PENENTUAN HARGA OPSI PUT AMERIKA DENGAN SIMULASI MONTE CARLO
MUHAMAD SYAZALI
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 1
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi dan kutipan dari karya penulis lain, yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan, telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Mei 2011
Muhamad Syazali NIM G551080071
2
ABSTRACT MUHAMAD SYAZALI. American Put Option Pricing by Monte Carlo Simulation. Under supervision of ENDAR H. NUGRAHANI and RETNO BUDIARTI An American option is an option that can be exercised at the strike price anytime before or on the date of expiration. In this thesis, Monte Carlo simulation for valuation of American option is presented. Monte Carlo simulation is one of the numerical methods used to determine the price of American options. The simulation provides several examples of initial stock price , rate of interest , exercise time , volatility , and strike price K. The simulation study shows the cost of the option c decreases when S increases, c decreases when r increases, c increases when T increases, c increases when increases, and c increases when K increases. Keywords : American Options, Black-Scholes Formula, Monte Carlo Simulation.
3
RINGKASAN MUHAMAD SYAZALI. Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan RETNO BUDIARTI. Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu. Aset tertentu dalam penelitian ini adalah saham. Pada dasarnya ada dua tipe opsi, yaitu opsi put dan opsi call. Opsi put adalah kontrak yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk menjual sejumlah aset. Sedangkan opsi call adalah kontrak opsi yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk membeli aset. Penggunaan hak untuk menjual atau membeli saham dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi. Berdasarkan waktu eksekusinya, kontrak opsi dibedakan atas opsi Amerika yakni kontrak opsi yang dapat dieksekusi kapanpun antara tanggal pembelian sampai dengan tanggal jatuh tempo (expiration date) dan opsi Eropa yakni opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat tanggal jatuh tempo. Harga opsi Eropa dapat ditentukan dengan menggunakan formula Black-Scholes yang merupakan solusi analitik dari persamaan Black-Scholes, namun untuk opsi Amerika belum terdapat solusi analitik, sehingga penelitian-penelitian yang selama ini dilakukan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah menggunakan pendekatan numerik. Salah satu metode numerik yang digunakan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah simulasi Monte Carlo. Metode ini merupakan metode alternatif berbasis teknik simulasi. Dimulai dengan persamaan pemrograman dinamis tradisional, yang menyampaikan gagasan bahwa harga opsi Amerika adalah masalah mengetahui pada setiap titik waktu, apakah opsi akan dieksekusi atau tidak. Tantangan utamanya adalah menentukan kapan akan melakukan eksekusi tersebut. Metode yang dipakai di sini mentransformasikan persamaan pemrograman dinamis ke masalah dualnya, dan akhirnya mencoba untuk menyelesaikan secara numerik. Berdasarkan hal tersebut, maka penelitian ini bertujuan menentukan harga opsi put Amerika dengan simulasi Monte Carlo. Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka, dengan menentukan solusi numerik persamaan Black-Scholes yang merupakan harga opsi put Amerika dengan simulasi Monte Carlo. Untuk memperoleh output berupa harga opsi put Amerika, simulasi Monte Carlo tersebut diimplementasikan pada software Matlab. Untuk mengimplementasikan pada Matlab terlebih dahulu disusun kode programnya dengan menggunakan parameter-parameter input, yaitu: (harga saham awal), (harga eksekusi), (suku bunga), (volatilitas), (waktu jatuh tempo), ( banyaknya partisi untuk waktu) dan (banyaknya pengulangan). Dari hasil simulasi pada komputer dapat dilihat hubungan antara harga opsi put Amerika dengan parameter-parameter , , , , dan . Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan beberapa hal berikut. Simulasi Monte Carlo dapat meramalkan harga saham yang akan terjadi. Metode monte Carlo baru digunakan jika penyelesaian secara analitik tidak ada. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh informasi: semakin tinggi harga saham awal maka harga opsi semakin rendah, semakin tinggi suku bunga maka harga opsi semakin
4
rendah, semakin lama waktu jatuh tempo maka harga opsi semakin tinggi, semakin tinggi nilai volatilitas saham, maka harga opsi akan semakin tinggi, semakin tinggi harga eksekusi maka harga opsi akan semakin tinggi. Kata kunci: Opsi Amerika, formula Black-Scholes, simulasi Monte Carlo
5
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2011 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitianm penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.
6
PENENTUAN HARGA OPSI PUT AMERIKA DENGAN SIMULASI MONTE CARLO
MUHAMAD SYAZALI
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
7
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA
8
HALAMAN PENGESAHAN
Judul Tesis Nama NRP Progam Studi
: Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo : Muhamad Syazali : G55080071 : Matematika Terapan
Menyetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Endar H Nugrahani, M.S. Ketua
Ir. Retno Budiarti, M.S. Anggota
Mengetahui
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H Nugrahani, M.S.
Tanggal Ujian: 19 Mei 2011
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir.Dahrul Syah, M.Sc.Agr.
Tanggal Lulus: ……………………
9
PRAKATA
Alhamdulillah, penulis panjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulisan tesis dengan judul “Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo” dapat diselesaikan. Tesis ini disusun sebagai salah syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, M.S. dan Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S. selaku dosen pembimbing yang telah banyak memberikan arahan dan bimbingan sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. 2. Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen penguji luar komisi yang telah banyak memberikan saran untuk penyempurnaan tesis ini. 3. Kedua orang tua (Prayitno dan Saiti), kakak dan adik tercinta (Edy Prasetyo, Rahmad Junaidi, Istihana, Rofiqul Umam dan Fajri Farid), keponakan tercinta (Zidan dan Zaki) serta keluarga besar atas doa, pengorbanan, semangat dan kasih sayang yang telah diberikan. 4. Ibu Susi, Bapak Bono, Mas Hery, Bapak Yono beserta staf Departemen Matematika. 5. Sahabat seperjuangan MAT 2008 : Mba Mia, Mba Mahmuda, dan Ro’fah atas segala bantuan dan motivasinya. 6. Rani Dwi Astuti yang telah memberikan semangat dan motivasi. 7. Teman-teman Al-Fath (Mas Erik, Mas Nono, Irfan, Aan, Ipung, Gonggo, Sigit) yang telah membantu penulis baik secara moril. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Mei 2011
Muhamad Syazali
10
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Muhamad Syazali. Penulis dilahirkan di Bandar Lampung, pada tanggal 21 November 1986 dari pasangan Bapak Prayitno dan Ibu Saiti. Penulis merupakan anak ke tiga dari enam bersaudara. Pada tahun 2004 penulis lulus dari MAN 1 Bandar Lampung. Pendidikan Sarjana ditempuh di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor dan lulus tahun 2008. Pada tahun yang sama penulis melanjutkan jenjang Magister Sains di Program Studi Matematika, Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor.
11
DAFTAR ISI
Hal DAFTAR ISI ................................................................................................
x
DAFTAR TABEL ........................................................................................ xii DAFTAR GAMBAR.................................................................................... xiii I. PENDAHULUAN.....................................................................................
1
1.1 Latar Belakang ....................................................................................
1
1.2 Tujuan Penelitian ................................................................................
3
1.3 Manfaat Penelitian...............................................................................
3
II. LANDASAN TEORI ...............................................................................
4
2.1 Aset yang Mendasari ..........................................................................
4
2.2 Nilai Opsi ...........................................................................................
4
2.3 Tipe Opsi............................................................................................
5
2.4 Keuntungan Opsi................................................................................
6
2.5 Faktor-Faktor yang Memengaruhi Harga Opsi .................................... 7 2.6 Persamaan Black-Scholes ................................................................... 8 2.7 Formulasi Harga Black-Scholes.......................................................... 11 2.8 Solusi Persamaan Black-Scholes ........................................................ 16 2.9 Ketaksamaan Black-Scholes untuk Opsi Amerika............................... 17 2.10 Masalah Nilai Batas Bebas Opsi Put Amerika .................................. 18 2.11 Martingale ........................................................................................ 20 III. PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA ...................................................... 21 3.1 Asumsi-Asumsi ................................................................................ 21 3.2 Nilai Intrinsik Opsi Put Amerika....................................................... 21 3.3 Formulasi Dekomposisi Nilai Opsi Put Amerika............................... 23 3.4 Batas Atas dan Batas Bawah Nilai Opsi Put Amerika ....................... 27 IV. SIMULASI MONTE CARLO ................................................................ 29 4.1 Sejarah ............................................................................................. 29 4.2 Gambaran Umum ............................................................................. 31 4.3 Ilustrasi Penggunaan Simulasi .......................................................... 32
12
V. IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA .......................................................................... 35 5.1 Harga Saham ( ( )).......................................................................... 35 5.2 Pembangkitan Nilai Intrinsik Opsi Put Amerika ............................... 38 5.3 Harga Opsi Put Amerika .................................................................. 40 5.4 Hedging dan Eksekusi ...................................................................... 41 5.5 Algoritma dan Implementasi............................................................. 42 VI. HASIL SIMULASI................................................................................. 45 6.1 Harga Opsi dalam Berbagai Kasus ................................................... 45 6.2 Standar Deviasi................................................................................ 51 VI. SIMPULAN DAN SARAN .................................................................... 54 VII. DAFTAR PUSTAKA............................................................................ 56 LAMPIRAN ................................................................................................. 57
13
DAFTAR TABEL
Hal 1. Distribusi permintaan sepatu per hari ......................................................
32
2. Distribusi permintaan dalam bentuk fungsi distribusi kumulatif ..............
33
3. Tag number yang disusun berdasarkan FDK ...........................................
33
4. Hasil kesimpulan permintaan ..................................................................
34
= 0.06,
= 100, serta harga saham yang bervariasi ........
45
= 0.5,
= 100, serta suku bunga yang bervariasi.......................................
47
5. Harga opsi put Amerika dengan parameter = 0.4,
= 0.5, dan
6. Harga opsi put dengan parameter dan
= 0.4,
= 0.01,
= 100, serta waktu jatuh tempo yang bervariasi............................
48
= 80,
= 100,
= 0.06,
= 0.5,
= 100, serta nilai volatilitas saham ( ) yang bervariasi ................
49
= 80,
= 0.4,
= 0.06,
= 0.5,
= 100, serta harga eksekusi ( ) yang bervariasi ..........................
50
..................
51
9. Harga opsi put dengan parameter dan
= 0.4,
= 100,
8. Harga opsi put dengan parameter dan
= 100,
= 80,
7. Harga opsi put dengan parameter dan
= 80,
= 100,
10. Nilai opsi put Amerika untuk beberapa harga saham awal
14
DAFTAR GAMBAR
Hal ( ) . ................................................ 37
1.
Nilai harga saham pada waktu
2. 3.
Nilai intrinsik opsi pada waktu ( ( ))................................................. 39
4.
Hubungan harga opsi dengan harga saham awal .................................... 46
5.
Hubungan harga opsi dengan suku bunga .............................................. 47
6.
Hubungan harga opsi dengan waktu jatuh tempo ................................... 48
7.
Hubungan harga opsi dengan volatilitas saham ...................................... 49
8.
Hubungan antara harga opsi dengan harga eksekusi............................... 50
9.
Nilai opsi put Amerika untuk
Bagan alur algoritma simulasi Monte Carlo ........................................... 44
= 80
di sepanjang interval waktu [0, ].......................................................... 52
15
DAFTAR LAMPIRAN
Hal 1.
Penurunan Persamaan (2.8) ................................................................... 58
2.
Penentuan rataan dan standar deviasi peubah
3.
Penurunan Persamaan (2.26).................................................................. 59
4.
Bukti Teorema 3.1.................................................................................
60
5.
Bukti Teorema 3.2.................................................................................
61
..................................... 58
16
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang. Dalam dunia keuangan, dikenal adanya pasar keuangan (financial market) yang terdiri atas pasar uang (money market) dan pasar modal (capital market). Sekuritas pasar uang adalah obligasi dengan jatuh tempo sangat pendek. Sekuritas pasar uang biasanya sangat laku di pasar dan memiliki risiko yang relatife kecil. Jatuh tempo yang pendek dan risiko kredit yang kecil memastikan keuntungan atau kerugian modal yang minimal. Sekuritas tersebut dijual dalam denominasi yang besar tetapi dapat dibeli secara tidak langsung melalui reksa dana pasar uang. Sedangkan pasar modal meliputi sekuritas jangka panjang dan lebih berisiko. Sekuritas yang ada di pasar modal lebih beragam dibanding pasar uang. Oleh karena itu, pasar modal dibagi menjadi empat segmen: pasar obligasi jangka panjang, pasar saham, serta pasar instrumen derivatif untuk opsi dan kontrak berjangka. Hull (2006) menyatakan bahwa derivatif adalah instrumen keuangan yang nilainya didasarkan atau diturunkan dari aset yang mendasarinya. Beberapa produk derivatif antara lain kontrak berjangka (future contract), kontrak forward dan kontrak opsi. Kontrak berjangka merupakan suatu kewajiban untuk membeli atau menjual suatu aset pada harga yang telah ditentukan pada saat jatuh tempo. Kontrak forward merupakan perjanjian untuk melakukan penyerahan aset di masa mendatang pada harga yang disepakati. Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu. Investasi di bursa saham merupakan bentuk investasi penuh risiko yang membuat investor berhati-hati dalam menginvestasikan dananya. Hal tersebut menjadi salah satu faktor munculnya sarana alternatif untuk berinvestasi. Salah satu investasi alternatif yang ditawarkan di berbagai bursa dunia adalah produk sekuritas turunan yang merupakan perangkat keuangan yang nilainya bergantung
17
kepada nilai aset yang mendasarinya. Salah satu produk tersebut adalah kontrak opsi. Chicago Board Options Exchange merupakan bursa pertama di dunia yang memperdagangkan kontrak opsi pada tahun 1973. Di Indonesia, perdagangan opsi baru dilakukan di Bursa Efek Jakarta (BEJ) pada bulan Oktober 2004, yang sekarang bernama Bursa Efek Indonesia. Kontrak opsi adalah perjanjian antara dua pihak yang memberikan hak kepada salah satu pihak, untuk menjual atau membeli aset pada harga yang telah disepakati (strike price, exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Pada dasarnya ada dua tipe opsi, yaitu opsi put dan opsi call. Opsi put adalah kontrak yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk menjual sejumlah aset. Sedangkan opsi call adalah kontrak opsi yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk membeli aset. Penggunaan hak untuk menjual atau membeli saham dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi. Berdasarkan waktu eksekusinya, kontrak opsi dibedakan atas opsi Amerika yakni kontrak opsi yang dapat dieksekusi kapanpun antara tanggal pembelian sampai dengan tanggal jatuh tempo (expiration date) dan opsi Eropa yakni opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat tanggal jatuh tempo. Untuk mendapatkan kontrak opsi, investor harus mengeluarkan biaya (premi) dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat. Besarnya biaya ini disebut juga dengan nilai opsi. Teori penentuan nilai opsi telah dikembangkan pada tahun 1973 oleh Fisher Black dan Myron Scholes yang berhasil merumuskan masalah penentuan nilai opsi Eropa ke dalam bentuk persamaan diferensial parsial (PDP) Black Scholes. Pada tahun yang sama, Robert C. Merton mempublikasikan hasil karyanya yang merupakan perluasan dari formula Black-Scholes yaitu formula Black-Scholes-Merton untuk nilai opsi put Eropa. Setelah itu, banyak peneliti lain yang berhasil memodelkan opsi Amerika dengan melakukan penyesuaian argumentasi terhadap penurunan PDP Black-Scholes. Dengan penyesuaian argumentasi ini, akan diperoleh model PDP Black-Scholes nilai opsi Amerika dalam bentuk ketaksamaan (Wilmott et al. 1993).
18
Dengan landasan yang diberikan para peneliti tersebut, muncul inovasiinovasi penilaian tentang nilai opsi, salah satunya mengenai nilai opsi put Amerika. Dalam kontrak opsi put Amerika ada suatu harga saham tertentu yang menjadi nilai batas antara selang harga saham yang merupakan saat bagi investor untuk mengeksekusi kontrak opsi dengan selang harga saham lainnya yang merupakan saat bagi investor sebaiknya menjual kontrak opsi. Harga saham yang menjadi batas pemisah kedua selang tersebut disebut nilai kritis untuk eksekusi opsi. Pada opsi Amerika terdapat kebebasan waktu eksekusi, maka hingga saat ini belum terdapat solusi analitik. Penelitian-penelitian yang selama ini dilakukan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah menggunakan pendekatan numerik (Pauly 2004). Salah satu metode numerik yang digunakan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah simulasi Monte Carlo. Metode ini merupakan metode alternatif berbasis teknik simulasi. Dimulai dengan persamaan pemrograman dinamis tradisional, yang menyampaikan gagasan bahwa harga opsi Amerika adalah masalah mengetahui pada setiap titik waktu, apakah opsi akan dieksekusi atau tidak. Tantangan utamanya adalah menentukan kapan akan melakukan eksekusi tersebut.
Metode
yang
dipakai
di
sini
mentransformasikan
persamaan
pemrograman dinamis ke masalah dualnya, dan akhirnya mencoba untuk menyelesaikan secara numerik.
1.2 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah menentukan harga opsi put Amerika dengan simulasi Monte Carlo.
1.3 Manfaat Penelitian Dengan simulasi Monte Carlo dapat diramalkan harga saham yang akan terjadi di masa akan datang sehingga dapat diketahui harga opsi put Amerika yang maksimal. Oleh karena itu investor dapat menentukan kira-kira kapan dia akan mengeksekusi opsi agar mendapatkan keuntungan yang maksimum.
19
BAB II LANDASAN TEORI
Salah
satu
instrumen derivatif
yang mempunyai
potensi
untuk
dikembangkan adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak, salah satu pihak (sebagai pembeli) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan pula, pada atau sebelum waktu yang ditentukan. Pemegang opsi tidak diwajibkan untuk menggunakan haknya atau akan menggunakan haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya akan menghasilkan keuntungan baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari tersebut. Hull (2006) memaparkan ada beberapa aset yang mendasari opsi. Lalu menerangkan pula tentang nilai opsi, tipe opsi, keuntungan opsi, dan faktor-faktor yang memengaruhi harga opsi. Seperti yang tertuliskan pada sub bab 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, dan 2.5 berikut ini.
2.1 Aset yang Mendasari Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara lain opsi indeks (index option), opsi valuta asing (foreign currency option), opsi berjangka (future option), dan opsi saham (stock option). Opsi indeks adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah mata uang asing dengan kurs tertentu. Opsi berjangka adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah kontrak berjangka, dan opsi saham adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah saham. Tulisan ini akan membahas tentang opsi saham.
2.2 Nilai Opsi Nilai opsi terdiri dari nilai intrinsik opsi dan nilai waktu. Dimana, nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis, menggambarkan keuntungan investor jika opsi dieksekusi dengan segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi tidak positif, maka nilai intrinsiknya adalah nol. Untuk opsi call, nilai intrinsiknya akan positif jika harga saham yang terjadi (ST) lebih besar dari pada harga eksekusi
20
(harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo). Untuk opsi put nilai intrinsiknya akan positif jika harga saham yang terjadi pada waktu
(ST) kurang dari harga
eksekusi (K). Sedangkan nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuka.
2.3 Tipe Opsi Terdapat dua tipe kontrak opsi, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi call memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi (strike price, exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Opsi put sendiri memberikan hak kepada pemegang opsi untuk untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsi call tersebut ada empat hal utama, yaitu :
Harga aset yang mendasari yang akan dibeli.
Jumlah aset yang mendasari yang akan dibeli.
Harga eksekusi aset yang mendasari.
Tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebut expiration date.
Pada kontrak opsi put empat hal tersebut identik dengan yang tertuang dalam opsi call. Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Misalkan harga saham awal (pada saat disetujui kontrak) adalah S, waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi adalah K, serta c = c(S,t) menyatakan harga opsi call Eropa pada saat t, dan p = p(S,t) menyatakan harga opsi put Eropa pada saat t. Nilai intrinsik dari opsi call Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu
payoff
atau
penerimaan
bagi
pemegang
kontrak
opsi
yaitu
c = maks (ST – K,0).
21
Jika ST > K, opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan menjual saham dengan harga ST yang lebih besar dari K, dan akan mendapatkan hasil sejumlah ST – K. Jika ST = K opsi call dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila ST < K opsi call dikatakan dalam keadaan out of the money. Kondisi payoff dari opsi put Eropa adalah p = maks (K – ST, 0). Jika ST > K, opsi tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak menggunakan haknya. Opsi put akan dieksekusi pada saat ST < K sehingga pemegang opsi memperoleh hasil sebesar K – ST. Hubungan antara harga opsi call Eropa dengan put Eropa yang dikenal dengan put-call-parity, dapat dinyatakan sebagai berikut : +
=
dengan r menyatakan suku bunga bebas risiko.
+ ,
Apabila C = C(S,t) menyatakan harga opsi call Amerika dan P = P(S,t) menyatakan harga opsi put Amerika, maka payoff pada waktu maturity untuk opsi call adalah :
sedangkan untuk opsi put
= maks(
–
, 0),
= maks( –
, 0).
2.4 Keuntungan Opsi Dengan melaksanakan perdagangan opsi, akan dapat diperoleh beberapa manfaat seperti berikut ini :
Menejemen risiko: penerbit opsi put atas suatu aset yang mendasari dapat melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang mendasarinya turun drastis secara tiba-tiba, sehingga dapat menghindari risiko kerugian.
Memberikan waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang opsi call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau tidak hingga masa jatuh tempo berakhir.
Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila
22
diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya bila harga cenderung turun maka akan membeli opsi put.
Penambahan pendapatan: perusahaan yang menerbitkan saham akan memperoleh tambahan pemasukan apabila menerbitkan opsi warrant, yaitu berupa premi dari opsi tersebut.
2.5 Faktor-Faktor yang Memengaruhi Harga Opsi Harga Opsi sendiri dipengaruhi oleh berbagai faktor diantaranya adalah harga aset yang mendasari dan harga eksekusi, waktu jatuh tempo, volatilitas, dan suku bunga bebas risiko.
Harga Aset yang Mendasari dan Harga Eksekusi Jika suatu opsi call dieksekusi pada waktu di masa yang akan datang,
pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga eksekusi. Suatu opsi call akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang mendasari meningkat dan kurang bernilai jika harga eksekusi meningkat. Sementara pada opsi put, pembayaran atas eksekusi hak adalah sebesar selisih antara harga eksekusi dan harga aset yang mendasarinya.
Waktu Jatuh Tempo Untuk opsi Amerika, dari kedua macam opsi call maupun opsi put menjadi
lebih berharga jika waktu jatuh temponya semakin lama. Sementara tipe Eropa nilai terhadap opsi baik call maupun put tidak terpengaruh dengan jatuh tempo, hal ini berkenaan dengan waktu eksekusi haknya.
Volatilitas Volatilitas atas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat
ketidakpastian mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa mendatang. Jika volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan terhadap suatu opsi.
Suku Bunga Bebas Risiko Suku bunga bebas risiko memengaruhi harga suatu opsi. Jika tingkat suku
bunga dalam perekonomian mengalami kenaikan dan memengaruhi harapan kenaikan harga aset yang mendasari (dalam hal ini saham). Dengan
23
mengasumsikan bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi put akan menurun jika suku bunga bebas risiko mengalami peningkatan. Begitu pula sebaliknya, harga opsi call akan selalu meningkat seiring dengan peningkatan suku bunga bebas risiko.
2.6 Persamaan Black-Scholes Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 dalam merumuskan nilai opsi call Eropa mendasarkan pada beberapa asumsi berikut ini :
Harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener dengan μ dan σ konstan;
Tidak ada biaya transaksi dan pajak;
Tidak ada pembayaran deviden pada saham;
Tidak terdapat peluang arbitrase, yaitu suatu peluang untuk memperoleh keuntungan tanpa risiko;
Short selling diijinkan;
Suku bunga bebas risiko r adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo. Untuk
memodelkan
Persamaan
Black-Scholes
didefinisikan
atau
ditentukan beberapa istilah berikut :
Definisi 1 (Proses Stokastik) Proses stokastik
= { ( ), ∈
} adalah suatu himpunan dari peubah
acak. Untuk setiap t pada himpunan indeks H, X(t) adalah suatu peubah acak dan t sering diinterpretasikan waktu. [Ross 1996]
Definisi 2 (Gerak Brown) Proses stokastik 1. X(0) = 0.
= { ( ), ∈
} disebut proses gerak Brown jika :
2. Untuk 0 < t1 < t2 < . . . < tn peubah acak X(ti) – X(ti-1), i = 1, 2, 3, ..., n saling bebas.
24
3. Untuk setiap t > 0, X(t) berdistribusi normal dengan rataan 0 dan variansi σ2t. [Ross 1996]
Definisi 3 (Gerak Brown Geometris) Jika { ( ), > 0} adalah gerak Brown, maka proses stokastik { ( ), ≥ 0} yang ( )
didefinisikan ( ) =
disebut gerak Brown Geometris.
[Ross 1996]
Definisi 4 (Proses Wiener) Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1. [Niwiga 2005]
Definisi 5 (Proses Wiener Umum) Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut : dX(t) = adt + bdW(t).
(2.1)
adt disebut komponen deterministik dan bdW(t) menyatakan komponen stokastik, serta W(t) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan rataan dan standar deviasi dari X.
[Hull 2006]
Definisi 6 (Proses Itô) Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Secara aljabar proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut : dX(t) = a(X(t),t)dt + b(X(t),t)dW(t).
(2.2) [Hull 2006]
Lema Itô Misalkan proses X(t) memenuhi (2.2) dan fungsi ( ) = ( ( ), ) adalah
kontinu serta turunan
( ( ), ),
( ( ), ),
( ( ), ) memenuhi persamaan berikut :
( ( ), ) kontinu, maka
( )=
25
( )=( +
dengan =
,
=
persamaan (2.2).
,
=
+
)
+
( )
(2.3)
( ) adalah proses Wiener sama seperti
, dan
mengikuti proses Itô, dengan drift rate +
dan variance rate
+ ( )
1 2
.
[Hull 2006]
Definisi 8 (Model Harga Saham) Jika S harga saham pada waktu t, μ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan σ volatilitas harga saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu : ( )=
( )
+
( )
( ).
(2.4) [Hull 2006]
Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan Black-Scholes. Misalnya
( ) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan
(2.1). Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi (2.2). Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran dividen pada saham. Misalnya ( ) adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Itô, perubahan ( ) akan memiliki nilai harapan drif rate µ . Parameter µ menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan µ ( )
disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah
( )
( ),dengan
menyatakan volatilitas harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah berbentuk (2.4). Dengan (2.4) ini, dapat diterapkan Lemma Itô untuk suatu fungsi ( , ),
yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, sehingga diperoleh: =
+
+
+
( ).
(2.5)
26
Untuk
menghilangkan
proses
Wiener
dipilih
sebuah
portofolio
yang
diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli satu opsi dan menjual
saham. Misalnya π adalah nilai portofolio yang
dimaksud, maka =
−
=
−
.
(2.6)
Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai .
(2.7)
Dengan menyubstitusikan (2.4) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh =
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1)
+
.
(2.8)
Tingkat pengembalian (return) dari investasi sebesar π pada saham takberisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar rπdt dalam selang waktu dt, dengan r adalah suku bunga bebas risiko. Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari (2.8), yaitu : =
+
.
(2.9)
=0
(2.10)
Substitusi (2.6) ke dalam (2.9), menghasilkan −
+
=
+
+
−
Persamaan (2.10) ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes-Merton.
2.7 Formulasi Harga Black-Scholes Hull (2006) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut formula Black-Scholes, adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko netral. Untuk sebuah opsi call Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada saat jatuh tempo adalah [maks(
− , 0)]
(2.11)
27
Didefinisikan (
) adalah fungsi kepekatan peluang dari ∞
− , 0)] = ∫ (
[maks(
= ln , maka
Misalkan diperoleh
=
+0− =
= ,
= − , dan
−
Oleh karena µ dan σ konstan maka rataan
−
dan varian
Berdasarkan (2.3),
− ) (
+
+
.
( ).
= ln
, maka )
.
(2.12)
= 0. Berdasarkan Lemma Itô
( )
mengikuti gerak Brown dengan
merupakan tingkat keuntungan (return) dari harga
saham. Bentuk keuntungan dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah µdt. Sebagai contoh dari keuntungan yang bersifat deterministik adalah keuntungan dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga saham dapat dikatakan sebagai tingkat suku bunga r, sehingga konstanta µ dapat diganti dengan r. Karena
= ln
berubah dari 0 sampai dengan T dan
mengikuti gerak Brown, maka ln −
= ln
dan variansi
= ln
berdistribusi normal dengan rataan
.
= 0 nilai
Misalkan pada waktu
, maka pada selang waktu
= ln
dan pada waktu T nilai
= 0 sampai dengan T, (ln
− ln
)
adalah berdistribusi normal dengan rataan dan variansi di atas, sehingga diperoleh: (ln
atau dapat dituliskan ln Dengan demikian ln dan standar deviasi
ln
− ln
)~
−
, √
,
.
berdistribusi normal dengan ~
ln
+
−
, √
= ln
+
−
,
, berdistribusi normal dengan rataan (2.13)
= √ . 28
Selanjutnya didefinisikan pula sebuah peubah =
√
dengan .
(2.14)
Substitusi m dari (2.13) ke dalam (2.14) diperoleh =
maka peubah
√
(ln
)−
− ln
−
√
,
juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1,
dan fungsi kepekatan peluang dari
dinyatakan dengan ℎ( ), yaitu
ℎ( ) =
/
√
.
(2.15)
(Bukti berdasarkan Buchanan 2006 dapat dilihat pada Lampiran 2) Persamaan (2.14) diubah menjadi √
=
.
(2.16)
Perubahan batas integral pada sisi kanan dari (2.12), dari integral menurut menjadi integral menurut , adalah sebagai berikut: Jika Jika
= ∞, maka =
maka
= ∞.
=
√
=
sehingga
.
√
Dengan menggunakan (2.15), (2.16), dan perubahan batas integral serta misalkan
= √ , maka (2.12) menjadi: ∞
[maks(
− , 0)] =
(
− )ℎ( )
∞
∞
ℎ( )
= ∞
∞
= ∞
=
∞
1
= (
1
( (
√2 √2
/
√2
1
ℎ( )
−
ℎ( )
−
∞ )/
ℎ( )
−
∞ )
)/
−
ℎ( )
29
∞
=
( (
√2
∞ /
=
∞
1
/
) )/
ℎ( )
− ∞
ℎ( − )
ℎ( )
−
sehingga (2.12) dapat dinyatakan dengan [maks(
Jika
− , 0)] = ∫
∞
/
ℎ( − )
−
∫
∞
ℎ( )
.
(2.17)
( ) didefinisikan sebagai suatu fungsi berdistribusi normal
kumulatif, maka ∫ Peubah
∞
/
ℎ( − )
/ /
1 − [(ln
[(− ln
+
−
)/ − ]
)/ + ] .
pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku pertama di atas = √ , maka diperoleh
disubstitusi dengan (2.13) dan ∞ /
ℎ( − ) =
/
=
/
=
/
= dengan
=
=
= ln( / ) +
− ln
/
(
+
+ ln
+
ln( / ) +
−
ln( / ) + ),
+
−
2
+
/ √ + √ √
/ √
/ √
/ √ .
30
Dengan alasan yang serupa seperti di atas, maka ∫
∞
ℎ( )
=
1−
=
.
(2.18)
Dengan menyubstitusikan m dan s pada (2.13) ke dalam (2.18) diperoleh ∫
∞
ℎ( )
=
− ln
=
(
=
= ln( / ) +
dengan
−
sehingga (2.12) menjadi [maks(
− , 0)] =
/
=
(
=
+ ln
+
ln( / ) +
−
−
),
/ √
/ √
̒ / √ ,
(
)−
(
/
)−
(
(
).
)
)−
(
)
(2.19)
Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call Eropa yang dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai [maks(
=
− , 0)].
(2.20)
Dengan substitusi (2.19) ke dalam (2.20) diperoleh formula Black-Scholes untuk opsi call Eropa tanpa membayarkan deviden pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu =
(
)−
(
),
(2.21)
dan dengan put-call-parity diperoleh harga opsi put Eropa (−
=
dengan = ln( / ) + =
√
+
=
)−
(−
),
/ √ dan
− √ .
31
2.8 Solusi Persamaan Black-Scholes Berdasarkan Hull (2006) berikut ini akan ditunjukkan bahwa ( , ) pada
(2.21) merupakan solusi dari (2.10). yaitu akan dihasilkan −
= 0 dengan menentukan turunan-turunan (2.21) terhadap − . Turunan
serta peubah T diganti dengan
=( =
Dari persamaan adalah
√
/ )
√
dan
sehingga
=
−
2√ −
)
)
′(
=
(
−
′(
=
=
.
−
)
−
)
(
)−
(
′(
=− ′(
)=
)
)
(
−
′(
(
)
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 3) Turunan parsial (2.21) terhadap =
(
)+
(
−
√
dan
berturut turut
,
(2.23)
Substitusi (2.23) ke dalam (2.24) diperoleh
dengan
(2.22)
√ − ,
Turunan parsial (2.21) terhadap adalah ′(
.
√
− √ − , turunan terhadap =−
dan
+
terhadap S adalah
=
−
=
+
)
(
)−
(
)
)
)
( (
′(
).
′(
)
) (2.24)
),
(2.25)
.
(2.26)
adalah ′(
)
−
(
)
′(
)
.
(2.27)
32
Substitusi (2.23) dan (2.26) ke dalam (2.27) diperoleh =
(
)+
′(
)
(
=
=
′(
)+
.
)
′(
′(
−
)
)
′(
−
)
=
(
)
(2.28) (2.29)
Substitusi (2.22) ke dalam (2.29) diperoleh ′(
=
Peubah
)
√
.
(2.30)
pada (2.10) diubah dengan +
maka menjadi
+
−
= 0.
(2.31)
Substitusi (2.21), (2.25), (2.27), dan (2.30) ke dalam (2.31) didapat +
+
=− +
′(
= − + −
)
′(
(
(
√
−
)
)+ )
Sehingga terbukti bahwa
√
(
(
− (
(
− [
)+ +
)
) + − (
(
)− )
+
)+
′(
(
)
(
(
)
+
√
) = 0. −
)
(
)]
′(
)
√
= 0.
2.9 Ketaksamaan Black-Scholes untuk Opsi Amerika Persamaan (2.4) menyatakan bahwa model perubahan harga saham adalah ( )=
( )
+
( )
( ). Seperti halnya pada penurunan persamaan
Black-Scholes, dibentuk suatu portofolio dengan membeli sebuah opsi Amerika dan menjual sejumlah saham, maka diperoleh:
Dengan memilih
=
=
−
.
dan analogi (2.8), maka nilai portofolio berubah menjadi =
+
.
Pada persamaan Black-Scholes untuk opsi Eropa argumentasinya adalah dibentuk suatu persamaan dengan return tak berisiko, agar tidak terjadi peluang arbitrase. Namun ketika opsi pada portofolio itu opsi Amerika, diperoleh 33
pendapatan tidak lebih banyak dari suku bunga bebas risiko portofolio itu, sehingga ≤
=
−
.
Alasannya adalah pemegang opsi Amerika mengontrol kapan dia akan mengeksekusi. Jika eksekusinya tidak optimal, maka nilai perubahan portofolio akan kurang dari return tanpa risiko, sehingga didapat pertidaksamaan: +
atau
≤ +
−
+
,
−
≤ 0.
(2.32)
Pertidaksamaan (2.32) adalah merupakan ketaksamaan Black-Scholes opsi Amerika. Pertidaksamaan (2.32) dapat dinyatakan sebagai berikut : + +
+ +
− −
<0
(2.33)
= 0.
(2.34)
Dengan adanya ketaksamaan tersebut, maka diberikan nilai batas untuk menentukan nilai opsi put Amerika.
2.10 Masalah Nilai Batas Bebas Opsi Put Amerika Kondisi batas bawah untuk opsi put Amerika adalah ( , ) ≥ ( − ) , ∀( , ).
Hal ini dengan alasan sebagai berikut: jika 0 =
=
(2.35) −
seseorang dapat
membeli opsi put P, dan segera mengeksekusinya, yaitu dengan membeli S dan menjualnya sebesar K. Dengan demikian ia memperoleh pendapatan tidak berisiko sebesar
− −
> 0. Oleh karena Black-Scholes dengan asumsi tidak
terjadi kesempatan arbitrase, maka (2.35) adalah kendala yang benar untuk opsi put Amerika. Misalkan
( ) menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi
akan optimal apabila dieksekusi lebih awal dan 0 < maka opsi akan dieksekusi, namun jika
demikian (2.35) dapat dinyatakan dengan:
( )<
( )<
. Jika
≤
( )
opsi tidak dieksekusi. Dengan
34
( , )
= − >( − )
; ≤ ( ) ; > ( )
(2.36)
( ) tidak diketahui posisinya, penyelesaian terhadap
Oleh karena
( , ) ini
disebut masalah nilai batas bebas (free buondary-value problem), sehingga ketika <
( )<
nilai ( , ) =
− , serta
nilai opsi put Amerika memenuhi: + Pada saat
+
( , )=
harus memenuhi (2.33) sehingga
−
<0
− .
( , ) > ( − ) , serta
( ) < , nilai
(2.37)
harus memenuhi (2.34),
sehingga nilai opsi put Amerika memenuhi: +
+
−
=0
( , )>( − ) .
(2.38)
Dengan demikian masalah nilai batas bebas dari opsi put Amerika adalah sebagai berikut: Untuk
Untuk
<
( )
>
( )
Syarat batas Syarat akhir
Untuk harga saham
+ ᶤ
+
( , )=
+
+
lim lim
−
<0
−
=0
− .
( , )>( − ) . →
→
( , )=0 ( , )=
dan
( ( ), ) = ( − ( )) .
(2.39) [Pauly 2004]
menuju tak hingga, nilai intrinsiknya memenuhi: lim maks{0, →∞
− }=0
Sehingga dalam kondisi ini investor lebih memilih menjual kontrak opsi. Karena tidak diperbolehkannya tindakan arbitrase, maka untuk harga saham
yang
semakin besar, nilai opsi put Amerika harus sama dengan nilai intrinsiknya. Karena nilai intrinsic menuju nol pada saat
menuju tak hingga. Maka, nilai opsi
put harus memenuhi: lim ( , ) = 0 →∞
35
Kemudian jika bernilai
= 0, maka nilai intrinsiknya maks{0,
− } akan
. Sehingga dalam kondisi ini investor akan mengeksekusi kontrak opsi.
Agar tindakan arbitrase tidak terjadi, maka nilai opsi put harus sama dengan nilai intrinsiknya, sehingga nilai opsi put adalah:
2.11 Martingale
(0, ) =
.
Misalkan proses stokastik ( ) dengan ∈ [0, ] didefinisikan pada ruang
probabilitas (Ω, , ).
Misalkan { ( ), ∈ [0, ∞]}
informasi yang disebut filtrasi. Jika nilai
menyatakan kumpulan
( ) termasuk dalam himpunan ( )
untuk ∀ ≥ 0, maka dapat dikatakan bahwa
( ) adalah
( )−
.
Dengan kata lain, nilai ( ) akan diketahui dengan diberikan himpunan informasi ( ).
Definisi 9. (Martingale) Proses stokastik { ( ), ∈ [0, ∞]} dikatakan martingale yang berdasarkan
filtrasi ( ) dan peluang , jika untuk ∀ ≥ 0, i.
( ) diketahui, dengan diberikan filtrasi ).
ii. iii.
( ) ( ( ) adalah
( )−
| ( )| < ∞
[ ( )] = [ ( )| ( )] = ( ) untuk ∀ < , dengan peluang 1.
[Neftci 2000]
36
BAB III PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA
Pada bab ini akan disajikan rumusan mengenai penilaian opsi put Amerika. Pada bagian pertama diberikan beberapa asumsi untuk penilaian opsi Amerika. Bentuk nilai intrinsik opsi put Amerika dibahas di bagian kedua. Kemudian di bagian ketiga akan disajikan formulasi dekomposisi nilai opsi put Amerika, dengan nilai batas atas dan batas bawah opsi put Amerika diberikan pada bagian keempat.
3.1 Asumsi-asumsi Asumsi-asumsi yang digunakan dalam penilaian opsi put Amerika, antara lain: 1. Tingkat suku bunga bebas risiko dan bernilai konstan. 2. Tidak ada kemungkinan terjadinya arbitrase. Arbitrase adalah suatu peluang untuk memperoleh keuntungan tanpa risiko. 3. Model pasar sempurna, tidak ada biaya transaksi jual atau beli pada saham atau opsi. 4. Perubahan harga saham mengikuti model gerak Brown. 5. Sebaran harga saham adalah lognormal dan ragam adalah konstan. 6. Tidak ada pembayaran dividen atas saham.
3.2 Nilai Intrinsik Opsi Put Amerika Opsi Amerika yang memiliki waktu jatuh tempo pada waktu , memiliki nilai opsi bukan hanya ditentukan pada saat waktu jatuh tempo
seperti pada opsi
Eropa. Karena dalam kontrak opsi Amerika terdapat keleluasaan dalam waktu mengeksekusi sehingga opsi dapat dieksekusi kapan saja sejak kontrak dibuat sampai dengan waktu jatuh tempo. Oleh karena hal ini, penentuan nilai opsi Amerika menjadi hal menarik yang hingga saat ini masih banyak diteliti oleh para peneliti terdahulu.
37
Seperti hal nya opsi Eropa, opsi Amerika pun memiliki keadaan-keadaan dimana investor mengalami kerugian dan mengalami keuntungan ataupun tidak mengalami kerugian dan keuntungan (dalam hal ini disebut impas). Dalam opsi put Amerika keadaan dimana opsi memberikan keuntungan jika segera dieksekusi disebut in the money. Keadaan opsi yang memberikan kerugian jika opsi segera dieksekusi disebut out the money. Sedangkan keadaan dimana opsi yang tidak memberikan keuntungan maupun kerugian disebut at the money. Nilai maksimum antara nol dan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu sebelum jatuh tempo disebut dengan nilai intrinsik. Pada waktu jatuh tempo, nilai intrinsiknya disebut sebagai nilai payoff. Misalkan S adalah harga saham dan K merupakan harga eksekusi (strike price). Apabila
<
, tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar
− , maka kontrak opsi put berada pada posisi in the money. Apabila
=
,
tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar nol, maka kontrak opsi put berada pada posisi at the money. Dan ketika
>
, tindakan eksekusi tidak
memberikan keuntungan. Maka kontrak opsi put berada pada posisi out the money. Karena pada saat keuntungan, maka untuk
≥
≥
, tindakan eksekusi opsi put tidak memberikan , didefinisikan nilai intrinsiknya opsi put adalah
nol. Dengan demikian, untuk setiap ∈ [0, ), nilai intrinsik opsi put dirumuskan sebagai:
= maks{0,
− }.
Misalkan nilai opsi put Amerika dinotasikan sebagai ∈ [0, ∞) dan
(3.1) ( , ), untuk
∈ [0, ], dengan T menyatakan waktu jatuh tempo. Hubungan
nilai opsi put ( , ) dengan nilai intrinsik terdiri dari tiga kemungkinan:
Nilai opsi put Amerika ( , ) memenuhi ketaksamaan: ( , ) < maks{0,
− }.
Jika investor membeli kontrak opsi tersebut dengan harga
(3.2) ( , ) dan
kontrak opsi segera dieksekusi, maka investor akan memperoleh keuntungan bebas risiko sebesar
=
− − ( , ). Hal ini berarti bahwa terdapat peluang
terjadinya tindakan arbitrase, maka kemungkinan pertama tidak berlaku.
Nilai opsi put Amerika memenuhi persamaan: ( , ) = maks{0,
− }.
(3.3)
38
Maka akan terdapat dua reaksi investor tidak tertarik untuk membeli opsi karena investasi yang impas atau investor tertarik untuk membeli opsi karena adanya harapan bahwa nilai pengembalian opsi (return) pada saat opsi dieksekusi akan meningkat. Untuk mengantisipasi kedua kemungkinan tersebut, maka investor pemegang kontrak opsi lebih memilih mengeksekusi opsinya. Dengan demikian, persamaan memberikan keadaan bagi investor untuk mengeksekusi kontrak opsi put Amerika.
Nilai opsi put Amerika memenuhi ketaksamaan: ( , ) > maks{0,
− }.
(3.4)
Hal ini berarti bahwa tindakan eksekusi opsi akan merugikan karena nilai keuntungan opsi lebih kecil dari nilai kontrak opsinya. Akibatnya investor pemegang kontrak opsi lebih memilih untuk menjual kontrak opsi dengan harga ( , ) kepada pihak lain. Dengan demikian, ketaksamaan (3.4) menghasilkan
aksi jual kontrak opsi.
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa nilai opsi put Amerika harus memenuhi ketaksamaan: ( , ) ≥ maks{0,
− }.
(3.5)
3.3 Formulasi Dekomposisi Nilai Opsi put Amerika. Model nilai opsi put Amerika. Misalkan nilai opsi put Amerika dinotasikan sebagai
( , ), untuk
∈ [0, ∞) dan
∈ [0, ], dengan T
menyatakan waktu jatuh tempo. Nilai opsi put Amerika ( , ) merupakan fungsi
kontinu yang memetakan ( , ) ∈ [0, ∞) × [0, ], kebilangan real tak negatif.
Karena nilai opsi put Amerika ( , ) kontinu dan berlaku persamaan (3.5), maka untuk setiap
∈ [0, ) terdapat suatu harga saham tertentu yang menjadi nilai
batas antara selang harga saham yang merupakan saat investor mengeksekusi kontrak opsi dan selang harga saham lainnya yang merupakan saat investor menjual kontrak opsi. Harga saham yang menjadi batas pemisah kedua selang ini disebut dengan nilai kritis untuk eksekusi opsi. Misalkan nilai kritis dituliskan sebagai , untuk ∈ [0, ) yang didefinisikan oleh: Sedemikian sehingga:
= maks{ | ( , ) =
− }
(3.6)
39
( , )=
≤ , Nilai kritis
,
−
(3.7)
( , ) > maks{0,
> ,
− }
(3.8)
∈ [0, ) berlaku sebagai nilai batas yang membagi selang harga
saham ( , ) ∈ [0, ∞) × [0, ] menjadi dua selang daerah bagian, yaitu daerah stopping
≡ [0, ] × [0, ], yang merupakan selang harga saham dengan waktu
yang tepat untuk mengeksekusi opsi, karena untuk memenuhi persamaan (4.3) dan ketaksamaan jadi untuk memenuhi:
∈ [0, ] , dengan +
+
∈ [0, ] nilai opsi put ( , ) +
−
∈ [0, ), maka nilai opsi put
1 + 2 ( , ) = maks{0,
−
− }
<0.
( , ) harus
<0
(3.9)
Selang daerah berikutnya yaitu daerah kontinu ℓ ≡ ( , ∞) × [0, ], yang
merupakan selang harga saham S yang tepat untuk menjual kontrak opsi kepada pihak lain. Berdasarkan persamaan persamaan (4.4) nilai opsi put memenuhi: +
+
( , ) untuk
1 + 2 ( , ) > maks{0,
+
∈ ( , ∞) dan −
− }.
=0
−
=0 dan
∈ [0, ) harus
(3.10)
Model nilai opsi put Eropa. Dengan diketahui konsep put-call parity pada maka nilai opsi put dapat juga ditentukan. Berdasarkan persamaan 2.10 dan persamaan 2.21, nilai opsi put Eropa dapat ditentukan sebagaimana dirumuskan pada Teorema berikut: Teorema 3.1. Misalkan eksekusi
( , ) adalah nilai opsi put tipe Eropa dengan harga
, tingkat suku bunga
dan volatilitas harga saham , maka nilai opsi
put diberikan oleh: ( , )=
(
)
(−
)−
(−
)
(3.11)
dimana:
40
−
≡
−
≡
ln( / ) − ln( / ) −
−
√ −
( − )
2
+ 2 ( − ) √ −
( ) adalah fungsi sebaran normal kumulatif.
[Carr et al. 1992]
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4)
Formulasi dekomposisi nilai opsi put Amerika. Pada saat kritis sebagai
= 0, misalkan harga saham dinotasikan sebagai
dan nilai
. Misalkan investor memiliki satu opsi put Amerika ketika harga
saham berada di atas batas eksekusi (
). Pada daerah tersebut tindakan
>
eksekusi tidak memberi keuntungan eksekusi, karena berdasarkan persamaan (3.8) nilai opsi lebih bernilai dari pengembalian eksekusi. Dalam kontrak opsi put Amerika, nilai keuntungan opsi pada saat jatuh tempo =
sama dengan nilai payoff, yaitu: ( , ) = maks{0,
−
}.
(3.12)
Nilai ekspektasi dari present value opsi put Amerika pada saat jatuh tempo merupakan bentuk dari nilai opsi put Eropa. Dengan demikian, untuk daerah kontinu ℓ, nilai opsi put Amerika dapat dirumuskan dalam bentuk dekomposisi opsi put Eropa dengan premi resiko seperti dalam teorema berikut:
Teorema 3.2. (Dekomposisi utama opsi put Amerika). Untuk daerah kontinu ℓ, nilai opsi put Amerika saat
dinotasikan sebagai
( , 0) =
terdiri dari nilai opsi put Eropa
dan nilai premi (opsi) untuk eksekusi dini (early exercise premium),
dimana =
=
=
+
(−
)−
= 0 yang
( , 0) =
:
(3.13)
(
(−
) .
)
41
dengan
−
−
=
(3.14)
√
=
√
=
√2
(3.15)
/
√
( ) adalah fungsi sebaran normal kumulatif: ( )=
/
/
[Carr et al. 1992]
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 5)
3.4 Batas Atas dan Batas Bawah Nilai Opsi Put Amerika Syarat Batas. Untuk harga saham
menuju tak hingga, nilai intrinsiknya
memenuhi: lim maks{0, →
− }=0
Sehingga dalam kondisi ini investor lebih memilih menjual kontrak opsi. Karena tidak diperbolehkannya tindakan arbitrase, maka untuk harga saham
yang
semakin besar, nilai opsi put Amerika harus sama dengan nilai intrinsiknya. Karena nilai intrinsic menuju nol pada saat
menuju tak hingga. Maka, nilai opsi
put harus memenuhi:
Kemudian jika bernilai
lim ( , ) = 0 →
= 0, maka nilai intrinsiknya maks{0,
− } akan
. Sehingga dalam kondisi ini investor akan mengeksekusi kontrak opsi.
Agar tindakan arbitrase tidak terjadi, maka nilai opsi put harus sama dengan nilai intrinsiknya, sehingga nilai opsi put adalah: (0, ) = Dalam kenyataannya seorang investor tidak mengetahui batas nilai saham yang tepat untuk mengeksekusi atau menjual opsi. Hal ini berarti Investor tidak mengetahui nilai batas
pada persamaan (3.6). Karena posisi nilai
ini tidak
42
diketahui secara pasti, maka nilai batas
disebut sebagai nilai batas bebas. Nilai
opsi put ( , ) harus merupakan fungsi kontinu, sehingga: lim
( , )=
→
−
(3.16)
Dari persamaan (4.16) dapat diketahui bahwa
≥ , maka dari
persamaan (4.13) dapat dituliskan nilai yang menjadi batas atas bagi nilai opsi put sebagai berikut: =
+
≤
ln( / ) − ( − +
( / )
∫
√
√
/2)
/
(3.17)
Untuk memperoleh nilai yang menjadi batas bawah bagi nilai opsi put
,
diperlukan waktu eksekusi (stoping time ) tak terbatas. Dengan stoping time = ∞, akan diperoleh peluang harga saham yang cukup kecil (Merton, 1992).
Definisikan
merupakan harga saham yang memberikan eksekusi menjadi
maksimal dengan keuntungan sebesar
Karena
≤
− , dengan memenuhi: ≤∞
(3.18)
−
(3.19)
≤ , maka nilai keuntungan memenuhi:
Keuntungan eksekusi ≤
diperoleh jika
−
−
≥
diperoleh jika
(karena stoping time
diperoleh nilai batas:
≤
dan keuntungan
−
= ∞). Maka dari (3.18), dapat
≤
(3.20)
Dari persamaan (3.13) dapat dituliskan nilai yang menjadi batas bawah bagi nilai opsi put
sebagai berikut:
= ≤
+ +
ln( / ) − ( − ln(
√
/ )−( − √
/2) /2)
.
43
Dengan demikian, nilai opsi put Amerika mempunyai nilai batas sebagai berikut: ln
+ ≥
+
ln(
−
√
− 2
/ )−( − √
≥ /2)
.
44
BAB IV SIMULASI MONTE CARLO
Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi integral definit, terutama integral multidimensi dengan syarat dan batasan yang rumit. Simulasi Monte Carlo sangat penting dalam fisika komputasi dan bidang terapan lainnya, dan memiliki aplikasi yang beragam mulai dari penghitungan termodinamika kuantum esoterik hingga perancangan aerodinamika. Metode ini terbukti efisien dalam memecahkan persamaan diferensial integral medan radian, sehingga metode ini digunakan dalam penghitungan iluminasi global yang menghasilkan gambar-gambar fotorealistik model tiga dimensi, dimana diterapkan dalam video games, arsitektur, perancangan, film yang dihasilkan oleh komputer, efek-efek khusus dalam film, bisnis, ekonomi, dan bidang lainnya. Karena
algoritma
ini
memerlukan
pengulangan
(repetisi)
dan
penghitungan yang amat kompleks, metode Monte Carlo pada umumnya dilakukan menggunakan komputer, dan memakai berbagai teknik simulasi komputer. Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo numerik yang digunakan untuk menemukan solusi matematis (yang dapat terdiri dari banyak variabel) yang sulit dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral, atau metode numerik lainnya.
4.1 Sejarah Metode Monte Carlo digunakan dengan istilah sampling statistik. Nama Monte Carlo, yang dipopulerkan oleh para pioner bidang tersebut (termasuk Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann dan Nicholas Metropolis), merupakan nama kasino terkemuka di Monako. Penggunaan keacakan dan sifat pengulangan proses mirip dengan aktivitas yang dilakukan pada sebuah kasino. Dalam autobiografinya Adventures of a Mathematician,
45
Stanislaw Marcin Ulam menyatakan bahwa metode tersebut dinamakan untuk menghormati pamannya yang seorang penjudi, atas saran Metropolis. Penggunaannya yang cukup dikenal adalah oleh Enrico Fermi pada tahun 1930, ketika ia menggunakan metode acak untuk menghitung sifat-sifat neutron yang waktu itu baru saja ditemukan. Metode Monte Carlo merupakan simulasi inti yang digunakan dalam Manhattan Project, meski waktu itu masih menggunakan oleh peralatan komputasi yang sangat sederhana. Sejak digunakannya komputer elektronik pada tahun 1945, Monte Carlo mulai dipelajari secara mendalam. Pada tahun 1950-an, metode ini digunakan di Laboratorium Nasional Los Alamos untuk penelitian awal pengembangan bom hidrogen, dan kemudian sangat populer dalam bidang fisika dan riset operasi. Rand Corporation dan Angkatan Udara AS merupakan dua institusi utama yang bertanggung jawab dalam pendanaan dan penyebaran informasi mengenai Monte Carlo waktu itu, dan mereka mulai menemukan aplikasinya dalam berbagai bidang. Simulasi Monte Carlo dikenal dengan istilah sampling simulation atau Monte Carlo Sampling Technique. Istilah Monte Carlo pertama digunakan selama masa pengembangan bom atom yang merupakan nama kode dari simulasi nuclear fission. Simulasi ini sering digunakan untuk evaluasi dampak perubahan input dan risiko dalam pembuatan keputusan. Simulasi ini menggunakan data sampling yang telah ada (historical data) dan telah diketahui distribusi datanya. Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak, dan hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkit bilangan-bilangan acak, yang jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya yang menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik. Aplikasi metode Monte Carlo
Grafis, terutama untuk ray tracing.
Permodelan transportasi ringan dalam jaringan multi lapis / multi-layered tissues (MCML).
Metode Monte Carlo dalam bidang finansial.
Simulasi prediksi struktur protein.
46
Dalam riset peralatan semikonduktor, untuk memodelkan transportasi pembawa arus.
Pemetaan genetik yang melibatkan ratusan penanda genetik dan analisis QTL.
4.2 Gambaran Umum Simulasi Monte Carlo adalah pengambilan sampel dengan menggunakan bilangan-bilangan acak (random numbers) dilakukan dengan bantuan komputer. Prinsip kerja dari simulasi Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan-bilangan acak atau sampel dari suatu variabel acak yang telah diketahui distribusinya. Oleh karena itu, dengan simulasi Monte Carlo seolah-olah dapat diperoleh data dari lapangan, atau dengan perkataan lain simulasi Monte Carlo meniru kondisi lapangan secara numerik. Simulasi Monte Carlo merupakan alat rekayasa yang ampuh untuk menyelesaikan berbagai persoalan rumit di dalam bidang probabilitas dan statistik. Meskipun demikian, simulasi Monte Carlo tidak memberikan hasil yang eksak, karena pada hakekatnya simulasi Monte Carlo adalah suatu metode pendekatan numerik. Seperti pada umumnya metode numerik, simulasi Monte Carlo membutuhkan banyak sekali iterasi dan usaha penghitungan, khususnya untuk masalah-masalah yang melibatkan peristiwa-peristiwa langka (very rare events). Oleh karena kelemahan-kelemahan tersebut, sebaiknya simulasi Monte Carlo baru digunakan bila metode analisis tidak tersedia atau metode pendekatan (misalnya pendekatan orde pertama dari fungsi variabel acak yang taklinear) tidak memadai. Simulasi Monte Carlo dari suatu proses stokastik adalah suatu prosedur untuk mendapatkan contoh acak terhadap hasil proses tersebut (Wong 2001). Jika suatu sistem mengandung elemen yang mengikutsertakan faktor kemungkinan, model yang digunakan adalah model stokastik. Dasar dari simulasi Monte Carlo adalah percobaan elemen kemungkinan dengan menggunakan sampel random (acak). Metode ini memiliki lima tahapan dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dan terdapat tiga batasan dasar dalam penggunaan metode ini.
47
Lima tahapan yang terdapat dalam simulasi Monte Carlo diantaranya: 1. membuat distribusi kemungkinan untuk variabel penting, 2. membangun distribusi kumulatif untuk tiap-tiap variabel di tahap pertama, 3. menentukan interval angka random, 4. membuat angka random, 5. membuat simulasi dari rangkaian percobaan. Sedangkan tiga batasan dasar simulasi Monte Carlo adalah: 1. Apabila suatu persoalan sudah dapat diselesaikan atau dihitung jawabannya secara matematis dengan tuntas, maka hendaknya jangan menggunakan simulasi ini 2. Apabila sebagaian persoalan tersebut dapat diselesaikan secara analitis dengan baik, maka penyelesaiannya lebih baik dilakukan secara terpisah. Sebagian secara analitis dan sebagian lagi simulasi 3. Apabila mungkin dapat digunakan simulasi perbandingan
4.3 Ilustrasi Penggunaan Simulasi Sebuah toko sepatu memperkirakan permintaan sepatu per harinya menurut pola distribusi sebagai berikut : Tabel 1 Distribusi permintaan sepatu per hari Permintaan/hari
Frekuensi Permintaan
3 pasang
5
4 pasang
10
5 pasang
15
6 pasang
30
7 pasang
25
8 pasang
15
Jumlah
100
48
Dari data masa lalu yang sudah diperoleh tersebut. Pengusaha toko ini hendak memperkirakan pola permintaan untuk 10 hari bulan berikutnya. Berapa kira-kira permintaan yang muncul? Untuk menyelesaikan permasalahan di atas dapat diikuti prosedur atau langkah-langkah berikut ini; 2. Terlebih dahulu dibuat distribusi data empirisnya, yaitu : fungsi distribusi densitas, seperti pada Tabel 1 . 3. Distribusi permintaan ini diubah dalam bentuk fungsi distribusi kumulatif (selanjutnya disebut FDK). Tabel 2 Distribusi permintaan dalam bentuk fungsi distribusi kumulatif Permintaan/hari Distribusi Densitas
FDK
3 pasang
0.05
0.05
4 pasang
0.1
0.15
5 pasang
0.15
0.3
6 pasang
0.3
0.6
7 pasang
0.25
0.85
8 pasang
0.15
1
Jumlah
1
4. Setiap permintaan tersebut, diberi angka penunjuk batasan (Tag Number/Pelabelan
bilangan),
disusun
berdasarkan
FDK
distribusi
permintaan Tabel 3 Tag number yang disusun berdasarkan FDK Permintaan/hari
Distribusi
FDK
Tag Number
Densitas 3 pasang
0.05
0.05
0.00 – 0.05
4 pasang
0.1
0.15
0.06 – 0.15
5 pasang
0.15
0.3
0.15 – 0.30
6 pasang
0.3
0.6
0.31 – 0.60
7 pasang
0.25
0.85
0.60 – 0.85
8 pasang
0.15
1
0.86 – 1.00
49
5. Lakukan penarikan bilangan acak, dengan salah satu bentuk pembangkit bilangan-bilangan acak, misal diperoleh 10 bilangan acak sbb : 1. 0.5751
2. 0.1270
3. 0.7039
4. 0.3853
5. 0.9166
6. 0.2888
7. 0.9518
8. 0.7348
9. 0.1347
10. 0.9014
Dari bilangan-bilangan acak ini diambil dua angka dibelakang koma dan dicocokkan dengan tag number. Hasilnya adalah kesimpulan permintaan yang dibutuhkan. Berikut ini adalah tabel dari hasil kesimpulan permasalahan di atas Tabel 4 Hasil kesimpulan permintaan Hari
Jumlah
Permintaan
Pasangan
1
6 pasang
2
4 pasang
3
7 pasang
4
6 pasang
5
8 pasang
6
5 pasang
7
8 pasang
8
7 pasang
9
4 pasang
10
8 pasang
Dari langkah-langkah yang telah dilakukan di atas untuk menyelesaikan permasalahan maka seorang pengusaha toko sepatu dapat memperkirakan berapa banyak persediaan sepatu yang minimal harus dimiliki toko sepatunya. Dari Tabel 4 permintaan akan banyaknya sepatu untuk 10 minggu ke depan dapat diperkirakan.
50
BAB V IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA
5.1 Harga Saham ( ( ))
Seperti yang telah diketahui sebelumnya bahwa opsi Amerika dapat
dieksekusi kapan saja saat dimulainya kontrak opsi hingga berakhirnya kontrak opsi misalkan saja [0, ], dengan
adalah waktu. Untuk mengetahui kapan kira-
kira waktu yang memungkinkan untuk mengeksekusi opsi sehingga investor mendapatkan keuntungan. Karena harga saham berubah sangat signifikan di setiap waktu dan selama kontrak opsi berlangsung, maka harga saham di sepanjang interval [0, ] berubah-ubah. Dengan Simulasi Monte Carlo perubahan harga saham di sepanjang interval [0, ] akan ditentukan.
Gagasan dasar dari simulasi Monte Carlo adalah membuat nilai dari tiap
variabel yang merupakan bagian dari model yang dipelajari. Banyak variabel di dunia nyata yang secara alami mempunyai berbagai kemungkinan yang ingin disimulasikan. Salah satu cara untuk membuat distribusi kemungkinan untuk suatu variabel adalah memperhitungkan hasil di masa lalu. Kemungkinan atau frekuensi relatif untuk tiap kemungkinan hasil dari tiap variabel ditentukan dengan membagi frekuensi observasi dengan jumlah total observasi. Untuk mencari nilai opsi put Amerika maka pertama kali yang akan disimulasikan adalah pembangkitan harga saham yang terjadi di sepanjang selang waktu [0, ]. Dengan mengasumsikan harga saham S mengikuti model Gerak Brown Geometrik memenuhi persamaan : ( )=
( )
( )
( ).
(5.1)
( ). Parameter
menyatakan tingkat
+
dengan ( ) adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Itô, perubahan ( ) akan memiliki nilai harapan drif rate
rata-rata pertumbuhan harga saham dan
( )
disebut komponen deterministik.
Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah
( )
( ), dengan
menyatakan volatilitas harga saham.
51
( ) merupakan peubah acak dengan drift rate 0 dan variance rate 1, dimana
( ) proses stokastik yang mengikuti gerak Brown (Hull 2006). Dengan
demikian, perubahan harga saham tidak secara langsung dipengaruhi oleh tetapi oleh
( ).
( ),
Selanjutnya dari (5.1) dapat dicari harga saham ( ) dengan cara sebagai
berikut:
Misalkan ( , ) = ln ( ) atau ( ) = = 0,
Menurut lemma Itô ( , )=
=
+
= ( = =
atau dapat dinyatakan
=
+
+
+
−
( )=
(
+
1
1 2
( )
,
+
( )−
−
Persamaan diferensial (5.1) mempunyai solusi
( )) +
( ).
+
1 2
1 2 dimana (0) merupakan nilai awal dari ( ). ( ) = (0) +
( )
( )
+
−
.
+
( )) −
( ) − (0) =
1
=−
−
Dengan diketahuinya harga saham awal
(5.2)
( )
+ ( )
+
, maka dengan membangkitkan
secara acak faktor pengganggu (Brownian noise) sehingga diperoleh solusi dari persamaan (5.1) untuk mendapatkan nilai ( )=
adalah: ( )
.
(5.3)
52
Sehingga proses diskretisasi yang mendasari Brownian noise mengikuti proses waktu diskret =
∆
√∆ ×
.
Untuk contoh kasus dimisalkan harga saham awal bunga bebas resiko
= 0.06, volatilitas
(5.4) = 80, tingkat suku
= 0.4, dan waktu jatuh tempo
=
0.5 tahun. Proses simulasi akan membangkitkan harga saham di sepanjang selang waktu [0, ]. Berdasarkan persamaan (5.4) dengan membagi selang interval menjadi 50 maka diperoleh nilai ( ) yang dapat digambarkan pada Gambar 1;
Gambar 1. Nilai harga saham pada waktu
( ) .
Dari Gambar 1 di atas dapat dilihat pergerakan harga saham
( ) di
sepanjang interval waktu [0, ] perubahannya cukup signifikan. Hal ini sesuai dengan pergerakan harga saham yang terjadi dalam kejadian sesungguhnya,
dimana perubahan harga saham di setiap waktu cukup signifikan pula. Oleh karena itu simulasi ini meramalkan kejadian pergerakan saham yang akan terjadi di sepanjang periode waktu jatuh tempo, sehingga dapat diperkirakan kapan sebaiknya kita mengeksekusi opsi dan kapan sebaiknya opsi tidak dieksekusi.
53
= 100. Berdasarkan hasil
Selanjutnya jika dimisalkan harga eksekusi
simulasi pembangkitan nilai saham di sepanjang interval waktu [0, ], maka untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal dapat diputuskan kapan opsi akan
dieksekusi. Karena opsi yang akan dibahas adalah opsi put Amerika maka keadaan di mana opsi akan dieksekusi pada saat apabila eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar
( )<
, tindakan
− ( ), maka kontrak opsi put
berada pada posisi in the money. Pada pembahasan selanjutnya akan dibangkitkan nilai intrinsik di sepanjang interval waktu [0, ]. 5.2 Pembangkitan Nilai Intrinsik Opsi Put Amerika. Nilai maksimum antara nol dan selisih harga eksekusi dengan harga saham
pada waktu sebelum jatuh tempo disebut dengan nilai intrinsik. Pada waktu jatuh tempo nilai intrinsiknya disebut sebagai nilai payoff. Karena sebelumnya telah diketahui harga saham di sepanjang interval [0, ], maka nilai intrinsik opsi di sepanjang interval [0, ] juga dapat ditentukan.
Dalam pengeksekusian opsi put Amerika yang dilakukan pada interval
waktu [0, ] yang diperlukan adalah harga saham pada interval [0,T]. Misalkan nilai intrinsik opsi put Amerika didefinisikan sebagai proses
= ( ( ))
yang menggambarkan hasil eksekusi di seluruh periode, yaitu
( )=
maks( – ( ), 0). Karena harga saham di sepanjang interval [0, ] berbeda-beda maka nilai intrinsik opsi put pun di sepanjang interval pun berbeda-beda.
Dari hasil simulasi sebelumnya yang telah membangkitkan harga saham ( ) di sepanjang interval [0, ] maka akan dibangkitkan nilai intrinsik ( ) di
sepanjang interval [0, ]. Dengan harga saham sebelumnya maka nilai intrinsik
( ) = maks
( ) yang telah diperoleh
− ( ) di sepanjang interval
waktu [0, ] yang digambarkan dalam Gambar 2 di bawah ini
54
Gambar 2. Nilai intrinsik opsi pada waktu ( ( )). Seperti telah dibahas sebelumnya, pemegang opsi put Amerika akan memperoleh keuntungan jika harga saham eksekusi
( ) lebih kecil dari harga waktu
. Sehingga berdasarkan grafik di atas maka dapat diketahui kapan kira-
kira opsi akan dieksekusi untuk mendapatkan keuntungan maksimum. Perlu diingat dalam simulasi Monte Carlo ini pembangkitan Brownian noise yakni Brownian noise dibangkitkan secara acak, sehingga setiap kali simulasi di ulang akan menghasilkan nilai random yang berbeda-beda. Untuk itu di simulasi berikutnya akan dilakukan simulasi berulang-ulang kali yang nantinya didapat nilai maksimum di setiap simulasi, lalu kemudian nilai maksimum dari setiap hasil simulasi tadi dicari nilai rata-ratanya yang kemudian akan disimpulkan nilai maksimum yang akan diperoleh berkisar di nilai rata-rata tersebut.
55
5.3 Harga Opsi Put Amerika Misalkan
= ( )
adalah nilai opsi put Amerika. Tujuannya adalah
untuk menghitung keuntungan berdasarkan asumsi bahwa waktu eksekusi berada dalam himpunan bahwa waktu
= 0.
= { ,...,
}, dengan
= ∆ dan
=
. Diasumsikan > 0, dan
Ditetapkan horizon waktu berhingga (finite tme horizon) misalkan terdapat dua proses stokastik ( ) pada
ruang
(Ω, ℱ, (ℱ )
probabilitas
yang
dan
terfilter
(filtered
, yang terdefinisi probability
space)
, ). Proses pertama adalah nilai kini dari suku bunga, dan proses
kedua mendefinisikan jumlah yang harus dibayar kepada pemegang (holder) dari opsi Amerika pada saat opsi dieksekusi. Diasumsikan juga bahwa probabilitas adalah probabilitas penetapan harga opsi tersebut. Misal
adalah waktu
penghentian (stoping time), didefinisikan nilai awal dari opsi Amerika yaitu ∗
≡ exp − ∫
Dengan
= sup
[ ],
adalah nilai eksekusi yang terdiskon dari opsi
tersebut. Untuk mencegah trivialitas. Diasumsikan bahwa > 1, sup
beberapa
(5.5)
| |
∗
< ∞; serta untuk
, dan lintasan dari Z adalah kontinu kanan.
Dengan asumsi tersebut, proses snell envelope ∗
≡
sup
[ |ℱ ]
(5.6)
adalah supermatingale, sehingga mempunyai dekomposisi Doob-Meyer
dengan
∗
∗
=
∗
+
∗
−
∗
,
adalah sebuah martingale yang bernilai 0 pada saat
(5.7) = 0, dan
∗
adalah suatu proses yang menaik dan terintegralkan (previsible integrable increasing process), juga bernilai 0 pada saat = 0.
56
Berikut ini adalah teorema yang digunakan dalam menentukan harga opsi Amerika dalam simulasi Monte Carlo; Teorema 5.1 ∗
dengan
= inf
(
[sup
∈
−
adalah ruang dari martingale-martingale
, dan sedemikian sehingga ∗
=
dengan mengambil
.
)],
(5.8)
di mana sup
|
|∈
= 0. Batas bawah terbesar (infimum) dicapai
Teorema 5.1 tersebut memberikan petunjuk bagaimana mendapatkan metode penetapan harga opsi Amerika dengan memilih martingale kemudian dengan simulasi mengevaluasi ekspektasi [sup dapat dilihat pada Rogers (2002).
(
yang sesuai, −
)]. Bukti
5.4 Hedging dan Eksekusi Berdasarkan Rogers (2002), misalkan telah diketahui sebelumnya martingale
yang sesuai. Akan diintepretasikan dalam rangka perlindungan nilai
(hedging). Dengan mempertahankan
∗
tetap, dan sebuah batas atas untuk
yaitu rata-rata dari peubah acak
Misalkan ditetapkan sebelah kanan sebesar
(
≡ sup
≡ ( |ℱ )
−
).
(5.9)
untuk martingale tersebut tertutup dari ≡
, sehingga
. Misalkan martingale
dianggap
sebagai keuntungan dari proses perdagangan dari portofolio. Dengan demikian jika kekayaan awal portofolio adalah menjadi ∈ [0, ]
+
, maka kekayaan terdiskon pada waktu
. Persamaan (5.9) berakibat pertidaksamaan untuk setiap ≤
+
.
Dengan ekspektasi bersyarat ℱ yang diberikan maka dapat dituliskan hubungan pertidaksamaan berikut
≤ [
−
|ℱ ] + (
Interpretasi dari (5.10) adalah terhadap nilai
+
).
(5.10)
terdiskon, yang harus dibayarkan
ke pemegang opsi jika dieksekusi pada waktu , akan mendapatkan lindung nilai dari nilai portofolio terdiskon.
57
5.5 Algoritma dan implementasi Sekarang akan dikemukakan algoritma untuk menentukan harga dari opsi Amerika dengan metode yang sebelumnya telah dijelaskan. Misalkan telah dimiliki martingale
yang dimaksud pada pembahasan 5.4 diatas. Berikut ini
dinotasikan parameter-peremeter yang digunakan; : banyak dari hari eksekusi yang mungkin : indeks hari : banyak path sampel : indeks sampel : harga eksekusi : horizon waktu : tingkat suku bunga bebas resiko satu periode : harga saham awal : harga saham pada waktu : nilai intrinsik (payoff) opsi pada waktu : volatilitas saham
Algoritma Langkah pertama adalah menentukan input untuk simulasi ini yakni menentukan harga saham awal resiko
, volatilitas saham
, harga eksekusi
, nilai suku bunga bebas
, dan waktu jatuh tempo
membangkitkan himpunan tanggal
<
≤
≤ ...≤
=
mungkin dieksekusi, yang diperoleh dengan membagi periode
. Selanjutnya di mana opsi menjadi
selang
waktu. Ditentukan pula percobaan yang dilakukan akan diulang sebanyak n kali, dalam hal ini percobaan atau simulasi dilakukan berkali-kali. Langkah kedua untuk mensimulasikan pembangkitan harga saham adalah membangkitkan Brownian noise penganggu
di sepanjang interval [0, ]. Faktor
dibangkitkan secara acak berdasarkan sebaran normal baku [0,1].
Setelah diperoleh Brownian noise
di sepanjang interval [0, ], maka dengan
menggunakan Persamaan (5.3) dapat dibangkitkan harga saham
di sepanjang
interval [0, ]. 58
Langkah berikutnya setelah diperoleh output <
setiap himpunan selang waktu diperoleh nilai intrinsik <
≤
≤ ...≤
≤
, yaitu harga saham di
≤ ...≤
=
. Selanjutnya dapat
di setiap titik waktu dalam himpunan selang waktu
=
= maks( −
dengan cara
dibangkitan pula nilai martingale
). Selanjutnya
di sepanjang selang waktu itu juga. Proses
ini diulang sebanyak n kali yang nantinya akan dicari nilai rata-rata nilai intrinsik maksimum yang diperolah pada satu kali percobaan/simulasi. di sepanjang interval waktu [0, ],
Setelah diperoleh nilai intrinsik maka dimisalkan kembali
adalah vektor berdimensi
maksimum yang dicapai proses (
( ) = maks[
Untuk mencari nilai
−
pada setiap path sample : )−
].
yang maksimum maka dilakukan langkah berikut.
Pada waktu , untuk setiap path simulasi ) dan
(
)
yang merekam nilai
, bandingkan kuantitas (
(
)−
( ). Bila yang berikutnya lebih baik ketimbang nilai sebelumnya,
simpan nilai (
(
)−
) ke dalam entri ( ). Bila
i satu unit lalu kembali ke langkah pencarian ( ,
Selainnya kembalikan nilai dugaan dilakukan sebanyak
)= ∑ −
, tingkatkan
yang terbesar (maksimal).
( ) sebagai dugaan empiris dari
. Pencarian nilai maksimum ini juga
kali sehingga diperoleh nilai
setiap harga saham awal
≤
sebanyak
pula untuk
yang berbeda.
Langkah terakhir adalah mencari nilai rata-rata dari setiap nilai maksimum yang didapat dari setiap percobaan, yang kemudian akan ditetapkan sebagai nilai opsi put Amerika. Standar deviasi dari hasil simulasi ini pun dapat diperoleh dari data nilai
yang telah diperoleh di setiap percobaan/simulasi.
Dari langkah-langkah di atas maka dapat dibuat bagan alur untuk algoritma simulasi ini sebagai berikut.
59
Start =0 Input Data : , , , , , For = 1
~ (0,1)
Bangkitkan nilai Hitung nilai
,
, dan
=0
For = 1
Hitung nilai
If >
Tidak
Ya
=
=
Next Nilai
yang maksimum =
Next
+
Output : harga opsi put Amerika = / End Gambar 3 Bagan alur algoritma simulasi Monte Carlo.
60
BAB VI HASIL SIMULASI
Implementasi metode Monte Carlo untuk menentukan harga opsi put Amerika dilakukan dengan mengambil beberapa contoh kasus kontrak opsi. Selanjutnya diamati hubungan harga opsi dengan parameter-parameter yang menentukan harga opsi.
6.1 Harga Opsi dalam Berbagai Kasus Dengan menggunakan metode Monte Carlo dengan nilai , , , , dan yang bervariasi akan diperlihatkan hubungan antara harga opsi put Amerika dengan harga saham, harga opsi put Amerika dengan suku bunga, harga opsi put Amerika dengan waktu jatuh tempo, harga opsi put Amerika dengan volatilitas saham, dan harga opsi put Amerika dengan harga eksekusi. Tabel 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 dan 5.5 berikut menyajikan harga opsi put Amerika dengan , , , , dan
yang
bervariasi.
Contoh kasus 1 Suatu kontrak opsi dengan waktu kontrak opsi enam bulan dilakukan ketika harga saham $ 80,00 dengan harga eksekusi $ 100,00, tingkat suku bunga sebesar 6%, dan volatilitas 40%. Untuk beberapa nilai
, diperoleh harga opsi
yang disajikan pada Tabel 5. Tabel 5. Harga opsi put Amerika dengan parameter = 100, = 0.06, = 0.4, = 0.5, dan = 100, serta harga saham yang bervariasi Harga Saham Awal ($) Harga Opsi put Amerika ($)
80
85
90
95
100
105
110
115
120
18.60
15.10
12.09
9.65
7.74
6.37
5.45
4.66
3.92
Berdasarkan Tabel 5 tersebut diperoleh hubungan antara harga opsi dengan harga saham awal, yang dapat digambarkan oleh grafik pada Gambar 4.
61
Gambar 4 Hubungan harga opsi dengan harga saham awal. Gambar 4 memperlihatkan bahwa jika harga saham meningkat maka harga opsi put Amerika akan menurun. Hal ini sesuai dengan Hull (2006) yang menyatakan bahwa jika parameter harga saham meningkat menuju tak hingga sedangkan parameter yang lain tetap maka harga opsi put Amerika akan menurun menuju nol. Dari model nilai opsi put tampak bahwa
merupakan faktor dari
suku pengurang (suku yang bertanda negatif). Sehingga semakin besar nilai
,
maka semakin besar nilai suku pengurangnya. Akibatnya harga opsi semakin rendah. Contoh kasus 2 Suatu kontrak opsi dengan waktu kontrak opsi enam bulan, dengan harga saham awal $ 80,00 dengan harga eksekusi $ 100,00, dan volatilitas 40%. Untuk beberapa tingkat suku bunga yang berbeda, diperoleh harga opsi yang disajikan pada Tabel 6.
62
Tabel 6. Harga opsi put dengan parameter = 80, = 100, dan = 100, serta suku bunga yang bervariasi Suku Bunga (%) Harga Opsi put Amerika ($)
= 0.4,
1
2
3
4
5
6
7
18.53
18.49
18.45
18.40
18.36
18.31
18.26
8
18.21
= 0.5, 9
18.17
Berdasarkan Tabel 6 tersebut diperoleh hubungan antara harga opsi dengan suku bunga , yang dapat digambarkan oleh grafik pada Gambar 5.
Gambar 5 Hubungan harga opsi dengan suku bunga. Dari Gambar 5 sesuai dengan Hull (2006) yang menyatakan bahwa jika parameter suku bunga meningkat, sedangkan parameter yang lain tetap maka harga opsi put Amerika akan menurun. Hal tersebut juga sesuai dengan kenyataan, yaitu jika suku bunga relatif rendah ada kemungkinan investor memilih menginvestasikan uangnya pada opsi, sehingga harga opsi menjadi meningkat seiring meningkatnya permintaan. Jika suku bunga relatif tinggi ada kemungkinan investor memilih menginvestasikan uangnya di bank, sehingga permintaan terhadap opsi ada kemungkinan relatif menurun akibatnya harga opsi menjadi menurun.
63
Contoh kasus 3 Suatu kontrak opsi dengan harga saham awal
$ 80,00 dengan harga
eksekusi $ 100,00, tingkat suku bunga 1%, dan volatilitas 40%. Untuk beberapa waktu jatuh tempo yang berbeda, diperoleh harga opsi yang disajikan pada Tabel 7. Tabel 7. Harga opsi put dengan parameter = 80, = 100, = 0.4, dan = 100, serta waktu jatuh tempo yang bervariasi Waktu jatuh Tempo (tahun) Harga Opsi put Amerika ($)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
18.81
23.92
27.12
29.41
31.14
32.51
33.60
34.49
= 0.01, 4.5
35.21
Berdasarkan Tabel 7 tersebut diperoleh hubungan antara harga opsi dengan waktu jatuh tempo , yang dapat digambarkan oleh grafik pada Gambar 6.
Gambar 6 Hubungan harga opsi dengan waktu jatuh tempo. Gambar 6 juga sesuai dengan Hull (2006) yang menyatakan bahwa jika parameter waktu jatuh tempo meningkat, sedangkan parameter yang lain tetap maka harga opsi put Amerika akan meningkat. Hal ini terkait dengan kebebasan waktu eksekusi pada opsi Amerika.
64
Contoh kasus 4 Suatu kontrak opsi dengan waktu kontrak opsi enam bulan, dengan harga saham awal $ 80,00 dengan harga eksekusi $ 100,00, dan tingkat suku bunga 6%. Untuk beberapa nilai volatilitas yang berbeda, diperoleh harga opsi yang disajikan pada Tabel 8. Tabel 8. Harga opsi put dengan parameter = 80, = 100, = 0.06, dan = 100, serta nilai volatilitas saham ( ) yang bervariasi Volatilitas saham ( ) Harga Opsi put Amerika ($)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
5.43
10.48
14.81
18.50
21.71
24.54
27.03
29.24
= 0.5, 0.9
31.1769
Berdasarkan Tabel 8, tersebut diperoleh hubungan antara harga opsi dengan nilai volatilitas saham , yang dapat digambarkan oleh grafik pada Gambar 7.
Gambar 7 Hubungan harga opsi dengan volatilitas saham. Dari Gambar 7 dapat dilihat bahwa semakin tinggi nilai volatilitas maka harga opsi akan semakin tinggi. Sesuai dengan teori dari model nilai opsi yang diperoleh bahwa peningkatan nilai
akan menurunkan nilai dari fungsi distribusi
65
normal yang merupakan faktor dari suku yang bertanda negatif. Sehingga nilai opsi put semakin meningkat. Contoh Kasus 5 Suatu kontrak opsi dengan waktu kontrak opsi enam bulan, dengan harga saham awal $ 80,00 dengan nilai volatilitas saham 40%, dan tingkat suku bunga 6%. Untuk beberapa harga eksekusi yang berbeda, diperoleh harga opsi yang disajikan pada Tabel 9. Tabel 9. Harga opsi put dengan parameter = 80, = 0.4, = 0.06, dan = 100, serta harga eksekusi ( ) yang bervariasi Harga Eksekusi ($) Harga Opsi put Amerika ($)
100
105
110
115
120
125
130
135
18.81
23.82
28.94
34.11
39.27
44.41
49.51
54.58
= 0.5, 140
59.62
Berdasarkan Tabel 9, diperoleh hubungan antara nilai opsi dengan harga eksekusi, yang dapat digambarkan oleh grafik pada Gambar 8.
Gambar 8 Hubungan antara harga opsi dengan harga eksekusi.
66
Dari Gambar 8 dapat dilihat bahwa semakin tinggi harga eksekusi maka nilai akan semakin tinggi. Sesuai dengan Hull (2006) dari nilai opsi put tampak bahwa merupakan faktor dari suku yang bertanda positif. Sehingga semakin besar nilai , maka semakin besar nilai suku yang bertanda positif. Akibatnya nilai opsi put akan semakin tinggi.
6.2 Standar Deviasi Untuk melihat standar deviasi dari hasil simulasi ini dengan memasukkan = 100, tingkat suku bunga
parameter-parameter harga eksekusi
waktu jatuh tempo (dinyatakan dalam tahun) yang mendasari
= 0.06,
= 0.5, dan volatilitas dari proses
= 0.4. Setelah dilakukan simulasi dengan mengulang simulasi
sebanyak 100 kali, dan kemudian diambil nilai terbesar dari setiap simulasi maka untuk berbagai harga saham awal
diperoleh nilai opsi put Amerika sebagai
berikut; Tabel 10. Nilai opsi put Amerika untuk beberapa harga saham awal Nilai Opsi put Amerika (
Standar Deviasi
)
80
18.6084
2.1965
85
15.1015
2.3395
90
12.0988
2.4769
95
9.6585
2.5933
100
7.7482
2.6752
105
6.3740
2.6365
110
5.4512
2.4458
115
4.6606
2.2323
120
3.9216
2.0226
Data yang diperoleh dari Tabel 10 dapat diperoleh dengan parameter berikut: S0 = 80, K = 100, r = 0.06, T = 0.5, σ = 0.4. Kembali, standar deviasi ditentukan dengan mengeksekusi fungsi sebanyak 100 kali dan menghitung statistik deskriptif atas hasil sample dari simulasi harga. Secara singkat, metode
67
pemberian harga yang dijabarkan disini adalah inovatif yang mana metode ini menghindari pertanyaan tentang bagaimana menemukan kebijakan eksekusi untuk opsi. Bagaimanapun juga, metode ini tidak mengandung metodologi untuk memilih martingale minimizing yang cocok, yang mana pilihannya mungkin membutuhkan waktu yang lebih lama ketimbang yang dibutuhkan untuk menghitung kebijakan pengeksekusian opsi. Dari tabel di atas pula dapat dilihat nilai opsi put Amerika untuk setiap harga saham awal
yang ditentukan. Karena nilai harga saham di sepanjang
interval waktu [0, ] selalu berubah dikarenakan pembangkitan Brownian noise dibangkitkan secara acak dan dengan adanya tingkat volatilitas saham yang sedemikian maka hasil data simulasi ini dapat dinyatakan cukup sesuai.
Gambar 9 Nilai opsi put Amerika untuk [0, ].
= 80 di sepanjang interval waktu
68
Untuk melihat pergerakan harga opsi put di sepanjang interval dari sejak kontrak opsi dibuat hingga waktu jatuh tempo opsi dapat diketahui. Dengan memisalkan input parameter dengan nilai S0 = 80, K = 100, r = 0.06, T = 0.5, σ = 0.4, diperoleh hasil simulasi pergerakan harga opsi put Amerika seperti pada Gambar 9 di atas.
69
BAB VII SIMPULAN
Dalam kontrak opsi put Amerika ada keleluasaan waktu eksekusi yang diberikan kepada investor, sehingga untuk nilai opsi put Amerika yang kontinu terdapat harga saham tertentu yang disebut dengan nilai kritis. Nilai kritis berlaku sebagai nilai batas yang membagi selang harga saham menjadi dua selang daerah yaitu selang eksekusi opsi dan selang jual kontrak opsi. Untuk harga saham yang berada di selang eksekusi opsi, nilai opsi memenuhi ketaksamaan Black-Scholes dengan nilai opsi put sama dengan nilai keuntungan opsi. Sedangkan untuk harga saham di selang kontrak opsi (di atas nilai kritis), nilai opsi put memenuhi PDP Black-Scholes dengan nilainya terdekomposisi menjadi present value dari nilai ekspektasi opsi saham pada saat jatuh tempo yang merupakan bentuk dari opsi put Eropa dan present value dari nilai opsi untuk eksekusi dini. Nilai Brownian noise yang dihasilkan dalam setiap kali percobaan berbeda-beda karena pembangkitan nilai tersebut dibuat secara acak dengan sebaran normal baku [0,1]. Hal ini menyebabkan pembangkitan harga saham
di
sepanjang interval waktu [0, ] dalam setiap kali percobaan diulang pun akan menghasilkan nilai harga saham yang berbeda-beda. Nilai intrinsik
pun
berubah-ubah setiap kali percobaan dilakukan karena nilai harga saham
pun
berubah-ubah. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh informasi hubungan antara pengaruh harga saham pada waktu kontrak dibuat, waktu jatuh tempo, dan tingkat suku bunga terhadap harga opsi sebagai berikut: Semakin tinggi harga saham pada saat kontrak opsi dibuat maka harga opsi semakin rendah. Semakin tinggi suku bunga pada saat kontrak opsi dibuat maka harga opsi semakin rendah. Semakin lama waktu jatuh tempo kontrak opsi maka harga opsi semakin tinggi.
70
Semakin tinggi nilai volatilitas saham, maka harga opsi akan semakin tinggi pula. Semakin tinggi harga eksekusi maka harga opsi akan semakin tinggi. Dalam simulasi semakin kecil memecah selang waktu yang ada dan semakin banyak percobaan dilakukan (pengulangan) maka semakin kecil nilai standard deviasinya. Semakin sering simulasi dilakukan atau diulang maka standar deviasi dari simulasi ini pun semakin kecil, sehingga dapat diperoleh hasil yang cukup signifikan untuk meramalkan kapan kira-kira pemegang opsi akan mengeksekusi opsi.
71
DAFTAR PUSTAKA
Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2005. Investments, Sixth Edition. McGraw-Hill. New York. Buchanan, JR. 2006. An Undergraduate Introduction to Financial Mathematics. Singapore: Word Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. Carr P, Jarrow R & Myneni R. 1992. Alternative Characteristizations of American Put Option. Math Finance. 2:87-106 Fusai G & Roncoroni A. 2008. Implementing Models in Quantitative Finance: Methods and Cases. New York: Springer Berlin Heidelberg. Hull JC. 2006. Option, Future, and Other Derivatives. Toronto: Prentice Hall International Inc. Merton RC. 1992. An Introduction to Probability and Stochastic Process. Springer Verlag, New York. Neftci N. 2000. An Introduction to The Mathematics of Financial Derivatives 2nd edition. Academic Press. Niwiga DB. 2005. Numerical Method for Valuation of Financial Derivatives [tesis]. University of Werstern Cape, South Africa. Pauly O. 2004. Numerical Simulation of American Option [tesis]. Universität Ulm. Rogers LCG. 2002. Monte Carlo Valuation of American Options. Mathematical Finance. Vol. 12, No.3, 271-286. Ross SM. 1996. Sthochastic Process. New York : John wiley & Son Inc. Wilmott P, Howison S & Dewynne J. 1996. The Mathematics of Financial Derivatives (A Student Introduction). Cambridge University Press, USA. Wong F T. 2001. Aplikasi Statistik Ekstrim dan Simulasi Monte Carlo dalam Penentuan Beban Rencana pada Struktur dengan Umur Guna Tertentu. Dimensi Teknik Sipil. Vol. 3, No.2, 84-88.
72
LAMPIRAN
73
Lampiran 1. ( )=
Persamaan (2.4) adalah
( )
=
Persamaan (2.5) adalah
=
Persamaan (2.7) adalah
−
+
+
.
+
( )
( ).
( ).
+
Substitusi (2.4) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh = ( )
=
= =
− ( )
Jadi
=
( )−
+ +
−
( ) +
+
+
( )
=0+ =
+
+
+ +
( ) −
+ +
( )
+ + ( )−
+
+0 .
Lampiran 2. Telah diturunkan bahwa (ln dari (ln
− ln
dan variansinya
) adalah
− ln
)~ −
−
, √
, sehingga rataan
1 2 .
(L2.1)
74
Persamaan (2.13) menyebutkan bahwa ln = ln
+
.
−
berdistribusi normal dengan rataan
dan standar deviasi
=
Persamaan (2.14) adalah
= √ , sehingga variansinya
.
√
Substitusi (2.13) ke dalam (2.14) diperoleh
Jika
dan
(
= =
√
(ln
+ )=
+ )=
√ √
(ln
− ln
(ln
− ln
(ln
√
( )+
− ln
1
√
−
1 2
suatu peubah acak maka (Buchanan 2006):
( )
)−
) −
)−
)−
− ln
suatu kontanta serta (
( )=
1
=
−
√ √
√
−
−
(L2.2)
Substitusi (L2.1) ke dalam (L2.2) diperoleh ( )=
( )= = =
√ √
= 1.
Jadi rataan dari
1
√
(ln
(ln
−
− ln
1 2
)−
)
− ln
− √
1
√
−
−
1 2
=0
adalah 0 dan variansinya 1.
Lampiran 3. Diketahui Jika
=
− √ − .
( ) menyatakan suatu fungsi berdistribusi normal baku maka (Hull 2006): ( )=
√
)=
√
Berdasarkan persamaan (L3.1) maka (
(L3.1)
(L3.2)
75
=
Substitusi (
)= =
√
=
(
Jadi
=
(
)=
)= =
(
(
(
(
(
( (
(
(
)
)
(
(
)
√
) (
(
) )
)
( (
) (
)
)
)=
)
(
)
)
(
)
(
√
)
(
=
)
√
( =
(
√
√
=
ke dalam (L3.2) diperoleh
√
√
=
=
− √ −
)
)
(
)
(
)
( (
(
)
)
) )
)
(
)
)
(
)
. (
)
.
Lampiran 4. Bukti Teorema 3.1 Dengan put call parity, diperoleh persamaan nilai opsi put: (
( , )= ( , )+
)
−
Karena ( , ) diberikan pada persamaan (2.21), maka: ( , )=
= =
(
( (
)−
) )
(
1− ( (−
)
)−
(
) −
)+
(−
(
1− ( ).
)
)
− (L4.1)
76
Berdasarkan persamaan (2.21) = −
ln
= =
−
+
ln
−
ln
=
+
ln
− 2 ( − ) √ −
+ 2 ( − ) √ −
−
Maka persamaan (L4.1) menjadi: (
( , )=
− 2 ( − ) √ −
)
+ 2 ( − ) √ − (−
)−
(−
).
Lampiran 5. Bukti Teorema 3.2 Misalkan harga saham mengikuti Brownian motion berikut: =
+
(L5.1)
Dan misal nilai present value opsi put adalah
, dengan fungsi nilai present
value tersebut sebagai berikut:
Dengan misalkan
( , )=
(L5.2)
= ( , ), maka menurut Lema Ito berlaku: =
dengan
=
( , )
( , )
+
+
( )
+
( , )
1 2
=
( )
+
2 Maka diperoleh bentuk integral stokastik sebagai berikut: =
+∫
( , )
+∫
( , )
+
( , ) ( , )
. .
(L5.3)
77
Dari persamaan (L5.2) diperoleh: =
=
( , )
+ +
+
( , )
+
( , ) (
)
( , )
( , )
+
−
2
2
( , )
+
( , )+
( , ) (L5.4)
Karena investor netral terhadap risiko, maka ekspektasi dari harga saham sama dengan tingkat suku bunga . Oleh karena itu, koefisien
pada persamaan
(L5.1) dapat diganti dengan . Dan ada probabilitas berukuran
yang ekuivalen
dengan
sehingga:
Dimana
=
pada(Ω, , ).
− [( − )/ ]
=
+
(L5.5)
adalah Brownian motion yang didefinisikan
Seperti diketahui bahwa nilai opsi put Amerika
( , ) terbagi menjadi
dua daerah, yaitu daerah kontinu dan daerah stopping, dengan nilai payoff opsi put Amerika adalah
= maks[0,
( , ) = 1{
−
}
]
( , ) + 1{
}(
−
).
(L5.6)
78
Maka persamaan (L5.4) menjadi:
=
{0,
+
}
−
+
1{
( , )
+ + =
+
+
1{
dengan 1 =
1; 0;
= =
1{
1{
( , )
}
} |−
+ 1{
( , )
}
≤ >
1{
+
1{
( −
}
− 1{ }
( −
( , )
}
}
2
}(
)
|
−
+
( , )
2
)|
−
−
) (
( , )
adalah fungsi indikasi. ( , ) memenuhi persamaan diferensial
Maka persamaan (L5.7) menjadi: }=
|
( , )+
parsial (PDP) Black Scholes (3.9). Akibatnya, untuk syarat 1{ −
)
(L5.7)
Untuk daerah kontinu, nilai opsi put
{0,
( , )
−
1{
∫
+∫
}
}
bernilai nol.
. (L5.8)
Misalkan ekspektasi dengan probabilitas , memenuhi: [
Maka
]=
termasuk martingale dengan ( , ) juga martingale dengan
2000).
[
[
.
] = 0. Dengan demikian,
( , )] =
= 0 (Neftci
79
maks{0,
Nilai ekspektasi dari present value opsi put Eropa: [
maks{0,
−
} merupakan nilai payoff
}] ≡
−
sehingga, persamaan (L5.8) menjadi:
≤
Untuk
≡ [
maks{0,
}] =
−
definisikan:
−
=
⟺
⟺
≤ ln
∫
1{
}
1{
}
(L5.9)
≤
Untuk harga saham yang lognormal, maka: ( −
=
/2) ,
Dengan demikian persamaan (L5.9) menjadi: [ =
maks{0,
−
− √2
=
dengan memilih:
√2
=
maka diperoleh: −
}] ≡
−(
1
−
ln
− −
=
−( − 2
/2) )
√
1
√
− =
maks{0,
−
exp
− =
[
1
}] =
√
−
1 2
√
√2
1 −2 1
√2 80
=
(
−
)
sehingga dengan memisalkan:
Maka akan diperoleh:
(
= =
) .
+
81
