FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Úloha 10: Lineární harmonický oscilátor Pohlovo torzní kyvadlo Datum měření: 4. 12. 2009
Jméno: Jiří Slabý
Pracovní skupina: 1
Ročník a kroužek: 2. ročník, 1. kroužek, pátek 13:30
Spolupracovala: Eliška Greplová
Hodnocení:
Abstrakt Měřili jsme průběhy různých kmitání lineárního harmonického oscilátoru – tělesa zavěšeného na pružině. Tuhost pružiny jsme určili 𝑘 = (12, 7 ± 0, 4) N/m. Vypočítali jsme vlastní úhlovou frekvenci 𝜔0 = (15, 4 ± 0, 2) rad s−1 . Dynamickou metodou jsme určili periodu vlastních kmitů 𝑇 = 0, 415 s, tomu odpovídá vlastní frekvence 𝜔0 = 15, 1 rad s−1 . Pro tlumení ve vzdálenosti 2 cm jsme změřili 𝛿 = 1, 16 s−1 a 𝜔 = 14, 93 rad s−1 , 𝜔0 = 14, 98 rad s−1 , pro tlumení ve vzdálenosti 3 cm jsme získali 𝛿 = 0, 29 s−1 a 𝜔 = 15, 11 rad s−1 , 𝜔0 = 15, 11 rad s−1 . Z rezonanční křivky pro amplitudu buzených kmitů jsme obdrželi 𝜔0 = 14, 87 rad s−1 a 𝛿 = 1, 027 s−1 , to odpovídá rezonanční frekvenci Ω𝑟𝑒𝑧 = 14, 801 rad s−1 . Z rezonanční křivky pro fázový posun buzených kmitů jsme získali 𝜔0 = 14, 99 rad s−1 a 𝛿 = 1, 249 s−1 , to odpovídá Ω𝑟𝑒𝑧 = 14, 895 rad s−1 . Pro Pohlovo kyvadlo jsme změřili: tuhost pružiny 𝐷 = (0, 026 ± 0, 003) Nm, dynamickou metodou jsme určili vlastní úhlovou frekvenci 𝜔0 = 3, 55 rad s−1 . Moment setrvačnosti kyvadla je 𝐼 = 0, 00209 kg m2 . Vynesli jsme závislost koeficientu útlumu Pohlova kyvadla na proudu vytvářející tlumení a extrapolací exponenciální funkcí jsme se snažili najít hodnotu proudu pro kritické tlumení. Určili jsme ho jako 1,6 A, při této hodnotě proudu se spíše jedná o slabě tlumené kmitání nicméně velmi blízké kritickému útlumu.
1
Úvod
Oscilace jsou jedním z předních objektů zájmů fyziků i např. stavitelů. Příkladů, kdy nechtěná rezonance dokázala i mohutné stavby naprosto zničit a roztrhat, je mnoho. Kmitajícímu kyvadlu se věnovánal už např. Galileo Galilei [1]. My se budeme zabývat kmitáním harmonického oscilátoru, tlumeným i netlumeným, následně i buzeným vnější silou. Pak se budeme snažit změřit oscilace Pohlova kyvadla.
1.1 1.1.1
Pracovní úkoly Lineární harmonický oscilátor
1. Změřte tuhost pružiny statickou metodou a vypočtěte vlastní úhlovou frekvenci (včetně celkové chyby určení), se kterou bude soustava kmitat kolem rovnovážné polohy s vámi zvoleným závažíčkem. Odhadněte, s jakou chybou jste schopni prodloužení pružiny měřit, a vypočtěte minimální hmotnost závaží, které musíte k prodloužení použít, aby jste dosáhli relativní chyby měření tuhosti pružiny 50 %. Chybu měření hmotnosti závaží ∆𝑚 považujte za nulovou. 2. Změřte periodu vlastních kmitů dynamickou metodou. Rozhodněte, jestli pro výpočet úhlové frekvence je nutné používat vztah (2) – tj. jestli je útlum tak velký, že překonává chybu měření. 3. Změřte koeficienty tlumení 𝛿 pro 2 konfigurace tlumících magnetů (vzdálenost magnetů 3, resp. 2 cm). Ověřte při tom platnost vztahu (2). 4. Naměřte závislost amplitudy kmitů 𝐴 a fázového posunutí 𝜃 na úhlové frekvenci budící síly při tlumení magnety ve vzdálenosti 2 cm. Závislosti vyneste do grafů, nafitujte příslušnými matematickými předpisy (4), resp. (6) a následně z obou fitů určete vlastní frekvenci 𝜔0 a útlum 𝛿. Určete pomocí vztahu (5) hodnotu rezonanční frekvence Ω𝑟𝑒𝑧 . Proč nelze použít měření rezonanční křivky k určení vlastní frekvence kriticky tlumených systémů?
1
5. Srovnejte výsledky měření pro vlastní úhlovou frekvenci z úkolů 1, 2 a 4. Které měření považujete za nejpřesnější a naopak? 1.1.2
Pohlovo torzní kyvadlo
1. Změřte tuhost pružiny Pohlova kyvadla. 2. Naměřte časový vývoj výchylky kmitů kyvadla pro netlumené kmity. Za použití výsledků tohoto a minulého úkolu vypočítejte moment setrvačnosti 𝐼. 3. Změřte koeficient útlumu pro několik zvolených hodnot tlumícího proudu. Závislost vyneste do grafu. 4. Extrapolací určete hodnotu tlumícího proudu, při kterém dochází ke kritickému tlumení. Nastavte tuto hodnotu změřte průběh při rychlostní a polohové počáteční podmínce a ověřte, že je kyvadlo skutečně kriticky tlumeno.
2
Experimentální uspořádání a metody
Pomůcky: Experimentální stojan s pružinou a motorkem; tlumící magnety; lineární USB CCD kamera Leybold se stojanem; PC s OS Windows; CASSY lab – VideoCom motions; sada pomocných závaží; zdroj 15V; Pohlovo kyvadlo; zdroj 30V
2.1
Lineární harmonický oscilátor
Pohyb lineárního harminického oscilátoru se řídí řešením diferenciální rovnice 𝑥 ¨ + 2𝛿 𝑥˙ + 𝜔02 𝑥 = 0 které je 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛿𝑡 (𝐴1 𝑒
√ 𝐷𝑡
+ 𝐴2 𝑒−
√
𝐷𝑡
)
2
kde 𝐷 = 𝛿 − 𝜔0 , 𝑡 čas, 𝑥 souřadnice, 𝐴1 a 𝐴2 integrační konstanty, 𝛿 dekrement útlumu a 𝜔0 vlastní úhlová frekvence. V případě, že 𝛿 = 0 s−1 jedná se o harmonický pohyb a řešením je konkrétně 𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜙). kde 𝐴 je amplituda, 𝜙 fázové posunutí na začátku pohybu a vlastní frekvenci 𝜔0 můžeme vypočítat jako √︂ 𝑘 𝜔0 = 𝑚
(1)
Pro případ slabého útlumu (tj. 𝐷 < 0) dostáváme řešení 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒−𝛿𝑡 sin(𝜔𝑡 + 𝜙) kde 𝐴 je amplituda a 𝜔 úhlová frekvence taková 𝜔=
√︁
𝜔02 − 𝛿 2
(2)
Právě když nastane 𝛿 2 = 𝜔02 , jedná se o případ kritického útlumu 𝑥(𝑡) = (𝐴1 + 𝐴2 𝑡)𝑒−𝛿𝑡 kde 𝐴1 a 𝐴2 jsou integrační konstanty. Silným útlumem nazýváme útlum větší než kritický (tj. D>0). Pro něj dostáváme √ 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒−𝛿𝑡 sinh 𝐷𝑡 Pokud je ještě systém buzen periodickou vnější silou o úhlové frekvenci Ω a amplitudě 𝐹0 /𝑚, pak diferenciální rovnice vypadá 𝐹0 𝑥 ¨ + 2𝛿 𝑥˙ + 𝜔02 𝑥 = cos Ω𝑡 (3) 𝑚 a hledáme ustálené řešení po odeznění přechodného jevu tlumených kmitů ve tvaru 𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(Ω𝑡 + 𝜗). Neznámou amplitudu 𝐴 volíme jako řešení nehomogenní rovnice (3) a dostáváme 𝐴(Ω) = √︀
𝐹0 /𝑚 (𝜔02
− Ω2 )2 + 4𝛿Ω
2
.
(4)
Tato závislost funkce Ω má maximum v Ω𝑟𝑒𝑧 =
√︁ 𝜔02 − 2𝛿 2
(5)
a hodnota amplitudy je 𝐴𝑟𝑒𝑧 =
𝐹 /𝑚 √︀ 0 2𝛿 𝜔02 − 𝛿 2
Analogicky platí pro fázový posun 𝜃 = arctan
(︁ 𝜔 2 − Ω2 )︁ 0
(6) 2𝛿Ω Pro statickou metodu měření tuhosti pružiny použijeme různá závaží a proměříme závislost dle Hookova zákona 𝑚𝑔 ∆𝑙 = 𝑘 kde ∆𝑙 je velikost změny délky pružiny, 𝑚 je hmotnost závaží, 𝑔 velikost tíhového zrychlení a 𝑘 tuhost pružiny. Pro měření vlastní frekvence a útlumu použijeme CCD kameru, necháme oscilátor oscilovat a kamerou zaznamenáváme výchylky. Kamera má kolem 4 000 bodů, naše data pro vyhodnocení zadaných úloh nepotřebujeme přepočítávat na absolutní vzdálenosti v metrických jednotkách, takže je budeme uvádět bezrozměrně. Útlum vytváříme magnety, které jsou umístěny ve vzdálenosti 2 nebo 3 cm. Měření amplitudy a fázového posunu při buzení systému vnější silou se provádí aparaturou na obr. 1. Magnety jsou ve vzdálenosti 2 cm.
Obr. 1: Aparatura na měření amplitudy 𝐴 a fázového posunu 𝜃 pohybu lineárního harmonického oscilátoru v závislosti na úhlové frekvenci budící síly Ω0
2.2
Pohlovo torzní kyvadlo
Pohybová rovnice pro úhel 𝜙 je analogická k (2.1) 𝜙¨ + 2𝛿 𝜙˙ + 𝜔02 𝜙 = 0. Řešení jsou tak podobně analogická. Pro případ malého útlumu 𝜙(𝑡) = 𝜙𝑚𝑎𝑥 𝑒−𝛿𝑡 sin(𝜔𝑡 + 𝜙0 )
3
kde 𝜔 =
√︁
𝜔02 − 𝛿02
Pro případ kritického útlumu dostáváme buď při podmínce polohové 𝜙(0) = 𝜙0 > 0 a 𝜙(0) ˙ =0 𝜙(𝑡) = 𝜙(0)(1 + 𝛿𝑡)𝑒−𝛿𝑡
(7)
nebo při podmínce rychlostní 𝜙(0) = 0 a 𝜙(0) ˙ = Ω0 𝜙(𝑡) = Ω0 𝑡𝑒−𝛿𝑡 .
(8)
Výchylka Pohlova kyvadla se odečítá buď pomocí měřítka na kyvadle (v případě statické metody) nebo pomocí počítače. Tlumící pole je vytvářeno v cívkách jimiž prochází proud 𝐼. Tímto proudem můžeme tlumení zesilovat nebo zeslabovat. Ještě určíme tuhost pružiny 𝐷 a moment setrvačnosti 𝐼 kyvadla. Nejdříve si uvědomíme, že platí pro koeficient 𝐷 𝑚𝑔𝑟2 𝐷= 𝑙 kde 𝑚 je hmotnost závaží, 𝑟 poloměr kotouče kyvadla, 𝑙 je délka obluku kružnice, o kterou se posune bod na kraji kotouče kyvadla při zatížení závažím o hmotnosti 𝑚, a 𝐷 je tuhost pružiny. Moment setrvačnosti 𝐼 pak obdržíme za použití vzorce 𝐷 (9) 𝐼 = 2. 𝜔0
3 3.1
Výsledky Lineární harmonický oscilátor
Nejdříve jsme zvážili hmotnost zavěšené měrky a úchytu na závaží 𝑚𝑚 = (53, 46 ± 0, 05) g i jednotlivých závaží. Poté jsme statickou metodou měřili prodloužení v závislosti na hmotnosti, která pružinu prodlužuje. Data jsou uvedena v tab. 1. Z toho dostáváme tuhost pružiny 𝑘 = (12, 7 ± 0, 4) N/m. Odhadneme chybu jednotlivých měření 𝑘. Vzhledem k tomu, že 𝑚𝑔 𝑘= ∆𝑙 kde 𝑚 je hmotnost, jejíž tíhová síla prodloužuje pružinu, a ∆𝑙 prodloužení pružiny, obdržíme pro chybu √︂(︁ ⃒ 𝑚𝑔 𝜎 )︁2 (︁ 𝜕𝑘 )︁2 ⃒ 𝜕𝑘 𝜕𝑘 ⃒ ⃒ ∆𝑙 𝜎𝑘 = 𝜎∆𝑙 + 𝜎𝑚 = ⃒ 𝜎∆𝑙 ⃒ = · 𝜕∆𝑙 𝜕𝑚 𝜕∆𝑙 ∆𝑙 ∆𝑙 z čehož vyplývá vzorec pro relativní chybu určení 𝑘 𝜎∆𝑙 𝜎𝑘 = . 𝑘 ∆𝑙 Vidíme tak, že chyba nezávisí explicitně (!) na hmotnosti. 𝑚 [g] 49,72 66,64 76,39 86,14
∆𝑙 [mm] 38 53 59 65
𝑘 [N/m] 12,84 12,33 12,70 13,00
Tab. 1: Měření tuhosti pružiny – 𝑚 hmotnost závaží, ∆𝑙 změna délky, 𝑘 tuhost Můžeme už tedy určit vlastní frekvenci oscilátoru (pro nás se jedná pouze o na pružince zavěšenou stupnici a držáček na závažíčka) podle (1) 𝜔0 = (15, 4 ± 0, 2) rad s−1 Dále jsme měřili periodu vlastních kmitů dynamickou metodou. Průběh můžeme vidět na obr. 2. Nafitováním jsme určili 𝑇 = 0, 415 s tj. 𝜔 = 15, 1 rad s−1 . Pokud použijeme vzorec (2) dostaneme po dosazení 𝛿 = 0, 042 s−1 odlišnost 𝜔0 od 𝜔 až na sedmé platné číslici, což je rozhodně za přesností našich přístrojů. Pro dvě nastavení tlumících magnetů jsme naměřili průběh kmitů lineárního harmonického oscilátoru (pro 2 cm na obr. 3, pro 3 cm obr. 4) a pomocí nafitování jsme určili koeficienty tlumení 𝛿. Pro vzdálenost 2 cm jsme získali 𝛿 = 1, 16 s−1 a 𝜔 = 14, 93 rad s−1 . Z čehož můžeme vypočítat podle (2) vlastní frekvenci
4
196 · 𝑒−0,04·𝑡 · sin(15, 11 · 𝑡 + 5) + 1858
2200 2100
𝑥 [–]
2000 1900 1800 1700 1600 1500 0
2
4
6
8
10
𝑡 [s] Obr. 2: Oscilace lineárního harmonického oscilátoru bez přídavného tlumení
720 · 𝑒−1,16·𝑡 · sin(14, 93 · 𝑡 + 6) + 1865
2600 2400
𝑥 [–]
2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 0
1
2
3
4
5
𝑡 [s] Obr. 3: Oscilace lineárního harmonického oscilátoru s tlumením ve vzdálenosti 2 cm
𝜔0 = 14, 98 rad s−1 . Pro vzdálenost 3 cm jsme získali 𝛿 = 0, 29 s−1 a 𝜔 = 15, 11 rad s−1 . Z čehož můžeme vypočítat podle (2) vlastní frekvenci 𝜔0 = 15, 11 rad s−1 Změna oproti 𝜔 je na páté platné číslici. U buzených kmitů jsme zaznamenávali jak průběh budící síly, tak průběh kmitů oscilátoru. Z nich jsme fitem určili hodnoty amplitudy oscilátoru 𝐴1 , úhlové frekvenci oscilátoru Ω1 , počáteční fáze 𝜙1 a podobně s indexem 2 pro budící mechanizmus. Fázové posunutí označíme 𝜃 = 𝜙1 − 𝜙2 . Vynesli jsme závislost amplitudy 𝐴1 na úhlové frekvenci budící síly Ω2 viz obr. 5. Nafitovali jsme funkci dle (4) a získali jsme 𝐴1 (Ω2 ) = √︀
10661 ((14, 872
− Ω22 )2 ) + 4(1, 032 )(Ω22 )
.
Vezmeme-li tedy 𝜔0 = 14, 87 rad s−1 a 𝛿 = 1, 027 s−1 a získáme Ω𝑟𝑒𝑧 = 14, 801 rad s−1 . Podobně jsme vynesli obr. 6 závislost fázového posunutí 𝜃 na úhlové frekvenci budící síly Ω2 . Data jsme nafitovali funkcí dle (6) a získali jsme 𝜃 = arctan
14, 992 − Ω22 . 2 · 1, 24872 · Ω2
Vezmeme 𝜔0 = 14, 99 rad s−1 a 𝛿 = 1, 249 s−1 získáme Ω𝑟𝑒𝑧 = 14, 895 rad s−1 .
5
2300
305 · 𝑒−0,29·𝑡 · sin(15, 11 · 𝑡 + 2) + 1819
2200 2100 𝑥 [–]
2000 1900 1800 1700 1600 1500 0
1
2
3
4
5
𝑡 [s] Obr. 4: Oscilace lineárního harmonického oscilátoru s tlumením ve vzdálenosti 3 cm 𝑈 [V] 2,0 5,0 8,0 10,0 10,5 11,0 11,3 11,5 12,0 12,5 13,0 13,3
Ω1 [rad s−1 ] 2,22 5,98 10,24 13,05 13,97 14,40 14,81 15,08 15,82 16,54 17,34 17,98
𝐴1 [–] 48,6 57,3 90,4 185,0 232,6 324,8 352,4 335,0 244,0 171,5 123,3 98,5
Ω2 [rad s−1 ] 2,22 5,97 10,24 13,05 13,60 14,39 14,81 15,08 15,82 16,54 17,34 17,99
𝜙1 [rad] -0,28 1,66 1,77 0,57 -1,07 -0,84 3,06 -1,31 0,57 -0,77 -3,29 -0,30
𝐴2 [–] 46,8 47,8 49,0 51,2 51,9 50,5 46,4 42,8 38,0 39,8 41,0 41,7
𝜙2 [rad] -1,83 0,16 0,36 -0,59 -2,11 -0,74 2,69 -1,41 1,14 0,14 -2,20 0,88
𝜃 [rad] 1,54 1,50 1,41 1,16 1,05 -0,10 0,36 0,10 -0,57 -0,90 -1,09 -1,18
Tab. 2: Závislost amplitudy 𝐴 a fázového rozdílu 𝜃 při buzení oscilátoru vnější silou
3.2
Pohlovo torzní kyvadlo
Nejdříve jsme měřili tuhost pružiny Pohlova kyvadla. Poloměr kotouče Pohlova kyvadla je 𝑟 = (9, 39 ± 0, 01) cm. Data jsou uvedena v tab. 3. Dopočítal jsme tuhost pružiny Pohlova kyvadla 𝐷 = (0, 026 ± 0, 003) Nm. 𝑚 [g] 51,78 18,98 11,81
𝑙 [m] 0,18 0,07 0,03
𝐷 [N m] 0,0250 0,0221 0,0319
Tab. 3: Měření tuhosti Pohlova kyvadla – 𝑚 hmotnost závaží, 𝑙 protažení pružiny, 𝐷 tuhost Pohlova kyvadla Naměřili jsme průběh výchylky kmitů kyvadla pro Pohlovo kyvadlo viz obr. 7. Z fitování jsme určili vlastní úhlovou frekvenci jako 𝜔0 = 3, 55 rad s−1 . Podle vzorce (9) jsme vypočetli hodnotu momentu setrvačnosti kyvadla 𝐼 𝐼 = 0, 00209 kg m2 Pro několik hodnot tlumícího proudu 𝐼 v rozmezí 0 až 1,35 A jsme naměřili časový vývoj výchylky kyvadla a nafitovali příslušnými funkcemi. Extrapolovat prvotně naměřené hodnoty (tj. 0 až 1,35 A) jsme nejdříve zkusili přímkou, ale jak je vidět na obr. 8 hodnota proudu 𝐼 by byla daleko větší než dovolená hodnota pro cívku vytvářející tlumící pole, což je cca 2 A. Závislost celkově vypadala tak trochu exponenciální, a tak jsme ručním proložením odhadli hodnotu proudu při kritickém útlumu na zhruba 1,6 A. Naměřili jsme závislost při 6
400
√︀ 10661/ ((14.872 − Ω22 )2 ) + 4(1.032 )(Ω22 )
350 300 𝐴1 [–]
250 200 150 100 50 0 0
2
4
6
8
10
Ω2 [rad s
−1
12
14
16
18
]
Obr. 5: Závislost amplitudy 𝐴1 na úhlové frekvenci budící síly Ω2 při buzení lineárního harmonického oscilátoru vnější silou
4
14.992 −Ω2
arctan 2·1.24872·Ω22
3 2 𝜃 [rad]
1 0 -1 -2 -3 -4 0
5
10
15
20
Ω2 [rad s−1 ] Obr. 6: Závislost 𝜃 na úhlové frekvenci budící síly Ω2 při buzení lineárního harmonického oscilátoru vnější silou
polohové a při rychlostní podmínce. Jejich průběhy naleznete na obr. 9 a 10. Nejdříve jsme je nafitovali funkcí pro kritický útlum (7) a (8). Fitovali jsme je samozřejmě s ohledem na to, že jsme nemuseli naměřit hodnoty přesně od začátku průběhu, tj. dovolili jsme posunout časový průběh o konstantu doprava či doleva. Parametry pro dekrement útlumu jsou pro polohovou podmínku 𝛿 = 8, 37 s−1 a pro rychlostní podmínku 𝛿 = 3, 65 s−1 . Protože nevíme, zda je nastaven správný kritický útlum, nafitovali jsme dané křivky i funkcí pro slabý útlum. Dekrement útlumu pro polohovou podmínku je 𝛿 = 2, 56 s−1 a pro rychlostní podmínku 𝛿 = 1, 75 s−1 . Zkusili jsme ještě naměřit křivku pro 1,7 A a ta už vypadala jako kriticky tlumená a potvrdila možnost exponenciální závislosti dekrementu útlumu na proudu a naší extrapolaci.
4 4.1
Diskuze Lineární harmonický oscilátor
Měřili jsme tuhost pružiny statickou metodou a vyšla nám 𝑘 = (12, 7 ± 0, 4) N/m. Z toho jsme pro námi zvolené závaží tj. jen pro stupnici s držáčkem spočítali vlastní frekvenci 𝜔0 = (15, 4 ± 0, 2) rad s−1 . Při počítání chyby jsme zjistili, že pokud předpokládáme, že měříme hmotnost přesně, relativní chyba nezávisí explicitně na hmotnosti – je rovna relativní přesnosti měření prodloužení. Pokud bychom ale měli danou přesnost měření délky
7
0.2
0.13 · 𝑒−0.02·𝑡 · sin(3.55 · 𝑡 + 1.52)
0.15 0.1 𝑙 [cm]
0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 0
2
4
6
8
10
𝑡 [s] Obr. 7: Průběh výchylky 𝑙 Pohlova kyvadla bez vnějšího tlumení
9 8
0.041 · 𝑒2.78·𝐼 + 0.08 1.18 · 𝐼 − 0.19 kritický útlum slabý útlum . 𝛿 = 𝜔0 = 3.55
7 𝛿 [1/s]
6 5 4 3 2 1 0 0
0.5
1
1.5
2
𝐼 [A] Obr. 8: Extrapolace závislosti útlumu 𝛿 na proudu 𝐼 vytvářejícím tlumící pole směrem ke kritickému útlumu při kmitání Pohlového kyvadla
(např. 1 mm), pak už bychom museli použít takovou hmotnost, aby jím vyvolané prodloužení bylo dostatečně velké. Při měření periody dynamickou metodou jsme určovali průběh netlumených kmitů. Dekrement útlumu byl sice nenulový ale velmi blízký nule, a tak můžeme měření opravdu považovat za netlumené, tj. nemusíme provádět korekci na slabé tlumení. Určili jsme vlastní úhlovou frekvenci jako 𝜔 = 15, 1 rad s−1 , tzn. hodnota sice neležící v intervalu ze statické metody avšak blízká a v intervalu dvakrát větším už by ležela. Pro dvě nastavení tlumících magnetů jsme měřili průběhy a fitovali je příslušnými funkcemi. Pro tlumení ve vzdálenosti 2 cm jsme určili 𝛿 = 1, 16 s−1 a 𝜔 = 14, 93 rad s−1 z čehož vyplynulo 𝜔0 = 14, 98 rad s−1 . Je vidět, že jsme opět mírně mimo nejužší interval. Pro tlumení ve vzdálenosti 3 cm jsme získali 𝛿 = 0, 29 s−1 a 𝜔 = 15, 11 rad s−1 , pak dostáváme vlastní úhlovou frekvenci 𝜔0 = 15, 11 rad s−1 . Tady už se hodnoty 𝜔 a 𝜔0 liší až na páté platné číslici. Pro buzený harmonický oscilátor s tlumením jsme určili závislosti amplitudy 𝐴1 a fázového posunutí 𝜃 na úhlové frekvenci budící síly Ω2 . Z fitování závislosti amplitudy 𝐴1 jsme dostali 𝜔0 = 14, 87 rad s−1 a 𝛿 = 1, 027 s−1 . Pak získáváme Ω𝑟𝑒𝑧 = 14, 801 rad s−1 . Z fitování závislosti fázového posunutí 𝜃 obdržíme 𝜔0 = 14, 99 rad s−1 a 𝛿 = 1, 249 s−1 . Dosazením získáme Ω𝑟𝑒𝑧 = 14, 895 rad s−1 . Vidíme, že obě hodnoty se téměř shodují, vzájemná odchylka je pod 1 %.
8
0.15
0.14 · 𝑒8.36·(𝑡−0.01) · (1 + 8.36 · (𝑡 − 0.01) 0.22 · 𝑒2.56(𝑡+0.14) sin(2.78 · (𝑡 + 0.14) + 1.10)
𝑙 [cm]
0.1
0.05
0
-0.05 0
0.5
1
1.5
2
𝑡 [s] Obr. 9: Časový průběh výchylek 𝑙 Pohlova kyvadla při domnělém kritickém útlumu a polohové počáteční podmínce
Co se týče výsledků jednotlivých určení vlastní frekvence, tak můžeme říct, že většina výsledků je sobě velmi blízká. Statickou metodou jsme zjistili frekvenci nejnižší, dynamickou metodou jsme určili hodnotu o něco nižší ale stejnou jako v případě slabšího z dvou tlumení, které jsme měli k dispozici. Při silném tlumení jsme dostali hodnotu nejnižší, ale jednalo se o odychylku v řádu procent, což je na úrovni přesnosti našeho měření. Podobnou hodnotu jsme získali i z měření průběhu výchylek kyvadla buzeného vnější silou. Pokud nás zajímá přesnost jednotlivých metod, můžeme nejprve o metodě statické říci, že by šla provést daleko přesněji při použití jiného vybavení, jmenovitě přesnějšího odečítání délky. Dynamická metoda mi přijde poměrně přesná, fit prakticky sedí na naměřená data a je ve shodě s teorií. Z měření slabého útlumu jsme dostali dvě hodnoty trochu odlišné, zvláště při silnějším tlumení funkce při detailním pohledu zcela nesedí v datech, takže zde je rozhodně nejméně přesné měření. V případě, kdy jsme určovali vlastní frekvenci z rezonančních křivek pro amplitudu a fázové posunutí, si myslím, že měření bylo velmi přesné. Je vidět, že rezonanční křivka zvláště v prvním případě velmi dobře koresponduje s naměřenými daty a řekl bych, že toto určení je nejpřesnější – není totiž důvodu, aby bylo měření nepřesné z nějakých systematických důvodů.
4.2
Pohlovo torzní kyvadlo
Nejdříve jsme změřili staticky tuhost pružiny 𝐷 = (0, 026 ± 0, 003) Nm. Relativní odchylka je poměrně velká, takže kyvadlo se moc lineárně vzhledem k působící protahující síle nechovalo. Z časového vývoje kmitů jsme fitováním určili vlastní úhlovou frekvenci 𝜔0 = 3, 55 rad s−1 a následně pomocí předchozího výsledku jsme vypočetli moment setrvačnosti kyvadla 𝐼 = 0, 00209 kg m2 . Při měření koeficientů útlumu a zvláště pak při extrapolaci hodnot jsme se potýkali s problémem, jakou funkcí vlastně máme extrapolovat. Lineární funkce by nás zavedla úplně jinam, ačkoliv se na počátku zdálo, že by mohlo jít právě o takovou závislost. Po orientačním změření hodnot nad 1 A se ale ukázalo, že křivka povede úplně jinak a exponenciální závislost poměrně rozumně sedí do naměřených hodnot. Pro hodnotu proudu 1,6 A jsme se pokusili potvrdit kritický útlum. Z detailního pohledu obr. 9 a 10 můžeme ale vidět, že lépe sedí na naměřená data funkce pro slabý útlum. Nicméně pouze pohled na obrazovku bez nafitování nám tuto odlišnost neprozradí, navíc regulace proudu nebyla tak jemná, abychom tuto nepřesnost nějak korigovali. Ale celkově bych řekl, že kyvadlo bylo téměř kriticky tlumeno.
5
Závěr
Změřili jsme tuhost pružiny 𝑘 = (12, 7 ± 0, 4) N/m statickou metodou a následně určili vlastní úhlovou frekvenci 𝜔0 = (15, 4 ± 0, 2) rad s−1 lineárního harmonického oscilátoru s touto pružinou. Relativní chyba měření 𝑘 za předpokladu přesného určení hmotnosti nezávisí explicitně na hmotnosti. Dynamickou metodou jsme určili periodu vlastních kmitů 𝑇 = 0, 415 s, což odpovídá vlastní frekvenci 𝜔0 = 15, 1 rad s−1 . Vzhledem k√︀ velmi slabému tlumení a přesnosti měření není potřeba používat přesného vztahu pro vlastní frekvenci 𝜔 = 𝜔02 − 𝛿 2 .
9
0.2 0.15 · 𝑒
0.15
1.74(𝑡−0.37)
1.27 · 𝑒3.64(𝑡−0.2) · (𝑡 − 0.2) sin(2.68 · (𝑡 − 0.37) + 0.97)
𝑙 [cm]
0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
𝑡 [s] Obr. 10: Časový průběh výchylek 𝑙 Pohlova kyvadla při domnělém kritickém útlumu a rychlostní počáteční podmínce
Pro tlumení ve vzdálenosti 2 cm jsme určili dekrement útlumu jako 𝛿 = 1, 16 s−1 a úhlovou frekvenci 𝜔 = 14, 93 rad s−1 z čehož vyplynulo pro vlastní frekvenci 𝜔0 = 14, 98 rad s−1 . Pro tlumení ve vzdálenosti 3 cm jsme získali 𝛿 = 0, 29 s−1 a 𝜔 = 15, 11 rad s−1 , z čehož tedy vyplývá vlastní úhlová frekvence 𝜔0 = 15, 11 rad s−1 . Z rezonanční křivky pro amplitudu buzených kmitů jsme obdrželi 𝜔0 = 14, 87 rad s−1 a 𝛿 = 1, 027 s−1 , což nám poskytlo rezonanční frekvenci Ω𝑟𝑒𝑧 = 14, 801 rad s−1 . Z rezonanční křivky pro fázový posun buzených kmitů jsme získali 𝜔0 = 14, 99 rad s−1 a 𝛿 = 1, 249 s−1 . Hodnota rezonanční frekvence je takto určená Ω𝑟𝑒𝑧 = 14, 895 rad s−1 . Pro Pohlovo kyvadlo jsme změřili tuhost pružiny jako 𝐷 = (0, 026 ± 0, 003) Nm. Pak jsme naměřili časový vývoj výchylek kyvadla a určili vlastní úhlovou frekvenci 𝜔0 = 3, 55 rad s−1 . Moment setrvačnosti kyvadla je tak 𝐼 = 0, 00209 kg m2 . Vytvořili jsme graf závislosti koeficientu útlumu na tlumícím proudu a extrapolací exponenciální funkcí jsme se snažili najít hodnotu proudu pro kritické tlumení Pohlova kyvadla. Určili jsme ho jako 1,6 A, což se ale při následné detailní analýze ukázalo jako spíše slabě tlumené kmitání nicméně velmi blízké kritickému útlumu.
6
Literatura [1] ŠTOLL, I., Dějiny fyziky, 1.vyd., Praha, 584 s, Prometheus, 2009 [2] Kolektiv katedry fyziky, Úlohy fyzikálních praktik – LINEÁRNÍ HARMONICKÝ OSCILÁTOR, [cit. 2009-12-4], URL: http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/Mechanika/HarmOscilator/osc.pdf [3] Kolektiv katedry fyziky, Úlohy fyzikálních praktik – POHLOVO TORZNÍ KYVADLO, [cit. 2009-12-4], URL: http://praktika.fjfi.cvut.cz/PohlKyv
10
