ˇ Fyzik´ aln´ı praktikum FJFI CVUT v Praze ´ Uloha ˇ c. 10 : Harmonick´ e oscilace, Pohlovo torzn´ı kyvadlo Jm´eno: Ondˇrej Tich´ aˇcek
Datum mˇeˇren´ı: 9.11.2012 Klasifikace:
Pracovn´ı skupina: 6 Kruh: ZS 6
ˇ ast I C´
Line´ arn´ı harmonick´ y oscil´ ator 1
Zad´ an´ı 1. Zmˇeˇrte tuhost pruˇziny statickou metodou a vypoˇctˇete vlastn´ı u ´hlovou frekvenci pro dvˇe r˚ uzn´a z´avaˇz´ı. 2. Zmˇeˇrte ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh tlumen´ ych kmit˚ u pro dvˇe z´avaˇz´ı, ovˇeˇrte platnost rovnice (14) v [1] proloˇzen´ım dat a z parametr˚ u proloˇzen´e vypoˇctˇete vlastn´ı frekvenci voln´eho oscil´atoru. 3. Zmˇeˇrte z´ avislost Amplitudy vynucen´ ych kmit˚ u na frekvenci vnˇejˇs´ı s´ıly v okol´ı rezonance pro dvˇe z´ avaˇz´ı a proloˇzen´ım dat ovˇeˇrte platnost vztahu (19) v [1], z parametr˚ u proloˇzen´ı vypoˇctˇete vlastn´ı frekvenci voln´eho oscil´ atoru. 4. Porovnejte v´ ysledky vlastn´ı frekvence ze vˇsech tˇr´ı pˇredchoz´ıch u ´kol˚ u.
2 2.1
Vypracov´ an´ı Pouˇ zit´ e pˇ r´ıstroje
Experiment´ aln´ı stojan s pruˇzinou a motorkem, tlum´ıc´ı magnety, rotaˇcn´ı pohybov´e senory Pasco, sada z´ avaˇz´ı, regulovateln´ y zdroj 0-20 V, PC, program DataStudio a Gnuplot, analytick´e v´ahy.
2.2
Teoretick´ yu ´ vod
Potenci´ al line´ arn´ıho harmonick´eho oscil´ atoru m˚ uˇzeme zapsat rovnic´ı U (x) =
1 2 kx . 2
(1)
V naˇsem pˇr´ıpadˇe je harmonick´ ym oscil´ atorem z´avaˇz´ı zavˇeˇsen´e na pruˇzinˇe. Konstanta k m´a pak v´ yznam tuhosti pruˇziny, pro kterou plat´ı Hook˚ uv z´ akon F = −kx, (2) kde x je prodlouˇzen´ı pruˇziny vyvolan´e p˚ usoben´ım s´ıly F . 2.2.1
Netlumen´ e kmity
Pohybov´ a rovnice pro tˇeleso hmotnosti m pˇr´ısluˇsn´a potenci´alu (1) m´a tvar m¨ x + kx = 0,
(3)
x ¨ + ω 2 x = 0,
(4)
x(t) = C1 cos(ωt) + C2 sin(ωt),
(5)
respektive q
k . kde ω = m Obecn´e ˇreˇsen´ı pohybov´e rovnice (4) je
1
kter´e je moˇzn´e pˇrepsat jako x(t) = A cos(ωt + α),
(6)
p
2 kde A = C12 + C22 a tan α = − C a pak v´ yznam amplitudy oscilac´ı, α je poˇc´ateˇcn´ı f´aze a ω je u ´hlov´ a C1 . A m´ frekvence.
2.2.2
Netlumen´ e kmity s bud´ıc´ı silou
P˚ usob´ı-li na harmonick´ y oscil´ ator vnˇejˇs´ı s´ıla F (t), nab´ yv´a pˇr´ısluˇsn´a pohybov´a rovnice tvaru x ¨ + ω2 x =
F (t) . m
(7)
ˇ sen´ım t´eto rovnice je souˇcet obecn´eho ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice a partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı Reˇ rovnice. Uvaˇzujeme-li periodickou s´ılu F (t) = f cos(γt + β), (8) m´ ame partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı x = B cos(γt + β),
kde
B=
1 f . 2 m ω − γ2
(9)
Tedy celkov´e ˇreˇsen´ı zn´ı x(t) = A cos(ωt + α) + B cos(γt + β).
(10)
f 1 x(t) = A˜ cos(ωt + α) + [cos(γt + β) − cos(ωt + β)] , m ω2 − γ 2
(11)
Tuto rovnici m˚ uˇzeme pˇrepsat na
kde z limity γ → ω dost´ av´ ame f x(t) = A˜ cos(ωt + α) + t sin(ωt + β). 2mω
(12)
Pˇri rezonanci tedy s ˇcasem amplituda oscilac´ı netlumen´eho syst´emu roste line´arnˇe. 2.2.3
Tlumen´ e kmity
Tlumen´ı harmonick´eho oscil´ atoru zahrneme do pohybov´e rovnice tˇrec´ı silou, kter´a z´avis´ı na rychlosti kmit´ an´ı. m¨ x = −kx − hx. ˙
(13)
Zav´ ad´ıme tak´e dekrement u ´tlumu δ a frekvenci voln´eho oscil´atoru bez tˇren´ı ω0 : 2δ =
h , m
ω02 =
k . m
(14)
V tomto znaˇcen´ı m´ a pohybov´ a rovnice tlumen´eho oscil´atoru tvar x ¨ = 2δ x˙ + ω02 x = 0.
(15)
x(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t ,
(16)
Obecn´e ˇreˇsen´ı je tvaru kde λ1,2 = −δ ±
q
δ 2 − ω02 .
(17)
M˚ uˇzeme rozliˇsit tˇri pˇr´ıpady. 1. Slab´ yu ´tlum: Je-li δ < ω0 m´ a obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (15) tvar x(t) = Ae−δt cos(ωt + α),
(18) p kde ω = ω02 − δ 2 a A a α jsou re´ aln´e konstanty. V syst´emu tedy doch´az´ı k periodick´ ym kmit˚ um s exponenci´ alnˇe klesaj´ıc´ı amplitudou a sn´ıˇzenou frekvenc´ı. 2
2. Siln´ yu ´tlum: Je-li δ > ω0 m´ a obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (15) tvar √2 2 √2 2 x(t) = c1 e−(δ− δ −ω0 )t + c2 e−(δ+ δ −ω0 )t .
(19)
V´ ychylka tedy kles´ a jako |x| a asymptoticky se bl´ıˇz´ı rovnov´aˇzn´e poloze. Nast´av´a tzv. aperiodick´ yu ´tlum. 3. Kritick´ yu ´tlum: Je-li δ = ω0 m´ a obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (15) tvar x(t) = (c1 + c2 t)e−δt ,
(20)
coˇz je zvl´ aˇstn´ı pˇr´ıpad aperiodick´eho u ´tlumu. 2.2.4
Tlumen´ e kmity s bud´ıc´ı silou
Pˇrid´ an´ım vnˇejˇs´ı periodick´e s´ıly F (t) = f cos(γt) do rovnice (15) dost´av´ame pohybovou rovnici f cos(γt). m
x ¨ = 2δ x˙ + ω02 x =
(21)
Pro δ < ω0 pomoc´ı postupu uveden´eho napˇr v ??? dost´av´ame x(t) = Ae−δt cos(ωt + α) + B cos(γt + ξ), kde ξ = arctan
2δγ . − ω02
γ2
(22)
(23)
Pˇritom prvn´ı ˇclen exponenci´ alnˇe kles´ a s rostouc´ım ˇcasem, takˇze po dostateˇcnˇe dlouh´e dobˇe tento ˇclen zanedb´ ame a ˇreˇsen´ım rovnice (21) je x(t) = B cos(γt + ξ). (24) yv´ a amplituda maxima, ale neroste nade vˇsechny meze a m´a maximum v bodˇe γ = p Pˇri rezonanci nab´ ω02 − 2δ 2 Pˇri vˇsech v´ ypoˇctech pouˇz´ıv´ ame d´ ale vztah mezi u ´hlovou rychlost´ı, frekvenc´ı a periodou f=
2.3
1 ω = T 2π
(25)
Postup mˇ eˇ ren´ı
Aparatura je sestavena podle obr´ azku 2 v [1]. Skl´ad´a se z dvou senzor˚ u pro mˇeˇren´ı v´ ychylky, z pruˇzinky s promˇenn´ ym z´ avaˇz´ım a motorku, kter´ y vyr´ ab´ı vnˇejˇs´ı s´ılu. Tlumen´ı je realizov´ano magnety, kter´e indukuj´ı v´ıˇriv´e proudy v hlin´ıkov´em tˇelese, kter´e je zavˇeˇseno jako z´avaˇz´ı. Senzor S1 mˇeˇr´ı ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh vnˇejˇs´ı s´ıly, senzor S2 oscilace. Oba jsou pˇripojeny k poˇc´ıtaˇci, data zaznamen´av´a program DataStudio. N´avod k ovl´ad´an´ı tohoto programu je lehce k nalezen´ı na internetu, pro n´as potˇrebn´e u ´kony jsou vyps´any v [1]. Oproti n´avodu jsme vzorkovac´ı frekvenci nastavili na 50 Hz abychom zaznamen´avali pr˚ ubˇeh kmit˚ u v lepˇs´ım rozliˇsen´ı. 2.3.1
Mˇ eˇ ren´ı ˇ casov´ eho pr˚ ubˇ ehu tlumen´ ych kmit˚ u
Na drˇz´ ak um´ıst´ıme zvolen´e z´ avaˇz´ı, vynulujeme senzory. Zapneme ukl´ ad´ an´ı dat. Syst´emu udˇel´ıme poˇc´ ateˇcn´ı v´ ychylku a nech´ame volnˇe kmitat do zastaven´ı. Vypneme ukl´ ad´ an´ı dat, vymaˇzeme nepotˇrebn´e u ´seky.
2.3.2
Mˇ eˇ ren´ı ˇ casov´ eho pr˚ ubˇ ehu tlumen´ ych kmit˚ u s bud´ıc´ı silou
Nejdˇr´ıve postupnˇe zvyˇsujeme napˇet´ı a zjiˇst’ujeme, kde (pˇri jak´em napˇet´ı) pˇribliˇznˇe nast´av´a rezonance. Dalˇs´ı postup opakujeme vˇzdy pro r˚ uzn´e hodnoty napˇet´ı v okol´ı rezonance. Po nastaven´ı dan´eho napˇet´ı vyˇck´ame, neˇz se amplituda kmit˚ u v´ıce-m´enˇe ust´ al´ı a aˇz pot´e zaˇcneme zaznamen´avat data. Mˇeˇr´ıme maxim´aln´ı amplitudu a frekvenci bud´ıc´ı s´ıly. Na drˇz´ ak um´ıst´ıme zvolen´e z´ avaˇz´ı, vynulujeme senzory.
3
Nastav´ıme napˇet´ı na zdroji. Zapneme ukl´ ad´ an´ı dat. Zaznamen´ ame 20 period kmit˚ u. Vypneme ukl´ ad´ an´ı dat, vymaˇzeme nepotˇrebn´e u ´seky.
2.3.3
Mˇ eˇ ren´ı tuhosti pruˇ ziny statickou metodou
Z hodnoty line´ arn´ı v´ ychylky senzoru oscilac´ı S2 urˇc´ıme prodlouˇzen´ı pruˇzinky x po pˇrid´an´ı z´avaˇz´ı o hmotnosti m. Tuhost k z´ısk´ ame podle vztahu mg = −kx, (26) kde g je t´ıhov´e zrychlen´ı.
2.4
Namˇ eˇ ren´ e hodnoty
2.4.1
Mˇ eˇ ren´ı ˇ casov´ eho pr˚ ubˇ ehu tlumen´ ych kmit˚ u
2.4.2
Mˇ eˇ ren´ı ˇ casov´ eho pr˚ ubˇ ehu tlumen´ ych kmit˚ u s bud´ıc´ı silou γ [Hz]
B [mm]
2.31846 2.32493 2.38994 2.42301 2.47402 2.53119 2.59081 2.62137 2.66573 2.49464 2.54829
2.483 2.284 3.244 4.607 8.933 13.857 6.468 5.327 3.765 13.859 8.892
Tabulka 1: Tabulka namˇeˇren´ ych hodnot pˇri tlumen´ ych kmitech s bud´ıc´ı silou; γ je frekvence bud´ıc´ı s´ıly, B je maxim´ aln´ı amplituda
2.4.3
Mˇ eˇ ren´ı tuhosti pruˇ ziny statickou metodou x [mm]
m [g]
k [N/m]
ω0 [rad/s]
-5.728 -18.900 -10.330 -1.682
6.5010 21.5390 11.7117 1.9640
11.1 11.2 11.1 11.5
19.9 16.8 18.3 21.7
k
11.2 ± 0.2
Tabulka 2: Tabulka namˇeˇren´ ych hodnot pˇri urˇcov´an´ı tuhosti pruˇziny; x je prodlouˇ q zen´ı, m hmotnost z´avaˇz´ı, k k koeficient tuhosti, ω0 vlastn´ı u ´hlov´ a frekvence spoˇc´ıtan´a na z´akladˇe vztahu ω0 m+m , kde m0 = 21.84g je m hlin´ıkov´ y blok v soustavˇe oscil´ atoru
4
Obr´ azek 1: Pr˚ ubˇeh tlumen´ ych kmit˚ u s pˇr´ıdavn´ ym z´avaˇz´ım o hmotnosti m = 1 g, fit je tvaru f (x) = ae−lx cos(ox + h) + d a konstanty a = 33.6344 ± 0.5486, l = 0.497741 ± 0.006756, o = 20.0132 ± 0.006918, h = 3.12307 ± 0.017, d = 44.34 ± 0.03361
5
Obr´ azek 2: Pr˚ ubˇeh tlumen´ ych kmit˚ u s pˇr´ıdavn´ ym z´avaˇz´ım o hmotnosti m = 6 g, fit je tvaru f (x) = ae−lx cos(ox + h) + d a konstanty a = 34.3417 ± 0.5745, l = 0.477609 ± 0.006532, o = 18.8203 ± 0.006813, h = −7.45991 ± 0.01773, d = 37.5084 ± 0.03332
6
Obr´ azek 3: Pr˚ ubˇeh tlumen´ ych kmit˚ u s pˇr´ıdavn´ ym z´avaˇz´ım o hmotnosti m = 11 g, fit je tvaru f (x) = ae−lx cos(ox + h) + d a konstanty a = 60.4089 ± 1.352, l = 0.406103 ± 0.00869, o = 17.3328 ± 0.008913, h = −0.24189 ± 0.02311, d = 35.5904 ± 0.1052
7
Obr´ azek 4: Pr˚ ubˇeh tlumen´ ych kmit˚ u s pˇr´ıdavn´ ym z´avaˇz´ım o hmotnosti m = 21 g, fit je tvaru f (x) = ae−lx cos(ox + h) + d a konstanty a = 35.252 ± 0.1643, l = 0.230967 ± 0.00159, o = 15.6765 ± 0.00152, h = −1.95748 ± 0.004416, d = 26.7181 ± 0.01943
8
Obr´ azek 5: Pr˚ ubˇeh tlumen´ ych kmit˚ u s bud´ıc´ı silou; s pˇr´ıdavn´ ym z´avaˇz´ım o hmotnosti m = 21 g, fit je tvaru a b(γ) = √ a konstanty a = 2.31043 ± 0.1816, o = 6.31819 ± 0.01093, d = 0.00327339 ± 0.000909 2 2 2 (o−γ ) +dγ
9
3
Diskuze a Z´ avˇ er
Platnost zm´ınˇen´ ych rovnic jsme ovˇeˇrili, ve vˇsech pˇr´ıpadech je vidˇet, ˇze tyto rovnice dobˇre pˇredpov´ıdaj´ı v´ ysledky mˇeˇren´ı. Zmˇeˇrili jsme tuhost pruˇziny (k = 11.2 ± 0.2) N/m a urˇcili vlastn´ı u ´hlovou frekvenci pro oscil´ ator s r˚ uzn´ ymi z´ avaˇz´ımi.
4
Pouˇ zit´ a literatura
Reference [1] Kolektiv KF, N´ avod k u ´loze: Akustika [Online], [cit. 16. listopadu 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/129/mod resource/content/4/10-LHO-2012-09.pdf
ˇ ast II C´
Pohlovo kyvadlo 5
Zad´ an´ı 1. Zmˇeˇrte tuhost pruˇziny Pohlova kyvadla. 2. Namˇeˇrte ˇcasov´ y v´ yvoj v´ ychylky kmit˚ u kyvadla pro netlumen´e kmity. Za pouˇzit´ı v´ ysledku tohoto a minul´eho u ´kolu vypoˇc´ıtejte moment setrvaˇcnosti kyvadla I. 3. Zmˇeˇrte koeficient u ´tlumu pro nˇekolik zvolen´ ych hodnot tlum´ıc´ıho proudu. Z´avislost vyneste do grafu. 4. Extrapolac´ı urˇcete hodnotu tlum´ıc´ıho proudu, pˇri kter´em doch´az´ı ke kritick´emu tlumen´ı. Nastavte tuto hodnotu, zmˇeˇrte pr˚ ubˇeh pˇri rychlostn´ı a polohov´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınce a ovˇeˇrte, ˇze je kyvadlo skuteˇcnˇe kriticky tlumeno.
6
Vypracov´ an´ı
6.1
Pouˇ zit´ e pˇ r´ıstroje
Pohlovo kyvadlo, sada z´ avaˇz´ı, senzor PASCO, program DataStudio, PC.
6.2
Teoretick´ yu ´ vod
Kmity kyvadla zajiˇst’uje pruˇzina. V´ ysledn´ y moment sil bude zahrnovat moment sil generovan´ ych pruˇzinou a pˇr´ıpadnˇe moment sil tlum´ıc´ıch generovan´ ych v´ıˇriv´ ymi proudy indukovan´ ymi c´ıvkami. Plat´ı N = NP + NT . Abychom dok´ azali vyˇreˇsit pohybovou rovnici, pˇredpokl´ad´ame moment sil generovan´ ych pruˇzinou pˇri vych´ ylen´ı je pˇr´ımo u ´mˇern´ y odpov´ıdaj´ıc´ımu u ´hlu ϕ pootoˇcen´ı kyvadla Np = −Dϕ, (27)
kde D > 0 se naz´ yv´ a tuhost pruˇziny torzn´ıho kyvadla. moment tlum´ıc´ıch sil pˇri pohybu kyvadla je pˇr´ımo u ´mˇern´ y odpov´ıdaj´ıc´ı u ´hlov´e rychlosti kyvadla
NT = −C ϕ(t), ˙
(28)
kde C ≥ 0. Pohybovou rovnici zap´ıˇseme ve tvaru ϕ(t) ¨ + 2δ ϕ(t) ˙ + ω02 ϕ(t) = 0, C a ω02 = D kde δ = 2I I . Rozliˇsuje dva typy poˇc´ ateˇcn´ıch podm´ınek:
10
(29)
podm´ınka polohov´ a
ϕ(0) = ϕ0 > 0,
ϕ(0) ˙ =0
(30)
ϕ(0) ˙ = Ω0 > 0.
(31)
podm´ınka rychlostn´ı
ϕ(0) = 0,
ˇ sen´ı z´ Reˇ avis´ı na vztahu konstant δ a ω0 . Rozliˇsujeme tˇri pˇr´ıpady 1. Pˇr´ıpad mal´eho u ´tlumu (ω0 > δ ≥ 0): ϕ(t) = ϕmax e−δt sin(ωt + ϕ0 ),
(32)
kde plat´ı ω=
q ω02 − δ 2 .
(33)
2. Pˇr´ıpad kritick´eho u ´tlumu (ω0 = δ): Pˇri poˇc´ateˇcn´ı polohov´e podm´ınce plat´ı ϕ(t) = ϕ0 (1 + δt)e−δt ,
(34)
ϕ(t) = Ω0 te−δt ,
(35)
pˇri poˇc´ ateˇcn´ı rychlostn´ı podm´ınce 3. Pˇr´ıpad siln´eho u ´tlumu(ω0 < δ): Pˇri poˇc´ ateˇcn´ı polohov´e podm´ınce plat´ı δ ϕ(t) = ϕ0 e−δt cosh(dt) + sinh(dt) , d
(36)
pˇri poˇc´ ateˇcn´ı rychlostn´ı podm´ınce ϕ(t) =
Ω0 −δt e sinh(dt), d
kde d=
6.3 6.3.1
q
(37)
δ 2 − ω02 .
(38)
Postup mˇ eˇ ren´ı Mˇ eˇ ren´ı tuhosti pruˇ ziny Pohlova kyvadla
Na pruˇzinu jsme pˇres kladku zavˇesili postupnˇe 4 z´avaˇz´ı a odeˇc´ıtali aktu´aln´ı u ´hlovou v´ ychylku. 6.3.2
Netlumen´ e kmity
Pomoc´ı poˇc´ ateˇcn´ı v´ ychylky nebo rychlosti jsme kyvadlo uvedli do kmitav´eho pohybu, pˇres senzor u ´hlov´e zmˇeny au ´hlov´e rychlosti jsme data sb´ırali v programu DataStudio.
6.4 6.4.1
Namˇ eˇ ren´ e hodnoty Mˇ eˇ ren´ı tuhosti pruˇ ziny Pohlova kyvadla ϕ [rad]
m [g]
D
2.39 1.98 1.15 0 -1.4
0 1.964 6.501 11.7117 21.539 D
0.0044 0.0048 0.0045 0.0052 −0.0047 ± 0.0004
Tabulka 3: Tabulka namˇeˇren´ ych hodnot v´ ychylky ϕ pˇri zat´ıˇzen´ı Pohlova kyvadla o polomˇeru r = 93.9 mm hmotnost´ı m, D je vypoˇc´ıtan´ a tuhost pruˇziny
11
6.4.2
Netlumen´ e kmity
Se z´ avaˇz´ım o hmotnosti m = 21.539 g jsme urˇcili vlastn´ı u ´hlovou frekvenci ω0 = 3.51357 pˇri polohov´e poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınce a ω0 = 3.52701 pˇri rychlostn´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınce. Se z´avaˇz´ım o hmotnosti m = 11.7117 g jsme urˇcili vlastn´ı u ´hlovou frekvenci ω0 = 3.43710 pˇri polohov´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınce a ω0 = 3.44086 pˇri rychlostn´ı poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınce. Ovˇeˇrili jsme tedy pˇredpoklad, ˇze frekvence nez´avis´ı na typu poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky a rovnˇeˇz na hmotnosti z´ avaˇz´ı. Pr˚ umˇern´ a hodnota vlastn´ı frekvence je ω0 = (3.48 ± 0.05) [rad/s]. Spoˇc´ıt´ ame moment setrvaˇcnosti jako I = ωD2 = (0.0039 ± 0.0003)kgm2 0
6.4.3
Tlumen´ e kmity I [A]
δ [rad/s]
T [s]
ω [rad/s]
0.5 0.8 1.1 1.4
0.675 0.656 1.064 1.768
1.7724 1.8386 1.8965 2.0962
3.545 3.417 3.313 2.997
Tabulka 4: Tabulka namˇeˇren´ ych hodnot koeficientu u ´tlumu δ vypoˇcten´eho z periody T a vlastn´ı frekvence ω0
7
Diskuze a Z´ avˇ er
Fit z´ avislosti dektrementu u ´tlumu na proudu prot´ekaj´ıc´ım v tlum´ıc´ıch c´ıvk´ach m´a takovou chybu, ˇze nem´ a cenu z nˇej odhadovat kdy nastane kritick´e tlumen´ı. Experiment´alnˇe jsme ovˇeˇrili, ˇze kritick´ yu ´tlum nast´av´ a pˇri hodnotˇe proudu 1.9 - 2.0 A. Moment setrvaˇcnosti jsme urˇcili jako I = ωD2 = (0.0039 ± 0.0003)kgm2 . Urˇcit´ a 0 chyba mˇeˇren´ı urˇcitˇe nast´ av´ a ve chv´ıli, kdy povaˇzujeme tlumen´e kmity (pˇrestoˇze jen m´ırnˇe) za netlumen´e a n´ ami urˇcen´ a vlastn´ı frekvence je tak niˇzˇs´ı, neˇz opravdov´a.
8
Pouˇ zit´ a literatura
Reference [1] Kolektiv KF, N´ avod k u ´loze: Akustika [Online], [cit. 16. listopadu 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/130/mod resource/content/5/10-TK-2012-09.pdf
ˇ ast III C´
Zpracov´ an´ı v´ ysledk˚ u Pro statistick´e zpracov´ an´ı budeme potˇrebovat n´asleduj´ıc´ı vztahy [1]: Aritmetick´ y pr˚ umˇer
n
x= Smˇerodatn´ a odchylka
v u u σx = t
1X xi n i=1
(39)
n
1 X 2 (xi − x) , n − 1 i=1
(40)
kde xi jsou jednotliv´e namˇeˇren´e hodnoty, n je poˇcet mˇeˇren´ı, x aritmetick´ y pr˚ umˇer a σx smˇerodatn´ a odchylka.
12
Obr´ azek 6: Z´ avislost dekrementu u ´tlumu na proudu v tlum´ıc´ıch c´ıvk´ach, fit je tvaru f (x) = ax + b a konstanty a = 1.22827 ± 0.3819b = −0.12547 ± 0.3847
13
Jedn´ a-li se o nepˇr´ım´e mˇeˇren´ı, spoˇc´ıt´ ame v´ yslednou hodnotu a chybu dle n´asleduj´ıc´ıch vztah˚ u: Necht’ u = f (x, y, z, . . .) x = (x ± σx ),
y = (y ± σy ),
z = (z ± σz ),
kde u je veliˇcina nepˇr´ımo urˇcovan´ a pomoc´ı pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin x, y, z, . . . Pak u = f (x, y, z, . . .) s 2 2 2 ∂f ∂f ∂f σx2 + σy2 + σz2 + . . . σu = ∂x ∂y ∂z u = (u ± σu ),
9
Pouˇ zit´ a literatura
Reference [1] Kolektiv KF, Chyby mˇeˇren´ı [Online], [cit. 16. listopadu 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf
14
(41)
...,
(42)
