MASARYKOVA UNIVERZITA. Funkce dvou proměnných: definiční obor, hledání extrémů, grafické znázornění

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky

Funkce dvou proměnných: definiční obor, hledání extrémů, grafické znázornění Bakalářská práce Brno 2016

Vedoucí práce: Mgr. Irena Budínová, Ph.D.

Autor práce: Jana Hanzelková

Bibliografický záznam HANZELKOVÁ, Jana. Funkce dvou proměnných: Definiční obor, hledání extrémů, grafické znázorněín: bakalářská práce. Brno: Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická. Katedra matematiky. 2016. 59 s. Vedoucí bakalářské práce Mgr. Irena Budínová, Ph.D.

Anotace Tato bakalářská práce obsahuje teoretické informace o funkcích dvou proměnných, konkrétně se zabývá jejich definičními obory, hledáním extrémů a tvorbou grafů. Práce ukazuje možnosti využití programu Maple při zjišťování extrémů funkcí dvou proměnných a především při generování jejich grafů.

Annotation This thesis contains theoretical information about functions of two variables, namely about their domains, finding extremes and graphical projection. The work demonstrates the possibility of using Maple to

identify extremes of functions of two variables

and especially for graphs generation.

Klíčová slova Funkce dvou proměnných, definiční obor, extrémy, grafické znázornění, Maple

Keywords Functions of Two Variables: Domain, Extrema, Graphical Projection, Maple

Prohlášení Prohlašuji, že jsem závěrečnou práci bakalářskou vypracovala samostatně, s využitím pouze citovaných pramenů, dalších informací a zdrojů v souladu s Disciplinárním řádem pro studenty Pedagogické fakulty Masarykovy univerzity a se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpisů. Brno, 30. března 2016

……………………………… Jana Hanzelková

Obsah Úvod ..................................................................................................................................................... 5 1. Základní definice a věty ............................................................................................................. 6 1.1 Funkce dvou proměnných, definiční obor ........................................................................................... 6 1.2 Grafy funkcí dvou proměnných ................................................................................................................ 7 1.3 Extrémy funkcí dvou proměnných .......................................................................................................... 9 2. Maple 5.1 ...................................................................................................................................... 12 2.1 Určování definičního oboru ......................................................................................................................12 2.2 Grafy funkcí jedné reálné proměnné v programu Maple ...........................................................13 2.3 Grafické řešení soustav nerovnic ...........................................................................................................17 2.4 Generování grafů funkcí dvou proměnných pomocí příkazu plot3d....................................20 3. Řešení příklady pomocí programu Maple .......................................................................... 28 3.1 Zjišťování definičního oboru....................................................................................................................28 3.2 Extrémy funkcí dvou proměnných a jejich grafy............................................................................36 3.3 Absolutní extrémy .........................................................................................................................................54 Závěr .................................................................................................................................................. 58 Použitá literatura:.......................................................................................................................... 59

Úvod Cílem této práce vytvořit materiál, který obsahuje informace potřebné ke zkoumání definičních oborů a extrémů funkcí dvou proměnných a tvoření jejich grafů. Dále se pokusím zmapovat využití počítačového softwaru Maple při zkoumání funkcí dvou proměnných v rozsahu učiva matematické analýzy na Pedagogické fakultě Masarykovy univerzity. Část práce, která obsahuje řešené příklady, bude koncipována tak, aby mohla sloužit jako studijní opora k přípravě na zkoušku z předmětu Matematická analýza 2. Celá práce je členěna na tři části. V první kapitole jsou uvedeny základní definice a věty, ze kterých budeme vycházet při určování definičních oborů, extrémů a vykreslování grafů funkcí dvou proměnných. Ve druhé kapitole se seznámíme s matematickým softwarem Maple, který v této práci využíváme především k tvorbě 2D a 3D grafů. Třetí část této práce obsahuje pět zajímavých příkladů na určování definičních oborů, dále šest podrobně vypracovaných příkladů na extrémy a určování grafů, z nichž některé jsou na úrovni příkladů, které se počítají na cvičeních. Další jsou voleny tak, aby student musel trochu zapřemýšlet a poradit si i s případnými překážkami. Poslední příklad je věnován určování absolutních extrémů funkcí dvou proměnných. Jelikož při počítání „na papíře“ u funkcí dvou proměnných mnohdy vznikají složité výrazy, mohou řešené příklady v této práci sloužit mimo jiné i ke kontrole výsledků výpočtů během počítání. Cílem tedy není vymýšlet co nejsložitější funkce, ale vytvořit materiál, který pomůže studentům matematiky na Pedagogické fakultě připravit se na zkoušku z matematické analýzy a pro zájemce poskytne možnost více proniknout do problematiky funkcí dvou proměnných a rozvinout jejich vizuální představivost.

5

1. Základní definice a věty V této práci se budeme zabývat reálnými funkcemi dvou reálných proměnných. V první části si uděláme stručný přehled základních definic, vět a postupů, které budeme potřebovat k určování definičních oborů, extrémů a grafů funkcí dvou proměnných. V celé kapitole budeme čerpat ze dvou publikací: Diferenciální počet funkcí více proměnných (Došlý, Došlá, 2006), Diferenciální počet (Jarník, 1974).

1.1 Funkce dvou proměnných, definiční obor Došlý (2006) definuje ve své publikaci reálnou funkci n reálných proměnných. My si tuto definici převedeme na reálnou funkci dvou proměnných následovně: Definice 1. Nechť M je neprázdná podmnožina R2, tj.

. Zobrazení

se

nazývá reálná funkce dvou reálných proměnných. Množina M se nazývá definiční obor této funkce, značíme

.

Při zkoumání definičního oboru funkce vycházíme z toho, že některé funkce dvou reálných proměnných nejsou definovány na celém

, ale mají své specifické definiční obory.

V příkladech, se kterými jsme se mohli setkat na střední škole, se nejčastěji používají lineární lomené funkce, odmocniny a logaritmy. My si přidáme ještě několik funkcí, na jejichž definiční obory se velice často zapomíná. Při zkoumání definičního oboru funkcí dvou proměnných se zaměřujeme na stejné funkce s omezeným definičním oborem jako u funkcí jedné proměnné. Zde je souhrn funkcí s definičním oborem jiným než

, které se objevují v příkladech v této práci.

Funkce s omezeným definičním oborem: 

lomená funkce



funkce



funkce



funkce

není definována pro je definovaná pro taková je definovaná pro taková není definována pro

, , kde , kde , kde

, , ,

, 

funkce taková

a , kde

jsou definovány pro .

6

1.2 Grafy funkcí dvou proměnných Pro vytvoření představy „prostorového“ grafu nám v dnešní době asi nejlépe slouží počítačové softwary. V této práci budeme používat program Maple, ve kterém si necháme pro kontrolu vykreslovat zobrazení funkce dvou proměnných v kartézské soustavě souřadnic. Pokud ale přístup k takovýmto programům nemáme, můžeme si udělat představu o grafu funkce dvou proměnných tradiční cestou pomocí řezů svislými rovinami a určováním vrstevnic. Problémem však kromě nedostatku představivosti bývá u některých funkcí právě zjišťování, jak budou tyto grafy vypadat, především kreslení vrstevnic může být někdy velice zdlouhavé. I s takovýmito překážkami si však umíme poradit. Všechny grafy dvou závisle proměnných budeme v této práci zobrazovat pomocí kartézské soustavy souřadnic, jejíž osy budeme značit vždy stejně, a to způsobem zobrazeným na obrázku 1.1. Obrázek 1.1: Kartézský systém souřadnic

V této práci budeme označovat průnik funkce (obrázky 1.2 a 1.3), průnik funkce

s rovinou

s rovinou

jako řez rovinou xz

jako řez rovinou yz (obrázky 1.4

a 1.5). Na jednoduchém příkladu funkce

si ukážeme, jak budeme tyto řezy

určovat. Průnik funkce

a roviny

získáme tak, že najdeme řešení soustavy

těchto dvou rovnic, jinak řečeno dosadíme do zadané funkce funkční předpis

. Vznikne nám tedy

. Jelikož je ypsilonová souřadnice je pro všechna x nulová,

vykreslíme celý graf pouze s osami x a z (obrázek 1.3). Řez rovinou yz dostáváme podobným způsobem, avšak dosazujeme nulu za proměnnou x. Dostáváme funkci

, jejíž graf vidíme na obrázku 1.5.

7

Obrázek 1.2: Funkce

a roviny

Obrázek 1.3: Průnik funkce a roviny

Obrázek 1.4: Funkce

a roviny

Obrázek 1.5: Průnik funkce a roviny

Definice 2. Mějme reálnou funkci dvou proměnných definovanou na množině M a Pak množinu

.

nazveme vrstevnice funkce f na

úrovni c. Při vykreslování vrstevnic do grafu je samozřejmě na nás, jak hustou síť vrstevnic budeme udávat. Vrstevnice určíme tak, že ve funkčním předpisu nahradíme hodnotu parametrem

.

8

Postupně pak dosazujeme za tento parametr různé hodnoty a kreslíme jednotlivé vrstevnice do grafu. V tomto případě jsou vrstevnicemi kružnice se středem v bodě a poloměrem

. Na obrázku 1.6 vidíme vrstevnice funkce

na úrovních

. Odstíny modré barvy v tomto grafu představují funkční hodnotu, tj. v tomto případě platí, že čím tmavší je odstín, tím větší je funkční hodnota zkoumané funkce.

Obrázek 1.6: Vrstevnice funkce

Obrázek 1.7:

Spojením těchto tří pohledů na funkci

jsme schopni vykreslit její graf

(viz obrázek 1.7).

1.3 Extrémy funkcí dvou proměnných V této části se budeme zabývat hledáním lokálních a absolutních extrémů funkce dvou proměnných. Při jejich určování budeme vycházet z toho, co víme o hledání extrémů funkcí jedné proměnné. Budeme si všímat analogií i odlišností těchto postupů. Pro začátek je nutné definovat několik pojmů, které se týkají derivací funkcí dvou proměnných. Definice 3. Nechť funkce

je definovaná v bodě

Položme

. Má-li funkce

derivaci parciální derivací funkce a označujeme

.

9

a nějakém jeho okolí.

derivaci v bodě podle proměnné

, nazýváme tuto v bodě

To znamená, že

Podobně, má-li funkce

derivaci v bodě

, nazýváme tuto

derivaci parciální derivací funkce f podle proměnné y v bodě [ označujeme

.

Definice 4. Nechť

. Existuje-li parciální derivace funkce

proměnné

] a

v bodě

podle

, nazýváme tuto derivaci parciální derivací 2. řádu

podle x funkce f v bodě

a značíme ji

Existuje-li parciální derivace funkce

. podle proměnné y v bodě

,

nazýváme tuto derivaci smíšenou parciální derivací 2. řádu funkce f v bodě a značíme ji

.

Lokální extrémy Stejně jako u definice funkce dvou proměnných vycházíme při definování lokálních extrémů vycházet z definice funkce n proměnných, kterou uvádí Došlý (2006). Definice 5. Funkce

nabývá v bodě

existuje okolí bodu platí

lokálního maxima, jestliže

takové, že pro každé .

Analogicky

funkce

lokálního minima, jestliže existuje okolí bodu že pro každé

z tohoto okolí platí

z tohoto okolí nabývá

v bodě takové,

. Oba tyto pojmy

(lokální maximum, lokální minimum) budeme souhrnně nazývat lokálními extrémy. Při hledání lokálních extrémů funkcí jedné proměnné jsme vycházeli z tvrzení, že lokální extrém může nastávat v bodě, kde je první derivace rovna nule (tento bod jsme nazývali bodem stacionárním) nebo v bodě, kde první derivace neexistuje. U funkcí dvou proměnných platí podobné tvrzení. Extrém může nastávat ve stacionárních bodech nebo v bodech, kde neexistuje alespoň jedna parciální derivace a druhá je rovna nule. Definice stacionárního bodu funkce dvou proměnných je trochu odlišná. Stacionární bod je takový bod, ve kterém existují obě parciální derivace funkce a v tomto bodě jsou obě parciální derivace rovny nule. 10

Pokud obě parciální derivace v bodě existují a alespoň jedna je různá od nuly, pak v tomto bodě nenastává lokální extrém. Při zkoumání lokálních extrémů funkcí jedné proměnné bychom dále pomocí znaménka druhé derivace ve stacionárním bodě rozhodli o tom, zda se jedná o maximum, minimum nebo se o lokální extrém nejedná (v takovém případě by byla diskuse o něco složitější). Rozhodnout o tom, zda funkce ve stacionárních bodech nabývá extrémů, můžeme u funkcí jedné proměnné také pomocí zkoumání monotónnosti funkce na intervalech ohraničených stacionárními body a body nespojitosti. V případě funkcí dvou proměnných tuto možnost nemáme. Na určení, zda funkce dvou proměnných ve stacionárním bodě nabývá extrému, použijeme následující větu: Věta 1:

Nechť funkce

má v bodě

a nějakém jeho okolí spojité

parciální derivace druhého řádu a nechť

pak má funkce

v bodě

o minimum, je-li

je její stacionární bod. Jestliže

ostrý lokální extrém. Je-li , jde o maximum. Jestliže

, jde , pak v bodě

lokální extrém nenastává. Pozn.: Pokud nám vyjde, že zda má funkce v bodě

, pak podle předchozí věty nejsme schopni určit, lokální extrém či nikoliv. O existenci lokálního extrému

v takovémto bodě můžeme rozhodnout vyšetřením chování funkce v okolí bodu nebo pomocí zkoumání grafu dané funkce. Absolutní extrémy Dalším druhem extrémů, které můžeme u funkce určovat, jsou tzv. absolutní extrémy, jejichž definice je uvedena níže. Definice 6. Mějme nějakou neprázdnou podmnožinu M definičního oboru funkce . Pak tato funkce nabývá v bodě

absolutního maxima

(minima) na množině M právě tehdy, když pro všechny body (

platí

).

V některých publikacích se můžeme namísto pojmu absolutní extrém setkat s označením absolutní extrém.

11

Pro zjišťování absolutních extrémů vycházíme z následující věty, kterou uvádí Došlý (2006) opět pro funkci n proměnných. Formulujeme si ji pro funkci dvou proměnných. Věta 2:

Mějme kompaktní množinu (uzavřenou a ohraničenou)

a funkci

spojitou na M. Potom f nabývá absolutních extrémů buď v bodech lokálního extrému, které leží uvnitř M, nebo v některém z hraničních bodů.

2. Maple 5.1 Všechny grafy, které se objevují v této práci, jsou vytvořeny pomocí počítačového softwaru Maple 5.1. Tento software není volně dostupný pro všechny, ale každý student Masarykovy univerzity se může i na svůj domácí počítač nainstalovat verzi 5.1, na kterou má Masarykova univerzita neomezenou licenci. K vyšší verzi se dostanou bohužel už většinou jen studenti Přírodovědecké fakulty v počítačových učebnách v budově Ústavu matematiky a statistiky nebo studenti Fakulty informatiky. V této kapitole se vyskytuje stručný přehled příkazů a jejich parametrů, které se nám při vykreslování definičních oborů a grafů funkcí dvou proměnných mohou hodit. Pro začátek je důležité říct, že psaní příkazů v programu Maple mají určitá pravidla. Každý příkaz začíná symbolem “>“, který se píše automaticky po provedení posledního příkazu, případně ho můžeme přidat kliknutím myší na tlačítko

v horním panelu nástrojů,

a končí symbolem dvojtečka “: “ (příkaz je proveden, ale výstup se na obrazovce neobjeví) nebo středník “; “ (výstup se okamžitě objeví na obrazovce). Jednotlivé parametry příkazu jsou odděleny čárkou a všechny dohromady jsou uzavřeny v kulatých závorkách.

2.1 Určování definičního oboru Při určování definičních oborů budeme používat příkazy na řešení rovnic a nerovnic, dále pak příkazy na vykreslování grafu funkce jedné proměnné. K řešení rovnic slouží v programu Maple příkaz solve. Výstupem tohoto příkazu jsou všechna řešení zadané rovnice či soustavy rovnic. >solve(x^2=1); -1, 1

12

Pokud chceme řešit soustavu rovnic či nerovnic, musíme soustavu zapsat navíc do složených závorek (pokud to neuděláme, program namísto požadovaného výstupu vypíše chybovou hlášku). >solve({x+y=1, x-y=5}); {x = 3, y = -2} Při zjišťování definičních oborů potřebujeme častěji řešit nějakou soustavu nerovnic, na což také můžeme použít příkaz solve. >solve({x^2-x>2,x<0}); {x < -1} Jelikož se ale stále bavíme o funkcích dvou proměnných, budou jako argumenty vstupovat do příkazu nerovnice dvou proměnných. >solve({x+y<1,x>0}); {x + y - 1 < 0, y < 1, 0 < x} Je patrné, že výstupem tohoto příkazu je pouze upravená verze dvou nerovnic, které vstupovaly do příkazu a jedna podmínka navíc, která je obsažena ve dvou zadaných nerovnicích. Rozdíl mezi soustavou nerovnic jedné proměnné a soustavou nerovnic dvou proměnných je především v očekávaném výstupu. U funkcí jedné proměnné je výstupem většinou nějaký interval, který se dá okamžitě interpretovat. Výstupem soustavy nerovnic dvou proměnných bývají často plochy, což je právě náš případ. Každá ze zadaných nerovnic určuje nějakou plochu. Průnikem těchto ploch je pak řešení soustavy nerovnic. Pokud si chceme o řešení soustavy nerovnic udělat vizuální představu, musíme vykreslit jednotlivé plochy v grafu a vyznačit jejich průnik. I v tomto případě nám může Maple pomoci. Pro grafické znázornění řešení soustavy nerovnic se potřebujeme trochu více zorientovat v příkazech a pro tvorbu grafů v Maplu. Proto si nyní ukážeme, jak se v Maplu tvoří jednoduché grafy.

2.2 Grafy funkcí jedné reálné proměnné v programu Maple K vykreslování grafů funkcí jedné proměnné nám v Maplu slouží příkazy plot a implicitplot.

13

Do příkazu plot zadáváme funkci v explicitním tvaru, tj.

. Přičemž do příkazu

píšeme pouze pravou stranu této rovnice. Dalším povinným atributem je rozsah nezávisle proměnné x. Intervaly zadáváme v následujícím tvaru:

. Pozor si v Maplu musíme

dát na používání teček. Dvě tečky se používají právě při psaní intervalů, naopak jedna tečka je používána namísto desetinné čárky. Pokud tedy chceme zobrazit x v intervalu

,

zapisujeme do příkazu výraz

.

Pokud tedy zadáme do příkazu pouze předpis funkce

a

rozsah

nezávisle

proměnné,

dostáváme graf, který můžeme vidět na obrázku 2.1. >plot(x^2-1, x=-1.5..2.5); Rozsah osy

Obrázek 2.1:

se přizpůsobil funkčním hodnotám na zadaném intervalu pro proměnnou .

Funkce je znázornění spojitou červenou čarou tloušťky 1. Toto je implicitní nastavení příkazu plot. Jednotlivé vlastnosti grafu si ale můžeme přizpůsobit pomocí dalších atributů. Na pořadí těchto atributů nezáleží. Seznam všech atributů příkazu plot si můžeme nechat vypsat pomocí příkazu help(plot), který nás odkáže do sekce Nápověda v programu Maple. Nyní si uvedeme několik nejpoužívanějších parametrů příkazu plot. Pokud chceme předem nastavit také rozsah osy ypsilon, přidáme parametr

. Další

z parametrů upravující osy souřadnic je scailing. Tento parametr má pouze dvě možnosti nastavení scaling=constrained a scaling=unconstrained (primární nastavení). Nastavení scaling=constrained volíme, pokud chceme zachovat stejně velké měřítko u obou os souřadnic. Popisky os souřadnic určujeme nastavením labels=[x,y]. Pokud tento parametr nezadáme, program označí pouze osu x. Parametr color nám říká, jakou barvu bude mít graf zadané funkce. Implicitní nastavení je color=red, které se dá jednoduše změnit například přidáním podmínky color=blue. Také tloušťka čáry se dá zvýšit nastavením parametru thickness. Tento parametr nelze používat u bodových grafů. Pokud ho budeme u bodových grafů měnit, graf se nám sice ukáže, ale tloušťka znaků bude stále stejná. 14

Dalším parametrem, se kterým můžeme pracovat, je styl čáry. My budeme využívat právě přednastavený parametr style=line. Dalšími možnostmi jsou point (bodový graf), patch a patchnogrid. Poslední dvě zmíněné možnosti v této práci potřebovat nebudeme. Pokud chceme vykreslit bodový graf, máme navíc další možnosti v podobě nastavení parametru symbol, který má 5 možností (BOX – čtverečky, CROSS – symbol +, CIRCLE – kolečka, POINT – body, DIAMOND – kosočtverce). Také se stylem čáry „line“ můžeme dále pracovat pomocí vlastnosti linestyle=n, která má 4 nastavení: 1 – spojitá linie, 2- tečkovaná, 3 – čárkovaná, 4 – čerchovaná. Použití těchto atributů si ukážeme na dvou následujících grafech. >plot(x^2-1, x=-4..4, thickness=2, linestyle=4, color=blue, scaling=constrained, labels=[x,y]); Na obrázku 2.2 vidíme graf funkce

znázorněný

modrou čerchovanou čarou tloušťky 2. Můžeme si všimnout, že měřítko obou os je opravdu stejné. Požadovali jsme rozsah osy x od -4 po -4, tomu se přizpůsobil rozsah osy y od -1,5 do 15. Díky nastavení parametru scailing=constrained je výstupem užší graf než např. na obrázku 2.3.

Obrázek 2.2:

>plot(y^2-1, y=-4..4, style=point, symbol=circle, color=orange, labels=[y,z]); Na obrázku 2.3 je znázorněn bodový graf funkce

s podobným

tvarem

jako

v předchozím příkladě. Na první pohled je zřejmé, že parametry příkazu se budou lišit. Vodorovnou osu jsme si nechali označit písmenem y, svislou písmenem z. Jedná se tedy o graf funkce

.

Toto značení budeme používat například Obrázek 2.3:

15

při určování řezů rovinami yz, kdy budeme vykreslovat funkci

. Všimněme si, že

měřítko os není stejné, ale přizpůsobilo se internímu nastavení programu. Pokud chceme zobrazit funkci v implicitním tvaru, použijeme příkaz implicitplot. Oproti příkazu plot je zde povinnost uvést rozsah proměnné y. Ostatní parametry nastavujeme stejně jako u příkazu plot. Výstupem bude na rozdíl od grafu získaného příkazem plot křivka, která již nemusí být funkcí, tj. může existovat bod x, kterému jsou přiřazeny dvě funkční hodnoty. Na obrázku 2.4 i 2.5 vidíme tutéž kružnici se středem v počátku a poloměrem

1.

Jediným

rozdílem

v zadání

příkazu

je

přidání

parametru

scailing=constrained v případě kružnice na obrázku 2.5. >implicitplot(x*x+y*y-1=0,x=-2..2, y=-2..2, scaling=constrained);

Obrázek 2.5:

Obrázek 2.4:

Příkaz implicitplot ovšem nepatří do základního balíčku programu Maple, tudíž musíme před jeho použitím načíst knihovnu plots. Načtení knihovny provedeme příkazem: >with(plots); [animate, animate3d, animatecurve, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedra_supported, polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot]

16

2.3 Grafické řešení soustav nerovnic Pro vykreslení řešení soustav rovnic a nerovnic používáme příkaz inequal, který je stejně jako příkaz implicitplot součástí knihovny plots. Povinnými atributy tohoto příkazu je nerovnice (popř. rovnice) či soustava nerovnic a rozsah os x a y. V případě zadávání soustavy nerovnic opět nesmíme zapomenout ohraničit tuto soustavu složenými závorkami. >inequal({y<x,y<=-x}, x=-5..5, y=-5..5);

Obrázek 2.6: Řešení soustavy nerovnic:

Na obrázku 2.6 vidíme řešení soustavy nerovnic

,

bez nastavení dalších

parametrů. Řešení je sice nějakým způsobem znázorněno, ovšem vizuální podoba tohoto grafu se nám určitě moc nelíbí. Navíc není jasné, která se dvou barevných ploch je řešením a zda do řešení patří také hraniční funkce. Nastavení příkazu inequal je oproti příkazu plot poněkud složitější. Máme zde 4 následující oblasti/křivky, pro které můžeme zvlášť nastavovat různé parametry: 

feasible region = množina bodů, které splňují všechny nerovnice, tj. průnik řešení všech nerovnic soustavy = řešení soustavy nerovnic,



excluded regions = množina bodů, které nejsou řešením alespoň jedné nerovnice,



open lines = křivky, které do řešení soustavy nerovnic nepatří,



closed lines = křivky, které do řešení soustavy nerovnic patří. 17

Pomocí výrazů optionsfeasible, optionsexcluded, optionsopen a optionsclosed můžeme nastavovat barvu, tloušťku čáry, styl čáry… (parametry zmíněné výše u příkazu plot) pro každou z těchto ploch/křivek samostatně. >inequal({x-1<=y,x>-1}, x=-3..5, y=-5..5, optionsfeasible=(color=yellow), optionsexcluded=(color=white), optionsopen=(thickness=2, color=red, linestyle=3), optionsclosed=(color=blue, thickness=2), labels=[x,y]); Na první pohled vypadá tento příkaz se všemi parametry složitě, ovšem v podstatě se opakuje pořád jedno a to samé. Řešení soustavy nerovnic jsme si nechali vykreslit žlutou barvou, plochy, které nepatří do řešení, jsme pro

přehlednost,

nechali

bílé

optionsexcluded= (color=white). Přímka do řešení patří a je znázorněna modrou barvou. Naopak přímka do řešení nepatří, proto jsme zvolili parametr linestyle=3, tj. čárkovanou čáru, pro kterou jsme vybrali červenou Obrázek 2.7: barvu. V tuto chvíli by se zdálo, že pomocí příkazu inequal dokážeme znázornit jakýkoliv definiční obor. Opak je ale pravdou. Příkaz inequal ve verzi programu Maple 5.1 totiž umí pracovat pouze s lineárními funkcemi. Protože předpokládáme, že máme přístup pouze k verzi 5.1, nebudeme vyšší verze programu používat. I ve verzi 5.1 by se pomocí složitých procedur určitě dalo dosáhnout řešení všech typů nerovnic, ovšem používání procedur už je dosti pokročilé a samotný popis takovýchto postupů by zabral mnoho stran. Při zkoumání definičních oborů se u některých složitějších funkcí spokojíme s tím, že umíme vykreslit hraniční funkce a vybarvování ploch v grafu budeme při počítání provádět pouze na papíře. Pokud nebudeme používat příkaz inequal, musíme si ještě ukázat, jak se v programu Maple zakresluje více křivek do jednoho grafu. Sloužit nám k tomu budou příkazy plot a implicitplot.

18

V případě, že chceme všechny křivky znázornit pomocí

stejného

požadované

příkazu,

funkce

stačí

složenými

ohraničit závorkami

a nastavit rozsah os. Všimněme si, že pro nastavování barvy, stylu a tloušťky čáry jsme v příkladu použili hranaté závorky a dva parametry. Pořadí těchto parametrů je totožné s pořadím funkcí. >plot({x,x^2}, x=-10..10, color=[blue, red], Obrázek 2.8: style=[line, point], thickness=[2,1]); (Obr. 2.8) Pokud chceme u jedné ze křivek použít příkaz plot a u jiné implicitplot využijeme příkaz display (z knihovny plots). Než příkaz display použijeme, bývá velice praktické si jednotlivé křivky uložit pomocí znaků „:=“ a pak se na ně v příkazu display odkázat. Název odkazu si zvolíme podle sebe. V níže uvedeném příkazu používáme slovo „Graf1“, „Graf2“ atd. Tímto si můžeme uložit více grafů a pak je najednou vykreslit příkazem display. Pokud nepotřebujeme zobrazovat jednotlivé grafy, použijeme na ukončení příkazu místo středníku dvojtečky. >with(plots); >Graf1:=implicitplot(-x^2+2*x=y-4, x=-6..6, y=-6..6, color=red, scaling=constrained, style=line, thickness=2, linestyle=0): >Graf2:=plot(abs(x-1)-2, x=-6..6, color=blue, thickness=2, scaling=constrained): > display({Graf1, Graf2}); Můžeme také libovolně kombinovat příkazy plot a implicitplot. Pozor si musíme dávat pouze na zadání rozsahu os, které by mělo být pro všechny grafy stejné. V příkazu display se navíc objevují složené závorky, které jsou v Maplu typické pro psaní výčtu více prvků, jak jsme si mohli všimnout u soustav rovnic či nerovnic.

Obrázek 2.9: Graf funkcí

,

19

2.4 Generování grafů funkcí dvou proměnných pomocí příkazu plot3d Nejdůležitější úsekem této práce je tvorba „3D“ grafu v programu Maple. Pro generování grafů funkcí dvou proměnných nám bude stačit jeden příkaz opět z knihovny plots, a to příkaz plot3d. Minimální povinné nastavení tohoto příkazu vypadá následovně: >plot3d(f(x,y), x=a..b, y=c..d); Po zadání příkazu >plot3d(x^2+y^2, x=-10..10, y=-10..10); se nám sice ukáže graf funkce

, ovšem

bez os soustavy souřadnic (obrázek 2.10). Obrázek 2.10:

Osy souřadnic zobrazíme pomocí nastavení axes. V Maplu 5.1 máme pro tento atribut čtyři možnosti nastavení: NONE – žádné osy (primární nastavení), NORMAL, FRAMED, BOXED. V této práci budeme kvůli přehlednosti používat nastavení axes=boxed. Můžeme samozřejmě dále nastavovat rozsah osy z, používat parametr scaling=constrained či označení os nastavením labels=[x,y,z], bez tohoto atributu se nám zobrazují pouze popisky osy x a y. I v tomto příkazu, stejně jako u grafů jedné proměnné, můžeme použit nastavení stylu. Vybíráme z možností: patch – vykreslená mřížka (obr. 2.10), patchnogrid - spojitá plocha bez mřížky, point – bodový graf, line – mřížka (pouze obrysy), contour – vrstevnice, patchcontour – spojitá plocha s vyznačenými vrstevnicemi. Další velmi zajímavé vizuální efekty získáme nastavením stínování. Pokud použijeme parametr color=blue (nebo jakoukoliv jinou barvu), získáme zobrazení prostorového objektu, který je celý v modré barvě. Když do nastavení color zadáme nějakou z proměnných, získáme graf, ve kterém se se změnou hodnoty x mění také jeho barva (obrázek 2.10). Ještě zajímavější je nastavení parametru shading, které nám umožňuje vybarvit funkci podle více proměnných či nějaké další funkce. V tomto dokumentu budeme nejčastěji používat shading=ZHUE. Pokud dodáme do příkazu plot3d právě tento parametr, získáme graf funkce vybarvené podle funkční hodnoty. Výsledný graf je mnohem přehlednější. 20

Nyní si uvedeme několik příkladů funkcí s různými nastaveními výše zmíněných atributů. >plot3d(x+5*y, x=-10..10, y=-10..10, axes=framed, style=line, color=y);

Obrázek 2.11: Graf funkce

>plot3d(exp(x*y), x=-1..1, y=-1..1, axes=boxed, style=patch, shading=zgrayscale);


>plot3d(exp(x^2+y^2), x=-1..1, y=-1..1, axes=boxed, style=patchnogrid, shading=zhue);

Obrázek 2.13:

21

Vrstevnice funkcí dvou proměnných Posledním příkazem, který si v této kapitole uvedeme, je příkaz contourplot z knihovny plots. Ten se nám hodí v případě, že chceme určit vrstevnice nějaké funkce dvou proměnných. Povinnými atributy příkazu contourplot je předpis funkce a rozsah os x a y. Pokud nějaký z těchto rozsahů neurčíme, program nám vrátí pouze chybovou hlášku. Můžeme také zadat, kolik vrstevnic má program znázornit pomocí nastavení contours=n, nebo můžeme pomocí stejného parametru vypsat do hranatých závorek přímo úroveň vrstevnic, které chceme vykreslit. Pro nastavení rozlišení grafu používáme parametr grid. Původní nastavení je grid=[25,25], tj. program generuje 625 bodů. Pokud nám toto rozlišení nestačí, můžeme si tento parametr upravit. Musíme mít na paměti, že doba výpočtu se se zvýšením parametru grid taktéž zvyšuje. Nastavením filled=true dostaneme vyplněný graf barvami, jejichž odstíny se liší podle úrovní jednotlivých vrstevnic. Bez dalšího nastavení používá graf spektrum barev od žluté (nejvyšší hodnoty) po červenou (nejnižší hodnoty). Barvy můžeme měnit pomocí parametru coloring=[barva1, barva2]. Různá nastavení příkazu contourplot vidíme na obrázcích 2.14 a 2.15. >contourplot(x^2-y^2, x=-10..10, y=-10..10); (obrázek 2.14) >contourplot(x^2-y^2, x=-10..10, y=-10..10, filled=true, grid=[50,50]); (obrázek 2.15)


coloring=[yellow,


22

green],

2.5 Hledání extrémů funkcí dvou proměnných V této části si ukážeme dva postupy, jakými můžeme v programu Maple určit lokální extrémy funkce dvou proměnných. V prvním případě využijeme příkazu extrema v programu Maple, ve druhém budeme postupovat podle tak, jako bychom počítali na papíře, pouze derivace a jednotlivé výpočty necháme na programu Maple. Příkaz extrema Pro začátek je nutno říct, že tento příkaz nebude pro naše účely úplně ideální, ovšem nejvíce se blíží k tomu, aby nám poskytl alespoň nějaké informace o extrémech dvou proměnných. Výstupem příkazu extrema z knihovny student je funkční hodnota v lokálním extrému vstupní funkce. Tato hodnota nám sice může sloužit ke kontrole, zda jsme vypočítali správný lokální extrém, ovšem my bychom potřebovali, aby výstupem byly souřadnice bodů, ve kterých tento extrém nastává. Mezi povinné parametry příkazu extrema patří samozřejmě předpis funkce a dále množina omezujících podmínek. Pokud tuto množinu nechceme blíže specifikovat, vložíme do příkazu prázdné množinové závorky. V případě, že používáme funkci s parametry, musíme do příkazu zapsat seznam proměnných, podle kterých budeme extrémy hledat (opět do složených závorek). Jako poslední parametr můžeme nastavit proměnnou, do které se uloží souřadnice bodů, ve kterých podle příkazu extrema má funkce lokální extrém. V tuto chvíli to vypadá, že za nás program udělal všechnu práci. Na následujícím příkladě si ukážeme, že toto tvrzení neplatí. Příklad 2.1: Určete lokální extrémy funkce

Nejprve načteme knihovnu student, abychom mohli požít příkaz extrema. >with(student):

23

Do proměnné „fce“ si uložíme hledanou funkci, abychom ji nemuseli pokaždé vypisovat znovu, když se na ni budeme chtít odkázat. >fce:=x*y*exp(-(x^2+y^2)/2); Pomocí příkazu extrema si necháme vypsat funkční hodnoty lokálních extrémů na neomezené množině. Souřadnice bodů, ve kterých funkce nabývá extrémy, si uložíme do proměnné 'body', kterou si v následujícím příkazu necháme vypsat. >extrema(fce, {}, {x,y}, 'body');

>body;

Nyní si rozebereme, co nám program vlastně určil. Jako řešení dostáváme pět bodů, ve kterých podle příkazu extrema nastává lokální extrém. Problémem ale je, že nedokážeme rozlišit, zda se jedná o minimum nebo maximum. Abychom si tuto situaci dovedli blíže představit, necháme si v programu Maple vykreslit graf této funkce (Obrázky 2.16 a 2.17). >plot3d(fce,x=-3..3,y=-3..3, axes=boxed, shading=zhue);



24

Podle grafu už vidíme, že v bodech a

a

má funkce lokální maximum, v bodech

lokální minimum a v bodě

má funkce dokonce sedlový bod, takže

v něm lokální extrém nenastává. Tím určitě nechceme říct, že příkaz extrema neplní správně svoji funkci. Program správně určil funkcí hodnoty v lokálních extrémech, což je úkolem příkazu extrema. Můžeme si všimnout, že pro bod

žádnou hodnotu nevypsal, takže správně určil, že v tomto bodě

nenastává lokální extrém. Problémem je ale přiřazení jednotlivých bodů k vypsaným funkčním hodnotám, které musíme udělat ručně. Ovšem i tak nám příkaz značně zjednodušil práci. Hledání extrémů pomocí příkazů diff a solve Když nemáme k dispozici žádný software a hledáme extrémy funkcí dvou proměnných jen pomocí papíru a tužky, postupujeme následujícím způsobem: 1. Zjistíme, jaký má funkce definiční obor. 2. Určíme stacionární body (pomocí prvních parciálních derivací) 3. Ověříme, zda v těchto bodech nastává lokální extrém, popř. o jaký extrém se jedná. Přesně tímto způsobem budeme postupovat i nyní. Program Maple ale využijeme k jednotlivým výpočtům, což nám značně urychlí práci. Abychom nemuseli zadanou funkcí stále vypisovat nebo opisovat výstupy, budeme si každý výstup ukládat do nějakého odkazu pomocí příkazu „:=“. Příklad 2.2: Určete lokální extrémy funkce

Stejně jako v předchozím případě si do proměnné „f“ uložíme zadanou funkci. >fce:=x*y*exp(-(x^2+y^2)/2); Poté si pomocí příkazu diff necháme vypsat parciální derivací této funkce. Do příkazu vkládáme na první místo funkci a na druhé místo proměnnou, podle které chceme 25

derivovat. Proto nám pro všechny parciální derivace stačí jeden příkaz, který se liší pouze svými parametry. > fx:=diff(fce,x); fx:= >fy:=diff(fce,y); fy:= Následně si necháme pomocí příkazu solve vyřešit soustavu rovnic

,

.

>reseni:=solve({fx=0, fy=0}, {x,y}); {y = 0, x = 0}, {x = 1, y = 1}, {x = 1, y = -1}, {x = -1, y = 1},{x = -1, y = -1} Zjistili jsme, že funkce má pět stacionárních bodů. Abychom zjistili, zda se v nich nachází extrémy funkce, budeme potřebovat druhé derivace, které si opět necháme vygenerovat pomocí příkazu diff. Tentokrát už ale do příkazu nevstupuje zadaná funkce, ale první parciální derivace uložené v odkazech „fx“ a „fy“. >fxx:=diff(fx,x); fxx:= >fyy:=diff(fy,y); fyy:= >fxy:=diff(fx,y); fxy:= Přestože jsme výše provedli příkaz solve, program řešení do proměnných x a y sám neuloží, tudíž to musíme udělat my. Můžeme to provést pomocí příkazu assign nebo ručně. Pokud nám vyšel pouze jediný stacionární bod, použijeme příkaz assign. 26

>assign(reseni); V našem případě máme více stacionárních bodů, provedeme následující sled příkazu vždy pro každý stacionární bod zvlášť. >x:=0; y:=0; >fxx*fyy-fxy^2; -1 Determinant matice složené z druhých parciálních derivací nám vyšel -1 (kladný), tj. podle Věty 1 ve stacionárním bodě extrém nenastává. Tento proces zopakujeme znovu s dalším stacionárním bodem. >x:=1; y:=1; >fxx*fyy-fxy^2;

Tentokrát vyšel determinant kladný, tj. v bodě

nabývá funkce extrému. Jelikož máme

v proměnných x a y uložený stacionární bod, stačí si nechat vypsat jednu z druhých parciálních derivací a podle jejího znaménka zjistíme, o jaký extrém se jedná. >fxx;

Jelikož je znaménko záporné, jedná se podle Věty 2 o maximum. Analogicky rozhodneme o existenci extrémů u dalších stacionárních bodů.

27

3. Řešení příklady pomocí programu Maple Třetí kapitola této práce obsahuje příklady řešené pomocí výše uvedených postupů a příkazu v programu Maple. Je koncipována tak, aby mohla sloužit i samostatně studentům jako opěrný materiál k přípravě na zkoušku bez použití počítačového softwaru. Kapitola je rozdělena na tři části. V první části budeme zkoumat definiční obory pěti funkcí. Ve druhé části se pokusíme pomocí určení lokálních extrémů, řezů rovinami a vrstevnic odhadnout, jak budou vypadat grafy zadaných funkcí. V poslední části si na jednom příkladu nastíníme, jak nám může Maple pomocí při hledání absolutních extrémů. Při řešení příkladů budeme uvádět jednotlivé příkazy z programu Maple červenou barvou stejně jako ve druhé kapitole. Výstupy již nebudeme vždy vypisovat pro každý příkaz zvlášť modrou barvou, aby nenarušovaly strukturu řešení, ale někdy je budeme uvádět po blocích.

3.1 Zjišťování definičního oboru V této části se objevují složitější funkce, jejichž grafy by bylo bez pomoci výpočetní techniky velice obtížné určit. Zaměříme se tedy pouze na definiční obory funkcí a grafické znázornění těchto definičních oborů. Příklad 3.1: Určete definiční obor funkce:

Řešení: Protože je logaritmus definovaný jen pro kladné argumenty, vzniká nám z prvního sčítance pro definiční obor omezení:

Řešením této nerovnice je plocha nad křivkou absolutní hodnoty s vrcholem v bodě [1; -2] a průsečíky s osami v bodech [0;-1], [-1;0] a [3;0]. Tato plocha je znázorněna na obrázku číslo 3.1. >Graf1:=implicitplot(y>abs(x-1)-2, x=-5..5, y=-5..5, filled=true, coloring=[yellow, white], scaling=constrained, labels=[x,y], linestyle=4): >Graf2:=plot(y=abs(x-1)-2, x=-5..5, y=-5..5, scaling=constrained, thickness=3, color=blue): > display({Graf1, Graf2}); (obrázek 3.1) Funkce odmocnina je definována pro nezáporné atributy, proto vzniká podmínka:

28

Po několika úpravách se dostaneme k nerovnici

, která udává plochu pod

grafem paraboly s maximem v bodě [1;5] a průsečíky s osami v bodech

,

,

, kterou vidíme na obrázku číslo 3.2. >Graf1:=implicitplot(y<-x^2+2*x+4, x=-5..5, y=-5..5, filled=true, coloring=[yellow, white], scaling=constrained, labels=[x,y]): >Graf2:=plot(-x^2+2*x+4, x=-5..5, y=-5..5, scaling=constrained, thickness=3, color=red, linestyle=4): display({Graf1, Graf2}); (obrázek 3.2)

Obrázek 3.1:

Obrázek 3.2:

Abychom mohli přesně určit definiční obor zadané funkce, potřebujeme ještě průsečíky našich dvou omezující ch funkcí. Ty získáme řešením soustavy rovnic:

>solve({y=-x^2+2*x+4,y=abs(x-1)-2}); Průsečíky těchto dvou funkcí vyjdou po zaokrouhlení

a

.

Nyní už máme vše potřebné pro sestrojení grafu množiny M, která udává definiční obor funkce

Obrázek 3.3: Definiční obor funkce

. Množina M je pak dána jako

průnik ploch zobrazených na obr. 3.1 a 3.2 žlutou barvou (obrázek 3.3).

29

Příklad 3.2: Určete definiční obor funkce:

Řešení Ze sčítance

nám vyplývá následující podmínka:

Tuto podmínku můžeme dále rozdělit na výraz nad přímkou

. Druhý výraz

plocha pod přímkou

, jehož výsledkem je plocha nám po úpravě vychází

, což je

.

Ze druhého sčítance vzniká toto omezení:

Jelikož se jedná o lineární rovnice, můžeme použít příkaz inequal. Na obrázku 3.4 je žlutou barvou znázorněn definiční obor zadané funkce, tj. oblast, kde jsou všechny tři podmínky splněny najednou. >inequal({y>=x, y<=x+2, x+2*y-2>0}, x=-5..5, y=-5..5, optionsfeasible=(color=yellow), optionsexcluded=(color=white), optionsopen=(thickness=2, color=red, linestyle=3), optionsclosed=(color=blue, thickness=2), labels=[x,y]);


30


Řešení Při zjišťování definičního oboru vycházíme u této funkce z podmínky:

Výsledné znaménko tohoto zlomku bude nezáporné, pokud bude platit jedna z následujících podmínek:

První činitel lze po několika úpravách opět za použití doplnění na čtverec převést na tvar: , což je obecná rovnice kružnice se středem v bodě Druhý činitel můžeme podobně upravit na tvar:

o poloměru 1. . Tento předpis udává

elipsu se středem v bodě [2;-1] s poloosami 2 a 3. Po dosazení upravených křivek do první podmínky dostáváme:

Vzniká nám tedy oblast vně kružnice i elipsy. Po dosazení upravených křivek do druhé podmínky dostáváme nerovnice:

Výsledkem je oblast, která je zároveň uvnitř kružnice i elipsy. Sjednocení těchto dvou oblastí, znázorněné žlutou barvou na obrázku 3.5, tvoří definiční Obrázek 3.5: Definiční obor funkce obor funkce

. 31


Na první pohled se jedná o jednodušší funkci, než byly funkce v předchozích příkladech. Ovšem dostáváme se mimo oblast kuželoseček k „neoblíbeným“ funkcím, které mohou některým studentům působit potíže. Řešení Nejjednodušší podmínka pro definiční obor zadané funkce vychází z vnitřního logaritmu:

Tato podmínka tedy udává plochu nad přímkou

.

Druhá podmínky vychází z argumentu prvního logaritmu:

Zde se stejně jako v předchozím příkladě dělí další diskuse na dvě části: a)

Abychom mohli určit graf této plochy, potřebujeme ze druhé podmínky vyjádřit y. Pokud by se jednalo o rovnici, pomohli bychom si exponenciální funkcí o základu e. Vycházeli bychom z předpokladu, že hodnoty exponenciální funkce o stejném základu se rovnají, pokud se rovnají jejich exponenty. V případě nerovnice si v tomto případě musíme dávat pozor na „otáčení“ znaménka nerovnosti. V tomto případě se po přidání exponenciální funkce o základu e znaménko nerovnosti nezmění, protože je tato funkce rostoucí. Úpravy tedy probíhají následovně:

Průnikem podmínek

a

je žlutá plocha znázorněná na obrázku 3.6 napravo

od osy y.

32

b) Argument v diskutovaném logaritmu bude kladný, i pokud vyjdou oba činitelé záporně, tj.:

Po podobných úpravách jako v předchozí části dostáváme podmínku:

Máme tedy průnik plochy ležící nalevo od osy y a plochy ležící pod přímkou

,

který je znázorněný v následujícím grafu modrou barvou. Sjednocením těchto dvou ploch vzniká definiční obor funkce

,

který vidíme na obrázku 3.6, vygenerovaném pomocí níže uvedených příkazů. >Graf1:=implicitplot(x*ln(x-y)>0, x=-2..2, y=-2..2, filled=true, coloring=[yellow, white], scaling=constrained, thickness=2, labels=[x,y], linestyle=4, numpoints=10000): > Graf2:=plot(x, x=-2..2, y=-2..2, scaling=constrained, thickness=2, color=red, linestyle=4): > Graf3:=plot(1-x, x=-2..2, y=-2..2, scaling=constrained, thickness=2, color=blue, linestyle=4): > display({Graf1, Graf2}); Pozn.: Příkaz implicitplot nedovoluje při řešení nerovnic nastavovat barvu hraničním křivkám. Aby byl graf přehlednější, generujeme Graf2 a Graf3, které pouze obarví hraniční křivky na červenou barvu, aby se daly lépe odlišit od os souřadnic.


33


Řešení V tomto příkladě se nám objevují dvě funkce s omezeným definičním oborem. Funkce tangens není definována pro argument a jeho celočíselné násobky, tj.: , Z toho nám plynou dvě následující podmínky:

Druhou funkcí s omezeným definičním oborem v našem zadání je

:

Stejně jako ve druhém příkladě si rozdělíme tuto podmínku na dvě podmínky. a) Nerovnice

je splněna, pokud:

Výsledná plocha z této části je pomocí následujícího příkazu vykreslena na obrázku 3.7. >implicitplot({x*y>-1}, x=-5..5, y=-5..5, filled=true, coloring=[yellow, white], labels=[x,y], scaling=constrained, linestyle=4, thickness=3); b) Nerovnice

je splněna, pokud:

34

implicitplot({x*y<1}, x=-5..5, y=-5..5, filled=true, coloring=[green, white], labels=[x,y], scaling=constrained, linestyle=4, thickness=3); (obrázek 3.8) Abychom mohli provést předchozí úpravy, předpokládali jsme, že ještě zjistit, jak se chová funkce pro přímky

a

. Proto musíme

. Po dosazení vidíme, že výraz

má v obou případech smysl, takže tyto dvě přímky do definičního oboru patří.

Obrázek 3.7: Řešení nerovnice

Obrázek 3.8: Řešení nerovnice

Sjednocením ploch z obrázků 3.7 a 3.8 vznikne plocha znázorňující definiční obor funkce , která je vykreslena na obrázku 3.9.

Graf 3.9: Definiční obor funkce

35

3.2 Extrémy funkcí dvou proměnných a jejich grafy U dalších funkcí se zaměříme na jejich extrémy a především sestrojování řezů rovinami xz a yz a vykreslováním vrstevnic. Jako kontrola nám bude sloužit graf vygenerovaný v programu Maple. Samozřejmě nemůžeme u žádné funkce zapomenout na určení definičního oboru. Příklad 3.6: Určete extrémy následující funkce a pokuste se načrtnout její graf.

Řešení Na první pohled vidíme, že výraz má smysl pro všechny x a y, tedy

. Dále máme

za úkol určit lokální extrémy. K tomu nám pomohou první parciální derivace zadané funkce, které získáme pomocí příkazu diff: >fce:=-3*x^2+18*x-3*y^2+12*y-34; >fx:=diff(fce,x); fy:=diff(fce,y);

Stacionární body budou řešením soustavy:

>reseni:=solve({fx=0, fy=0}, {x,y}); Soustava má jediné řešení a tím je stacionární bod

.

Nyní pomocí druhých parciálních derivaci rozhodneme, zda se jedná o extrém a pokud ano, určíme, o jaký extrém jde. >fxx:=diff(fx,x); fyy:=diff(fy,y); fxy:=diff(fx,y);

36

Načteme do proměnných x a y souřadnice stacionárního bodu pomocí příkazu assign. >assign(reseni); >fxx*fyy-fxy*fxy;

36

>fxx;

-6

Výsledek determinantu je kladný, tudíž podle věty č. 1 v bodě

nabývá funkce

lokálního extrém, podle znaménka druhé parciální derivace v tomto bodě, které je záporné, se tedy jedná o maximum. Graf Jak se můžeme dočíst v teoretické části této práce, řez rovinou xz určíme tak, že do zadané funkce dosadíme za y číslo nula, což provedeme pomocí programu Maple. Pomocí příkazu restart zrušíme přiřazení všech proměnných. Znovu si uložíme funkce do proměnné „fce“, proměnné y přiřadíme nulu a necháme si vypsat výslednou funkci. >restart; fce:=-3*x^2+18*x-3*y^2+12*y-34; >y:=0; fce; >plot(fce, x=-10..10, y=-500..100, labels=[x,z], color=black, thickness=2); Dostáváme funkci

, jejímž grafem je parabola obrácená směrem dolů

s vrcholem (maximem) v bodě

(obrázek 3.10).

Podobným způsobem zjistíme, jak vypadá řez rovinou yz zadané funkce. Dosadíme do ní za x opět číslo nula a zobrazíme graf výsledné funkce dostáváme parabolu obrácenou dolů, ale tentokrát s maximem v bodě (obrázek 3.11). >restart; fce:=-3*x^2+18*x-3*y^2+12*y-34; >x:=0; fce; >plot(fce, x=-10..10, y=-500..100, labels=[y,z], color=black, thickness=2);

37

. Opět

Obrázek 3.10:

Obrázek 3.11:

Vrstevnice Nejlepší představu o chování zadané funkce získáme pomocí vrstevnic. Podle definice 1.2 získáme vrstevnice na úrovni c dosazením

. Získáme tedy následující

rovnici:

Na první pohled vidíme, že se jedná o předpis nějaké kuželosečky. Koeficienty u druhých mocnin x a y jsou stejné včetně znaménka, tudíž budeme pravděpodobně mluvit o kružnicích. Nyní musíme zjistit, kde budou mít kružnice střed a jaký budou mít poloměr. Připomeňme si, jak vypadá předpis kružnice se středem v bodě

s poloměrem r.

Pomocí doplnění na čtverec se pokusíme upravit naši rovnici na tento tvar.

Výsledkem jsou tedy kružnice se středem v bodě [3;2] a poloměrem

. Dosazováním reálných

čísel za c získáme jednotlivé vrstevnice, které jsou vykresleny na obrázku 3.12. >restart; >plots[contourplot](-3*x^2+18*x -3*y^2+12*y-34, x=-10..10, y=-10..10, thickness=2, scaling=constrained);


38

V programu Maple si necháme vykreslit graf zadané funkce, abychom si ověřili, že si graf zadané funkce představujeme správně. >plot3d(-3*x^2+18*x-3*y^2+12*y-34, x=-20..20, y=-20..20, shading=zhue, axes=boxed);

Obrázky 3.13, 3.14: Grafy funkce

Modifikace příkladu Zadání výše zmíněného příkladu se dá podle potřeby modifikovat různými způsoby. Paraboloid můžeme posouvat, zužovat, rozšiřovat. Postup výpočtů bude vždy podobný. Grafem funkce s vrcholem v bodě [

, kde

, bude rotační paraboloid

]. Koeficient k určuje rozevření paraboloidu a jeho orientaci.

Pokud bude koeficient k záporný, bude paraboloid převrácený, tj. jeho vrchol bude maximem funkce. Tento příklad můžeme ještě dále modifikovat a to tak, že vrstevnicemi nebudou kružnice, ale elipsy. Grafem takové funkce bude tzv. eliptický paraboloid. V tomto případě musíme jenom poznamenat, že eliptický paraboloid už není rotační těleso, protože nevzniká rotací kolem žádné z os. Postup řešení bude analogický, pouze určení vrstevnic bude odlišné.

39

Příklad 3.7: Určete extrémy následující funkce a pokuste se načrtnout její graf.

Řešení V zadání máme odmocninu, což je funkce, u které si musíme dávat pozor na definiční obor. Výraz pod odmocninou tedy nesmí být záporný. Součet druhých mocnin dvou čísel bude vždy nezáporný, takže definičním oborem zadané funkce bude celé R2. Extrémy Nejprve spočítáme první parciální derivace podle proměnných x a y. V obou případech si musíme uvědomit, že se jedná o funkci složenou, takže nesmíme zapomenout derivovat i vnitřní funkci. fce:=sqrt(x*x+y*y); fx:=diff(fce,x); fy:=diff(fce,y);

Řešením soustavy rovnic

určíme stacionární body. V tomto případě si postup práce rozepíšeme trochu podrobněji, abychom si ukázali jeden z častých omylů, kterého se mnozí z nás dopouštějí. Pokud řešíme rovnici

a už jsme trochu zvyklí počítat „automaticky“, vynásobíme celou rovnici jmenovatelem, abychom se „zbavili“ zlomku a vyjde nám, že způsobem vychází, že

. Z druhé rovnice soustavy nám stejným

. Napsali bychom tedy, že bod [0,0] je řešením dané soustavy.

40

Tento závěr je ovšem špatný, protože jsme zapomněli na jednu důležitou podmínku. A to, že

. Tedy musíme říct, že tato soustava rovnic nemá řešení. Stejnou informaci

získáme také pomocí příkazu solve. Nemůžeme ale říct, že zadaná funkce nemá lokální extrémy. Určitě bychom dali dohromady příklad funkce jedné proměnné, která má extrém, ale tečna v tomto bodě není určená jednoznačně, tj. při položení první derivace rovno nule rovnice taktéž nemá řešení. Takovouto funkcí je například absolutní hodnota. V jejím minimu totiž nemůžeme určit tečnu, proto má funkce „ostrý“ hrot. V naší zkoumané funkci vlastně řešíme něco podobného, pouze jsme přidali jednu dimenzi. Také nám vznikl bod, ve kterém nemá funkce první (ani žádné další) derivace. Z této části si tedy odneseme to, že v bodě může nastat extrém. Pokusíme se tedy pomocí řezů rovinami xz a yz a určení vrstevnic zjistit, zda i v počátku soustavy souřadnic extrém nastává nebo nikoliv. Řez rovinou xz: Po úpravě dostáváme funkci: Při této úpravě si musíme dát pozor hlavně na to, abychom při odmocňování nezapomněli doplnit absolutní hodnotu. Pokud bychom napsali pouze například bod [-2;-2], který ale určitě neleží na křivce Analogicky získáme řez rovinou yz, pro který platí, že


, pak by na této přímce ležel . .

Obrázek 3.16 Graf funkce

41

Vrstevnice Abychom zjistili vrstevnice funkce, měli bychom dosazovat za c různá čísla a kreslit jednotlivé křivky. Ještě předtím si zadanou funkci trochu upravíme.

Vidíme tedy, že vrstevnice budou kružnice se středem v bodě

a poloměrem c.

Pokud se vrátíme k bodu

, můžeme

již teď říct, že v tomto bodě nastává lokální minimum.


V programu Maple si necháme vygenerovat graf funkce

a ověříme si,

že jsme počítali správně. Grafem funkce je tedy rotační kužel s vrcholem v bodě

Obrázky 3.18, 3.19: Grafy funkce

42

.

Modifikace příkladu I zadání rotačního kuželu se dá podle potřeby modifikovat různými způsoby. Kužel můžeme posouvat, zužovat, rozšiřovat. Grafem funkce s vrcholem (minimem) v bodě [

, kde

, bude rotační kužel

]. Koeficient k určuje rozevření kuželu. Pokud bude

koeficient k záporný, bude kužel převrácený, tj. jeho vrchol bude maximem funkce. Níže si stručně ukážeme, jak tato modifikace funguje na dalším příkladě. Příklad 3.8: Určete extrémy následující funkce a pokuste se načrtnout její graf.

Podle předchozího pozorování by grafem této funkce měl být kužel orientovaný opačně než v předchozím příkladu s vrcholem v bodě

, který je širší.

Nyní si toto pozorování ověříme výpočty. Stejně jako v předchozím případě nejdříve prozkoumáme definiční obor zadané funkce. Opět se jedná o součet dvou druhých mocnin, čímž máme zaručeno, že bude tento výraz vždy nezáporný, tudíž definiční obor zadané funkce bude R2. Nyní se již můžeme pustit do určování lokálních extrémů. První parciální derivace pro tuto funkci vycházejí následovně:

Stejně jako v předchozím příkladě nemá soustava rovnic

řešení. Zároveň nejsou tyto parciální derivace definovány právě v bodě [3;-5]. Řezy rovinami xz a yz vypadají podobně, jen jsou „véčka“ posunutá, převrácená a více rozevřená.

43

Stejně tak vrstevnice vypadají obdobně, jen je střed soustředných kružnic posunutý do bodu [3;-5]. Výsledkem je tedy opravdu rotační kužel, jež jsme popsali na začátku příkladu. Pro kontrolu si necháme vygenerovat graf v programu Maple.


Goniometrické funkce Příklad 3.9 se od předchozích příkladů liší především tím, že obsahuje goniometrickou funkci sinus. Goniometrické funkce specifické především tím, že jsou periodické. Proto se při určitém typu zadání můžeme setkat s extrémy, jichž bude nekonečně mnoho. Jejich určování se ale nemusíme vůbec bát, protože stejně jako u určování extrémů goniometrických funkcí jedné proměnné se i zde bude pracovat právě s periodicitou těchto funkcí.


Ještě před zjišťováním extrémů musíme určit definiční obor funkce. Jelikož je v zadání lomená funkce, musíme si dát pozor na jmenovatel, který nesmí být nulový. Jednoduchým výpočtem zjistíme, že náš jmenovatel nikdy nulový být nemůže, takže definičním oborem zadané funkce je celé R2. Extrémy Nejprve spočítáme první parciální derivace podle proměnných x a y. >fce:=sin(x)/(y^2+1); >fx:=diff(fce,x); >fy:=diff(fce,y);

44

Řešením soustavy rovnic

>reseni:=solve({fx=0, fy=0}, {x,y}); určíme pomocí příkazu solve stacionární body:

pro

.

Pomocí druhých parciálních derivací zjistíme, zda v těchto bodech nastávají lokální extrémy. >fxx:=diff(fx,x); fyy:=diff(fy,y); fxy:=diff(fx,y);

Pro

platí:

>x:=Pi/2; y:=0; >fxx*fyy-fxy*fxy; >fxx; Pro

-2 -1

platí:

>x:=Pi/2; y:=0; >fxx*fyy-fxy*fxy; >fxx;

-2 -1

45

Oba determinanty vyšly kladné, což znamená, že v obou bodech nastává extrém. Podle věty 1 určíme, zda se jedná o minimum nebo maximum. Dosazením bodů např. do zjistíme, že se v případě bodu

jedná o maximum, bodě

nabývá funkce minima.

Je nutné si uvědomit, že jsme sice počítali se dvěma stacionárními body, ale ve skutečnosti je těchto stacionárních bodů nekonečně mnoho podle toho, které číslo dosadíme za k. Tedy i lokálních extrémů má funkce nekonečně mnoho a nastávají právě v bodech a

, kde

.

Nyní se pokusíme zjistit, jak vypadá graf zadané funkce. Řez rovinou xz: Po dosazení funkce

do zadané funkce nám zůstane základní goniometrická

, jejíž graf vidíme na obrázku 3.21.

Řez rovinou yz: Pokud do zadané funkce dosadíme

, dostaneme

. Abychom si

udělali trochu lepší představu o tom, jak bude vypadat graf zadané funkce, zkusíme určit průniky funkce s dalšími svislými rovinami. Dosadíme za x postupně čísla

.

Na obrázku 3.22 jsou znázorněny výsledné křivky.


Obrázek 3.22: Grafy funkcí: ,

46

,

Vrstevnice: Při určování vrstevnic se velice rychle dostaneme do úzkých, protože nám jednotlivé vrstevnice vůbec nebudou vycházet na papíře „hezky“ a brzy možná ztratíme trpělivost. Pokud by se nám při zkoumání řezu rovinou yz nechtělo provádět další řezy, tak v tuto chvíli bychom už neměli jinou možnost. Jediná úroveň vrstevnic, která jde vykreslit velice snadno je vychází, že

. Po dosazení nám totiž

, což nám krásně koresponduje s předchozím pozorováním.

Vrstevnice si necháme vykreslit pomocí příkazu contourplot v programu Maple. >with(plots); >contourplot(sin(x)/(y^2+1), x=-10..10, y=-10..10, numpoints=5000, thickness=2);


Nyní už bychom měli mít vše potřebné k tomu, abychom byli schopni odhadnout, jak bude vypadat graf funkce

,

případně si můžeme vykreslit ještě další řezy svislými rovinami. V programu Maple si pomocí příkazu plot3d ověříme, zda jsme počítali správně. > plot3d(sin(x)/(y^2+1), x=-5..5, y=-5..5, axes=boxed, numpoints=1000, shading=zhue);


47


Definičním oborem zadané funkce je R2. Extrémy Nejprve spočítáme první parciální derivace podle proměnných x a y. >fce:=x*exp(-(x*x+y*y)); fx:=diff(fce,x); fy:=diff(fce,y);

Pomocí příkazu solve vyřešíme soustavu rovnic.

>reseni:=solve({fx=0, fy=0}, {x,y}); reseni := {x = RootOf(-1 + 2_Z2 ), y = 0} > allvalues(reseni); {y = 0, x = 1/2*sqrt(2)}, {y = 0, x = -1/2*sqrt(2)} Řešením jsou tedy dva stacionární body:

Pomocí druhých derivací zjistíme, zda v těchto bodech nastávají lokální extrémy.

48

Pro

platí:

>x:= sqrt(2)/2;; y:=0; >fxx*fyy-fxy*fxy; >fxx; V bodě

tedy podle výše zmíněné věty extrém nastává. Protože

funkce v bodě

, má

ostré lokální minimum.

Analogicky pro stacionární bod

platí:

>x:= -sqrt(2)/2; y:=0; >fxx*fyy-fxy*fxy; >fxx; V bodě v bodě

tedy podle výše zmíněné věty extrém nastává. Protože

, má funkce

ostré lokální maximum.

Graf Řez rovinou xz: >restart; >fce:=x*exp(-(x*x+y*y)); >x:=0; fce; Pokud dosadíme do zadané funkce

, dostáváme funkci jedné proměnné

,

jejíž graf vidíme na obrázku 3.25. Řez rovinou yz: >restart; >fce:=x*exp(-(x*x+y*y)); >y:=0; fce; Po dosazení přímka

do původní funkce zjistíme, při řezu funkce rovinou

je grafem

. Toto zjištění nám může trochu pomoci, ovšem pro odhad výsledného grafu

naší funkce budeme potřebovat více informací. Vrstevnice: Pokud se pustíme do zjišťování vrstevnic pěkně „na papíře“, pravděpodobně se nám to nepodaří. Vrstevnice zadané funkce podle Maplu najdete na konci příkladu.

49

Předpokládejme, že opravdu máme k dispozici pouze papír a tužku. Zkusíme si tedy pomoci jinak než určováním vrstevnic. Vraťme se na chvilku zpět k naším předešlým výsledkům. Našli jsme dva lokální extrémy, které můžeme částečně vidět na obrázku 3.25. Řez rovinou

nám odhalil jen málo z výsledného grafu, takže by stálo za to zjistit, jak

vypadá například průnik funkce s rovinou Po dosazení

.

do zadané funkce dostaneme funkci jedné proměnné

jejímž grafem je modrá křivka na obrázku 3.26. Podobně řez rovinou

vypadá

následovně je vykreslen zelenou barvou na obrázku 3.26.


Obrázek 3.26: Grafy funkcí

a

S použitím těchto výsledků se tedy můžeme pokusit nakreslit graf zadané funkce. V programu Maple si nyní můžeme vygenerovat vrstevnice funkce a její graf. Ověříme si, zda jsme se v našem „odhadu“ i bez znalosti vrstevnic alespoň trochu trefili. >plots[contourplot](fce,

x=-2..2,

y=-2..2,

numpoints=2000,

thickness=2, coloring=[white,blue], filled=true, contours=8); >plot3d(fce, x=-3..3, y=-3..3, axes=boxed, shading=zhue);

50

scaling=constrained,

Nastavením parametru coloring=[white,blue], na obrázku 3.27 jsme nechali vykreslit i rozdíly funkčních

hodnot

mezi

jednotlivými

vrstevnicemi. V tomto grafu platí, že čím tmavší je odstín modré barvy, tím vyšší funkční hodnota.


Na obrázku 3.28 a 3.29 vidíme z různých úhlů graf funkce



51

.


Řešení Jelikož je tento příklad velice jednoduchý, omezíme se pouze na komentáře k příkazům v programu Maple. Definičním oborem zadané funkce je R2. Extrémy Nejprve spočítáme první parciální derivace podle proměnných x a y pomocí příkazu diff. >fce:=x^2-y^2; fx:=diff(fce,x); fy:=diff(fce,y);

Pomocí příkazu solve vyřešíme soustavu rovnic.

>reseni:=solve({fx=0, fy=0}, {x,y}); reseni:={x = 0, y = 0} >fxx:=diff(fx,x); fyy:=diff(fy,y); fxy:=diff(fx,y);

Nyní si pomocí příkazu assign načteme do proměnných x a y souřadnice stacionárního bodu a spočítáme hodnotu determinantu matice druhých derivací, abychom zjistili, zda ve stacionárním bodě nabývá funkce nějakého extrému. >assign(reseni); >fxx*fyy-fxy^2; V bodě

-4

podle Věty 1 extrém nenastává. Jedná se o tzv. sedlový bod. Jak takový bod

vypadá, se můžeme podívat na obrázku 3.33 na konci tohoto příkladu.

52

Graf Nyní si necháme pomocí příkazu plot vygenerovat řezy rovinami xy a yz a vrstevnice zadané funkce. Následně si pomocí příkazu plot3d z knihovny plots. >restart; fce:=x^2-y^2; x:=0; fce; > plot(fce, y=-10..10, labels=[y,z], thickness=2); (obrázek 3.30) >restart; fce:=x^2-y^2; y:=0; fce; > plot(fce, x=-10..10, labels=[x,z], thickness=2); (obrázek 3.31) >restart; with(plots); >plots[contourplot](x^2-y^2, x=-10..10, y=-10..10, thickness=2, filled=true); (obrázek 3.32) Příkaz restart je v těchto příkazech velice důležitý, protože ruší nastavení všech proměnných, zde konkrétně proměnných x a y. Pokud bychom tento příkaz nezadali, vyšla by nám u řezu rovinou xz nulová funkce. Nakonec si pomocí příkazu plot3d necháme vygenerovat graf funkce

.

>plot3d(x^2-y^2, x=-10..10, y=-10..10, axes=boxed, shading=zhue); (obrázek 3.33)





53

3.3 Absolutní extrémy V této kapitole si na dvou příkladech ukážeme, jak nám může pomocí program Maple při zkoumání absolutních extrémů funkcí dvou proměnných na nějaké neprázdné kompaktní množině. Jak už bylo řečeno v první části této práce, funkce může nabývat absolutního maxima nebo minima buď v bodech, kde má své lokální extrémy, nebo v hraničních bodech množiny, na které tyto extrémy zkoumáme. Postup řešení bude u obou případů podobný. Jako první krok při zkoumání absolutních extrémů si graficky znázorníme množinu M. Poté určíme lokální extrémy funkce na množině M. Nejpracnější částí pak bývá zjišťování chování funkce ve hraničních bodech množiny M. Když získáme všechny body, ve kterých může nabývat funkce absolutního extrému, spočítáme ve všech těchto bodech jejich funkční hodnoty. Nejvyšší z těchto hodnot určí absolutní maximum, nejnižší absolutní minimum. Zadání: Určete absolutní extrémy funkce

na množině

M: První dvě podmínky udávají plochy pod křivkami poslední podmínku vyplňují polorovinu ležící nad přímkou

a

. Body splňující a na ní. Množina M

(obrázek 3.30) je dána průnikem těchto tří ploch. Abychom mohli přesně specifikovat množinu M, potřebujeme znát průsečíky všech různých dvojic omezujících funkcí. Budeme tedy řešit tři soustavy rovnic. >solve({y=-1/2, y=x+1/2}); >solve({y=-1/2, y=-x+1/2}); >solve({y=-x+1/2, y=x+1/2}); Výpočtem dostáváme body

,

a

.

Množinu M znázorníme pomocí příkazu inequal (obrázek 3.34). >inequal{y>=-1/2, 2*y<=-2*x+1, 2*y<=2*x+1}, x=-2..2, y=-1..1, optionsfeasible=(color=yellow), optionsexcluded=(color=white), optionsopen=(thickness=2, color=red, linestyle=3), optionsclosed=(color=blue, thickness=2), labels=[x,y]);

54

Dalším lokálních

krokem

bude

určení

extrémů.

Funkce má dva

lokální extrémy. V bodě nastává

minimum,

v

bodě

maximum. Oba tyto body leží v množině M.

Obrázek 3.34: Graf množiny M:

Podle Věty 2 může tato funkce nabývat absolutních extrémů v bodech, kde má lokální extrémy, nebo v hraničních bodech množiny M. Následující diskusi o hraničních bodech množiny M si rozdělíme na tyto části: 1. 2. 3. 4. Průsečíky a zároveň hraniční body obou funkcí, body

,

a

,

se také řadí mezi body, ve kterých může funkce nabývat absolutních extrémů, proto je budeme také uvádět v závěrečné tabulce. Naším úkolem nyní bude určit předpis funkce, která se táhne podél hraničních bodů množiny M a určit její lokální extrémy. V těchto bodech pak také může zadaná funkce nabývat absolutních extrémů. Předpis takovéto funkce získáme dosazení funkčního předpisu hranice množiny M do zadané funkce. Tím získáme funkci jedné proměnné, u které snadno zjistíme existenci lokálních extrémů. ad 1. >fce:= x^3+y^3+x*y; >y:=-1/2; 55

Dosadíme-li číslo

za proměnnou y do zadané funkce, získáme funkci . Nyní bude naším úkolem určit lokální extrémy této funkce na

intervalu

. Použijeme příkaz extrema z knihovny student.

>extrema(fce, {}, {x}, 'body'); body; Program Maple nám vypíše dvě funkční hodnoty a dva body:

a

.

Zatím nepotřebujeme zjišťovat, ve kterém z nich nastává maximum nebo minimum. Toto zkoumání provedeme až v závěrečném kroku s ostatními body. ad 2. >fce:= x^3+y^3+x*y; >y:=-x+1/2; Po dosazení tohoto výrazu do zadané funkce dostáváme funkci jedné proměnné, která vypadá následovně:

>extrema(fce, {}, {x}, 'body'); body; Tato funkce má lokální extrém v bodě

.

ad 3. >fce:= x^3+y^3+x*y; >y:=x+1/2; V tomto případě máme práci poněkud komplikovanější, jelikož po dosazení dostáváme funkci

Rovnice

a její derivaci

, které vypadají následovně:

nemá žádné reálné kořeny, tudíž nedostaneme žádné body, ve

kterých by mohl existovat absolutní extrém. >extrema(fce, {}, {x}, 'body'); body; {{x = -5/12+1/12*I*sqrt(5)}, {x = -5/12-1/12*I*sqrt(5)}}

56

V následující tabulce máme přehled všech bodů, ve kterých může mít funkce absolutní extrém, spolu s jejich funkčními hodnotami. Nejvyšší funkční hodnota z uvedených hodnot je 0,375, tj. absolutní maximum 0

má

funkce

na

množině M v bodě

. Naopak

nejnižší funkční hodnota z tabulky je -0,625, tedy absolutní minimum vychází pro bod

.

V této kapitole jsme si ukázali, jak může počítačový program urychlit práci při řešení různých matematických problémů u funkcí dvou proměnných. Především se díky němu můžeme vyvarovat numerických chyb či chyb v derivování, kterých se někteří mnohdy dopouštíme. Navíc umí generovat názorné grafy, díky nimž si můžeme lépe představit, jak různé funkce vypadají.

57

Závěr Tato bakalářská práce, stejně jako velké množství jiných studentských prací, shrnuje informace o funkcích dvou proměnných, které by měl znát každý student matematiky. Oproti jiným pracím zde chybí například zkoumání limit funkcí dvou proměnných, které je u těchto funkcí mnohdy velmi složité a zdlouhavé. Od ostatních se ale odlišuje použitím nástroje pro výpočty a tvorbu grafů, jímž je v této práci počítačový program Maple. Počáteční rozhodnutí používat pouze verzi Maplu 5.1, která by měla být dostupná pro studenty Masarykovy univerzity, se ukázalo

během

psaní

poněkud

nešťastné

a nesplnitelné. Právě u těch grafů, u kterých chybí příkaz, jsem musela použít jiné nástroje (vyšší verzi Maplu nebo program Malování). I přes tyto obtíže se dle mého názoru nakonec podařilo vytvořit studijní oporu pro zkoumaná témata. K tvorbě tohoto dokumentu mě přiměli především spolužáci, se kterými jsme při společném studiu několikrát narazili na problém nedostatečné vizuální představivosti funkcí dvou proměnných. Proto zde například uvádím některé grafy funkcí dvou proměnných vícekrát (z různých stran), aby bylo jasně vidět, jak se funkce na svém definičním oboru chová. Původním plánem bylo vytvořit více řešených příkladů, aby si mohli studenti pomocí této práce procvičovat svou představivost. Nakonec jsem místo toho rozšířila druhou kapitolu a spíše se zaměřila na tvorbu jednoduchého návodu pro práci s programem Maple, aby si mohli sami tyto grafy generovat a nemuseli se omezovat pouze na příklady uvedené v této práci. Ve třetí kapitole se pak postupy řešení příkladů prolínají s příkazy programu Maple, čímž se rozšiřují možnosti využití této kapitoly. Umět pracovat s nějakým matematickým programem je určitě velkým přínosem pro každého budoucího učitele. Tyto programy mají mnohdy velmi podobnou strukturu a principy používání, takže pokud se naučíme pracovat v jednom z nich, určitě nám to ulehčí práci při používání jiných podobných programů, jako je například volně dostupný software Maxima nebo zpřístupněná základní verze programu Mathematica.

58

Použitá literatura: DOŠLÁ, Zuzana a Ondřej DOŠLÝ. Diferenciální počet funkcí více proměnných. 3. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2006. ISBN 80-210-4159-5. DOŠLÁ, Zuzana, Petr SOJKA a Roman PLCH. Matematická analýza s programem Maple [CD-ROM]. Brno: Masarykova univerzita, c1999 [cit. 2016-03-30]. ISBN 80-210-2203-5. JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet (I). 6. vyd. Praha: Academia, 1974. 391s Maplesoft. Help – Maplesoft:. . [online]. 29.3.2016 [cit. 2016-03-29]. Dostupné z: http://www.maplesoft.com/support/help/

59

MASARYKOVA UNIVERZITA. Funkce dvou proměnných: definiční obor, hledání extrémů, grafické znázornění

Recommend Documents