6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyku

6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyku Úkol 1: Určete Youngův modul pružnosti drátu metodou přímou (z protažení drátu).

Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, st. 2.3.1., čl. 2.3.1.1, čl.2.1.1.2 Pomůcky: Zařízení k měření Youngova modulu z protažení drátu, drát, závaží, stupnice, zdroj střídavého napětí. Postup měření: 1. Seznamte se s metodami měření modulu pružnosti v tahu (viz doporučená literatura) 2. Seznamte se s činností zařízení k měření Youngova modulu. 3. Drát zatěžujte závažími v rozsahu od 300g do 1 000 g postupně po 100 g (před započetím měření je nutno na drát zavěsit dvě závaží po 100 g, aby byl drát vypnutý a rovný). Po dosažení nejvyššího zatížení závaží postupně odebírejte. Prodloužení drátu změřte pomocí metody otočného zrcátka a stupnice. 4. Provedená měření zpracujte pomocí metody postupných měření (čl.1.2.4.g, čl. 1.4.1.1.) . Princip měření Z různých elastických konstant vybíráme pro charakteristiku materiálu nejčastěji modul pružnosti v tahu E (obvykle nazývaný Youngův modul pružnosti) a modul pružnosti ve smyku G (zkáceně nazývaný také modul smyku (torze)), neboť ostatní elastické konstanty lze z modulů E a G vypočítat. Jednotkou obou modulů je Pa. V dalších úvahách se omezíme na nejjednodušší případ, kdy deformace a napětí jsou přímo úměrné a jejich poměr není časově závislý; tedy na případ, který je popisován klasickou teorií pružnosti. Dále budeme předpokládat, že deformovaná látka je izotropní. Modul pružnosti v tahu je konstanta úměrnosti mezi deformací (poměrným prodloužením) l / l0   a napětím F / S   tahem namáhaného vzorku (v našem případě drátu). Tato úměra je obsahem Hookova zákona, který obvykle píšeme ve tvaru

l 1 F  . , l0 E S

(1)

kde l značí prodloužení, tj změnu délky způsobenou silou F, l0 původní délku vzorku (drátu), F tahovou sílu a S průřez vzorku (drátu). Při měření modulu E můžeme vycházet přímo z rovnice (1) a zjišťovat poměr napětí   F / S k deformaci   l / l0 . Nejprve změříme původní délku vzorku l0 a původní průřez S0, potom sledujeme závislost prodloužení l na působící síle F. Malé změny průřezu S při protahování vzorku zpravidla zanedbáváme.

Z přímých metod určení Youngova modulu E popíšeme metodu, podle které stanovíme modul E z protažení drátu. Tuto metodu budeme také používat v laboratorním cvičení. Z rovnice (1) plyne že E

l0 F . . l S

(2)

Chceme-li měřit v oblasti, kde deformace je úměrná napětí, tj. pro deformace nejvýše 1 až 2 %, musíme měřit poměrně malá prodloužení l. K měření těchto malých délkových rozdílů slouží speciální zařízení, kde protažení vzorku (drátu) je převáděno na otáčení zrcátka (viz obr. 1).

Obr. 1 Zařízení k měření Youngova modulu z protažení drátu V tomto případě vedeme drát D na jednom konci upevněný přes kladku K o poloměru R k misce M, na kterou klademe závaží. Na kladce je připevněno zrcátko Z. Úhel pootočení  zrcátka souvisí s prodloužením l drátu vztahem (3) R .   l . Úhel  registrujeme metodou zrcátka a stupnice. Tato metoda umožňuje měřit velmi malé úhly. Na zrcátko Z, které je pevně spojeno s kladkou (viz obr. 6.1), vyšleme světelný svazek, který po odražení zachytíme na stupnici (viz obr. 2).

Obr. 2 Metoda zrcátka a stupnice Stočení zrcátka o úhel  způsobí změnu směru paprsku odraženému od zrcátka o úhel 2. Stupnici postavíme kolmo k paprsku odraženému od rovnovážné polohy zrcátka ZR. Stopa dopadne na stupnici v místě n0. Stočí-li se zrcátko od rovnovážné polohy do polohy ZV o úhel , dopadne stopa na stupnici v místě n. Pro vzdálenost n - n0 platí vztah

tg 2 

n  n0 , l

(4)

v němž l je vzdálenost stupnice od zrcátka. Pro stanovení úhlu  se často užívá přibližný vzorec



n  n0 , 2l

(5)

vhodný pro malé hodnoty . Metodou zrcátka a stupnice lze běžně dosáhnout přesnosti jedné úhlové minuty. Použitím přibližného vzorce (5) místo vzorce (4) vzniká pro úhel rovný 5 chyba 1 %. Pokyny ke zpracování měření Výsledky získané při měření modulu pružnosti E v tahu zpracujeme metodou postupných měření. Tuto metodu je vhodné použít tehdy, jestliže máme k dispozici soubor měření, která na sebe těsně navazují a vyznačují se tím, že koncový bod jednoho měření je současně výchozím bodem měření dalšího. V našem případě je tato podmínka splněna, neboť měření je uspořádáno tak, že postupně zvyšujeme zatížení F a odečítáme příslušné hodnoty prodloužení l vzorku. Tím získáme řadu hodnot l1, l2, l3,…, ln, které odpovídají hodnotám F1, F2, F3,…, Fn. Volíme-li přitom hodnoty zatížení tak, aby vytvořily aritmetickou posloupnost, jde o měření s ekvidistantními hodnotami argumentu F. To znamená, že intervaly po sobě jdoucími hodnotami (Fi, Fi-1) jsou konstantní a rozdíly F2 - F1 = F3 - F2 = … = Fn - Fn-1 stejné. Kdyby měření probíhala bez chyb, byly by i rozdíly l2 - l1, l3 - l2, … , ln - ln-1 stejné. Ve skutečnosti si tyto rozdíly nejsou rovny a úkolem výpočtů je právě nalézt jejich nejpravděpodobnější hodnotu. Provedená měření rozdělíme do dvou početně stejných skupin, takže každá skupina obsahuje n/2 = k měření. Je-li celkový počet měření n číslo liché, jedno měření (zpravidla první) vynecháme. Rozdíly měřených hodnot l bereme mezi hodnotami téhož pořadí obou skupin, tj. mezi první hodnotou první skupiny a první hodnotou druhé skupiny, mezi druhou hodnotou první skupiny a druhou hodnotou druhé skupiny atd. Celkový počet takto vytvořených rozdílů lk+1 - l1, lk+2 - l2, lk+3 - l3, …, ln - lk je k a každý z nich představuje k-násobnou hodnotu rozdílu dvou po sobě jdoucích hodnot. Nejpravděpodobnější hodnota rozdílu bude

l 

1  lk 1  l1 lk  2  l2 lk  3  l3 l  lk     ...  n  , k k k k k 

což lze psát k  1 1 n        l   l   l  ...   l   l   l   l  ...   l   l  li     k 1 k 2 k 3 n 1 2 3 k i 2 2 k k  i  k 1 i 1 

l 

nebo l 

k  1 n  l  2 li  .    i 2 k  i 1 i 1 

(15)

Po výpočtu nejpravděpodobnější hodnoty l , známe-li F a je-li změřeno l0 a S, snadno ze vztahu (2) stanovíme hodnotu modulu E pružnosti v tahu. Pro pravděpodobnou chybu konečného výsledku měření modulu pružnosti v tahu platí vztah

 (E)  E

 2 (l0 ) l02

4

2  2 (d )  (l )

d2



l 2

.

(16)

Příklad zpracování konkrétního měření podle výše uvedeného postupu naleznete v doporučené literatuře BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 1.4.1.1. Zde také naleznete postup výpočtu pravděpodobné chyby konečného výsledku. Do celkové chyby je však třeba kromě chyby pravděpodobné ještě započítat chybu metody. Dále tedy rozebereme, s jakou přesností je třeba měřit jednotlivé veličiny, použijeme-li k měření délky drátu metody zrcátka a stupnice a chceme-li dosáhnout v určení modulu E přesnosti asi 3 %. Délku drátu l a vzdálenost stupnice od zrcátka, tj. délky přibližně 1 m, stačí změřit s přesností asi 0,5 %, tj. pásovým měřítkem. Poloměr kladky R, který bývá 1 až 2 cm, stačí stanovit rovněž s přesností 0,5 %; v tomto případě však vzhledem k menší celkové měřené délce je nutné změřit průměr (2R) kladky posuvným měřítkem (pozor – je nutné měřit vnitřní poloměr kladky!). Při odečítání dílků na stupnici musí být dosaženo větší přesnosti než 2 %, což znamená, že posun značky, je-li stupnice dělená po 1 mm, musí být nejméně 5 cm. Nejobtížnější je dosáhnout dostatečně malé chyby odečítání průměru drátu. Potřebná přesnost stanovení průměru asi 1 % znamená při průměru drátu 0,2 mm měřit s přesností 2.10-3 mm. V tomto případě již plně nevyhovuje ani měření mikrometrickým šroubem a průměr by bylo třeba proměřit indikátorovými hodinkami (viz podrobněji Brož, čl. 2.1.1.1). Nepřesnosti závaží a chybu vzniklou náhradou  za tg  v metodě zrcátka a stupnice lze zanedbat.

Úkol 2: a) určete modul pružnosti v torzi pro tyče z různých materiálů (ocel, mosaz, hliník) metodou statickou, b) zjistěte, jak závisí modul pružnosti v torzi na materiálu, délce a průřezu tyče, c) proměřte hysterezní křivku pro měděnou tyč.

Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, 2.2.1, 2.3.1, 2.3.1.2 HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fyzika, část 2 – Mechanika Termodynamika. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2000, s. 342-344. Pomůcky Stativový materiál, přístroj pro měření modulu pružnosti v torzi, pásové měřítko, posuvné měřítko, mikrometr, sada kovových tyčí, siloměr. Princip měření Při vyšetřování vztahu mezi deformací těles a působícím napětím se v dalším výkladu omezíme na případ, kdy deformace a napětí jsou přímo úměrné a jejich poměr není časově závislý (klasická teorie pružnosti). Dále předpokládáme, že deformovaná látka je izotropní. Uvedené předpoklady bývají splněny u polykrystalických kovových materiálů, nejsou-li napětí na ně působící příliš velká. Vlastnosti látky při deformaci jsou potom popsány dvěma nezávislými materiálovými konstantami, nejčastěji je to modul pružnosti v tahu (Youngův modul) E a modul pružnosti ve smyku G. Modul pružnosti ve smyku G udává vztah mezi smykovým napětím a smykovou deformací  ve tvaru



1 F , GS

(1)

kde  je úhel smyku, F je smyková síla a S plocha, ve které působí smyková síla. Modul pružnosti ve smyku G se nejčastěji určuje z torze tyčí. Při torzi je každá část tyče namáhána pouze smykem a přitom, i když je smyk v každé části tyče poměrně malý (tedy leží hluboko pod mezí úměrnosti deformace a napětí, výsledný úhel stočení tyče může být značný, a tedy dobře měřitelný. Vztah (1) přejde při torzi tyče ve vztah mezi úhlem stočení tyče  a momentem síly M vyvolávajícím torzi, který má tvar



1 1 M  M, kG D

(2)

v němž jedinou materiálovou konstantou je modul pružnosti ve smyku G. Konstanta k v rovnici (2) závisí pouze na tvaru tyče podrobené torzi. Veličina D se nazývá direkční moment tyče. Modul pružnost ve smyku měříme buď staticky, tj. tak že měříme úhly stočení  příslušné daným torzním momentům M a z rovnice (2) vypočítáme modul G, nebo dynamicky tak, že necháme tyč vykonávat torzní kmity.

K měření modulu pružnosti ve smyku G statickou metodou použijeme tyč, která má kruhový průřez o poloměru r a délku l a je na jednom konci upevněna. Působíme-li na druhý konec silovou dvojicí o momentu M, jehož směr je rovnoběžný s osou tyče, pootočí se tento konec vzhledem k upevněnému konci o úhel , pro který platí



2lM . Gr 4

(3)

Tato rovnice vyplývá z rovnice (2), dosadíme-li za direkční moment D hodnotu

D

Gr 4 2l

,

(4)

jež platí pro tyč kruhového průřezu o poloměru r, délce l a materiálu s modulem pružnosti ve smyku G. Z rovnice (3) dostaneme pak pro modul pružnosti ve smyku

G

2lM . r 4

(5)

Postup měření: 1) Sestavíme experimentální zařízení podle obr. 1.

Obr. 1 Měření provedeme pro různé tyče (volíme různé materiály, délky a průřezy tyčí). Pro každou tyč změříme pomocí siloměru moment síly pro různé vzdálenosti od osy a pro různé velikosti úhlů. Z naměřených hodnot vypočteme pro každou tyč hodnotu modulu pružnosti v torzi G. 2) Graficky znázorníme závislost modul pružnosti v torzi na materiálu, délce a průřezu tyče. 3) Proměřte a graficky znázorněte hysterezní křivku pro tyč z mědi (viz obr. 2 pro průměr tyče d = 2 mm a délku tyče l = 0,5 m).

Obr. 2