Úloha 6: Měření povrchového napětí kapalin, Měření vnitřního tření kapalin, Měření vnitřního tření vzduchu FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 19.11.2009 Pracovní skupina: 11 Spolupracovníci: Štěpán Timr
Jméno: František Batysta Ročník a kroužek: 2. ročník, pond. odp. Hodnocení:
Abstrakt V této úloze jsme třemi metodami měřili povrchové napětí vody a lihu. Provedli jsme nejprve přímě měření síly působící na povrchovou blánu kapaliny, poté jsme povrchové napětí stanovili z měření kapilární elevace. Tímto se podařilo potvrdit tabulkovou hodnotu povrchového napětí lihu. Námi změřená hodnota povrchového napětí vody se však bohužel neshoduje s tabulkovou hodnotou. Dále jsme povrchové napětí vody a lihu jsme vzájemně porovnali kapkovou metodou. S velmi dobrou přesností se podařilo určit dynamickou viskozitu vzduchu a ricinového oleje.
1
Úvod
Při popisu reálných kapalin si často nevystačíme s aproximací vlastnostmi ideální kapaliny, která je dokonale nestlačitelná a bez vnitřního tření. Naproti tomu reálná kapalina se brání svému proudění disipativními silami, tj. má nenulové vnitřní tření. Vnitřní tření popisujeme veličinou viskozita. Další nezanedbatelný jev lze pozorovat na povrchu kapaliny. Molekuly nacházející se v tenké povrchově vrstva mají větší potenciální energii, než ty, které jsou uvnitř objemu kapaliny. V důsledku toho se povrch chová jako elastická blána, která se snaží dosáhnout co možná nejhladšího stavu s minimálním rozpětím. K popisu tohoto jevu zavádíme veličinu povrchové napětí. Díky povrchovému napětí vody mohou Obrázek 1: Vodoměrky monapříklad vodoměrky klouzat na vodní hladině (obr 1 [1]). hou díky povrchovému napětí Cílem tohoto měření je stanovit několika metodami vnitřní tření a klouzat na vodní hladině. povrchové napětí vybraných kapalin. Pracovní úkoly tedy jsou:
2
Pracovní úkoly
2.1
Měření povrchového napětí kapalin [3]
1. Stanovte povrchové napětí destilované vody a lihu (při pokojové teplotě) přímým měřením na torzních vahách. 2. Změřte pomocí kapilární elevace povrchové napětí destilované vody a lihu při pokojové teplotě pomocí dvou až tří kapilár různého vnitřního průměru. Pro každou kapiláru určete střední kvadratickou chybu výsledku. Výsledky porovnejte s hodnotami uvedenými v tabulkách. 3. Srovnáním s vodou určete při pokojové teplotě povrchové napětí lihu kapkovou metodou pomocí dvou až tří různých kapilár. Proveďte korekci na těkavost lihu.
1
2.2
Měření vnitřního tření kapalin [4]
1. Stanovte dynamickou viskozitu ricinového oleje při teplotě kolem 25 C. Odhadněte, s jakou přesností měříte jednotlivé dílčí veličiny a pomocí vztahu v u uX ∂f 2 2 t (ux¯i ) (1) uf¯ = ∂x i i z části Chyby měření (soubor chyby-o.pdf) vypočítejte, s jakou přesností můžete změřit viskozitu. 2. Odvoďte vztah pro závislost hustoty ρϑ na teplotě ϑ, když ρϑ =
ρ0 , 1 + βϑ
(2)
kde β je součinitel objemové teplotní roztažnosti. Objemová teplotní roztažnost ricínového oleje je β18 = 0,69.10−3 K −1 , hustota oleje při 18 C je ρ0 = 961 kg.m−3 .
2.3
Měření vnitřního tření vzduchu [5]
1. Určete viskozitu vzduchu při pokojové teplotě měřením objemu protékajícího vzduchu a úbytku tlaku na kapiláře. Měření proveďte při různých tlacích. 2. Z naměřených výsledků vypočtěte součinitel vnitřního tření η. 3. Naměřené výsledky vyneste do grafu ve tvaru (p1 − p2 ) = f (Vt )
3
Experimentální uspořádání a metody
3.1
Měření povrchového napětí kapalin [3]
Povrchové napětí je v soustavě SI definováno jako síla, kterou povrch působí na jednotce své délky: ~σ =
F~ . l
(3)
Povrchové napětí můžeme určovat buď přímo změřením síly, kterou povrchové napětí působí na známou délku nebo užitím kapilárních efektů (elevace a deprese). K určení povrchového napětí lze také použít tvoření kapek při odkapávání kapaliny z kapiláry. 3.1.1
Měření povrchového napětí přímým měřením
Přímě měření spočívá v tom, že vytahujeme z kapaliny rovný drátek délky l a s ním i blanku kapaliny, která působí na drátek povrchovou silou z každé strany, tedy |F~ | = 2l|~σ |.
(4)
Sílu F~ jsme měřili na torzních vahách jako rozdíl síly působící na drátek v okamžiku přetržení vodní blanky síly na drátek ponořený těsně pod hladinou. Torzní váhy byly cejchované v milipondech: 1 mp = 9,806 65 · 10−6 N. Váhy jsme před měřením museli zkalibrovat. Závaží o hmotnosti mz = 398mg vážilo 398 na torzních vahách 405, 5mg. Všechny naměřené hmotnosti jsme tedy násobili koeficientem k = 405,5 . 3.1.2
Určení povrchového napětí z kapilární elevace
V této metodě využijeme toho, že námi měřené kapaliny lnou ke skleněnému povrchu. Voda i líh lne ke sklu tak, že úhel ϑ sklonu povrchu kapaliny podél svislé stěny trubice vzhledem k trubici je velmi malý (ϑ ' 0). Podmínka rovnováhy v kapiláře pak znamená rovnost gravitační síly působící na vodní sloupec a povrchové síly ke stěnám kapiláry: πr2 hρg = 2πrσcosϑ, 2
(5)
kde r je vnitřní poloměr kapiláry, ρ hustota kapaliny a h je velikost kapilární elevace. Odtud pak povrchové napětí: rhρg σ= . (6) 2 3.1.3
Určení povrchového napětí kapkovou metodou
Kapalina pomalu vytékající ze svislé trubice se (po kapkách) odtrhne, když pro hmotnost tvořící se kapky: mg = 2πRσ. (7) Hmotnost však nelze měřit přímo, neboť část kapky je zpětně zachycena trubicí. Předpokládáme, že poměr mezi hmotností zachycenou a ukáplou je stejný pro všechny kapaliny. Potom můžeme určit relativní povrchové napětí, tj. povrchové napětí vzhledem k nějaké známé kapalině (např. voda). Pro povrchová napětí dvou kapalin a příslušné hmotnosti kapek M1 , M2 (stejného počtu u obou kapalin) pak platí M1 σ1 = . (8) σ2 M2 Ze znalosti první kapaliny pak můžeme vyjádřit σ2 jako σ2 = σ1
3.2
M2 . M1
(9)
Měření vnitřního tření kapalin [4]
V tomto experimentu jsme určovali viskozitu ricinového oleje Stokesovou metodou. Malé kuličky o hustotě ρ a poloměru r byly vhazovány do skleněného válce naplněného olejem o hustotě ρp (při dané teplotě). Pro hustotu ricinového oleje jsme v závislosti na teplotě odvodili vztah ρϑ =
ρ18 , 1 + β (ϑ − 18)
(10)
kde je β18 = 0,69.10−3 K −1 , hustota oleje při 18˚C je ρ18 = 961 kg.m−3 . V případě pohybu koule o poloměru r, rychlostí v v prostředí o viskozitě η, platí následující Stokesův vzorec pro odporovou sílu F : F = 6πηrv.
(11)
Přitom předpokládáme pouze takové rychlosti, aby obtékání kuličky bylo laminární. Zároveň působí na kuličku tíhová síla (v kapalině). F0 =
4 3 πr (ρ − ρp )g. 3
(12)
Po určité době se Stokesova odporová síla vyrovná s tíhovou silou (v kapalině) Obrázek 2: Trubice naplněná ricinovým a kulička dále padá rovnoměrně přímočaře rychlostí u. Lze tedy psát olejem. (Stokesův |F 0 | = |F | (13) viskozimetr) odkud dosazením a úpravou η=
3.3 3.3.1
2 r2 g(ρ − ρp ) . 9 u
(14)
Měření vnitřního tření vzduchu [5] Schéma aparatury
Měřící aparatura je uspořádána podle obrázku 3. Pomocí lahve M L2 vytváříme přetlak v lahvi L. Tím vháníme vzduch do kapiláry K, která klade proudění vzduchu odpor. Tomu odpovídající pokles tlaků měříme manometrem M . Vzduch, který vychází z kapiláry K, vháníme do lahve M L1 , odkud 3
vytlačuje vodu trubicí T1 , jejíž zakončení je ve stejné výšce, jako zakončení trubice T2 . Tím je zajištěn atmosferický tlak za kapilárou. Objem vody V vytlačené vzduchem za čas t měříme pomocí stopek a odměrného válce.
Obrázek 3: Schéma aparatury při měření vnitřního tření vzduchu. Vztah pro proudění plynu v kapiláře udává Hagen – Poiseuillova rovnice: Vt p2 =
π r4 p1 + p2 (p1 − p2 ), 8η l 2
Vt =
V , t
(15)
kde Vt je objemová rychlost proudění vzduchu, p1 , p2 tlak vzduchu před, resp. za kapilárou, η je viskozita plynu, r, l poloměr a délka kapiláry. Viskozita plynu je tedy η=
3.4
π r4 p1 + p2 p1 − p2 . 8Vt l 2 p2
(16)
Výpočet chyby měření
Shrneme použité metody pro výpočet chyby měření [2]. • Chybu vážení jsme podle použitého přístroje stanovili na um = 0, 1g. Chybu stanovení rychlosti jsme vinou nefunkčního startovacího modulu nemohli určit statisticky. Protože však nelze pokládat naměřenou rychlost za přesnou, položili jsme její odchylku paušálně rovnu uv = 2, 5mm s−1 . • Chyby měřících přístrojů ∆y odhadujeme velikostí dílku příslušného měřícího přístroje. • Chyby opakovaně měřených veličin vypočítáme jako směrodatnou odchylku aritmetického průměru v u N u X 1 2 t sa¯ = (ai − a ¯) (17) N (N − 1) i=1 • Celkovou chybu přímého měření pak vyjádříme jako q ua¯ = s2a¯ + ∆yp2 • Pro nepřímo měřené veličiny f = f (x1 , x1 , · · · , xk ) stanovíme chybu jako v u k uX ∂f 2 2 uf¯ = t (ux¯i ) ∂x i i=1
(18)
(19)
Vlastní výpočet nepřímo měřených veličin včetně výpočtu chyby nepřímého měření jsme provedli v Matlabu, který umožňuje provádět symbolické výpočty. Popis funkce, kterou jsme naprogramovali, a její zdrojový kód je k dispozici v [7] 4
4
Výsledky
4.1 4.1.1
Měření povrchového napětí kapalin Měření povrchového napětí přímým měřením
Povrchové síly kapaliny působící na drátek dlouhý 19,3 mm jsou uvedeny v tabulce 1. F1 – síla působící na drátek ponořený těsně pod hladinou, F2 síla působící na drátek při odtržení blanky kapaliny.
F1 [mp] 45 30 29 40 29 30 26 27 29 22
voda F2 [mp] 283 267 273 273 280 279 272 278 277 284
σv [Nm−1 ] 0,059 0,059 0,061 0,058 0,063 0,062 0,061 0,063 0,062 0,065
líh F2 [mp] 119 121 121 120 118,5
F1 [mp] 26 24 24 25 25
σl [Nm−1 ] 0,02325 0,02425 0,02425 0,02375 0,02337
Tabulka 1: Měření povrchového napětí vody a lihu přímou metodou. Celkově pak z (4) dostáváme tyto hodnoty povrchového napětí vody σv a lihu σl : σv = (62 ± 1) · 10−3 Nm−1 , σl = (24 ± 1) · 10 4.1.2
−3
Nm
−1
(20)
.
(21)
Určení povrchového napětí z kapilární elevace
Během měření jsme používali tři různé kapiláry o těchto vnitřních průměrech: 2r1 = 0, 65 · 10−3 mm 2r2 = 1, 48 · 10−3 mm 2r3 = 1, 64 · 10−3 mm Naměřené výšky hladin kapaliny v nádobě h1 a výšky hladin v kapiláře h2 jsou uvedeny pro líh v tabulce 2 a pro vodu v tabulce 3. Povrchové napětí vody jsme pomocí první kapiláry neměřili, neboť vodní sloupec dosáhl výš, než byl rozsah mikrometrického šroubu.
h1 [mm] 7,0 7,5 7,6 7,2 7,2
kapilára 1 h2 [mm] σ1 [Nm−1 ] 23,13 0,020 24,05 0,021 24,1 0,021 23,7 0,021 23,95 0,021
h1 [mm] 6,50 7,15 7,10 6,95 6,95
LÍH kapilára 2 h2 [mm] σ2 [Nm−1 ] 15,25 0,025 15,05 0,023 14,75 0,022 14,45 0,021 14,45 0,021
h1 [mm] 8,25 7,9 7,75 7,55 7,55
kapilára 3 h2 [mm] σ3 [Nm−1 ] 14,6 0,020 14,55 0,021 14,45 0,021 14,15 0,021 14,05 0,021
Tabulka 2: Měření povrchového napětí lihu metodou kapilární elevace.
5
h1 [mm] 4,0 4,4 4,0 4,0 4,0
VODA kapilára 2 h2 [mm] σ2 [Nm−1 ] h1 [mm] 22,7 0,068 4,1 22,4 0,065 4,2 22,2 0,066 4,2 22,2 0,066 4,4 22,2 0,066 4,0
kapilára 3 h2 [mm] σ3 [Nm−1 ] 17,3 0,053 17,4 0,053 16,8 0,051 16,5 0,049 16,2 0,049
Tabulka 3: Měření povrchového napětí vody metodou kapilární elevace. Po zpracování dat z tabulek 2 a 3 můžeme psát konečné výsledky měření pro jednotlivé kapiláry. ´ LIH
V ODA −1
σv,2 = (66 ± 2) · 10−3 Nm−1
σl,2 = (23 ± 2) · 10−3 Nm−1
σv,3 = (51 ± 2) · 10−3 Nm−1
σl,1 = (21 ± 1) · 10
−3
Nm
σl,3 = (21 ± 2) · 10−3 Nm−1 4.1.3
Určení povrchového napětí kapkovou metodou
Kapkovou metodu jsme provedli pouze s nejtenčí kapilárou o vnitřním průřezu 2r1 = 0, 65 · 10−3 mm. Širšími kapilárami voda i při maximálním zaškrcení kapala příliš rychle, až tekla proudem. Získaná data jsou v tabulce 4. počet kapek 20 20 20
mvoda [g] 1,6 1,59
ml´ıh [g] 0,43 0,44 0,45
Tabulka 4: Hmotnosti odkapaného množství kapaliny Použijeme - li tabulkovou hodnotu povrchového napětí pro vodu σv = 66, · 10−3 Nm−1 , obdržíme z (9) povrchové napětí lihu σl = (19, 9 ± 0, 5) · 10−3 Nm−1 (22)
4.2
Měření vnitřního tření kapalin
Měření probíhalo při teplotě 25 ˚C. Tomu odpovídá hustota ricinového oleje ρp = 956, 4 kg m−3 . Vzdálenost mezi ryskami na válci s olejem byla (318 ± 1) mm, průměr kuliček jsme změřili jako (1, 49 ± 0, 01)mm, a jejich hmotnost m = (13, 8 ± 0, 1) mg V tabulce 5 jsou uvedeny doby padání deseti měření. číslo ts
1 40,15
2 40,39
3 40,85
4 40,3
5 40,69
6 40,48
7 39,98
8 40,19
9 39,96
10 40,56
Tabulka 5: Doby padání kuliček v ricinovém oleji mezi dvěma ryskami Dosazením do vzorce (14) a vypočtením příslušné chyby nepřímého měření dostáváme viskozitu ricinového oleje jako η = (1, 08 ± 0, 09)Pa s. (23)
6
4.3
Měření vnitřního tření vzduchu
Měření probíhalo za vnějšího atmosferického tlaku (100390±10) Pa. Průměr kapiláry byl (0, 39 ± 0, 01) mm, její délka (91, 6 ± 0, 1) mm. Hustotu vody jsme brali jako ρv = 1000 kgm−3 , tíhové zrychlení g = 9, 81 ms−1 . Specifická data pro jednotlivá měření naleznete v tabulce 6. delta h [mm] 33,5 103 65 39 54 24 36 57,5
Vt 1,62 4,98 3,16 2,03 2,77 1,25 1,82 2,93
delta h [mm] 22 66,5 67 64,5 42,5 42 110
Vt 1,20 3,39 3,36 3,00 2,19 1,98 5,24
Tabulka 6: Objemová rychlost plynu Vt v závislosti na rozdílu vodních hladin ∆h v manometru Závislost rozdílu tlaků ∆p na objemové rychlosti Vt je znázorněna v grafu 4. Je vidět, že pro malé rozdíly tlaků lze získanou závislost proložit přímkou.
Obrázek 4: Závislost rozdílu tlaků ∆p na objemové rychlosti Vt . Odhadneme chyby měřených veličin. Rozdíl hladin manometru ∆h měříme s přesností ±2 mm, čas t s přesností ±0, 1 s, chyba objemu přitékajícího do odměrného válce je ±3 mm. Chybu měření atmosferického tlaku odhadujeme 10 Pa. Výpočet celkové chyby nepřímého měření jsme provedli podle odstavce 3.4. Zpracováním naměřených dat dostáváme výsledek ηvzd = (19, 5 ± 1) · 10−6 Pa s.
7
(24)
5
Diskuze
5.1 5.1.1
Měření povrchového napětí kapalin Měření povrchového napětí přímým měřením
Nejprve uvedeme tabulkové hodnoty [6] povrchového napětí vody a lihu. (tab)
σvody = 73 · 10−3 Nm−1 (tab)
σlihu = 22 · 10−3 Nm−1 Po srovnání s našimi hodnotami σv = (62 ± 1) · 10−3 Nm−1 , σl = (24 ± 1) · 10−3 Nm−1 konstatujeme, že zatímco námi naměřená hodnota povrchového napětí lihu je nepatrně větší než tabulková, naše hodnota povrchového napětí pro vodu je podstatně menší, než tabulková. Větší nepřesnost v případě měření vody mohla být způsobena tím, že povrch kapaliny nasával měřící drátek tak, že se ocitl přesně na hladině pro různé hodnoty síly na ukazováku F1 (s vyrovnaným vahadlem). To snižuje přesnost měření síly F1 . Případná mastnota na povrchu drátku by díky hydrofobnímu efektu snížila přilnavost vody k drátku, a tedy i velikost měřeného povrchové napětí. 5.1.2
Určení povrchového napětí z kapilární elevace
Nejpřesnější Výsledky lze očekávat v případě použití nejtenčí kapiláry. Touto kapilárou získané povrchové napětí lihu činí σl = (21 ± 1) · 10−3 Nm−1 , což se v rámci chyby měření shoduje s tabulkovou hodnotou. Povrchové napětí vody jsme touto kapilárou neměřili, protože voda vystoupala výš, než byl rozsah našeho měřidla. Povrchové napětí lihu měřené dalšími dvěma kapilárami se taktéž shodují s tabulkovou hodnotou. Totéž však nelze říci o povrchovém napětí vody. Přesnost výsledku patrně ovlivnilo to, že měření povrchového napětí vody bylo z časových důvodů prováděno bezprostředně po měření povrchového napětí lihu. Kapiláry tudíž nebyly předem smáčeny ve vodě po dostatečně dlouhou dobu a na jejich vnitřním povrchu mohly ulpívat molekuly lihu, které následně zkreslovaly měření. 5.1.3
Určení povrchového napětí kapkovou metodou
Náš výsledek σl = (19, 9 ± 0, 5) · 10−3 Nm−1 je nižší, než udávaná tabulková hodnota. I když dílčí veličiny lze měřit s dobrou přesností, výsledná hodnota se od tabulkové hodnoty nejvíce odchyluje. Zamysleme se nad možnými příčinami tohoto faktu. Předpoklad, že na trubici zůstává táž poměrná část kapky ∀ kapaliny je pouze přibližný. Další nepřesnosti mohou být způsobeny neideálním prouděním během odkapávání kapaliny. Ačkoli lze všechny dílčí veličiny měřit s dobrou přesností a tedy náhodná chyba tohoto měření je poměrně nízká, nejeví se tato metoda kvůli systematickým chybám jako nejvýhodnější.
5.2
Měření vnitřního tření kapalin
Udávaná tabulková hodnota viskozity ricinového oleje je ηric = 0, 985 Pa s, avšak může se podstatně lišit podle konkrétního výrobce. Vzhledem k tomu, že kuličky padaly středem válce velmi pomalu a rovnoměrně, nelze předpokládat žádné významné systematické chyby měření. Naše hodnota viskozity oleje η = (1, 08 ± 0, 09)Pa s se tedy pravděpodobně blíží skutečné viskozitě použitého oleje.
5.3
Měření vnitřního tření vzduchu
tab Tabulková hodnota viskozity vzduchu je ηvzd = 19 · 10−6 Pa s. Tuto hodnotu jsme potvrdili naším −6 měřením, které vyšlo ηvzd = (19, 5±1) ·10 Pa s. Rozebereme některé možné nepřesnosti použité metody. Systematická chyba vznikala při větším rozdílu tlaků p1 − p2 , neboť v horní lahvi rychleji klesala hladina vody, a tím klesal i vstupní tlak během měření. Za dobu měření došlo k poklesu tlaku zhruba o 2 mm vodního sloupce. Tuto chybu jsme se snažili kompenzovat tím, že jsme rozdíl tlaků měřili zhruba uprostřed měření. Objem odkapané vody byl měřen odměrným válcem, který stál na ne zcela rovné podložce. Proto chybu měřeného objemu odhadujeme ±3ml. Malý vliv na přesnost měřeného objemu měla netěsnost
8
Mariotteovy láhve. Z lahve samovolně odkapávala voda rychlostí asi jedna kapka za dvě sekundy, což dalo ve výsledném objemu maximálně 1ml vody navíc. Přestože bylo měření zatíženo uvedenými chybami, shoduje se výsledek našeho měření s tabulkovou hodnotou. Přitom jsme dosáhli stejné přesnosti, jako je přesnost udávané tabulkové hodnoty.
6
Závěr
Změřili jsme několika metodami povrchové napětí vody a lihu. Nejprve jsme k určení povrchového napětí přímo měřili sílu, která působí na drátek ponořený do kapaliny. Dále jsme pro měření téhož jevu využili kapilární elevaci a odkapávání kapaliny z kapiláry. Přímé měření nám dává výsledek σv = (62 ± 1) · 10−3 Nm−1 , σl = (24 ± 1) · 10−3 Nm−1 . Metodou kapilárního vzestupu jsme získali pro kapiláry(1,2,3): σl,1 = (21 ± 1) · 10−3 Nm−1 , σl,2 = (23 ± 2) · 10−3 Nm−1 , σl,3 = (21 ± 2) · 10−3 Nm−1 , σv,2 = (66 ± 2) · 10−3 Nm−1 , σv,3 = (51 ± 2) · 10−3 Nm−1 . Měření povrchového napětí vody bylo pravděpodobně ovlivněno předchozím měřením lihu. Kapkovou metodou jsme získali velikost povrchového napětí lihu σl = (19, 9 ± 0, 5) · 10−3 Nm−1 . Dále jsme naměřili dynamickou viskozitu ricinového oleje η = (1, 08 ± 0, 09)Pa s a dynamickou viskozitu vzduchu ηvzd = (19, 5 ± 1) · 10−6 Pa s. Obě tyto hodnoty můžeme pokládat za velmi přesné.
Reference [1] WIKIPEDIE :Povrchové napětí [online], [cit. 30. listopadu 2009], http://cs.wikipedia.org/wiki/Povrchové napětí [2] FJFI ČVUT: Chyby měření a zpracování naměřených výsledků [online], [cit. 30. listopadu 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/ProvPokyny/chybynav/CHYBY1n.pdf [3] FJFI ČVUT, Měření povrchového napětí kapalin, [online], [cit. 30. listopadu 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/PovrchNapKap/ [4] FJFI ČVUT, Měření vnitřního tření kapalin, [online], [cit. 30. listopadu 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/VnitrniTreniKap/ [5] FJFI ČVUT, Měření vnitřního tření vzduchu, [online], [cit. 30. listopadu 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/VnitrniTreniVzd/ [6] MACHÁČEK M. :Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce, Prometheus, Praha, 2005, ISBN 80-7196-264-3 [7] BATYSTA F. : Automatický výpočet chyby nepřímého měření [online], [cit. 30. listopadu 2009], http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/ batysfra/Praktika/Matlab/
9
