1.6.4
Mocniny s celým mocnitelem I
Předpoklady: 1601, 1602 Př. 1:
Které ze dvou pravidel je matematicky hezčí? a) Pro každé a ∈ R a r , s ∈ N platí: a r ⋅ a s = a r + s . b) Pro každé a ∈ R , a ≠ 0 a r , s ∈ N , r > s platí:
ar = ar −s . s a
Základní požadavek na krásu matematického pravidla: Musí být co nejobecnější s minimem ar výjimek ⇒ pravidlo pro podíl mocnin moc krásy nepobralo: s = a r − s , platí když r > s a (ošklivá podmínka).
a5 Použití pravidla pro podíl je jasné, například: 3 = a 5−3 = a 2 . Nemohli bychom ho upravit tak, a aby fungovalo vždy a podmínku jsme mohli vypustit? Zkusíme, o se děje, když podmínka r ≤ s neplatí? Zkusíme r = s . Podle pravidla: ar = a r −r = a 0 . r a
Podle významu mocniny r ( a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ) = 1 všechno se pokrátí, a = a r ( a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ) nahoře i dole je a r-krát. Pokud má být matematika bezesporná, musíme oběma způsoby získat stejný výsledek ⇒ platí: a 0 = 1 . Není to úplně nerozumné, mocnitel říká kolikrát se a opakuje v součinu, když je mocnitel 0, nebude a v součinu ani jednou a zůstane tam pouze jednička (kterou můžeme připsat do jakéhokoliv součinu aniž by ho změnila). ar Zatím to vypadá, že platí: r = a r − r = a 0 = 1 . a
Zkusíme r < s (konkrétní hodnoty). Podle pravidla: Podle významu mocniny 3 a a3 a⋅a⋅a 1 1 3− 7 −4 = a = a = = = 4 7 7 a a a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a a⋅a⋅a⋅a a Pokud má být matematika bezesporná, musíme oběma způsoby získat stejný výsledek ⇒ 1 platí: a −4 = 4 . a Opět je docela rozumné, mocnitel říká kolikrát se a opakuje v součinu. když mocnitel zmenšujeme, ubývá a v součinu (je to stejné jako bychom počet a v součinu neměnili, ale součin zapsali do zlomku, ve kterém budeme postupně přidávat a do jmenovatel). Pokud bude mocnitel menší než nula, musí v být součinu a méně něž žádné ⇒ a se objeví ve jmenovateli.
1
Zkusíme r < s (obecně). Podle pravidla: ar = a r − s ( r − s < 0 -záporné číslo) s a
Podle významu mocniny r ⋅krát
a a ⋅ a ⋅ a...a 1 1 = = = s−r s a a ⋅ a ⋅ a...a a ⋅ a ⋅ a...a a r
s ⋅krát
s − r ⋅krát
( s − r > 0 , kladné číslo, opačné k r − s ) 1 1 Získali jsme stejný výsledek jako před chvíli: musí platit a r − s = s − r = −( r − s ) a a ar = a r − s můžeme používat vždy (tedy bez podmínky), pokud zavedeme s a 1 1 a −2 = 2 (obecně a − m = m , a ≠ 0 ). a a
Závěr: Vzorec
Pro všechna a ∈ R , a ≠ 0 platí a 0 = 1 . 1 1 (např. a −2 = 2 ). m a a
Pro každé a ∈ R , a ≠ 0 a pro každé m ∈ N platí: a − m =
Pedagogická poznámka: Doporučuji žákům, aby si význam záporného exponentu raději 1 1 pamatovali na konkrétním příkladu a −2 = 2 než na obecném vzorci a − m = m , ze a a kterého nejsou znaménka bez předchozí podmínky zcela zřejmá). Vyjádři jako zlomek. a) a −2 b) 10−2
Př. 2:
d) 2 −4
1 = 0, 01 10 2 1 1 d) 2−4 = 4 = 2 16
1 a2 1 1 c) 3−1 = 1 = 3 3
b) 10 −2 =
a) a −2 =
Odstraň mocninu.
Př. 3:
b) ( −2 )
a) 2 −2
a) 2 −2 =
−3
( 2)
c) ( −2 )
−2
1 4
−4
−3
d) 2 −3
b) ( −2 ) = −2
c) ( −2 ) = e)
c) 3−1
1
( −2 )
3
= 4
1 1 =− −8 8
1 = = 2
1
(( 2 ) )
2 2
=
e)
1
( −2 )
d) 2 −3 =
1 1 = 23 8
1 1 = nebo jinak 22 4
( 2)
2
2
−4
=
=
( 2)
−4
1 4
1
( 2)
4
=
1 1 = 22 4
⇒ Záporné znaménko v exponentu neovlivňuje znaménko mocniny, o znaménku rozhoduje znaménko základu mocniny a sudost nebo lichost exponentu.
Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je důležitý, část studentů pravidelně považuje záporné mocniny za záporná čísla. Podle definice je to zjevný nesmysl, ale oni neuvažují podle definic a pravidel. Zapiš jako mocninu prvočísla. 1 a) 49 b) 4
Př. 4:
a) 49 = 7 2 c)
1 1 = 3 = 3−3 27 3
c)
1 27
b)
1 1 = = 2 −2 4 22
d)
1 1 = 5 = 2−5 32 2
d)
1 32
Všechny vzorce pro mocniny s přirozeným mocnitelem platí i pro celočíselné mocnitele. Vynechej v sešitě řádku a pak sepiš z paměti bez obracení stránek v sešitu všechny vzorce pro výpočty s mocninami. Jak si vzorce lépe zapamatovat?
Př. 5:
a r ⋅ a s = a r +s
(a )
r s
= a r ⋅s
a r : a s = a r −s
(a ⋅b)
r
= ar ⋅ br
r
r a a = r b b Lépe se pamatují věci, které spolu souvisejí, nebo souvisí s něčím, co už známe. Máme dvě dvojice vzorců: • pro násobení a dělení: a r ⋅ a s = a r + s a a r : a s = a r − s (v každém vzorci vystupuje dvojice svázaných operací: násobení se sčítáním, dělení s odčítáním). r
•
r r a a pro odstranění závorky při násobení a dělení: ( a ⋅ b ) = a r ⋅ b r a = r . b b
Dosud jsme u uvedených vzorců předpokládali, že exponenty mohou být pouze přirozená čísla. Úvaha z úvodu dnešní hodiny nám umožňuje pracovat v exponentu i se zápornými čísly ⇒ všechny vzorce platí pro celá (tedy i záporná) čísla v exponentu.
Pro každá dvě reálná čísla a, b a pro každá dvě celá čísla r, s (tudíž i záporná) platí: r a ⋅ a s = a r +s
(a )
r s
= a r ⋅s
Je-li a ≠ 0 , pak a r : a s = a r − s
3
(a ⋅b)
= ar ⋅ br
r
r
r a a Je-li b ≠ 0 , pak = r b b
Př. 6:
Vyjádři co nejjednodušeji jako kladnou mocninu čísla většího než jedna. a) 0,5−5 b) 0, 02−3 c) 0, 04−2 −5
−5
1 5 1 a) 0,5−5 = = = = 25 5 10 2 1 2
1 1 1 2 b) 0, 02−3 = = 3 = 1 = 503 = 3 1 1 100 1 3 503 50 50 1 1 1 1 1 c) 0, 04−2 = = = = 2 = 1 = 252 1 1 0,042 4 2 1 2 2 252 25 100 25 −3
Pedagogická poznámka: Předchozí příklad (pro většinu studentů je těžké pochopit zadání) je vyrovnávací, většině třídy jenom ukážu bod a) a pokud není dost času, jdeme rovnou na příklad 7. Pedagogická poznámka: Ještě než pustíte žáky na následující, příklad musíte spočítat na tabuli pár příkladů, ve kterých použijete záporný exponent. V opačném případě žáci budou při výpočtech záporné exponenty obcházet, čím jejich zavedení ztrácí své kouzlo. Záporné exponenty můžeme ve výpočtech používat naprosto stejným jako přirozené. • 2−3 ⋅ 25 = 2 −3+5 = 2 2 •
(a )
•
3−1 ⋅ 34 −1+ 4 − 2 − ( −1) =3 = 32 = 9 2 −1 3 ⋅3
Př. 7:
2 −3
=a
2⋅( −3)
= a6
Zjednoduš a výsledek zapiš tak, aby se v něm nevyskytovala záporná mocnina. 48 2 −6 −4 −15 23 7 −3 a) 3 ⋅ 3 b) ( 2 ) c) −12 d) ( 2 x ) e) 5 4 2 a −3 ⋅ a 6 f) 5 −4 a ⋅a
a) 3−15 ⋅ 323 = 3−15+ 23 = 38
−2 −2 2 (a ) g) 3 ⋅ 2 a ( 2a )
3
h)
b) ( 27 ) = 2 −3
4
7⋅( −3)
2 1 ⋅ a3 a2 = 2 −21 =
2
2 ⋅ 3 a
1 221
−3
48 8 − −12 = 4 ( ) = 48+12 = 4 20 −12 4 2 −6 1 e) 5 = 2−6 −5 = 2−11 = 11 2 2
d) ( 2 x ) = 2−4 ⋅ x −4 = −4
c)
1 16 x 4
a −3 ⋅ a 6 −3+ 6 −5 −( −4 ) f) 5 −4 = a = a2 a ⋅a
−2 −2 2 −2 a −6 1 2 (a ) −6 − −6 − 2 g) 3 ⋅ = ⋅ 2 2 = 2−2− 2 ⋅ a ( ) = 2−4 a −2 = 4 2 2 −6 2 a a 2 a a ( 2a ) 3
−3
2 1 2 2 1 2 −3 21−3 2−2 a 2 h) 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 4 ⋅ −9 = 3+ 4 −9 = −2 = 2 a a a a a a a a 2 2
Př. 8:
Zjednoduš a výsledek zapiš tak, aby se v něm nevyskytovala záporná mocnina. a −2 a) 3 b
−2 a2 ( a ⋅ b ) b) 3 ⋅ −2 ( ab ) b
−2
−2
3
c) ( a 2b ) ⋅ ( a −3 ) ⋅ b 4b −3 −2
−2
−2
a −2 a4 a) 3 = −6 = a 4b 6 b b −2 a2 ( a ⋅ b ) a −4 a −6 ⋅ b3 a −10 ⋅ b3 b11 −8 11 = ⋅ = = = b) 3 ⋅ a b −2 b −6 a −2 b −2 a −2b −8 a8 ( ab ) b 3
−2
c) ( a b ) ⋅ ( a 2
−2
)
−3 −2
a2 ⋅b b = a b ⋅ a ⋅b = a b = b 4 −3
−4 −2
6
2 −1
Pedagogická poznámka: Náplní zbytku hodiny je samostatné počítání příkladů ze sbírky nebo z Petákové. Př. 9:
Sbírka příklad 9 Sbírka příklad 8 a) b) c) d) e)
Př. 10: Petáková: strana 62/cvičení 37 b) f) strana 62/cvičení 39 b) d) e) f) strana 62/cvičení 40 strana 62/cvičení 42 a) b) d) e) g)
Shrnutí: Lépe a obecněji se nám počítá, když zavedeme, že platí a −2 =
5
1 . a2
