VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra elektrotechniky a informatiky Obor Počítačové systémy
Č í s l i c o v é a l g o r i t m y p ro a u t o m a t i c k é ř í z e n í bakalářská práce
Autor: Lukáš Augustin
Vedoucí práce: prof. Ing. František Zezulka, CSc. Jihlava 2014
Anotace Bakalářská práce shrnuje důležité informace o diskrétním řízení. Práce se zabývá návrhem číslicových regulátorů a jejich transformací ze spojitých systémů. Obsahuje ukázky simulací na statických a astatických systémech, zjištění vlivu hodnoty periody vzorkování na přenosu regulátoru a soustavy. Číslicový regulátor je realizován pro statickou i astatickou soustavu na reálném zařízení WAGO 750.
Klíčová slova číslicový regulátor, Matlab/Simulink, simulace, PLC, perioda vzorkování
Abstract Bachelor work assume important information about discrete control. Work deals with design of the digital controllers and their transformation from continuous systems. It contains examples of simulations of static and astatic systems, determine the effect of the value of the sampling period and the transfer function of controller and system. The digital controller is implemented for static and astatic system on a real device WAGO 750.
Key words digital controller, Matlab/Simulink, simulation, PLC, sample period
Prohlašuji, že předložená bakalářská práce je původní a zpracoval/a jsem ji samostatně. Prohlašuji, že citace použitých pramenů je úplná, že jsem v práci neporušil/a autorská práva (ve smyslu zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů, v platném znění, dále též „AZ“). Souhlasím s umístěním bakalářské práce v knihovně VŠPJ a s jejím užitím k výuce nebo k vlastní vnitřní potřebě VŠPJ. Byl/a jsem seznámen s tím, že na mou bakalářskou práci se plně vztahuje AZ, zejména § 60 (školní dílo). Beru na vědomí, že VŠPJ má právo na uzavření licenční smlouvy o užití mé bakalářské práce a prohlašuji, že s o u h l a s í m s případným užitím mé bakalářské práce (prodej, zapůjčení apod.). Jsem si vědom/a toho, že užít své bakalářské práce či poskytnout licenci k jejímu využití mohu jen se souhlasem VŠPJ, která má právo ode mne požadovat přiměřený příspěvek na úhradu nákladů, vynaložených vysokou školou na vytvoření díla (až do jejich skutečné výše), z výdělku dosaženého v souvislosti s užitím díla či poskytnutí licence. V Jihlavě dne
............................................... Podpis
Poděkování Na tomto místě bych rád poděkoval svému vedoucímu práce prof. Ing. Františku Zezulkovi,CSc. za poskytnutí tématu, možnost vytvářet ho pod jeho vedením, za cenné rady a trpělivost s mojí prací. Také bych chtěl poděkovat své rodině za podporu při studiu.
Obsah 1
Úvod.......................................................................................................................... 8
2
Spojité regulátory .................................................................................................... 10 2.1
3
Typy regulátoru ................................................................................................ 11
Návrh spojitého regulátoru ..................................................................................... 12 3.1
Zvolené soustavy.............................................................................................. 12
3.2
Logaritmická frekvenční charakteristika.......................................................... 13
3.2.1
Fázová a amplitudová bezpečnost ............................................................ 14
3.2.2
Návrh regulátoru pro zvolené soustavy pomocí frekvenční charakteristiky 16
3.3
4
Metoda Ziegler-Nichols pro spojitý regulátor.................................................. 18
3.3.1
Aplikace Ziegler-Nichols na zvolených soustavách ................................. 20
3.3.2
Výpočet Ziegler-Nichols pro zvolené soustavy ........................................ 20
Diskrétní řízení ....................................................................................................... 24 4.1
Diskrétní funkce ............................................................................................... 25
4.2
Blokové schéma diskrétního regulačního obvodu ........................................... 26
4.3
Vzorkovač ........................................................................................................ 27
4.4
Tvarovač ........................................................................................................... 28
4.5
Číslicový regulátor ........................................................................................... 29
4.5.1
Polohový algoritmus ................................................................................. 31
4.5.2
Přírůstkový algoritmus .............................................................................. 31
4.5.3
Modifikace řídicích algoritmů .................................................................. 33
5
Vzorkovací perioda ................................................................................................. 33
6
Transformace spojitého návrhu regulátoru do číslicové podoby ............................ 34 6.1
Převedení spojitého regulátoru navrženého ve frekvenčních charakteristikách
do číslicové podoby .................................................................................................... 34
6.2
Převedení spojitých regulátorů navržených metodou Z-N pro astatickou
soustavu FS3 do číslicové podoby. A zjištění vlivu periody vzorkování na stabilitu.. 39 7
Diferenční rovnice a Z-transformace ...................................................................... 42
8
Realizace soustavy na reálném zařízení.................................................................. 44 8.1
Realizace soustavy ........................................................................................... 44
8.1.1
9
Časovače soustavy .................................................................................... 47
8.2
Realizace regulátoru ......................................................................................... 47
8.3
Konverze akční a regulované veličiny ............................................................. 48
8.4
Odezva na změnu v obvodu ............................................................................. 50
Závěr ....................................................................................................................... 52
Seznam použité literatury ............................................................................................... 54 Seznam obrázků .............................................................................................................. 55 Seznam tabulek ............................................................................................................... 56 Seznam použitých zkratek .............................................................................................. 57 Přílohy............................................................................................................................. 58 1
Obsah přiloženého CD ............................................................................................ 58
1 Úvod Jelikož předměty zabývající se automatizací mě jako výukové předměty, zaujaly věděl jsem, že bych chtěl vytvořit práci z tohoto oboru. Po konzultaci se svým profesorem, který mě tyto předměty vyučoval mi bylo nabídnuto vytvořit teoreticky zaměřenou práci pro menší aktualizaci stávajících studijních materiálů a jako doplňující shrnutí informací pro studenty předmětů Signály a systémy a Teorie řízení se zaměřením na počítačové řízení dynamických systémů. Práce by měla pomoci studentům i praxi, jak správně, a přitom jednoduše a rychle provádět návrh spojitého i číslicového regulátoru a jak realizovat takto navržený řídicí a regulační algoritmus pomocí existujících řídicích členů pro počítačové řízení, t.j. číslicovým regulátorem, programovatelným automatem ( PLC), průmyslovým počítačem (IPC) nebo distribuovaným řídicím systémem (DCS). Práce by tedy měla ověřit stávající přístupy, nalézt nejvhodnější řešení a vytvořit jasný stručný konkrétní návod pro převedení regulačního algoritmu ze spojité varianty do číslicové podoby, nebo provést přímou syntézu číslicového algoritmu a následně tyto číslicové algoritmy implementovat do programu pro počítačový řídicí člen. Protože jak v laboratoři řídicí techniky na VŠPJ, tak v praxi i na dalších školách se ve značné míře používá vývojové, programovací a testovací prostředí CoDeSys nebo jeho varianty (např. systémy Beckhoff používají obdobný systém TwinCAT), byly pro implementaci řídicích algoritmů použity jednoduché programovatelné automaty WAGO system 750, vybavené moduly Č/A a A/Č s dostatečnou přesností jak pro laboratorní účely, tak pro velkou část průmyslových úloh. Z toho vyplynulo programování systémů WAGO 750 v CoDeSysu ve standardizovaném programovacím jazyku Structured text (ST) dle normy IEC 61131-3. Pro usnadnění návrhu regulačních algoritmů jak ve spojité, tak v číslicové formě jsou využívány modelovací prostředky Matlab a Simulink. Ty velmi urychlí ověření návrhu regulačního algoritmu. Následuje převod takto odladěného řídicího číslicového algoritmu do prostředí CoDeSys a implementace řídicího programu do systémů WAGO 750. Pro jednoduché a přitom fyzické ověření návrhu regulátoru pro řízení reálné soustavy jsou pro účely výuky v laboratoři použity dva systémy WAGO 750, kdy v jednom je namodelována regulovaná soustava (statická nebo astatická 2. nebo 3. řádu) a ve druhém systému WAGO 750 je namodelován řídicí číslicový 8
algoritmus, který byl výsledkem syntézy. Oba systémy WAGO 750 jsou propojeny přes analogové vstupy a výstupy, takže regulátor v jednom z WAGO 750 vydává akční zásahy 0 – 10V ss do A/Č převodníku druhého systému WAGO 750, ve kterém je namodelovaná regulovaná soustava. A z tohoto druhého systému WAGO 750 jde analogový signál, úměrný výstupní veličině z modelu regulované soustavy do analogového vstupu systému WAGO 750, ve kterém je realizován regulátor. V prostředí CoDeSys je pak možné zobrazovat grafy a tabulky hodnot : regulační odchylka, akční zásah, regulovaná veličina. Tyto hodnoty je možné také přímo měřit paměťovým vícekanálovým osciloskopem nebo některou z veličin měřit voltmetrem. Je možné porovnání regulačního děje simulovaného v Matlabu/Simulinku s regulačními ději ve fyzických systémech tj. v uvedených dvou propojených systémech WAGO 750. Je evidentní, že v praxi bude použit jen jeden systém WAGO 750, zatímco fyzická řízená soustava již nebude simulována v druhém WAGU, ale bude propojena s řídicím členem (WAGO 750, nebo jiné PLC jiného výrobce nebo IPC nebo DCS) sama svými analogovými vstupy a výstupy.
Výsledkem bakalářské práce získání zkušeností se systémy jako je např. WAGO a s prací s vývojovým systémem CoDeSys a jeho všestranným využitím pro různá řešení problémů řízení fyzických systémů v reálném čase.
9
2 Spojité regulátory Regulátor je zařízení sloužící ke kompenzování změny, která nastala v obvodu. To se realizuje reakcí regulátoru na vstupní veličinu tj. odchylku e(t) = w(t) - y(t) s cílem tuto odchylku vykompenzovat tzn. e(t) = 0 nebo ji alespoň minimalizovat výstupním akčním zásahem u(t).
Obr. 2.1 Spojitý regulační obvod
Diferenciální rovnice popisující akční zásah PID regulátoru je formulována takto =
+
+
kde akční zásah je úměrný proporcionální, integrální a derivační složce regulátoru. Přenos ideálního PID regulátoru se v literatuře uvádí několika způsoby: =
=
+
+
=
1+
1
+
=
1+
1
+
kde r0 = kP = kr proporcionální konstanta regulátoru nebo zesílení, r-1 integrační konstanta, r1 derivační konstanta, TI = r0/r-1 integrační časová konstanta, TD = r1/r0 derivační časová konstanta.
10
2.1 Typy regulátoru Typy regulátorů dostáváme podle vyřazení složky z přenosu regulátoru viz. tab 2.1 Tab 2.1 Vlastnosti spojitých regulátorů
Typ regulátoru
Přenos regulátoru
!
I
D
PI
=
!
= "#
!
=
!
=
!
=
P
!
Přechodová charakteristika
=
1 $
%
!
=
!
= &#
1 $
11
!
=
+
nebo
PD !
= "' 1 +
!
=
+
%
+
nebo
PID !
1
= "# 1 +
+
$
%
3 Návrh spojitého regulátoru Na návrh spojitého regulátoru existuje mnoho metod jak grafických tak analytických. Pro návrh regulátoru jsem si zvolil jednu metodu grafickou tj. z logaritmické frekvenční charakteristiky a druhou metodu analytickou Ziegler-Nichols a její modifikace.
3.1 Zvolené soustavy Po konzultaci s vedoucím práce jsem pro testování metod zvolil tyto soustavy: !(
=
!(+
=
!(/ = !(0 =
8 +1 5 +1
10 0,1 + 1 2 + 1
2 0,1 + 1 0,5 + 1
0,2 + 1
2 +1 2 +1 12
Soustavy Fs1 a Fs2 jsou statické soustavy se setrvačností 2. řádu, Fs3 je integrační soustava se setrvačností 2. řádu a soustava Fs4 je statická soustava se setrvačností 3. řádu.
3.2 Logaritmická frekvenční charakteristika Jedná se o složitější grafickou metodu návrhu regulačního obvodu, ale pokud se obvod navrhne správně je tato metoda návrhu velice dobrá a lze dosáhnou velice rychlé doby k ustálení odchylky. Přesto je potřeba trochu zkušeností a občas se návrh musí upravovat a zkusit několik variant různých návrhů a to by u grafické metodu mohlo být pracné. V dnešní době už máme k dispozici různé výpočetní programy, které opakované návrhy zjednodušují, např. Matlab. Pro použití v praxi je Matlab příliš nákladný a proto bylo úkolem vypracovat a otestovat jednoduché nenáročné rychlé metody syntézy bez nároků na drahá simulační prostředí. Metoda logaritmické frekvenční charakteristiky spočívá upravování frekvenční charakteristiky otevřeného obvodu F0 a splnění podmínek k dosažení vhodného tvaru a přijatelné přechodové charakteristiky uzavřeného obvodu FW. Požadavky na návrh •
co možná nejvyšší hodnota kmitočtu řezu ωř ,udává rychlost přechodového děje soustavy [4]
•
dostatečná
fázová
bezpečnost
zaručující
menší
překmit
přechodové
charakteristiky [4] Důležité je zachovat fyzikální realizovatelnost regulátoru tzn. přenos regulátoru musí mít řád čitatele roven nebo menší než je řád jmenovatele.[4] Princip metody je v tom, že se snažíme najít takový regulátor, kdy F(jω) otevřeného obvodu, na kterém závisí chování uzavřeného regulačního obvodu, má empiricky ověřený tvar dle obr. 3.1.
13
Obr. 3.1 Typová amplitudová frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích[5]
3.2.1 Fázová a amplitudová bezpečnost Amplitudová bezpečnost (gain margin) - udává hodnotu, o jak velký násobek můžeme zvýšit zesílení regulátoru než se dosáhne meze stability uzavřeného obvodu. Fázová bezpečnost (phase margin) - úhel, o který je potřeba natočit fázovou charakteristiku než se otevřená smyčka dostane na mez stability[2].
14
Obr. 3.2 Ukázka ampl. a fáz. bezpečnosti na frekvenční charakteristice
Doporučené hodnoty jsou uvedeny v následující tabulce : Tab. 3.1 Doporučená hodnota pro amplitudovou a fázovou bezpečnost [4]
Typ parametru
Doporučená hodnota
Minimální hodnota
Zásoba stability v amplitudě
Gm ≥ 2 (6 dB)
Gm = 1,6(4 dB)
Zásoba stability ve fázi
30o ≤ Pm ≤ 60o
15
3.2.2 Návrh
regulátoru
pro
zvolené
soustavy
pomocí
frekvenční
charakteristiky Příklad: Na návrhu PD regulátor pro soustavu !(+
metodiku návrhu.
=
, '1
+'1
demonstrovat
Řešení: Návrh PD regulátoru pro zadanou soustavu. Přenos soustavy ve frekvenčních charakteristice vypadá takto:
Obr. 3.3 Návrh PD regulátor v amplit. fáz. charakteristice
Soustava je statická 2. řádu a má 2 zlomové frekvence kdy se láme v prvním bodu o -20dB/dek a v druhém bodě už se láme na -40dB/dek a proto je v hodné nasadit derivační složku do druhého zlomu a tím se charakteristika narovná zpět na -20dB/dek jak je vyznačeno zelenou úsečkou, což je vhodné, a protože máme velikou bezpečnost ve fázi můžeme u regulátoru použít vyšší zesílení a tím zvětšit frekvenci řezu ωŘ, čímž se nám zrychlí přechodový děj. Pro přenos PD regulátoru platí: !
= "# 1 +
%
16
Protože derivační složku nasazujeme při frekvenci ωl = 10 časová konstanta Td = 0,1 s. 1 23 = 10 => = = 0,15 23 kde ωl je frekvence lomu charakteristiky. ! = &# 1 + 0,1 ∗ Vypočítáme si přenos otevřené smyčky: !
=!
∗ !7
=
0,1 ∗
10 0.1 + 1 10&# ∗ &# = +1 2 +1 1 2 +1
kde FR je přenos regulátoru a FS je přenos soustavy.
Obr. 3.4 Ukázka návrhu zapojení v programu Simulink pro různá zesílení
17
Obr. 3.5 Výsledné přechodové charakteristiky pro PD regulátory s různým zesílením Kp = 1, 2, 5 soustavy Fs2
Obvod reaguje velice rychle, avšak PD regulátor neodstraní trvalou regulační odchylku. Pro výpočty a zobrazení je použit program Matlab/Simulink. Podobně se dá uvedená metodika použít pro návrh regulátorů s dalšími požadavky, než je dostatečná fázová bezpečnot. Tyto požadavky na přesnost a kvalitu přechodného děje splňují regulátory PI a PID. Tyto návrhy pro PI, PID regulátor jsou uvedeny v příloze.
3.3 Metoda Ziegler-Nichols pro spojitý regulátor Jedná se o empirickou metodou, která byla poprvé uveřejněna v roce 1942. Tato metoda je stále používána v praxi i dnes, ale má i své nevýhody. Hlavně kvůli podmínce přivést soustavu na mez stability.[1,2] Pokud proporcionální složka je vetší, což vede k více kmitavému ději u simulovaných sosutav je hlavním důvodem to, že velikost zesílení bylo odvozeno pro reálné elektromechanické systémy, ve kterých jsou kmity přirozeně tlumeny třením. 18
Výhody •
Nalezení blízké hodnoty k optimálnímu nastavení parametrů regulátoru
•
Metoda často používaná v praxi
Nevýhody •
Nelze použít pro strukturálně stabilní nebo nestabilní obvody (vysoká stabilita soustavy nám znemožňuje uvést obvod na mez stability) [2]
•
Menší tlumení (překmit v rámci 10 až 60 %)
Postup •
vyřazení integrační a derivační složky přenosu regulátoru (Ti = ∞ a Td = 0)
•
přivedení soustavy na mez stability, kdy soustava kmitá periodicky s konstantní amplitudou. Získáme kritické zesílení kPk a kritickou periodu kmitu Tk
•
pomocí parametru kPk a Tk můžeme pomocí tab. 4.1 nastavit skutečné parametry regulátoru Tab. 3.2 Parametry seřízení regulátoru pro metodu Ziegler-Nichols [1][2]
Regulátor
kP
Ti
Td
P
0,5 kPk
-
-
PI
0,45 kPk
0,83 Tk
-
PD
0,4 kPk
-
0,05 Tk
PID
0,6 kPk
0,5 Tk
0,12 Tk
I
-
2 Tk
-
19
3.3.1 Aplikace Ziegler-Nichols na zvolených soustavách Pro testování metody jsem si zvolil tyto dvě soustavy: 2 ∗ 0,1 + 1 0,5 + 1
!(/ = !(0 =
0,2 + 1
2 +1 2 +1
Soustava Fs3 je integrační soustava se setrvačností 2. řádu a soustava Fs4 je proporcionální soustava se setrvačností 3. řádu.
3.3.2 Výpočet Ziegler-Nichols pro zvolené soustavy Příklad: Pro soustavu FS3 navrhněte optimální nastavení regulátorů P, PI, PD ,PID metodou Ziegler-Nichols analyticky. Řešení: Postupuje podle návodu v kap. 3.2. Nejdřív vyřadíme integrační a derivační složku regulátoru a postupně zvyšujeme zesílení až na hranici stability, kde určíme kritické zesílení kPk a kritickou periodu Tk. Přenos regulátoru: ! Přenos otevřené smyčky: !
= !( ∗ ! =
= "# 1 +
1 + 5
= | :=; → | = "# : → >
2"# => 0,05 ∗ 0,1 + 1 0,5 + 1
/
+ 0,6
Charakteristickou rovnici jsme získali z přenosu řízení tj. !@ = po úpravě ve jmenovateli přenosu.
A
1A
+
+
+ 2"'
, která nám vznikne
Obvod uvedeme na hranici stability:
0,6 2"# B+ = C C = 0,6 − 0,1"# => "#E = 6 0,05 1
Charakteristická rovnice bude mít na hranici stability dvojici imaginárních kořenů: ,+
= 0 ± G2
20
Dosadíme tyto kořeny do charakteristické rovnice: 0,05 G2
/
+ 0,6 G2
+ G2 + 12 = 0
+
Reálná i imaginární část se musí rovnat nule:[1][2] Re: Im:
−0,62+ + 12 = 0 => 2 = √20 −0,052/ + 2 = 0 => 2 = √20
Z úhlové frekvence vypočítáme kritickou periodu podle vztahu: E
=
2I = 1,4 5 2
Podle tabulky 5.1 Ziegler-Nicholse můžeme určit optimální nastavení regulátoru: Tab. 3.3 Návrh spojitých regulátorů metodou Z-N pro soustavu FS3
P PI PD PID
"# = 0,5"#E = 3
"# = 0,45"#E = 2,7
= 0,83
E
"# = 0,6"#E = 3,6
= 0,5
= 0,7
"# = 0,4"#E = 2,4
E
= 1,162
= 0,05 = 0,12
E E
= 0,07
= 0,168
21
Obr. 3.6 Simulace spojitých regulátorů pro soustavu FS3 metodou Z-N
Pro astatickou soustavu FS3 je vhodný PD regulátor z důvodu menšího prvotního překmitu a stejně rychlého ustáleného děje jako u PID regulátoru. Navíc PD regulátor nevnáší do obvodu trvalou regulační odchylku z důvodu integrační složky v regulované soustavě. Příklad: Pro soustavu FS4 navrhněte optimální nastavení regulátorů P, PI, PD ,PID metodou Ziegler-Nichols experimentálně v programu MATLAB. Řešení: Vyřadíme integrační a derivační složku a postupným zvyšováním zesílení uvedeme obvod na mez stability. Ukázka testování v prostředí MATLAB: p = tf('s'); %% Definice přenosové funkce Fs = 2/((0.2*p+1)*(p+1)*(2*p+1)); %% Přenos systému Kp = 9.9; %% Zvolená proporcionální složka (zesílení) Fr = Kp; %% Proměnná Fr jako přenos regulátoru pouze s proporcionální složkou F0 = Fs*Fr; %% Přenos otevřené smyčky Fw = F0 /(1+F0);%% Přenos řízení step(Fw); %% Reakce na jednotkový skok
22
Obr. 3.7 Uvedení obvodu na mez stability změnou zesílení
Na obr. 3.5 lze vidět jak postupné zvyšování zesílení KP postupně rozkmitá soustavu až na mez stability, kdy soustava kmitá periodicky s konstantní amplitudou. Výsledky jsou zobrazeny v následující tabulce 3.2. Tab. 3.4 Výsledky přepočtu koeficientů pro regulátory metodou Z-N pro soustavu FS4
Pro MNO = P, P, QR = S, SSTU V
P PI PD PID
"' = 4,95
"' = 4,455
= 1,843
"' = 5,94
= 1,11
"' = 3,96
= 0,111 = 0,266
23
Obr. 3.8 Simulace spojitých regulátorů pro soustavu FS4 metodou Z-N
Regulátory P a PD zanechávají v obvodu trvalou odchylku zatím co PI regulátor není vhodný z důvodu dlouhého přechodového děje. PID regulátor i když má také dlouhý přechodový děj stabilizuje se rychleji než PI regulátor.
4 Diskrétní řízení Diskrétní řízení představuje v dnešní době teoretický základ pro řízení spojitých soustav počítači. A to jak průmyslovými PC (tzv. IPC), mikropočítači, tak zejména programovatelnými automaty (PLC). Diskrétní řízení spočívá v aplikaci diskrétní matematiky, teorie diskrétních signálů a teorie automatického řízení spojitých systémů na regulační a řídicí obvody, ve kterých je použita jakákoli forma z výše uvedených počítačových řídicích členů
24
4.1 Diskrétní funkce Diskrétní funkce je posloupnost vzorků odpovídající hodnoty, kdy amplituda vzorku má hodnotu spojité funkce y v daném vzorkovacím okamžiku. Časové okamžiky (vzorky) mají zachovanou konstantní vzdálenost mezi sebou, kde t = kT je diskrétní čas, kde k = 0, 1, 2 ... . Vzorkováním se vytváří vzorky v následující řadě, tj. t = 0, T , 2T, 3T, ... . Mezi těmito vzorky není funkce definována (obr. 2.1).
Obr. 4.1 Diskrétní funkce
Hodnotou T udáváme v diskrétních systémech tzv. periodu vzorkování, a pomocí vzorkující periody lze vyjádřit vzorkovací frekvenci. XY =
S∗Z [
Dle Kotelnikova-Shanonova teorému - nemá-li nastat při vzorkování zkreslení kmitočtového spektra měřeného signálu e(t) v rozsahu jeho kmitočtového pásma -ωm do +ωm musí být kmitočet vzorkování ωv alespoň dvakrát větší, než nejvyšší kmitočet ωm kmitočtového pásma(frekvenčního spektra) měřeného signálu e(t):[1] XY ≥ SX] , [ ≤
Z X]
Podmínka se nazývá Kotelnikův teorém resp. Shannonova věta o vzorkování. 25
Obr. 4.2 Amplitudové kmitočtové spektrum[1]
4.2 Blokové schéma diskrétního regulačního obvodu Protože jako regulační člen se používá počítač, nelze použít spojitý signál, proto musí dojít k upravení signálu k tzv. diskretizaci. Pro diskretizaci signálu je potřeba do obvodu vložit dva další fiktivní prvky, které u spojitých systémů nebyly potřeba. Jsou to tvarovač a vzorkovač.
Obr. 4.3 Blokové schéma disk. regulačního obvodu
Na obr. 2.3 je zobrazeno zjednodušené blokové schéma diskrétního obvodu. Spojitý signál soustavy y(t) je potřeba převést na číslicový tvar diskrétní funkce y(kt). Po změně v obvodu a po součtu v sumačním členu obvodu vstupního signálu a signálu ze záporné zpětné vazby dostáváme výstupní signál, který se nazývá regulační odchylka a v obvodu je
značena
jako
e(kT).
Regulátor
vyhodnotí
odchylku
s žádanou
hodnotou w(kT) vypočítá a realizuje akční zásah. Akční zásah u(kT) je převeden zpět 26
na spojitý signál u(t) a ten působí na regulovanou spojitou soustavu a vede ke zmenšení regulační odchylky e(kT).
4.3 Vzorkovač Vzorkovač slouží ke snímání vzorků(impulzů) ze vstupního spojitého signálu. Vzorkování probíhá v předem určených časových periodách T o stejné délce. Hodnota mezi dvěma vzorky je nula. Výstupní signálem je posloupnost vzorků, jejichž šířka je zanedbatelná a velikost je rovna spojitému signálu v okamžiku zachycení. Na obr. 2.4 je vzorkovač zobrazen jako spínač. [1] [2]
Obr. 4.4 Vzorkovač jako spínač
Vstupem je zde spojitý signál y(t). Po sepnutí spínače je zachycen vzorek a po uběhnutí zvolené vzorkovací periody, která se během vzorkování nemění, se proces opakuje.
27
Výsledkem se stává posloupnost impulzů, která je zobrazena na Obr. 4.5 Vzorkování.
Obr. 4.5 Vzorkování
Fyzicky je vzorkovač realizován A/D převodníkem ve vstupních obvodech IPC, mikropočítače nebo PLC.
4.4 Tvarovač Jelikož je signál po výstupu z číslicového regulátoru diskrétní a pro spojitý systém nepoužitelný je potřeba tento signál transformovat zpět na jeho spojitý tvar nebo aspoň na tvar, blízký spojitému signálu.
28
Posloupnost výstupu z číslicového regulátoru je tvořena impulzy, které tvarovač rozšíří jak zobrazuje Obr. 4.6 Tvarování signálu
Obr. 4.6 Tvarování signálu
Přenos tvarovače nultého řádu je dán přenosem =
1−
:'
= _`
a= 1−b
kde Z je obraz přenosu tvarovače, převedený do Z-transformace. Tvarovač je de facto D/A převodník IPC, mikropočítače nebo PLC.
4.5 Číslicový regulátor Požadavky na číslicový regulátor jsou obdobné jako na regulátor spojitý s tím rozdílem, že číslicový regulátor pracuje s diskrétním signálem.[1],[2]
29
Přenos číslicového regulátoru vychází ze spojitého přenosu spojitého PID regulátoru, který je popsán diferenciální rovnicí s časovými konstantami: = "# c
+
1
d
+
e
Protože jak je popsáno v kapitole 4.1 číslicový regulátor nepracuje se spojitým časem, ale s diskrétními okamžiky tzn. čas t je nahrazen: =" kde k = 0,1,2, ... a T je perioda vzorkování. Přenos ideálního spojitého regulátoru obsahu integrační a derivační složku, která se pro realizaci číslicovým řídicím členem (PLC, IPC, mikropočítač) musí nahradit. Pro náhradu integrace lze použít několik metod jako zpětná obdélníková metoda(ZOBD), dopředná obdélníková metoda(DOBD) nebo lichoběžníková metoda(LICHO). Ve své práci používám první zmíněnou metodu.[1,2] Zpětná obdélníková náhrada(ZOBD), kde je integrace nahrazena sumou ploch pod průběhem původní funkce e(t): f "
=
d
≈
E
h
jk
i
Náhradu derivace provedeme zpětnou diferencí: l "
=
≅
" −
"−1
30
Obr. 4.7 Zpětná diference [1]
4.5.1 Polohový algoritmus Polohový algoritmus vychází z nahrazení integrace sumací a derivaci diferencí. Používá se převážně pro nastavení regulátorů bez sumační složky tzn. P a PD regulátoru. Hlavní důvod je komplikovaný výpočet sumační složky v akčním zásahu u(kT) a to z důvodu opakovaného výpočtu. Z toho plyne uchování všech hodnot v paměti pro výpočet sumy.
4.5.2 Přírůstkový algoritmus Přírůstkový algoritmus se na rozdíl od polohového nezabývá výpočtem celé akční veličiny v daném okamžiku, ale její změnou z předešlého kroku, přírůstku. ∇
" =
" −
"−1
Celé odvození je uvedeno v [1],str. 473-478 a [2],str. 217-218. Po úpravě dostaneme " −
"−1 =
" +
"−1 +
"−2
+
Kde koeficienty rovnice = "# 1 +
+
,
= −"# 1 + 2
,
+
= "#
kde TD je derivační časová konstanta spojitého regulátoru, TI je integrační časová konstanta spojitého regulátoru a T je perioda vzorkování
31
Z-přenos PSD regulátoru +
b =
b + 1−b
+b
+
Z-přenosy regulátorů a koeficienty d0, d1, d2 jsou popsány v tabulce 4.1 podle [2] Tab. 4.1 Přenosy číslicových regulátorů a jejich koeficientů d0,d1 a d2
Typ regulátoru P
op "#
oT
oS
0
0
S
"#
0
0
PS
"# 1 +
−"#
0
PD
"# 1 +
PSD
"# 1 +
+
−"#
qr s
1−b
+ b 1−b
0
−"# 1 + 2
"#
+
+
b
b + 1−b
+b
+
Tab. 4.2 Přenosy spojitých regulátorů
!
P
!
I !
PI PD PID
!
!
= "#
=
1
= "# 1 +
= "# 1 +
= "# 1 +
1
1
+
32
4.5.3 Modifikace řídicích algoritmů Vlivem malé periody vzorkování T ve zlomku stavitelných koeficientů regulátoru vychází velké hodnoty a z toho plynou velké akční zásahy. Právě tato skutečnost má neblahý vliv na náhlé a rychlé změny regulované veličiny w a to z důvodu, "
že
=t "
−u "
[1] str. 479
Doporučené jsou tyto modifikace, které umožní vetší tlumení akční veličiny[1] str. 479 ∇
"
= "# `` "
− v "−1
− uv " − 2
wa +
waa
"
$
+
%
`−u "
+ 2uv " − 1
w
nebo vztah uváděný Takahashim [1] str. 479 ∇
"
= "# ``−u "
+ uv " − 1
− uv " − 2
waa
wa +
"
$
+
%
`−u "
+ 2uv " − 1
w
Regulační odchylka byla nahrazena regulovanou hodnotou y(kT).[1] str. 479
5 Vzorkovací perioda Volba vzorkovací periody má velký vliv na ustálený stav diskrétního obvodu. Pokud zvolíme periodu vzorkování příliš velkou, obvod se bude stabilizovat mnohem déle, či v horším případě se stane nestabilním. Pokud nedojde k zhoršení kvality regulace o více než 15 %, než je při použití spojitého regulátoru, je volba vzorkovací periody vhodná. Literatura [1],str. 479-480 [2] uvádí přibližné nastavení vzorkovací periody takto:
≈
≈
≈
xyz
10
1 1 ÷ 6 15
|}
1 1 ÷ h ~E 2 4 E
33
kde Tmax je největší časová soustava soustavy, T95 je čas, při které dosáhne soustava 95 % ustálené hodnoty na přechodové charakteristice, ∑E ~E součet časových konstant soustavy. Pro návrh číslicových variant regulátoru ve své práci vycházím z prvního vztahu. V rámci příkladů na testování metod perioda vzorkování
6 Transformace spojitého návrhu regulátoru do číslicové podoby V kapitole 3 bylo provedeno několik ukázek návrhu spojitého regulátoru. V této kapitole bude realizováno několik transformací ze spojitého regulátoru do jeho číslicové varianty. K použití toho převodu se využije hlavně Tab. 4.1.
6.1 Převedení spojitého regulátoru navrženého ve frekvenčních charakteristikách do číslicové podoby Pro soustavu !(+
=
, '1
+'1
! = 1 + 0.1 ) kdy KP = 1 a TD =0,1.
byl navržen regulátor PD s přenosem
Cílem je zjistit jaký má vliv perioda vzorkování na výpočet regulátoru a jak se projeví v uzavřeném obvodě. Ukázka výpočtu pro zesílení KP = 1, derivační časová konstanta TD = 0,1 a perioda vzorkování T = 0,01 s. Přenos diskrétního PD regulátoru má obecný tvar =
+
b
Stavitelné koeficienty d0 a d1 jsou uvedeny v tabulce 4.1. Jejich výpočet se provádí takto 34
= &# 1 +
%
= 11 ,
= −&#
%
= −10
Přenos GR(z) vypadá takto = 11 − 10b
Obr. 6.1 Blokové schéma obvodu soustavy Fs2 s PD regulátorem v Simulinku
kde blok Zero-Order-Hold je ve formě vzorkovače a tvarovače s periodou vzorkování(sample period) nastavený pro číslicový PD regulátor. Reakce na jednotkový skok je zobrazena v následujícím časovém průběhu obr. 6.2
Obr. 6.2 Časový průběh uzavřeného obvodu s číslicový regulátorem - reakce na jednotkový skok
35
Přechodové charakteristiky tohoto obvodu jako reakce na jednotkový skok jsou s číslicovým a spojitým regulátorem pro KP = 1 shodné. To je hlavně zapříčiněno nízkou periodou vzorkování, protože čím je frekvence vzorkování delší, tím se číslicová varianta více přibližuje k jeho spojité podobě. Zápis hodnot do tabulky tab. 6.3 pro různé periody vzorkování
Tab. 6.1 Vypočítané hodnoty pro koeficienty d0 a d1 s různou periodou vzorkování
d0
d1
Přenos GR(z)
Stabilní
T = 0,01 s
11
10
= 11 − 10b
ano
T = 0,1 s
2
-1
T = 0,2 s
1,5
-0,5
T = 0,5 s
1,2
-0,2
T=1s
1,1
-0,1
Perioda vzorkování
= 2 − 1b
= 1,5 − 0,5b = 1,2 − 0,2b = 1,1 − 0,1b
ano ano ne ne
Ukázka výsledných simulací pro různé periody vzorkování v programu Simulink je zobrazen na obr.6.4.
36
Obr. 6.3 Výpočet přenosu uzavřeného obvodu pro různou periodu vzorkování
Legenda - T = 0,01 s, T = 0,1 s, T = 0,2 s, T = 0,5 s. Lze vidět, že se zvyšováním periody vzorkování se stabilita začíná rychle měnit, kdy u periody T = 0,2 s je ještě obvod bezpečně stabilní, prodloužení periody o 0,3 desetiny sekundy se obvod stává nestabilním. Tento případ jasně dokumentuje závislost číslicového realizace regulátoru na vzorkovací frekvenci CPU.
Příklad: Navrhnou číslicový regulátor pro soustavu FS2 z předchozího příkladu, když
spojitý regulátor této soustavy má přenos !
= 1,19 ∗ 1 + +,
'
+ 0,0952 .
Řešení: Pomocí tabulky Tab. 4.1 Přenosy číslicových regulátorů a jejich koeficientů d0,d1 a d2 vypočítáme koeficienty d0, d1, d2. Ze spojitého přenosu regulátoru víme, že KP = 1,19, TI = 2,1 a TD = 0,0952. Periodu vzorkování si zvolíme podle prvního vztahu z kap. 5. <
xyz
10
=>
2 = 0,2 => 10
= 0,1 5 37
Periodu je lepší zkráti na 0,1 s pro jistotu, aby se soustava nerozkmitala. Pro současné CPU nebude vzorkovací perioda 100 ms žádný problém. Výpočet koeficientů číslicového regulátoru pro T = 0,1s, KP = 1,19, TI = 2,1 a TD = 0,0952 = &' 1 +
%
+
= −&' 1 + 2 +
= &'
%
%
= 1,19
$
= 1,19 1 + = 1,19 1 + 2
0,0952 = 1,132 0,1
0,0952 0,1 + = 2,3795 0,1 2,1 0,0952 = −3,455 0,1
Přenos číslicového regulátoru b =
+
b + 1−b
+b
+
=
Realizace v Matlabu a Simulinku
2,3795 − 3,455b 1−b
+ 1,132
Obr. 6.4 Spojitý přenos řízení a číslicový regulátor v Simulink
Kde blok Fw generuje vlastní výstupní veličinu přenosu řízení soustavy se spojitým regulátorem vypočítanou přímo v Matlabu (pro zobrazení proměnných vytvořených ve workspace Matlabu je použit v Simulinku blok LTI). Pro zadání přenosu číslicového regulátoru je použit blok Discrete filter, který odpovídá svým záporným posunutím přenosu, číslicovému regulátoru.
38
Výsledný přenos je zobrazen na Obr. 6.5
Obr. 6.5 Porovnání spojitého a číslicového regulátoru pro FS2
Na Obr. 6.5 lze vidět, že číslicový regulátor má na rozdíl od spojitého regulátor menší překmit a pod-kmit, a má velice rychlý přechodový děj pod 0,8 s.
6.2 Převedení spojitých regulátorů navržených metodou Z-N pro astatickou soustavu FS3 do číslicové podoby. A zjištění vlivu periody vzorkování na stabilitu Výsledky návrhu spojitého regulátoru vycházejí z kap. 3.3.2, kde v Tab. 3.3 byly navrženy regulátory pro astatickou soustavu FS3 metodou kritického zesílení tzn. Ziegler-Nichols 39
V tabulce jsou uvedeny výpočty koeficientů d0,d1 a d2 číslicových regulátorů pro různé periody vzorkování. Tab. 6.2 Výpočet koeficientů pro číslicové regulátory pro astatickou soustavu FS3
T = 0,01s =3
P
ano
= 2,816
= 2,932
= 19,2
= 5,76
= −2,7
ne mimo T= 0,01
= 4,08
= −1.68
ano
= 64,13
= −124,56
+
=3
Stabilní
= 2,72
= −2,7
= −16,8
PD
T = 0,1s
=3
= −2,7
PI
PID
T = 0,05s
= 60,48
= −3.36
= 15,953
= −27,792
+
= 12,096
= 10,162
= −15,696
+
ano
= 6,048
U PID a PD regulátor pro první periodu vzorkování lze vidět velké akční zásahy z důvodu malé vzorkovací periody, která je obsažená ve jmenovateli při výpočtu o tomto stavu je zmíněno v kap. 4.5.3.
40
Ukázka průběhů pro PD a PID regulátor na přechodové charakteristice v Simulinku
Obr. 6.6 Číslicové PD regulátory pro různou periodu vzorkování T
Na průběhu systému s PD regulátorem lze vidět, že jejich průběh je podobný a i když perioda vzorkování se liší, až o jeden řád, vidíme nepatrnou změnu v chování regulovaného obvodu. Regulátor s periodou vzorkování T = 0,1 má ze všech průběhů nejvyšší překmit a přechodový děj trvá nejdéle, zatím co regulátor s periodou T = 0,01 vychází s lepšími vlastnostmi než spojitý regulátor.
41
Obr. 6.7 Číslicové PID regulátory pro různou periodu vzorkování T
V porovnání PID a PD regulátoru lépe vychází PD regulátor. Jedná se o překmit soustavy a ustálení přechodového děje. To je zapříčiněno tím, že soustava je astatického typu a už obsahuje integrační složku. Proto ani u obvodu s PD regulátoru není žádná trvalá odchylka.
7 Diferenční rovnice a Z-transformace Vypočítaná přenosová funkce v Matlabu je zadaná většinou v kladných exponentech z, viz. rovnice níže, ale pro algoritmizaci je lepší pokud si rovnici převedeme na záporné
42
exponenty a poté na diferenční rovnici se záporným posunutím, kterou lze snadno algoritmizovat. Obecná rovnice přenosové funkce v Z obraze s kladnými posunutím[2] !• b =
‚ b ƒx b x + ƒx b x = b …j b j + …j b j
+ ⋯+ ƒ b + ƒ + ⋯… b + …
kde Y(z) je Z obraz výstupní veličiny a U(z) je Z obraz akční veličiny. V tvaru s kladnými exponenty zjistíme jestli je přenos realizovatelný tzn. pokud je větší nebo roven exponent polynomu jmenovatele než exponent polynomu čitatele.[1][2][3] i≥† Základní tvar diskrétní přenosové funkce se zápornými posunutím[1][2] !• b =
‚ b ƒ +ƒ b = b 1+… b
+ ⋯ + ƒx b + ⋯ + …j b
x
j
tento tvar se dostane pokud vytkneme největší exponent ve jmenovateli i čitateli.
Obr. 7.1 Diskrétní systém
Diskrétní systém s vstupní veličinou u(k) a výstupní veličinou y(k). Systém lze popsat diferenciální rovnicí. Diferenciální rovnice se záporným posunutím má obecný tvar[2] … u " + … u " − 1 +. . +…j u " − i = ƒ
" +ƒ
" − 1 +. . +ƒx
"−†
V regulační technice se více využívá diferenciální rovnice se záporným posunutím. Koeficient pro výstupní veličinu a0 bývá standartizován na hodnotu 1, kvůli snadnějšímu výpočtu y(k) např. numerickým způsobem.[2]
43
8 Realizace soustavy na reálném zařízení Realizace byla provedena se dvěma propojenými PLC. Jako PLC byly použity systémy WAGO 750-881 a WAGO 750-841. První WAGO bylo použito pro simulaci reálné soustavy v čase a druhé jako číslicový regulátor této soustavy. Komunikace probíhala přes analogové moduly tzn. přes vstupní analogový modul 750-459 a výstupní modul 750-559. Tyto moduly jsou omezeny od 0-10 V. Pro vstup požadované hodnoty do regulátoru byl použitý stejnosměrný zdroj R124R50E. Zapojení modulů viz. Obr. 8.1.
Obr. 8.1 Zapojení regulátoru a soustavy na reálném zařízení
8.1 Realizace soustavy Pro demonstrování číslicového regulátoru nebyl použit reálný model soustavy, ale pouze jeho číslicová simulace, vycházející z Laplaceova obrazu reálné soustavy. Pro tuto demonstraci je důležité si přenos soustavy převést do tvaru pro lepší algoritmizaci jako např. Z-transformace nebo diferenční rovnice. Pro výpočty Z-obrazu soustavy byl použit Matlab, který je vhodným nástrojem pro výpočty s přenosovými funkcemi.
44
Ukázka použití příkazů v prostředí Matlab: %deklarace přenosové funkce p jako Laplaceův operátor %(v MATLABU značen jako s) p = tf('s'); %přenosová funkce Fs = 1/(p*(2*p+1)*(0.1*p+1)); %funkce c2d(continuous to discrete) slouží jako transformující funkce z %spojitého do diskrétního systému(p -> z) Fc = c2d(Fs,0.1);
Funkce c2d je funkce sloužící k transformaci ze spojitého do diskrétního přenosu. Funkce má tři parametry: sysd = c2d(system, sample_period, method) kde system je přenosová funkce, sample_period perioda vzorkování, method zvolená metoda transformace např. zoh(zero-order-hold) - tvarovač 0. řádu, tustin - bilineární transformace.
Příklad: Převedení soustavy !7} = ' +'1 periodou vzorkování
= 0,1 5.
, '1
pomocí Matlabu do Z-transformace s
Řešení: Soustavu si převedeme do Z-transformace pomocí Matlabu, kde výsledek transformace bude vypadat takto: !‡ b =
0.0006521b + + 0.002044b + 0.0003865 b / − 2.319b + + 1.669b − 0.3499
tento tvar zaručuje realizovatelnost systému, protože exponent ve jmenovateli je větší než v čitateli. Občas se stane, že program Matlab si pro přepočet ze spojitého systému na diskrétní zvětší koeficient mocniny z v čitateli i jmenovatel a hodnota a0 a b0 mají také z a úprava na kladné posunutí se provede vydělením z s nejmenším koeficientem ve jmenovateli.
45
!‡ b =
0.0006521b } + 0.002044b 0 + 0.0003865b / b ∗‰ b ˆ − 2.319b } + 1.669b 0 − 0.3499b / b
/ /
‰
a tímto získá kladný tvar, který je napsaný výše. Rovnici celkové soustavy si převedeme do záporného posunutí tzn. podělíme ji největším exponentem ve jmenovateli ‚ b 0.0006521b + 0.002044b !‡ b = = b 1 − 2.319b + 1.669b
+ 0.0003865b + − 0.3499b / +
/
Tvar Fc(z) v záporném posunutí rovnice může být zapsána jako diferenční rovnice u " − 2,1319 u " − 1 + 1,669 u " − 2 − 0,35 u " − 3 = 0,6521 ∗ 10
∗ 10
/
"−3
/
" − 1 + 2,044 ∗ 10
/
" − 2 + 0,3865
kde y(k) je aktuální výstupní veličina, y(k-n) kde n = 0,1,2.. je výstupní veličina z předchozího kroku n, u(k) je aktuální akční veličina(zásah), u(k-n) kde n = 0,1,2.. je akční veličina z předchozího kroku n. Obdobně se předchozí diferenční rovnice zapíše v programovacím jazyce s podmínkou, že program si musí zapamatovat hodnoty předchozích proměnných vstupní akční veličiny u(k-n) a výstupní veličiny y(k-n), tolik kolik je třeba.
Obr. 8.2 Zápis rovnice v prostředí v prostředí CoDeSys
46
8.1.1 Časovače soustavy Soustava byla převedena na číslicovou variantu, aby mohla být simulována na reálném zařízení.Avšak je potřeba, aby se soustava chovala jako spojitá, a proto je potřeba do ní zavést menší zpoždění, protože jeden blok programu se provede v rámci několika milisekund. Toto zpoždění bude jednak fungovat jako skutečné zpoždění analogové soustavy a jednak jako perioda vzorkování pro regulátor. Při programování bylo zjištěno, že v simulačním módu programového prostředí CoDeSys a při běhu na reálné soustavě bylo dosaženo různých výsledků. Realizace za pomoci jednoho časovače na reálné soustavě byla neúspěšná, proto musel být přidán druhý časovač. Oba časovače si vzájemně ovlivňují spouštěcí sekvenci. Pokud je jeden spuštěný, druhý čeká dokud se nenastaví jeho výstup na true. Při skončení(time elapsed) časovače je přepočítána aktuální hodnota regulované veličiny.
Obr. 8.3 Ukázka časovačů pro zpoždění soustavy v prostředí CoDeSys
Podmínka IF zaručuje, že se hodnota regulované veličiny y nepřepočítá dokud druhý časovač nenastaví svůj výstup Q na hodnotu true.
8.2 Realizace regulátoru Realizace regulátoru vychází z teorie pro číslicový regulátor v kap. 4.5.2 pro přírůstkový algoritmus, kde je aktuální akční veličina vypočítaná z přírůstku akční veličiny a předchozího akčního zásahu. "
= v" − 1w + ∇
"
Pro aplikaci regulátoru v CoDeSysu byl použitý modifikovaný přírůstkový algoritmus z kap. 4.5.3. Z důvodu velkých akčních zásahů docházelo k nestabilitě systému. 47
Obr. 8.4 Ukázka zdrojového kódu regulátoru v CoDeSys
kde l =
:Š :
je výpočet koeficientu regulátoru pro derivační složku, e regulační
odchylka, y regulovaná veličina, y1 je předchozí hodnota regulované veličiny.
8.3 Konverze akční a regulované veličiny Z důvodu používání analogových vstupů a výstupů je přenos signálu omezen a to pouze na 0-10V. Tato hodnota je reprezentována v programu CoDeSys pro reálnou proměnnou datovým typem WORD. Rozsah datového typu WORD je od 0 do 65536, ale pro zastoupení 0 do 10 V je pouze polovina rozsahu WORD tzn. 0 -32767.
Obr. 8.5 Analogové V/V mezi jednotlivými bloky
48
Ve vnitřním bloku regulátoru či soustavy se pracuje s lokálními proměnnými typu REAL, které mohou nabývat i záporných hodnot. Problém však nastává pokud chceme záporný akční zásah u(kT) nebo regulovanou veličinu y(kT) poslat přes analogový vstup/výstup do dalšího bloku ať regulátoru nebo systému. Problém byl vyřešen zapojením dvojice digitálních vstupů/výstupů. Digitální vstupy/výstupy slouží jako příznak na záporná znaménka(signed). Jestliže je hodnota u(kT) záporná nastaví se digitální vstup regulátoru na TRUE a hodnota je převedena na kladnou pomocí funkce absolutní hodnoty v CoDeSysu ABS(hodnota) a na dalším bloku tj. systému je kontrolována hodnota na digitálním vstupu. Ukázka na Obr. 8.6.
Obr. 8.6 Ukázka konverze v regulátoru
Kde u je lokální proměnná typu REAL,temp je dočasná lokální proměnná typu DINT pro možnost uložení i záporné hodnoty, signed_OUT je digitální výstup pro uchování záporného znaménka, u_OUT je analogový výstup. Blok pro soustavu si převede analogový výstup z bloku regulátor zpět na reálné číslo jak je zobrazeno na obr. 8.7.
Obr. 8.7 Ukázka konverze v soustavě
49
8.4 Odezva na změnu v obvodu Změna v obvodu(jednotkový skok řídicí veličiny w) byla realizována z napěťového zdroje, který je připojen na regulátor v rozsahu od 0 - 10 V jak je zobrazeno na obr. 8.1. Zobrazení průběhu v CoDeSys byla použita komponenta pro vizualizaci „trend“, která zaznamenává změnu proměnné v čase t po sekundách, což u rychlých dějů vede k přímkovým úsekům zobrazovaného průběhu.
Obr. 8.8 Změna v obvodu
Při změně vstupní řídicí veličiny w dojde k zásahu regulátoru s cílem stabilizace výstupní veličiny soustavy na požadované hodnotě jednotkového skoku. Na obr.8.8 je zobrazen průběh, kdy řídicí veličina w je nastavena pomocí zdroje z hodnoty 0 na 1 V. Dochází k okamžitým akčním zásahům ze strany regulátoru dokud se odchylka e nepřiblíží k nule. Na konci přechodového děje nastává ustálení výstupu soustavy na požadované hodnotě w. Po ustálení děje je akční zásah u(t) roven nule. Ukázka na obr. 8.9.
50
Obr. 8.9 Ustálení přechodového děje
51
9 Závěr V první části práce popisuji základní věci ohledně spojitých regulátorů. Jedná se o jejich chování a průběhy regulované veličiny. Jsou zde ukázány dvě metody pro návrh spojitého regulátoru. První metoda je grafická metoda dle doporučeného tvaru amplitudovo-fázové charakteristiky otevřeného obvodu. Metoda je složitější z důvodu opakování návrhu pokud se návrh před tím nezdařil. Je důležité dodržet podmínky, které jsou stanovené pro fázovou bezpečnost a ωŘ, které jsou zásadní pro návrh. AFCH. Použití metody je ukázáno na návrhu PD regulátoru pro statickou soustavu. Druhá metoda Ziegler-Nichols je empirická a lze použít jako experimentální nebo numerická metoda. Z-N je rychlá metoda pro snadný návrh hodnot regulátor blízké k doporučeným hodnotám, ale nelze ji využít pro strukturálně stabilní soustavy. Ukázka metody na příkladech je ukázána jak v numerickém, tak i experimentálním výpočtu v programu Matlab. V druhé části se zabývám základními části diskrétního řízení. Jde o popsání jeho rozdílu oproti spojitému regulačnímu obvodu. Popis se zabývá rozdílným blokovým schématem, do kterého jsou přidány dva nové prvky(vzorkovač a tvarovač) a úpravou spojitého signálu na diskrétní vzorky. Dále je zde popsán číslicový regulátor, rozdíl oproti spojitému regulátoru a náhrady jeho složek pro práci v diskrétní oblasti. Popis se také zabývá realizací algoritmů číslicového regulátoru. V třetí části se zabývám důležitým faktorem v návrhu číslicového regulátoru a to je volba periody vzorkování a její vliv na změnu v obvodu pokud má různé délky. Volba její délky je ukázána na příkladech statické i astatické soustavy. V závěru práce je ukázka jak jsem realizoval číslicový regulátoru na zařízení WAGO 750 a jak byla namodelována a také realizována regulovaná soustava na zařízení WAGO 750. Výsledkem jsou dva programy první pro statickou soustavu druhého řádu a druhý pro astatickou soustavu druhého řádu. U prvního programu se vyskytly problémy v rámci velkých akčních zásahu a vlivem omezení analogových V/V (0-10 V) muselo být sníženo zesílení regulované soustavy, aby regulovaná veličina dosahovala pouze do 2V. Druhý program je navržen jako modifikace přírůstkového algoritmu. Je to
52
z důvodu náhlých skokových změn vlivem měnícího se vstupního napětí na zdroji. V bakalářské práci je popsán druhý typ algoritmu. Protože všechny simulace nemohly být vloženy do bakalářské práce, aby byla zachována rozumná délka práce, budou tyto simulace a příklady uloženy do příloh. Další rozšíření práce je rozhodně možné jako je např. aplikace jiných metod pro návrh číslicového regulátoru, vylepšení algoritmu pro PLC nebo mikroprocesor a realizaci na konkrétním modulu v automatizační laboratoři na VŠPJ.
53
Seznam použité literatury [1] BALÁTĚ, Jaroslav. Automatické řízení. 2 prepr. vyd. Praha: BEN technická literatura, 2003, 663 s. ISBN 80-730-0020-2. [2] ŠVARC, Ivan. Automatické řízení. Vyd. 2. Brno: Akademické nakladatelství CERM, 2011, vi, 348 s. ISBN 978-80-214-4398-3. [3] BALÁTĚ, Jaroslav a Pavel NAVRÁTIL. Počítačová podpora automatického řízení. Počítačová podpora automatického řízení: Computer aided automatic control CAAC [online]. Brno: VUT FSI, 2001 [cit. 2014-04-29]. Dostupné z: http://195.178.89.122/CAAC_PHP/CAAC/index.php [4] BLAHA, Petr a Petr VAVŘÍN. Řízení a regulace 1: Základy regulace lineárních systémů - spojité a diskrétní [online]. Brno, 2005 [cit. 2014-06-09]. Dostupné
z:
http://www.uamt.feec.vutbr.cz/~richter/vyuka/0809_BRR1/texty/brr1.pdf. Skripta. VUT Brno. [5] KUBÍK, Stanislav, Zdeněk KOTEK a Miroslav KUBÍK. Teorie regulace: I. Lineární regulace. Vyd. 1. Praha: SNTL, 1969, 300 s. [6] OŽANA, Štěpán. Navrhování a realizace regulátorů [online]. Vyd. 1. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita, 2012, 2 DVD-ROM [cit. 2014-08-14].
ISBN
978-80-248-2605-9.
Dostupné
z:
http://www.person.vsb.cz/archivcd/FEI/NRR/Navrhovani%20a%20realizace%2 0regulatoru.pdf [7] WAGO 750-457, 750-459. In: [online]. [cit. 2014-08-14]. Dostupné z: http://www.wago.com/wagoweb/documentation/750/eng_dat/d07500459_000 00000_0en.pdf
[8] WAGO 750-557, 750-559. [online]. [cit. 2014-08-14]. Dostupné z: http://www.wago.com/wagoweb/documentation/753/eng_dat/d07530559_00000 000_0en.pdf
54
Seznam obrázků Obr. 2.1 Spojitý regulační obvod .................................................................................... 10 Obr.
3.1
Typová
amplitudová
frekvenční
charakteristika
v
logaritmických
souřadnicích[5] ............................................................................................................... 14 Obr. 3.2 Ukázka ampl. a fáz. bezpečnosti na frekvenční charakteristice ....................... 15 Obr. 3.3 Návrh PD regulátor v amplit. fáz. charakteristice ............................................ 16 Obr. 3.4 Ukázka návrhu zapojení v programu Simulink pro různá zesílení ................... 17 Obr. 3.5 Výsledné přechodové charakteristiky pro PD regulátory s různým zesílením Kp = 1, 2, 5 soustavy Fs2 ..................................................................................................... 18 Obr. 3.6 Simulace spojitých regulátorů pro soustavu FS3 metodou Z-N ........................ 22 Obr. 3.7 Uvedení obvodu na mez stability změnou zesílení .......................................... 23 Obr. 3.8 Simulace spojitých regulátorů pro soustavu FS4 metodou Z-N ........................ 24 Obr. 4.1 Diskrétní funkce ............................................................................................... 25 Obr. 4.2 Amplitudové kmitočtové spektrum[1].............................................................. 26 Obr. 4.3 Blokové schéma disk. regulačního obvodu ...................................................... 26 Obr. 4.4 Vzorkovač jako spínač...................................................................................... 27 Obr. 4.5 Vzorkování ....................................................................................................... 28 Obr. 4.6 Tvarování signálu ............................................................................................. 29 Obr. 4.7 Zpětná diference [1].......................................................................................... 31 Obr. 6.1 Blokové schéma obvodu soustavy Fs2 s PD regulátorem v Simulinku ........... 35 Obr. 6.2 Časový průběh uzavřeného obvodu s číslicový regulátorem - reakce na jednotkový skok .............................................................................................................. 35 Obr. 6.3 Výpočet přenosu uzavřeného obvodu pro různou periodu vzorkování ............ 37
55
Obr. 6.4 Spojitý přenos řízení a číslicový regulátor v Simulink..................................... 38 Obr. 6.5 Porovnání spojitého a číslicového regulátoru pro FS2 ...................................... 39 Obr. 6.6 Číslicové PD regulátory pro různou periodu vzorkování T ............................. 41 Obr. 6.7 Číslicové PID regulátory pro různou periodu vzorkování T ............................ 42 Obr. 7.1 Diskrétní systém ............................................................................................... 43 Obr. 8.1 Zapojení regulátoru a soustavy na reálném zařízení ........................................ 44 Obr. 8.2 Zápis rovnice v prostředí v prostředí CoDeSys ................................................ 46 Obr. 8.3 Ukázka časovačů pro zpoždění soustavy v prostředí CoDeSys ....................... 47 Obr. 8.4 Ukázka zdrojového kódu regulátoru v CoDeSys ............................................. 48 Obr. 8.5 Analogové V/V mezi jednotlivými bloky ........................................................ 48 Obr. 8.6 Ukázka konverze v regulátoru .......................................................................... 49 Obr. 8.7 Ukázka konverze v soustavě............................................................................. 49 Obr. 8.8 Změna v obvodu ............................................................................................... 50 Obr. 8.9 Ustálení přechodového děje.............................................................................. 51
Seznam tabulek Tab 2.1 Vlastnosti spojitých regulátorů .......................................................................... 11 Tab. 3.1 Doporučená hodnota pro amplitudovou a fázovou bezpečnost [4] .................. 15 Tab. 3.2 Parametry seřízení regulátoru pro metodu Ziegler-Nichols [1][2] ................... 19 Tab. 3.3 Návrh spojitých regulátorů metodou Z-N pro soustavu FS3 ............................ 21 Tab. 3.4 Výsledky přepočtu koeficientů pro regulátory metodou Z-N pro soustavu FS4 23 Tab. 4.1 Přenosy číslicových regulátorů a jejich koeficientů d0,d1 a d2 ......................... 32
56
Tab. 4.2 Přenosy spojitých regulátorů ............................................................................ 32 Tab. 6.1 Vypočítané hodnoty pro koeficienty d0 a d1 s různou periodou vzorkování ... 36 Tab. 6.2 Výpočet koeficientů pro číslicové regulátory pro astatickou soustavu FS3 ...... 40
Seznam použitých zkratek a0, a1 ... an
Parametry Z přenosu soustavy
b0, b1 ... bn
Parametry Z přenosu soustavy
DCS
Distributed Control System
DOBD
Dopředná obdélníková metoda
e, e(t) , e(kT)
Regulační odchylka
Fs(p)
Spojitá přenosová funkce
Fc(z)
Přenos celkové soustavy v Z transformaci s tvarovačem
Fw(s)
Přenos řízení spojité soustavy
Gr(z), Fr(z)
Přenos regulátoru v Z transformaci
Im
Imaginární část
IPC
Industrial PC
Kp
Zesílení, proporcionální složka
KPK
Kritické zesílení proporcionální složky
LICHO
Lichoběžníková metoda
P
Proporcionální regulátor
PI
Proporcionální-integrační regulátor
PID
Proporcionální-integrační- derivační regulátor
PLC
Programovatelný logický automat
PSD
Proporcionálně-sumačně diferenční číslicový regulátor
Re
Reálná část
p
Proměnná Laplaceovy transformace
r0
Proporcionální konstanta analogového regulátoru
r-1
Integrační konstanta analogového regulátoru
r1
Derivační konstanta analogového regulátoru
s
Proměnná Laplaceovy transformace-značení v Matlabu 57
T
Perioda vzorkování
TD
Derivační časová konstanta
TI
Integrační časová konstanta
TK
Kritická perioda soustavy
u, u(t), u(kT)
Akční zásah
v/v
vstup/výstup
w, w(t)
Řídicí veličina
z
Proměnná Z transformace
Z-N
Ziegler-Nichols
ZOBD
Zpětná obdélníková metoda
ωK
Kritická frekvence
ωŘ
Frekvence řezu
Přílohy 1 Obsah přiloženého CD Na přiloženém CD se v kořenovém adresáři nachází tato bakalářská práce ve formátu bakalarska_prace.pdf. + složky s použitými obrázky, simulacemi v Matlab/Simulink a programy v CoDeSysu
58
