Ing. Jan BRANDA
PRUŽNOST A PEVNOST
Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP – Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika)
Pardubice 2013
Použitá literatura: • • • • •
Technická mechanika I pro SOU, Ing. K. Mičkal, Informatorium, 2008, čtvrté vydání Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal, Informatorium, 1998, páté vydání Studijní materiál: Mechanika I (Statika, Pružnost a Pevnost), M.H. 2003, SPŠ Uherské Hradiště. Průběhy vnitřních sil na nosnících, přednáška 4 a 5, Doc. Ing. Michal Micka, CSc., Ústav mechaniky a materiálů Fakulty dopravní ČVUT v Praze. 2013 Strojnické tabulky, Jan Leinveber, Jaroslav Řasa, Pavel Vávra, Scientia spol s.r.o. pedagogické nakladatelství, 1999, třetí vydání
Dílo smí být dále šířeno pod licencí CC BY-SA (www.creativecommons.cz). Výukový text je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora. OBSAH: • • • • • • o o o o o • • o • • • • o o o o o
Pružnost a Pevnost se zabývá deformací a napětím (tlakem) v zatížených konstrukcích.............................. 3 Při výpočtech rozlišujeme 3 základní úlohy:.................................................................................................. 3 Způsoby zatížení:............................................................................................................................................ 3 Druhy namáhání: ............................................................................................................................................ 4 Druhy napětí: .................................................................................................................................................. 4 Popis základních druhů namáhání:................................................................................................................. 5 Tah.............................................................................................................................................................. 5 Tlak............................................................................................................................................................. 5 Smyk – Střih ............................................................................................................................................... 6 Krut............................................................................................................................................................. 7 Ohyb ........................................................................................................................................................... 8 „Tahový diagram“ (pracovní diagram, diagram napětí)............................................................................... 10 Mechanické vlastnosti materiálu: ................................................................................................................. 11 Příklady výpočtu:...................................................................................................................................... 11 Dovolené namáhání:..................................................................................................................................... 12 Pevnostní podmínka: .................................................................................................................................... 13 Deformační podmínka:................................................................................................................................. 13 Kontrola:....................................................................................................................................................... 13 Příklady výpočtu:...................................................................................................................................... 15 Výpočet namáhání v Tahu - Tlaku ........................................................................................................... 16 Výpočet namáhání na Střih (smyk) .......................................................................................................... 16 Výpočet namáhání na Krut....................................................................................................................... 17 Výpočet namáhání na Ohyb ..................................................................................................................... 17
2
PRUŽNOST A PEVNOST • Pružnost a Pevnost se zabývá deformací a napětím (tlakem) v zatížených konstrukcích. • Při výpočtech rozlišujeme 3 základní úlohy: 1. zjištění rozměrů a tvaru – dimenzování 2. zjištění napětí (tlaku) a deformace 3. zjištění velikosti max. (dovoleného) zatížení součásti (konstrukce) • Způsoby zatížení: A) podle zatížení – druh síly osaměle působící síla
spojité zatížení
B) podle charakteru časového průběhu zatížení statické zatížení
σdov • 1 3
dynamické zatížení – proměnlivá síla
σdov • 0,85 Střídavé zatížení
σdov • 0,65 Rázové zatížení - buchar 2/3 σdov • 0,65 • Druhy namáhání:
Tah – Tlak Smyk (střih) Krut Ohyb
σt τs τk σo
Účinek vnějších sil, musí být vždy v rovnováze s účinkem sil vnitřních.
• Druhy napětí: Normálové napětí → směr jeho účinku je kolmý na průřez. Označujeme ho písmenem σ (sigma). Tečné napětí → směr jeho účinku je rovnoběžný s průřezem. Označujeme ho písmenem τ (tau).
4
• Popis základních druhů namáhání: o Tah
Definice: Součást je namáhána tahem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a směřují ven z průřezu. Síly jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce. Deformace materiálu: prodloužení a zúžení průřezu
Pevnostní rovnice: Druh napětí: σt - normálové napětí Deformační rovnice: o Tlak
5
Definice: Součást je namáhána tlakem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a směřují dovnitř průřezu. Síly jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce. Deformace materiálu: zkrácení a rozšíření průřezu
Pevnostní rovnice: Druh napětí: σd - normálové napětí Deformační rovnice: E …modul pružnosti v tahu [MPa] (konstanta, která vyjadřuje pružnost materiálu,u materiálu zůstává trvalá deformace 0,005% původní délky) o Smyk – Střih
Definice: Součást je namáhána smykem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a rovnoběžné s průřezem. Deformace materiálu: posunutí součásti proti sobě (střih)
Pevnostní rovnice: Druh napětí: τs - tečné napětí
6
Deformační rovnice: G …modul pružnosti ve smyku [MPa] o Krut
Definice: Součást je namáhána krutem, působí-li na ni dvojice sil a rovnoběžná s průřezem. Deformace materiálu: zkroucení
Pevnostní rovnice: Druh napětí: τk - tečné napětí 7
U Krutu záleží na poloze, tvaru, nebo rozložení průřezu podle průřezové osy. Charakteristickou průřezovou veličinou je MODUL PRŮŘEZU v krutu Wk [mm3]. Hodnoty pro různé průřezy nalezneme ve strojnických tabulkách.
Deformační rovnice:
ϕ=
τk ⋅l G⋅r
(rad );ϕ ° = ϕ ⋅
180
π
o Ohyb
Definice: Součást je namáhána ohybem, působí-li na ni dvojice sil jejíž rovina je kolmá k rovině průřezu. Deformace materiálu: průhyb
Pevnostní rovnice: 8
Druh napětí: σo - normálové napětí U ohybu záleží na poloze, tvaru, nebo rozložení průřezu podle průřezové osy. Charakteristickou průřezovou veličinou je MODUL PRŮŘEZU v ohybu Wo [mm3]. Hodnoty pro různé průřezy nalezneme ve strojnických tabulkách. Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech silových účinků po jedné straně řezu vůči řezu (metoda řezu). Pokud v řezu působí pouze ohybový moment, hovoříme o čistém ohybu. Ohybový moment bývá zpravidla doprovázen posouvající (smykovou) silou, tj. silou ležící v rovině řezu (u běžných nosníků tyto síly zanedbáváme). Výpočet max. ohybového momentu: 1. pomocí podmínky rovnováhy ΣFix= 0; ΣFiy= 0; ΣMi= 0, vypočítáme reakce v podporách A, B. 2. Zakreslíme průběh vnitřních sil. 3. z levé strany počítáme průběh ohybových momentů. (ohybový moment v nosníku je reakcí na akci momentu vnějších silových účinků)
9
• „Tahový diagram“ (pracovní diagram, diagram napětí)
Z důvodu bezpečnosti je nutné, aby skutečné napětí vznikající v zatížených součástech, nepřekročila přímkovou oblast – oblast pružné deformace. Tgα = σ/ε = E [MPa] → Hookův zákon 10
• Mechanické vlastnosti materiálu:
Charakterizují houževnatost materiálu Tažnost → Kontrakce (poměrné zúžení) → o Příklady výpočtu:
Výpočet napětí Dimenzování rozměrů Výpočet velikosti deformace Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal
1. Vypočítej jaké napětí vzniká při zatížení strojní součásti silou F v jednotlivých průřezech a .
obr. V-1 d1 = 120 [mm]; l1 = 60 [mm]; E = 2,1• 105 [MPa] d2 = 640 [mm]; l2 = 40 [mm]; F = 1,2•105 [N] 2. Vypočítej rozměry tyče čtvercového průřezu namáhané tahem viz. obr. V-2
obr. V-2
σdov = 150 [MPa];
l = 200 [mm];
F = 1,5•105 [N] 11
3. Vypočítej jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní součásti viz. obr. V-1 z příkladu 1. 4. Vypočítej jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní součásti viz. obr. V-3.
d1 = 80 [mm]; d2 = 60 [mm];
l1 = 500 [mm]; l2 = 700 [mm];
E = 0,7• 105 [MPa] F = 1,4•105 [N]
• Dovolené namáhání:
A) U houževnatých materiálů je zřetelná mez kluzu σdov = σkt / k = 0,6 •σpt / k 12
σkt … mez kluzu v tahu σpt … mez pevnosti v tahu k … míra bezpečnosti, volí se hodnota 1,4 až 2 (2 se volí, pokud není přesně určené namáhání, nebo jde-li o lidi) uhlíková ocel → σkt = 0,5 až 0,6 •σpt slitinová ocel → σkt = 0,75 až 0,8 •σpt B) U křehkých materiálů se počítá s mezí pevnosti σdov = σpt / k k … míra bezpečnosti, volí se hodnota 2,5 až 4 • Pevnostní podmínka:
• Deformační podmínka:
+
→
• Kontrola:
Nebezpečný průřez → místo s nejmenším průřezem, tedy s největším napětím.
13
14
o Příklady výpočtu: Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal
1. Výpočtem zkontrolujte navrženou součást, zatíženou proměnlivou silou.
obr. V-1 d = 20 [mm]; D = 40 [mm]; l = 60 [mm]; F = 12•104 [N] materiál ocel 11370 →σ σpt = 370 [MPa]; míra bezpečnosti k = 1,8. 2. Určete největší dovolené zatížení F dřevěného sloupku, jehož průřez má plochu S. S = 160 x 160 [mm]; materiál dřevo σDov = 10 [MPa] 3. Určete největší dovolené zatížení F ocelového svorníku.
b = 300 [mm]; h = 15 [mm]; d = 25 [mm]; σDov = 90 [MPa]
15
o Výpočet namáhání v Tahu - Tlaku Příklad: 1.1.
Vypočítej jaké napětí vzniká při zatížení strojní součásti silou F v jednotlivých průřezech a . d1 = 100 [mm]; l1 = 50 [mm]; E = 2,1• 105 [MPa] d2 = 600 [mm]; l2 = 30 [mm]; F = 105 [N]
Řešení:
S1 =
π ⋅ d1 2 4
=
π ⋅100 2 4
4
= 7854 [mm ]
S2 =
π ⋅ d22 4
=
π ⋅ 600 2 4
= 282743 [ mm 4 ]
F 105 σ t1 = = = 12,7 [ MPa ] S1 7854
F 105 σ t2 = = = 0,354 [ MPa ] S 2 282743
Napětí v průřezu d1 = 100 [mm].
Napětí v průřezu d1 = 600 [mm].
1.2.
Vypočítej jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní součásti.
F ⋅ l01 σ t1 ⋅ l01 = [ mm 4 ] S1 ⋅ E E absolutní prodloužení
∆l = ∆l1 + ∆l1 =
F ⋅ l01 F ⋅ l02 12,73 ⋅ 50 + = = 3,03 ⋅10 −3 + 5,057 ⋅10 −5 = 3,0805 ⋅10 −3[ mm 4 ] 5 S1 ⋅ E S 2 ⋅ E 2,1 ⋅10
relativní prodloužení
ε=
∆l 0,003085 = = 3,85 ⋅10 −5 [%] l0 50 + 30
o Výpočet namáhání na Střih (smyk) Příklad: Vypočítej jaká bude střižní síla průstřižníku? Materiál, který se bude stříhat - ocel 11500 uhlíková ocel - koeficient (0,6) d = 20 [mm]; tl = 2 [mm]; Řešení:
τ s = c ⋅ σ P ,t = 0,6 ⋅ 500 = 300 [ MPa ] τs =
F F F = = ; S obvod ⋅ tloušťka π ⋅ d 2 ⋅ tloušťka 4
F = S ⋅τ s =
π ⋅d 2 4
⋅ tl ⋅τ s =
π ⋅ 20 2 4
⋅ 2 ⋅ 300 = 37699 [ N ]
16
Střižná síla musí být větší než 37 699 [N].
o Výpočet namáhání na Krut Příklad: Navrhni ∅ d a urči velikost úhlu zkroucení ϕ kruhového hřídele, který je namáhán kroutícím momentem Mk. Mk = 104 [Nmm]; l = 3 [m]; materiál - ocel 11500; G = 8• 104 [MPa]
ϕ=
τ k ⋅l G⋅r
(rad ); ϕ ° = ϕ ⋅
180
π
Řešení: τD,k→ viz strojnické tabulky pro materiál ocel 11500, statická síla (τD,k= 100 [MPa])
τ D,k
Mk M k 10 4 = → Wk = = = 100 [ mm 3 ] Wk τ D , k 100
Navržení ∅d pro kruhový průřez:
Wk =
π ⋅d3 16
→d =3
Wk ⋅16
π
=3
100 ⋅16
π
= 7,986 [mm]
Velikost úhlu zkoucení:
Jp =
π ⋅d4 32
;ϕ =
τk ⋅l G⋅r
=
Mk ⋅l M ⋅l = k = Wk ⋅ G ⋅ r G ⋅ J p
104 ⋅ 3000 = 0,939 [rad ] 4 π ⋅ 7 , 986 8 ⋅ 104 ⋅ 32
o Výpočet namáhání na Ohyb Příklad: Navrhněte rozměry nápravy železničního vagónu, jde-li a) o kruhový průřez d, b) mezikrohový průřez d1, d2. G = 8• 104 [N]; a = 180 [mm]; l = 800 [mm]; materiál - ocel 11500 → σDo = 80 [MPa]; d1 : d2 = 2. Řešení: 1. Nakreslíme výpočtové schéma podle obrázku a), výsledkem je obrázek b). 2. Určíme vazbové síly. Vzhledem k souměrnosti konstrukce i zatížení platí: RA = RB = F = G/2 = 4• 104 [N] Poznámka: Pro výpočet vazbových sil použijeme podmínky rovnováhy: ΣFix= 0; ΣFiy= 0; ΣMi= 0. ΣMiA = 0 = F1 • a+ F2 • (a+l)+ RB • (2a+l)= - 4• 104 •180 - 4• 104 • 980+ RB •1160 17
RB = ( 4• 104 •180 - 4• 104 • 980) / 1160 = 4• 104 [N] ΣFiy = 0 = RA + F1 + F1 + RB = RA - 4• 104- 4• 104+ 4• 10 RA = 4• 104 [N] 3. Narýsujeme průběh posouvajících sil a ohybových momentů a určíme MO max.
MOx1 = RA • a = 4• 104 • 180 = 7,2• 106 [N•mm] MOx2 = RA • (a+l) + F1•l = 4• 104 • (180+800) + (- 4• 104 • 800) = 7,2• 106 [N•mm] MOx1 = MOx2 = MO max = 7,2• 106 [N•mm]
4. Rozměry nápravy určíme z pevnostní rovníce:
M O max M 7,2.10 6 → Wo = O max = = 9.10 4 [mm 3 ] Z modulu průřezu vypočítáme požadované rozměry. Ve σ Do Wo 80 strojnických tabulkách vyčteme požadované výpočtové vztahy k jednotlivým průřezům.
σ Do ≥
a) Pro kruhový průřez: Wo =
π 32
⋅d3 → d = 3
32 ⋅ Wo
π
= 97,1[ mm]
b) Pro mezikruhový průřez: d1 : d 2 = 2 → 2d 2 = d1 po dosazení a úpravě rovnice →
Wo =
π d1 4 ⋅ d 2 4 32
⋅
d1
→ d2 = 3
32 ⋅ Wo ⋅ 16 = 99,26[mm]; d1 = 49,63[ mm] π ⋅ 15
18
19
