PRUZˇNOST A PEVNOST I Ucˇebnı´ text
Prof. RNDr. Ing. Jan Vrbka, DrSc.
´ stav mechaniky teˇles, mechatroniky a biomechaniky U Fakulta strojnı´ho inzˇeny´rsvı´ VUT v Brneˇ
Brno, 2011
Tato publikace vznikla jako soucˇa´st projektu CZ.1.07/2.2.00/07.0406 ”Zavedenı´ proble´moveˇ orientovane´ho vzdeˇla´va´nı´ do studijnı´ch pla´nu˚ strojnı´ho inzˇeny´rstvı´”, ktery´ je spolufinancova´n evropsky´m socia´lnı´m fondem a sta´tnı´m rozpocˇtem Cˇeske´ republiky
Obsah 1
´ VAZNOSTI DEFINICE, LITERATURA, NA
2
´ KLADNI´ POJMY ZA 2.1 Deformace teˇlesa . . . . . . . . . . 2.2 Napjatost teˇlesa . . . . . . . . . . . 2.3 Zatı´zˇenı´ teˇlesa . . . . . . . . . . . . 2.4 Meznı´ stavy teˇlesa . . . . . . . . . . 2.5 Deformacˇneˇ pevnostnı´ spolehlivost .
. . . . .
. . . . .
1
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
3 3 7 16 18 20
3
ˇ TY LINEA ´ RNEˇ PRUZˇNE´HO TEˇLESA OBECNE´ VLASTNOSTI A OBECNE´ VE
23
4
´ KLADNI´ MATERA ´ LOVE´ CHARAKTEZA ´ A TLAKOVA ´ ZKOUSˇKA RISTIKY, TAHOVA
35
5
6
7
ˇ NOSTI A PEVNOSTI PRUT V PRUZ 5.1 Prutove´ prˇedpoklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Klasifikace prutu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Hledisko geometricke´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Hledisko vazeb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Urcˇova´nı´ napjatosti a deformace v prˇ´ıcˇne´m pru˚rˇezu . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Algoritmus urcˇova´nı´ VVU, integra´lnı´ a diferencia´lnı´ vztahy mezi zatı´zˇenı´m a slozˇkami VVU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Pruty va´zane´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vneˇjsˇ´ım . . . . . . . . . .
´ HA ´ NI´ NA TAH A TLAK NAMA 6.1 Za´kladnı´ vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Napjatost v sˇikme´m rˇezu, rozbor tahove´ napjatosti . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Vliv zmeˇny prˇ´ıcˇne´ho pru˚rˇezu pode´l strˇednice . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Vliv promeˇnlivosti norma´love´ sı´ly N (x) pode´l strˇednice . . . . . . . . 6.2.3 Vliv zakrˇivenı´ strˇednice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Algoritmus urcˇova´nı´ napjatosti a deformace prˇi tahove´m (tlakove´m) nama´ha´nı´ . 6.4 Soustavy teˇles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ HA ´ NI´ NA OHYB NAMA 7.1 Za´kladnı´ vztahy pro napeˇtı´ a deformaci v rˇezu . . . . . . . . . . . 7.2 Poloha neutra´lnı´ osy pru˚rˇezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Nebezpecˇne´ mı´sto pru˚rˇezu, pevnostnı´ kontrola . . . . . . . . . . . 7.4 Energie napjatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Deformace prutu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Vliv odchylek od prˇ´ıpadu proste´ho ohybu na napjatost a deformaci 7.6.1 Zmeˇna pru˚rˇezu pode´l strˇednice . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2 Vliv prˇ´ıcˇne´ho silove´ho zatı´zˇenı´ prutu . . . . . . . . . . . 7.6.3 Vliv zakrˇivenı´ strˇednice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Nama´ha´nı´ na ohyb, prakticke´ aplikace . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1 Pruty prˇ´ıme´ - demonstracˇnı´ prˇ´ıklady . . . . . . . . . . . . 7.7.2 Pruty lomene´ - ra´my . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.3 Pruty zakrˇivene´ a pruty smı´sˇene´ - demonstracˇnı´ prˇ´ıklady .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
44 44 47 47 48 49 52 56
. . . . . . .
59 59 63 67 69 74 76 80
. . . . . . . . . . . . .
91 91 97 98 103 104 110 110 112 124 133 136 149 164
8
9
´ HA ´ NI´ NA KRUT NAMA 8.1 Za´kladnı´ vztahy pro napeˇtı´ a deformaci v rˇezu . . . . 8.2 Pevnostnı´ kontrola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Energie napjatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Vliv odchylek od prˇ´ıpadu proste´ho krutu na napjatost 8.5 Va´lcova´ pruzˇina s maly´m stoupa´nı´m . . . . . . . . . 8.6 Nama´ha´nı´ na krut, demonstracˇnı´ prˇ´ıklady . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
ˇ RNE´ STABILITY PRUTU˚ MEZNI´ STAV VZPE 9.1 Vliv odchylek od idea´lnı´ho prˇ´ıpadu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Vliv zakrˇivenı´ strˇednice a excentricke´ho pu˚sobenı´ vneˇjsˇ´ıho zatı´zˇenı´ F 9.1.2 Vliv promeˇnlivosti pru˚rˇezu a modulu pruzˇnosti E pode´l strˇednice . . 9.1.3 Vliv ulozˇenı´ prutu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4 Vliv rea´lne´ho materia´lu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Pevnostnı´ kontrola prˇ´ıme´ho stlacˇovane´ho prutu . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Demonstracˇnı´ prˇ´ıklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ TEˇLESA 10 NAPJATOST V BODE 10.1 Za´kladnı´ vztahy pro napeˇtı´ v obecne´m rˇezu . . . . . . . . . . . . . 10.2 Hlavnı´ roviny, hlavnı´ napeˇtı´ a hlavnı´ smeˇry . . . . . . . . . . . . . 10.3 Hlavnı´ sourˇadnicovy´ syste´m, vztahy pro obecne´ napeˇtı´ a jeho slozˇky 10.4 Zna´zorneˇnı´ napjatosti v Mohroveˇ rovineˇ, Mohrovy kruzˇnice . . . . 10.5 Zvla´sˇtnı´ prˇ´ıpady napjatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1 Rovinna´ napjatost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.2 Prutova´ napjatost a prosty´ smyk . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Klasifikace napjatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ LU 11 MEZNI´ STAVY MATERIA 11.1 Meznı´ stav pruzˇnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Podmı´nka plasticity maxima´lnı´ho smykove´ho napeˇtı´ τmax 11.1.2 Podmı´nka plasticity oktaedricke´ho smykove´ho napeˇtı´ τokt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Meznı´ stav krˇehke´ pevnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
172 172 176 177 178 180 181
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
189 195 195 196 196 199 201 202
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
204 204 208 213 215 219 219 223 224
227 . . . . . . . . . . 227 . . . . . . . . . . 227 . . . . . . . . . . 231 . . . . . . . . . . 235
ˇ TI´ ´ BEZPECˇNOST, REDUKOVANE´ NAPE 12 PODMI´NKY BEZPECˇNOSTI, PROSTA
241
´ NAMA ´ HA ´ NI´ 13 KOMBINOVANA 13.1 Kombinovane´ nama´ha´nı´ na tah a ohyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Kombinovane´ nama´ha´nı´ na ohyb a smyk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Kombinovane´ nama´ha´nı´ na ohyb a krut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245 245 247 249
ˇ EZOVE´ CHARAKTERISTIKY Prˇ´ıloha A: PRU˚R
257
´ KLADY METODY KONECˇNY´CH PRVKU˚ Prˇ´ıloha B: ZA
1
PRUZˇNOST A PEVNOST I 1
´ VAZNOSTI DEFINICE, LITERATURA, NA
Pruzˇnost a pevnost (PP) se zaby´va´ urcˇova´nı´m deformace, napjatosti a porusˇova´nı´m celistvosti teˇlesa v za´vislosti na vneˇjsˇ´ım zatı´zˇenı´. Soucˇa´stı´ PP je rovneˇzˇ formulace tzv. meznı´ch stavu˚ a stanovenı´ bezpecˇnosti a spolehlivosti.
Doporucˇena´ literatura: Janı´cˇek, Ondra´cˇek, Vrbka, Bursˇa: Mechanika teˇles, Pruzˇnost a pevnost I, CERM, 2004 Bursˇa, Hornı´kova´, Janı´cˇek: Pruzˇnost a pevnost, CERM 2003, rovneˇzˇ interaktivnı´ ucˇebnı´ text VUT FSI 2002 ´ lohy z pruzˇnosti a pevnosti I, VUT Janı´cˇek, Florian: U Hoschl: Pruzˇnost a pevnost ve strojnictvı´, SNTL Praha, ALFA Bratislava, 1977 Gere, Timosˇenko. Mechanics of materials, Chapman and Hall, London, Glasgow, 1991
1
´ VAZNOSTI NA PPI navazuje na
a) statiku (podmı´nky staticke´ rovnova´hy, staticka´ analy´za atd.). PP je jeden z prˇedmeˇtu˚ Mechaniky teˇles - statika, PP, kinematika, dynamika) b) matematiku (matematicka´ formulace u´loh PP a jejich rˇesˇenı´ - integra´lnı´ a diferencia´lnı´ pocˇet, diferencia´lnı´ rovnice atd.) c) materia´love´ inzˇeny´rstvı´ (materia´love´ charakteristiky) d) fyziku (atomova´ struktura la´tek, teorie dislokacı´, krystalicka´ struktura atd.) e) u´vod do strojı´renstvı´ (konstruova´nı´) (prˇedstava o za´kladnı´ch strojnı´ch dı´lech a jejich funkci) f) teorie syste´mu˚, teorie modelova´nı´, teorie experimentu (tvorba vhodny´ch vy´pocˇtovy´ch modelu˚ u´loh atd.)
2
2
´ KLADNI´ POJMY ZA
2.1
Deformace teˇlesa
Prˇi deformaci teˇlesa se meˇnı´ poloha bodu˚ teˇlesa vzhledem ke vztazˇne´mu sourˇadnicove´mu syste´mu (i vzda´lenosti bodu˚) a tvar teˇlesa i jeho cˇa´stı´. Deformace teˇlesa je matematicky popsa´na dveˇma zpu˚soby a) posuvy ~u(u, v, w) ve vsˇech bodech A ⊂ Ω b) deformacı´ vsˇech elementu˚ teˇlesa ad a)
3
ad b) Prvkem (elementem) teˇlesa rozumı´me kazˇdou jeho oddeˇlitelnou cˇa´st. Konecˇny´ prvek - vsˇechny rozmeˇry prvku jsou konecˇne´ Elementa´rnı´ prvek - alesponˇ jeden rozmeˇr je infinitesima´lneˇ maly´ (jedno-, dvoj-, trojna´sobneˇ elementa´rnı´ prvek).
Deformace teˇlesa je urcˇena deformacı´ kazˇde´ho trojna´sobneˇ elementa´rnı´ho prvku (elementu) teˇlesa. Deformacı´ je zde prˇitom mı´neˇna zmeˇna rozmeˇru˚ a tvaru elementu.
4
Matematicke´ vyja´drˇenı´ deformace elementu teˇlesa
Relativnı´ zmeˇna rozmeˇru˚ a tvaru elementu
5
Zmeˇna rozmeˇru˚ elementu je popsa´na de´lk. prˇetvorˇenı´mi εx, εy a εz dx0 − dx εx = dx
dy 0 − dy εy = dy
dz 0 − dz εz = dz
(2.1)
Zmeˇna tvaru elementu je popsa´na u´hlovy´mi prˇetvorˇenı´mi (zkosy), ktere´ geometricky prˇedstavujı´ zmeˇnu prave´ho u´hlu γxy = α + β
γyz = γ + δ
γzx = ε + ψ
(2.2)
Pozn: uvedene´ vztahy (1) platı´ pro mala´ prˇetvorˇenı´ ε < 0,05. Deformace v obecne´m bodeˇ A teˇlesa je popsa´na deformacı´ elementa´rnı´ho prvku, ktery´ tento bod obsahuje. Deformace je urcˇena tzv. tenzorem prˇetvorˇenı´ Tε. γxy 2
εx γxy Tε = 2 εy
γzy 2
γxz 2
γxz 2 γzy 2
(2.3)
εz
ktery´ je symetricky´m tenzorem druhe´ho rˇa´du, ktery´ obsahuje 6 neza´visly´ch prvku˚. Deformace teˇlesa je homogennı´, pokud je ve vsˇech bodech A teˇlesa Ω stejna´, tj. tenzor prˇetvorˇenı´ Tε je ve vsˇech bodech A stejny´. Deformaci povazˇujeme za nehomogennı´, je-li v ru˚zny´ch bodech A teˇlesa ru˚zna´. Deformace mu˚zˇe by´t i po cˇa´stech nehomogennı´. 6
2.2
Napjatost teˇlesa
Definice: Napjatostı´ v bodeˇ teˇlesa A rozumı´me mnozˇinu obecny´ch napeˇtı´ f~ a jeho slozˇek σ, τ , ktere´ pu˚sobı´ ve vsˇech rˇezech ω, ktere´ bodem A procha´zejı´.
Za´kladnı´m krokem ke stanovenı´ obecny´ch napeˇtı´ f~ a jeho slozˇek σ a τ je uvolneˇnı´ prvku teˇlesa Ω1 rˇezem ω a zavedenı´ u´cˇinku˚ vza´jemne´ho pu˚sobenı´, tzv. plosˇny´ch sil.
Elementa´rnı´ sı´lu vza´jemne´ho pu˚sobenı´ v mı´steˇ A oznacˇ´ıme dF~A dF~A = f~A dS
(2.4)
dF~A ~ fA = dS
(2.5)
kde f~A je tzv. obecne´ napeˇtı´.
7
dF~A = dF~n + dF~t
(2.6)
dF~A dF~n dF~t = + dS dS dS f~A = f~n + f~t = σ~en + τ~et
(2.7)
σ - norma´love´ napeˇtı´ [Nm−2 = Pa] [Nmm−2 = MPa] τ - smykove´ napeˇtı´ [Nm−2 = Pa] [Nmm−2 = MPa] Vztahy mezi obecny´m napeˇtı´m a jeho slozˇkami √ f=
σ2
+
τ2
σ=
p
f2
−
τ2
τ=
p
f 2 − σ2
(2.8)
Zname´nkova´ konvence pro slozˇky napeˇtı´ σ>0
napeˇtı´ ma´ smeˇr vneˇjsˇ´ı norma´ly (tahove´)
σ>0
napeˇtı´ ma´ smeˇr vnitrˇnı´ norma´ly (tlakove´)
Zname´nkova´ konvence pro τ ma´ smluvnı´ charakter ve vazbeˇ na pouzˇity´ sourˇadnicovy´ syste´m. Nasˇ´ı snahou je nynı´ urcˇit f~A ve vsˇech bodech A rˇezu σ.
8
Provedeme staticky´ rozbor silove´ soustavy pu˚sobı´cı´ na prvek teˇlesa Ω1, sesta´vajı´cı´ z podsoustavy vneˇjsˇ´ıch sil π1 a soustavy vnitrˇnı´ch sil πv . Pocˇet nezna´my´ch parametru˚
µ=∞
Pocˇet pouzˇitelny´ch podmı´nek staticke´ rovnova´hy Stupenˇ staticke´ neurcˇitosti
v=6
s=µ−ν =∞
´ loha stanovenı´ obecny´ch napeˇtı´ f~A v rˇezu σ je obecneˇ u´lohou nekoU necˇneˇkra´t staticky neurcˇitou a nenı´ ji tedy mozˇne´ rˇesˇit v ra´mci statiky. V ra´mci obecne´ Pruzˇnosti a pevnosti se proble´m rˇesˇ´ı dveˇma prˇ´ıstupy: a) diferencia´lnı´m prˇ´ıstupem pomocı´ vztahu˚ obecne´ pruzˇnosti, ktere´ se sesta´vajı´ z diferencia´lnı´ch podmı´nek rovnova´hy pro uvolneˇny´ trojna´sobneˇ elementa´rnı´ prvek, geometricky´ch podmı´nek, konstitutivnı´ch vztahu˚ (Hookeova za´kona) a okrajovy´ch podmı´nek. Analyticky v uzavrˇene´m tvaru je tato u´loha rˇesˇitelna´ pouze v jednoduchy´ch prˇ´ıpadech. Numericke´ rˇesˇenı´ naprˇ. metodou sı´tı´ je cˇasto nestabilnı´. b) integra´lnı´m prˇ´ıstupem pomocı´ variacˇnı´ch principu˚ (Lagrangeu˚v variacˇnı´ prˇ´ıstup) resp. pomocı´ principu virtua´lnı´ch pracı´. Numericke´ rˇesˇenı´ u´lohy zejme´na pomocı´ Metody konecˇny´ch prvku˚ (MKP). V ra´mci proste´ Pruzˇnosti a pevnosti se u´loha zjednodusˇuje zavedenı´m urcˇity´ch prˇedpokladu˚ o pru˚beˇhu deformace resp. napeˇtı´ v charakteristicky´ch rˇezech, ktere´ vyply´vajı´ z prakticky´ch zkusˇenostı´, hovorˇ´ıme o pracovnı´ch prˇedpokladech.
9
Za´kladnı´ ota´zkou vsˇak zu˚sta´va´, v jake´m stavu je nutne´ uvolnˇovat prvek teˇlesa. Korektneˇ bychom meˇli uvolnˇovat v zatı´zˇene´m, tj. ve zdeformovane´m stavu, ale deformaci doprˇedu nezna´me. Navı´c tento postup vede obecneˇ k nelinea´rnı´ za´vislosti mezi napjatostı´ a deformacı´ (PP druhe´ho rˇa´du). Ve veˇtsˇineˇ prˇ´ıpadu˚ se nasˇteˇstı´ ukazuje, zˇe napjatost (f~A , resp. vnitrˇnı´ silove´ u´cˇinky) neza´visı´ podstatneˇ na deformaci teˇlesa a mu˚zˇeme tedy prvek teˇlesa uvolnˇovat v nezdeformovane´m stavu. Pro linea´rneˇ pruzˇne´ teˇleso potom jde o linea´rnı´ za´vislost mezi vnitrˇnı´mi silovy´mi u´cˇinky a deformacı´ teˇlesa (PP prve´ho rˇa´du).
PP I. rˇa´du My (x) = −F x PP II. rˇa´du My (x) = −F x0 Hodnotu x0 doprˇedu nezna´me, je to vy´sledek rˇesˇenı´ (iteracˇnı´ proces).
10
VEˇTY O NAPEˇTI´ A NAPJATOSTI Problematikou urcˇova´nı´m napjatosti a deformace v teˇlesech v za´vislosti na vneˇjsˇ´ım zatı´zˇenı´ se budeme zaby´vat v pru˚beˇhu cele´ho prˇedmeˇtu PPI. Jizˇ na zacˇa´tku je ale zapotrˇebı´ zna´t jiste´ za´vislosti, ktere´ si uvedeme formou veˇt. a) Obecne´ napeˇtı´ f~A za´visı´ na tvaru teˇlesa Ω, zatı´zˇenı´ π, poloze bodu A, rˇezu ω a materia´lovy´ch charakteristika´ch
b) Obecne´ napeˇtı´ f~A v rˇezech ωi je stejne´, pokud tyto rˇezy majı´ stejnou norma´lu ~en c) Obecne´ napeˇtı´ f~A je linea´rnı´ kombinacı´ jednotkove´ho vektoru norma´ly ~en v tomto bodeˇ
11
f~A = Tσ~en resp. v maticove´m tvaru {fA} = [Tσ ]{αn} kde [Tσ ] je tzv. tenzor napeˇtı´ definovany´ na´sledovneˇ
σx τxy τxz
[Tσ ] = τ σ τ xy y zy τxz τzy σz
Jde o symetricky´ tenzor druhe´ho rˇa´du obsahujı´cı´ 6 neza´visly´ch prvku˚. d) Nahradı´me-li silovou soustavu π silovou soustavou staticky ekvivalentnı´ πe, pak obecne´ napeˇtı´ f~A v bodech A je pro obeˇ silove´ soustavy obecneˇ ru˚zne´.
12
Z definice napjatosti v bodeˇ teˇlesa A a vztahu ad c) plyne, zˇe napjatost v bodeˇ teˇlesa je urcˇena tenzorem napeˇtı´ [Tσ ] v tomto bodeˇ. Napjatost teˇlesa je potom da´na napjatostı´ ve vsˇech bodech teˇlesa. Napjatost v teˇlese je homogennı´, pokud je ve vsˇech bodech A teˇlesa stejna´, tzn. zˇe ve vsˇech bodech A teˇlesa je tenzor napeˇtı´ [Tσ ] stejny´. Napjatost v teˇlese je nehomogennı´, je-li v ru˚zny´ch bodech ru˚zna´. Napjatost mu˚zˇe by´t i po cˇa´stech nehomogennı´.
13
SAINT-VENANTU˚V PRINCIP Z prakticky´ch zkusˇenostı´ vyply´va´, zˇe staticky ekvivalentnı´ na´hradou πe silove´ soustavy π je ovlivneˇna napjatost pouze v bezprostrˇednı´m okolı´ na´hrady. Tuto skutecˇnost poprve´ intuitivneˇ formuloval Saint-Venant. Nahradı´me-li silove´ pu˚sobenı´ π v okolı´ bodu P na povrchu Γ jiny´m, staticky ekvivalentnı´m zatı´zˇenı´m πe, pak napjatost v teˇlese bude pro obeˇ zatı´zˇenı´ prakticky stejna´ s vy´jimkou bezprostrˇednı´ho okolı´ bodu P.
Z
Z p1 dS =
Γp1
Z p2 dS =
Γp2
Z p3 dS =
Γp3
14
pi dS = F Γpi
Saint-Venantu˚v princip umozˇnˇuje a) zavedenı´ velicˇiny osameˇle´ sı´ly F~ v Pruzˇnosti a pevnosti b) vytva´rˇet vy´pocˇtove´ modely styku teˇles (redukce pocˇtu nezna´my´ch)
c) rozdeˇlit rˇesˇenı´ napjatosti a deformace va´zane´ho teˇlesa na rˇesˇenı´ rovnova´hy teˇlesa jako celku a pak napjatosti a deformace uvolneˇne´ho teˇlesa
POZOR: Saint-Venantu˚v princip je mozˇne´ pouzˇ´ıt pouze tehdy, je-li oblast sˇpatneˇ stanovene´ napjatosti Ωi mimo kritickou oblast Ωk , ktera´ rozhoduje o bezpecˇnosti. Nelze naprˇ. pouzˇ´ıt u kontaktnı´ch u´loh.
15
2.3
Zatı´zˇenı´ teˇlesa
Zatı´zˇenı´ teˇlesa je zpu˚sobeno interakcı´ teˇlesa s okolı´m nebo vnitrˇnı´mi procesy, ktere´ v teˇlesa probı´hajı´. Vy´sledkem je vznik napjatosti a deformace s mozˇnostı´ vzniku porusˇenı´ celistvosti teˇlesa. Do zateˇzˇovacı´ho pu˚sobenı´ patrˇ´ı: − silove´ zateˇzˇova´nı´ (osameˇle´ sı´ly F~i [N], liniove´ sı´ly ~qj [Nm−1], plosˇne´ sı´ly p~k [Nm−2], objemove´ sı´ly ~ol [Nm−3]
− deformacˇnı´ zateˇzˇova´nı´ (prˇedepsany´ posuv ~u v jiste´m mı´steˇ na povrchu teˇlesa - realizace naprˇ. dotazˇenı´m matice o jisty´ pocˇet ota´cˇek, nasazenı´m objı´mky na hrˇ´ıdel atd.) − objemove´ zateˇzˇova´nı´ (nehomogennı´ teplota, zmeˇna objemu pru˚beˇhu fa´zovy´ch zmeˇn (austenit - martenzit) atd.). Zatı´zˇenı´ od nehomogennı´ teploty se obvykle nazy´va´ teplotnı´ zatı´zˇenı´
16
Charakteristicke´ pu˚sobenı´ - pu˚sobenı´, ktere´ samo nevede ke vzniku napjatosti, ale ktere´ mu˚zˇe ovlivnit vznik meznı´ch stavu˚ - teplota, korozivnı´ prostrˇedı´ atd.
Zava´dı´me na´sledujı´cı´ pojmy: zateˇzˇovacı´ stav - Z(t) vy´chozı´ stav - Z(0). Veˇtsˇinou prˇedpokla´da´me, zˇe napjatost je v tomto stavu nulova´. historie zateˇzˇova´nı´ - Z(t) pro t ∈< 0, t > vlastnı´ napjatost - napjatost v teˇlese bez vneˇjsˇ´ıho zatı´zˇenı´ Z(t) = 0. Tato napjatost je zpu˚sobena celou historiı´ zateˇzˇova´nı´ (kalenı´, tva´rˇenı´ za studena, monta´zˇnı´ operace, vznik loka´lnı´ plasticke´ deformace v pru˚beˇhu zateˇzˇova´nı´ atd.
17
2.4
Meznı´ stavy teˇlesa
Meznı´m stavem (MS) rozumı´me stav, kdy se meˇnı´ charakteristicka´ vlastnost teˇlesa. 1. Meznı´ stavy souvisejı´cı´ s deformacı´ teˇlesa a) Meznı´ stav deformace je takovy´ MS, po jehozˇ prˇekrocˇenı´ ztra´cı´ soucˇa´stka svoji funkcˇnı´ zpu˚sobilost.
b) Meznı´ stav pruzˇnosti. S teˇlesem provedeme za´teˇzˇny´ cyklus, spocˇ´ıvajı´cı´ v zatı´zˇenı´ a na´sledne´m odtı´zˇenı´. Po prˇekrocˇenı´ MS pruzˇnosti zu˚sta´vajı´ v teˇlese trvale´ (plasticke´) deformace.
18
c) Meznı´ stav deformacˇnı´ stability. Geometricka´ konfigurace stabilnı´ do tohoto stavu se sta´va´ labilnı´ a stabilnı´ se sta´va´ jina´ geometricka´ konfigurace (prˇi stejne´m zpu˚sobu nama´ha´nı´).
2. Meznı´ stavy souvisejı´cı´ s porusˇova´nı´m celistvosti teˇlesa Meznı´ stav porusˇenı´ - vznikajı´ prvnı´ trhlinky zjistitelne´ dostupny´mi prostrˇedky. Meznı´ stav trhlin - porusˇenı´ funkcˇneˇ prˇ´ıpustne´ se meˇnı´ na funkcˇneˇ neprˇ´ıpustne´.
Meznı´ stav stability trhlin - trhlina prˇesta´va´ by´t stabilnı´ a sˇ´ırˇ´ı se bez prˇ´ıjmu energie z vneˇjsˇku (bez vneˇjsˇ´ıho zatı´zˇenı´).
Meznı´ stav lomu - teˇleso se rozpada´ na dveˇ cˇi vı´ce cˇa´stı´.
19
2.5
Deformacˇneˇ pevnostnı´ spolehlivost
Za´kladnı´m pozˇadavkem na kazˇdou konstrukci je, aby plnila svoji funkci a) v realizovane´m stavu (po monta´zˇi) b) za beˇzˇny´ch a neˇktery´ch mimorˇa´dny´ch podmı´nek c) po pozˇadovanou dobu Schopnost konstrukce za teˇchto podmı´nek pracovat se nazy´va´ spolehlivost, ktera´ se kvantitativneˇ vyjadrˇuje charakteristikami spolehlivosti a to ru˚zny´m zpu˚sobem a) slovneˇ (spolehlivost dostatecˇna´, mala´, vyhovujı´cı´, prˇimeˇrˇena´) b) jednoduchou relacı´ ve tvaru α S αM (αD )
σ S σK (σD )
σred S σK (σD )
Kde α je velicˇina charakterizujı´cı´ spolehlivost ve vysˇetrˇovane´m stavu a αM je meznı´ hodnota te´to velicˇiny. α < αM (αD )
− vyhovujı´cı´
α = αM (αD )
− nevyhovujı´cı´
20
c) koeficientem bezpecˇnosti, zkra´ceneˇ bezpecˇnostı´ kM vu˚cˇi aktua´lnı´mu meznı´mu stavu kM =
αM α
kk =
σk σk ; σ σred
kM < 1(kD )
− vyhovuje
kM = 1(kD )
− nevyhovuje
Pozn: Z du˚vodu vy´pocˇtovy´ch neprˇesnostı´ (ve stanovenı´ zatı´zˇenı´, materia´lovy´ch parametrech, okrajovy´ch podmı´nka´ch, vlastnı´m vy´pocˇtu atd.) je v relacı´ch mı´sto hodnoty 1 hodnota veˇtsˇ´ı nezˇ 1, plynoucı´ z prakticky´ch zkusˇenostı´). d) zˇivotnost - doba, resp. pocˇet zateˇzˇovacı´ch cyklu˚ do vzniku meznı´ho stavu relace
kde - t,N
t < tf
N < Nf
vyhovuje
t = tf
N = Nf
nevyhovuje
je doba, resp. pocˇet cyklu˚, ktere´ jsou pozˇadova´ny z du˚vodu spra´vne´ funkce konstrukce
tf ,Nf je doba, resp. pocˇet cyklu˚ do vzniku meznı´ho stavu (veˇtsˇinou lomu)
21
´ LOH V PRUZˇNOSTI A PEVNOSTI TYPY U 1. U´lohy pomocne´. Urcˇujı´ se velicˇiny, ktere´ nejsou pruzˇnostneˇ pevnostnı´mi charakteristikami, ale jsou du˚lezˇite´ pro vy´pocˇet napjatosti a deformace pomocı´ prˇ´ıslusˇny´ch vztahu˚. − pru˚rˇezove´ charakteristiky prutu˚ − vy´sledne´ vnitrˇnı´ silove´ u´cˇinky u prutu˚ ´ lohy o kontrole. U ´ loha je zada´na u´plneˇ (zna´me geometrii teˇ2. U lesa, materia´love´ charakteristiky, silove´ pu˚sobenı´, vazby k ra´mu). ´ kolem je veˇtsˇinou stanovit bezpecˇnost vu˚cˇi aktua´lnı´mu meznı´mu U stavu. ´ lohy o urcˇova´nı´ parametru˚. U ´ loha je zada´na neu´plneˇ. U ´ kolem 3. U je urcˇit nezadane´ parametry (cˇasto rozmeˇry), aby spolehliveˇ nenastal meznı´ stav. ´ lohy o optimalizaci. U ´ loha je zada´na neu´plneˇ. U ´ kolem je stano4. U vit nezadane´ parametry tak, aby spolehliveˇ nenastal aktua´lnı´ meznı´ stav a soucˇasneˇ byla splneˇna optimalizacˇnı´ podmı´nka (naprˇ. minima´lnı´ hmotnost). ´ lohy o odvozova´nı´ a dokazova´nı´. Pozˇaduje se odvozenı´ jisty´ch 5. U vztahu˚, za´vislostı´, veˇt o silove´m pu˚soben, napjatosti a deformaci. Jde o u´lohy teoreticke´ho charakteru.
22
3
OBECNE´ VLASTNOSTI A OBECNE´ VEˇTY LIˇ NE´HO TEˇLESA ´ RNEˇ PRUZ NEA
Charakteristickou vlastnostı´ linea´rneˇ pruzˇne´ho teˇlesa je linea´rnı´ za´vislost mezi zatı´zˇenı´m, napeˇtı´mi, deformacemi a posuvy.
V prˇ´ıpadeˇ pruzˇne´ho teˇlesa je tato za´vislost nelinea´rnı´, ale po odtı´zˇenı´ se dosta´va´me do pu˚vodnı´ho stavu. U pruzˇne´ho teˇlesa (a samozrˇejmeˇ i v linea´rneˇ pruzˇne´m prˇ´ıpadeˇ) za´visı´ napjatost a deformace pouze na zatı´zˇenı´, ktere´ na teˇleso v dane´m okamzˇiku pu˚sobı´ a nenı´ tedy za´visle´ na historii zateˇzˇova´nı´. Pro pruzˇne´ teˇleso platı´ za´kon zachova´nı´ energie v na´sledujı´cı´m tvaru: Prˇi zateˇzˇova´nı´ teˇlesa v pruzˇne´m stavu je prˇ´ıru˚stek energie napjatosti dW roven prˇ´ıru˚stku deformacˇnı´ pra´ce dA vsˇech sil, pu˚sobı´cı´ch na teˇleso. dW = dA
23
(3.9)
Prˇi zateˇzˇova´nı´ z nezatı´zˇene´ho stavu bez vnitrˇnı´ napjatosti platı´ prˇ´ıslusˇna´ rovnost pro celkove´ hodnoty W =A
(3.10)
V dalsˇ´ım se omezı´me na linea´rneˇ pruzˇne´ teˇleso. K tomu je zapotrˇebı´, aby bylo splneˇno neˇkolik podmı´nek a) materia´l teˇlesa je linea´rneˇ pruzˇny´. Konstitutivnı´ vztahy popisujı´cı´ vazbu mezi napeˇtı´mi a deformacemi jsou popsa´ny tzv. Hookeovy´m za´konem. V prˇ´ıpadeˇ isotropicke´ho materia´love´ho modelu je mechanicke´ chova´nı´ materia´lu urcˇeno dveˇma neza´visly´mi materia´lovy´mi konstantami, jmenoviteˇ modulem pruzˇnosti E a Poissonovy´m cˇ´ıslem µ b) deformacˇnı´ posuvy ~u jsou male´ a neovlivnˇujı´ napjatost a deformaci c) slozˇky tenzoru prˇetvorˇenı´ Tε jsou male´ (ε < 0, 05) d) okrajove´ podmı´nky jsou linea´rnı´
24
Deformacˇnı´ pra´ce osameˇle´ sı´ly F
uF
Z A=
A
0
F = c uF F duF = FA = c uFA
Z =
uF
A
c uF duF =
0
F
=
c
u2FA 2
z }|A { c uFA uFA FA uFA 1 = = = FA uFA |{z} 2 2 2
(3.11)
slozˇka posuvu
Veˇta o superposici napjatosti a deformace Napjatost a deformace teˇlesa, zpu˚sobena´ silovou soustavou Π je rovna soucˇtu napjatostı´ a deformacı´ zpu˚sobeny´ch jednotlivy´mi silovy´mi u´cˇinky, prˇicˇemzˇ neza´visı´ na porˇadı´ zateˇzˇova´nı´.
25
Veˇta o vza´jemnosti pracı´
Soucˇasne´ zateˇzˇova´nı´ silami F~1 a F~2
0 → F~1 ∪ F~2
Postupne´ zateˇzˇova´nı´ I
0 → F~1 → F~1 ∪ F~2
1 1 AI = F1u11 + F1u12 + F2u22 2 2
(3.12)
0 → F~2 → F~1 ∪ F~2
Postupne´ zateˇzˇova´nı´ II
1 1 AII = F2u22 + F1u11 + F2u21 2 2
26
(3.13)
V souladu s prˇedchozı´ veˇtou o superposici platı´ AI = AII
A z porovna´nı´ vztahu˚ (4) a (5) dosta´va´me F1u12 = F2u21
(3.14)
Cozˇ je mozˇne´ vyja´drˇit slovneˇ: Pra´ce sı´ly F1 na posuvu u12 zpu˚sobene´m v mı´steˇ 1 silou F2 je rovna pra´ci sı´ly F2 na posuvu u21 zpu˚sobene´m v mı´steˇ 2 silou F1 (Bettyho veˇta). Veˇta o vza´jemnosti posuvu˚
Pu˚sobı´-li v mı´stech 1 a 2 jednotkove´ sı´ly ~e1 a ~e2, potom pro slozˇky posuvu˚ platı´: η12 = η21
27
(3.15)
Deformacˇnı´ pra´ce silove´ dvojice
A=
2 X 1 i=0
1 1 Fiui = F u + F u = 2 2 2
1 1 1 1 = F rϕ + F rϕ = F · 2r Mϕ ϕ = } 2 2 2 | {z 2 Fd
28
(3.16)
Veˇta o deformacˇnı´ pra´ci silove´ soustavy
ni nn nk R R P 1X 1X 1 Fiui + qnu ds + 2 A= pk u dS+ 2 i=1 2 n=1 γn k=1 Γp k
1 + 2
Z Ω
nj X 1
n
l R 1X ou dV + Mj ϕj + ml ϕl ds 2 j=1 2 γl
l=1
29
(3.17)
Castiglianova veˇta
Nasˇ´ım cı´lem je stanovit slozˇku posuvu uk , pu˚sobisˇteˇ sı´ly Fk , ktera´ pu˚sobı´ na povrchu linea´rneˇ pruzˇne´ho teˇlesa
Stav I
-
zatı´zˇenı´ teˇlesa silovou soustavou
π ∪ F~k
Stav II
-
zatı´zˇenı´ teˇlesa silovou soustavou
π ∪ F~k ∪ dF~k resp. π ∪ dF~k ∪ F~k
1 AI = Aπ + Fk uk 2 AII = Aπ +
1 1 dFk duk + Fk uk + dFk uk |2 {z } 2 →0
30
Prˇ´ıru˚stek pra´ce vneˇjsˇ´ıch sil dA = AII − AI = dFk uk
(3.18)
Z cˇisteˇ matematicke´ho pohledu je pra´ce A silove´ soustavy π slozˇenou funkcı´ zatı´zˇenı´ A(π) = A(Fi, Mj ) Tota´lnı´ diferencia´l (prˇ´ıru˚stek) je potom roven nj ni X X ∂A ∂A dFi + dMj dA = ∂F ∂M k j j=1 i=1
(3.19)
V nasˇem prˇ´ıpadeˇ, kdy pu˚sobı´ pouze dFk platı´ dA =
∂A dFk ∂Fk
(3.20)
Z porovna´nı´ (10) a (12) s prˇihle´dnutı´m k (2) dosta´va´me tzv. Castiglianovu veˇtu pro posuv ve smeˇru pu˚sobı´cı´ sı´ly ve tvaru uk =
∂W ∂A = ∂Fk ∂Fk
(3.21)
Zname´nkova´ konvence - je-li uk > 0, potom se posuv realizuje ve smeˇru pu˚sobı´cı´ sı´ly.
31
Analogicky´m postupem je mozˇne´ odvodit Castiglianovo veˇtu pro natocˇenı´ ϕl v mı´steˇ pu˚sobenı´ silove´ dvojice ϕl =
∂W ∂A = ∂Ml ∂Ml
(3.22)
Zname´nkova´ konvence - je-li ϕl > 0, potom se natocˇenı´ realizuje ve smeˇru pu˚sobenı´ silove´ dvojice Ml .
Pozn: Pokud chceme stanovit posunutı´ resp. natocˇenı´ v mı´stech, kde nepu˚sobı´ zˇa´dna´ osameˇla´ sı´la resp. silova´ dvojice, zava´dı´me do teˇchto mı´st velicˇiny doplnˇkove´ Fd resp. Md . Potom pro posuv resp. u´hel natocˇenı´ dosta´va´me ud =
∂W ∂W ; ϕd = ∂Fd ∂Md
(3.23)
Cely´ postup prova´dı´me s obecny´mi hodnotami Fd resp. Fd, jejichzˇ hodnoty prˇed za´veˇrecˇnou matematickou operacı´ polozˇ´ıme rovny 0.
32
ˇ NEˇ PLASTICKE´HO ´ KLADNI´ VLASTNOSTI PRUZ ZA ˇ LESA ´ LU A TE MATERIA Jestlizˇe po zatı´zˇenı´ a na´sledne´m odtı´zˇenı´ zu˚stanou v teˇlese trvale´ deformace, potom bylo teˇleso (materia´l) pod zatı´zˇenı´m ve stavu elastickoplasticke´m
Urcˇova´nı´ napjatosti a deformace a napjatosti a deformace je v tomto prˇ´ıpadeˇ znacˇneˇ obtı´zˇneˇjsˇ´ı nezˇ u linea´rneˇ pruzˇne´ho teˇlesa. Touto problematikou se zaby´va´ specia´lnı´ cˇa´st mechaniky teˇles, s na´zvem plasticita.
Za´kladnı´ vlastnosti pruzˇneˇ-plasticke´ho teˇlesa je mone´ shrnout na´sledovneˇ: a) za´vislost mezi zatı´zˇenı´m a deformacˇnı´mi posuvy resp. mezi napeˇtı´m a deformacı´ je v pruzˇneˇ-plasticke´m stavu nelinea´rnı´. Jenı´m z du˚sledku˚ je i to, zˇe napjatost a deformace za´visejı´ na cele´ historii zateˇzˇova´nı´ b) neplatı´ princip superposice c) plasticka´ deformace nasta´va´ po prˇekrocˇenı´ jiste´ meznı´ hodnoty napeˇtı´ - meze kluzu σk 33
d) odlehcˇ´ıme-li teˇleso z pruzˇneˇ plasticke´ho stavu prˇi nehomogennı´ napjatosti, potom vzniknou v teˇles zbytkova´ napeˇtı´ (vlastnı´ napjatost). Nejjednodusˇsˇ´ım materia´lovy´m vy´pocˇtovy´m modelem je tzv. idea´lnı´ pruzˇneˇ-plasticky´ materia´l
34
4
´ KLADNI´ MATERA ´ LOVE´ CHARAKTEZA ´ A TLAKOVA ´ ZKOUSˇKA RISTIKY, TAHOVA
Pro rˇesˇenı´ u´lohy pruzˇnosti a pevnosti jak v ra´mci obecne´ tak i proste´ PP je nezbytne´ zna´t konstitutivnı´ vztahy materia´lu, ktere´ prˇedstavujı´ za´vislost mezi napjatostı´ a deformacı´. Ty lze stanovit pouze experimenta´lneˇ na za´kladeˇ vhodneˇ usporˇa´dany´ch zkousˇek. Zı´skane´ deformacˇnı´ charakteristiky se prˇevedou na hledanou napjatostneˇ-deformacˇnı´ za´vislost tedy na hledane´ konstitutivnı´ vztahy. Za´kladnı´m experimentem v ra´mci PPI je tahova´ a tlakova´ zkousˇka
35
Tahovy´ diagram pro ocel
Charakteristicke´ body na tahove´m diagramu L - mez linea´rnı´ho chova´nı´ materia´lu E - mez pruzˇne´ho chova´nı´ materia´lu H - hornı´ mez kluzu D - dolnı´ mez kluzu P - mez u´nosnosti (smluvnı´ mez pevnosti) F - pocˇa´tek lomu T - konec lomu Smluvnı´ napeˇtı´ σx =
F S0
(4.24)
Pomeˇrne´ deformace (pomeˇrna´ prˇetvorˇenı´) εx =
∆l
l0
εy =
∆a
a0
36
εz =
∆b
b0
(4.25)
Poissonovo cˇ´ıslo (soucˇinitel prˇ´ıcˇne´ kontrakce) µ=−
εy εz =− εx εx
(4.26)
Poissonovo cˇ´ıslo pro ocel
Pro pruzˇnostneˇ-pevnostnı´ vy´pocˇet tahovy´ diagram zjednodusˇujeme, vytva´rˇ´ıme tzv. vy´pocˇtovy´ model materia´lu.
kde σkt je tzv. modelova´ mez kluzu.
37
Vy´pocˇtovy´ model tahove´ho diagramu vykazuje trˇi charakteristicke´ oblasti I Oblast pruzˇny´ch deformacı´ (na inzˇeny´rske´ rozlisˇovacı´ u´rovni oblast linea´rneˇ pruzˇny´ch deformacı´), kde platı´ jednoducha´ linea´rnı´ za´vislost (Hookeu˚v za´kon) σx = Eεx
(σ = Eε)
(4.27)
E - modul pruzˇnosti v tahu, ocel E = (1, 9 − 2, 1) · 105 MPa εy = εz = −µεx
(4.28)
µ - Poissonovo cˇ´ıslo, ocel µ = 0,3 Chova´nı´ izotrop. mat. je popsa´no neza´visly´mi konstantami E a µ Pomeˇrne´ objemove´ prˇetvorˇenı´ e (do 5%) l ε
b ε
a0 ε y 0 x 0 z z}|{ z}|{ z}|{ V − V0 l0 + ∆l a0 + ∆a b0 + ∆b −l0a0b0 = = e= V0 l0a0b0
=
l0(1 + εx)a0(1 − µεx)b0(1 − µεx) − l0a0b0 = l0a0b0 = (1 + εx)(1 − µεx)(1 − µεx) − 1 = = εx − µεx − µεx − µε2x − µε2x | {z }
male´, zanedba´me
εx(1 − 2µ)
38
(4.29)
Z prˇedchozı´ho vztahu vyply´va´ na´sledujı´cı´ omezenı´ pro hodnotu µ µ 5 0, 5
(4.30)
Tato relace je du˚sledkem podmı´nky, zˇe prˇi tahove´m nama´ha´nı´ musı´ dojı´t ke zveˇtsˇenı´ objemu, tedy e = 0. V prˇ´ıpadeˇ krajnı´ hodnoty µ = 0,5 hovorˇ´ıme o tzv. nestlacˇitelne´m materia´lu. Uvedeny´ tvar tahove´ho diagramu odpovı´da´ materia´lu ve stavu tva´rne´m. Tahovy´ diagram materia´lu ve stavu krˇehke´m ma´ jiny´ charakteristicky´ tvar:
Zava´dı´ se tu soucˇinitel κ κ=
σRt σRd
Litina 0, 25 ÷ 0, 3
(4.31)
σRt - krˇehka´ mez pevnosti v tahu σRd - krˇehka´ mez pevnosti v tlaku Tahovy´ diagram ma´ v tomto prˇ´ıpadeˇ prˇiblizˇneˇ linea´rnı´ charakter.
39
II Oblast rovnomeˇrny´ch pruzˇneˇ-plasticky´ch deformacı´ Ve sledovane´ oblasti se vzorek zuzˇuje po cele´ de´lce rovnomeˇrneˇ. Monotonnı´ zateˇzˇova´nı´ se deˇje po tahove´ krˇivce, odteˇzˇova´nı´ probı´ha´ po prˇ´ımce se stejny´m sklonem jako v oblasti I
Napeˇtı´ prˇi odteˇzˇova´nı´ je da´no vztahem σ = σ ∗ − E(ε∗ − ε)
(4.32)
Deformace v te´to oblasti za´visı´ na historii zateˇzˇova´nı´
III Oblast nerovnomeˇrny´ch pruzˇneˇ-plasticky´ch deformacı´ Docha´zı´ k loka´lnı´ koncentraci plasticke´ deformace a vznika´ zu´zˇenı´ - krcˇek. V ra´mci proste´ PP nedoka´zˇeme urcˇit napjatost a deformaci.
40
Vlivy na tahovy´ diagram 1) Vlivy metalurgicke´ (chemicke´ slozˇenı´ materia´lu)
C↑
σKt ↑
εf ↓
Cr ↑
σKt ↑
2) Vliv teploty T ↑
σKt ↑
εf ↓
3) Rychlost zateˇzˇova´nı´ ε˙ =
d d l − l0 . v ε= = = dt dt l0 l0
41
rychlost cˇela tycˇe pu˚vodnı´ de´lka tycˇe
Vliv na transitnı´ teplotu krˇehkosti TB
S ru˚stem rychlosti prˇetvorˇenı´ ε˙ roste na´chylnost ke krˇehke´mu lomu, jelikozˇ transitnı´ teplota TB se zvysˇuje.
Tahovy´ diagram prˇi pomale´m (staticke´m) a rychle´m (dynamicke´m) zateˇzˇova´nı´
42
4) Vliv velikosti teˇlesa Tahovy´ diagram σ(ε) je materia´lovou charakteristikou, ktera´ nenı´ podstatneˇ za´visla´ na velikosti zkusˇebnı´ch tycˇ´ı, pokud je zajisˇteˇna homogenita chemicke´ho slozˇenı´, struktury, napjatosti, defektu˚, atd. U neˇktery´ch mechanicky´ch charakteristik je za´vislost na velikosti vzorku mensˇ´ı (modul pruzˇnosti E, Poissonovo cˇ´ıslo µ), u jiny´ch veˇtsˇ´ı (mez kluzu σK , krˇehka´ mez pevnosti σR , mez u´navy σu, tranzitnı´ teplota krˇehkosti TB ).
Pro ilustraci je v na´sledujı´cı´m grafu uvedena za´vislost meze kluzu na velikosti zkusˇebnı´ho teˇlesa
43
5 5.1
PRUT V PRUZˇNOSTI A PEVNOSTI Prutove´ prˇedpoklady
Prut je nejjednodusˇsˇ´ım vy´pocˇtovy´m modelem rea´lne´ho teˇlesa z hlediska vysˇetrˇova´nı´ deformace a napjatosti. Musı´ splnˇovat jiste´ geometricke´, deformacˇnı´ a napjatostnı´ prˇedpoklady, ktere´ souhrnneˇ nazy´va´me prutovy´mi prˇedpoklady. a) Prˇedpoklady geometricke´ Prut je geometricky urcˇen strˇednicı´ γ a prˇ´ıcˇny´m pru˚rˇezem ψ(s) v kazˇde´m mı´steˇ strˇednice s
- strˇednice γ je spojnice teˇzˇisˇt’pru˚rˇezu˚ ψ ; strˇednice γ je spojita´ krˇivka - pru˚rˇez ψ je jedno- cˇi vı´cena´sobneˇ souvisla´ oblast vymezena´ rovnicı´ hranice - de´lka strˇednice l je minima´lneˇ stejneˇ velika´ jako nejveˇtsˇ´ı rozmeˇr hmax prˇ´ıcˇne´ho pru˚rˇezu, veˇtsˇinou l hmax.
44
b) Prˇedpoklady zateˇzˇovacı´ a vazbove´ - zatı´zˇenı´ pu˚sobı´ na strˇednici - vazby omezujı´ posuv a natocˇenı´ strˇednice
Uvazˇujeme vazby bodove´ (kloubova´ podpora pevna´, posuvna´) a vetknutı´.
c) Prˇedpoklady deformacˇnı´ - strˇednice γ zu˚sta´va´ po zatı´zˇenı´ spojitou krˇivkou - prˇ´ıcˇne´ pru˚rˇezy ψ zu˚sta´vajı´ i po deformaci rovinny´mi a kolmy´mi ke zdeformovane´ strˇednici
45
d) Prˇedpoklady napjatostnı´ - napjatost u prutu je urcˇena norma´lnı´m napeˇtı´m σ a smykovy´m napeˇtı´m τ v prˇ´ıcˇne´m pru˚rˇezu
46
5.2
Klasifikace prutu˚
5.2.1
Hledisko geometricke´
a) Dle krˇivosti strˇednice - pruty prˇ´ıme´ - pruty krˇive´ - rovinne´, prostorove´ b) Dle uzavrˇenosti strˇednice - pruty otevrˇene´ - pruty uzavrˇene´ Def. Prut povazˇujeme za n-kra´t uzavrˇeny´, mu˚zˇeme-li ho rozdeˇlit na dveˇ cˇa´sti rˇezem, obsahujı´cı´m n+1 bodu˚ strˇednice
c) Dle pomeˇru rozmeˇru prˇ´ıcˇne´ho pru˚rˇezu a polomeˇru krˇivosti strˇednice - pruty slabeˇ zakrˇivene´
h R
=
1 5
- pruty silneˇ zakrˇivene´
h R
>
1 5
47
c) Dle promeˇnlivosti pru˚rˇezu - pruty konstantnı´ho pru˚rˇezu - prismaticke´ - pruty promeˇnlive´ho pru˚rˇezu - spojita´ zmeˇna, skokova´ zmeˇna (vrub) c) Dle promeˇnlivosti pru˚rˇezu - pruty nesˇroubove´ (hlavnı´ centra´lnı´ osy kvadraticky´ch momentu˚ pru˚rˇezu˚ se nenata´cˇejı´ - pruty sˇroubove´
5.2.2
Hledisko vazeb
- pruty volne´ - pruty va´zane´ a) staticky urcˇite´ - stykove´ vy´slednice je mozˇne´ stanovit na za´kladeˇ staticky´ch podmı´nek rovnova´hy b) staticky neurcˇite´ - stykove´ vy´slednice se stanovı´ na za´kladeˇ staticky´ch podmı´nek rovnova´hy a prˇ´ıslusˇne´ho pocˇtu deformacˇnı´ch podmı´nek
48
5.3
Urcˇova´nı´ napjatosti a deformace v prˇ´ıcˇne´m pru˚rˇezu
´ lohu rˇesˇ´ıme ve dvou krocı´ch. Nejprve stanovı´me v rˇezu vy´sledne´ U vnitrˇnı´ (silove´) u´cˇinky (VVU) a na´sledneˇ napjatost a deformaci. VVU se stanovı´ na za´kladeˇ staticky´ch podmı´nek rovnova´hy prvku prutu, uvolneˇne´ho prˇ´ıcˇny´m rˇezem.
Sı´ly fyzicky pu˚sobı´ na povrchu, modeloveˇ na strˇednici. Staticky´ rozbor pro volny´ otevrˇeny´ prut: V V U = FVx , FVy , FVz , MVx , MVy , MVz µ=6
ν=6
s=µ−ν =0 Stanovenı´ slozˇek VVU je v tomto prˇ´ıpadeˇ u´lohou staticky urcˇitou, cozˇ platı´ i v rovinne´m prˇ´ıpadeˇ.
49
Staticky´ rozbor pro uzavrˇeny´ prut: µ = 3 · 6 = 18 ν=6 s = 18 − 6 = 12 obecneˇ s = 6 · n kde n je stupenˇ uzavrˇenosti prutu Stanovenı´ slozˇek VVU je v prˇ´ıpadeˇ uzavrˇene´ho prostorove´ho prutu u´loha 6 · n kra´t, u rovinne´ho prutu potom 3 · n kra´t staticky neurcˇita´. ~ V je mozˇne´ Vy´slednou vnitrˇnı´ sı´lu F~V a vy´sledny´ vnitrˇnı´ moment M rozdeˇlit v souladu s loka´lnı´m sourˇadnicovy´m syste´mem (SS). Slozˇky sı´ly a momentu potom prˇedstavujı´ charakteristicky´ zpu˚sob nama´ha´nı´ s jasny´m fyzika´lnı´m vy´znamem.
N - norma´lna´ sı´la M - ohybovy´ moment
T - posouvajı´cı´ sı´la M - kroutı´cı´ moment
V V U = {N, Ty , Tz , My , Mz , Mx} = {N, T, Mo, Mk }
50
Def: Jestlizˇe v pru˚rˇezu pu˚sobı´ pouze jedna slozˇka VVU, potom jde o tzv. jednoduche´ nama´ha´nı´ prutu˚. Prˇ´ıklady: Jednoduchy´ tah
V V U = {N+, 0, 0, 0}
Jednoduchy´ tlak
V V U = {N−, 0, 0, 0}
Jednoduchy´ ohyb
V V U = { 0 , 0, Mo, 0}
Jednoduchy´ krut
V V U = { 0 , 0, 0, Mk }
Pu˚sobı´-li v rˇezu prutu vı´ce slozˇek hovorˇ´ıme o tzv. kombinovane´m nama´ha´nı´ prutu˚. Typicky´m prˇ´ıpadem je kombinovane´ nama´ha´nı´ na ohyb a krut s na´sledujı´cı´m vektorem VVU Kombinovane´ nama´ha´nı´ na ohyb a krut V V U = {0, 0, Mo, Mk }
51
5.3.1
Algoritmus urcˇova´nı´ VVU, integra´lnı´ a diferencia´lnı´ vztahy mezi vneˇjsˇ´ım zatı´zˇenı´m a slozˇkami VVU
Integra´lnı´ vztahy: Rˇesˇ´ıme podmı´nky staticke´ rovnova´hy prvku prutu uvolneˇne´ho prˇ´ıcˇny´m rovinny´m rˇezem v mı´steˇ SR . P~ F = ~0 S RR P~ Fi + ~q(s) ds + F~v = 0 i
(5.1)
0
S RR P ~ ~ Fv = − Fi − ~q(s) ds i
P
0
MR = 0
P −−→ ~ SRR −→ RAi × Fi + RA × ~q(s) ds + 0 S RR P ~ + Mj + m(s) ~ ds = 0 j
(5.2)
0
S RR P −−→ ~ SRR −→ P ~ ~ Mv = − RAi × Fi − RA × ~q(s) ds − Mj − m(s) ~ ds j
0
0
Vztahy (1) a (2) prˇedstavujı´ integra´lnı´ relace mezi vneˇjsˇ´ımi a vnitrˇnı´mi silovy´mi u´cˇinky. Lze je vyja´drˇit na´sledovneˇ ~v je v rovnova´ze (resp. je rovna s opacˇny´m Vy´sledna´ vnitrˇnı´ sı´la F zname´nkem) se soucˇtem vsˇech vneˇjsˇ´ıch sil, pu˚sobı´cı´ch na uvolneˇny´ prvek. ~ v je v rovnova´ze (resp. je roven s Vy´sledny´ vnitrˇnı´ moment M opacˇny´m zname´nkem) se soucˇtem momentu˚ vsˇech vneˇjsˇ´ıch sil a momentu˚ silovy´ch dvojic, pu˚sobı´cı´ch na uvolneˇny´ prvek.
52
Analy´zou vztahu˚ (5.1) a (5.2) dospeˇjeme k na´sledujı´cı´m poznatku˚m ~v je tam, kde pu˚sobı´ vneˇjsˇ´ı osameˇla´ Skok v pru˚beˇhu vnitrˇnı´ sı´ly F sı´la. ~ v je tam, kde pu˚sobı´ vneˇjsˇ´ı Skok v pru˚beˇhu vnitrˇnı´ho momentu M silove´ dvojice. ~v je tam, kde se skokoveˇ meˇnı´ vneˇjsˇ´ı Zlom v pru˚beˇhu vnitrˇnı´ sı´ly F liniova´ sı´la q ~. ~ v je tam, kde pu˚sobı´ osaZlom v pru˚beˇhu vnitrˇnı´ho momentu M ~i. meˇla´ sı´la F
53
Diferencia´lnı´ vztahy (Schwedlerovy veˇty): Dveˇma prˇ´ıcˇny´mi rovinny´mi rˇezy uvolnı´me elementa´rnı´ prvek prutu, v rˇezech zavedeme prˇ´ıslusˇne´ slozˇky VVU a formulujeme podmı´nky staticke´ rovnova´hy pro rovinnou silovou soustavu. Zname´nkova´ konvence pro slozˇky VVU: Norma´lova´ sı´la N v rˇezu je kladna´, je-li tahova´. Posouvajı´cı´ sı´la T v rˇezu je kladna´, jestlizˇe ota´cˇ´ı elementem v rˇezu ve smeˇru hodinovy´ch rucˇicˇek . Ohybovy´ moment M je kladny´, pokud nama´ha´ spodnı´ vla´kna prutu tahoveˇ a hornı´ tlakoveˇ. P Fx = 0 N + dN − N + qxdx = 0 qx(x) = − dNdx(x) P Fz = 0
(5.3)
T + dT − T + qz dx = 0 qz (x) = − dTdx(x) P
MR = 0
T (x) =
dMy dx
(5.4)
. z }| { dx My − My − dMy + T dx − qz dx =0 2 (5.5)
(3) → (2) qz (x) = −
=0
d2 My dx2
(5.6)
Prˇedchozı´ vztahy se nazy´vajı´ Schwedlerovy veˇty.
54
Ze vztahu (5.5) vyplyne podmı´nka pro loka´lnı´ extre´m ohybove´ho momentu My (x) dMy (x) (5.5) = 0 = T (x) dx
55
5.4
Pruty va´zane´
Prut uvolnı´me v mı´stech vazeb, ktere´ nahradı´me stykovy´mi vy´slednicemi (reakcemi). Da´le stanovı´me celkovy´ pocˇet nezna´my´ch parametru˚ stykovy´ch vy´slednic
Provedeme staticky´ rozbor silove´ soustavy ν=3 ν=6
s=µ−ν
2D 3D
a) Prut je staticky urcˇity´ (nepohyblivy´) (s = 0) Stykove´ vy´slednice stanovı´me na za´kladeˇ podmı´nek staticke´ rovnova´hy a da´le prˇi stanovova´nı´ napjatosti a deformace postupujeme jako u prutu volne´ho.
µ=3 ; ν=3 s=µ−ν =3−3=0 X
Fx = 0 ;
X
Fy = 0 ;
=⇒ FAx, FAz , FB
56
X
MA = 0
a) Prut je staticky neurcˇity´ (nepohyblivy´) (s > 0) Stykove´ vy´slednice se urcˇ´ı pomocı´ podmı´nek staticke´ rovnova´hy a s deformacˇnı´ch podmı´nek
Algoritmus rˇesˇenı´: 1. provedeme u´plne´ uvolneˇnı´ prutu z vazeb, ktere´ nahradı´me staticky ekvivalentnı´mi silovy´mi vy´slednicemi
Provedeme staticky´ rozbor a napı´sˇeme podmı´nky staticke´ rovnova´hy µ=5 ; ν =3 ; s=µ−ν =5−3=2 X
Fx = 0 ;
X
Fz = 0 ;
X
MA = 0
Ze staticke´ho rozboru vyply´va´, zˇe jsou nutne´ 2 def. podmı´nky.
57
2. Provedeme cˇa´stecˇne´ uvolneˇnı´ prutu z vazeb na u´rovenˇ u´lohy staticky neurcˇite´ (a nepohyblive´). Deformacˇnı´ podmı´nky formulujeme pro uvolneˇne´ vazby. Existuje vı´ce mozˇnostı´. a)
uB = 0 ∂W =0 ∂FBx WB = 0
uB =
∂W =0 ∂FBz W = W F1, M1, FBx, FBz WB =
a)
uB = 0 ∂W =0 ∂FBx ϕA = 0
uB =
∂W =0 ∂MA W = W F1, M1, FBx, MA ϕA =
3. Deformacˇnı´ podmı´nky se rˇesˇ´ı pomocı´ poznatku˚ Pruzˇnosti a pevnosti I, zejme´na pouzˇitı´m Castiglianovy veˇty. Z matematicke´ho pohledu prˇedstavujı´ tyto vztahy podmı´nky pro loka´lnı´ extre´m energie napjatosti W (F1, M1, FBx, FBz ) jako slozˇene´ funkce stykovy´ch vy´slednic prˇ´ıslusˇejı´cı´ch uvolneˇny´m vazba´m. Dosta´va´me soustavu linea´rnı´ch rovnic, ze ktery´ch se stanovı´ tyto stykove´ vy´slednice. Ostatnı´ stykove´ vy´slednice urcˇ´ıme z podmı´nek staticke´ rovnova´hy.
58
6 6.1
´ HA ´ NI´ NA TAH A TLAK NAMA Za´kladnı´ vztahy
Za´kladnı´ vztahy pro napeˇtı´, deformaci a energii napjatosti odvodı´me pro idealizovany´ modelovy´ prˇ´ıpad proste´ho tahu. Def: Prosty´m tahem (tlakem) nazy´va´me nama´ha´nı´ prˇ´ıme´ho prizmaticke´ho prutu, je-li splneˇno a) platı´ obecne´ prutove´ prˇedpoklady b) prˇ´ıcˇne´ pru˚rˇezy se vza´jemneˇ oddalujı´ nebo prˇiblizˇujı´, prˇicˇemzˇ zu˚sta´vajı´ rovinny´mi a kolmy´mi ke strˇednici. Strˇednice zu˚sta´va´ prˇ´ımkova´ c) jedinou nenulovou slozˇkou VVU je norma´lova´ sı´la N
X
Fx = 0
N (x) = F
A0B 0 − AB (dx + u + du − u) − dx du εx(x) = = = dx dx AB εx(x) 6= f (y, z) ! 59
(6.33)
(6.34)
S ohledem na prˇedpoklad b) platı´, zˇe pomeˇrne´ prˇetvorˇenı´ εx v rˇezu x je konstantnı´ a neza´visı´ na sourˇadnicı´ch y a z. Pro zbyla´ dveˇ prˇetvorˇenı´ εy , εz dosta´va´me v souladu s poznatky z tahove´ zkousˇky εy = εz = −µεx
µ- Poissonovo cˇ´ıslo
(6.3)
Vzhledem k tomu, zˇe v pru˚beˇhu zateˇzˇova´nı´ nedocha´zı´ ke zmeˇneˇ pravy´ch u´hlu˚ u elementu˚ v rˇezu (viz obr.), jsou prˇ´ıslusˇne´ zkosy nulove´, tedy γxy = γyz = γzx = 0
(6.4)
(pro 3D)
Deformace u proste´ho tahu (tlaku) je prostorova´ - 3D. Hookeu˚v za´kon pro prosty´ tah a prosty´ smyk σx = Eεx
τ = Gγ
(6.5)
(6.6)
Kde G je modul pruzˇnosti ve smyku, definovany´ vztahem G=
E 2(1 + µ)
(6.7)
Vzhledem k tomu, zˇe εx je po pru˚rˇezu konstantnı´ a zkosy jsou dle (4) nulove´, platı´ v souladu s Hookeovy´m za´konem (5) a (6) pro slozˇky napeˇtı´ na´sledujı´cı´ relace σx = σ ; σy = σz = 0 ; τxy = τyz = τzx = 0
Napjatost prˇi proste´m tahu (tlaku)je jednoosa´ - 1D. 60
(6.8)
Vzhledem ke konstantnı´mu pru˚beˇhu pomeˇrne´ho prˇetvorˇenı´ εx v rˇezu a k platnosti Hookeova za´kona (5) je pru˚beˇh napeˇtı´ σx v rˇezu rovneˇzˇ konstantnı´. Z podmı´nky staticke´ ekvivalence a s ohledem na konstantnı´ pru˚beˇh napeˇtı´ σx po pru˚rˇezu dosta´va´me Z N (x) = σx dS = σxS ψ
σ(x) =
N (x) F = S(x) S
Zx
Zx
(6.9)
Posunutı´ u v mı´steˇ x Zx u(x) =
0
du = 0
0
εx dx = 0
Zx =
σ(x0) 0 dx = E
0
N (x0) dx0 N x = ES(x) ES
0
Celkove´ prodlouzˇenı´ prutu ∆l u(l) =∆l =
Nl Fl = ES ES
61
(6.10)
Energie napjatosti
Energie napjatosti elementa´rnı´ho prvku dΩ 1 1 1 1 dW = dA = − N u + N (u + du) = N du = N εx dx = 2 2 2 2 1 σx N 2 dx = N dx = 2 E 2ES
(6.11)
Energie napjatosti cele´ho prutu Zl
Z W =
dW = γ
N 2l F 2l N 2(x) dx = = 2ES(x) 2ES 2ES
(6.12)
o
Meˇrna´ energie napjatosti prˇi proste´m tahu (tlaku) N 2 dx σ2 σε dW λ= = = = dV 2ESS dx 2E 2
62
(6.13)
6.2
Napjatost v sˇikme´m rˇezu, rozbor tahove´ napjatosti
Sˇikmy´m rˇezem ρ s plochou Sρ uvolnı´me z teˇlesa Ω prvek Ω1.
Z poznatku˚ analyticke´ geometrie vyply´va´ Sρ =
S cos ϕ
(6.14)
Pro obecne´ napeˇtı´ f~ρ v sˇikme´m rˇezu ρ a jeho slozˇky σρ a τρ dosta´va´me fρ =
F F cos ϕ = = σ cos ϕ Sρ S
σρ = fρ cos ϕ = σ cos2 ϕ =
σ (1 + cos 2ϕ) 2
(6.16)
σ sin 2ϕ) 2
(6.17)
τρ = fρ sin ϕ = σ cos ϕ sin ϕ = kde σ je norma´love´ napeˇtı´ v prˇ´ıcˇne´m rˇezu 63
(6.15)
Maxima´lnı´ hodnoty slozˇek napeˇtı´ (6.16), (6.17) σρ,max = σ τρ,max =
σ 2
cos 2ϕ = 1
ϕ = 0, π, 2π
sin 2ϕ = 1
ϕ=
π 4
=⇒
= 45◦
Maxima´lnı´ norma´love´ napeˇtı´ σρ,max je v prˇ´ıcˇne´m rˇezu (ϕ = 0) Maxima´lnı´ smykove´ napeˇtı´ τρ,max je v rˇezu s u´hlem norma´ly ϕ = 45◦ Slozˇky napeˇtı´ v kolme´m rˇezu ρ0: Norma´la tohoto rˇezu je pod u´hlem β = ϕ + π2 σρ0 =
σ σ (1 + cos 2β) = [1 + cos(2ϕ + π)] = 2 2 = τρ 0 =
σ (1 − cos 2ϕ) 6= σρ 2
σ σ sin 2β = sin(2ϕ + π) = 2 2 σ = − sin 2ϕ = −τρ 2
Prˇedchozı´ vztahy je mozˇne´ vyja´drˇit slovneˇ formou tzv. veˇty o sdruzˇenosti smykovy´ch napeˇtı´: Smykova´ napeˇtı´ ve dvou vza´jemneˇ kolmy´ch rovina´ch, kolma´ k spolecˇne´ pru˚secˇnici jsou stejneˇ velika´ a mı´rˇ´ı bud’ do spolecˇne´ pru˚secˇnice nebo od nı´. Tato veˇta platı´ obecneˇ i v prˇ´ıpadeˇ prostorove´ napjatosti.
64
Graficke´ zna´zorneˇnı´ tahove´ napjatosti v Mohroveˇ rovineˇ (σρ, τρ) Algebraickou u´pravou vztahu˚ (6.16) a (6.17) dosta´va´me σ σ = cos 2ϕ /2 2 2 σ τρ = sin 2ϕ /2 2
σ−
Umocneˇnı´m a secˇtenı´m obou rovnic dosta´va´me na´sledujı´cı´ rovnici
σ 2 σ 2 2 + τρ = σ− 2 2
(6.18)
ktera´ prˇedstavuje v Mohroveˇ rovineˇ se sourˇadnicovy´mi osami σρ a τρ rovnici kruzˇnice se strˇedem v mı´steˇ σ = σ2 a s polomeˇrem σ2 . Uvedena´ kruzˇnice ma´ na´zev Mohrova kruzˇnice.
65
Mohrova kruzˇnice je geometricke´ mı´sto bodu˚, odpovı´dajı´cı´ch slozˇka´m napeˇtı´ σρ a τρ ve vsˇech rˇezech ρ, ktere´ procha´zejı´ bodem A. Napjatost prˇi proste´m tahu je tedy geometricky urcˇena Mohrovou kruzˇnicı´. ´ hlu natocˇenı´ ϕ mezi rˇezy ρ odpovı´da´ dvojna´sobny´ u´hel mezi odpoU vı´dajı´cı´mi body na Mohroveˇ kruzˇnici a to ve stejne´m smyslu. Prˇ´ıpad proste´ho tahu (tlaku) je idea´lnı´m modelovy´m prˇ´ıpadem, ktery´ prakticky neexistuje. Probereme si nynı´ vliv nejcˇasteˇjsˇ´ıch odchylek od tohoto prˇ´ıpadu.
66
6.2.1
Vliv zmeˇny prˇ´ıcˇne´ho pru˚rˇezu pode´l strˇednice
a) zmeˇna spojita´
Podmı´nka silove´ rovnova´hy pro elementa´rnı´ prvek dΩ1 v axia´lnı´m smeˇru . z}|{ (σ + dσ )dS − τ πd(x) dx = 0 =0
τ=
σ dS πd(x) dx
(6.19)
V dalsˇ´ım prˇedpokla´da´me τ σ a prˇ´ıslusˇne´ smykove´ napeˇtı´ zanedba´va´me.
67
b) zmeˇna skokova´ (konstrukcˇnı´ vrub) V mı´steˇ vrubu vznika´ prostorova´ napjatost a docha´zı´ zde ke koncentraci napeˇtı´. Vliv vrubu na napjatost vyjadrˇujeme smluvneˇ soucˇinitelem koncentrace napeˇtı´ α.
σmax = τ σn = τ
N S
(6.20)
Tahova´ napjatost je porusˇena pouze v bezprostrˇednı´m okolı´ vrubu. Vliv vrubu na napjatost je zapotrˇebı´ uvazˇovat, celkova´ deformace prutu je vsˇak veˇtsˇinou ovlivneˇna nepodstatneˇ, zanedbatelneˇ. kk =
σk σmax
68
6.2.2
Vliv promeˇnlivosti norma´love´ sı´ly N (x) pode´l strˇednice
a) skokova´ zmeˇna N (x) Skokova´ zmeˇna norma´love´ sı´ly N (x) je zpu˚sobena osameˇly´mi silami, ktere´ pu˚sobı´ v ose prutu.
Vzhledem k tomu, zˇe vneˇjsˇ´ı sı´la mu˚zˇe pu˚sobit pouze na povrchu teˇlesa, docha´zı´ v tomto prˇ´ıpadeˇ k porusˇenı´ tahove´ napjatosti (1-D) a napjatost je prostorova´ (3-D),ktera´ bude za´viset na konstrukcˇnı´m provedenı´ prˇenosu vneˇjsˇ´ıho zatı´zˇenı´ na prut. V ra´mci prˇedmeˇtu PPI se nebudeme touto za´lezˇitostı´ blı´zˇe zaby´vat a budeme prˇedpokla´dat, zˇe tento vliv nenı´ podstatny´.
b) spojita´ zmeˇna N (x), zpu˚sobena´ objemovy´m zatı´zˇenı´m (gravitacˇnı´ pole, pole odstrˇedivy´ch sil). Pokud vektor objemove´ho zatı´zˇenı´ ma´ smeˇr strˇednice prutu a toto je rovnomeˇrneˇ rozlozˇeno po pru˚rˇezu, potom zu˚sta´va´ tahova´ napjatost zachova´na, ale sta´va´ se nehomogennı´.
69
Prˇ´ıklad: Stanovte pru˚beˇh napeˇtı´ v laneˇ a jeho protazˇenı´ pu˚sobenı´m gravitacˇnı´ho pole. Elementa´rnı´ gravitacˇnı´ sı´lu dF~g mu˚zˇeme vyja´drˇit jako objemovou sı´lu na´sledovneˇ dF~g = ~o dV = ρ~g dV = ρ~g S dx
Norma´lova´ sı´la N v mı´steˇ xR je rovna Zl N (xR ) =
Zl ρgS dx = ρgS(l − xR )
dFg = xR
(6.21)
xR
Norma´love´ napeˇtı´ σ(xR ) v mı´steˇ xR je rovno σ(xR ) =
N (xR ) = ρg(l − xR ) S
(6.22)
Pro posuv u v mı´steˇ xR dosta´va´me ZxR u(xR ) =
ZxR du =
0
ZxR εx dx =
0
ZxR σx 2 ρg dx = (l − x) dx = E E
0
ρg = E
x2R lxR − 2
70
0
(6.23)
A posun ul na konci prutu, ktery´ je roven protazˇenı´ prutu, je roven V z}|{ ρg Sl l Fg l 3 ρg 2 u(xR = l) = ∆l = = = E ES 2 2ES l2
(6.24)
Z rovnice (6.24) plyne, zˇe celkove´ protazˇenı´ prizmaticke´ho prutu ∆l v gravitacˇnı´m poli lze stanovit tak, jakoby celkova´ tı´ha prutu Fg pu˚sobila v teˇzˇisˇti a natahovala pouze polovinu de´lky prutu. Pru˚beˇh napeˇtı´ σ(xR ) a pru˚beˇh posuvu˚ u(xR ) pode´l strˇednice dle rovnic (6.22) a (6.23) je mozˇne´ vyja´drˇit graficky na´sledovneˇ
kk =
σk = kD (> 1) σmax
71
Prˇ´ıklad: Stanovte pru˚beˇh napeˇtı´ v rotujı´cı´ prizmaticke´ tycˇi a jejı´ protazˇenı´ pu˚sobenı´m pole odstrˇedivy´ch sil.
Elementa´rnı´ odstrˇediva´ sı´la dFo je rovna dFo = dm rω 2 = S dx ρxω 2 = ρω 2Sx dx
(6.25)
Pro norma´lovou sı´lu N v mı´steˇ xR dosta´va´me Zl N (xR ) =
dFo = ρω 2S
xR
Zl
1 x dx = ρω 2S l2 − x2R 2
(6.26)
xR
Norma´love´ napeˇtı´ σ v mı´steˇ xR je da´no vztahem
σ(xR ) =
N (xR ) 1 2 2 = ρω l − x2R S 2
72
(6.27)
A pro posuv u v mı´steˇ xR prutu platı´ ZxR u(xR ) =
ZxR du =
0
ZxR εx dx =
0
1 σx dx = ρω 2 E 2E
l2 − x2R dx
0
0
ρω 2 = 2E
ZxR
x3R 2 l xR − 3
(6.28)
Maxima´lnı´ norma´love´ napeˇtı´ v prutu je rovno 1 σmax = σ(xR = 0) = ρω 2l 2 Posunutı´ u(l) na konci prutu je rovno ρω 2 3 u(xR = l) = l 3E Pru˚beˇh napeˇtı´ σ(x) a posunutı´ u(x) pode´l strˇednice rotujı´cı´ho prutu jsou graficky zna´zorneˇny v souladu s (6.26) a (6.27) na´sledovneˇ
73
6.2.3
Vliv zakrˇivenı´ strˇednice
Obecneˇ zakrˇivenı´ strˇednice vede k porusˇenı´ rovnomeˇrne´ tahove´ napjatosti. My se zameˇrˇ´ıme na pruty slabeˇ zakrˇivene´ (h R), kde je prˇedpoklad rovnomeˇrne´ tahove´ napjatosti splneˇn s dostatecˇnou prˇesnostı´. Budeme rˇesˇit prˇ´ıpad tenke´ho rotujı´cı´ho krouzˇku, zatı´zˇene´ho odstrˇedivou silou za rotace Elementa´rnı´ odstrˇediva´ sı´la dF~o je rovna }| { z dV 2 dFo = dm Rω = ρ bhRdϕ Rω 2 Podmı´nka silove´ rovnova´hy v radia´lnı´m vypada´ na´sledovneˇ P
Fr = 0 ; N =
dFo dϕ
. z }| { dϕ dFo − 2N sin =0 2 = d2ϕ
A pro norma´lovou sı´lu N dosta´va´me po dosazenı´ za dFo N=
dFo = ρω 2R2bh (6.29) dϕ
Vztah pro norma´love´ napeˇtı´ vypada´ na´sledovneˇ σ=
N = ρω 2R2 S
74
(6.30)
Pomeˇrne´ prˇetvorˇenı´ εx v obvodove´m smeˇru εx =
2π(R + uR ) − 2πR uR = 2πR R
(6.31)
Aplikacı´ Hokeova za´kona obdrzˇ´ıme σx ρω 2R2 = εx = E E
(6.32)
Porovna´nı´m (6.31) a (6.32) dosta´va´me pro radia´lnı´ posuv strˇednice uR uR =
1 ρω 2R3 E
Prˇ´ıpad nasazenı´ tenke´ho krouzˇku na hrˇ´ıdel s prˇesahem. Aplikacı´ vztahu (6.31) dosta´va´me pro pomeˇrne´ prˇetvorˇenı´ εx =
uR . ∆ = R R
(6.34)
a napeˇtı´ je vyuzˇitı´m Hookeova za´kona rovno . E∆ σx = Eεx = R
(6.35)
kk =
σk = kD (> 1) σmax
75
(6.33)
6.3
Algoritmus urcˇova´nı´ napjatosti a deformace prˇi tahove´m (tlakove´m) nama´ha´nı´
Prˇi urcˇova´nı´ napjatost a deformace pouzˇ´ıva´me vztahu˚ odvozeny´ch pro prosty´ tah (tlak) s uvazˇova´nı´m vlivu odchylek a) volny´ prut
Prut rozdeˇlı´me na u´seky, ve ktery´ch je pru˚beˇh N (x), resp. σx popsa´n jednı´m matematicky´m vztahem. Hranicemi u´seku˚ jsou mı´sta pu˚sobenı´ osameˇly´ch sil Fi, resp. skokove´ zmeˇny pru˚rˇezu. V kazˇde´m u´seku provedeme uvolneˇnı´ prvku rovinny´m rˇezem, v ktere´m zavedeme norma´lovou sı´lu a aplikujeme silovou podmı´nku staticke´ rovnova´hy ve smeˇru osy prutu. N (x1) = F1
σ(x1) =
N (x1) 4F1 = 2 S(x1) πd (x1)
N (x3) = F1 + F2 − F3
σ(x3) =
N (x3) F1 + F2 − F3 = S(x3) S3
N (x7) = F6 − F5
σ(x7) =
N (x7) F6 − F5 = S(x7) S7
76
Posuv v mı´steˇ rˇezu x3 se pocˇ´ıta´ jako soucˇet protazˇenı´ vsˇech u´seku˚ prutu od mı´sta ulozˇenı´ azˇ po prˇ´ıslusˇny´ rˇez
u(x3) =
X
Zc li =
N (x2)b N (x3)(x3 − a − b) σ(x1) dx1 + + E ES2 ES3
0
Osovy´ pru˚beˇh norma´love´ sı´ly N (x) a napeˇtı´ σ(x) jsou uvedeny na na´sledujı´cı´ch obra´zcı´ch
Bezpecˇnost prutu vu˚cˇi mezi kluzu je rovna kk =
σk σk = = kD (> 1) σmax |σ(x6)|
77
b) prut va´zany´ − staticky urcˇity´. Stykovou vy´slednici stanovı´me ze silove´ podmı´nky staticke´ rovnova´hy ve smeˇru osy prutu a da´le rˇesˇ´ıme jako prut volny´. − staticky neurcˇity´. Jako prˇ´ıklad uvedeme prizmaticky´ prut oboustranneˇ vetknuty´, zatı´zˇeny´ osameˇlou silou F .
Postup rˇesˇenı´: ´ plne´ uvolneˇnı´, staticky´ rozbor a podmı´nka silove´ rovnova´hy 1) U µ=2
;
ν=1
;
s=µ−ν =1
´ loha je jedenkra´t staticky neurcˇita´. U Podmı´nka silove´ rovnova´hy
P
Fx
FA + FB − F = 0
78
(6.36)
2) Cˇa´stecˇne´ uvolneˇnı´ na u´rovenˇ staticky urcˇite´ u´lohy Deformacˇnı´ podmı´nka uA = 0
(6.37)
Rˇesˇeno superposicı´: |∆lF | = ∆lFA Fb FA(a + b) Fb Fb = ⇒ FA = = ES ES a+b l Rˇesˇeno Castiglianovou veˇtou: N (x1) = −FA ; N (x2) = −FA + F 2 ∂W ∂ N (x1)a N 2(x2)b + = uA = = ∂FA ∂FA 2ES 2ES =
=−
N (x1)a ∂N (x1) N (x2)b ∂N (x2) + = ES ∂FA ES ∂FA
FAa (−FA + F ) b (−1) Fb (−1) + = 0 =⇒ FA = ES ES a+b
79
6.4
Soustavy teˇles
Omezı´me se pouze na soustavy, ktere´ se skla´dajı´ pouze z prutu˚ nama´hany´ch na tah (tlak) a da´le z tuhy´ch neprutovy´ch teˇles. Pu˚jde o na´sledujı´cı´ prˇ´ıpady: a) prutove´ soustavy, kde pruty jsou spojeny rotacˇnı´mi kinematicky´mi dvojicemi, prˇicˇemzˇ kazˇdy´ prut je za´rovenˇ va´za´n k ra´mu b) soustavy prutu˚ a neprutovy´ch tuhy´ch teˇles, prˇicˇemzˇ kazˇdy´ z cˇlenu˚ je va´za´n k ra´mu c) prutove´ soustavy, u ktery´ch je vza´jemna´ nepohyblivost prutu˚ zpu˚sobena vnitrˇnı´mi vazbami a ktere´ jsou jako celek uchyceny k ra´mu Demonstracˇnı´ prˇ´ıklady: Ad a) Stanovte sı´ly v prutech a proved’te pevnostnı´ kontrolu F = 104 N; S = 50 mm2; l = 1 m; α = 30◦; σk = 350 MPa; kD = 2 ´ plne´ uvolneˇnı´ U
80
Staticka´ analy´za:
µ=3
;
ν=2
;
s=µ−ν =1
u´loha je jedenkra´t staticky neurcˇita´ Podmı´nky staticke´ rovnova´hy X Fx : FA + FB cos α + FC cos 2α = 0 X
Fz : FB sin α + FC sin 2α + F = 0
(6.38) (6.39)
Cˇa´stecˇne´ uvolneˇnı´ na u´rovenˇ u´lohy staticky neurcˇite´
Deformacˇnı´ podmı´nka a jejı´ rˇesˇenı´ pomocı´ Castiglianovy veˇty uC = 0 3 3 X ∂ X Ni2li Nili ∂Ni ∂W = = uC = ∂FC ∂FC 1 2EiSi EiSi ∂FC 1
Stanovenı´ norma´lovy´ch sil N N3 = FC (2)
N2 = FB = −
1 F (FC sin 2α + F ) = −2FC cos α − sin α sin α
81
(6.40)
(6.41)
(1)
N2 = FB = −FB cos α − FC cos 2α = 2FC cos2 α + F cot α − FC
=
cos | {z2α}
cos2 α−sin2 α 2 2 = FC (cos α + sin α}) + F cot α = FC + F cot α | {z =1
Po dosazenı´ za Ni do deformacˇnı´ podmı´nky (4) dosta´va´me na´sledujı´cı´ rovnici s jedinou nezna´mou, kterou je uvolneˇna´ stykova´ vy´slednice FC ES FC l (FC + F cot α)l · 1 −2FC cos α − sinF α · + + ·1 = 0 ES ES 2ES cos 2α l
FC + F cot α + 4FC cos α +
FC =
1
2F −F cot α − sin α + 4 cos α + 2 cos1 2α
2F FC + = 0 = uC sin α 2 cos 2α
−F cot α + sin2 α 1 + 4 cos α + 2 cos1 2α
=
= −1, 049 F
A zpeˇtny´m dosazenı´m zı´ska´me sı´ly v prutech N N1 = FC + F cot α = 0, 683 F N2 = −2FC cos α −
F = −0, 183 F sin α
N3 = FC = −1, 049 F
82
a prˇ´ıslusˇna´ napeˇtı´ N1 0, 683 · 104 σ1 = = = 136, 6 MPa S1 50 N2 −0, 183 · 104 σ2 = = = −36, 6 MPa S2 50 N3 −1, 049 · 104 = = −104, 9 MPa σ3 = S3 100
Na´sleduje pevnostnı´ kontrola vu˚cˇi mezi kluzu σmax = max {|σi|} = 136, 6 MPa kk =
σk 350 = = 2, 56 > kD = 2 σmax 136, 6
Pozor! U prutu˚ tlakoveˇ nama´hany´ch je zapotrˇebı´ prove´st kontrolu na vzpeˇr!
83
Ad b) Stanovte sı´ly v prutech a proved’te pevnostnı´ kontrolu
Staticka´ analy´za pro soustavu teˇles u´plneˇ uvolneˇnou z vneˇjsˇ´ıch vazeb µ=5
;
ν=3
;
s=µ−ν =5−3=2
Soustava teˇles je dvakra´t staticky neurcˇita´. Podmı´nky staticke´ rovnova´hy X X X
Fx : FAx = 0
(6.42)
Fz : FAz + FB + FC + FD − F = 0
(6.43)
MA : FB · a + FC · 2a + FD · 3a − F · 2a = 0
84
(6.44)
Cˇa´stecˇne´ uvolneˇnı´ na u´rovenˇ u´lohy staticky neurcˇite´
Deformacˇnı´ podmı´nky a jejich rˇesˇenı´ pomocı´ Castiglianovy veˇty 3
X Nili ∂Ni ∂W uC = = ∂FC EiSi ∂FC 1
(6.45)
3
X Nili ∂Ni ∂W uC = = ∂FD EiSi ∂FD 1
(6.46)
Stanovenı´ norma´lovy´ch sil N a jejich dosazenı´ do deformacˇnı´ch podmı´nek (6.45) a (6.46) (3)
N1 = FB = −2FC − 3FD + 2F N2 = FC N3 = FD
85
Dosazenı´ N do deformacˇnı´ch podmı´nek (6.45) a (6.46) (−2FC − 3FD + 2F ) · a · (−2) FC · 2a · 1 FD · 2a · 0 + + =0 ES ES 2ES
/·ES
(−2FC − 3FD + 2F ) · a · (−3) FC · 2a · 0 FD · 2a · 1 + + =0 ES ES 2ES
/·ES
⇒ FC , FD ⇒ N1, N2, N3 ⇒ σ1, σ2, σ3 ⇒ σmax ⇒ kk =
σk σmax
= kD
Jine´ deformacˇnı´ podmı´nky, vyuzˇ´ıvajı´cı´ tuhost neprutove´ho teˇlesa (obr.1) ∆l1
a ∆l1
a
=
=
∆l2
⇒
2a
∆l3
3a
⇒
FB a FC · 2a = ⇒ FC = FB ESa ES · 2a FB a FD · 2a = ⇒ FD = 3FB ESa 2ES · 3a
FC , FD → (6.44) ⇒ FB · a + FB · 2a + 3FB · 3a − F · 2a = 0 FB =
2F F = = FC 12 6
FD = 3FB =
F 2
(6.43) ⇒ FAz = F − (FB + FC + FD ) =
86
F 6
·
1 a
Ad c) Stanovte sı´ly v prutech a stykove´ vy´slednice u prˇ´ıhradove´ konstrukce dle obra´zku
1) Hledisko vneˇjsˇ´ıch vazeb Uvolneˇnı´ z vneˇjsˇ´ıch vazeb na u´rovenˇ u´lohy vneˇjsˇkoveˇ staticky urcˇite´ a vneˇjsˇ´ı staticka´ analy´za µ e = 5 ; νe = 3 sµe − νe = 5 − 3 = 2 ´ loha je dvakra´t vneˇjsˇkoveˇ staticky neurcˇita´ (dveˇ prˇebytecˇne´ vneˇjsˇ´ı U vazby) Podmı´nky vneˇjsˇ´ı staticke´ rovnova´hy
X
X
FAx : − FAx + F1 = 0 ⇒ FAx = F1
(6.47)
X
FAz : FAz + FB + FC + FD − 2F = 0
(6.48)
MA : FB · a + 2FC · a + 3FD · a − F1 · a − F2 · 2a = 0 (6.49) 87
Cˇa´stecˇne´ uvolneˇnı´ na u´rovenˇ vneˇjsˇkoveˇ staticky urcˇite´ u´lohy a formulace vneˇjsˇkovy´ch deformacˇnı´ch podmı´nek
3
X Nili ∂Ni ∂W uC = = =0 ∂FC E S ∂F i i C 1
(6.50)
3
X Nili ∂Ni ∂W uC = = =0 ∂FD E S ∂F i i D 1
(6.51)
2) Hledisko vnitrˇnı´ch vazeb Klasifikace z hlediska vnitrˇnı´ staticke´ urcˇitosti (vycha´zı´ se z podmı´nek staticke´ rovnova´hy v uvolneˇny´ch stycˇnı´cı´ch) µi = p = 10 ; νi = 2k − 3 = 2 · 6 − 3 = 9 (p je pocˇet prutu˚ a k pocˇet stycˇnı´ku˚-kloubu˚) si = µi − νi = 10 − 9 = 1 ´ loha je jedenkra´t vnitrˇneˇ staticky neurcˇita´ (existuje jedna prˇebytecˇna´ U vnitrˇnı´ vazba).
88
Uvolneˇnı´ na u´rovenˇ u´lohy vnitrˇneˇ staticky neurcˇite´ (prˇerusˇenı´ jedne´ nadbytecˇne´ vneˇjsˇ´ı vazby)
Formulace deformacˇnı´ podmı´nky plynoucı´ z podmı´nky spojitosti deformacı´ v mı´steˇ mysˇlene´ho rˇezu |u09| = |u009 | = u9 u09 =
(6.52)
∂W ∂W 00 0 00 ; u = ; N = N = N9 9 9 9 ∂N90 ∂N900
|u09| = u09 ; |u009 | = −u009 u09 = −u009 ⇒
→ (6)
∂W ∂W ∂W = − ⇒ =0 ∂N90 ∂N900 ∂N9
(6.53)
Prˇedchozı´ podmı´nku spojitosti opeˇt rˇesˇ´ıme pomocı´ Castiglianovy veˇty 10 X ∂ X Ni2li Nili ∂Ni ∂W = = ∂N9 ∂N9 i 2EiSi EiSi ∂N9 1
(6.54)
K tomu, abychom mohli rˇesˇit deformacˇnı´ podmı´nky (6.50), (6.51) a (6.52) je nutne´ v dalsˇ´ım kroku stanovit norma´love´ sı´ly v prutech Ni na za´kladeˇ podmı´nek staticke´ rovnova´hy v uvolneˇny´ch stycˇnı´cı´ch, prˇicˇemzˇ musı´ by´t splneˇna na´sledujı´cı´ podmı´nka W = W (F1, F2, FC , FD , N9) ; Ni = Ni(F1, F2, FC , FD , N9) 89
Prˇi stanovenı´ norma´lovy´ch sil Ni obvykle vyuzˇ´ıva´me postupnou stycˇnı´kovou metodou, prˇicˇemzˇ vycha´zı´me ze stycˇnı´ku˚, ve ktery´ch jsou dva nezna´me´ parametry naprˇ. ze stycˇnı´ku D. √
P P
Fx : −N3 − N4 Fz : FD +
√ N4 22
2 2
=0
=0
√ ⇒ N4 = − 2 FD ; N3 = FD
√
P
Fx : N5 +
N5 =
N9 22
√ −N9 22
√
− N4
2 2
=0
√
+ N4
2 2
=
√
=− P
Fz : F2 +
N10 = −F2 −
2 2 N9
√ 2 2 N9
√ 2 2 N9
− FD
+ N10 +
√ N4 22
√
−
N4 22
=0
√
= −F2 −
2 2 N9
+ FD
Po dosazenı´ Ni do deformacˇnı´ch podmı´nek (6.50), (6.51) a (6.54) dostaneme 3 linea´rnı´ rovnice, ze ktery´ch stanovı´me 2 vneˇjsˇ´ı uvolneˇne´ stykove´ vy´slednice FC a FD a vnitrˇnı´ uvolneˇnou vazbu N9. Jejich zpeˇtny´m dosazenı´m do vztahu˚ pro Ni dostaneme vsˇechny norma´love´ sı´ly Ni. Na´sleduje urcˇenı´ norma´lovy´ch napeˇtı´ a pevnostnı´ kontrola. σi =
Ni ; σmax = max {|σi|} Si kk =
σk = kD σmax 90
7 7.1
´ HA ´ NI´ NA OHYB NAMA Za´kladnı´ vztahy pro napeˇtı´ a deformaci v rˇezu
Potrˇebne´ vztahy pro napjatost a deformaci odvodı´me pro idealizovany´ prˇ´ıpad proste´ho ohybu. Def.: Prosty´m ohybem rozumı´me nama´ha´nı´ prˇ´ıme´ho prismaticke´ho prutu, je-li splneˇno a) platı´ obecne´ prutove´ prˇedpoklady b) prˇ´ıcˇne´ pru˚rˇezy zu˚sta´vajı´ v pru˚beˇhu zateˇzˇova´nı´ rovinny´mi a ota´cˇejı´ se kolem osy. Lezˇ´ıcı´ v te´to rovineˇ a na´sledovneˇ se deformujı´. Prˇ´ıcˇne´ pru˚rˇezy zu˚sta´vajı´ kolme´ ke zdeformovane´ (prohnute´) strˇednici c) jedinou slozˇkou VVU je ohybovy´ moment, ktery´ je konstantnı´ po cele´ de´lce prutu V prvnı´m kroku stanovı´me ohybovy´ moment M na za´kladeˇ podmı´nky rovnova´hy uvolneˇne´ho prvku prutu.
Momentove´ podmı´nky X
My : My (x) = M1y ;
X
91
Mz : Mz (x) = M1z
(7.55)
V dalsˇ´ım kroku stanovı´me pru˚beˇh prˇetvorˇenı´ εx a napeˇtı´ σx v prˇ´ıcˇne´m rˇezu na za´kladeˇ prˇ´ıslusˇne´ pracovnı´ podmı´nky ad b)
uA = u(y, z) = a1 + b1y + c1z εx(y, z) =
uA = a + by + cz h
(7.56) (7.57)
Pru˚beˇh pomeˇrny´ch prˇetvorˇenı´ εx(y, z) po pru˚rˇezu je popsa´n rovnicı´ roviny. S ohledem na tahovy´ (tlakovy´) charakter napjatosti platı´ pro zby´vajı´cı´ dveˇ prˇetvorˇenı´ na´sledujı´cı´ vztahy εy (y, z) = εz (y, z) = −µεx(y, z)
(7.58)
Z podmı´nky kolmosti prˇ´ıcˇne´ho pru˚rˇezu na zdeformovanou strˇednici vyply´va´ nulovost zkosu˚ γxy = γyz = γzx = 0
92
(7.59)
V prˇ´ıpadeˇ proste´ho ohybu jde o prostorovou (3D) deformaci. S ohledem na zateˇzˇova´nı´ je jedinou slozˇkou norma´lovy´ch napeˇtı´ napeˇtı´ σx, tedy σx 6= 0 ; σy = σz = 0
(7.60)
Z Hookeova za´kona pro prosty´ smyk vyply´vajı´ s ohledem na nulove´ zkosy (5) i nulova´ smykova´ napeˇtı´ τxy = Gγxy = 0 ; τyz = 0 ; τzx = γzx = 0
93
(7.61)
V prˇ´ıpadeˇ proste´ho ohybu jde o jednoosou (1D) napjatost. Pru˚beˇh norma´love´ho napeˇtı´ σx v rˇezu plyne z Hookeova za´kona (3)
σx(yz) = Eεx = E(a + by + cz)
(7.62)
Zatı´m nezna´me´ koeficienty a,b a c v prˇedchozı´m vztahu se urcˇ´ı na za´kladeˇ podmı´nek staticke´ ekvivalence mezi slozˇkami VVU a elementa´rnı´mi silami z norma´love´ho napeˇtı´ σx.
94
Silova´ podmı´nka staticke´ ekvivalence ve smeˇru osy x vypada´ na´sledovneˇ Uy Uz S z }| { z }| { zZ }| { Z Z Z (7.63) N = σx dS = E a dS + b y dS + c z dS ψ
ψ
ψ
ψ
Pokud osy y a z procha´zejı´ teˇzˇisˇteˇm pru˚rˇezu, potom platı´ Uy = 0, Uz = 0. Vztah (9) je potom splneˇn pouze pokud a=0
⇒ σx(yz) = E(by + cz)
(7.64)
Da´le prˇedpokla´da´me, zˇe osy y a z jsou hlavnı´mi centra´lnı´mi osami kvadraticky´ch momentu˚, cozˇ vede k nulove´mu deviacˇnı´mu momentu, tedy Jyz = 0. Na´sledujı´ momentove´ podmı´nky staticke´ ekvivalence. J =0 Jy yz z }| { z }| { Z Z Z (8) 2 My = σz dS = E b yz dS + c z dS ψ
ψ
c=
My EJy 95
ψ
(7.65)
Z Mz =
(8) σy dS = −E b
ψ
zZ }| { z }| { Z 2 y dS + c yz dS ψ
b=−
Jyz =0
Jz
ψ
Mz EJz
(7.66)
Po dosazenı´ (7.10), (7.11) a (7.12) do (7.8) a (7.4) obdrzˇ´ıme pro pru˚beˇh napeˇtı´ a prˇetvorˇenı´ Mz My z− y Jy Jz
(7.67)
My Mz z− y EJy EJz
(7.68)
σx(y, z) =
εx(yz) =
~ o lezˇ´ı v neˇktere´ Def: Pokud nositelka ohybove´ho momentu M z hlavnı´ch centra´lnı´ch os kvadraticky´ch momentu˚ (osa´ch symetrie) pak se ohyb nazy´va´ za´kladnı´m ohybem.
Ze vztahu˚ (7.13) a (7.14) vyply´va´, zˇe prosty´ ohyb je superposicı´ dvou za´kladnı´ch ohybu˚, cozˇ v dalsˇ´ım budeme vyuzˇ´ıvat.
96
7.2
Poloha neutra´lnı´ osy pru˚rˇezu
Def.: Neutra´lnı´ osou rozumı´me geometricke´ mı´sto bodu˚ prˇ´ıcˇne´ho pru˚rˇezu, kde je norma´love´ napeˇtı´ a pomeˇrne´ prˇetvorˇenı´ nulove´.
Vyuzˇitı´m vztahu (7.13) dosta´va´me σx(yn, zn) = 0 = tan α =
My Mz zn − yn Jy Jz
Jy zn Mz Jy = = tan ϕ yn My Jz Jz
(7.69)
Z relace (7.15) plyne, zˇe v obecne´m prˇ´ıpadeˇ nenı´ poloha neutra´lnı´ osy ~ o. Shoda nasta´va´ pouze ve totozˇna´ s nositelkou ohybove´ho momentu M dvou prˇ´ıpadech, jak plyne z analy´zy rovnice (7.16) a) Jy = Jz (pru˚rˇezy typu kruh, cˇtverec, pravidelne´ mnohou´helnı´ky) ~ o lezˇ´ı ve smeˇru hlavnı´ osy KM y nebo z) b) tan ϕ = 0, ∞ (M Neutra´lnı´ osa deˇlı´ pru˚rˇez na cˇa´st nama´hanou na tah a cˇa´st nama´hanou na tah, cozˇ je velice du˚lezˇite´ u materia´lu˚ s rozdı´lnou mezı´ kluzu resp. pevnosti v tahu a tlaku jako jsou naprˇ. litina a beton. V ra´mci cele´ho prutu vytva´rˇ´ı neutra´lnı´ osy ve vsˇech pru˚rˇezech neutra´lnı´ plochu. 97
7.3
Nebezpecˇne´ mı´sto pru˚rˇezu, pevnostnı´ kontrola
Z rovnice (7.13) vyply´va´, zˇe nebezpecˇne´ mı´sto bude na vneˇjsˇ´ım povrchu, tedy tam, kde sourˇadnice y a z jsou nejveˇtsˇ´ı.
Rovnice obrysove´ cˇa´ry z = f (y) σx (y, f (y)) =
Mz My f (y) − y Jy Jz
Podmı´nka extre´mu dσ My 0 ∗ Mz = f (y ) − =0 dy Jy Jz f 0(y ∗) =
Mz Jy 15 = tan α My Jz
(7.70)
Nebezpecˇne´ mı´sto s maxima´lnı´m napeˇtı´m je tedy tam, kde ma´ tecˇna obrysu smeˇr rovnobeˇzˇny´ s neutra´lnı´ osou.
98
t d Maxima´lnı´ tahove´ napeˇtı´ σmax a maxima´lnı´ tlakove´ napeˇtı´ σmax potom plynou z rovnice (7.13) t σmax =
t σmax =
My ∗ Mz ∗ z − y Jy Jz My ∗∗ Mz ∗∗ z − y Jy Jz
Pevnostnı´ kontrola: Materia´l ve stavu tva´rne´m (mez kluzu v tahu a tlaku je stejna´ - σk ) σmax = max
d t | , |σmax σmax
Koeficient bezpecˇnosti (bezpecˇnost): kk (x) =
σk σmax(x)
= kD
Materia´l ve stavu krˇehke´m (meze pevnosti v tahu σRt a v tlaku σRd jsou ru˚zne´) - koeficienty bezpecˇnosti: kRt =
σRd σRt d ; k = R t d | σmax |σmax kR = kD
99
~ o lezˇ´ı na neutra´lnı´ ose V prˇ´ıpadeˇ, zˇe nositelka ohybove´ho momentu M je mozˇne´ pouzˇ´ıt pro vy´pocˇet maxima´lnı´ho napeˇtı´ jednodusˇsˇ´ıho vztahu
t σmax = σot =
Mo Mo Mo t aex = Jo = t Jo Wo at ex
d σmax = σod =
Mo t Mo Mo aex = Jo = d Jo Wo d aex
kde Wo je modul pru˚rˇezu v ohybu. V prˇ´ıpadeˇ symetricke´ho pru˚rˇezu (cˇtverec, kruh, pravidelne´ mnohou´helnı´ky) platı´ Wot = Wod = Wo U materia´lu˚ ve stavu tva´rne´m prˇi vy´pocˇtu bezpecˇnosti nerozlisˇujeme tahove´ a tlakove´ napeˇtı´. Maxima´lnı´ ohybove´ napeˇtı´ v rˇezu oznacˇ´ıme σo(x) =
Mo(x) Wo(x)
(7.71)
Jo aax
(7.72)
Wo = 100
V dalsˇ´ım se omezı´me na za´kladnı´ ohyb kolem osy y
Pro pru˚beˇh napeˇtı´ σx(z) v rˇezu x dosta´va´me dle (13) vztah σm(z) =
My z Jy
Maxima´lnı´ napeˇtı´ v rˇezu σo je rovno d Mo zex My My (x) σo(x) = = Jy = Jo Wy (x) d | |zex
(7.73)
Kde modul pru˚rˇezu je urcˇen vztahem Wy =
Jy d | |zex
101
(7.74)
Moduly vybrany´ch pru˚rˇezu˚ πd4 Jy = Jz = 64 Wy =
Jy d 2
πd3 = 32
πD4 πd4 Jy = Jz = − 64 64 Wy =
Jy D 2
=
πD4 64
4
− πd 64 D 2
π 4 4 = D −d 32D
1 3 Jy = bh 12 Wy =
Jy h 2
bh2 = 6
1 1 3 3 Jy = BH − bh 12 12 Wy =
Jy H 2
1 3 3 = BH − bh 6H
Pozor! U slozˇeny´ch pru˚rˇezu˚ je nutne´ konstatovat Wy } 6= Wy O − Wy o 102
!!
7.4
Energie napjatosti
Nejprve stanovı´me energii napjatosti v elementu prutu tlousˇt’ky dx prˇi nama´ha´nı´ prosty´m ohybem. Z 2 σx dW = dV = 2E ψ
Z = 1 = 2E
Z
σx2 dS dx = 2E
My Jz z− y Jy Mz
2 dS dx =
ψ
=
1 2E
"
My2 Jy2
Z
z 2 dS −
2My Mz Jy Jz
Z zy dS +
Mz2 Jz2
Z
My2 dx Mz2 dx = + 2EJy 2EJz
# y 2 dS dx =
(7.75)
Pro cely´ prut platı´ Z W =
My2(x) dx + 2EJy
γ
Z
Mz2(x) dx 2EJz
(7.76)
γ
~ o prˇi proste´m ohybu je Energie napjatosti od ohybove´ho momentu M rovna soucˇtu energiı´ napjatosti od slozˇek My a Mz jako za´kladnı´ch ohybu˚.
103
7.5
Deformace prutu
~ o je ve smyslu platnosti Deformace zpu˚sobena´ ohybovy´m momentem M principu superposice rovna geometricke´mu soucˇtu deformacı´ (posuvu˚) od za´kladnı´ch ohybu˚ My a Mz . Prˇ´ıslusˇne´ odvozenı´ provedeme pro za´kladnı´ ohyb My kolem osy y a platnost analogicky rozsˇ´ırˇ´ıme pro prosty´ ohyb. 7.5.1 Diferencia´lnı´ rovnice pru˚hybove´ cˇa´ry Prˇedpokla´da´me za´kladnı´ ohyb kolem osy y.
Pro pomeˇrne´ prˇetvorˇenı´ εx z definice dosta´va´me BB 0 . z dϕ z εx(z) = = = R dϕ R AB
(7.77)
Pro tute´zˇ velicˇinu platı´ na za´kladeˇ (7.14) εx(z) =
My z EJy
104
(7.78)
Porovna´nı´ obou vy´razu˚ obdrzˇ´ıme vztah pro krˇivost My 1 = R EJy
(7.79)
Krˇivost je prˇitom va´za´na na rovnici pru˚hybove´ cˇa´ry w(x) vztahem zna´my´m z analyticke´ geometrie, ktery´ se pro male´ pru˚hyby (w0(x) → 0) patrˇicˇneˇ zjednodusˇ´ı 1 w00(x) . 00 = = w (x) R (1 + w02) 32
(7.80)
Po dosazenı´ (7.26) do (7.25) dosta´va´me na´sledujı´cı´ relaci EJy w00(x) = −My (x)
(7.81)
ktera´ se nazy´va´ diferencia´lnı´ rovnicı´ pru˚hybove´ cˇa´ry. Zname´nko na prave´ straneˇ prˇedchozı´ rovnice za´visı´ na pouzˇite´m sourˇadnicove´m syste´mu, v nasˇem prˇ´ıpadeˇ pravotocˇive´ho sourˇadnicove´ho syste´mu s osou z smeˇrˇujı´cı´ dolu˚ je tam zname´nko -. Analogicky pro za´kladnı´ ohyb kolem osy z dosta´va´me EJz v 00(x) = −Mz (x)
105
(7.82)
Integracı´ diferencia´lnı´ch rovnic druhe´ho rˇa´du (27) a (28) zı´ska´me pru˚hybove´ cˇa´ry w(x) a v(x) pro za´kladnı´ ohyby kolem osy y a z a pro vektor posuvu u(x) v mı´steˇ x potom platı´
Pokud pu˚sobı´ na prut silova´ soustava nebo jde o prut po u´secı´ch nehomogennı´, potom musı´me zvla´sˇt’ formulovat diferencia´lnı´ rovnici pru˚hybove´ cˇa´ry pro kazˇdy´ u´sek, ve ktere´m je ohybovy´ moment (jako matematicka´ funkce) popsa´n jednı´m matematicky´m vy´razem. Integracˇnı´ konstanty se potom urcˇujı´ na za´kladeˇ okrajovy´ch podmı´nek pro cely´ prut a podmı´nek spojitosti posuvu˚ a natocˇenı´ na hranicı´ch prˇ´ıslusˇny´ch u´seku˚.
EJy w00(x1) = −My (x1)
⇒
w(x1) = . . . + C1x1 + C2
EJy w00(x2) = −My (x2)
⇒
w(x2) = . . . + C3x2 + C4
EJy w00(x3) = −My (x3)
⇒
w(x3) = . . . + C5x3 + C6
OKRAJOVE´ PODMI´NKY x1 = 0 w(x1) = 0 ; x3 = 0 w(x3) = 0 PODMI´NKY SPOJITOSTI x1 = x2 w0(x1) = w0(x2)
w(x1) = w(x2)
w0(x2) = w0(x3)
w(x2) = w(x3)
x2 = x3
106
Demonstracˇnı´ prˇ´ıklad: Stanovte rovnici pru˚hybove´ cˇa´ry u prutu dle obra´zku.
qx2 My (x) = FAx − 2
ql FA = FB = 2 ql qx2 EJy w (x) = −My (x) = − x + 2 2 ql 2 qx3 00 EJy w (x) = − x + + C1 4 6 ql 3 qx4 00 + C1 x + C2 EJy w (x) = − x + 12 24 00
Integracˇnı´ konstanty stanovı´me z okrajovy´ch podmı´nek x = 0 ; w(0) = 0 ⇒ C2 = 0 ql4 ql4 ql3 x = l ; w(l) = 0 ⇒ 0 = − + + C 1 l ⇒ C1 = 12 24 24 qlx3 qx4 ql3 − + + x 12 24 24 2 3 3 1 qlx qx ql w0(x) = − + + EJy 4 6 24
1 w(x) = EJy
107
7.5.2 Deformace prutu pomocı´ Castiglianovy veˇty ´ kolem je stanovit svisly´ Postup uka´zˇeme na demonstracˇnı´m prˇ´ıkladu. U pru˚hyb wF v mı´steˇ pu˚sobenı´ sı´ly F u nosnı´ku dle obra´zku.
Vycha´zı´me z obecne´ Castiglianovy veˇty, kam dosadı´me vztah pro deformacˇnı´ energii prˇi proste´m ohybu. Prˇi matematicke´ u´praveˇ vztahu posuneme parcia´lnı´ derivaci za integracˇnı´ zname´nko a vy´raz pro M derivujeme jako slozˇenou funkci. ∂ ∂W = wF = ∂F ∂F
Z
My2(x) dx = 2EJy
Z
My (x) ∂My dx EJy ∂F
(7.83)
γ
γ
V dalsˇ´ım je nutne´ stanovit M jako funkci vneˇjsˇ´ıho zatı´zˇenı´. U teˇlesa va´zane´ho je zapotrˇebı´ urcˇit stykove´ vy´slednice. V prˇ´ıpadeˇ u´lohy staticky neurcˇite´ je nezbytne´ nejprve statickou neurcˇitost odstranit. Staticky´ rozbor, podmı´nky staticke´ rovnova´hy pro u´plne´ uvolneˇnı´ z vazeb: µ=3
;
ν=3
P
Fx : FAx = 0
P
Fz : FAz + FB − F = 0
X
;
s=µ−ν =3−3=0
MB : FAz · 2a + F · a = 0 ⇒ FAz = − 108
F 2
Stanovenı´ My ve dvou u´secı´ch P
MR :
My (x1) − FAz x1 = 0 My (x1) = FAz x1 = − F2 x1 P
MR :
My (x2) + F x2 = 0 My (x2) = −F x2
Vy´pocˇet svisle´ho posunutı´ wF Z
My (x) ∂My dx = EJy ∂F
Z
My (x1) ∂My dx1 + EJy (x1) ∂F
γ
γ
Z
My (x2) ∂My dx2 = EJy (x2) ∂F
γ
2a a Z Z x1 1 F 7F a3 − dx1 + (−F x2)(−x2) dx2 = = − x1 EJy 2 2 6EJy 0
0
Pozn: Pokud ma´me stanovit posunutı´ ve smeˇru kde nepu˚sobı´ osameˇla´ sı´la zava´dı´me do tohoto mı´sta sı´lu doplnˇkovou Fd, stykove´ vy´slednice i ohybovy´ moment My se pocˇ´ıtajı´ s uvazˇova´nı´m te´to velicˇiny. Prˇed fina´lnı´ integracı´ se jejı´ velikost polozˇ´ı rovna nule, tedy Fd = 0. u´hel natocˇenı´ v pu˚sobenı´ silove´ dvojice M ϕM
∂W ∂ = = ∂M ∂M
Z
My2(x) dx = 2EJy (x)
γ
Z γ
109
My (x) ∂My dx EJy ∂M
7.6
Vliv odchylek od prˇ´ıpadu proste´ho ohybu na napjatost a deformaci
7.6.1
Zmeˇna pru˚rˇezu pode´l strˇednice
a) spojita´ zmeˇna pru˚rˇezu
X
Fx ; σ τ=
dS − τ b dx = 0 2 1 dS σ 2b dx
(7.84)
V prˇ´ıcˇne´m pru˚rˇezu vznika´ smykove´ napeˇtı´ τ , cozˇ je porusˇenı´m tahove´ napjatosti prˇi proste´m ohybu.V dalsˇ´ım prˇedpokla´da´me, zˇe jeho velikost je mala´ a smykove´ napeˇtı´ potom mu˚zˇeme zanedbat. Ohybove´ napeˇtı´ v krajnı´m vla´knu se potom pocˇ´ıta´ dle vztahu odvozene´ho pro prosty´ (za´kladnı´) ohyb σ0(x) =
My (x) Wy (x)
110
(7.85)
b) skokova´ zmeˇna pru˚rˇezu V mı´steˇ vrubu vznika´ prostorova´ napjatost a docha´zı´ zde ke koncentraci napeˇtı´. Vliv vrubu na napjatost vyjadrˇujeme smluvneˇ pomocı´ soucˇinitele koncentrace napeˇtı´ α.
Ohybove´ (nomina´lnı´) napeˇtı´ σ0 se pocˇ´ıta´ podle vztahu odvozene´ho pro za´kladnı´ ohyb σ0(x) =
My (x) 32My (x) = Wy (x) πd3
Maxima´lnı´ (smluvnı´) napeˇtı´ σmax je rovno σmax(x) = ασ0(x)
(7.86)
a bezpecˇnost vu˚cˇi mezi kluzu potom kk (x) =
σk σmax(x)
(7.87)
Pozn: Modul pru˚rˇezu Wy se pocˇ´ıta´ vzˇdy pro mensˇ´ı pru˚rˇez v mı´steˇ vrubu. Vliv vrubu na napjatost a bezpecˇnost je nutne´ vzˇdy uvazˇovat.
111
7.6.2
Vliv prˇ´ıcˇne´ho silove´ho zatı´zˇenı´ prutu
Pro jednoduchost uvazˇujeme prut zatı´zˇeny´ trˇemi osameˇly´mi silami pu˚sobı´cı´mi kolmo k pode´lne´ ose prutu
Z podmı´nky rovnova´hy uvolneˇne´ho prvku prutu Σ1 vyply´va´, zˇe v rˇezu x pu˚sobı´ posouvajı´cı´ sı´la T , ktera´ zpu˚sobı´ smykove´ napeˇtı´ τ . Nasˇ´ım cı´lem je stanovit jeho pru˚beˇh po pru˚rˇezu. V dalsˇ´ım se omezı´me na pru˚rˇezy, ktere´ majı´ jednu osu symetrie, v ktere´ pu˚sobı´ posouvajı´cı´ sı´la T . 112
Jelikozˇ vneˇjsˇ´ı povrch prutu nenı´ zatı´zˇen je hodnota smykove´ho napeˇtı´ τn0 rovna nule. Potom podle veˇty o sdruzˇenosti smykovy´ch napeˇtı´ je i kolme´ napeˇtı´ τn pu˚sobı´cı´ v rˇezu nulove´. Z teˇchto du˚vodu˚ ma´ smykove´ napeˇtı´ τ na obrysu smeˇr tecˇny profilu. Prˇedpoklady plynoucı´ z prakticky´ch poznatku˚: - svisle´ slozˇky smykovy´ch napeˇtı´ τxz v mı´stech pru˚rˇezu se stejnou sourˇadnicı´ z jsou stejne´ - nositelky smykovy´ch napeˇtı´ ve vsˇech mı´stech se stejnou sourˇadnicı´ z se protı´najı´ v po´lu P na ose symetrie Pro smykove´ napeˇtı´ τ (y, z) tedy platı´ τyz (y, z) =
113
τxz (z) cos ϕ
(7.88)
Podmı´nka silove´ rovnova´hy pro elementa´rnı´ prvek X
Fx : N 00 − N 0 − τyz b(z) dx = 0 Z Z My 0 My + dMy 0 z dS − z dS − τyz b(z) dx = 0 Jy Jy γ1
γ1
dMy Jy
Z
z 0 dS −τyz b(z) dx = 0
γ1
| {z } γ
Uy 1 (z)
τxz (z) =
dMy dx
Uyγ1 (z) T Uyγ1 (z) = b(z)Jy b(z)Jy
(7.89)
Prˇedchozı´ vztah se v literaturˇe cˇasto nazy´va´ Zˇuravske´ho vzorec. Z hlediska pevnostnı´ kontroly je du˚lezˇita´ maxima´lnı´ hodnota smykove´ho napeˇtı´ τmax, ktera´ se stanovı´ z podmı´nky extre´mu dτ dz = 0. Je mozˇne´ odvodit, zˇe u pru˚rˇezu˚, u ktery´ch je tecˇna v mı´steˇ pru˚secˇ´ıku obrysu s neutra´lnı´ osou y rovnobeˇzˇna´ s osou symetrie je maxima´lnı´ smykove´ napeˇtı´ v tomto pru˚secˇ´ıku.
114
Demonstracˇnı´ prˇ´ıklad: Stanovte pru˚beˇh smykove´ho napeˇtı´ u obde´lnı´kove´ho pru˚rˇezu
Uyγ1 (z) = b
h −z 2
·
1 2
h +z 2
=
1 3 bh 12 b h2 2 T 2 4 −z
b 2
2
h − z2 4
Jy = T Uyγ1 (z) τxz (z) = τ = = bJy
b
1 3 12 bh
6T = 3 bh
h2 − z2 4
Pru˚beˇh napeˇtı´ je parabolicky´. Maxima´lnı´ smykove´ napeˇtı´ je v mı´stech na neutra´lnı´ ose τmax = τ (z = 0) =
3 T 3T 3 = = τ 2 bh 2 S 2
Maxima´lnı´ napeˇtı´ τmax je 1,5 kra´t veˇtsˇ´ı nezˇ pru˚meˇrne´ nomina´lnı´ napeˇtı´ v pru˚rˇezu. 115
U beˇzˇny´ch sˇtı´hly´ch prutu˚ je velikost smykove´ho napeˇtı´ ve srovna´nı´ s ohybovy´m napeˇtı´m zanedbatelna´. Mimoto by´va´ maxima´lnı´ smykove´ napeˇtı´ na neutra´lne´ ose, kde je ohybove´ napeˇtı´ nulove´. Smykove´ napeˇtı´ nesmı´me zanedbat u nosnı´ku˚ extre´mneˇ kra´tky´ch, kde je velika´ posouvajı´cı´ sı´la T a maly´ ohybovy´ moment My . Zde je nutne´ u´lohu pocˇ´ıtat jako kombinovane´ nama´ha´nı´ (jde o rovinnou napjatost). Da´le musı´me smykove´ napeˇtı´ uva´zˇit u sˇtı´hly´ch va´lcovany´ch profilu˚ v mı´stech prˇechodu pa´snice do stojiny, kde je skokove´ navy´sˇenı´ smykove´ho napeˇtı´ z du˚vodu signifikantnı´ redukce tlousˇt’ky a kde navı´c pu˚sobı´ i znacˇne´ ohybove´ napeˇtı´ σ. I zde jde o kombinovane´ nama´ha´nı´ a rovinnou napjatost.
τ1 =
T Uy (z1) T Uy (z2) ; τ2 = b 1 Jy b 2 Jy
Na hranici pa´snice a stojiny skok b1 → b2 116
σred =
√
σ 2 + 4τ 2
Energie napjatosti od posouvajı´cı´ sı´ly T τ2 λτ = 2G
Vyjdeme z meˇrne´ energie smykove´ napjatosti
(38)
Energie napjatosti v elementa´rnı´m prvku Z dW =
τ2 dV = 2G
Z
τ2 1 dS dV = 2G 2G
ψ
1 = 2G
Z
Z
T Uy (z) cos ϕ b(z)Jy
2 dS dx =
ψ
Uy (z) cos ϕ b(z)Jy
2
S dS 2 T 2 dx T dx = βy S 2GS
(7.90)
ψ
Pro tvarovy´ soucˇinitel prˇ´ıcˇne´ho pru˚rˇezu βy platı´ Z βy =
Uy (z) cos ϕ b(z)Jy
2 S dS
(7.91)
ψ
Energie napjatosti cele´ho prutu je urcˇena vztahem Z T 2 dx W = βy 2GS ψ
117
(7.92)
Smykove´ napeˇtı´ u tenkosteˇnny´ch symetricky´ch profilu˚ Element tenkosteˇnne´ho profilu je zatı´zˇen posouvajı´cı´mi silami a ohybovy´mi momenty pu˚sobı´cı´mi v prˇ´ıcˇny´ch rˇezech
Smykove´ napeˇtı´ ma´ smeˇr tecˇny pru˚rˇezu. Vzhledem k male´ tlousˇt’ce h prˇedpokla´da´me, zˇe τ je v dane´m mı´steˇ strˇednice po tlousˇt’ce konstantnı´. Podmı´nka silove´ rovnova´hy P Fx : N 0 + τ h dx − N 00 = 0 Z Z σ dS + τ h dx − (σ + dσ) dS = 0 ψ1
Z
ψ1
My z dS + τ h dx − Jy
ψ1
dMy τ h dx = Jy
Z
(My + dMy ) z dS = 0 Jy
ψ1
Z z dS
dMy Uyγ1 T Uyγ1 τ (z) = = dx hJy hJy
ψ1 118
(7.93)
Smykove´ napeˇtı´ u tenkosteˇnny´ch nesymetricky´ch profilu˚ Zameˇrˇ´ıme svoji pozornost na tenkosteˇnny´ va´lcovany´ profil, ktery´ je zatı´zˇeny´ osameˇlou silou F pu˚sobı´cı´ v hlavnı´ centra´lnı´ ose kvadraticky´ch momentu˚ z, ktera´ nenı´ osou symetrie pru˚rˇezu
119
V mı´steˇ x vyjmeme element dΩ o de´lce dx, ktery´ zatı´zˇ´ıme prˇ´ıslusˇny´mi slozˇkami VVU, konkre´tneˇ posouvajı´cı´ silou T (x) a ohybovy´m momentem My (x), resp. T (x) a My (x) + dMy (x)
Posouvajı´cı´ sı´la T (x) vyvola´ v pa´snici a ve stojineˇ smykova´ napeˇtı´ τxz , jejichzˇ pru˚beˇh je popsa´n jizˇ odvozeny´m Zˇuravske´ho vztahem (37). Pa´snice:
τxz (z) =
T Uyγ1 bJy
=
T
h 2
−z b bJy
1 2
120
h 2
+z
T (h2 − 4z 2)b = 8bJy
(7.94)
Stojina: T τxz (z) =
h
h 2
−
h1 2
b
1 2
h 2
+
h1 2
+
h1 2
− z b1
h1 2
+z
i 1 2
=
b 1 Jy T [(h2 − h21)b + (h21 − 4z 2)b1 = 8b1Jy
(7.95)
Vy´sledna´ svisla´ sı´la ve stojineˇ FS je rovna h1 2
Z FS =
τxz (z)b1 dz = h − 21
"
=
T 4b1 (h2 − h21)bh1 + h31b1 − 8b1Jy 3
h1 2
3
− −
2 T (h2 − h21)bh1 + b1h31 = 8Jy 3
h1 2
3!# =
(7.96)
Je mozˇne´ snadno doka´zat, zˇe vy´raz v za´vorce je mozˇne´ na´sledovneˇ zjednodusˇit 2 . (h2 − h21)bh1 + b1h31 = 8Jy 3
(7.97)
Po zpeˇtne´m dosazenı´ do (46) dosta´va´me pro sı´lu ve stojineˇ Fs velice jednoduchy´ vztah (48) FS = T
(7.98)
ktery´ rˇ´ıka´, zˇe stojina v podstateˇ prˇena´sˇ´ı celou posouvajı´cı´ sı´lu T (x). 121
V pa´snici vznika´ rovneˇzˇ smykove´ napeˇtı´ τxy , ktere´ vyply´va´ z podmı´nky silove´ rovnova´hy elementu dΩ1 ve smeˇru osy x. Analogicky zde pouzˇijeme vztah (43), ktery´ byl odvozen pro symetricky´ tenkosteˇnny´ profil h1 1 h T Uyγ1 T ξt 2 2 + 2 τxy (ξ) = = = tJy tJy
=
T (h + h1) ξ 4Jy
(7.99)
Vy´sledna´ vodorovna´ sı´la v pa´snici je da´na na´sledujı´cı´m integra´lem Zb Fp =
Zb τxy (ξ) dS =
0
Zb τxy t dξ =
0
T h h1 = (h + h1) − 4Jy 2 2
T (h + h1) tξ dξ = 4Jy
0
b2 T = (h2 − h21) b2 2 16Jy
(7.100)
Stejneˇ velika´ sı´la Fp, ale opacˇne´ho smeˇru pu˚sobı´ i v hornı´ pa´snici. Silovy´mi vy´slednicemi vnitrˇnı´ch smykovy´ch napeˇtı´ u nesymetricky´ch pru˚rˇezu˚ je svisla´ sı´la Fs pu˚sobı´cı´ ve stojineˇ a silova´ dvojice sil Fp, ktere´ pu˚sobı´ v pa´snicı´ch. Ze statiky je zna´mo, zˇe takovou silovou soustavu je mozˇne´ nahradit jedinou osameˇlou silou, ktera´ pu˚sobı´ v bodeˇ pru˚rˇezu S, ktery´ nazy´va´me tzv. strˇedem smyku. Jeho poloha se urcˇ´ı z momentove´ podmı´nky rovnova´hy vzhledem k bodu B na stojineˇ X
MB : T e = FS e = Fp
122
1 (h + h1) 2
e=
1 T 1 (h2 − h21) b2 (h + h1) = T 16Jy 2 (h2 − h21)(h + h1) b2 = 32Jy
Def.: Strˇedem smyku rozumı´me mı´sto prˇ´ıcˇne´ho pru˚rˇezu nesymetricke´ho prutu, kde jedinou vy´slednicı´ vnitrˇnı´ch elementa´rnı´ch smykovy´ch sil ze smykove´ho napeˇtı´ je osameˇla´ sı´la velikosti posouvajı´cı´ sı´ly T (x).
Pokud je nosnı´k zatı´zˇen vneˇjsˇ´ımi silami tak, zˇe posouvajı´cı´ sı´la neprocha´zı´ strˇedem smyku, potom navı´c docha´zı´ ke kroucenı´ pru˚rˇezu.
123
7.6.3
Vliv zakrˇivenı´ strˇednice
Zameˇrˇ´ıme se na prˇ´ıpad prismaticke´ho prutu, ktery´ splnˇuje na´sledujı´cı´ pracovnı´ prˇedpoklady: − platı´ obecne´ prutove´ prˇedpoklady, − strˇednice prutu je rovinna´ krˇivka, − pru˚rˇez ma´ jednu osu symetrie, ktera´ lezˇ´ı v rovineˇ strˇednice, − jedinou slozˇkou VVU je ohybovy´ moment My , − prˇ´ıcˇny´ pru˚rˇez se nata´cˇ´ı jako rovina kolem neutra´lnı´ osy, ktera´ nenı´ totozˇna´ s hlavnı´ osou centra´lnı´ch kvadraticky´ch momentu˚ pru˚rˇezu.
Pomeˇrne´ prˇetvorˇenı´ εn vla´kna v mı´steˇ z je podle definice rovno z ∆dϕ . BB 0 z ∆dϕ εn(z) = = = ρ dϕ (r − z) dϕ AB
(7.101)
S ohledem na tahovou jednoosou napjatost dosta´va´me pro prˇ´ıcˇna´ prˇetvorˇenı´ εy ,εz a norma´love´ napeˇtı´ σn na´sledujı´cı´ relace εy (z) = εz (z) = −µεn(z) 124
(7.102)
σn(z) = Eεn(z) =
Ez ∆dϕ Ez ∆dϕ = ρ dϕ (r − z) dϕ
(7.103)
Z prˇedchozı´ho vztahu plyne, zˇe pru˚beˇh norma´love´ napeˇtı´ u krˇive´ho prutu σn je hyperbolicky´ v porovna´nı´ s prˇ´ımkovy´m pru˚beˇhem prˇi proste´m za´kladnı´m ohybu. Zatı´m nezna´my´ polomeˇr krˇivosti neutra´lnı´ho vla´kna r a u´hel natocˇenı´ rˇezu ∆dϕ stanovı´me na za´kladeˇ podmı´nek staticke´ ekvivalence v rˇezu. Silova´ podmı´nka staticke´ ekvivalence ve smeˇru norma´ly rˇezu Z X Fn σn(z) dS = N = 0 (7.104) ψ
Po dosazenı´ vztahu (7.49) pro pru˚beˇh napeˇtı´ do rovnice (54) obdrzˇ´ıme Z E ∆dϕ z dS = 0 dϕ ρ ψ
Prˇedchozı´ rovnice je splneˇna, platı´-li Z z dS = 0 ρ
(7.105)
ψ
Matematickou u´pravou zı´ska´me vztah pro polomeˇr krˇivosti r neutra´lnı´ho vla´kna Z ψ
z dS = ρ
Z
r−ρ dS = r ρ
ψ
r=R ψ
125
S dS ρ
Z
S zZ }| { 1 dS − dS = ρ
ψ
ψ
(7.106)
Momentova´ podmı´nka staticke´ ekvivalence: Z X My : σn(z)z dS = My
(7.107)
ψ
Opeˇt vyuzˇijeme vztahu (7.49) pro pru˚beˇh napeˇtı´, ktery´ dosadı´me do (7.53) Z E ∆dϕ z 2 dS = My (7.108) dϕ ρ ψ
Z Z z E ∆dϕ dS − z dS = My r dϕ ρ ψ ψ | {z } r·0 − (−Se)
E ∆dϕ My = dϕ Se
→ (53)
(7.109)
Po zpeˇtne´m dosazenı´ (7.55) do vztahu (7.49) dostaneme fina´lnı´ relaci pro stanovenı´ pru˚beˇhu norma´love´ho napeˇtı´ v prˇ´ıcˇne´m pru˚rˇezu σn(z) =
My z My z = Seρ Se(r − z)
(7.110)
Forma´lnı´ u´pravou vztahu (7.55) dostaneme relaci pro u´hel natocˇenı´ ∆dϕ ∆dϕ
=
My dϕ My ds = ESe ESeR 126
(7.111)
Pru˚beˇh napeˇtı´ σn v pru˚rˇezu stanoveny´ dle (7.56) je zna´zorneˇn na na´sledujı´cı´m obra´zku My h1 σ1 = SeR1 σ2 =
My (−h2) SeR2
σ1 h1 R2 = σ2 h2 R1
σmax = max {σ1, |σ2|} σk = kD σmax Extre´mnı´ tahova´ a tlakova´ napeˇtı´ jsou v mı´stech 1 a 2 na povrchu prutu. kk =
Pevnostnı´ kontrola u materia´lu ve stavu krˇehke´m se prova´dı´ zvla´sˇt’ v tahove´ a zvla´sˇt’v tlakove´ oblasti σRd |σ2|
(7.112)
kR (ϕ) = min {kRt, kRd}
(7.113)
kRt =
σRt σ1
kRd =
A stanovı´ se minima´lnı´ bezpecˇnost v rˇezu
U materia´lu ve stavu tva´rne´m se vycha´zı´ z maxima´lnı´ absolutnı´ hodnoty ohybove´ho napeˇtı´ v rˇezu σmax = max {σ1, |σ2|} 127
(7.114)
A bezpecˇnost v rˇezu je rovna kk (ϕ) =
σk σmax
(7.115)
V obou prˇ´ıpadech se urcˇ´ı minima´lnı´ bezpecˇnost kmin v rˇezech pode´l strˇednice, ktera´ musı´ by´t veˇtsˇ´ı nezˇ bezpecˇnost doporucˇena´ kd. kmin = min {kk (ϕ), resp. kR (ϕ)} = kD
(7.116)
Vznik radia´lnı´ho napeˇtı´ Dveˇma symetricky´mi rˇezy uvolnı´me element dΩ a z neˇho va´lcovy´m rˇezem subelement dΩ1
Z leve´ a prave´ strany pu˚sobı´ na subelement dΩ1 norma´lova´ sı´la N jako vy´slednice ohybovy´ch napeˇtı´ σ(z 0) pu˚sobı´cı´ch na podpru˚rˇez ψ1. Z My z 0 0 N = σ(z ) dS = (7.117) Se(r − z 0) ψ 128
Na´sledneˇ formulujeme podmı´nku silove´ rovnova´hy v radia´lnı´m smeˇru dϕ − σr ρ dϕ b(z) = 0 Fr : 2N sin 2 | {z } . = d2ϕ Z 1 1 σr = N= σ(z 0) dS ρb(z) ρb(z)
X
(7.118)
ψ
V du˚sledku zakrˇivenı´ strˇednice vznika´ u prutu radia´lnı´ norma´love´ napeˇtı´ σr , cozˇ je porusˇenı´m prˇedpokladu o prutove´ napjatosti. Ze vztahu (7.64) vyply´va´, zˇe velikost radia´lnı´ho napeˇtı´ σr klesa´ s ru˚stem polomeˇru krˇivosti vla´kna ρ. Da´le prˇedpokla´da´me, zˇe polomeˇr krˇivosti R a tedy i obecne´ polomeˇry ρ jsou dostatecˇneˇ velike´, abychom mohli radia´lnı´ napeˇtı´ σr vu˚cˇi ohybove´mu napeˇtı´ zanedbat (σr σ).
129
Energie napjatosti u zakrˇivene´ho prutu. Energii napjatosti dW v elementu prutu dΩ stanovı´me na za´kladeˇ elementa´rnı´ pra´ce dA vneˇjsˇ´ıch sil pu˚sobı´cı´ch na element, tj. prˇ´ıslusˇny´ch slozˇek VVU, v nasˇem prˇ´ıpadeˇ norma´love´ sı´ly N a ohybove´ho momentu My . Prˇedpokla´da´me, zˇe levy´ rˇez jest za´rovenˇ rovinou symetrie prutu, cozˇ znamena´, zˇe se neposouva´ ani nenata´cˇ´ı. Pra´ci tedy vykona´vajı´ pouze N a My , ktere´ pu˚sobı´ v leve´m rˇezu. Element dΩ nejprve zatı´zˇ´ıme My a na´sledneˇ N
dW = dA =
1 1 M ∆dϕM + N ∆dsN − M ∆dϕM = 2 2
1 M 2 dϕ N 2 ds M ∆ds + − 2 ESe ES R M 2 ds N 2 ds M N ds = + − 2ESRe 2ES ESR
130
(7.119)
Pro energii napjatosti cele´ho zakrˇivene´ho prutu dosta´va´me potom na´sledujı´cı´ vztah Z W =
My2(s) ds + 2ESRe
γ
Z
N 2(s) ds − 2ES
γ
Z
My (s)N (s) ds ESR
(7.120)
γ
Prut slabeˇ zakrˇiveny´ U prutu slabeˇ zakrˇivene´ho je maxima´lnı´ prˇ´ıcˇny´ rozmeˇr h znacˇneˇ mensˇ´ı nezˇ polomeˇr krˇivosti strˇednice R (h R), obvykle Rh < 15 . Prˇi odvozenı´ vyjdeme z rovnice (58) Z E ∆dϕ z 2 ds = My (s) dϕ ρ γ
Pro tenky´ prut platı´ . ρ=R
(7.121)
Dosazenı´m do prˇedchozı´ho vztahu dosta´va´me po algebraicke´ u´praveˇ relaci E ∆dϕ My = dϕ Jy
(7.122)
Pomocı´ ktere´ upravı´me vztah pro norma´love´ napeˇtı´ (53) σ(z) =
My (s) z Jy
(7.123)
Pru˚beˇh norma´love´ho napeˇtı´ po pru˚rˇezu je potom prakticky linea´rnı´ a tedy stejny´ jako u proste´ho za´kladnı´ho ohybu. Neutra´lnı´ osa sply´va´ s hlavnı´ centra´lnı´ osou kvadraticky´ch momentu˚ y. 131
Chyba v maxima´lnı´m ohybove´m napeˇtı´ ∆σo, kterou se u kruhove´ho pru˚rˇezu u prutu s Rh = 15 dopousˇtı´me je 8,2%, viz na´sledujı´cı´ obr.
Z analogie se za´kladnı´m ohybem plyne i prˇ´ıslusˇna´ ohybova´ energie. U slabeˇ zakrˇiveny´ch prutu˚ je prˇ´ıru˚stek u´hlu natocˇenı´ ∆dϕN od norma´love´ sı´ly N zanedbatelny´ a trˇetı´ cˇlen v rovnici (69) tedy odpada´. Energie napjatosti u slabeˇ zakrˇivene´ho prutu je s uva´zˇenı´m vztahu (72) a vlivu posouvajı´cı´ sı´ly T rovna Z Z 2 Z My2(s) ds N 2(s) ds T (s) ds + +β (7.124) W = 2EJy 2ES 2GS γ
γ
γ
Pomocı´ Castiglianovy veˇty je potom mozˇne´ vypocˇ´ıtat posuv uF ve smeˇru osameˇle´ sı´ly F resp. u´hel natocˇenı´ ∆ϕM zpu˚sobeny´ silovou dvojicı´ M Z Z Z My (s) ∂My Ny (s) ∂Ny T (s) ∂T uF = (7.125) EJy ∂F ds+ ES ∂F ds + β GS ∂F ds γ
γ
Z ∆ϕM
= γ
My (s) ∂My EJy ∂M ds
γ
Z +
Ny (s) ∂Ny ES ∂M ds
γ
Z +β
T (s) ∂T GS ∂M ds
(7.126)
γ
V prˇ´ıpadeˇ, zˇe chceme vypocˇ´ıtat posunutı´, resp. u´hel natocˇenı´ v mı´stech, kde nenı´ osameˇla´ sı´la resp. silova´ dvojice, zavedeme tam velicˇiny doplnˇkove´ Fd resp. Md , ktere´ na konci vy´pocˇtu polozˇ´ıme rovny nule.
132
7.7
Nama´ha´nı´ na ohyb, prakticke´ aplikace
Nasˇ´ım cı´lem je napjatostnı´, deformacˇnı´ a pevnostnı´ analy´za prutu˚ s dominantnı´m nama´ha´nı´m na ohyb. Omezı´me se prˇitom na rovinne´ prˇ´ıpady, kdy strˇednice prutu lezˇ´ı v rovineˇ na´kresu x, z. V te´zˇe rovineˇ lezˇ´ı osa symetrie pru˚rˇezu i vneˇjsˇ´ı sı´ly. Charakteristickou slozˇkou vektoru VVU v obecne´m mı´steˇ s je ohybovy´ moment My (s). Prˇicˇemzˇ s mu˚zˇe by´t sourˇadnice x resp. z u prutu˚ prˇ´ımy´ch cˇi v prˇ´ımy´ch u´secı´ch obecny´ch prutu˚, u krˇivy´ch prutu˚ pak krˇivocˇara´ sourˇadnice s, prˇ´ıpadneˇ pola´rnı´ u´hel ϕ. Prˇ´ıpad volny´ch prutu˚ je v praxi vy´jimecˇny´ a tak se zameˇrˇ´ıme na pruty va´zane´, kde musı´me nejprve kroku stanovit stykove´ vy´slednice. Vycha´zı´me prˇitom z obecne´ho algoritmu uvedene´ho v kap. 5.2. Z du˚vodu zachova´nı´ spojitosti vy´kladu si zde strucˇneˇ prˇipomeneme jeho za´kladnı´ kroky. Prut uvolnı´me z vazeb, ktere´ nahradı´me staticky ekvivalentnı´mi stykovy´mi vy´slednicemi (reakcemi). Provedeme staticky´ rozbor u´lohy. U prutu˚ staticky urcˇity´ch stanovı´me stykove´ vy´slednice z podmı´nek staticke´ rovnova´hy. Da´le postupujeme jako u prutu˚ volny´ch. Slozˇky VVU stanovı´me na za´kladeˇ podmı´nek staticke´ rovnova´hy uvolneˇny´ch prvku˚ prutu. V prˇ´ıpadeˇ otevrˇeny´ch prutu˚ jde o u´lohu staticky urcˇitou. U prutu˚ staticky neurcˇity´ch k podmı´nka´m staticke´ rovnova´hy formulujeme stykove´ deformacˇnı´ podmı´nky pro cˇa´stecˇneˇ uvolneˇny´ prut, uvolneˇny´ na u´rovenˇ u´lohy forma´lneˇ staticky urcˇite´. Deformacˇnı´ podmı´nky v uvolneˇny´ch vazba´ch pak rˇesˇ´ıme neˇkterou z metod pro stanovenı´ deformace prutu, zejme´na vsˇak pomocı´ Castiglianovy veˇty. Obdrzˇ´ıme soustavu linea´rnı´ch rovnic, ze ktere´ vypocˇteme stykove´ vy´slednice v cˇa´stecˇneˇ uvolneˇny´ch vazba´ch . Zby´vajı´cı´ stykove´ vy´slednice, pokud jsou zapotrˇebı´, stanovı´me z podmı´nek staticke´ rovnova´hy cele´ho prutu. Slozˇky VVU a na´sledneˇ napeˇt’ovou, deformacˇnı´ a pevnostnı´ analy´zu potom prova´dı´me jako u prutu˚ volny´ch. 133
Typy vazbovy´ch deformacˇnı´ch podmı´nek: a) homogennı´ deformacˇnı´ podmı´nka
wB = 0 b) nehomogennı´ deformacˇnı´ podmı´nka
wB =
∂W ∂FB
Vazbova´ deformacˇnı´ podmı´nka: wB = −
wB = ∆
∂W ∂FB
Pozn: Zname´nko mı´nus prˇed Castiglianovou veˇtou je tu z toho du˚vodu, zˇe posuv ∆ se deˇje proti smyslu pu˚sobenı´ stykove´ sı´ly FB . 134
Vazbova´ deformacˇnı´ podmı´nka: wB = −∆
wB =
∂W ∂FB
c) siloveˇ za´visla´ vazbova´ deformacˇnı´ podmı´nka
Vazbova´ deformacˇnı´ podmı´nka: wB = −
wB = cFB
∂W ∂FB
V dalsˇ´ım se postupneˇ zameˇrˇ´ıme na na´sledujı´cı´ kategorie prutu˚: 1) Pruty prˇ´ıme´ 2) Pruty lomene´ (ra´my) 3) Pruty zakrˇivene´ 4) Pruty smı´sˇene´ 135
7.7.1
Pruty prˇ´ıme´ - demonstracˇnı´ prˇ´ıklady
Prˇ.1: Navrhneˇte prˇ´ıcˇne´ rozmeˇry obde´lnı´kove´ho pru˚rˇezu a stanovte svisly´ pru˚hyb a u´hel natocˇenı´ v mı´steˇ C u prutu dle obra´zku:
F = 104 N, a = 1 m, hb = 0, 5 u obde´lnı´kove´ho pru˚rˇezu, mez kluzu σk = 350 MPa, bezp. kk = 2, modul pruzˇnosti v tahu E = 2, 1·105 MPa Pozn: Vzhledem k tomu, zˇe ma´me take´ stanovit u´hel natocˇenı´ v mı´steˇ D, kde nepu˚sobı´ silova´ dvojice, zavedeme do tohoto mı´sta jizˇ na pocˇa´tku vy´pocˇtu velicˇinu doplnˇkovou Md. Staticky´ rozbor pro u´plneˇ uvolneˇne´ teˇleso: µ=3
ν=3
s=µ−ν =3−3=0
´ loha je staticky urcˇita´. U Podmı´nky silove´ rovnova´hy a stykove´ vy´slednice: X
Fx : FAx = 0
1 Md Fz : − FAz − FB + F = 0 ⇒ FAz = − F − 2 2a X 3 Md MA : FB · 2a − F · 3a − Md = 0 ⇒ F + 2 2a X
136
Pru˚beˇhy ohybovy´ch momentu˚ v u´secı´ch I a II Md 1 x1 My (x1) = FAx1 = − F x1 − 2 2a My (x2) = −F x2 − Md Graficke´ zna´zorneˇnı´ pru˚beˇhu ohybovy´ch momentu˚ My (x)
Maxima´lnı´ ohybovy´ moment: Mmax = max {|My (x)|} = F a = 104 Nm Pevnostnı´ na´vrh prˇ´ıcˇne´ho pru˚rˇezu: σ0,max =
Mmax σk = Wy kk
Wy =
1 3 1 3 bh = h 6 12
12Mmax σk = h3 kk r h=
3
12Mmaxkk = σk
r 3
12 · 104 · 103 · 2 = 88, 2 mm 350
b = 0, 5h = 44, 1 mm
Kvadraticky´ moment pru˚rˇezu: Jy =
1 1 bh3 = · 44, 1 · 88, 22 = 2, 522 · 106 mm4 12 12 137
Stanovenı´ svisle´ho pru˚hybu v mı´steˇ C pomocı´ Castiglianovy veˇty: ∂W wC = = ∂F
Z
My (x) ∂My dx = EJy ∂F
γ
2a Z Za ∂My (x1) 1 ∂My (x2) My (x1) = dx1 + My (x2) dx2 = EJy ∂F ∂F 0
0
2a Z 1 1 Md 1 = − F x1 − x1 − x1 dx1+ EJy 2 2a 2 0
Za
(−F x2 − Md)(−x2) dx2 =
+ 0
=
1 EJy
3 2a F x1 12
0
+
3 a F x2 3
0
!
3
=
Fa EJy
2 1 + 3 3
104 · 109 F a3 = = 18, 9 mm = EJy 2, 1 · 105 · 2, 522 · 106
138
=
Stanovenı´ u´hlu natocˇenı´ v mı´steˇ C pomocı´ Castiglianovy veˇty: ϕC =
∂W = ∂Md
2a Z Za ∂My (x1) ∂My (x2) 1 My (x1) dx1 + My (x2) dx2 = = EJy ∂Md ∂Md 0
0
2a Z 1 1 Md −x1 = − F x1 − x1 − dx1+ EJy 2 2a 2a 0 Za + (−F x2 − Md) · (−1) dx2 = 0
1 = EJy
2a F x31 12a
0
+
a F x22 2
0
!
F a2 = EJy
2 1 + 3 2
7 F a2 7 · 104 · 106 = = = 0, 132 rad 6 EJy 2, 1 · 105 · 2, 522 · 106
139
=
Prˇ.2: Proved’te pevnostnı´ kontrolu prismaticke´ho prutu zna´zorneˇne´ho na obra´zku.
q = 104 Nm−1, a = 1 m, mez kluzu σk = 400 MPa, dovolena´ bezpecˇnost kD = 2 Staticky´ rozbor pro u´plneˇ uvolneˇne´ teˇleso: µ=4
ν=3
s=µ−ν =4−3=1
´ loha je jedenkra´t staticky neurcˇita´. U Podmı´nky staticke´ rovnova´hy pro u´plneˇ uvolneˇny´ prut X
Fx : FAx = 0
X
Fz : FAz + FB − 2qa = 0
X
MA : FB · 3a − 2qa2 + MA = 0
140
Cˇa´stecˇneˇ uvolneˇny´ prut
Deformacˇnı´ podmı´nka pro uvolneˇnou vazbu wB =
∂W =0 ∂FB
Pru˚beˇhy ohybovy´ch momentu˚ My a posouvajı´cı´ch sil T v u´secı´ch I a II My (x1) = FB x1
T (x1) = −FB
(x2 − a)2 My (x2) = FB x2 − q 2
T (x2) = −FB + q(x2 − a)
Pozn: Energie napjatosti W a tedy prˇi ohybove´m nama´ha´nı´ i ohybovy´ moment My musı´ by´t matematicky vyja´drˇeny jako funkce vneˇjsˇ´ıho zatı´zˇenı´ (zde q) a stykove´ vy´slednice v uvolneˇne´ vazbeˇ (zde FB ). Pokud tomu tak nenı´, je zapotrˇebı´ vztahy pro My do na´lezˇite´ho stavu prˇive´st vyuzˇitı´m podmı´nek staticke´ rovnova´hy. Rˇesˇenı´ deformacˇnı´ podmı´nky pomocı´ Castiglia´novy veˇty wB =
∂W =0 ∂FB
a Z Z2a 1 ∂My (x1) ∂My (x2) My (x1) dx1 + My (x2) dx2 = 0 EJy ∂FB ∂FB 0
0
141
Za
Z2a (x2 − a)2 (FB x1)x1 dx1 + FB x2 − q x2 dx2 = 0 2
0
0
Tato rovnice obsahuje jedinou nezna´mou, kterou je FB . Po vyja´drˇenı´ integra´lu˚ v prˇedchozı´ rovnici a algebraicke´ u´praveˇ dosta´va´me pro FB FB =
10 qa = 0, 3704 · 104 N 27
Pru˚beˇh ohybovy´ch momentu˚ My (x) a posouvajı´cı´ch sil T (x) je da´n drˇ´ıve uvedeny´mi vztahy po dosazenı´ FB , cozˇ zna´zornı´me graficky
142
Z pru˚beˇhu je zrˇejme´, zˇe maxima´lnı´ ohybovy´ moment My,max mu˚zˇe by´t bud’ v mı´steˇ x2,ex loka´lnı´ho extre´mu, kde je posouvajı´cı´ sı´la T nulova´ nebo v mı´steˇ vetknutı´ x2 = 3a. Tyto hodnoty je nutne´ vypocˇ´ıtat T (x2,ex) = −FB + q(x2,ex − a) = 0
x2,ex =
FB 10qa 37 +a= +a= a = 1, 3704 m q 27q 27
q My (x2,ex) = FB x2,ex − (x2,ex − a)2 = 2 104 4 (1, 3704 − 1)2 = 0, 4390 · 104 Nm = 0, 3704 · 10 · 1, 3704 − 2 q My (x2 = 3a) = FB · 3a − (3a − a)2 = 2 104 4 = 0, 3704 · 10 · 3 − (3 − 1)2 = −0, 8888 · 104 Nm 2
143
Pevnostnı´ kontrola: Kvadraticky´ moment pru˚rˇezu: Jy =
1 1 1 BH 3 − bh3 = (60 · 1203 − 50 · 1103) = 3, 094 · 106 mm4 12 12 12
Modul pru˚rˇezu: Wy =
Jy H 2
3, 094 · 106 = 5, 157 · 104 mm3 = 60
Maxima´lnı´ ohybove´ napeˇtı´ σo,max σo,max
My,max −0, 8888 · 104 · 103 = = = 172, 3 MPa Wy 5, 157 · 104
Bezpecˇnost kk =
σk σo,max
=
400 = 2, 32 > kD 172, 3
Prut pevnostneˇ vyhovuje.
144
Prˇ.3: Proved’te pevnostnı´ kontrolu prismaticke´ho prutu zna´zorneˇne´ho na obra´zku.
M = 8000 Nm, a = 1 m, mez kluzu σk = 400 MPa, dovolena´ bezpecˇnost kD = 2 Staticky´ rozbor pro u´plneˇ uvolneˇne´ teˇleso: µ=4
ν=3
s=µ−ν =4−3=1
´ loha je jedenkra´t staticky neurcˇita´. U Podmı´nky staticke´ rovnova´hy pro u´plneˇ uvolneˇny´ prut X
Fx : FAx = 0
X
Fz : FAz + FB + FC = 0
X
MB : FAz · 2a + M − FC · a = 0
FAz =
FC M − 2 2a
145
Cˇa´stecˇneˇ uvolneˇny´ prut
Deformacˇnı´ podmı´nka pro uvolneˇnou vazbu wB =
∂W =0 ∂FC
Pru˚beˇhy ohybovy´ch momentu˚ My pode´l prutu My (x1) = FC x1 M FC x2 − x2 2 2a FC M My (x3) = FAz x3 + M = x3 − x3 + M 2 2a My (x2) = FAz x2 =
Pozn: V souladu se zatı´zˇenı´m a realizovany´m cˇa´stecˇny´m uvolneˇnı´m bylo nutne´ vyja´drˇit ohybovy´ moment ve tvaru My (M, FC ). K tomu byla vyuzˇita momentova´ podmı´nka staticke´ rovnova´hy. Rˇesˇenı´ deformacˇnı´ podmı´nky pomocı´ Castiglia´novy veˇty a Z ∂W 1 ∂My wC = = My (x1) dx1+ ∂FC EJy ∂FC 0 Za Z2a ∂My ∂My + My (x2) dx2 + My (x3) dx3 = 0 ∂FC ∂FC 0
0
146
Za
Za (FC x1) x1 dx1 +
0
FC M x2 − x2 2 2a
x2 dx2+ 2
0
Za +
FC M x3 − x3 + M 2 2a
x3 dx3 = 0 2
0
Tato rovnice obsahuje jedinou nezna´mou, kterou je FC . Po vyja´drˇenı´ integra´lu˚ v prˇedchozı´ rovnici a algebraicke´ u´praveˇ dosta´va´me pro FC FC = −
8000 M =− = −666, 7 N 12a 12 · 1
Pru˚beˇh ohybovy´ch momentu˚ My (x) je da´n drˇ´ıve uvedeny´mi vztahy, do ktery´ch dosadı´me FB . Zna´zorneˇno graficky
Z pru˚beˇhu je zrˇejme´, zˇe maxima´lnı´ ohybovy´ moment My,max je v mı´steˇ x2 = a. Jeho hodnota je rovna My,max = 4333 Nm
147
Pevnostnı´ kontrola: Kvadraticky´ moment pru˚rˇezu: Jy =
1 1 50 · 1003 − 2 22, 5 · 903 = 1, 433 · 106 mm4 12 12
Modul pru˚rˇezu: Wy =
Jy h 2
1, 433 · 106 = = 2, 866 · 104 mm3 50
Maxima´lnı´ ohybove´ napeˇtı´ σo,max σo,max
My,max 4333 · 103 · 103 = 151, 2 MPa = = Wy 2, 866 · 104
Bezpecˇnost kk =
σk σo,max
=
400 = 2, 65 > kD = 2 151, 2
Prut pevnostneˇ vyhovuje.
148
7.7.2
Pruty lomene´ - ra´my
U prutu˚ lomeny´ch je strˇednice spojitou, ale nehladkou krˇivkou. V mı´stech zlomu vznika´ slozˇita´ prostorova´ napjatost, ktera´ nenı´ rˇesˇitelna´ vyuzˇitı´m teorie proste´ho ohybu. Abychom mohli u´lohu rˇesˇit jako celek (s vy´jimkou zlomu˚) pomocı´ prˇ´ıstupu proste´ pruzˇnosti, musı´ by´t oblast porusˇenı´ prutove´ napjatosti zanedbatelna´ v porovna´nı´ s celkovy´mi rozmeˇry ra´mu. Abychom mohli rˇesˇit ra´m pouzˇitı´m vztahu˚ odvozeny´ch pro prut, musı´ by´t splneˇno: a) Pocˇet zlomu˚ nesmı´ by´t velky´
b) Vztahu˚ pro napjatost, odvozeny´ch pro prosty´ ohyb, lze pouzˇ´ıt azˇ v dostatecˇne´ vzda´lenosti od zlomu c) Musı´me zna´t siloveˇ-deformacˇnı´ charakteristiku zlomu˚, tj. za´vislost u´hlu ve zlomu na mı´stnı´m ohybove´m momentu - α(M )
Dva krajnı´ prˇ´ıpady - tuhy´ zlom - kloub
α = konst. (neza´visı´ na M) M=0
149
Urcˇova´nı´ napjatosti, pevnostnı´ kontrola Nejprve z podmı´nek staticke´ rovnova´hy uvolneˇne´ho prvku ra´mu stanovı´me pru˚beˇh slozˇek VVU - My (s), T (s) a N (s). U pravou´hle´ho ra´mu mu˚zˇe by´t polohova´ sourˇadnice s rˇezu bud’ x nebo z, podle toho, v jake´ cˇa´sti ra´mu se nacha´zı´me, viz obr.
Zname´nkova´ konvence pro slozˇky VVU je analogicka´ jako u prutu prˇ´ıme´ho, pokud je to mozˇne´. Lomeny´ prut obcha´zı´me sta´le po jedne´ straneˇ, veˇtsˇinou vnitrˇnı´. Ohybovy´ mement My (s) je v tomto prˇ´ıpadeˇ kladny´, jestlizˇe natahuje spodnı´ vla´kna a stlacˇuje hornı´ vla´kna, posouvajı´cı´ sı´la T (s) je kladna´, ota´cˇ´ı-li elementem v rˇezu ve smyslu hodinovy´ch rucˇicˇek a norma´lova´ sı´la N (s) je kladna´, pu˚sobı´-li tahoveˇ - viz obr. Jinak zavedeme zname´nkovou konvenci smluvneˇ. Da´le prˇedpokla´da´me, zˇe nebezpecˇny´m nama´ha´nı´m je nama´ha´nı´ ohybove´, charakterizovane´ ohybovy´m momentem My (s). Pru˚beˇh ohybove´ho napeˇtı´ σo(s) pode´l strˇednice je da´n vztahem σo(s) =
My (s) Wy (s)
Stanovı´me maxima´lnı´ ohybove´ napeˇtı´ σo,max(s) σo,max = max{σo(s)} 150
U ra´mu˚ prizmaticky´ch je maxima´lnı´ ohybove´ napeˇtı´ σo,max v mı´steˇ pu˚sobenı´ maxima´lnı´ho ohybove´ho momentu My,max, tedy σo,max =
My,max Wy
Provedeme pevnostnı´ kontrolu kk =
σk σo,max
151
> kD
Demonstracˇnı´ prˇ´ıklady: Prˇ.1: Navrhneˇte prˇ´ıcˇne´ rozmeˇry obde´lnı´kove´ho pru˚rˇezu u rovinne´ho ra´mu a stanovte svisly´ posuv v mı´steˇ B
q = 104 Nm−1, a = 1 m, hb = 0, 5 u obde´lnı´kove´ho pru˚rˇezu, mez kluzu σk = 350 MPa, dovolena´ bezpecˇnost kD = 2, modul pruzˇnosti v tahu E = 2, 1 · 105 MPa Pozn: Vzhledem k tomu, zˇe ma´me stanovit take´ svisly´ posuv v mı´steˇ B, kde nepu˚sobı´ osameˇla´ sı´la, zavedeme do tohoto mı´sta jizˇ na pocˇa´tku vy´pocˇtu sı´lu doplnˇkovou Fd. Staticky´ rozbor pro u´plneˇ uvolneˇne´ teˇleso: µ=3
ν=3
s=µ−ν =3−3=0
´ loha je staticky urcˇita´. U
152
Podmı´nky silove´ rovnova´hy a stykove´ vy´slednice: X
Fx : FAx = 0
X
Fz : FAz − qa − Fd = 0
X
MA
⇒
qa2 + Fda = 0 : MA + 2
⇒
FAz = qa + Fd qa2 MA = − − Fda 2
Pru˚beˇhy ohybovy´ch momentu˚ v u´secı´ch I a II qx2 My (x) = − − Fdx 2 qa2 − Fda My (z) = − 2 Graficke´ zna´zorneˇnı´ pru˚beˇhu ohybovy´ch momentu˚ My (s)
Maxima´lnı´ ohybovy´ moment: My,max
qa2 = = 5000 Nm 2
Pevnostnı´ na´vrh prˇ´ıcˇne´ho pru˚rˇezu: σo,max =
My,max σk = Wy kD
Wy = 153
1 3 1 bh = h3 6 12
σk 12My,max = h3 kD r h=
3
12My,maxkD = σk
r 3
12 · 5000 · 103 · 2 = 70, 0 mm 350
b = 0, 5h = 35 mm Kvadraticky´ moment pru˚rˇezu Jy : Jy =
1 1 bh3 = 35 · 703 = 1, 000 · 106 mm4 12 12
Stanovenı´ svisle´ho posuvu v mı´steˇ B pomocı´ Castiglianovy veˇty: a Z Z2a 1 ∂My ∂My ∂W = My (x) dx + My (z) dz = wB = ∂Fd EJy ∂Fd ∂Fd 0
0
a 2a Z Z qx2 qa2 1 − − Fdx (−x) dx + − − Fda (−a) dz = = EJy 2 2 0
0
a 2a Z Z 1 qx3 qa3 7qa4 = dx + dz = EJy 2 2 8EJy 0
0
7 · 104 · 10−3 · 1 · 1012 wB = = 41, 7 mm 8 · 2, 1 · 105 · 1, 000 · 106
154
Prˇ.2: Proved’te pevnostnı´ kontrolu rovinne´ho ra´mu zna´zorneˇne´ho na obra´zku.
M = 5000 Nm, a = 1 m, mez kluzu σk = 400 MPa, dovolena´ bezpecˇnost kD = 2 Staticky´ rozbor pro u´plneˇ uvolneˇne´ teˇleso: µ=4
ν=3
s=µ−ν =4−3=1
´ loha je jedenkra´t staticky neurcˇita´. U Podmı´nky staticke´ rovnova´hy pro u´plneˇ uvolneˇny´ prut X
Fx : FAx = 0
X
Fz : FAz + FB = 0
X
MB : FB a − M − MA = 0
155
Cˇa´stecˇneˇ uvolneˇny´ prut
Deformacˇnı´ podmı´nka pro uvolneˇnou vazbu wB =
∂W =0 ∂FB
Pru˚beˇh ohybovy´ch momentu˚ My pode´l prutu My (x1) = FB x My (z1) = FB a My (z2) = FB a − M Pozn: V souladu se zatı´zˇenı´m a realizovany´m cˇa´stecˇny´m uvolneˇnı´m bylo nutne´ vyja´drˇit ohybovy´ moment ve tvaru My (M, FB ). Za tı´mto u´cˇelem jsme uvolnˇovali prvky ra´mu od mı´sta B. Rˇesˇenı´ deformacˇnı´ podmı´nky pomocı´ Castiglia´novy veˇty a Z ∂W 1 ∂My = My (x) dx+ wB = ∂FB EJy ∂FB 0
Za +
My (z1) 0
∂My dz1 + ∂FB
Z2a My (z2) 0
156
∂My dz2 = 0 ∂FB
Za
Za FB x x dx +
0
Z2a FB a a dz1 + (FB a − M ) a dz2 = 0
0
0
Tato rovnice obsahuje jedinou nezna´mou, kterou je FB . Po vyja´drˇenı´ integra´lu˚ v prˇedchozı´ rovnici a algebraicke´ u´praveˇ dosta´va´me pro FB FB =
3M 3 5000 = · = 2143 N 7 a 7 1
Pru˚beˇh ohybovy´ch momentu˚ My (x) je da´n drˇ´ıve uvedeny´mi vztahy, do ktery´ch dosadı´me FB . Zna´zorneˇno graficky
Z pru˚beˇhu je zrˇejme´, zˇe maxima´lnı´ ohybovy´ moment My,max je v mı´steˇ pu˚sobenı´ silove´ dvojice M . Jeho hodnota je rovna My,max =
4 4 M = · 5000 = 2857 Nm 7 7
157
Pevnostnı´ kontrola: Kvadraticky´ moment pru˚rˇezu: Jy 0 = 2 · zT =
1 1 · 27 · 63 + · 6 · 1003 = 2, 004 · 106 mm4 3 3
Uy0 60 · 6 · 3 + 94 · 6 · 53 = = 33, 52 mm S 60 · 6 + 94 · 6
Jy = Jy0 − zT0 S = 2, 004 · 106 − 33, 522 · 924 = 0, 9658 · 106 mm4
Modul pru˚rˇezu: 0, 9658 · 106 Jy = = 1, 453 · 104 mm3 Wy = zex 100 − 33, 52
Maxima´lnı´ ohybove´ napeˇtı´ σo,max σo,max
My,max 2857 · 103 · 103 = = 196, 7 MPa = Wy 1, 453 · 104
Bezpecˇnost kk =
σk σo,max
=
400 = 2, 03 > kD = 2 196, 7
Prut pevnostneˇ vyhovuje.
158
Prˇ.3: Proved’te pevnostnı´ kontrolu rovinne´ho ra´mu zna´zorneˇne´ho na obra´zku.
q = 104 Nm−1, a = 1 m, mez kluzu σk = 400 MPa, dovolena´ bezpecˇnost kD = 2 Staticky´ rozbor pro u´plneˇ uvolneˇne´ teˇleso: µ=4
ν=3
s=µ−ν =4−3=1
´ loha je jedenkra´t staticky neurcˇita´. U Podmı´nky staticke´ rovnova´hy pro u´plneˇ uvolneˇny´ prut X
Fx : − FAx + FBx = 0
X
Fz : FAz + FBz − 2qa = 0
159
X
MA : 2qa2 − FBx · a − FBz · 3a = 0 FBz =
⇒
2 FBx qa − 3 3
FAz = 2 · qa − FBz =
4 FBx qa + 3 3
Cˇa´stecˇneˇ uvolneˇny´ prut
Deformacˇnı´ podmı´nka pro uvolneˇnou vazbu wB =
∂W =0 ∂FBx
Pru˚beˇhy ohybovy´ch momentu˚ My (x) a posouvajı´cı´ch sil T pode´l prutu 2 FBx qax1 − x1 3 3 2 FBx = − qa + 3 3
My (x1) = FBz x1 = T (x1) = −FBz
My (z) = FBz a + FBz z =
2 2 FBx qa − a + FBxz 3 3
T (z) = −FBx
160
qx22 4 FBx qx22 My (x2) = FAz x2 − = qax2 + x2 − 2 3 3 2 4 FBx T (x2) = FAz − qx2 = qa + − qx2 3 3 Pozn: V souladu se zatı´zˇenı´m a realizovany´m cˇa´stecˇny´m uvolneˇnı´m bylo nutne´ vyja´drˇit ohybovy´ moment ve tvaru My (q, FBx). K tomu byla vyuzˇita momentova´ a silova´ podmı´nka staticke´ rovnova´hy. Rˇesˇenı´ deformacˇnı´ podmı´nky pomocı´ Castiglia´novy veˇty Z 1 ∂My ∂W = M (s) ds = 0 uB = y ∂FBx EJy ∂FBx γ
Za My (x1)
∂My dx1 + ∂FBx
Za My (z)
∂My dz + ∂FBx
0
0
Za
Z2a My (x2)
∂My dx2 = 0 ∂FBx
0
2 FBx x1 qax1 − x1 dx1 + 3 3 3
0
Za +
2 2 FBx a a qa − a + FBx z − z− dz + 3 3 3 3
0
Z2a +
4 FBx qx22 qax2 + x2 − 3 3 2
x2 dx2 = 0 3
0
Tato rovnice obsahuje jedinou nezna´mou, kterou je FBx.
161
Po vyja´drˇenı´ integra´lu˚ v prˇedchozı´ rovnici a algebraicke´ u´praveˇ dosta´va´me pro FB 5 FBx = − qa = −1, 25 · 104 N 4 Pru˚beˇh ohybovy´ch momentu˚ My (x) je da´n drˇ´ıve uvedeny´mi vztahy, do ktery´ch dosadı´me FBx, cozˇ zna´zornı´me graficky
Z pru˚beˇhu je zrˇejme´, zˇe maxima´lnı´ ohybovy´ moment My,max mu˚zˇe by´t bud’ v mı´steˇ x1 = a anebo v mı´steˇ loka´lnı´ho extre´mu x2,ex. Maxima´lnı´ moment zjistı´me porovna´nı´m obou hodnot. My (x1 = a) =
2 2 FBx qa − a = 1, 083 · 104 Nm 3 3
T (x2,ex) = 0 =
4 FBx qa + − qx2,ex = 0 3 3
x2,ex =
1 q
4 5 11 qa − qa = a = 0, 9167 m 3 12 12
qx22,ex 4 FBx x2,ex − = 0, 420 · 104 Nm My (x2,ex) = qax2,ex + 3 3 2 My (x2 = 3a) = My (x1 = a) = 1, 083 · 104 Nm 162
Pevnostnı´ kontrola: Kvadraticky´ moment pru˚rˇezu: Jy =
1 1 · 60 · 1203 − · 40 · 1083 = 3, 601 · 106 mm4 12 12
Modul pru˚rˇezu: Jy 3, 601 · 106 Wy = = = 6, 002 · 104 mm3 zex 60
Maxima´lnı´ ohybove´ napeˇtı´ σo,max σo,max
My,max 1, 083 · 104 · 103 = 180, 4 MPa = = Wy 6, 002 · 104
Bezpecˇnost kk =
σk σo,max
=
400 = 2, 21 > kD 180, 4
Prut pevnostneˇ vyhovuje.
163
7.7.3
Pruty zakrˇivene´ a pruty smı´sˇene´ - demonstracˇnı´ prˇ´ıklady
Omezı´me se na pruty slabeˇ zakrˇivene´ (str.126 - 127) a pruty smı´sˇene´, sesta´vajı´cı´ z cˇa´stı´, ktere´ mu˚zˇeme povazˇovat za pruty slabeˇ zakrˇivene´ a da´le z prˇ´ımy´ch u´seku˚. Teorie k teˇmto prˇ´ıkladu˚m je uvedena v prˇ´ıslusˇny´ch kapitola´ch. Prˇ.1: Navrhneˇte pru˚meˇr d kruhove´ho pru˚rˇezu a stanovte u´hel natocˇenı´ ϕC a svisly´ pru˚hyb uC v mı´steˇ C u prutu dle obra´zku:
M = 103 Nm, R = 0, 5 m, mez kluzu σk = 350 MPa, bezpecˇnost kk = 2, modul pruzˇnosti v tahu E = 2, 1 · 105 MPa Pozn: Vzhledem k tomu, zˇe ma´me stanovit take´ svisly´ posuv v mı´steˇ C, kde nepu˚sobı´ zˇa´dne´ osameˇla´ sı´la, zavedeme do tohoto mı´sta jizˇ na pocˇa´tku vy´pocˇtu velicˇinu doplnˇkovou Fd. Staticky´ rozbor pro u´plneˇ uvolneˇne´ teˇleso: µ=3
ν=3
s=µ−ν =3−3=0
´ loha je jedenkra´t staticky neurcˇita´. U
164
X
Fx : FAx = 0
X
Fz : FAz + FB − Fd = 0
X
MA : M + Fd · R − FB · 2R = 0
M Fd + 2R 2 M Fd ⇒ FB = + 2R 2 ⇒ FAz = −
Pru˚beˇhy ohybovy´ch momentu˚ v u´secı´ch I a II M Fd My (ϕ1) = FB (R − R cos ϕ1) = + (R − R cos ϕ) 2R 2 My (ϕ2) = FAz (R − R cos ϕ2) =
M Fd + − 2R 2
(R − R cos ϕ)
Graficke´ zna´zorneˇnı´ pru˚beˇhu ohybovy´ch momentu˚ My (x)
Maxima´lnı´ ohybovy´ moment: My,max =
M = 500 Nm 2
165
Pevnostnı´ na´vrh prˇ´ıcˇne´ho pru˚rˇezu: σ0,max
πd3 Wy = 32
My,max σk = = Wy kk 32My,max σk = h3 kk
r h=
3
32My,max · kk = π · σk
r 3
32 · 500 · 103 · 2 . = 30, 8 = 31 mm π · 350
Kvadraticky´ moment pru˚rˇezu: πd4 = 4, 533 · 104 mm4 Jy = 64 Stanovenı´ u´hlu natocˇenı´ ϕC v mı´steˇ C pomocı´ Castiglianovy veˇty: ϕC =
∂W = ∂M
π π 2 2 Z Z 1 ∂My ∂My = R dϕ1 + My (ϕ2) R dϕ2 = My (ϕ1) EJy ∂M ∂M 0
0
π Z2 1 M Fd 1 + (R − R cos ϕ ) (R − R cos ϕ1) R dϕ1+ = 1 EJy 2R 2 2R 0
π 2
Z M Fd 1 + − + (R − R cos ϕ2) − (R − R cos ϕ2) R dϕ2 = 2R 2 2R 0
166
MR = 2EJy
3 π−2 4
500 · 103 · 500 = 2 · 2, 1 · 105 · 4, 533 · 104
3 π−2 4
=
= 4, 677 · 103 rad = 0, 268◦
Stanovenı´ svisle´ho posuvu uC v mı´steˇ C pomocı´ Castiglianovy veˇty uC =
∂W = ∂Fd
π π Z2 Z2 1 ∂My ∂My R dϕ1 + My (ϕ2) R dϕ2 = My (ϕ1) EJy ∂Fd ∂Fd 0
0
π Z2 1 1 M Fd + (R − R cos ϕ1) (R − R cos ϕ1) R dϕ1+ EJy 2R 2 2 0
π 2
Z +
M Fd − + 2R 2
(R − R cos ϕ2)
0
167
1 (R − R cos ϕ2) R dϕ2 = 0 2
Prˇ.2: Proved’te pevnostnı´ kontrolu prismaticke´ho prutu zna´zorneˇne´ho na obra´zku.
q = 500 Nm−1, R = 1 m, h = 15 mm, mez kluzu σk = 400 MPa, dovolena´ bezpecˇnost kD = 2, 5 15 Pomeˇrna´ tlousˇt’ka v zakrˇivene´ cˇa´sti Rh je rovna 500 = 0, 03, cozˇ je hodnota znacˇneˇ mensˇ´ı nezˇ meznı´ pomeˇr Rh = 51 = 0, 2. Prut v te´to oblasti tedy mu˚zˇeme povazˇovat za slabeˇ zakrˇiveny´.
Staticky´ rozbor pro u´plneˇ uvolneˇne´ teˇleso: µ=4
ν=3
s=µ−ν =4−3=1
´ loha je jedenkra´t staticky neurcˇita´. U Podmı´nky staticke´ rovnova´hy pro u´plneˇ uvolneˇny´ prut X
Fx : FAx = 0
X
Fz : FAz + FB − 2qR = 0
X
MA : MA − 4qR2 + 3FB R = 0 168
Cˇa´stecˇneˇ uvolneˇny´ prut
Deformacˇnı´ podmı´nka pro uvolneˇnou vazbu wB =
∂W =0 ∂FB
Pru˚beˇhy ohybovy´ch momentu˚ My (s) a posouvajı´cı´ch sil T (s) pode´l prutu qx2 My (x) = FB x − 2 T (x) = −FB + qx
My (ϕ) = FB (2R + R sin ϕ) − 2qR(R + R sin ϕ) T (ϕ) = −FB cos ϕ + 2qR cos ϕ N (ϕ) = FB sin ϕ − 2qR sin ϕ Pozn: V souladu se zatı´zˇenı´m a realizovany´m cˇa´stecˇny´m uvolneˇnı´m bylo nutne´ vyja´drˇit ohybovy´ moment ve tvaru My (M, FB ). Toho bylo dosazˇeno tak, zˇe prvky prutu byly uvolnˇova´ny z prave´ strany, od mı´sta B, kde pu˚sobı´ FB .
169
Rˇesˇenı´ deformacˇnı´ podmı´nky pomocı´ Castiglia´novy veˇty π Z2R Z2 ∂W 1 ∂My ∂My wB = = M (x) dx + M (ϕ) R dϕ = 0 y y ∂FB EJy ∂FB ∂FB 0
0
Z2R qx2 FB x − x dx+ 2 0 π
Z2 [FB (2R + R sin ϕ) − 2qR(R + R sin ϕ)] (2R + R sin ϕ)R dϕ = 0
+ 0
Tato rovnice obsahuje jedinou nezna´mou, kterou je FB . Po vyja´drˇenı´ integra´lu˚ v prˇedchozı´ rovnici a algebraicke´ u´praveˇ dosta´va´me pro FB 8 + 25 π FB = qR 20 9 = 1, 1543 qR = 288, 6 N 3 + 4π Pru˚beˇh ohybovy´ch momentu˚ My (x) je da´n drˇ´ıve uvedeny´mi vztahy do ktery´ch dosadı´me FB . Zna´zorneˇno graficky
170
Z pru˚beˇhu je zrˇejme´, zˇe maxima´lnı´ ohybovy´ moment My,max mu˚zˇe by´t bud’ v mı´steˇ vetknutı´ ϕ = π2 , nebo v mı´steˇ loka´lnı´ho extre´mu xex v prˇ´ıme´ cˇa´sti prutu. Prˇ´ıslusˇne´ hodnoty je zapotrˇebı´ vypocˇ´ıtat a na´sledneˇ porovnat. π ) = 3FB R − 4qR2 = 288, 6 · 1, 5 − 4 · 500 · 0, 52 = −67, 1 Nm 2 FB 288, 6 = = 0, 5772 m T (xex) = 0 = −FB + qxex = 0 ⇒ xex = q 500 qx2ex 500 · 0, 57722 My (xex) = FB xex − = 288, 6 · 0, 5772 − = 83, 3 Nm 2 2 My (ϕ =
Pevnostnı´ kontrola: Modul pru˚rˇezu: h3 153 = = 562, 5 mm3 Wy = 6 6
Maxima´lnı´ ohybove´ napeˇtı´ σo,max σo,max
My,max 83, 3 · 103 = = 148, 1 MPa = Wy 562, 5
Bezpecˇnost kk =
σk σo,max
=
400 = 2, 70 > kD = 2, 5 148, 1
Prut pevnostneˇ vyhovuje.
171
8 8.1
´ HA ´ NI´ NA KRUT NAMA Za´kladnı´ vztahy pro napeˇtı´ a deformaci v rˇezu
Potrˇebne´ vztahy pro napjatost a deformaci odvodı´me pro idealizovany´ prˇ´ıpad proste´ho krutu. Def.: Prosty´m krutem rozumı´me nama´ha´nı´ prˇ´ıme´ho prismaticke´ho prutu kruhove´ho nebo mezidruhove´ho pru˚rˇezu, je-li splneˇno a) platı´ obecne´ prutove´ prˇedpoklady b) prˇ´ıcˇne´ pru˚rˇezy zu˚sta´vajı´ v pru˚beˇhu zateˇzˇova´nı´ rovinny´mi a ota´cˇejı´ se kolem strˇednice, ktera´ zu˚sta´va´ prˇ´ıma´ c) jedinou slozˇkou VVU je kroutı´cı´ moment Mk (x), ktery´ je konstantnı´ po cele´ de´lce prutu V prvnı´m kroku stanovı´me kroutı´cı´ moment Mk (x) na za´kladeˇ podmı´nky rovnova´hy uvolneˇne´ho prvku prutu.
Momentova´ podmı´nka X
Mx : Mk (x) = M1
172
(8.127)
V dalsˇ´ım kroku stanovı´me pru˚beˇh prˇetvorˇenı´ (zkosu) γ a napeˇtı´ τ v prˇ´ıcˇne´m rˇezu na za´kladeˇ prˇ´ıslusˇne´ pracovnı´ podmı´nky ad b)
ds = γ dx = r d∆ϕ γ=r
d∆ϕ = rϑ dx
(8.128)
Nynı´ aplikujeme Hookeu˚v za´kon pro prosty´ smyk τ (r) = Gγ(r) = G
d∆ϕ r dx
(8.129)
Pru˚beˇhy zkosu γ(r) a smykove´ho napeˇtı´ τ (r) v pru˚rˇezu jsou tedy linea´rneˇ za´visle´ na sourˇadnici r. Pru˚beˇh napeˇtı´ je uveden na na´sledujı´cı´m obra´zku
173
Z prakticky´ch du˚vodu˚ je vhodne´ vyja´drˇit zkos γ(r) a smykove´ napeˇtı´ τ (r) v za´vislosti na nama´ha´nı´, tj. kroutı´cı´m momentu Mk (x). Za tı´mto u´cˇelem vyuzˇijeme podmı´nku momentove´ ekvivalence Z Z d∆ϕ Mk (x) = τ (r) r dS = G r2 dS dx ψ
ψ
Mk (x) = G
d∆ϕ Jp = G ϑ(x)Jp dx
(8.130)
ze ktere´ stanovı´me velicˇinu d∆ϕ, ktera´ prˇedstavuje vza´jemny´ u´hel natocˇenı´ krajnı´ch rˇezu˚ elementu prutu de´lky dx (zkroucenı´ elementu), ϑ je pomeˇrny´ u´hel zkroucenı´ d∆ϕ =
Mk (x) dx GJp
(8.131)
Natocˇenı´ ∆ϕ(x) pru˚rˇezu v mı´steˇ x vzhledem k leve´mu okraji prutu je rovno Z Z Mk (x) ∆ϕ = d∆ϕ = dx (8.132) GJp γ
γ
a pro natocˇenı´ (zkroucenı´) cele´ho prismaticke´ho prutu zatı´zˇene´ho silovy´mi dvojicemi M na obou koncı´ch prutu ∆ϕ(l) obdrzˇ´ıme ∆ϕ(l)
=
Ml dx GJp
(8.133)
Po dosazenı´ rovnice (8.4) do (8.3) a algebraicke´ u´praveˇ dosta´va´me vztah pro pru˚beˇh smykove´ho napeˇtı´ τ (r) v obvykle´ podobeˇ τ (r) =
Mk r Jp
174
(8.134)
Pro maxima´lnı´ smykove´ napeˇtı´ τ v krajnı´m vla´kneˇ r = R platı´ τ = τ (R) =
Mk Jp R
Mk Wk
=
(8.135)
kde velicˇina Wk se nazy´va´ modul pru˚rˇezu v krutu, ktery´ je definova´n na´sledovneˇ Jp R
Wk =
(8.136)
Pro kruhovy´ a mezikruhovy´ pru˚rˇez dosta´va´me
Wk =
Jp D 2
Wk =
=
Jp D 2
175
πD4 32 D 2
=
πD3 = 16
πD4 32
4
− πd 32 D 2
=
π (D4 − d4) 16D
8.2
Pevnostnı´ kontrola
Stanovı´me maxima´lnı´ smykove´ napeˇtı´ τmax v prutu τmax = max {τ (x)}
(8.137)
U prismaticky´ch prutu˚ je mozˇne´ prove´st prˇ´ımo kontrolu v nebezpecˇne´m pru˚rˇezu s maxima´lnı´m kroutı´cı´m momentem Mk,max τmax =
Mk,max Wk
(8.138)
Bezpecˇnost vu˚cˇi smykove´ mezi kluzu τk je potom rovna kk =
τk τmax
= kD
(8.139)
kde kD je dovolena´, resp. doporucˇena´, bezpecˇnost. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe v materia´love´m listeˇ nenalezneme mez kluzu ve smyku τk , lze ji stanovit na za´kladeˇ podmı´nky meznı´ho stavu pruzˇnosti (podmı´nek plasticity) maxima´lnı´ho smykove´ho napeˇtı´ (podmı´nka Trescova) resp. podmı´nky oktaedricke´ho smykove´ho napeˇtı´ (podmı´nka HMH), viz kapitola o napjatosti τk = 0, 5 σk
- podmı´nka Trescova
τk = 0, 577 σk
- podmı´nka HMH
176
8.3
Energie napjatosti
Potrˇebne´ vztahy odvodı´me na za´kladeˇ pra´ce vnitrˇnı´ch sil dA na elementu dΩ de´lky dx, viz obra´zek 1 1 dW = dA = − Mk ∆ϕ + Mk (∆ϕ + d∆ϕ) 2 2 2 1 5 Mk dx dW = Mk ∆ϕ = 2 2GJp
Energie napjatosti cele´ho prutu je potom rovna Z Z Mk2(x) dx dW = dW = 2GJp γ
(8.140)
(8.141)
γ
Energie napjatosti W prismaticke´ho prutu zatı´zˇene´ho na koncı´ch silovy´mi dvojicemi M je da´n na´sledujı´cı´m vztahem M 2l W = 2GJp
(8.142)
´ hel natocˇenı´ v mı´steˇ pu˚sobenı´ silove´ dvojice M je mozˇne´ stanovit U take´ pomocı´ Castiglianovy veˇty Z ∂W Mk (x) ∂Mk ∆ϕM = = dx (8.143) ∂M 2GJp ∂M γ
177
8.4
Vliv odchylek od prˇ´ıpadu proste´ho krutu na napjatost
Zde se omezı´me pouze na vliv zmeˇny pru˚rˇezu prutu pode´l strˇednice, ktera´ mu˚zˇe by´t spojita´ nebo skokova´ (konstrukcˇnı´ vrub). Vliv spojite´ zmeˇny pru˚rˇezu:
Z momentove´ podmı´nky rovnova´hy subelementu dΩ1 vyply´va´, zˇe na va´lcove´ plosˇe musı´ pu˚sobit smykove´ napeˇtı´ τ 0, cozˇ je porusˇenı´ prutove´ napjatosti, kdy napeˇtı´ mohou pu˚sobit pouze v prˇ´ıcˇne´m rˇezu. V dalsˇ´ım prˇedpokla´da´me, zˇe toto napeˇtı´ je podstatneˇ mensˇ´ı nezˇ smykove´ napeˇtı´ v krajnı´m vla´kneˇ (τ 0 τ ) a mu˚zˇeme je tedy zanedbat.
178
Vliv skokove´ zmeˇny pru˚rˇezu (vrubu): V mı´steˇ vrubu vznika´ obecna´ prostorova´ napjatost a docha´zı´ zde rovneˇzˇ ke koncentraci napeˇtı´. V ra´mci proste´ PP se tento proble´m rˇesˇ´ı smluvnı´m zpu˚sobem, zavedenı´m tzv. soucˇinitele koncentrace napeˇtı´ ατ , ktery´m se na´sobı´ nomina´lnı´ napeˇtı´ τnom stanovene´ pomocı´ teorie proste´ pruzˇnosti pro prut a to pro mensˇ´ı pru˚rˇez ve vrubu
τmax = ατ τnom = ατ
Mk 16M1 = ατ Wk d3
(8.144)
Bezpecˇnost v mı´steˇ vrubu je potom rovna kk =
τk τmax
= kD
(8.145)
Na rozdı´l od spojite´ zmeˇny pru˚rˇezu je vliv skokove´ zmeˇny pru˚rˇezu na napjatost podstatny´ a veˇtsˇinou ho nenı´ mozˇne´ zanedbat. Deformace prutu, v nasˇem prˇ´ıpadeˇ u´hel natocˇenı´ ∆ϕ, neby´va´ vruby prˇ´ılisˇ ovlivneˇna, protozˇe jde o velicˇinu integra´lnı´, na ktere´ se podı´lejı´ prˇedevsˇ´ım prˇ´ıme´ u´seky prutu, kde teorie proste´ PP platı´ s dostatecˇnou prˇesnostı´.
179
8.5
Va´lcova´ pruzˇina s maly´m stoupa´nı´m
Jednı´m z typicky´ch strojnı´ch dı´lu˚, kde je mozˇne´ aplikovat vztahy odvozene´ pro idealizovany´ prˇ´ıpad proste´ho krutu je va´lcova´ pruzˇina s maly´m stoupa´nı´m ϕ, viz obr. Ke stanovenı´ posunutı´ δ volne´ho konce pruzˇiny zatı´zˇene´ho silou F je prˇitom mozˇne´ velice efektivneˇ pouzˇ´ıt energeticke´ho prˇ´ıstupu, kdy energie napjatosti W je rovna pra´ci vneˇjsˇ´ı sı´ly F . Nasˇ´ım cı´lem nynı´ bude pevnostnı´ kontrola pruzˇiny a stanovenı´ tzv. zapruzˇenı´ δ.
Pevnostnı´ kontrola . Mk = F R cos ϕ = F R kk =
τ= τk τmax
Mk 16Mk = Wk πd3
= kD
Energie napjatosti W Mk2l Mk2 2πRn 32Mk2Rn 32F 2R3n W = = = = 4 πd4 2GJp Gd Gd4 2G 32 W =A=
1 Fδ 2
Posuv zatı´zˇene´ho konce pruzˇiny (zapruzˇenı´):
180
64F R3n δ= Gd4
8.6
Nama´ha´nı´ na krut, demonstracˇnı´ prˇ´ıklady
Prˇ.1: Navrhneˇte prˇ´ıcˇne´ rozmeˇry prutu mezikruhove´ho pru˚rˇezu a stanovte u´hel natocˇenı´ ∆ϕB v mı´steˇ B
M1 = 1000 Nm, M2 = 1000 Nm, M3 = 600 Nm, a = 0, 5 m, Dd = 0, 8 u mezikruhove´ho pru˚rˇezu, mez kluzu ve smyku τk = 200 MPa, bezpecˇnost kk = 2, modul pruzˇnosti ve smyku G = 0, 8 · 105 MPa Staticky´ rozbor pro u´plneˇ uvolneˇne´ teˇleso: µ=3
ν=3
s=µ−ν =3−3=0
´ loha je staticky urcˇita´. U Podmı´nka silove´ rovnova´hy a stykova´ vy´slednice: X
M : − MA + M1 + M2 − M3 = 0
MA = M1 + M2 − M3 = 1000 + 1000 − 600 = 1400 Nm
181
Pru˚beˇhy kroutı´cı´ch momentu˚ Mk (x) v u´secı´ch I, II a III stanovı´me z momentovy´ch podmı´nek staticke´ rovnova´hy kazˇde´ho uvolneˇne´ho prvku. Vektor Mk (x) v prˇ´ıcˇne´m rˇezu v mı´steˇ x prˇitom povazˇujeme za kladny´, ma´-li smeˇr vneˇjsˇ´ı norma´ly rˇezu. Mk (x1) = −M3 = −600 Nm Mk (x2) = −M3 + M2 = 400 Nm Mk (x3) = −M3 + M2 + M1 = 1400 Nm Graficke´ zna´zorneˇnı´ pru˚beˇhu kroutı´cı´ch momentu˚ Mk (x)
Maxima´lnı´ kroutı´cı´ moment: Mk,max = 1400 Nm
182
Pevnostnı´ na´vrh prˇ´ıcˇne´ho pru˚rˇezu: τmax =
s D=
3
Mk,max = Wk
Mk,max 16Mk,max τk = = π 4 4 πD3(1 − α4) kD 16D (D − d )
16Mk,max kD = π(1 − α4)τk
s 3
16 · 1400 · 103 · 2 . = 49, 4 = 50 mm π(1 − 0, 84) · 200
d = αD = 0, 8 · 50 = 40 mm Pola´rnı´ moment pru˚rˇezu Jp: Jp =
π π 4 (D − d4) = (504 − 404) = 3, 623 · 105 mm4 32 32
Stanovenı´ u´hlu natocˇenı´ ∆ϕB v mı´steˇ B pomocı´ zkroucenı´ jednotlivy´ch u´seku˚ ∆ϕB
=
=
X Mk,i li GJp,i
=
1 [Mk (x1) · 0, 5a + Mk (x2) · a + Mk (x3) · a] = GJp
106 = · (−600 · 0, 52 + 400 · 0, 5 + 1400 · 0, 5) = 5 5 0, 8 · 10 · 3, 625 · 10 = 0, 02586 rad = 1, 48◦
183
Stanovenı´ u´hlu natocˇenı´ ∆ϕB v mı´steˇ B pomocı´ Castiglianovy veˇty 0,5a Z ∂W 1 ∂Mk ∆ϕB = = Mk (x1) dx1+ ∂M3 GJp ∂M3 0
Z1,5a +
Mk (x2)
∂Mk dx2 + ∂M3
Z2,5a Mk (x3)
∂Mk dx3 = ∂M3
1,5a
0,5a
0,5a Z 1 = (−M3) (−1) dx1+ GJp 0
Z1,5a + (−M3 + M2) (−1) dx2+ 0,5a
Z2,5a +
(−M3 + M2 + M1) (−1) dx3 =
1,5a
=
1 [M3 · 0, 5a + (M3 − M2) · a + (M3 − M2 − M1) · a] = GJp = −0, 0258 rad = −1, 48◦
184
Prˇ.2: Proved’te pevnostnı´ kontrolu prismaticke´ho prutu zna´zorneˇne´ho na obra´zku.
M = 1000 Nm, a = 0, 5 m, D = 40 mm, d = 30 mm, mez kluzu τk = 200 MPa, dovolena´ bezpecˇnost kD = 2 Staticky´ rozbor pro u´plneˇ uvolneˇne´ teˇleso: µ=2
ν=1
s=µ−ν =2−1=1
´ loha je jedenkra´t staticky neurcˇita´. U Podmı´nka staticke´ rovnova´hy pro u´plneˇ uvolneˇny´ prut MA + MB − M = 0 Cˇa´stecˇneˇ uvolneˇny´ prut
185
Deformacˇnı´ podmı´nka pro uvolneˇnou vazbu ∆ϕB
∂W =0 ∂MB
=
Pru˚beˇh kroutı´cı´ch momentu˚ Mk (x) pode´l prutu Mk (x1) = MB Mk (x2) = MB − M Mk (x2) = MB − M Pozn: V souladu se zatı´zˇenı´m a realizovany´m cˇa´stecˇny´m uvolneˇnı´m bylo nutne´ vyja´drˇit ohybovy´ moment ve tvaru My (M, MB ). Za tı´m u´cˇelem byly uvolnˇova´ny prvky prutu z prave´ strany, kde pu˚sobı´ MB . Rˇesˇenı´ deformacˇnı´ podmı´nky pomocı´ Castiglia´novy veˇty ∆ϕB
=
∂W = ∂MB
Za 0
Z2a + a
Za 0
Mk (x2) ∂Mk dx2 + GJp2 ∂MB
MB · 1 · dx1 + GJp1
Z2a a
Mk (x1) ∂Mk dx1+ GJp1 ∂MB Z3a 2a
Mk (x3) ∂Mk dx3 = 0 GJp3 ∂MB
MB − M · 1 · dx2 + GJp2
Z3a 2a
MB a (MB − M )a (MB − M )a + + =0 GJp1 GJp2 GJp3 186
MB − M · 1 · dx3 = 0 GJp3 ·
GJp1 (= Jp2 ) a
MB + MB − M + MB
Jp 1 Jp −M 1 =0 Jp 3 Jp 3
Z te´to rovnice jizˇ lze stanovit jedinou nezna´mou, kterou je moment ve vetknutı´ MB 4 4 πD − πd J M 32πD4 32 + 1 M Jpp1 + 1 32 3 = 627 Nm = MB = 4 Jp1 D −d4 + 2 D4 Jp + 2 3
Pru˚beˇh ohybovy´ch momentu˚ My (x) je da´n drˇ´ıve uvedeny´mi vztahy do ktery´ch dosadı´me za MB . Zna´zorneˇno graficky
Z pru˚beˇhu je zrˇejme´, zˇe maxima´lnı´ ohybovy´ moment Mk,max je v u´seku I a ma´ hodnotu MB . Z hlediska nama´ha´nı´ jde za´rovenˇ o nebezpecˇny´ u´sek, protozˇe je zde minima´lnı´ modul pru˚rˇezu Wk , cozˇ suma suma´rum vede k maxima´lnı´mu smykove´mu napeˇtı´ τmax. 187
Pevnostnı´ kontrola: Modul pru˚rˇezu Wk,1 =
Jp D 2
=
π π (D4 − d4) = (404 − 304) = 8590 mm3 16D 16 · 40
Maxima´lnı´ smykove´ napeˇtı´ τmax τmax
Mk,max 627 · 103 = = = 73, 0 MPa Wk 8590
Bezpecˇnost kk =
τk τmax
=
200 = 2, 74 > kD = 2 73
Prut pevnostneˇ vyhovuje. Pozn: Deformacˇnı´ podmı´nku je mozˇne´ v nasˇem prˇ´ıkladu rˇesˇit take´ na za´kladeˇ principu superposice pouzˇitı´m vztahu odvozene´ho pro zkroucenı´ prismaticke´ho prutu. Natocˇenı´ prutu v mı´steˇ B ∆ϕM pouze od silove´ dvojice M se musı´ rovnat v absolutnı´ hodnoteˇ natocˇenı´ ∆ϕM B pouze od stykove´ vy´slednice MB tak, aby vy´sledne´ natocˇenı´ v ulozˇenı´ bylo nulove´ |∆ϕM | = |∆ϕM B |
Ma MB a MB a MB a Ma + = + + GJp3 GJp2 GJp3 GJp2 GJp1
MB
Jp 1 +2 Jp 3
=M
Jp 1 +1 J p3
M
188
(Jp1 = Jp2 )
⇒
MB =
Jp1 Jp3
Jp1 Jp3
+1
+2
9
ˇ RNE´ STABILITY PRUTU˚ MEZNI´ STAV VZPE
Definice: Meznı´m stavem vzpeˇrne´ stability rozumı´me stav, kdy se zmeˇnı´ charakter podstatne´ deformace a to ze stlacˇova´nı´ na ohyb. Pro pochopenı´ problematiky nejprve uvedeme vy´sledky experimentu se stlacˇovany´m prˇ´ımy´m prutem obde´lnı´kove´ho pru˚rˇezu. Postupne ˇ zveˇt sˇujeme zatı´zˇenı´ F a meˇrˇ´ıme pru˚hyb uprostrˇed prutu w 2l
Prut se zacˇ´ına´ vy´znamneˇji prohy´bat prˇi dosazˇenı´ kriticke´ho zatı´zˇenı´ Fs, cozˇ odpovı´da´ dosazˇenı´ meznı´ho stavu stability prutu. Ohyb se prˇitom deˇje kolem osy y, ktera´ je minima´lnı´ hlavnı´ centra´lnı´ osou kvadraticke´ho momentu pru˚rˇezu. 1 w00(x) My (x) = = EJy R (1 + w0(x)2) 32
(9.146)
My (x) = F w(x)
(9.147)
189
Dosazenı´m (1) do (2) obdrzˇ´ıme F w(x) 1 w00(x) = = EJy R (1 + w0(x)2) 32
(9.148)
Jde o diferencia´lnı´ rovnici 2. rˇa´du s obecny´m rˇesˇenı´m ve tvaru w(x) = w(F, x, C1, C2)
(9.149)
kterou poprve´ vyrˇesˇil Lagrange pro na´sledujı´cı´ okrajove´ podmı´nky x=0
w(0) = 0
. x = ld = l
w(l) = 0
Lagrangeovo rˇesˇenı´ je zna´zorneˇno v na´sledujı´cı´m obra´zku
ktery´ vykazuje dveˇ rozdı´lne´ oblasti a) F < Fv - prut je stlacˇova´n b) F > Fv - existujı´ dveˇ rˇesˇenı´: 1) prut je stlacˇova´n, jde o prˇ´ıpad labilnı´ rovnova´hy 2) prut je ohy´ba´n, jde o prˇ´ıpad stabilnı´ rovnova´hy
190
Mı´sto na grafu F = Fv se nazy´va´ bodem rozdvojenı´ rovnova´hy. Do tohoto stavu stabilnı´ stlacˇova´nı´ se sta´va´ labilnı´m a stabilnı´m se sta´va´ ohyb. Z porovna´nı´ s u´vodnı´m obra´zkem plyne, zˇe teoreticky stanoveny´ bod rozdvojenı´ rovnova´hy odpovı´da´ meznı´mu stavu stability idea´lnı´ho prˇ´ıme´ho prutu, tedy Fs = Fv . V praxi nedovolujeme ohy´ba´nı´ stlacˇovane´ho prutu, ktery´ musı´ by´t dostatecˇneˇ bezpecˇny´ vu˚cˇi MS stability. Prˇi vy´pocˇtu se potom stacˇ´ı omezit pouze na stanovenı´ Fv , a to v oblasti, kde jsou w a w0 zanedbatelne´. Touto cestou se poprve´ vydal Euler, jehozˇ rˇesˇenı´ si tu uvedeme
191
Eulerovo rˇesˇenı´ pro idea´lnı´ prˇ´ımy´ prut Prˇedpoklady rˇesˇenı´: strˇednice prutu je prˇ´ımka, sı´la F pu˚sobı´ prˇesneˇ v ose, pru˚rˇez je prizmaticky´ a nesˇroubovy´, prut je dostatecˇneˇ sˇtı´hly´, materia´l prutu je homogennı´, isotopicky´ a nekonecˇneˇ pevny´. Prˇedpokla´da´me prut obde´lnı´kove´ho pru˚rˇezu, osy y a z jsou hlavnı´mi centra´lnı´mi osami kvadraticky´ch momentu˚ pru˚rˇezu. Ohyb se deˇje kolem osy minima´lnı´ho KM, v nasˇem prˇ´ıpadeˇ tedy kolem osy y
Prˇi odvozenı´ se vycha´zı´ z diferencia´lnı´ rovnice pru˚hybove´ cˇa´ry, ktera´ ma´ v souladu s (9.1) a s prˇihle´dnutı´m ke zname´nkove´ konvenci na´sledujı´cı´ tvar EJy w00(x) = −My (x)
(9.150)
Ohybovy´ moment My (x) stanovı´me z momentove´ podmı´nky pro prvek prutu, uvolneˇny´ ve zdeformovane´m stavu My (x) = F w 192
(9.151)
Dosadı´me (9.6) do (9.5) a zavedeme parametr p definicˇnı´m vztahem (9.8) EJy w00(x) = −F w ⇒ w00(x) +
p2 =
F w=0 EJy
F EJy
(9.152)
(9.153)
Po dosazenı´ (8) do (7) obdrzˇ´ıme w00(x) + p2 w(x) = 0
(9.154)
Jde o homogennı´ diferencia´lnı´ rovnici 2. rˇa´du s na´sledujı´cı´m obecny´m rˇesˇenı´m (viz matematika) w(x) = C1 sin px + C2 cos px
(9.155)
Aplikacı´ okrajove´ podmı´nky prutu na spodnı´m okraji x = 0, w(0) = 0 do rovnice (9.10) dostaneme pro integracˇnı´ konstantu C2 = 0 a jejı´m zpeˇtny´m dosazenı´m do (9.10) potom rovnici pru˚hybove´ cˇa´ry prutu, kterou je sinusovka w(x) = C1 sin px
(9.156)
Na tuto rovnici nynı´ aplikujeme okrajovou podmı´nku platnou na hornı´m okraji x = l, w(l) = 0, cozˇ vede k rovnici (9.12) 0 = C1 sin pl
193
(9.157)
Tato podmı´nka je splneˇna, platı´-li a) C1 = 0, prˇicˇemzˇ p a tedy i zatı´zˇenı´ F dle (8) mu˚zˇe by´t libovolne´, cozˇ odpovı´da´ labilnı´mu stlacˇova´nı´ b) sin pl = 0
→
pl = kπ
(13)
kde k = 0, 1, . . . , n
V dalsˇ´ım se soustrˇedı´me na prˇ´ıpad b) popsany´ (9.13), ktery´ odpovı´da´ ohy´bane´mu prutu. Z mnozˇiny mozˇny´ch rˇesˇenı´ vybereme to, ktere´ vede k minima´lnı´mu zatı´zˇenı´ F , tedy je nejnebezpecˇneˇjsˇ´ı. V tomto prˇ´ıpadeˇ k = 1 a na za´kladeˇ (9.13) dosta´va´me pl = π
(9.14)
Dosazenı´m (9.8) do (9.14) a algebraickou u´pravou dosta´va´me fina´lnı´ vztah (9.15) pro velikost kriticke´ sı´ly Fv s Fv π 2EJy l = π ⇒ Fv = (9.15) EJy l2 Podmı´nku (9.14) da´le vlozˇ´ıme to rovnice pru˚hybove´ cˇa´ry (9.12) a obdrzˇ´ıme π x l
(9.16)
π = C1 2
(9.17)
w(x) = C1 sin Pru˚hyb uprostrˇed prutu je roven w
π l
= C1 sin
kde C1 je jaka´koliv konstanta. Pru˚hyb zde je tedy neurcˇity´ a je zna´zorneˇn na prˇedchozı´m obra´zku svislou cˇarou, ktera´ graficky prˇedstavuje Eulerovo rˇesˇenı´.
194
9.1
Vliv odchylek od idea´lnı´ho prˇ´ıpadu
9.1.1
Vliv zakrˇivenı´ strˇednice a excentricke´ho pu˚sobenı´ vneˇjsˇ´ıho zatı´zˇenı´ F
Prˇedpokla´da´me strˇednici prˇed zatı´zˇenı´m ve tvaru sinusovky w0(x) = δ sin
π x l
(9.18)
Ohybovy´ moment My (x) je roven My (x) = F [e + w0(x) + w(x)]
(9.19)
a po dosazenı´ do diferencia´lnı´ rovnice pru˚hybove´ cˇa´ry (9.5) dosta´va´me EJy w00(x) + F w(x) = −F e − F w0(x)
(9.20)
Rˇesˇenı´ diferencia´lnı´ rovnice (9.20) je uvedeno ve skriptech. Z jejı´ho rozboru vyply´va´, zˇe bod rozdvojenı´ rovnova´hy v tomto prˇ´ıpadeˇ neexistuje. Prˇi zatı´zˇenı´ F = Fv vsˇak docha´zı´ k podstatne´mu zveˇtsˇenı´ pru˚hybu w.
195
9.1.2
Vliv promeˇnlivosti pru˚rˇezu a modulu pruzˇnosti E pode´l strˇednice
Bod rozdvojenı´ rovnova´hy a tedy i meznı´ stav vzpeˇrnı´ stability existuje. Velikost kriticke´ sı´ly Fv za´visı´ na pru˚beˇhu funkce EJy = f (x) viz skripta.
9.1.3
Vliv ulozˇenı´ prutu
Abychom posoudili vliv ulozˇenı´ na velikost kriticke´ sı´ly Fv rˇesˇme u´lohu s tuzˇsˇ´ı vazbou, viz obra´zek
Ohybovy´ moment My (x) My (x) = −MB + F w(x)
(9.21)
Dosadı´me do (9.8) a po u´praveˇ dostaneme diferencia´lnı´ rovnici pru˚hybove´ cˇa´ry (9.23) w00(x) +
F MB w(x) = EJy EJy
196
(9.22)
Obecne´ rˇesˇenı´ nehomogennı´ diferencia´lnı´ rovnice (9.23) ma´ tvar w(x) = C1 sin px + C2 cos px + A
(9.23)
kde A je partikula´rnı´ integra´l, ktery´ musı´ vyhovovat (9.23) F MB A= EJy EJy
⇒
A=
MB F
(9.24)
Zpeˇtny´m dosazenı´m do (9.24) obdrzˇ´ıme w(x) = C1 sin px + C2 cos px +
MB F
(9.25)
Pro aplikaci jedne´ okrajove´ podmı´nky potrˇebujeme rovneˇzˇ derivaci pru˚hybove´ cˇa´ry (9.26) w0(x) = C1p cos px − C2p sin px
(9.26)
Pro stanovenı´ integracˇnı´ch konstant nynı´ formulujeme okrajove´ podmı´nky u´lohy: MB F
⇒
C2 = −
⇒
C1 = 0
x = 0 w(0) = 0 → (26)
⇒
0 = C2 +
x = 0 w0(0) = 0 → (27)
⇒
0 = C1 p
w(l) = 0 → (26)
⇒
0 = C1 sin pl + C2 cos pl +
x=l −
MB MB cos pl + =0 F F
⇒
MB (1 − cos pl) = 0 F
197
MB F
MB F
Prˇedchozı´ rovnice je splneˇna, platı´-li cos pl = 1
⇒
pl = k · 2π k = 1, . . . , n
(9.27)
Z mnozˇiny rˇesˇenı´ pro ru˚zna´ k vybı´ra´me to, ktere´ vede k minima´lnı´ kriticke´ sı´le Fv , tj. pro k = 1. Po dosazenı´ za p dle (9.8) obdrzˇ´ıme relaci pro kritickou sı´lu Fv s 4π 2EJy Fv l = 2π ⇒ Fv = (9.28) EJy l2 Ukazuje se, zˇe vliv ulozˇenı´ na velikost kriticke´ sı´ly Fv je podstatny´. Podle druhu ulozˇenı´ rozezna´va´me cˇtyrˇi prˇ´ıpady Eulerova vzpeˇru, uvedene´ na na´sledujı´cı´m obra´zku
Vztah pro kritickou sı´lu Fv je mozˇne´ zobecnit zavedenı´m soucˇinitele ulozˇenı´ α na´sledovneˇ α2EJy Fv = (9.29) l2 Tuhost ulozˇenı´ u prˇ´ıpadu˚ na obra´zku roste zleva doprava. Pomeˇr kriticky´ch sı´l pro oba krajnı´ prˇ´ıpady je 16 : 1, cozˇ je za´vislost podstatna´. 198
9.1.4
Vliv rea´lne´ho materia´lu
Prˇi odvozova´nı´ vztahu˚ jsme doposud prˇedpokla´dali, zˇe materia´l prutu je nekonecˇneˇ pevny´ a linea´rneˇ pruzˇny´. U skutecˇne´ho materia´lu mu˚zˇe meznı´mu stavu vzpeˇrne´ stability prˇedcha´zet meznı´ stav pruzˇnosti, prˇ´ıpadneˇ meznı´ stav krˇehke´ pevnosti. Prˇi pevnostnı´ kontrole na´s zajı´ma´ prvnı´ aktua´lnı´ meznı´ stav, ktery´ nastane prˇi nejmensˇ´ım vneˇjsˇ´ım zatı´zˇenı´. Podı´vejme se nynı´ z tohoto pohledu na tlakove´ nama´ha´nı´ prutu z rea´lne´ho materia´lu a to bud’ ve stavu tva´rne´m, charakterizovane´m mezı´ kluzu v tlaku σkd ≈ σk nebo ve stavu krˇehke´m, charakterizovane´m mezı´ pevnosti v tlaku σRd. Nejprve se zameˇrˇ´ıme na materia´l ve stavu tva´rne´m. Meznı´mu stavu vzpeˇrne´ stability prutu odpovı´da´ na´sledujı´cı´ tlakove´ napeˇtı´ α2 E α2 E Fv 30 α2EJy α2Ei2y S = = = 2 = 2 σv = S Sl2 Sl2 λ l
(9.30)
iy
kde velicˇina λ je tzv. sˇtı´hlost prutu definovana´ na´sledovneˇ λ=
l iy
(9.31)
Relace (9.32) prˇedstavuje tzv. Eulerovu hyperbolu, kterou je mozˇne´ zna´zornit graficky
199
Hodnoteˇ napeˇtı´ σv = σk odpovı´da´ meznı´ sˇtı´hlost λk 2
σv = σk
αE → (31) ⇒ = σk ⇒ λk = λ2
s
α2 E σk
(9.32)
ktera´ rozdeˇluje prˇedchozı´ obra´zek na dveˇ oblasti 1)
λ < λk prut je tlusty´ a aktua´lnı´m meznı´m stavem je meznı´ stav pruzˇnosti
2)
λ = λk prut je sˇtı´hly´ a aktua´lnı´m meznı´m stavem je meznı´ stav vzpeˇrne´ stability
Materia´l ve stavu krˇehke´m, graficke´ zna´zorneˇnı´
Hodnoteˇ napeˇtı´ σv = σRd odpovı´da´ meznı´ sˇtı´hlost λRd s α2 E α2 E σv = σRd → (33) ⇒ = σRd ⇒ λk = λ2R σRd ktera´ rozdeˇluje prˇedchozı´ obra´zek na dveˇ oblasti 1)
λ < λRd prut je tlusty´ a aktua´lnı´m meznı´m stavem je meznı´ stav krˇehke´ pevnosti
2)
λ = λRd prut je sˇtı´hly´ a aktua´lnı´m meznı´m stavem je meznı´ stav vzpeˇrne´ stability
200
(9.34)
9.2
Pevnostnı´ kontrola prˇ´ıme´ho stlacˇovane´ho prutu
Prˇedpokla´da´me, zˇe materia´l prutu je ve stavu tva´rne´m, charakterizovane´m mezı´ kluzu σk 1) Na za´kladeˇ geometricky´ch charakteristik prutu stanovı´me polomeˇr setrvacˇnosti pru˚rˇezu prutu iy a sˇtı´hlost prutu λ r iy =
Jy S
λ=
l iy
2) Podle typu ulozˇenı´ stanovı´me soucˇinitel α a vypocˇteme meznı´ sˇtı´hlost λk s λk =
α2 E σk
3) V za´vislosti na prˇ´ıslusˇne´ relaci vypocˇteme bezpecˇnost bud’ vzhledem k meznı´mu stavu vzpeˇrne´ stability nebo vu˚cˇi meznı´mu stavu pruzˇnosti a) λ = λk
α2EJy Fv = l2
kv =
Fv = kD F
b) λ < λk
σ=
F S
kk =
σk σ
Pozn: Vzhledem k vysoke´ nebezpecˇnosti meznı´ho stavu vzpeˇrne´ stability jsou dovolene´ resp. doporucˇene´ bezpecˇnosti znacˇneˇ vysoke´, naprˇ. kD = 4 resp. 5. U materia´lu ve stavu krˇehke´m se postupuje analogicky. 201
9.3
Demonstracˇnı´ prˇ´ıklad
Prˇ.1: Proved’te pevnostnı´ kontrolu prˇ´ıme´ho prutu osoveˇ zatı´zˇene´ho tlakovou silou F . Materia´l prutu je ve stavu tva´rne´m.
F = 2000 N, l = 3 m, E = 2, 1 · 104 MPa, mez kluzu σk = 350 MPa , kD = 4 Minima´lnı´ hlavnı´ centra´lnı´ kvadraticky´ moment Jmin. Z obra´zku pru˚rˇezu je zrˇejme´, zˇe jde o kvadraticky´ moment Jy Jy = 2 ·
1 1 · 5 · 603 + · 110 · 53 = 1, 811 · 105 mm4 12 12
Polomeˇr kvadraticke´ho momentu iy a sˇtı´hlost prutu λ r iy =
Jy = S
r
1, 811 · 105 = 12, 55 mm 1150
l 3 · 103 λ= = = 239, 0 iy 12, 55
Podle zpu˚sobu ulozˇenı´ jde o 1. prˇ´ıpad Eulerova vzpeˇru se soucˇinitelem ulozˇenı´ - α = π2 202
Kriticka´ sˇtı´hlost prutu λk s λk =
α2 E σk
s = λk =
π 2 E 2 σk
r = λk =
π 2 · 2, 1 · 105 = 38, 5 4 · 350
Vzhledem k tomu, zˇe skutecˇna´ sˇtı´hlost prutu λ = 239, 0 je veˇtsˇ´ı nezˇ kriticka´ sˇtı´hlost λk = 38, 5, aktua´lnı´m meznı´m stavem je meznı´ stav vzpeˇrne´ stability. Kriticka´ sı´la Fv =
π 2 EJy 2 l2
π 2 · 2, 1 · 105 · 1, 811 · 105 = = 10 426 N 4 · (3 · 103)2
Bezpecˇnost kv =
Fv 10 426 = = 5, 21 > kD = 4 F 2000
Prut pevnostneˇ vyhovuje.
203
10
ˇ TEˇLESA NAPJATOST V BODE
Definice: Napjatostı´ v bodeˇ teˇlesa rozumı´me mnozˇinu obecny´ch napeˇtı´ f~ρ, pu˚sobı´cı´ch ve vsˇech ρ, procha´zejı´cı´m tı´mto bodem. V u´vodnı´ kapitole PPI jsme bez du˚kazu uvedli, zˇe napjatost je urcˇena tenzorem napeˇtı´ Tσ . Nynı´ se budeme napjatostı´ zaby´vat podrobneˇji. Prˇ´ıslusˇne´ vztahy si odvodı´me a prˇedchozı´ vy´rok doka´zˇeme.
10.1
Za´kladnı´ vztahy pro napeˇtı´ v obecne´m rˇezu
Za´kladnı´m krokem ke stanovenı´ obecne´ho napeˇtı´ f~ρ je uvolneˇnı´ elementa´rnı´ho cˇtyrˇsteˇnu v okolı´ obecne´ho bodu A rovinny´mi rˇezy, obsahujı´cı´mi obecnou rovinu ρ a na´sledna´ formulace podmı´nek staticke´ rovnova´hy
204
Poloha obecne´ho rˇezu ρ je urcˇena jednotkovy´m vektorem norma´ly ~eρ jehozˇ slozˇkami jsou smeˇrove´ kosiny αx, αy a αz ~eρ = αx ~i + αy ~j + αz ~k
(10.35)
kde αx = cos αx0
αy = cos αy0
αz = cos αz0
Zapsa´no maticoveˇ {α} = |αx αy αz |T
(10.36)
Pro smeˇrove´ kosiny platı´ zna´my´ vztah αx2 + αy2 + αz2 = 1
205
(10.37)
Vektor obecne´ho napeˇtı´ fρ je vyja´drˇen na´sledovneˇ f~ρ = fρ,x αx + fρ,y αy + fρ,z αz
(10.38)
{fρ} = |fρ,x fρ,y fρ,z |T
(10.39)
Zapsa´no maticoveˇ
Podmı´nky staticke´ rovnova´hy X 1 Fx : fρ,x dS = σx dSx + τyx dSy + τzx dSz · dS Po u´praveˇ s uva´zˇenı´m
dSx dS
= αx atd. obdrzˇ´ıme
fρ,x = σx αx + τyx αy + τzx αz Analogicky
fρ,y = τxy αx + σy αy + τzy αz
(10.6)
fρ,z = τxz αx + τyz αy + σz αz Zapsa´no maticoveˇ f ρ,x fρ,y fρ,z
σ τ τ x yx zx = τxy σy τzy τxz τyz σz
α x · αy αz
(10.7)
A symbolicky {fρ} = [Tσ ] · {α}
206
(10.8)
Kde velicˇina Tσ je tzv. tenzor napeˇtı´, ktery´ je z du˚vodu platnosti veˇty o sdruzˇenosti smykovy´ch napeˇtı´ (τxy = τyx atd.) vyja´drˇen symetrickou maticı´, obsahujı´cı´ 6 neza´visly´ch prvku˚. Z matematicke´ho pohledu jde o symetricky´ tenzor druhe´ho rˇa´du. Obecne´ napeˇtı´ f~ρ ma´ slozˇku norma´lovou σρ a smykovou τρ, ktere´ zı´ska´me jako pru˚meˇty do prˇ´ıslusˇny´ch smeˇru˚ pomocı´ skala´rnı´ch soucˇinu˚ σρ = ~eρ f~ρ = {α}T {fρ} = {α}T [Tσ ]{α}
τρ = ~eη f~ρ = {β}T {fρ} = {β}T [Tσ ]{α}
(10.9)
(10.10)
Smykove´ napeˇtı´ mu˚zˇeme vypocˇ´ıtat rovneˇzˇ pomocı´ Pythagorovy veˇty q q 2 + f 2 + f 2 − σ2 (10.11) τρ = fρ2 − σρ2 = fρ,x ρ,y ρ,z ρ
Z prˇedchozı´ch vztahu˚ (10.8), (10.9) a (10.10) resp. (10.11) vyply´va´, zˇe obecne´ napeˇtı´ fρ a jeho slozˇky σρ a τρ v libovolne´m rˇezu ρ jsou urcˇeny tenzorem napeˇtı´ Tσ . V souladu s u´vodnı´ definicı´ na´m tedy tenzor napeˇtı´ Tσ popisuje napjatost v okolı´ obecne´ho bodu A teˇlesa. Napjatost povazˇujeme za homogennı´, jestlizˇe tenzory napeˇtı´ Tσ ve vsˇech bodech teˇlesa jsou stejne´. Pokud jsou tenzory v bodech teˇlesa ru˚zne´, jedna´ se o nehomogennı´ napjatost.
207
10.2
Hlavnı´ roviny, hlavnı´ napeˇtı´ a hlavnı´ smeˇry
Definice: Hlavnı´ rovina je takova´ rovina, kde nepu˚sobı´ smykove´ napeˇtı´. Prˇ´ıslusˇne´ norma´love´ napeˇtı´ se nazy´va´ hlavnı´m napeˇtı´m a odpovı´dajı´cı´ smeˇr hlavnı´m smeˇrem. Prˇedpokla´dejme nynı´, zˇe rovina ρi je rovinou hlavnı´, ve ktere´ pu˚sobı´ hlavnı´ napeˇtı´ σi, viz obr.
Obecne´ napeˇtı´ f~ρ,i je potom rovno norma´love´mu, tj. hlavnı´mu napeˇtı´ σi a ma´ smeˇr norma´ly ~eρ,i hlavnı´ roviny ρi f~ρ,i = σi ~eρ,i
{fρ,i} = σi {αi}
(10.12)
a pro jeho slozˇky platı´ fρ,x = σi αx,i ; fρ,y = σi αy,i ; fρ,z = σi αz,i
208
(10.13)
Po dosazenı´ (10.13) do (10.6) a forma´lnı´ algebraicke´ u´praveˇ obdrzˇ´ıme soustavu rovnic (10.14), ke ktere´ prˇipojı´me zna´my´ vztah pro smeˇrove´ kosiny fρ,x = (σx − σi) αx,i + τyx αy,i + τzx αz,i = 0 fρ,y = τxy αx,i + (σy − σi) αy,i + τzy αz,i = 0
(10.14)
fρ,z = τxz αx,i + τyz αy,i + (σz − σi) αz,i = 0 2 2 2 αx,i + αy,i + αz,i =1
(10.15)
Relace (10.14) prˇedstavujı´ soustavu homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic pro stanovenı´ smeˇrovy´ch kosinu˚ hlavnı´ roviny ρi s hlavnı´m napeˇtı´m σi. Aby rˇesˇenı´ nebylo trivia´lnı´, tj. αx,i = αy,i = αz,i = 0, cozˇ je v rozporu s (10.15), musı´ by´t determinant soustavy (10.14) nulovy´, cozˇ znamena´, zˇe tyto trˇi rovnice jsou linea´rneˇ za´visle´ σx − σi τyx τzx (10.16) σy − σi τzy = 0 τxy τ τ σ −σ xz
yz
z
i
Vycˇ´ıslenı´m determinantu obdrzˇ´ıme tzv. charakteristickou rovnici (10.17) σi3 − ∆1 σi2 + ∆2 σi − ∆3 = 0
(10.17)
kde ∆1, ∆2 a ∆3 jsou tzv. invarianty tenzoru napeˇtı´ Tσ , jejichzˇ hodnota se nemeˇnı´ prˇi ortogona´lnı´ transformaci sourˇadnicove´ho syste´mu ∆1 = σx + σy + σz 209
σ τ x xy ∆2 = τxy σy
σ τ y yz + τyz σz
σ τ x zx + τzx σz
σx τxy τxz ∆3 = τxy σy τyz τ τ σ xz yz z
(10.18)
Hlavnı´ napeˇtı´ σi jsou potom korˇeny kubicke´ charakteristicke´ rovnice (10.17). Je mozˇne´ doka´zat, zˇe v tomto prˇ´ıpadeˇ jsou vsˇechny trˇi korˇeny σI , σII a σIII rea´lna´ cˇ´ısla. Da´le zavedeme nove´ cˇ´ıselne´ indexy 1, 2 a 3, tak, aby platila relace σ1 = σ2 = σ3
(10.19)
Velicˇina σ1 se nazy´va´ maxima´lnı´ hlavnı´ napeˇtı´, σ2 je strˇednı´ hlavnı´ napeˇtı´ a σ3 je minima´lnı´ hlavnı´ napeˇtı´. Poloha prˇ´ıslusˇny´ch hlavnı´ch smeˇru˚ se stanovı´ pomocı´ vybrany´ch dvou rovnic ze soustavy (10.14) a z rovnice (10.15). Pro hlavnı´ smeˇr 1, prˇ´ıslusˇejı´cı´ hlavnı´mu napeˇtı´ σ1, dosta´va´me soustavu rovnic (σx − σ1) αx,1 + τyx αy,1 + τzx αz,1 = 0 τxy αx,1 + (σy − σ1) αy,1 + τzy αz,1 = 0 2 2 2 αx,1 + αy,1 + αz,1 =1
Ze ktere´ vypocˇteme smeˇrove´ kosiny αx,1, αy,1, αz,1 smeˇru 1
210
(10.20)
Analogicky postupujeme prˇi stanovenı´ smeˇrovy´ch kosinu˚ αx,2, αy,2, αz,2 smeˇru 2 a smeˇrovy´ch kosinu˚ αx,3, αy,3, αz,3 smeˇru 3. Pokusme se nynı´ stanovit vza´jemnou polohu smeˇru˚ hlavnı´ch smeˇru˚ 1, 2 a 3. Pro tento u´cˇel vyuzˇijeme rovnic (10.12) a (10.8) {fρ,i} = σi {αi} = [Tσ ] {αi}
(10.21)
Rovnici (10.21) nynı´ aplikujme na hlavnı´ napeˇtı´ σ1 a potom na σ2 σ1 {α1} = [Tσ ] {α1}
{α2}T
σ1 {α2}T {α1} = {α2}T [Tσ ] {α1} σ2 {α2} = [Tσ ] {α2}
(10.22)
{α1}T
σ2 {α1}T {α2} = {α1}T [Tσ ] {α2}
(10.23)
Kdyzˇ odecˇteme rovnici (10.23) od rovnice (10.22) obdrzˇ´ıme po u´praveˇ (σ1 − σ2) {α2}T {α1} = 0 Analog.
(σ2 − σ3) {α3}T {α2} = 0 (σ3 − σ1) {α1}T {α3} = 0
211
(10.24)
Z prˇedchozı´ch vztahu˚ plyne, zˇe pokud velikost dvou hlavnı´ch napeˇtı´ je stejna´, musı´ by´t vza´jemna´ poloha odpovı´dajı´cı´ch hlavnı´ch smeˇru˚ kolma´. V prˇ´ıpadeˇ rovnosti hlavnı´ch napeˇtı´ mu˚zˇe by´t vza´jemny´ u´hel odpovı´dajı´cı´ch hlavnı´ch smeˇru˚ jaky´koliv a tedy mu˚zˇe by´t i kolmy´. Z te´to analy´zy vyply´va´, zˇe v bodeˇ teˇlesa A lze vzˇdy ve´st trˇi navza´jem kolme´ hlavnı´ smeˇry 1, 2 a 3 ve ktery´ch pu˚sobı´ hlavnı´ napeˇtı´ σ1, σ2 a σ3 . Napjatost v bodeˇ teˇlesa mu˚zˇeme tedy vyja´drˇit pomocı´ hlavnı´ch napeˇtı´ σ1, σ2 a σ3 pu˚sobı´cı´ch v trˇech vza´jemneˇ kolmy´ch hlavnı´ch smeˇrech, jejichzˇ poloha je urcˇena trˇemi neza´visly´mi smeˇrovy´mi kosiny. Tato skutecˇnost souvisı´ s existencı´ trˇ´ı podmı´nek pro soucˇet cˇtvercu˚ smeˇrovy´ch kosinu˚ a trˇ´ı podmı´nek ortogonality pro pouzˇity´ hlavnı´ pravou´hly´ sourˇadnicovy´ syste´m. Odvozene´ vztahy na´m nynı´ dovolujı´ prˇejı´t z obecne´ho sourˇadnicove´ho syste´mu x, y a z k hlavnı´mu sourˇadnicove´mu syste´mu 1, 2 a 3, ve ktere´m ma´ tenzor napeˇtı´ Tσ pouze trˇi nenulove´ cˇleny v podobeˇ hlavnı´ch napeˇtı´ σ1, σ2 a σ3, lezˇ´ıcı´ch na hlavnı´ diagona´le. Tato skutecˇnost vede ke znacˇne´mu zjednodusˇenı´ matematicky´ch formulacı´, cozˇ vyuzˇijeme v dalsˇ´ıch kapitola´ch.
212
10.3
Hlavnı´ sourˇadnicovy´ syste´m, vztahy pro obecne´ napeˇtı´ a jeho slozˇky
Nasˇ´ım cı´lem je nynı´ stanovit obecne´ napeˇtı´ fρ a jeho slozˇky σρ a τρ v obecne´m rˇezu ρ, jehozˇ poloha je urcˇena smeˇrovy´mi kosiny α1, α2 a α1, viz obr.
V hlavnı´m sourˇadnicove´m syste´mu platı´ forma´lneˇ stejne´ vztahy, ktere´ byly odvozeny pro obecny´ sourˇadnicovy´ syste´m. Prˇi urcˇenı´ obecne´ho napeˇtı´ fρ vyjdeme z rovnice (10.8) {fρ} = [Tσ ] {α} Vyja´drˇeno maticoveˇ f ρ,1 fρ,2 fρ,3
σ 0 0 1 = 0 σ2 0 0 0 σ3
α 1 · α2 α3
(10.25)
Slozˇky obecne´ho napeˇtı´ jsou potom rovny fρ,1 = σ1α1
fρ,2 = σ2α2
213
fρ,3 = σ3α3
(10.26)
Pro velikost obecne´ho napeˇtı´ fρ dosta´va´me vztah q fρ = σ12α12 + σ22α22 + σ32α32
(10.27)
Norma´love´ napeˇtı´ je da´no pru˚meˇtem obecne´ho napeˇtı´ fρ do norma´ly roviny, cozˇ realizujeme pomocı´ skala´rnı´ho soucˇinu σα 1 1 T σρ = {α} {fρ} = |α1 α2 α3| · σ2α2 σ 3 α3 σρ = σ1α12 + σ2α22 + σ3α32
(10.28)
Smykove´ napeˇtı´ τρ v obecne´ rovineˇ ρ potom vypocˇteme pomocı´ Pythagorovy veˇty q τρ = fρ2 − σρ2 =
=
q
(σ1 − σ2)2α12α22 + (σ2 − σ3)2α22α32 + (σ3 − σ1)2α32α12
(10.29)
V teorii plasticity hraje vy´znamnou roli tzv. oktaedricka´ rovina, jejı´zˇ norma´la svı´ra´ se sourˇadnicovy´mi osami stejny´ u´hel. Prˇ´ıslusˇne´ smykove´ napeˇtı´ τo dostaneme dosazenı´m odpovı´dajı´cı´ch smeˇrovy´ch kosinu˚ α1 = α2 = α3 = α0 = √13 do prˇedchozı´ rovnice 1p τo = (σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2 3 214
(10.30)
10.4
Zna´zorneˇnı´ napjatosti v Mohroveˇ rovineˇ, Mohrovy kruzˇnice
Jednı´m z atributu˚ symetricky´ch tenzoru˚ druhe´ho rˇa´du, jaky´m je tenzor napeˇtı´ Tσ , je mozˇnost graficke´ho zna´zorneˇnı´ prˇ´ıslusˇne´ho stavu (napjatosti), v nasˇem prˇ´ıpadeˇ v Mohroveˇ rovineˇ σρ, τρ. Za u´cˇelem odvozenı´ potrˇebny´ch vztahu˚ rˇesˇme nynı´ na´sledujı´cı´ inversnı´ u´lohu: Napjatost je da´na hlavnı´mi napeˇtı´mi σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. Da´le jsou da´na dveˇ cˇ´ısla, ktera´ prˇedstavujı´ norma´love´ napeˇtı´ σρ a smykove´ napeˇtı´ τρ v obecne´m rˇezu ρ. Ma´me zjistit, zda takova´ rovina rea´lneˇ existuje ´ lohu rˇesˇ´ıme v hlavnı´m a v kladne´m prˇ´ıpadeˇ stanovit jejı´ polohu. U sourˇadnicove´m syste´mu 1,2 a 3.
Pro matematickou formulaci u´lohy vyuzˇijeme rovnice (10.27) a (10.28), doplneˇne´ o zna´my´ vztah pro soucˇet cˇtvercu˚ smeˇrovy´ch kosinu˚ σ12α12 + σ22α22 + σ32α32 = σρ2τρ2
σ1α12 + σ2α22 + σ3α32 = σρ
α12 + α22 + α32 = 1 215
(10.31)
Jde o soustavu 3 linea´rnı´ch rovnic pro stanovenı´ cˇtvercu˚ smeˇrovy´ch kosinu˚ α12, α22 a α32, ktere´ lze vyja´drˇit naprˇ. Cramerovy´m pravidlem σ2 + τ 2 σ2 2 σ3 ρ ρ 2 σ2 σ3 σρ 1 1 1 D1 2 = α1 = 2 DS σ22 σ32 σ1 σ2 σ3 σ1 1 1 1 Po provedene´ algebraicke´ u´praveˇ obdrzˇ´ıme α12 Analog.
α22
τρ2 + (σρ − σ2)(σρ − σ3) D1 = = DS (σ1 − σ2)(σ1 − σ3)
τρ2 + (σρ − σ1)(σρ − σ3) D2 = = DS (σ2 − σ1)(σ2 − σ3)
α32
(10.32)
τρ2 + (σρ − σ1)(σρ − σ2) D3 = = DS (σ3 − σ1)(σ3 − σ2)
Pro cˇtverce smeˇrovy´ch kosinu˚ platı´ na´sledujı´cı´ vztahy: 0 5 α12 5 1
0 5 α22 5 1
0 5 α32 5 1
(10.33)
Prˇedpokla´da´me-li relaci σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, potom pro splneˇnı´ levy´ch nerovnostı´ v prˇedchozı´m vztahu (33) musı´ v souladu s (32) platit τρ2 + (σρ − σ2)(σρ − σ3) = 0
τρ2 + (σρ − σ1)(σρ − σ3) 5 0
τρ2 + (σρ − σ1)(σρ − σ2) = 0
216
(10.34)
Prvnı´ ze vztahu˚ (10.34) lze forma´lneˇ upravit na´sledovneˇ σρ2 − σρ(σ2 + σ3) + τρ2 + σ2σ3 = 0 σ + σ 2 σ2 + σ3 2 2 3 2 + τρ − + σ2 σ3 = 0 σρ − 2 2 2 2 σ2 + σ3 σ2 − σ3 σρ − + τρ2 = 2 2 2 σ1 + σ3 2 σ − σ 1 3 Analog. σρ − + τρ2 5 2 2 2 σ − σ σ1 + σ2 2 1 2 + τρ2 = σρ − 2 2
(10.35)
Rovnice (10.35) vymezujı´ v Mohroveˇ rovineˇ σρ, τρ oblast mezi tzv. Mohrovy´mi kruzˇnicemi. Prave´ strany nerovnostı´ (10.34), ktere´ jsme zde neuplatnili, nemajı´ na tuto skutecˇnost zˇa´dny´ dalsˇ´ı vliv (viz skripta).
217
Oblast mezi Mohrovy´mi kruzˇnicemi, vcˇetneˇ nich zna´zornˇuje slozˇky napeˇtı´ σρ, τρ ve vsˇech ρ, ktere´ mu˚zˇeme bodem teˇlesa ve´st, graficky tedy vyjadrˇuje napjatost v bodeˇ teˇlesa. Z obra´zku na´zorneˇ vyply´vajı´ vztahy pro maxima´lnı´ norma´love´ napeˇtı´ σρ,max a τρ,max σρ,max = σ1
τmax =
σ1 − σ3 2
(10.36)
V rovineˇ maxima´lnı´ho smykove´ho napeˇtı´ pu˚sobı´ rovneˇzˇ norma´love´ napeˇtı´ σρ,τmax σρ,τmax =
σ1 + σ3 2
(10.37)
Polohu roviny maxima´lnı´ho smykove´ho napeˇtı´ lze vypocˇ´ıtat dosazenı´m τρ,max a σρ,τmax do rovnic (10.35) √ √ 2 2 α1 = ± α2 = 0 α3 = ± 2 2 Vektor norma´ly roviny maxima´lnı´ho smykove´ho napeˇtı´ τρ,max je symetra´lou hlavnı´ch smeˇru˚ 1 a 3, viz obr.
218
10.5
Zvla´sˇtnı´ prˇ´ıpady napjatosti
10.5.1
Rovinna´ napjatost
Prˇi rovinne´ napjatosti je jedno z hlavnı´ch napeˇtı´ rovno nule. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ necht’σIII = 0. Do hlavnı´ho smeˇru III vlozˇ´ıme obecnou sourˇadnicovou osu z. Hledejme nynı´ obecne´ napeˇtı´ f~ρ a jeho slozˇky σρ a τρ v rˇezu ρ, rovnobeˇzˇne´m s osou z, jehozˇ norma´la e~ρ svı´ra´ s osou x u´hel ϕ, viz obra´zek. Smykove´ napeˇtı´ τρ v rˇezu ρ prˇitom povazˇujeme za kladne´, ota´cˇ´ı-li elementem v rˇezu ve smeˇru hodinovy´ch rucˇicˇek.
Jelikozˇ smeˇr z je smeˇrem hlavnı´m, platı´ pro slozˇky napeˇtı´ v prˇ´ıslusˇne´ hlavnı´ rovineˇ σz = σII = 0
τzx = τzy = 0
a tenzor napeˇtı´ Tσ ma´ v tomto prˇ´ıpadeˇ tvar σ τ 0 x xy Tσ = τxy σy 0 0 0 0
219
(10.38)
(10.39)
Obecne´ napeˇtı´ fρ a jeho slozˇky vypocˇteme aplikacı´ obecne´ho vztahu (10.8) - {fρ} = [Tσ ] {α}, ktery´ musı´ platit i pro rovinnou napjatost f σ τ 0 cos ϕ ρ,x x xy (10.40) fρ,y = τxy σy 0 · sin ϕ fρ,z 0 0 0 0 Slozˇky obecne´ho napeˇtı´ jsou rovny fρ,x = σx cos ϕ + τxy sin ϕ fρ,y = τxy cos ϕ + σy sin ϕ
(10.41)
fρ,z = 0 A velikost obecne´ho napeˇtı´ fρ stanovı´me pomocı´ Pythagorovy veˇty q 2 + f2 = fρ = fρ,x ρ,y q = (σx cos ϕ + τxy sin ϕ)2 + (τxy cos ϕ + σy sin ϕ)2 (10.42) Norma´love´ napeˇtı´ σρ zı´ska´me jako pru˚meˇt obecne´ho napeˇtı´ f~ρ do smeˇru norma´ly rˇezu e~ρ pomocı´ skala´rnı´ho soucˇinu σ cos ϕ + τ sin ϕ x xy σρ = {α}T {fρ} = cos ϕ sin ϕ · = τxy cos ϕ + σy sin ϕ = σx cos2 ϕ + 2τxy sin ϕ cos ϕ + σy sin2 ϕ = =
σx + σy σx − σy + cos 2ϕ + τxy sin 2ϕ 2 2
220
(10.43)
Smykove´ napeˇtı´ τρ prˇedstavuje pru˚meˇt obecne´ho napeˇtı´ f~ρ do tecˇne´ho smeˇru η definovane´ho smeˇrovy´mi kosiny {β}: {β} = | cos(90 − ϕ) cos(180 − ϕ)|T = | sin ϕ − cos ϕ|T σx cos ϕ + τxy sin ϕ τρ = sin ϕ − cos ϕ · = τxy cos ϕ + σy sin ϕ σx sin ϕ cos ϕ + τxy sin2 ϕ − τxy cos2 ϕ − σy cos ϕ sin ϕ = =
σx − σy sin 2ϕ − τxy cos 2ϕ 2
(10.44)
Poloha hlavnı´ho smeˇru I se urcˇ´ı z definice prˇ´ıslusˇne´ hlavnı´ roviny τρ = 0 = tan 2ϕI =
σx − σy sin 2ϕI − τxy cos 2ϕI 2
2τxy σx − σy
ϕI =
2τxy 1 arctan 2 σx − σy
(10.45)
Odpovı´dajı´cı´ hlavnı´ napeˇtı´ σI potom odpovı´da´ norma´love´mu napeˇtı´ v te´to hlavnı´ rovineˇ σx + σy σx − σy σI = σρ(ϕ = ϕI ) = + cos 2ϕI − τxy sin 2ϕI (10.46) 2 2 Hlavnı´ smeˇr II je k hlavnı´mu smeˇru I kolmy´, tedy ϕII = ϕI + prˇ´ıslusˇne´ hlavnı´ napeˇtı´ ϕII je rovno σII = σρ(ϕ = ϕII ) =
π 2
a
σx + σy σx − σy + cos 2ϕII − τxy sin 2ϕII 2 2 (10.47)
Rovnice (10.46) a (10.47) prˇedstavujı´ v Mohroveˇ rovineˇ rovnici kruzˇ´ hlu ϕ mezi dveˇma smeˇry resp. mezi dveˇma rˇezy ρ a ρ0 odpovı´da´ nice. U dvojna´sobny´ smeˇrovy´ u´hel 2ρ na Mohroveˇ kruzˇnici. 221
Prˇ´ıslusˇnou Mohrovu kruzˇnici mu˚zˇeme nakreslit bud’ pomocı´ vypocˇteny´ch nenulovy´ch hlavnı´ch napeˇtı´ σI a σII ,
nebo graficky, pomocı´ slozˇek napeˇtı´ ve dvou vza´jemneˇ kolmy´ch rˇezech xay
Po stanovenı´ obou nenulovy´ch hlavnı´ch napeˇtı´ σI a σII zavedeme nove´ oznacˇenı´ pomocı´ arabsky´ch cˇ´ıslic 1, 2 a 3 tak, aby byla splneˇna pro na´s jizˇ zna´ma´ relace σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. V prˇ´ıkladu uvedene´m na prˇedchozı´m obra´zku dosta´va´me pro nenulova´ hlavnı´ napeˇtı´ σ1 a σ2 na´sledujı´cı´ vztah r σ + σ 2 σx + σy x y 2 σ1,2 = ± + τxy (10.48) 2 2
222
10.5.2
Prutova´ napjatost a prosty´ smyk
Jde o specificke´ prˇ´ıpady rovinne´ napjatosti. U prutove´ napjatosti je element zatı´zˇen na´sledovneˇ
σ1,3 =
σx ± 2
r
r 2 σx σ σ 2 2 + τxy = ± + τ2 2 2 2
(10.49)
U proste´ho smyku je jediny´m nenulovy´m napeˇtı´m smykove´ napeˇtı´ τxy = τ . Zatı´zˇenı´ elementu a odpovı´dajı´cı´ Mohrova kruzˇnice vypadajı´ na´sledovneˇ
Pro nenulova´ hlavnı´ napeˇtı´ σ1 a σ3 platı´ σ1,3 = ±τxy = ±τ
(10.50)
Hlavnı´ smeˇry 1,2 prˇitom svı´rajı´ se za´kladnı´mi osami x,y u´hel 45◦. 223
10.6
Klasifikace napjatosti
Typ napjatosti za´visı´ na hodnota´ch hlavnı´ch napeˇtı´. Prˇi nasˇich u´vaha´ch sta´le prˇedpokla´da´me platnost relace σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. a) Trojosa´ (prostorova´) napjatost. Vsˇechna trˇi hlavnı´ napeˇtı´ jsou nenulova´ - obecna´ Vsˇechna hlavnı´ napeˇtı´ jsou vza´jemneˇ ru˚zna´, tedy σ1 6= σ2 6= σ3
- polorovnomeˇrna´ Dveˇ hlavnı´ napeˇtı´ jsou stejna´
- rovnomeˇrna´ Vsˇechna hlavnı´ napeˇtı´ jsou stejna´ σ1 = σ2 = σ3
224
b) Dvojosa´ (rovinna´) napjatost. Jedno hlavnı´ napeˇtı´ je nulove´, σi = 0 - obecna´ Obeˇ nenulova´ hlavnı´ napeˇtı´ jsou vza´jemneˇ ru˚zna´
- rovnomeˇrna´ Obeˇ nenulova´ hlavnı´ napeˇtı´ jsou stejna´
- prutova´ Napjatost je urcˇena slozˇkami napeˇtı´ σ a τ na jedne´ steˇneˇ elementu
225
- smykova´ Na element pu˚sobı´ pouze smykove´ napeˇtı´ τ
c) Jednoosa´ (prˇ´ımkova´) napjatost. Dveˇ hlavnı´ napeˇtı´ jsou nulova´ - tahova´ Nenulove´ hlavnı´ napeˇtı´ je tahove´
- tlakova´ Nenulove´ hlavnı´ napeˇtı´ je tlakove´
226
11
´ LU MEZNI´ STAVY MATERIA
Omezı´me se na podmı´nku meznı´ho stavu pruzˇnosti pro materia´l ve stavu tva´rne´m a podmı´nku meznı´ho stavu krˇehke´ pevnosti pro materia´l ve stavu krˇehke´m.
11.1
Meznı´ stav pruzˇnosti
Jde o takovy´ meznı´ stav (MS), po jehozˇ prˇekrocˇenı´ vznikajı´ v bodeˇ teˇlesa prvnı´ plasticke´ deformace. Prˇ´ıslusˇna´ podmı´nka se v literaturˇe nazy´va´ podmı´nka plasticity. Prˇi jejı´ formulaci vyjdeme ze za´kladnı´ho poznatku teorie dislokacı´, dle ktere´ho k plasticke´ deformaci docha´zı´, jestlizˇe smykove´ napeˇtı´ v urcˇite´ (vhodne´) krystalograficke´ skluzove´ rovineˇ dosa´hne kriticke´ hodnoty τkrit. Prˇeneseme-li tuto mysˇlenku do prostrˇedı´ mechaniky lze tvrdit, zˇe o vzniku plasticky´ch deformacı´ rozhoduje smykove´ napeˇtı´ v jiste´ charakteristicke´ rovineˇ.
11.1.1
Podmı´nka plasticity maxima´lnı´ho smykove´ho napeˇtı´ τmax
V tomto prˇ´ıpadeˇ je onou charakteristickou rovinou rovina maxima´lnı´ho smykove´ho napeˇtı´ τmax. Jde prˇitom o prvotnı´ podmı´nku plasticity prˇi monotonnı´m zateˇzˇova´nı´ z nezatı´zˇene´ho stavu. Prˇ´ıslusˇnou podmı´nku lze slovneˇ vyja´drˇit na´sledovneˇ: Meznı´ho stavu pruzˇnosti je dosazˇeno, jestlizˇe maxima´lnı´ smykove´ napeˇtı´ τmax dosa´hne meznı´ hodnoty τM k , ktera´ je materia´lovou charakteristikou. Neza´visı´ tedy na stavu napjatosti a lze ji proto stanovit na za´kladeˇ tahove´ zkousˇky. 227
Vyja´drˇeno matematicky s na´slednou aplikacı´ zna´me´ho vztahu (10.36) 3) pro maxima´lnı´ smykove´ napeˇtı´ τmax = (σ1−σ 2 τmax = τM k =
(σ1 − σ3) 2
(11.51)
Tento vztah nynı´ v souladu s prˇedchozı´m postula´tem aplikujeme na zkousˇku tahem σ1 = σk
σ2 = σ3 = 0
(11.52)
Po dosazenı´ (11.2) do (11.1) obdrzˇ´ıme relaci pro meznı´ napeˇtı´ τM k τM k =
σk 2
(11.53)
ktere´ dosadı´me do (10.1), cˇ´ımzˇ zı´ska´me po jednoduche´ algebraicke´ u´praveˇ fina´lnı´ podmı´nku plasticity τmax v bodeˇ teˇlesa. Prˇitom prˇedpokla´da´me platnost relace σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 σ1 − σ3 = σk
(11.54)
V literaturˇe je tato podmı´nka neˇkdy oznacˇova´na jako Trescova dle pu˚vodnı´ho autora. Jejı´m zajı´mavy´m rysem je skutecˇnost, zˇe neza´visı´ na velikosti strˇednı´ho hlavnı´ho napeˇtı´ σ2.
228
Prˇedchozı´ podmı´nku je mozˇne´ graficky vyja´drˇit v Haighoveˇ prostoru hlavnı´ch napeˇtı´ σ1, σ2 a σ3. Prˇi graficke´m zna´zorneˇnı´ nenı´ splneˇna podmı´nka σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. V za´vislosti na poloze prˇ´ıslusˇne´ho bodu v Haighoveˇ prostoru je mozˇne´ formulovat sˇest na´sledujı´cı´ch podmı´nek σ1 − σ2 5 σk
σ2 − σ1 5 σk
σ2 − σ3 5 σk
σ3 − σ2 5 σk
σ3 − σ1 5 σk
σ1 − σ3 5 σk
(11.55)
z nichzˇ kazˇda´ prˇedstavuje rovinu a spolu vytva´rˇejı´ povrch sˇestiboke´ho hranolu s osou v symetra´le prostoru σ1 = σ2 = σ3, viz obra´zek
Pro rovinnou napjatost (σ3 = 0) obdrzˇ´ıme meznı´ krˇivku ve tvaru sˇestiu´helnı´ka, ktery´ vznikne jako pru˚secˇnice meznı´ plochy (hranolu) se sourˇadnicovou plochou σ1, σ2.
229
Podmı´nku plasticity τmax lze rovneˇzˇ graficky vyja´drˇit v Mohroveˇ rovineˇ σρ, τρ formou meznı´ prˇ´ımky ve vzda´lenosti σ2k , jak plyne z rovnice (11.4) vydeˇlene´ dveˇma σ1 − σ3 σk = 2 2
(11.56)
Maxima´lnı´ Mohrovy kruzˇnice se prˇi dosazˇenı´ MS pruzˇnosti te´to meznı´ prˇ´ımky doty´kajı´. V prˇ´ıpadeˇ prutove´q napjatosti ma´ s ohledem na vztah (10.49) pro hlavnı´ σ 2 napeˇtı´ σ1,3 = σ2 ± + τ 2 podmı´nka plasticity τmax na´sledujı´cı´ 2 tvar r √ σ 2 σ1 − σ3 = 2 · + τ 2 = σ 2 + 4τ 2 = σk (11.57) 2 U smykove´ napjatosti vypada´ podmı´nka plasticity na´sledovneˇ τ = τk
(11.58)
kde velicˇina τk se nazy´va´ mez kluzu ve smyku. S ohledem na relaci (10.50) pro hlavnı´ napeˇtı´ - σ1,3 = ±τ dosta´va´me na´sledujı´cı´ relaci pro mez kluzu ve smyku dle podmı´nky plasticity τmax σ1 − σ3 = τ − (−τ ) = 2τ = 2τk = σk ⇒ τk =
230
σk 2
(11.59)
11.1.2
Podmı´nka plasticity oktaedricke´ho smykove´ho napeˇtı´ τokt
V tomto prˇ´ıpadeˇ je onou charakteristickou rovinou rovina oktaedricka´ se smykovy´m napeˇtı´ τo. Jde opeˇt o prvotnı´ podmı´nku plasticity prˇi monotonnı´m zateˇzˇova´nı´ z nezatı´zˇene´ho stavu. Prˇ´ıslusˇnou podmı´nku lze slovneˇ vyja´drˇit na´sledovneˇ: Meznı´ho stavu pruzˇnosti je dosazˇeno, jestlizˇe oktaedricke´ smykove´ napeˇtı´ τo dosa´hne meznı´ hodnoty τOk , ktera´ je materia´lovou charakteristikou. Neza´visı´ tedy na stavu napjatosti a lze ji proto stanovit na za´kladeˇ tahove´ zkousˇky. Vyja´drˇeno matematicky s na´slednou aplikacı´ vztahu (10.30) pro oktap edricke´ smykove´ napeˇtı´ τo = 31 · (σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2 1 p τo = · (σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2 = τOk 3
(11.60)
Tento vztah nynı´ v souladu s prˇedchozı´m postula´tem aplikujeme na zkousˇku tahem σ1 = σk
σ2 = σ3 = 0
(11.61)
Po dosazenı´ (11.11) do (11.10) obdrzˇ´ıme relaci pro meznı´ napeˇtı´ τOk √ 2 σk = τOk (11.62) 3 ktere´ dosadı´me do (11.10), cˇ´ımzˇ zı´ska´me po jednoduche´ algebraicke´ u´praveˇ fina´lnı´ podmı´nku plasticity τokt v bodeˇ teˇlesa. √ 2 p · (σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2 = σk (11.63) 2 231
V literaturˇe je tato podmı´nka neˇkdy oznacˇova´na podle autoru˚ jako podmı´nka HMH (Hencky, Mises, Huber), prˇ´ıpadneˇ jako podmı´nka Misesova. Prˇedchozı´ podmı´nku (11.13) je mozˇne´ opeˇt graficky vyja´drˇit v Haighoveˇ prostoru hlavnı´ch napeˇtı´ σ1, σ2 a σ3. Vztah (11.13) po umocneˇnı´ prˇedstavuje rovnici va´lcove´ plochy s osou v symetra´le Haighova prostoru σ1 = σ2 = σ3, viz obra´zek
Va´lcova´ meznı´ plocha plasticity dle podmı´nky τokt je opsa´na meznı´ plosˇe ve tvaru sˇestiboke´ho hranolu, prˇ´ıslusˇejı´cı´ prˇedchozı´ podmı´nce plasticity τmax. Pro rovinou napjatost (σ3 = 0) obdrzˇ´ıme meznı´ krˇivku ve tvaru elipsy, ktera´ vznikne jako pru˚secˇnice meznı´ plochy (va´lce) se sourˇadnicovou plochou σ1, σ2. Tato krˇivka je opeˇt opsa´na meznı´ krˇivce ve tvaru sˇestiu´helnı´ka, prˇ´ıslusˇejı´cı´ podmı´nce plasticity τmax.
232
Za u´cˇelem graficke´ho vyja´drˇenı´ podmı´nky plasticity τokt v Mohroveˇ rovineˇ zava´dı´me tzv. Lodeho parametr µω , vyjadrˇujı´cı´ velikost strˇednı´ho hlavnı´ho napeˇtı´ σ2 na´sledovneˇ σ2 =
σ1 + σ3 σ1 − σ3 + µσ 2 2
(11.64)
Vyja´drˇ´ıme-li σ2 v podmı´nce (11.13) pomocı´ Lodeho parametru dle (11.14), dospeˇjeme po algebraicke´ u´praveˇ k forma´lneˇ jednodusˇsˇ´ımu tvaru podmı´nky plasticity τokt σ1 − σ3 = p
2σk 3 + µ2ω
(11.65)
pomocı´ ktere´ho, po vydeˇlenı´ dveˇma mu˚zˇeme parametrickou formou graficky zna´zornit podmı´nku plasticity τokt v Mohroveˇ rovineˇ σ1 − σ3 σk =p 2 3 + µ2ω
(11.66)
Z porovna´nı´ vztahu˚ (11.4) a (11.15) vyply´va´, zˇe nejveˇtsˇ´ı rozdı´l mezi σ1 +σ3 podmı´nkami plasticity τokt a τmax je v prˇ´ıpadeˇ µω = 0 σ2 = 2 , kdy na prave´ straneˇ rovnice (15) vystupuje 1, 155 σk , cozˇ prˇedstavuje rozdı´l mezi obeˇma podmı´nkami 15,5%. V prˇ´ıpadeˇ |µσ | = 1 jsou obeˇ podmı´nky plasticity shodne´.
233
V prˇ´ıpadeˇ prutove´ napjatosti s ohledem na vztah (10.49) pro hlavnı´ napeˇtı´ r σ 2 σ σ1,3 = ± + τ2 2 2 a s uva´zˇenı´m σ2 = 0 po dosazenı´ do (11.13) ma´ podmı´nka plasticity τokt na´sledujı´cı´ tvar √
σ 2 + 3τ 2 = σk
(11.67)
U smykove´ napjatosti vypada´ podmı´nka plasticity na´sledovneˇ τ = τk
(11.68)
kde velicˇina τk se nazy´va´ mez kluzu ve smyku. Po dosazenı´ (11.18) do (11.17), s uva´zˇenı´m σ = 0 dosta´va´me po jednoduche´ forma´lnı´ u´praveˇ na´sledujı´cı´ relaci pro mez kluzu ve smyku τk dle podmı´nky plasticity τokt σk τk = √ 3
234
(11.69)
11.2
Meznı´ stav krˇehke´ pevnosti
Jde o takovy´ meznı´ stav (MS), po jehozˇ dosazˇenı´ je celistvost teˇlesa porusˇena krˇehky´m lomem. Prˇi matematicke´ formulaci podmı´nky MS krˇehke´ pevnosti vyjdeme z poznatku˚ lomove´ mechaniky. Krˇehky´ lom vznika´ iniciacı´ a rychly´m sˇ´ırˇenı´m trhliny, vytva´rˇejı´cı´ lomovou plochu. O vzniku a sˇ´ırˇenı´ trhliny rozhoduje norma´love´ napeˇtı´ napeˇtı´ σρ a smykove´ napeˇtı´ τρ v charakteristicke´ rovineˇ ρ prˇed cˇelem trhliny. Zatı´mco norma´love´ napeˇtı´ σρ vede k otevı´ra´nı´ trhliny, smykove´ napeˇtı´ τρ prˇispı´va´ ke vzniku plasticke´ zo´ny prˇed cˇelem trhliny. V ra´mci mechaniky kontinua je mozˇne´ podmı´nku MS krˇehke´ pevnosti postulovat na´sledovneˇ: O vzniku meznı´ho stavu krˇehke´ pevnosti rozhoduje norma´love´ napeˇtı´ σρ a smykove´ napeˇtı´ τρ v charakteristicke´ rovineˇ ρ. Podmı´nku takove´ho MS stavu je potom mozˇne´ matematicky vyja´drˇit na´sledovneˇ Aσρ + Bτρ + C = 0
(11.70)
Zde vystupujı´cı´ velicˇiny A, B a C jsou materia´lovy´mi charakteristikami. Da´le se zameˇrˇ´ıme na podmı´nku MS krˇehke´ pevnosti MOS, ktera´ je kombinacı´ podmı´nky maxima´lnı´ho hlavnı´ho napeˇtı´ a Mohrovy podmı´nky.
235
Podmı´nka MS krˇehke´ pevnosti maxima´lnı´ho smykove´ho napeˇtı´: V tomto prˇ´ıpadeˇ je charakteristickou rovinou ρ rovina maxima´lnı´ho hlavnı´ho napeˇtı´ σ1. Slozˇky napeˇtı´ σρ a τρ v hlavnı´ v te´to rovineˇ jsou rovny σρ = σ1
τρ = 0
(11.71)
cozˇ dosadı´me do obecne´ho vztahu (11.20) a dosta´va´me Aσ1 + C = 0
⇒
σ1 = −
C A
(11.72)
Konstanty v tomto vztahu stanovı´me z podmı´nky prˇi tahove´ zkousˇce σ1 = σRt
σ2 = σ3 = 0 → (22) ⇒ −
C = σRt A
(11.73)
a po dosazenı´ do (11.22) obdrzˇ´ıme podmı´nku MS krˇehke´ pevnosti maxima´lnı´ho hlavnı´ho napeˇtı´ ve fina´lnı´m tvaru σ1 = σRt
236
(11.74)
Mohrova podmı´nka MS krˇehke´ pevnosti Charakteristickou rovinou ρ je v tomto prˇ´ıpadeˇ rovina maxima´lnı´ho smykove´ho napeˇtı´ ρτmax se slozˇkami napeˇtı´ σρ a τρ dle (10.36) σρ =
σ1 + σ3 2
τρ =
σ1 − σ3 2
(11.75)
Po dosazenı´ do rovnice (11.20) a forma´lnı´ algebraicke´ u´praveˇ dosta´va´me σ1 + σ3 σ1 − σ3 1 A +B +C =0 · 2 2 A σ1 + σ3 B σ1 − σ3 C + + =0 2 A 2 A
(11.76)
Dveˇ nezna´me´ konstanty BA a CA stanovı´me aplikacı´ prˇedchozı´ rovnice na prˇ´ıpad tahove´ a tlakove´ zkousˇky. Tahova´ zkousˇka: σ1 = σRt
σ2 = σ3 = 0 → (26) →
σRt B σRt C + + =0 2 A 2 A Tlakova´ zkousˇka: σ1 = −σRt −
(11.77)
σ2 = σ3 = 0 → (26) →
σRd B σRd C + + =0 2 A 2 A
237
(11.78)
Z rovnic (11.27) a (11.28) vypocˇteme dveˇ nezna´me´ materia´love´ konstanty BA a CA , ktere´ dosadı´me do rovnice (11.26). Po forma´lnı´ algebraicke´ u´praveˇ obdrzˇ´ıme konecˇny´ tvar Mohrovy podmı´nky MS krˇehke´ pevnosti σ1 − κσ3 = σRt
(11.79)
kde materia´lovy´ parametr κ (kappa) je definova´n jako podı´l mezı´ pevnosti v tahu a tlaku na´sledovneˇ κ=
σRt σRd
(11.80)
Kombinovana´ podmı´nka meznı´ho stavu krˇehke´ pevnosti MOS ma´ potom tvar max{σ1 − κσ3, σ1} = σRt
(11.81)
Prˇi graficke´m zna´zorneˇnı´ podmı´nky MS krˇehke´ pevnosti MOS v Haighoveˇ prostoru uplatnı´me zvla´sˇt’ Mohrovu podmı´nku a zvla´sˇt’ podmı´nku maxima´lnı´ch hlavnı´ch napeˇtı´ s tı´m, zˇe prˇi graficke´m zna´zorneˇnı´ nenı´ automaticky splneˇna relace σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, vzˇdy za´lezˇ´ı na poloze adekva´tnı´ho bodu v Haighoveˇ prostoru.
238
Pro Mohrovu podmı´nku pak dosta´va´me v souladu s (11.29) na´sledujı´cı´ch sˇest relacı´ σ1 − κσ2 5 σRt
σ2 − κσ1 5 σRt
σ2 − κσ3 5 σRt
σ3 − κσ2 5 σRt
σ3 − κσ1 5 σRt
σ1 − κσ3 5 σRt
(11.82)
z nichzˇ kazˇda´ prˇedstavuje v Haighoveˇ prostoru rovinu, ktere´ spolecˇneˇ vytva´rˇejı´ povrch sˇestiboke´ho jehlanu s osou na symetra´le prostoru σ1 = σ2 = σ3 . Podmı´nka maxima´lnı´ch hlavnı´ch napeˇtı´ pak vede ke trˇem vztahu˚m σ1 5 σR t
σ2 5 σ R t
σ3 5 σ R t
(11.83)
z nichzˇ kazˇdy´ prˇedstavuje rovnici roviny a ty spolu tvorˇ´ı trojboky´ jehlan s osou na symetra´le prostoru σ1 = σ2 = σ3. Vy´sledna´ meznı´ plocha MS krˇehke´ pevnosti MOS je potom da´na pru˚nikem meznı´ch ploch Mohrovy podmı´nky a podmı´nky maxima´lnı´ch hlavnı´ch napeˇtı´, viz obra´zek
239
Graficke´ zna´zorneˇnı´ podmı´nky MS krˇehke´ pevnosti MOS sesta´va´ z tecˇny k Mohrovy´m kruzˇnicı´m, odpovı´dajı´cı´m krˇehky´m pevnostem v tahu a tlaku, stanoveny´m tahovou resp. tlakovou zkousˇkou (Mohrova podmı´nka) a z prˇ´ımky kolme´ k ose σρ (podmı´nka maxima´lnı´ch hlavnı´ch napeˇtı´) - odvozenı´ viz skripta PPII.
240
12
´ BEZPECˇPODMI´NKY BEZPECˇNOSTI, PROSTA ˇ TI´ NOST, REDUKOVANE´ NAPE
Necht’ je napjatost v obecne´m bodeˇ A teˇlesa prˇi provoznı´m stavu P urcˇena hlavnı´mi napeˇtı´mi σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. Nasˇ´ım cı´lem je stanovit bezpecˇnost vu˚cˇi aktua´lnı´mu meznı´mu stavu (MS pruzˇnosti resp. meznı´ stav krˇehke´ pevnosti). Proble´m je mozˇne´ rˇesˇit na za´kladeˇ geometricky´ch prˇedstav v Haighoveˇ prostoru (viz obr.) a to pomocı´ vzda´lenosti prˇ´ıslusˇne´ho bodu P od meznı´ plochy. Odvozenı´ provedeme pro podmı´nku meznı´ho stavu pruzˇnosti oktaedricke´ho smykove´ho napeˇtı´ ?okt, geometricky popsanou plochou plasticity ve tvaru va´lce.
Pro exaktnı´ rˇesˇenı´ potrˇebujeme zna´t pru˚beˇhy hlavnı´ch napeˇtı´ v za´vislosti na zateˇzˇova´nı´ - σ1(Z), σ2(Z) a σ3(Z), cozˇ prˇedstavuje v Haighoveˇ prostoru tzv. zateˇzˇovacı´ dra´hu. Jejı´ pru˚secˇ´ık M1 s plochou plasticity urcˇuje hlavnı´ napeˇtı´ σ1M , σ2M a σ3M , odpovı´dajı´cı´ meznı´mu stavu pruzˇnosti. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe zateˇzˇovacı´ dra´hu nezna´me, mu˚zˇeme prˇedpokla´dat tzv. proste´ zateˇzˇova´nı´ s prˇ´ımkovou dra´hou, vedoucı´ k pru˚secˇ´ıku M2, prˇ´ıpadneˇ nejkratsˇ´ı prˇ´ımkovou prˇeteˇzˇovacı´ dra´hu kolmou k meznı´ plosˇe. Podle toho jakou zateˇzˇovacı´ dra´hu zvolı´me, dostaneme bezpecˇnost obecnou, prostou cˇi minima´lnı´.
241
Bezpecˇnost (koeficient bezpecˇnosti) v provoznı´m stavu P lze vyja´drˇit takto
_ _ _ P Mi OP + P Mi . = 1 + = kk = _ = _ OP OMi OP
OP
p (σ1M − σ1)2 + (σ2M − σ2)2 + (σ3M − σ3)2 p =1+ σ12 + σ22 + σ32
(12.84)
V beˇzˇny´ch pruzˇnostneˇ-pevnostnı´ch vy´pocˇtech urcˇujeme prostou bezpecˇnost pro prˇ´ımkovou zateˇzˇovacı´ dra´hu, kde hlavnı´ napeˇtı´ rostou proporcia´lneˇ. Pro bezpecˇnost potom platı´ kk =
σ2M σ3M σ1M = = σ1 σ2 σ3
(12.85)
Po dosazenı´ (12.2) do podmı´nky plasticity oktaedricke´ho smykove´ho napeˇtı´ τokt (11.13) obdrzˇ´ıme √
2p (σ1M − σ2M )2 + (σ2M − σ3M )2 + (σ3M − σ1M )2 = σk 2 √ 2p kk (σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2 = σk 2 σk σk = (12.86) kk = √ p 2 2 2 2 σ red (σ1 − σ2) + (σ2 − σ3) + (σ3 − σ1) 2 kde velicˇina σred je redukovane´ napeˇtı´, definovane´ na´sledovneˇ √ 2p σred = (σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2 (12.87) 2
242
V prˇ´ıpadeˇ aplikace podmı´nky plasticity maxima´lnı´ho smykove´ho napeˇtı´ τmax dosta´va´me v souladu se (4) pro redukovane´ napeˇtı´ σred na´sledujı´cı´ vztah σred = σ1 − σ3
(12.88)
Z relacı´ (12.4) a (12.5) je zrˇejme´, zˇe redukovana´ napeˇtı´ jsou da´na forma´lneˇ stejny´mi vztahy jako jsou prˇ´ıslusˇne´ podmı´nky plasticity, pouze mı´sto hlavnı´ch napeˇtı´ σ1M , σ2M a σ3M v meznı´m stavu M tu figurujı´ napeˇtı´ σ1, σ2 a σ3 ve stavu provoznı´m P. V souladu se vztahem (12.3) je mozˇne´ vyslovit na´sledujı´cı´ definici redukovane´ho napeˇtı´ σred: Redukovane´ napeˇtı´ σred je hodnota napeˇtı´ fiktivnı´ tahove´ napjatosti, prˇirˇazene´ napjatosti prostorove´ tak, zˇe prosta´ bezpecˇnost je vzhledem k mezi kluzu σk stejna´ pro prostorovou i pro fiktivnı´ tahovou napjatost. Tuto skutecˇnost je mozˇne´ graficky zna´zornit na´sledovneˇ
Pozor, tuto na´hradu je mozˇne´ uplatnit pouze pro stanovenı´ proste´ bezpecˇnosti, nikoliv pro jine´ vy´pocˇty, naprˇ. deformace teˇlesa.
243
U prutove´ napjatosti je redukovane´ napeˇtı´ dle podmı´nky plasticity τokt da´no v souladu s (11.17) na´sledovneˇ √ σred =
σ 2 + 3τ 2
(12.89)
a prˇi aplikaci podmı´nky plasticity τmax dle (11.7) platı´ √ σred =
σ 2 + 4τ 2
(12.90)
Stejny´m postupem stanovı´me redukovane´ napeˇtı´ dle podmı´nky krˇehke´ pevnosti MOS σred = max{(σ1 − κσ3); σ1}
(12.91)
a pro prostou bezpecˇnost kR vu˚cˇi MS krˇehke´ pevnosti dosta´va´me kR =
σRt σred
244
(12.92)
13 13.1
´ NAMA ´ HA ´ NI´ KOMBINOVANA Kombinovane´ nama´ha´nı´ na tah a ohyb
Vy´sledny´mi vnitrˇnı´mi silovy´mi u´cˇinky jsou norma´lova´ sı´la N a ohybovy´ moment Mo. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ se omezı´me na prosty´ za´kladnı´ ohyb kolem osy y. Vektor VVU ma´ potom na´sledujı´cı´ tvar V V U = {N, 0, My , 0}
(13.93)
Podmı´nky v prˇ´ıcˇne´m rˇezu v mı´steˇ x vypadajı´ na´sledovneˇ
Vzhledem k platnosti principu superposice v oblasti linea´rnı´ pruzˇnosti je vy´sledne´ norma´love´ napeˇtı´ σ(y, z) da´no soucˇtem napeˇtı´ od ohybu a od tahu σ(y, z) = σt(y, z) + σo(y, z) =
245
N My + z S Jy
(13.94)
Z pru˚beˇhu˚ obou napeˇtı´ po pru˚rˇezu uvedeny´ch na prˇedchozı´m obra´zku je zrˇejme´, zˇe nebezpecˇne´ mı´sto je na spodnı´m okraji pru˚rˇezu, kde jsou maxima´lnı´ ohybove´ napeˇtı´ σo a tahove´ napeˇtı´ σt se stejny´m zname´nkem σmax(x) =
N My + S Wy
(13.95)
Ve sledovane´m prˇ´ıpadeˇ jde o jednoosou napjatost a bezpecˇnost v rˇezu je da´na vztahem kk (x) =
σk σmax(x)
(13.96)
a pro bezpecˇnost cele´ho prutu platı´ kk = min{kk (x)} = kD
246
(13.97)
13.2
Kombinovane´ nama´ha´nı´ na ohyb a smyk
Vy´sledny´mi vnitrˇnı´mi silovy´mi u´cˇinky v rˇezu v mı´steˇ x jsou posouvajı´cı´ sı´la T a ohybovy´ moment Mo. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ se opeˇt omezı´me na prosty´ za´kladnı´ ohyb kolem osy y. Vektor VVU ma´ potom na´sledujı´cı´ tvar V V U = {0, T, My , 0}
(13.98)
Podmı´nky v prˇ´ıcˇne´m rˇezu v mı´steˇ x vypadajı´ na´sledovneˇ
Ohybovy´ moment My zpu˚sobı´ ohybove´ napeˇtı´ σ(z) a posouvajı´cı´ sı´la T vede ke vzniku smykovy´ch napeˇtı´ τ (z), jejichzˇ pru˚beˇhy jsou podle (7.13) a (7.35) vyja´drˇeny na´sledovneˇ My σ(z) = z Jy
T Uyψ1 (z) τ (z) = b(z)Jy
(13.7)
a jsou graficky zna´zorneˇny na obra´zku.
247
(13.8)
Ve sledovane´m prˇ´ıpadeˇ jde o prutovou rovinnou napjatost. Pokud vyjdeme z podmı´nky plasticity τmax pouzˇijeme dle (12.7) pro redukovane´ napeˇtı´ σred na´sledujı´cı´ vztah √ σred =
σ 2 + 4τ 2
(13.9)
Pru˚beˇhy slozˇek napeˇtı´ σ(z) a τ (z) navozujı´, zˇe nebezpecˇny´mi mı´sty mohou by´t bod A s maxima´lnı´m ohybovy´m napeˇtı´m, bod B s maxima´lnı´m smykovy´m napeˇtı´m nebo bod C na prˇechodu stojiny do pa´snice, kde jsou obeˇ napeˇtı´ vysoka´. V teˇchto bodech vypocˇteme velikost σred a jejich porovna´nı´m urcˇ´ıme maxima´lnı´ redukovane´ napeˇtı´ σred,max v rˇezu x. σred,A = σA σred,B = 2τB σred,C
(13.10)
q = σC2 + 4τC2
σred,max = max{σred,i}
(13.11)
Prosta´ bezpecˇnost v rˇezu x vu˚cˇi mezi kluzu je potom rovna kk (x) =
σk σred,max
(13.12)
A pro bezpecˇnost cele´ho prutu dosta´va´me kk = min{kk (x)} = kD
248
(13.13)
13.3
Kombinovane´ nama´ha´nı´ na ohyb a krut
Vy´sledny´mi vnitrˇnı´mi silovy´mi u´cˇinky v rˇezu v mı´steˇ x jsou ohybovy´ moment Mo a kroutı´cı´ moment Mk . Vektor VVU ma´ potom na´sledujı´cı´ tvar V V U = {0, 0, Mo, Mk }
(13.14)
Podmı´nky v prˇ´ıcˇne´m rˇezu v mı´steˇ x u prutu kruhove´ho pru˚rˇezu vypadajı´ na´sledovneˇ
Ohybovy´ moment Mo zpu˚sobı´ ohybove´ napeˇtı´ σ(z) a kroutı´cı´ moment Mk vede ke vzniku smykovy´ch napeˇtı´ τ (r), jejichzˇ pru˚beˇhy jsou podle (7.13) a (8.8) σ(z) =
Mo z Jo
τ (r) =
(13.15)
Mk r Jp
(13.16)
Nebezpecˇny´mi mı´sty pru˚rˇezu jsou bodu A resp. B na obrysu pru˚rˇezu, kde jsou hodnoty obou napeˇtı´ maxima´lnı´, viz obra´zek. Jejich hodnoty jsou na´sledujı´cı´ σ(A) = σ(z = R) =
249
Mo(x) Wo
(13.17)
τ (A) = τ (r = R) =
Mk (x) Wk
(13.18)
V dane´m prˇ´ıpadeˇ jde o prutovou rovinnou napjatost. Pokud vyjdeme z podmı´nky plasticity τmax pouzˇijeme dle (12.7) pro redukovane´ napeˇtı´ σred na´sledujı´cı´ vztah
σred(x) =
q
s σA2
+
4τA2
=
Mk2(x) Mred(x) Mo2(x) +4· = (13.19) Wo2 Wk2 Wo
Prˇi forma´lnı´ u´praveˇ prˇedchozı´ho vztahu byla pouzˇita relace mezi moduly kruhove´ho pru˚rˇezu, dle ktere´ platı´ Wk = 2Wo. Prˇedchozı´ rovnicı´ byl zaveden tzv. redukovany´ moment Mred, jehozˇ hodnota je prˇi pouzˇitı´ podmı´nky plasticity τmax q (13.20) Mred = Mo2 + Mk2 a prˇi aplikaci podmı´nky plasticity τokt dosta´va´me q Mred = Mo2 + 0, 75Mk2
(13.21)
Prosta´ bezpecˇnost vu˚cˇi mezi kluzu v rˇezu x je rovna kk (x) =
σk σred(x)
(13.22)
A bezpecˇnost cele´ho prutu potom vypada´ na´sledovneˇ kk = min{kk (x)} = kD
250
(13.23)
U prizmaticky´ch prutu˚ mu˚zˇeme postupovat efektivneˇji. Nebezpecˇny´m rˇezem je tu mı´sto maxima´lnı´ho redukovane´ho momentu Mred,max, ktery´ vede k maxima´lnı´mu redukovane´mu napeˇtı´ σred,max σred,max =
Mred,max Wo
(13.24)
= kD
(13.25)
Bezpecˇnost prutu je potom rovna kk =
σk σred,max
251
Demonstracˇnı´ prˇ´ıklad: Navrhneˇte pru˚meˇr prutu zatı´zˇene´ho a ulozˇene´ho dle obra´zku
F = 103 N, a = 1 m, E = 2, 1 · 105 MPa, µ = 0, 3, σk = 400 MPa, bezpecˇnost kk = 2, d = ? Staticky´ rozbor pro u´plneˇ uvolneˇne´ teˇleso: µ=7
ν=6
s=µ−ν =7−6=1
´ loha je jedenkra´t staticky neurcˇita´. U Podmı´nky staticke´ rovnova´hy pro u´plneˇ uvolneˇny´ prut X
Fx : FAx = 0
X
Fy : FAy = 0
X
Fz : FAz + FB − F = 0 252
X
Mx : MAx + FB a = 0
X
My : MAy + FB 2a − F 2a = 0
X
Mz : MAz = 0
Cˇa´stecˇneˇ uvolneˇny´ prut
Deformacˇnı´ podmı´nka pro uvolneˇnou vazbu Z Z ∂ Mo2(s)ds Mk2(s)ds ∂W = + wB = = ∂FB ∂FB 2EJo 2GJo γ
Z γ
Mo(s) ∂Mo ds + EJo ∂FB
γ
Z γ
253
Mk (s) ∂Mk ds = 0 GJp ∂FB
Pru˚beˇh ohybovy´ch momentu˚ Mo(s) a kroutı´cı´ch momentu˚ Mk (s) pode´l strˇednice prutu X
Mx : FB y − Mo(y) = 0 Mo(y) = FB y
X
My : Mk (y) = 0
X
Mx : Mk (x) + FB a = 0 Mk (x) = −FB a
X
My : Mo(x) − FB x + F x = 0 Mo(x) = FB x − F x
Rˇesˇenı´ deformacˇnı´ podmı´nky pomocı´ Castiglianovy veˇty a Z Z2a 1 FB y y dy + (FB x − F x) x dx + EJo 0
0
Z2a 2(1 + µ) (−FB a)(−a) dx = 0 E 2Jo 0
254
EJo
FB a3 8FB a3 8F a3 + − + (1 + µ)2FB a3 = 0 3 3 3
FB =
1 a3
8F 8F = = 0, 476 F = 476 N 3(5 + 2µ) 3(5 + 2 · 0, 3)
Pozn. Prˇi rˇesˇenı´ bylo pouzˇito zna´me´ho vztahu pro modul pruzˇnosti ve E a vazby mezi pola´rnı´m a osovy´m kvadraticky´m smyku G = 2(1+µ) momentem u kruhove´ho pru˚rˇezu Jp = 2Jo. Pru˚beˇhy ohybovy´ch momentu˚ Mo(s) a kroutı´cı´ch momentu˚ Mk (s) pode´l strˇednice prutu vyply´vajı´ z drˇ´ıve uvedeny´ch vztahu˚, do ktery´ch dosadı´me vypocˇtene´ FB
255
Pevnostnı´ na´vrh: Z pru˚beˇhu˚ Mo(s) a Mk (s) je zrˇejme´, zˇe nebezpecˇny´m mı´stem je bod A ve vetknutı´. Maxima´lnı´ redukovany´ moment Mmax,red dle podmı´nky plasticity τmax je roven q √ 2 2 Mmax,red = MoA + MkA = 10482 + 4762 = 1151 Nm
Nezna´my´ pru˚meˇr d se potom stanovı´ pomocı´ podmı´nky bezpecˇnosti a vztahu (19) pro redukovane´ napeˇtı´ σred,max =
r d=
3
σk Mred,max 16Mred,max ⇒ = = kk Wo πd3
16Mred,maxkk = πσk
r 3
16 · 1151 · 103 · 2 = π · 400
. . = 30, 8 mm = 31 mm
256
ˇ EZOVE´ CHARAKTERISTIKY Prˇ´ıloha A: PRU˚R Ve vztazı´ch pro vy´pocˇet napeˇtı´ a prˇetvorˇenı´ u prutu˚ dle teoriı´ proste´ pruzˇnosti vystupujı´ velicˇiny, ktere´ pru˚rˇez prˇi dane´m zpu˚sobu nama´ha´nı´ charakterizujı´. Nazy´vajı´ se pru˚rˇezove´ charakteristiky a budeme se jimi nynı´ zaby´vat souhrnneˇ. Prˇ´ıcˇny´ pru˚rˇez je urcˇen rovnicı´ obrysove´ krˇivky u jednona´sobneˇ souvisle´ oblasti (viz prˇ´ıpady a) a b)) resp. rovnicemi obrysovy´ch krˇivek u prˇ´ıpadu vı´cena´sobneˇ souvisle´ oblasti v loka´lnı´m sourˇadne´m syste´mu, prˇ´ıpad c).
Potrˇebne´ vztahy odvodı´me pro prˇ´ıcˇny´ pru˚rˇez prˇedstavujı´cı´ jednona´sobneˇ souvislou oblast, viz obra´zek
257
1
ˇ EZOVY´CH DEFINICE PRU˚R CHARAKTERISTIK
Plocha prˇ´ıcˇne´ho pru˚rˇezu S je urcˇena vztahem Z Z S = dS = dy dx [mm2] ψ
(1)
ψ
Plocha S je velicˇinou s kladnou cˇ´ıselnou hodnotou, ktera´ neza´visı´ na zvolene´m sourˇadnicove´m syste´mu. Linea´rnı´ momenty pru˚rˇezu Uy a Uz k osa´m y a z jsou definova´ny na´sledovneˇ Z Z Uy = z dS Uz = y dS [m3] (2) ψ
ψ
Linea´rnı´ momenty pru˚rˇezu Uy a Uz jsou velicˇinami s kladnou nebo za´pornou cˇ´ıselnou hodnotou, ktera´ za´visı´ na poloze sourˇadnicove´ho syste´mu. Pomocı´ linea´rnı´ch momentu˚ se urcˇujı´ sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ pru˚rˇezu R R y dS z dS Uy ψ Uz ψ = zT = = yT = S S S S
258
(3)
Kvadraticke´ momenty pru˚rˇezu a) Osove´ kvadraticke´ momenty Jy a Jz k osa´m y a z Z Z Jy = z 2 dS Jz = y 2 dS [m4] ψ
(4)
ψ
Jde o velicˇiny s kladnou cˇ´ıselnou hodnotou. b) Deviacˇnı´ kvadraticky´ moment Jyz k osa´m y a z Z Jyz = yz dS [m4]
(5)
ψ
Jeho hodnota mu˚zˇe by´t kladna´, za´porna´ nebo nulova´, tedy jake´koliv rea´lne´ cˇ´ıslo. c) Pola´rnı´ kvadraticky´ moment Jp k po´lu P Z Jp = r2 dS [m4]
(6)
ψ
K osovy´m kvadraticky´m momentu˚m se va´zˇ´ı tzv. polomeˇry osovy´ch kvadraticky´ch momentu˚ iy a iz , definovane´ na´sledovneˇ r r Jy Jz iy = iz = [m] (7) S S
259
2
´ KLADNI´ VLASTNOSTI KVADRATICKY´CH ZA MOMENTU˚
Prˇi jejich odvozenı´ se vycha´zı´ z vlastnostı´ dvojny´ch integra´lu˚ v definicˇnı´ch vztazı´ch Kvadraticke´ momenty cele´ho pru˚rˇezu ψ k dany´m osa´m (po´lu) jsou rovny soucˇtu kvadraticky´ch momentu˚ cˇa´stı´ pru˚rˇezu (podpru˚rˇezu˚) ψ1 ke stejny´m osa´m (po´lu) - viz definicˇnı´ obra´zek. ψ = ψ1 ∪ ψ2 ∪ . . . ∪ ψi ∪ . . . ∪ ψn =
S
ψi
S=
i
Z Jy =
Z
z 2 dS =
ψ
S i
z 2 dS =
XR
Si
i
z 2 dS =
n X
i ψi
ψi
X
Jyi
(8)
1
Osove´ kvadraticke´ momenty dvou symetricky´ch pru˚rˇezu˚ k ose symetrie i k ose k nı´ kolme´ jsou stejne´. Deviacˇnı´ momenty k teˇmto osa´m jsou rovneˇzˇ stejne´, ale majı´ opacˇna´ zname´nka.
Ke kazˇde´mu elementu dψ1 lze prˇirˇadit symetricky´ element dψ2 tak, zˇe platı´: z1 = z2 y1 = −y2 ⇒ z12 = z22 , y12 = y22 ; y1z1 = −y2z2 Z Z Z Z 1 2 1 2 Jz = y12 dS = y22 dS = Jz Jy = z12 dS = z22 dS = Jy ψ1
ψ2
ψ1 260
ψ2
Z
1
Z y1z1 dS = −
Jyz = ψ1
2 y2z2 dS = −J yz
ψ2
Sesta´va´-li pru˚rˇez ψ ze dvou symetricky´ch cˇa´stı´ ψ1 a ψ2 (ψ = ψ1 ∪ ψ2), potom dle prˇedchozı´ch relacı´ platı´ Jz = 1Jz + 2Jz = 2 · 1Jz = 2 · 2Jz Jy = 1Jy + 2Jy = 2 · 1Jy = 2 ·2Jy Jyz = 1Jyz + 2Jyz = 0 Prˇedchozı´ vztahy je mozˇne´ vyja´drˇit formou na´sledujı´cı´ch dvou veˇt Osove´ kvadraticke´ momenty symetricke´ho pru˚rˇezu k ose symetrie a k ose k nı´ kolme´ jsou rovny dvojna´sobku hodnot symetricky´ch cˇa´stı´ ke stejny´m osa´m. Deviacˇnı´ moment symetricke´ho pru˚rˇezu k sourˇadnicovy´m osa´m, z nichzˇ alesponˇ jedna je osou symetrie, je nulovy´. Pola´rnı´ kvadraticky´ moment k pocˇa´tku pravou´hle´ho sourˇadnicove´ho syste´mu je roven soucˇtu osovy´ch momentu˚ k osa´m, ktere´ pocˇa´tkem procha´zejı´. Du˚kaz te´to poslednı´ veˇty vyply´va´ z u´vodnı´ho definicˇnı´ho obra´zku Z Z Jp = r2 dS = (y 2 + z 2) dS = Jz + Jy (9) ψ
ψ
261
3
ˇ EZU KVADRATICKE´ MOMENTY PRU˚R ´M K POSUNUTY´M OSA
Prˇedpokla´da´me, zˇe zna´me kvadraticke´ momenty k osa´m y a z a chceme stanovit kvadraticke´ momenty tohoto pru˚rˇezu k posunuty´m osa´m y 0 a z 0, viz obra´zek.
Transformace sourˇadnic vypada´ na´sledovneˇ y0 = y − a
z0 = z − b
Prˇi stanovenı´ kvadraticky´ch momentu˚ Jy0 a Jz 0 vycha´zı´me z definic Z Jy 0 =
z 02 dS =
ψ
Z
(z − b)2 dS =
ψ
Z
z 2 dS − 2b
ψ
Z
z dS − b2
ψ
Z dS ψ
Jy0 = Jy − 2bUy + b2S Z Jz 0 = ψ
y 02 dS =
Z ψ
(y − a)2 dS =
Z
y 2 dS − 2a
ψ
Jz 0 = Jz − 2aUz + a2S 262
(10) Z ψ
y dS − a2
Z dS ψ
(11)
Pro pola´rnı´ kvadraticky´ moment Jp0 platı´ Jp0 = Jy0 + Jz 0 = Jy + Jz − 2bUy − 2aUz + (a2 + b2)S
(12)
Deviacˇnı´ moment Jy0z 0 je dle definice roven Z Z Jy0z 0 = y 0z 0 dS = (y − a)(z − b) dS = ψ
Z
ψ
Z yz dS − a
= ψ
Z z dS − b
ψ
Z y dS + ab
ψ
dS ψ
Jy0z 0 = Jyz − aUy − bUz + abS
(13)
Jsou-li osy y a z centra´lnı´mi osami, tedy procha´zejı´-li teˇzˇisˇteˇm pru˚rˇezu, potom platı´ Uy = Uz = 0. Prˇedchozı´ vztahy se potom zjednodusˇ´ı a obdrzˇ´ıme relace v literaturˇe oznacˇovane´ jako Steinerovy veˇty Jy 0 = Jy + b 2 S
J z 0 = Jz + a 2 S
Jp0 = Jp + (a2 + b2)S
Jy0z 0 = Jyz + abS
(15)
Na za´kladeˇ analy´zy prˇedchozı´ch vztahu˚ je mozˇne´ vyslovit na´sledujı´cı´ veˇtu: Osovy´ kvadraticky´ moment je nejmensˇ´ı k te´ z rovnobeˇzˇny´ch os, ktera´ procha´zı´ teˇzˇisˇteˇm.
263
Pro linea´rnı´ kvadraticke´ momenty pru˚rˇezu dosta´va´me v posunute´m sourˇadnicove´m syste´mu v souladu s definicemi na´sledujı´cı´ relace Z Z Z Z Uy0 = z 0 dS = (z − b) dS = z dS − b dS ψ
ψ
ψ
ψ
Uy0 = Uy − bS
Z Uz 0 = ψ
y 0 dS =
Z
(14)
Z (y − a) dS =
ψ
Z y dS − a
ψ
dS ψ
Uz 0 = Uz − aS
(15)
Jsou-li osy y 0 a z 0 centra´lnı´mi osami (Uy = Uz = 0), potom platı´ Uy0 = −bS
Uz 0 = −aS
264
(16)
4
ˇ EZU KVADRATICKE´ MOMENTY PRU˚R ´M K NATOCˇENY´M OSA
Prˇedpokla´da´me, zˇe zna´me kvadraticke´ momenty k sourˇadnicovy´m osa´m y a z. Nasˇ´ım cı´lem je stanovit kvadraticke´ momenty pru˚rˇezu k osa´m y 0 a z 0, natocˇeny´m v kladne´m smyslu o u´hel ϕ, viz obra´zek
Transformace sourˇadnic y 0 = y cos ϕ + z sin ϕ z 0 = z cos ϕ − y sin ϕ
Pro osove´ kvadraticke´ momenty a deviacˇnı´ moment k natocˇeny´m osa´m y 0 a z 0 dosta´va´me v souladu s prˇ´ıslusˇny´mi definicemi po matematicke´ u´praveˇ na´sledujı´cı´ relace
265
Z Jy 0 = ψ
z 02 dS =
Z
(z cos ϕ − y sin ϕ)2 dS =
ψ
266
= cos2 ϕ
Z
z 2 dS − 2 sin ϕ cos ϕ
ψ
Z
zy dS + sin2 ϕ
ψ
Z
y 2 dS
ψ
Jy0 = Jy cos2 ϕ − Jyz sin 2ϕ + Jz sin2 ϕ
Z Jz 0 =
y 02 dS =
ψ
= cos2 ϕ
Z
Z
(17)
(y cos ϕ + z sin ϕ)2 dS =
ψ
y 2 dS − 2 sin ϕ cos ϕ
ψ
Z
yz dS + sin2 ϕ
Z
ψ
z 2 dS
ψ
Jz 0 = Jy sin2 ϕ − Jyz sin 2ϕ + Jz cos2 ϕ
Z Jy 0 z 0 =
y 0z 0 dS =
ψ
(18)
Z (y cos ϕ + z sin ϕ)(z cos ϕ − y sin ϕ) dS = ψ
= cos2 ϕ
Z
Z yz dS + sin ϕ cos ϕ
ψ
z 02 dS−
ψ
Z − sin ϕ cos ϕ
y 02 dS − cos2 ϕ
ψ
Z yz dS = ψ
= Jyz cos2 ϕ + Jy sin ϕ cos ϕ − Jz cos ϕ sin ϕ − Jyz sin2 ϕ Jy 0 z 0 =
Jy − Jz sin 2ϕ + Jyz cos 2ϕ 2 267
(19)
Kvadraticke´ momenty Jy , Jz a Jyz majı´ vsˇechny atributy sourˇadnic tenzoru TJ Jy Jyz TJ = (20) Jzy Jz jehozˇ slozˇky v nove´m, natocˇene´m sourˇadnicove´m syste´mu jsou linea´rnı´mi kombinacemi sourˇadnic v pu˚vodnı´m sourˇadnicove´m syste´mu, viz vztahy (19) - (21). Mezi tyto atributy patrˇ´ı existence hlavnı´ho sourˇadnicove´ho syste´mu I, II, ke ktere´mu je deviacˇnı´ moment JI II roven nule. Prˇ´ıslusˇne´ sourˇadnicove´ osy I a II se nazy´vajı´ hlavnı´mi osami KM a prˇ´ıslusˇne´ osove´ momenty JI a JII pak hlavnı´mi kvadraticky´mi ´ hel ϕI , urcˇujı´cı´ polohu hlavnı´ho sourˇadnicove´ho syste´mu momenty. U I, II se stanovı´ z definice JI,II = 0 = tan 2ϕI =
−2Jyz Jy − Jz
Jy − Jz sin 2ϕI + Jyz cos 2ϕI 2 1 −2Jyz ϕI = arctan 2 Jy − Jz
(21)
Dosazenı´m u´hlu ϕI do vztahu˚ (19) a (20) dosta´va´me prˇ´ıslusˇne´ hlavnı´ kvadraticke´ momenty JI a JII , ktere´ jsou extre´mnı´mi hodnotami mozˇny´ch osovy´ch KM Jy0 /1/. Da´le zavedeme nove´ oznacˇenı´. Veˇtsˇ´ı z obou momentu˚ JI a JII se nazy´va´ maxima´lnı´ hlavnı´ osovy´ KM pru˚rˇezu a oznacˇuje se J1 a mensˇ´ı se nazy´va´ minima´lnı´ hlavnı´ osovy´ KM s oznacˇenı´m J2. Prˇ´ıslusˇne´ hlavnı´ osy KM jsou 1 a 2. Pokud hlavnı´ sourˇadnicovy´ syste´m 1, 2 procha´zı´ navı´c teˇzˇisˇteˇm pru˚rˇezu, nazy´va´ se hlavnı´m centra´lnı´m sourˇadnicovy´m syste´mem KM. Sourˇadnicove´ osy 1 a 2 jsou hlavnı´mi centra´lnı´mi sourˇadnicovy´mi osami a odpovı´dajı´cı´ KM se nazy´vajı´ hlavnı´mi centra´lnı´mi KM.
268
Poloha hlavnı´ch centra´lnı´ch os 1 a 2, popsana´ u´hlem ϕI a velikosti hlavnı´ch centra´lnı´ch KM pru˚rˇezu se urcˇ´ı pomocı´ vztahu˚ (23), resp. (19) a (20), kde Jy , Jz a Jyz jsou kvadraticke´ momenty pru˚rˇezu k libovolny´m osa´m y, z, procha´zejı´cı´m teˇzˇisˇteˇm pru˚rˇezu. Dalsˇ´ım vy´znamny´m atributem kvadraticky´ch momentu˚ k natocˇeny´m osa´m je mozˇnost jejich graficke´ho zna´zorneˇnı´ v Mohroveˇ rovineˇ, tvorˇene´ vodorovnou osou osovy´ch KM a svislou osou deviacˇnı´ch KM. Za u´cˇelem prˇ´ıslusˇne´ho odvozenı´ nejprve forma´lneˇ upravı´me transformacˇnı´ vztahy (19) a (20) vyuzˇitı´m zna´my´ch goniometricky´ch vztahu˚ 2α 2α , cos2 α = 1+cos . Po u´praveˇ dosta´va´me sin2 α = 1−cos 2 2
Jy 0 =
Jy + Jz Jy − Jz + cos 2ϕ − Jyz sin 2ϕ 2 2
(22)
Jz 0 =
Jy + Jz Jy − Jz + cos 2ϕ + Jyz sin 2ϕ 2 2
(23)
V rovnici (24) prˇevedeme prvnı´ pravy´ cˇlen na levou stranu, vznikly´ vy´raz umocnı´me a secˇteme ho s umocneˇny´m vztahem (21) pro deviacˇnı´ KM Jy 0 − =
Jy + Jz 2
Jy − Jz cos 2ϕ − Jyz sin 2ϕ 2
2
2 + Jyz =
2 2 Jy − Jz + sin 2ϕ + Jyz cos 2ϕ 2
269
Po u´praveˇ prave´ strany dosta´va´me fina´lnı´ relaci (26)
Jy + Jz Jy 0 − 2
2
2 + Jyz =
Jy − Jz 2
2
2 + Jyz
(24)
ktera´ v Mohroveˇ rovineˇ prˇedstavuje rovnici kruzˇnici kruzˇnice se strˇeJ −J dem v mı´steˇ y 2 z a s polomeˇrem r s 2 Jy − Jz 2 r= + Jyz (25) 2
Graficke´ zna´zorneˇnı´ odpovı´da´ pomeˇru˚m na prˇedchozı´m obra´zku
Z analy´zy transformacˇnı´ch vztahu˚ (21), (24) a (25) vyply´va´, zˇe u´hlu natocˇenı´ ϕ mezi dveˇma sourˇadnicovy´mi syste´my odpovı´da´ dvojna´sobny´ u´hel 2ϕ mezi odpovı´dajı´cı´mi body na Mohroveˇ kruzˇnici ve stejne´m smyslu.
270
Pomocı´ Mohrovy kruzˇnice je mozˇne´ snadno vypocˇ´ıtat velikost maxima´lnı´ho a minima´lnı´ho KM pru˚rˇezu J1 a J2 s 2 Jy − Jz Jy + Jz 2 J1,2 = ± + Jyz (26) 2 2
a stanovit prˇ´ıslusˇne´ hlavnı´ smeˇry ϕ1 a ϕ2.
271
´ KLADY METODY KONECˇNY´CH PRVKU˚ Prˇ´ıloha B: ZA 1
´ VOD U
Metoda konecˇny´ch prvku˚ (MKP) je v soucˇasne´ dobeˇ povazˇova´na za nejuniversa´lneˇjsˇ´ı metodu pro rˇesˇenı´ variacˇneˇ formulovany´ch proble´mu˚ fyziky, souvisejı´cı´ch s problematikou teorie polı´. Za´kladnı´m prˇedpokladem rˇesˇenı´ je znalost funkciona´lu π, definovane´ho na mnozˇineˇ funkcı´. MKP je dobrˇe pouzˇitelna´ v cele´ rˇadeˇ oblastı´ fyziky, naprˇ. v − mechanice kontinua (teorie pruzˇnosti, plasticity, viskoelasticity, viskoplasticity, atd.) − vedenı´ tepla − difuze, prosakova´nı´ − elektrˇineˇ a magnetismu (teorie elektricke´ho a magneticke´ho pole) − ve smı´sˇeny´ch proble´mech (mechanicko-termomechanicka´ u´loha) K veliky´m prˇednostem MKP v oblasti mechaniky kontinua patrˇ´ı zejme´na: − mozˇnost rˇesˇenı´ u´lohy pro obecny´ geometricky´ tvar teˇlesa, obecne´ zatı´zˇenı´ a ulozˇenı´ i pro komplikovane´ konstitutivnı´ vztahy materia´lu − snadne´ rˇesˇenı´ materia´loveˇ nehomogennı´ch proble´mu˚ (naprˇ. ve srovna´nı´ s metodou hranicˇnı´ch prvku˚ (MHP)) − dobre´ matematicke´ vlastnosti (numericka´ stabilita u staticky´ch a kvasistaticky´ch proble´mu˚ s maly´mi setrvacˇny´mi silami, staciona´rnı´ch dynamicky´ch u´loh v oblasti kmita´nı´ a resonance (problematika vlastnı´ch cˇ´ısel), nestaciona´rnı´ch dynamicky´ch ra´zovy´ch proble´mu˚ (zde vytva´rˇenı´ konecˇne´ prvky frekvencˇnı´ filtr vedoucı´ k distorzi pulzu) 1
2
´ MKY HISTORICKE´ POZNA
Vy´voj metody konecˇny´ch prvku˚ je teˇsneˇ spjat s rozvojem a vyuzˇ´ıva´nı´m pocˇ´ıtacˇu˚. Zacˇali ji pouzˇ´ıvat kolem roku 1940 v USA inzˇeny´rˇi, pu˚sobı´cı´ ve zbrojnı´m pru˚myslu a to na za´kladeˇ cˇisteˇ intuitivnı´ho prˇ´ıstupu. Prvnı´ matematicka´ formulace, zava´deˇjı´cı´ teorii „po cˇa´stech spojity´ch polı´“, pocha´zı´ od R. Couranta (1943). V 50-ty´ch le´tech docha´zı´ k bourˇlive´mu rozvoji MKP a jejı´m aplikacı´m prˇi rˇesˇenı´ staticky´ch a dynamicky´ch u´loh mechaniky teˇles. Ve sveˇteˇ vznika´ neˇkolik du˚lezˇity´ch sˇkol MKP, soustrˇedeˇny´ch kolem vy´znamny´ch pru˚kopnı´ku˚ MKP, naprˇ. − Prof. O. C. Zienkiewicze na University of Swansea (VB) − Prof. J. H. Argyrise na University of Stuttgart (Neˇmecko), vy´voj syste´mu MKP ABAQUS − Prof. Gallaghere, Prof. J. T. Odena na Massachussets Institute of Technology (USA), vy´voj syste´mu MKP ADINA. V Cˇeskoslovensku se MKP u´speˇsˇneˇ rozvı´jela od 60-ty´ch let prˇedevsˇ´ım pu˚sobenı´m mezina´rodneˇ uzna´vane´ „brneˇnske´ sˇkoly MKP“,vedene´ matematiky Prof. M. Zla´malem, Prof. A. Zˇenı´sˇkem a stavebnı´m inzˇeny´rem Prof. J. Kratochvı´lem, ktery´ dal podneˇt k te´to aktiviteˇ. Z rozsa´hle´ literatury o MKP je mozˇne´ vybrat: /1/ Zienkiewicz, O. C.: Finite Element Method in Engineering Science. McGraw-Hill, London, 1971 /2/ Desai, Ch. S, Abel, J.: Introduction to the Finite Element Method. Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1972 /3/ Bathe, K., J.: Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice Hall, Englewood Clifts, New Yersey, 1979
2
/4/ Kola´rˇ, V., Kratochvı´l, J., Leitner, F., Zˇenı´sˇek, A.: Vy´pocˇet plosˇny´ch a prostorovy´ch konstrukcı´ metodou konecˇny´ch prvku˚. SNTL Praha, 1979 ˇ erˇicha, P.: Metoda konecˇny´ch prvku˚ v dynamice kon/5/ Bittnar, Z., R strukcı´, SNTL Praha, 1981
3
3
´ KLADNI´ KROKY MKP ZA
3.1 Diskretizace (triangulace) teˇlesa pomocı´ konecˇny´ch prvku˚ Diskretizace oblasti musı´ by´t provedena tak, aby nikde nevznikly mezery nebo prˇesahy, cozˇ omezuje vy´beˇr prvku˚. K typicky´m prvku˚m patrˇ´ı: U 1-D teˇles (pruty, ra´move´ konstrukce) − prˇ´ımkovy´ prvek
U 2-D teˇles (steˇny, desky, skorˇepiny) − troju´helnı´kovy´ prvek
4
− cˇtyrˇu´helnı´kovy´ prvek
− isoparametricky´ prvek (rovnice hranicˇnı´ krˇivky i aproximacˇnı´ funkce pro posuvy jsou stejne´ho charakteru - naprˇ. kvadraticka´ parabola)
U osoveˇ symetricky´ch teˇles (3-D) − osoveˇ symetricke´ prvky ve tvaru krouzˇku˚ troju´helnı´kove´ho, cˇtyrˇu´helnı´kove´ho resp. isoparametricke´ho pru˚rˇezu (viz teˇleso 2-D) U teˇles 3-D − cˇtyrˇsteˇn, peˇtisteˇn, sˇestisteˇn
5
− isoparametricky´ cˇtyrˇsteˇn, peˇtisteˇn, sˇestisteˇn
6
3.2 Matematicky´ popis topologie prvku˚ (diskretizace) Topologii soustavy konecˇny´ch prvku˚ je mozˇne´ vyja´drˇit „rucˇneˇ“ pomocı´ tzv. prvkovy´ch cˇ´ısel, obsahujı´cı´ch cˇ´ısla prvku˚ (CP ) a cˇ´ısla uzlu˚ (CU ), ktere´ dane´mu prvku prˇ´ıslusˇ´ı. Postup si uka´zˇeme na jednoduche´ rovinne´ u´loze, viz obra´zek.
Prvkova´ cˇ´ısla: 1 1|{z} 6 5 / 2 1 2 6/ 3 2 7 6/ 4 2 3 7/ 5 3 8 7/ 6 3 4 8/ atd. |{z} CU
CP
Poloha kazˇde´ho uzlu je vyja´drˇena prˇ´ıslusˇny´mi sourˇadnicemi: CU x(mm) y(mm) 1 2
5, 0 10, 5
2, 3 0, 4
Pro kazˇdy´ prvek je da´le zapotrˇebı´ zadat jeho tlousˇt’ku. U modernı´ch programu˚ MKP se diskretizace u´lohy prova´dı´ automaticky na za´kladeˇ definovany´ch uzlu˚ na povrchu teˇlesa cˇi transposice za´kladnı´ch prvku˚ (posunutı´, rotace, kombinace). 7
3.3
Matematicky´ popis ulozˇenı´ a zatı´zˇenı´
Ulozˇenı´ je mozˇne´ vyja´drˇit seznamem uzlu˚, ve ktere´m jsou posuvy u a v nulove´ Seznam uzlu˚ s u = 0
(−1) 1 2 3 4/
Seznam uzlu˚ s v = 0
(−2) 1 2 3 4/
Pu˚sobenı´ osameˇly´ch sil F je mozˇne´ popsat slozˇkami sil (Fx, Fy ), ktere´ pu˚sobı´ v definovany´ch uzlech CU . V nasˇem prˇ´ıpadeˇ tedy CU Fx(N) Fy (N) 9
150
150
Pu˚sobenı´ plosˇny´ch sil p lze vyja´drˇit pomocı´ jejich slozˇek (px, py ) v sousednı´ch uzlech CU1 a CU2 na povrchu teˇlesa. Mezi teˇmito uzly se cˇasto prˇedpokla´da´ linea´rnı´ pru˚beˇh zatı´zˇenı´ p. CU1
CU2
10 12
11 13
px,1(MPa) py,1(MPa) px,2(MPa) py,2(MPa) −50 −80
30 0
8
60 0
−100 −40
3.4
Popis materia´lu teˇlesa
Materia´love´ charakteristiky se zada´vajı´ po prvcı´ch. V prˇ´ıpadeˇ isotropicke´ho linea´rneˇ pruzˇne´ho materia´lu (ocel) jde naprˇ. o na´sledujı´cı´ charakteristiky σk (MPa) σP t(MPa)
CU
E(MPa)
µ
1 2 atd.
2, 1 · 105 2, 1 · 105
0, 3 0, 3
350 350
550 550
Velikou vy´hodou MKP je mozˇnost vy´pocˇtove´ho modelova´nı´ chova´nı´ heterogennı´ho materia´lu. V ra´mci kazˇde´ho elementu se veˇtsˇinou prˇedpokla´da´ materia´lova´ homogenita.
9
3.2
Aproximace rˇesˇenı´ v ra´mci prvku
V dalsˇ´ım se omezı´me na deformacˇnı´ variantu MKP, kde nezna´my´mi hledany´mi velicˇinami jsou posuvy u (u, v, w) ve vsˇech bodech A(x, y, z) teˇlesa Ω. V ra´mci kazˇde´ho elementu teˇlesa se aproximuje rˇesˇenı´ u´lohy vhodnou aproximacˇnı´ funkcı´, veˇtsˇinou pomocı´ polynomu˚. Potrˇebne´ vztahy si pro jednoduchost odvodı´me pro rovinnou u´lohu 2-D s troju´helnı´kovy´mi prvky a pro linea´rnı´ aproximacˇnı´ funkci. Pro slozˇky posuvu˚ v ra´mci jednoho prvku k (viz obr.) je mozˇno psa´t
u(xy ) = a1 + a2x + a3y v(xy ) = a4 + a5x + a6y
(1)
Prˇedchozı´ vztahy je mozˇne´ zapsat maticoveˇ a1 u 1 x y 0 0 0 a2 = · . .. v 0 0 0 1 x y a6
10
(2)
a v symbolicke´ podobeˇ {u} = [N (x, y)] · {a}
(3)
kde [N (x, y)] je matice tvarovy´ch funkcı´ pro posuvy a {a} je vektor koeficientu˚ polynomu˚. Tyto velicˇiny jsou definova´ny v souladu s (2) na´sledovneˇ [N (x, y)] =
1 x y 0 0 0 0 0 0 1 x y
{a} = a1 a2 a3 a4 a5 a6
(4)
T
(5)
V dalsˇ´ım kroku vyja´drˇ´ıme vektor koeficientu˚ {a} pomocı´ vektoru posuvu˚ {∆k }, ktery´ obsahuje slozˇky posuvu˚ v uzlovy´ch bodech elementu k a ktery´ je definova´n na´sledovneˇ ∆k = u1 u2 u3 v1 v2 v3
T
(6)
Za tı´mto u´cˇelem nejprve stanovı´me posuvy v uzlovy´ch bodech pomocı´ aproximacˇnı´ch vztahu˚ (1), ktere´ platı´ pro body uvnitrˇ i na povrchu prvku k u1 = a1 + a2x1 + a3y1
v1 = a4 + a5x1 + a6y1
u2 = a1 + a2x2 + a3y2
v2 = a4 + a5x2 + a6y2
u3 = a1 + a2x3 + a3y3
v3 = a4 + a5x3 + a6y3
11
(7)
cozˇ zapı´sˇeme maticoveˇ
u1 1 x1 u2 1 x3 u3 1 x2 = v1 0 0 v2 0 0 v3 0 0
0 0 0 a1 0 0 0 a2 0 0 0 a3 · 1 x1 y1 a4 1 x2 y2 a5 1 x3 y3 a6
y1 y2 y3 0 0 0
(8)
a na´sledneˇ v symbolicke´m tvaru
{∆k } = [S] · {a}
(9)
kde [S] je transformacˇnı´ matice majı´cı´ dle (8) na´sledujı´cı´ tvar
1 1 1 [S] = 0 0 0
x1 x3 x2 0 0 0
y1 y2 y3 0 0 0
12
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3
(10)
Z rovnice (9) je potom mozˇne´ snadno vyja´drˇit vektor koeficientu˚ polynomu˚ {a} pomocı´ vektoru posuvu˚ uzlovy´ch bodu˚ {∆k }, ktery´ ma´ jasny´ fyzika´lnı´ vy´znam {a} = [Sk ]−1 · {∆k }
(11)
Zpeˇtny´m dosazenı´m (11) do vztahu (3) potom obdrzˇ´ıme konecˇny´ vy´raz pro stanovenı´ posuvu˚ v libovolne´m bodu A(x, y) uvnitrˇ elementu k {u(x, y)} = [N (x, y)] · [Sk ]−1 · {∆k }
(12)
V dalsˇ´ım kroku je zapotrˇebı´ stanovit vektor prˇetvorˇenı´ {ε(x, y)} v obecne´m bodeˇ A(x, y) prvku, ktery´ je definova´n na´sledovneˇ
{ε(x, y)} = εx εy γxy
T
(13)
Jeho slozˇky se stanovı´ pomocı´ zna´my´ch geometricky´ch vztahu˚ (viz PPII) ε(x) =
∂u ∂x
ε(y) =
∂v ∂y
γxy =
∂u ∂v + ∂y ∂x
(14)
Pro vektor prˇetvorˇenı´ {ε(x, y)} dosta´va´me vyuzˇitı´m vztahu˚ (14) a (12) na´sledujı´cı´ relaci ∂ ∂x 0 εx u ∂ {ε} = εy = 0 ∂y · = v ∂ ∂ γxy ∂y
13
∂x
∂ ∂x
0
= 0
∂ ∂y ∂ ∂x
∂ ∂y
1 x y 0 0 0 · · [Sk ]−1 · {∆k } = 0 0 0 1 x y
0 1 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 1 · [Sk ]−1 · {∆k } 0 0 1 0 1 1 tedy {ε(x, y)} = [B(x, y)] · [Sk ]−1 · {∆k }
(15)
kde [B(x, y)] je matice tvarovy´ch funkcı´ pro prˇetvorˇenı´, zde ve tvaru
0 1 0 0 0 0 [B(x, y)] = 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1
(16)
Vektor napeˇtı´ je potom urcˇen prˇ´ıslusˇny´m konstitutivnı´m vztahem. U linea´rneˇ pruzˇne´ho materia´lu platı´ Hookeu˚v za´kon ve tvaru
{σ} = σx σy τxy
14
T
= [C] · {ε}
(17)
kde [C] je matice materia´lovy´ch konstant, majı´cı´ tvar
[C] =
E 1−µ2
µE 1−µ2
0
µE 1−µ2
E 1−µ2
0
0
0
E 2(1+µ)
(18)
Ze slozˇenı´ matice tvarovy´ch funkcı´ pro prˇetvorˇenı´ [B(x, y)] (16), ktera´ neobsahuje promeˇnne´ x a y plyne v souladu relacemi (15) a (17), zˇe v ra´mci elementu k jsou hodnoty slozˇek vektoru˚ prˇetvorˇenı´ {ε(x, y)} a napeˇtı´ {σ(x, y)} konstantnı´. Toto platı´ v nasˇem prˇ´ıpadeˇ aproximace posuvu˚ linea´rnı´mi polynomy. Aplikacı´ polynomu˚ druhe´ho a vysˇsˇ´ıch stupnˇu˚ se promı´tnou promeˇnne´ x a y do tvaru matice [B(x, y)] a prˇetvorˇenı´ {ε(x, y)} a napeˇtı´ {σ(x, y)} budou v ra´mci prvku promeˇnne´, za´visejı´cı´ na sourˇadnicı´ch x a y.
15
3.3
ˇ esˇenı´ u´lohy pomocı´ variacˇnı´ch principu˚ R
V prˇ´ıpadeˇ deformacˇnı´ varianty MKP je mozˇne´ vyuzˇ´ıt dvou variacˇnı´ch principu˚. Zacˇneme s obecneˇjsˇ´ım variacˇnı´m principem virtua´lnı´ch pracı´, ktery´ je mozˇny´ pouzˇ´ıt i v nelinea´rnı´m prˇ´ıpadeˇ pruzˇneˇ plasticke´ u´lohy. Matematicky se vyjadrˇuje na´sledovneˇ Z Ω
{σ}T · {δε∗} dV −
Z
{o}T · {δu∗} dV −
Ω
Z
{p}T · {δu∗} dS (19)
Γ
kde {δε∗} a {δu∗} jsou virtua´lnı´ prˇetvorˇenı´ a virtua´lnı´ posuvy, splnˇujı´cı´ geometricke´ podmı´nky uvnitrˇ teˇlesa a geometricke´ okrajove´ podmı´nky na povrchu teˇlesa. Prˇedpokla´da´ se, zˇe beˇhem teˇchto velice maly´ch virtua´lnı´ch deformacı´ a posuvu˚ zu˚sta´vajı´ napeˇtı´ {o} a plosˇna´ a objemova´ zatı´zˇenı´ {p} a {o} konstantnı´. Princip virtua´lnı´ch pracı´ je mozˇne´ vyja´drˇit veˇtou: Virtua´lnı´ pra´ce vnitrˇnı´ch a vneˇjsˇ´ıch sil na virtua´lnı´ch deformacı´ch a posuvech, splnˇujı´cı´ch geometricke´ vztahy uvnitrˇ teˇlesa a geometricke´ okrajove´ podmı´nky na povrchu teˇlesa je rovna nule. Odvozenı´ tohoto principu virtua´lnı´ch pracı´ vycha´zı´ z divergencˇnı´ho teore´mu (PPII), kde nejsou pouzˇity konstitutivnı´ vztahy, va´zajı´cı´ mezi sebou napeˇtı´ {σ} a prˇetvorˇenı´ {ε}. Uvedeny´ princip tedy platı´ pro obecne´ deformacˇneˇ napjatostnı´ chova´nı´ materia´lu.
16
V prˇ´ıpadeˇ linea´rneˇ pruzˇne´ho materia´lu (platı´ Hookeu˚v za´kon) je mozˇne´ s uva´zˇenı´m prˇedpokladu nemeˇnnosti silovy´ch velicˇin prˇi virtua´lnı´ch prˇetvorˇenı´ch a posuvech upravit princip virtua´lnı´ch pracı´ (19) na´sledovneˇ Z
{σ}T · {δε∗} dV −
Ω
Z
{o}T · {δu∗} dV −
Ω
Z
{p}T · {δu∗} dS = 0
Γ
Z Z δW − δ {o}T · {u∗} dV + {p}T · {δu∗} dS = 0 Ω
Γ
δW + δP = δ(W + P ) = δΠ = 0
(20)
kde Π je celkova´ potencia´lnı´ energie teˇlesa, W je energie napjatosti a P je potencia´lnı´ energie vneˇjsˇ´ıho zatı´zˇenı´, prˇicˇemzˇ platı´ Π = δW + δP
(21)
Je mozˇne´ pomeˇrneˇ snadno doka´zat, zˇe podmı´nka stacionarity (20) odpovı´da´ minimu celkove´ potencia´lnı´ energie. Vztah (20) se nazy´va´ Lagrangeu˚v variacˇnı´ princip, ktery´ je mozˇne´ vyja´drˇit slovneˇ: Mezi vsˇemi posuvy, ktere´ splnˇujı´ geometricke´ rovnice uvnitrˇ teˇlesa a geometricke´ okrajove´ podmı´nky na povrchu se realizujı´ ty, ktere´ splnˇujı´ podmı´nku stacionarity, odpovı´dajı´cı´ minimu celkove´ potencia´lnı´ energie.
17
V dalsˇ´ıch krocı´ch se omezı´me na linea´rneˇ pruzˇnou u´lohu. Prˇi formulaci fina´lnı´ch vztahu˚ MKP vyjdeme z Lagrangeova variacˇnı´ho principu, ktery´ nejprve uplatnı´me na obecny´ prvek k, ktery´ vyjmeme z teˇlesa Ω. Prˇedpokla´da´me, zˇe troju´helnı´kovy´ prvek lezˇ´ı na hranici teˇlesa, prˇicˇemzˇ jedna strana je zatı´zˇena vneˇjsˇ´ım plosˇny´m zatı´zˇenı´m {pe} a zbyle´ dveˇ strany vnitrˇnı´m zatı´zˇenı´m {pi}, viz obra´zek
Celkova´ potencia´lnı´ energie Πk prvku k je rovna Π k = Wk + P k 1 Πk = 2
Z
{ε}T · [C] · ε} dV −
Ωk
Z −
Z
{u}T · {o} dV −
Ωk
{u}T · {pe} dS −
Γe
Z
{u}T · {pi} dS
(22)
Γi
Prˇetvorˇenı´ {ε} a posuvy {u} na´sledneˇ vyja´drˇ´ıme pomocı´ relacı´ (15) a (12) a s uva´zˇenı´m zna´my´ch vztahu˚ pro transposici soucˇinu matic, naprˇ. ([B].[Sk ]−1 · {∆k })T = {∆k }T · [Sk ]−1T · [B]T dosta´va´me
18
Z
1 Πk = {∆k }T · [Sk ]−1T [B(x, y)]T · [C] · [B] dV [Sk ]−1 · {∆k }− 2 Ωk
−{∆k }T · [Sk ]−1T
Z
[N (x, y)]T · {o} dV −
Ωk
−{∆k }T · [Sk ]−1T
Z
[N (x, y)]T · {pe} dS + Pki =
Γk,e
1 = {∆k }T · [kk ] · {∆k } − {∆k }T · {Fko} − {∆k }T · {Fkpe } + Pki = 2 1 = {∆k }T · [kk ] · {∆k } − {∆k }T · {Fke} + Pki 2
(23)
kde [Kk ] je matice tuhosti k-te´ho elementu a {Fke} je zobecneˇny´ vektor vneˇjsˇ´ıch sil (sloupcova´ matice), ktere´ jsou definova´ny na´sledovneˇ Z −1T T [kk ] = [Sk ] [B(x, y)] · [C] · [B] dV [Sk ]−1 (24) Ωk
{Fke} = [Sk ]−1T
ZZ
[N (x, y)]T · {o} dV +
Ωk
+ [Sk ]−1T
Z
[N (x, y)]T · {pe} dS
Γk,e
19
(25)
Celkovy´ potencia´l cele´ho teˇlesa Π se zı´ska´ jako suma potencia´lu˚ jednotlivy´ch prvku˚ Πk , tedy Π=
n X
Πk
(26)
1
Po dosazenı´ (23) do (24) dosta´va´me na´sledujı´cı´ symbolicky´ vy´raz (27). S ohledem na platnost principu akce a reakce na sousednı´ch vnitrˇnı´ch strana´ch sousedı´cı´ch troju´helnı´ku˚, se prˇ´ıslusˇne´ potencia´lnı´ energie Pki vyrusˇily. 1 Π = {∆k }T · [kk ] · {∆} − {∆}T · {F } 2
(27)
Vy´raz [K] v prˇedchozı´ relaci se nazy´va´ globa´lnı´ matice tuhosti teˇlesa, {∆} je globa´lnı´ vektor posuvu˚ v uzlovy´ch bodech teˇlesa a {F } je globa´lnı´ vektor vneˇjsˇ´ıho silove´ho zatı´zˇenı´. Neˇktere´ prvky vektoru posuvu˚ {∆k } jsou da´ny deformacˇnı´mi okrajovy´mi podmı´nkami, tudı´zˇ nejde o neza´visle´ parametry. Globa´lnı´ vektor posuvu˚ {∆k } je zapotrˇebı´ redukovat na neza´visly´ vektor posuvu˚ {X}, cozˇ provedeme pro na´sˇ rovinny´ prˇ´ıpad na´sledovneˇ {∆}T = u1 u2 u3 u4 . . . u13 v1 v2 v3 v4 . . . v13 {X}T = u5 u6 u7 . . . u13 v5 v6 v7 . . . v13
20
T
T
(28) (29)
Celkovy´ potencia´l Π potom vyja´drˇ´ıme na´sledovneˇ 1 Π = {X}T · [K] · {X} − {X}T · {F } 2
(30)
Podmı´nka stacionarity funciona´lu Π znı´
δΠ =
X ∂Π ∂xi
δxi
(31)
Aby tato podmı´nka byla splneˇna pro jaky´koliv virtua´lnı´ maly´ posuv v uzlovy´ch bodech δxi, ktery´ splnˇuje geometricke´ podmı´nky je zapo∂Π = 0, zapsa´no v maticove´m tvaru trˇebı´, aby platilo ∂x i ∂Π = {0} ∂{x}
(32)
Operaci (32) nynı´ aplikujeme na vztah (30) a dosta´va´me tzv. rovnici rovnova´hy MKP ve tvaru
[K] · {x} = {F }
(33)
Hledany´ vektor neza´visly´ch posuvu˚ se potom stanovı´ na´sledovneˇ
{x} = [K]−1 · {F }
21
(34)
V prakticky´ch prˇ´ıpadech jde o rˇesˇenı´ velike´ho pocˇtu linea´rnı´ch rovnic, ktery´ v soucˇasne´ dobeˇ mu˚zˇe jı´t do milionu˚. Pro rˇesˇenı´ te´to u´lohy se pouzˇ´ıvajı´ ru˚zne´ metody, naprˇ. Gaussova eliminacˇnı´ metoda cˇi metoda fronta´lnı´ho rˇesˇenı´. Zpeˇtny´m postupem od vypocˇtene´ho neza´visle´ho globa´lnı´ho vektoru posuvu˚ v uzlovy´ch bodech {X} dospeˇjeme k vektoru˚m posuvu˚ {∆k } ve vsˇech prvcı´ch k
{X} −→ {∆} −→ {∆k }
na za´kladeˇ ktery´ch je mozˇne´ dle odvozeny´ch vztahu˚ stanovit posuvy, prˇetvorˇenı´ i napeˇtı´ v ktere´mkoliv mı´steˇ x, y teˇlesa {u(x, y)} = [N (x, y)] · [Sk ]−1 · {∆k } {ε(x, y)} = [B(x, y)] · [Sk ]−1 · {∆k } {σ(x, y)} = [C] · {ε(x, y)}
22