Pružnost a pevnost. 2. přednáška, 10. října 2016

Pružnost a pevnost 2. přednáška, 10. října 2016 Prut namáhaný jednoduchým ohybem: • • • • •

rovnoměrně ohýbaný prut nerovnoměrně ohýbaný prut příklad – výpočet napětí za ohybu vliv teplotních změn příklad – nerovnoměrné oteplení

Rovnoměrně ohýbaný prut

původní délka prutu

L

Rovnoměrně ohýbaný prut konstantní průřez vnější momenty působí pouze na koncích



poloměr křivosti

R nezměněná délka střednice

M

L  R  

M

Rovnoměrně ohýbaný prut protažení vlákna

L  z  



relativní protažení vlákna

L z   z    L R   R M

Rz nová délka vlákna

L  L   R  z   

M

Rovnoměrně ohýbaný prut relativní protažení vlákna

z 1     z   z R R

1    … křivost prutu R L

deformace vlákna je úměrná • míře zkřivení prutu, charakterizované křivostí • vzdálenosti vlákna od osy prutu (v průmětu do svislé roviny xz)

  z     z … deformace se mění po výšce průřezu lineárně

Rovnoměrně ohýbaný prut   z     z … deformace se mění po výšce průřezu lineárně uplatníme Hookeův zákon:

  z   E  z   E  z … také napětí se mění

po výšce průřezu lineárně

M

 z

M

Rovnoměrně ohýbaný prut podmínka rovnováhy: výslednicí napětí v průřezu musí být moment M  M

M

 z

M

Rovnoměrně ohýbaný prut ohybový moment jako výslednice napětí v průřezu těžišťová osa rovnoběžná s osou y

x

y z

h b

Rovnoměrně ohýbaný prut ohybový moment jako výslednice napětí v průřezu

x

dz

y z

h

  z   E  z

z

b

Rovnoměrně ohýbaný prut ohybový moment jako výslednice napětí v průřezu

příspěvek k momentu:

x

y z

z    z  b dz

dz

h

  z  b dz z h/2

b

ohybový moment k těžišťové ose y:

M



h / 2

z    z  b dz

Vztah mezi ohybovým momentem a křivostí   z   E  z h/2

M



obdélníkový průřez

z    z  b dz  E

h / 2

h/2



z 2 b dz  EI

h / 2

moment setrvačnosti průřezu k těžišťové ose y z h / 2

z  I   z b dz  b    3  z  h / 2 h / 2 h/2

3

2

  h / 2 3  h / 2 3  bh 3  b    3  12 3  

Vztah mezi ohybovým momentem a křivostí   z   E  z M

zmax



z    z  b  z  dz  E

zmin

obecný průřez zmax



z b  z  dz  EI 2

zmin

moment setrvačnosti průřezu k těžišťové ose y

I

zmax



z 2 b  z  dz   z 2dA dvojný

zmin

A

integrál

Vztah mezi ohybovým momentem a křivostí M  EI   ohybový moment

ohybová tuhost průřezu

křivost (charakterizuje deformaci ohybem)

EI modul pružnosti (charakterizuje tuhost materiálu)

moment setrvačnosti (charakterizuje geometrii průřezu)

Přehled odvozených vztahů pro rovnoměrný ohyb   L

 z    z M   z   E  z   z I

M  EI  

M  EI

Základní veličiny a rovnice

přemístění

vnější síly

geometrické rovnice

přetvoření

statické rovnice

materiálové rovnice vnitřní síly (fyzikální, konstitutivní)

Základní veličiny a rovnice pro rovnoměrně ohýbaný prut 

   / L



EI M  L ohybová tuhost prutu (ve stavební mechanice se pod pojmem ohybová tuhost obvykle rozumí 2EI / L )

M  EI

M M M

M

Hypotéza o zachování rovinnosti průřezu



prozatím předpokládáme, že každý průřez zůstává i po deformaci rovinný

Deformace prutu v rovině

Přemístění průřezu v rovině x

z

Přemístění průřezu v rovině x w x

x

z

u  x

  x

Deformace segmentu prutu elementární segment prutu

před deformací

po deformaci ohybem



x

y

x z

x

křivost

 d   lim  x 0 x dx

Přehled vztahů pro jednoduchý ohyb rovnoměrný ohyb

nerovnoměrný ohyb

  L

d  x    x  dx

 z    z

  x, z     x   z

M   z   E  z   z I

M  x   x, z   E  x   z  z I  x

M  EI  

M  x   EI  x     x 

Příklad - výpočet napětí za ohybu 50 mm

f z  200 kN/m 25 mm

400 mm

L4m

300 mm Zjistěte, ve které oblasti nosníku vzniká maximální normálové napětí, a určete jeho velikost.


f z  200 kN/m 25 mm L4m

300 mm

M  x   x, z   z I  x

400 mm


f z  200 kN/m 25 mm L4m

300 mm

fzL x fz 2 M  x  x  f z x   Lx  x  2 2 2

400 mm


f z  200 kN/m 25 mm L4m

300 mm

2 L f L   max M  x   M    z  M max 8 2

400 mm

Maximální napětí za ohybu  max

M max M max  zmax  I We

pružný průřezový modul

We 

např. pro obdélníkový průřez

I zmax

bh 3 /12 bh 2 We   h/2 6

Vliv teplotních změn obvyklý předpoklad: změna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřezu

Th

... změna teploty horních vláken

Td

... změna teploty dolních vláken


Th

... změna teploty horních vláken

Td

... změna teploty dolních vláken


Th Td  Th

... nerovnoměrné oteplení

Ts ... změna teploty střednice Td


Th Td  Th Ts Td





rozklad na dva stavy


Th Td  Th Ts Td

Ts

Th  Ts



 Ts

Td  Ts

Vliv teplotních změn obvyklý předpoklad: změna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřezu změna teploty dolních vláken

Td  Th T  x, z   Ts  z h změna teploty v obecném bodě změna teploty ve střednici prutu

změna teploty horních vláken

teplotní gradient (spád) po výšce prutu

Vliv teplotních změn změna teploty:

Td  Th T  x, z   Ts  z h

deformace způsobená změnou teploty:

Td  Th  T  x, z   T T  x, z   T Ts  T z   Ts   T z h poměrné protažení od oteplení v obecném bodě

poměrné protažení střednice od středního oteplení

 Ts

křivost od teplotního gradientu

T

Vliv teplotních změn poměrné protažení střednice je součtem příspěvků odpovídajících normálové síle a střednímu oteplení:

s  x 

N  x

EA  x 

  Ts

(viz přednáška o tahu-tlaku)

podobně křivost střednice je součtem příspěvků odpovídajících ohybovému momentu a teplotnímu gradientu:

  x 

M  x

EI  x 

 T

M  x   EI  x    x   T 

Příklad – nerovnoměrné oteplení E  210 GPa

T  12  10 K 6

1

Th  40 K

50 mm

25 mm

400 mm

Td  20 K

L4m

300 mm

Zjistěte, jak se nosník pod vlivem nerovnoměrného oteplení deformuje a jaké v něm vzniká napětí. Řešte obdobnou úlohu i pro nosník vetknutý na obou koncích.

Pružnost a pevnost. 2. přednáška, 10. října 2016

Recommend Documents