UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I D VAK:
WISKUNDE
NIVEAU:
MAVO
EXAMEN:
2001-I D
De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden. ThiemeMeulenhoff is een educatieve uitgeverij waarin alle fondsen van de voormalige uitgeverijen Meulenhoff Educatief, SMD Educatieve Uitgevers en uitgeverij Thieme zijn samengevoegd. De uitgaven die ThiemeMeulenhoff ontwikkelt, richten zich op het totale onderwijsveld: basisonderwijs, voortgezet onderwijs, beroepsonderwijs & volwasseneneducatie en hoger onderwijs. www.thiememeulenhoff.nl © ThiemeMeulenhoff, Utrecht/Zutphen, 2001 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voorzover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 20 juni 1974, Stb. 351, zoals gewijzigd bij het Besluit van 23 augustus 1985, Stb. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 882, 1180 AW Amstelveen). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden.
MAVO WISKUNDE
2001-I D
De krant 1 Deel het aantal kranten dat per dag bezorgd wordt door het aantal krantenbezorgers. Het aantal krantenbezorgers is 50 000. De totale verkoop aan kranten in Nederland is 4,7 miljoen per dag. Hiervan wordt 90% aan huis bezorgd. Een krantenbezorger in Nederland bezorgt per dag dan gemiddeld 4700 000x0,90 ≈ 85 kranten. 50 000 2 In Duitsland is de totale verkoop 25 miljoen kranten. Van ‘De grote 3’ worden in totaal 4 600 000 + 443 000 + 425 000 = 5 468 000 kranten verkocht. Het percentage van ‘De grote 3’ van de totale verkoop is dan 5 468 000 x 100% ≈ 22%. Dit percentage is kleiner dan 56%, dus 25 000 000 Sylvia heeft gelijk. 3 Het percentage klachten over de bezorging is 0,006%. In totaal worden er 0,8 × 25 miljoen kranten bezorgd. Het aantal klachten is dan 0,00006 × 0,8 × 25 000 000 = 1200 klachten. 4 Bereken per land de verhouding. Dit geeft: In Nederland ≈ 0,29. In Engeland ≈ 0,32. In Duitsland ≈ 0,30. Het verhoudingsgetal is in Nederland het laagst, dus in Nederland worden in verhouding de minste kranten verkocht.
Verfbad 5 Ellis laat de kubus in de verf zakken tot de punten K, F en G. Daarom is HL = EK = 1 cm. Teken punt L met HL = 1 cm en trek KL, LF en KF.
2
MAVO WISKUNDE
2001-I D
6 Teken eerst driehoek KFE. De lengte van de zijde KE = 1 cm en van EF = 4 cm. De lengte van KF is met Pythagoras te berekenen: KF2 = 12 + 42 = 17 cm, dus KF = 4,1 cm. Teken KF = 4,1 cm. Teken punt E, door met de passer vanuit K een stuk van 1 cm om te cirkelen en vanuit F een stuk van 4 cm. Het snijpunt van de twee cirkels is punt E.
Verleng EK tot EA = 4 cm. Teken punt B door te gebruiken dat ∠EAB = 90° en AB = 4 cm. Stippel de gedeelten van de ribben die in het verfbad zitten.
3
MAVO WISKUNDE
2001-I D
7 Zet eerst in de uitslag de juiste letters bij alle hoekpunten. (kijk hierbij goed naar figuur 1)
Zet daarna de letters K en L op de juiste plaats in de uitslag (let op de schaal is 1 : 2, dus teken EK = 0,5 cm). Trek KF, KL en GL.
Arceer of kleur het gedeelte dat rood is.
4
MAVO WISKUNDE
2001-I D
8 Bekijk per kubus een mogelijke onderkant. Hieronder is één van de mogelijkheden besproken (ik verwijs steeds naar figuur 1 uit de opgave): Kubus 1. De bovenkant is volledig rood (bijvoorbeeld vlak ABCD) , dus de onderkant kan volledig wit zijn (vlak EFGH). Kubus 2 en 4. De getekende bovenkant kan vlak ABFE zijn. De onderkant is dan vlak DCGH en dat ziet er precies hetzelfde uit. Kubus 3. De getekende bovenkant zou vlak ADHE kunnen zijn. De onderkant is dan vlak BCGF en dat vlak is volledig rood. Leg nu de vier onderkanten neer, waarbij je rekening houdt met het kantelen. De onderkant ziet er dan als volgt uit:
Er zijn nog vier andere mogelijkheden:
Bruggen Opmerkingen: Als de waterstand stijgt, dan daalt de doorvaarthoogte. Een lager punt in de grafiek van de waterstand is een grotere doorvaarthoogte. 9 In de grafiek is aangegeven dat de foto genomen is om 11 uur in de ochtend. De waterstand was toen 20 cm (aflezen uit de grafiek). De doorvaarthoogte was om 11 uur 10,5 m (zie tekst onder de foto). Drie uur later, om 14 uur, is de maximale waterstand (= hoogwater) 90 cm. De waterstand is dus gestegen met 90 cm – 20 cm = 70 cm. De maximale doorvaarthoogte is dan 10,5 m – 0,7 m = 9,8 m. 10 Uit het antwoord op vraag 9 volgt: een schip dat 10,2 m boven water uitsteekt kan alleen onder de brug door als de waterstand 40 cm lager is dan 5
MAVO WISKUNDE
2001-I D
de hoogste stand. De waterstand mag dus niet hoger zijn dan 90 cm – 40 cm = 50 cm. 11 Uit het antwoord op vraag 10 volgt: de waterstand mag maximaal 50 cm zijn. Trek dus in de grafiek een horizontale lijn door het punt (0,50) en lees de bijbehorende tijdstippen af. Let op: één hokje = 12 minuten.
Het schip van schipper Leunis kan de brug passeren tussen de volgende tijdstippen: - 0 uur en 0 uur 48 minuten, - 6 uur en 12 uur 48 minuten, - 18 uur en 24 uur. 12 Wat is al bekend? - Bij een laagste waterstand van 20 cm is de maximale doorvaarthoogte 10,5 m. - Bij een hoogste waterstand van 90 cm is de minimale doorvaarthoogte 9,8 m. - Een stijging van de waterstand met 10 cm betekent een daling van de doorvaarthoogte met 0,1 m. Vul eventueel als hulpmiddel bij het tekenen de tabel in: tijd (in uren) 0 2 6 7 11 12 waterstand ten opzichte 30 90 50 40 20 30 van N.A.P. (in cm) doorvaarthoogte (in m) 10,4 9,8 10,2 10,3 10,5 10,4
6
14 90 9,8
MAVO WISKUNDE
2001-I D
Mobiele hijskraan 13 De situatie is als volgt te schetsen: AB AT AB Er geldt cos ∠TAB = = ≈ 0,4125. AT Bereken nu ∠TAB =
Dit geeft ∠TAB ≈ 65,6° ≈ 66°. Opmerking. Op de rekenmachine: 16,5 ÷ 40 = cos-1
14 Van belang is de maximale lengte van de kraanarm. Deze moet minstens 40 m zijn. Het maximale gewicht is niet van belang (immers een kozijn is niet zo zwaar en er is ook niets over het gewicht bekend). De hijskraan is minimaal 2,5 uur nodig. De goedkoopste hijskraan die aan de eisen voldoet is de hijskraan van 185 guldens per uur. Omdat deze hijskraan minstens 3 uur moet worden gehuurd zijn de minimale kosten voor het huren gelijk aan 3 × ƒ 185,- = ƒ 555,-.
7
MAVO WISKUNDE
2001-I D
15 De situatie is als volgt te schetsen: Bereken eerst TB met Pythagoras. Er geldt AT2 = AB2 + TB2. Dit geeft 402 = 16,52 + TB2, dus TB2 = 1327,75 en TB ≈ 36,44 m. De afstand van punt T tot de grond is dan 36,44 m + 3,5 m =39,94 m ≈ 39,9 m. 16 De situatie is als volgt te schetsen:
Bereken nu a. cos ∠CTD = TD · Invullen geeft: cos 35° = a , dus a = 9 × cos 35° ≈ 9 ≈ 0,819 9 TC ≈ 7,37 m ≈ 7,4 m. 8
MAVO WISKUNDE
2001-I D
Krimpende truien K=
(T – 16)2 400 · w
17 Vul in T = 30 en w = 1. Dit geeft K =
(30 – 16)2 196 = = 0,49. 400 · 1 400
Het proeflapje is dus 0,49 cm gekrompen. Na 1 wasbeurt zal de lengte van het proeflapje gelijk zijn aan 60 cm – 0,49 cm = 59,51 cm » 59,5 cm. (40 _ 16)2 576 18 Na de 1e wasbeurt bij 40 °C is de krimp gelijk aan K = = = 400 · 1 400 1,44 cm (zie tabel). (40 _ 16)2 576 Na de 2e wasbeurt bij 40 °C is de krimp gelijk aan K = = = 800 400 · 2 0,72 cm. (40 _ 16)2 576 = = Na de 3e wasbeurt bij 40 °C is de krimp gelijk aan K = 1200 400 · 3 0,48 cm. Reken zo verder en vul eventueel de tabel in: 1e 2e 3e 4e 5e 6e wasbeurt wasbeurt wasbeurt wasbeurt wasbeurt wasbeurt krimp in cm 1,44 0,72 0,48 0,36 totale krimp 1,44 2,16 2,64 3,00 in cm Bij 40 °C
Na 4 wasbeurten is het proeflapje in totaal 3 cm kleiner geworden. 19 De krimp na 1 wasbeurt (w = 1) is 60 cm – 55 cm = 5 cm, dus K = 5. (T_16)2 Invullen in de formule geeft: 5 = . Bereken hieruit T. 400 · 1 Uit de formule volgt (T – 16)2 = 5 × 400, dus (T – 16) = √2000 en T ≈ 16 + 44,7 ≈ 60,7 ≈ 61. De temperatuur waarbij het proeflapje gewassen is, is ongeveer 61 °C. Kunstwerk van betonblokken 20 Meet de lengte van een lijnstuk in de figuur. Neem bijvoorbeeld het lijnstuk aan de onderkant met een werkelijke lengte van 18 dm. Je vindt een lengte van 4,45 cm. De schaal is dan 4,45 : 180 = 1 : 180 ≈ 1 : 41,8. Enigszins afgerond is de 4,45 schaal dan 1 : 40. 9
MAVO WISKUNDE
2001-I D
21 Het bovenaanzicht is opgebouwd uit drie vormen. Twee zijn gelijk aan vlak A in figuur 8 en de derde is gelijk aan de rechthoek in figuur 8. Leg de drie vlakken op de juiste manier aan elkaar en teken daarmee het bovenaanzicht.
22 Vlak A is opgebouwd uit het verschil van twee kwart cirkels. De stralen van deze cirkels zijn 11 dm en 4 dm. De oppervlakteformule van een cirkel is πr2. De oppervlakte van vlak A is dan 1 π × 112 – 1 π × 42 = 1 π × (112 – 42) = 4 4 4 1 π × 105 ≈ 82,46 ≈ 82 dm2. 4 23 De strip loopt voor een deel langs kwart cirkels en voor een deel langs ribben van een kubus. De omtrekformule van een cirkel is 2pr. De strip loopt langs - 4 randen van een grote kwartcirkel met straal 11 dm, - 4 randen van een kleine kwartcirkel met straal 4 dm, - 9 ribben van de kubus; de lengte van een ribbe is 7 dm. De totale benodigde lengte van de strip is dan 4 × 1 × 2π × 11 + 4 × 1 × 2π × 4 4 4 + 9 × 7 = 30p + 63 ≈ 94,2 + 63 ≈ 157 dm ≈ 15,7 m. Deze lengte is meer dan 15 m. De conciërge heeft te weinig besteld.
10
