PEVNOST LETADEL A MOTORŮ

České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní

PEVNOST LETADEL A MOTORŮ Jan Řezníček

Praha 2015

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE – FAKULTA STROJNÍ ÚSTAV MECHANIKY, BIOMECHANIKY A MECHATRONIKY – ODBOR PRUŽNOSTI A PEVNOSTI

NAVAZUJÍCÍ MAGISTERSKÝ STUDIJNÍ PROGRAM LaK

přednáší

Jan Řezníček

akademický rok

2015/2016

Letectví a kosmonautika/Letadlová a kosmická technika - Pevnost letadel a motorů FS ČVUT v Praze, Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

OBSAH 0. ZÁKLADNÍ POJMY Z PRUŽNOSTI A PEVNOSTI

3

1. STABILITA TENKÝCH DESEK

11

2. TLUSTÉ/SILNĚ ZAKŘIVENÉ KŘIVÉ PRUTY

22

3. KROUŽIVÉ KMITÁNÍ HŘÍDELŮ Z POHLEDU PRUŽNOSTI A PEVNOSTI

33

4. SMYKOVÉ NAPĚTÍ V TENKOSTĚNNÝCH PROFILECH – STŘEDISKO SMYKU 55 5. NEVOLNÉ KROUCENÍ PRUTŮ NEKRUHOVÉHO PRŮŘEZU

75

6. OBECNÁ TEORIE DEPLANACE

83

7. PŘIBLIŽNÁ TEORIE KOLMÉHO OHYBOVÉHO KRUTU

121

DOSLOV

127

-2-

ZS akademického roku 2015/2016 přednáší: Jan Řezníček

0. ZÁKLADNÍ POJMY Z PRUŽNOSTI A PEVNOSTI Pružnost a pevnost jako součást fyziky, resp. její užší části – mechaniky kontinua a speciálně mechaniky poddajných těles. Základní pojmy:

SÍLY Vnitřní

Vnější

Obr. 0.1 – Rozdělení sil v mechanice kontinua – pružnosti a pevnosti

Základní princip: Ve všech výpočtech v pružnosti a pevnosti předpokládáme statická rovnováha vnějších sil. VNITŘNÍ SÍLY (zobecnělé): Pojmem zobecnělá síla se rozumí veškeré možné zatížení – tedy jak osamělá síla, tak i síla spojitě rozložená nebo také osamělý resp. spojitě rozložený moment. Obdobně se v případě zobecnělé deformace může jednat jak o posunutí tak také o natočení dF

t F4

dT ⇒

F2

n

F2 2

dN

1

1

dA

Fn F1

F1

FV = ∫∫ dF

a současně

r r r F1 + F2 + FV = 0

( A)

Obr. 0.2 – Zavedení vnitřních sil v pružnosti a pevnosti Základní kategorií ve fyzice je síla. Nejčastěji značená F nebo N, T, R, X, ... o rozměru [N], resp. [kN] nebo dokonce i [MN]. Pro výpočty v pružnosti je však tato veličina nedostatečná, protože je jen kvantitativní a nepopisuje dostatečně skutečné děje, které vznikají uvnitř tělesa. Je tedy třeba zavést veličinu kvalitativní, která by tyto děje dostatečně popisovala. Intenzita vnitřní síly ≡ NAPĚTÍ (mechanické) -3-


NAPĚTÍ: Základní rozdělení napětí: a) obecné

ν ( x) =

b) normálové

dF dA

σ ( x) =

c) smykové

dN dA

τ ( x) =

dT dA

Protože napětí je definováno jako velikost elementární síly připadající na element plochy, bude rozměr napětí v soustavě SI [N⋅m-2], resp. [N⋅mm-2]. V praxi se stále ještě setkáváme s původním značením, kdy jednotkou napětí byl stejně jako u tlaků 1 pascal, resp. 1 megapascal: [Pa] pascal ≡ [N⋅m-2]

[MPa] megapascal ≡ [N⋅mm-2] (1 MPa = 1⋅106 Pa).

resp.

Poznámka: Zejména v anglosaské odborné literatuře se zásadně uvádí mechanické napětí v základních jednotkách N⋅m-2 resp. N⋅mm-2 (např. automobilky Ford nebo BMW uvádějí ve všech technických předpisech a dílenských manuálech pevnosti šroubů v N⋅mm-2). Jednotky Pa, resp. MPa případně kPa nebo hPa jsou pak v odborné literatuře jednoznačně používány pro označování tlaků plynů a kapalin (pokud se ještě někdo „nezapomněl“ s Atm, kP/cm2, psi, ....

DEFORMACE TĚLESA: ε [1]

γ [1] zkos (dříve poměrné posunutí) změna pravého úhlu v elementu

(poměrné) prodloužení (kladné) (poměrné) zkrácení (záporné)

εx =

∆dx ∂u resp. ε = dx ∂x

γ xy =

(bude odvozeno později)

∂u ∂v + ∂y ∂x

(bude odvozeno později)

PRUŽNOST TĚLESA: Schopnost tělesa vrátit se do původního stavu pokud pomine vnější zatížení.

TUHOST TĚLESA: Schopnost tělesa odolávat deformacím.

ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ ÚLOH PP: 1. Předpoklad malých deformací (v relaci s ostatními rozměry), 2. Platnost lineární závislosti mezi napětím a deformací ≡ platnost Hookova zákona – existence modul pružnosti E nebo G a Poissonova číslo v, 3. Platnost Saint-Vénantova principu (změna zatížení se roznese na „malé“ vzdálenosti do celého průřezu součásti a ovlivní tak jen malou oblast, kterou zanedbáme), 4. Existence ideálního materiálu

- homogenní (bez vměstků, otvorů, ...), - isotropní (ve všech směrech stejné vlastnosti). -4-


Skutečná součást

Výpočtový model

často analyticky neřešitelné Experiment velice často provádíme přímo na skutečné součásti nebo na skutečném modelu velice blízkém této, součásti. Přesto však nemusí být tento model totožný s výpočtovým modelem. Proto mohou být mezi výsledky získanými experimentálně a výpočty značné rozdíly.

řada zjednodušení – řešitelné Pro výpočty v pružnosti a pevnosti využíváme tzv. výpočtový model, který vznikne za použití různých zjednodušujících předpokladů – čím větší je zjednodušení tím nepřesnější jsou výsledky vzhledem ke skutečnosti.

F

Obr. 0.3 – Součást – model (CAD) – výkres– výpočtový model v PP

NAPJATOST: Druhy napjatosti: jednoosá (přímková) Obecně zadaná napjatost: jediné normálové napětí

dvojosá (rovinná)

trojosá (prostorová)

dvě normálová a jedno smykové napětí

tři normálová a tři smyková napětí

(všechna v jediné rovině)

y

y

σx

σy

σx

σx x

z y

nebo y

σy

σz

z

σy

z

σz

x

σy

y

σx x

z

nebo

y

τy

σx

τx

x

σz

z

z

x

σy

Obr. 0.4 – Druhy napjatosti v bodě tělesa -5-

σy

τx

τz

σx τy

σz

x z

σy

σx

σx

τz

y

σy

x


Napjatost zadaná hlavními napětími: jediné normálové napětí σ1

dvě normálová napětí σ1 a σ2 (obě v jediné rovině) 2

σ1

2

σ2

σ1

σ1

tři normálová napětí σ1, σ2 a σ3

σ1

σ1

1

σ1

nebo

σ3

nebo

σ2

σ1

σ1

σ1 σ1

σ2

1

1

3 1

σ1

σ1

1

σ2 1

σ2

σ2

1

2

σ1

2

Obr. 0.5 – Hlavní napětí v bodě tělesa

ZÁKLADNÍ ZPŮSOBY NAMÁHÁNÍ: tahem/tlakem ±N(x)

krutem MK(x)

ohybem Mo(x)

smykem T(x) T

N

N

T MK

jednoosou σ(x)

MK

Mo

Mo

Vyvolá napjatost: rovinnou jednoosou τ(x) σo(x)

rovinnou τ(x)

Obr. 0.6 – Základní typy namáhání součástí

KOMBINACE ZÁKLADNÍCH ZPŮSOBŮ NAMÁHÁNÍ: vedoucí na jednoosou napjatost

vedoucí na rovinnou napjatost

šikmý ohyb (ohyb + ohyb) ; tah/tlak a ohyb

tah/tlak a krut ; ohyb a krut ; ohyb a smyk y

y

σ(2) σ(1)

σ(1) σ(2)

σ

τ

σ x

x z

z

Obr. 0.7 – Možnosti kombinací namáhání součástí -6-


HODNOCENÍ NAPJATOSTI = TEORIE PEVNOSTI: Základním principem všech běžně používaných teorií (hypotéz) pružnosti a pevnosti je převod (redukce) jakékoliv obecné napjatosti (dvoj- nebo trojosé) na jednoosou pro srovnání s hodnotami získanými při normalizované tahové zkoušce materiálových vzorků. Rozdělení podle typu materiálu, pro který jsou vhodné Křehké materiály (litina, hořčíkové slitiny, …)

Houževnaté materiály (konstrukční oceli, mosazi, …)

Teorie maximálního normálového napětí σMAX

σ max σ red =

Teorie maximálního smykového napětí τMAX

σ max > 0

σ red = σ max − σ min

pro

σ min

σ min < 0

Teorie Mohrova σ red = σ max − ρ ⋅ σ min

Teorie energetická (H.M.H.)

pro σmax > 0 a σmin < 0 , kde ρ =

σ red =

Rmt Rmd

σ red =

2 2 2 2 ⋅ (σ1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ1 ) 2

(

2 2 2 2 ⋅ (σ x − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6 ⋅ τ x2 + τ y2 + τ z2 2

)

DEFORMAČNÍ ENERGIE: Velice důležitou kategorií v pružnosti a pevnosti je deformační energie. Jedná se o vnitřní energii akumulovanou v tělese. Protože jedním ze základních principů ve fyzice obecně a v pružnosti a pevnosti zvlášť je zákon zachování energie spolu s předpokladem bezztrátových dějů, můžeme tuto veličinu srovnávat s ostatními energiemi, resp. vynaloženými pracemi. Samotná deformační energie je opět veličinou kvantitativní, a proto základem řady výpočtů je kvalitativní veličina – hustota deformační energie λ(x), což je elementární deformační energie U vztažena na element objemu dV: dU λ= . dV Ta je obecně definovaná (při použití rozšířeného Hookova zákona a vztahu mezi modulem pružnosti v tahu a modulem pružnosti ve smyku) jako:

λ=

[

]

1 ⋅ σ x2 + σ y2 + σ z2 − 2 ⋅ µ ⋅ (σ x ⋅ σ y + σ y ⋅ σ z + σ z ⋅ σ x ) + 2 ⋅ (1 + ν ) ⋅ (τ x2 + τ y2 + τ z2 ) . 2⋅E

V případě jednoosé napjatosti resp. napjatosti čistého smyku se výraz pro hustotu deformační energie λ výrazně zjednoduší:

λσ =

σ2

2⋅E

resp.

λτ =

τ2

2⋅G

.

Dosadíme-li nyní do těchto vztahů vztahy pro určení napjatosti při jednotlivých způsobech namáhání a budeme-li výsledky integrovat přes celý objem řešeného tělesa (dV = A(x)⋅dx), dostáváme: -7-


1 N ( x) 2 ⋅∫ ⋅ dx , 2 ⋅ E ( l ) A( x )

1. pro tah/tlak:

UN =

2. pro krut:

UMK =

M ( x) 2 1 ⋅∫ K ⋅ dx , 2 ⋅ G (l) J P ( x)

3. pro rovinný ohyb:

U Mo =

M ( x)2 1 ⋅∫ o ⋅ dx , 2 ⋅ E ( l) J z ( x )

4. pro smyk od posouvající síly:

UT =

β

T ( x)2 ⋅ dx 2 ⋅ G ( l ) A( x ) ⋅∫

(β závisí na tvaru průřezu).

Deformační energie je pak v řadě úloh využívána společně s předpokladem platnosti zákona zachování energie (bezztrátové děje) jako prostředek k řešení. Současně platí věty odvozené italským inženýrem Carlem Albertem Castiglianem: 1. Parciální derivace celkové deformační energie U akumulované v libovolném tělese podle obecného silového účinku působícího v určitém bodě tohoto tělesa Sj se rovná deformaci tělesa ∆j v místě a směru působícího silového účinku:

∂U = ∆j . ∂S j

Je-li obecným silovým účinkem Sj síla (Fj), je vypočtená deformace ∆j POSUNUTÍ (uj). Je-li obecným silovým účinkem Sj moment (Mj) , je vypočtená deformace ∆j NATOČENÍ (ϕj). 2. Staticky neurčitá veličina Xi minimalizuje celkovou deformační energii U akumulovanou v soustavě:

∂U = 0 (platí pro soustavy neohřáté a nepředepjaté). ∂X i

Celková deformační energie při kombinovaném namáhání: Při všech výpočtech, které využívají celkovou deformační energii U, nesmíme zapomenout, jak výsledný vztah vznikl - základem všeho je hustota deformační energie λ a dva základní způsoby namáhání normálové napětí σ a smykové napětí τ. Při kombinaci napětí je třeba uvažovat výslednou napjatost: 1. normálová napětí – např. kombinace tah/tlak + ohyb = N(x) + Mo(x):

σ celk . = σ t + σ o . λ=

(

)

1 1 1 2 2 ⋅ σ celk ⋅ (σ t + σ o ) = ⋅ σ t2 + σ o2 + 2 ⋅ σ t ⋅ σ o . . = 2⋅ E 2⋅ E 2⋅ E

2 2 1  N ( x)   M o ( x)   N ( x)   M o ( x)  λ ( x) = ⋅  ⋅ y  + 2 ⋅  ⋅ y  .  +  ⋅ 2 ⋅ E  A   J z A   J z    

 N ( x)  2  M ( x)  2 1  N ( x)   M o ( x)  U c = ∫∫∫ λ ⋅ dV = ⋅ ∫ ∫∫  ⋅ y  + 2 ⋅  ⋅ y  ⋅ dx ⋅ dA .  +  o ⋅ 2 ⋅ E ( l )( A)  A   J z A   J z    (V )  -8-


Odkud vychází *):  1 1 1   N ( x) ⋅ M o ( x )  N ( x) 2 M o ( x) 2 Uc = ⋅∫ ⋅ dx + ⋅∫ ⋅ dx + ⋅ ∫  ∫∫  ⋅ y  ⋅ dA ⋅ dx . 2 ⋅ E (l ) A 2 ⋅ E (l ) J z E ( l )( A)  A⋅ Jz   144 42444 3 144 42444 3 14 4444424444443 UN

U Mo

U ( N +M o )

2. normálová a smyková napětí – např. kombinace ohyb + krut = Mo(x) + MK(x): 1 1 ⋅ σ o2 + ⋅τ 2 . 2⋅ E 2⋅G

λ = λσ + λτ =

2

1  M o ( x)  1  M K ( x)  λ ( x) = ⋅  ⋅ y  + ⋅ ⋅ρ  J  2⋅ E  Jz 2 ⋅ G  p  

2

 M ( x)  2   M ( x)  2  1 1 U c = ∫∫∫ λ ⋅ dV = ⋅ ∫ ∫∫  o ⋅ y   ⋅ dx ⋅ dA + ⋅ ∫ ∫∫  K ⋅ ρ   ⋅ dx ⋅ dA .    2 ⋅ E J 2 ⋅ G J  z p   (V ) ( l )( A )  ( l )( A )      Odkud vychází **): Uc =

 M ( x) 2 M ( x) 2 M ( x) 2 1 1 1  M o ( x)2 ⋅∫ o ⋅ dx + ⋅∫ K ⋅ dx = ⋅ ∫ ⋅ dx + 2 ⋅ (1 + ν ) ⋅ ∫ K ⋅ dx  .  Jp 2 ⋅ E ( l) A 2⋅G ) Jp 2 ⋅ E  ( l) A (l)  144 42444 3 144( l4 24443 U Mo

U MK

ZÁKLADNÍ ROVNICE MATEMATICKÉ TEORIE PRUŽNOSTI: Celkem se vyskytuje v úlohách pružnosti a pevnosti 15 neznámých: σx ; σy ; σz ; τx ; τy ; τz ; εx ; εy ; εz ; γx ; γy ; γz ; u ; v a w. K jejich určení existuje 15 základních rovnic:

Rozšířený Hookův zákon (6): 1 ε x = ⋅ σ x − ν ⋅ (σ y + σ z ) E 1 ε y = ⋅ σ y −ν ⋅ (σ z + σ x ) E 1 ε z = ⋅ σ z − ν ⋅ (σ x + σ y ) E

[

]

[

]

[

]

Rovnice přetvoření (6):

εx =

1 ⋅τ x G 1 γ y = ⋅τ y G 1 γ z = ⋅τ z G

γx =

∂u ∂x

∂v ∂y ∂w εz = ∂z

εy =

γx =

∂v ∂ w + ∂z ∂y

γy =

∂w ∂u + ∂x ∂z

γz =

∂u ∂v + ∂y ∂x

*) Zde opět funguje pohádka o dědkovi a bábě, kteří společně s vnučkou, psem, kočkou a myší tahali řepu a společně dali dohromady víc energie než prostý součet energie každého z nich. Stejně tak funguje kníže Svatopluk a jeho tři pruty ve Starých pověstech českých od Aloise Jiráska. **) Na rozdíl od předchozí úvahy zde každý účinek dělá něco jiného, a tak se efekt „spolupráce“ neprojeví a výsledná energie je pouze prostým součtem energií od obou účinků.

-9-


Rovnice rovnováhy (3):

∂σ x ∂τ z ∂τ y + + + X =0 . ∂x ∂y ∂z ∂τ z ∂σ y ∂τ x + + +Y = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ y ∂τ x ∂σ z + + +Z =0 . ∂x ∂y ∂z

SPOJENÍ VŠECH ROVNIC MATEMATICKÉ TEORIE PRUŽNOSTI: Za předpokladu platnosti vztahu pro výpočet poměrné změny objemu a platnosti vztahu mezi modulem pružnosti v tahu a modulem pružnosti ve smyku: Θ ≈ εx +εy +εz

a

E = 2 ⋅ (1 + v) G

získáme dosazením rovnic rozšířeného Hookova zákona a rovnic přetvoření do rovnic rovnováhy při použití Laplaceova diferenciálního operátoru: ∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z soustavu tří lineárních parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu:

∇ 2u +

1 ∂Θ X ⋅ + =0 1 − 2 ⋅ µ ∂x G

∇ 2v +

1 ∂Θ Y ⋅ + =0 1 − 2 ⋅ µ ∂y G

∇2 z +

1 ∂Θ Z ⋅ + =0 1 − 2 ⋅ µ ∂z G

Toto jsou ZÁKLADNÍ ROVNICE TEORIE PRUŽNOSTI. Systém má nekonečně mnoho řešení a každé konkrétní řešení odpovídající určité úloze je to, které vyhovuje okrajovým podmínkám řešené úlohy. Ze systému diferenciálních rovnic lze také dokázat jednoznačnost řešení odpovídajícího konkrétním okrajovým podmínkám, ale jeho samotné řešení je velice komplikované a možné jen ve zcela málo případech!

Flyer bratří Wrightů z roku 1906 a Airbus A380 z roku 2006

- 10 -


1. STABILITA TENKÝCH DESEK Pokud budeme uvažovat tenkou pravoúhlou desku uloženou a zatíženou pouze na dvou protilehlých stranách, lze její chování při ztrátě stability popsat jako rovinnou úlohu v souřadnicích x-y odpovídající Eulerovu řešení ztráty stability přímého prutu namáhaného osovou tlakovou silou. Na rozdíl od přímého prutu bude v tomto případě h >> t a také pravděpodobnost nedodržení „ideálnosti“ vzpěry (přímkovitost, konstantnost průřezu a osové umístění zatížení) bude podstatně vyšší. Obecné řešení průhybové čáry při ztrátě stability vychází z Bernoulliovy diferenciální rovnice a lze ho vyjádřit ve tvaru: v( x) = A ⋅ cos(α ⋅ x) + B ⋅ sin(α ⋅ x) + v p ( x) . Partikulární řešení odhadneme ze tvaru pravé strany diferenciální rovnice, která odpovídá typu vzpěru resp. účinkům vznikajícím v uloženích konců vzpěry. Konstanty A a B pak určíme z okrajových podmínek popisujících uložení. Pro informaci jsou na obrázku Eulerových případů ztráty stability uvedeny všechny čtyři případy.

Obr. 1.1 – Eulerovy případy ztráty stability

Švýcar Leonard Euler (1707 – 1783) popsal kritickou sílu způsobující ztrátu stability pro všechny čtyři případy vzpěru ve tvaru: Fkr( i.) = n ⋅

π 2 ⋅ E ⋅ J min . l2

Velikost první kritické síly pro jednotlivé případy se liší pouze koeficientem n: n = ¼ … pro 1. případ vzpěru (i = I) , n = 1 … pro 2. případ vzpěru (i = II), n ≈ 2 … pro 3. případ vzpěru (i = III), n = 4 … pro 4. případ vzpěru (i = VI). Ke ztrátě stability dochází vždy v případě „ideální“ vzpěry ve směru kolmém k ose, ke které je minimální osový kvadratický moment Jmin. V případě tenké desky to tedy musí vždy být kolmo k rovině řešené desky, protože je t << h . - 11 -


Všechny čtyři Eulerovy případy ztráty stability lze popsat jedinou diferenciální rovnicí druhého řádu pro průřez, který má tloušťku t a šířku h: vII ( x) = −

1 ⋅ nx ⋅ v ( x ) E ⋅ J "1"

kde: J″1″ … je osový kvadratický moment jednotkové šířky prutu: 1 J "1" = ⋅"1"⋅t 3 12 , nx … je tlaková normálová síla působící na jednotku šířky průřezu: N nx = x h . Při výpočtu pak volíme v(x) a hledáme řešení, které zajistí minimum síly nx. Např. pro II. případ vzpěru volíme průhybovou čáru ve tvaru sinusovky s možnými i půlvlnami a libovolnou amplitudou danou parametrem A:

i⋅π  v( x) = A ⋅ sin  ⋅ x .  l  Po provedení dvojnásobné derivace podle x dostáváme:

i⋅π i⋅π  i⋅π v′′( x) = − A ⋅  ⋅ x  = −  ⋅ sin   ⋅ v( x)  l   l   l  2

2

Nyní vše dosadíme do původní diferenciální rovnice:

1 i⋅π − ⋅ n x ⋅ v( x )  ⋅ v ( x) = − E ⋅ J "1"  l 

i⋅π nx =   ⋅ E ⋅ J "1" .  l 

2

2

⇒

Z výsledku je patrné, že minimum nastává v případě i = 1: 2

π n x =   ⋅ E ⋅ J "1" , l Což odpovídá Eulerovu vztahu pro II. případ vzpěru, protože: nx =

Nx h

a

J "1" =

J min . h

Kritické tlakové napětí určíme podle vztahu: n x  π  E ⋅ J "1" π 2 E 1 π2 t t 3 = =  ⋅ = 2 ⋅ ⋅ ⋅"1"⋅t = ⋅ E ⋅   ≈ 0,8225 ⋅ E ⋅   t l t l t 12 12 l l . 2

σ

II. x krit .

2

2

Obdobné vztahy bychom mohli odvodit i pro zbývající případy vzpěru:

σ

I. x krit .

t ≈ 0,2056 ⋅ E ⋅   l

2

,

σ

III. x krit .

t ≈ 1,6449 ⋅ E ⋅   l

2

2

a

σ

VI. x krit .

t ≈ 3,2900 ⋅ E ⋅   . l

V případě pravoúhlé desky uložené nejenom na protilehlých stranách již nevystačíme s rovinnou úlohou, ale je třeba řešit průhyb desky jako úlohu prostorovou pro w(x ; y). - 12 -


Odpovídající diferenciální rovnice v případě této tenké desky bude parciální diferenciální rovnice čtvrtého řádu:

∂ 4 w( x; y ) ∂ 4 w( x; y ) ∂ 4 w( x; y ) 1  ∂ 2 w( x; y ) ∂ 2 w( x; y ) ∂ 2 w( x; y )  + 2 ⋅ + = − ⋅ n ⋅ + n ⋅ + n ⋅ y xy  x . ∂x 4 ∂x 2 ⋅ ∂y 2 ∂y 4 D  ∂x 2 ∂y 2 ∂x ⋅ ∂y  V této rovnici zavádíme: D … desková tuhost jednotkové šířky desky: E 1 D = E × ⋅ J "1" = ⋅ ⋅"1"⋅t 3 , 2 1 − µ 12 nx … tlaková normálová síla působící na jednotku šířky průřezu ve směru osy x: N nx = x , h ny … tlaková normálová síla působící na jednotku délky průřezu ve směru osy y: Ny ny = . l nxy … smyková síla působící na jednotku délky a šířky průřezu ve směru os x a y (k ose z): Txy nxy = . (h + l)

Zavedení parametrů je patrné z obrázku zatížené pravoúhlé desky.

Obr. 1.2 - Zatížené pravoúhlé desky Řešení této diferenciální rovnice − deformaci takovéto desky lze popsat pomocí kombinace goniometrických funkcí tvořenými i půlvlnami na délce l ve směru osy x a j půlvlnami na délce h ve směru osy y: i⋅π   j⋅π  w( x; y ) = A ⋅ sin ⋅ x  ⋅ sin ⋅ y .  l   h  - 13 -


Řešení je patrné z obrázku průhybové plochy pravoúhlé desky.

Obr. 1.3 - Průhybová plocha pravoúhlé desky

Nyní aplikujeme toto řešení na obdélníkovou desku kloubově uloženou po celém svém obvodu a zatíženou pouze normálovou silou ve směru osy x (ny = 0 a nxy = 0), kdy základní parciální diferenciální rovnice přejde do tvaru:

∂ 4 w( x; y ) ∂ 4 w( x; y ) ∂ 4 w( x; y ) ∂ 2 w( x; y ) 1 + ⋅ + = − ⋅ ⋅ 2 n . x ∂x 4 ∂x 2 ⋅ ∂y 2 ∂y 4 ∂x 2 D Za jednotlivé členy dosadíme: ∂ 2 w( x; y ) i⋅π  i⋅π   j⋅π  i⋅π  = − ⋅ x  ⋅ sin  ⋅ y  = −  A ⋅ sin   ⋅ w( x; y ) , 2 ∂x  l   l   h   l  2

∂ 4 w( x; y )  i ⋅ π  =  ∂x 2 ⋅ ∂y 2  l 

2

2

 j⋅π  i⋅π   j⋅π  i⋅π  ⋅ ⋅ x  ⋅ sin  ⋅ y =   ⋅ A ⋅ sin    h   l   h   l  2

2

 j⋅π  ⋅  ⋅ w( x; y ) ,  h  2

∂ 4 w( x; y )  i ⋅ π  i⋅π   j⋅π  i⋅π  = ⋅ x  ⋅ sin  ⋅ y =   A ⋅ sin   ⋅ w( x; y ) , 4 ∂x  l   l   h   l  4

4

∂ 4 w( x; y )  j ⋅ π  i⋅π   j⋅π   j⋅π  = ⋅ x  ⋅ sin  ⋅ y =   A ⋅ sin   ⋅ w( x; y ) 4 ∂y  h   l   h   h  4

4

a dostáváme tak rovnici ve tvaru: n i⋅π  i⋅π  i⋅π   j⋅π   j⋅π    + 2⋅  ⋅  +  = x ⋅  . D  l   l   l   h   h  4

2

2

4

2

Nyní vyjádříme hledanou velikost zatížení nx: 2 4 2 2 4 π2  l   i ⋅ π  i⋅π  j⋅π   j⋅π   nx = D ⋅   ⋅   + 2⋅  ⋅  +   = D⋅ 2 h  i ⋅ π   l   l   h   h  

- 14 -

2  i ⋅ h  2  j2 ⋅l   2   . ⋅   + 2 ⋅ j +   l   i ⋅ h  


Pokud hledáme minimální hodnotu nx, musíme minimalizovat člen v závorce, protože zbývající členy představují konstanty z hlediska řešené desky o rozměrech l × h a tloušťce t vyrobené z materiálu s modulem pružnosti E a Poissonovým číslem µ. Z rovnice je patrné, že jakákoliv jiná hodnota než j = 1 zvyšuje hodnotu nx. Volíme tedy j = 1: nx = D ⋅

π2 h2

2  i ⋅ h  2 π2  l   ⋅  + + = D ⋅ 2     h2  i ⋅ h    l 

l  i⋅h ⋅ +  .  l i⋅h  2

l  i⋅h Minimum funkce f (i; h; l) =  +  najdeme graficky – viz obrázek funkce f(i;h;l).  l i⋅h 2

Obr. 1.4 – Průběh funkce f(i;h;l). - 15 -


Z grafu je patrné, že funkce f(i ; h ; l) má různé průběhy podle počtu půlvln i, a tak budeme postupně řešit funkci pro všechna i. V bodech , , , atd. přechází jedna větev funkce v následující. Minimum pro všechna i je vždy jediné f = 4 a nastává právě tehdy, je-li poměr rozměrů l/h celé číslo odpovídající uvažovanému počtu půlvln (l/h = i). Pouze v případě i = 1 a l < h roste funkce „nade všechny meze“ (deska bude velice krátká a široká). Pro vyšší počet půlvln i (dlouhá deska) budou hodnoty funkce f v přechodech velmi blízké minimu funkce f = 4, a proto stačí pouze určit počet půlvln i, které po délce l vzniknou. Společné body, ve kterých obecně přechází průhybová čára s i půlvlnami do průhybové čáry s (i + 1) půlvlnami, stanovíme z podmínky: 2

 h  1 l  1 l  h + ⋅    = (i + 1) ⋅   + ⋅   i ⋅    l i / i +1 i + 1  h  i / i+1    l  i / i+1 i  h i / i +1  

2

⇒

l = i ⋅ (i + 1) .    h  i / i +1

A tato hodnota se pro rostoucí i blíží minimu funkce f = 4 (viz tabulka přechodových hodnot):

Tab. 1.1 - Přechodové hodnoty funkce f(i;h;l) i/i+1

l    h  i / i +1 f(i;h;l)

1/2

2/3

3/4

4/5

5/6

6/7

7/8

8/9

9/10

…

2

6

12

20

30

42

56

72

90

…

4,5000 4,1667 4,0833 4,0500 4,0333 4,0238 4,0179 4,0139 4,0111

…

Minimální hodnota f(i ; h ; l) = 4, a proto bude pro ν = 0,3: n x min = D ⋅

2 π2 E 1 t3 3 π ⋅ 4 = ⋅ ⋅ " 1 " ⋅ t ⋅ ⋅ 4 ≈ 3 , 615 ⋅ E ⋅ , h2 1 − ν 2 12 h2 h2

resp. minimální tlakové normálové napětí působící ve směru osy x bude:

σ x min =

n x min t

2

t ≈ 3,615 ⋅ E ⋅   . h

Obdobně bychom postupovali v případech jiného uložení krajů vzpěry. Průhybovou plochu bychom volili opět jako součin goniometrických funkcí resp. jejich určitého počtu půlvln s respektováním typu uložení (např. vetknutí musí splnit kromě podmínky nulového průhybu také podmínku nulového úhlu natočení – vyhovuje funkce cosinus). Obecně lze vztah pro kritické napětí v desce napsat ve tvaru: t h

2

σ x min = K ⋅ E ⋅   Tento postup aplikoval např. Timoshenko (1878 – 1972), který ve své práci uvedl následující graf závislosti koeficientu K pro různé způsoby uložení desky. - 16 -


π2 ⋅ f t t = ⋅ E ⋅  = K ⋅ E ⋅  2 12 ⋅ (1 − µ ) h h 2

σ x min

2

Obr. 1.5 – Graf závislostí koeficientu K pro různě uložené kraje desky - 17 -


Příklad 1.1: Použití předchozích rovnic a funkcí si předvedeme na jednoduché deskové konstrukci tvořené čtyřmi shodnými pravoúhlými deskami tvořícími kanál čtvercového průřezu (např. jako součást vzduchotechnického zařízení). Rozměry desek jsou: h = 200 mm, l = 600 mm a t = 1,2 mm. Celý kanál je na okrajích kloubově uložen a zatížen silou F = 500 N. Naším úkolem je určit bezpečnost této deskové konstrukce vzhledem ke ztrátě stability.

Obr. 1.6 – Desková konstrukce zatížená osovou silou

V tomto případě jsou všechny čtyři desky tvořící konstrukci shodné a stačí určit zatížení potřebné ke ztrátě stability jen jedné z nich. Tlakové napětí působící na desky bude za předpokladu rovnoměrného rozložení síly:

σx =

F F 8000 = = = 8,33 MPa . A 4 ⋅ h ⋅ t 4 ⋅ 200 ⋅1,2

Uložení desky na horním a dolním okraji je definováno v zadání jako kloubové. Uložení desek podél delších stran určíme jako kloubové, a to na základě obrázku ukazujícího možnosti vzniku půlvln podél kratších stran.

Obr. 1.7 - Možnosti vzniku půlvln podél kratších stran

Při zachování pravých úhlů v rohových spojích dvou sousedních desek dojde k jejich rozdílnému vybočení – jedna deska vybočí ven z konstrukce a druhá deska naopak dovnitř do konstrukce. Spojení ale obecně umožňuje natočení kraje desky a odpovídá tedy kloubovému uložení desky. Každou z desek tak můžeme chápat jako kloubově uloženou po celém svém obvodu (varianta ). - 18 -


l 600 = = 3 , bude také počet půlvln i = 3 a koeficient K dosahuje svého minima h 200 K = 3,615. Kritické napětí působící ztrátu stability kterékoliv z desek bude:

Protože

2

σ x min

 1,2  = 3,615 ⋅ 2,1 ⋅10 ⋅   = 27,3 MPa .  200  5

Hledaná bezpečnost konstrukce vzhledem ke ztrátě stability tak bude:

k=

σ x min 27,3 = = 3,3 . σx 8,33

Tuto bezpečnost lze ještě považovat za dostačující pokrývající reálnost celé konstrukce vůči ideálnímu výpočtovému modelu, který byl využit při sestavování základních rovnic. Poznámka: Dojde-li však za provozu k „uvolnění“ spoje na jedné z podélných hran, stanou se obě přiléhající desky deskami kloubově uloženými pouze po třech stranách s jednou stranou zcela volnou. V tomto případě musíme určit nový koeficient K určit z grafu (varianta ). Protože l = 600 = 3 se nezměnilo, zůstane i = 3 a koeficient K v tomto případě bude K = 0,5. h

200

Kritické napětí působící ztrátu stability kterékoliv z desek bude: 2

σ x min

 1,2  = 0,5 ⋅ 2,1 ⋅ 10 ⋅   = 3,78 MPa  200  5

⇒

k=

σ x min 3,78 = = 0,45 . σx 8,33

Tato bezpečnost je již nevyhovující a znamená to, že napětí v tomto případě překračuje mez stability a konstrukce se „vyboulí“.

Obr. 1.8 – Desková konstrukce - ztráta stability při porušení (uvolnění) spoje

Příklad 1.2: Desková konstrukce je tvořená dvěma dvojicemi pravoúhlých desek, které tvoří jednoduchý kanál obdélníkového průřezu (např. jako součást vzduchotechnického zařízení). Rozměry desek jsou: h1 = 400 mm, h2 = 250 mm, l = 700 mm a t = 0,8 mm. Celý kanál je na okrajích vetknutý. Určete s bezpečností k = 4 velikost dovolené síly, která by způsobila ztrátu stability konstrukce. - 19 -


Obr. 1.9 – Desková konstrukce zatížená osovou silou

V tomto případě tvoří konstrukci dvě rozdílné desky a rozhodující bude nižší ze zatížení potřebného ke ztrátě stability jen jedné z nich. Uložení desky na horním a dolním okraji je definováno v zadání jako vetknutí a uložení desek podél delších opět budeme uvažovat jako kloubové (viz příklad 1). Každou z desek tak můžeme chápat jako kloubově uloženou po podélných stranách a vetknutou po příčných stranách (varianta ). l 700 Pro první desku platí: = = 1,75 a počet půlvln i1 = 2 ⇒ koeficient K = 4,8. h1 400 Kritické napětí působící ztrátu stability první z desek bude: 2

σ x1 min Pro druhou desku platí:

 0,8  = 4,8 ⋅ 2,1 ⋅ 10 ⋅   = 4,0 MPa .  400  5

l 700 = = 2,8 a počet půlvln i2 = 3 ⇒ koeficient K = 4,0. h2 250

Kritické napětí působící ztrátu stability druhé z desek bude: 2

σ x 2 min

 0,8  = 4,0 ⋅ 2,1 ⋅10 ⋅   = 8,6 MPa .  250  5

Při uvažování minimální bezpečnosti k bude dovolené napětí, které může konstrukce přenést:

σD =

min(σ x1 min ;σ x 2 min )

k

=

min(4,0; 8,6) 4,0 = = 1,0 MPa . 4 4

Dovolená zatěžující bude:

FD = σ D ⋅ A = σ D ⋅ (2 ⋅ h1 + 2 ⋅ h2 ) ⋅ t = 1,0 ⋅ (2 ⋅ 400 + 2 ⋅ 250) ⋅ 0,8 = 1 040 N . Při dosažení síly FD = 1 040 N se „nestane vůbec nic“, protože k dosažení kritického napětí v deskách označených 1 (l×h1) je s bezpečností k = 4. Pokud bychom celou deskovou konstrukci zatížili silou F = k⋅FD = 4⋅1 040 = 4 160 N bude právě dosaženo kritického napětí v deskách 1 resp. by došlo ke ztrátě jejich stability. To znamená, že tyto desky již nejsou schopné přenést další zatížení, a tak veškerý nárůst síly musí přenést již jen dvojice desek 2 (l×h2). Znamená to, že vztah pro další přírůstek napětí bude: - 20 -


∆σ x+2 =

∆F . 2 ⋅ h2 ⋅ t

Ke ztrátě stability druhé dvojice desek číslo 2 dojde, pokud napětí v nich σ x+2 dosáhne hodnoty kritického napětí σx2 min. Protože však kritická síla F1 kr. vyvolala v celé konstrukci napětí 4,0 N⋅mm „zbývá“ pro dosažení kritické síly pouze rozdíl minimálních kritických napětí ∆σmin = σx2min − σx1min = 8,6 – 4,0 = 4,6 N⋅mm−2:

∆σ x+2 = ∆σ min = 4,6 N ⋅ mm−2

∆F = 4,6 ⇒ 2 ⋅ 250 ⋅ 0,8

⇒

∆F = 4,6 ⋅ 2 ⋅ 250 ⋅ 0,8 = 1 840 N .

Odtud vypočteme velikost výsledné celkové kritické síly Fkr. celk., kdy dojde ke ztrátě stability celé konstrukce:

Fkr . celk . = F2 kr . = F1 kr . + ∆F = 4 160 + 1 840 = 6 000 N . Celý tento děj můžeme zobrazit v grafu F - σ: σ [N⋅mm−2] 10

∆F

σx2min = 8,6 N⋅mm−2 9 ztráta stability celé deskové konstrukce

8 7

σ x+2

6 5

3

σ x2

2

ztráta stability první části konstrukce

σx1min = 4,0 N⋅mm−2 4 σ x1

1 0 0

1 000

2 000 3 000 4 000

σ x+1

5 000 6 000

F1 kr 4 160 N

∆σ x+2

7 000

F [N]

.F2 kr 6 000 N

Obr. 1.10 – Závislost napětí v konstrukci na zatěžující síle

Pokud bychom vztáhli mezní zatížení ke ztrátě stability celé deskové konstrukce, tak celková dovolená síla bude: FD celk . =

Fkr . celk . k

=

6 000 = 1 500 N . 4

- 21 -


2. TLUSTÉ/SILNĚ ZAKŘIVENÉ KŘIVÉ PRUTY Veškeré předchozí výpočty tenkých křivých prutů mohly využívat Bernoulliho hypotézu lineárního rozložení ohybových napětí po průřezu. Bylo to dáno tím, že poloměr křivosti střednice prutu R byl podstatně větší než příčný rozměr prutu h podle obrázku geometrie křivého prutu.

Obr. 2.1 – Geometrie křivého prutu

Element prutu ds pak byl prakticky přímkový: ds ≈ dx .

Pak na něj bylo možno aplikovat pravidlo rovinných řezů kolmých ke střednici. Podle této teorie prochází neutrální plocha, kde nedochází k žádným podélným deformacím elementu, těžištěm profilu T. Nejčastěji používaná podmínka mezi poloměrem křivosti R a příčným rozměrem h umožňující užití teorie tenkých křivých prutů je:

R ≥ 10 . h Někteří autoři připouštějí ještě mírnější kriterium vztahu mezi poloměrem R a příčným rozměrem h:

R ≥8 , h i když již za cenu větší odchylky od skutečného rozložení napětí. To je ale vyváženo možností používat stále relativně jednoduchý výraz pro výpočet deformační energie od ohybu UMo:

U Mo =

M o2 ( s ) 1 ⋅∫ ⋅ ds , 2 ( l ) E ⋅ J z ( s)

pro výpočty pomocí Castiglianovy věty:

∆j =

∂U M o ∂F j

a také řešit křivé pruty pomocí Mohrova integrálu: - 22 -

,


∆j =

1 ⋅ ∫ M o ( s ) ⋅ mo( j ) ( s ) ⋅ ds , E ⋅ J z (l)

resp. využívat Vereščaginovo pravidlo pro výpočet Mohrova integrálu: n 1 ∆j = ⋅ ∑ AM i ⋅ mT(ij ) . E ⋅ J z i =1

V případě, že je poměr poloměru křivosti střednice prutu R a příčného rozměru h menší než 10 nebo 8, nelze již element prutu ds považovat za přímkový (ds ≠ dx), ale za část oblouku podle obrázku elementu tlustého/silně zakřiveného křivého prutu: ds = R ⋅ dϕ .

Obr. 2.2 – Element tlustého/silně zakřiveného křivého prutu

V případě tlustého/silně zakřiveného křivého prutu již musíme uvažovat rozdíl mezi poloměry průmětu křivého prutu tak, jak je to naznačeno na obrázku elementu tlustého/silně zakřiveného křivého prutu: ri < R < re ; (ri − re = h ) . Na rozdíl od teorie tenkých křivých prutů budeme předpokládat, že se neutrální plocha posune mimo těžiště profilu T, a tak její poloměr křivosti ρ bude odlišný – menší než poloměr křivosti střednice křivého prutu R. Pro výpočet nelineárního rozložení ohybových napětí u tlustého/silně zakřiveného křivého prutu předpokládáme, že v důsledku zatížení ohybovým momentem Mo dojde ke změně elementárního úhlu dϕ o hodnotu ∆dϕ podle obrázku deformace elementu tlustého/silně zakřiveného křivého prutu.

Obr. 2.3 – Deformace elementu tlustého/silně zakřiveného křivého prutu - 23 -


Podle obrázku deformace elementu tlustého/silně zakřiveného křivého prutu předpokládáme, že se vzdálenost AB na poloměru ρ nezmění ani po zatížení ohybovým momentem Mo a po deformaci křivého prutu (neutrální plocha) a od ní budeme odečítat souřadnici η. Na tomto poloměru nyní vyjádříme poměrnou deformaci pomocí přírůstku a původní délky elementu:

ε (η ) =

η ⋅ ∆dϕ . ( ρ − η ) ⋅ dϕ

V důsledku osové deformace předpokládáme vznik jednoosé ohybové napjatosti a při platnosti Hookova zákona bude platit:

σ o (η ) = E ⋅ ε (η ) = E ⋅

η

∆dϕ . ρ − η dϕ ⋅

Protože i v případě tlustého/silně zakřiveného křivého prutu předpokládáme, stejně jako jsme předpokládali u tenkých křivých prutů a také u přímých nosníků, namáhání pouze ohybovým momentem Mo, určíme neznámou polohu neutrální plochy (poloměr ρ) z podmínky nulové výsledné normálové síly N působící na příčný průřez A.

∫ dN = ∫ σ

N=

( A)

o

(η ) ⋅ dA = 0 .

( A)

Do této rovnice dosadíme vyjádření ohybového napětí σo(η) za použití ohybové deformace εo(η) pomocí Hookova zákona:

η

∫ E ⋅ ρ −η ⋅

( A)

∆dϕ ⋅ dA = 0 . dϕ

Za předpokladu nenulového konstantního modulu pružnosti E = konst. ≠ 0 a nenulové konstantní změny křivosti prutu (∆dϕ/dϕ) = konst. ≠ 0 musí platit:

η

∫ ( A)

ρ −η

⋅dA = 0 .

Pro předpoklad konstantního poloměru křivosti ρ = konst. při daném zatížení použijeme substituci (ρ − η) = z , resp. η = (ρ −z) a upravíme výraz:

∫ ( A)

η ρ −η

⋅dA =

ρ−z

∫ ( A)

z

⋅ dA = ρ ⋅

dA − dA = 0 , z ( ∫A) ( A)

∫

odkud vychází pro hledaný poloměr ρ výsledný vztah:

ρ=

A . dA ∫ z ( A)

Neznámý konstantní poměr (∆dϕ/dϕ) = konst. pak stanovíme z rovnice rovnováhy, kdy v průřezu A působí ohybový moment Mo:

Mo =

∫ dM

o

( A)

= ∫ σ o (η ) ⋅ η ⋅ dA . ( A)

Do této rovnice dosadíme vyjádření ohybového napětí σo(η) pomocí ohybové deformace εo(η):

∫ ( A)

E⋅

η

∆dϕ ⋅η ⋅ dA = M o . ρ − η dϕ ⋅

- 24 -


Za předpokladu konstantního modulu pružnosti E = konst. a konstantní změny křivosti prutu (∆dϕ/dϕ) = konst. musí platit:

η2 ∆dϕ E⋅ ⋅ ⋅ dA = M o . dϕ ( ∫A) ρ − η Integrál v této rovnici můžeme dále upravit: η ⋅ (η − ρ) η  η2 (η 2 − ρ ⋅η) + ρ ⋅η dA ⋅ dA = ⋅ = ⋅ dA = ∫  +ρ⋅ ∫( A) ρ −η ∫( A) ρ −η  ρ −η ρ −η ( A)  = − ∫η ⋅ dA + ρ ⋅ ( A)

η

∫ ρ −η ⋅ dA = −η

T

.

⋅ A = +e ⋅ A

( A)

142 4 43 4 =0

Nulový druhý člen byl dán již podmínkou výsledné nulové síly N = 0 působící v řešeném průřezu A. Velikost e je dána jako vzdálenost mezi poloměrem střednice R a poloměrem neutrální plochy ρ: e= R−ρ .

Neznámý člen (∆dϕ/dϕ) tedy bude: E⋅

∆d ϕ ∆d ϕ Mo . ⋅e ⋅ A = Mo ⇒ = dϕ dϕ E ⋅ A⋅e

Výsledný vztah pro nelineární průběh ohybových napětí σo u tlustého/silně zakřiveného křivého prutu bude:

Mo η ⋅ . A ⋅ e ρ −η

σ o (η ) =

Ze vztahu je patrné, že se jedná hyperbolický průběh ohybového napětí – viz obrázek nelineárního rozložení ohybových napětí v tlustém/silně zakřiveném křivém prutu.

Obr. 2.4 – Nelineární rozložení ohybových napětí v tlustém/silně zakřiveném křivém prutu

Maximální ohybové napětí tak vzniká vždy na vnitřním poloměru ri tlustého/silně zakřiveného křivého prutu.

σ o max = σ o r = i

M o ρ − ri ⋅ . A ⋅ e ri

- 25 -


Na vnějším poloměru průřezu re vzniká vždy napětí opačné než na vnitřním poloměru průřezu ri, a jeho velikost bude:

σor = e

M o ρ − re ⋅ < σ o ri . A ⋅ e re

Pokud na výsledný vztah pro nelineární průběh ohybových napětí σo(η) u tlustého/silně zakřiveného křivého prutu aplikujeme zjednodušení odpovídající tenkému křivému prutu ri ≈ ρ ≈ R ≈ re , a protože musí současně platit: h << R , dostáváme zjednodušení pro η << ρ: (ρ − η) ≈ ρ ≈ R . Poloha neutrální plochy bude:

∫ ( A)

η ρ −η

⋅dA =

1 ⋅ η ⋅ dA = 0 R ( ∫A) 123 Sz

Odkud je patrné, že neutrální plocha bude procházet těžištěm průřezu T (nulový statický moment). Stejná zjednodušení aplikujeme na vztah pro výpočet konstanty (∆dϕ/dϕ):

η

∫ E ⋅ ρ −η ⋅

( A)

∆dϕ E ∆dϕ ⋅η ⋅ dA ≈ ⋅ ⋅ ∫η 2 ⋅ dA = M o . dϕ R dϕ ( A ) 1 424 3 Jz

Odtud vyplývá, že v případě tenkého křivého prutu je:

Mo ∆dϕ = ⋅R . dϕ E ⋅ Jz Po dosazení tohoto výsledku do vztahu pro rozložení napětí dostáváme konečný vztah:

σ o (η ) ≈ E ⋅

η

Mo M ⋅ R = o ⋅η . R E ⋅ Jz Jz ⋅

A to je vztah odpovídající Bernoulliho hypotéze lineárního rozložení ohybových napětí.

Shrnutí: Odvozená nejjednodušší nelineární teorie rozložení ohybových napětí v tlustém/silně zakřiveném křivém prutu dává uspokojivé výsledky v oblasti přechodu tenkého a tlustého prutu a v oblasti středně velkých zakřivení. V oblasti velkých zakřivení – malých poměrů poloměru střednice R a příčného rozměru průřezu h však může docházet k nereálnému nárůstu výpočtových napětí vůči reálným hodnotám.

- 26 -


UPRAVENÁ TEORIE TLUSTÉHO/SILNĚ ZAKŘIVENÉHO KŘIVÉHO PRUTU Někteří autoři upravili vztah pro nelineární rozložení ohybových napětí tak, aby odpovídal řešení tenkých/málo zakřivených křivých prutů pomocí Bernoulliho lineární teorie. Souřadnici y, která popisuje polohu po výšce prutu, vztahuje upravená teorie také ke střednici řešeného prutu dané poloměrem křivosti R – viz obrázek nelineárního rozložení ohybových napětí podle upravené teorie.

Obr. 2.5 – Nelineární rozložení ohybových napětí podle upravené teorie Upravená teorie má tvar:

σ o ( y) =

Mo Mo y ⋅ − , c ⋅ A⋅ R R − y A⋅ R

kde konstanta c je dána vztahem:

c=

1 y ⋅∫ ⋅ dA . A ( A) R − y

Poloha neutrální plochy průřezu tlustého křivého prutu je dána souřadnicí y1, kterou určíme z podmínky nulového ohybového napětí:

σ o ( y1 ) = 0 . Po dosazení vztahu pro ohybové získáme rovnici:

 Mo 1 y1 ⋅  ⋅ − 1 = 0 , A ⋅ R  c R − y1  odkud vychází velikost hledané souřadnice: y1 =

c ⋅R. 1+ c

Poloměr křivosti neutrální plochy ρ určíme ze vztahu:

ρ = R − y1 =

1 ⋅R . 1+ c

- 27 -


Stejně tak můžeme pomocí konstanty c vyjádřit vzdálenost mezi neutrální a střední plochou řešeného průřezu: 1 c e= R−ρ = R− ⋅R = ⋅R . 1+ c 1+ c Výsledný průběh ohybového napětí je prakticky shodný s původní jednoduchou teorií nelineárního rozložení napětí a je patrný z obrázku nelineárního rozložení ohybových napětí podle upravené teorie.

Příklad 2.1: Křivý prut je vyroben z tyče obdélníkového průřezu b×h a je tvořen částí kruhového oblouku o poloměru střednice R. V řešeném místě působí ohybový moment Mo. Srovnejte pro různé poloměry střednice R maximální (σo max) a minimální (σo min) ohybové napětí vypočtené podle lineární Bernoulliho teorie a jednoduché nelineární teorie rozložení napětí v tlustém/silně zakřiveném křivém prutu.

1. Lineární Bernoulliho teorie rozložení napětí (viz obrázek lineárního rozložení napětí).

Obr. 2.6 – Lineární rozložení napětí Při výpočtu křivého prutu podle Bernoulliho lineární teorie rozložení napětí používáme stejné průřezové charakteristiky, které byly zavedeny pro přímé nosníky namáhané ohybovým momentem. Osový kvadratický moment průřezu a průřezový modul v ohybu jsou: Jz =

1 ⋅ b ⋅ h3 12

Woz =

a

1 ⋅ b ⋅ h2 . 6

Rozložení napětí po výšce průřezu je v tomto případě zavedeno jako funkce souřadnice y (vzdálenost od střední plochy) a je popsáno vztahem:

σ o ( y) =

Mo ⋅y. Jz

Z hlediska srovnání i pevnostní kontroly jsou vždy nejdůležitější extrémní hodnoty v krajních vláknech řešeného průřezu. Maximální a minimální ohybová napětí tedy jsou:

σ o max/ min =

Mo Mo ⋅ y max/ min = 1 Jz ⋅ b ⋅ h3 12 - 28 -

M 6⋅ Mo  h . ⋅±  = ± o = ± Woz b ⋅ h2  2


2. Jednoduchá nelineární teorie rozložení napětí (viz obrázek nelineárního rozložení napětí podle jednoduché teorie tlustých křivých prutů)

Obr. 2.7 – Nelineární rozložení napětí podle jednoduché teorie tlustých křivých prutů Při výpočtu podle jednoduché teorie tlustých/silně zakřivených křivých prutů je používána jediná geometrická charakteristika řešeného průřezu, a to celková plocha průřezu: A = b⋅h. Pro výpočty je používána jednoduchá substituce ρ − η = z. Musí tedy také platit dη = −dz a element plochy je: dA = b⋅dη = b⋅(−dz) = − b⋅dz . Pro výpočet nových mezí integrálu musíme také tuto substituci použít:

ηmin = −h/2 − e

⇒

zmin = ρ − ηmin = ρ −(−h/2 − e) = re ,

ηmax = +h/2 − e

⇒

zmax = ρ − ηmax = ρ −(+h/2 − e) = ri .

Tyto hodnoty dosadíme do integrálu pro výpočet poloměru křivosti neutrální plochy ρ:

ρ=

A = dA ∫ z ( A)

b⋅h b ⋅ (−dz ) z zmin

zmax

∫

=

b⋅h b⋅

zmin

dz z zmax

=

∫

h zmin

ln z z

=

max

h . re ln ri

Vzdálenost e mezi poloměrem křivosti střednice křivého prutu R a poloměrem křivosti neutrální plochy ρ určíme jako: e= R−ρ.

Tuto hodnotu použijeme do výrazů pro maximální a minimální ohybové napětí podle jednoduché nelineární teorie tlustého/silně zakřiveného křivého prutu:

σ o max =

σ o min

Mo η max ⋅ A ⋅ e ρ − η max

h −e Mo 2 = ⋅ , A ⋅ e ri

η M M = o ⋅ min = o ⋅ A ⋅ e ρ − η min A ⋅ e - 29 -

−

h −e 2 . re


Na závěr obě teorie zhodnotíme pomocí chyby ∆σ, která vznikne užitím lineární teorie v uvažovaném případě oproti nelineárnímu rozložení napětí:

∆ σ min

) ( NELIN ) σ o( LIN min − σ o min = ⋅100 [%] ) σ o( NELIN min

a

∆ σ min

) ( NELIN ) σ o( LIN max − σ o max = ⋅100 [%] . ) σ o( NELIN max

3. Upravená nelineární teorie rozložení napětí. (viz obrázek nelineárního rozložení napětí podle upravené teorie tlustých křivých prutů)

Obr. 2.8 – Nelineární rozložení napětí podle upravené teorie tlustých/silně zakřivených křivých prutů

Na tomto příkladu si také předvedeme shodu jednoduché nelineární teorie rozložení napětí a upravené nelineární teorie rozložení napětí – viz obrázek nelineárního rozložení napětí podle upravené teorie tlustých/silně zakřivených křivých prutů. Při výpočtu podle upravené teorie tlustých/silně zakřivených křivých prutů je také používána plocha průřezu: A = b⋅h . Pro výpočty byla zavedena substituce: R − y = z. V tom případě musí také platit dy = −dz a element řešené plochy je: dA = b⋅dy = b⋅(−dz) . Meze integrálu po substituci budou: ymin = −h/2 ymax = +h/2

⇒

zmin = R − ymin = R −(− h/2) = re , zmax = R − ymax =R − h/2 = ri .

⇒

Tyto hodnoty dosadíme do integrálu pro výpočet konstanty c:

(

)

max 1 R−z 1 1 z z  R c= ⋅ ∫ ⋅ b ⋅ (−dz) = ⋅ b ⋅ ∫ 1 −  ⋅ dz = ⋅ z zmax − R ⋅ ln z zmax = min min A ( A) z b⋅h z h zmin 

z

r   r  1  R = ⋅ [ri − re ] − R ⋅ ln i  =  − 1 + ⋅ ln e  1 2 3 h  re   h ri   −h  - 30 -

.


Pomocí c vyjádříme poloměr křivosti neutrální plochy ρ:

ρ=

1 ⋅R= 1+ c

1  r R 1 +  − 1 + ⋅ ln e h ri 

  

⋅R=

h . re ln ri

Je vidět, že tato hodnota je zcela shodná s původní hodnotou ρ určenou podle jednoduché teorie nelineárního rozložení napětí. Tuto hodnotu použijeme do výrazů pro maximální a minimální ohybové napětí podle jednoduché nelineární teorie tlustého/silně zakřiveného křivého prutu:

  h   + Mo y max Mo Mo  1 2 σ o max = ⋅ − = ⋅ ⋅ − 1 , r R c ⋅ A ⋅ R R − y max A ⋅ R A ⋅ R ri   − 1 + ⋅ ln e h ri     h   − Mo Mo Mo  y min 1 2 σ o min = ⋅ − += ⋅ ⋅ − 1 . r R c ⋅ A ⋅ R R − y min A ⋅ R A⋅ R re  − 1 + ⋅ ln e  h r i   Tab. 2.1 – Tlustý/silně zakřivený prut − vlastnosti některých typů profilů mezikruhový profil

ρ

ρ=

A

π ⋅ (2 ⋅ R − 4 ⋅ R 2 − D 2 π ⋅ D2

A  d2 D 2  2 ⋅π ⋅  R 2 − − R2 −  4 4   A=

4

lichoběžníkový profil

A

ρ=

B ⋅ Re − b ⋅ Ri R ⋅ ln e − ( B − b) h Ri B+b A= ⋅h 2

T

Ri h1 h2

on b1

A Ri + h1 Re + b2 ⋅ ln Ri Ri + h1 A = b1 ⋅ h1 + b2 ⋅ h2

b1 ⋅ ln

- 31 -

R

B

R

ρ

Re

on Ri

⋅ (D 2 − d 2 )

b2

T

h Re

4

otočený T-profil

b

ρ=

π

ρ

A=

on

R

ρ

on

ρ=

T

∅d

∅D

∅D

T

R

kruhový profil


Příklad 2.2: Křivý prut je vyroben z tyče obdélníkového průřezu 20×40 a je tvořen částí kruhového oblouku o poloměru střednice R, který se bude postupně měnit (R = 500; 320; 200; 100; 50 a 35 mm). V řešeném místě působí ohybový moment Mo = 5⋅105 N⋅mm Srovnejte pro různé poloměry střednice R maximální (σo max) a minimální (σo min) ohybové napětí vypočtené podle lineární Bernoulliho teorie, jednoduché a upravené nelineární teorie rozložení napětí v tlustém/silně zakřiveném křivém prutu (viz obrázek tlustého/silně zakřiveného prutu).

Obr. 2.9 - Tlustý/silně zakřivený prutu Pro názornost jsou na obrázku geometrie řešeného křivého prutu znázorněny v měřítku všechny uvažované případy zakřivení prutu.

Obr. 2.10 - Geometrie řešeného křivého prutu

Výsledky výpočtů jsou pak přehledně uspořádány v tabulce extrémní napětí v křivém prutu. Tab. 2.2 - Extrémní napětí v křivém prutu 500 12,5

R [mm] R/h [1]

320 8

200 5

100 2,5

50 1,25

35 0875

47,21

30,79

LINEÁRNÍ TEORIE ROZLOŽENÍ OHYBOVÝCH NAPĚTÍ σo max/σo min ρ [mm]

+93,8 / -93,8 199,33 98,65

[N⋅mm-2] 499,73

319,58

NELINEÁRNÍ TEORIE ROZLOŽENÍ OHYBOVÝCH NAPĚTÍ σo max/σo min [N⋅mm-2] ∆max/∆ ∆min [%]

+89/-99 5,3/5,4

+87/-102 8,4/8,1

+82/-108 13,5/13,2

+74/-128 27,1/25,9

+60/-209 56,8/55,0

+50/-547 86,4/82,8

UPRAVENÁ LINEÁRNÍ TEORIE ROZLOŽENÍ OHYBOVÝCH NAPĚTÍ σo max/σo min [N⋅mm-2] ∆max/∆ ∆min [%]

+93/-95 1,2/1,4

+91/-96 2,8/3,0

+88/-100 6,7/6,7

+82/-108 13,9/13,0

+73/-128 28,6/27,0

+61/-180 53,4/48,0

Poznámka: Z tabulky je patrné, že pro R/h > 10 (8) bude chyba při použití Bernoulliho lineární teorie pod 10% a tudíž dostatečně vyhovující. Naopak při R/h < 5 narůstají maximální a minimální napětí při použití základní nelineární teorie do nereálných hodnot a je tedy třeba použít upravenou teorii. - 32 -


3. KROUŽIVÉ KMITÁNÍ HŘÍDELŮ Z POHLEDU PRUŽNOSTI A PEVNOSTI Výpočty v této kapitole budou navazovat na známé vztahy z dynamiky, které následně použijeme ke stanovení silových poměrů a namáhání rotujících hřídelů. ROTUJÍCÍ HMOTNÝ HŘÍDEL Nejprve budeme řešit příklady bez uvažování vlastní hmotnosti hřídele (nehmotný hřídel). Nehmotný hřídel průměru d s jedním ideálním kotoučem o hmotnosti m (e = 0 ⇒ S ≡ T)

Nehmotný hřídel průměru d s jedním reálným kotoučem o hmotnosti m (e ≠ 0 ⇒ S ≡ T)

Obr. 3.1 – Základní uspořádání řešené úlohy Silová rovnováha rotujícího hřídele bude mít v obou případech tvar: O = V m ⋅ (v + e ) ⋅ ω 2 = k ⋅ v

m ⋅ v ⋅ω 2 = k ⋅ v

Ohybovou tuhost hřídele v místě kotouče značíme k [N⋅mm-1]. V našem případě bude: k = 48 ⋅

E ⋅ Jz = 48 ⋅ l3

E⋅

π ⋅d4 64 l3

=

3 E ⋅π ⋅ d 4 d4 ⋅ ≈ 2 , 4 ⋅ E ⋅ . 4 l3 l3

Vyjádříme průhyb v(ω) z rovnice rovnováhy: v ⋅ (m ⋅ ω − k ) = 0 ⇒ v(ω ) =

0 k 1 − m2

.

v ⋅ (m ⋅ ω − k ) = − m ⋅ e ⋅ ω 2 ⇒ v(ω ) =

ω

V tomto případě je průhyb v(ω) roven nule pro všechny úhlové rychlosti kromě jediné Ω, která je dána podmínkou:

Ω2 =

ω2

V tomto případě je průhyb v(ω) nenulový pro všechny úhlové rychlosti a pouze při úhlové rychlosti Ω dané podmínkou:

k k ⇒ Ω= , m m

kdy nabývá průhyb „jakýkoliv“ hodnot, resp. roste v limitě k nekonečnu: v(Ω) → ±∞.

−e . k 1− m

Ω2 =

k k ⇒ Ω= , m m

nabývá průhyb „jakýkoliv“ hodnot, resp. roste v limitě k nekonečnu: v(Ω) → ±∞. - 33 -


Vypočtená úhlová rychlost Ω se nazývá vlastní úhlová rychlost. Funkce závislosti průhybu na úhlové rychlosti v(ω) bude mít tvar:

Obr. 3.2 – Funkční závislost průhybu na úhlové rychlosti Dále budeme uvažovat nehmotný hřídel o průměru d s reálným kotoučem hmotnosti m s excentricitou e rotující úhlovou rychlostí ω. Protože z hlediska namáhání izotropních houževnatých materiálů je jedno, je-li průhyb kladný nebo záporný, můžeme výslednou závislost průhybu na úhlové rychlosti ve druhé části „překlopit“ do kladné poloroviny.

Obr. 3.3 – Upravená funkční závislost průhybu na úhlové rychlosti hřídele s reálným kotoučem

Samotný hřídel si nyní představme jako nosník zatížený uprostřed silou V = O:

Obr. 3.4 – Namáhání nosníku zatíženého uprostřed silou - 34 -


Pevnostní podmínku určíme pro maximální ohybové napětí vznikající v místě maximálního ohybového momentu: VD ⋅ l M o max 8 ⋅ VD ⋅ l σ o max = = 4 3 = ≤σD. π ⋅d π ⋅d3 Wo 32 Odtud vyplývá velikost dovolené síly, kterou může být nosník zatížen: VD ≤ σ D ⋅

π ⋅d3

. 8⋅l Známe-li maximální dovolenou sílu FD a ohybovou tuhost hřídele k, můžeme také určit maximální dovolený průhyb hřídele: π ⋅d3 σD ⋅ 2 V 8⋅l = 1 ⋅ σ D ⋅ l . vD = D = k 3 E ⋅π ⋅ d 4 6 E d ⋅ 4 l3 Jestliže tuto hodnotu dosadíme do výrazu pro závislost průhybu na úhlové rychlosti, dostáváme dvě hodnoty úhlových rychlostí ωD min < Ω a ωD max > Ω, které nám omezují „nepřípustné“ pásmo úhlových rychlostí, kdy by nebyla splněna pevnostní podmínka: V podkritický části (ω < Ω) platí:

v(ω ) =

−e = vD ⇒ Ω2 1− 2

ω D min = Ω ⋅

vD vD + e

e = vD ⇒ Ω2

ω D max = Ω ⋅

vD vD − e

ω

V nadkritický části (ω > Ω) platí:

v(ω ) = 1−

ω2

Obr. 3.5 – Nepřípustné pásmo úhlových rychlostí (diagram s uvažováním útlumu materiálu)

Pokud se nachází úhlová rychlost mimo nepřípustnou oblast bude namáhání hřídele vždy menší než dovolené a tedy přípustné. V takovém případě stanovíme pro příslušnou úhlovou rychlost ω odpovídající průhyb v(ω) a z něho pomocí tuhosti k určíme zatěžující sílu V = O. Z ní pak pomocí statických rovnic můžeme určit reakce RA a RB v uložení, které využijeme například k volbě vhodných ložisek. Bude-li e > vD, nelze v nadkritické oblasti splnit pevnostní podmínku a hřídel je možné provozovat pouze jako podkritický nebo je třeba provést vyvážení kotouče a zmenšit hodnotu excentricity e. - 35 -


Nehmotný hřídel průměru d se dvěma ideálními kotouči o hmotnostech m1 a m2: (e1,2 = 0 ⇒ S1 ≡ T1 a S2 ≡ T2) (řešení dvouhmotového systému bylo řešeno v ME 3).

Obr. 3.6 – Výpočtový model hřídele se dvěma ideálními kotouči (bez uvažování natočení kotoučů)

Pomocí odstředivých sil a příčinkových činitelů vyjádříme deformace v1 a v2 tohoto hřídele:

v1 = O1 ⋅η11 + O2 ⋅η12 = m1 ⋅ v1 ⋅ ω 2 ⋅η11 + m2 ⋅ v2 ⋅ ω 2 ⋅η12 v2 = O1 ⋅η 21 + O2 ⋅η 22 = m1 ⋅ v1 ⋅ ω 2 ⋅η 21 + m2 ⋅ v2 ⋅ ω 2 ⋅η 22 Výsledné rovnice pro průhyby zapíšeme ve tvaru:

(m1 ⋅ ω 2 ⋅η11 − 1) ⋅ v1 +

m2 ⋅ ω 2 ⋅η12 ⋅ v2 = 0

m1 ⋅ ω 2 ⋅η 21 ⋅ v1 + (m2 ⋅ ω 2 ⋅η 22 − 1) ⋅ v2 = 0

,

resp. maticově: (m1 ⋅ ω 2 ⋅η11 − 1) m2 ⋅ ω 2 ⋅η12   v1   0   ⋅   =   2 (m2 ⋅ ω 2 ⋅η 22 − 1) v2   0   m1 ⋅ ω ⋅η 21

.

Tento homogenní systém má dvě možná řešení: 1. Průhyby jsou nulové (v1 = v2 = 0) – toto řešení by znamenalo, že se hřídel nedeformoval. 2. Soustava je lineárně závislá a průhyby v1 a v2 mohou nabývat libovolných hodnot. Pro nás má význam pouze druhé řešení, protože nám umožní najít vlastní čísla matice, která jsou zároveň hledanými vlastními frekvencemi.

1   m2 ⋅η12 (m1 ⋅η11 − ω 2 )  det  =0 1   m1 ⋅η 21 (m2 ⋅η 22 − 2 ) ω   Po vyjádření hodnoty determinantu dostáváme rovnici: (m1 ⋅η11 −

1

1

ω

4

−

1

ω2

) ⋅ (m2 ⋅η 22 −

1

) − m2 ⋅η12 ⋅ m1 ⋅η 21 = 0 . ω2 Protože víme, že platí Maxwellova (Bettiho) věta (η12 = η21), můžeme psát:

ω

2

⋅ (m1 ⋅η11 + m2 ⋅η 22 ) + m1 ⋅ m2 ⋅ (η11 ⋅η 22 − η122 ) = 0 .

Pokud dosadíme do této rovnice za členy: m m1 ⋅η11 = 1 = ω01 … vlastní úhlová rychlost pro hřídel pouze s kotoučem 1, k11

m2 ⋅η 22 =

m2 = ω02 k22

…

vlastní úhlová rychlost pro hřídel pouze s kotoučem 2, - 36 -


a když ještě označíme:

η122 =η 2 η11 ⋅η 22 vypočteme z této bikvadratické rovnice

1

ω

4

−

(

)

1  1 1  1 ⋅  2 + 2  + 2 ⋅ 1 −η 2 = 0 2  ω  ω01 ω02  ω01 ⋅ ω022

hledané vlastní úhlové rychlosti tohoto dvouhmotového systému Ω1 a Ω2: 2

 1 1  1 1  1  1 1   η . = ⋅  2 + 2  ± ⋅  2 − 2  +  2 2 2  Ω1, 2 2  ω01 ω02  4  ω01 ω02   ω01 ⋅ ω02  Odtud vychází: Ω1 < ω01 a Ω 2 > ω02 . Pro tyto vlastní frekvence mohou průhyby nabývat „libovolných“ hodnot, takže je nelze číselně vypočítat, ale lze vyjádřit jejich poměry: v Pro Ω1 vychází: 1 > 0 ⇒ oba průhyby jsou na shodnou stranu (první vlastní tvar). v2 v Pro Ω2 vychází: 1 < 0 ⇒ oba průhyby jsou na opačné strany (druhý vlastní tvar). v2

Obr. 3.7 – Funkční závislost průhybu na úhlové rychlosti pro ideální kotouče

první tvar (ω = Ω1)

druhý tvar (ω = Ω2)

Obr. 3.8 – Vlastní tvary průhybové čáry při vlastních úhlových rychlostech

Z hlediska pružnosti a pevnosti jsou opět tyto „ideální“ případy nezajímavé, protože po celou dobu zvyšování úhlových rychlostí ω se hřídel nedeformuje (v1 = v2 = 0) a není tedy ohybově namáhám. Zato při dosažení kritické úhlové rychlosti Ω1, resp. Ω2 se může „nekonečně“ deformovat (v1 → +∞ a v2 → ±∞) , což znamená také „nekonečně“ velké namáhání (σo max → ±∞) . - 37 -


Nehmotný hřídel průměru d se dvěma reálnými kotouči o hmotnostech m1 a m2: (e1,2 ≠ 0 ⇒ S1 ≡ T1 a S2 ≡ T2) Z pohledu pružnosti a pevnosti musíme uvažovat sice nehmotný hřídel, na kterém jsou ale dva reálné kotouče, tedy včetně určité nesymetrie. Těžiště T1,2 je umístěno excentricky vzhledem ke středu kotouče S1,2 a tuto excentricitu opět označíme e1,2.

Obr. 3.9 – Výpočtový model hřídele se dvěma reálnými kotouči (bez uvažování natočení kotoučů)

Pomocí odstředivých sil a příčinkových činitelů vyjádříme deformace v1 a v2 tohoto hřídele:

v1 = O1 ⋅η11 + O2 ⋅η12 = m1 ⋅ (v1 + e1 ) ⋅ ω 2 ⋅η11 + m2 ⋅ (v2 + e2 ) ⋅ ω 2 ⋅η12 v2 = O1 ⋅η 21 + O2 ⋅η 22 = m1 ⋅ (v1 + e1 ) ⋅ ω 2 ⋅η 21 + m2 ⋅ (v2 + e2 ) ⋅ ω 2 ⋅η 22 Výsledné rovnice pro průhyby zapíšeme ve tvaru:

(m1 ⋅ ω 2 ⋅η11 − 1) ⋅ v1 +

m2 ⋅ ω 2 ⋅η12 ⋅ v2 = − m1 ⋅ e1 ⋅ ω 2 − m2 ⋅ e2 ⋅ ω 2

m1 ⋅ ω 2 ⋅η 21 ⋅ v1 + (m2 ⋅ ω 2 ⋅η 22 − 1) ⋅ v2 = − m1 ⋅ e1 ⋅ ω 2 − m2 ⋅ e2 ⋅ ω 2

,

resp. maticově:

1   m2 ⋅η12   v  m1 ⋅η11 − ω 2 ⋅ 1 ⋅  1  = −(m1 ⋅ e1 + m2 ⋅ e2 ) ⋅   .   1 1  m1 ⋅η 21 m2 ⋅η 22 − 2  v2  ω   Tato soustava má již reálná řešení průhybů v1(ω) a v2(ω) pro všechny úhlové rychlosti kromě dvou (Ω1 a Ω2), kdy mohou průhyby nabývat „libovolných“ (tedy i nekonečných) hodnot. Závislost průhybů na úhlových rychlostech bude ještě záviset na velikosti excentricit.

průhyb v místě

(v1)

průhyb v místě

(v2)

Obr. 3.10 – Funkční závislost průhybu na úhlové rychlosti pro reálné kotouče - 38 -


Pro konkrétní hřídel a kotouče s konkrétními excentricitami bychom mohli opět určit nepřípustná pásma úhlových rychlostí pro oba možné vlastní tvary. Pro první i druhý vlastní tvar určíme z velikostí maximálních ohybových momentů maximální velikosti průhybů a z nich pak maximální přípustné velikosti úhlových rychlostí.

Obr. 3.11 – Namáhání nosníků zatížených dvěma odstředivými silami

Pro Mo max (Ω1,Ω2) stanovíme dovolené velikosti sil O 1D (Ω1,Ω2) a O 2D (Ω1,Ω2) , ze kterých pomocí příčinkových činitelů η11, η22 a η12 = η21 určíme dovolené průhyby v1,2 D a s jejich pomocí určíme pro oba vlastní tvary intervaly (ω11D min ; ω11D max) , interval (ω21D min ; ω21D max) a intervaly (ω12D min ; ω12D max) , (ω22D min ; ω22D max) , ve kterých se nesmí provozní úhlové rychlosti vyskytovat, protože bu nebyly splněny pevnostní podmínky. Vlivem vnitřního útlumu materiálu se při dostatečně rychlém přechodu tohoto pásma nemají deformace šanci rozvinout do „nekonečně“ velkých hodnot a lze tedy provozovat jak stroje s otáčkami pod první vlastní úhlovou rychlostí (podkritický stroj), tak i v pásmu mezi oběma vlastními úhlovými rychlostmi a také v pásmu nad druhou vlastní úhlovou rychlostí (nadkritický stroj).

Obr. 3.12 – Nepřípustná pásma úhlových rychlostí (diagram s uvažováním útlumu materiálu) - 39 -


ROTUJÍCÍ HMOTNÝ HŘÍDEL V tomto případě uvažujeme hřídel průměru d a současně vyrobený z materiálu o hustotě ρ.

Obr. 3.13 – Výpočtové schéma rotujícího hmotného hřídele

Elementární odstředivou sílu vyjádříme jako: dO = dm ⋅ v( x) ⋅ ω 2 = ρ ⋅ dV ⋅ v( x) ⋅ ω 2 = ρ ⋅ A( x) ⋅ dx ⋅ v( x) ⋅ ω 2 = µ ( x) ⋅ dx ⋅ v( x) ⋅ ω 2 . 1 424 3 µ ( x)

Pokud vztáhneme tuto sílu na jednotku délky, dostaneme spojité zatížení:

dO = q (x) . dx Protože předpokládáme u hřídele dominantní namáhání ohybem, musí pro průhybovou čáru platit úplná diferenciální rovnice průhybové čáry (bylo odvozeno v PP 1 spojením Bernoulliho diferenciální rovnice průhybové čáry a Schwedlerovy věty):

v( x) IV =

q ( x) . E⋅Jz

Spojením dostáváme diferenciální rovnici 4. řádu pro deformaci rotujícího hmotného hřídele:

v( x)IV

µ ( x) ⋅ v( x) ⋅ ω 2 ⋅ dx dO µ ( x) ⋅ ω 2 dx = dx = = ⋅ v( x) E ⋅ Jz E ⋅ Jz E ⋅ Jz

⇒

v( x) IV −

Pro zjednodušení zavedeme člen: a4 =

µ ( x) ⋅ ω 2 E ⋅ Jz

,

který lze pro kruhový průřez upravit: a = 4

ρ⋅

π ⋅ d ( x) 2

⋅ω 2

4 π ⋅ d ( x) 4 E⋅ 64

- 40 -

= 16 ⋅

ρ

⋅

ω2

E d ( x) 2

.

µ ( x) ⋅ ω 2 E ⋅ Jz

⋅ v( x) = 0 .


Řešení diferenciální rovnice 4. řádu v(x) – a4⋅v(x) = 0 provedeme pro jednoduchý hřídel stálého průřezu, kde d(x) = konst. a řešíme tedy rovnici s konstantními koeficienty. IV

Vlastní rovnice bude mít tvar:

λ4 − a 4 = 0

⇒

λ1 = + a ; λ2 = − a ; λ3 = +i ⋅ a ; λ4 = −i ⋅ a

Pomocí nástrojů matematiky můžeme obecné řešení diferenciální rovnice 4. řádu vyjádřit jako lineární kombinaci všech možných řešení ve tvaru:

v( x) = C1 ⋅ e λ1 + C 2 ⋅ e λ2 + C3 ⋅ e λ3 + C 4 ⋅ e λ4 = C1 ⋅ e a⋅x + C 2 ⋅ e − a⋅x + C3 ⋅ e i⋅a⋅x + C 4 ⋅ e − i⋅a⋅x . Při využití rozvojů uvedených exponenciálních funkcí pak dostaneme výsledné řešení, se kterým budeme dále pracovat: v( x) = A ⋅ cos(a ⋅ x) + B ⋅ sin(a ⋅ x) + C ⋅ cosh(a ⋅ x) + D ⋅ sinh(a ⋅ x) . Konstanty A, B, C a D určíme z okrajových podmínek, které popisují způsob uložení řešeného hřídele (až do tohoto okamžiku je postup společný pro jakýkoliv rotující hřídel stálého průřezu).

Příklad 3.1: Další postup předvedeme pro rotující hřídel konstantního průřezu uložený na svých koncích ve dvou kuličkových ložiskách.

Obr. 3.14 – Rotující hřídel ve dvou ložiskách a jehovýpočtové schéma

Okrajové podmínky u takto uloženého hřídele budou: 1. Bod A: v(0) = 0 2. Bod A: vII (0) = 0

⇐ Mo(0) = 0

3. Bod B: v(l) = 0 4. Bod B: vII (l) = 0

⇐ Mo(l) = 0

Nyní postupně řešíme podmínky: 1. v(0) = A ⋅ cos(0) + B ⋅ sin(0) + C ⋅ cosh(0) + D ⋅ sinh(0) = A ⋅1 + B ⋅ 0 + C ⋅1 + D ⋅ 0 = 0 2. vII (0) = a 2 ⋅ [− A ⋅ cos(0) − B ⋅ sin(0) + C ⋅ cosh(0) + D ⋅ sinh(0) = a 2 ⋅ [− A + C ] = 0 - 41 -


Tedy za předpokladu a2 ≠ 0 (hřídel by buď nerotoval nebo materiál měl nulovou hustotu ρ nebo nekonečně velký modul pružnosti E a nebo by byl nekonečně velký jeho průměr d) bude: A + C = 0 a současně −A + C = 0 odkud plyne: A = C = 0. Pokračujeme v dosazování podmínek s využitím předchozích výsledků: 3. v(l) = 0 + B ⋅ sin(a ⋅ l) + 0 + D ⋅ sinh(a ⋅ l) = 0 4. vII (l) = a 2 ⋅ [− B ⋅ sin(a ⋅ l) + 0 + D ⋅ sinh(a ⋅ l)] = 0 Opět za předpokladu a2 ≠ 0 dostáváme soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé:

 sin(a ⋅ l) sinh(a ⋅ l)  B  0  ⋅  =   . − sin( a ⋅ l) sinh(a ⋅ l)  D  0 Tato soustava má buď triviální řešení B = D = 0, které je však „nepoužitelné“, protože znamená, že se hřídel během rotace neprohne: v(x) = 0. Druhou možností je lineární závislost soustavy, které pak vyhovují libovolné hodnoty konstant B a D. To znamená, že se hřídel může „libovolně“ deformovat, což odpovídá hledanému indiferentnímu stavu při dosažení kritické úhlové rychlosti. Tato možnost nastane, bude-li determinant matice roven nule:

 sin(a ⋅ l) sinh(a ⋅ l) det   = 0. − sin(a ⋅ l) sinh(a ⋅ l) Po vyčíslení dostáváme rovnici: 2 ⋅ sin(a ⋅ l) ⋅ sinh(a ⋅ l) = 0 ⇒ sin(a ⋅ l) ⋅ sinh(a ⋅ l) = 0 . Víme sice, že obě funkce nabývají nulových hodnot v bodě a⋅l = 0, ale tento bod je z hlediska hledaných veličin „nezajímavý“, protože u normálního rotujícího hřídele nemůže být rovno nule ani a ani délka l. Zajímají nás až další nulová řešení. Protože však funkce sinh(a⋅l) již nikde jinde nulových hodnot nedosahuje, bude rozhodující průběh funkce sin(a⋅l). sin(a⋅l) = 0 ⇒ (a⋅l)k = k⋅π pro k = 1, 2, 3, … Pro k = 1 určíme první hlavní úhlovou rychlost tohoto hřídele: (a⋅l)1 = 1⋅π ⇒ a1 =

π l

µ E ⋅ Jz π  π  π  ⇒ a14 =   ⇒ , ⋅ Ω12 =   ⇒ Ω1 =   ⋅ E ⋅ Jz µ l l l 4

4

2

Resp. pro hřídel konstantního průřezu o průměru d bude:

π  d E Ω1 =   ⋅ ⋅ . l 4 ρ 2

Obdobně bychom získali i další vlastní úhlové rychlosti pro k = 2, 3, …:

E ⋅ Jz  k ⋅π   k ⋅π  d E ⋅ J z Ωk =  , resp. Ω 2 =   ⋅  ⋅ ⋅ µ µ  l   l  4 2

2

Ze vztahu je patrné, že každá následující vlastní úhlová rychlost je výrazně vyšší než předchozí, protože roste s kvadrantem řádu vlastní frekvence k (1 ; 4 ; 9; 16 ; 25 ; …). To znamená, že vyšší vlastní frekvence jsou konstrukčně „nezajímavé“, protože jsou v oblastech u běžných strojů nedosažitelných. Většinou je nejdůležitější první vlastní úhlová rychlost a případně druhá a v některých případech i třetí. Vyšší vlastní úhlové rychlosti jsou pak při uvažování vnitřního útlumu materiálu i na diagramu závislosti průhybu na úhlové rychlosti málo patrné. - 42 -


Další způsoby uložení jednoduchého hřídele by se odvozovaly podobně, a tak již uvedeme pouze výpočtové modely a odpovídající vztahy s výsledky. Tab. 3.1 – Rotující hmotné hřídele s různým uložením

okrajové podmínky

x

x

x

hřídel

l; ρ; E; Jz

l; ρ; E; Jz

x

l; ρ; E; Jz

l; ρ; E; Jz

vII (0) = 0

v ( 0) = 0

v ( 0) = 0

v(0) = 0

vIII (0) = 0 v(l) = 0

v ( 0) = 0 v(l) = 0

v ( 0) = 0 v(l) = 0

vI (0) = 0 v(l) = 0

v I (l ) = 0

vII (l) = 0

v I (l ) = 0

vI (l) = 0

II

−1 výsledná cos(a ⋅ l) = sin( a ⋅ l ) = 0 rovnice cosh(a ⋅ l) první 2 2 E ⋅ Jz E ⋅ Jz vlastní π   1,875 Ω1 ≈  Ω1 =   ⋅  ⋅ úhlová µ µ  l  l rychlost

II

tan(a ⋅ l) = tanh(a ⋅ l) cos(a ⋅ l) = 2

1 cosh(a ⋅ l) 2

E⋅ J z E⋅ J z  3,907  4,730 Ω1 ≈  Ω1 ≈   ⋅  ⋅ µ µ  l   l 

Realizace uložení může být provedena pomocí kuličkových jednořadých ložisek, kuličkových víceřadých ložisek, válečkových ložisek nebo zařazením ložisek vedle sebe.

Obr. 3.15 – Realizace všech čtyř uložení rotujícího hřídele - 43 -


Z pohledu pružnosti je pro nás „ideální“ vyvážený hřídel „nezajímavý“, protože po celou dobu zvyšování úhlové rychlosti se nedeformuje a až při dosažení některé z kritických úhlových rychlostí mohou deformace „růst k nekonečnu“ a tím také namáhání hřídele může dosáhnout „nekonečných hodnot“. Proto musíme řešit reálný neideální hmotný hřídel, který má určitou excentricitu těžiště vůči středu rotace. Obecně může být tato excentricita funkcí polohy e(x). Elementární odstředivou sílu pak vyjádříme jako: dO = dm ⋅ [v( x) + e( x)]⋅ ω 2 = µ ( x) ⋅ dx ⋅ [v( x) + e( x)]⋅ ω 2 . 2

Diferenciální rovnice 4. řádu pro deformaci rotujícího hmotného hřídele tedy bude: v( x) IV =

µ ( x) ⋅ ω 2 E⋅Jz

⋅ [v( x) + e( x)]

⇒

v( x)IV −

µ ( x) ⋅ ω 2 E ⋅ Jz

⋅ v( x) =

µ ( x) ⋅ ω 2 E ⋅ Jz

⋅ e( x ) .

Pro zjednodušení opět zavedeme člen: a4 =

µ ( x) ⋅ ω 2 E ⋅ Jz

a dostáváme výslednou diferenciální rovnici: v( x)IV − a 4 ⋅ v( x) = a 4 ⋅ e( x) Uvažujme nejjednodušší případ reálného hřídele, kdy je excentricita konstantní po celé délce hřídele e(x) = e = konst.

Obr. 3.16 – Rotující hřídel ve dvou ložiskách a jeho výpočtové schéma Diferenciální rovnice bude mít v tomto případě tvar: v( x)IV − a 4 ⋅ v( x) = a 4 ⋅ e Řešení bude mít v tomto případě dvě části: v( x) = vH ( x) + vP ( x) a) H – homogenní odpovídající ideálnímu hřídeli bez excentricity ⇒ Ωk pro k = 1, 2, … , b) P – partikulární způsobené excentricitou e. Homogenní řešení bude:

vH ( x) = A ⋅ cos(a ⋅ x) + B ⋅ sin(a ⋅ x) + C ⋅ cosh(a ⋅ x) + D ⋅ sinh(a ⋅ x) . Partikulární řešení odhadneme ve tvaru:

vP ( x ) = K . - 44 -


Partikulární řešení musí vyhovovat původní rovnici, a tak určíme ještě: vPII ( x) = 0 a dosadíme do původní rovnice: 0 − a 4 ⋅ K = a 4 ⋅ e ⇒ K = −e ⇒ vP ( x ) = − e . Celé řešení pak bude: v( x) = A ⋅ cos(a ⋅ x) + B ⋅ sin(a ⋅ x) + C ⋅ cosh(a ⋅ x) + D ⋅ sinh(a ⋅ x) − e .

Nyní opět použijeme okrajové podmínky pro hřídel uložený na dvou kloubových podpěrách (dvě jednoduchá kuličková ložiska): 1. Bod A: v(0) = 0 2. Bod A: vII (0) = 0

⇐ Mo(0) = 0

3. Bod B: v(l) = 0 4. Bod B: vII (l) = 0

⇐ Mo(l) = 0

Nyní postupně řešíme podmínky: 1. v(0) = A ⋅ cos(0) + B ⋅ sin(0) + C ⋅ cosh(0) + D ⋅ sinh(0) − e = 0 ⇒ A + C = e 2. vII (0) = a 2 ⋅ [− A ⋅ cos(0) − B ⋅ sin(0) + C ⋅ cosh(0) + D ⋅ sinh(0)] − 0 = 0 ⇒ a 2 ⋅ (− A + C ) = 0 Tedy opět za předpokladu a2 ≠ 0 bude: A+C = e

a

− A+C = 0

⇒

A=C =

e 2

Pokračujeme v dosazování podmínek s využitím předchozích výsledků: 3. v(l) =

e e ⋅ cos(α ⋅ l) + B ⋅ sin(a ⋅ l) + ⋅ cosh(α ⋅ l) + D ⋅ sinh(a ⋅ l) − e = 0 2 2

e  e  4. vII (l) = a 2 ⋅ − cos(a ⋅ l) − B ⋅ sin( a ⋅ l) + cosh(a ⋅ l) + D ⋅ sinh(a ⋅ l) − 0 = 0 2  2  Opět za předpokladu a2 ≠ 0 dostáváme soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé:  sin(a ⋅ l) sinh(a ⋅ l)  B  e 2 − cos(a ⋅ l) − cosh(a ⋅ l)  ⋅  = ⋅ . − sin(a ⋅ l) sinh(a ⋅ l)  D  2  cos(a ⋅ l) − cosh(a ⋅ l)  Odtud vypočteme velikosti konstant B a D:  e e 2 ⋅ [1 − cos(α ⋅ l)] e  1 B= ⋅ = ⋅ − cotan(α ⋅ l) = ⋅ ξ1 (α ⋅ l) 2 2 ⋅ sin(α ⋅ l) 2  sin(α ⋅ l)  2 a

 e e 2 ⋅ [1 − cosh(α ⋅ l)] e  1 D= ⋅ = ⋅ − cotanh(α ⋅ l) = ⋅ ξ2 (α ⋅ l) 2 2 ⋅ sinh(α ⋅ l) 2  sinh(α ⋅ l)  2

Výsledné řešení bude: v( x ) =

e ⋅ [cos(a ⋅ x) + ξ1 (α ⋅ l) ⋅ sin( a ⋅ x) + cosh(a ⋅ x) + ξ1 (α ⋅ l) ⋅ sinh(a ⋅ x) − 2] . 2

Poznámka: Dosadíme pro kontrolu x = 0 a x = l a opravdu vychází v(0) = 0 ; vII(0) = 0 ; v(l) = 0 a vII(0) = 0 . - 45 -


Příklad 3.2: Použijeme jednoduchý hřídel délky l konstantního průřezu o průměru d uloženého kloubově na svých koncích, který má uprostřed nalisované ozubené kolo o hmotnosti m, jehož těžiště je v důsledku nevyváženosti vzdálené e od osy kola totožné s osou rotace hřídele.

Obr. 3.17 – Rotující hřídel s jedním kotoučem ve dvou ložiskách a jeho výpočtové schéma

Úlohu musíme v tomto případě rozdělit na dvě pole: Pole I: x ∈ 〈0 ; l/2〉, kde platí

vI ( x) IV − a I4 ⋅ vI ( x) = 0

Pole II: x ∈ 〈l/2 ; l〉, kde platí vII ( x) IV − aII4 ⋅ vII ( x) = 0 Protože uvažujeme pro jednoduchost hřídel konstantního průřezu vyrobený z jednoho materiálu: µI(x) = µII(x) a EI = EII, kdy se logicky musí obě poloviny otáčet stejnou úhlovou rychlostí ωI = ωII , musí také platit, že aI = aII. Řešení tedy bude:

vI ( x) = AI ⋅ cos(a ⋅ x) + BI ⋅ sin(a ⋅ x) + C I ⋅ cosh(a ⋅ x) + DI ⋅ sinh(a ⋅ x) vII ( x) = AII ⋅ cos(a ⋅ x) + BII ⋅ sin(a ⋅ x) + C II ⋅ cosh(a ⋅ x) + DII ⋅ sinh(a ⋅ x) Řešení dvou diferenciálních rovnic 4. řádu obsahuje celkem 8 konstant, pro které musíme stanovit celkem 8 okrajových podmínek: 1. x = 0: vI(0) = 0 podpěra na okraji nosníku = nosník se zde nesmí prohnout II 2. x = 0: vI (0) = 0 podpěra na okraji nosníku = nosník zde nepřenáší moment 3. x = l: vII(l) = 0 podpěra na okraji nosníku = nosník se zde nesmí prohnout II 4. x = l: vII (l) = 0 podpěra na okraji nosníku = nosník zde nepřenáší moment 5. x = l/2: vI(l/2) = vII(l/2) spojení dvou polí = průhybová čára musí být spojitá I I 6. x = l/2: vII ( l/2) = vII (l/2) spojení dvou polí = průhybová čára musí být hladká 7. x = l/2: vIII(l/2) = vIIII(l/2) spojení dvou polí = momentová čára musí být spojitá 8. x = l/2: vIIII (l / 2) − O = vIIIII (l / 2) ⋅ E ⋅ J z spojení dvou polí = v průběhu posouvající síly nastává skok odpovídající odstředivé síle od excentrické hmotnosti nalisovaného kotouče: O = m ⋅ [v(l / 2) + e]⋅ ω 2 . - 46 -


ENERGETICKÁ METODA (RAYLEIGHOVA METODA) Tato metoda využívá základní předpoklady lineární pružnosti a pevnosti: •

Platí materiálová i geometrická linearita (platí Hookův zákon a deformace jsou malé)

•

Veškeré děje jsou bezztrátové (dochází k ideálním energetickým přeměnám)

Předpokládáme, že v případě dosažení vlastní úhlové rychlosti nastává indiferentí stav, což znamená, že může vzniknout jakákoliv (malá) deformace – volný parametr a. Veškerá kinetická energie Wkin. při rotaci touto rychlostí se přemění na energii deformační U. Diferenciál kinetické energie vyjádříme pro rotující element dx při zavedení hmotnosti jednotkové délky hřídele µ ( x) = ρ ⋅ A( x) [kg⋅m-1]:

dWkin. =

1 1 1 ⋅ dm ⋅ [v( x) ⋅ ω ] 2 = ⋅ ρ ⋅ A( x) ⋅ dx ⋅ v 2 ( x) ⋅ ω 2 = ⋅ µ ( x) ⋅ v 2 ( x) ⋅ ω 2 ⋅ dx 424 3 2 2 1 2 µ (x)

Diferenciál deformační energie vyjádříme pro element dx ohnutého hřídele – nosníku při využití Bernoulliho diferenciální rovnice: M o ( x) = − E ⋅ J z ( x) ⋅ v ′′( x) hodnoty obou energií 2 1 M o2 ( x) 1 [− E ⋅ J z ( x) ⋅ v′′( x)] 1 dU celk . = ⋅ ⋅ dx = ⋅ ⋅ dx = ⋅ E ⋅ J z ( x) ⋅ vII ( x) ⋅ dx 2 E ⋅ J z ( x) 2 E ⋅ J z ( x) 2

[

2

]

Celkové hodnoty obou energií vyjádříme integrací diferenciálů po celé délce l: Wkin. =

1 2 ⋅ ω ⋅ ∫ µ ( x) ⋅ v 2 ( x) ⋅ dx 2 (l)

a

U celk . =

[

]

2 1 ⋅ E ⋅ ∫ J z ( x) ⋅ vII ( x) ⋅ dx 2 (l )

(předpokládáme konstantní modul pružnosti E po celé délce l). Ze srovnání obou výrazů dostáváme:

[

Wkin. = U celk .

⇒

ω2 =

]

2

E ⋅ ∫ J z ( x) ⋅ vII ( x) ⋅ dx (l) 2 ∫ µ ( x) ⋅ v ( x) ⋅ dx

.

(l )

Pokud za průhyb v(x) zvolíme prvnímu vlastnímu tvaru, dostáváme přibližnou velikost první úhlové rychlosti. Pokud bychom dosazovali další vlastní tvary, budeme dostávat přibližně i další vlastní úhlové rychlosti. V praxi pro nás nejdůležitější ale bude ta první a v některých případech ještě druhá a případně třetí. Další vlastní úhlové rychlosti bývají již mimo oblast reálných rychlostí běžných strojních součástí.

Postup výpočtu: 1. Návrh průhybové čáry v(x) která odpovídá příslušnému vlastníku tvaru: • křivka musí být minimálně druhého stupně, aby její druhá derivace byla nenulová • křivka musí splňovat minimálně geometrické okrajové podmínky 2. Navrženou funkci dvakrát derivujeme a povýšíme na druhou a dosadíme do čitatele. Kvadrát navržené funkce dosadíme do jmenovatele. Provedeme integraci čitatele i jmenovatele po celé délce l a určíme úhlovou rychlost ω. - 47 -


Je třeba si uvědomit, že skutečná průhybová čára je optimální vyžadující minimum dodané energie. Každá jiná křivka bude energeticky náročnější. Energie je do hřídele dodávána ve formě kroucení a tím pádem vypočtená úhlová rychlost ωi bude vždy větší nebo maximálně rovna (pokud „odhadneme“ skutečný tvar) příslušné vlastní úhlové rychlosti Ωi:

ωi ≥ Ω i kde i je stupeň vlastní úhlové rychlosti odpovídající vlastnímu tvaru stupně i. Poznámka: Jedná se o tzv. horní odhad, který je tím nepřesnější, čím „hrubší“ je návrh vznikající průhybové čáry v(x). Při velmi hrubém návrhu může být rozdíl i několik desítek procent, což je z hlediska provozování velice nebezpečné: „při zvyšování otáček si myslíme, že jsme ještě dost daleko od vypočtené vlastní úhlové rychlosti ωi a přitom se můžeme nebezpečně přiblížit ke skutečné vlastní úhlové rychlosti Ωi.“ Obráceně bude platit: čím kvalitnější a přesnější bude odhad průhybové čáry odpovídající příslušnému vlastnímu tvaru, tím přesnější bude hodnota vypočtené vlastní úhlové rychlosti ωi → Ωi a v ideálním případě návrhu skutečné průhybové čáry bude ωi = Ωi.

Příklad 3.3: Použijeme jednoduchý hřídel délky l konstantního průřezu o průměru d letmo uloženého (vetknutého na jednom konci s druhým volným koncem).

Obr. 3.18 – Letmo uložený hřídel a jeho výpočtový model

Přesné řešení první vlastní úhlové rychlosti je známé z předchozí části: Ω12 = 12,3623 ⋅

E ⋅ Jz ⋅ µ ⋅ l4

Pro kruhový hřídel stálého průřezu d = konst. po celé délce hřídele l můžeme předchozí vztah ještě zjednodušit pro: A=

π ⋅d2 4

a Jz =

π ⋅d4 64

⇒

E d2 Ω12 = 01 ,7726 ⋅ ⋅ 23 ρ l4 { koeficient { materiál

- 48 -

rozměoz

⇒

Ω1 = 0,8790 ⋅

E d ⋅ . ρ l2


Nyní postupně navrhneme různé průhybové čáry, které budou splňovat alespoň geometrické okrajové podmínky. Následně budeme srovnávat přibližný výsledek se známým přesným řešením vypočteným z diferenciální rovnice čtvrtého řádu. Základní geometrické podmínky jsou:

v(0) = 0

a

Základní silové podmínky jsou:

M o (l) = 0 ⇒ vII (l) = 0 a

ϕ ( 0) = 0 ⇒ v I ( 0) = 0 . T (l) = 0 ⇒ vIII (l) = 0 .

a) Nejjednodušší funkcí, kterou lze použít je obyčejná parabola druhého stupně v(x) = a⋅x2, kde a je volný parametr (průhyb může nabývat „jakýchkoliv“ hodnot malých deformací). 1. Tato funkce vyhovuje oběma geometrickým podmínkám: v ( 0) = a ⋅ 0 2 = 0 a v I ( 0) = 2 ⋅ a ⋅ 0 = 0 2. Tato funkce vyhovuje jen jedné silové podmínce: vII (l) = 2 ⋅ a ≠ 0 a vIII (l) = 0

Řešení:

[

]

2

v( x) = a ⋅ x 2 ⇒ vII ( x) = 4 ⋅ a 2 ⇓ 2 v ( x) = a 2 ⋅ x 4 Tyto hodnoty dosadíme do odvozeného vztahu: l

E ⋅Jz

ω 12 =

⋅

µ

∫4⋅a

2

⋅ dx

0 l

∫a

2

=

⋅ x 4 ⋅ dx

0

E ⋅ J z 4 ⋅ l 20 E ⋅ J z ⋅ 5 = 4 ⋅ >> Ω 12 l µ l µ 5

To znamená, že ω1 ≈ 1,272⋅Ω1 a vznikající chyba je +27%. b) Použijeme další jednoduchou funkci – parabolu třetího stupně, v(x) = a⋅x3, kde a je volný parametr (průhyb může nabývat „jakýchkoliv“ hodnot malých deformací). 1. Tato funkce vyhovuje oběma geometrickým podmínkám: v ( 0) = a ⋅ 0 3 = 0 a v I ( 0) = 3 ⋅ a ⋅ 0 2 = 0 2. Tato funkce nevyhovuje ani jedné silové podmínce: vII (l) = 6 ⋅ a ⋅ l ≠ 0 a vIII (l) = 6 ⋅ a ≠ 0

Řešení:

[

]

2

v( x) = a ⋅ x 3 ⇒ vII ( x) = 36 ⋅ a 2 ⋅ x 2 ⇓ 2 v ( x) = a 2 ⋅ x 6 Tyto hodnoty dosadíme do odvozeného vztahu: l

ω12 =

E ⋅ Jz

µ

⋅

2 2 ∫ 36 ⋅ a ⋅ x ⋅ dx 0 l

∫a 0

2

⋅ x 6 ⋅ dx

l3 36 ⋅ E ⋅ Jz 3 = 84 ⋅ E ⋅ J z >> Ω 2 = ⋅ 1 7 µ l µ ⋅ l4 7

To znamená, že ω1 ≈ 2,607⋅Ω1 a vznikající chyba je +161%.

- 49 -


c) Použijeme kombinace předchozích jednoduchých parabol druhého a třetího stupně, v(x) = a⋅⋅(x3 − 3⋅⋅l⋅x2), kde a je volný parametr (průhyb může nabývat „jakýchkoliv“ hodnot malých deformací). 1. Tato funkce vyhovuje oběma geometrickým podmínkám: v(0) = a ⋅ (0 3 − 3 ⋅ l ⋅ 0 2 ) = 0 a vI (0) = a ⋅ (3 ⋅ 0 2 − 6 ⋅ l ⋅ 0) = 0 2. Tato funkce vyhovuje oběma silovým podmínkám: vII (l) = a ⋅ (6 ⋅ l − 6 ⋅ l) = 0 a vIII (l) = a ⋅ (6 ⋅ l − 6 ⋅ l) = 0 Řešení:

[

]

2

v( x) = a ⋅ ( x 3 − 3 ⋅ l ⋅ x 2 ) ⇒ vII ( x) = a 2 ⋅ 36 ⋅ ( x 2 − 2 ⋅ l ⋅ x + l 2 ) ⇓ 2 v ( x) = a 2 ⋅ ( x 6 − 6 ⋅ l ⋅ x 5 + 9 ⋅ l 2 ⋅ x 4 ) Tyto hodnoty dosadíme do odvozeného vztahu: l

ω12 =

E ⋅ Jz

µ

∫a

⋅ 36 ⋅ ( x 2 − 2 ⋅ l ⋅ x + l 2 ) ⋅ dx

xx 3 ⋅l E ⋅ J E ⋅ Jz z ⋅l 0 = ⋅ xx = 12,7273 ⋅ > Ω12 4 xx µ µ ⋅ l 2 6 5 2 4 ⋅ l7 ∫ a ⋅ ( x − 6 ⋅ l ⋅ x + 9 ⋅ l ⋅ x ) ⋅ dx xx 2

0

To znamená, že ω1 ≈ 1,015⋅Ω1 a vznikající chyba je +1,5%) d) Zkusíme ještě zvýšit stupeň použité křivky na čtyřku v(x) = a⋅⋅(x4 − 4⋅⋅l⋅x3 + 6⋅⋅l2⋅x2), kde a je volný parametr (průhyb může nabývat „jakýchkoliv“ hodnot malých deformací). 1. Tato funkce vyhovuje oběma geometrickým podmínkám: v(0) = a ⋅ (0 3 − 3 ⋅ l ⋅ 0 2 ) = 0 a vI (0) = a ⋅ (3 ⋅ 0 2 − 6 ⋅ l ⋅ 0) = 0 2. Tato funkce vyhovuje oběma silovým podmínkám: vII (l) = a ⋅ (6 ⋅ l − 6 ⋅ l) = 0 a vIII (l) = a ⋅ (6 ⋅ l − 6 ⋅ l) = 0 Řešení:

[

]

2

v( x) = a ⋅ ( x 4 − 4 ⋅ l ⋅ x3 + 6 ⋅ l 2 ⋅ x 2 ) ⇒ vII ( x) = a2 ⋅144 ⋅ ( x4 − 4 ⋅ l ⋅ x3 + 6 ⋅ l2 ⋅ x2 − 4 ⋅ l3 ⋅ x + l4 )

⇓ v ( x) = a ⋅ ( x − 8 ⋅ l ⋅ x 7 − 28 ⋅ l 2 ⋅ x 6 − 48 ⋅ l 3 ⋅ x 5 + 36 ⋅ l 4 ⋅ x 4 ) Tyto hodnoty dosadíme do odvozeného vztahu: 2

2

8

l

ω12 =

E ⋅ Jz

µ

⋅

∫a

2

⋅ 144 ⋅ ( x 4 − 4 ⋅ l ⋅ x 3 + 6 ⋅ l 2 ⋅ x 2 − 4 ⋅ l 3 ⋅ x + l 4 ) ⋅ dx =

0 l

∫a

2

⋅ ( x − 8 ⋅ l ⋅ x − 28 ⋅ l ⋅ x − 48 ⋅ l ⋅ x + 36 ⋅ l ⋅ x ) ⋅ dx 8

7

2

6

3

5

4

4

0

144 3 ⋅l E ⋅ Jz 5 E ⋅ Jz = ⋅ = 12,4615 ⋅ > Ω12 4 µ 104 ⋅ l 7 µ ⋅l 45 To znamená, že ω1 ≈ 1,004⋅Ω1 a vznikající chyba je +0,4%. Tato chyba je již zanedbatelná a prakticky platí ω1 ≈ Ω1 s dostatečnou přesností. Z výsledků je vidět, že již polynom 3. stupně bez lineárního i absolutního členu je pro běžnou praxi dostatečně přesný. Použití polynomu 4. stupně snížilo chybu pod 1%. Další zvyšování stupně polynomu by již nepřineslo výrazné zpřesnění a jen by bylo výpočtově náročnější. - 50 -


Příklad 3.4: Použijeme jednoduchý hřídel délky l konstantního průřezu o průměru d uloženého kloubově na svých koncích, který má uprostřed nalisované ozubené kolo o hmotnosti m, jehož těžiště je v důsledku nevyváženosti vzdálené e od osy kola totožné s osou rotace hřídele.

Obr. 3.19 – Rotující hřídel s jedním kotoučem ve dvou ložiskách a jeho výpočtové schéma Úlohu musíme v tomto případě rozdělit na dvě pole: Pole I: x ∈ 〈0 ; l/2〉, kde platí:

vI ( x) IV − a I4 ⋅ vI ( x) = 0

Pole II: x ∈ 〈l/2 ; l〉, kde platí: vII ( x) IV − aII4 ⋅ vII ( x) = 0 Protože uvažujeme pro jednoduchost hřídel konstantního průřezu vyrobený z jednoho materiálu: µI(x) = µII(x) a EI = EII, kdy se logicky musí obě poloviny otáčet stejnou úhlovou rychlostí ωI = ωII , musí také platit, že aI = aII. Řešení tedy bude:

vI ( x) = AI ⋅ cos(a ⋅ x) + BI ⋅ sin(a ⋅ x) + C I ⋅ cosh(a ⋅ x) + DI ⋅ sinh(a ⋅ x) vII ( x) = AII ⋅ cos(a ⋅ x) + BII ⋅ sin(a ⋅ x) + C II ⋅ cosh(a ⋅ x) + DII ⋅ sinh(a ⋅ x) Řešení dvou diferenciálních rovnic 4. řádu obsahuje celkem 8 konstant, pro které musíme stanovit celkem 8 okrajových podmínek: 1. x = 0: vI(0) = 0 podpěra na okraji nosníku = nosník se zde nesmí prohnout 2. x = 0: vI I(0) = 0 podpěra na okraji nosníku = nosník zde nepřenáší moment 3. x = l: vII(l) = 0 podpěra na okraji nosníku = nosník se zde nesmí prohnout II 4. x = l: vII (l) = 0 podpěra na okraji nosníku = nosník zde nepřenáší moment spojení dvou polí = průhybová čára musí být spojitá 5. x = l/2: vI(l/2) = vII(l/2) I I 6. x = l/2: vII ( l/2) = vII (l/2) spojení dvou polí = průhybová čára musí být hladká 7. x = l/2: vI II(l/2) = vII II(l/2) spojení dvou polí = momentová čára musí být spojitá III III 8. x = l/2: vI (l / 2) ⋅ E ⋅ J z − O = vII (l / 2) ⋅ E ⋅ J z spojení dvou polí = v průběhu posouvající síly nastává skok odpovídající odstředivé síle od excentrické hmotnosti nalisovaného kotouče: O = m ⋅ [v(l / 2) + e]⋅ ω 2 . Další řešení by bylo obdobné jako v předchozích příkladech. První vlastní úhlová rychlost by v tomto případě ale byla nižší než původní vlastní úhlová rychlost hřídele bez kotouče. - 51 -


Příklad 3.5: Použijeme jednoduchý hřídel délky l konstantního průřezu o průměru d letmo uloženého s „ideálním“ kotoučem hmotnosti m na svém volném konci (e = 0).

Obr. 3.20 – Letmo uložený hřídel s kotoučem a jeho výpočtový model

Pokud bychom v tomto případě zvolili funkci z předchozího příkladu, nesplňovala by ani jednu silovou podmínku a výsledek by byl stejný jako v předchozím případě, ale zatížen podstatně větší chybou. Pokud budeme chtít dostat přesnější řešení musíme zvolit (odhadnout) takovou funkci, která by byla schopná vyhovět nejen geometrickým také silovým podmínkám na konci hřídele (nosníku): 1. geometrické podmínky: x = 0:

v(0) = 0

x = 0:

v′(0) = ϕ (0) = 0

2. silové podmínky pro: x = l:

v′′(l) ⋅ E ⋅ J z = − M ,

x = l:

v′I′′ (l) ⋅ E ⋅ J z = −O .

Kde: M = β ⋅ I D ⋅ v′(l) ⋅ ω 2 (souběžná precese β s.p. = 1 a souběžná precese β p.p = −3). O = m ⋅ v(l) ⋅ ω 2 . Dosazením podmínek pro gyroskopický moment a odstředivou sílu dostáváme: v′′(l) ⋅ E ⋅ J z = −ξ ⋅ I D ⋅ v′(l) ⋅ ω 2 , což znamená v′′(l) ≈ v′(l) , resp. matematicky v′′(l) = p ⋅ v′(l) , v′I′′(l) ⋅ E ⋅ J z = − m ⋅ v(l) ⋅ ω 2

, což znamená v′′′(l) ≈ v(l) , resp. matematicky v′′′(l) = q ⋅ v(l) .

Těmto podmínkám vyhovuje funkce v(x) = a⋅⋅[x4 + ξ(l)⋅⋅x3 + ζ(l2)⋅⋅x2], kde členy ξ(l) a ζ(l2) představují koeficienty rozměru [m] a [m2], které jsou stanoveny ze silových okrajových podmínek. Jejich výpočet je ale poměrně časově náročný a je tedy třeba zvážit, k čemu bude výsledek použit a tudíž, jakou potřebuji jeho přesnost a spolehlivost. - 52 -


Příklad 3.6: Použijeme jednoduchý hřídel délky l konstantního průřezu o průměru d letmo uloženého s kotoučem hmotnosti m na svém volném konci, který má těžiště ve vzdálenosti e od osy kola.

Obr. 3.21 – Letmo uložený hřídel s kotoučem a jeho výpočtový model Úlohu v tomto případě lze řešit pouze v jednom poli: x ∈ 〈0 ; l〉,

kde platí:

v( x) IV − a 4 ⋅ v( x) = 0 .

Řešení opět zapíšeme ve tvaru kombinace goniometrických a hyperbolických funkcí: v( x) = A ⋅ cos(a ⋅ x) + B ⋅ sin(a ⋅ x) + C ⋅ cosh(a ⋅ x) + D ⋅ sinh(a ⋅ x)

Řešení diferenciální rovnice 2. řádu obsahuje celkem 4 konstanty, pro které musíme stanovit celkem 4 okrajové podmínky: 1. x = 0: v(0) = 0 vetknutí na okraji nosníku = nosník se zde nesmí prohnout 2. x = 0: v′(0) = 0 vetknutí na okraji nosníku = nosník se zde nesmí natočit 3. x = l: v′′(l) ⋅ E ⋅ J z = − M konec nosníku s natočením = vznik gyroskopického účinku: M = I D ⋅ v′(l) ⋅ ω 2 ... souběžná precese (s.p.) 2 ⇒

v′′(l) ⋅ E ⋅ J = −ξ ⋅ I ⋅ v′(l) ⋅ ω

z D M = −3 ⋅ I D ⋅ v′(l) ⋅ ω 2 ... protiběžná precese (p.p.) pro: ξs.p. = 1 a ξp.p. = −3 kde: 2 m ⋅ D2  4  t   ID = ⋅ 1 + ⋅    pro „tlustý“ kotouč o průměru D a tloušťce t. 16  3  D  

ID = ρ ⋅t ⋅ Jz = ρ ⋅t ⋅ 4. x = l: v′I′′ (l) ⋅ E ⋅ J z − O

π ⋅ D4 64

=

m ⋅ D2 pro „tenký“ kotouč o průměru D a tloušťce t << D. 16

konec nosníku s průhybem = vznik odstředivé síly: O = m ⋅ [v(l) + e]⋅ ω 2 .

Další řešení by bylo obdobné jako v předchozích příkladech. První vlastní úhlová rychlost by v případě souběžné precese (příznivý stav) byla vyšší než původní vlastní úhlová rychlost bez uvažování gyroskopických účinků, ale v případě protiběžné precese (nepříznivý stav) by byla nižší než původní vlastní úhlová rychlost bez uvažování gyroskopických účinků. - 53 -


MATEMATICKÉ INTERMEZZO: Vlastnosti funkcí sin y a cos y jsou dostatečně známé a uvádím je zde jen pro připomenutí: a sin y = c 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)

c

b cos y = c

a

Funkce sin y i cos y jsou funkce periodické: Maximální/minimální hodnota funkce: Funkce sin y je funkce lichá: Funkce cos y je funkce sudá: Funkce sin y má v nule hodnotu 0: Funkce cos y má v nule hodnotu 1: Derivací funkce sin y je funkce cos y :

b

perioda = 2⋅π. max/min (sin y ; cos y) = +/−1. sin y = −sin (−y). cos y = cos (−y). sin 0 = 0. cos 0 = 1.

Derivací funkce cos y je záporná funkce sin y: Integrálem funkce sin y je záporná funkce cos y: Integrálem funkce cos y je funkce sin y:

siný = cos y. cosý = −sin y. ∫sin y = −cos y. ∫cos y = sin y.

Součet kvadrantů funkcí je roven 1:

cos2y + sin2y = 1.

−2π

sin y

cos y

+1

+1

−π

0

π

2π

−2π

y

a

y

−π

0

-1

π

2π

y

-1

Obr. i – Grafy funkcí sin y a cos y Funkce sinh y a cosh y se nazývají hyperbolické funkce a jsou definovány jako: sinh y =

e y − e− y 2

a

cosh y =

e y + e− y 2

Některé vlastnosti funkcí sinh y a cosh y jsou podobné vlastnostem goniometrických funkcí: 1) Funkce sinh y i cosh y nejsou funkce periodické. 2) Maximální/minimální hodnota funkce: max/min sinh y = +/− −∞ ; max cosh y =+∞ min cosh y = 1 3) Funkce sinh y je funkce lichá: sin y = −sin (−y). 4) Funkce cosh y je funkce sudá: cos y = cos (−y). 5) Funkce sinh y má v nule hodnotu 0: sinh 0 = 0. 6) Funkce cosh y má v nule hodnotu 1: cosh 0 = 1. 7) Derivací funkce sinh y je funkce cosh y: sinhý = cosh y. 8) Derivací funkce cosh y je funkce sinh y: coshý = sinh y. 9) Integrálem funkce sinh y je funkce cosh y: ∫sinh y = cosh y. 10) Integrálem funkce cosh y je funkce sinh y: ∫cosh y = sinh y. 11) Rozdíl kvadrantů funkcí je roven 1: cosh2y − sinh2y = 1. cosh y

sinh y

+1

+1 0

0

y

−1

−1

Obr. ii – Grafy funkcí sinh y a cosh y - 54 -

y


4. SMYKOVÉ NAPĚTÍ V TENKOSTĚNNÝCH PROFILECH – STŘEDISKO SMYKU Základem všech výpočtů v této oblasti je existence Žuravského teorému, který byl odvozen v Pružnosti a pevnosti I pro obdélníkový průřez zatížený posouvající silou T(x): VLIV POSOUVAJÍCÍ SÍLY T(x) – Žuravského vzorec Vliv T(x) je většinou malý a např. ve výpočtech nosníků ho zanedbáváme, ale musíme být schopni ho popsat, abychom mohli rozhodnout, kdy ho skutečně můžeme zanedbat. Odvození vychází z rovnováhy odříznuté části obdélníkového průřezu (h ≥ 2⋅b):

Obr. 4.1 – Předpoklady a silové poměry při odvození Žuravského vzorce (teorému) N + τ (η ) ⋅ b ⋅ dx − ( N + dN ) = 0 . dN Z této rovnice vychází: τ (η ) = . b ⋅ dx Vyjádříme síly pomocí ohybového napětí: M + dM o M N = ∫∫σ o (η ) ⋅ dA = o ⋅ ∫∫η ⋅ dA a N + dN = ∫∫ (σ o (η ) + dσ o ) ⋅ dA = o ⋅ ∫∫η ⋅ dA . J J od od od z z A Aod A A

Statická rovnice do směru x:

Výsledný diferenciál síly pak bude: dN = ( N + dN ) − N =

dM o ⋅ η ⋅ dA . J z A∫∫od

∫∫η ⋅ dA dM Aod Dosazením do vztahu pro napětí dostáváme: τ (η ) = ⋅ dx J z ⋅b dM = T (x) dx a člen ∫∫η ⋅ dA = S od (η ) představuje statický moment odříznuté plochy souřadnicí η.

První člen (derivace momentu) je podle Schwedlerovy věty roven posouvající síle:

A od

Výsledný Žuravského vzorec (teorém) má tedy tvar: T ( x) ⋅ S od (η ) τ ( x;η ) = J z ( x) ⋅ b(η ) - 55 -


STŘEDISKO SMYKU Středisko smyku je takový bod, kdy síla v něm působící vyvolá kromě smykového napětí od posouvající síly také opačné smykové napětí vyvolané přídavným krouticím momentem. Jeho velikost je právě taková jako velikost krouticího momentu od posouvající síly a v důsledku toho se profil v průběhu zatěžování nenakrucuje. Polohu střediska smyku CS danou souřadnicí xC od zvoleného počátku určíme zvlášť pro otevřené profily a zvlášť pro uzavřené profily. A) OTEVŘENÉ PROFILY Nejprve si předvedeme výpočet střediska smyku pro jednoduchý profil vzniklý vodorovným rozříznutím tenkostěnné trubky na jedné straně. Příklad 4.1: Předpokládejme tenkostěnnou trubku (D/d) rozříznutou v pravé polovině tenkým řezem (např. v důsledku poškození podélného svaru) a zatíženou posouvající silou T.

Obr. 4.2 – Řešený profil vzniklý vodorovným rozříznutím pravé poloviny tenkostěnné trubky

V důsledku existence Žuravského vztahu vzniká v tomto profilu nelineárně rozložené smykové napětí. Pokud bude posouvající síla působit ve svislé ose (y), vznikne v profilu v důsledku rozložení smykových napětí krouticí moment, který profil nakrucuje. Středisko smyku je bod, ve kterém posouvající síla vyvolá opačný krouticí moment a profil se nenakroutí.

Obr. 4.3 – Řešení profilu pomocí Žuravského vzorce - 56 -


Obecné místo daného profilu popíšeme pomocí obecné souřadnice ϕ a Žuravského vzorec bude: T ⋅ S od (ϕ ) . J z ⋅ b(ϕ )

τ (ϕ ) =

Vyjádříme postupně jednotlivé členy tohoto vzorce, které na závěr dosadíme. Kvadratický moment průřezu Jz určíme za předpokladu „tenkostěnnou“ trubku: D ≈ d ≈ Ds J z = J zD − J zd = =

π 64

π ⋅ D4 64

(

−

π ⋅d4 64

=

π 64

(

)

⋅ D4 − d 4 =

π 64

(

)(

)

⋅ D2 + d 2 ⋅ D2 − d 2 =

)

⋅ D 2 + d 2 ⋅ (D + d ) ⋅ (D − d )

Nyní použijeme zjednodušující předpoklady D + d ≈ 2⋅Ds a D – d = 2⋅t a dostáváme: Jz =

π

⋅ 2 ⋅ Ds2 ⋅ 2 ⋅ Ds ⋅ 2 ⋅ t =

64 Tloušťka stěny trubky je konstantní, a tak platí: b(ϕ ) = t

π ⋅ DS3 ⋅ t 8

Statický moment odříznuté plochy určíme přes diferenciál odříznuté plochy:

dS od = dA ⋅ y = t ⋅ a jeho integrací v mezích od 0 do ϕ: ϕ

S (ϕ ) = ∫ dS od

0

=

Ds D ⋅ dψ ⋅ S ⋅ sinψ 2 2

ϕ

od

ϕ

(

t ⋅ DS2 t ⋅ DS2 t ⋅ DS2 =∫ ⋅ sinψ ⋅ dψ = ⋅ sinψ ⋅ dψ = ⋅ − cosψ 4 4 ∫0 4 0

t ⋅ DS2 ⋅ cosψ 4

0

ϕ

=

ϕ 0

)=

t ⋅ DS2 ⋅ (1 − cos ϕ ) 4

Nyní vše dosadíme do Žuravského vzorce:

t ⋅ DS2 T⋅ ⋅ (1 − cos ϕ ) T ⋅ S od (ϕ ) 2 ⋅T 4 = = ⋅ (1 − cos ϕ ) τ (ϕ ) = 3 π ⋅ DS ⋅ t π ⋅ DS ⋅ t J z ⋅ b(ϕ ) ⋅t 8

Obr. 4.4 – Vznik elementární smykové síly v profilu v důsledku Žuravského vzorce - 57 -


V místě popsaném souřadnicí ϕ vznikne smykové napětí τ(ϕ), které při působení na element plochy dA vyvolá elementární sílu dT. Tato síla působí na rameni DS/2 vzhledem ke středu S a vzniká tak elementární krouticí moment: DS . 2 Celkový krouticí moment vznikající v důsledku smykového napětí od posouvající síly pak dostaneme integrací přes celý profil: ϕ ∈〈0 ; 2⋅π〉 pro δ→0. dM K = dT ⋅

M K = ∫ dM K =

2 ⋅π

∫ 0

2 ⋅π

D 2 ⋅T D D T ⋅ DS dT ⋅ S = ∫ ⋅ (1 − cos ϕ ) ⋅ t ⋅ S ⋅ dϕ ⋅ S = ⋅ 2 2 2 2 ⋅π π ⋅ DS ⋅ t 0

2 ⋅π

∫ (1 − cosϕ ) ⋅ dϕ = 0

2 ⋅π

T ⋅ DS T ⋅ DS ⋅ ∫ (1 − cos ϕ ) ⋅ dϕ = ⋅ (2 ⋅ π ) = T ⋅ D 2 ⋅π 0 2 ⋅π Má-li v profilu nastat momentová rovnováha, musí platit: =

MK = T⋅xC ⇒

T⋅DS = T⋅xC

Hledaná poloha střediska smyku (středu bezkrutového ohybu) je v případě rozříznuté tenké trubky: xC = DS.

Obr. 4.5 – Poloha střediska smyku řešeného profilu

Při zatížení posouvající silou působící ve svislé ose (y) vznikne maximální smykové napětí ve stěně protilehlé k rozříznutí:

ϕextr. = π ⇒ τ max = τ (π ) =

2 ⋅T 2 ⋅T 4 ⋅T ⋅ (1 − cos π ) = ⋅ (1 − (−1) ) = . π ⋅ DS ⋅ t π ⋅ DS ⋅ t π ⋅ DS ⋅ t

Obr. 4.6 – Rozložení smykových napětí při působení síly T ve svislé ose - 58 -


Pokud ale umístíme posouvající sílu T do střediska smyku CS, dojde k přerozdělení smykových napětí v profilu tak, aby bylo dosaženo momentové rovnováhy. Smykové napětí od krouticího momentu MK = T⋅xC = T⋅DS bude podle teorie volného krutu tenkého dlouhého obdélníka (2⋅π⋅DS×t) na vnějším povrchu: − MK T ⋅ DS T = − = − . 2 K WK 2 ⋅ π ⋅ DS ⋅ t π ⋅t2 Toto napětí působí proti původnímu napětí od posouvající síly, proto je znaménko „−“ (minus).

τM =

0 resp. 2 ⋅ π

τ extr . = π

T T   τ min = τ (0) = τ (2 ⋅ π ) = 0 − π ⋅ t 2 = − π ⋅ t 2   .  ⇒   τ max = τ (π ) = 4 ⋅ T − T = T ⋅  4 ⋅ t − 1   π ⋅ DS ⋅ t π ⋅ t 2 π ⋅ t 2  DS 

Protože však při krutu izotropních materiálů není rozdíl mezi „kroucením doprava“ a „kroucením doleva“ zajímá nás maximální napětí jako absolutní hodnota. Pokud se jedná o „tenkostěnnou“ trubku, znamená to, že t/DS ≤ 0,2 a je tedy napětí od krutu dominantní.

a) uzavřená trubka zatížená v ose

b) rozříznutá trubka zatížená v ose zatížená ve středisku smyku

Obr. 4.7 – Chování trubky a rozříznuté trubky délky l při působení svislé síly T

Zobecnění postupu výpočtu Cs: Nejprve zvolíme počáteční (vztažný) bod 0, ke kterému budeme vztahovat kolmou vzdálenost průvodiče obecného místa ρ(s) popsaného souřadnicí s a následně od tohoto místa budeme odečítat vzdálenost xC. T ⋅ S od ( s ) T M K = ∫ dM K = ∫ τ ( s ) ⋅ dA ⋅ ρ ( s ) = ∫ ⋅ dA ⋅ ρ ( s ) = 1 424 3 J z ⋅ t (s) Jz (s) (s) ( s )1 dT 424 3 Žuravskij

=

T Jz

∫S

od

( s ) ⋅ ρ ( s ) ⋅ ds = T ⋅ xC

(s)

Obecný vztah pro otevřený profil je: xC =

1 Jz

∫S

od

( s ) ⋅ ρ ( s ) ⋅ ds .

(s)

- 59 -

S od ( s ) ) ⋅ ds ⋅ ρ ( s ) = ∫ t (s) ⋅ t1( s2 3 (s) dA


Aplikace na předchozí příklad 4.1: bod 0 ≡ S a obecné místo popsané souřadnicí (úhlem) ϕ. Jz =

π ⋅ DS3 ⋅ t 8

2 ⋅π

;

D ds = S ⋅ dϕ 2 0

;

S od (ϕ ) =

t ⋅ DS2 ⋅ (1 − cos ϕ ) 4

;

ρ (ϕ ) =

DS . 2

Nyní vše dosadíme do obecného vzorce: 1 xC = ⋅ π ⋅ DS3 ⋅ t 8

2 ⋅π

∫ 0

2⋅π

t ⋅ DS2 D D D D ⋅ (1 − cos ϕ ) ⋅ s ⋅ s ⋅ dϕ = S ⋅ ∫ (1 − cos ϕ ) ⋅ dϕ = S ⋅ 2 ⋅ π = DS . 4 2 2 2 ⋅π 0 2 ⋅π

Příklad 4.2: Tenkostěnný profil tvoří polovina tenkostěnné trubky o poloměrech D/d (D ≈ d ≈ Ds a 2⋅t = D − d).

Obr. 4.8 – Tenkostěnný otevřený profil tvořený polovinou trubky Kvadratický moment tohoto průřezu k ose z určíme pomocí výsledku v příkladu 4.1: 1 π ⋅ DS3 ⋅ t π ⋅ DS3 ⋅ t Jz = ⋅ = 2 8 16

Obr. 4.9 – Výpočtový model tenkostěnného otevřeného profilu Bod 0 ≡ S a obecné místo popsané souřadnicí (úhlem) ψ. Jz =

π ⋅ DS3 ⋅ t 16

;

D ds = S ⋅ dψ 2

π

; 0

t ⋅ DS2 S (ψ ) = ⋅ sin ψ 4 od

;

ρ (ψ ) =

DS . 2

Nyní vše dosadíme do obecného vzorce: π t ⋅ DS2 D s Ds DS π 1 2 ψ ψ xC = ⋅ ⋅ sin ⋅ ⋅ ⋅ d = ⋅ ∫ sinψ ⋅ dψ = ⋅ DS ≈ 0,637 ⋅ Ds . 3 ∫ π ⋅ DS ⋅ t 0 4 2 2 π 0 π 16 - 60 -


Příklad 4.3: Tenkostěnný profil vznikl ohnutím tabule plechu o šířce 2⋅h a tloušťce t.

Obr. 4.10 – Řešený profil vzniklý ohnutím tabule plechu Osový kvadratický moment průřezu bude (tenkostěnný profil, kde t << h): Jz =

2 1 h 1 h h  1 1 1 ⋅ t ⋅ h3 + 2 ⋅  ⋅ ⋅ t 3 + ⋅ t ⋅    = ⋅ t ⋅ h 3 + ⋅ t 3 ⋅ h ≈ ⋅ t ⋅ h 3 12 2  2   3 12 12 2 1 424 3 3 zanedbáme

Nejprve zvolíme počáteční (vztažný) bod 0 na průsečíku osy z s profilem a profil rozdělíme na dvě pole (zbytek vyjde z vodorovné symetrie).

Obr. 4.11 – Řešení vzhledem k bodu 0 na průsečíku osy z s profilem Pole

− :

ds = dζ

Pole

h2 0

h 2

;

S od (ζ ) = t ⋅ ζ ⋅

;

h h h − η t ⋅ h 2 t ⋅ h ⋅η η 2 S (η ) = t ⋅ ⋅ + t ⋅η ⋅ = + − 2 2 2 4 2 2

h 2

;

ρ (ζ ) =

;

ρ (η ) = 0

− :

ds = dη 0

h2

od

Tyto funkce dosadíme do základního vzorce: h2 h 2  6 h2 h 2  t ⋅ h2 t ⋅ h ⋅η η 2  3 h2 3 1 h h   2 0 xC = ⋅ ⋅ t ⋅ ζ ⋅ ⋅ ⋅ d ζ + + − ⋅ ⋅ d η = ⋅ ⋅ ζ ⋅ d ζ = ⋅ = ⋅h.   3 ∫ 22 ∫0  4 ∫ t ⋅ h3 2 2  2 ⋅ h 8 16  0  h 4 0 3 Nyní zvolíme počáteční (vztažný) bod 0 na ose z v místě pravého kraje profilu a profil rozdělíme na dvě pole (zbytek vyjde z vodorovné symetrie). - 61 -


Obr. 4.12 – Řešení vzhledem k bodu 0 na ose z v místě kraje profilu Pole

− :

ds = dζ

Pole

h2 0

S od (ζ ) = t ⋅ ζ ⋅

;

h h h − η t ⋅ h 2 t ⋅ h ⋅η t ⋅η 2 S (η ) = t ⋅ ⋅ + t ⋅η ⋅ = + − 2 2 2 4 2 2

− :

ds = dη 0

h2

h 2

;

od

; ρ (ζ ) =

h 2

; ρ (η ) =

h 2

Tyto funkce dosadíme do základního vzorce: h2 h 2   t ⋅ h 2 t ⋅ h ⋅η t ⋅η 2  h 1 h h   ⋅ ⋅ dη  = ⋅ 2 ⋅ t ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ d + + − ζ ζ ∫ 3 ∫ t ⋅h 2 2 4 2 2  2  0  0 3 h2 h2 h2 h2  6  h2 h3 h2 h = 3 ⋅  ⋅ ∫ ζ ⋅ dζ + ⋅ ∫ dη + ⋅ ∫ η ⋅ dη − ⋅ ∫ η 2 ⋅ dη  =  h  4 0 8 0 4 0 4 0  1  6 66 11 3 h  1 1 1 = 6 ⋅ h ⋅  + + −  = ⋅ (3 + 6 + 3 − 1) ⋅ h = ⋅ h = ⋅ h = ⋅ h + 96 16 16 2  32 16 32 96  96

xC =

Je patrné, že velikost xC se zvětšila právě o posunutí vztažného bodu. Je také vidět, že při této volbě se výpočet výrazně prodloužil (místo jednoho integrálu bylo třeba vyřešit čtyři).

- 62 -


B) UZAVŘENÉ PROFILY Uzavřený profil je úloha staticky neurčitá. Musíme profil nejprve uvolnit (rozříznout) a vytvořit z něj staticky určitý otevřený profil, připojit staticky neurčité „uzavírací“ smykové napětí a doplnit deformační podmínku. Ta je dána podmínkou hledání střediska smyku (středu bezkrutového ohybu) CS, kde musí být splněna podmínka, že se prut nenatočí (ϕ = 0). Odtud plyne, že také zkrut tohoto profilu bude nulový (ϑ = 0). Proti smykovému napětí od posouvající síly τot.pr.(s) vznikajícímu v otevřeném profilu musí působit „uzavírací“ smykové napětí τuzav.(s), které stanovíme z deformační podmínky ϑ = 0. V každém místě profilu pak bude platit:

τ ( s) = τ ot . pr . ( s ) + τ uzav. ( s) , Zavedením nového pojmu smykový tok: q ( s ) = τ ( s ) ⋅ t ( s ) se řešení ještě zjednoduší. To je výhodné zejména při určování staticky neurčité veličiny τuzav.(s), protože smykový tok v uzavřeném profilu musí být konstantní: quzav. = τuzav.(s)⋅t(s) = konst *). G ⋅ϑ =

q(s) 1 ⋅∫ ⋅ ds 2 ⋅ As ( s ) t ( s )

ϑ=

⇒

1 q(s ) ⋅∫ ⋅ ds = 0 2 ⋅ As ⋅ G ( s ) t ( s )

Protože předpokládáme As⋅G ≠ ∞, musí platit: q( s)

∫ t ( s) ⋅ ds = 0 .

(s)

A po dosazení:  q ot . pr . ( s ) q uzav.  ∫( s ) t (s) + t ( s)  ⋅ ds = 0

⇒ (pro quzav. = konst.)

q ot . pr . ( s ) ds uzav. ∫( s ) t (s) ⋅ ds + q ⋅ (∫s ) t (s) = 0 .

Odtud určíme potřebný uzavírací smykový tok:

q uzav.

q ot . pr . ( s) S od ( s) ⋅ ds ⋅ ds ∫( s ) t (s) ∫ T ( s ) t ( s) =− =− ⋅ . ds ds Jz ∫ t ( s) ∫ t (s) (s) (s)

Hledané uzavírací smykové napětí τuzav.(s) bude:

τ uzav. ( s) =

q uzav. . t (s)

Celkový krouticí moment působící na profil bude: M Kot . pr . + M Kuzav. = 0 , kde:

M Kot. pr . =

T ⋅ ∫ S od ( s) ⋅ ρ ( s) ⋅ ds J z (s)

a

M Kuzav. = 2 ⋅ As ⋅ q uzav.

*)

  S od ( s) ⋅ ds   ∫ T ( s ) t (s) . = 2 ⋅ As ⋅ − ⋅  Jz  ds  ∫( s ) t (s)   

Tak zvaná hydrodynamická analogie: čím je při stejné hloubce kanál širší (b), tím má proud menší rychlost (v), protože průtočné množství (Q) za čas se nemění = čím je stěna profilu tlustší (t), tím je v ní menší smykové napětí (τ), protože celkový smykový tok (q) v profilu se nemění. - 63 -


Současně musí platit, že:   S od ( s ) ⋅ ds   ∫ T T ( s ) t (s)  . T ⋅ xC = M K = ⋅ ∫ S od ( s ) ⋅ ρ ( s ) ⋅ ds + 2 ⋅ As ⋅ − ⋅  Jz  ds J z (s)  ∫( s ) t ( s)   

Odkud vychází:

  S od ( s ) ⋅ ds   ∫ t 1  od (s)  xC = ⋅ ∫ S ( s ) ⋅ ρ ( s ) ⋅ ds − 2 As ⋅   ds J z (s)  ∫( s ) t   

Příklad 4.4: Předvedeme si výpočet střediska smyku pro jednoduchý tenkostěnný skříňový profil o rozměrech h; l; t (l = 4⋅h). Číselně určíme namáhání pro h = 250 mm, t = 1 mm a T = 1⋅104 N.

Obr. 4.13 – Tenkostěnný uzavřený skříňový profil

Kvadratický moment tohoto průřezu k ose z bude: 2 2 1 1 1 1 h  h  J z = 2 ⋅  ⋅ t ⋅ h3 + ⋅ t 3 ⋅ l + t ⋅ l ⋅    = 2 ⋅  ⋅ t ⋅ h 3 + ⋅ t 3 ⋅ 4 ⋅ h + t ⋅ 4 ⋅ h ⋅    = 12 12  2    2   12 12 2 8 8 26 ⋅ t ⋅ h 3 + 8t 3 ⋅ h 26 = ⋅ t ⋅ h3 + ⋅ t 3 ⋅ h + ⋅ t ⋅ h3 = ≈ ⋅ t ⋅ h 3 ≈ 2,17 ⋅ t ⋅ h 3 (pro t << h) 12 12 4 12 12

Nejprve profil rozřízneme a rozdělíme na pole. Při výpočtu využijeme vodorovné symetrie. Vztažný bod 0 zvolíme v průsečíku os symetrie.

Obr. 4.14 – Tenkostěnný otevřený skříňový profil (po rozříznutí) - 64 -


Samotný profil rozdělíme na 3 části: Pole

−

,

−

η1

t ⋅η 2

−

a

− :

ds = dη1 0

h2

S od (η1 ) = t ⋅η1 ⋅

a

S1od = 0

τ ot1 . pr . = 0 a

⇒

h 2

2

=

2 1

S1od =

⇒ τ ot1−.2pr . (η1 ) =

t ⋅h

⇒ τ ot2 . pr . =

8

h2

0

0

0

8

26 ⋅ t ⋅ h3 ⋅ t 12

η12

h2

∫

t ⋅ h2

2

=

3 T ⋅ 52 t ⋅ h

⋅ t ⋅ dη1 ⋅ 2 ⋅ h

− :

ds = dζ

4⋅h 0

h h h t ⋅ h2 t ⋅ h ⋅ ζ a S od (ζ ) = t ⋅ ⋅ + t ⋅ ζ ⋅ = + 2 4 2 8 2 S 3od =

17 ⋅ t ⋅ h 8

2

⇒

4⋅h

4⋅h

0

0

τ ot3 . pr .

 t ⋅ h2 t ⋅ h ⋅ ζ T ⋅ +  8 2 ot . pr .  ⇒ τ 2−3 (ζ ) = Jz ⋅t

17 ⋅t ⋅ h2 51 T 8 = = ⋅ 26 ⋅ t ⋅ h 3 ⋅ t 52 t ⋅ h 12 T⋅

M Kot .2pr−3. = ∫ dM Kot .2pr−3. = ∫ τ ot2−. pr3 . ⋅ t ⋅ dζ ⋅ ρ 2−3 =

Pole

T Jz

t ⋅η12 2 Jz ⋅t

T⋅

T⋅

2

. ot . pr . M Kot1. pr−2. = ∫ dM Kot 1. pr − 2 = ∫ τ 1− 2 ⋅ t ⋅ dη1 ⋅ ρ1− 2 =

Pole

podle obrázku.

4⋅h  h2 h ⋅ ζ  T h  ⋅ t ⋅ dζ ⋅ ⋅ ∫  + Jz 0  8 2  2

− :

t ⋅ h2 t ⋅ h ⋅ 4 ⋅ h h − η2 17 1 1 + + t ⋅η2 ⋅ = ⋅ t ⋅ h2 + ⋅ t ⋅ h ⋅η2 − ⋅ t ⋅η22 8 2 2 8 2 2 2 2  17 ⋅ t ⋅ h t ⋅ h ⋅η 2 t ⋅ η 2   T ⋅  + − 8 2 2   ot . pr . ⇒ τ 3−4 (η 2 ) = Jz ⋅t

ds = dη 2 0

h2

a

S od (η2 ) =

9 S4od = ⋅ t ⋅ h 2 ⇒ τ ot4 . pr . 4

M Kot .3pr−4. =

h2

h2

0

0

ot . pr . ot . pr . ∫ dM K 3−4 = ∫ τ 3−4 ⋅ t ⋅ dη 2 ⋅ ρ3−4 =

9 ⋅ t ⋅ h2 T⋅ 27 T 4 = = ⋅ 26 26 t ⋅h 2 ⋅t ⋅ h ⋅t 12

 17 ⋅ h 2 h ⋅η 2 η 22  T ⋅ ∫  + −  ⋅ t ⋅ dη 2 ⋅ 2 ⋅ h Jz 0  8 2 2  h2

Celkový krouticí moment způsobený smykovým napětím od posouvající síly bude:

(

M Kot . pr . = 2 ⋅ M ot1−.2pr . + M ot2−. 3pr . + M ot3−. 4pr . - 65 -

)

   


A pro náš případ, kdy t(s) = t = konst. se výrazy ještě zjednoduší:

τ uzav. = −

∫S

od

 S od ( s ) ⋅ ds  ∫  1  od (s) ⋅  ∫ S ( s ) ⋅ ρ ( s) ⋅ ds − 2 As ⋅ xC = . J z ( s ) ls   

( s) ⋅ ds

T ( s) ⋅ Jz t ⋅ls

a

Nyní dosadíme do tohoto vzorce hodnoty funkcí z našeho příkladu:

τ uzav.

3 4 2  2 ⋅  ∫ S od (η1 ) ⋅ dη1 + ∫ S od (ζ ) ⋅ dζ + ∫ S od (η 2 ) ⋅ dη 2  T 2 3  = − 27 ⋅ T =− ⋅ 1 26 3 h 52 t ⋅ h h ⋅h 2⋅ + 4⋅ h + ⋅t 12 2 2

,

resp.

 2 3 4  h   od od xC = ⋅  2 ⋅ ∫ S (η1 ) ⋅ 2 ⋅ h ⋅ dη1 + ∫ S (ζ ) ⋅ ⋅ dζ + ∫ S od (η 2 ) ⋅ 2 ⋅ h ⋅ dη 2  + 26 2 2 3  ⋅ t ⋅ h3   1  12 1

3 4 2  2 ⋅  ∫ S od (η1 ) ⋅ dη1 + ∫ S od (ζ ) ⋅ dζ + ∫ S od (η 2 ) ⋅ dη 2  2 3  − 2 ⋅ h ⋅ 4 ⋅ h ⋅ 1 h h 2⋅ + 4⋅h +  2 2 12 = ⋅ (9 ⋅ t ⋅ h 4 − 9 ⋅ t ⋅ h 4 ) = 0 3 26 ⋅ t ⋅ h

  =  

Z výsledku je patrné, že středisko smyku (střed bezkrutového ohybu) CS je totožné s počátkem souřadnicového systému 0, resp. vztažným bodem, který jsme zvolili v průsečíku os symetrie.

Tento výsledek lze zobecnit: V případě profilu symetrického podle svislé osy leží středisko smyku (střed bezkrutového ohybu) CS právě na této ose symetrie. Pokud uvolníme (rozřízneme) jednokomorový, uzavřený, symetrický profil právě v ose symetrie, tak se výpočet zjednoduší, protože v tomto případě není třeba určovat uzavírací napětí τuzav., protože samotné smykové napětí od posouvající síly τot.pr.(s) v otevřeném profilu splňuje podmínku nulového zkrutu (ϑ = 0). Díky symetrii průběhu je výsledný moment „točící vpravo“ stejný jako krouticí moment „točící vlevo“. Nyní ještě určíme namáhání v jednotlivých bodech profilu podle vztahu: τ 1, 2,3, 4 = τ 1ot, 2.,pr3, .4 + τ uzav. . 27 T  27 T  + − ⋅ =− ⋅ 52 t ⋅ h  52 t ⋅ h 

Místo

:

τ 1 = τ 1ot . pr. + τ uzav. =

Místo

:

τ 2 = τ 2ot . pr . + τ uzav. =

3 T  27 T  24 T ⋅ + − ⋅ =− ⋅ 52 t ⋅ h  52 t ⋅ h  52 t ⋅ h

τ 3 = τ 3ot. pr . + τ uzav. =

51 T  27 T  24 T ⋅ + − ⋅ =+ ⋅ 52 t ⋅ h  52 t ⋅ h  52 t ⋅ h

τ 4 = τ 4ot . pr . + τ uzav. =

54 T  27 T  27 T ⋅ + − ⋅ =+ ⋅ 52 t ⋅ h  52 t ⋅ h  52 t ⋅ h

Místo Místo

:

0

- 66 -


Nejnamáhanějšími místy profilu budou středy jeho svislých částí, kde vznikne největší smykové napětí od posouvající síly:

τ1 = −

27 T 27 1⋅104 ⋅ =− ⋅ ≈ −20,8 N ⋅ mm−2 52 t ⋅ h 52 1⋅ 250

a

τ4 = +

27 T 27 1⋅104 ⋅ =+ ⋅ ≈ +20,8 N ⋅ mm−2 . 52 t ⋅ h 52 1⋅ 250

Je vidět, že velikosti obou napětí v místech a jsou stejné a liší se jen znaménkem. To je také správně, protože τ1 jde proti zvolenému směru obcházení profilu při integraci a τ4 odpovídá zvolenému směru. Obě napětí tedy směřují dolů – ve směru zatěžující posouvající síly T. Stejně tak napětí v místech a jsou stejná pouze opačného směru a směřují tedy ve směru smykového toku od síly do stran, resp. dolů.

a) τ ot . pr . ( s )

b) τ uzav.

Obr. 4.15 – Sklopené průběhy smykových napětí ve stěně tenkostěnného skříňového profilu

Obr. 4.16 – Sklopený výsledný průběh smykových napětí ve stěně tenkostěnného skříňového profilu

Obr. 4.17 – Nejnamáhanější místa tenkostěnného skříňového profilu - 67 -


Příklad 4.5: Předpokládejme tenkostěnný uzavřený profil se dvěma příčkami podle obrázku, kde opět bude: h = 250 mm, l = 1000 mm a t = 1 mm a zatížení silou T = 1⋅104 N působící ve svislé ose (y). V tomto symetrickém případě lze opět dokázat, že musí platit: 0 ≡ CS (posouvající síla T působí ve středisku smyku). Naším úkolem je zjistit rozložení napětí od posouvající síly a stanovit jeho maximální/minimální hodnoty.

Obr. 4.18 – Tenkostěnný uzavřený skříňový profil se dvěma příčkami

Kvadratický moment tohoto průřezu k ose z bude: 2 2 1 2 1 1 1 h  h  J z = 2 ⋅  ⋅ t ⋅ h3 + ⋅ t 3 ⋅ l + t ⋅ l ⋅    + 2 ⋅ ⋅ t ⋅ h3 = 2 ⋅  ⋅ t ⋅ h3 + ⋅ t 3 ⋅ 4 ⋅ h + t ⋅ 4 ⋅ h ⋅    = 12 12 12  2   2   12 12 14 4444424444443 14243 skřkř

=

2 přříčk

4 8 8 28⋅ t ⋅ h 3 + 8t 3 ⋅ h 28 ⋅ t ⋅ h3 + ⋅ t 3 ⋅ h + ⋅ t ⋅ h3 = ≈ ⋅ t ⋅ h 3 ≈ 2,33⋅ t ⋅ h 3 12 12 4 12 12

(pro t << h).

Řešení by znamenalo úlohu 3×staticky neurčitou, ale pokud zachováme symetrii i při uvolňování (rozřezávání) profilu, tak se celé řešení výrazně zjednoduší.

Obr. 4.19 – Uvolnění (rozříznutí) uzavřeného tříkomorového skříňového profilu (zachování symetrie)

Úloha se třemi komorami je obecně 3×staticky neurčitá. Proto musíme profil 3×uvolnit (rozříznout) a doplnit tři deformační podmínky: ϑI = ϑII = ϑIII. - 68 -


Pokud využijeme symetrii tohoto profilu, sníží se statická neurčitost. Z úlohy 3×staticky neurčité se stane úloha 1×staticky neurčitá. Střední komora III splňuje sama o sobě podmínku nulového zkrutu (ϑIII) a není zde potřeba počítat uzavírací smykové napětí (τIIIuzav. = 0). Uzavírací smyková napětí v bočních komorách I a II musí také splňovat podmínku symetrie τIuzav. = τIIuzav. Stačí tedy řešit jedinou deformační podmínku: ϑI = ϑII = 0.

Obr. 4.20 – Uzavírací napětí v tenkostěnném tříkomorovém symetrickém profilu Další výpočet by byl obdobný předchozím příkladu a jeho výsledkem by byly velikosti napětí vyvolaných v uvolněném otevřeném profilu od posouvající síly (Žuravskij) τot.pr. a uzavírací smyková napětí τuzav. v komorách I a II. Celkové výsledné smykové napětí τ je pak dáno součtem těchto dvou napětí.

Obr. 4.21 – Sklopené průběhy smykových napětí v tenkostěnném skříňovém profilu

Obr. 4.22 – Nejnamáhanější místa tenkostěnného skříňového profilu se dvěma příčkami

- 69 -


Příklad 4.6: Předpokládejme tenkostěnný uzavřený profil s jednou příčkou podle obrázku, kde opět bude: h = 250 mm, l = 1000 mm a t = 1 mm a zatížení silou T = 1⋅104 N působící ve směru svislé ose (y). V tomto případě se jedná o nesymetrický případ a nelze ztotožnit polohu střediska smyku CS s některým charakteristickým bodem tohoto profilu. Bude třeba polohu CS nejprve určit. Dále bude naším úkolem zjistit rozložení napětí od posouvající síly a stanovit jeho maximální/minimální hodnoty.

Obr. 4.23 – Tenkostěnný uzavřený skříňový profil s jednou příčkou

Kvadratický moment tohoto průřezu k ose z bude: 2 1 1 28 ⋅ t ⋅ h3 + 8t 3 ⋅ h t ⋅ h3 h  1 J z = 2 ⋅  ⋅ t ⋅ h3 + ⋅ t 3 ⋅ l + t ⋅ l ⋅    + ⋅ t ⋅ h3 = + = 12 12 2 12 12 12   424 3  4444424444443 1 14 pricka skrin

=

29 ⋅ t ⋅ h + 8t ⋅ h 27 ≈ ⋅ t ⋅ h3 = 2,25 ⋅ t ⋅ h3 12 12 3

3

(pro t << h).

Řešit v tomto případě musíme úlohu 2×staticky neurčitou, protože není žádná symetrie vzhledem ke svislé ose (směr síly F). Počátek souřadnicového systému 0 zvolíme v místě průsečíku vodorovné osy s příčkou. Odtud také budeme následně určovat vzdálenost xC polohy střediska smyku CS.

Obr. 4.24 – Uvolnění (rozříznutí) uzavřeného dvoukomorového skříňového profilu - 70 -


Úlohu 2×staticky neurčitou jsme dvěma rozříznutími uvolnili a dostali tak úlohu staticky určitou (otevřený profil), na který můžeme aplikovat Žuravského teorém a současně musíme doplnit dvě deformační podmínky, které zaručí, že se profil nebude natáčet (bezkrutový střed):

ϑI = 0

ϑII = 0.

a

Pomocí těchto deformačních podmínek získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Jejím řešením jsou dvě uzavírací smyková napětí τIuzav. a τIIuzav.

Obr. 4.25 – Uzavírací napětí v tenkostěnném dvoukomorovém nesymetrickém profilu

Samotný profil rozdělíme na 5 částí:

−

−

,

,

−

,

−

a

−

podle obrázku.

Vztažný bod 0 zvolíme v průsečíku souřadnicových os.

Obr. 4.26 – Tenkostěnný otevřený skříňový profil (po dvojnásobném rozříznutí)

ds = dη1 0

S od (η1 ) = t ⋅η1 ⋅

η1

t ⋅η12 , 2

Pole

− :

Pole

− : ds = dζ 1 0

;

h h h t ⋅ h2 t ⋅ h ⋅ ζ S od (ζ ) = t ⋅ ⋅ + t ⋅ ζ ⋅ = + , 2 4 2 8 2

Pole

− : ds = dη 2

;

S od (η 2 ) = t ⋅η 2 ⋅

;

t ⋅ζ 2 ⋅ h t ⋅ h2 t ⋅ h ⋅ h t ⋅ ζ 2 ⋅ h 3 S (ζ 2 ) = 2 ⋅ + + = ⋅ t ⋅ h2 + , 8 2 2 4 2

;

h −η3 18⋅ t ⋅ h2 t ⋅ h ⋅η3 t ⋅η32 3 ⋅ t ⋅ h2 t ⋅ h ⋅ 3 ⋅ h S (η3 ) = + + t ⋅η3 ⋅ = + − . 4 2 2 8 2 2

h2

h

h2 0

Pole

− : ds = dζ 2

3⋅h

Pole

− : ds = dη 3

h2

0

0

a

η2 2

2

=

=

t ⋅η 22 , 2

od

od

- 71 -


Nyní rozepíšeme obě deformační podmínky. Komora I: G ⋅ ϑI =

1 ⋅ τ ( s I ) ⋅ ds I 2 ⋅ AsI ( s∫I )

ϑI =

⇒

1 ⋅ τ ( s I ) ⋅ ds I = 0 2 ⋅ AsI ⋅ G ( s∫I )

Protože předpokládáme AsI⋅G ≠ ∞, musí platit:

∫τ ( s ) ⋅ ds I

I

= 0 , resp. při použití smykových toků:

( sI )

∫ q( s ) ⋅ ds I

I

=0.

( sI )

Komora II: G ⋅ ϑII =

1 ⋅ τ ( s II ) ⋅ ds II 2 ⋅ AsII ( s∫II )

ϑII =

⇒

1 ⋅ τ ( s II ) ⋅ ds II = 0 2 ⋅ AsII ⋅ G ( s∫II )

Protože předpokládáme AsII⋅G ≠ ∞, musí platit:

∫τ (s

II

) ⋅ ds II = 0 , resp. při použití smykových tok:

( sII )

∫ q(s

II

) ⋅ ds II = 0 .

( sII )

Po dosazení za smykový tok v obecném místě q = qot.pr. + quzav. bude mít soustava rovnic tvar:

∫q

ot.pr. I

( s I ) ⋅ ds I + q Iuzav. ⋅ ∫ ds I − q IIuzav. ⋅ l 1− 2 = 0

( sI )

( sI )

ot.pr. uzav . ∫ qII ( sII ) ⋅ dsII + qII ⋅ ( sII )

uzav. ∫ dsII − qI ⋅ l 1−2 = 0

,

( sII )

Kde člen l1-2 představuje velikost příčky, která je společná oběma komorám (l1-2 = h). Po provedení všech integrací a dosazení získáme soustavu dvou rovnic ve tvaru: qIuzav. ⋅ 1 000 − qIIuzav. ⋅ 250 = − 3 333 qIIuzav. ⋅ 2 000 − qIuzav. ⋅ 250 = −50 508 jejím řešením jsou hledaná uzavírací napětí v komorách I a II: q Iuzav. = −9,95 N ⋅ mm −1

⇒

τ Iuzav. =

−1

⇒

τ

q

uzav . II

= −26,5 N ⋅ mm

uzav . II

q Iuzav. = −9,95 N ⋅ mm −2 t

q IIuzav. = = −26,5 N ⋅ mm −2 t

Po dosazení vypočtených integrálů do vztahu pro výpočet polohy střediska smyku kdy: − : ρ (η1 ) = − h − : ρ (ζ 1 ) =

h 2

− : ρ (η 2 ) = 0

h 2 − : ρ (η 3 ) = 3 ⋅ h − : ρ (ζ 2 ) =

  S od ( s ) ⋅ ds   ∫ t 1  od (s)  = ... = +204 mm ⇒ xC = ⋅ ∫ S ( s ) ⋅ ρ ( s ) ⋅ ds − 2 As ⋅   ds J z (s)  ∫( s ) t   

- 72 -


Celkové výsledné smykové napětí je pak dáno jako součet napětí podle Žuravského teorému a uzavíracích napětí: τ = τot.pr. + τuzav..

Obr. 4.27 – Sklopené průběhy smykových napětí v tenkostěnném skříňovém profilu

15,7

(≈41,6)

CS

(≈42,3)

8,56

CS

12,9

F

8,56

F

15,7

16,6

9,95

CS

20,8

20,8

F

12,9

Obr. 4.28 – Nejnamáhanější místa tenkostěnného nesymetrického skříňového profilu s příčkou

(≈42,9)

Obr. 4.29 – Srovnání výsledků všech tří profilů Při výpočtech nosníků jsme si dokázali, že u „dlouhého“ nosníku je namáhání ohybem dominantní a smykové napětí od posouvající síly lze zanedbat. V případě krutu tenkostěnných profilů, kdy krut je vyvolán silou působící mimo středisko smyku tomu tak není. Zanedbáním smykového napětí od posouvající síly se můžeme dopustit chyby, která může mít „fatální“ následky pro celou konstrukci. Tento fakt si ukážeme na následujícím příkladu. - 73 -


Příklad 4.7: Tenkostěnná trubka o rozměrech DS a t (DS >> t) je zatížená na svém kraji osamělou silou F.

Obr. 4.30 – Trubka zatížená silou a rozklad na smyk od posouvající síly a čistý krut

Maximální smykové napětí od posouvající síly stanovíme opět pomocí Žuravského teorému: t ⋅ DS F⋅ od T ⋅ S max 4 = 2⋅ F . = τ Tmax = 3 π ⋅ DS ⋅ t Jz ⋅t π ⋅ DS2 8 Napětí způsobené čistým krutem v uzavřeném profilu stanovíme pomocí Saint-Vénantovy teorie: D F⋅ S MK F 2 = = . τ MK = 2 π ⋅ DS 2 ⋅ AS ⋅ t π ⋅ DS ⋅ t 2⋅ ⋅t 4 Nyní obě namáhání opět sečteme a dostáváme tak maximální napětí při tomto způsobu zatížení a také místa profilu, která při tomto zatížení nejsou namáhána vůbec.

τ1 = τ T + τ M = 2 ⋅ max

τ2 = 0 +τ M = 0 + K

K

F F F + = 3⋅ = τ max π ⋅ DS ⋅ t π ⋅ DS ⋅ t π ⋅ DS ⋅ t

F F = π ⋅ DS ⋅ t π ⋅ DS ⋅ t

a

τ 3 = τT −τ M = 2 ⋅ max

K

F F F − = . π ⋅ DS ⋅ t π ⋅ DS ⋅ t π ⋅ DS ⋅ t

Nyní ještě určíme místo nulového smykového napětí z podmínky: τ 4 = 0

T ⋅ S (β ) od

τ 4 = τ T (β ) − τ M = K

Jz ⋅t

−

MK = 2 ⋅ AS ⋅ t

t ⋅ DS2 D ⋅ sin β F⋅ S 4 2 − = 0. 3 π ⋅ DS ⋅ t π ⋅ DS2 ⋅t 2⋅ ⋅t 8 4

F⋅

Z této rovnice vypočteme velikost hledaného úhlu β:

2⋅

F ⋅ sin β F = π ⋅ DS ⋅ t π ⋅ DS ⋅ t

odkud sin β =

1 2

a tedy β = 30° .

Obr. 4.31 – Sklopená výsledná smyková napětí při kombinaci krutu a smyku tenkostěnné trubky - 74 -


5. NEVOLNÉ (STÍSNĚNÉ, VÁZANÉ) KROUCENÍ PRUTŮ NEKRUHOVÉHO PRŮŘEZU Při krutu nekruhových profilů je třeba počítat i s deplanací (zprohýbáním) jednotlivých původně rovinných řezů. Toto zprohýbání je způsobeno rozdílnou vzdáleností jednotlivých částí průřezu od pomyslného pólu, kdy siločáry tvoří obecné uzavřené křivky, a jednak obecnou polohou tečny v daném místě k průvodiči tohoto místa od pólu (u kruhového resp. mezikruhového průřezu je tečna vždy kolmá na průvodič a siločáry tvoří soustředné kružnice se středem v pólu, který je zároveň středem profilu). V kapitole volné kroucení nekruhových profilů v Pružnosti a pevnosti II jsme předpokládali, že deplanaci není ničím zabraňováno a v průřezu vzniká pouze smykové napětí. Nyní budeme uvažovat stav, kdy je určitým způsobem zabráněno v určitých místech průřezu jeho volné deplanaci (jsou omezeny posuvy do směru podélné osy prutu). Takový způsob kroucení nekruhových průřezů se nazývá nevolné resp. stísněné nebo vázané kroucení. Princip vzniku deplanace je patrný z obrázku vzniku deplanace při volném kroucení.

Obr. 5.1 – Vznik deplanace při volném kroucení Zatímco při volném kroucení vzniká v průřezu pouze smykové napětí dle Saint-Vénantova principu, tak při nevolném kroucení vzniká v průřezu kromě smykového napětí dle SaintVénanta ještě druhotné normálové napětí, které má směr osy prutu, a druhotné smykové napětí. Protože při volném kroucení není ničím bráněno deplanaci, zachovají si podélné povrchové čáry prutu původní délku, a proto zůstane konstantní i zkrut ϑ po celé délce prutu:

ϑ = konst . Při nevolném (stísněném, vázaném) kroucení je volné deplanaci bráněno (většinou uchycením, které vyvolá dodatečné vnější zatížení), což vyvolá vznik tzv. druhotné napjatosti a má za následek nerovnoměrné rozložení zkrutu ϑ po délce prutu:

ϑ ≠ konst . V případě volného kroucení by byl celý vnější krouticí moment zachycen napjatostí podle Saint-Vénantova teorie: M K = G ⋅ J Kc ⋅ ϑ , V případě nevolného (stísněného, vázaného) kroucení, kdy je nějakým způsobem bráněno volné deplanaci průřezu, bude vnější krouticí moment zachycen dvěma druhy napjatosti: MK = Mϕ + Mω , - 75 -


kde: Mϕ představuje část krouticího momentu, kterou zachytí napjatost dle Saint-Vénantovy teorie:

M ϕ = G ⋅ J Kc ⋅ ϑ , Mω představuje část krouticího momentu, kterou zachytí druhotná napjatost vyvolaná právě zabráněním volné deplanaci.

Příklad 5.1: Rozdělení zatěžujícího krouticího momentu MK na složku Mϕ a Mω lze výhodně vysvětlit na příkladu vetknutého prutu tvořeného I-profilem. Prut délku l je tvořen tenkostěnným I-profilem, kde pro jednoduchost budeme předpokládat výšku profilu h, šířku b a tloušťku stěny t (je ve všech částech profilu stejná a t << b, h). Tento prut je na jednom konci pevně vetknutý do absolutně tuhého základu (počátek souřadnicové osy x: x = 0) a druhý konec (x = l) je volný zatížený osamělým krouticím momentem MK. Určete vztah mezi Mϕ, Mω a MK po celé délce prutu. Na obrázku krutu I-profilu je zobrazen řešený příklad včetně očekávaných deformací.

Obr. 5.2 – Krutu I-profilu Středisko smyku uvažovaného I-profilu je totožné s jeho těžištěm a budeme tedy předpokládat, že ke zkrucování bude docházet kolem spojnice těchto středisek – tedy podélné osy prutu. Vznik druhotného namáhání způsobí v tomto případě tuhé vetknutí počátku prutu, jehož vliv se projeví po celé jeho délce: MK = Mϕ + Mω , kde: M ϕ = G ⋅ J Kc ⋅ ϑ

(krut dle Saint-Vénanta)

a v našem případě bude:

J Kc =

1 3 ⋅ t ⋅ ( 2 ⋅ b + h) , 3

Mω si můžeme představit jako část krouticího momentu zachycenou druhotnou napjatostí vyvolanou ohybem pásnic tohoto prutu (vliv stojiny v tomto případě zanedbáme – je již obsažen v Mϕ). - 76 -


Podle těchto předpokladů si lze moment Mω zachycený druhotnou napjatostí představit jako dvojici posouvajících sil Tω, které působí na obě pásnice na rameně h (viz obrázek vzniku posouvajících sil).

Tω =

Mω . h

Obr. 5.3 – Vznik posouvajících sil na pásnicích Jednotlivé pásnice I-profilu si pak můžeme představit jako samostatné jednoduché vetknuté nosníky obdélníkového průřezu zatížené na svém konci osamělou silou Tω. Tato síla vyvolá v nosníku jednak ohybové napětí σx od ohybového momentu Mo = Tω⋅(l − x), které je lineárně rozložené podle Bernoulliho hypotézy a jednak smykové napětí τ od posouvající síly T = Tω , které je parabolicky rozložené podle Žuravského teorému. Průběhy obou těchto napětí jsou zobrazeny na obrázku pásnice – tenkého vetknutého nosníku zatíženého osamělou silou.

Obr. 5.4 – Pásnice – tenký vetknutý nosník zatížený osamělou silou Za předpokladu, že se volný konec prutu vzhledem k počátku ve vetknutí natočí o úhel ϕ, určíme při zachování tvaru příčného průřezu vztah mezi zkrutem průřezu ϑ a průhybem pásnic vP podle obrázku natočení volného konce prutu:

Obr. 5.5 – Natočení volného konce prutu - 77 -


Z tohoto obrázku vyplývá, že:

h vP = ϕ ⋅ . 2

Pokud tento vztah budeme postupně derivovat podle souřadnice x dostáváme:

dv P dϕ h h = ⋅ =ϑ ⋅ dx dx 2 2

⇒

h v Ip = ϑ ⋅ , 2

d 2 v P d 2ϕ h dϑ h = 2 ⋅ = ⋅ dx 2 dx 2 dx 2

⇒

h v IIp = ϑ I ⋅ , 2

d 3v P d 3ϕ h d 2ϑ h = 3 ⋅ = 2 ⋅ dx 3 dx 2 dx 2

⇒

h v IIIp = ϑ II ⋅ . 2

Při aplikaci Bernoulliho diferenciální rovnice průhybové čáry a Schwedlerovy věty na ohyb pásnic dostáváme vztahy: a) pro ohybový moment

Mo d 2vP , =− 2 E ⋅ J zP dx

b) pro posouvající sílu

d 3vP T =− , 3 E ⋅ J zP dx

kde JzP je kvadratický moment průřezu samotné pásnice k ose jejího ohybu:

1 3 ⋅b ⋅t . 12

J zP =

Posouvající síla T působící na pásnici je po celé její délce konstantní a má velikost:

T = Tω =

Mω . h

Spojením předchozích vztahů tak získáme rovnici:

Tω = − E ⋅ J zP ⋅

d 3vP h = − E ⋅ J zP ⋅ ⋅ ϑ II . 3 2 dx

Moment, který zachytí druhotná napjatost způsobená ohybem pásnic tedy je:

M ω = Tω ⋅ h = − E ⋅ J zP ⋅

h 2 II ⋅ ϑ = − E ⋅ J ω ⋅ ϑ II . 2

Zavedeme novou průřezovou charakteristiku Jω, kterou nazveme sektoriální (výsečový) kvadratický moment průřezu a která má rozměr [m6]. V případě našeho uvažovaného „zjednodušeného“ I-profilu (počítáme jen ohybovou tuhost jeho pásnic) bude velikost sektoriálního kvadratického momentu průřezu: J ω = J zP ⋅

h2 1 3 2 = ⋅b ⋅h ⋅t . 2 24

Nyní již můžeme statickou podmínku rovnováhy: M K = Mϕ + Mω

napsat pomocí nově zavedených veličin jako: M K = G ⋅ J Kc ⋅ ϑ − E ⋅ J ω ⋅ ϑ II . - 78 -


Úpravou této rovnice lze řešení problému převést výpočet zkosu ϑ(x) po celé délce prutu pomocí diferenciální rovnice druhého řádu:

ϑ II −

G ⋅ J Kc MK ⋅ϑ = − . E ⋅ Jω E ⋅ Jω

Jedná se o nehomogenní diferenciální rovnici a její pravá strana je obecně dána průběhem krouticího momentu podél prutu (může být po délce proměnný). Pro snadnější řešení zavedeme:

a2 =

G ⋅ J Kc E ⋅ Jω

[m-2].

V našem případě by tato konstanta vycházela:

4 ⋅ t 2 ⋅ ( 2 ⋅ b + h) a = (1 + µ ) ⋅ b 3 ⋅ h 2 2

Hledané výsledné řešení původní diferenciální rovnice bude mít jak homogenní ϑH tak i partikulární část ϑP:

ϑ = ϑH + ϑP = C1 ⋅ cosh(a ⋅ x) + C 2 ⋅ sinh(a ⋅ x) + ϑP . Partikulární část řešení ϑP musí odpovídat pravé straně diferenciální rovnice. V našem případě je MK = konst., a proto také odhadneme partikulární řešení jako konstantní:

ϑ P = K ⇒ ϑ PII = 0 ⇒

0 − a2 ⋅ K = −

MK . E ⋅ Jω

Odkud:

ϑP = K =

MK 1 MK ⋅ = . a 2 E ⋅ J ω G ⋅ J Kc

Řešení tak bude mít tvar: MK . G ⋅ J Kc Konstanty obecného homogenního řešení C1 a C2 určíme z okrajových podmínek:

ϑ = C1 ⋅ cosh(a ⋅ x) + C 2 ⋅ sinh(a ⋅ x) +

1. ve vetknutí prutu (x = 0) musí být nulové natočení nosníku – pásnice:

⇒

v Ip (0) = 0

0 = ϑ (0) ⋅

h 2

⇒

ϑ (0) = 0 .

Dosazením dostáváme:

ϑ (0) = C1 ⋅1 + C 2 ⋅ 0 +

MK =0 G ⋅ J Kc

a velikost konstanty C1 tak je:

C1 = −

MK . G ⋅ J Kc

2. na volném konci prutu (x = l) nepůsobí na nosník – pásnici žádný ohybový moment:

Mo (l) = 0

⇒

0 = −E ⋅ J zP ⋅ϑI (l) ⋅

h 2

⇒

Dosazením dostáváme:

ϑ I (l) = −

MK 1 ⋅ a sinh(a ⋅ l) + C2 ⋅ ⋅ cosh(a ⋅ l) = 0 G ⋅ J Kc a - 79 -

ϑI (l) = 0 .


a velikost konstanty C2 tak je:

C2 =

MK MK sinh(a ⋅ l) ⋅ = ⋅ tanh(a ⋅ l) . G ⋅ J Kc cosh(a ⋅ l) G ⋅ J Kc

Po dosazení a úpravě bude mít hledaná výsledná funkce zkrutu po celé délce prutu tvar:

ϑ=

MK G ⋅ J Kc

 cosh[a ⋅ (l − x)] ⋅ 1 −  . cosh( a ⋅ l)  

S její pomocí pak dopočítáme hledané velikosti momentů Mϕ a Mω:

 cosh[a ⋅ (l − x)] M κ ( x) = G ⋅ J Kc ⋅ϑ ( x) = M K ⋅ 1 − , cosh(a ⋅ l)  

M ω ( x) = − E ⋅ J ω ⋅ ϑ II ( x) = M K ⋅

cosh[a ⋅ (l − x)] . cosh(a ⋅ l)

Znamená to tedy, že ve vetknutí (x = 0) je veškerý moment přenášen druhotnou napjatostí: Mϕ(0) = 0 Mω(0) = MK Na volném konci (x = l) se na přenosu napjatosti podílejí obě složky napjatosti – primární (podle Saint-Vénanta) i druhotná (v důsledku zabránění deplanace ve vetknutí prutu). Jejich poměr tak záleží pouze na délce prutu l. Čím bude délka větší, tím menší bude vliv zabránění deplanace ve vetknutí a tím menší část momentu bude přenášena druhotnou napjatostí. 1. primární (dle Saint-Vénantova):

  1 M ϕ (l) = M K ⋅ 1 −  ,  cosh(a ⋅ l) 

2. druhotný (dle sektoriální teorie): M ω (l) = M K ⋅

1 . cosh(a ⋅ l)

Poměr obou složek na volném konci prutu tedy záleží pouze na poměru: 1 M ω (l ) 1 cosh(a ⋅ l) . = = 1 M ϕ (l) 1 − cosh(a ⋅ l) − 1 cosh(a ⋅ l) Protože lim(cosh ξ ) = ∞ bude pro „dlouhé“ pruty (l → ∞) vycházet: ξ →∞

M ω (l ) →0. M ϕ ( l)

Znamená to, že na volném konci prutu bude rozhodující pouze napjatost stanovená podle SaintVénantova vztahu (Mω → 0). Přibližné rozložení momentu MK na složky Mϕ a Mω je patrné z obrázku průběhů složek momentů po délce prutu.

- 80 -


Obr. 5.6 – Průběhy složek momentů po délce prutu Při výpočtech prutů namáhaných krutem, kdy je bráněno jejich volné deplanaci se objevují dva nové zásadní pojmy: 1. sektoriální (výsečová) souřadnice (plocha), 2. bimoment Sektoriální souřadnice je obvykle značená jako ω [m2] (někdy též nazývaná deplanační funkce). Tato souřadnice je vztažena buď ke středisku smyku nebo k vynucenému středu otáčení. U tenkostěnných profilů se k výpočtu sektoriální souřadnice používá vztah: s

ω = ∫ ρ ⋅ ds . 0

V případě otevřeného profilu lze sektoriální souřadnici určit ze vztahu:

ω = ωo + K . V případě uzavřeného profilu používáme k výpočtu vztah: s

ω = ωo − c ⋅ ∫ 0

ds +K , t

kde:

ωo vypočteme jako dvojnásobnou velikost plochy opsané průvodičem vyneseným ze střediska smyku, resp. vynuceného středu otáčení, od zvoleného počátku až do daného místa průřezu. K je konstanta, která transformuje (posouvá) hodnoty ωo do skutečných hodnot ω tak, aby byla splněna podmínka:

Sω =

∫ ω ⋅ dA = 0 . ( A)

c je tzv. torzní faktor, který určíme ze vztahu: c=

2 ⋅ As ds ∫( s) t

As je velikost plochy uzavřené střednicí profilu. Poznámka: Zde je vidět shoda obou vzorců pro výpočet sektoriální souřadnice, protože u otevřeného profilu neexistuje uzavřená střednice, a tedy As = 0 ⇒ c = 0. - 81 -


Pomocí sektoriální souřadnice ω lze při řešení úloh kroucení nekruhových profilů popsat deplanaci průřezu u v závislosti na zkosu ϑ jako: u ( x, y, z ) = −ϑ ( x) ⋅ ω ( y, z ) ,

Zavedení bimomentu je velice výhodné při řešení nevolného kroucení. S jeho pomocí je možné řešení jednak zjednodušit a zároveň i lépe vysvětlit. Bimoment lze zjednodušeně brát jako moment momentu a má tedy rozměr [N⋅m⋅m].

Příklad 5.2: Je dán I-profil zatížený podle obrázku na svém kraji osamělou silou F. Pomocí silového rozkladu síly F stanovte velikost vznikajícího bimomentu B.

Obr. 5.7 – Zatížení I-profilu

Jestliže tuto sílu F rozdělíme na čtvrtiny F/4 a vždy přiřadíme další čtvrtiny, které se ale v součtu vyruší, dostaneme celkem čtyři způsoby namáhání takovéhoto I-profilu. Rozklad excentrické síly je patrný z obrázku namáhání I-profilu zatíženého excentrickou silou.

osová síla N N = 4⋅

ohybový moment Moy

F 4

M oy = 2 ⋅

ohybový moment Moz M oz

F ⋅b 4

bimoment B

F = 2⋅ ⋅h 4

B=

F ⋅h⋅b 4

Obr. 5.8 – Namáhání I-profilu zatíženého excentrickou silou - 82 -


6. OBECNÁ TEORIE DEPLANACE Příčné průřezy se při uvažování teorie deplanace natáčejí kolem bodu, který se nazývá střed ohybového smyku CS, a spojnice všech těchto bodů po délce prutu je současně osou krutu, pokud tyto body leží na přímce. Tento bod je definován z podmínky rovnováhy vnitřních smykových sil. Protože u tenkostěnného profilu lze uvažovat dA = t⋅ds, vyvodí posouvající síla T v místě průřezu ξ popsaném souřadnicí sξ smykový tok qyo podle Žuravského teorému: sξ

T T q y o = ⋅ S od = ⋅ ∫ y ⋅ t ⋅ ds Jz Jz 0

.

Jestliže zavedeme novou souřadnici ρ jako kolmou vzdálenost elementu ds od středu ohybového smyku – viz obrázek polohy středu ohybového smyku – musí při integraci přes celou délku střednice ls platit pro výslednou rovnováhu vztah: M CS = ∫ ρ ⋅ dT =

∫ ρ ⋅q

⋅ ds = 0 .

yo

( sc )

Obr. 6.1 - Poloha středu ohybového smyku

Jestliže ve shodě s předchozí kapitolou opět zavedeme pojem sektoriální plochy jako:

ω = ρ ⋅ ds , přejde rovnice rovnováhy do tvaru: s

M Cs

ξ T = ∫ q yo ⋅ dω = ⋅ ∫ dω ⋅ ∫ y ⋅ t ⋅ ds = 0 . J z ( sc ) ( sc ) 0

Za předpokladu nenulové síly T ≠ 0 a reálného průřezu Jz ≠ ∞ musí být splněna podmínka:

∫ ω ⋅ y ⋅ t ⋅ ds = 0 ( sc )

. - 83 -


Totéž bychom provedli k druhé souřadnicové ose a výsledkem bude podmínka:

∫ ω ⋅ z ⋅ t ⋅ ds = 0 ( sc )

.

Budeme-li uvažovat element stěny ds⋅dx v souřadnicích s-x dochází při zatížení smykem k jeho zkosení podle obrázku zkosu elementu stěny.

Obr. 6.2 - Zkos elementu stěny Jestliže platí γ = γ1 + γ2 a současně podle matematické teorie pružnosti (rovnice přetvoření) v souřadnicovém systému s-x resp. w-u:

γ1 =

∂u ∂s

a

γ2 =

∂w ∂x

musí na střední ploše být γ1 = γ2 a oba zkosy musí nastat ve stejném směru (pravý úhel elementu ds⋅dx se tak nezmění) – viz obrázek.

Obr. 6.3 - Natočení elementu na střední ploše Při použití definice zkosu γ2 pomocí zkrutu ϑ a vzdálenosti od středu ohybového smyku ρ ve tvaru: γ2 = ρ⋅ϑ ,

můžeme celkový zkos vyjádřit jako:

γ =

∂u + ρ ⋅ϑ . ∂s - 84 -


Při platnosti Hookova zákona pro smyk:

γ =

τ G

dostáváme výslednou rovnici ve tvaru:

τ

∂u + ρ ⋅ϑ . G ∂s Jedním z předpokladů teorie deplanace je zanedbání smykových napětí na střední ploše řešeného průřezu. Pro τ = 0 na střední ploše musí platit, že také zkos na této střední ploše bude nulový: γ = 0.

Znamená to tedy:

=

∂u = −ρ ⋅ϑ . ∂s

Tuto rovnici můžeme řešit neurčitou integrací levé a pravé strany. Za předpokladu ϑ = konst. bude platit: u = −∫ ρ ⋅ ϑ ⋅ ds + f = −ϑ ⋅ ∫ ρ ⋅ds + f = −ϑ ⋅ ω + f .

Uvažovaná deplanace u je proměnná po délce prutu i po jeho střednici v daném místě x: u = u(x, s). Vzdálenost ρ od středu ohybového smyku je v případě přímého prutu pouze funkcí polohy na střednici v daném řezu:

ρ = ρ(s). Zkrut ϑ je po celém řezu konstantní, ale je proměnný s délkou prutu:

ϑ = ϑ(x). Neznámá funkce f zavedená při řešení diferenciální rovnice integrací levé a pravé strany není konstantní, ale je funkcí polohy na prutu dané souřadnicí x (integrace byla provedena jen přes souřadnici s): f = f(x). Velikost této funkce musí být určena pomocí okrajové podmínky – v tomto případě pro výsledné druhotné normálové napětí σω v určitém místě řešeného prutu. Předpokládejme změnu deplanace u po délce prutu podle obrázku deplanace průřezu.

Obr. 6.4 - Deplanace průřezu - 85 -


Podle tohoto obrázku platí:

∂u   ⋅ dx  − u u + ∂u ∂x  εx =  = . dx ∂x Druhotné normálové napětí σω určíme z deformace v osovém směru prutu εx podle jednoduchého Hookova zákona:

σ ω = E ⋅ε x = E ⋅

∂u . ∂x

Pokud dosadíme za funkci u obecné řešení diferenciální rovnice u = −ϑ⋅ω + f , dostáváme:

σω = E ⋅

∂ (− ϑ ⋅ ω + f ) = − E ⋅ (ϑ I ⋅ ω − f I ) . ∂x

Protože však je prut zatížen pouze krouticím momentem MK, musí být výsledná normálová síla Nx způsobená druhotným normálovým napětím σω rovna nule:

N x = ∫ σ ω ⋅ dA = 0 . ( A)

Z této podmínky dostáváme:

N x = −E ⋅

∫ (ϑ

)

⋅ ω − f I ⋅ dA = 0 .

I

( A)

Odkud:

− E ⋅ ϑ I ⋅ ∫ ω ⋅ dA + E ⋅ f I ⋅ A = 0 . ( A)

Z této rovnice již vyplývá: f I =ϑI ⋅

1 ⋅ ω ⋅ dA . A ( ∫A)

Veličinu S ω = ∫ ω ⋅ dA ( A)

nazveme lineárním sektoriálním momentem průřezové plochy. Jeho rozměr je [m4], resp. [mm4]. Stanovení této veličiny závisí na způsobu výpočtu sektoriální souřadnice ω.

Výpočet sektoriální souřadnice (plochy) ω: K výpočtu sektoriální souřadnice ω využijeme neutrální bod Oω, kde předpokládáme nulovou deplanaci profilu (ω = 0). V tomto bodě musí být také nulové druhotné normálové napětí σω. K tomuto bodu musí platit podmínka: Sω = 0. I

Pak tedy musí být nulová i funkce f =0. Výsledná rovnice popisující druhotná normálová napětí σω tak bude:

σ ω = −E ⋅ϑI ⋅ ω . - 86 -


Nulové také musí být oba ohybové momenty, a to jak k ose z tak k ose y:

M oz = ∫ σ ω ⋅ y ⋅ dA = 0

M oy = ∫ σ ω ⋅ z ⋅ dA = 0

( A)

( A)

Po dosazení za druhotné napětí do těchto podmínek dostáváme:

∫ σ ω ⋅ y ⋅ dA = −E ⋅ϑ ⋅ ∫ ω ⋅ y ⋅ dA = 0

∫ σ ω ⋅ z ⋅ dA = − E ⋅ϑ ⋅ ∫ ω ⋅ z ⋅ dA = 0

I

( A)

I

( A)

( A)

( A)

Tyto obě podmínky jsou automaticky splněny, protože již při odvození polohy středu ohybového smyku jsme získali vztahy:

∫ ω ⋅ y ⋅ t ⋅ ds = 0

∫ ω ⋅ z ⋅ t ⋅ ds = 0 .

a také

( sc )

( sc )

Statickou rovnováhu elementu sestavíme podle následujícího obrázku:

Obr. 6.5 - Rovnováha druhotných normálových a smykových napětí

Rovnice rovnováhy má tvar: sξ



∫ σ ω + 0

 ∂σ ω  ⋅ dx  − σ ω  ⋅ t ⋅ ds +qω ⋅ dx = 0 . ∂x  

Z této rovnice rovnováhy elementu vychází pro velikost smykového toku qω vztah:

∂σ ∂σ 1 qω = − ⋅ ∫ ω ⋅ dx ⋅ t ⋅ ds = − ∫ ω ⋅ t ⋅ ds . dx 0 ∂x ∂x 0 sξ

sξ

Po dosazení vztahu pro druhotné normálové napětí σω:

σω = −E⋅ω⋅ϑ I a jeho parciální derivaci podle souřadnice x: ∂σ ω = − E ⋅ ω ⋅ ϑ II ∂x

dostáváme vztah: sξ

qω = E ⋅ ϑ II ⋅ ∫ ω ⋅ t ⋅ ds . 0

- 87 -


Pokud použijeme lineární sektoriální moment Sω části průřezové plochy od kraje profilu až po obecné místo popsané souřadnicí sξ, můžeme výsledný průběh smykového toku qω podle deplanační teorie zapsat ve tvaru: qω = E ⋅ ϑ II ⋅ Sω .

Moment Mω, který zachytí tato napjatost, bude jen částí momentu MK a lze jej vyjádřit jako:

Mω =

∫ ρ ⋅ dT = ∫ ρ ⋅ qω ⋅ ds = ∫ qω ⋅ dω . ( A)

( sc )

( sc )

Po dosazení za smykový tok qω dostáváme:

Mω =

∫ E ⋅ϑ

II

sξ

⋅ Sω ⋅ dω = E ⋅ ϑ ⋅

∫ dω ⋅ ∫ ω ⋅ dA .

II

( sc )

( sc )

0

Po provedení integrace dostáváme výsledek:

M ω = − E ⋅ϑ II ⋅ ∫ ω 2 ⋅ dA = − E ⋅ J ω ⋅ϑ ′′ , ( A)

kde:

J ω = ∫ ω 2 ⋅ dA ( A)

představuje sektoriální kvadratický moment plochy řešeného průřezu. Tato průřezová charakteristika Jω má rozměr [m6] resp. [mm6] (dříve byla nazývána bimomentem setrvačnosti průřezu nebo průřezovou deplanační konstantou). Zbývající část krouticího momentu MK je zachycena momentem Mϕ podle Saint-Vénantovy teorie čistého krutu: M K = M ω + M ϕ = − E ⋅ J ω ⋅ ϑ II + G ⋅ J K ⋅ ϑ . Základní obyčejná diferenciální rovnice druhého řádu, která popisuje nevolné kroucení podle deplanační teorie má po úpravě tvar:

ϑ II −

G ⋅ JK MK . ⋅ϑ = − E ⋅ Jω E ⋅ Jω

MK

Mϕ

MK

Mω

Obr. 6.6 – Příklad rozdělení momentů po délce prutu namáhaného krutem - 88 -


ZJEDNODUŠENÁ DEPLANAČNÍ TEORIE Pokud budeme předpokládat opravdu tenkostěnný profil (tloušťka stěny t je podstatně menší než zbývající rozměry příčného průřezu), lze hodnotu kvadratického momentu v kroucení JK považovat vzhledem k hodnotě sektoriálního kvadratického momentu Jω za tak malou, že člen: G ⋅ JK →0 E ⋅ Jω Základní diferenciální rovnice druhého řádu pak bude mít podstatně jednodušší tvar:

ϑ II = −

MK , E ⋅ Jω

který lze řešit postupnou dvojnásobnou integrací po délce prutu x. Využití této zjednodušené teorie deplanace si ukážeme na řešení dvou jednoduchých konstrukcí, které vzniknou úpravou části trubky (mezikruhový profil).

Příklad 6.1: První možnost tvoří tenkostěnná trubka s odříznutou pravou polovinou od místa A až do konce v místě B, kde působí osamělý krouticí moment MK – viz obrázek využití zjednodušené deplanační teorie I. Pomocí deplanační teorie stanovte napětí, která vznikají na této konstrukci, kde je dáno:

Rs = 100 mm (poloměr střednice stěny trubky) l = 200 mm (délka odříznuté části trubky) MK = 200 N⋅m (krouticí moment v bodě B).

t = 2 mm (tloušťka stěny trubky), E = 2,1⋅105 N⋅mm-2 a v = 0,3 (ocel),

Obr. 6.7 - Využití zjednodušené deplanační teorie na poloviční mezikruhový tenkostěnný průřez - 89 -


V části konstrukce mezi body X a A tvořené úplnou trubkou bude v důsledku krutu vznikat pouze smykové napětí:

τ max =

MK , WK

kde pro D = 2⋅Rs + t a d = 2⋅Rs − t: 4 4 π ⋅ D 3   d   π ⋅ 202 3   198   5 3 WK = ⋅ 1 −    = ⋅ 1 −    = 1,244 ⋅ 10 mm , 16   D   16 202     resp. přibližně:

WK

J P 2 ⋅ π ⋅ Rs ⋅ t ⋅ Rs2 = = = 2 ⋅ π ⋅ Rs2 ⋅ t = 2 ⋅ π ⋅ 100 2 ⋅ 2 = 1,257 ⋅ 10 5 mm 3 Rs Rs (chyba cca +1,0445%).

Maximální smykové napětí v části mezi body X a A bude:

τ max =

4 ⋅ 104 = 1,6 N ⋅ mm − 2 . 5 1,244 ⋅ 10

Protože příčný průřez trubky se při zkrucování nedeplanuje, můžeme si místo A představit jako „vetknutí“ bránící volné deplanaci druhé části A-B tvořené nekruhovým profilem. Nejprve pro zadaný průřez stanovíme polohu středu ohybového smyku Cs: Za vztažný bod zvolíme střed křivosti průřezu S a dále vzhledem k symetrii průřezu víme, že bod Cs musí ležet na ose z (hledáme jen souřadnici zc) – viz obrázek polohy středu ohybového smyku:

Obr. 6.8 - Poloha středu ohybového smyku

Souřadnici zC vypočteme podle vztahu:

zC =

1 ⋅ S od ⋅ ρ ⋅ ds . J z ( s∫c )

Musíme určit osový kvadratický moment průřezu: π

π

J z = ∫ (Rs ⋅ cos ξ ) ⋅ t ⋅ Rs ⋅ dξ = t ⋅ Rs3 ⋅ ∫ cos 2 ξ ⋅ dξ = 2

0

0

π ⋅ t ⋅ Rs3 2

a statický moment S odříznuté části sξ popsané úhlem ξ k ose z určíme integrací podle obrázku. od

- 90 -


Obr. 6.9 - Výpočet statického momentu odříznuté části průřezu ξ

S

ξ

= ∫ Rs ⋅ cos α ⋅ t ⋅ Rs ⋅ dα = t ⋅ R ⋅ ∫ cos α ⋅ dα = t ⋅ Rs2 ⋅ sin ξ ,

od

2 s

0

0

ze kterého vypočteme integrál po celé délce sc pro ρ = Rs = konst. vzhledem k volbě vztažného bodu ve středu křivosti průřezu S: π

∫S

od

π

⋅ ρ ⋅ ds = ∫ t ⋅ R ⋅ sin ξ ⋅ Rs ⋅ Rs ⋅ dξ = t ⋅ R ⋅ ∫ sin ξ ⋅ dξ = 2 ⋅ t ⋅ R 4 . 2 s

( sc )

4 s

0

0

Vzdálenost zC hledaného středu ohybového smyku Cs od vztažného bodu S bude:

zC =

2 ⋅ t ⋅ Rs4 4 = ⋅ Rs ≈ 1,27 ⋅ Rs . π 3 ⋅ t ⋅ Rs π 2

K bodu Cs nyní vyjádříme sektoriální souřadnici ω podle obrázku výpočtu sektoriální souřadnice.

Obr. 6.10 - Výpočet sektoriální souřadnice

Protože ρ = zc ⋅ cos β − Rs =

4 4  ⋅ Rs ⋅ cos β − Rs = Rs ⋅  ⋅ cos β − 1 , π π 

bude sektoriální souřadnice v obecném místě sψ popsaném úhlem ψ vztaženým k počátku Oω, který vzhledem k symetrii průřezu podél vodorovné osy musí ležet na ose z: sψ

ψ

0

0

4 π

 

4 π

 

ω = ∫ ρ ⋅ ds = ∫ Rs ⋅  ⋅ cos β − 1 ⋅ Rs ⋅ dβ = Rs2 ⋅  ⋅ sinψ − ψ  . - 91 -


Nyní již můžeme vypočítat sektoriální kvadratický moment průřezu: π2

J ω = ∫ ω ⋅ dA =2 ⋅ 2

( A)

∫ 0

2

3  2 4 4  5 π 5  Rs ⋅  π ⋅ sinψ −ψ  ⋅ t ⋅ Rs ⋅ dψ = 2 ⋅ t ⋅ Rs ⋅  24 − π  ≈ 0,03737⋅ t ⋅ Rs .     

Po dosazení zadaných rozměrů vychází: J ω = 0,03737 ⋅ 2 ⋅ 1005 = 7,474 ⋅ 108 mm6 . Dále vypočteme velikost kvadratického momentu v kroucení JK podle přibližného vztahu pro kroucení tenkého dlouhého obdélníka: 1 1 J K = ⋅ l s ⋅ t 3 = ⋅ π ⋅ Rs ⋅ t 3 ≈ 1,0472 ⋅ Rs ⋅ t 3 . 3 3 Po dosazení zadaných rozměrů vychází: J K = 1,0472 ⋅ 100 ⋅ 2 3 = 837,75 mm 4 . Poměr

G ⋅ JK tak bude: E ⋅ Jω

G ⋅ JK 1,0472 ⋅ Rs ⋅ t 3 t2 = ≈ 10 , 78 ⋅ E ⋅ J ω 2 ⋅ (1 + v) ⋅ 0,03737 ⋅ t ⋅ Rs5 Rs4 a po dosazení zadaných hodnot vychází: G ⋅ JK 22 = 10,78 ⋅ = 4,312 ⋅ 10 −7 ≈ 0 . E ⋅ Jω 100 4 Z tohoto výsledku je zřejmé, že opravdu můžeme použít zjednodušenou deplanační teorii bez uvažování Saint-Vénantova krutu. Budeme tedy předpokládat, že: MK = Mω.

Pro MK = konst. můžeme zjednodušenou rovnici

ϑ II = −

MK E ⋅ Jω

řešit neurčitou integrací levé a pravé strany: MK ⋅x+C. E ⋅ Jω

ϑI = −

Integrační konstantu C určíme z okrajové podmínky pro volný konec konstrukce (bod B, x = l). Zde musí být druhotné normálové napětí σω nulové:

σω(l) = 0 a tedy také I

ϑ = 0. Z této podmínky vychází: C=

MK ⋅l. E ⋅ Jω

Výsledná rovnice pro hledanou první derivaci zkrutu ϑ´ bude mít tvar:

- 92 -


ϑ II =

MK ⋅ (l − x ) . E ⋅ Jω

Hledaná druhotná normálová napětí σω vypočteme dosazením do základního vztahu:

σ ω = −E ⋅ ω ⋅ϑI , odkud vychází:

σω = −

MK ⋅ (l − x ) ⋅ ω . Jω

Smyková napětí ve střední ploše průřezu jsme předpokládali nulová, ale celkový smykový tok qω určíme jako: qω = −

M ω od ⋅ Sω . Jω

Sektoriální statický moment odříznuté části sξ popsané úhlem ξ vyjádříme jako: Sω = od

∫ ω ⋅ dA

od

( Aod )

=

ψ

2  ψ2 4  2 4 3 π  R ⋅ ⋅ sin ψ − ψ ⋅ t ⋅ R ⋅ d ψ = t ⋅ R ⋅ − − ⋅ cosψ  .   s s s ∫π 2  π  8 2 π   

Nyní vypočteme extrémní hodnoty těchto funkcí. Nejprve popíšeme průběh sektoriální souřadnice ω: Maximálních hodnot dosahuje funkce ω v krajních bodech průřezu:  π  2

4 π

π 2

ωmax/ min = ω  ±  = ± Rs2 ⋅  −  = m2,976 ⋅ 103 mm 2 . Nulových hodnot pak dosahuje funkce ω jednak v počátku (bod Oω) a také v bodech popsaných úhlem ψωo = ±67,3°. Dalších lokálních extrémů dosahuje funkce ω v bodech popsaných úhlem ψextr. = ±38,2° = ±0,6667 rad a velikost ω je: 4 π

 

ωextr . = ω (± 38,2° ) = ± Rs2 ⋅  ⋅ sin 38,2° − 0,6667  = m1,207 ⋅ 10 3 mm 2 . Obdobný postup provedeme se sektoriálním statickým momentem odříznuté části průřezu. Maxima dosahuje funkce Sωod v nulových bodech funkce ω: ψmax/min = ± 67,3° = ±1,175 rad: od ω max

S

 π 2 (±1,175) 2 4  = t ⋅ R ⋅  − − ⋅ cos(±67,3)  = +10,5 ⋅104 mm4 2 π  8  3 s

a

 π2 4  Sω (Oω ) = t ⋅ R ⋅  −  = −7,9 ⋅104 mm4 .  8 π od

3 s

Nulových hodnot nabývá funkce Sωod v bodech popsaných úhlem ψSo = ± 33,0° = ±0,576 rad. Dále v těchto jednotlivých bodech v místě spojení odříznuté trubky s úplnou trubkou (bod A, kde x = 0) vypočteme výsledná napětí podle vztahů:

- 93 -


σω = −

MK ⋅ l ⋅ω Jω

a

τω =

qω M S od =− ω ⋅ ω . t Jω t

Jednotlivá místa, ve kterých jsou vypočtena napětí σω a τω jsou patrná z obrázku míst extrémů napětí od stísněného kroucení.

Obr. 6.11 - Místa extrémů napětí od stísněného kroucení

Výsledky výpočtů jsou uspořádány přehledně v tabulce vypočtených napětí. Tab. 6.1 - Vypočtená napětí místo

ψ

σω

[°] 0 33,0 38,2 67,3 90

τω [N⋅mm-2]

0 +62,88 +64,60 0 −159,27

−10,57 0 +2,94 +14,05 0

Obr. 6.12 – Vizualizace deplanace při stísněném kroucení - 94 -


Příklad 6.2: Ve druhém příkladu budeme řešit stejnou tenkostěnnou trubku s tenkým rozříznutím od místa A až do konce v místě B, kde působí osamělý krouticí moment MK – viz obrázek. Pomocí deplanační teorie stanovte napětí, která vznikají na této konstrukci, kde je dáno: Rs = 100 mm (poloměr střednice stěny trubky) l = 200 mm (délka odříznuté části trubky) MK = 200 N⋅m (krouticí moment v bodě B).

t = 2 mm (tloušťka stěny trubky), E = 2,1⋅105 N⋅mm-2 a v = 0,3 (ocel),

Obr. 6.13 - Využití zjednodušené deplanační teorie na rozříznutý mezikruhový tenkostěnný průřez

I v tomto případě vzniká mezi body X a A tvořené úplnou trubkou pouze smykové napětí:

τ max =

MK 4 ⋅ 10 4 = = 1,6 MPa . WK 1,244 ⋅ 10 5

Trubka opět působí jako „vetknutí“ v místě A bránící volné deplanaci části A-B.. Polohu středu ohybového smyku Cs stanovíme obdobně jako v Příkladu 6.1 a zvolíme shodně i vztažný bod ve středu křivosti průřezu S. Bod Cs bude z důvodu symetrie ležet na ose z, a proto budeme hledat jen souřadnici zc, kterou vypočteme podle vztahu:

zC =

1 ⋅ ∫ S od ⋅ ρ ⋅ ds . J z ( sc )

Obr. 6.14 - Výpočet statického momentu odříznuté části průřezu II - 95 -


Osový kvadratický moment průřezu bude dvojnásobkem osového kvadratického momentu z Příkladu 6.1, protože nyní je průřez tvořen dvěma shodnými částmi (za předpokladu, že tloušťka rozříznutí je malá: m → 0): Jz = 2⋅

π ⋅ t ⋅ Rs3 = π ⋅ t ⋅ Rs3 . 2

Statický moment Sod odříznuté části sξ popsané úhlem ξ k ose z určíme integrací podle obrázku výpočtu statického momentu odříznuté části průřezu II. Podle obrázku je: ξ

S

od

ξ

= ∫ Rs ⋅ sin α ⋅ t ⋅ Rs ⋅ dα = t ⋅ R ⋅ ∫ sin α ⋅ dα = t ⋅ Rs2 ⋅ (1 − cos ξ ) . 2 s

0

0

Hledaný integrál po celé délce sc tak bude: 2⋅π

od 2 4 ∫ S ⋅ ρ ⋅ ds = ∫ t ⋅ Rs ⋅ (1 − cos ξ ) ⋅ Rs ⋅ Rs ⋅ dξ = t ⋅ Rs ⋅ π . ( sc )

0

Vzdálenost zC hledaného středu ohybového smyku Cs od vztažného bodu S bude:

zC =

2 ⋅ π ⋅ t ⋅ Rs4 = 2 ⋅ Rs . π ⋅ t ⋅ Rs3

Vyjádření sektoriální souřadnice ω vzhledem k bodu Cs bude naprosto shodné s Příkladem 6.1. jen za zc dosadíme novou hodnotu:

ρ = zc ⋅ cos β − Rs = 2 ⋅ Rs ⋅ cos β − Rs = Rs ⋅ (2 ⋅ cos β − 1) . Sektoriální souřadnice v obecném místě sψ popsaném úhlem ψ vztaženým k počátku Oω, který vzhledem k symetrii průřezu, musí ležet na vodorovné ose z bude: sψ

ψ

0

0

ω = ∫ ρ ⋅ ds = ∫ Rs ⋅ (2 ⋅ cos β − 1) ⋅ Rs ⋅ dβ = Rs2 ⋅ (2 ⋅ sinψ − ψ ) . Celkový sektoriální kvadratický moment Jω zadaného průřezu v tomto případě určíme ze základní definice:

[

]

π  π3  2 J ω = ∫ ω 2 ⋅ dA =2 ⋅ ∫ Rs2 ⋅ (2 ⋅ sinψ − ψ ) ⋅ t ⋅ Rs ⋅ dψ = 2 ⋅ t ⋅ Rs5 ⋅  − 2 ⋅ π  ≈ 8,10448 ⋅ t ⋅ Rs5 .  3  ( A) 0

Po dosazení zadaných rozměrů vychází: J ω = 8,10448 ⋅ 2 ⋅ 1005 = 1,621⋅1011 mm6 . Kvadratický moment v kroucení JK bude podle přibližného vztahu pro St-Vénantovu teorii krutu: 1 1 J K = ⋅ l s ⋅ t 3 = ⋅ 2 ⋅ π ⋅ Rs ⋅ t 3 ≈ 2,0944 ⋅ Rs ⋅ t 3 . 3 3 Po dosazení zadaných rozměrů vychází: J K = 2,0944 ⋅ 100 ⋅ 23 = 1 675,51 mm4 Poměr krutových „tuhostí“ určených podle Saint-Vénanta a podle deplanační teorie tak bude opět velice malý: - 96 -


2,0944 ⋅ Rs ⋅ t 3 G ⋅ JK t2 0 , 0994 = ≈ ⋅ E ⋅ J ω 2 ⋅ (1 + v) ⋅ 8,10448 ⋅ t ⋅ Rs5 Rs4 a po dosazení zadaných hodnot vychází:

22 G ⋅ JK = 0,0994 ⋅ = 3,98 ⋅ 10 −10 ≈ 0 E ⋅ Jω 100 4 Použijeme stejně jako v Příkladu 6.1 zjednodušenou deplanační teorii: MK = Mω. Sektoriální souřadnici ω určíme podle obrázku výpočtu sektoriální souřadnice při zavedení pomocné souřadnice zC⋅cosβ:

Obr. 6.15 - Výpočet sektoriální souřadnice ω Pro sektoriální souřadnici ω popsanou funkcí:

ω = R s2 ⋅ (2 ⋅ sin ψ − ψ ) bude statický moment odříznuté části sξ popsané úhlem ξ vyjádříme tedy jako: Sω = od

∫ ω ⋅ dA

( Aod )

ψ

od

 π2  ψ2 = ∫ R ⋅ (2 ⋅ sinψ − ψ ) ⋅ t ⋅ R s ⋅ dψ = t ⋅ R ⋅  −2− − 2 ⋅ cosψ  . 2  2  π 2 s

3 s

Nyní vypočteme extrémní hodnoty těchto funkcí. Funkce ω dosahuje maxima v krajních bodech průřezu:

ω max/ min = ω (± π ) = ± Rs2 ⋅ (2 ⋅ 0 − π ) = m3,142 ⋅ 10 4 mm 2 . Nulová je funkce ω jednak v počátku (bod Oω) a také v bodech popsaných úhlem ψωo = ±108,6°. Další lokální extrém funkce ω je v bodech popsaných úhlem ψextr. = ±60° = ±1,0472 rad a velikost ω je:

ω extr . = ω (± 60°) = ± Rs2 ⋅ (2 ⋅ sin 360° − 1,0472 ) = m6,848 ⋅ 10 3 mm 2 . Obdobně řešíme Sωod − sektoriální statický moment odříznuté části průřezu: Maxima dosahuje funkce Sωod v nulových bodech funkce ω: ψmax/min = ± 108,6° = ±1,895 rad:

S

od ω max

 π2  (±1,895) 2  = t ⋅ R ⋅ − 2 − − 2 ⋅ cos(±108,6)  = +3,554 ⋅ 106 mm 4 . 2  2  3 s

- 97 -


Dále stanovíme hodnotu funkce Sωod v bodě Oω:

 π2  Sωod (Oω ) = t ⋅ Rs3 ⋅  − 2 − 2 ⋅ 1 = +1,870 ⋅ 106 mm4 .  2  V těchto bodech v místě spojení rozříznuté trubky s úplnou trubkou (bod A, kde x = 0) vypočteme výsledná napětí podle vztahů: M σω = − K ⋅ l ⋅ω Jω

a

qω M ω Sωod τω = =− ⋅ . t Jω t

Jednotlivá místa, ve kterých jsou vypočtena napětí σω a τω jsou patrná z obrázku míst extrémů napětí od stísněného kroucení rozříznuté trubky.

Obr. 6.16 - Místa extrémů napětí od stísněného kroucení rozříznuté trubky

Výsledky výpočtů jsou opět uspořádány přehledně v tabulce vypočtených napětí. Tab. 6.2 - Vypočtená napětí místo

ψ

σω

[°]

τω

[N⋅mm-2] 0 +1,15 +1,69 0 0 +2,19 0 −7,75

0 60,0 108,6 180

Obr. 6.17 – Vizualizace deplanace při stísněném kroucení - 98 -


Shrnutí: Nyní můžeme na základě těchto dvou příkladů zobecnit některé vlastnosti týkající se nevolného (stísněného, vázaného) krutu části trubky (mezikruhový průřez, kdy je jeho tvar popsán úhlem α od počátečního bodu Oω − viz obrázek části tenkostěnného mezikruhového průřezu).

Obr. 6.18 - Část tenkostěnného mezikruhového průřezu

Poloha středu ohybového smyku Cs je dána souřadnicí: z C = 2 ⋅ Rs ⋅

sin α − α ⋅ cos α . α − sin α ⋅ cos α

Sektoriální souřadnice ω vztažená k bodu Cs bude:

 sin α − α ⋅ cos α  ⋅ sinψ − ψ  .  α − sin α ⋅ cos α  Sektoriální kvadratický moment průřezu bude:

ω (ψ ) = Rs2 ⋅  2 ⋅

sin α − α ⋅ cos α 2  J ω = R s5 ⋅ t ⋅  ⋅ α 3 − 4 ⋅ ⋅ (sin α − α ⋅ cos α ) . α − sin α ⋅ cos α 3 

VÝPOČET SEKTORIÁLNÍCH PRŮŘEZOVÝCH CHARAKTERISTIK Při výpočtech naznačených v této kapitole jsme využívali průřezových charakteristik známých z kapitol věnovaných ohybu (Sy, Sz – osové statické momenty průřezu, Jy, Jz – osové kvadratické momenty průřezu a Dyz – deviační moment průřezu), které závisely na vzdálenostech y a z od hlavních os setrvačnosti y a z. Kromě těchto „obvyklých“ průřezových charakteristik jsme zavedli další, které závisely na výsečové (sektoriální) souřadnici ω: Sω = ∫∫ ω ⋅ dA

... sektoriální (výsečový) statický moment průřezu [m4]

( A)

Dωy = ∫∫ ω ⋅ z ⋅ dA

... sektoriální (výsečový) deviační moment průřezu k ose y [m5]

( A)

Dωz = ∫∫ ω ⋅ z ⋅ dA

... sektoriální (výsečový) deviační moment průřezu k ose z [m5]

( A)

J ω = ∫∫ ω 2 ⋅ dA

... sektoriální (výsečový) kvadratický moment průřezu k ose [m6]

( A)

- 99 -


Pro další výpočty je třeba pro každý profil stanovit hlavní pól Cω a hlavní počátek pro odečet sektoriální souřadnice ω. Hlavní pól průřezu Cω stanovíme analogicky ke stanovení těžiště T z podmínek: Dωy = 0

Dωz = 0 .

a

Pro další výpočet zavedeme pomocný pól P profilu a s jeho pomocí dostáváme pro vzdálenosti skutečného hlavního pólu Cω od pomocného pólu P vztahy:

yC =

DωPy

zC =

a

Jy

DωPz Jz

Hlavní počátek odečtu sektoriální souřadnice pak dostáváme ze vztahu:

Sω = 0 Skutečná sektoriální souřadnice je dána součtem dvou členů:

ω = ωP + ω0 , kde ω´ je pomocná sektoriální souřadnice stanovená ke zvolenému pólu P s počátkem odečtu ve zvoleném bodě O´ a ω0 je konstantní sektoriální souřadnice zaručující splnění podmínky nulového sektoriálního momentu průřezu Sω . Po dosazení dostáváme:

∫∫ω ⋅ dA = ∫∫ (ω ( A)

( A)

P

+ ω0 ) ⋅ dA = ∫∫ ωP ⋅ dA + ω0 ⋅ ∫∫ dA = SωP + ω0 ⋅ A = 0 , ( A)

( A)

Odkud vychází velikost hledané konstantní sektoriální souřadnice:

ω0 = −

S ωP A

.

Příklad 6.3:

400

250

20

Předchozí vztahy aplikujeme na jednoduchý profil symetrický podle svislé. Rozměry profilu jsou patrné z obrázku řešeného profilu (tento příklad jsem převzal od Ing. Kalouskové z FSv ČVUT v Praze).

150

20

10

Obr. 6.19 – Základní rozměry řešeného profilu - 100 -


Protože se jedná o profil symetrický podle svislé osy, budou všechny „významné“ body tohoto profilu ležet na svislé ose symetrie a stačí je tedy popsat pouze jedinou souřadnicí. Polohu těžiště určíme pomocí statického momentu k „pomocné“ ose z+ a schematizací profilu, protože jeho tloušťky jsou výrazné menší než jeho délkové rozměry:

yT

420

T

z+

Obr. 6.20 – Zjednodušení (schematizace) řešeného profilu

Celková plocha řešeného průřezu bude:

Acelk = 150 ⋅ 20 + 400 ⋅ 10 + 250 ⋅ 20 = 12 000 mm 2 .

Polohu těžiště T stanovíme pomocí statických momentů k ose z+: 3

3

S z celk = ∑ S zi i =1

Po dosazení dostáváme:

3

⇒ Acelk ⋅ yT = ∑ Ai ⋅ yTi

⇒

i =1

yT =

yT =

∑A ⋅y i =1

i

Ti

Acelk

150 ⋅ 20 ⋅ 0 + 400 ⋅ 10 ⋅ 210 + 250 ⋅ 20 ⋅ 420 = 245 mm . 12 000

T

z

245

175

y

Obr. 6.21 – Hlavní (centrální) osy řešeného profilu

Nyní určíme k hlavním (centrálním) osám y a z osové kvadratické momenty průřezu: 3  150⋅ 203   10 ⋅ 4003   250⋅ 203  J z = ∑ J zi =  + 150⋅ 20 ⋅ 2452  +  + 10 ⋅ 400⋅ 352  +  + 250⋅ 20 ⋅1752  = i =1  12   12   12  6 4 = 100 000 + 180 075 000 + 53 333 333+ 4 900 000 +166 667 +153125 000 = 391,7⋅10 mm

3

J y = ∑ J yi = i =1

1503 ⋅ 20 103 ⋅ 400 2503 ⋅ 20 + + = 5 625 000 + 33 333 + 26 041 667 = 31,7 ⋅106 mm4 12 12 12 - 101 -


Nyní si zvolíme pomocný pól P ve spojnici stojiny a dolní pásnice a pomocný počátek O´ zvolíme ve spojnici stojiny s horní pásnicí. -125 +125

+52 500

z

O´

O´ -52 500

+420

+ω − ω

ωP

P

P

P

Obr. 6.22 – Výpočet sektoriální souřadnice k pomocnému pólu P

Vzhledem k tomu, že jsme pomocný pól P zvolili ve spojnici dolní pásnice a stojiny, bude sektoriální souřadnice ωP v celé dolní pásnici nulová. V horní pásnici bude sektoriální souřadnice dána součinem vzdálenosti O´P a obecného místa popsaného souřadnicí s, která bude v intervalu 〈 −125 ; +125〉. Svého maxima a minima dosáhne pomocná sektoriální souřadnice ωP v bodech a .

ωP 1, 2 = ωP max/ min = 420 ⋅ (±125) = ±52 500 mm 2 . Nyní vypočteme deviační sektoriální moment ke zvolenému pólu P: 125

s3 D = ∫∫ ωP ⋅ z ⋅ dA = 2 ⋅ ∫ 420 ⋅ s ⋅ s ⋅ 20 ⋅ ds = 16 800 ⋅ 123 { 123 3 z dA ωP ( A) 0

125

=16 800 ⋅

P ωy

0

1253 = 10 937,5 ⋅106 mm5 . 3

Pomocí deviačního sektoriálního momentu již stanovíme vzdálenost hlavního pólu Cω od pomocného pólu P: DωPy 1 0 937,5 ⋅10 6 yC = = = 345,0 mm . Jy 31,7 ⋅10 6 Pokud nyní známe polohu hlavního pólu, můžeme určit celkové výsledné sektoriální souřadnice. -125 +125

75

z

+9 375

+ω − ω

-9 375 Cω

Cω 345

ω +25 875

− ω +ω

P

P

-25 875

Obr. 6.23 – Poloha hlavního pólu Cω a výsledné sektoriální souřadnice ω - 102 -


Mezní hodnoty sektoriálních souřadnic ω vypočteme v bodech , , a . ω1 = (+75) ⋅ (+125) = +9 375 mm 2 a ω 2 = (+75) ⋅ (−125) = −9 375 mm 2

ω3 = (−345) ⋅ (+75) = −25 875 mm 2

ω 4 = (−345) ⋅ (−75) = +25 875 mm 2

a

Pro další výpočty musíme ještě určit sektoriální kvadratický moment řešeného průřezu Jω: 2 2 125   75        2  J ω = ∫∫ ω ⋅ dA = 2 ⋅ ∫ 75 ⋅ s1 ⋅ 20 ⋅ ds1 + ∫ 345 ⋅ s 2 ⋅ 20 ⋅ ds2  =  123  123    123  123 ( A) 0 0 dA1 dA2  ω2    ω1  

s3 = 40 ⋅ 5 625 ⋅ 1 3

125

0

s3 + 40 ⋅ 119 025 ⋅ 2 3

75

= 146484375000 + 669515625000 = 816 ⋅ 10 9 mm 6 . 0

Příklad 6.4:

200

Dalším řešeným profilem bude U-profil vzniklý ohnutím z plechu tloušťky t. Rozměry profilu jsou patrné z obrázku řešeného profilu (zaoblení v rozích nebudeme uvažovat).

10

100

Obr. 6.24 – Základní parametry řešeného profilu

Protože se jedná o profil symetrický podle vodorovné osy, budou všechny „významné“ body tohoto profilu ležet na této ose. Polohu těžiště určíme pomocí statického momentu k „pomocné“ ose y+. y+

T

z

zT

Obr. 6.25 – Zjednodušení (schematizace) řešeného profilu - 103 -


Celková plocha řešeného průřezu bude: Acelk = 2 ⋅ 100 ⋅ 10 + 200 ⋅ 10 = 4 000 mm 2 . Polohu těžiště T stanovíme pomocí statických momentů k ose y+: 3

3

S y celk = ∑ S yi i =1

3

⇒ Acelk ⋅ zT = ∑ Ai ⋅ zTi i =1

⇒

zT =

∑A ⋅z i =1

i

Ti

Acelk

Po dosazení dostáváme:

zT =

200 ⋅10 ⋅ 0 + 2 ⋅100 ⋅10 ⋅ 50 = 25 mm . 4 000 y

T

25

z

75

Obr. 6.26 – Hlavní (centrální) osy řešeného profilu

Nyní určíme k hlavním (centrálním) osám y a z osové kvadratické momenty průřezu:

   100 ⋅103  10 ⋅ 2003 2 J z = ∑ J zi = 2 ⋅  + 100 ⋅10 ⋅100  + ≈ 26,67 ⋅106 mm4 , 12 i =1 1  412 24 3  ≈0  3

 1003 ⋅ 10  103 ⋅ 200  2   J y = ∑ J yi = 2 ⋅  + 100 ⋅ 10 ⋅ 25  +  + 200 ⋅ 10 ⋅ 252  = 4,183 ⋅ 106 mm4 . i =1  12   12  3

Dále zvolíme pomocný pól P i pomocný počátek O´ ve středu stojiny v průsečíku s osou z. -10 000

100

−ω

P ≡ O´

100

P

z

ωP P ≡ O´

+ω

+10 000

Obr. 6.27 – Orientace a výpočet sektoriální souřadnice k pomocnému pólu P - 104 -


Vzhledem k tomu, že jsme pomocný pól P i pomocný počátek O´ zvolili ve středu stojiny, bude sektoriální souřadnice ωP v celé stojině nulová. V horní i dolní pásnici bude sektoriální souřadnice dána součinem vzdálenosti pásnic od bodu O´≡ P a obecného místa popsaného souřadnicí s, která bude v intervalu 〈 0 ; +100〉. Svého maxima a minima dosáhne pomocná sektoriální souřadnice ωP v bodech a .

ωP 1,5 = ωP max/ min = ±100 ⋅100 = ±10 000 mm 2 . Nyní vypočteme deviační sektoriální moment ke zvolenému pólu P: 100

100

s2 ⋅ 10 ⋅ = 200 000 ⋅ D = ∫∫ωP ⋅ y ⋅ dA = 2 ⋅ ∫ (−100⋅ s) ⋅100 ds 123 1 424 3 { 2 y dA ( A) 0 ω

= − 200 000⋅

P ωz

0

P

1002 = −1 000⋅106 mm5 . 2

Pomocí deviačního sektoriálního momentu DωPz k pomocnému pólu P již stanovíme vzdálenost hlavního pólu Cω od pomocného pólu P: zC =

DωPz − 1 000 ⋅10 6 = = −37,5 mm (jde proti kladnému směru osy z). Jz 26,683 ⋅10 6

Poznámka: Tento výsledek je zcela v souladu s dříve provedeným obecným výpočtem v Příkladu 4.3, kde vyšlo: xC =

3 3 ⋅ h = ⋅ 200 = 37,5 mm 16 16

Pokud nyní známe polohu hlavního pólu, můžeme určit celkové výsledné sektoriální souřadnice ω. +3 750

100

−ω Cω

Cω

+ω

37,5

ω

Cω

z

−ω

100

P

-6 250

+6 250

+ω

-3 750

100

Obr. 6.28 – Poloha hlavního pólu Cω , orientace a výsledné velikosti sektoriální souřadnice ω Hodnoty sektoriálních souřadnic ω vypočteme v bodech

,

,

,

a

.

ω1 = + 100 ⋅ 37,5 − 100 ⋅100 = −6 250 mm 2

a

ω5 = − 100 ⋅ 37,5 + 100 ⋅100 = +6 250 mm 2

ω2 = + 100 ⋅ 37,5 = +3 750 mm 2

a

ω4 = − 100 ⋅ 37,5 = −3 750 mm 2

ω3 = 0 ⋅ 37,5 = 0 mm 2 - 105 -


Pro další výpočty musíme ještě určit sektoriální kvadratický moment řešeného průřezu Jω: 100  100 2 2  J ω = ∫∫ ω ⋅ dA = 2 ⋅ ∫ (37,5 ⋅ s1 ) ⋅ 10 ⋅ ds1 + ∫ ((37,5 − s2 ) ⋅ 100 ) ⋅ 10 ⋅ ds2  = 3 123 1442443 123   0 1422 4 ( A) 0 dA1 dA2 ω1 ω 22   3 2 3 100 100 100 = 28 125 ⋅ + 281 250 000 ⋅ 100 − 15 000 000 ⋅ + 200 000 ⋅ ≈ 2,917 ⋅ 1010 mm6 . 3 2 3 2

Příklad 6.5: Pro stejný U-profil jako v příkladu 6.4 zvolte pomocný pól P a pomocný počátek odečítání O´ na koncích dolní a horní stojiny.

O´

+20 000

O´

O´

100

+ω

ωP

100

z +ω

P P

P

+40 000

Obr. 6.29 – Orientace a výpočet sektoriální souřadnice k pomocnému pólu P

Vzhledem k tomu, že jsme pomocný pól P zvolili odlišný od pomocného počátku, tak bude: 1÷2:

s1∈〈0 ; 100〉

ωP1 = +200⋅s1

y1 = +100

dA1 = 10⋅s1

2÷4:

s2∈〈0 ; 200〉

ωP2 = +20 000 + 100⋅s2

y2 = +100 – s2

dA2 = 10⋅s2

4÷5:

s3∈〈0 ; 100〉

ωP3 = +400 000

y3 = – 100

dA3 = 10⋅s3

Nyní podle těchto vztahů vypočteme sektoriální deviační moment: D = ∫∫ ωP ⋅ y ⋅ dA = P ωz

( A)

100

200

⋅ s ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ ds + (20 000 + 100 ⋅ s ) ⋅ (100 − s ) ⋅ 10 ⋅ ds + ∫ 200 123 { 123 ∫ 144 42444 3 1424 3 123 1

0

ω P1

1

dA1

y1

2

0

ωP 2

2

y2

2

dA2

100

+ ∫ 40 000 ⋅ (−100) ⋅ 10 ⋅ ds3 = −3667 ⋅ 106 mm5 . 123 123 123 0

ωP 3

y3

dA3

Dále již vypočteme vodorovnou vzdálenost hlavního pólu Cω od pomocného pólu P:

zC =

− 3667 ⋅ 106 ≈ −137,5 mm (jde proti kladnému směru osy z) 26,67 ⋅10 6 - 106 -


Poznámky: 1. Z výsledku je patrné, že vodorovná vzdálenost mezi body P a Cω se zvětšila oproti předchozímu příkladu 6.4 právě o vzdálenost rovnající se délce spodní pásnice (b = 100 mm). 2. Pokud bychom vypočetli i druhý sektoriální deviační moment k ose y, dostali bychom s jeho pomocí i svislou vzdálenost, která je však vzhledem k vodorovné symetrii jasná: DωPy ≈ +418,3 ⋅ 106 mm5

⇒

yc =

DωPy Jy

=

+ 418,3 ⋅ 106 = +100 mm (jde v kladném směru osy y) 4,183 ⋅ 106

Další postup výpočtu výsledné sektoriální souřadnice ω a sektoriálního kvadratického momentu průřezu Jω by již byl shodný s předchozím příkladem 6.4.

Příklad 6.6: Vypočtěte deviační sektoriální moment pomocí Věreščaginova pravidla výpočtu integrálu součinu dvou funkcí, z nichž jedna je maximálně lineární. DωPz = ∫∫ ω ⋅ y ⋅ dA = ∫ ω ⋅ y ⋅ t ⋅ ds =t ⋅ ∫ y ⋅ ω ⋅3 ds . 12 ( A)

(s)

(s)

dAω

Integraci v tomto vztahu nahradíme postupnou sumací (i = 1÷n) součinu pro všechny plochy sektoriální souřadnice Aωi a velikost sektoriální souřadnice v místě těžiště těchto ploch ωTi: n

DωPz = t ⋅ ∑ Aωi ⋅ y Ti i =1

Aω1 Aω2 20 000

100

T1

yT1 Aω3

T2

Aωi

yTi

yT3

T3 40 000

yT2

Aω4 -100

yT4

T4

Obr. 6.30 – Výpočet pomocí Věreščaginova pravidla Jak je patrné z obrázku 6.30, můžeme v tomto případě sektoriální plochy rozdělit na n = 4 jednoduché obrazce, u kterých snadno vypočteme jejich obsahy Aωi a také snadno určíme polohy jejich těžiště Ti. 4

DωPz = t ⋅ ∑ Aωi ⋅ yTi i =1

Řešení je výhodné provést v tabulce (6.3) obdobně, jako jsme v Pružnosti a pevnosti I řešili pomocí Vereščaginova pravidla Mohrův integrál pro určení deformací nosníků. - 107 -


Tab. 6.3 – Výpočet deviačního sektoriálního momentu Dωz t [mm] 10 10 10 10

i [-] 1 2 3 4

yTi [mm] 100 0 –33,33 –100

Aωi [mm3] 0,5⋅100⋅20 000 200⋅20 000 0,5⋅200⋅20 000 100⋅40 000

DωPz =

t⋅⋅Aωi⋅ ωTi [mm5] 1,000⋅109 0 –0,667⋅109 –4,000⋅109 –3,667⋅109

Je vidět, že výsledný sektoriální deviační moment určený pomocí Vereščaginova pravidla je shodný s původním získaným integrací vztahů z definice sektoriálního deviačního momentu průřezu.

Příklad 6.7: Pro výpočet druhotného sektoriálního smykového toku, resp. smykového napětí podle Žuravského vzorce q M S od τω = ω = − ω ⋅ ω t Jω t Musíme ještě stanovit průběh statického momentu odříznuté sektoriální plochy po celé střednici řešeného profilu. s(1−2) s(2−3)

+3 750 -6 250 ω

Cω

+6 250 -3 750

Obr. 6.31 – Průběh sektoriální souřadnice pro výpočet Sod.

Vyjádříme funkci sektoriální souřadnice v poli vzhledem k vodorovné ose: − : s(1−2 ) ∈ 0 ; h 2 = 0 ; 100

a

−

a

−

(zbytek bude symetrický

ω ( s(1−2) ) = −6 250 + 100 ⋅ s(1−2 )

h Sωod(1.−2) = ∫ ω ( s(1−2) ) ⋅ ⋅ ds(1− 2) = ∫ (−6 250 + 100 ⋅ s(1− 2) ) ⋅100 ⋅ ds(1−2) = 2 s(21− 2) = −625 000 ⋅ s(1−2) + 10 000 ⋅ = 5 000 ⋅ s(21−2 ) − 625 000 ⋅ s(1−2) 2 2

S

od . ω ( 2)

h h = 5 000 ⋅   − 625 000 ⋅   = 5 000 ⋅100 2 − 625 000 ⋅100 = −12,5 ⋅10 6 mm 4 2 2 - 108 -


− : s ( 2 − 3 ) ∈ 0 ; h 2 = 0 ; 100

a

ω ( s( 2 −3) ) = 3 750 − 37,5 ⋅ s( 2 − 3)

h  Sωod( 2. −3) = Sωod( 2. ) + ∫ ω (s2−3 ) ⋅  − s2−3  ⋅ ds2−3 = −12,5 ⋅106 + ∫ (3 750 − 37,5 ⋅ s2−3 ) ⋅ (100 − s2−3 ) ⋅ ds2−3 = 2  s22−3 s3 + 37,5 ⋅ 2−3 = 2 3 6 2 3 = −12,5 ⋅10 + 375 000 ⋅ s2−3 − 3 750 ⋅ s2−3 + 12,5 ⋅ s2−3 = −12,5 ⋅106 + 375 000 ⋅ s2−3 − 7 500 ⋅

2

3

h h h Sωod(3. ) = −12,5 ⋅106 + 375 000 ⋅   − 3 750 ⋅   + 12,5 ⋅   = 2  2  2 6 2 = −12,5 ⋅10 + 375 000 ⋅100 − 3 750 ⋅100 + 12,5 ⋅1003 = 0 mm 4 Průběh statického sektoriálního momentu odříznuté plochy Sωod . zobrazíme po celé střednici profilu.

-19,53⋅106 -12,5⋅106 62,5

Sωod .

Cω

+12,5⋅106 +19,53⋅106

Obr. 6.32 – Výpočtový model a průběh statického sektoriálního momentu Sod.

Nyní dosadíme do vzorce pro druhotné smykové napětí vypočtené hodnoty: Nejprve vypočteme napětí v rozích a :

τ ω ( 2, 4 )

Mω ± 12,5 ⋅10 6 =− ⋅ ≈ ±42,85 ⋅10 -6 ⋅ M ω 10 2,917 ⋅10 10

Dále vypočteme napětí v místech extrémů v horní a dolní pásnici

τ ω (6,7 ) = −

a

:

Mω m 19,53 ⋅10 6 ⋅ ≈ m66,95 ⋅10 -6 ⋅ M ω 2,917 ⋅1010 10

Uvažujme nyní jednoduchý prut tvořený zadaným profilem, který je na jednom svém konci pevně vetknutý a na druhém – volném konci je zatížen osamělým momentem MK.

Víme, že ve vetknutí bude celkový krouticí moment MK přenášen jen druhotným sektoriálním momentem Mω (Saint-Vénantův krut je zde nulový: Mϕ = 0), a proto můžeme ve vetknutí psát:

τ ω max ≈ ±66,95 ⋅10 -6 ⋅ M K - 109 -


Příloha 6.1: GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY VYBRANÝCH TENKOSTĚNNÝCH PROFILŮ Nejčastěji jsou v konstrukcích používány pruty, které mají normalizované průřezy. Díky této unifikaci lze sestavit přehledné tabulky (tzv. statické) základních geometrických charakteristik, které lze následně využívat ve výpočtech. V následujících tabulkách budou uvedeny základní geometrické charakteristiky nejběžnějších tenkostěnných válcovaných profilů, které lze následně použít ve výpočtech při jednotlivých způsobech namáhání (tah/tlak, krut, ohyb nebo smyk od posouvající síly). Jednotlivé uvedené profily se mohou libovolně spojovat a jejich výsledné geometrické charakteristiky lze získat z uvedených charakteristik při dodržení všech fyzikálních a matematických pravidel. h, b, t1, t2 [mm] 2

délkové rozměry profilu

A [mm ]

plocha příčného průřezu profilu

G1 [kg⋅m−1]

hmotnost 1 m prutu

Jy [mm4]

kvadratický moment průřezu k ose y

Jz [mm4]

kvadratický moment průřezu k ose z

Woy [mm4]

modul průřezu v ohybu k ose y

Woz [mm4]

modul průřezu v ohybu k ose z

J1 [mm4]

hlavní kvadratický moment průřezu

J2 [mm4]

hlavní kvadratický moment průřezu

Jk [mm4]

moment průřezu při volném kroucení

Jω [mm6]

sektoriální moment průřezu

V následujících tabulkách jsou s ohledem na předchozí kapitoly uvedeny jen vybrané profily – viz obrázek, a to zejména ve vztahu k možnosti stísněného (nevolného, vázaného) krutu.

PROFIL IPN

PROFIL IPE

PROFIL UPN

Obr. 6.33 – Vybrané tenkostěnné válcované profily - 110 -

PROFIL UPE


PROFIL IPN

- 111 -


PROFIL IPE

- 112 -


PROFIL UPN

- 113 -


PROFIL UPE

- 114 -


ŘEŠENÍ ZÁKLADNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE STÍSNĚNÉHO KROUCENÍ METODOU POČÁTEČNÍCH PARAMETRŮ Základní diferenciální rovnice stísněného kroucení vychází ze vztahu: M K = M ω + M ϕ = − E ⋅ J ω ⋅ ϑ II + G ⋅ J K ⋅ ϑ . Z předchozího víme, že: pro Saint-Vénantův krut platí:

M ϕ = G ⋅ J K ⋅ϑ ,

pro stísněný (druhotný) krut platí:

M ω = − E ⋅ J ω ⋅ ϑ II ,

odkud po jednoduché úpravě dostaneme tvar:

ϑ II − kde: a 2 =

G ⋅ JK MK , ⋅ϑ = − E ⋅ Jω E ⋅ Jω

G ⋅ JK [mm-2] ... poměr tuhostí Saint-Vénantovy a druhotné sektoriální. E ⋅ Jω

Derivací základní rovnice dostáváme:

[

]

d II d  M ϑ ( x) − a 2 ⋅ ϑ ( x) =  K dx dx  E ⋅ J ω

  

Při zavedení momentu vztaženého na jednotku délky mK(x) a zkrutu ϑ(x):

dM K ( x) = mK ( x ) dx

ϑ ( x) =

a

dϕ ( x ) = ϕ I ( x) dx

můžeme původní rovnici zapsat ve tvaru:

ϑ III ( x) − a 2 ⋅ ϑ I ( x) = −

mK ( x ) E ⋅ Jω

ϕ IV ( x) − a 2 ⋅ ϕ II ( x) = −

⇒

mK ( x ) . E ⋅ Jω

Použitím bimomentu a jeho druhé derivace: Bω ( x) = − E ⋅ J ω ⋅ ϑ I ( x) = − E ⋅ J ω ⋅ ϕ II ( x)

BωII ( x) = − E ⋅ J ω ⋅ ϑ III ( x) = − E ⋅ J ω ⋅ ϕ IV ( x)

a

můžeme psát: B II ( x) B ( x) B ( x) ϑ I ( x) = − ω a ϑ III ( x) = − ω , resp. ϕ II ( x) = − ω E ⋅ Jω E ⋅ Jω E ⋅ Jω Tyto výsledky dosadíme do původních rovnic a dále upravíme:

−

BωII ( x) B ( x) m ( x) + a2 ⋅ ω =− K E ⋅ Jω E ⋅ Jω E ⋅ Jω

⇒

a ϕ IV ( x) = −

BωII ( x) . E ⋅ Jω

BωII ( x) − a 2 ⋅ Bω ( x) = mK ( x) .

Tím jsme získali diferenciální rovnici 2. řádu pro výpočet bimomentu po délce prutu. Nyní se vrátíme k řešení diferenciální rovnice 4. řádu pro výpočet natočení prutu:

ϕ IV ( x) − a 2 ⋅ ϕ III ( x) = −

mK ( x ) E ⋅ Jω

Tato rovnice má vzhledem k možné existenci pravé strany homogenní a partikulární řešení.

- 115 -


a) homogenní řešení mK(x) = 0:

ϕ IV ( x) − a 2 ⋅ ϕ III ( x) = 0 Vlastní rovnice bude: λ4 − a 2 ⋅ λ2 = 0 ⇒

λ2 ⋅ (λ2 − a 2 ) = 0

⇒ λ1, 2 = ±0 a λ3, 4 = ± a .

Výsledné homogenní řešení vypočteme jako kombinaci všech možných řešení:

ϕ H ( x ) = K1 ⋅ e λ + K 2 ⋅ e λ + K 3 ⋅ e λ + K 4 ⋅ e λ 1

3

2

4

Výhodnější je použití rozvoje pomocí hyperbolických funkcí odkud dostáváme:

ϕ H ( x) = C1 ⋅ sinh(a ⋅ x) + C 2 ⋅ cosh(a ⋅ x) + C3 ⋅ x + C 4 Provedeme jednotlivé derivace homogenního řešení:

ϕ HI ( x) = ϑH ( x) = a ⋅ C1 ⋅ cosh(a ⋅ x) + a ⋅ C2 ⋅ sinh(a ⋅ x) + C3 ϕ HII ( x) = ϑHI ( x) = a 2 ⋅ C1 ⋅ sinh(a ⋅ x) + a 2 ⋅ C 2 ⋅ cosh(a ⋅ x) ϕ HIII ( x) = ϑHII ( x) = a 3 ⋅ C1 ⋅ cosh(a ⋅ x) + a 3 ⋅ C 2 ⋅ sinh(a ⋅ x) . Tyto derivace dále použijeme pro určení momentů Mϕ a Mω, resp. bimomentu Bω: M ϕ ( x) = G ⋅ J K ⋅ ϑ H ( x) = G ⋅ J K ⋅ [a ⋅ C1 ⋅ cosh( a ⋅ x) + a ⋅ C 2 ⋅ sinh( a ⋅ x) + C3 ]

[

Bω ( x ) = − E ⋅ J ω ⋅ ϑ HI ( x ) = − E ⋅ J ω ⋅ a 2 ⋅ C1 ⋅ sinh( a ⋅ x ) + a 2 ⋅ C 2 ⋅ cosh( a ⋅ x )

]

[

M ω ( x ) = BωI ( x ) = − E ⋅ J ω ⋅ ϑ HII ( x ) = − E ⋅ J ω ⋅ a 3 ⋅ C1 ⋅ cosh( a ⋅ x ) + a 3 ⋅ C 2 ⋅ sinh( a ⋅ x )

]

Nyní zavedeme veličiny v počátku (bod x = 0): ϕ(0), Mϕ(0), Bω(0) a Mω(0) a dostáváme:

ϕ H (0) = C1 ⋅ 0 + C 2 ⋅ 1 + C3 ⋅ 0 + C4 = C 2 + C 4 M ϕ (0) = G ⋅ J K ⋅ [a ⋅ C1 ⋅1 + a ⋅ C2 ⋅ 0 + C3 ] = G ⋅ J K ⋅ (a ⋅ C1 + C3 )

[

]

Bω (0) = − E ⋅ J ω ⋅ a 2 ⋅ C1 ⋅ 0 + a 2 ⋅ C 2 ⋅1 = − E ⋅ J ω ⋅ a 2 ⋅ C 2 = −G ⋅ J K ⋅ C 2

[

]

M ω (0) = − E ⋅ J ω ⋅ a 3 ⋅ C1 ⋅1 + a 3 ⋅ C 2 ⋅ 0 = − E ⋅ J ω ⋅ a 3 ⋅ C1 = − a ⋅ G ⋅ J K ⋅ C1 Odtud následně vychází:

C1 = −

M ω ( 0) a ⋅G ⋅ JK

C3 =

C2 = −

Bω (0) B ( 0) =− ω a ⋅ E ⋅ Jω G ⋅ JK

C 4 = ϕ ( 0) +

2

[

1 ⋅ M ϕ (0) + M ω (0) G ⋅ JK

]

Bω G ⋅ JK

Konstanty C1 až C4 můžeme pak pro další výpočty nahradit počátečními hodnotami hledaných funkcí ϕ(0), Mϕ(0), Bω(0) a Mω(0) a dostáváme: x cosh(a ⋅ x) − 1 sinh(a ⋅ x) − a ⋅ x ϕ ( x ) = ϕ ( 0) + M ϕ ( 0) ⋅ − Bω (0) ⋅ − M ω ( 0) ⋅ G ⋅ JK G ⋅ JK a ⋅G ⋅ JK M ϕ ( x) =

+ M ϕ ( 0)

− Bω (0) ⋅ a ⋅ sinh(a ⋅ x) − M ω (0) ⋅

- 116 -

cosh(a ⋅ x) − 1 G ⋅ JK


Bω ( x) =

+ Bω (0) ⋅ cosh(a ⋅ x)

+ M ω (0) ⋅ a ⋅ sinh(a ⋅ x)

M ω ( x) =

+ Bω (0) ⋅ a ⋅ sinh(a ⋅ x)

+ M ω (0) ⋅ cosh(a ⋅ x)

Protože platí: M K ( x) = M ϕ ( x) + M ω ( x) a současně velikost krouticího momentu podle Saint-Vénantovy teorie dokážeme vyjádřit jako: M ϕ ( x) = G ⋅ J K ⋅ϑ ( x) bude:

M ω ( x) = M K ( x) − M ϕ ( x) = M K ( x) − G ⋅ J K ⋅ϑ ( x)

Řešení původních rovnic s využitím předchozích vztahů upravili v roce 1949 Filoněnko a Borodič do tvaru, který je velice výhodný pro počítačové zpracování:

ϕ ( x ) = ϕ ( 0) + ϑ ( 0) ⋅

sinh(a ⋅ x) a

ϑ ( x) =

+ ϑ (0) ⋅ cosh(a ⋅ x)

Bω ( x) =

− ϑ ( 0) ⋅

+

Bω (0) a ⋅ x − sinh(a ⋅ x) ⋅ [1 − cosh(a ⋅ x)] + M K (0) ⋅ G ⋅ JK a ⋅G ⋅ JK

− Bω (0) ⋅ a ⋅ sh(a ⋅ x)

sinh(a ⋅ x) ⋅ G ⋅ J K + Bω (0) ⋅ cosh(a ⋅ x) a

M K ( x) =

+ M K ( 0) ⋅ + M K ( 0) ⋅

1 − cosh(a ⋅ x) G ⋅ JK

sinh(a ⋅ x) a

+ M K (0)

b) partikulární řešení mK(x) ≠ 0 Řešení pro obecný průběh zatěžujícího momentu mK je poměrně složité:

ϕ P ( x) =

x

1 ⋅ {sinh[a ⋅ ( x − ξ )] − a ⋅ ( x − ξ )}⋅ mK (ξ ) ⋅ dξ . a ⋅ G ⋅ J K ∫0

Tento výpočet se výrazně zjednoduší pro konstantní velikost mK:

ϕ P ( x) =

mK a ⋅G ⋅ JK

 a2 2  ⋅ cosh(a ⋅ x) − 1 − ⋅x . 2  

Pro spojení homogenního a partikulárního řešení využijeme Filoněnko-Borodičovy vztahy pro výpočet pomocí počátečních parametrů:

ϕ ( x) = ϕ H ( x) + ϕ P ( x) . Úplné řešení základní diferenciální rovnice stísněného kroucení při využití metody počátečních parametrů tak má pro a) mK = f(ξ), resp. pro b) mK = konst. tvar:

ϕ ( x) = ϕ (0) + ϑ (0) ⋅

sinh(a ⋅ x) Bω (0) a ⋅ x − sinh(a ⋅ x) + ⋅ [1 − cosh(a ⋅ x)] + M K (0) ⋅ + a G⋅ JK a ⋅G ⋅ JK - 117 -

a) b)

Letectví a kosmonautika/Letadlová a kosmická technika - Pevnost letadel a motorů FS ČVUT v Praze, Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky x

1 a) + ⋅ {sinh[a ⋅ ( x − ξ )] − a ⋅ ( x − ξ )}⋅ mK (ξ ) ⋅ dξ a ⋅ G ⋅ J K ∫0 b) +

mK a ⋅G ⋅ JK

  a2 ⋅ cosh(a ⋅ x) − 1 − ⋅ x 2  2  

ϑ ( x) = ϑ (0) ⋅ cosh(a ⋅ x) − Bω (0) ⋅ a ⋅ sh(a ⋅ x) + M K (0) ⋅

1 − cosh(a ⋅ x) + G⋅ JK

a) b)

x

1 ⋅ {cosh[a ⋅ ( x − ξ )] − 1}⋅ mK (ξ ) ⋅ dξ G ⋅ J K ∫0 mK b) + ⋅ sinh(a ⋅ x) − a ⋅ x 2 a ⋅G ⋅ JK a) +

[

Bω ( x) = −ϑ (0) ⋅

]

sinh(a ⋅ x) sinh(a ⋅ x) ⋅ G ⋅ J K + Bω (0) ⋅ cosh(a ⋅ x) + M K (0) ⋅ + a a x 1 a) + ⋅ ∫ sinh[a ⋅ ( x − ξ )]⋅ mK (ξ ) ⋅ dξ a 0 m b) − K2 ⋅ [cosh(a ⋅ x) − 1] a

a) b)

x

M K ( x ) = + M K ( 0) +

a) + ∫ mK (ξ ) ⋅ dξ 0

b) + mK ⋅ x

Zavedení kladného, resp. záporného momentu mK působícího na jednotku délky prutu je patrné z následujícího obrázku.

mK = konst.

mK = konst.

x

mK = −

dx

x

dM k ⇒ M K ( x) = − ∫ mK ⋅ dx dx

mK = +

dx

dM k ⇒ M K ( x) = + ∫ mK ⋅ dx dx

Obr. 6.34 – Orientace kladného/záporného momentu mK

- 118 -


Příklad 6.8: Pomocí metody počátečních parametrů vyjádřete základní veličiny stísněného kroucení po délce prutu, který je na jednom konci vetknutý (x = 0) a na druhém (x = l) je zatížen osamělým momentem M (⇒ mK = 0). Prut uvažujte nejprve jako „krátký“ (a⋅l = 1) a poté i jako „dlouhý“ (a⋅l = 5).

M x l

Obr. 6.35 – Vetknutý prut namáhaný krouticím momentem M

Počáteční parametry této úlohy jsou:

ϑ(0) = 0 ; ϕ(0) = 0

x = 0: MK(0) = Mω(0) = M ; x = l: Bω(l) = 0

a neznámý bimoment

Bω(0) = ?

a neznámé zbývající veličiny Mω(l) = ? ; Mϕ(l) = ? ; ϑ(l) = ? ; ϕ(l) = ?

Rovnici pro bimoment Bω(x) vyjádříme pomocí známých počátečních parametrů: Bω ( x) = + Bω (0) ⋅ cosh(a ⋅ x) + M K (0) ⋅

sinh(a ⋅ x) . a

Z podmínky Bω(l) = 0 určíme hodnotu bimomentu v počátku Bω(0): 0 = + Bω (0) ⋅ cosh(a ⋅ l) + M ⋅

sinh(a ⋅ l) ⇒ a

Bω (0) = −

M sinh(a ⋅ l) M ⋅ = − ⋅ tanh(a ⋅ l) . a cosh(a ⋅ l) a

Do dalších rovnic tento výsledek dosadíme:

ϕ ( x) = −

M ⋅ [tanh(a ⋅ l) ⋅ cosh(a ⋅ x) − tanh(a ⋅ l) − sinh(a ⋅ x) + a ⋅ x] a ⋅G ⋅ JK

M ϕ ( x) = M ⋅ [tanh(a ⋅ l) ⋅ sinh(a ⋅ x) − cosh(a ⋅ x) + 1] Bω ( x) = −

M ⋅ [tanh(a ⋅ l) ⋅ cosh(a ⋅ x) − sinh(a ⋅ x)] a

M ω ( x) = M − M ϕ ( x) = M ⋅ [tanh(a ⋅ l) ⋅ sinh(a ⋅ x) − cosh(a ⋅ x)]

200

Nyní si vyjádříme velikosti těchto základních veličin i na druhé, kraji prutu (x = l) pro různé hodnoty součinu a⋅l, abychom porovnali „krátký“ a dlouhý“ prut. Budeme ujažovat profil z příkladu 6.4: 1 n J K = ⋅ ∑ hi ⋅ ti3 = ... ≈ 1,333 ⋅ 105 mm 4 3 i =1

10 100

J ω = ∫∫ ω 2 ⋅ dA =... ≈ 2,917 ⋅1010 mm 6 ( A)

a=

G ⋅ JK JK 1,333 ⋅105 = = = 0,001326 mm-1 10 E ⋅ Jω 2 ⋅ (1 + v) ⋅ J ω 2,6 ⋅ 2,917 ⋅10

Obr. 6.36 – Řešený profil z příkladu 6.4 - 119 -


Tab. 6.4 – Výpočet namáhání U-profilu a⋅⋅l = 1 a⋅⋅l = 5 1,1752012 74,203211 sinh(a⋅⋅l) 1,54308063 74,209949 cosh(a⋅⋅l) 0,76159416 0,9999092 tanh(a⋅⋅l) G⋅⋅JK 10,8⋅109 N⋅mm2 a 0,001326 mm-1 M⋅1,66475⋅10−8 M⋅2,79320⋅10−7 ϕ(ll) M⋅0,352 M⋅0,986 Mϕ(ll) M⋅0,648 M⋅0,014 Mω(ll) 0 0 Bω(ll) Bω(0) M⋅574,355 M⋅754,079

a⋅l2 = 5

a⋅l1 = 1 MK

MK

ϕ(x)

ϕ(x) Mϕ Mω

M

Mϕ

Mω

M Bω(x)

Bω(x)

KRÁTKÝ PRUT (l1 = 1/5⋅l2)

DLOUHÝ PRUT (l2 = 5⋅l1)

Obr. 6.37 – Základní veličiny na krátkém/dlouhém krouceném prutu

- 120 -


7. PŘIBLIŽNÁ TEORIE KOLMÉHO KRUTOVÉHO OHYBU PŘI STÍSNĚNÉM KRUTU

v(z)

MK z

ϕ

t

l

Existuje dále přibližná teorie použitelná na tenkostěnné průřezy, které mají kvadratický sektoriální moment nulový (Jω = 0), ale v důsledku deplanace dochází k „vyztužení“ profilu při stísněném kroucení na rozdíl od volného (Saint-Vénantova) kroucení. Tuto přibližnou teorii nazývanou „kolmý krut“ si ukážeme na krutu prutu obdélníkového profilu t×h délky l, který je na jednom konci pevně vetknutý a na druhém volném konci zatížený momentem MK.

dz

h

Obr. 7.1 – Řešení kolmého krutu na prutu obdélníkového profilu

Samotný plochý prut si představíme jako řadu nosníků délky l a průřezu t×dz. dF t

v(z)

E⋅Jdz

dz

l

Obr. 7.2 – Výpočtový model jednoho nosníku

Ze základního kurzu pružnosti a pevnosti (PP I) víme, že k dosažení průhybu volného kraje v(z) tohoto „elementárního nosníku“ o výšce t, tloušťce dz a délce l je zapotřebí působení síly: v( z ) =

kde:

J dz =

dF ( z ) ⋅ l 3 3 ⋅ E ⋅ J dz

⇒

dF ( z ) =

3 ⋅ E ⋅ J dz ⋅ ⋅ v( z ) , l3

1 ⋅ dz ⋅ t 3 ... kvadratický moment elementu průřezu t×dz. 12 - 121 -


Z obrázku 7.1 je patrné, že musí platit:

v( z ) = z ⋅ ϕ

Použijeme nyní tento vztah spolu se vztahem pro kvadratický moment průřezu k vyjádření elementární síly dF(z) dz ⋅ t 3 3⋅ E ⋅ 3 12 ⋅ v( z ) ⋅ dz = E ⋅ t ⋅ ϕ ⋅ z ⋅ dz . dF = l3 4 ⋅ l3 Pomocí těchto elementárních sil vyjádříme také moment, který vyvolávají:

dM ν = dF ( z ) ⋅ z =

E ⋅t3 ⋅ ϕ ⋅ z 2 ⋅ dz . 3 4⋅l

Celkový moment takto vzniklý stanovíme integrací přes celý průřez:

E ⋅ t 3 ⋅ϕ z 3 M ν = 2 ⋅ ∫ dM ν = 2 ⋅ ⋅ 3 4 ⋅ l 3 0 h2

h2

= 0

E ⋅ t 3 ⋅ h3 ⋅ϕ . 48 ⋅ l 3

Podle Saint-Vénantovy teorie platí pro střední velikost momentu:

ϕ=

Mϕ ⋅l G ⋅ JK

=

Mϕ ⋅l G⋅

⇒ Mϕ =

h ⋅t3 3

G ⋅ h ⋅t3 3⋅ l

Celkový moment MK pak bude dán jako součet kolmého krouticího momentu Mv podle přibližné teorie a volného krouticího momentu Mϕ podle Saint-Vénanta. Jejich vzájemný poměr bude záležet na geometrii celého prutu:

G ⋅ h ⋅t3 2 Mϕ G l l 3 ⋅ = = 16 ⋅ ⋅   . M v E ⋅ t 3 ⋅ h3 E h 3 48 ⋅ l Použijeme-li známý vztah mezi moduly pružnosti E, G a Poissonovým číslem v ≈ 0,3: E = 2 ⋅ (1 + v) ≈ 2,6 G dostáváme: 2

16  l  l = ⋅   ≈ 6,154 ⋅   M v 2,6  h  h

Mϕ

2

Pro prut, kde platí l ≈ h dostáváme: Mϕ Mv

≈ 6,154

⇒

Mϕ ≈ 6,154⋅Mv , resp.

Mv ≈ 0,163⋅Mϕ .

Je vidět, že složka kolmého krutu je v tomto případě výrazně nižší než složka volného krutu. Pokud by měly být obě složky stejné, muselo by platit: Mϕ Mv

=1 ⇒

l 1 ≈ 6,154 ⋅   h

2

⇒ l ≈ 2

1 ⋅ h 2 ⇒ l ≈ 0,4⋅h. 6,154

Nyní si vyjádříme, jak se podílí kolmý krut na „vyztužení“ prutu při stísněném kroucení, jestliže platí MK = Mϕ + Mv: - 122 -


ϕ=

Mϕ ⋅l G ⋅ JK

=

Mϕ ⋅l M K M K ⋅l Mϕ M K ⋅l Mϕ M ⋅l ⋅ = ⋅ = ⋅ = K ⋅ G ⋅ JK M K G ⋅ JK M K G ⋅ JK Mϕ + M v G ⋅ JK =

M K ⋅l ⋅ G⋅ JK

1 = Mv 1+ Mϕ

1 h 1 + 0,163 ⋅   l

2

Znamená to, že kolmý krut vyztuží prut oproti volnému krutu: 2

h 1 + 0,163 ⋅   − krát . l Pro rovnost obou momentů Mv ≈ Mϕ ⇒ l ≈ 0,4⋅h bude:

ϕ=

1  1  1 + 0,163 ⋅    0,4 

2

⋅ ϕ = 0,495 ⋅ ϕ .

Takovýto krátký prut bude přibližně 2× torzně tužší než při volném kroucení. Pro l ≈ h již toto vyztužení bude přibližně jen 1,136× (o 13,6%) Pro prut délky l ≈ 10⋅h bude vliv vyztužení zanedbatelný – jen asi 1,002× (o 0,2%). Nyní vyjádříme přídavné (druhotné) normálové napětí, které vznikne v důsledku přibližné teorie kolmého krutu. Použijeme známý Bernoulliho vztah:

σv =

Mv dF ⋅ l ⋅y= ⋅y. 1 Jz 3 ⋅ dz ⋅ t 12

Nyní vyjádříme elementární sílu dF z předchozích vztahů: E ⋅t3 ⋅ ϕ ⋅ z ⋅ dz 4 ⋅ l3 E ⋅ t 3 ⋅ h3 Mν = ⋅ϕ 48 ⋅ l 3

dF =

  Mv  ⇒ dF = 12 ⋅ 3 ⋅ z ⋅ dz . h  

Dosazením do rovnice napětí dostáváme:

σv =

Mv ⋅ z ⋅ dz ⋅ l M ⋅l M ⋅l h3 ⋅ y = 3v 3 ⋅ y ⋅ z = v ⋅ y ⋅ z , 1 h ⋅t Jv ⋅ dz ⋅ t 3 12 144

12 ⋅

h3 ⋅ t 3 [mm6] ... kvadratický moment průřezu při kolmém krutovém ohybu. 144 Zavedením pojmu bimoment při kolmém krutovém ohybu Bv = Mv⋅l dostáváme: kde: J v =

Bv ⋅ y⋅z . Jv Z tohoto vztahu je patrné, že extrémních hodnot bude druhotné normálové napětí dosahovat v rozích profilu (y = ±t/2 a z = ±h/2):

σ v ( y, z ) =

σ v ( y, z ) = ±

Bv t ⋅ h B ⋅ = ±36 2 v 2 . Jv 4 h ⋅t - 123 -


Rozložení druhotných normálových napětí podle teorie kolmého krutového ohybu je patrné z následujícího obrázku 7.3. Extrémů dosahují tato napětí v rozích profilu:

σ1 = +

σ3 =

Bv h t ⋅ ⋅ Jv 2 2

Bv  h   ⋅−  ⋅− Jv  2  

Bv h t t ⋅ ⋅ =+ 2 Jv 2 2

;

σ2 =

Bv h  t  B h t ⋅ ⋅−  = − v ⋅ ⋅ Jv 2  2  Jv 2 2

;

σ4 =

Bv  h  t B h t ⋅− ⋅ = − v ⋅ ⋅ Jv  2  2 Jv 2 2

t 2

y

t 2

z

− − 36 ⋅ + 36 ⋅

h 2

+

h 2

Bv t 2 ⋅ h2

+ 36 ⋅

Bv t ⋅ h2

Bv t 2 ⋅ h2

2

− 36 ⋅

Obr. 7.3 – Rozložení druhotných napětí σv

Bv t 2 ⋅ h2

Obecně můžeme vyjádřit moment Mv podle teorie kolmého krutového ohybu v závislosti na zatěžujícím momentu MK, materiálu a celkové geometrii jako:

Mv Mv = = M K M v + Mϕ

1+

1 = Mϕ Mv

1 l 1 + 6,154 ⋅   h

Mv =

⇒

2

1

l 1 + 6,154 ⋅   h

2

⋅MK .

Poměr velikostí momentu Mv podle teorie kolmého krutového ohybu ku momentu zátěžnému MK v závislosti na délce řešeného prutu je patrný z obrázku 7.4. 0,80

poměr Mv/MK [-]

0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

poměr l/h [-] Obr. 7.4 – Podíl momentu Mv ku celkovému MK ve vetknutí dle teorie kolmého krutového ohybu - 124 -


DOSLOV

V

ážení kolegové,

rád jsem s vámi trávil každý týden páteční dopoledne. Moje přání bylo, předat vám co nejvíce informací, které by vám alespoň trochu usnadnily přípravu ke zkoušce z předmětu Pevnost letadel a motorů. Také jsem vám chtěl ukázat, že ani „vyšší“ pružnost není žádným strašákem, ale jedním z mnoha předmětů na naší škole. Doufám, že jsem vás moc nenudil a splnil předsevzetí, že chci ať se bavíte společně se mnou, s pány Hookem, Eulerem, Bernoullim a hlavně s pružností. Snad jste alespoň občas poznali, jak může být pružnost a pevnost zajímavou vědní disciplínou. Pokud jsem někoho z vás oslovil natolik, že se rozhodl i v budoucnosti se věnovat pevnostním výpočtům tak, jak se to povedlo panu profesoru Hájkovi v mém případě, jsem rád dvojnásob a již se těším na další setkání s vámi. Nezapomeňte, že stále platí moje nabídka pomoci při řešení vašich osobních a studijních problémů. Můžete si tak přijít řešit svoje problémy, i když už nebudete „moji“ studenti, protože chtě nechtě „mými“ studenty budete stále, ať vás učím nebo ne. Všem vám přeji hodně úspěchů v nastávajícím zkouškovém období, a to nejen při zkoušce z předmětu PLM, ale i z ostatních předmětů, které jsou neméně důležité pro vaše další studium. Hlavně vám přeji pevné zdraví, protože bez něho to nejde.

učitel Pevnosti letadel a motorů

KDOPAK VÁS TO VLASTNĚ UČIL? Narodil jsem se v roce 1957. Základní devítiletou školu a gymnázium jsem absolvoval v Benešově. V letech 1976 - 1981 jsem studoval na Fakultě strojní ČVUT v Praze obor Aplikovaná mechanika. Od roku 1982 učím na FS hlavně předměty: Pružnost a pevnost I a II, Pevnost letadel a motorů, Experimentální analýza napětí, Vybrané statě z mechaniky a pružnosti a nově také Experimentální metody certifikace strojů. V letech 1983 - 1984 jsem absolvoval stáž ve výpočetním oddělení SVÚSS v Praze Běchovicích, kde jsem se věnoval výpočtům potrubí a v letech 1995 - 1998 jsem učil na FD ČVUT v Praze předmět Pružnost a pevnost v bakalářském studiu. - 125 -

Jan Řezníček

PEVNOST LETADEL A MOTORŮ ZS 2015/2016 Podklad pro přednášky v navazujícím magisterském studijním programu LaK Fakulta strojní České vysoké učení technické v Praze, Technická 4, 166 07 Praha 6, http://www.pruznost.unas.cz Vystaveno dne 17. září 2015 2015 na: Vydání TŘETÍ (první vydání 2013) 124 strany strany, 139 obrázků obrázků, ků, 26 příkladů příkladů.

PEVNOST LETADEL A MOTORŮ

Recommend Documents