2012- a3b2/1df.tex
1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 1. Určete definiční obor Df funkce a proveďte klasifikaci bodů z R2 vzhledem k Df a rozhodněte zda je množina Df uzavřená či otevřená: a) f (x, y) = 2x + 3y − 1. Řešení: Funkce je definována pro všechny hodnoty x a y, tedy Df = R2 . Množina R2 má všechny své body vnitřní, je tedy otevřená. Vnější a hraniční body nemá, je tedy zároveň uzavřená. b) f (x, y) = √ 12 2 . x +y
Řešení: Funkce je definována pro všechny hodnoty, kde je jmenovatel zlomku nenulový. To je všude, kromě bodu(0, 0). Je tedy Df = R2 − {(0, 0)}. Množina má pouze vnitřní body, je tedy otevřená. Hraničním bodem je jediný bod a sice bod (0, 0). c) f (x, y) =
x+y x−y .
Řešení: Funkce je definována všude, kde je jmenovatel nenulový. Je tedy Df = {(x, y); x 6= y}. Množina má pouze vnitřní body, je tedy otevřená. Hraničními body jsou body přímky {(x, y); x = y}. √ d) f (x, y) = x − y 2 . Řešení: Funkce je definována všude, kde je výraz pod odmocninou nezáporný. Je tedy Df = {(x, y); x ≥ y 2 }. Vnitřními body jsou body množiny {(x, y); x ≥ y 2 }. Hraničními body jsou body paraboly {(x, y); x = y 2 } a vnějšími body jsou body množiny {(x, y); x < y 2 }. Množina Df obsahuje všechny své hraniční body, je tedy uzavřená. e) f (x, y) = xy . Řešení: Vyjádříme si funkci pomocí exponenciální funkce ve tvaru f (x, y) = e yln x . Funkce je definována všude, kde je definován exponent. To znamená, že Df = {(x, y); x > 0}. Množina má pouze vnitřní body, je tedy otevřená. Hranicí je přímka {(x, y); x = 0}. x+y f) f (x, y) = arcsin x−y .
Řešení: Funkce je definována v bodech , kde x 6= y a kde je −1 ≤ x+y x−y ≤ 1. Je tedy −x + y ≤ x + y ≤ x − y ∧ x > y ⇒ x ≥ 0 ∧ y ≤ 0 ∧ x > y 1
a −x + y ≥ x + y ≥ x − y ∧ x < y ⇒ x ≤ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x < y. Tedy Df = {(x, y); (x, y) 6= (0, 0), ((x ≥ 0 ∧ y ≤ 0) ∪ (x ≤ 0 ∧ y ≥ 0))}. Vnitřní body jsou body množiny {(x, y); (x > 0 ∩ y < 0) ∪ (x < 0 ∩ y > 0)}. Hraniční body jsou body přímek {(x, y); x = 0 ∨ y = 0}. Množina Df není tedy ani otevřená ani uzavřená. 2. Určete definiční obor Df, vrstenice grafu a obor hodnot Hf funkce: a) f (x, y) = x2 + y 2 . Řešení: Je Df = R2 a funkce f nabývá pouze nezáporných hodnot. Pro její hladiny dostaneme podmínku: x2 + y 2 = k, k ≥ 0. Hladinou je tedy kružnice se středem v bodě (0, 0) a poloměrem √ r = k, která pro k = 0 splývá s počátkem. Je tedy Hf = h0, ∞) a funkce f má v bodě (0, 0) minimum f (0, 0) = 0. b) f (x, y) = |x| + |y|. Řešení: Je Df = R2 a funkce nabývá nezáporných hodnot. Pro hladiny dostaneme rovnice |x| + |y| = k, k ≥ 0. Z vyjádření vyplývá, že hladina je množina souměrná vzhledem k osám x a y, tedy i vzhledem k počátku. Stačí najít řešení v jednom kvadrantu, např. pro x ≥ 0, y ≥ 0. Podmínce vyhovují body úsečky, která je částí přímky x+y = k. Hladinou je tudíž čtverec s vrcholy v bodech (k, 0), (0, k), (−k, 0) a (0, −k). Pro k = 0 dostaneme bod (0, 0). Obor hodnot funkce f je Hf = h0, ∞). c) f (x, y) = e −xy . Řešení: Funkce je definována v celem R2 . Protože je exponenciální funkce kladná, dostaneme pro hladiny rovnice e −xy = k, k > 0 ⇒ −xy = ln k tedy y=−
ln k , k 6= 1 a xy = 0, k = 1. x 2
Protože mají rovnice řešení pro všechny hodnoty k > 0, je obor hodnot Hf = (0, ∞). d) f (x, y) = sin (x + y). Řešení: Funkce je definována v celém R2 . Funkce sinus nabývá hodnot z intervalu h−1, 1i a tudíž pro hladiny dostaneme rovnice sin (x + y) = k, −1 ≤ k ≤ 1. Hladinou je soustava rovnoběžných přímek: k = 1 : x + y = π2 + 2nπ, n ∈ Z; k = −1 : x + y = − π2 + 2nπ, n ∈ Z; −1 < k < 1 : x + y = arcsin k + 2nπ, x + y = π − arcsin k + 2nπ, n ∈ Z. Oborem hodnot je interval h−1, 1i. e) f (x, y) = arctg xy . Řešení: Funkce arkustangens je definovaná v R a tedy je Df = {(x, y); x 6= 0}. Protože je oborem hodnot funkce arkustangens interval (− π2 , π2 ), dostaneme pro hladiny funkce f rovnice arctg
π π y = k, − < k < ⇒ y = tg k x, x 6= 0. x 2 2
Hladinami jsou přímky, které tvoří svazek procházející počátkem, ze kterých je vynechán bod (0, 0). Oborem hodnot funkce f je interval Hf = (− π2 , π2 ). f) f (x, y) = x2 + 3. Řešení: Funkce f je definována v R2 a vzorec pro výpočet funkční hodnoty neobsahuje proměnnou y. Tato skutečnost se projeví tak, že jsou hladinami přímky, které jsou rovnoběžné s osou y. Pro hladiny dostaneme rovnice √ x2 + 3 = k ⇒ x2 = k − 3 ⇒ x = ± k − 3, k ≥ 3. Graf funkce f dostaneme tak, že graf funkce z = x2 + 3, který nakreslíme v rovině (x, z) posouváme ve směru osy y. Dostaneme plochu, které se říká „válcová.ÿ Limita a spojitost funkce 3. Vypočtěte limitu funkce v daném bodě, případně rozhodněte, kde je funkce spojitá: 3
a)
x2 y;
lim
(x,y)→(1,−2)
Řešení: Funkce f (x, y) = x2 y je definována a spojitá v R2 . jejílimita je tedy rovna funkční hodnotě a tudíž lim
(x,y)→(1,−2)
b)
√
lim
(x,y)→(0,0)
x2 y = f (1, −2) = 12 . (−2) = −2.
xy ; xy + 1 − 1
Řešení: Daná funkce je definovaná pro (x, y) ∈ R2 , pro která platí xy ≥ −1 ∧ xy 6= 0. Definičním oborem je část roviny mezi hyperbolami xy = −1, ze které jsou vynechány osy. Na této množině je funkce spojitá a bod (0, 0) je hromadným bodem definičního oboru. Pro limitu v tomto bodě dostaneme √ 0 xy ( xy + 1 + 1) xy √ √ √ = = lim = lim (x,y)→(0,0) xy + 1 − 1 0 (x,y)→(0,0) ( xy + 1 − 1)( xy + 1 + 1) √ q xy ( xy + 1 + 1) = lim = lim ( xy + 1 + 1) = 2. (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) xy + 1 − 1 c)
lim
(x,y)→(0,2)
sin (xy) ; x
Řešení: Daná funkce je spojitá na svém definičním oboru, Df = {(x, y); x 6= 0}, což je rovina s vynechanou osou y. Bod (0, 2) je tedy hromadným bodem definičního oboru a pro limitu v tomto bodě dostaneme sin (xy) 0 sin (xy) = = lim y = (x,y)→(0,2) x 0 xy
lim
(x,y)→(0,2)
sin (xy) ) = 2 . 1 = 2. (x,y)→(0,2) (x,y)→(0,2) xy Při výpočtu jsme použili větu o limitě součinu a známé limity funkce sinus. xy d) lim ; (x,y)→(0,0) x2 + y 2 =(
lim
y) (
lim
Řešení: Funkce je definována a spojitá v R2 − {(0, 0)}. Bod (0, 0) je hromadným bodem definičního oboru a tedy můžeme limitu počítat. Po dosazení dostaneme neurčitý výraz. K výpočtu použijeme metod funkce 4
jedné proměnné. Budeme počítat limitu po přímkách procházejících počátkem. Nutnou podmínkou existence limity je, že jsou všechny limity stejné. Je tedy lim
(x,y)→(0,0)
xy x2 k k = |y = kx, x → 0| = lim 2 = lim . 2 2 2 2 x→0 x + k x x→0 1 + k 2 x +y
Protože je tato limita závislá na směru, ze kterého limitu počítáme, limita funkce neexistuje. x2 y ; e) lim (x,y)→(0,0) x2 + y 2 Řešení: Funkce je definována a spojitá v R2 − {(0, 0)}. Bod (0, 0) je hromadným bodem definičního oboru a tedy můžeme limitu počítat. Po dosazení dostaneme neurčitý výraz. Při výpočtu budeme počítat limity po po přímkách jako v předchozí úloze. Je tedy lim
(x,y)→(0,0)
x2 y x3 k xk = |y = kx, x → 0| = lim = lim = 0. x→0 x2 + k 2 x2 x→0 1 + k 2 x2 + y 2
Protože je tato limita nezávisí na směru, ze kterého limitu počítáme, může limita funkce existovat a pokud ano bude rovna 0. Limitu ověříme pomocí odhadu funkce pomocí výrazů jejíchž limitu známe. Je 2
2
2
2
2
(x ± y) ≥ 0 ⇒ x ± 2xy + y ≥ 0 ⇒ x + y ≥ ±2xy ⇒ Je tedy |f (x, y) − 0| =
x xy x2 + y 2
≤
|x| . 2
Protože je lim |x| = 0, je x→0
0≤
lim (x,y)→(0,0)
x2 y |x| = 0, ≤ lim x2 + y 2 x→0 2
tedy počítaná limita existuje a je rovna nule.
5
xy x2 + y 2
1 ≤ . 2
Obrázky k příkladům 1 a 2 y y Df
y Df
Df d
x
y Df
x
x
x
Df 1a y
1b y
1c y
d
1 x
x
1f y @ k = 1
y k<1 k>1
k>1 x k<1
@ @ @
@
2c
2a y
−1 2b y
@ @ @
x @ k@= 0 @ @ k = −1
@ @
1
1 x
@ @
@
@
@ @k = @
1 x −1@
Df 1e
1
k=1
Df
Df
1d y
@
2d
@d @ @
x @ @
2e
x k>3
k=3 k>3
2f
Neřešené úlohy 1. Určete definiční obor Df funkce a proveďte klasifikaci bodů z R2 vzhledem k Df a rozhodněte zda je množina Df uzavřená či otevřená: a) f (x, y) = xy . [Df = {(x, y); x 6= 0}. Množina Df je otevřená. Hranicí je přímka {(x, y); x = 0}.]√ b) f (x, y) = x2 + y 2 . [Df = R2 . Df je současně otevřená i uzavřená.] 1 c) f (x, y) = √x+ √ . y √ [Df = {(x, y); x+ y > 0, y ≥ 0}. Df není ani otevřená ani uzavřená.] d) f (x, y) = x1 + y1 . [Df = {(x, y); x 6= 0 ∧ y 6= 0}. Df je otevřená.] e) f (x, y) = ln (x + y). [Df = {(x, y); x + y > 0}. Df je otevřená.] 2. Určete definiční obor Df, hladiny a obor hodnot Hf funkce:
6
√ 12 2 x +y
a) f (x, y) = ln
!
.
[Df = {(x, y); (x, y) 6= (0, 0)}; Hf = R. Rovnice hladin x + y 2 = e −2k , k ∈ R.] b) f (x, y) = √1xy . [Df = {(x, y); xy > 0}; Hf = (0, ∞). Rovnice hladin xy = k12 , k > 0.] 2 2 c) f (x, y) = e −(x +y ) . [Df = R2 ; Hf = (0, 1i. Rovnice hladin x2 + y 2 = −ln k, 0 < k ≤ 1.] d) f (x, y) = 4x2 + 9y 2 − 10. [Df = R2 ; Hf = h−10, ∞). Rovnice hladin 4x2 + 9y 2 = 10 + k, k ≥ −10.] √ e) f (x, y) = 1 − 9x2 − 4y 2 . [Df = {(x, y); 9x2 + 4y 2 ≤ 1}; Hf = h0, 1i. Rovnice hladin jsou 9x2 + 4y 2 = 1 − k 2 , 0 ≤ k ≤ 1.] xy f) f (x, y) = x+y . [Df = {(x, y); x + y 6= 0}; Hf = R. Rovnice hladin xy = k(x + y), x 6= y.] Obrázky k úlohám 1 a 2 y y y y 2
Df
Df
Df x
Df d
x
Df x Df
1 a∗ y @
1 b∗ y k=0
Df @
x
@
Df
1 c∗ y
d
Df d
x Df 1 d∗
y 0
k=1 d
x
x
• 1 k=
@ @
1 e∗ y k > −10 • k = −10 2 d∗
x
2 a∗ y k=0 • k=1
2 b∗
x
2 e∗ 7
2 c∗
x
