Pružnost a pevnost 2. přednáška, 10. října 2016 Prut namáhaný jednoduchým ohybem: • • • • •
rovnoměrně ohýbaný prut nerovnoměrně ohýbaný prut příklad – výpočet napětí za ohybu vliv teplotních změn příklad – nerovnoměrné oteplení
Rovnoměrně ohýbaný prut
původní délka prutu
L
Rovnoměrně ohýbaný prut konstantní průřez vnější momenty působí pouze na koncích
poloměr křivosti
R nezměněná délka střednice
M
L R
M
Rovnoměrně ohýbaný prut protažení vlákna
L z
relativní protažení vlákna
L z z L R R M
Rz nová délka vlákna
L L R z
M
Rovnoměrně ohýbaný prut relativní protažení vlákna
z 1 z z R R
1 … křivost prutu R L
deformace vlákna je úměrná • míře zkřivení prutu, charakterizované křivostí • vzdálenosti vlákna od osy prutu (v průmětu do svislé roviny xz)
z z … deformace se mění po výšce průřezu lineárně
Rovnoměrně ohýbaný prut z z … deformace se mění po výšce průřezu lineárně uplatníme Hookeův zákon:
z E z E z … také napětí se mění
po výšce průřezu lineárně
M
z
M
Rovnoměrně ohýbaný prut podmínka rovnováhy: výslednicí napětí v průřezu musí být moment M M
M
z
M
Rovnoměrně ohýbaný prut ohybový moment jako výslednice napětí v průřezu těžišťová osa rovnoběžná s osou y
x
y z
h b
Rovnoměrně ohýbaný prut ohybový moment jako výslednice napětí v průřezu
x
dz
y z
h
z E z
z
b
Rovnoměrně ohýbaný prut ohybový moment jako výslednice napětí v průřezu
příspěvek k momentu:
x
y z
z z b dz
dz
h
z b dz z h/2
b
ohybový moment k těžišťové ose y:
M
h / 2
z z b dz
Vztah mezi ohybovým momentem a křivostí z E z h/2
M
obdélníkový průřez
z z b dz E
h / 2
h/2
z 2 b dz EI
h / 2
moment setrvačnosti průřezu k těžišťové ose y z h / 2
z I z b dz b 3 z h / 2 h / 2 h/2
3
2
h / 2 3 h / 2 3 bh 3 b 3 12 3
Vztah mezi ohybovým momentem a křivostí z E z M
zmax
z z b z dz E
zmin
obecný průřez zmax
z b z dz EI 2
zmin
moment setrvačnosti průřezu k těžišťové ose y
I
zmax
z 2 b z dz z 2dA dvojný
zmin
A
integrál
Vztah mezi ohybovým momentem a křivostí M EI ohybový moment
ohybová tuhost průřezu
křivost (charakterizuje deformaci ohybem)
EI modul pružnosti (charakterizuje tuhost materiálu)
moment setrvačnosti (charakterizuje geometrii průřezu)
Přehled odvozených vztahů pro rovnoměrný ohyb L
z z M z E z z I
M EI
M EI
Základní veličiny a rovnice
přemístění
vnější síly
geometrické rovnice
přetvoření
statické rovnice
materiálové rovnice vnitřní síly (fyzikální, konstitutivní)
Základní veličiny a rovnice pro rovnoměrně ohýbaný prut
/ L
EI M L ohybová tuhost prutu (ve stavební mechanice se pod pojmem ohybová tuhost obvykle rozumí 2EI / L )
M EI
M M M
M
Hypotéza o zachování rovinnosti průřezu
Hypotéza o zachování rovinnosti průřezu
Hypotéza o zachování rovinnosti průřezu
prozatím předpokládáme, že každý průřez zůstává i po deformaci rovinný
Deformace prutu v rovině
Přemístění průřezu v rovině x
z
Přemístění průřezu v rovině x w x
x
z
u x
x
Deformace segmentu prutu elementární segment prutu
před deformací
po deformaci ohybem
x
y
x z
x
křivost
d lim x 0 x dx
Přehled vztahů pro jednoduchý ohyb rovnoměrný ohyb
nerovnoměrný ohyb
L
d x x dx
z z
x, z x z
M z E z z I
M x x, z E x z z I x
M EI
M x EI x x
Příklad - výpočet napětí za ohybu 50 mm
f z 200 kN/m 25 mm
400 mm
L4m
300 mm Zjistěte, ve které oblasti nosníku vzniká maximální normálové napětí, a určete jeho velikost.
Příklad - výpočet napětí za ohybu 50 mm
f z 200 kN/m 25 mm L4m
300 mm
M x x, z z I x
400 mm
Příklad - výpočet napětí za ohybu 50 mm
f z 200 kN/m 25 mm L4m
300 mm
fzL x fz 2 M x x f z x Lx x 2 2 2
400 mm
Příklad - výpočet napětí za ohybu 50 mm
f z 200 kN/m 25 mm L4m
300 mm
2 L f L max M x M z M max 8 2
400 mm
Maximální napětí za ohybu max
M max M max zmax I We
pružný průřezový modul
We
např. pro obdélníkový průřez
I zmax
bh 3 /12 bh 2 We h/2 6
Vliv teplotních změn obvyklý předpoklad: změna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřezu
Th
... změna teploty horních vláken
Td
... změna teploty dolních vláken
Vliv teplotních změn obvyklý předpoklad: změna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřezu
Th
... změna teploty horních vláken
Td
... změna teploty dolních vláken
Vliv teplotních změn obvyklý předpoklad: změna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřezu
Th Td Th
... nerovnoměrné oteplení
Ts ... změna teploty střednice Td
Vliv teplotních změn obvyklý předpoklad: změna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřezu
Th Td Th Ts Td
rozklad na dva stavy
Vliv teplotních změn obvyklý předpoklad: změna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřezu
Th Td Th Ts Td
Ts
Th Ts
Ts
Td Ts
Vliv teplotních změn obvyklý předpoklad: změna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřezu změna teploty dolních vláken
Td Th T x, z Ts z h změna teploty v obecném bodě změna teploty ve střednici prutu
změna teploty horních vláken
teplotní gradient (spád) po výšce prutu
Vliv teplotních změn změna teploty:
Td Th T x, z Ts z h
deformace způsobená změnou teploty:
Td Th T x, z T T x, z T Ts T z Ts T z h poměrné protažení od oteplení v obecném bodě
poměrné protažení střednice od středního oteplení
Ts
křivost od teplotního gradientu
T
Vliv teplotních změn poměrné protažení střednice je součtem příspěvků odpovídajících normálové síle a střednímu oteplení:
s x
N x
EA x
Ts
(viz přednáška o tahu-tlaku)
podobně křivost střednice je součtem příspěvků odpovídajících ohybovému momentu a teplotnímu gradientu:
x
M x
EI x
T
M x EI x x T
Příklad – nerovnoměrné oteplení E 210 GPa
T 12 10 K 6
1
Th 40 K
50 mm
25 mm
400 mm
Td 20 K
L4m
300 mm
Zjistěte, jak se nosník pod vlivem nerovnoměrného oteplení deformuje a jaké v něm vzniká napětí. Řešte obdobnou úlohu i pro nosník vetknutý na obou koncích.