Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
Funkce Definiˇcní obor funkce, obor hodnot funkce
Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradišteˇ
Digitální uˇcební materiály, 2012-14
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
Obsah
1
Definiˇcní obor funkce pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df
2
Obor hodnot funkce pˇríklady na urˇcení oboru hodnot funkce pˇríklady k procviˇcení Hf
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení Df
Definiˇcní obor funkce
ˇ množina všech hodnot, kterých nabývá promenná x dané funkce jde o podmnožinu reálných cˇ ísel. tuto množinu oznaˇcujeme D, dolním indexem je název funkce napˇr. u funkce f zápisem Df , nebo pro funkci g zápisem Dg apod.
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení Df
Pˇríklady urˇcení definiˇcního oboru uvedených funkcí
Urˇcete definiˇcní obor funkce f1 : f1 (x) = x 2 + 3x − 1 ˇ Rešení: pˇredpis funkce f1 není v množineˇ R nijak omezen. Tedy Df1 = R
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení Df
Pˇríklady urˇcení definiˇcního oboru uvedených funkcí
Urˇcete definiˇcní obor funkce f1 : f1 (x) = x 2 + 3x − 1 ˇ Rešení: pˇredpis funkce f1 není v množineˇ R nijak omezen. Tedy Df1 = R
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení Df
Pˇríklady urˇcení definiˇcního oboru uvedených funkcí
√ x +2 Urˇcete definiˇcní obor funkce f2 : f2 (x) = √ 4x − 6 ˇ ˇ Rešení: pˇredpis funkce f2 je omezen odmocnovanými výrazy a lomeným výrazem. Musí platit, že x + 2 ≥ 0, tj. 3 x ≥ −2 a souˇcasneˇ 4x − 6 > 0, tj. x > . Tedy 2 3 Df9 = , +∞ . 2
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení Df
Pˇríklady urˇcení definiˇcního oboru uvedených funkcí
√ x +2 Urˇcete definiˇcní obor funkce f2 : f2 (x) = √ 4x − 6 ˇ ˇ Rešení: pˇredpis funkce f2 je omezen odmocnovanými výrazy a lomeným výrazem. Musí platit, že x + 2 ≥ 0, tj. 3 x ≥ −2 a souˇcasneˇ 4x − 6 > 0, tj. x > . Tedy 2 3 Df9 = , +∞ . 2
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení Df
Pˇríklady k procviˇcení
Urˇcete definiˇcní obor následujících funkcí g1 až g4 x +1 g1 (x) = x −3 √ g2 (x) = x + 2 1 g3 (x) = √ 2 x − 3x + 2 r x +2 g4 (x) = x −2
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení Df
ˇ Rešení pˇríkladu˚ na urˇcení definiˇcního oboru funkcí
g1 (x) = x +1 x −3 pˇredpis funkce g1 je omezen lomeným výrazem. Musí platit, že x 6= 3. Tedy Dg1 = R − 3
x +1 x −3
g1 (x) =
10
5 −10
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení Df
ˇ Rešení pˇríkladu˚ na urˇcení definiˇcního oboru funkcí
g1 (x) = x +1 x −3 pˇredpis funkce g1 je omezen lomeným výrazem. Musí platit, že x 6= 3. Tedy Dg1 = R − 3
x +1 x −3
g1 (x) =
10
5 −10
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení Df
ˇ Rešení pˇríkladu˚ na urˇcení definiˇcního oboru funkcí
g2 (x) = x +1 x −3 pˇredpis funkce g2 je omezen odmocninou. Musí platit, že x ≥ −2. Tedy Dg2 = h−2; +∞)
√
x +2
4
g2 (x) =
2
−2 −2
2
4
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení Df
ˇ Rešení pˇríkladu˚ na urˇcení definiˇcního oboru funkcí
g2 (x) = x +1 x −3 pˇredpis funkce g2 je omezen odmocninou. Musí platit, že x ≥ −2. Tedy Dg2 = h−2; +∞)
√
x +2
4
g2 (x) =
2
−2 −2
2
4
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení Df
ˇ Rešení pˇríkladu˚ na urˇcení definiˇcního oboru funkcí
g3 (x) = √
1
x 2 − 3x + 2 pˇredpis funkce g3 je omezen lomeným výrazem a odmocninou. Musí platit, že 2x 2 + 3x − 2 > 0. Tedy Dg3 = (∞; 1) ∪ (2; +∞)
g3 (x) = √
1 x2
− 3x + 2
10
5
2
4
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení Df
ˇ Rešení pˇríkladu˚ na urˇcení definiˇcního oboru funkcí
g3 (x) = √
1
x 2 − 3x + 2 pˇredpis funkce g3 je omezen lomeným výrazem a odmocninou. Musí platit, že 2x 2 + 3x − 2 > 0. Tedy Dg3 = (∞; 1) ∪ (2; +∞)
g3 (x) = √
1 x2
− 3x + 2
10
5
2
4
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení Df
ˇ Rešení pˇríkladu˚ na urˇcení definiˇcního oboru funkcí
r
x +2 g4 (x) = x −2 pˇredpis funkce g4 je omezen lomeným výrazem a odmocninou. Musí platit, že x 6= 2 ∧ x +2 ≥ 0. Tedy Dg4 = x −2 (−∞; −2i ∪ (2; +∞)
r g4 (x) =
x +2 x −2
10
5
−5
5
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení definiˇcního oboru funkce pˇríklady k procviˇcení Df ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení Df
ˇ Rešení pˇríkladu˚ na urˇcení definiˇcního oboru funkcí
r
x +2 g4 (x) = x −2 pˇredpis funkce g4 je omezen lomeným výrazem a odmocninou. Musí platit, že x 6= 2 ∧ x +2 ≥ 0. Tedy Dg4 = x −2 (−∞; −2i ∪ (2; +∞)
r g4 (x) =
x +2 x −2
10
5
−5
5
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení oboru hodnot funkce pˇríklady k procviˇcení Hf ˇrešení pˇríkladu˚ na procviˇcení Hf
Obor hodnot funkce
množina cˇ ísel pˇriˇrazených danou funkcí cˇ íslum ˚ z definiˇcního oboru jde o podmnožinu reálných cˇ ísel. tuto množinu oznaˇcujeme H, dolním indexem je název funkce napˇr. u funkce f zápisem Hf , nebo pro funkci g zápisem Hg apod.
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení oboru hodnot funkce pˇríklady k procviˇcení Hf ˇrešení pˇríkladu˚ na procviˇcení Hf
Pˇríklad urˇcení hodnot uvedené funkce
Je dána funkce g(x) = 3x 2 + 1. Vypoˇcítejte: g(1), g(a) + g(2), g(a + 2), g(b2 ), [g(b)]2 . ˇ Rešení: Za x dosazujeme výrazy ze závorek. Tedy g(1) = 4, g(a) + g(2) = 3a2 + 1 + 13, tj. 3a2 + 14. Podobneˇ g(a + 2) = 3a2 + 12a + 13, g(b2 ) = 3b4 + 1 a nakonec [g(b)]2 = (3b2 + 1)2 = 9b4 + 6b2 + 1.
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení oboru hodnot funkce pˇríklady k procviˇcení Hf ˇrešení pˇríkladu˚ na procviˇcení Hf
Pˇríklad urˇcení hodnot uvedené funkce
Je dána funkce g(x) = 3x 2 + 1. Vypoˇcítejte: g(1), g(a) + g(2), g(a + 2), g(b2 ), [g(b)]2 . ˇ Rešení: Za x dosazujeme výrazy ze závorek. Tedy g(1) = 4, g(a) + g(2) = 3a2 + 1 + 13, tj. 3a2 + 14. Podobneˇ g(a + 2) = 3a2 + 12a + 13, g(b2 ) = 3b4 + 1 a nakonec [g(b)]2 = (3b2 + 1)2 = 9b4 + 6b2 + 1.
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení oboru hodnot funkce pˇríklady k procviˇcení Hf ˇrešení pˇríkladu˚ na procviˇcení Hf
Pˇríklady urˇcení oboru hodnot uvedené funkce
ˇ zda Je dána funkce f (x) = x 2 + 2x − 30. Rozhodnete, existuje x ∈ R tak, aby platilo: 1 2 3
f (x) = 5 f (x) = −100 √ 11 3 f (x) = 2
ˇ Rešení: Je nutné zjistit, zda rovnice v nichž za f (x) dosadíme pˇríslušnou hodnotu mají ˇrešení. Tedy:
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení oboru hodnot funkce pˇríklady k procviˇcení Hf ˇrešení pˇríkladu˚ na procviˇcení Hf
Pˇríklady urˇcení oboru hodnot uvedené funkce
ˇ zda Je dána funkce f (x) = x 2 + 2x − 30. Rozhodnete, existuje x ∈ R tak, aby platilo: 1 2 3
f (x) = 5 f (x) = −100 √ 11 3 f (x) = 2
ˇ Rešení: Je nutné zjistit, zda rovnice v nichž za f (x) dosadíme pˇríslušnou hodnotu mají ˇrešení. Tedy:
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení oboru hodnot funkce pˇríklady k procviˇcení Hf ˇrešení pˇríkladu˚ na procviˇcení Hf
Pˇríklady urˇcení oboru hodnot uvedené funkce
1
pro f (x) = 5 získáme rovnici 5 = x 2 + 2x − 30 ˇ Rešení: x1 = −2, x2 = 5
2
3
pro f (x) = −100 získáme rovnici −100 = x 2 + 2x − 30 ˇ Rešení: nemá√v R ˇrešení √ 11 3 11 3 pro f (x) = získáme rovnici = x 2 + 2x − 30 2 2 √ √ 3 3 9 + −13 − ˇ Rešení: x1 = , x2 = 2 2
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení oboru hodnot funkce pˇríklady k procviˇcení Hf ˇrešení pˇríkladu˚ na procviˇcení Hf
Pˇríklady urˇcení oboru hodnot uvedené funkce
1
pro f (x) = 5 získáme rovnici 5 = x 2 + 2x − 30 ˇ Rešení: x1 = −2, x2 = 5
2
3
pro f (x) = −100 získáme rovnici −100 = x 2 + 2x − 30 ˇ Rešení: nemá√v R ˇrešení √ 11 3 11 3 pro f (x) = získáme rovnici = x 2 + 2x − 30 2 2 √ √ 3 3 9 + −13 − ˇ Rešení: x1 = , x2 = 2 2
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení oboru hodnot funkce pˇríklady k procviˇcení Hf ˇrešení pˇríkladu˚ na procviˇcení Hf
Pˇríklad k procviˇcení
Je dána funkce h : y = 1
2
x2 + 1 . 2 − x2
5 ˇ která z následujících cˇ ísel 2, − , 0, 5, −1 Rozhodnete, 2 patˇrí do oboru hodnot funkce h. √ Urˇcete všechna cˇ ísla m ∈ R tak, aby platilo: h(m) = h( 3)
Definiˇcní obor funkce Obor hodnot funkce
pˇríklady na urˇcení oboru hodnot funkce pˇríklady k procviˇcení Hf ˇrešení pˇríkladu˚ na procviˇcení Hf
ˇ Rešení pˇríkladu z oboru hodnot funkce
h:y = 1
2
5 ˇ Císla 2; − ; 5 leží v 2 oboru hodnot funkce h. ˇ Císlo m musí √ mít hodnotu ± 3.
x2 + 1 2 − x2
6 4 2 −4 −2 −2
2
4
Pˇríloha
Seznam použité literatury
Seznam použité literatury I
PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: pˇríprava k maturiteˇ a pˇrijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Uˇcebnice pro stˇrední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3. POLÁK, Josef. Stˇredoškolská matematika v úlohách I: pˇríprava k maturiteˇ a k pˇrijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 344 s. Uˇcebnice pro stˇrední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6021-7.
