VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20
Lineární funkce – graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí a jejich poznávání. Žák sestrojí graf lin. funkce a určuje rovnici lin. funkce z grafu. Procvičuje si vlastnosti lin. funkcí na cvičeních. Vzdělávací oblast: Matematika Autor: Mgr. Robert Kecskés Jazyk: Český Očekávaný výstup: Rozezná funkční vztahy, určí definiční obor funkce a obor hodnot. Druh učebního materiálu: Prezentace Cílová skupina: Žák Stupeň a typ vzdělávání: Druhý stupeň, základní škola Datum (období), ve kterém byl vzdělávací materiál vytvořen: Školní rok 2012-2013 Ročník, pro který je vzdělávací materiál určen: Devátý ročník základní školy
Lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Každá funkce y = ax + b, kde a, b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá lineární funkce.
Lineární funkce Funkci obvykle zapisujeme: y = f(x), např. y = 2x+1 nebo f: y = 2x + 1 Proměnná x je argumentem funkce. Její hodnotu můžeme libovolně měnit, ovšem jen v rámci definované množiny, definičního oboru. Říkáme jí nezávisle proměnná. Definiční obor - množina všech hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x pro danou funkci nabývat, označujeme ho D(f)
Lineární funkce Ke všem přípustným hodnotám argumentu x přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot). Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo, které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x. Obvykle ji značíme y nebo f(x).
Obor hodnot je množina všech reálných čísel, kterou dostaneme jako výstupní hodnotu funkce f, jestliže za x dosadíme všechny přípustné hodnoty z D(f). Obor hodnot funkce označujeme H(f).
Lineární funkce Lineární funkci můžeme zadat rovnicí, tabulkou nebo grafem.
Grafem lineární funkce je množina bodů ležící na přímce.
Graf – konstanta b
y
Sestrojte graf lineární funkce y = 3x – 2. y = 3x – 2 5 4 3
x
1
2
y = 3x – 2
1
4
2 1 -4 -3
-2 -1
0 -1 -2 -3 -4 -5
1
2
3
4
x
A[0; – 2] Všímejte si souřadnic průsečíku grafu s osou y. Označíme jej bodem A, platí A[0; -2], y-nová souřadnice bodu A je rovna konstantě b v rovnici funkce.
Cvičení 1. Urči konstantu b v zadání lineární funkce y = 3x + b, jestliže graf této funkce protíná osu y v bodě o A souřadnicích [0; 4]? b=4 y = 3x + 4 2. Urči, jaké souřadnice bude mít bod, ve kterém protíná graf lineární funkce y = 4x – 1 osu y. [0; – 1] 3. Zapište lineární funkci rovnicí, jestliže víte, že platí: a = 4, b = 1. Jaké souřadnice má bod, ve kterém graf této funkce protíná osu y? y = 4x + 1 bodem [0; 1]
Graf – konstanta b Graf lineární funkce y = ax + b protíná osu y v bodě o souřadnicích [0; b]. Graf lineární funkce y = ax (b = 0) prochází počátkem soustavy souřadnic [0; 0].
Graf – konstanta a
y
y = 2x – 1 5 4 3 2 1 -4 -3
0 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5
1
2
3
4
A[0; – 1]
x
Funkce je rostoucí, právě když pro každé dvě hodnoty x1, x2 z jejího definičního oboru platí: jestliže x1 < x2, pak y1 < y2. x
1
2
y = 2x – 1
1
3
Funkce je klesající, právě když pro každé dvě hodnoty x1, x2 z jejího definičního oboru platí: jestliže x1 < x2, pak y1 > y2. x
–1
–2
y = – 2x – 2
1
2
y = – 2x – 1
Všimni si konstanty a v rovnicích!
Graf – konstanta a Lineární funkci y = ax + b, kde a = 0, nazýváme konstantní funkce. Jejím grafem je vždy přímka rovnoběžná s osou x, která prochází bodem [0, b]. y y = –2 5 x
–1
3
y = –2
–2
–2
y=3
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1
x
–1
2
y=3
3
3
y=3
0 -1 -2 -3 -4
1
2
3
4
x y = –2
Druhy lineárních funkcí Lineární funkce y = ax + b je rostoucí, jestliže a > 0. Lineární funkce y = ax + b je klesající, jestliže a < 0. Lineární funkce y = ax + b je konstantní, jestliže a = 0.
Cvičení 1. Rozhodněte, která z daných funkcí je lineární. Df = R. a) y = 3x + 1 b) y = x2 – 2 c) y = 1,3 – 2x d)
e)
f)
2. Určete průsečíky grafů daných funkcí s osou y: a) y = – x – 5 b) y = 0,3x + 3 c) y = 1 – 0,6x
3. Rozhodněte, zda je daná funkce rostoucí, klesající nebo konstantní: a) y = – 5 b) y = 4x + 5 c) y = – 1,2x + 0,5 d) y = – 4
e) y = 1 – 2x
Řešení: a), c), e), f)
a) [0; –5] a) [0; 3] a) [0; 1] a) konstantní b) rostoucí c) klesající d) konstantní e) klesající
Cvičení 1. Rozhodněte, zda se jedná o lineární funkci.
ANO ANO ANO
NE
Cvičení 1. Rozhodněte, zda se jedná o lineární funkci. x
0
1
2
3
4
5
y
1
3
5
7
9
11
x
0
1
3
5
9
10
y
3
2
0
-2
-6
-7
x
0
2
1
7
5
7
y
2
2
2
2
2
2
x
0
1
5
2
3
5
y
2
3
1
4
1
2
ANO
ANO
ANO
NE
