1
BAB 4
ANALISIS DAN BAHASAN Pada bab ini akan dibahas pengaruh dasar laut tak rata terhadap perambatan gelombang permukaan secara analitik. Pengaruh dasar tak rata ini akan ditinjau melalui simpangan kecepatan potensial partikel air di permukaan. Pertama-tama, akan dicari solusi analitik dari persamaan laplace beserta syarat batas lainnya dengan menggunakan metode pertubation. Solusi analitik yang diperoleh melalui metode tersebut merupakan solusi orde (ε) yang masih berupa masalah nilai batas. Kemudian masalah nilai batas ini diselesaikan melalui transformasi fourier dan teorema residu. Pada akhirnya, akan diperoleh suatu model yang merepresentasikan koefisien transmisi dan refleksi. Melalu koefisien inilah kita dapat melihat apakah dasar tak rata mampu mereduksi amplitudo gelombang datang secara efektif atau tidak. Selain itu, pada bab ini juga akan diberikan suatu simulasi yang menggunakan metode numerik. Program akan mensimulasikan perubahan koefisien transmisi dan refleksi ketika nilai parameter-parameter yang terkait diubah. Program yang akan digunakan adalah python. 4.1
Masalah Nilai Batas Perhatikan gambar 4.1. Misalkan fungsi kedalaman air ketika dasarnya tak
rata dinyatakan sebagai berikut: ,
dimana
(1.1)
merupakan fungsi yang merepresentasikan dasar tak rata,
menyatakan
kedalaman air laut ketika dasar rata,
merupakan sebuah parameter tak berdimensi
dengan nilai yang sangat kecil (
. Parameter
51
digunakan untuk menyatakan
bahwa bentuk dasar yang tak rata ini, memiliki bentuk yang relatif kecil jika dibandingkan dengan kedalaman air laut.
53
Gambar 4.1 Gelombang Air Melalui Dasar Tak Rata Asumsikan fluida air bersifat incompressible (kepadatan air di setiap titik dianggap sama) dan irrotational (partikel air bergerak dengan arah horizontal saja), sehingga persamaan awal yang akan digunakan untuk memodelkan persamaan gelombang air adalah persamaan Laplace dengan syarat batas berikut:
(4.2)
(4.3)
(4.4)
dimana
menyatakan kecepatan partikel air permukaan di titik
,
merupakan konstanta frekuensi angular dari gelombang datang ke arah permukaan air yang tak rata dengan fungsi waktu
merupakan turunan berarah pada titik
,
merupakan percepatan gravitasi, dan
.
Kecepatan potensial awal gelombang yang datang dari tengah laut bisa dinyatakan sebagai berikut
54 (4.5)
dimana
merupakan bilangan gelombang monokromatik, sedangkan
dinyatakan
sebagai berikut (4.6) Pada dasarnya, gelombang air yang melewati dasar tak rata akan mengalami perpecahan menjadi gelombang transmisi dan refleksi. Gelombang transmisi adalah gelombang yang diteruskan ke pantai, sedangakan gelombang refleksi adalah gelombang yang dipantulkan menjauh dari pantai. Dengan demikian, kecepatan potensial air permukaan dapat dinyatakan sebagai berikut
(4.7)
dengan
dan
secara berturut-turut merupakan koefisien dari gelombang yang
direfleksikan dan gelombang yang ditransmisikan. Substitusikan kecepatan potensial awal yang diberikan oleh persamaan 4.5 ke dalam persamaan 4.7 sehingga diperoleh
(4.8)
Keadaan dasar laut yang memenuhi
pada
, dapat
diubah ke dalam orde pertama dengan parameter sebagai berikut
(4.9)
55
4.2
Analisis Pertubasi Untuk Masalah Nilai Batas Dengan menggunakan batasan diatas dan sebuah fakta dimana gelombang
dengan kedalaman yang tetap tidak mengalami refleksi maka ekspansi untuk
dan
, ,
secara berturut-turut dinyatakan oleh
(4.10)
Substitusikan persamaan 4.10 ke dalam persamaan 4.2, 4.3, 4.9 dan 4.8 sehingga diperoleh masalah nilai batas untuk suku-suku berorde ε, yaitu
(4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
4.3
Kecepatan Potensial Air Orde O(ε) Asumsikan bahwa karakteristik dari kecepatan potensial orde (ε) sama
dengan kecepatan potensial air berorde O(1), yaitu gelombang monokromatik yang periodik dan dinyatakan sebagai fungsi kompleks. Oleh karena itu, transformasi Fourier tepat untuk digunakan menyelesaikan masalah nilai batas 4.11 – 4.14 yang memiliki domain tak terhingga.
56 Notasikan transformasi Fourier untuk
adalah sebagai berikut
(4.15) dengan inversnya, (4.16) Terapkan transformasi Fourier kepada persamaan 4.11 dan pada syarat batas 4.12 dan 4.13 sehingga diperoleh masalah nilai batas yang baru yaitu:
(4.17)
(4.18)
(4.19)
dimana (4.20) Persamaan 4.17 merupakan persamaan diferensial biasa berorde dua dengan syarat batas 4.18 dan 4.19 yang dapat diselesaikan dengan metode karakteristik biasa. Pada akhirnya, melalui manipulasi aljabar diperoleh solusi dari masalah nilai batas tersebut, yaitu
(4.21) Dengan menggunakan invers dari transformasi fourier, solusi orde pertama kecepatan potensial dapat ditulis sebagai berikut
57
(4.22)
4.4
Koefisien Transmisi dan Refleksi Perhatikan bahwa solusi 4.22 memiliki nilai singular saat
= 0. Dengan
demikian, solusi 4.22 akan diselesaikan melalui teorema residu. Pertama-tama, tuliskan solusi 4.22 sebagai berikut:
(4.23)
dimana (4.24) (4.25)
Misalkan
merupakan zero expression maka nilai dari bisa ditentukan
(4.26)
dan
dimana
adalah akar dari
dan
(4.27)
Analisalah bahwa kontur integral berupa setengah lingkaran yang berpusat di titik asal dan berjari-jari R. Dengan menggunakan teorema residu diperoleh
58
(4.28 )
Untuk dan
(4.29 )
Untuk
yang mengimplikasikan
(4.30 ) Untuk
dan
59
(4.31 ) Untuk Bandingkan persamaan (4.30) dan (4.31) dengan persamaan (4.14), maka diperoleh koefisien refleksi dan koefisien transmisi secara berturut-turut sebagai berikut: (4.32)
(4.33)
4.5
Solusi Analitik Kasus Dasar Sinusoidal Pada kasus dasar sinusoidal maka
dapat dinyatakan sebagai berikut ini:
(4.34)
dimana
merupakan amplitudo dasar sinusoidal, dan
merupakan banyaknya
gundukan (bilangan gelombang) dasar sinusoidal. Substitusikan persamaan 4.34 ke dalam persamaan 4.32, maka didapat persamaan sebagai berikut (4.35)
Dari persamaan 4.35, tuliskan bagian
ke dalam bentuk berikut
60 (4.36 ) Dengan sedikit manipulasi aljabar dan mengintegralkan persamaan 4.36, maka didapatkan persamaan sebagai berikut
(4.37 )
Perhatikan persamaan 4.37, dengan mengubah bentuk trigonometri ke dalam bentuk eksponen, maka diperoleh persamaan berikut ini
(4.38)
Substitusikan kembali persamaan 4.38 ke dalam persamaan 4.35. Kemudian pilih
L1 =
− nπ l
dan
L2 =
mπ l
maka melalui proses perhitungan diperoleh
(4.39)
Pilihlah nilai
dan
sedemikian sehingga memenuhi
dan
maka koefisien refleksi direpresentasikan oleh persamaan berikut
(4.40)
,
61 Koefisien refleksi merupakan perbandingan antara amplitudo gelombang datang dengan amplitudo gelombang yang direfleksikan. Nilai koefisien refleksi ini memiliki rentang nilai antara 0 sampai dengan 1. Berikut ini akan ditampilkan simulasi analitik dengan menggunakan data sekunder (Martha, Bora, & Chakrabarti, 2009) yang dapat dilihat pada Tabel 4.1
Tabel 4.1 Data Simulasi Analitik Variabel
Nilai
Amplitudo dasar sinusoidal / Kedalaman air laut pada saat dasar rata Banyaknya gundukan (bilangan gelombang)
0.1
Kedalaman air laut pada
saat dasar rata Bilangan gelombang dasar sinusoidal
Gambar 4.2 Perbandingan Koefisien Refleksi (Hasil Analitik)
1
1,3,5
62 Perhatikan Gambar 4.2. Gambar tersebut menunjukkan besarnya koefisien refleksi sebagai fungsi dari perkalian antara bilangan gelombang dating dengan kedalaman air pada saat dasar rata (k0h). Koefisien refleksi digambarkan untuk beberapa kasus jumlah gundukan (bilangan gelombang) dasar sinusoidal. Garis berwarna merah, hijau, dan biru secara berturut-turut menunjukkan besarnya koefisien refleksi ketika bilangan gelombang dasar sinusoidal adalah 1, 3, dan 5 (l = 1, 3, 5).
Tabel 4.2 Koefisien Refleksi Maksimum (Hasil Analitik) Bilangan
Kedalaman
Gelombang
Air Laut Saat
Dasar Sinusoidal
Dasar Rata
(l)
(h)
1
1
0.5
0.073166
0.5
3
1/3
0.5
0.217668
1.5
5
1/5
0.5
0.361306
2.5
Koefisien Refleksi k0 x h
Maksimum (R1 maximum)
Bilangan gelombang datang (k0) saat R1 Maksimum
Lebih jauh lagi, kita dapat melihat nilai maksimum koefisien refleksi dari tabel 4.2. Berdasarkan Gambar 4.2 dan tabel 4.2 dapat dilihat bahwa untuk perbandingan antara amplitudo dasar sinusoidal dengan kedalaman air laut (
)
yang sama, semakin besar bilangan gelombang dasar sinusoidal, maka semakin besar koefisien refleksi yang dihasilkan. Hal ini menunjukkan bahwa semakin besar bilangan gelombang (semakin banyak gundukan) dasar sinusoidal, maka akan semakin besar amplitudo gelombang yang direfleksikan, sehingga amplitudo gelombang yang ditransmisikan menuju pantai semakin kecil.
63 Tabel 4.2 juga menunjukkan bahwa koefisien refleksi maksimum akan dicapai ketika bilangan gelombang dasar sinusoidal sebesar dua kali lipat bilangan gelombang monokromatik yang datang. Hal ini sesuai dengan kondisi Resonansi Bragg (C.C Mei, 2004). 4.6
Simulasi Numerik Kasus Dasar Sinusoidal Untuk mendapatkan solusi numerik, maka akan ditinjau dari persamaan
(4.32). Pada persamaan ini terdapat bagian integral yang akan diselesaikan secara numerik. Fungsi
dapat dinyatakan sebagai berikut ini.
Dengan menggunakan variabel berikut ini maka akan dihitung solusi numerik dengan menggunakan software yang telah dikembangkan. Berikut ini akan ditampilkan hasil simulasi numerik dengan berbagai skenario. 4.6.1 Kasus 1: Variasi Banyaknya Jumlah Gundukan Pada kasus ini, maka akan dilakukan beberapa perhitungan dengan jumlah gundukan dasar sinusoidal yang berbeda dengan data seperti pada tabel 4.3. Perhatikan juga bahwa data-data pada Tabel 4.3 memenuhi semua kondisi pada tabel 4.1. Hal ini dimaksudkan agar kita dapat melihat perbandingan antara solusi analitik dan numerik yang akan dibahas lebih lanjut pada subbab 4.6.4. Tabel 4.3 Data Simulasi Numerik: Variasi Jumlah Gundukan Amplitudo dasar sinusoidal
0.1
Jumlah
Jumlah Partisi
Air Laut
gundukan(l) 1
Kedalaman
250
1
Batas
Batas
Kiri
Kanan
3.14
64
0.033 0.02
3 5
250 250
0.33
3.14
0.2
3.14
Hasil simulasi dari ketiga kasus yang diberikan pada dari tabel 4.3 ditunjukkan dengan gambar 4.3, gambar 4.4, dan gambar 4.5. Berdasarkan ketiga gambar tersebut dapat dilihat bahwa solusi numerik dan solusi analitik menunjukkan kesesuaian, yaitu semakin banyak gundukan (bilangan gelombang) dasar sinusoidal, maka semakin besar pula koefisien refleksinya.
Gambar 4.3 Koefisien Refleksi Kasus 1 Gundukan (Variasi Jumlah Gudukan)
65
Gambar 4.4 Koefisien Refleksi Kasus 3 Gundukan (Variasi Jumlah Gudukan)
Gambar 4.5 Koefisien Refleksi Kasus 5 Gundukan (Variasi Jumlah Gudukan) Tabel 4.4 Koefisien Refleksi Maximum (Variasi Jumlah Gundukan) Bilangan gelombang Jumlah Gundukan
Nilai
datang (k0) saat R1 Maksimum
1
0.073168
0.5
3
0.217416
1.5
5
0.361339
2.5
66
Simulasi numerik ini juga memberikan bahwa nilai koefisien refleksi maksimum juga dicapai saat bilangan gelombang dasar sinusoidal (jumlah gundukan) sebesar dua kali lipat bilangan gelombang monokromatik yang datang. Hal ini dapat dilihat pada tabel 4.4. Berdasarkan data tabel 4.4 juga terlihat bahwa jumlah gundukan berbanding lurus dengan nilai
. Dengan kata lain, semakin
banyak jumlah gundukan, maka refleksi yang dihasilkan akan semakin besar sehingga secara tidak langsung amplitudo gelombang air yang di transmisikan ke pantai akan berkurang.
4.6.2 Kasus 2: Variasi Nilai Amplitudo Dasar Sinusoidal Pada kasus kedua, simulasi dilakukan dengan nilai amplitudo dasar sinusoidal yang berbeda-beda, sedangkan parameter lainnya tetap. Lihat Tabel 4.5.
Tabel 4.5 Data Simulasi Numerik: Variasi Nilai Amplitudo Dasar Sinusoidal Amplitudo
Jumlah gundukan (l)
0.03 0.06 0.09
3 3 3
Jumlah Partisi
250 250 250
Kedalaman
Batas Kiri
Batas Kanan
Air Laut 0.3
3.14
0.3
3.14
0.3
3.14
Hasil simulasi dari kasus kedua ini ditunjukkan dengan gambar 4.6 - 4.8 dan Tabel 4.6.
67
Gambar 4.6 Koefisien Refleksi: Amplitudo Dasar Sinusoidal 0.03
Gambar 4.7 Koefisien Refleksi: Amplitudo Dasar Sinusoidal 0.06
68
Gambar 4.8 Koefisien Refleksi: Amplitudo Dasar Sinusoidal 0.03 Tabel 4.6 Koefisien Refleksi Maksimal (Variasi Nilai Amplitudo Dasar Sinusoidal) Amplitudo
Nilai
Maximum
0.03
0.217416
0.066
0.434832
0.099
0.652248
Berdasarkan data tabel 4.6 diatas, terlihat bahwa semakin besar amplitudo dasar sinusoidal, maka nilai koefisien refleksi akan semakin besar. Lebih jauh lagi dapat dilihat bahwa jika amplitudo dasar dinaikkan dua kali lipat nilai semula, maka koefisien refleksi juga naik dua kali lipat dari koefisien semula (bersifat linier). 4.6.3 Kasus 3: Variasi Panjang Dasar Sinusoidal Pada kasus ketiga, simulasi dilakukan dengan mengubah-ubah panjang dasar sinusoidal dengan cara mengubah batas kanan dasar sinusoidal, sedangkan batas kirinya dan parameter lainnya tetap. Lihat Tabel 4.7 Tabel 4.7 Data Simulasi Numerik: Variasi Panjang Dasar Sinusoidal Amplitudo
Jumlah
Jumlah
Kedalaman
Batas Kiri
Batas Kanan
69 gundukan (l)
0.03 0.03 0.03
3 3 3
Partisi
250 250 250
Air Laut 0.3
0
0.3
3.14
0.3
6.28
Hasil simulasi dari tabel 4.7 ditunjukkan dengan gambar 4.9 - 4.11, dan Tabel 4.8.
Gambar 4.9 Koefisien Refleksi: Panjang Dasar Sinusoidal 3.14
Gambar 4.10 Koefisien Refleksi: Panjang Dasar Sinusoidal 6.28
70
Gambar 4.11 Koefisien Refleksi Amplitudo Dasar Sinusoidal 9.42 Tabel 4.8 Koefisien Refleksi Maksimal (Variasi Nilai Panjang Dasar Sinusoidal) Batas Kanan
Nilai
Maksimal
0
0.110311
3.14
0.220636
6.28
0.330487
Berdasarkan data tabel 4.8, terlihat bahwa semakin panjang dasar sinusoidal, maka nilai koefisien refleksi akan semakin besar. 4.6.4 Analisis Sensitivitas Pada setiap simulasi yang telah diuraikan pada subbab-subbab sebelumnya, diambil jumlah partisi
sebanyak 250 partisi. Nilai ini diperoleh berdasarkan pada
analisis sensitivitas yang telah dilakukan dengan cara membandingan hasil perhitungan analitik dan hasil perhitungan numerik dengan jumlah partisi
beragam. Tabel 4.9 Analisis Sensitivitas
yang
71 Jumlah
Hasil Perhitungan
Hasil Perhitungan
Analitik
Numerik
50
0.73166
0.731824
0.0164
75
0.73166
0.7317353
0.007
100
0.73166
0.7317041
0.00441
150
0.73166
0.7316819
0.00219
300
0.73166
0.73166855
0.000855
Partisi
Error (%)
Perhitungan error pada tabel 4.9 didapatkan dengan cara berikut ini :
Berdasarkan tabel 4.9, dibuat grafik yang menunjukan hubungan antara jumlah partisi
dan error antara solusi analitik dan numerik yang dapat dilihat
pada Gambar 4.12
Gambar 4.12 Pengaruh Jumlah Partisi Terhadap Error
