vedle kruhov´eho otvoru. Nyn´ı staˇc´ı nastavit ˇcoˇcku do takov´e vzd´alenosti, aby vznikl ostr´ y obraz (bod stejn´ y, jako je velikost p˚ uvodn´ıho otvoru). Hledan´a ohniskov´a vzd´alenost pak odpov´ıd´a vzd´alenosti ˇcoˇcky od kruhov´eho otvoru. 2.2.3
Z polohy pˇ redmˇ etu a jeho obrazu
Vyjdeme z ˇcoˇckov´e rovnice 1 1 1 + 0 = . a a f
(7)
kde a, a0 jsou vzd´alenosti pˇredmˇetu, resp. obrazu od ˇcoˇcky, f je ohniskov´a vzd´alenost. Z rovnice (7) vyj´adˇr´ıme
f=
aa0 a + a0
(8)
Tuto metodu lze modifikovat tak, ˇze je moˇzn´e ji ˇreˇsit graficky.
Obr´azek 1: Grafick´e zn´azornˇen´ı chodu paprsk˚ u pˇri mˇeˇren´ı ohniskov´e vzd´alenosti ze znalosti polohy pˇredmˇetu a obrazu
2.2.4
Besselova metoda
Pokud m´ame spojnou ˇcoˇcku s ohniskovou vzd´alenost´ı f . A vzd´alenost pˇredmˇetu od st´ın´ıtka e vˇetˇs´ı, neˇz 4 · f . Potom, je moˇzn´e ˇcoˇcku um´ıstit do dvou pozic mezi st´ın´ıtko a pˇredmˇet, tak aby na st´ın´ıtku vznikl ostr´ y obraz. Pro ohniskovou vzd´alenost ˇcoˇcky pˇritom plat´ı:
f=
e2 − d2 . 4e
(9)
Pro ostr´ y obraz pˇredmˇetu na st´ın´ıtku plat´ı mezi vzd´alenost´ı pˇredmˇetu a obrazu od ˇcoˇcky 0 (a, a ) vztah: a + a0 = e Vyj´adˇren´ım a0 = e − a a dosazen´ım do ˇcoˇckov´e rovnice (7) dostaneme postupnˇe a0 + a 1 = 0 aa f 1 e = a(e − a) f a2 − ae + ef = 0.
(10)
Podle pˇredpokladu e > 4f , tedy m´a rovnice (10) pr´avˇe dvˇe ˇreˇsen´ı, kter´e tvoˇr´ı hledanou dvojici poloh, pˇri kter´ ych vznik´a na st´ın´ıtku ostr´ y obraz. Pro vzd´alenost obou koˇren˚ u plat´ı vztah: p p e2 − 4ef e − e2 − 4ef d= − 2 2 Rovnici (9) pak dostaneme vyj´adˇren´ım f . e+
d=
p e2 − 4ef .
Obr´azek 2: Grafick´e zn´azornˇen´ı chodu paprsk˚ u pˇri mˇeˇren´ı ohniskov´e vzd´alenosti Besselovou metodou 2.2.5
Urˇ cen´ı poloh ohniskov´ ych rovin tlust´ ych ˇ coˇ cek
Provedeme pomoc´ı dalekohledu zaostˇren´eho na nekoneˇcno. Pˇredmˇet se bude nach´azet v ohniskov´e rovinˇe ˇcoˇcky, kdyˇz skrz ˇcoˇcku a dalekohled uvid´ıme ostr´ y obraz pˇredmˇetu. 2.2.6
Stanoven´ı ohniskov´ e vzd´ alenosti tenk´ e rozptylky
Mˇeˇren´ı ohniskov´e vzd´alenosti rozptylky provedeme v´ ypoˇctem ze znalosti polohy obrazu a pˇredmˇetu. K mˇeˇren´ı ale mus´ıme pomocnou spojkou nejprve vytvoˇrit re´aln´ y obraz, jehoˇz polohu je moˇzn´e zmˇeˇrit. Z namˇeˇren´ ych vzd´alenost´ı l1, l2, l3 (vzd´alenosti pˇredmˇetu od spojky, od obrazu s rozptylkou a obrazu bez rozptylky) pak vypoˇcteme a, a0 . (Vzd´alenosti obraz˚ u od rozptylky) Ohniskovou vzd´alenost pak z´ısk´ame z ˇcoˇckov´e rovnice pro rozptylku 1 1 1 − 0 =− . a a f
(11)
3
Optick´ e pˇ r´ıstroje
3.1
Lupa
´ Lupa je jeden z nejjednoduˇsˇs´ıch optick´ ych pˇr´ıstroj˚ u. Uhlov´ e zvˇetˇsen´ı lupy je pomˇer mezi tan 0 zorn´eho u ´hlu u , pod kter´ ym vid´ıme pˇredmˇet lupou k tangentˇe u ´hlu u, pod kter´ ym pozorujeme pˇredmˇet v tzv. konvenˇcn´ı zrakov´e vzd´alenosti l = 25 cm. Tj. lze ps´at
Z=
tan u0 . tan u
• Pˇri akomodaci oka na nekoneˇcno: Z∞ =
(12) l f
• Pˇri akomodaci oka na konvenˇcn´ı zrakovou vzd´alenost: Zl = obrazu a pˇredmˇetu.
3.2
y0 , y
coˇz je pomˇer mezi velikost´ı
Mikroskop
Mikroskop ve sv´e z´akladn´ı konfiguraci je tvoˇren dvojic´ı ˇcoˇcek: objektivem a okul´arem. D˚ uleˇzitou roli hraje vz´ajemn´a vzd´alenost ohniskov´ ych rovin obou ˇcoˇcek, kterou naz´ yv´ame optick´ym intervalem soustavy a znaˇc´ıme ∆. Celkov´e zvˇetˇsen´ı mikroskopu je d´ano vztahem Zmik =
∆l f1 f2
(13)
Zvˇetˇsuje se tedy s vˇetˇs´ı velikost´ı optick´eho intervalu.
3.3
Dalekohled
Dalekohled slouˇz´ı ke zvˇetˇsov´an´ı zorn´eho u ´hlu vzd´alen´ ych pˇredmˇet˚ u Konstrukce je podobn´a jako u mikroskopu, s t´ım rozd´ılem, ˇze optick´ y interval ∆ je roven nule. Pˇr´ıstroj tedy pˇr´ıˇcnˇe nezvˇetˇsuje. Uhlov´e zvˇetˇsen´ı dalekohledu je pops´ano rovnic´ı Z=
4 4.1 4.1.1
f1 . f2
(14)
V´ ysledky a postup mˇ eˇ ren´ı Mˇ eˇ ren´ı ohniskov´ ych vzd´ alenost´ı ˇ coˇ cek Z polohy pˇ redmˇ etu a obrazu
Zmˇeˇrili jsme tˇri r˚ uzn´e polohy pˇredmˇetu a jeho obrazu vzhledem k ˇcoˇcce +200 (v tabulce 1). Pˇr´ısluˇsn´e ohniskov´e vzd´alenosti jsme vypoˇc´ıtali ze vztahu (8). p Celkov´ y v´ ysledek dostaneme jako aritmetick´ y pr˚ umˇer hodnot; chybu odhadneme σ12 + σ22 , kde σ1 je chyba aritmetick´eho pr˚ umˇeru a σ2 je chyba nepˇr´ım´eho mˇeˇren´ı. Ohniskov´a vzd´alenost ˇcoˇcky +200 tedy vych´az´ı f=18.5±0.1cm
a [cm] a0 [cm] f [cm] 44,55 30,9 18,2 ± 0.1 34,6 40,1 18,6 ± 0.1 41,45 33,85 18,6 ± 0.1 39,7 35,1 18,6 ± 0.1 Tabulka 1: Urˇcen´ı ohniskov´e vzd´alenosti spojn´e ˇcoˇcky +200 z pozic pˇredmˇetu a obrazu. 4.1.2
Besselova metoda
Touto metodou jsme zmˇeˇrili ohniskovou vzd´alenost tenk´e spojky +200, Ramsdenova okul´aru a mikroskopov´eho objektivu. Nejprve jsme pozorovali ˇcoˇckou +200 pˇredmˇet vytvoˇren´ y otvorem ve tvaru ˇsipky a prom´ıtan´ y na matnici. V´ ypoˇcet chyby jsme provedli podle vzorce chyb nepˇr´ım´ ych mˇeˇren´ı. Neurˇcitost vzd´alenosti pˇredmˇetu od st´ın´ıtka jsme brali 1mm, neurˇcitost vzd´alenosti dvou ostr´ych poloh 2mm. Ohniskovou vzd´alenost ˇcoˇcky +200 jsme tedy stanovili na 18.6±0.1 cm. d [cm] e0 [cm] f [cm] 40,2 92 18,61 ±0.1 34,55 88 18,61 ±0.1 21,5 80 18,56 ±0.1 11 76 18,60 ±0.1 Tabulka 2: Besselova metoda, ˇcoˇcka +200. U ostatn´ıch element˚ u jsme v d˚ usledku toho, ˇze ohniskov´a vzd´alenost mikroskopov´eho objektivu a Ramsdenova okul´aru je pomˇernˇe mal´a, pozorovali obraz pomocn´ ym mikroskopem. v´ ysledky mˇeˇren´ı jsou v tabulce 4. d [cm] e0 [cm] 18 41,7 26,6 50 10,9 35
f [cm] 8,48 ± 0.04 8,96 ± 0.04 7,90 ± 0.04
Tabulka 3: Besselova metoda - mikroskopov´ y objektiv Ohniskov´a vzd´alenost mikroskopov´eho objektivu vych´az´ı 2.38±0.05cm, Ramsdenova okul´aru 2.97±0.04cm.
4.2
Polohy ohniskov´ ych rovin
Zmˇeˇrili jsme polohy ohniskov´e roviny Ramsdenova okul´aru a mikroskopov´eho objektivu. Vˇzdy jsme mˇeˇrili vnitˇrn´ı rovinu; tu, kter´a se norm´alnˇe nach´az´ı uvnitˇr pˇr´ıstroje a je zapotˇreb´ı pro urˇcen´ı optick´eho intervalu. Vzd´alenost jsme odeˇc´ıtali od konce osazen´ı souˇca´stky. Vzd´alenost ohniskov´e roviny Ramsdenova okul´aru od jeho kraje: 0.53±0.05cm. Vzd´alenost ohniskov´e roviny mikroskopov´eho objektivu od jeho kraje: 1.04±0.05cm.
d [cm] e0 [cm] f [cm] 8,7 35 8,21 ± 14,5 40 8,69 ± 20,8 46 9,15 ± Tabulka 4: Besselova metoda - Ramsden˚ uv okul´ar
4.3
Zvˇ etˇ sen´ı lupy
Mˇeˇren´ı zvˇetˇsen´ı lupy jsme provedli pˇr´ımou metodou mˇeˇren´ım pomˇeru dvou stupnic zobrazen´ ych na sebe pomoc´ı Abbeho kostky. T´ım jsme urˇcili zvˇetˇsen´ı lupy na hodnotu 8,8 ± 0,3. Z n´ami zmˇeˇren´e ohniskov´e vzd´alenosti okul´aru kter´ y byl pouˇzit´ y, jako lupa vypl´ yv´a ze vzorce hodnota zvˇetˇsen´ı pˇri akomodaci oka na nekoneˇcno 8,42x.
4.4
Zvˇ etˇ sen´ı mikroskopu
Obdobn´ ym zp˚ usobem (pomoc´ı zobrazovan´e a referenˇcn´ı stupnice) jsme urˇcili i zvˇetˇsen´ı n´ami postaven´eho mikroskopu. Pouˇzit´ y optick´ y interval mˇel velikost 14.3±0.1cm. Zmˇeˇren´e zvˇetˇsen´ı m´a hodnotu Zl = 50 ± 1. Teoretick´e zvˇetˇsen´ı by podle vzorce (13) mˇelo b´ yt Zteor = 51 ± 2.
4.5
Zvˇ etˇ sen´ı dalekohledu
D´ale jsme mˇeˇrili zvˇetˇsen´ı dalekohledu. Pozorovali jsme stupnici ve vzd´alenosti pˇribliˇznˇe 9 m skrz dalekohled a z´aroveˇ n (pomoc´ı Abbeho kostky pˇres zrc´atko) pˇr´ımo (tj nezvˇetˇsenou). Z´ıskan´e zvˇetˇsen´ı dalekohledu je Z = 6.7 ± 0.2. Teoretick´a hodnota vych´az´ı Zteor = 6.4 ± 0.1. pˇr´ıstroj lupa, akomodace na l lupa, akomodace na ∞ mikroskop dalekohled
zmˇeˇren´e zvˇetˇsen´ı [–] Zl = 8.8 ± 0.3 Zl = 50 ± 1 Z = 6.7 ± 0.2
teoretick´e zvˇetˇsen´ı [–] Z∞ = 8.42 ± 0.02 Zteor = 51 ± 2 Zteor = 6.4 ± 0.1
Tabulka 5: Zvˇetˇsen´ı optick´ ych pˇr´ıstroj˚ u.
5 5.1
Diskuze Urˇ cov´ an´ı ohniskov´ ych vzd´ alenost´ı ˇ coˇ cek
Jako velice pˇresn´a metoda se uk´azala b´ yt metoda Besselova. V´ yhodou t´eto metody je, ˇze nen´ı tˇreba zn´at geometrick´ y stˇred zkouman´eho elementu, kter´ y ze obt´ıˇznˇe urˇcuje; staˇc´ı zmˇeˇrit vzd´alenost ostr´ych poloh ˇcoˇcky. Nev´ yhodou je komplikovanˇejˇs´ı v´ ypoˇcet. Dobr´e v´ ysledky d´av´a i autokolimaˇcn´ı metoda, kter´a umoˇzn ˇuje dobˇre urˇcit i absolutn´ı pozici ohniskov´e roviny vzhledem k ˇcoˇcce. Ponˇekud m´enˇe pˇresn´e bylo mˇeˇren´ı rozptylky. Je to d´ano t´ım, ˇze ohniskovou vzd´alenost rozptylky nelze mˇeˇrit tak jednoduˇse, jako u spojky. Sloˇzitˇejˇs´ı uspoˇra´d´an´ı s vˇetˇs´ım mnoˇzstv´ım vad pak vneslo do v´ ysledku dalˇs´ı chyby.
Pˇresnost vˇsech naˇsich mˇeˇren´ı byla obecnˇe sn´ıˇzena vadami typick´ ymi pro re´alnˇe ˇcoˇcky, zejm´ena barevnou vadou (pouˇz´ıvali jsme b´ıl´e svˇetlo) a sf´erickou vadou (zobrazen´ y pˇredmˇet nebyl bod).
5.2
Zvˇ etˇ sen´ı optick´ ych pˇ r´ıstroj˚ u
Zmˇeˇren´e zvˇetˇsen´ı mikroskopu se dobˇre shoduje s teoretickou hodnotou. V pˇr´ıpadˇe dalekohledu vych´az´ı jeho zvˇetˇsen´ı ponˇekud vˇetˇs´ı, neˇz teoreticky vypoˇc´ıtan´a hodnota. V´ ysledek mohla ovlivnit nˇekter´a zobrazovac´ı vada. Pˇri v´ ypoˇctu se tak´e pˇredpokl´ad´a, ˇze je oko um´ıstˇeno hned u okul´aru, coˇz v praxi nebylo moˇzn´e, nebot’ pˇred okul´arem byla jeˇstˇe Abbeho kostka.
6
Z´ avˇ er
Nˇekolika metodami jsme urˇcili ohniskovou vzd´alenost tenk´e spojky +150, odhadem, autokolimac´ı a Besselovou metodou. D´ale jsme za pouˇzit´ı pomocn´e ˇcoˇcky urˇcili ohniskovou vzd´alenost rozptylky -100. Zkoumali jsme tak´e zvˇetˇsen´ı z´akladn´ıch optick´ ych pˇr´ıstroj˚ u, jako lupa, mikroskop a dalekohled. V´ ystupem mˇeˇren´ı jsou hodnoty vykazuj´ıc´ı dobrou shodu s pˇredpokl´adan´ ymi v´ ysledky.
Reference [1] http://praktika.fjfi.cvut.cz/GeomOptika/ -Zad´an´ı u ´lohy
