FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Úloha
3. Vzduchová dráha - ZZE, srážky, impuls síly
Autor
David Horák
Kruh
1
Skupina
7
Datum měření
21. 11. 2011
Klasifikace
1. PRACOVNÍ ÚKOLY: 1) Elastické srážky: Použijte dva vozíčky různých hmotností (hmotnosti zvažte na digitálních vahách). Jeden z nich ponechte před srážkou v klidu, druhému udělte nenulovou počáteční rychlost pomocí startovacího zařízení (použijte všechny tři startovací rychlosti). Proveďte experiment opakovaně (vždy minimálně 10 měření), měňte hmotnosti vozíků (dvě různé kombinace hmotnosti) i počáteční rychlost. Celkově tedy alespoň 60 měření. (a) Z naměřených dat rychlostí prvního vozíčku pro všechny tři startovací rychlosti a obě hmotnosti zjistěte s jakou přesností jste schopni měřit rychlost v. Do grafu naneste závislost relativní a absolutní chyby rychlosti v závislosti na velikosti startovací rychlosti. Pro každou hmotnost vozíčku udělejte graf zvlášť. (b) Zjistěte s jakou přesností můžete měřit hybnost p a energii E (přesnost měření hmotnosti berte dle použitého přístroje). Určete, jak se vámi změřené celkové hybnosti resp. energie před a po srážce musí lišit, abyste je v rámci chyby měření mohli prohlásit za shodné. (c) Spočítejte průměr a směrodatnou odchylku hybností před a po srážce pro každou startovací rychlost, spočítejte rozdíl hybností a směrodatnou odchylku jejich rozdílu. Diskutujte, zda chyba odpovídá hodnotě, kterou jste určili v předchozím úkolu a zda se v chybovém intervalu nachází ideální hodnota ∆p = 0. To samé udělejte i pro energii před a po srážce. (d) Do grafu vyneste závislost celkové hybnosti po srážce p0 na celkové hybnosti před srážkou p a závislost celkové energie po srážce E0 na celkové energii před srážkou E. V obou závislostech zobrazte i errorbary (viz Poznámky). Proložte graf přímkou a diskutujte rozdíl směrnice a posunu přímky oproti ideálnímu případu a = 1, b = 0. 2) Průběh síly: Pomocí tlakového senzoru změřte průběh síly při odrazu vozíku. Vypočtěte změnu hybnosti pomocí integrálu průběhu síly a srovnejte ji se změnou hybnosti změřené pohybovým senzorem. Opakujte měření pro každou startovací rychlost alespoň 10x. Vyneste do grafu změnu hybnosti naměřenou silovým senzorem v závislosti na změně hybnosti určené pohybovým senzorem, opět i errorbary. Body proložte přímkou a diskutujte rozdíl směrnice a posunu přímky oproti ideálnímu případu a = 1, b = 0. 1
2. POUŽITÉ PŘÍSTROJE A POMŮCKY: Vzduchová dráha s příslušenstvím, digitální váhy, 2x pohybový senzor PASCO, silový senzor PASCO, PC (DataStudio). 3. TEORETICKÝ ÚVOD:
3.1. Zákony zachování v soustavě těles •
Celková hybnost izolované soustavy se zachovává
•
Rychlost těžiště izolované soustavy je konstantní
•
Celkový moment hybnosti izolované soustavy se zachovává
•
Celková energie izolované soustavy se zachovává
z Newtonových zákonů můžeme odvodit tvrzení první věty impulzové
. =
(1)
P je celková hybnost soustavy, Fe značí výslednici všech vnějších sil.
= ., což je zákon zachování Nepůsobí-li na soustavu žádné vnější síly, plyne ze vztahu (1) celkové hybnosti. Přejdeme-li k jiné inerciální vztažné soustavy, dostaneme pro celkovou hybnost ´ + , =
(2)
´ = 0, dostaneme kde M představuje celkovou hmotnost soustavy. Položíme-li
= = ∑ . ∑
(3)
Můžeme si tedy představit, že v soustavě existuje myšlený bod nazývaný těžiště o polohovém vektoru ∑ = ∑ ,
(3)
který se chová tak, jako by v něm byla soustředěna celé hmotnost soustavy. V izolované soustavě je výslednice vnějších sil nulová, rychlost těžiště je tudíž nulová. Je-li soustava izolovaná, platí zákon zachování energie
= + = .
2
(3)
3.2. Impuls síly Impuls síly vyjadřuje časový účinek síly. Působí-li na částici konstantní síla po dobu = 2 − 1 , platí − = $ = = 2 1 = & 2 − & 1 .
(4)
Takže impuls síly je roven změně hybnosti částice. Je-li síla časově proměnná, definujeme impuls síly jako integrál = ' 2 d . 1
(5)
Protože působící síla bývá často krátkodobá, zavádíme střední hodnotu síly vztahem + 〈 〉 = ' - d , ,
.
(6)
Obr. 1: Impuls síly [2] takže impuls síly bude roven = 〈 〉 . Odpovídá to situaci na Obr. 1 (vlevo), kde nahradíme vyšrafovanou plochu integrálu plochou obdélníka.
4. POSTUP MĚŘENÍ: 4.1. Elastické srážky Nejdříve musíme vzduchovou dráhu uvést do vodorovné polohy. To zjistíme položením vozíku na dráhu. Musíme dbát na to, aby vozík byl rovnoměrně zatížen. Pokud bude vozík na jedné straně těžší, na dráze se nakloní a bude tímto směrem odjíždět. Dále musíme nastavit polohové senzory. Spustíme PC a program DataStudio. Správné nastavení poznáme tak, že se v grafu nebudou objevovat nesmyslné píky. Poté si na digitálních vahách zvážíme vozíky, závaží a jednotlivé příslušenství. Při samotném měření umístíme jeden vozík asi doprostřed dráhy. Musí být naprosto v klidu. To zařídíme buď správným vyvážením vozíku a nastavením vzduchové dráhy do vodorovné polohy nebo si můžeme pomoct přidržením vozíku. Druhy vozík umístíme na okraj dráhy ke startovacímu zařízení. Z této polohy vozík nesmí samovolně odjíždět! Můžeme 3
si pomoct umístěním magnetické koncovky k vozíku. Následně můžeme začít měření. Rychlosti vozíků před a po srážce určíme z lineárních fitů polohy v závislosti na čase.
4.2. Impuls síly Na jeden konec dráhy umístíme silový senzor PASCO. Stojan pečlivě zatížíme olověnými cihlami. Frekvenci snímání senzoru nastavíme na maximální hodnotu. Testovací vozík umístíme opět do startovací pozice. Jeho polohu budeme snímat senzorem na opačné straně než je senzor silový, aby nedocházelo ke zkreslení dat chvěním stojanu.
5. VYPRACOVÁNÍ: 5.1. Elastické srážky V první konfiguraci jsem zvážil hmotnosti obou vozíků + = /217,34 ± 0,055 g, 7 = /317,16 ± 0,055 g. Rychlosti vozíčků před a po srážkách pro jednotlivé startovací rychlosti jsem zapsal do Tab. 1. Protože jsem pracoval sám, na doporučení asistentky jsem každou rychlost měřil pouze osmkrát. v1 [m/s] v1´ [m/s] v2´ [m/s] v1 [m/s] v1´ [m/s] v2´ [m/s] v1 [m/s] v1´ [m/s] v2´ [m/s] 0,3430 -0,0490 0,2710 0,5660 -0,0874 0,4290 0,7890 -0,1180 0,5580 0,3430 -0,0506 0,2700 0,5670 -0,0806 0,4230 0,7940 -0,1060 0,5690 0,3500 -0,0505 0,2790 0,5630 -0,0833 0,4150 0,7940 -0,1230 0,5670 0,3420 -0,0488 0,2700 0,5620 -0,0803 0,4110 0,7980 -0,1240 0,5720 0,3390 -0,0467 0,2710 0,5670 -0,0806 0,4200 0,8000 -0,1150 0,5740 0,3350 -0,0465 0,2690 0,5740 -0,0771 0,4190 0,7830 -0,1170 0,5630 0,3360 -0,0453 0,2690 0,5680 -0,0802 0,4270 0,7970 -0,1170 0,5770 0,3330 -0,0476 0,2670 0,5780 -0,0828 0,3430 0,8010 -0,1130 0,5700 Tab. 1: Rychlosti vozíčků: v1 – prvního před srážkou, v1´ - prvního po srážce, v2´ - druhého po srážce pro tři různé startovací rychlosti (m1 = 217,34 g)
v1 [m/s] v1´ [m/s] v2´ [m/s] v1 [m/s] v1´ [m/s] v2´ [m/s] v1 [m/s] v1´ [m/s] v2´ [m/s] 0,2880 0,0580 0,3340 0,4940 0,0926 0,5570 0,6680 0,1280 0,7270 0,2920 0,0525 0,3390 0,4880 0,0903 0,5500 0,6760 0,1290 0,7320 0,2750 0,0578 0,3210 0,4930 0,0913 0,5620 0,6730 0,1280 0,7220 0,2810 0,0592 0,3260 0,4970 0,1000 0,5650 0,6550 0,1260 0,7150 0,2840 0,0559 0,3400 0,4870 0,0983 0,5540 0,6550 0,1240 0,7150 0,2810 0,0549 0,3370 0,4830 0,0904 0,5540 0,6700 0,1290 0,7270 0,2830 0,0544 0,3270 0,4860 0,0918 0,5500 0,6690 0,1230 0,7140 0,2850 0,0554 0,3290 0,4820 0,0987 0,5410 0,6570 0,1270 0,7060 Tab. 2: Rychlosti vozíčků: v1 – prvního před srážkou, v1´ - prvního po srážce, v2´ - druhého po srážce pro tři různé startovací rychlosti (m2 = 314,24 g)
4
Z těchto dat jsem určil všechny tři startovací rychlosti vozíčků 9+ = /0,340 ± 0,0065 m/s , 97 = /0,568 ± 0,0065 m/s , 9> = /0,795 ± 0,0065 m/s. V grafu na Obr. 2 vidíme závislost absolutní a relativní chyby v závislosti na velikosti startovací rychlosti.
0,020 absolutní chyba [m/s] relativní chyba [-] 0,015
0,010
0,005
0,000 0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
v [m/s] Obr. 2: Absolutní a relativní chyba rychlosti v závislosti na velikosti startovací rychlosti vozíčku (m1 = 217,34 g)
V druhé konfiguraci jsem použil vozíčky o hmotnostech + = /314,24 ± 0,055 g a 7 = /220,62 ± 0,055 g. Rychlosti vozíčků před a po srážkách pro jednotlivé startovací rychlosti jsem zapsal do Tab. 2.
0,020 absolutní chyba [m/s] relativní chyba [-] 0,015
0,010
0,005
0,000 0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
v [m/s] Obr. 3: Absolutní a relativní chyba rychlosti v závislosti na velikosti startovací rychlosti vozíčku (m2 = 314,24 g) 5
Z těchto dat jsem určil všechny tři startovací rychlosti vozíčků 9+ = /0,284 ± 0,0055 m/s , 97 = /0,489 ± 0,0065 m/s , 9> = /0,665 ± 0,0095 m/s. V grafu na Obr. 3 vidíme závislost absolutní a relativní chyby v závislosti na velikosti startovací rychlosti. Hybnost můžeme vypočítat ze vzorce
& =
(7)
@A = B2 @2 + 2 @2& .
(8)
a její chybu
V Tab. 3 vidíme spočítané hybnosti před a po srážce, jejich rozdíl a chybu. Pro ověření zákona zachování hybnosti musí platit ∆p < σp. vs [m/s]
p1 [g m/s]
p1´ [g m/s]
p2´ [g m/s]
∆p [g m/s]
σp [g m/s]
0,340 ± 0,006 74 ± 2 -10,4 ± 0,5 86 ± 2 -2,0 3 0,568 ± 0,006 123 ± 2 -18,0 ± 1,0 130 ± 10 11,0 10 0,795 ± 0,006 173 ± 2 -25,0 ± 2,0 180 ± 2 18,0 3 0,284 ± 0,005 89 ± 2 18,0 ± 1,0 73 ± 2 -2,0 3 0,489 ± 0,006 154 ± 2 30,0 ± 2,0 122 ± 2 2,0 3 0,665 ± 0,009 209 ± 3 40,0 ± 1,0 159 ± 2 10,0 4 Tab. 3: hybnosti před p1 a po srážkách p1´, p2´, ∆p je rozdíl těchto hybností a σp chyba rozdílu hybností Podobně energii 1
= 2 2
(9)
a její chybu 1
2
@C = D4 4 @2 + 2 @2 .
(10)
V Tab.4. vidíme spočítané energie před a po srážce, jejich rozdíl a chybu. Pro ověření zákona zachování energie musí platit ∆E < σE. vs [m/s]
E1 [mJ]
E1´ [mJ]
E2´ [mJ]
∆E [mJ]
σE [mJ]
0,340 ± 0,006 12,6 ± 0,5 0,25 ± 0,02 11,7 ± 0,4 0,65 0,6 0,568 ± 0,006 35,1 ± 0,8 0,73 ± 0,04 26,7 ± 0,5 7,70 0,9 0,795 ± 0,006 69,0 ± 1,0 1,49 ± 0,05 51,3 ± 0,8 16,20 1,3 0,284 ± 0,005 12,7 ± 0,5 0,49 ± 0,04 12,2 ± 0,5 0,01 0,7 0,489 ± 0,006 37,6 ± 0,9 1,40 ± 0,10 34,0 ± 1,0 2,20 1,4 0,665 ± 0,009 69,0 ± 2,0 2,53 ± 0,08 57,0 ± 2,0 9,50 2,4 Tab. 4: energie před E1 a po srážkách E1´, E2´, ∆E je rozdíl těchto energií a σE chyba rozdílu energií 6
V grafu na Obr. 4 vidíme závislost celkové hybnosti po srážce p0 na hybnosti před srážkou. Proložením lineární závislostí jsem získal hodnoty parametrů $ = 0,89 ± 0,06 a E = 9 ± 8.
Obr. 3: Graf závislosti hybnosti po srážce p0 na hybnosti před srážkou p Podobný graf pro energii je na Obr. 4. Hodnoty parametrů jsou $ = 0,78 ± 0,06 a E = 3 ± 3.
Obr. 4: Graf závislosti energie E0 srážce p0 na energii před srážkou E
7
5.2. Impuls síly Pro jednotlivé startovací rychlosti jsem měřil rychlosti před srážkou, po srážce a impuls síly pomocí silového senzoru. Naměřená data vidíme v Tab. 5. Z dat jsem určil změnu hybnosti pomocí rychlostí a změnu hybnosti pomocí impulzu síly. Pro nejmenší rychlost jsem získal ∆& = /89 ± 65 g m/s a = /92 ± 25 mJ s. Pro střední rychlost mi vyšlo ∆& = /158 ± 65 g m/s a = /163 ± 55 mJ s. A pro nejvyšší rychlost ∆& = /216 ± 45 g m/s a = /220 ± 55 mJ s. Vynesením do grafu na Obr. 5 a fitem lineární rovnicí jsem získal parametry $ = 1,01 ± 0,02 a E = 3 ± 2. v0 [m/s] vp [m/s] I [mN s] 0,324 0,324 0,334 0,304 0,353 0,317 0,374 0,337
v0 [m/s] vp [m/s] I [mN s] v0 [m/s] vp [m/s] I [mN s]
-0,1230 92,2 0,584 -0,210 167,8 0,794 -0,245 -0,0833 91,9 0,590 -0,186 161,4 0,827 -0,248 -0,0986 92,0 0,613 -0,171 164,6 0,795 -0,254 -0,0881 90,0 0,593 -0,159 165,3 0,794 -0,257 -0,1090 96,6 0,604 -0,186 166,3 0,794 -0,237 -0,0748 89,3 0,533 -0,178 152,7 0,770 -0,236 -0,0917 91,8 0,588 -0,170 165,0 0,790 -0,271 -0,1130 90,8 0,567 -0,188 165,3 0,784 -0,251 Tab. 5: Rychlosti před srážkou v0, po srážce vp a impuls síly I
Obr. 5: Graf závislosti impulzu síly I na změně hybnosti ∆p
8
224,5 224,3 214,0 222,2 221,2 210,2 219,6 222,4
6. DISKUSE A ZÁVĚR: Ověřoval jsem zákon zachování hybnosti a energie. Z Tab. 3 a 4 vidíme, že jsem zákon ověřil pro malé startovací rychlosti. Při vyšších rychlostech se hodnoty neshodovaly. Totéž platí i pro energii. Protože rychlosti jsem změřil velmi přesně, pravděpodobně docházelo ke ztrátám energie na gumičkách vlivem nedokonalé pružnosti srážky, což nám potvrzují i hodnoty parametrů z fitů grafů na Obr. 3: $ = 0,89 ± 0,06 a E = 9 ± 8 a na Obr. 4: $ = 0,78 ± 0,06 a E = 3 ± 3. Při měření změny hybnosti pomocí silového senzoru a rychlosti jsem získal parametry $ = 1,01 ± 0,02 a E = 3 ± 2. Vidíme, že jsem dostal v podstatě správné hodnoty. To znamená, že měření pomocí silového senzoru i polohy jsou velmi přesné.
7. REFERENCE: [1] ŠTOLL, I. Mechanika. Vydavatelství ČVUT, 2010. [2] Návod k úloze, URL < http://praktikum.fjfi.cvut.cz/course/view.php?id=3 > [cit.4.12.2011]
9
