Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA

PRUŽNOST A PEVNOST

Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP – Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika)

Pardubice 2013

Aktualizováno: 2015

Použitá literatura:     

Technická mechanika I pro SOU, Ing. K. Mičkal, Informatorium, 2008, čtvrté vydání Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal, Informatorium, 1998, páté vydání Studijní materiál: Mechanika I (Statika, Pružnost a Pevnost), M.H. 2003, SPŠ Uherské Hradiště. Průběhy vnitřních sil na nosnících, přednáška 4 a 5, Doc. Ing. Michal Micka, CSc., Ústav mechaniky a materiálů Fakulty dopravní ČVUT v Praze. 2013 Strojnické tabulky, Jan Leinveber, Jaroslav Řasa, Pavel Vávra, Scientia spol s.r.o. pedagogické nakladatelství, 1999, třetí vydání

Dílo smí být dále šířeno pod licencí CC BY-SA (www.creativecommons.cz). Výukový text je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora. OBSAH:       o o o o o   o     o o o o o

Pružnost a Pevnost se zabývá deformací a napětím (tlakem) v zatížených konstrukcích .............................. 3 Při výpočtech rozlišujeme 3 základní úlohy:.................................................................................................. 3 Způsoby zatížení:............................................................................................................................................ 3 Druhy namáhání: ............................................................................................................................................ 4 Druhy napětí: .................................................................................................................................................. 4 Popis základních druhů namáhání: ................................................................................................................. 5 Tah .............................................................................................................................................................. 5 Tlak ............................................................................................................................................................. 5 Smyk – Střih ............................................................................................................................................... 6 Krut ............................................................................................................................................................. 7 Ohyb ........................................................................................................................................................... 8 „Tahový diagram“ (pracovní diagram, diagram napětí) ............................................................................... 10 Mechanické vlastnosti materiálu: ................................................................................................................. 11 Příklady výpočtu:...................................................................................................................................... 11 Dovolené namáhání: ..................................................................................................................................... 12 Pevnostní podmínka: .................................................................................................................................... 13 Deformační podmínka: ................................................................................................................................. 13 Kontrola: ....................................................................................................................................................... 13 Příklady výpočtu:...................................................................................................................................... 15 Výpočet namáhání v Tahu - Tlaku ........................................................................................................... 16 Výpočet namáhání na Střih (smyk) .......................................................................................................... 16 Výpočet namáhání na Krut ....................................................................................................................... 17 Výpočet namáhání na Ohyb ..................................................................................................................... 17

2

PRUŽNOST A PEVNOST  Pružnost a Pevnost se zabývá deformací a napětím (tlakem) v zatížených konstrukcích.  Při výpočtech rozlišujeme 3 základní úlohy: 1. zjištění rozměrů a tvaru – dimenzování 2. zjištění napětí (tlaku) a deformace 3. zjištění velikosti max. (dovoleného) zatížení součásti (konstrukce)  Způsoby zatížení: A) podle zatížení – druh síly osaměle působící síla

spojité zatížení

B) podle charakteru časového průběhu zatížení statické zatížení

dov • 1 3

dynamické zatížení – proměnlivá síla

dov • 0,85 Střídavé zatížení

dov • 0,65 Rázové zatížení - buchar 2/3 dov • 0,65  Druhy namáhání:

Tah – Tlak Smyk (střih) Krut Ohyb

σt τs τk σo

Účinek vnějších sil, musí být vždy v rovnováze s účinkem sil vnitřních.

 Druhy napětí: Normálové napětí  směr jeho účinku je kolmý na průřez. Označujeme ho písmenem σ (sigma). Tečné napětí  směr jeho účinku je rovnoběžný s průřezem. Označujeme ho písmenem τ (tau).

4

 Popis základních druhů namáhání: o Tah

Definice: Součást je namáhána tahem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a směřují ven z průřezu. Síly jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce. Deformace materiálu: prodloužení a zúžení průřezu Pevnostní rovnice: Druh napětí: t - normálové napětí Deformační rovnice: o Tlak

5

Definice: Součást je namáhána tlakem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a směřují dovnitř průřezu. Síly jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce. Deformace materiálu: zkrácení a rozšíření průřezu Pevnostní rovnice: Druh napětí: d - normálové napětí Deformační rovnice: E …modul pružnosti v tahu [MPa] (konstanta, která vyjadřuje pružnost materiálu,u materiálu zůstává trvalá deformace 0,005% původní délky) o Smyk – Střih

Definice: Součást je namáhána smykem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a rovnoběžné s průřezem. Deformace materiálu: posunutí součásti proti sobě (střih) Pevnostní rovnice: Druh napětí: τs - tečné napětí

6

Deformační rovnice: G …modul pružnosti ve smyku [MPa] o Krut

Definice: Součást je namáhána krutem, působí-li na ni dvojice sil a rovnoběžná s průřezem. Deformace materiálu: zkroucení Pevnostní rovnice: Druh napětí: τk - tečné napětí 7

U krutu a ohybu záleží na poloze, tvaru, nebo rozložení průřezu podle průřezové osy. Charakteristickou průřezovou veličinou je MODUL PRŮŘEZU v krutu Wk [mm3]. Hodnoty pro různé průřezy nalezneme ve strojnických tabulkách. Další důležitou veličinou charakterizující průřez, polohu, tvar a rozložení podél průřezové osy je KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU (Jx = ΣΔS.x2, Jy ΣΔS.y2,). Kromě toho ještě rozeznáváme POLÁRNÍ MOMENT PRŮŘEZU (Jp = Jx + Jy). Hodnoty pro různé průřezy nalezneme ve strojnických tabulkách.

Deformační rovnice:



Mk l 180 (rad );     ; J p  viz tabulky J p G 

o Ohyb

Definice: Součást je namáhána ohybem, působí-li na ni dvojice sil (ohybový moment) jejíž rovina je kolmá k rovině průřezu. 8

Část vláken se prodlužuje (TAH) část vláken se zkracuje (TLAK) Deformace materiálu: průhyb Pevnostní rovnice: Druh napětí: o - normálové napětí U ohybu záleží na poloze, tvaru, nebo rozložení průřezu podle průřezové osy. Charakteristickou průřezovou veličinou je MODUL PRŮŘEZU v ohybu Wo [mm3]. Hodnoty pro různé průřezy nalezneme ve strojnických tabulkách. Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech silových účinků po jedné straně řezu vůči řezu (metoda řezu). Pokud v řezu působí pouze ohybový moment, hovoříme o čistém ohybu. Ohybový moment bývá zpravidla doprovázen posouvající (smykovou) silou, tj. silou ležící v rovině řezu (u běžných nosníků tyto síly zanedbáváme). Výpočet max. ohybového momentu: 1. pomocí podmínky rovnováhy ΣFix= 0; ΣFiy= 0; ΣMi= 0, vypočítáme reakce v podporách A, B. 2. Zakreslíme průběh vnitřních sil. Začínáme z levé strany na nulové čáře. 3. Z levé strany počítáme průběh ohybových momentů. (ohybový moment v nosníku je reakcí na akci momentu vnějších silových účinků)

9

 „Tahový diagram“ (pracovní diagram, diagram napětí)

Z důvodu bezpečnosti je nutné, aby skutečné napětí vznikající v zatížených součástech, nepřekročila přímkovou oblast – oblast pružné deformace. Tgα = /ε = E [MPa] → Hookův zákon 10

 Mechanické vlastnosti materiálu:

Charakterizují houževnatost materiálu Tažnost  Kontrakce (poměrné zúžení)  o Příklady výpočtu:

Výpočet napětí Dimenzování rozměrů Výpočet velikosti deformace Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal

1. Vypočítej, jaké napětí vzniká při zatížení strojní součásti silou F v jednotlivých průřezech  a .

obr. V-1 d1 = 120 [mm]; l1 = 60 [mm]; E = 2,1• 105 [MPa] d2 = 640 [mm]; l2 = 40 [mm]; F = 1,2•105 [N] 2. Vypočítej, rozměry tyče čtvercového průřezu namáhané tahem viz obr. V-2

obr. V-2

dov = 150 [MPa];

l = 200 [mm];

F = 1,5•105 [N] 11

3. Vypočítej, jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní součásti viz obr. V-1 z příkladu 1. 4. Vypočítej, jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní součásti viz obr. V-3.

d1 = 80 [mm]; d2 = 60 [mm];

l1 = 500 [mm]; l2 = 700 [mm];

E = 0,7• 105 [MPa] F = 1,4•105 [N]

 Dovolené namáhání:

12

A) U houževnatých materiálů je zřetelná mez kluzu dov = kt / k = 0,6 •pt / k kt … mez kluzu v tahu pt … mez pevnosti v tahu k … míra bezpečnosti, volí se hodnota 1,4 až 2 (2 se volí, pokud není přesně určené namáhání, nebo jde-li o lidi) uhlíková ocel  kt = 0,5 až 0,6 •pt slitinová ocel  kt = 0,75 až 0,8 •pt B) U křehkých materiálů se počítá s mezí pevnosti dov = pt / k k … míra bezpečnosti, volí se hodnota 2,5 až 4  Pevnostní podmínka:

 Deformační podmínka:

+



 Kontrola:

Nebezpečný průřez  místo s nejmenším průřezem, tedy s největším napětím.

13

14

o Příklady výpočtu: Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal

1. Výpočtem zkontrolujte navrženou součást, zatíženou proměnlivou silou.

obr. V-1 d = 20 [mm]; D = 40 [mm]; l = 60 [mm]; F = 12•104 [N] materiál ocel 11370 pt = 370 [MPa]; míra bezpečnosti k = 1,8. 2. Určete největší dovolené zatížení F dřevěného sloupku, jehož průřez má plochu S. S = 160 x 160 [mm]; materiál dřevo Dov = 10 [MPa] 3. Určete největší dovolené zatížení F ocelového svorníku.

b = 300 [mm]; h = 15 [mm]; d = 25 [mm]; Dov = 90 [MPa]

15

o Výpočet namáhání v Tahu - Tlaku Příklad:

Vypočítej, jaké napětí vzniká při zatížení strojní součásti silou F v jednotlivých průřezech  a .

1.1.

d1 = 100 [mm];

l1 = 50 [mm]; E = 2,1• 105 [MPa]

d2 = 600 [mm];

l2 = 30 [mm]; F = 105 [N]

Řešení:

  d12

S1 

4



  1002 4

 7854 [mm ] 2

S2 

  d22 4



  6002 4

 282743 [mm2 ]

F 105  t1    12,7 [ MPa ] S1 7854

F 105  t2    0,354 [ MPa ] S 2 282743

Napětí v průřezu d1 = 100 [mm], l1= 50 [mm]

Napětí v průřezu d2 = 600 [mm], l2= 30 [mm]

1.2. Vypočítej, jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní součásti.

l 

F  l0  t  l0  [mm] S1  E E

absolutní prodloužení

l  l1  l2 

 t1  l01  t 2  l02 E



E

 3,03  103  5,057  103  3,0805  103[mm]

relativní prodloužení



l 0,003085   3,85 105 [%] l0 50  30

o Výpočet namáhání na Střih (smyk) Příklad:

Vypočítej, jaká bude střižní síla průstřižníku? Materiál, který se bude stříhat - ocel 11500 uhlíková ocel - koeficient (0,6). d = 20 [mm]; tl. = 2 [mm]; Řešení:

 s  c   P,t  0,6  500  300 [MPa]

s 

F F F   S obvod  tlouštka   d  tl .

F  S   s    d  tl   s    20  2  300  37699 [ N ] Střižná síla musí být větší než 37 699 [N]. 16

o Výpočet namáhání na Krut Příklad:

Navrhni  d a urči velikost úhlu zkroucení  kruhové hřídele, která je namáhána krouticím momentem Mk. Mk = 104 [Nmm];

materiál - ocel 11500;

l = 3 [m];



G = 8• 104 [MPa]

Mk l 180 (rad );      ; Jp  viz tabulky J p G 

Řešení: τD,k viz strojnické tabulky pro materiál ocel 11500, statická síla (τD,k= 100 [MPa])

 D,k 

Mk M 10 4  Wk  k   100 [mm3 ] Wk  D, k 100

Navržení d pro kruhový průřez:

Wk 

 d3 16

d 3

Wk 16



3

100 16



 7,986 [mm]

Velikost úhlu zkroucení:

 d4

Mk l 10 4  3000 180 Jp  ;  (rad )   0,939 (rad );    0,939   53,80 4   7,986 32 J p G  4  8  10 32

o Výpočet namáhání na Ohyb Příklad 1:

Navrhněte rozměry nápravy železničního vagónu, jde-li a) o kruhový průřez d, b) mezikrohový průřez d1, d2. G = 8• 104 [N]; a = 180 [mm]; l = 800 [mm]; materiál - ocel 11500  Do = 80 [MPa]; d1 : d2 = 2. Řešení: 1. Nakreslíme výpočtové schéma podle obrázku a), výsledkem je obrázek b). 2. Určíme vazbové síly. Vzhledem k souměrnosti konstrukce i zatížení platí: RA = RB = F = G/2 = 4• 104 [N] Poznámka: Pro výpočet vazbových sil použijeme podmínky rovnováhy: ΣFix= 0; ΣFiy= 0; ΣMi= 0. ΣMiA = 0 = F1 • a+ F2 • (a+l)+ RB • (2a+l)= - 4• 104 •180 - 4• 104 • 980+ RB •1160 17

RB = ( 4• 104 •180 - 4• 104 • 980) / 1160 = 4• 104 [N] ΣFiy = 0 = RA + F1 + F1 + RB = RA - 4• 104- 4• 104+ 4• 10 RA = 4• 104 [N] 3. Narýsujeme průběh posouvajících sil a ohybových momentů a určíme MO max.

MOx1 = RA • a = 4• 104 • 180 = 7,2• 106 [N•mm] MOx2 = RA • (a+l) + F1•l = 4• 104 • (180+800) + (- 4• 104 • 800) = 7,2• 106 [N•mm] MOx1 = MOx2 = MO max = 7,2• 106 [N•mm] 4. Rozměry nápravy určíme z pevnostní rovníce:

M O max M 7,2.106  Wo  O max   9.10 4 [mm3 ] Z modulu průřezu vypočítáme požadované rozměry. Ve Wo  Do 80 strojnických tabulkách vyčteme požadované výpočtové vztahy k jednotlivým průřezům.

 Do 

a) Pro kruhový průřez: Wo 

 32

d3  d  3

32  Wo



 97,1 [mm]

b) Pro mezikruhový průřez: d1 : d 2  2  2d 2  d1 po dosazení a úpravě rovnice →

Wo 

 d14  d 2 4 32



d1

 d2  3

32  Wo  16  99,26 [mm]; d1  49,63 [mm]   15

Příklad 2: Vypočítejte maximální ohybový moment nosníku zatížený osamělou silou. a = 1 [m]; b = 2 [m]; F1 = 10 [kN] Řešení: 1. Vypočítáme vazbové síly (Rx, Ry, Mi). Vzhledem k nesouměrnosti konstrukce i zatížení: RA ≠ RB Poznámka: Pro výpočet vazbových sil použijeme podmínky rovnováhy: ΣFix= 0; ΣFiy= 0; ΣMi= 0. ΣFiy = 0 = F1 + RA + RB = 0 ΣMiA = 0 = RA • 0 + F1 • a+ RB • (a+b)= 0 + (-10.000 •1) + RB • (1+2) RB = ( 10.000) / 3 = 3.333 [N] 18

ΣFiy = 0 = F1 + RA + RB = (- 10.000)+ 3.333 + RA RA = 6.667 [N] 3. Narýsujeme průběh posouvajících sil a ohybových momentů a určíme MO max.

Tx1 = F – RB = 10.000 – 3.333 = 6.667 [N] (posouvající síla počítaná zleva) Tx2 = F – RA = 10.000 – 6.667 = 3.333 [N] (posouvající síla počítaná zprava) Postupujeme z levé strany: MOx1 = RA • a = 6.667 • 1 = 6.667 [N•m] MOx2 = RA • x2 - F1• (x2 – a) …poznámka: (moment počítáme z leva jako součin síly a ramene) MOx1 = MO max = 6.667 [N•m]

19

20