Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha: 4 Název úlohy: Balmerova série Kroužek: po-do Datum měření: 10. března 2014 Skupina: 2 Vypracoval: Ondřej Grover Klasifikace:
1
Pracovní úkoly 1. (Nepovinné) V přípravě nalezněte obecně pro α1 6= α2 podmínku nejmenší deviace α1 = α2 a z toho odvoďte vzorec (12). Návod:Uvědomte si,že deviace ε je složenou funkcí α1 : ε = ε(α2 (β2 (β1 (α1 )))) 2. V přípravě odvoďte vzorec (12) v případě,že je splněna podmínka úhlu nejmenší deviace α1 = α2 . 3. V přípravě vypočtěte (i numericky) hodnotu Rydbergovy konstanty (tj. odvoďte vztah (11) ze vztahů (6), (10) a (9)). 4. V přípravě odvoďte vzorce (14) a (17). 5. Metodou dělených svazků viz http://fyzport.fjfi.cvut.cz/Hardware/Goniometr/goniometr. pdf změřte lámavý úhel hranolu. Měření proveďte 5x. 6. Změřte index lomu hranolu v závislosti na vlnové délce pro část rtuťového spektra, nakreslete graf a fitováním nelineární funkcí (2) určete disperzní vztah n = n(λ). 7. Změřte spektrum vodíkové výbojky (Balmerovu sérii atomu vodíku) a ověřte platnost vztahu (1) 8. Metodou nejmenších čtverců nebo fitováním spočtěte Rydbergovu konstantu pro atomární vodík. Výpočet té konstanty je analogický jako výpočet Planckovy konstanty v úloze Studium rentgenového spektra Mo anody. Podívejte se na úkol č. 4 této úlohy. 9. Určete charakteristickou disperzi dn/dλ v okolí vlnové délky 589 nm (žluté čáry v sodíkovém spektru). 10. Určete rozlišovací schopnost hranolu pro sodíkový dublet a vypočítejte minimální velikost základny hranolu, vyrobeného ze stejného materiálu jako hranol, s kterým měříte, který je ještě schopen rozlišit sodíkový dublet.
2
Použité přístroje a pomůcky
Goniometr s kolimátorem a dalekohledem, hranol s délkou lámavé hrany 3 cm, rtuťová, sodíková a vodíková výbojka, lampička, tabulka spekter jednotlivých prvků.
3
Teoretický úvod
Dle Bohrova modelu atomu se můžou atomy vyskytovat ve stacionárních stavech, které jsou kvantované a mají diskrétní spektrum energie. Při přechodu mezi dvěma stacionárními stavy naznačenými na obrázku 1a s energiemi Em a En je rozdíl těchto energií vyzářen nebo pohlcen ve formě kvanta záření (fotonu) o frekvenci ν, platí hν = Em − En kde h je Planckova konstanta. Tento jev byl zkoumán v 19. století při studiu spektrálních čar atomárního vodíku a pro vlnovou délku λ k-té spektrální čáry byl naměřen obdobný vztah
1
1 =R λ
1 1 − m2 k 2
(1)
kde R je tzv. Rydbergova konstanta a m je přirozené číslo odpovídající základní energetické hladině, pro m = 2 se jedná o tzv. Balmerovu sérii spektrálních čar. Vlnovou délku spektrálních čar lze určit např. z rozkladu světla z výbojky se zkoumaným plynem na hranolu. K tomu je ale potřeba znát disperzní vlastnosti hranolu způsobující rozklad spektra, tedy závislost n(λ), kterou lze aproximovat vzorcem n(λ) = nn +
C λ − λn
(2)
kde C, λn a nn jsou parametry určující tvar závislosti.
(a) Bohrův model stacionárních stavů atomu a přechodů mezi hladinami.
(b) Náčrtek průchodu paprsku hranolem.
Obrázek 1: Obrázky k teoretickému úvodu. Převzato z [1]. Tuto závislost můžeme určit měřením tzv. úhlu minimální deviace ε0 , kdy paprsek lomený hranolem (viz. obrázek 1b) vychází z lámavé stěny pod stejným úhlem, pod jakým vchází do protější lámavé stěny. Má-li takový hranol lámavý úhel ϕ, lze vypočítat index lomu pro daný paprsek o určité vlnové délce jako sin ε0 2+ϕ n= (3) sin ϕ2 Ze závislosti n(λ) pak lze vypočítat tzv. charakteristickou disperzi hranolu dn dλ , kterou lze získat derivací disperzní závislosti. Kvůli ohybovým jevům ale rovnoramenný hranol dokáže rozlišit vlnové délky lišící se jen o nejméně ∆λ v okolí vlnové délky λ. Tuto rozlišovací schopnost lze vyjádřit jako dn λ = a (4) ∆λ dλ kde a je délka základny rovnoramenného hranolu.
2
4
Postup měření
Ke kolimátoru jsme přistavili lampičku tak, aby v dalekohledu šla pozorovat bílá čára, ale aby zároveň lampa nepřesvětlovala aparaturu a nezhoršovala kontrast. Hranol jsme nastavili jednou lámavou hranou přibližně ve směru kolimátoru a pak pomocí osového kříže v dalekohledu zaměřili odražený paprsek z kolimátoru na jedné lámavé stěně, nejdříve na hrubo s aretačním šroubem povoleným a pak na jemno s utaženým aretačním šroubem jemným otáčením druhého šroubu. Na stupnici goniometru jsme pak odečetli na stupnici s noniem úhel, na kterém byl nastaven dalekohled. Pak jsme změřili úhel odraženého paprsku na druhé lámavé stěně. Toto měření jsme provedli pro 5 různých poloh hranolu.
Obrázek 2: Schéma měření úhlu minimální deviace. Převzato z [1]. Lampičku jsme nahradili rtuťovou výbojkou a pro každou ze 6 spektrálních čar viditelných v dalekohledu jsme zaměřili dalekohledem pozici odpovídající úhlu minimální deviace vždy pro 2 různé polohy hranolu (viz. obrázek 2). Úhel minimální deviace pro danou spektrální čáru jsme našli tak, že jsme jemně otáčeli stolkem s hranolem a hledali polohu, kde se v dalekohledu směr posunu dané čáry zastaví a pak obrátí. V případě potřeby jsme zaostřili dalekohled tak, aby zkoumaná spektrální čára byla jasně ostrá. Rtuťovou výbojkou jsme pak nahradili vodíkovou výbojkou a změřili stejným způsobem úhel minimální deviace pro každou ze 3 v dalekohledu viditelných spektrálních čar. Nakonec jsme zkoumali rozložené spektrum sodíkové výbojky a zjistili jsme, že nejsme schopni rozlišit žlutý dublet ani při sebelepším zaostření dalekohledu.
3
5
Zpracování naměřených dat
Lámavý úhel hranolu ϕ jsem vypočítal pro každé měření jako polovinu rozdílu naměřených 2| a ze získaných ϕ vypočítal aritmetický průměr a střední úhlů pozic dalekohledu ϕ = |δ1 −δ 2 kvadratickou chyby aritmetického průměru podle [2]. Výsledně jsem získal ϕ = (60.01 ± 0.03)◦ . Pro každou z pozorovaných spektrálních čar rtuťové výbojky jsem vypočítal jí příslušný úhel 2| minimální deviace ε0 jako polovinu rozdílu naměřených úhlů pozic dalekohledu ε0 = |δ1 −δ .Pro 2 každou spektrální čáru s vlnovou délkou λ (známou z tabulky spekter u úlohy) jsem ze vzorce (3) vypočítal příslušný index lomu hranolu n. Závislost n(λ) jsem pak nafitoval funkcí (2) a získal parametry nn = 1.507 ± 0.002, C = 2.9 ± 0.6, λn = (290 ± 20) nm, fit dat jsem zobrazil v grafu 3. 1.535 2.9 1.507 + λ−289
n
1.530 1.525 1.520 1.515
400
450
500 λ [nm]
550
600
Obrázek 3: Naměřená disperzní závislost indexu lomu na vlnové délce spektrálních čar rtuťové výbojky a fit dat. Ze získaného předpisu závislosti n(λ) jsem vyjádřil závislost λ(n) λ= a chybu uλ
s uλ =
1 (nn λn − nλn − C) nn − n
u2C (nn − n)2
+ u2λn +
u2nn C 2 (n2n − 2nn n + n2 )2
(5)
(6)
Z naměřených úhlů pozic dalekohledu jsem stejně jako u rtuťové výbojky vypočítal pro pozorované spektrální čáry vodíkové výbojky jim příslušné indexy lomu a ze vzorců (5) a (6) vypočítal odpovídající vlnové délky. V tabulce 1 jsem je pak porovnal s vlnovými délkami vypočtenými podle vzorce (1) s hodnotou Rydbergovy konstanty R = 10973731.568539 m−1 z [3]. λ(n) [nm] 440 ± 50 490 ± 60 700 ± 200
k 5 4 3
λ(k) [nm] 433.9 486.0 656.1
Tabulka 1: Porovnání vlnových délek vypočítaných z naměřených úhlů minimální deviace a ze vztahu (1). Vypočítané hodnoty λ(n) jsem pak nafitoval převrácenou funkcí (1) s využitím uλ jako vahových faktorů a získal R = (10.8 ± 0.1) · 106 m−1 , fit jsem zobrazil v grafu 4. Derivací nafitované závislosti n(λ) jsem získal vztah pro charakteristickou disperzi hranolu dn C =− dλ (λ − λn )2 4
(7)
750.0 1 1.08e+07( 212 − k12 )
λ [nm]
662.5 575.0 487.5 400.0
3
4 k
5
Obrázek 4: Nafitované hodnoty λ(k) z tabulky 1 vztahem (1). Pro sodíkový dublet v okolí λ = 589.3 nm (žlutá), kde se dvě blízké spektrální čáry liší podle tabulky spekter u úlohy jen o ∆λ = 0.7 nm (588.9 a 589.6 nm), jsem dosazením do (7) získal dn = (32 ± 8) · 103 m−1 , chybu jsem vypočítal ze vztahu dλ s u| dn | = dλ
u2C + (589.3 − λn )4
2uλn C (589.3 − λn )3
2
(8)
Ze vzorce (4) jsem pak vyjádřil délku podstavy hranolu a vypočítal a = (2.6±0.7) cm, chybu jsem vypočítal jako 589.3 (9) ua = 2 u| dn | dλ 0.7 dn dλ
6
Diskuze
Největším zdrojem chyb byl špatně čitelný nonius na stupnici goniometru. Ačkoli by nonius měl umožňovat přesně změřit až půl úhlové minuty, bylo často těžké rozlišit krytí několika rysek vedle sebe. Počítat chyby naměřených úhlů ale nemělo smysl, protože z nich vypočítané chyby n se téměř nelišily a nešly tedy použít jako váhové faktory při fitování. Přesto námi naměřený lomný úhel velmi přesně odpovídá tomu, že použitý hranol měl jako podstavu rovnostranný trojúhelník. Při měření úhlu minimální deviace také vznikala chyba kvůli ručnímu otáčení stolku s hranolem, navíc nebylo jednoznačně rozlišitelné, kdy se posun spektrální čáry začal obracet. Naměřená disperzní závislost velmi dobře odpovídá vztahu (2), fitem jsem ale získal parametr λn s velkou chybou, která se pak významně projevila v dalších výpočtech. Přesto je v tabulce 1 dobře vidět, že se nám vztah (1) podařilo ověřit. O tom také svědčí nafitovaná hodnota Rydbergovy konstanty, která se liší od tabulkové hodnoty jen o přibližně 1.6 %. Ačkoli dle teoretického výpočtu měl použitý hranol a délce lámavé stěny 3 cm stačit na pozorování dubletu ve spektru sodíkové výbojky, jedná se jen o dolní odhad, který nepočítá s dalšími jevy v optické aparatuře a rozlišovací schopností pozorovatele zhoršující přesnost.
5
7
Závěr
Metodou děleného svazku jsme změřili lámavý úhel hranolu ϕ = (60.01 ± 0.03)◦ . Podařilo se nám ověřit Bohrův vztah pro vlnové délky spektra vodíkové výbojky a fitem jsem získal hodnotu Rydbergovy konstanty R = (10.8 ± 0.1) · 106 m−1 . Nepodařilo se nám pozorovat dublet spektrálních čar sodíkové výbojky, ačkoli dle teoretického výpočtu rozlišovací schopnosti hranolu to mělo být možné.
Reference [1] Návod - Balmerova série. Fyzikální praktikum KF FJFI ČVUT v Praze [online]. 2009 [cit. 2014-03-10]. Dostupné z: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/course/view.php?id=9 [2] Chyby měření a zpracování naměřených výsledků. Fyzikální praktikum KF FJFI ČVUT v Praze [online]. 2003 [cit. 2014-03-03]. Dostupné z: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/ documents/chybynav/CHYBY1n.pdf [3] Fundamental Physical Constants from NIST. NIST Physical Measurement Laboratory Homepage [online]. 2010 [cit. 2014-03-16]. Dostupné z: http://physics.nist.gov/cuu/ Constants/index.html
A
Naměřená data δ1 106°55’ 214°13’ 209°52’ 119°23’ 251°9’
δ1 226°45’ 94°11’ 89°45’ 239°24’ 131°3’
λ [nm] 404.7 407.8 435.8 491.6 546.1 577.0
δ1 127°33’ 127°37’ 128°15’ 128°42’ 128°57’ 129°6’
δ1 207°33’ δ1 207°35’ 207°22’ 207°17’ 206°55’ 206°50’ 206°17’ 206°33’ 206°25’ (c) Naměřené
δ1 128°16’ 128°37’ 129°18’
pozice dalekohledu při měření spektrálních (a) Naměřené pozice daleko(b) Naměřené pozice daleko- čar vodíkové výbojky. hledu při měření lámavého úhlu hledu při měření spektrálních hranolu. čar sodíkové výbojky.
6
