DPŽ – Hrubý
Dynamická pevnost a životnost
Lokální přístupy Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý
mechanika.fs.cvut.cz
[email protected]
1
DPŽ – Hrubý
Metody predikce únavového života
2
DPŽ – Hrubý
Výpočtový odhad počtu kmitů (doby) do poškození nebo bezpečnost pro trvalý život
3
DPŽ – Hrubý
4
Metody predikce životnosti
Přístup pomocí nominálních napětí (NSA - Nominal Stress Approach) Přístup pomocí lokálních elastických napětí (LESA - Local Elastic Stress Approach) Přístup pomocí lokálních elasto-plastických napětí a deformací (LPSA - Local Plastic Stress and Strain Approach) Přístup využívající lomové mechaniky (FMA - Fracture Mechanics Approach)
DPŽ – Hrubý
5
Nominal Stress Method (NSA) Loading history
Influence of shape and technology
a,m
Mean stress influence a
0
Fatigue tests
t
a
t
Decomposition
S-N curve of the material
a,eq
S-N curve of the component a
m
Relativ Palmgren-Miner hypothesis
D2,pred =
N
D1 D D2 1,exp
N
Dam. hypothesis Palmgren-Miner:
n1 D= n 2
DPŽ – Hrubý
NSA – Nominal Stress Approach • historicky nejstarší • navrhování na trvalou i omezenou životnost
• špičky napětí ve vrubech vztahovány k hodnotám nominálního napětí • rozsáhlá databáze tabelovaných podkladů o účincích vrubu, úpravy povrchu, velikosti apod. • podklady mohou být efektivně rozšířeny numerickou analýzou napjatosti (MKP, …)
• účinek pravděpodobnosti porušení • výsledkem je životnost do lomu (poruchy)
6
DPŽ – Hrubý
7
NSA časový průběh napětí (deformací) v kritickém místě zpracovaný dekompozicí signálu (způsob dekompozice ovlivňuje výsledky) např. RAIN FLOW amplituda Stress
1 2 2´
3
4
5 5´
t
6
7
8 9
8´ 10
t
8=8´
10 4 2=2´
3 9 6
7
5=5´
1
střední hodnota
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 Sum
92,3 86,5 80,7 75,0 69,2 63,4 57,7 51,9 46,1 40,4 34,6 28,8 23,1 17,3 11,5 5,8 -5,8 -11,5 -17,3 -23,1 -28,8 -34,6 -40,4 -46,1 -51,9 -57,7 -63,4 -69,2 -75,0 -80,7 -86,5 -92,3
1 5,8 2216 52662 117563 224083 484437 595637 707337 515361 799791 761950 566618 407707 352578 316091 484954 13676088 36882477 9818 618 124 6 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 56958119
2 11,5 0 70 470 1808 5230 12660 25016 32292 44092 42624 38427 33583 33715 35248 36980 20425 7834 17 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 370497
3 17,3 0 2 291 1277 4254 11029 22852 32957 40207 39696 34735 28874 27725 26163 23099 7904 1356 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 302426
4 23,1 0 0 128 967 3536 10082 19237 29348 33883 34955 28981 23968 20992 18462 10561 3094 344 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 238538
5 28,8 0 0 3 633 2853 8317 17427 27834 31901 29851 25726 19997 16036 11870 4428 1148 87 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 198113
6 34,6 0 0 0 228 2166 6652 15385 23797 27683 23951 21128 14892 10935 5574 1908 363 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 154684
7 40,4 0 0 0 5 1421 5491 12848 19573 22900 19520 15092 10328 6760 2486 7039 129 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 123601
8 46,1 0 0 0 0 511 3892 10019 14905 16582 13601 9816 6943 3331 1067 286 40 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80995
9 51,9 0 0 0 0 26 2505 7604 11454 12035 9934 6890 4185 1511 502 120 16 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 56784
10 57,7 0 0 0 0 0 882 5001 7803 8043 6452 4367 1985 740 248 38 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 35568
11 63,4 0 0 0 0 0 21 2755 5041 5406 3928 2801 847 339 88 21 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21249
Rain Flow Matrix
četnost
12 69,2 0 0 0 0 0 0 853 2971 3185 2557 1294 412 127 34 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11444
13 75,0 0 0 0 0 0 0 27 1540 2005 1717 609 187 67 19 4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6177
14 80,7 0 0 0 0 0 0 0 366 1226 850 258 76 27 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2812
15 86,5 0 0 0 0 0 0 0 8 611 404 102 42 17 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1186
16 92,3 0 0 0 0 0 0 0 0 133 174 61 10 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 380
17 98,0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 62 21 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 97
DPŽ – Hrubý
8
NSA únavová křivka napětí (Wöhlerova křivka, S-N křivka) odvozená či získaná experimentálně pro kritické místo součásti, spíše však získaná experimentálně pro vrubovaná či hladká zkušební tělesa 1000
structural steel
aw N C
mocninný tvar
a [MPa]
a f ' 2N b
Basquin
a C w N A C Weibull
100 1,E+04
1,E+05
1,E+06 N [1]
1,E+07
b
N B a C N C Kohout-Věchet
DPŽ – Hrubý
9
NSA – nutné podklady pro výpočet korekční faktory: součinitel tvaru (koncentrace lokálních elastických napětí), součinitel vrubu (koncentrace napětí včetně elastoplastického přerozdelení ve vrubu, náchylnosti ke vzniku extrusí a intrusí apod.)
Thum
1 1q
Peterson
1
1 1
a
a 0,25 0,3
Neuber
1
Heywood
1 1
A 0,3
A
1 a 1 2 a
140
pt
DPŽ – Hrubý
10
NSA korekční faktory: vliv velikosti, vliv jakosti obrobení, vliv technologické úpravy povrchu 1
oceli Rm=400 až 580 Rm=700 až 710 litá ocel Rm=820 až 860 Rm=850 až 910 Rm=890 až 1000 Rm=890 až 1000 aproximace m=-0.03 m=-0.04 m=-0.05 m=-0.06 m=-0.068
0.9
součinitel velikosti [1]
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2 0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
průměr hřídele D [mm]
cx c,v
c kS kSF kT Kf
cx c,v
c p v
DPŽ – Hrubý
NSA kumulace poškození:
1 D
0
n/N
1
11
DPŽ – Hrubý
12
NSA s uvažováním statistiky a pravděpodobnosti porušení lze přístup navíc ještě obohatit o výpočet bezpečného života pro danou pravděpodobnost lomu četnost s log n
s log N
Pf
posuv – bezpečnost nL
N
předpoklad: log-normální rozdělení únavového života výpočet kvantilu a pravděpodobnosti porušení:
uP
logLB logL50% 2 slog N
2 slog n
LB
log
L50% 2 slog N
2 slog n
log
1 nL
2 slog N
2 slog n
Pf [%]
DPŽ – Hrubý
13
Př.: Pístní čep Zkontrolovat bezpečnost při namáhání pístního čepu při nesymetricky střídavém zatěžovacím cyklu. Zatížení pístu: Fh = 50 000 N, Fd = –10 000 N, R = –0,2. materiál čepu: uhlíková ocel 12 XXX: σco = 0,43σpt = 473 MPa, leštěno.
σpt = 1 100 MPa, σkt = 600 MPa,
DPŽ – Hrubý
14
Př.: Pružina • Fh = 2 000 N • Fd = 500 N
• • • • • •
průměr D = 90 mm průměr drátu d = 14 mm stoupání p = 28 mm 8 činných závitů doba provozu 5 let frekvence 1 Hz
DPŽ – Hrubý
15
Př.: Hřídel ρ
D 48 mm d 40 mm
D
2 mm
d
Hřídel je namáhán míjivým krouticím momentem a symericky střídavým ohybem Určit bezpečnost z hlediska teoreticky nekonečné životnosti
ocel 12040: Rm = 700 MPa Rp0,2 = 560 MPa
P 100 kW, n 1500 min1, Mo 200000 N.mm
soustruženo: Ra=1,6
DPŽ – Hrubý
16
Př.: Hladký hřídel – kumulace poškození Hladký hřídel o průměru 12,0 mm je namáhán kombinací ohybu a krutu (symetricky střídavými). Je dána tabulka četností (histogram) amplitud ohybového a krouticího momentu, která odpovídá 12 měsícům provozu. třída 1 2 3
Mo [N.mm] Mk [N.mm] ni [kmitů] 20 000 50 000 10 000 50 000 75 000 5 000 70 000 100 000 200
Je dána Wöhlerova křivka (50% pravděp. poruš.) reálného hřídele při namáhání v tahu-tlaku popsaná vztahem aw N konst Mez únavy 150 MPa pro bázi 106 cyklů. Exponent šikmé větve w = 3,5. Jsou dány směrodatné odchylky logaritmů životů. Pro únavovou křivku slogN = 0,15. Pro zatížení slogn = 0,2. Určit střední životnost hřídele, který je namáhán daným zatížením. Určit bezpečnou životnost hřídele tak, aby pravděpodobnost lomu nepřesáhla 1 % podle Palmgrenovy-Minerovy hypotézy kumulace poškození.
DPŽ – Hrubý
17
Př.: Stanovení životnosti prutové konstrukce a h
1
a 3
2 a/2
F
D: průřez prutů 10x10 mm, rozměry a=500 mm, h=400 mm, modul pružnosti v tahu E=2·105, trám je dokonale tuhý, šikmá větev Wöhlerovy křivky je zadána časovanou mezí únavy na bázi 106 kmitů c(106)=110 MPa a sklonem w=5, soustava je zatížena kmitavou symetricky střídavou silou o amplitudě 25 kN U: životnost podle NSA do ztráty funkčnosti (s uvažováním Damage Tolerance a PalmgrenovyMinerovy hypotézy kumulace poškození)
DPŽ – Hrubý
18
Metody predikce životnosti
Přístup pomocí nominálních napětí (NSA - Nominal Stress Approach) Přístup pomocí lokálních elastických napětí (LESA - Local Elastic Stress Approach) Přístup pomocí lokálních elasto-plastických napětí a deformací (LPSA - Local Plastic Stress and Strain Approach) Přístup využívající lomové mechaniky (FMA - Fracture Mechanics Approach)
DPŽ – Hrubý
19
Local Elastic Stress Method (LESA) Loading history
Local stress in the notch
t
Decomposition a,m
t
a,MKP
Mean stress influence a
a,eq
t
S-N curve a
=1 N
m
Relativ Palmgren-Miner hypothesis
D2,pred =
a,kor t
MKP
0
Fatigue tests
correction
D1 D D 2 1,exp
Dam. hypothesis Palmgren-Miner:
n1 D= n 2
DPŽ – Hrubý
20
LESA – Local Elastic Stress Approach • navrhování na omezenou životnost • špičky napětí ve vrubech vztahovány k hodnotám lokálního napětí (pracuje se přímo se špičkami napětí) • méně rozsáhlá databáze tabelovaných podkladů o materiálech
• podklady mohou být efektivně rozšířeny numerickou analýzou napjatosti (MKP, …) • účinek pravděpodobnosti porušení
• výsledkem je životnost do vzniku makrodefektu (makrotrhliny)
DPŽ – Hrubý
21
LESA časový průběh napětí (deformací) v kritickém místě zpracovaný dekompozicí signálu (způsob dekompozice ovlivňuje výsledky) např. RAIN FLOW amplituda Stress
1 2 2´
3
4
5 5´
t
6
7
8 9
8´ 10
t
8=8´
10 4 2=2´
3 9 6
7
5=5´
1
střední hodnota
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 Sum
92,3 86,5 80,7 75,0 69,2 63,4 57,7 51,9 46,1 40,4 34,6 28,8 23,1 17,3 11,5 5,8 -5,8 -11,5 -17,3 -23,1 -28,8 -34,6 -40,4 -46,1 -51,9 -57,7 -63,4 -69,2 -75,0 -80,7 -86,5 -92,3
1 5,8 2216 52662 117563 224083 484437 595637 707337 515361 799791 761950 566618 407707 352578 316091 484954 13676088 36882477 9818 618 124 6 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 56958119
2 11,5 0 70 470 1808 5230 12660 25016 32292 44092 42624 38427 33583 33715 35248 36980 20425 7834 17 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 370497
3 17,3 0 2 291 1277 4254 11029 22852 32957 40207 39696 34735 28874 27725 26163 23099 7904 1356 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 302426
4 23,1 0 0 128 967 3536 10082 19237 29348 33883 34955 28981 23968 20992 18462 10561 3094 344 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 238538
5 28,8 0 0 3 633 2853 8317 17427 27834 31901 29851 25726 19997 16036 11870 4428 1148 87 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 198113
6 34,6 0 0 0 228 2166 6652 15385 23797 27683 23951 21128 14892 10935 5574 1908 363 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 154684
7 40,4 0 0 0 5 1421 5491 12848 19573 22900 19520 15092 10328 6760 2486 7039 129 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 123601
8 46,1 0 0 0 0 511 3892 10019 14905 16582 13601 9816 6943 3331 1067 286 40 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80995
9 51,9 0 0 0 0 26 2505 7604 11454 12035 9934 6890 4185 1511 502 120 16 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 56784
10 57,7 0 0 0 0 0 882 5001 7803 8043 6452 4367 1985 740 248 38 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 35568
11 63,4 0 0 0 0 0 21 2755 5041 5406 3928 2801 847 339 88 21 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21249
Rain Flow Matrix
četnost
12 69,2 0 0 0 0 0 0 853 2971 3185 2557 1294 412 127 34 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11444
13 75,0 0 0 0 0 0 0 27 1540 2005 1717 609 187 67 19 4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6177
14 80,7 0 0 0 0 0 0 0 366 1226 850 258 76 27 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2812
15 86,5 0 0 0 0 0 0 0 8 611 404 102 42 17 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1186
16 92,3 0 0 0 0 0 0 0 0 133 174 61 10 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 380
17 98,0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 62 21 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 97
DPŽ – Hrubý
22
LESA únavová křivka napětí (Wöhlerova křivka, S-N křivka) odvozená či získaná experimentálně pro kritické místo součásti, spíše však získaná experimentálně pro vrubovaná či hladká zkušební tělesa 1000
structural steel
aw N C
mocninný tvar
a [MPa]
a f ' 2N b
Basquin
a C w N A C Weibull
100 1,E+04
1,E+05
1,E+06 N [1]
1,E+07
b
N B a C N C Kohout-Věchet
DPŽ – Hrubý
23
LESA Převod napěťových kmitů s různou střední složkou, na smluvní symetricky střídavé nebo míjivé kmity se stejným únavovým účinkem. Přepočet podle Landgrafa a Morrowa:
a,eq
SWT parametr:
a 1 m f
a,eq
a,eq a ,
pro m 0
h,eq a m 1 R p
ekvivalentní míjivý kmit R=0
0
pro m 0
MIL HDBK:
pracovní obecný kmit
a,eq
a m E a ,
oceli a Al slitiny p 0,5
h,eq
Přepočet podle Odinga: čas t
ekvivalentní symetricky střídavý kmit R=-1
h,eq 2 a m a , pro m 0 h,eq 2 a , pro m 0
DPŽ – Hrubý
24
LESA elastická MKP analýza, stanovení kritických míst a fiktivních elastických napětí ve vrubech
a v ; av hladký vzorek (fiktivní) vzorek s vrubem
a n , a n
DPŽ – Hrubý
25
Amplituda napětí [MPa]
LESA
700 600 500 MKP 400 kor 300
Kt . x C
nom 200
C
100
x C = C /Kf N
0 1.E+03
1.E+04
1.E+05
1.E+06
Počet kmitů N [1]
1.E+07
1.E+08
DPŽ – Hrubý
26
Amplituda napětí [MPa]
LESA 700
MKP K t nom
600 500
MKP nom
MKP 400 kor 300
K f ,N
C
100
x C = C /Kf
kor
N
0 1.E+04
1.E+05
1.E+06
Počet kmitů N [1]
1.E+07
kor
1.E+08
K f ,N Kt
kor
kor N
Kt . x C
nom 200
1.E+03
Kt
MKP
N MKP
DPŽ – Hrubý
27
LESA určení gradientu (pomocí MKP, extrahování napětí přes několik prvků)
d dx max nom min
DPŽ – Hrubý
28
Amplituda napětí [MPa]
LESA 700
K f ,N N 1 K f 1 N
N N 1 1 N
600 500 MKP 400
Kt
kor 300
Kf Kt . x C
nom 200
C
100
1.E+03
N 1.E+04
1.E+05
1.E+06
Počet kmitů N [1]
1.E+07
1
logN E N B logN E E 4 K3
x C = C /Kf
0
R e K2 K 1 10
1.E+08
K5 1 B K4 1 Rm
2
parametry Ki je možné naladit z exp. zkoušek pro různé vrubovitosti
DPŽ – Hrubý
29
LESA syntetické únavové křivky Odvození únavových křivek v oblasti vrubů materiál ocel 300M , Rm=2000 Mpa R=-1 alfa=1
alfa gama 1.00 0.00 1.75 1.35 2.00 1.94 2.25 2.59 2.50 3.31 3.00 4.98 3.50 6.94 4.00 9.22 4.50 11.80 5.00 14.71 5.50 17.89
800
alfa=2,0 alfa=3,0
700
700
alfa=5,0 alfa=2,0..výpočet
600
alfa=3,0..výpočet alfa=5,0..výpočet
500
400
300
Amplituda napětí kmitu [MPa]
Amplituda napětí kmitu [MPa]
600
500
400
300
5.5
5
4.5
Součinitel vrubu (N) [MPa]
800
Součinitelé vrubu (N) pro různý gradient napětí materiál ocel 300M , Rm=2000 MPa R=-1
Rodina únavových křivek pro různý gradient napětí materiál ocel 300M , Rm=2014 MPa, vliv oduhličení R=-1
3.5
3
200
2.5
100
100
2
1.0E+05
1.0E+06
1.0E+07
Počet kmitů N [1]
1.0E+08
0 1.0E+04
1.0E+05
1.0E+06
1.0E+07
Počet kmitů N [1]
1.0E+08
3.50 6.94 4.00 9.22 4.50 11.80 5.00 14.71 5.50 17.89
4
200
0 1.0E+04
alfa gama 1.75 1.35 2.00 1.94 2.25 2.59 2.50 3.31 3.00 4.98
1.5 1.0E+04
1.0E+05
1.0E+06 Počet kmitů N [1]
1.0E+07
1.0E+08
DPŽ – Hrubý
LESA kumulace poškození:
1 D
0
n/N
1
30
DPŽ – Hrubý
31
LESA s uvažováním statistiky a pravděpodobnosti porušení lze přístup navíc ještě obohatit o výpočet bezpečného života pro danou pravděpodobnost lomu četnost s log n
s log N
Pf
posuv – bezpečnost nL
N
předpoklad: log-normální rozdělení únavového života výpočet kvantilu a pravděpodobnosti porušení:
uP
logLB logL50% 2 slog N
2 slog n
LB
log
L50% 2 slog N
2 slog n
log
1 nL
2 slog N
2 slog n
Pf [%]
DPŽ – Hrubý
32
F
160
Př.: Životnost ocelového tělesa podle LESA
F
Ø40 9
D: těleso zatěžované osovou silou, vyrobené z oceli mezí pevnosti 1100 MPa a mezí kluzu 700 MPa, s E=2,1·105 MPa a Poissonovým poměrem 0,3. Wöhlerova křivka materiálu je zadána dvěma větvemi mocninné závislosti, kde exponent w=5 pro N<106 a w=7 pro N>106 a časovanou mezí únavy pro N=106 cyklů 250 MPa. Únavové konstanty (jejichž určení je v praxi velmi pracné) jsou zadány: K1=550 MPa, K2=1,14, K3=0,1, K4=-0,98, K5=6000 MPa.
Zatěžování symetricky střídavou silou o amplitudě 272 kN. U: životnost podle metodiky LESA
DPŽ – Hrubý
33
Př.: Životnosti ocelového tělesa podle LESA elastický MKP výpočet…stanovení poměrného gradientu osového napětí (modelována pouze osmina vzorku, symetrické okrajové podmínky k příslušným souřadným osám) odečten poměrný gradient v kořeni vrubu 0,11339 SMises
anom
Fa Anom
272 000 9 120
251,852 MPa
aMKP 629,508 MPa Kt
aMKP anom
629,508
2,5
z
251,852
uvažováno v oslabeném průřezu
y
x
1 d HMH max d y
DPŽ – Hrubý
34
Př.: Životnosti ocelového tělesa podle LESA parametry pro syntetickou únavovou křivku:
E * 4 K3 4 0,113390,1 3,217 2
2
K5 1 1 6000 B 36,723 K4 0,98 1100 1 0,11339 1 Rm
Kt Kf
1
R e K2 K 1 10
1
700 1,14 0,11339 10 550
1,00131
vynesení pro různé počty cyklů N do grafu
logN E * N B logN E *
K f ,N N 1 K f 1 N
N N 1 1 N
DPŽ – Hrubý
35
Př.: Životnosti ocelového tělesa podle LESA parametry pro syntetickou únavovou křivku: 1.2
0.8 0.6
3
0.4
2.5
0.2
2
0 1.0E+02
1.0E+04
1.0E+06 N [-]
1.0E+08
(N ) [-]
(N ) [-]
1
1.5 1 0.5 0 1.0E+02
1.0E+04
1.0E+06 N [-]
1.0E+08
DPŽ – Hrubý
36
Př.: Životnosti ocelového tělesa podle LESA syntetické únavové křivky platné pro kořen vrubu (pro kritické místo):
amplituda napětí v cyklu [MPa]
této křivce odpovídají max. napětí z MKP (platná vždy pro jedno krit. místo)
akor
1400 1200
akor
1000 800
K f ,N Kt
N
aMKP
aMKP
600 400 200 0 1,0E+02
1,0E+03
1,0E+04
1,0E+05
1,0E+06
1,0E+07
počet cyklů N [-]
1,0E+08
aMKP 629,508 MPa
únavová křivka materiálu únavová křivka platná pro nominální přístupy fiktivní únavová křivka napětí v krit. místě (MKP)
tato křivka odpovídá materiálu
N 975 117
DPŽ – Hrubý
37
Metody predikce životnosti
Přístup pomocí nominálních napětí (NSA - Nominal Stress Approach) Přístup pomocí lokálních elastických napětí (LESA - Local Elastic Stress Approach) Přístup pomocí lokálních elasto-plastických napětí a deformací (LPSA - Local Plastic Stress and Strain Approach) Přístup využívající lomové mechaniky (FMA - Fracture Mechanics Approach)
DPŽ – Hrubý
Loading history
Cyclic stressstrain curve a
fic t
=> a,m
Fatigue tests
t
Fatigue life curve of the deformation a
f’, f’,b,c
a
t
Decomposition
38
2N
Plastic adaptation fic n
a, a
a,eq
m
n
Relativ Palmgren-Miner hypothesis
D2,pred =
Mean stress influence
D1 D D 2 1,exp
m
Dam. hypothesis Palmgren-Miner:
n1 D= n 2
DPŽ – Hrubý
LPSA • lokální přístup • využití špiček elastoplastických napětí a elastoplastických deformací ve vrubech • výpočet únavové odolnosti neprobíhá v nominálním průřezu ale přímo ve vrubu
• nutná znalost cyklické deformační křivky (CDK) nebo Mansonovy-Coffinovy křivky • výhodné přepočty fiktivní elastické napjatosti na elastoplastickou (Neuber, Glinka, …) • výsledkem je životnost do vzniku makrodefektu (makrotrhliny)
39
DPŽ – Hrubý
40
LPSA časový průběh napětí (deformací) v kritickém místě zpracovaný dekompozicí signálu (způsob dekompozice ovlivňuje výsledky) např. RAIN FLOW amplituda Stress
1 2 2´
3
4
5 5´
t
6
7
8 9
8´ 10
t
8=8´
10 4 2=2´
3 9 6
7
5=5´
1
střední hodnota
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 Sum
92,3 86,5 80,7 75,0 69,2 63,4 57,7 51,9 46,1 40,4 34,6 28,8 23,1 17,3 11,5 5,8 -5,8 -11,5 -17,3 -23,1 -28,8 -34,6 -40,4 -46,1 -51,9 -57,7 -63,4 -69,2 -75,0 -80,7 -86,5 -92,3
1 5,8 2216 52662 117563 224083 484437 595637 707337 515361 799791 761950 566618 407707 352578 316091 484954 13676088 36882477 9818 618 124 6 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 56958119
2 11,5 0 70 470 1808 5230 12660 25016 32292 44092 42624 38427 33583 33715 35248 36980 20425 7834 17 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 370497
3 17,3 0 2 291 1277 4254 11029 22852 32957 40207 39696 34735 28874 27725 26163 23099 7904 1356 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 302426
4 23,1 0 0 128 967 3536 10082 19237 29348 33883 34955 28981 23968 20992 18462 10561 3094 344 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 238538
5 28,8 0 0 3 633 2853 8317 17427 27834 31901 29851 25726 19997 16036 11870 4428 1148 87 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 198113
6 34,6 0 0 0 228 2166 6652 15385 23797 27683 23951 21128 14892 10935 5574 1908 363 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 154684
7 40,4 0 0 0 5 1421 5491 12848 19573 22900 19520 15092 10328 6760 2486 7039 129 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 123601
8 46,1 0 0 0 0 511 3892 10019 14905 16582 13601 9816 6943 3331 1067 286 40 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80995
9 51,9 0 0 0 0 26 2505 7604 11454 12035 9934 6890 4185 1511 502 120 16 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 56784
10 57,7 0 0 0 0 0 882 5001 7803 8043 6452 4367 1985 740 248 38 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 35568
11 63,4 0 0 0 0 0 21 2755 5041 5406 3928 2801 847 339 88 21 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21249
Rain Flow Matrix
četnost
12 69,2 0 0 0 0 0 0 853 2971 3185 2557 1294 412 127 34 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11444
13 75,0 0 0 0 0 0 0 27 1540 2005 1717 609 187 67 19 4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6177
14 80,7 0 0 0 0 0 0 0 366 1226 850 258 76 27 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2812
15 86,5 0 0 0 0 0 0 0 8 611 404 102 42 17 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1186
16 92,3 0 0 0 0 0 0 0 0 133 174 61 10 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 380
17 98,0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 62 21 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 97
DPŽ – Hrubý
41
LPSA Cyklická deformační křivka:
Cyklická deformační křivka
cyklická
Saturované hysterezní smyčky
statická
zpevnění
změkčení
a E ael
1D
a K'
n' apl
1D
a
a a E K'
1 n'
1D
DPŽ – Hrubý
42
LPSA Manson-Coffinova křivka: 1
amplituda pom. deformace a [1]
f '
0.1
c 1
0.01
f ' /E 0.001
a b
1
ae ap
0.0001 1.E+00
1.E+01
1.E+02
1.E+03
1.E+04
1.E+05
počet půlkmitů 2N [1]
1.E+06
1.E+07
DPŽ – Hrubý
LPSA Manson-Coffinova křivka:
a ael apl
f ' E
2N b f ' 2N c
σf’…součinitel únavové pevnosti, b…exponent únavové pevnosti εf’…součinitel únavové deformace, c…exponent únavové deformace
ael log ael log log ael log
f ' E
f '
E f ' E
2N b ,
apl f ' 2N c
2N b ,
log apl log f ' 2N c
b log2N ,
log apl log f 'c log2N
43
DPŽ – Hrubý
44
LPSA přepočet a a m na a_eqv (elastoplastické ve vrubu):
Obecně neplatí vztahy pro přepočet ekvivalentní amplitudy napětí uvedené v předchozím textu použitelné spíše pro vysokocyklovou únavu. V oblasti aplikace LPSA, tedy v nízkocyklové únavě je možno střední a amplitudové napětí získat přímo z elastických MKP simulací s vhodným modelem zpevnění či Neuberovým nebo Glinkovým odhadem. Vždy nejprve ve formách dolního a horního napětí (deformací), teprve pak přepočtem na amplitudová a střední napětí. Některé metodiky LPSA jsou přímo schopné pracovat se m .
Případně je možné napočítat reálná elastoplastická dolní a horní napětí s použitím v MKP programu implementovaných modelů cyklické plasticity a opět z nich pak amplitudy a střední hodnoty přepočítat.
DPŽ – Hrubý
45
LPSA elastická MKP analýza, stanovení kritických míst a fiktivních elastických napětí ve vrubech, jejich přepočet na elastoplastické pomocí Neubera, Glinky… elastoplastická MKP analýza (jen u jednoduchých sekvencí)
a v ; a v elastoplastické
hladký vzorek (fiktivní) vzorek s vrubem
a n , a n
DPŽ – Hrubý
46
LPSA Součinitel tvaru (s. koncentrace elastických napětí)
fic=S C =S
A
Kt
A’
C’
fic S
fic e
C0
S0
B0 e0
Součinitel koncentrace napětí
K
S (nom)
B
0
e fic (nom)
B’ =
S
C '0 S0
Součinitel koncentrace deformace
K
e
B'0 e0
DPŽ – Hrubý
47
LPSA Neuber
Glinka ?
Ufic Uv z rovnosti ploch
U fic
1 1 1 fic fic 2Se 2 nom nom 2 2 2
S e 2Se 2 1 Uv 2 2 E K '
1 n'
Uv
2 2E
pl
K' 0
pl n '
d
pl
2E n'1 K '
2
1 n'
DPŽ – Hrubý
48
LPSA fic
m=0
m=1 m=0,66 m=0,5 m=0,1 m=0
m=1
m=0,1
0
2 fic
E
E el
fic E el
m=0,5
0,5 0,5
fic E
el m 1 m
m=0,6
platí pro tvrdé zatěžování, tj. napětí deformačního původu rovnoměrně rozdělené po průřezu platí pro měkké zatěžování, tj. napětí silového původu rovnoměrně rozdělené po průřezu pro napětí deformačního původu mimo vruby (např. teplotní pnutí) pro vruby zatížené silově i deformačně (Neuberovo pravidlo) pro napětí silového původu nerovnoměrně rozložená po průřezu (např. při ohybu).
DPŽ – Hrubý
49
LPSA reálné určení elastoplastického napětí ve vrubu (Neuber) – jak pro horní, tak dolní napětí
m 1 m
fic E el
'f ' E f
Newtonova metoda tečen:
f m E 'f
' f
c
c
b
1 m
b
fic 0
i 1
i
f' f i
0 fic
i
DPŽ – Hrubý
50
LPSA – Plasticita Drucker & Palgen (1981), Dafalias (1984), předpoklady správného elastoplastického konstitučního modelu: 1) nesymetrický cyklus napětí způsobuje cyklický creep (ratchetting) ve směru středního napětí 2) nesymetrický cyklus deformace způsobuje relaxaci středního napětí na nulovou hodnotu 3) hladký přechod ze stavu elastického do stavu elastoplastického 4) při symetrických napěťových i deformačních cyklech materiál změkčuje či zpevňuje po stavu saturace již jen díky kinematickému zpevnění 5) značné jednorázové přetížení „maže“ téměř všechnu historii zatěžování na nižších hladinách
DPŽ – Hrubý
51
LPSA – Plasticita a
t
b
t
t
c
t
t
d
t
t
e
t
3) Cyklická relaxace
4) Cyklický creep (ratchetting)
2) Cyklické změkčení
1) Cyklické zpevnění
A
C
C
t
0 D B
D B
E
A
C´ 0
5) Paměťový efekt
DPŽ – Hrubý
52
Plasticita – zpevnění materiálu Isotropní
Kinematické
Směrové
Jelikož při stavu saturace hysterezních smyček již nedochází k dalšímu rozvoji isotropní části zpevnění, užívá se v cyklické plasticitě spíše pouze kinematické zpevnění v lineární i nelineární formě. Nově také zpevnění směrové, které je však co se popisu a vlastností týče velice komplikované (vnitřní proměnné jsou tenzory čtvrtých a vyšších řádů)
DPŽ – Hrubý
53
LPSA – Plasticita isotropní zpevnění
lineární kinematické zpevnění
nelineární kinematické zpevnění
kombinované zpevnění
DPŽ – Hrubý
54
Isotropní zpevnění (Hill, 1950) von Mises:
F ef k 0 F J 2 31 k2 0
k k 0 r efpl
Lineární kinematické zpevnění (Prager, 1956) von Mises:
F
1 2
Sij ij Sij ij 31 k20 0 d ij 32 C d ijpl
DPŽ – Hrubý
55
Nelineární kinematické zpevnění (Armstrong a Frederick, 1966) von Mises:
F
1 2
Sij ij Sij ij 31 k20 0
d ij 32 C d ijpl ij d efpl
Kombinované zpevnění F
1 2
Sij ij Sij ij 31 k2 0
d ij 32 C d ijpl ij d efpl
k k 0 r efpl
DPŽ – Hrubý
56
Chaboche (rozšířený Armstrong-Frederick): nelineární kinematické zpevnění hojně využívané při MKP modelování cyklické plasticity von Misesova funkce plasticity:
F
1 2
Sij ij Sij ij 31 k20 0
Backstress vyjádřen jako suma dílčích částívon Misesova funkce plasticity: n ij ij k k 1
d
k
d
k
ij
32 C
k
d ijpl
ij
32 C
k
d ijpl ...k n
k
ij
k
pl d ef ...k n
Poslední backstress se nechává lineární, aby docházelo při MKP simulaci ke snazšímu uzavírání hysterezních smyček.
DPŽ – Hrubý
57
Chabocheův model zpevnění numerická kalibrace a k0
C1
1
tanh 1 apl
C2
2
tanh 2 apl
C3
3
tanh 3 apl
C4
4
tanh 4 apl C5 apl
CDK - Chaboche multisurface kinematic hardening parameters calibration 600
500
400 stress [MPa]
Je použita cyklická deformační křivka a speciální tvar funkce backstressu platný pro CDKPoslední backstress se nechává lineární, aby docházelo při MKP simulaci ke snazšímu uzavírání hysterezních smyček.
300 pozadovane optimalni
200
odhad ABAQUS test
100
0 0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
plastic strain [-]
0.006
0.007
0.008
DPŽ – Hrubý
58
LPSA - metody SWT (Smith, Watson, Topper) parametr:
PSWT a E a m
a
'f E
a 'f 2N b
2N b 'f 2N c
' a a E 'f 2N b E f 2N b 'f 2N c 'f2 2N 2 b E 'f 'f 2N b c E N
Landgraf:
a
'f m E
2N b 'f 2N c N
DPŽ – Hrubý
LPSA přehled metod:
59
DPŽ – Hrubý
LPSA kumulace poškození:
1 D
0
n/N
1
60
DPŽ – Hrubý
61
LESA s uvažováním statistiky a pravděpodobnosti porušení lze přístup navíc ještě obohatit o výpočet bezpečného života pro danou pravděpodobnost lomu četnost s log n
s log N
Pf
posuv – bezpečnost nL
N
předpoklad: log-normální rozdělení únavového života výpočet kvantilu a pravděpodobnosti porušení:
uP
logLB logL50% 2 slog N
2 slog n
LB
log
L50% 2 slog N
2 slog n
log
1 nL
2 slog N
2 slog n
Pf [%]
DPŽ – Hrubý
62
Př.: Stanovení životnosti ocelového vzorku D: zkušební vzorek, zatěžovaný symetricky střídavou osovou silou o amplitudě 12 000 N, materiál ocel s E=2,1·105 MPa, Poissonovým poměrem n=0,3. Mansonova-Coffinova křivka je zadána parametry:
U: životnost podle LPSA (SWT, Langraf)
DPŽ – Hrubý
63
Př.: Stanovení životnosti ocelového vzorku elastické řešení pro osovou amplitudu síly 12 000 N: maximální elastické HMH napětí 439,3 MPa, což je tedy i hodnota fic_a, to je nutné přepočítat na „reálné“ napětí ve vrubu díky Neuberově hypotéze m=0,5. m fic E el 1m
'f ' E f
f m E 'f
0 fic _ a 439,3 MPa
Neuber:
i 1
' f
i
c
c
b
1 m
b
fic 0
f' f i
i
5 a 400,8 MPa
DPŽ – Hrubý
64
Př.: Stanovení životnosti ocelového vzorku nebo je možné využít přímo MKP elastoplastické řešení (Chabocheův model – kombinace několika kinematických zpevnění podle Armstronga-Fredericka) pro osovou amplitudu síly 12 000 N: maximální elastoplastické HMH napětí 420,8 MPa, (ABAQUS i kalibrační EXCEL přiložen na stránkách)
a 420,8 MPa Bude uvažováno dále
DPŽ – Hrubý
65
Př.: Stanovení životnosti ocelového vzorku z „reálného napětí se určí „reálná“ deformace; je třeba zdůraznit, že u napětí i deformace o se jedná o uniaxiální efektivní (HMH) hodnoty víceosé napjatosti v kořeni vrubu
a 420,8 MPa ael
a E
420,8 2,1 10
5
0,002
a
apl
K'
a ael apl 0,002 0,00058 0,0026
1 n'
420,8 1030
1 0,12
0,00058
DPŽ – Hrubý
Př.: Stanovení životnosti ocelového vzorku SWT (Smith, Watson, Topper) parametr:
PSWT aE a m 0,0026 2,1 105 420,8 0 479,33 PSWT 'f2 2N 2b E 'f 'f 2N b c 479,33 1015 2 2N 0,2 2,1 105 1015 0,8852N 0,9333 N 3339 Landgraf:
'f m 2N b 'f 2N c E 1015 0 0,1 0,8333 0,0026 2 N 0 , 885 2 N 2,1 105 N 556 PL a
66
DPŽ – Hrubý
67
Př.: Životnosti ocelového tělesa podle LPSA
160
F
D: těleso zatěžované osovou silou, vyrobené z oceli s E=2,06·105 MPa, K’=821 MPa, n’=0,062, ’f =783,6 MPa, b=-0,044. Vrub je definován součinitelem koncentrace elastických napětí =2,5.
F
Ø40 9
Jsou zadány dva módy zatěžování: a) symetricky střídavá síla o amplitudě 272 kN b) míjivá síla o amplitudě 272 kN U: životnost podle LPSA (SWT, Langraf) pro oba dva módy zatěžování
'f
'f
1 n'
K'
1 783,6 0,062
821
0,471
c
b n'
0,044 0,062
0,71
DPŽ – Hrubý
68
Př.: Životnosti ocelového tělesa podle LPSA a) nominální hodnoty:
anom
160
F
nominální průřez
F
Ø40
anom
Fa
272 000
Anom
anom
E
9 120
252 MPa
252 2,06 10
5
0,00122
9
b) nominální hodnoty:
anom mnom
Fa
Anom Fm Anom
272 000 9 120 272 000 9 120
252 MPa 252 MPa
anom
anom
mnom
E
mnom E
252 2,06 10
5
0,00122
252 2,06 10
5
0,00122
DPŽ – Hrubý
69
Př.: Životnosti ocelového tělesa podle LPSA a) fiktivní elastické a „reálné“ hodnoty:
afic anom 2,5 252 630 MPa afic anom 2,5 0,00122 0,00305 afic 630 MPa a 535,2 MPa Neuber: a
a
1 n'
a E K'
1 535,2 0,062
535,2
2,06 10 821 5
0,0036
DPŽ – Hrubý
70
Př.: Životnosti ocelového tělesa podle LPSA b) I) fiktivní elastické a „reálné“ hodnoty (amplituda a střední hodnota upraveny Neuberem nezávisle): afic anom 2,5 252 630 MPa
afic anom 2,5 0,00122 0,00305
(střední hodnoty samozřejmě rovny amplitudovým)
afic 630 MPa a 535,2 MPa
Neuber:
a
1 n'
a a E K'
1 535,2 0,062
535,2
821 2,06 10 5
nedoporučeno
0,0036
b) II) fiktivní elastické a „reálné“ hodnoty (Neuberem upraveno horní napětí):
hfic 2 anom 2 2,5 252 1260 MPa Neuber:
dfic 0 MPa
hfic 1260 MPa h 615,4 MPa a m
h h h E K'
1 n'
615,4 5 821 2,06 10 615,4
1 0,062
0,0126
h 615,4 307,7 MPa 2 2
a m
h 0,0126 0,0063 2 2
DPŽ – Hrubý
Př.: Životnosti ocelového tělesa podle LPSA a) životnosti: SWT (Smith, Watson, Topper) parametr:
PSWT a E a m 0,0036 2,06 105 535,2 0 630 630 783,6 2 2N 0,088 2,06 105 783,6 0,4712N ( 0,044 0,71) N 2 900
PL a 0,0036
Landgraf:
0,0036
'f m E
2N b 'f 2N c 783,6 05 2N 0,044 0,4712N 0,71 2,06 10
N 2 901
71
DPŽ – Hrubý
72
Př.: Životnosti ocelového tělesa podle LPSA b) I) životnosti: SWT (Smith, Watson, Topper) parametr:
PSWT a E a m 0,0036 2,06 10 5 535,2 535,2 891 891 783,6 2 2N 0,088 2,06 10 5 783,6 0,4712N ( 0,044 0,71) N 442
Landgraf: 0,0036
nedoporučeno
PL a 0,0036
'f m ,2 0,044 0,71 2N b 'f 2N c 783,6 535 2N 0,4712N E 2,06 105 N 480
DPŽ – Hrubý
Př.: Životnosti ocelového tělesa podle LPSA b) II) životnosti: SWT (Smith, Watson, Topper) parametr:
PSWT a E a m 0,0063 2,06 10 5 307,7 307,7 894 894 783,6 2 2N 0,088 2,06 10 5 783,6 0,4712N ( 0,044 0,71) N 437
Landgraf:
0,0063
PL a 0,0063
'f m 2N b 'f 2N c 783,6 3075 ,7 2N 0,044 0,4712N 0,71 E 2,06 10 N 219
73
DPŽ – Hrubý
74
Metody predikce životnosti
Přístup pomocí nominálních napětí (NSA - Nominal Stress Approach) Přístup pomocí lokálních elastických napětí (LESA - Local Elastic Stress Approach) Přístup pomocí lokálních elasto-plastických napětí a deformací (LPSA - Local Plastic Stress and Strain Approach) Přístup využívající lomové mechaniky (FMA - Fracture Mechanics Approach)
DPŽ – Hrubý
75
