Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce

Definiční obor a obor hodnot

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Opakování – definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Funkci značíme obvykle písmenkem f, ale nic nebrání tomu, abychom použili i jiná písmenka, např. g, h…

Obvykle ji zapisujeme ve tvaru:

y = f(x), např. y = x

2

nebo ve tvaru:

f: y = x2 kde proměnná x je argument funkce. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Funkce – definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo.

f: y = x2 kde proměnná x je argument funkce neboli nezávisle proměnná. Nezávislost je dána tím, že její hodnotu můžeme libovolně měnit, ovšem jen v rámci definované množiny, definičního oboru. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Opakování – definiční obor funkce U každé funkce také musíme určit definiční obor. Je to množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x pro danou funkci nabývat. Značí se:

Za chvíli si typy definičních oborů a možnosti jejich zápisů rozebereme podrobněji.

D(f)

Definiční obor může být dle typu funkce zadán jako množina všech reálných čísel:

D(f) = R

nebo jinak zapsáno

xR,

nebo jako část této množiny, tedy její podmnožina: např.

D(f) = R+

nebo

x>0

nebo

x(0;)

.


Opakování – obor hodnot funkce Ke všem přípustným hodnotám argumentu x přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot). I obor hodnot, podobně jako Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo, definiční obor, může být které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x. množinou všech reálných čísel jen její podmnožinou Jinak řečeno – výstupní čihodnota funkce.a platí pro něj stejné možnosti zápisu Obvykle ji značíme y nebo f(x). jako pro obor definiční. Tak se na ně nyní společně podívejme. Hodnota závisle proměnné ječísel, pro danou Obor hodnot je množina všech reálných které funkci jednoznačně dostaneme jako výstupní hodnoty funkce f, jestliže určena hodnotou - proto za x dosadíme všechny přípustné argumentu hodnotyx z D(f). „závisle“ proměnná.

Značí se:

H(f)


Opakování

Nejdříve si ale ještě připomeňme, jaké známe číselné obory a co znamenají.

Množiny čísel, na kterých definujeme početní operace Množina se dá chápat jako soubor prvků (v našem případě čísel). Každá množina tedy obsahuje určitý počet prvků, který může být konečný i nekonečný. Nemusí také obsahovat žádný prvek, pak mluvíme o prázdné množině.

-2,357 13

-3

-1

3

1 2

5

4

N

-57

1000000,008

Z -2 0

2/9

Q

-1/3

R

0,01 ¶

… Přirozená čísla: 1; 2; 3; 4; 5… … Celá čísla: … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3… … Racionální čísla: -8; 0; 34; 1000000; 2/9; 0,01; 2,3… … Reálná čísla: -8; 0; 34; 1000000; 2/9; 0,01; 2,3; ¶; 13 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Funkce – zápis definičního oboru Definiční obor udává množinu prvků (čísel), pro které máme funkci řešit (učit funkční hodnoty, obor hodnot, sestrojit graf). Určení definičního oboru bývá obvykle již součástí zadání Např. tato příkladu. funkce:

Pokud tomu tak není, předpokládá se, že v množině všech reálných čísel.

je definována máme funkci pro všechna reálná čísla, nebo není?

zkoumat

V takovém případě si však musíme dát pozor na to, abychom z této množiny vyčlenili prvky (čísla), pro které funkce definována není!

Např. funkce

1 f (x)  x

není definována pro x = 0,

protože, vycházíme-li z našich dlouholetých znalostí, nulou nelze dělit. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Funkce – zápis definičního oboru Definičním oborem je množina všech reálných čísel:

D(f) = R nebo xR nebo x(−;) Zápis pomocí intervalu

Definičním oborem je množina všech kladných reálných čísel:

D(f) = R+ nebo x > 0 nebo x(0;)

Interval zleva otevřený, což znamená, že funkce není pro nulu definována a první platnou číslicí definičního oboru je číslo „0,0000000… a až někde v nekonečnu 1“.


Funkce – zápis definičního oboru Definičním oborem je množina všech nezáporných reálných čísel:

D(f) = R0+ nebo x ≥ 0 nebo x0;)

Čísla kladná plus nula

Interval zleva uzavřený, což znamená, že funkce je definována i pro nulu.


Funkce – zápis definičního oboru Definičním oborem je množina všech záporných reálných čísel:

D(f) = R- nebo x < 0 nebo x(−;0) Interval zprava otevřený, což znamená, že funkce není pro nulu definována a poslední platnou číslicí definičního oboru je číslo „-0,0000000… a až někde v nekonečnu 1“.


Funkce – zápis definičního oboru Definičním oborem je množina všech nekladných reálných čísel:

D(f) = R0- nebo x ≤ 0 nebo x(−;0

Čísla záporná plus nula

Interval zprava uzavřený, což znamená, že funkce je definována i pro nulu.


Funkce – zápis definičního oboru Prozatím jsme zkoumali jen obory tvořené podmnožinou reálných čísel omezenou jen z jedné strany. Nyní se tedy zaměříme na zápis podmnožin omezených z obou stran. Čísla, která odpovídají oběma podmínkám současně a jsou prvky Zápis můžeme zadanéhorozdělit definičního na dvaoboru, tvoří průnik samostatnéobou zápisy podmnožin a tvoří interval… platící zároveň.

−4 < x < 2 x > −4  x < 2

x(−;2)

x(−4;) Čteme:

x je větší než –4 a zároveň x je menší než 2.

x(−4;2)

Otevřený interval: čísla -4 a 2 jsou jeho krajními body, ale do definičního oboru nepatří.


Funkce – zápis definičního oboru I tentokrát můžeme zápis rozdělit na dva samostatné Čísla, která odpovídají zápisy platící oběma podmínkám zároveň.

−4 ≤ x ≤ 2 x ≥ −4  x ≤ 2

současně a jsou prvky zadaného definičního oboru, tvoří průnik obou podmnožin a tvoří interval…

Poznali jste, čím se toto zadání liší od předchozího? Čteme:

x(−;2

x je větší nebo rovno –4 a zároveň x je menší nebo rovno 2.

x−4;2

x−4;) Uzavřený interval: čísla -4 a 2 jsou opět jeho krajními body, v tomto případě však patří i do definičního oboru.


Funkce – zápis definičního oboru Opět můžeme zápis rozdělit na dva samostatné zápisy Čísla, která odpovídají platící zároveň.

−4 ≤ x < 2 x ≥ −4  x < 2

oběma podmínkám současně a jsou prvky zadaného definičního oboru, tvoří průnik obou podmnožin a tvoří interval… Čteme:

x(−;2)

x je větší nebo rovno –4 a zároveň x je menší než 2.

A do třetice... Poznali jste i tentokrát, čím se toto zadání liší od předchozích?

x−4;) Polouzavřený interval:

x−4;2)

čísla -4 a 2 jsou opět jeho krajními body, ale do definičního oboru patří jen číslo -4.


Funkce – zápis definičního oboru Objevit se může i situace, kdy máme funkci „vyšetřovat“ pro definiční obor určený jen výčtem několika konkrétních prvků, čísel.

Např. pro čísla −2; −1; 0; 1; 2 a 3.

V takovém případě se používá množinový zápis pomocí složených závorek:

x{−2;−1;0;1;2;3} Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Funkce – zápis definičního oboru Objevit se samozřejmě může i situace, kdy definičnímu oboru nevyhovuje žádný prvek, žádné číslo:

Např. 3

< a  −7

a>3



a  −7

x(−;−7

Množiny nemají společný průnik, neexistuje společná množina.

x(3;)

x

Prázdná množina. Definiční obor neobsahuje žádné číslo, žádný prvek.


Funkce – příklady Zapiš definiční obor pomocí intervalu:

−5 ≤ x ≤ 4


Funkce – příklady Zapiš definiční obor pomocí intervalu: Opět můžeme zápis rozdělit na dva zápisy Čísla,samostatné která odpovídají platící zároveň. oběma podmínkám

−5 ≤ x ≤ 4 x ≥ −5  x ≤ 4

současně a jsou prvky zadaného definičního oboru, tvoří průnik obou podmnožin a tvoří interval…

x(−;4

Čteme:

x je větší nebo rovno –5 a zároveň x je menší nebo rovno 4.

x−5;4

x−5;) Uzavřený interval: čísla -5 a 4 jsou jeho krajními body a patří do definičního oboru.


Funkce – příklady Zapiš definiční obor pomocí intervalu: Opět můžeme zápis rozdělit na dva samostatné zápisy Čísla, odpovídají platící která zároveň.

−5 ≤ x ≥ 4 x ≥ −5  x ≥ 4

oběma podmínkám současně a jsou prvky zadaného definičního oboru, tvoří opět průnik obou podmnožin a tvoří interval…

x−5;)

x4;)

x4;) Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Funkce – příklady Zapiš definiční obory pomocí intervalu:

x ≤ −2

x > 12

0<x

x0



x ≤ −2

x(−;−2

0<x

x(0;)

x > 12

x0

x(12;)

x0;)



−1 ≤ x < 8

2 ≤ x ≤ 15

−7 < x < 0

−1 ≥ x ≥ 1



−1 ≤ x < 8

−7 < x < 0

x−1;8)

x(−7;0)

2 ≤ x ≤ 15

−1 ≥ x ≥ 1

x2;15

x


Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Recommend Documents