ˇ Fyzik´ aln´ı praktikum FJFI CVUT v Praze ´ Uloha ˇ c. 6: Mˇ eˇ ren´ı povrchov´ eho napˇ et´ı kapalin, Mˇ eˇ ren´ı vnitˇ rn´ıho tˇ ren´ı kapalin Mˇ eˇ ren´ı vnitˇ rn´ıho tˇ ren´ı vzduchu Jm´eno: Ondˇrej Tich´ aˇcek
Datum mˇeˇren´ı: 12.10.2012 Klasifikace:
Pracovn´ı skupina: 6 Kruh: ZS 6
ˇ ast I C´
Mˇ eˇ ren´ı povrchov´ eho napˇ et´ı kapalin 1
Zad´ an´ı 1. Stanovte povrchov´e napˇet´ı vody a lihu (pˇri pokojov´e teplotˇe) pˇr´ım´ ym mˇeˇren´ım na torzn´ıch vah´ach. Proved’te nejm´enˇe 10 mˇeˇren´ı pro kaˇzdou kapalinu. 2. Srovn´ an´ım s vodou urˇcete pˇri pokojov´e teplotˇe povrchov´e napˇet´ı lihu kapkovou metodou pomoc´ı dvou aˇz tˇr´ı r˚ uzn´ ych kapil´ ar. Proved’te korekci na tˇekavost lihu.
2 2.1
Vypracov´ an´ı Pouˇ zit´ e pˇ r´ıstroje
Torzn´ı v´ ahy Meopta s pˇr´ısluˇsenstv´ım, Analytick´e v´ahy Meopta se sadou z´avaˇz´ı a pˇr´ısluˇsenstv´ım, k´adinky, stoj´ anek s n´ alevkou (upraveno na odkap´ av´ an´ı kapaliny z kapil´ary), uzav´ırateln´a zabrouˇsen´a n´adobka, teplomˇer, stopky, voda, l´ıh.
2.2
Teoretick´ yu ´ vod
Povrchov´e napˇet´ı je makroskopick´ ym projevem pˇritaˇzliv´ ych sil mezi molekulami kapaliny. Je to s´ıla, kter´ a p˚ usob´ı v rovinˇe povrchu kapaliny na d´elkovou jednotku rovnˇeˇz v povrchu kapaliny kolmo k t´eto d´elce. Povrchov´e napˇet´ı typicky znaˇc´ıme ~σ . Pˇr´ımo z definice plyne vztah ~σ =
F~ , l
(1)
kde F~ je s´ıla p˚ usob´ıc´ı na d´elku l v rovinˇe povrchu kapaliny. Povrchov´e napˇet´ı je potenci´ aln´ı silou – proto se napˇr´ıklad kapky vody snaˇz´ı zaujmout tvar koule tj. stav s nejmenˇs´ım povrchem a tedy i potenci´alem povrchov´eho napˇet´ı. Z mikroskopick´eho hlediska m´a povrchov´e napˇet´ı p˚ uvod Obr´azek 1: Sch´ematick´e zobrav geometrii rozloˇzen´ı pˇritaˇzliv´ ych sil v objemu kapaliny. Uvnitˇr kapaliny zen´ı sil p˚ usob´ıc´ıch na molekuly p˚ usob´ı na kaˇzdou molekulu pˇritaˇzliv´e s´ıly ze vˇsech stran stejnˇe, v povr- pˇri povrchu a uvnitˇr kapaliny [2] chov´ ych vrstv´ ach je rozloˇzen´ı sil smˇerovˇe z´ avisl´e. Ve smˇeru do stˇredu kapaliny je v´ ysledn´ a s´ıla od ostatn´ıch molekul nejvˇetˇs´ı, ve smˇeru opaˇcn´em je s´ıla nulov´ a 1. Povrchov´e napˇet´ı je u r˚ uzn´ ych kapalin r˚ uzn´e. Je rovnˇeˇz funkc´ı teploty – obecnˇe se d´a ˇr´ıci, ˇze s rostouc´ı s teplotou se povrchov´e napˇet´ı sniˇzuje. Kinetick´a energie neuspoˇr´adan´eho pohybu molekul se totiˇz s rostouc´ı ˇ ım silnˇejˇs´ı je vazba teplotou zvyˇsuje. Na povrchov´e napˇet´ı m´ a tak´e vliv l´atka, kter´a se nach´az´ı nad povrchem. C´ mezi molekulami kapaliny a molekulami t´eto l´atky, t´ım je povrchov´e napˇet´ı niˇzˇs´ı. 1 Toto plat´ ı uvaˇ zujeme-li kapalinu s minim´ aln´ım potenci´ alem povrchov´ eho napˇ et´ı. Je-li kapalina ve stavu s vyˇsˇs´ı potenci´ aln´ı energi´ı povrchov´ eho napˇ et´ı, m˚ uˇ ze b´ yt s´ıla ve smˇ eru od stˇredu nenulov´ a. Takov´ a kapalina se ovˇsem bude snaˇ zit dostat do z´ akladn´ıho stavu – geometrick´ eho tvaru s minim´ aln´ı energi´ı, kde jiˇ z tato s´ıla nulov´ a je.
1
Povrchov´e napˇet´ı m´ a v SI jednotku N · m−1 a jej´ı rozmˇer je [~σ ] = kg · s−2 . Povrchov´e napˇet´ı m˚ uˇzeme mˇeˇrit r˚ uzn´ ymi metodami, uvedeme zde ovˇsem pouze ty, kter´e jsme v u ´loze pouˇzili. 2.2.1
Pˇ r´ım´ e mˇ eˇ ren´ı
Povrchov´e napˇet´ı kapaliny m˚ uˇzeme urˇcit pomoc´ı rovn´eho dr´atku d´elky l, kter´ y ponoˇr´ıme do kapaliny. Dr´ atek pak z kapaliny vytahujeme kolmo vzh˚ uru. Povrchov´a vrstva nejdˇr´ıve vytaˇzen´ı dr´atku br´an´ı, po chv´ıli se ale vytvoˇr´ı oboustrann´ a povrchov´ a blanka. Na dr´atek d´elky l p˚ usob´ı s´ıla 2l~σ . K vytaˇzen´ı dr´atku z kapaliny dojde tehdy, kdyˇz s´ıla, kterou dr´ atek vytahujeme, dos´ahne hodnoty F = 2lσ.
(2)
Pro vyv´ıjen´ı i mˇeˇren´ı s´ıly F~ m˚ uˇzeme pouˇz´ıt torzn´ıch vah. 2.2.2
Kapkov´ a metoda
Kapalina vyt´ekaj´ıc´ı ze svisl´e trubice z˚ ust´ av´ a na jej´ım spodn´ım konci a tvoˇr´ı kapku. Jakmile t´ıha kapky pˇres´ ahne velikost s´ıly vyvolan´e povrchov´ ym napˇet´ım, kapka se odtrhne. To m˚ uˇzeme popsat rovnic´ı µg = 2πRσ,
(3)
kde R je vnˇejˇs´ı polomˇer trubice a µ je hmotnost kapky. Hmotnost µ vˇsak zmˇeˇrit nelze, nebot’ se kapka nikdy neodtrhne cel´ a, ale jen jej´ı ˇc´ ast. Na trubici ovˇsem vˇzdy z˚ ust´av´a pˇribliˇznˇe stejn´a pomˇern´a ˇc´ast kapky, takˇze v´ aˇzen´ım stejn´eho mnoˇzstv´ı kapek dvou kapalin dostaneme hmotnosti M1 a M2 kter´e jsou ve stejn´em pomˇeru jako hmotnosti kapek pˇred odtrˇzen´ım. Definujeme-li m jako hmotnost ˇc´asti kapky, kter´a se utrhne, m´ame µ1 m1 M1 = = M2 µ2 m2
(4)
Kombinac´ı dvou pˇredchoz´ıch rovnic jednoduˇse dostaneme σ1 M1 m1 = = . σ2 M2 m2
(5)
Zn´ ame-li tedy povrchov´e napˇet´ı srovn´ avac´ı kapaliny σ1 , lze spoˇc´ıtat σ2 ze vztahu σ2 = σ1
m2 M2 = σ1 . M1 m1
(6)
Rovnost s m1 a m2 vyuˇzijeme, nespln´ıme-li podm´ınku stejn´eho poˇctu kapek.
2.3 2.3.1
Postup mˇ eˇ ren´ı Pˇ r´ım´ e mˇ eˇ ren´ı
Pˇr´ım´e mˇeˇren´ı se prov´ ad´ı pomoc´ı torzn´ıch vah. Torzn´ı v´ahy jsou velmi citliv´e, ovˇsem z´avisl´e na vnˇejˇs´ıch podm´ınk´ ach – napˇr. teplotˇe. Nejdˇr´ıve tedy stanov´ıme korekˇcn´ı faktor vah, kter´ ym budeme vˇsechny namˇeˇren´e hodnoty n´ asobit – pˇredpokl´ ad´ ame line´ arn´ı z´ avislost. Tento faktor stanov´ıme pomoc´ı z´avaˇz´ı o pˇresn´e hmotnosti ( mk = 390mg ). Na torzn´ıch vah´ ach jej zv´ aˇz´ıme, hodnotu oznaˇc´ıme m0k . Korekˇcn´ı faktor k pak z´ısk´ame podle vztahu k=
mk . m0k
(7)
Z jak´ekoli hodnoty m0 odeˇcten´e na vah´ ach z´ısk´ame spr´avnou hodnotu m (nepoˇc´ıtaje chyby mˇeˇren´ı) dle vztahu m = k · m0 .
(8)
Pˇriprav´ıme si k´ adinku s kapalinou a r´ ameˇcek s dr´atkem d´elky l, kter´ y zavˇes´ıme na rameno vah. Na posuvn´ y stoleˇcek pod ramenem vloˇz´ıme k´ adinku s kapalinou a stoleˇcek vysuneme tak vysoko, aby se r´ameˇcek dostal pod hladinu kapaliny. Protoˇze na r´ ameˇcek p˚ usob´ı s´ıla t´ıhov´a a po vnoˇren´ı do kapaliny nav´ıc s´ıla vztlakov´a, mus´ıme urˇcit poˇc´ ateˇcn´ı s´ılu F0 . Tato s´ıla odpov´ıd´ a hmotnosti m00 na vah´ach, kterou zmˇeˇr´ıme a jednoduch´ ym v´ ypoˇctem n´ aslednˇe urˇc´ıme F0 . S´ılu povrchov´eho napˇet´ı urˇc´ıme opˇet pˇres hmotnost zmˇeˇrenou na torzn´ıch vah´ach. Ve chv´ıli,
2
kdy se dr´ atek vyt´ ahne nad povrch kapaliny, odeˇcteme na vah´ach hodnotu m01 . Povrchov´e napˇet´ı pak bude d´ ano vztahem F F1 − F0 m0 − m00 σ= = =k·g 1 (9) 2l 2l 2l Pˇri urˇcov´ an´ı povrchov´eho napˇet´ı lihu jsme pouˇzili dr´atek o d´elce l1 . Potom, co jsme domˇeˇrili se zjistilo, ˇze je dr´ atek pˇretrˇzen´ y. Proto jsme pro n´ asleduj´ıc´ı mˇeˇren´ı povrchov´eho napˇet´ı vody pouˇzili dr´atek jin´ y – o d´elce l2 . Vlastn´ı mˇeˇren´ı sil prob´ıh´ a n´ asledovnˇe: Pomoc´ı koleˇcka na regulaci v´ yˇsky stolku a pomoc´ı torzn´ıho ˇsroubu nastav´ıme v´ ychoz´ı polohu – dr´ atek mus´ı b´ yt 2 mm pod hladinou a jaz´ yˇcek vahadla se kryje s ryskou na zrc´atku. Ot´ aˇc´ıme torzn´ım ˇsroubem tak, aby byl dr´atek tˇesnˇe pod hladinou a z´aroveˇ n se jaz´ yˇcek kryl s ryskou. Pokud se tak nestane, mus´ıme upravit v´ yˇsku stolku. V t´eto pozici odeˇcteme hodnotu m00 . Ot´ aˇc´ıme torzn´ım ˇsroubem tak, abychom zvyˇsovali s´ılu vyv´ıjenou na dr´atek smˇerem vzh˚ uru, z´aroveˇ n upravujeme v´ yˇsku stolku. Podm´ınkou je, aby se st´ale kryl jaz´ yˇcek vahadla s ryskou na zrc´atku. Pˇri urˇcit´e s´ıle F1 se dr´ atek odtrhne od hladiny, v tuto chv´ıli zaznamen´ame hodnotu m01 .
Mˇeˇren´ı opakujeme 10-kr´ at pro kaˇzdou kapalinu. 2.3.2
Kapkov´ a metoda
Pˇri t´eto metodˇe budeme vˇsechna mˇeˇren´ı hmotnosti prov´adˇet na analytick´ ych vah´ach. Postup v´aˇzen´ı na analytick´ ych vah´ ach Meopta je pops´ an napˇr. v dokumentu [3], zde se j´ım zab´ yvat nebudeme. Pˇri t´eto metodˇe budeme odkap´ avat urˇcit´ y poˇcet kapek do uzav´ırateln´e n´adoby pˇres kapil´aru se zabrouˇsen´ ym koncem o vnˇejˇs´ım polomˇeru R. Mˇeˇr´ıme pak hmotnost kapaliny v n´adobˇe. Pˇri pr´aci s lihem mˇeˇr´ıme nav´ıc dobu kap´ an´ı, abychom mohli zpˇetnˇe prov´est korekci na jeho tˇekavost. Pr˚ ubˇeh mˇeˇren´ı: Zv´ aˇz´ıme pr´ azdnou n´ adobu i se z´ atkou (toto jiˇz pˇri dalˇs´ıch opakov´an´ıch dˇelat nebudeme). Nastav´ıme vhodn´ y pr˚ utok kapaliny kapil´arou – tak, aby se daly kapky poˇc´ıtat. Pod kapil´ aru vloˇz´ıme uzav´ıratelnou n´ adobu, souˇcasnˇe zapneme stopky, poˇc´ıt´ame kapky. Po urˇcit´em poˇctu kapek n´ adobu vezmeme a zavˇreme, souˇcasnˇe odeˇcteme ˇcas na stopk´ach. Zv´ aˇz´ıme n´ adobu na analytick´ ych vah´ ach. Vylijeme kapalinu, n´ adobu nech´ ame vyschnout.
Mˇeˇren´ı opakujeme nˇekolikr´ at pro kaˇzdou kapalinu. Odvod´ıme vztah pro korekci na tˇekavost lihu. Definujeme v jako zmˇenu hmotnosti kapky v d˚ usledku vypaˇrov´ an´ı, za jednotku ˇcasu vztaˇzenou na poˇc´ateˇcn´ı hmotnost t´eto kapky. Vzhledem k tomu, ˇze vypaˇren´a hmotnost je v pomˇeru k poˇc´ ateˇcn´ı hmotnosti m za n´ami uvaˇzovan´e ˇcasy (des´ıtky sekund) velmi mal´a, povaˇzujeme poˇc´ ateˇcn´ı hmotnost za nemˇennou (nen´ı funkc´ı ˇcasu). M´ame tedy v=
∆m 1 · , m T
(10)
kde m je poˇc´ ateˇcn´ı hmotnost kapky, ∆m zmˇena hmotnosti a T perioda pad´an´ı kapek. Nyn´ı upravujeme vztah pro celkovou zmˇenu hmotnosti kapaliny ∆M , spadlo-li n kapek za celkovou dobu t. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze v jednom bˇehu pokusu maj´ı vˇsechny kapky stejnou velikost. ∆M =
n X k=1
k∆m =
∆m T n(n + 1) n(n + 1) (n + 1) m = vT m = vtm , m T 2 2 2
(11)
kde jsme pˇri posledn´ı u ´pravˇe pouˇzili vztah t = nT . Hmotnost kapky m nezn´ame, plat´ı ovˇsem vztah m=
M + ∆M , n
3
(12)
kde M je n´ ami nav´ aˇzen´ a hmotnost kapaliny jiˇz po vypaˇren´ı jej´ı ˇc´asti. Dosazen´ım do pˇredchoz´ı rovnice a nˇekolika u ´pravami dost´ av´ ame vwM t(n + 1) ∆M = , kde w definujeme w= . (13) 1 − wv 2n Po prvn´ım mˇeˇren´ı veliˇciny M otevˇreme na dobu t (doba kap´an´ı) n´adobu. T´ım zjist´ıme, jak rychle se l´ıh vypaˇruje. Pro tento pˇr´ıpad plat´ı ∆M 1 v= (14) M t T´ım z´ısk´ ame hodnotu v, kterou pak pouˇzijeme pro korekci dosazen´ım do vztahu (13).
2.4
Namˇ eˇ ren´ e hodnoty
Namˇeˇren´e hodnoty jsou v tabulk´ ach 1 a 2. Kde nen´ı uvedeno jinak, pouˇz´ıv´ame pro statistick´e zpracov´an´ı vzorce (47). 2.4.1
Pˇ r´ım´ e mˇ eˇ ren´ı ϑ [°C] 26.00
l1 [mm] 18.80 ± 0.05
l2 [mm] 18.70 ± 0.05
g [ms−2 ] 9.81
2
k [1] 390/470
Tabulka 1: Hodnoty povaˇzovan´e za konstanty nebo n´ami nemˇeˇren´e u ´daje s danou pˇresnost´ı; ϑ je teplota m´ıstnosti, l1 a l2 d´elky dr´ atk˚ u v r´ ameˇcku, g gravitaˇcn´ı zrychlen´ı, k korekˇcn´ı faktor torzn´ıch vah
m01 373 377 371 370 372 374 374 373 379 379 m1
[mg]
voda m1 [mg] m00 [mg] 309.5 126 312.8 129 307.9 128 307.0 129 308.7 127 310.3 126 310.3 128 309.5 129 314.5 130 314.5 126 310 ± 3 m0
l´ıh m01
m0 [mg] 104.6 107.0 106.2 107.0 105.4 104.6 106.2 107.0 107.9 104.6 106 ± 1
175 171 175 174 177 173 174 173 178 175 m1
[mg]
m1 [mg] 145.2 141.9 145.2 144.4 146.9 143.6 144.4 143.6 147.7 145.2 145 ± 2
m00 [mg] 127 125 126 127 125 124 124 126 125 124 m0
m0 [mg] 105.4 103.7 104.6 105.4 103.7 102.9 102.9 104.6 103.7 102.9 104 ± 1
Tabulka 2: Na torzn´ıch vah´ ach namˇeˇren´e hodnoty hmotnost´ı odpov´ıdaj´ıc´ı sil´am F0 = gm0 a F1 = gm1 ; ˇc´arkovan´e veliˇciny jsou n´ ami namˇeˇren´e, neˇc´ arkovan´e jsou po pˇrepoˇc´ıt´an´ı korekˇcn´ım faktorem k podle vztahu (8)
Z hodnot m0 , m1 , l1 , l2 , g vypoˇc´ıt´ ame povrchov´e napˇet´ı dle vzorce (9). Chybu mˇeˇren´ı vypoˇc´ıt´ame podle (47). Smˇerodatnou odchylku budeme pro pˇrehlednost znaˇcit s. s 2 F1 − F0 g m1 − m0 2 2 sm0 + sm1 + ± s2l2 = (0.0532 ± 0.0008) kg · s−2 (15) σvody = 2l2 2l2 2l2 s 2 F1 − F0 g m1 − m0 σlihu = ± s2m0 + s2m1 + s2l1 = (0.0108 ± 0.0006) kg · s−2 (16) 2l1 2l1 2l1 2.4.2
Kapkov´ a metoda
Namˇeˇren´e hodnoty jsou v tabulk´ ach 3 a 4. Kde nen´ı uvedeno jinak, pouˇz´ıv´ame pro statistick´e zpracov´an´ı vzorce (47).
4
ϑ [°C] 26.00
R [mm] 2.83
κ3 [g] 0.007
M0 [g] 55.5914
v [s−1 ] 0.000367
σvody [kg · s− 2]4 0.07275
Tabulka 3: Hodnoty povaˇzovan´e za konstanty, ϑ je teplota m´ıstnosti, R vnˇejˇs´ı polomˇer kapil´ary, M0 hmotnost n´ adoby, ve kter´e jsme v´ aˇzili kapky,κ korekce tˇekavosti lihu, v zmˇena hmotnosti kapky v d˚ usledku vypaˇrov´ an´ı, bl´ıˇze definovan´ a v´ yˇse, σvody tabulkov´ a hodnota povrchov´eho napˇet´ı vody
n 25 25 30 30 30
voda M [g] m [g] 2.3412 0.09365 2.3721 0.09488 2.4299 0.08000 2.5102 0.08367 2.7064 0.09021 m 0.089 ± 0.006
n 20 20 26 70 50
M [g] 0.4768 0.5164 0.6878 1.9853 1.3042
t [s] 40 24 25 36 30
∆M [g] 0.0037 0.0024 0.0033 0.0134 0.0074 m
l´ıh m [g] 0.02402 0.02594 0.02658 0.02855 0.02623 0.026 ± 0.002
m0 [g] 0.02384 0.02582 0.02646 0.02836 0.02608 0.026 ± 0.002
Tabulka 4: Tabulka hodnot mˇeˇren´ı povrchov´eho napˇet´ı kapkovou metodou, kde n je poˇcet kapek, M zv´ aˇzen´ a hmotnost kapaliny5 , t doba kap´ an´ı, ∆M korekce nav´aˇzen´e hmotnosti na tˇekavost lihu, m hmotnost kapky (ˇc´ asti, kter´ a se odtrhla od kapil´ ary, nikoli cel´e kapky), m0 hmotnost kapky spoˇc´ıtan´a bez korekce na tˇekavost lihu
Pomoc´ı vztahu (6) spoˇc´ıt´ ame σlihu . Smˇerodatnou odchylku budeme pro pˇrehlednost zanˇcit s. s 2 2 1 −ml ml 2 σl = σv ± σv smv + s2ml = mv m2v mv 0.026 ± 0.07275 = 0.07275 · 0.089
2.5 2.5.1
s
0.026 0.0892
2
0.0062 +
1 0.089
2
0.0022 = (0.021 ± 0.002) kg · s−2
Diskuze Pˇ r´ım´ e mˇ eˇ ren´ı
Hodnoty povrchov´eho napˇet´ı vody a lihu urˇcen´e pˇr´ım´ ym mˇeˇren´ım jsou σvody = (53.2 ± 0.8) mN·m−1 a σlihu = −1 (10, 8 ± 0.6) mN·m . Ve srovn´ an´ı s tabulkov´ ymi [4] hodnotami 72.75 mN·m−1 pro vodu a 21 mN·m−1 pro l´ıh jsou tyto hodnoty ˇr´ adovˇe spr´ avn´e, ale menˇs´ı. Namˇeˇren´a hodnota povrchov´eho napˇet´ı lihu je dvakr´at menˇs´ı neˇz tabulkov´ a. To bylo z nejvˇetˇs´ı m´ıry zp˚ usobeno pˇretrˇzen´ ym dr´atkem, pomoc´ı nˇehoˇz jsme napˇet´ı mˇeˇrili. Toto jsme zjistili aˇz pot´e, co jsme domˇeˇrili a nemˇeli jsme ˇcas mˇeˇren´ı zopakovat. Tato hodnota tedy nen´ı relevantn´ı. Odchylka povrchov´eho napˇet´ı vody od tabulkov´e hodnoty mohla b´ yt zp˚ usobena v´ıce faktory. Voda, kterou jsme pouˇz´ıvali nebyla destilovan´ a, dr´ atek nemusel b´ yt u ´plnˇe odmaˇstˇen´ y. Torzn´ı v´ahy nemˇely libelu, neovˇeˇrovali jsme tedy srovn´ an´ı do vodorovn´e polohy. Pˇredpokl´adali jsme line´arn´ı z´avislost korekce hmotnost´ı, tato z´avislost ovˇsem m˚ uˇze m´ıt jin´ y charakter. Co se t´ yˇce samotn´e metody – pˇri mˇeˇren´ı s´ıly F0 resp. odpov´ıdaj´ıc´ı hmotnosti m00 jsme si nikdy nebyli stoprocentnˇe jisti, zda je jiˇz dr´atek tˇesnˇe pod hladinu. 2.5.2
Kapkov´ a metoda
Vzhledem k nedostatku ˇcasu jsme pro mˇeˇren´ı pouˇzili jen jeden rozmˇer kapil´ary. Pomoc´ı kapkov´e metody jsme zmˇeˇrili, ˇze povrchov´e napˇet´ı lihu σlihu = (21 ± 2) mN·m−1 . Jako srovn´avac´ı kapalinu jsme pouˇzili vodu, hodnotu povrchov´eho napˇet´ı vody jsme vzali z tabulek [4]. Ve stejn´ ych tabulk´ach je hodnota povrchov´eho napˇet´ı lihu 22 mN·m−1 . Hodnota je tedy velmi podobn´ a. Relativnˇe velk´a chyba mˇeˇren´ı je pravdˇepodobnˇe zp˚ usoben´a nˇekolika faktory. Pˇredpoklad, ˇze na trubici z˚ ust´ av´ a vˇzdy t´aˇz pomˇern´a ˇc´ast kapky je pouze pˇribliˇzn´ y. Nepˇresnosti mohou tak´e nastat kv˚ uli neide´ aln´ımu proudˇen´ı a odkap´av´an´ı kapaliny. 2 pˇ revzato
z [4]; v cel´ em textu je hodnota g pˇrevz´ ana z tohoto zdroje. 20 kapek o pr˚ umˇ ern´ e hmotnosti 0.2384 g a 40 s 4 pˇ revzato z [4]; pˇri 20 5 hodnota M vznikla odeˇ cten´ım hmotnosti n´ adoby M0 od nav´ aˇ zen´ e hmotnosti kapaliny a n´ adoby spoleˇ cnˇ e 3 za
5
Tˇekavost lihu bychom mohli klidnˇe zanedbat (v naˇsem v´ ysledku je korekce ovˇsem zahrnuta), korekce byla pod u ´rovn´ı pˇresnosti mˇeˇren´ı. Pˇrestoˇze jsou pˇresnosti mˇeˇren´ı d´ılˇc´ıch veliˇcin velmi vysok´e, nen´ı tato metoda nejvhodnˇejˇs´ı, a to pr´avˇe d´ıky v´ yˇse zm´ınˇen´ ym probl´em˚ um. Vyˇsˇs´ı pˇresnosti bychom mohli doc´ılit snad jen lepˇs´ı konstrukc´ı aparatury (napˇr. ˇ ım v´ıce l´epe zabrouˇsen´ a kapil´ ara) tak, aby vˇsechny kapky byly stejnˇe hmotn´e a kapaly ve stejn´ ych intervalech. C´ kapek bychom nechali v kaˇzd´em mˇeˇren´ı odkapat, t´ım pˇresnˇejˇs´ı by v´ ysledn´a hodnota byla.
2.6
Z´ avˇ er
Pomoc´ı pˇr´ım´e a kapkov´e metody jsme urˇcili povrchov´e napˇet´ı lihu a vody σvody = (53.2 ± 0.8) mN·m−1 a σlihu = (21 ± 2) mN·m−1 . V´ ysledn´e hodnoty jsou srovnateln´e s tabulkov´ ymi 72.75 mN·m−1 pro vodu a 21 −1 mN·m pro l´ıh.
3
Pouˇ zit´ a literatura
Reference [1] Kolektiv KF, N´ avod k u ´loze: Mˇeˇren´ı povrchov´eho napˇet´ı kapalin [Online], [cit. 18. ˇr´ıjna 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/114/mod resource/content/4/povrchove napeti 09 12.pdf [2] Wikimedia Commons, File:Wassermolek¨ uleInTr¨ opfchen.svg [Online], [cit. 18. ˇr´ıjna 2012] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wassermolek%C3%BCleInTr%C3%B6pfchen.svg [3] Kolektiv KF, N´ avody k pˇr´ıstroj˚ um [Online], [cit. 18. ˇr´ıjna 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/navody-o.pdf [4] J. Mikulˇc´ ak a kol., Matematick´e, fyzik´ aln´ı a chemick´e tabulky & vzorce. Prometheus, Praha 2009. ISBN 978-80-7196-264-9
ˇ ast II C´
Mˇ eˇ ren´ı vnitˇ rn´ıho tˇ ren´ı kapalin 4
Zad´ an´ı 1. Stanovte dynamickou viskozitu ricinov´eho oleje pˇri teplotˇe kolem 25 . Kromˇe statistick´e chyby urˇcete i systematickou chybu mˇeˇren´ı: odhadnˇete, s jakou pˇresnost´ı mˇeˇr´ıte jednotliv´e d´ılˇc´ı veliˇciny (t´ıhu, pr˚ umˇer kuliˇcek, d´elku, objem, ˇcas, rychlost, atd.) a pouˇzijte vztah s 2 2 ∂f ∂f 2 σu = σ + σ 2 + ... (17) ∂x 0 x ∂y 0 y z dokumentu Chyby mˇeˇren´ı [2]. 2. V dom´ ac´ı pˇr´ıpravˇe odvod’te vztah pro z´ avislost hustoty ρϑ na teplotˇe ϑ ρϑ =
ρ0 1 + β(ϑ − ϑ0 )
(18)
kde β je souˇcinitel objemov´e teplotn´ı roztaˇznosti. Objemov´a teplotn´ı roztaˇznost ric´ınov´eho oleje je β18 = 0, 69 · 10−3 K −1 , hustota oleje pˇri 18 je ρ0 = 961kg · m−3 .
5 5.1
Vypracov´ an´ı Pouˇ zit´ e pˇ r´ıstroje
6
Stokes˚ uv viskozimetr s ric´ınov´ ym olejem, Analytick´e v´ahy Meopta se sadou z´avaˇz´ı a pˇr´ısluˇsenstv´ım, k´ adinky, p´ asov´e mˇeˇr´ıtko, mikrometrick´ y ˇsroub, olovnice, pinzeta, ocelov´e kuliˇcky, teplomˇer, stopky.
5.2
Teoretick´ yu ´ vod
Model re´ aln´e kapaliny obsahuje (oproti kapalinˇe ide´aln´ı) vnitˇrn´ı tˇren´ı (viskozitu). To je zp˚ usobeno smykov´ ym napˇet´ım τ , coˇz je teˇcn´a s´ıla, kter´a p˚ usob´ı ve smˇeru rychlosti na ploˇsku rovnobˇeˇznou s rychlost´ı, dˇelen´ a velikost´ı t´eto plochy. Plat´ı vztah τ =η
dv dy
(19)
kde v je rychlost toku, y je smˇer kolm´ y k rychlosti a η = η(ϑ) je dynamick´a viskozita nebo Obr´azek 2: Stotak´e koeficient vnitˇrn´ıho tˇren´ı. Dynamick´ a viskozita je tedy z´avisl´a na teplotˇe a na povaze kes˚ uv viskozimetr kapaliny, jej´ı rozmˇer je kg·m−1 ·s−1 . [1] Jednou z metod urˇcov´ an´ı viskozity je metoda Stokesova. Stokesova metoda Pro pohyb koule o polomˇeru r rychlost´ı v v prostˇred´ı o viskozitˇe η plat´ı n´asleduj´ıc´ı vztah F = 6πηrv,
(20)
kde F je odporov´ a s´ıla. Tento vzorec plat´ı jen pro lamin´arn´ı proudˇen´ı – takov´e nast´av´a obecnˇe jen pˇri niˇzˇs´ıch rychlostech. D´ ale p˚ usob´ı s´ıla 4 (21) F 0 = M g − V ρp g = πr3 (ρ − ρp )g, 3 na kouli hmotnosti M , objemu V , polomˇeru r a hustoty ρ, kter´a pad´a v klidn´em prostˇred´ı hustoty ρp < ρ. Pokud je F 0 > F , je koule urychlov´ ana silou o velikosti F 0 − F . S´ıla F 0 je na rychlosti nez´avisl´a, naopak F se s rychlost´ı zvˇetˇsuje. Po urˇcit´e dobˇe tedy prakticky nastane rovnost a koule se jiˇz d´al pohybuje rovnomˇernˇe pˇr´ımoˇcaˇre rychlost´ı u. Ze vztahu F 0 = F dostaneme η=
2 gr2 (ρ − ρp ). 9 u
(22)
V praxi se pouˇz´ıv´ a korekce na koneˇcnou velikost trubice 2 gr2 η= (ρ − ρp ) 9 u
−1 2.4r 3.3r 1+ 1+ , R h
(23)
kde h je v´ yˇska trubice a R jej´ı polomˇer. Pro rychlost u rovnomˇern´eho pˇr´ımoˇcar´eho pohybu plat´ı u=
∆l , ∆t
(24)
kde ∆l je dr´ aha, kterou kuliˇcka uraz´ı a ∆t je doba pohybu. Pˇri v´ ypoˇctech budeme potˇrebovat pˇresnou hustotu kapaliny. Pro objemovou roztaˇznost l´atek plat´ı vztah V = V0 (1 + β∆ϑ),
(25)
kde V0 je poˇc´ ateˇcn´ı objem, β souˇcinitel objemov´e roztaˇznosti a ∆ϑ zmˇena teploty. Dosad´ıme-li tuto rovnici do definice hustoty ρϑ , dostaneme ρϑ =
m m ρ0 = = . v V0 (1 + β∆ϑ) 1 + β(ϑ − ϑ0 )
7
(26)
5.3
Postup mˇ eˇ ren´ı
Nejdˇr´ıve urˇc´ıme hustotu kuliˇcky – zmˇeˇr´ıme jej´ı pr˚ umˇer a hmotnost. Nejdˇr´ıve vezmeme nˇekolik kuliˇcek a u kaˇzd´e zmˇeˇr´ıme jej´ı pr˚ umˇer d. Pr˚ umˇernou hodnotu polomˇeru r z´ısk´ame jako r=
d , 2
(27)
kde d je aritmetick´ y pr˚ umˇer hodnot pr˚ umˇeru kuliˇcek. Pr˚ umˇernou hmotnost kuliˇcek urˇc´ıme tak, ˇze zv´aˇz´ıme v´ıce kuliˇcek najednou a v´ yslednou hodnotu vydˇel´ıme jejich poˇctem. Hustotu pak spoˇc´ıt´ ame ze vztahu ρ=
Mn 3 , n 4πr3
(28)
kde Mn je hmotnost n kuliˇcek a r jejich polomˇer (aritmetick´ y pr˚ umˇer r). Kuliˇcky vhazujeme do Stokesova viskozimetru s ric´ınov´ ym olejem, mˇeˇr´ıme dobu, za kterou uraz´ı danou dr´ ahu. Tato dr´ aha zaˇc´ın´ a pˇribliˇznˇe 15 cm od hladiny a konˇc´ı pˇribliˇznˇe 15 cm nad dnem. V t´eto ˇc´asti je pohyb kuliˇcek rovnomˇern´ y pˇr´ımoˇcar´ y. Lamin´ arn´ıho proudˇen´ı doc´ıl´ıme t´ım, ˇze kuliˇcky vhazujeme do stˇredu viskozimetru. Postup mˇeˇren´ı opakujeme pro obˇe velikosti kuliˇcek.
5.4
Namˇ eˇ ren´ e hodnoty
Namˇeˇren´e hodnoty jsou v tabulk´ ach 5, 6 a 7.
d
d1 [mm] 4.74 4.73 4.74 4.74 4.738 ± 0.005
d2 [mm] 2.46 2.47 2.46 2.47 2.465 ± 0.006
Tabulka 5: Namˇeˇren´e hodnoty pr˚ umˇeru kuliˇcek d1 a d2
R [mm] 15 ± 1
h [cm] 84 ± 1
ϑ0 [°C] 18
ϑ [°C] 26 ± 0.1
ρ0 [kg · m−3 ] 961
ρp [kg · m−3 ] 955.73 ± 0.07
l [cm] 57 ± 0.1
g [ms−2 ] 9.81
β18 [K−1 ] 0.00069
M0 [g] 16.2354 ± 0.0001
10 · m1 + M0 [g] 20.6226 ± 0.0001
10 · m2 + M0 [g] 16.8716 ± 0.0001
r1 [mm] 2.37 ± 0.02
r2 [mm] 1.23 ± 0.02
m1 [g] 0.43872 ± 0.00001
m2 [g] 0.06362 ± 0.00001
ρ1 [kg · m−3 ] 7900 ± 600
ρ2 [kg · m−3 ] 8200 ± 300
Tabulka 6: Hodnoty, kter´e byly mˇeˇreny pouze jednou nebo byly z ostatn´ıch hodnot vypoˇc´ıt´any. Jsou doplnˇeny o systematick´e chyby odhadnut´e a vypoˇc´ıtan´e v n´asleduj´ıc´ı sekci; R je polomˇer v´alce, h v´ yˇska v´alce, ϑ0 teplota, pro kterou m´ ame definovanou hustotu oleje, ϑ teplota oleje, ρ0 hustota oleje za teploty ϑ0 , ρp hustota oleje za pokojov´e teploty ϑ vypoˇc´ıt´ ana ze vztahu (26), l d´elka dr´ahy, kde mˇeˇr´ıme rychlost, g gravitaˇcn´ı zrychlen´ı, β1 8 objemov´ a roztaˇznost oleje pˇri teplotˇe ϑ0 , M0 hmotnost n´adobky, ve kter´e jsme v´aˇzili, m1 a m2 hmotnosti kuliˇcek, r1 a r2 polomˇery kuliˇcek vypoˇc´ıtan´e podle vztahu (27), ρ1 a ρ2 hustoty kuliˇcek vypoˇc´ıtan´e podle vztahu (28)
5.5
Chyby mˇ eˇ ren´ı
Za pˇr´ımo zmˇeˇren´e veliˇciny v n´ asleduj´ıc´ı ˇc´ asti dosazujeme jejich aritmetick´e pr˚ umˇery, za chyby souˇcty statistick´ ych (jsou-li dostupn´ a pˇr´ısluˇsn´ a data) a systematick´ ych chyb. Statistick´e chyby jsou d´any pˇresnost´ı metod. V t´eto u ´loze uvaˇzujeme, ˇze systematick´ a chyba odpov´ıd´a velikosti nejmenˇs´ıho d´ılku na stupnici. Chyby nepˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin spoˇc´ıt´ ame podle (47). Hodnoty dosazujeme z tabulky 6 (v z´akladn´ıch jednotk´ach). 8
t1 [s] 8.59 8.42 8.82 8.81 8.70 8.62 8.92 8.65 8.66 8.59 8.7 ± 0.1
t
t2 [s] 26.52 26.44 26.42 26.46 26.49 26.55 26.69 26.20 26.16 26.29 26.4 ± 0.2
Tabulka 7: Namˇeˇren´e hodnoty doby pohybu po dr´aze l pro kuliˇcky
Chyba hustot ρ1 a ρ2 , podle vztahu (28) s s 2 2 2 ∂ρ ∂ρ 3 −3Mn 2 2 2 σρ = σMn + σr = σMn + σr2 ∂Mn ∂r 4πnr3 r s 2 −3 · 4.3872 3 · 109 −14 10 + σρ1 = 10−10 = ˙ 600 kg · m−3 40π · 2.37 2.37 s 2 −3 · 0.6362 3 · 109 σρ2 = 10−14 + 10−10 = ˙ 300 kg · m−3 40π · 1.23 1.23
(29)
Chyba hustoty ρp , podle vztahu (26)
s σρϑ = s σρϑ =
∂ρϑ ∂ϑ
2
σϑ2 =
s
−ρ0 β (1 + β(ϑ − ϑ0 ))2
−961 · 6.9 · 10−4 (1 + 6.9 · 10−4 (956 − 961))2
2
2
σϑ2
0.12 = ˙ 0.07 kg · m−3
Chyba hmotnosti m1 a m2 , kde n = 10
m=
M , n
σm =
σM = 0.00001 n
Chyba viskozity η podle vztahu (23) a (24). s 2 2 2 2 2 2 2 ∂η ∂η ∂η ∂η ∂η ∂η ∂η 2 2 2 2 2 2 ση = σr + σl + σt + σR + σh + σρ + σρ2p ∂r ∂l ∂t ∂R ∂h ∂ρ ∂ρp
´ Upravami dost´ av´ ame 9 2 g 2 (ρ − ρp )2 r4 σt2 10.89g 2 (ρ − ρp )2 r6 σh2 t2 g 2 (ρ − ρp )2 r4 σl2 t2 ση = + + 2 2 + 2 2 4 2 2 l2 1 + 3.3r 1 + 2.4r h4 l2 1 + 3.3r 1 + 2.4r l4 1 + 3.3r 1 + 2.4r h R h R h R +
l2
+σr2
g 2 r4 σρ2 t2 2 1 + 3.3r 1+ h
g 2 r4 σρ2p t2 2 1 + 3.3r 1+ h
2 2 5.76g 2 (ρ − ρp )2 r6 σR t + 4 2 3.3r 2.4r 1+ R R4 l2 l2 1 + h R R !2 3.3g(ρ − ρp )r2 t 2g(ρ − ρp )rt 2.4g(ρ − ρp )r2 t − − 2 + 2 l 1 + 3.3r 1 + 2.4r hl 1 + 3.3r 1 + 2.4r l 1 + 3.3r 1 + 2.4r R h R h R h R
+ 2.4r 2
9
+ 2.4r 2
(30)
Po dosazen´ı hodnot z tabulky 6 a 7 ση1 = 0.08 kg · m−1 · s−1
ση1 = 0.04 kg · m−1 · s−1 .
A celkovˇe pro viskozitu ricinov´eho oleje dosazen´ım do (23)
5.6
η1 = 0.93 ± 0.08 kg · m−1 · s−1
(31)
η2 = 0.92 ± 0.05 kg · m−1 · s−1
(32)
Diskuse
Viskozita ricinov´eho oleje se m˚ uˇze podstatnˇe liˇsit podle konkr´etn´ıho v´ yrobce a sloˇzen´ı. Tabulkov´a hodnota 0.987 Pa s [4] je srovnateln´ a s n´ ami namˇeˇrenou hodnotou (0.92 ± 0.05) Pa s. Vzhledem k tomu, ˇze kuliˇcky padaly stˇredem v´ alce velmi pomalu a rovnomˇernˇe, nepˇredpokl´ad´ame v´ yznamn´e systematick´e chyby mˇeˇren´ı. Pro pˇresnˇejˇs´ı hodnotu by bylo urˇcitˇe vhodn´e vˇsechny veliˇciny zmˇeˇrit pˇresnˇeji a s vˇetˇs´ım d˚ urazem na zaznamen´ av´ an´ı chyb (tˇr´ıda pˇresnosti pˇr´ıstroj˚ u atd.).
5.7
Z´ avˇ er
Pomoc´ı Stokesova viskozimetru jsme urˇcili hodnotu viskozity ricinov´eho oleje na (0.92 ± 0.05) Pa s. Tabulkov´ a hodnota, kter´ a ovˇsem t´emˇeˇr jistˇe nepopisuje ricinov´ y olej stejn´eho sloˇzen´ı a v´ yrobce jako ten, na kter´em jsme mˇeˇrili, je 0.987 Pa s. To je hodnota srovnateln´a s hodnotou namˇeˇrenou.
6
Pouˇ zit´ a literatura
Reference [1] Kolektiv KF, N´ avod k u ´loze: Mˇeˇren´ı vnitˇrn´ıho tˇren´ı kapalin [Online], [cit. 18. ˇr´ıjna 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/115/mod resource/content/5/treni 8 10 12.pdf [2] Kolektiv KF, Chyby mˇeˇren´ı [Online], [cit. 18. ˇr´ıjna 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf [3] J. Mikulˇc´ ak a kol., Matematick´e, fyzik´ aln´ı a chemick´e tabulky & vzorce. Prometheus, Praha 2009. ISBN 978-80-7196-264-9 ˇ ˇıma, Fyzik´ [4] M. Cmel´ ık, L. Machonsk´ y, Z. S´ aln´ı tabulky. TU Liberec, Liberec 2001
ˇ ast III C´
Mˇ eˇ ren´ı vnitˇ rn´ıho tˇ ren´ı vzduchu 7
Zad´ an´ı 1. Pomoc´ı mˇeˇr´ıc´ı aparatury na obr´ azku 3 proved’te mˇeˇren´ı objemu prot´ekaj´ıc´ıho vzduchu pˇri dan´em u ´bytku tlaku na kapil´ aˇre. Mˇeˇren´ı proved’te minim´alnˇe pro 6 r˚ uzn´ ych rozd´ıl˚ u tlak˚ u. 2 2 p −p 2. Namˇeˇren´e v´ ysledky vyneste do grafu ve tvaru 12p2 2 = f (Vt ) a nafitujte pˇr´ısluˇsnou funkc´ı. Z v´ ysledk˚ u fitu urˇcete dynamickou viskozitu vzduchu pˇri pokojov´e teplotˇe.
8 8.1
Vypracov´ an´ı Pouˇ zit´ e pˇ r´ıstroje
Sklenˇen´ a kapil´ ara, n´ alevka, vodn´ı ”U”manometr, 2 Mariotteovy l´ahve, 1 l´ahev s tubusem u dna, odmˇern´ y v´ alec, stopky, pˇr´ısluˇsenstv´ı pro propojen´ı aparatury (hadiˇcky, z´atky, ventily, ... viz sch´ema na obr´azku 3)
10
Obr´ azek 3: Uspoˇr´ad´an´ı aparatury [1]
8.2
Teoretick´ yu ´ vod
Proudˇen´ı plynu v´ alcovou trubic´ı v rozmez´ı tlak˚ u 105 aˇz 102 Pa popisuje Poiseuillova rovnice Vt p2 =
π r4 p1 + p2 (p1 + p2 ); 8η l 2
Vt =
V , t
(33)
kde Vt je objem plynu prot´ekaj´ıc´ıho trubic´ı za jednotku ˇcasu mˇeˇren´ y pˇri tlaku p2 , η je dynamick´a viskozita plynu, r je polomˇer trubice, l jej´ı d´elka, p1 a p2 jsou tlaky na zaˇc´atku a na konci trubice. Z toho plyne vztah pro viskozitu plynu η=
π r4 p1 + p2 p1 − p2 . 8Vt l 2 p2
(34)
Mˇeˇr´ıc´ı aparatura je uspoˇr´ ad´ ana podle obr´azku 3. Principem metody je mˇeˇren´ı objemu vzduchu proˇsl´eho trubic´ı za ˇcas t pˇri urˇcit´em rozd´ılu tlak˚ u na jej´ım zaˇc´atku a konci. Protoˇze objem vzduchu se d´a pˇr´ımo tˇeˇzko mˇeˇrit, urˇcujeme objem vytlaˇcen´e vody. Mariotteova l´ ahev M L1 je um´ıstˇena nˇekolik des´ıtek centimetr˚ u nad zbytkem aparatury. Horn´ı ventil m´a st´ ale otevˇren´ y, je naplnˇena dostatkem vody. Spodn´ım ventilem z n´ı voda vyt´ek´a hadiˇckou do l´ahve L. Proud m˚ uˇzeme regulovat v´ yˇskou M L1 a tlaˇckou T l1 . Voda vt´ekaj´ıc´ı do l´ahve L z n´ı vytlaˇcuje vzduch, kter´ y se pˇres soustavu hadiˇcek a trubiˇcek dost´ av´ a ke kapil´ aˇre a manometru. Prot´ek´a pˇres kapil´aru a dalˇs´ımi hadiˇckami se dost´av´ a do Mariotteovy l´ ahve M L2 . V t´e je voda, kterou vzduch vytlaˇcuje ven. Horn´ı ventily m´a M L1 uzavˇren´e, spodn´ım proch´ az´ı sklenˇen´ a trubiˇcka, kter´ a se po v´ ystupu z l´ahve oh´ yb´a smˇerem nahoru. T´ım p´adem z n´ı vyt´ek´a pˇresnˇe takov´ y objem vody, jak´ y do n´ı pˇrich´ az´ı vzduchu. Objem vody z n´ı vyt´ekaj´ıc´ı mˇeˇr´ıme v B. Na sch´ematu jsou zn´ azornˇeny dalˇs´ı ventily, kter´e slouˇz´ı pro doplˇ nov´an´ı a odeb´ır´an´ı vody mezi pokusy, pˇr´ıpadnˇe pro rozbˇehnut´ı ˇci zastaven´ı pokusu. Rozd´ıl tlak˚ u odeˇcten´ y na vodn´ım manometru urˇc´ıme ze vztahu ∆p = hρg,
(35)
kde h je rozd´ıl hladin, ρ hustota vody, g gravitaˇcn´ı zrychlen´ı. Tlak p2 je v naˇsem uspoˇr´ ad´ an´ı atmosferick´ y, p1 > p2 , plat´ı tedy p1 = p2 + ∆p
8.3
Postup mˇ eˇ ren´ı
Do M L1 a M L2 dopln´ıme vodu. Z L vodu nech´ ame odt´ect (pˇres ventil ve spodn´ı ˇc´asti l´ahve). Uzavˇreme ventil K2 , otevˇreme K1 , nastav´ıme vhodn´ y pr˚ utok vody (pˇres v´ yˇsku M L1 a tlaˇcku T l1 ). Na manometru odeˇcteme rozd´ıl hladin. Uzavˇreme ventil K1 , otevˇreme K2 a zaˇcneme mˇeˇrit ˇcas.
11
(36)
Pot´e, co do B vyteˇce vhodn´e mnoˇzstv´ı vody, vypneme stopky a zap´ıˇseme hodnoty V a t.
Postup opakujeme pro nˇekolik r˚ uzn´ ych tlak˚ u. Poprv´e nastav´ıme aparaturu tak, aby byl rozd´ıl tlak˚ u rovn´ y nule – takto stanov´ıme korekci na netˇesnosti. Pro objem se zapoˇc´ıt´ an´ım korekce na netˇesnosti V bude platit V =V0−t
V00 , t0
(37)
kde V 0 je namˇeˇren´ y objem vody, t doba mˇeˇren´ı, V00 namˇeˇren´ y objem pˇri nulov´em rozd´ılu tlak˚ u a t0 je doba mˇeˇren´ı pˇri nulov´em rozd´ılu tlak˚ u. 2 2 p1 −p2 = f (Vt ) potˇrebujeme odvodit vztah pro Pro urˇcen´ı dynamick´e viskozity z v´ ysledku fitu funkce 2p2 f (Vt ). To provedeme u ´pravou vztahu (34). η=
π r4 p21 − p22 8Vt l 2p2
(38)
8η l p21 − p22 Vt = f (Vt ). = 2p2 π r4
(39)
Protoˇze η, l i r jsou v naˇsem mˇeˇren´ı konstantn´ımi parametry, m˚ uˇzeme zav´est konstantu C=
8η l , π r4
(40)
takˇze rovnice (39) pˇrejde do jednoduch´e line´ arn´ı podoby f (Vt ) = C · Vt .
(41)
Graf tedy nafitujeme line´ arn´ı funkc´ı. Z v´ ysledku fitu (tj. z konstanty C) z´ısk´ame jednoduˇse podle vztahu (40) hledan´e η.
8.4
Namˇ eˇ ren´ e hodnoty
Namˇeˇren´e hodnoty jsou v tabulk´ ach 8 a 9 a v grafu 4. Nafitov´an´ım line´arn´ı funkce v grafu 4 pomoc´ı programu MS Excel z´ısk´ av´ ame hodnotu 8η l C = 303.44 Pa · s · cm−3 = , (42) π r4 tedy po dosazen´ı v pˇr´ısluˇsn´ ych jednotk´ ach η = 30.1 · 10−6 Pa · s. Atmosferick´ y tlak [Torr] 744.4
p2 [Pa] 99243
ϑ [°C] 26
ρ [kg/m3 ] z [2] 998.21
(43) g [ms−2 ] 9.81
r [mm] 0.39
l [mm] 91.6
Tabulka 8: Hodnoty povaˇzovan´e za konstanty, p2 je tlak v m´ıstˇe p2 na obr´azku 3, tedy atmosferick´ y tlak, ϑ teplota vzduchu v m´ıstnosti, ρ tabulkov´ a hodnota hustoty vody, g gravitaˇcn´ı zrychlen´ı, l a r d´elka a polomˇer kapil´ ary (z [1])
8.5
Diskuse
Vynesen´ım namˇeˇren´ ych hodnot tlak˚ u do grafu 4 a proloˇzen´ım pˇr´ımkou jsme urˇcili dynamickou η = 30·10−6 Pa·s. Pˇr´ımo dosazen´ım do rovnice (34) n´ am vyˇsla hodnota η = (27 ± 6) · 10−6 Pa · s. To je v´ıce neˇz tabulkov´a hodnota −6 (z [2]) 19·10 Pa·s. Tabulkov´ a hodnota ovˇsem popisuje vzduch bez vodn´ı p´ary a CO2 , viskozita n´ami mˇeˇren´eho vzduchu se tedy bude m´ırnˇe liˇsit. D´ ale je tˇreba zahrnout vliv teploty – viskozita vzduchu se bude za bˇeˇzn´ ych podm´ınek s rostouc´ı teplotou zvˇetˇsovat. Pˇrestoˇze teplomˇer v m´ıstnosti ukazoval 26 , na m´ıstˇe, kde jsme mˇeˇrili, byla teplota urˇcitˇe jin´ a – niˇzˇs´ı. V pr˚ ubˇehu experimentu se nav´ıc mˇenila, jelikoˇz bylo ˇcasto otevˇren´e okno. To pravdˇepodobnˇe zp˚ usobilo odchylku mezi tabulkovou hodnotou, kter´a je zmˇeˇrena pro 25 a n´ami zmˇeˇrenou hodnotou. 12
t [s] 60 90.94 62.94 43.64 45.47 25.56 79
V 0 [ml] 19 80 121 100 80 80 60
V [ml] 0 51.2 101.0 86.2 65.6 71.9 34.9
Vt [ml/s] 0 0.563 1.606 1.975 1.443 2.813 0.443
∆h [cm] 0 1.4 3.4 4.4 4 9.4 1.6
∆p [Pa] 0 137 333 431 392 920 157
p1 [Pa] 99243 99381 99576 99674 99635 100164 99400 η
η [10−6 · Pa · s] korekce na netˇesnosti 24 21 22 27 33 35 27 ± 6
Tabulka 9: Namˇeˇren´e a vypoˇcten´e hodnoty podle vztah˚ u uveden´ ych v pˇredchoz´ıch sekc´ıch, t je doba mˇeˇren´ı, V 0 a V objem vytlaˇcen´e vody pˇred a po korekci na netˇesnosti podle vztahu (37), Vt objem vytlaˇcen´e vody za jednotku ˇcasu, ∆h rozd´ıl v´ yˇsky hladin odeˇcten´ y na manometru, ∆p rozd´ıl tlak˚ u vypoˇcten´ y podle (35), p1 tlak v m´ıstˇe p1 na sch´ematu 3 vypoˇc´ıtan´ y podle vztahu (36), η viskozita vzduchu vypoˇc´ıtan´a podle vztahu (34)
Urˇcit´ a systematick´ a chyba vznikala t´ım, ˇze jsme hodnotu tlaku odeˇcetli vˇzdy na zaˇc´atku mˇeˇren´ı. Kdyˇz tedy hladina v M L1 bˇehem mˇeˇren´ı klesala, sniˇzoval se postupnˇe i tlak. Pod´ıv´ ame-li se na tabulku 9, m˚ uˇzeme si vˇsimnout, ˇze posledn´ı dvˇe mˇeˇren´ı vykazovaly podstatnˇe vyˇsˇs´ı hodnotu viskozity neˇz pˇredeˇsl´e. Po ˇctvrt´em mˇeˇren´ı se n´am voda dostala do manometru a my jsme museli aparaturu rozebrat a probl´em opravit. To bylo u ´spˇeˇsn´e, ovˇsem mohli jsme zmˇenit tˇesnost nˇekter´ ych z´ atek oproti mˇeˇren´ım pˇredeˇsl´ ym a tedy i zmˇenu korekce na netˇesnosti. Tu jsme pot´e jiˇz znovu nezmˇeˇrili. Zpˇresnˇen´ı by jistˇe nastalo v´ıcen´ asobn´ ym mˇeˇren´ım, nebo opakov´an´ım mˇeˇren´ı korekce na netˇesnosti aparatury po kaˇzd´e manipulaci s aparaturou. D´ ale by bylo dobr´e sledovat i hodnotu tlaku po konci kaˇzd´eho mˇeˇren´ı. Pokud bychom pˇresnˇeji zaznamenali teplotu v m´ıstnosti, dostali bychom lepˇs´ı srovn´an´ı s tabulkovou hodnotou.
8.6
Z´ avˇ er
Pro ˇsest r˚ uzn´ ych rozd´ıl˚ u tlak˚ u jsme zmˇeˇrili hodnotu objemu vzduchu, kter´ y protekl kapil´arou v aparatuˇre na sch´ematu 3 za urˇcit´ y ˇcas. Pomoc´ı fitu line´ arn´ı funkc´ı jsme z grafu 4 urˇcili dynamickou viskozitu vzduchu pˇri pokojov´e teplotˇe η = 30 · 10−6 Pa · s.
9
Pouˇ zit´ a literatura
Reference [1] Kolektiv KF, N´ avod k u ´loze: Mˇeˇren´ı vnitˇrn´ıho tˇren´ı vzduchu [Online], [cit. 18. ˇr´ıjna 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/116/mod resource/content/3/viskozita vzduchu 09 12.pdf [2] J. Mikulˇc´ ak a kol., Matematick´e, fyzik´ aln´ı a chemick´e tabulky & vzorce. Prometheus, Praha 2009. ISBN 978-80-7196-264-9
ˇ ast IV C´
Zpracov´ an´ı v´ ysledk˚ u Pro statistick´e zpracov´ an´ı budeme potˇrebovat n´asleduj´ıc´ı vztahy [1]: Aritmetick´ y pr˚ umˇer
n
x= Smˇerodatn´ a odchylka
v u u σx = t
1X xi n i=1
(44)
n
1 X 2 (xi − x) , n − 1 i=1
13
(45)
50600
50500
50400
(p12 - p22)/2p2 [Pa]
50300
50200
50100
50000
49900
49800
49700
49600 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Vt [cm3s-1]
Obr´ azek 4: Graf z´avislosti
p21 −p22 2p2
= f (Vt )
y pr˚ umˇer a σx smˇerodatn´ a kde xi jsou jednotliv´e namˇeˇren´e hodnoty, n je poˇcet mˇeˇren´ı, x aritmetick´ odchylka. Jedn´ a-li se o nepˇr´ım´e mˇeˇren´ı, spoˇc´ıt´ ame v´ yslednou hodnotu a chybu dle n´asleduj´ıc´ıch vztah˚ u: Necht’ u = f (x, y, z, . . .) x = (x ± σx ),
y = (y ± σy ),
z = (z ± σz ),
kde u je veliˇcina nepˇr´ımo urˇcovan´ a pomoc´ı pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin x, y, z, . . . Pak u = f (x, y, z, . . .) s 2 2 2 ∂f ∂f ∂f σu = σx2 + σy2 + σz2 + . . . ∂x ∂y ∂z u = (u ± σu ),
10
Pouˇ zit´ a literatura
Reference [1] Kolektiv KF, Chyby mˇeˇren´ı [Online], [cit. 18. ˇr´ıjna 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf
14
(46)
...,
(47)
