FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Úloha 6: Geometrická optika Datum měření: 8. 3. 2010
Jméno: Jiří Slabý
Pracovní skupina: 4
Ročník a kroužek: 2. ročník, 1. kroužek, pondělí 13:30
Spolupracovala: Eliška Greplová
Hodnocení:
Abstrakt Změřili jsme ohniskové vzdálenosti tenké spojky, tenké rozptylky a tlusté spojky – Ramsdenova okuláru. Následně jsme změřili zvětšení jednoduchých optických přístrojů – lupy, mikroskopu a dalekohledu. Mikroskop a dalekohled jsme sestavili z již proměřených prvků, a tak jsme mohli vypočítat zvětšení, které se shodovalo s naměřenou hodnotou.
1
Úvod
Geometrická optika je částí optiky, která se zabývá šířením světla a to se zanedbáním jeho vlnové podstaty. Základním pojmem je zde paprsek a tedy přímočaré šíření světla. O historii nejen geometrické optiky se dočtete v [1].
1.1
Pracovní úkoly
1. Určete ohniskovou vzdálenost tenké spojky následujícími metodami: odhadem, autokolimací, ze znalosti polohy předmětu a jeho obrazu (pro čtyři různé polohy předmětu; provést též graficky). Pokud jste se v Základech fyzikálních měření již s těmito metodami seznámili, je pro Vás tento úkol nepovinný. 2. Besselovou metodou určete ohniskovou vzdálenost tenké spojky. V přípravě odvoďte rovnici (2) a načrtněte chod paprsků v obou případech, kdy je vidět ostrý obraz. Proč je nutná podmínka 𝑒 > 4𝑓 ? Na čem závisí ohnisková vzdálenost čočky? 3. Určete ohniskovou vzdálenost tenké rozptylky. 4. Besselovou metodou změřte ohniskovou vzdálenost mikroskopického objektivu a Ramsdenova okuláru. V přípravě vysvětlete rozdíl mezi Ramsdenovým a Huygensovým okulárem. 5. Abyste mohli určit optický interval mikroskopu v pracovním úkolu č. 7, určete nejprve polohy ohniskových rovin okuláru a objektivu. Rozmyslete si, zda potřebujete znát polohy jejich předmětových nebo obrazových ohniskových rovin. 6. Změřte zvětšení lupy při akomodaci oka na normální zrakovou vzdálenost. Stanovte z ohniskové vzdálenosti lupy zvětšení při oku akomodovaném na nekonečno. 7. Z mikroskopického objektivu a Ramsdenova okuláru sestavte na optické lavici mikroskop a změřte jeho zvětšení. Rozmyslete si, jak velký optický interval je vhodné zvolit. 8. Ze spojky +200 a Ramsdenova okuláru sestavte na optické lavici dalekohled a změřte jeho zvětšení přímou metodou a z poměru průměrů vstupní a výstupní pupily. V přípravě vysvětlete rozdíl mezi Galileovým a Keplerovým dalekohledem, načrtněte chod paprsků v obou případech. 9. Výsledky měření zvětšení mikroskopu a dalekohledu porovnejte s hodnotami vypočítanými z ohniskových vzdáleností a optického intervalu. Ohniskové vzdálenosti jste naměřili s určitou chybou, můžete proto spočítat i chybu vypočítaných zvětšení.
1
2
Základní pojmy a experimentální uspořádání
Pomůcky: Optická lavice s jezdci a držáky čoček, světelný zdroj pro optickou lavici, mikroskopický objektiv, Ramsdenův okulár v držáku s Abbeho kostkou, spojné čočky +100, +200, rozptylka -100, matnice, clona s otvorem, clona se šipkou, pomocný světelný zdroj s milimetrovou stupnicí, objektivový mikrometr se stupnicí 100 × 0,01 mm, matnička se stupnicí 50 × 0,1 mm, pomocný mikroskop se stupnicí v zorném poli dělenou po 0,1 mm, pomocný dalekohled.
2.1 2.1.1
Stanovení ohniskové vzdálenosti spojné čočky Odhad
Při zobrazení předmětu velmi vzdáleného vzniká obraz přibližně v ohniskové rovině. Můžeme tedy velmi hrubě odhadnout danou ohniskovou vzdálenost viz obr. 1 a). 2.1.2
Autokolimace
Při autokolimaci využíváme toho, že předmět v ohnisku se zobrazí do nekonečna. Když tyto rovnoběžné paprsky odrazíme rovninným zrcadlem, měly by se vrátit zpět a vytvořit obraz v místě předmětu. Když jen nepatrně sklopíme zrcadlo, dojde k malému posunutí obrazu a my můžeme určit jeho polohu, tedy zda-li je zaostřen v místě předmětu viz obr. 1 b). 2.1.3
Z polohy předmětu a jeho obrazu
Pro paraxiální paprsky platí při zobrazení viz obr. 1 c) čočková rovnice 1 1 1 + = . 𝑎 𝑎′ 𝑓
(1)
kde 𝑎, 𝑎′ jsou vzdálenosti předmětu, obrazu od čočky, 𝑓 je ohnisková vzdálenost. Po vyjádření 𝑓 z (1) dostáváme 𝑓= 2.1.4
𝑎𝑎′ . 𝑎 + 𝑎′
Besselova metoda
Besselova metoda je naznačená na obr. 1 d). Při pevné vzdálenosti 𝑒 předmětu od stínítka můžeme spojnou čočku o ohniskové 𝑓 umístit do dvou poloh (za podmínky, že 𝑒 > 4𝑓 ), abychom dostali ostrý obraz. Vzdálenost těchto obrazů nechť je 𝑑. Pak pro ohniskovou vzdálenost platí vztah 𝑓=
𝑒2 − 𝑑2 . 4𝑒
(2)
Pro důkaz tohoto tvrzení vyjdeme z rovnice 𝑎 + 𝑎′ = 𝑒 a dosadíme do čočkové rovnice 1, dostáváme 𝑎′ + 𝑎 1 = 𝑎𝑎′ 𝑓 1 𝑒 = 𝑎(𝑒 − 𝑎) 𝑓 𝑎2 − 𝑎𝑒 + 𝑒𝑓 = 0. Tuto rovnici vyřešíme (zde je právě nutný předpoklad 𝑒 > 4𝑓 ) a výsledky od sebe odečteme. Obdržíme tak √︀ √︀ 𝑒 + 𝑒2 − 4𝑒𝑓 𝑒 − 𝑒2 − 4𝑒𝑓 𝑑= − 2 2 √︀ 𝑑 = 𝑒2 − 4𝑒𝑓 . A to už je jinak zapsaný vztah (2). 2.1.5
Určení poloh ohniskových rovin tlustých čoček
Toto měření provedeme dalekohledem zaostřeným na nekonečno. Pokud bude předmět umístěn v ohniskové rovině, uvidíme dalekohledem ostrý obraz předmětu. 2
Obr. 1: Zjištění ohniskové vzdálenosti tenké čočky různými metodami a) odhadem b) autokolimací c) z polohy předmětu a obrazu d) Besselovou metodou
2.2
Stanovení ohniskové vzdálenosti tenké rozptylky
Měření provedeme podle obr. 2. K vytvoření skutečného obrazu musíme použít ještě pomocnou spojku. Označme 𝑙1 vzdálenost předmětu a obrazu vytvořeného spojkou, 𝑙2 předmětu a rozptylky a 𝑙3 předmětu a skutečného obrazu vytvořeného soustavou čoček, 𝑎 vzdálenost rozptylky a obrazu vytvořeného pouze spojkou a 𝑎′ vzdálenost rozptylky a obrazu vytvořeného soustavou čoček. Naměříme-li 𝑙1 , 𝑙2 , 𝑙3 a následně vypočteme 𝑎, 𝑎′ , můžeme pak určit ohniskovou vzdálenost z rovnice 1 1 1 − ′ =− . (3) 𝑎 𝑎 𝑓
Obr. 2: Určení ohniskové vzdálenosti rozptylky
3
2.3 2.3.1
Optické přístroje Lupa
Mezi nejjednodušší optické přístroje patří lupa. Úhlovým zvětšením 𝑍 máme na mysli poměr tangenty zorného úhlu 𝑢′ pod nímž vidíme předmět lupou, k tangentě zorného úhlu 𝑢, pod nímž se jeví v konvenční zrakové vzdálenosti 𝑙 = 25 cm tg𝑢′ 𝑍𝑙𝑢𝑝𝑎 = . (4) tg𝑢 Platí: Při akomodaci oka na nekonečno: 𝑍∞ = 𝑓𝑙 . Při akomodaci oka na konvenční zrakovou vzdálenost: 𝑍𝑙 = což je poměr mezi velikostí obrazu a předmětu. Obecný vztah: 𝑍𝑙′ = obr. 3.
𝑙′ +𝑐 𝑓
𝑦′ 𝑦 ,
+ 1, kde použité symboly odpovídají
Obr. 3: Zvětšení lupy pro oko
2.3.2
Mikroskop
Vytvoříme mikroskop ze dvou čoček – okuláru (o ohniskové vzdálenosti 𝑓2 ) a objektivu (𝑓1 ). Vzdálenost (bližších) ohniskových rovin čoček ∆ nazveme optickým intervalem. Průchod paprsků mikroskopem naleznete na obr. 4. Zvětšení mikroskopu se dá vyjádřit jako ∆𝑙 𝑍𝑀𝑜 = 𝑓1 𝑓2 kde 𝑙 je konvenční zraková vzdálenost 𝑙 = 25 cm. 2.3.3
Dalekohled
Dalekohled je sestaven taktéž z objektivu o ohniskové vzdálenosti 𝑓1 a okuláru 𝑓2 . Snažíme se zvětšit zorný úhel, pod nímž vidíme vzdálené předměty. Optický interval zavedený u mikroskopu volíme ∆ = 0. Zvětšení dalekohledu je popsáno rovnicí 𝑓1 𝑍𝐷𝑜 = . 𝑓2 V případě, že pozorujeme blízký předmět, lze přesněji vyjádřit 𝑍′ =
𝑎 𝑓1 · , 𝑓2 𝑎 − 𝑓1
(5)
kde 𝑎 je vzdálenost předmětu. Zvětšení se dá vyjádřit i ve tvaru poměru průměru vstupní (𝐷1 ) a výstupní (𝐷2 ) pupily 𝐷1 𝑍𝐷𝑝 = . 𝐷2
3 3.1
Výsledky Měření ohniskové vzdálenosti spojné čočky
Měřili jsme ohniskovou vzdálenost tenké spojky, na které bylo napsáno +200.
4
Obr. 4: Chod paprsků v mikroskopu ∙ Odhadem 𝑓𝑜 = (24, 5 ± 0, 5) cm. ∙ Metodou autokolimace 𝑓𝑎 = (18, 8 ± 0, 5) cm. ∙ Určováním polohy předmětu a obrazu 𝑓𝑝 = (18, 6 ± 0, 1) cm. ∙ Besselovou metodou 𝑓𝑏 = (18, 6 ± 0, 05) cm. Naměřené hodnoty z metody polohy předmětu a obrazu naleznete v tab. 1. Naměřené hodnoty z Besselovy metody jsou v tab. 2. 𝑎 [cm] 30,0 35,0 40,0
𝑎′ [cm] 49,2 39,6 34,4
𝑓 [cm] 18, 64 ± 0, 05 18, 58 ± 0, 05 18, 49 ± 0, 05
Tab. 1: Měření ohniskové vzdálenosti tenké spojky – metoda polohy předmětu a obrazu: 𝑎 poloha předmětu, 𝑎′ poloha obrazu, 𝑓 dopočtená ohnisková vzdálenost
𝑎1 [cm] 28,7 33,9 16,9
𝑎2 [cm] 50,1 39,8 47,4
𝑑 [cm] 21,4 5,9 30,5
𝑒 [cm] 80,0 75,0 85,0
𝑓 [cm] 18, 57 ± 0, 05 18, 63 ± 0, 03 18, 51 ± 0, 06
Tab. 2: Měření ohniskové vzdálenosti tenké spojky Besselovou metodou: 𝑎1,2 jsou polohy spojky při ostrém obrazu, 𝑑 rozdíl poloh, 𝑒 vzdálenost předmětu a čočky, 𝑓 ohnisková vzdálenost
3.2
Určování ohniskové vzdálenosti tenké rozptylky
Naměřené hodnoty jsou uvedeny v tab. 3. Určili jsme ohniskovou vzdálenost (držíme se konvence bez znaménka) jako 𝑓 = (10, 3 ± 0, 4) cm. 𝑙1 [cm] 45,5 46,7 45,2
𝑙2 [cm] 40,3 39,8 38,9
𝑙3 [cm] 51,1 58,9 55,4
𝑓 [cm] 10,0 10,8 10,2
Tab. 3: Měření ohniskové vzdálenosti rozptylky: 𝑙1 , 𝑙2 , 𝑙3 zavedené vzdálenosti, 𝑓 ohnisková vzdálenost
3.3
Ohniskové vzdálenosti objektivu a okuláru
Pro vytvoření mikroskopu jsme nejdříve měřili ohniskové vzdálenosti mikroskopového objektivu a Ramsdenova okuláru a to Besselovou metodou. Hodnoty naměřených veličin jsou v uvedenty v tab. 4. Obraz jsme pozorovali
5
pomocným mikroskopem. Musíme tedy vzít v úvahu korekci vzdálenosti předmětu a „stínítka“ 𝑒. Původně změřenou vzdálenost předmětu a stínítka označme 𝑒′ a vzdálenost dalekohledu od stínítka ve chvíli, kdy byl dalekohled zaostřen jako 𝑙, v našem případě 𝑙 = 24, 1 cm. Pro 𝑒 pak platí 𝑒 = 𝑒′ − 𝑙. Ohniskovou vzdálenost mikroskopového objektivu jsme určili jako 𝑓 = (2, 34 ± 0, 07) cm a Ramsdenova okuláru 𝑓 = (2, 96 ± 0, 08) cm. mikroskopový objektiv 𝑑 [cm] 𝑒 [cm] 𝑓 [cm] 9,0 14,9 2, 37 ± 0, 09 4,1 10,9 2, 34 ± 0, 07 6,8 12,9 2, 33 ± 0, 08 5,6 11,9 2, 32 ± 0, 08 7,9 13,9 2, 35 ± 0, 09
Ramsdenův okulár 𝑑 [cm] 𝑒 [cm] 𝑓 [cm] 8,0 15,9 2, 97 ± 0, 08 6,8 14,9 2, 96 ± 0, 08 5,3 13,9 2, 97 ± 0, 07 3,6 12,9 2, 97 ± 0, 05 9,3 16,9 2, 95 ± 0, 09
Tab. 4: Měření ohniskové vzdálenosti mikoskopového objektvu a Ramsdenova okuláru: 𝑑 polohy čočky při ostrém obrazu, 𝑒 vzdálenost mezi předmětem a čočkou, 𝑓 ohnisková vzdálenost
3.4
Určení poloh ohniskových rovin objektivu a okuláru
Změřili jsme polohy ohniskových rovin objektivu a okáláru, vždy vůči rovné ploše té dané „součástky“. Vzdálenost pro mikroskopový objektiv je (0, 72 ± 0, 05) cm a pro Ramsdenův okulár (0, 20 ± 0, 05) cm.
3.5
Měření zvětšení optických přístrojů
Nejdříve jsme měřili zvětšení Ramsdenova okuláru jako lupy. Pozorovali jsme jím měřítko dělené po 0,1 mm a srovnávali ho s nezvětšenou podobou milimetrové stupnice pomocí Abbeho kostky. Porovnáním obou stupnic jsme určili zvětšení 𝑍𝑙𝑢𝑝𝑎 = 7, 1 ± 0, 2. Dále jsme vytvořili mikroskop z mikroskopového objektivu a Ramsdenova okuláru. Obdobným způsobem jako u okuláru jsme změřili zvětšení 𝑍𝑀 = 26 ± 1. Zvětšení lupy pro oko akomodované na nekonečno jsme dopočítali jakožto 𝑍inf = 8, 4 ± 0, 2 Zvětšení mikroskopu jsme ze znalosti optického intervalu a ohniskové vzdálenosti určili jako 𝑍𝑀𝑜 = 26 ± 1. Ze spojky +200 a Ramsdenova okuláru jsme vytvořili dalekohled. Opět jsme přes Abbeho kostku porovnávali dvě stupnice. Dívali jsme se na metrové měřítko do vedlejší místnosti. Zvětšení jsme určili jako 𝑍𝐷 = 6, 3 ± 0, 2. Ze znalosti ohniskových vzdáleností jsme určili zvětšení taktéž jako 𝑍𝐷𝑜 = 6, 3 ± 0, 2. Pomocí měření pupil jsme obdrželi hodnotu 𝑍𝐷𝑝 = 7, 2 ± 0, 8.
4 4.1
Diskuze Měření ohniskových vzdáleností
Nejpřesnější se nám jevila Besselova metoda. V její prospěch nahrává to, že stačí určit pouze vzdálenost dvou ostrých obrazů a nepotřebujeme přímo znát polohy ohniskových rovin, takže se to dobře změří. I další metody lze s poměrně dobrou přesností použít, snad kromě odhadu, protože tam bylo znát, že předmět není v nekonečnu. Měření ohniskové vzdálenosti rozptylky bylo také méně přesné. Mnohdy bylo velmi těžké určit přesnou polohu obrazu, protože se jevil ostrý ve větší oblasti, což mohlo vnést taktéž do měření chybu.
4.2
Měření zvětšení optických přístrojů
Snažili jsme se co nejpřesněji odhadnout počty dílků při přímém měření, avšak výsledek mohl být ovlivněn např. tím, že např. při každém měření bylo oko trochu v jiné poloze před Abbeho kostkou. U zvětšení mikroskopu jsme dospěli k výsledku shodnému jak u přímého měření, tak v případě teoreticky vypočítané hodnoty podle změřených hodnot ohniskových vzdáleností a optického intervalu. Při určování zvětšení dalekohledu jsme dostali dva výsledky ve shodě – při přímém měření a z teoretického výpočtu z ohniskových vzdáleností. Třetí výsledek – z měření velikosti pupil – má větší chybu a zárověň střední hodnota je více vzdálena oběma předchozím. U nás se tedy spíše jednalo o metodu orientační.
6
5
Závěr
Změřili jsme ohniskové vzdálenosti spojné a rozptylné čočky. Spojnou čočku jsme proměřovali více metodami, nejpřesnější však byla metoda Besselova 𝑓𝑏 = (18, 6 ± 0, 05) cm. Pro rozptylku jsme zjistili hodnotu ohniskové vzdálenosti 𝑓 = (10, 3 ± 0, 4) cm. Dále jsme změřili ohniskové vzdálenosti Ramsdenova okuláru (pro který jsme následně změřili zvětšení při použítí jako lupa) a mikroskopického objektivu. Tyto prvky jsme pak použili pro sestavení mikroskopu a změřili jeho zvětšení 𝑍𝑀 = 26 ± 1. Ze spojky a okuláru jsme vytvořili dalekohled a taktéž jsme změřili jeho zvětšení 𝑍𝐷 = 6, 3 ± 0, 2.
6
Literatura [1] ŠTOLL, I., Dějiny fyziky, 1.vyd., Praha, 584 s, Prometheus, 2009 [2] Kolektiv katedry fyziky, Úlohy fyzikálních praktik – GEOMETRICKÁ OPTIKA, [cit. 2010-03-14], URL: http://praktika.fjfi.cvut.cz/GeomOptika/GeomOptika.pdf
7
