´ ´I PRAKTIKUM FJFI CVUT ˇ FYZIKALN V PRAZE Datum mˇ eˇ ren´ı: 6.3.2011 Pracovn´ı skupina: 2 Spolupracovn´ıci: Viktor Pol´ ak
Jm´ eno: Jakub K´akona Hodina: Po 7:30 Hodnocen´ı:
´ Uloha ˇc.4: Balmerova s´erie Abstrakt V tomto mˇeˇren´ı je c´ılem promˇeˇrit spektrum zn´am´e Balmerovy s´erie vod´ıku a z namˇeˇren´ ych vlnov´ ych d´elek urˇcit hodnotu Rydbergovy konstanty.
´ Uvod
1
1. (Nepovinn´e) V pˇr´ıpravˇe naleznˇete obecnˇe pro α1 6= α2 podm´ınku nejmenˇs´ı deviace α1 = α2 a z toho odvod’te vzorec [12]. N´avod:Uvˇedomte si, ˇze deviace ε je sloˇzenou funkc´ı α1 : ε = ε (α2 (β2 (β1 (α1 )))) 2. V pˇr´ıpravˇe odvod’te vzorec [12] v pˇr´ıpadˇe, ˇze je splnˇena podm´ınka u ´hlu nejmenˇs´ı deviace α1 = α2 . 3. V pˇr´ıpravˇe vypoˇctˇete (i numericky) hodnotu Rydberghovy konstanty (tj. odvod’te vztah [11] ze vztah˚ u [6], [10] a [9]. 4. V pˇr´ıpravˇe odvod’te vzorce [14] a [17]. 5. Metodou dˇelen´ ych svazk˚ u viz http://fyzport.fjfi.cvut.cz/Hardware/Goniometr/goniometr.pdf zmˇeˇrte l´amav´ yu ´hel hranolu. Mˇeˇren´ı proved’te 4x. 6. Zmˇeˇrte index lomu hranolu v z´avislosti na vlnov´e d´elce pro ˇc´ary rtut’ov´eho spektra, nakreslete graf a fitov´an´ım neline´arn´ı funkc´ı [13] urˇcete disperzn´ı vztah n = n (λ). 7. Zmˇeˇrte spektrum vod´ıkov´e v´ ybojky (Balmerovu s´erii atomu vod´ıku) a ovˇeˇrte platnost vztahu [3]. 8. Metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u nebo fitov´an´ım spoˇctˇete Rydbergovu konstantu pro atom´arn´ı vod´ık. V´ ypoˇcet t´e konstanty je analogick´ y jako v´ ypoˇcet Planckovy konstanty v u ´loze Studium rentgenov´eho spektra Mo anody. Pod´ıvejte se na u ´kol ˇc. 4 t´eto u ´lohy. 9. Urˇcete charakteristickou disperzi dn/dλ v okol´ı vlnov´e d´elky 589 nm (ˇzlut´e ˇca´ry v sod´ıkov´em spektru). 10. Urˇcete rozliˇsovac´ı schopnost hranolu pro sod´ıkov´ y dublet a vypoˇc´ıtejte minim´aln´ı velikost z´akladny hranolu, vyroben´eho ze stejn´eho materi´alu jako hranol, s kter´ ym mˇeˇr´ıte, kter´ y je jeˇstˇe schopen rozliˇsit sod´ıkov´ y dublet. 1 1ˇ
C´ısla rovnic odkazuj´ı na ˇc´ısla rovnic v zad´an´ı u ´lohy [1]
Obr´azek 1: Sch´ematick´e zn´azornˇen´ı lomu svˇetla hranolem V naˇsem pˇr´ıpadˇe pouˇzijeme jako energetick´ y zdroj v´ ybojku naplnˇenou vodn´ımi parami, kter´e v´ yboj rozkl´ad´a a vznik´a tak atom´arn´ı vod´ık. V´ yboj tak´e vybuzuje vznikl´e vod´ıkov´e atomy do vysok´ ych energetick´ ych hladin, ze kter´ ych se potom snaˇz´ı pˇrech´azet do niˇzˇs´ıch stav˚ u. Pˇrechody elektron˚ u jsou pak doprov´azen´e emis´ı foton˚ u pˇr´ısluˇsn´e energie. My se soustˇred´ıme na fotony viditeln´eho svˇetla a to jsou prvn´ı ˇctyˇri ˇc´ary Balmerovy s´erie. Spektrometr se v naˇsem pˇr´ıpadˇe bude skl´adat z hranolu, kter´ y rozkl´ad´a viditeln´e svˇetlo (d´ıky lomu svˇetla v disperzn´ım prostˇred´ı) z v´ ybojky na monochromatick´e paprsky. Goniometrem budeme mˇeˇrit u ´hel, pod kter´ ym se l´amou jednotliv´e vlnov´e d´elky pr˚ uchodem skrz hranol, z u ´hlu pak na z´akladˇe z disperzn´ıch vlastnost´ı hranolu urˇc´ıme vlnovou d´elku spektr´aln´ı ˇc´ary a pot´e na z´akladˇe tˇechto v´ ysledk˚ u mˇeˇren´ı ovˇeˇr´ıme Balmer˚ uv vzorec 4 a spoˇcteme Rydbergovu konstantu.
1.1
Lom svˇ etla hranolem
D´ıky tomu, ˇze optick´ y hranol je materi´al ohraniˇcen´ y dvˇema r˚ uznobˇeˇzn´ ymi rovinami - l´amav´ ymi stˇenami. Pr˚ useˇcnice l´amav´ ych stˇen se naz´ yv´a l´amav´a hrana a u ´hel jimi sevˇren´ y l´amav´ yu ´hel ϕ. ’ Na hranol necht dopad´a monochromatick´ y svˇeteln´ y paprsek dan´e vlnov´e d´elky λ v rovinˇe kolm´e na l´amavou hranu, tedy v tzv. hlavn´ım ˇrezu. Paprsek dopad´a na l´amavou stˇenu pod u ´hlem α1 , ´ l´ame se podle z´akona lomu pod u ´hlem β1 . Uhel dopadu na dalˇs´ı stˇenˇe oznaˇc´ıme β2 a u ´hel lomu ´ do vnˇejˇs´ıho prostˇred´ı α2 . Uhel mezi paprskem vstupuj´ıc´ım do hranolu a z nˇej vystupuj´ıc´ım budeme naz´ yvat deviac´ı a oznaˇcovat p´ısmenem ε. Jestliˇze u ´hel dopadu vol´ıme tak, aby uvnitˇr hranolu byl paprsek kolm´ y k ose l´amav´eho u ´hlu ϕ, bude jeho deviace od p˚ uvodn´ıho smˇeru minim´aln´ı a paprsek bude vystupovat z hranolu pod u ´hlem α1 = α2 . Pro minim´aln´ı deviaci paprsku, kterou budeme znaˇcit p´ısmenem ε0 , dostaneme sin( ε0 2+ϕ ) = n, sin(ϕ/2)
(1)
kde n je relativn´ı index lomu materi´alu, z kter´eho je hranol vyroben.
1.2
´ Uhlov´ a disperze
´ Uhlov´ a disperze charakterizuje disperzn´ı vlastnosti hranolu. Necht’ hranolem proch´azej´ı v u ´zk´e spektr´aln´ı oblasti paprsky o r˚ uzn´ ych vlnov´ ych d´elk´ach. Pak jejich odchylka od p˚ uvodn´ıho smˇeru ´ ε je funkc´ı vlnov´e d´elky λ; ε = ε(λ). Uhlov´ a disperze je definov´ana vztahem dε/dλ a ud´av´a, jak rychle se mˇen´ı u ´hel ε s vlnovou d´elkou. Vˇsechny l´atky vykazuj´ı disperzi, tj. jejich index lomu je z´avisl´ y na vlnov´e d´elce svˇetla n = n(λ). Veliˇcina dn/dλ se naz´ yv´a charakteristick´a disperze. Je ji moˇzno vyj´adˇrit derivov´an´ım disperzn´ı z´avislosti n = n(λ), je-li zn´am´e jej´ı analytick´e vyj´adˇren´ı.
Pr˚ ubˇeh disperzn´ı z´avislosti se aproximuje r˚ uzn´ ymi vzorci. Pro pˇr´ıpad pouˇzit´eho hranolu dobˇre vyhovuje vzorec: n = nn +
C λ − λn
(2)
v nˇemˇz nn , C , λn jsou konstanty, kter´e se urˇc´ı z namˇeˇren´ ych dat neline´arn´ı regres´ı funkce. Derivujeme-li rovnici pro minim´aln´ı deviaci εo podle λ, dostaneme po u ´pravˇe pro u ´hlovou disperzi dεo /dλ vztah 2 sin(ϕ/2) dn dε0 =q dλ 1 − n2 sin2 (ϕ/2) dλ
(3)
´ Uhlov´ a disperze hranolu je tedy pomˇernˇe sloˇzitou funkc´ı vlnov´e d´elky. Z´avis´ı na n´ı jednak pˇres charakteristickou disperzi dn/dλ, jednak pˇres index lomu n ve jmenovateli posledn´ıho ˇclenu.
1.3
Rydbergova konstanta
Kromˇe Balmerovy s´erie existuj´ı ve spektru atom´arn´ıho vod´ıku jeˇstˇe jin´e, kter´e lze vyj´adˇrit souhrnnˇe vzorcem: ν = R(
1 1 − 2) 2 m n
(4)
A tabulkov´a hodnota Rydbergovy konstanty je n´asleduj´ıc´ı R∞ =
2
α 2 me c = 10 973 731, 568 527(73) m−1 2h
(5)
Postup mˇ eˇ ren´ı
K mˇeˇren´ı u ´hl˚ u lom˚ u jednotliv´ ych spektr´aln´ıch ˇcar jsme pouˇz´ıvali goniometr s hranolem. Sklenˇen´ y hranol byl um´ıstˇen na mˇeˇr´ıc´ım stolku goniometru mezi dalekohledem a kolim´atorem. Nejprve bylo potˇreba l´amav´e plochy hranolu ustavit kolmo na optickou rovinu kolim´atoru a dalekohledu, to jsme provedli justac´ı stavˇec´ıch ˇsroub˚ u pomoc´ı autokolimaˇcn´ı funkce dalekohledu. N´aslednˇe bylo tˇreba zmˇeˇrit l´amav´ yu ´hel hranolu, vybrali jsme si u ´hel u vrcholu A. Mˇeˇren´ı l´amav´eho u ´hlu jsme provedli metodou dˇelan´eho svazku, kdy jsme od kaˇzd´e z l´amav´ ych ploch nechali odr´aˇzet znaˇcku v kolim´atoru (nitkov´ y kˇr´ıˇz). Z geometrie goniometru je pak zˇrejm´e, ˇze namˇeˇren´ yu ´hel je dvojn´asobkem l´amav´eho u ´hlu hranolu. Po zajiˇstˇen´ı geometrie mˇeˇren´ı jsme jeˇstˇe potˇrebovali zjistit disperzn´ı z´avislost materi´alu hranolu, aby bylo moˇzn´e pak spr´avnˇe dopoˇc´ıtat vlnov´e d´elky ˇcar z Balmerovy s´erie. To jsme provedli tak, ˇze jsme pˇred vstupn´ı ˇstˇerbinu kolim´atoru um´ıstili rtut’ovou v´ ybojku, kter´a m´a zn´am´e vlnov´e d´elky ve viditeln´e ˇca´sti spektra. Takˇze d´ıky zmˇeˇren´ı u ´hl˚ u jejich nejmenˇs´ı deviace bylo moˇzn´e z´ıskat disperzn´ı vztah pro materi´al hranolu. Hodnota l´amav´eho u ´hlu (mˇeˇren´ım metodou dˇelen´ı svazk˚ u) hranolu tedy je 59◦ 520 5” ± 5” Po nafitov´an´ı disperzn´ı funkce na namˇeˇren´e hodnoty vych´az´ı konstanty n´asledovnˇe. nn = 1, 7119 ± 0, 0003 ; c = 14, 7 ± 0, 9 ; λn = 250 ± 2 Fitov´an´ım namˇeˇren´ ych hodnot spektr´aln´ıch ˇcar vod´ıku je moˇzn´e dostat hodnotu Rydbergovy konstanty R = (1, 097 ± 0, 005)107 m−1
Tabulka 1: Nemˇeˇren´e hodnoty l´amov´eho u ´hlu hranolu metodou dˇelen´ı svazk˚ u
deg 218 218 218 218 218
d1 d2 ϕ min sec deg min sec deg min sec 21 22 98 37 18 59 52 2 22 39 98 38 45 59 51 57 23 10 98 38 38 59 52 16 22 42 98 38 45 59 51 58 22 36 98 38 16 59 52 10
Tabulka 2: Nemˇeˇren´e hodnoty deviaˇcn´ıch u ´hl˚ u pro ˇc´ary rtuti a jejich vlnov´e d´elky s vypoˇc´ıtan´ ym indexem lomu.
deg 227 228 228 228 229 230 230 232
d1 d2 0 λT AB min sec deg min sec deg min sec λ[nm] n[-] 13 24 104 49 12 61 12 6 690,7520 1,745 29 16 103 33 8 62 28 4 607,2720 1,756 39 16 103 23 8 62 38 4 579,0663 1,757 40 42 103 21 50 62 39 26 576,9598 1,757 16 30 102 45 4 63 15 43 546,0735 1,762 33 12 101 29 50 64 31 41 501,7279 1,773 40 54 101 21 50 64 39 32 498,0640 1,774 57 20 99 6 16 66 55 32 491,6070 1,792
Tabulka 3: Nemˇeˇren´e hodnoty deviaˇcn´ıch u ´hl˚ u pro ˇc´ary Balmerovy s´erie a jejich vlnov´e d´elky.
deg 227 230 232 233
d1 d2 0 min sec deg min sec deg min sec λ [nm] chyba [nm] 34 34 104 29 8 61 32 43 660,94 0,04 51 2 101 11 18 64 49 52 482,83 0,06 54 34 99 9 56 66 52 19 435,14 0,04 2 48 99 0 46 67 1 1 432,54 0,04
Tabulka 4: Nemˇeˇren´e hodnoty deviaˇcn´ıch u ´hl˚ u pro ˇc´ary Balmerovy s´erie a jejich vlnov´e d´elky. d1 d2 0 deg min sec deg min sec deg min sec λ [nm] Rozd´ıl [%] 228 29 50 103 34 22 62 27 44 587,25 0,30 228 30 42 103 33 0 62 28 51 586,04 0,60
Obr´azek 2: Z´avislost indexu lomu na vlnov´e d´elce
3
Diskuse
V pˇr´ıpravˇe jsme odvodili vzorec pro lom hranolem za podm´ınek nejmenˇs´ı deviace, d´ale byla vypoˇctena hodnota Rydbergovy konstanty z teoretick´ ych hodnot. Odvozeny vzorce pro disperzn´ı vztah a zmˇeˇrena spekra nˇekolika v´ ybojek. Zkalibrov´an index lomu hranolu a vypoˇctena hodnota Rydbergovy konstanty.
4
Z´ avˇ er
Mˇeˇren´ım se podaˇrilo z´ıskat pˇribl´ıˇzen´ı Rydbergovy konstanty k tabulkov´e hodnotˇe R = (1, 097± 0, 005)107 m−1 . I pˇres to, ˇze disperze materi´alu nebyla na nˇekter´ ych ˇcar´ach rtuti plnˇe dokalibrov´ana. Protoˇze se je nepodaˇrilo naj´ıt. Tento stav se ale pravdˇepodobnˇe podepsal na kvalitˇe fitu disperzn´ı funkce.
Reference [1] Zad´an´ı u ´lohy 4 - Balmerova s´erie http://praktikum.fjfi.cvut.cz/mod/resource/view.php?id=193
