Pružnost a pevnost I
Pružnost a pevnost I teoretické otázky 2007 – Ing. Tomáš PROFANT, Ph.D. verze 1.1
OBSAH: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
Tenzor napětí Věta o sdruženosti smykových napětí Saint Venantův princip Tenzor deformace (přetvoření) Geometrická reprezentace tenzoru deformace (přetvoření) Hookův zákon Práce síly při deformaci tělesa Věta o superpozici Věta o vzájemnosti prácí – Bettiho věta Věta Castiglianova Výsledné vnitřní účinky prutů (VVÚ) Prostý krut Prostý tlak a tah Prostý ohyb Tlakové namáhání prutu ze skutečného materiálu Hlavní souřadnicový systém Zvláštní typy napjatosti – trojosá (prostorová) napjatost Zvláštní typy napjatosti – dvojosá (rovinná) napjatost Zvláštní typy napjatosti – jednoosá (přímková) napjatost Zvláštní typy napjatosti – nulová napjatost Grafické znázornění napjatosti
created by Stana & Blucher
Stránka | 1
Stránka | 2 1.
Pružnost a pevnost I
Tenzor napětí σ x τ xy τ xz σi (i = x, y, z) jsou normálová napětí Tσ = τ yx σ y τ yz τij (i, j = x, y, z; i ≠ j) jsou smyková napětí τ zx τ zy σ z Napjatost v bodě tělesa je jednoznačně určena tenzorem napětí Tσ.
2.
Věta o sdruženosti smykových napětí Smyková napětí působící ve vzajemně kolmých elementarních řezech kolmo k jejich průsečnici jsou stejně veliká a orientovaná buď k průsečnici, nebo od ní.
3.
Saint Venantův princip Nahradíme-li v určité oblasti tělesa jednu silovou soustavu jinou, staticky ekvivalentní soustavou, pak napjatost tělesa je pro obě zatiženi prakticky stejná s vyjimkou blízkého okolí oblasti náhrady, jehož rozměry δ jsou srovnatelné s rozměry této oblasti.
4.
Tenzor deformace (přetvoření) ε i (i = x, y, z) jsou délková přetvoření γ xy γ xz εx γ ij (i, j = x, y, z; i ≠ j) jsou úhlová přetvoření 2 2 γ γ yz Tε = yx ε y 2 Deformace v bodě tělesa je poměrná deformace elementárního 2 γ zx γ zy ε z prvku tělesa, který tento bod tělesa obsahuje. Je popsána 2 2 tenzorem přetvoření Tε .
5.
Geometrická reprezentace tenzoru deformace (přetvoření) Deformace elementární krychle je dána poměrnými změnami délek tří jejich hran a tří uhlů mezi jejími stěnami.
created by Stana & Blucher
Pružnost a pevnost I 6.
Stránka | 3
Hookův zákon Závislost mezi napětím σ a přetvořením ε je u oceli lineární, dostáváme tak materiál lineárně pružný, jehož vlastnosti popisuje Hookův zákon.
- Závislost mezi napětím σx a přetvořením v podélném směru: σ x = E ⋅ε x
E – Yongův modul pružnosti v tahu
- Délková přetvoření lze určit ze vztahu: ε y = ε z = −µ ⋅ ε x µ – součinitel příčné kontrakce (Poissonovo číslo) - Smyková napjatost v rovině: G – modul pružnosti ve smyku: G =
τ = G ⋅γ
- Obecný Hookův zákon: 7.
Popisuje lineární závislost každé složky tenzoru napětí na všech složkách tenzoru přetvoření.
Práce síly při deformaci tělesa Každá síla, jejíž působiště se posunuje, koná práci: AF =
uFK
∫
FduF =
0
uFK
∫ 0
cuF duF =
cuF2K 2
=
FK2 1 = FK uFK 2c 2
Integrál si lze geometricky představit jako plochu pod křivkou v grafu F = F (uF) a při lineární závislosti sily a posuvu odpovídá obsahu znázorněného trojúhelníka. 8.
Věta o superpozici Napjatost a deformace tělesa zatíženého silovou soustavou je v lineární pružnosti rovna součtu napjatostí a deformací způsobených jednotlivými silami této soustavy.
9.
Věta o vzájemnosti prácí – Bettiho věta ur ur Při působeni F 1 a F 2 na lineárně pružné těleso platí, ur že práce sily F 1 na složkách deformace vyvolaných silou ur ur F 2 je rovna práci sily F 2 na složkách deformace ur vyvolaných silou F 1 . F1 ⋅ u12 = F2 ⋅ u21
created by Stana & Blucher
E 2 ⋅ (1 + µ )
Stránka | 4
Pružnost a pevnost I
10. Věta Castiglianova Působi-li na lineárně pružné těleso (soustavu) silová soustava, pak posuv uJ působiště ur sily F J po její nositelce je dán parcialní derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této síly. ∂W uJ = ∂FJ uur Úhel natočení ϕ J přímky spojené s působištěm silové dvojice M J v rovině jejiho působení je dán parcialní derivaci celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této dvojice. ∂W ϕJ = ∂M J 11. Výsledné vnitřní účinky prutů (VVÚ) Schwedlerova věta:
dN ( x ) = − qN ( x ) dx
dT ( x ) = − qT ( x ) dx
dM O ( x ) = T ( x) dx
qT – spojité zatížení, T ( x ) – posouvající síly 12. Prostý krut Tenzor napětí v krutu:
Tenzor deformace:
0 τ 0 τ σ = τ 0 0 0 0 0
0 γ Tε = 2 0
γ 2 0 0
0 0 0
13. Prostý tlak a tah V prutu vzniká trojosý stav deformace, tenzor deformace:
V prutu vzniká jednoosá napjatost, tenzor napětí:
τ xϕ = τ ϕ x = τ τ – jsou smyková napětí
γ xϕ = γ = ρ ⋅ ϑ γ – úhlové přetvoření
εx Tε = 0 0
0 εy 0
σ x Tσ = 0 0
0 0 0
0 0 ε z 0 0 0
created by Stana & Blucher
Pružnost a pevnost I
Stránka | 5
14. Prostý ohyb V každém bodě prutu vzniká obecný trojosý stav deformace, popsaný tenzorem deformace:
U prostého ohybu vzniká v bodech prutu jednoosá napjatost, která ale na rozdíl od prostého tahu není homogenní, tenzor jednoosé napjatosti:
εx Tε = 0 0
0 εy 0
σ x Tσ = 0 0
0 0 0
0 0 ε z 0 0 0
Proměnnost ohybového momentu podél střednice – maximální smykové napětí v obdélníkovém a kruhovém průřezu:
τ max =
3T 2S
τ max =
4T 3S
15. Tlakové namáhání prutu ze skutečného materiálu Závislost tlakového napětí σkr v bodě rozdvojení rovnováhy na štíhlosti prutu λ je hyperbolou vyššího stupně (Eulerova hyperbola).
16. Hlavní souřadnicový systém Tenzor napětí v hlavním souřadnicovém systému:
σ1 0 Tσ = 0 σ 2 0 0
0 0 σ 3
Hlavní napětí je normálové napětí v takové rovině, v niž jsou smyková napětí rovna uur uur nule (tj. obecné napětí v řezu je kolmé k tomuto řezu ( f ρ = σ ρ )).
created by Stana & Blucher
Stránka | 6
Pružnost a pevnost I
17. Zvláštní typy napjatosti – trojosá (prostorová) napjatost 1) Obecná:
σ1 ≠ σ 2 ≠ σ 3 ≠ 0
2) Polorovnoměrná:
a) σ1 = σ 2 ≠ 0, σ 3 ≠ 0 b) σ 2 = σ 3 ≠ 0, σ 1 ≠ 0
3) Rovnoměrná:
σ1 = σ 2 = σ 3 = σ
18. Zvláštní typy napjatosti – dvojosá (rovinná) napjatost 1) Obecná:
a) σ 3 = 0, σ 1 ≠ σ 2 ≠ 0 b) σ 2 = 0, σ 1 ≠ σ 3 ≠ 0 c) σ1 = 0, σ 2 ≠ σ 3 ≠ 0 2) Rovnoměrná:
a) σ 3 = 0, σ 1 = σ 2 ≠ 0 b) σ 1 = 0, σ 2 = σ 3 ≠ 0 3) Prutová: Je dána normálovou a smykovou složkou napětí v příčném průřezu prutu.
σ x = σ ≠ 0, τ xy = τ ≠ 0
4) Smyková: Je zvláštním případem prutové napjatosti pro σ = 0 . Pak pro hlavní napětí platí:
σ1 = −σ 3 = τ , σ 2 = 0
created by Stana & Blucher
Pružnost a pevnost I
Stránka | 7
19. Zvláštní typy napjatosti – jednoosá (přímková) napjatost
a) tahová σ1 > 0, σ 2 = σ 3 = 0 b) tlaková σ 3 < 0, σ 1 = σ 2 = 0 20. Zvláštní typy napjatosti – nulová napjatost
σ1 = σ 2 = σ 3 = 0 21. Grafické znázornění napjatosti Nazývá se Mohrova kružnice napjatosti prostého tahu ( σ > 0 ) resp. tlaku ( σ < 0 ).
created by Stana & Blucher
