FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Úloha 2: Měření modulu pružnosti v tahu a ve smyku Datum měření: 9. 10. 2009
Jméno: Jiří Slabý
Pracovní skupina: 1
Ročník a kroužek: 2. ročník, 1. kroužek, pátek 13:30
Spolupracovala: Eliška Greplová
Hodnocení:
Abstrakt Stanovili jsme moduly pružnosti v tahu a ve smyku různých ocelových drátů. Pro každou konstantu jsme použili dvě různé metody. Výsledky se shodují nebo velmi blíží současným tabelovaným hodnotám.
1
Úvod
V mechanice se používají dvě základní materiálové konstanty udávající chování tělesa při deformacích. Na jednu z nich přišel roku 1660 Robert Hook [1] a úměru mezi napětím a relativním prodloužením dnes známe jako zákon pod jeho jménem. Konstanta úměrnosti označovaná jako E však nese jméno fyzika z přelomu 18. a 19. století Thomase Younga – Youngův modul pružnosti neboli modul pružnosti v tahu. Druhou konstantou je modul pružnosti ve smyku G.
1.1
Pracovní úkoly [2]
1. Změřte závislost relativního délkového prodloužení ∆l/l ocelového drátu na napětí při zatěžování a odlehčování drátu a sestrojte graf této závislosti. Vypočítejte metodou nejmenších čtverců modul pružnosti v tahu ocelového drátu. 2. Změřte závislost průhybu z na velikosti síly F při zatěžování i odlehčování ocelového nosníku a narýsujte graf této závislosti. Metodou nejmenších čtverců vypočítejte modul pružnosti v tahu. O způsobu zpracování výsledků metodou nejmenších čtverců se dočtete v příloze tohoto [2], která je přejatá z knihy [3]. 3. V přípravě odvoďte vzorec pro plošný moment setrvačnosti obdélníkového průřezu šířky a a výšky b. 4. Změřte závislost úhlu zkroucení ϕ ocelového drátu na velikosti kroutícího momentu při postupném zvětšování a postupném zmenšování tohoto momentu. Výsledky měření vyneste do grafu. Metodou nejmenších čtverců vypočtěte modul pružnosti ve smyku G drátu. 5. Na torzním kyvadle změřte moment setrvačnosti základního systému I0 a modul pružnosti ve smyku G ocelového drátu. Dobu torzních kmitů změřte postupnou metodou. 6. V přípravě odvoďte vzorce pro výpočet modulu pružnosti ve smyku G a momentu setrvačnosti základního systému torzního kyvadla I0 .
2
Základní teoretické poznatky
Mějme homogenní izotropní těleso např. ve tvaru kvádru. Upevníme-li jednu stranu a na druhou budeme působit silou F~ , bude za určitých podmínek (malé síly a malé deformace, které po odlehčení zmizí) platit Hookův zákon pro tah ∆l σ=E , l kde σ je napětí, E je konstanta úměrnosti - tzv. Youngův modul, jinak také modul pružnosti v tahu, l je délka tělesa a ∆l je rozdíl mezi délkou po deformaci a počáteční délkou l. Napětí σ můžeme vyjádřit buď pomocí aktuálního průřezu S nebo, pokud předpokládáme zachování objemu při deformaci, pomocí počátečního průřezu S0 , takže dostáváme Hookův zákon ve tvaru σ=
F F 1 ∆l = =E . S S0 (1 − ∆l l ) l
1
(1)
Při velmi malé deformaci můžeme v rovnici (1) zlomek (1−1∆l ) zvolit roven jedné. Jestliže tedy protahujeme l těleso v jednom směru o ∆l, ve směru kolmém se bude rozměr a zmenšovat o ∆a a to v poměru ∆a ∆l =µ , a l kde µ je tzv. Poissonovo číslo. Pokud bychom těleso nedeformovali tahem nýbrž smykem, což si můžeme představit například na krychli tak, že spodní podstavu o ploše S upevníme a na horní podstavu vzdálenou od dolní o l působíme silou F~ rovnoběžnou s podstavou jako na obr. 1, pak se posune horní podstava o δ. Původně pravý úhel mezi stěnami se změní na γ. Hookův zákon pro smyk je potom δ F =G S l a konstanta úměrnosti G se nazývá modul pružnosti ve smyku. Pro malé smykové deformace, kdy platí tgγ = γ, lze dále upravit na tvar Obr. 1: Deformace tělesa smykem
F = Gγ. S
(2)
K popisu pružnosti homogenního izotropního tělesa se tedy používají tři materiálové konstanty: modul pružnosti v tahu (tzv. Youngův modul) E, modul pružnosti ve smyku (taktéž modul pružnosti v torzi) G a Poissonovo číslo µ. Ty však nejsou nezávislé, vztah udává rovnice G=
E 2(1 + µ)
Dále se zabývejme složitější úlohou o deformaci a to ohybem nosníku. Uvažujme pro jednoduchost (i když výsledek na tom nezávisí) nosník kruhového průřezu, ohnutý do tvaru kruhového oblouku určeného poloměrem R, který je daleko větší tloušťka nosníku. Podívejme se na průřez, jak to vypadá uvnitř nosníku viz obr. 2. Na vnějším kraji nosníku je materiál roztažen a na vnitřním stlačen, takže existuje plocha, kde není nosník ani stlačení ani roztažený a nazývá se neutrální. Vyjádřeme deformaci krátké části nosníku délky l. Platí, že deformace je úměrná vzdálenosti od neutrální plochy, prodloužení ∆l je tedy úměrné y přes konstantu úměrnosti rovnou délce nosníku l vydělené R. Z toho vyplývá, že podíl velikosti působící síly ∆F na plošku ∆S je podle Hookova zákona (1) ∆F y =E (3) ∆S R Pokud se podíváme blíže na momenty sil, zjistíme, že v průřezu S vzniká ohybový moment M Z M= ydF (4) S
Podle rovnice (3) je dF =
Ey dS R ,
takže dosazením do (4) dostáváme Z E M= y 2 dS, R S
Obr. 2: Boční a příčný pohled na nosník 2
což si můžeme přeznačit jako M= kde
Z I=
EI , R
(5)
y 2 dS
(6)
S
je plošný moment setrvačnosti geometrického příčného průřezu vzhledem k vodorovné ose procházející jeho těžištěm. Rovnice (5) udává vztah mezi ohybovým momentem M a křivostí nosníku R1 . Vyřešme případ nosníku délky L upevněného na jedné straně, na jehož konci působí síla F~ . Označme si z průhyb ve vzdálenosti x od upevněného konce. Hledáme tedy průhyb v závislosti na vzdálenosti od upevnění z(x). Křivost R1 lze spočítat ze vzorce 1 =h R
d2 z dx2
1+
dz dx
2 i 32 .
(7)
dz 2 V našem případě malých průhybů můžeme v (7) zanedbat člen ( dx ) ve srovnání s jedničkou a obdržíme
1 d2 z = 2 R dx
(8)
Dále potřebujeme ohybový moment působící na nosník. Neuvažujme vlastní tíhu nosníku, pak působí na konec nosníku jen síla F~ . Ohybový moment je roven M (x) = F (L − x) Dosadíme-li za M do rovnice (5) a poté dosazením za
1 R
do rovnice (8), dostaneme po úpravě
F d2 z = (L − x) dx2 EI Integrací předchozí rovnice získáme F Lx2 x3 − EI 2 6 Použijeme-li předpokladů x = 0, z = 0 a dz/dx = 0. Průhyb konce je pak dán z(x) =
z(L) =
F L3 EI 3
Dále vyřešíme obdobnou úlohu: nosník je uložen na dvou břitech ve vzdálenosti L viz obr. 3, opět nás zajíma průhyb v závislosti na poloze z(x). Účinek síly, působící ve středu nosníku, je stejný, jaký by vyvolaly síly opačného směru o velikosti F 2 na obou koncích nosníku, kdyby byl nosník upevněn uprostřed. Dosadíme tedy do rovnice (5) za M (x) M (x) = poté opět vyjádříme váme
1 R
F L −x , 2 2
a dosadíme ho do (8). Po úpravě dostá-
d2 z F L = − x dx2 2EI 2
dz Integrací za použítí okrajových podmínek (x = 0, dx = 0 a x = L/2, z = 0) získáváme
z(x) = Obr. 3: Úloha o průhybu nosníku
F L3 F Lx2 x3 − − 2EI 4 6 48EI
Průhyb středu nosníku – bod 0 viz obr. 3 – je tedy z(0) = −
3
F L3 48EI
(9)
Pro náš případ nosníku s obdélníkovým průřezem o šířce a a výšce b potřebujeme odvodit plošný moment setrvačnosti IS . Spočítáme ho ze vzorce (6) a to Z Z a Z b/2 1 3 2 IS = y 2 dydx = y dS = ab . (10) 12 −b/2 S 0 Pokud je síla F~ realizována tíhovou silou nějakého tělesa o hmotnosti m dostaneme z (9) a (10) výchylku nosníku s obdélníkovým průřezem mgL3 (11) z(0) = − 4Eab3 Poslední případ, který vyřešíme je torze válce. Válec o délce L a poloměru R je upevněn za spodní podstavu. ϕ . Rozdělíme válec na Stočíme horní podstavu o úhel ϕ. Mírou torze je úhel stočení na jednotku délky α = L elementární hranoly o rozměrech rdψ, šířce dr a výšce dl, tak jako na obr. 4. Každý elementární hranol je při torzi válce deformován smykem (zanedbáme-li otáčení kolem osy válce). Pootočení spodní podstavy elementárního hranolu vůči vrchní podstavě elementárního hranolu je αdl. Pro elementární hranol vzdálený o r od osy válce je posunutí spodní podstavy vůči horní δ = rαdl a pro úhel smyku γ platí γ = δl = rα. Z Hookova zákona pro smyk (2) obdržíme vztah pro smykové napětí τ τ = Grα poté element velikosti momentu síly vzhledem k ose válce dM vyvolaného elementárním hranolem dM = rτ dS Celkovou velikost momentu síly M získáme integrací Z 2π Z R πR4 πR4 =G ϕ M= rτ rdψdr = Gα 2 2L 0 0
(12)
Obr. 4: Smyk elementárního hranolu v objemu válce
3 3.1
Experimentální uspořádání a metody Pomůcky
Stojan s indikátorovými hodinkami a ocelovým drátem, zařízení na měření modulu pružnosti v tahu z průhybu nosníku, zařízení na měření modulu pružnosti ve smyku z torze drátu statickou a dynamickou metodou, mikrometr, měřítko, stopky, závaží, váhy.
3.2 3.2.1
Metodika měření Měření modulu pružnosti v tahu E z prodloužení drátu
Přímé měření E spočívá v měření prodloužení ∆l drátu délky l. Drát je nejdříve vypnut tíhovou silou závaží o hmotnosti 0,5 kg a poté prodlužován tíhovou silou dalších závažích. Prodlužování drátu se měří indikátorovými hodinkami, délka měřítkem, průměr drátu 2r mikrometrickým šroubem. Relativní prodloužení je v řádech tisícin, takže ve vzorci (1) můžeme zlomek (1−1∆l ) položit roven jedné. l
4
3.2.2
Měření modulu pružnosti v tahu E z průhybu nosníku
Nosník položený na dvou břitech ve vzdálenosti L zatěžujeme postupně závažími a měříme průhyb okulárním mikrometrem. Průhyb o jeden dílek odpovídá 0,0253 mm. Rozměry nosníku a, b změříme mikrometrickým šroubem, případně posuvným měřítkem. 3.2.3
Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu statickou metodou Modul pružnosti ve smyku G drátu délky L a poloměru R stanovíme ze vztahu (12) 2M L G= , (13) πR4 ϕ
kde ϕ je úhel stočení a M velikost momentu sil. Úhel ϕ určíme ze stupnice na kotoučku o poloměru a, který je připevněn na spodním konci drátu podle obr. 5. Na kotoučku jsou připevněna vlákna, na kterých jsou zavěšena závaží o hmotnosti mz , jejichž tíha 2mz g, kde g je tíhové zrychlení, vytváří Obr. 5: Experimentální úspořádání moment síly o velikosti M statické metody M = 2mz ga (14) Dosazením (14) do (13) získáváme výsledný vzorec G= 3.2.4
2mz gaL πR4 ϕ
Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu dynamickou metodou
Na spodní konec drátu délky L a poloměru R je upevněna tyčka, na níž lze do různé vzdálenosti přidávat závažíčka válcového tvaru. Nechť I je moment setrvačnosti tyčky a přídavných závaží vzhledem k ose kolmé na tyčku a procházející jejím středem. Stočíme-li drát v rovině kolmé k ose drátu, bude na tyč působit moment síly o velikosti πR4 M =G ϕ = Kϕ, (15) 2L K se nazývá direkční moment. Tento moment M bude stáčet tyč zpět do rovnovážné polohy. Uvolníme-li tyč, bude vykonávat kmity kolem rovnovážné polohy. Napíšeme pohybovou rovnici a její řešení ! r d2 ϕ K t + ϕ0 , I 2 = −Kϕ, ϕ(t) = Φ0 sin dt I kde Φ0 , ϕ0 jsou integrační konstanty, t čas. Perioda kmitů T je potom určena r I T = 2π K
(16)
Ze znalosti doby kyvu torzního kyvadla T , momentu setrvačnosti tyče a přídavných závaží I a rozměrů drátu L a R tedy můžeme vypočítat modul pružnosti ve smyku G materiálu, ze kterého je drát vyroben. Neznáme-li moment setrvačnosti I0 samotné tyče, můžeme změřit doby kmitu T1 , T2 pro dvě různé polohy přídavných závaží, jejichž momenty setrvačnosti I1 , I2 známe. Získáme tak dvě rovnice pro výpočet modulu pružnosti ve smyku G a momentu setrvačnosti základního systému I0 . Modul pružnosti ve smyku určíme jednoduše vyjádřením K z rovnice (15) a taktéž z rovnice (16). Po úpravě dostaneme 8πL (17) G = 2 4I T R Moment setrvačnosti Iv dutého válce o poloměrech r1 , r2 , hmotnosti m a výšce v vzhledem k ose kolmé k ose rotace válce, která prochází hmotným středem válce je Iv =
m 2 v2 r1 + r22 + 4 3
Odvodíme vzorec pro celkový moment setrvačnosti I našeho torzního kyvadla sestávajícího se z tyčky o momentu setrvačnosti I0 a dvou dvojic symetricky uložených válečkovitých závažíček o celkových momentech setrvačnosti I1 (při druhém nastavení I2 ) a to pomocí Steinerovy věty. Parametry menších závaží označíme 5
– poloměr vnitřní r1 , poloměr vnější r2 , výška v, hmotnost m. Parametry větších závaží označíme – poloměr vnitřní R1 , poloměr vnější R2 , výška V, hmotnost M . Při našem uspořádání byl vnitřním válečkem ten těžší a větší a vzdálenost vnitřního kraje vnitřního závažíčka od úchytu lanka jsme označili x1 pro první nastavení závaží, resp. x2 pro druhé nastavení. Celkový moment setrvačnosti I vzhledem k ose jdoucí osou úchytného lanka je V 2 m 2 v2 V 2 v 2 M 2 R1 + R22 + + r1 + r22 + + 2M x1(2) + + 2m x1(2) + V + (18) I = I0 + I1(2) = I0 + 2 3 2 3 2 2 Pokud změříme pro dvě různá nastavení závažíček, tj. dvě různá x1 a x2 periody T1 a T2 můžeme z úměrnosti ze vzorce (17) určit vztah I1 + I0 I2 + I0 G∼ = 2 T1 T22 a pak vyjádřit I0 jako I1 T22 − I2 T12 I0 = (19) T12 − T22 Poté už můžeme určit modul pružnosti ve smyku G. Dosazením hodnoty I0 z rovnice (19) do rovnice (18) získáme I, pomocí kterého potom dosazením do rovnice (17) získáme kýžené G. Periody naměříme tzv. postupnou metodou. Postupná metoda se používá pro zpřesnění výpočtů periodických dějů, chceme-li určit periodu T . Pokud bychom počítali klasicky, tak ve výsledku použijeme pouze čas t10 , kdy 10 a úplně stejně dokmitne řekněme např. desátý kmit a vydělíme ho deseti, abychom dostali periodu T = t10 odchylku. Použijeme-li postupnou metodu můžeme určit T s daleko větší přesností za využití hodnot změřených po každé dokončené periodě. Více se o této metodě dočtete v [4], zde uvedu pouze vzorec pro výsledek. Čas po každé dokončené i periodě označíme ti , mějme n = 2k měření, pak výsledek můžeme zapsat ve tvaru sP Pk k 2 t − t 1 i+k i i=1 ∆i T = i=1 ± , (20) k k k(k − 1) kde pod ∆i rozumíme ∆i =
k X
(tj+k − tj ) − (ti+k − ti ).
j=1
3.3
Metoda nejmenších čtverců
Data prvních tří měřících sestav máme zpracovávat metodou nejmenších čtverců (dále MNČ). MNČ Pn se používá k hledání koeficientů předpokládané závislosti y = f unkce(x). Je založena na podmínce že i=1 ∆yi2 je minimální, ∆yi je odchylka f unkce(xi ) od naměřených hodnot yi . Pro lineární závislost y = ax s koeficientem úměrnosti a dostaneme z našich dat i rovnic typu ∆yi = axi −yi . Uděláme kvadráty těchto rovnic a sečteme je, pak obdržíme n X i=1
∆yi2 = a2
n X
n n X X x2i − 2a( xi yi + yi2
i=1
i=1
(21)
i=1
Pravou stranu (21) si zadefinujeme jakožto A, z podmínky pro minimum v závislosti na a n n X X ∂A 2 = 2a xi − 2 xi yi 0= ∂a i=1 i=1
dostaneme
Pn xi yi a = Pi=1 n 2 i=1 xi
(22)
Pokud se zajímáme o směrodatnou odchylku sa koeficientu a, uvedu bez důkazu výraz převzatý z [5] q Pn 2 i=1 (yi −axi )
sa = qP n
2 i=1 xi
n−2 P ( n xi )2 − i=1 n
(23)
V případě měření modulu pružnosti přímou metodou můžeme použít vzorec (22) na Hookův zákon ve tvaru lF ∆l = E1 lF S , kde yi = ∆li a xi = S dostáváme Pn 4gl i=1 m2i Pn E= (24) πd2 i=1 mi ∆li 6
Druhá úloha – měření modulu pružnosti v tahu z průhybu nosníku, výsledek získáme stejnou metodou jako v předešlém případě a to z rovnice (11), kde bereme z tentokrát jako funkci s proměnnou hmotností m tedy gL3 z(m) = − 4Eab 3 m, po aplikaci MNČ dostaneme Pn gL3 i=1 m2i Pn E=− 4ab3 i=1 mi zi
(25)
I třetí úloha se řeší MNČ. Vezmeme rovnici (12), torzní moment M je podle ni roven M (ϕ) = použití MNČ získáváme Pn 4gaL i=1 m2i P G= n πR4 i=1 mi ϕi
4
GπR4 2L ϕ.
Po
(26)
Výsledky
Ve všech úlohách je počítáno s tíhovým zrychlením v Praze g = 9, 81 m s−2 [6].
4.1
Měření modulu pružnosti v tahu E z prodloužení drátu
Nejdříve jsme určili průměr drátu d = (1, 95 ± 0, 10) · 10−1 mm a délku drátu l = (1, 029 ± 0, 001) m. Následně jsme změřili pro každou hodnotu zatížení silou F~ prodloužení ∆l, data jsou uvedena v tab. 1. Graf závislosti relativního délkového prodloužení ∆l l drátu na napětí τ naleznete na obr. 6. Poté ze vzorce (24) určíme pro zatěžování E = (197 ± 1) GPa a pro odlehčování E = (196 ± 2) GPa. Chybu jsme určili pomocí vzorce (23).
∆l l
· 10−4 [–]
20
zatěžování odlehčování
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0
50
100
150
200
250
300
350
400
τ [MPa] Obr. 6: Závislost relativního délkového prodloužení
4.2
∆l l
drátu na napětí τ
Měření modulu pružnosti v tahu E z průhybu nosníku
Nejdříve jsme změřili rozměry nosníku a = (1, 00 ± 0, 01) cm a b = (3, 95 ± 0, 01) mm a vzdálenost břitů L = (0, 500 ± 0, 001) m. Dále jsme změřili průběh průhybu nosníku při zatěžování a odtěžování, data naleznete v tab. 2 a sestrojili graf na obr. 7 závislosti průhybu z na velikosti tíhy zavěšených závaží F . Ze vzorce (25) určíme pro zatěžování E = (206 ± 4) GPa a pro odlehčování E = (205 ± 9) GPa.
7
∆l · 10−4 [m] 1,7 3,5 5,2 7,0 8,7 10,3 12,0 13,8 15,5 17,3 18,9
−4 −4 τ [MPa] ∆l [–] m [g] ∆l · 10−4 [m] τ [MPa] ∆l [–] l · 10 l · 10 33 1,7 1107,5 18,9 364 18,4 66 3,4 1007,2 17,4 331 16,9 99 5,1 906,4 15,7 298 15,3 132 6,8 805,5 13,9 265 13,5 165 8,5 704,7 12,2 232 11,9 198 10,0 603,9 10,4 198 10,1 232 11,7 503,0 8,9 165 8,6 265 13,4 402,3 7,1 132 6,9 298 15,1 301,9 5,5 99 5,3 331 16,8 201,3 3,5 66 3,4 364 18,4 100,9 1,8 33 1,7 a) b) Tab. 1: Experimentálně získané hodnoty relativního prodloužení drátu a) při zatěžování b) při odlehčování
m [g] 100,9 201,3 301,9 402,3 503,0 603,9 704,7 805,5 906,4 1007,2 1107,5
z · 10−4 [m] F [N] m [g] z · 10−4 [m] F [N] -2,2 0,99 805,5 -19,7 7,90 -4,6 1,97 704,7 -17,5 6,91 -7,0 2,96 603,9 -14,8 5,92 -9,6 3,95 503,0 -12,3 4,93 -12,1 4,93 402,3 -9,6 3,95 -14,7 5,92 301,9 -7,0 2,96 -17,1 6,91 201,3 -4,0 1,97 -19,7 7,90 100,9 -1,3 0,99 a) b) Tab. 2: Experimentálně získané hodnoty průhybu nosníku a) při zatěžování b) při odlehčování m [g] 100,9 201,3 301,9 402,3 503,0 603,9 704,7 805,5
z · 10−1 [mm]
0
zatěžování odlehčování
-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 0
1
2
3
4
5
6
7
8 F [N]
Obr. 7: Závislost průhybu z ocelového nosníku na tíze zavěšených závaží F
8
4.3
Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu statickou metodou
Nejdříve jsme změřili poloměr kotoučku a = (2, 00 ± 0, 01) cm, délku drátu L = (0, 662 ± 0, 001) m a průměr drátu 2R = (1, 99 ± 0, 01) mm. Změřili jsme hodnoty úhlu zkroucení ϕ v závislosti na hmotnosti zavěšených závažíček m, data jsou uvedena v tab. 3, graf závislosti úhlu zkroucení ϕ na velikosti kroutícího momentu M naleznete na obr. 8. Pro následný výpočet hodnoty G jsme použili vzorec (26). Obdrželi jsme hodnoty pro zatěžování G = (91 ± 6) GPa a pro odlehčování G = (83 ± 15) GPa. ϕ [◦ ] M [Nm] m [g] ϕ [◦ ] M [Nm] 13 0,03949 402,8 43 0,15804 21 0,07892 301,9 39 0,11848 32 0,11848 201,1 27 0,07892 43 0,15804 100,6 14 0,03949 a) b) Tab. 3: Závislost úhlu zkroucení ϕ na velikosti kroutícího momentu M a) při zatěžování b) při odlehčování m [g] 100,6 201,1 301,9 402,8
45
zvětšování momentu snižování momentu
ϕ [◦ ]
40 35 30 25 20 15 10 20
40
60
80
100
120
140
160 −3
M · 10
[Nm]
Obr. 8: Závislost zkroucení ϕ ocelového drátu na velikosti kroutícího momentu M
4.4
Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu dynamickou metodou
V této úloze jsme museli změřit rozměry a hmotnosti zavážíček – válečků. Parametry většího válečeku jsou R1 = (3, 225 ± 0, 005) mm, R2 = (2, 49 ± 0, 01) cm, V = (0, 8 ± 0, 1) mm, M = (175, 25 ± 0, 02) g; menší váleček – r1 = (3, 225 ± 0, 005) mm, r2 = (1, 50 ± 0, 01) cm, v = (0, 8 ± 0, 1) mm, m = (43, 97 ± 0, 02) g. Dále jsme změřili délku závěsu kyvadla L = (69, 7 ± 0, 1) cm a průměr drátu 2R = (0, 50 ± 0, 01) mm. Pro vzdálenost vnitřního závaží od středu tyčky x1 = (8, 66 ± 0, 01) cm jsme vypočítali moment setrvačností soustavy válcových závaží a tyčky dle vzorce (18). Periodu kmitů jsme změřili postupnou metodou. Periodu jsme tedy určili ze vzorce (20) T1 = (13, 70 ± 0, 06) s. Stejným způsobem jsme pro nastavení vzdálenosti x2 = (6, 46 ± 0, 01) cm zjistili periodu (1) T2 = (10, 91 ± 0, 05) s. Hodnoty časů po každé dokončené periodě pro první nastavení ti a pro druhé nastavení (2) ti jsou uvedeny v tab. 4. Z rovnice (19) získáme hodnotu momentu setrvačnosti tyčky I0 = (3, 7 ± 0, 7) · 10−4 kg· m2 , dosazením hodnoty I0 do rovnice (18) získáme I, pomocí kterého potom dosazením do rovnice (17) získáme kýžený moment setrvačnosti ve smyku G. Číselně získáme G = (80 ± 7) GPa
9
(27)
i [–] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(1)
ti
[s] 12,9 26,0 39,4 53,1 66,8 80,4 94,6 107,8 121,8 136,2
(2)
ti
[s] 10,4 21,1 32,2 42,9 53,9 64,6 75,4 86,3 97,7 109,3
Tab. 4: Hodnoty časů po dokončené periodě torzního kyvadla v postupné metodě
5 5.1
Diskuze Měření modulu pružnosti v tahu E z prodloužení drátu
První a to přímou metodou jsme dostali velmi podobné hodnoty modulů pružnosti v tahu E jak při natahování E = (197 ± 1) GPa, tak při zkracování drátu E = (196 ± 2) GPa. Intervaly se překrývají. Relativní odchylky jsou 0,5 %, či v případě druhém 1 %. Srovnáme-li obvykle uváděnou hodnotu Etab = 210 GPa [6] s naší hodnotou, změřili jsme hodnotu o něco málo nižší. Relativní rozdíl je 6 % ale vzhledem k tomu, že ocelí je mnoho druhů s různými vlastostmi, můžeme výsledek považovat za uspokojivý.
5.2
Měření modulu pružnosti v tahu E z průhybu nosníku
Metodou průhybu nosníku jsme obdrželi hodnoty modulu pružnosti v tahu E = (206 ± 4) GPa pro zatěžování a pro odlehčování E = (205 ± 9) GPa. Opět se intervaly překrývají, zajímavý je ale zvláště průběh v druhém případě, kdy se nosník po zatížení vypružil a nakonec bez závaží jeho střed zůstal výše než byl na začátku. Měření jsme kvůli tomuto jevu několikrát zopakovali a vždy se stejným pozitivním výsledkem. Vzhledem k tomu, že bychom očekávali spíše opačný problém, kdy by se nosník nevrátil po uvolnění jednotlivých závaží do původní polohy ale zůstal níže, je tento průběh velmi neočekávaný. Vysvětlit zvýšení původní polohy ale uspokojivě nedokážeme. Srovnáme-li tabulkovou hodnotu Etab s našimi hodnotami zjistíme, že zapadá do obou námi určených intervalů.
5.3
Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu statickou metodou
Třetí metoda tentokrát pro měření modulu pružnosti ve smyku G. Protože pod kotoučkem bylo velmi málo místa, mohly se udělat pouze čtyři měření pro zatěžování a čtyři pro odlehčování. To se podepsalo i na výsledných hodnotách a odchylkách. Pro zatěžování jsme dostali G = (91 ± 6) GPa a pro odlehčování G = (83 ± 15) GPa. Navíc drát byl velmi tlustý, což mohlo zapříčinit neideální závislost úhlu zkroucení ϕ na momentu síly M . Dalším problémem se nám zdálo uchycení závažíček přes relativně tlustý provázek. Když se podíváme do [6] na tabulkovou hodnotu zjistíme, že je udávána Gtab = 80 GPa. To znamená, že při zatěžování tato hodnota neleží v našem intervalu, zatímco při odtěžování ano. Ovšem i zde je na místě poznámka, že existují oceli s různými vlastnostmi a moduly pružnosti ve smyku G.
5.4
Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu dynamickou metodou
Při měření modulu pružnosti ve smyku G dynamickou metodou jsme nejdříve určili I0 = (3, 7±0, 7)·10−4 kg· m2 . Z této hodnoty jsme spočítali G = (80 ± 7) GPa. Relativní chyba měření je 8 %. Tabulková hodnota Gtab je shodná s námi určenou hodnotou.
10
6
Závěr
Různými metodami jsme určili moduly pružnosti v tahu E oceli. Metodou přímou jsme určili při natahování hodnotu E = (197 ± 1) GPa, při zkracování drátu E = (196 ± 2) GPa, metodou průhybu nosníku jsme změřili E = (206 ± 4) GPa pro zatěžování a pro odlehčování E = (205 ± 9) GPa. Různými metodami jsme určovali i moduly pružnosti ve smyku G oceli. Metodou statickou pro zatěžování jsme určili G = (91 ± 6) GPa a pro odlehčování G = (83 ± 15) GPa, metodou dynamickou G = (80 ± 7) GPa. Neznali jsme však přesný typ oceli v jednotlivých případech, a tak jsme nemohli určit, jak více či méně se blížíme opravdové hodnotě daného vzorku. Určili jsme pouze vztah k obvykle udávaným hodnotám.
7
Literatura [1] ŠTOLL, I., Dějiny fyziky, 1.vyd., Praha, 584 s, Prometheus, 2009 [2] FJFI ČVUT, Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku [online], [cit. 13. října 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/Pruznost/ [3] BROŽ, J., Základy fyzikálních měření I, Praha, SPN, 1983 [4] KFY ZČU, Měření postupnou metodou [online], [cit. 13. října 2009], http://www.kfy.zcu.cz/prakt/Prakt I/UF104/1/Postupna metoda.pdf [5] Katedra ACH PřfUPa Olomouc, Lineární regrese kalibrační přímky [online], [cit. 13. října 2009], http://ach.upol.cz/ucebnice/hodnoceni7.htm [6] MIKULČÁK, J., Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce pro střední školy, 1. vyd., Praha, 278 s, Prometheus, 2006
11
