Obsah PŘEDMLUVA OBSAH I. PRIMITIVNÍ FUNKCE Definice a vlastnosti primitivní funkce Metody výpočtu primitivních funkcí Racionální funkce . . . . . . Iracionální funkce . . . . . . Goniometrické funkce . . . . . Hyperbolické funkce . . . . . . Exponenciální funkce . . . . . Integrace některých dalších funkcí .
. . . . . . . .
3 5 7 7 13 27 42 71 88 92 95
II. RIEMANNŮV INTEGRÁL Definice a vlastnosti R-integrálu . . . . . . . . . . . . . . . R-integrál jako funkce horní meze . . . . . . . . . . . . . . Metody výpočtu R-integrálu . . . . . . . . . . . . . . . .
99 99 105 107
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
III. NEVLASTNÍ RIEMANNŮV INTEGRÁL 117 Nevlastní R-integrál na neomezeném intervalu . . . . . . . . . . 117 Nevlastní R-integrál z neomezené funkce . . . . . . . . . . . . 130 Nevlastní R-integrál z neomezené funkce na neomezeném intervalu . . . 142 IV. APLIKACE RIEMANNOVA Obsah množin v R2 . . Délka křivky v R2 . . Objem rotačního tělesa . Obsah rotační plochy .
Definice a vlastnosti primitivnı´ funkce Existence a jednoznačnost primitivní funkce
Definice. Nechť funkce f (x) a F (x) jsou definovány na intervalu I. Jestliže pro každé x ∈ I platí (1) F (x) = f (x) , nazývá se funkce F (x) primitivní funkce k funkci f (x) na intervalu I. (V krajních bodech intervalu I, které do I patří, jde o příslušné jednostranné derivace.) Poznámka. Z rovnice (1) plyne, že funkce F (x) je spojitá na I. Věta (nutná podmínka existence). Nechť k funkci f (x) existuje na I primitivní funkce, pak f (x) je darbouxovská na I. Poznámka. Připomeňme, že funkce f se nazývá darbouxovská na intervalu I ⊆ ⊆ D( f ), jestliže pro každé dva body x1 , x2 z I s vlastností f (x1 ) < f (x2 ) a každé číslo y0 ∈ R, pro něž f (x1 ) < y0 < f (x2 ), existuje v intervalu o krajních bodech x1 , x2 bod x0 takový, že f (x0 ) = y0 . Věta (postačující podmínka existence). Nechť funkce f (x) je spojitá na I, pak k funkci f (x) existuje na I primitivní funkce. Věta. Nechť F (x) je primitivní funkce k f (x) na I, pak pro libovolné c ∈ R je F (x) + c primitivní funkce k f (x) na I. Věta. Nechť F (x) a G(x) jsou primitivní funkce k f (x) na I, pak existuje c ∈ R tak, že F (x) − G(x) = c pro každé x ∈ I. Důsledek. Nechť F (x) je primitivní funkce k f (x) na I, pak {F (x) + c; c ∈ R} je množina všech primitivních funkcí k f (x) na I. Označení. Množina všech primitivních funkcí k funkci f (x) na intervalu I se značí symbolem f (x) dx , (2) a vzhledem k předchozím tvrzením můžeme psát
f (x) dx = F (x) + c ,
(3)
kde F (x) je nějaká primitivní funkce k f (x) na I a c ∈ R je libovolná konstanta. 7
Symbol f (x) dx se čte integrál z funkce f (x) a postup hledání primitivní funkce se nazývá integrování. I.1.2.
Vlastnosti primitivní funkce
Věta. Nechť funkce f (x) má primitivní funkci na I, pak
f (x) dx
= f (x)
na I. Nechť funkce f (x) má derivaci na I, pak
f (x) dx = f (x) + c ,
c ∈ R,
na I. Věta. Nechť funkce f (x) a g(x) mají primitivní funkce na I a k ∈ R. Pak funkce f (x) + g(x) a kf (x) mají primitivní funkce na I a platí
f (x) + g(x) dx =
f (x) dx +
kf (x) dx = k
g(x) dx , (4)
f (x) dx .
Poznámka. Nechť F je třída elementárních funkcí, tj. množina všech funkcí, které vzniknou konečným počtem algebraických operací a skládáním ze základních elementárních funkcí *) , pak platí: Je-li funkce f (x) ∈ F , pak její derivace f (x) ∈ F , ale její primitivní funkce F (x) = f (x) dx nemusí patřit do F . √ x 2 Např. funkce ex , sinx x , ln1x , e−x , sin x2 , sin x apod. mají primitivní funkci na svém definičním oboru, protože jsou spojité, ale tyto primitivní funkce nejsou elementární funkce. I.1.3.
Vzorce
Ze známých vzorců pro derivace funkcí plynou následující vzorce, které platí na každém intervalu, který patří do definičního oboru integrované funkce.
xα dx =
I.
II.
xα+1 +c, α+1
α ∈ R, α = −1
dx = ln |x| + c x
*) Za základní elementární funkce považujeme mocninnou funkci, exponenciální funkci, logaritmickou funkci, goniometrické funkce a funkce k nim inverzní, hyperbolické funkce a funkce k nim inverzní.
8
ex dx = ex + c
III.
ax dx =
IV.
V.
ax +c, ln a
a ∈ R, a > 0, a = 1
sin x dx = − cos x + c
cos x dx = sin x + c
VI.
VII.
VIII.
IX.
dx = − cotg x + c sin2 x dx = tg x + c cos2 x dx = arctg x + c = − arccotg x + c +1
x2
X.
XI.
XII.
√
dx = arcsin x + c = − arccos x + c 1 − x2
√
√ dx x + x2 ± 1 + c = ln 2 x ±1
dx 1 1 + x ln = +c 1 − x2 2 1 − x sinh x dx = cosh x + c
XIII.
XIV.
cosh x dx = sinh x + c
XV.
XVI.
I.1.4.
dx = tgh x + c cosh2 x
Řešené příklady
(x − 2e ) dx = x
1.
2.
dx = − cotgh x + c sinh2 x
x dx − 2
x2 − 2ex + c e dx = 2 x
√ √ 1 2 ( x − 2 3 x)2 24 5 − 16 dx = dx − 4 x dx + 4 x− 3 dx = x − x 6 + 6x 3 + c x 5
9
3.
4.
x 1 + cos x 1 x sin x 1 cos dx = dx + cos x dx = + dx = +c 2 2 2 2 2 2 2
tg2 x dx =
sin2 x 1 − cos2 x 1 dx = dx = dx − dx = cos2 x cos2 x cos2 x
1 pro − ∞ < x ≤ 0 72. Vypočtěte f (x) dx, kde f (x) = x + 1 pro 0 < x ≤ 1 ⎪ ⎪ ⎩ 2x pro 1 < x < +∞ 73. Vypočtěte f (2x) dx
74. Najděte f (x), je-li f (x2 ) = x1 , x > 0 75. Najděte f (x), je-li f (sin2 x) = cos2 x
76. Najděte f (x), je-li f (ln x) =
1
pro 0 < x ≤ 1
x pro 1 < x < +∞
12
a f (0) = 0.
I.2. I.2.1.
Metody vy´pocˇtu primitivnı´ch funkcı´ Substituce
Věta (1. věta o substituci). Nechť funkce ϕ(x) je definována na intervalu I1 , ϕ(I1 ) ⊂ I2 , a nechť existuje ϕ (x) na I1 . Nechť funkce f (t) je definována na intervalu I2 . Má-li funkce f (t) primitivní funkci na I2 , pak funkce f (ϕ(x))ϕ (x) má primitivní funkci na I1 . Je-li F (t) primitivní funkce k funkci f (t) na intervalu I2 , je F (ϕ(x)) primitivní funkce k funkci f (ϕ(x))ϕ (x) na intervalu I1 . Poznámka. 1. větu o substituci zapisujeme ve tvaru
f (ϕ(x))ϕ (x) dx =
f (t) dt ,
(5)
kde t = ϕ(x), dt = ϕ (x) dx, x ∈ I1 , t ∈ I2 . Věta (2. věta o substituci). Nechť funkce ϕ(t) je definována na intervalu I1 , ϕ(I1 ) = I2 , a nechť existuje ϕ (t) = 0 na I1 . Nechť funkce f (x) je definována na intervalu I2 . Funkce f (x) má primitivní funkci na I2 , právě když má funkce f (ϕ(t))ϕ (t) primitivní funkci na I1 . 1. Je-li F (x) primitivní funkce k funkci f (x) na I2 , je F (ϕ(t)) primitivní funkce k funkci f (ϕ(t))ϕ (t) na I1 . 2. Je-li Φ(t) primitivní funkce k funkci f (ϕ(t))ϕ (t) na I1 , je Φ(ϕ−1 (x)) primitivní funkce k funkci f (x) na I2 . Poznámka. První část 2. věty o substituci je vlastně 1. věta o substituci s omezeným předpokladem ϕ = 0. Druhou část 2. věty o substituci zapisujeme ve tvaru
f (x) dx =
f (ϕ(t))ϕ (t) dt ,
(6)
kde x = ϕ(t), dx = ϕ (t) dt, t ∈ I1 , x ∈ I2 . I.2.2.
Per partes
Věta (metoda per partes). Nechť funkce u(x), v(x) mají derivace u (x), v (x) na intervalu I. Existuje-li na I primitivní funkce k jedné z funkcí u (x)v(x), u(x)v (x), existuje i ke druhé z nich. Je-li F (x) primitivní funkce k u(x)v (x) na intervalu I, je u(x)v(x) − F (x) primitivní funkce k u (x)v(x) na intervalu I. Poznámka. Metodu per partes zapisujeme ve tvaru
u(x)v (x) dx = u(x)v(x) −
13
u (x)v(x) dx .
(7)
Poznámka. Pro volbu funkcí u(x) a v (x) ve vzorci (7) neexistuje žádné pravidlo. Ze zkušenosti zjistíme, že ve většině případů volíme jako u(x) funkce ln, arcsin, arccos, arctg, arccotg, xn a jako v (x) funkce ex , sin, cos, xn , 1. V případě, že integrál u (x)v(x) dx je složitější než původní, je vhodné zkusit volit u(x) a v (x) obráceně nebo jiným způsobem tehdy, když u(x)v (x) je součin aspoň tří funkcí. Metodu per partes tedy používáme tak, že volíme funkce u(x) a v (x) a počítáme u (x) a v(x), přitom v(x) je libovolná primitivní funkce k v (x), zpravidla volíme integrační konstantu rovnu nule. Poznámka. Při hledání primitivních funkcí používáme také kombinaci substituční metody a metody per partes a dále samozřejmě vztahy (4) a vzorce I.1.3. Většinou existuje více způsobů nalezení primitivní funkce k dané funkci, např. různé √ 2 a − x2 dx lze nalézt metodou substituce i metoda per partes — primitivní funkci per partes nebo Eulerovými substitucemi (I.4.2.1) nebo Ostrogradského metodou (I.4.2.3) nebo goniometrickými substitucemi (I.4.2.6). Nalezené primitivní funkce se přitom mohou lišit pouze o konstantu. I.2.3.
Řešené příklady
77. Použitím 1. věty o substituci najděte primitivní funkce: √ 3 x2 1 + x3 dx a) Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞), volíme t = ϕ(x) = 1 + x3 , pak dt = 3x2 dx. I1 = (−∞, ∞), I2 = (−∞, ∞), ϕ(I1 ) = (−∞, ∞) = I2 .
x
b)
√
2 3
1+
x3
1 dx = 3
√ 3
t dt =
1√ 1 3 4 t + c = 3 (1 + x3 )4 + c . 4 4
dx √ (1 + x) x
Primitivní funkci hledáme na intervalu (0, +∞), volíme t = ϕ(x) = √ . I1 = (0, ∞), I2 = (−∞, ∞), ϕ(I1 ) = (0, ∞) ⊂ I2 . dt = 2dx x
dx √ =2 (1 + x) x
√
x, pak
√ dt = 2 arctg t + c = 2 arctg x+c. 1 + t2
dx √ x x2 + 1 Primitivní funkci hledáme na intervalech (−∞, 0) a (0, +∞), volíme t = ϕ(x) = √ = x2 + 1, pak dt = √xx2 +1 dx. c)
Funkce f (t) = t21−1 je definována na sjednocení intervalů (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ ∪ (1, +∞) = Df , tedy 14
x2 (1 − t)2 dx = − dt = (1 − x)100 t100 dt dt dt 1 1 1 +2 − = − + +c= =− 100 99 98 99 98 t t t 99t 49t 97t97 1 1 1 − + +c . = 99(1 − x)99 49(1 − x)98 97(1 − x)97 78. Použitím 1. věty o substituci najděte primitivní funkce: ex dx a) 2 + ex Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞), volíme t = ϕ(x) = 2 + ex , pak dt = ex dx. Funkce f (t) = 1t je definována na sjednocení intervalů (−∞, 0)∪(0, +∞) = Df , tedy I1 = (−∞, +∞), ϕ(I1 ) = (2, +∞) ⊂ Df .
ex dx = 2 + ex
dt = ln |t| + c = ln(2 + ex ) + c . t
ln2 x dx x Primitivní funkci hledáme na intervalu (0, +∞), volíme t = ϕ(x) = ln x, pak dt = dx . I1 = (0, ∞), I2 = (−∞, +∞), ϕ(I1 ) = (−∞, +∞) = I2 . x
b)
ln2 x dx = x
t2 dt = 15
ln3 x t3 +c= +c 3 3
sin x √ dx cos3 x
c)
Primitivní funkci hledáme na intervalech − π2 + 2kπ, π2 + 2kπ , k ∈ Z, volíme t = ϕ(x) = cos x, pak dt = − sin x dx.
Ik = − π2 + 2kπ, π2 + 2kπ , k ∈ Z, ϕ(Ik ) = (0, 1 pro každé k ∈ Z, I2 = = (0, +∞), ϕ(Ik ) ⊂ I2 .
sin x √ dx = − cos3 x
dt 2 2 √ = √ +c= √ +c. cos x t t3
dx sin x Primitivní funkci hledáme na intervalech (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z.
d)
1) Volíme t = ϕ(x) = cos x, pak dt = − sin xdx. Funkce f (t) = t21−1 je definována na sjednocení intervalů (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞) = Df a ϕ((kπ, (k + 1)π)) = (−1, 1) pro každé k ∈ Z, tedy ϕ((kπ, (k + 1)π)) ⊂ Df
dx = sin x
sin x dx = sin2 x
sin x dx = 1 − cos2 x
t2
dt = −1
1 cos x − 1 1 t − 1 +c. = ln + c = ln 2 t+1 2 cos x + 1 2) Volíme t = ϕ(x) = tg x2 , pak dt =
dx 2 cos2
x 2
.
Funkce f (t) = 1t je definována na sjednocení intervalů (−∞, 0) ∪ (0, +∞) = Df a ϕ((kπ, (k + 1)π)) = (0, +∞) pro k ∈ Z sudé, ϕ((kπ, (k + 1)π)) = (−∞, 0) pro k ∈ Z liché, tedy ϕ((kπ, (k + 1)π)) ⊂ Df .
dx = sin x
dx = 2(sin x2 ) cos x2 = ln |t| + c =
dx x (tg 2 )2 cos2
ln tg
x 2
=
dt = t
x +c. 2
79. Použitím 2. věty o substituci najděte primitivní funkce: dx √ a) 1 + ex Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞), položíme t = dt (t > 1), vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = ln(t2 − 1), pak dx = t2t2 −1 .
dx cos t dt dt √ = = = 2 (sin t) cos t sin2 t x2 1 − x2 √ √ cos t 1 − sin2 t 1 − x2 = − cotg t + c = − =− +c=− +c. sin t sin t x (Poznámka: Primitivní funkci lze též vyjádřit ve tvaru − cotg arcsin x + c.)
dx √ 2+ x √ Primitivní funkci hledáme na intervalu (0, +∞), položíme t = x (t > 0), vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = t2 , pak dx = 2t dt. c)
80. Použitím metody per partes najděte primitivní funkce:
a)
ln x dx
u = ln x u = x1 ln x dx v =1 v=x
= x ln x −
dx =
= x ln x − x + c = x(ln x − 1) + c
b)
x sin x dx
u=x u = 1 x sin x dx = −x cos x + v = sin x v = − cos x
= −x cos x + sin x + c 17
cos x dx =
81. Použitím metody per partes najděte primitivní funkce:
a)
x2 ex dx
u = x2 x e dx v = ex
= x2 ex − 2xex + 2
b)
u = 2x = x2 ex − 2 v = ex
2 x
u = 1 v = ex
u=x xe dx v = ex x
ex dx = x2 ex − 2xex + 2ex + c = ex (x2 − 2x + 2) + c
arccos2 x dx
x u = arccos2 x u = − 2√arccos 1−x2 arccos x dx v =1 v=x 2
= x arccos2 x + 2
=
1 u = arccos x u = − √1−x x arccos x 2 √ √ dx √ x = 2 v = 1−x2 v = − 1 − x2 1−x
√ = x arccos2 x − 2 1 − x2 arccos x − 2 dx = √ = x arccos2 x − 2 1 − x2 arccos x − 2x + c
82. Použitím metody per partes najděte primitivní funkce: √ a) a2 + x2 dx
√
a2 + x2 √ dx = a2 + x2 u=x u =√ 1 a2 dx x2 dx + √ 2 = √ 2 x 2 2 = a + x2 a + x2 v = √a2 +x2 v = a + x √ √ √ a2 + x2 dx = = a2 ln(x + a2 + x2 ) + x a2 + x2 − √ √ = a2 ln(x + a2 + x2 ) + x a2 + x2 − I. I=
a2 + x2 dx =
Máme tedy
2I = a2 ln(x +
√
√ a2 + x2 ) + x a2 + x2
a odsud dostáváme √ √ a2 x√ 2 ln(x + a2 + x2 ) + a2 + x2 dx = a + x2 + c 2 2
eax cos bx dx,
b)
I=
a = 0, b = 0
u = cos bx u = −b sin bx e cos bx dx = v = a1 eax v = eax ax
1 ax b ax u = sin bx u = b cos bx = e cos bx + e sin bx dx = v = a1 eax v = eax a a 18
1 ax b b2 e cos bx + 2 eax sin bx − 2 eax cos bx dx. a a a Tedy 1 b b2 I = eax cos bx + 2 eax sin bx − 2 I a a a Dále řešíme tuto rovnici a dostáváme eax eax cos bx dx = 2 (a cos bx + b sin bx) + c a + b2 =
83. Odvoďte rekurentní vzorce pro integrály:
a)
sinn x dx,
In =
n ∈ N, n > 2
u = sinn−1 x u = (n − 1)(sinn−2 x) cos x sin x dx = v = sin x v = − cos x n
In =
= −(sin
n−1
= −(sin
n−1
= −(sin
n−1
x) cos x + (n − 1) x) cos x + (n − 1) x) cos x + (n − 1)
Máme tedy In = −(sinn−1 x) cos x + (n − 1)In−2 − (n − 1)In . Dále řešíme tuto rovnici a dostaneme rekurentní vzorec 1 n−1 In−2 In = − (sinn−1 x) cos x + n n
dx , a = 0, n ∈ N, n > 1 + x2 )n Integrál upravíme 2 a + x2 − x2 dx x2 1 1 1 In = 2 dx = − dx. a (a2 + x2 )n a2 (a2 + x2 )n−1 a2 (a2 + x2 )n b)
(a2
Druhý integrál řešíme per partes
u=x x2 dx x v = (a2 +x 2 )n (a2 + x2 )n
u = 1 v = 2(1−n)(a12 +x2 )n−1
1 x + = 2 2 n−1 2(1 − n)(a + x ) 2(n − 1)
(a2
=
dx . + x2 )n−1
Po dosazení pak dostaneme rekurentní vzorec In =
2a2 (n
x 2n − 3 In−1 + 2 2 2 n−1 − 1)(a + x ) 2a (n − 1) 19
Pro n = 1 je I.2.4.
a2
dx 1 x = arctg . 2 +x a a
Příklady
84. Nechť funkce ϕ(x) má spojitou derivaci na intervalu I. Dokažte, že platí
(ϕ(x))α ϕ (x) dx =
⎧ α+1 ⎨ (ϕ(x)) ⎩
α+1
je-li α ∈ R, α = −1
+ c1
je-li α = −1
ln |ϕ(x)| + c2
Substituční metodou najděte primitivní funkce:
85.
86.
87.
− 1)
99.
91.
92.
93.
94.
95.
100.
101.
x4 dx (x5 + 1)4
102.
x dx 4 + x4
√
dx x) √ x
x2 + 1 dx x4 + 1
α
√
x2 dx , 1 + xα+2
103.
2
104.
1 dx (sin ) 2 x x
105.
dx √ x x2 − 1
x2 dx 1+x
x3 dx 3+x
106.
dx 107.
x(1 − x) 20
x(1 − x)10 dx 1+x dx 1−x
α∈R
x dx
1 + x2 +
xe−x dx
1 x
x2 − 1 dx x4 + 1
x3 dx x8 − 2
dx √ x
Návod: volte t = x −
x2 dx
x
(sin
3 2
2
90.
√
e
(8x3 + 27) 3
96.
98.
x dx
89.
x(1 + x)
x dx (1 + x2 )2 (x2
dx
97.
x dx 3 − 2x2
88.
x dx √ 1 − x2
(1 + x2 )3
108.
(1 + x)2 dx 1 + x2
125.
(2 − x)2 dx 2 − x2
126.
x5 dx x+1
127.
109. 110.
dx √ 111. x+1+ x−1 √ 112. x 2 − 5x dx
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
√
√ 3
128.
129. 130.
131.
√
dx 1 + e2x
dx (x ln x) ln ln x ln x √ dx x 1 + ln x
√ x2 3 1 − x dx
134.
dx 1+x 1 − x x2 − 1
√ ln(x + 1 + x2 )
1 + x2
132. 133.
(sin5 x) cos x dx sin x dx 1 + cos x
tg x dx
x3 (1 − 5x2 )10 dx
135.
cotg x dx
x2 dx √ 2−x
136.
x5 dx √ 1 − x2
137.
2
x5 (2 − 5x3 ) 3 dx
138.
dx x e + e−x
139.
ex dx 4 − e2x
140.
e2x dx 1 + ex
141.
√ 4
2x dx 1 − 4x
ln
dx √ x+ 4x
√ 3 x3 1 + x2 dx
√
√
x dx 1 − 3x
dx √ 1+ 3 x+1 √
2x 3x dx 9x − 4x
21
√ (cos5 x) sin x dx sin3 x √ dx cos x √
sin x dx 1 + 2 cos x
sin x + cos x √ dx 3 sin x − cos x sin x √ dx cos 2x cos x √ dx cos 2x
dx
142.
143.
144.
145.
146.
√
158.
sinh x √ dx cosh 2x √ √
sin x cos x a2 sin2 x + b2 cos2 x
dx
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
sin x cos3 x dx 1 + cos2 x
161.
dx cos4 x
Návod: 1 = sin2 x + cos2 x
dx √ 2 (sin x) 4 cotg x
162.
dx
163.
dx sin x + 2 cos2 x
164.
dx 2 + cos2 x
165.
2
149.
(cosh2 x) 3 tgh2 x
148.
cos3 x dx sin x
160.
147.
dx sin x cos3 x
159.
sin 2x dx sin2 x − cos2 x
157.
cos x dx 2 + cos 2x
sin3 x dx
166.
cos3 x dx
167. tg3 x dx 168.
dx cos x
169.
dx sinh x
170.
cos ln x dx x ln tg x dx sin 2x etg x + cotg x dx cos2 x √
arcsin x dx x2 x arccos x √ 195. dx 1 − x2 √ 196. x 1 − x2 arcsin x dx
189.
dx
194.
ln ln x dx x
x cosh 3x dx
3
x sinh x dx
ln x x
x arctg x dx
206. 23
3
x5 ex dx arcsin2 x dx
207.
2
ln (x +
208.
209.
210.
211.
√
2
1+
x
222.
223.
√
x sin
225. x
dx
√
arctg
x dx
√
227. x dx
arccotg ex dx ex √ 216. a2 − x2 dx , x
√
dx
xex sin2 x dx xex dx (x + 1)2
228.
x2 ex dx (x + 2)2
229.
a = 0
a = 0
a2 + x2 dx ,
ln(x + a)x+a (x + b)x+b dx (x + a)(x + b)
230.
sin ln x dx
231.
cos ln x dx
232.
219.
2
(ex − cos x)2 dx
218.
cos x ex
xex sin x dx
217.
e2x sin2 x dx
226.
215.
2
earccos x dx
dx
eax sin bx dx
221.
224.
xe
214.
x2 sin ln x dx
x2 ) dx
dx 2 (a + x2 )2
213.
√
220.
x2 dx (1 + x2 )2
e
212.
x arctg2 x dx
2 1− x
2
ex dx
xf (x) dx
233. Nechť f (x) je ryze monotónní spojitá funkce na intervalu I a f −1 (x) je její inverzní funkce na intervalu f (I). Dokažte, že je-li
f (x) dx = F (x) + c , pak
f −1 (x) dx = xf −1 (x) − F f −1 (x) + c .
Uvažujte případy: a) f (x) = xn (n > 0); b) f (x) = ex ; c) f (x) = arcsin x; d) f (x) = argtgh x. Odvoďte rekurentní vzorce pro integrály In (n ∈ N): 24
234. In =
235. In =
236. In =
237. In =
xn eax dx, a = 0
n
ln x dx
240. In =
xα lnn x dx, α = −1
241. In =
√
xn dx, n > 2 x2 + a
242. In =
n
238. In =
cosn x dx, n > 2
239. In =
243. In =
sin x dx, n > 2
sinhn x dx, n > 2 coshn x dx, n > 2 dx , n>2 sinn x dx , n>2 coshn x
Najděte primitivní funkce:
244.
245.
x8 e−x dx
248.
4
ln x dx
246.
249.
x3 ln3 x dx
√
247.
250.
x6 dx x2 + 9
251.
cos5 x dx sin6 x dx dx dx sin5 x dx dx cosh7 x
252. Dokažte následující vzorce
I.
a2
II.
III.
IV.
V.
VI.
x dx 1 = arctg + c , 2 +x a a
a = 0
a + x dx 1 +c, ln = 2 2 a −x 2a a − x
a = 0
1 x dx ln |a2 ± x2 | + c = ± a2 ± x2 2 √
x dx = arcsin + c , 2 a −x
a2
a>0
√
√ dx = ln |x + x2 ± a2 | + c , 2 2 x ±a
√
√ x dx = ± a2 ± x2 + c , a2 ± x2
a>0
25
a>0
VII.
VIII.
√ √
a2 − x2 dx =
x x√ 2 a2 a − x2 + arcsin + c , 2 2 a
x2 ± a2 dx =
√ x√ 2 a2 x ± a2 ± ln |x + x2 ± a2 | + c , 2 2
a>0 a>0
Upravením kvadratického trojčlenu na tvar y 2 ± a2 , resp. a2 − y 2 , kde y je lineární funkce proměnné x, a použitím příkladu 252 najděte primitivní funkce:
253.
254.
255.
256.
257.
258.
dx , a + bx2
ab = 0
x+1 dx x2 + x + 1
259.
dx 7x2 + 5
260.
dx 2 2x − 5x + 7
261.
dx 5 − 12x − 9x2
262.
x2
x3 dx x4 − x2 + 2
x5 dx x6 − x3 − 2
dx 2 15x − 34x + 15
263.
x dx 4 x − 2x2 − 1
264.
dx 3 sin x − 8 sin x cos x + 5 cos2 x 2
265. Dokažte, že je-li
x dx − 2x cos α + 1
y = ax2 + bx + c,
sin x cos x dx sin4 x + cos4 x a = 0,
pak platí
266.
267.
268.
dx √ , a + bx2
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
y 1 √ √ ln + ay + c1 a 2
pro a > 0
⎪ ⎩
1 −y √ arcsin √ 2 + c2 −a b − 4ac
pro a < 0
dx √ =⎪ y ⎪ ⎪
b = 0
269.
√
dx x + x2
270.
√
dx 2 + 3x − 2x2
271.
26
√
x2
dx − 2x + 5
√
dx 17 − 4x − x2
√
x dx 1 − 3x2 − 2x4
272.
√
273.
274.
275.
(sinh x) cosh x
sinh4 x + cosh4 x
√
x dx 5 + x − x2
√
x+1 dx 2 x +x+1
I.3.1.
276.
dx
277.
279.
√
x3 dx x4 − 2x2 − 1
√
x + x3 dx 1 + x2 − x4
√
√
278.
280.
I.3.
cos x dx 1 + sin x + cos2 x
2 + x − x2 dx 2 + x + x2 dx
√ x x4 + 2x2 − 1 dx
Raciona´lnı´ funkce Rozklad na parciální zlomky
Definice. Racionální funkcí se nazývá funkce f (x) tvaru f (x) =
P (x) , Q(x)
(8)
kde P (x) a Q(x) jsou polynomy s reálnými koeficienty. Věta. Nechť n ∈ N ∪ {0} a Q(x) je polynom s reálnými koeficienty stupně n, tj. Q(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , kde ai ∈ R, i = 0, . . . , n, an = 0. Pak platí Q(x) = an (x − α1 )k1 (x − α2 )k2 . . . (x − αi )ki (x2 + p1 x + q1 )l1 · · (x2 + p2 x + q2 )l2 . . . (x2 + pj x + qj )lj ,
(9)
kde α1 , α2 , . . . , αi jsou reálné různé kořeny polynomu Q a k1 , k2 , . . . , ki jejich násobnosti a kvadratické členy (x2 +p1 x+q1 ), (x2 +p2 x+q2 ), . . . , (x2 +pj x+qj ) jsou reálné, navzájem různé a mají komplexně sdružené kořeny (komplexní kořeny polynomu Q), jejichž násobnosti jsou l1 , l2 , . . . , lj . Poznámka. Vztah (9) se nazývá rozklad polynomu Q na součin kořenových činitelů. V rozkladu (9) může být i = 0 nebo j = 0, pak rozklad neobsahuje lineární nebo kvadratické členy. Platí ovšem k1 + k2 + · · · + ki + 2l1 + 2l2 + · · · + 2lj = n .
27
Věta (o rozkladu racionální funkce na parciální zlomky). Nechť P (x) je reálný polynom stupně m a Q(x) je reálný polynom stupně n a (9) je rozklad polynomu Q(x) na součin kořenových činitelů. Pak existuje polynom R(x) stupně m − n (je-li m < n je R(x) ≡ 0) a n reálných čísel A11 , A12 , . . . , A1k1 , A21 , A22 , . . . , A2k2 , ..., Ai1 , Ai2 , . . . , Aiki , B11 , C11 , B12 , C12 , . . . , B1l1 , C1l1 , B21 , C21 , B22 , C22 , . . . , B2l2 , C2l2 , ..., Bj1 , Cj1, Bj2 , Cj2, . . . , Bjlj , Cjlj
(10)
tak, že pro každé x ∈ R, pro které Q(x) = 0, platí P (x) = R(x) + Q(x) + +
B11 x + C11 B12 x + C12 B1l1 x + C1l1 + + · · · + + x2 + p1 x + q1 (x2 + p1 x + q1 )2 (x2 + p1 x + q1 )l1 B22 x + C22 B2l2 x + C2l2 B21 x + C21 + + · · · + + x2 + p2 x + q2 (x2 + p2 x + q2 )2 (x2 + p2 x + q2 )l2 ...
+
Bjl x + Cjlj Bj1 x + Cj1 Bj2 x + Cj2 + 2 +···+ 2 j . 2 2 x + pj x + qj (x + pj x + qj ) (x + pj x + qj )lj
(11)
Poznámka. Hledání primitivní funkce k racionální funkci (8) se tedy skládá ze dvou částí. Nejprve nalezneme rozklad (11) a pak nalezneme primitivní funkce k parciálním zlomkům. Nalézt rozklad (11) znamená nalézt n konstant (10).
28
Je-li m ≥ n, vydělíme polynomy P (x) : Q(x) a dostaneme P1 (x) P (x) = R(x) + , Q(x) Q(x) 1 (x) kde stupeň P1 (x) je menší než stupeň Q(x). Zbytek, tj. racionální funkci PQ(x) , pak rozkládáme na parciální zlomky. Je-li m < n, je R(x) ≡ 0 a racionální funkci
P1 (x) P (x) = Q(x) Q(x) rozkládáme přímo na parciální zlomky. Důležité! Rozkládat na parciální zlomky můžeme jen racionální funkci stupeň P1 (x) je menší než stupeň Q(x).
P1 (x) , Q(x)
kde
1 (x) , kde stupeň P1 (x) < n, je součtem parciálních Nechť tedy racionální funkce PQ(x) zlomků z rovnosti (11), tj. zkráceně
Bjl x + Cjlj P1 (x) A11 +···+ 2 j , = Q(x) x − α1 (x + pj x + qj )lj
(12)
potom při hledání konstant (10) postupujeme následujícím způsobem: Sečteme zlomky na pravé straně rovnosti (12) a porovnáme polynomy v čitateli racionálních funkcí na obou stranách rovnosti (12). Dostaneme tak rovnost dvou polynomů, kterou můžeme k nalezení konstant (10) využít dvěma způsoby: *) 1) Dva polynomy se sobě rovnají, mají-li u stejných mocnin proměnné x stejné koeficienty. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin proměnné x dostaneme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých konstantách. 2) Dva polynomy (funkce) se sobě rovnají, rovnají-li se funkční hodnoty v každém bodě. Dosazováním různých vhodně zvolených čísel, nejlépe kořenů polynomu Q, dostaneme také soustavu n lineárních rovnic o n neznámých konstantách, která má v případě dosazování kořenů polynomu Q jednodušší tvar. Tato metoda je výhodná zejména v případě, kdy má polynom Q jednoduché kořeny. Obě metody lze vzájemně kombinovat, např. postupným dosazením i reálných různých kořenů získáme přímo i konstant a dalších n − i konstant získáme ze soustavy n − i rovnic, které dostaneme buď porovnáním koeficientů u vybraných n − i mocnin proměnné x (např. nejvyšších nebo nejnižšších) nebo dosazením dalších n−i různých čísel. *) Poznámka. Má-li polynom Q pouze násobné reálné kořeny, můžeme k nalezení konstant (10) použít metodu derivování. Postupným dosazováním všech různých j-násobných kořenů (j = = 1, 2, . . . , k, kde k ∈ N je největší násobnost) do (j − 1). derivace rovnosti dvou polynomů v čitateli rovnosti (12) získáme všechny konstanty (10), viz [4].
29
I.3.2.
Integrace parciálních zlomků
• 1. druhu
⎧ A ln |x − α| + c1 ⎪ ⎨
A dx = ⎪ (x − α)k ⎩
• 2. druhu
pro k = 1
A + c2 (1 − k)(x − α)k−1
(x2
pro k > 1
Bx + C dx + px + q)k
Nechť B = 0, pak upravíme
Bx + C B dx = 2 k (x + px + q) 2 =
B 2
2x + 2C −p B 2x + p + 2C B B dx = dx = 2 k 2 (x + px + q) 2 (x + px + q)k
2x + p Bp dx + C − 2 k (x + px + q) 2
(x2
dx . + px + q)k
První integrál najdeme podle 1. věty o substituci, kde t = ϕ(x) = x2 + px + q.
⎧ 2 ⎪ ⎨ ln(x
+ px + q) + c1 1 + c2 2 (1 − k)(x + px + q)k−1
2x + p dx = ⎪ (x2 + px + q)k ⎩
pro k = 1 pro k > 1
Druhý integrál je vlastně také parciální zlomek 2. druhu pro případ B = 0. Upravíme kvadratický trojčlen
2x + p x + px + q = 2 2
2
p2 + q− 4
2
=a
2x + p 2a
2
+1 ,
2
kde označíme a2 = q − p4 , což lze vzkledem k tomu, že x2 + px + q nemá reálné kořeny. Dále substitucí t = ϕ(x) = 2x+p dostváme 2a
dx = 2 (x + px + q)k
Pro k = 1 je
dt t2 +1
a2k
dx 2x+p 2a
2
k
+1
=
1
a2k−1
(t2
dt . + 1)k
= arctg t, pro k > 0 označme
Ik =
dt (t2 + 1)k
a metodou per partes odvodíme rekurentní vzorec (viz př. 83b) Ik =
dostaneme rekurentní vzorec ve tvaru (viz př. 83b) Ik = pro k > 1, a
x+
p 2
2a2 (k − 1) (x + p2 )2 + a2
k−1
+
2k − 3 Ik−1 2a2 (k − 1)
x+ dx 1 = arctg p 2 2 (x + 2 ) + a a a
p 2
(14)
.
Poznámka. Z popsané metody integrace parciálních zlomků vyplývá, že primitivní funkcí ke každé racionální funkci je elementární funkce. Poznámka. Uvedená metoda integrace racionální funkce je obecná. S její pomocí lze nalézt primitivní funkci ke každé racionální funkci za podmínky, že jsou známy nebo mohou být vypočítány všechny kořeny polynomu ve jmenovateli. V některých případech vidíme, že není nezbytně nutné použít tuto obecnou metodu, ale použití jiného způsobu (algebraické úpravy integrované funkce na jiný tvar, substituční metoda, metoda per partes) vede rychleji k cíli. (viz př. 349–366).
I.3.3.
Ostrogradského metoda
(x) V případě násobných kořenů polynomu Q(x) je rozklad racionální funkce PQ(x) na parciální zlomky spojen s náročným výpočtem konstant (10) a dále pak integrace parciálních zlomků zvláště v případě násobných komplexních kořenů vede na opakované používání rekurentního vzorce (13) resp. (14), tedy ke zdlouhavým výpočtům. Tyto problémy řeší algebraická metoda výpočtu racionální části primitivní funkce k racionální funkci, která se nazývá Ostrogradského metoda. Jak víme z integrace parciálních zlomků, má-li polynom Q(x) násobné kořeny, reálné nebo komplexní, je primitivní funkce vždy součtem racionální funkce a funkcí ln a arctg (případně jen jedné z nich).
31
Věta. Nechť P (x) a Q(x) jsou reálné polynomy, stupeň P < stupeň Q, a polynom Q(x) má násobné kořeny. Pak existují dva polynomy P1 (x) a P2 (x) tak, že platí
P (x) P1 (x) dx = + Q(x) Q1 (x)
P2 (x) dx , Q2 (x)
(15)
kde Q1 (x) · Q2 (x) = Q(x) a polynom Q2 (x) má jen jednoduché kořeny, stupeň P1 ≤ ≤ stupeň Q1 − 1, stupeň P2 ≤ stupeň Q2 − 1. P1 (x) se Q1 (x) P (x) dx. Q(x)
Poznámka. Vztah (15) se nazývá Ostrogradského vzorec, část a
P2 (x)
Q2 (x)
dx transcendentní část primitivní funkce
nazývá racionální
Poznámka. Metoda spočívá v nalezení polynomů P1 (x) a P2 (x) a integraci transcen P2 (x) dentní části Q dx metodou rozkladu na parciální zlomky. Polynomy P1 (x) a 2 (x) P2 (x) vyjádříme obecně s neurčitými koeficienty. Derivováním rovnosti (15) dostaneme P (x)Q1 (x) − P1 (x)Q1 (x) P2 (x) P (x) = 1 + Q(x) Q21 (x) Q2 (x) a po úpravě Q (x)
Porovnání polynomů v čitateli zlomků na obou stranách rovnosti (16) vede k rovnosti dvou polynomů a např. porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x, je-li stupeň Q = n, dostaneme soustavu n lineárních rovnic pro n neznámých koeficientů polynomů P1 (x) a P2 (x). Tato soustava rovnic je většinou jednodušší než soustava (x) rovnic pro koeficienty při rozkladu funkce PQ(x) na parciální zlomky. Dále je výhodné, že racionální část
I.3.4.
P1 (x) Q1 (x)
získáme pouze algebraickou cestou bez použití integrace.
Řešené příklady
x dx (x + 1)(x + 2)(x − 3) Rozkladem na parciální zlomky
281. Najděte primitivní funkci
A B C x = + + (x + 1)(x + 2)(x − 3) x+1 x+2 x−3 odkud x = A(x + 2)(x − 3) + B(x + 1)(x − 3) + C(x + 1)(x + 2) . 32
2x3 + x2 + 5x + 1 dx (x2 + 3)(x2 − x + 1) Rozkladem na parciální zlomky
283. Najděte primitivní funkci
2x3 + x2 + 5x + 1 Ax + B Cx + D = + (x2 + 3)(x2 − x + 1) x2 + 3 x2 − x + 1 odkud 2x3 + x2 + 5x + 1 = (Ax + B)(x2 − x + 1) + (Cx + D)(x2 + 3) a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x3 : 2 = A + C x2 : 1 = −A + B + D x1 : 5 = A − B + 3C x0 : 1 = B + 3D dostaneme A = 0, B = 1, C = 2, D = 0. Upravíme
Rozkladem na parciální zlomky dostaneme B Ex + F 4x2 − 8x A Cx + D + + 2 = + 2 . 2 2 2 2 (x − 1) (x + 1) x − 1 (x − 1) x +1 (x + 1)2 Máme 4x2 − 8x = A(x − 1)(x2 + 1)2 + B(x2 + 1)2 + + (Cx + D)(x − 1)2 (x2 + 1) + (Ex + F )(x − 1)2 , odkud dosazením x=1: x=i:
−4 = 4B −4 − 8i = (Ei + F )(i − 1)2 = 2E − 2iF
35
a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x5 : 0 = A + C x4 : 0 = −A + B − 2C + D x0 : 0 = −A + B + D + F dostaneme A = 2, B = −1, C = −2, D = −1, E = −2, F = 4. Je tedy
racionální funkce? Použitím vhodných postupů (algebraických úprav, substituce, rozkladu na parciální zlomky apod.) najděte primitivní funkce:
349.
350.
351.
352.
353.
354.
360.
x dx x8 − 1
361.
x3 dx x8 + 3
362.
x2 + x dx x6 + 1
x dx + 3x4 + 2
356.
x dx + 2x5 + 2)2
x2n−1 dx xn + 1
367.
x3n − 1 dx (x2n + 1)2
368.
dx 10 x(x + 2)
369.
358.
x4 − 1 dx x(x4 − 5)(x5 − 5x + 1)
x2 − 1 dx x4 + x3 + x2 + x + 1
x5 − x dx x8 + 1
x2 + 1 dx x4 + x2 + 1
x2 + 1 dx x6 + 1
x4 + 1 dx x6 + 1
366.
357.
359.
9
(x10
1 − x7 dx x(1 + x7 )
365.
11
x8
364.
x4 dx (x10 − 10)2
dx + 1)2
x(x10
363.
x4 − 3 dx x(x8 + 3x4 + 2)
355.
x3 dx (x − 1)100
dx dx + x2 )
x6 (1
41
x8
dx dx + x4 + 1
I.4.
Iraciona´lnı´ funkce
Při hledání primitivních funkcí některých funkcí (transcendentních) lze integrované funkce vhodnou substitucí (nebo více substitucemi) převést na integraci racionálních funkcí. V této části uvedeme nejvíce používané substituce pro některé významné třídy iracionálních funkcí. Úmluva. Označme R(x1 , . . . , xn ) racionální funkci n proměnných, tj. podíl dvou polynomů s reálnými koeficienty n proměnných, kde za proměnné dosazujeme funkce, např. √ √ √ x2 + x 3 . √ = R x, x, 1 + x 1 + 1 + x3
I.4.1.
R x,
ax + b s1 cx + d
,...,
ax + b sn cx + d
dx
Předpoklady: n ∈ N, s1 , . . . , sn ∈ Q, a, b, c ∈ R, ad − bc = 0. I.4.1.1.
Substituce
Položíme
ax + b , cx + d kde s je společný jmenovatel zlomků s1 , . . . , sn (jsou z Q), vypočítáme x, volíme substituci b − dts x = ϕ(t) = s ct − a a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce. ts =
I.4.1.2.
Řešené příklady
370. Najděte primitivní funkci
x−a dx , x+a
a>0
Primitivní funkci hledáme na intervalech (−∞, −a) a (a, +∞), položíme
t=
x−a x+a 2
vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = −a tt2 +1 , pak −1 dx =
kde R(x, y) je racionální funkce proměnných x a y = ∈ Z. p, q ∈ Z, a, b ∈ R, je elementární funkce, jestliže p+q n 45
n
(x − a)p (x − b)q ,
I.4.2.
R x,
ax2
+ bx + c
dx
Předpoklady: a, b, c ∈ R, a = 0, b2 − 4ac = 0. I.4.2.1.
Eulerovy substituce
1. Eulerova substituce: Je-li a > 0, položíme √ √ ax2 + bx + c = ± ax + t , vypočítáme x a volíme substituci x = ϕ(t) =
t2 − c √ b ∓ 2 at
a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. 2. Eulerova substituce: Je-li c > 0, položíme √ √ ax2 + bx + c = xt ± c , a za předpokladu x = 0 vypočítáme x a volíme substituci √ ±2 ct − b x = ϕ(t) = a − t2 a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. Jestliže bod 0 patří do definičniho oboru integrované funkce, pak pro x > 0 a pro x < 0 volíme integrační konstanty a dodefinujeme integrací získanou funkci v bodě 0 tak, aby primitivní funkce byla spojitá na celém definičním oboru integrované funkce. 3. Eulerova substituce: Má-li polynom ax2 + bx + c reálné kořeny (různé), pak ax2 + bx + c = a(x − α1 )(x − α2 ) a √
x − α1 x − α2 ax2 + bx + c = |x − α2 | a = |x − α1 | a , x − α2 x − α1
čímž se dostaneme k případu funkce, který je řešen v sekci I.4.1 (str. 42). √ √ Poznámka. Znaménko u a v 1. Eulerově substituci √ a u c ve 2. Eulerově substituci volíme většinou s přihlédnutím k tvaru funkce R(x, ax2 + bx + c), ale v podstatě lze volit libovolně. Poznámka. Z uvedených substitucí je zřejmé, že bychom vystačili s 1. a 3. Eulerovou substitucí, protože pro a < 0 musí mít polynom ax2 + bx + c reálné kořeny, aby 46
integrovaná funkce neměla definiční obor roven prázdné množině. Nejsou-li kořeny polynomu ax2 + bx+ c celočíselné, vede často 3. Eulerova substituce ke složitým algebraickým úpravám integrované funkce proměnné t, a proto, pokud to jde, používáme v těchto případech 2. Eulerovu substituci. Jestliže polynom ax2 + bx + c splňuje podmínky dvou nebo všech tří Eulerových substitucí, lze použít kteroukoliv z těchto substitucí (s přihlédnutím k předešlé poznámce).
I.4.2.2.
R1 (x) dx √ ax2 + bx + c
√ Eulerovými substitucemi lze převést integraci každé funkce R(x, ax2 + bx + c) P (t) proměnné t. V některých případech ale může být na integraci racionální funkce Q(t) polynom Q(t) dosti vysokého stupně nebo nelze algebraickými metodami nalézt jeho kořeny, takže nedokážeme polynom Q(t) rozložit na součin kořenových činitelů, a tedy nenalezneme rozklad (11). V takových případech lze použít při integraci jiné metody nebo substituce. Každou racionální funkci √ R(x, ax2 + bx + c) lze algebraickými úpravami vyjádřit ve tvaru součtu √
R1 (x) + R2 (x) , ax2 + bx + c
kde R1 (x) a R2 (x) jsou racionální funkce. Jestliže nyní nalezneme rozklad (11) racionální funkce R1 (x) na součet polynomu Pk (x) a parciálních zlomků, dostaneme se k integrálům následujících tří typů:
√
I.
III.
III.
(x −
α)k
dx √ ax2 + bx + c
Ax + B √ dx , (x2 + px + q)k ax2 + bx + c
I.4.2.3.
Pk (x) dx ax2 + bx + c
p2 − 4q < 0.
Pk (x) √ dx ax2 + bx + c
Primitivní funkci tohoto typu nalezneme tzv. metodou Ostrogradského; podobně jako při integraci racionálních funkcí nalezneme část výsledku algebraickými operacemi. 47
Věta. Nechť Pk (x) je reálný polynom stupně k. Pak existuje polynom Q(x), stupeň Q(x) ≤ k − 1, a konstanta λ tak, že platí
√
√ Pk (x) dx = Q(x) ax2 + bx + c + λ ax2 + bx + c
√
ax2
dx . + bx + c
(17)
Poznámka. Metoda spočívá v nalezení polynomu Q(x) a konstanty λ a dále v na1 lezení primitivní funkce k funkci √ax2 +bx+c . Polynom Q(x) vyjádříme obecně s neurčitými koeficienty a derivováním rovnosti (17) dostáváme √ λ 2ax + b Pk (x) 2 + bx + c + Q(x) √ √ = Q + , (x) ax ax2 + bx + c 2 ax2 + bx + c ax2 + bx + c √ odkud po vynásobení výrazem ax2 + bx + c dostaneme rovnost dvou polynomů √
Pk (x) = Q (x)(ax2 + bx + c) +
1 Q(x)(2ax + b) + λ . 2
(18)
Porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x na obou stranách rovnosti (18) dostaneme soustavu k + 1 lineárních rovnic pro k neznámých koeficientů polynomu Q(x) a konstantu λ. Primitivní funkci
√
ax2
dx + bx + c
nalezneme úpravou kvadratického trojčlenu ax2 + bx + c podle vzorců X. a XI. uvedených v sekci I.1.3 Vzorce (str. 9).
I.4.2.4.
dx √ (x − α)k ax2 + bx + c
Primitivní funkci tohoto typu převedeme substitucí na typ I. Položíme t=
1 , x−α
vypočítáme x a volíme substituci x = ϕ(t) = přejdeme k integrálu
− sgn t
1 t
+ α a podle 2. věty o substituci
tk−1 dt
(aα2 + bα + c)t2 + (2aα + b)t + a
který je řešen v sekci I.4.2.3 (str. 47).
48
,
I.4.2.5.
(Ax + B) dx √ , (x2 + px + q)k ax2 + bx + c
p2 − 4q < 0, k ∈ N
1. Je-li x2 + px + q = ax2 + bx + c, pak upravíme
(Ax + B) dx (x2 + px + q)
A = 2
2k+1 2
(2x + p) dx (x2 + px + q)
2k+1 2
Ap + B− 2
dx (x2 + px + q)
2k+1 2
První integrál nalezneme podle 1. věty o substituci. Substitucí t = ϕ(x) = x2 + px + q, druhý integrál nejprve upravíme
dx (x2 + px + q)
kde t = x +
p 2
a γ2 = q −
p2 . 4
2k+1 2
dt
=
(t2 + γ 2 )
2k+1 2
,
Dále položíme u= √
t2
t , + γ2
vypočítáme t a volíme substituci (Abelovu) t = ϕ(u) = √
γu 1 − u2
a konečně podle 2. věty o substituci dostáváme
dt (t2
+
γ2)
2k+1 2
=
1 γ 2k
(1 − u2)k−1 du .
2. Je-li x2 + px + q = ax2 + bx + c, pak hledáme substituci x = ϕ(t) takovou, aby v obou kvadratických trojčlenech vymizely lineární členy. V případě p = ab jde o substituci x=t− V případě p =
b a
p . 2
položíme
αt + β , t+1 kde α, β ∈ R. Dosadíme za x do obou kvadratických trojčlenů a zjistíme, že čísla α, β jsou řešením soustavy rovnic x=
bq − pc aq − c , αβ = , ap − b ap − b což znamená, že α, β jsou kořeny kvadratické rovnice α + β = −2
(ap − b)z 2 + 2(aq − c)z + (bq − pc) = 0 . Substituce x = t − p2 , resp. x =
αt+β , t+1
(t2
převádí hledaný integrál na integrál tvaru
P (t) dt √ , + λ)k st2 + r
kde P (t) je polynom stupně 2k − 1 a λ > 0. Pro k > 1 rozložíme racionální funkci P (t) + λ)k
(t2
na parciální zlomky a dostaneme součet integrálů typu
t dt √ , 2 (t + λ)l st2 + r
(t2
dt √ , + λ)l st2 + r
l = 1, 2, . . . , k.
První integrál nalezneme podle 1. věty o substituci substitucí u = ϕ(t) = a druhý integrál podle 2. věty o substituci Abelovou substitucí: položíme v=√
√ st2 + r
st , st2 + r
vypočítáme t a volíme substituci (Abelovu)
t = ϕ(v) =
v r √ , s s − v2
které převádí hledaný integrál na integrál tvaru
s
I.4.2.6.
l
(s − v 2 )l−1 dv . ((r − sλ)v 2 + λs2 )l
Goniometrické a hyperbolické substituce
Primitivní funkci
R(x,
√
ax2 + bx + c) dx
lze vždy algebraickými úpravami kvadratického trojčlenu a odpovídající lineární substitucí upravit na jeden z následujících typů √ √ √ R(t, α2 − t2 ) dt , R(t, t2 − α2 ) dt , R(t, α2 + t2 ) dt .
50
Substitucemi v případech √ α2 − t2 : t = α sin u, t = α cos u, t = α tgh u, √ α t2 − α2 : t = , t = ± α cosh u, t = α cotgh u, cos u √ t2 + α2 : t = α sinh u, t = α tg u, t = α cotg u, podle 2. věty o substituci přejdeme k primitivní funkci
R1 (sin u, cos u) du ,
resp.
R2 (sinh u, cosh u) du ,
kterou nalezneme buď použitím vzorců nebo dalšími substitucemi (viz I.5, I.6). I.4.2.7.
Řešené příklady
dx x + x2 + x + 1 Primitivní funkci hledáme na intervalech (−∞, −1) a (−1, +∞). Použijeme 1. Eulerovu substituci. Položíme √ x2 + x + 1 = −x + t ,
substitucí −t = y převedeme na tvar, který je řešen v části a), kde √ x+2 x2 + 3x + 2 y=− , resp. y = , x+1 x+1 tzn., že pro x > −1 i pro x < −2 dostáváme stejný výsledek.
397. Vypočtěte
12x3 + 16x2 + 9x + 2 √ dx 4x2 + 4x + 2
Použijeme Ostrogradského metodu (17); protože stupeň Pk (x) = 3, je stupeň Q(x) ≤ 2, tedy Q(x) = ax2 + bx + c, pak
Primitivní funkci hledáme na intervalech −∞, −1−2 5 a −1+2 5 , +∞ ; protože koeficienty u x jsou v obou kvadratických trojčlenech stejné, volíme substituci 1 x = ϕ(t) = t − , 2 pak dx = dt. 57
√
1) I2 = −∞, − 12 −
√
, I1 = −∞, −
5 , 2 √ − 12 + 25 , +∞ ,
na −∞, − 2) I2 =
5 2
I1 =
5 2
5 , +∞ 2
, ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0
, ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na
dx √ = (x2 + x + 1) x2 + x − 1 dt
=
√
√
(t − 12 )2 + (t − 12 ) + 1
(t − 12 )2 + (t − 12 ) − 1
=
√
5 , +∞ 2
dt
t2 +
3 4
t2 −
5 4
a dále použijeme Abelovu substituci. Položíme t v= t2 −
x dx √ (2x2 + 1) 3x2 + 5 √ 2 x +1 dx 416. x2 + 2 √ 2 x +2 dx 417. x2 + 1
415.
430.
dx √ x x2 + x + 1
431.
x2
432. 64
√
dx +x−1
x2
x2 + 1 √ dx x x4 + 1
433.
434.
435.
436.
437.
438.
x dx √ (1 + x) 1 − x − x2
451.
dx √ (x + 1) x2 + 1
452.
441. 442.
(x +
1)5
(x −
1)2
443.
444.
445.
446.
447.
448.
(x2
dx √ x2 + 3x + 1
dx √
3
455.
457.
(x −
(x + 1) dx (x2 + x + 1) 2
454.
dx √ x4 x2 − 1 1)3
7
456.
dx (x2 + 1) 2
453.
dx √ x2 + 1
x3
5
(x2 + x + 1) 2
dx √ x2 + 2x − 5
458.
x2 + 2x
(x + 3) dx √ (x2 + 1) x2 + x + 1 dx √ (x2 − x + 1) x2 + x + 1 dx √ (x2 + x + 1) x2 + x − 1 x dx √ (3x2 + 2x + 3) 2x2 − x + 2 x2 dx √ (4 − 2x + x2 ) 2 + 2x − x2
√
460.
a2 − x2 dx ,
x dx √ 2 (x − 1) x2 − x − 1
461.
x3 dx √ (1 + x) 1 + 2x − x2
462.
x dx √ 2 (x − 3x + 2) x2 − 4x + 3
463.
dx √ 2 (x + x − 2) x2 + 2x + 3
464.
dx (x2
√ √
3
+ a2 ) 2
,
x2 dx , a2 + x2
a2 + x2 dx ,
65
(2x + 3) dx √ + 2x + 3) x2 + 2x + 4
459.
x dx √ 1 + 2x − x2
3
+ 4x + 7) 2 dx
dx √ (1 − x)2 1 − x2
dx √ − x) x2 + x + 4 dx
(x2
dx √ (x − 1) x2 − 2
2)2
(x3
450.
(x +
440.
449.
dx √ (x + 1) x2 + x + 1
439.
1 − x + x2 √ dx x 1 + x − x2
a+x dx , a−x
a = 0 a = 0 a = 0 a = 0 a>0
465.
x−a dx , x+a
466.
471.
a>0
dx
(x − a)(b − x)
,
472.
a, b > 0
Návod: x − a = (b − a) sin2 t
473.
(x − a)(b − x) dx , a, b > 0
467.
468.
dx
,
a, b > 0
(x + a)(x + b)
469.
470.
√
I.4.3.
dx √ 2 x + 1 − x2 − 1
√
x(x + 1) √ dx x+ x+1
x2 + 1 √ dx (x2 − 1) x4 + 1
476.
(x + a)(x + b) dx , a, b > 0
dx √ 1−x+ 1+x
2+
√
x2 − 1 √ dx (x2 + 1) x4 + 1
475.
Návod: x + a = (b − a) sinh2 t
√
474.
x dx √ (1 − x3 ) 1 − x2
477.
dx √ x x4 + 2x2 − 1 x2 + 1 √ dx x x4 + x2 + 1
xm (a + bxn )p dx
Předpoklady: a, b ∈ R, m, n, p ∈ Q. Poznámka. Jsou-li a = 0, b = 0, n = 0, p = 0, nazývá se primitivní funkce tohoto tvaru binomický integrál. Primitivní funkce tohoto typu patří do množiny elementárních funkcí pouze ve třech případech: • p je celé číslo, m+1 je celé číslo, n m+1 + p je celé číslo, • n
•
I.4.3.1.
Substituce
p je celé číslo. Jde o případ funkce, který je řešen v sekci I.4.1. Volíme substituci x = ϕ(t) = ts , kde s ∈ N je společný jmenovatel zlomků m a n, a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce. 66
m+1 n
je celé číslo. Položíme a + bxn = ts , kde s ∈ N je jmenovatel zlomku p, vypočítáme x a volíme substituci
x = ϕ(t) =
n
ts − a b
a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce. m+1 n
+ p je celé číslo. Za předpokladu x = 0 položíme ax−n + b = ts , kde s ∈ N je jmenovatel zlomku p, vypočítáme x a volíme substituci
x = ϕ(t) =
n
a ts − b
a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce. Patří-li bod 0 do definičního oboru integrované funkce, pak pro x > 0 a pro x < 0 volíme integrační konstanty a dodefinujeme integrací získanou funkci v bodě 0 tak, aby primitivní funkce byla spojitá na celém definičním oboru integrované funkce.
I.4.3.2.
Řešené příklady
√ x √ 478. Vypočtěte dx (1 + 3 x)2 Primitivní funkci hledáme na intervalu (0, +∞). Protože p je celé číslo, volíme x = ϕ(t) = t6 , pak dx = 6t5 dt.
I2 = (0, +∞), I1 = (0, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (0, +∞). Je tedy
3t 6 − 21 arctg t + c , = t5 − 4t3 + 18t + 2 5 t +1 x. 67
479. Vypočtěte
√
x5 dx 1 − x2
= Primitivní funkci hledáme na intervalu (−1, 1). Protože m = 5, n = 2, m+1 n √ 2 2 2 = 3 je celé číslo, √ položíme t = 1 − x , vypočítáme |x|√= 1 − t a pro x > 0 volíme ϕ(t) = 1 − t2 a pro x < 0 volíme ϕ(t) = − 1 − t2 . Funkce ϕ(t) je definována na intervalu −1, 1, ale protože není prostá, ϕ (0) = 0, vybereme si jeden z intervalů (−1, 0) nebo (0, 1), na kterém je ϕ (t) = 0 a existuje tedy ϕ−1 (x) a tím jsou splněny předpoklady 2. věty o substituci. √ t a) x > 0: Volíme substituci x = ϕ(t) = 1 − t2 , pak dx = − √1−t 2 dt. I2 = (0, 1), I1 = (0, 1), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na (0, 1),
√
5
x dx √ =− 1 − x2 √ kde t = 1 − x2 .
1 − t2 t
5
√
t dt 2 1 2 2 = − 1 − t dt = −t + t3 − t5 + c, 2 3 5 1−t
√ b) x < 0: Volíme substituci x = ϕ(t) = − 1 − t2 , pak dx =
√ t 1−t2
dt.
I2 = (−1, 0), I1 = (0, 1), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (0, 1), 5 √ − 1 − t2 t dt x5 dx 2 3 1 5 2 2 √ √ t − t + c, = = − 1 − t dt = −t+ t 3 5 1 − x2 1 − t2 √ kde t = 1 − x2 . √ Závěr: Protože limx→0 1 − x2 = 1, dostáváme pro x ∈ (−1, 1)
dx 1 + x3 Primitivní funkci hledáme na intervalech (−∞, −1) a (−1, +∞). Protože m = = 0, n = 3, p = − 13 , m+1 + p = 0 je celé číslo, položíme t3 = 1 + x−3 , x = 0, n vypočítáme x a volíme 1 , x = ϕ(t) = √ 3 3 t −1 pak t2 dx = − 4 dt . (t3 − 1) 3
Rozkladem na parciální zlomky A Bt + C t = + t3 − 1 t − 1 t2 + t + 1 t = A(t2 + t + 1) + (Bt + C)(t − 1) a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné t t2 :
I. Univerzální substituce. Za předpokladu x ∈ (−π, π) položíme tg
x = t, 2
vypočítáme x a volíme substituci x = ϕ(t) = 2 arctg t a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. Vyjádříme funkce sin x a cos x pomocí funkce tg x2 sin x =
2 sin x2 cos x2 2 tg x2 2t = 2 , = 2 x x 2 x 2 tg 2 + 1 t +1 sin 2 + cos 2
Poznámka. Pro x ∈ (−π + 2kπ, π + 2kπ), k ∈ Z, plyne z rovnice tg x2 = t x = ϕk (t) = 2 arctg t + 2kπ . Protože pro každé k ∈ Z platí ϕk (t) =
t2
2 , +1
ϕ−1 k ((−π + 2kπ, π + 2kπ)) = (−∞, +∞) ,
a i vyjádření funkcí sin x a cos x pomocí funkce tg x2 je stejné na každém intervalu (−π+2kπ, π+2kπ), dostaneme pro x ∈ (−π+2kπ, π+2kπ) substitucí x = 2 arctg t+ + 2kπ stejnou racionální funkci proměnné t pro každé k ∈ Z. Formálně tedy stačí nalézt primitivní funkci na intervalu (−π, π) substitucí x = ϕ(t) = 2 arctg t, a pak na intervalech (−π + 2kπ, π + 2kπ) zvolit integrační konstanty a dodefinovat integrací získanou funkci v bodech π + 2kπ tak, aby primitivní funkce byla spojitá na celém definičním oboru integrované funkce. Univerzální substituci je možné použít při integraci funkce R(sin x, cos x) v každém případě, někdy se ale dostaneme k racionální funkci proměnné t, která obsahuje polynomy dosti vysokých stupňů a obtížně se hledá rozklad polynomu ve jmenovateli na kořenové činitele (pokud ho lze vůbec najít). Proto při speciálním tvaru funkce R(sin x, cos x) používáme následující substituce: II. 1) R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x).
Za předpokladu x ∈ − π2 , π2 položíme tg x = t , vypočítáme x a volíme substituci x = ϕ(t) = arctg t a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. Vyjádříme funkce sin x a cos x pomocí funkce tg x sin x =
cos x =
sin x cos x 1 cos x
1 1 cos x
=
=
sin x cos x sin2 x+cos2 x cos2 x
1 sin2
x+cos2 cos2 x
x
t tg x =√2 , = t +1 tg2 x + 1 1 1 . = =√2 t +1 tg2 x + 1
Poznámka. U substituce tg x = t nastává analogická situace jako u univerzální substituce tg x2 = t. Pro x ∈ (− π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z, plyne z rovnice tg x = t x = ϕk (t) = arctg t + kπ 72
a pro každé k ∈ Z platí ϕk (t)
1 = 2 , t +1
ϕ−1 k
π π − + kπ, + kπ = (−∞, +∞) . 2 2
Vyjádření sin x a cos x pomocí funkce tg x se sice na intervalech (− π2 + kπ, π2 + kπ) √ liší znaménkem sgn cos x, protože cos x = (sgn cos x) cos2 x, ale vzhledem ke tvaru funkce R(sin x, cos x) se znaménka minus buď zkrátí nebo vynásobí na znaménko plus, takže není nutné znaménko sgn cos x uvažovat. Pro x ∈ (− π2 + kπ, π2 + kπ) dostaneme substitucí x = arctg t+kπ stejnou racionální funkci proměnné t pro každé k ∈ Z. Formálně tedy stačí nalézt primitivní funkci na intervalu (− π2 , π2 ) substitucí x = ϕ(t) = arctg t, a pak na intervalech (− π2 +kπ, π2 +kπ) zvolit integrační konstanty a dodefinovat integrací získanou funkci v bodech π2 + kπ tak, aby primitivní funkce byla spojitá na celém definičním oboru integrované funkce. Poznámka. Použijeme-li při integraci funkce R(sin x, cos x), která splňuje podmínku R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) univerzální substituci tg x2 = t, dostaneme v racionální funkci proměnné t polynomy dvojnásobně vyšších stupňů než při použití substituce tg x = t. II. 2) R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x). V tomto případě lze funkci R(sin x, cos x) upravit na tvar R1 (cos x) sin x, kde R1 je racionální funkce jedné proměnné cos x. Volíme substituci t = ϕ(x) = cos x a podle 1. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. II. 3) R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x). V tomto případě lze funkci R(sin x, cos x) upravit na tvar R2 (sin x) cos x, kde R2 je racionální funkce jedné proměnné sin x. Volíme substituci t = ϕ(x) = sin x a podle 1. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. Poznámka. V některých případech je vhodné použít i jiné substituce, například t = sin2 x nebo t = cos2 x apod., záleží to na tvaru funkce R(sin x, cos x). Poznámka. Uvedené substituce I a II lze použít i při integraci jiných funkcí proměnných sin x a cos x, např. funkcí iracionálních. V tomto případě ale musíme uvažovat znaménko při vyjádření funkcí sin x a cos x pomocí funkce tg x.
73
I.5.1.2.
Řešené příklady
499. Vypočtěte
dx (2 + cos x) sin x
Primitivní funkci hledáme na intervalech (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z. Protože je R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), volíme t = ϕ(x) = cos x; dt = − sin x dx. Funkce 1 f (t) = − (2 + t)(1 − t2 ) je definována na sjednocení intervalů (−∞, −2)∪(−2, −1)∪(−1, 1)∪(1, +∞) = = Df a ϕ ((kπ, (k + 1)π)) = (−1, 1) pro každé k ∈ Z, tedy ϕ ((kπ, (k + 1)π)) ⊂ ⊂ Df .
I=
dx =− (2 + cos x) sin x
sin x dx = − (2 + cos x)(1 − cos2 x)
dt (2 + t)(1 − t2 )
Rozkladem na parciální zlomky 1 A B C = + + 2 (2 + t)(1 − t ) 2+t 1−t 1+t 1 = A(1 − t2 ) + B(2 + t)(1 + t) + C(2 + t)(1 − t) a dosazením 1 = 6B
1 (2 + t)2 (1 − t) 1 (2 + cos x)2 (1 − cos x) = ln + c = ln +c. 6 (1 + t)3 6 (1 + cos x)3
500. Vypočtěte
sin2 x dx 1 + sin2 x
Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞). Nejprve upravíme
sin2 x dx dx dx = dx − =x− 2 2 1 + sin x 1 + sin x 1 + sin2 x
74
a primitivní funkci
dx 1 + sin2 x hledáme na (−∞, +∞). Protože R(− sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), pro x ∈ (− π2 , π2 ) položíme tg x = t, vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = arctg t, pak dx =
zvolíme na intervalech (− π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z, integrační konstanty a dodefinujeme integrací získanou funkci v bodech π2 + kπ, k ∈ Z, tak, aby primitivní funkce dx F (x) = 1 + sin2 x byla spojitá na intervalu (−∞, ∞). Tedy
F (x) =
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
√ 1 1 √ arctg 2 tg x + √ kπ + c pro x ∈ (− π2 + kπ, π2 + kπ) 2 2
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1 1 π √ + √ kπ + c 22 2
Závěr:
501. Vypočtěte
pro x =
sin2 x dx = x − F (x), 1 + sin2 x
π 2
.
+ kπ
x ∈ (−∞, +∞) .
dx 2 sin x − cos x + 5
Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞). Pro x ∈ (−π, π) položíme tg x2 = t, vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = 2 arctg t, pak dx = 75
zvolíme na intervalech (−π + 2kπ, π + 2kπ), k ∈ Z, integrační konstanty a dodefinujeme integrací získanou funkci v bodech π + 2kπ, k ∈ Z, tak, aby primitivní funkce dx F (x) = 2 sin x − cos x + 5 byla spojitá na intervalu (−∞, +∞). Tedy ⎧√ √ x ⎪ + 1 3 tg 5 5 ⎪ ⎪ ⎪ √2 + arctg kπ + c pro x ∈ (−π + 2kπ, π + 2kπ) ⎪ ⎨ 5 5 5 . F (x) = √ √ ⎪ ⎪ ⎪ π 5 5 ⎪ ⎪ ⎩ + kπ + c pro x = π + 2kπ 5 2 5
502. Vypočtěte
sin x cos x dx sin4 x + cos4 x
Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞). Volíme t = ϕ(x) = sin2 x, pak dt = 2 sin x cos x dx. I1 = (−∞, +∞), I2 = (−∞, +∞), ϕ(I1 ) = 0, 1 ⊂ I2 .
I=
sin x cos x 1 dx = 4 2 sin x + cos4 x
76
dt 1 = t2 + (1 − t)2 2
dt ; 2t2 − 2t + 1
upravíme kvadratický trojčlen 2t2 − 2t + 1 =
1 2 1 4t − 4t + 1 + 1 = (2t − 1)2 + 1 2 2
a dokončíme výpočet integrálu
I=
I.5.1.3.
1 1 dt = arctg(2t − 1) + c = arctg(2 sin2 x − 1) + c . 2 (2t − 1) + 1 2 2
Příklady
Vypočítejte:
514.
sin x + sin3 x dx cos 2x
515.
2 sin3 x + (cos2 x) sin 2x dx sin4 x + 3 cos2 x
516.
cos2 x dx sin 4x
517.
cos x dx 2 sin x − 6 sin x + 5
518.
503.
504. 505.
506.
507.
508.
509.
510.
511.
512.
513.
sin x dx (3 cos x − 1)3
a2
dx sin x + b2 cos2 x 2
dx (a sin x + b cos x)2
2 cos2
dx cos 2x − sin 2x
4 cos2
sin 2x dx 3 + 4 sin2 x
519.
cos5 x + cos3 x dx sin4 x + sin2 x
520.
cos x − cos 3x dx 1 − sin4 x
521.
tg x dx tg x − 3
522.
cos x − sin x dx cos x + sin x
523.
524. 77
dx x − 2 sin 2x + sin2 x
dx , 5 + cos2 x
|x| <
π 2
dx 2 + 3 sin 2x − 4 cos2 x dx , a cos2 x + b sin 2x + c sin2 x dx tg x + 4 tg x 2
sin x−a 2 dx sin x+a 2
dx x + sin x cos x + sin2 x
1 + tg x dx sin 2x sin x dx sin x + cos3 x 3
c>0
525.
526.
527.
538.
sin2 x − cos2 x dx sin4 x + cos4 x
539.
528.
529.
dx sin x + cos4 x
541.
dx (sin x + 2 cos2 x)2 2
542.
2
cos x dx , sin x + b2 cos2 x)2 a2 + b2 = 0 (a2
531.
532.
2
543.
sin2 x cos2 x dx sin8 x + cos8 x
544.
dx sin x + cos6 x
545.
dx sin x + cos x
546.
6
533.
534.
√
dx 3 cos x + sin x
547.
535.
dx , a cos x + b sin x a2 + b2 = 0
536.
537.
551.
548.
sin2 x dx sin x + 2 cos x
549.
1 + sin x dx sin 2x + 2 sin x
550.
dx , a cos x + b sin x + c
dx , 1 + ε cos x a) 0 < ε < 1, b) ε > 1
540.
sin x cos x dx 1 + sin4 x
sin x cos x dx sin x + cos x
4
530.
sin 2x dx 4 sin x + cos4 x
c>
dx 1 + 4 cos x dx 4 + cos x dx 4 − sin x dx sin 2x + 4 sin x − 4 sin2 x sin x dx (1 − cos x + sin x)2 2 sin x − sin 2x dx sin3 x + (1 − cos x)3 dx 6 − 5 sin x + sin2 x dx cos x + sin x + 1 dx 4 cos x − 3 sin x + 5 dx 3 cos x + sin x + 5 dx 7 cos x − 4 sin x + 8
√ a2 + b2 > 0
552. Najděte čísla A, B, C tak, že pro a2 + b2 = 0 platí rovnost
a1 sin x + b1 cos x dx = Ax + B ln |a sin x + b cos x| + C . a sin x + b cos x 78
553.
554.
sin x − cos x dx sin x + 2 cos x
555.
sin x dx sin x − 3 cos x
556.
dx 3 + 5 tg x a1 sin x + b1 cos x dx (a sin x + b cos x)2
557. Najděte čísla A, B, C tak, že pro a2 + b2 = 0 platí rovnost
a1 sin x + b1 cos x + c1 dx = a sin x + b cos x + c
= Ax + B ln |a sin x + b cos x + c| + C
558.
559.
560.
sin x + 2 cos x − 3 dx sin x − 2 cos x + 3
561.
1 − sin x + cos x dx 1 + sin x − cos x
562.
√
dx . a sin x + b cos x + c
2 sin x + cos x dx 3 sin x + 4 cos x − 2 1 − cos(x − a) dx 1 − cos(x + a)
sin x dx 2 + sin x + cos x
563. Najděte čísla A, B, C tak, že pro a2 + b2 = 0 platí rovnost
a1 sin2 x + 2b1 sin x cos x + c1 cos2 x dx = a sin x + b cos x dx . = A sin x + B cos x + C a sin x + b cos x
564.
565.
sin2 x dx sin x + 2 cos x
sin2 x − sin x cos x + 3 cos2 x dx sin x + cos x
sin2 x − sin x cos x + 2 cos2 x dx sin x + 2 cos x
566.
1 − 2 sin 2x + 2 cos2 x dx sin x + cos x
567.
79
568. Najděte čísla A, B tak, že platí rovnost
a1 sin x + b1 cos x du1 du2 dx = A +B , 2 2 2 k 1 u 1 + λ1 k2 u22 + λ2 a sin x + 2b sin x cos x + c cos x
kde (a − c)2 + b2 = 0 a λ1 , λ2 jsou řešení rovnice (a − λ)(c − λ) = b2 , λ1 = λ2 a ui = (a − λi ) sin x + b cos x,
569.
570.
ki =
1 , a − λi
i = 1, 2 .
2 sin x − cos x dx 3 sin2 x + 4 cos2 x sin x + cos x dx 2 sin x − 4 sin x cos x + 5 cos2 x 2
571.
sin x − 2 cos x dx 1 + 4 sin x cos x
572. Nechť
dx , (a sin x + b cos x)n Dokažte rekurentní vzorec In =
1 In = (n − 1)(a2 + b2 )
a2 + b2 = 0, n ∈ N .
b sin x − a cos x + (n − 2)In−2 , (a sin x + b cos x)n−1
n > 1,
a pomocí tohoto vzorce najděte
573. Nechť
dx . (sin x + 2 cos x)3
dx , (a + b cos x)n Dokažte rekurentní vzorec In =
|a| = |b|, n ∈ N .
b sin x 1 − (2n − 3)aIn−1 + (n − 2)In−2 , n > 1, In = (n − 1)(b2 − a2 ) (a + b cos x)n−1 a pomocí tohoto vzorce najděte
a)
b)
dx , (1 + ε cos x)2
0 < ε < 1,
dx , (1 + ε cos x)3
ε > 1,
80
sinν x cosμ x dx
I.5.2.
Předpoklady: μ, ν ∈ Q. I.5.2.1.
Poznámky
I. μ, ν ∈ Z. Pak sinν x cosμ x = R(sin x, cos x) a tento případ je řešen v odstavci I.5.1. II. μ, ν nejsou současně celá čísla. Substitucí
u = ϕ(x) = sin2 x
převedeme podle 1. věty o substituci primitivní funkci
sinν x cosμ x dx na binomický integrál 1 2
(1 − u)
μ−1 2
u
ν−1 2
du
(viz. I.4.3.)
Primitivní funkce tohoto typu patří do množiny elementárních funkcí ve třech případech: 1) 2) 3)
μ−1 2 ν−1 2 ν−1 2
I.5.2.2.
je celé číslo ⇒ μ je celé liché číslo, + 1 je celé číslo ⇒ ν je celé liché číslo, +1+
μ−1 2
je celé číslo ⇒ ν + μ je celé sudé číslo.
Substituce
1) μ je celé liché číslo. Podle 1. věty o substituci volíme substituci t = ϕ(x) = sin x . 2) ν je celé liché číslo. Podle 1. věty o substituci volíme substituci t = ϕ(x) = cos x . 3) μ + ν je celé sudé číslo. Položíme t = tg x nebo t = cotg x a podle 2. věty o substituci volíme substituci x = arctg t nebo x = arccotg t . 81
Výše uvedené substituce převádí primitivní funkci
sinν x cosμ x dx na integrál z racionální funkce proměnné t nebo na binomický integrál proměnné t. I.5.2.3.
Řešené příklady
cos5 x dx
574. Vypočtěte
Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞). Protože je R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), volíme t = ϕ(x) = sin x, pak dt = cos x dx. I1 = (−∞, +∞), I2 = (−∞, +∞), ϕ(I1 ) = −1, 1 ⊂ I2 .
5
cos x dx =
2
2
(1 − sin x) cos x dx =
2 2
(1 − t ) dt =
(1 − 2t2 + t4 ) dt =
2 1 2 1 = t − t3 + t5 + c = sin x − sin3 x + sin5 x + c . 3 5 3 5
dx sin x cos4 x
575. Vypočtěte
4
Primitivní funkci hledáme na intervalech k π2 , (k + 1) π2 , k ∈ Z. Protože je R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x), pro x ∈ (− π2 , 0) ∪ (0, π2 ) položíme t = tg x, vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = arctg t, pak dx = t2dt+1 .
3 1 3 1 t3 t + 3 + 2 + 4 dt = + 3t − − 3 + c = t t 3 t 3t 2
1 1 1 = tg3 x − 3 + 3 tg x − +c. 3 tg x tg x Protože definiční obor integrované funkce je π π k , (k + 1) , Df = 2 2 k∈Z je primitivní funkce spojitá na Df . 82
576. Vypočtěte
dx √ 3 cos x sin2 x
Primitivní funkci hledáme na intervalech k π2 , (k + 1) π2 , k ∈ Z. Protože je ν = − 23 a μ = −1, a tedy μ je celé liché číslo, volíme t = ϕ(x) = sin x, pak dt = cos x dx. Funkce
1 √ 3 (1 − t2 ) t2 je definována na sjednocení intervalů (−∞, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞) = π π = Df a pro Ik = k 2 , (k + 1) 2 , k ∈ Z, je ϕ(Ik ) = (0, 1) nebo ϕ(Ik ) = (−1, 0), tedy pro každé k ∈ Z je ϕ(Ik ) ⊂ Df . f (t) =
I=
dx √ = 3 cos x sin2 x
cos x dx √ = 3 (1 − sin2 x) sin2 x
=
dt √ = 3 (1 − t2 ) t2
2
t− 3 (1 − t2 )−1 dt .
Nyní řešíme binomický integrál (viz I.4.3), a protože p = −1 je celé číslo, volíme substituci t = ϕ(u) = u3, pak dt = 3u2 du. 1) I2 = (−1, 0), I1 = (−1, 0), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (u) > 0 na (−1, 0), 2) I2 = (0, 1), I1 = (0, 1), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (u) > 0 na (0, 1).
I=
−2
6 −1
u (1 − u )
2
· 3u du = −3
du . −1
u6
Nalezneme rozklad na parciální zlomky u6
1 A B Cu + D Eu + F = + + 2 + 2 −1 u+1 u−1 u −u+1 u +u+1
1 = A(u − 1)(u4 + u2 + 1) + B(u + 1)(u4 + u2 + 1) + + (Cu + D)(u2 − 1)(u2 + u + 1) + (Eu + F )(u2 − 1)(u2 − u + 1) . Dosazením u=1:
1 = 6B
⇒B=
1 6
u = −1 : 1 = −6A ⇒ A = − 16
.
a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné u u5 : 4
A+B+C +E = 0
u :
−A + B + C + D − E + F = 0
u2 :
−A + B − C + E = 0
u1 :
A+B−D+F = 0 C = 16 , D = − 13 , E = − 16 , F = − 13 . 83
a pokračujeme dále ve výpočtu integrálu 1 2v − 4 3 dv 1 dv − dv = I= = 2 1 + v3 2 1 + v 4 v2 − v + 1 √ 1 1 2v − 1 3 2 = ln |1 + v| − ln(v − v + 1) + +c= arctg √ 2 4 2 3 √ 1 (u2 + 1)2 2u2 − 1 3 √ = ln 4 +c, + arctg 4 u − u2 + 1 2 3 √ kde u = 3 tg x.
Poznámka. Kdybychom hned volili substituci v = dv =
3
tg2 x, potom je
dx 2 1 √ 3 3 tg x cos2 x
a dostali bychom
3 dx √ = 3 tg x 2
3 2 cos2 x dx √ = 3 2 3 tg x cos x 2 85
dv . 1 + v3
I.5.2.4.
Příklady
Vypočítejte:
578.
579.
580.
581.
582. 583.
584.
585.
586.
587.
588.
589.
sin3 x cos4 x dx
590.
591.
592.
593.
cos4 x dx sin3 x
cos3 x dx sin5 x
cos5 x dx sin3 x
596.
cos3 x sin8 x dx 597. sin4 x cos5 x dx 5
598.
5
599.
cos5 2x sin7 2x dx
cos3 x cos 2x dx
600. 601.
sin2 x cos2 x dx
603.
cos6 x dx 2
604.
4
605.
sin4 x cos6 x dx
dx cos3 x
606.
dx sin3 x
607.
sin4 x dx cos x
608.
sin3 x dx cos4 x
609. 86
dx sin x cos4 x dx sin x cos5 x dx sin x cos4 x 2
602. sin6 x dx
dx sin x cos3 x
3
cos2 3x sin x dx
sin x cos x dx
595.
sin x cos x dx
594.
cos3 x dx
dx sin4 x sin4 x dx cos6 x tg5 x dx tg6 x dx cotg6 x dx sin 2x dx cos3 x sin 3x dx cos x cos 3x dx sin5 x
610. Odvoďte rekurentní vzorce pro integrály:
sinn x dx;
a) In =
b) Kn =
a pomocí těchto vzorců najděte
cosn x dx;
sin6 x dx a
n ∈ N, n > 2
cos8 x dx.
611. Odvoďte rekurentní vzorce pro integrály: dx dx ; b) Kn = ; n ∈ N, n > 2 a) In = n sin x cosn x dx dx a a pomocí těchto vzorců najděte . 5 cos7 x sin x
612.
613.
614.
615.
616.
617.
618.
619.
620.
sin5 x
√ 3
623.
cos x dx
cos3 x √ dx 5 sin x
sin x sin
625.
3
sin x √ dx cos x 3 cos x dx √ 3 cos x sin 2x
627.
dx √ cos x sin3 2x
628.
√ 3 √ 3
dx 629.
sin x cos x
dx sin x
cos5
630.
x
sin2 x √ dx cos2 x tg x √
sin x sin(x + a) sin(x + b) dx
5
3
x x sin dx 2 3
626.
631.
tg x dx
632.
tg3 x dx
622.
cos x cos 2x cos 3x dx
624.
621.
sin 5x cos x dx
633.
cos2 ax cos2 bx dx sin3 2x cos2 3x dx dx sin(x + a) sin(x + b) dx sin(x + a) cos(x + b) dx cos(x + a) cos(x + b) dx sin x − sin a dx cos x + cos a
dx √ tg x
634.
87
tg x tg(x + a) dx
I.6.
Hyperbolicke´ funkce
I.6.1.
R(sinh x, cosh x) dx
I.6.1.1.
Substituce
Při hledání této primitivní funkce používáme analogické substituce jako v případě R(sin x, cos x) dx (viz I.5.1).
I. Univerzální substituce. Položíme t = tgh
x , 2
pak
2t 1 + t2 2 dt , cosh x = , dx = 1 − t2 1 − t2 1 − t2 a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. sinh x =
II. 1) R(− sinh x, − cosh x) = R(sinh x, cosh x). Položíme t = tgh x , pak t 1 dt , cosh x = √ , dx = 2 2 1 − t2 1−t 1−t a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. sinh x = √
II. 2) R(− sinh x, cosh x) = −R(sinh x, cosh x). V tomto případě volíme substituci t = cosh x a podle 1. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t.
II. 3) R(sinh x, − cosh x) = −R(sinh x, cosh x). V tomto případě volíme substituci t = sinh x a podle 1. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. 88
I.6.2.
sinhν x coshμ x dx
Předpoklady: μ, ν ∈ Q. Při hledání této primitivní funkce používáme analogické substituce jako v případě sinν x cosμ x dx (viz I.5.2). 1) Je-li μ celé liché číslo, volíme t = sinh x, 2) Je-li ν celé liché číslo, volíme t = cosh x, 3) Je-li μ + ν celé sudé číslo, volíme t = tgh x nebo t = cotgh x, a přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t nebo k binomickému integrálu proměnné t (viz I.4.3). Poznámka. Protože hyperbolické funkce jsou definovány pomocí exponenciální funkce ex , lze funkce R(sinh x, cosh x) a sinhν x coshμ x vyjádřit jako racionální nebo iracionální funkci proměnné ex a použít substituci uvedenou v části I.7. I.6.3.
Řešené příklady
635. Vypočtěte
dx cosh x + 3 cosh x 3
Volíme t = sinh x,
dx = 3 cosh x + 3 cosh x
= =
pak dt = cosh x dx.
dx = cosh x (cosh2 x + 3)
1 dt = (1 + t2 )(4 + t2 ) 3
dt 1 − 1 + t2 3
cosh x dx = cosh x (cosh2 x + 3) 2
dt = 4 + t2
1 1 t 1 1 sinh x arctg t − arctg + c = arctg sinh x − arctg +c. 3 6 2 3 6 2
636. Vypočtěte
dx 3 sinh x − 7 sinh x cosh x + 2 cosh2 x 2
Protože R(− sinh x, − cosh x) = R(sinh x, cosh x), volíme t = tgh x, potom dt dx = 1−t 2 .
dx = 2 3 sinh x − 7 sinh x cosh x + 2 cosh2 x
1 dt = = 3t2 − 7t + 2 5
3 dt − t−2 5
1 3t2 1−t2
−
7t 1−t2
+
2 1−t2
dt = 1 − t2
1 t − 2 1 tgh x − 2 dt = ln = ln +c . 3t − 1 5 3t − 1 5 3 tgh x − 1 89
637. Vypočtěte
sinh3 x √ dx 3 cosh2 x
Protože ν = 3 je celé liché číslo, volíme t = cosh x, pak dt = sinh x dx.
I.6.4.
2 4 3 1 2 sinh3 x t −1 − 23 3 dt − √ √ dx = dt = t t dt = t 3 (t − 1) + c = 3 3 7 t2 cosh2 x 3√ 3 cosh x (cosh2 x − 7) + c . = 7
Příklady
Vypočítejte:
638.
639.
640.
641.
642.
643.
644.
645.
646.
647.
648.
sinh 2x + 4 sinh x dx cosh2 x − 3 cosh x
649.
sinh 2x dx (sinh x + 1)(cosh2 x − sinh x)
650.
4 cosh x − 3 sinh x dx 2 cosh x − sinh x
651.
dx 1 + tgh x
652.
sinh 2x dx 1 + sinh4 x dx (cosh 2x + cosh2 x)2 cosh x dx 3 sinh x − 4 cosh x dx sinh x + 2 cosh x
dx dx 653. 2 2 sinh x − 4 sinh x cosh x + 9 cosh x 2 sinh x − cosh x
dx 2 10 cosh x − 2 sinh 2x − 1
654.
dx 4 + 3 sinh2 x
655.
dx 1 − 6 sinh 2x − 37 cosh2 x
656.
tgh x dx (tgh x + 2)2
657.
658.
cosh 2x dx 4 sinh x + cosh4 x
659. 90
dx (1 + cosh x)2 dx 2 sinh x + 5 sinh x + 2 2
sinh2 x dx 1 − sinh2 x
dx 1 + 10 cosh x
dx cosh x + sinh x + 2 dx 3 cosh x + 5 sinh x + 3 sinh x + 2 cosh x dx 2 sinh x − cosh x − 1
660.
661.
662.
663.
664.
665.
666.
667.
cosh x + 2 sinh x + 3 dx 4 cosh x + 5 sinh x + 6
677.
sinh 2x dx 5 sinh x + 3 cosh x
678.
cosh 2x dx 3 sinh x + 5 cosh x
679.
2 sinh x − cosh x dx 3 sinh2 x + 4 cosh2 x
680.
2 sinh x + cosh x dx (3 sinh2 x + 4 cosh2 x)2
681.
sinh2 x cosh2 x dx
682.
cosh4 x dx
683.
670.
671. 672.
673.
674.
675.
676.
3
sinh2 x dx
tgh2 x dx cosh4 x 3
tgh x dx sinh x sinh 7x dx
sinh x sinh 2x sinh 3x dx
sinh3 x dx
cosh x cosh 2x cosh 3x dx
684.
685.
cotgh2 x dx
686.
dx sinh x cosh2 x
687.
dx sinh x cosh2 x
3
cosh3 x
tgh x dx
669.
tgh4 x dx
668.
tgh3 x dx
688.
dx cosh5 x
689.
sinh4 x dx cosh3 x
690.
sinh4 x dx cosh6 x
691.
cosh5 x dx sinh x
692.
dx 4 sinh x cosh2 x
693.
cosh3 x sinh x dx sinh2 x cosh3 x dx sinh4 x cosh
x dx 2
sinh3 x cosh 2x dx sinh2 2x cosh2 2x dx sinh2 x cosh4 x dx sinh4
x x cosh2 dx 2 2
sinh ax sin bx dx
91
sinh ax cos bx dx
I.7.
Exponencia´lnı´ funkce
I.7.1.
f (eax) dx
Předpoklady: a ∈ R, f (x1 ) je racionální nebo iracionální funkce jedné proměnné x1 = eax . Při hledání primitivní funkce volíme substituci t = ϕ(x) = eax , pak dt = aeax dx, a podle 1. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální nebo iracionální funkce proměnné t. V případě, že výraz f (eax ) dx neobsahuje přímo součin eax dx, rozšíříme integrovanou funkci výrazem eax , přičemž definiční obor integrované funkce se nezmění, protože eax > 0 pro každé x ∈ R. I.7.2.
Řešené příklady
694. Vypočtěte
dx 1 + ex
Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞), volíme t = ϕ(x) = ex , pak dt = ex dx. Funkce 1 f (t) = t(1 + t) je definována na sjednocení intervalů (−∞, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, +∞) = Df , tedy I1 = (−∞, +∞), ϕ(I1 ) = (0, +∞) ⊂ Df ,
dx ex dx dt dt dt = = − = = 1 + ex ex (1 + ex ) t(1 + t) t 1+t
= ln |t| − ln |1 + t| + c = x − ln(1 + ex ) + c .
695. Vypočtěte
√
e2x + 4ex − 1 dx
√ Primitivní funkci hledáme na intervalu (ln( 5−2), +∞), volíme t = ϕ(x) = ex , pak dt = ex dx. Funkce √ t2 + 4t − 1 f (t) = t √ √ 5)) ∪ ( 5 − 2, +∞) = Df , je definována na sjednocení intervalů (−∞, −(2 + √ √ tedy I1 = (ln( 5 − 2), +∞), ϕ(I1 ) = ( 5 − 2, +∞) ⊂ Df , √ √ 2x √ 2 e + 4ex − 1 x t + 4t − 1 2x x dt e + 4e − 1 dx = e dx = I= x e t 92
a použijeme 1. Eulerovu substituci; položíme táme t a volíme
712. Dokažte, že je-li P (x) polynom stupně n, pak
ax
ax
P (x) e dx = e
(n) P (x) P (x) (x) nP − + · · · + (−1) +c. a a2 an+1
94
Vypočítejte:
713.
714.
715.
3 3x
x e dx
716.
(x2 − 2x + 2)e−x dx
717.
2
x7 e−x dx √
x2 e
x
dx
2
(x3 + x)e−x dx
718. Dokažte, že primitivní funkce
R(x) eax dx , kde R(x) je racionální funkce taková, že polynom ve jmenovateli má jen reálné kořeny, je vyjádřena elementárními funkcemi a transcendentní funkcí
x ln x dx (1 + x2 )2 √ x ln(x + 1 + x2 ) 757. dx (1 − x2 )2
740.
756.
96
758.
ex ln(1 + e−x ) dx
776.
xx (1 + ln x) dx
759.
760.
761.
777.
dx (2 + sin x)2 sin 4x dx sin x + cos8 x
762.
763.
764.
765.
766.
sin 2x dx 1 + cos4 x
781.
768.
769.
783. 784.
770.
eax cos2 bx dx eax sin3 bx dx 787.
2
772.
773.
774.
775.
789.
790.
xex sin2 x dx
x
xex dx (1 + ex )2 xex dx (x + 1)2
791.
x3 sin x2 dx
2 1− x
2
792.
x cotg x dx 97
dx
ex+e dx
788.
x2 ex cos x dx
x
2
x−1 x2 + 1
ex dx 2
ex dx
2 − sin2 x dx
dx − (ex−1 + 1)2
√ e2x ex + e2x dx
dx
xex sin x dx
√
xe
+
1)2
x+1 dx 2x
786.
771.
1 + e2x dx (1 + ex )2 (ex+1
785.
sin x ex
2 2
ln x cos ln x dx x sin x ln cos x +
sin x dx 2 + sin 2x
(1 + x ) cos x dx
767.
1 + sin x x e dx 1 + cos x
782.
x5 sin 5x dx
sin x − cos x x e dx sin2 x
sin x √ dx cos x 1 + sin2 x √
780.
√
x cos x − sin x dx x2
779.
dx √ sin x 1 + cos x
x sin x dx (1 + cos x)2
778.
8
x dx 1 + cos x
793.
x arctg(x + 1) dx
794.
795.
796.
797.
x(1 + x2 ) arccotg x dx √
x arctg
809. x dx
arctg
√
1 dx x−1
813.
1 dx x √ 2 x dx 801. arcsin 1+x √ 802. x 1 − x2 arccos x dx
804.
805.
806.
807.
√
814.
815.
earcsin x dx (2x + 1)earctg x dx
818.
x arctg x dx (1 + x2 )2
819.
x arctg x dx 1 + x2
820.
xearctg x
(1 + x2 )3
x4 arctg x dx 1 + x2
earctg x
(1 + x2 )3
ax + b arctg x dx x2 + 1
dx
arcsin ex dx ex
817.
2
dx
x arctg x ln(1 + x2 ) dx
816.
1 − x2 arcsin x dx
√
x arccos x (1 − x2 )3
812.
x arccos
803.
arccos x
x dx
arcsin x 1 + x2 √ dx x2 1 − x2 (1 − x2 )3
811.
(2x + 3) arccos(2x − 3) dx
x3 arccos x dx 1 − x2
800.
√
x arcsin(1 − x) dx
arcsin
799.
√
810.
798.
808.
dx
dx
√ arctg ex √ x dx e (1 + ex )
tgh2 x + 1 dx
98
sinh x arctg sinh x dx
II Riemannu˚v integra´l II.1.
Definice a vlastnosti R-integra´lu
II.1.1.
Integrální součty a definice R-integrálu
Definice. Nechť n ∈ N ∪ {0}. Množina D = {x0 , x1 , . . . , xn } se nazývá dělení intervalu a, b, jestliže platí a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b . Čísla xi se nazývají dělicí body a intervaly xi−1 , xi dělicí intervaly dělení D. Číslo ν(D) = max{(xi − xi−1 ); i = 1, . . . , n} se nazývá norma dělení D. Označení. Množinu všech dělení intervalu a, b budeme značit symbolem D(a, b). Definice. Nechť funkce f je omezená na a, b. Označme s(f, D) = S(f, D) =
n i=1 n
mi (xi − xi−1 ) ,
mi = inf{f (x); x ∈ xi−1 , xi },
Mi (xi − xi−1 ) ,
Mi = sup{f (x); x ∈ xi−1 , xi }.
i=1
Číslo s(f, D) nazýváme dolní součet a číslo S(f, D) horní součet funkce f při dělení D. Definice. Nechť funkce f je omezená na a, b. Označme b a
b
Číslo
b
a
f (x) dx = sup{s(f, D); D ∈ D(a, b)} , f (x) dx = inf{S(f, D); D ∈ D(a, b)} .
f (x) dx nazýváme dolní Riemannův integrál a číslo
a
mannův integrál funkce f přes interval a, b.
99
b a
f (x) dx horní Rie-
Definice. Nechť funkce f je omezená na a, b. Jestliže platí b
f (x) dx =
b
a
f (x) dx ,
a
nazývá se funkce f riemannovsky integrovatelná na a, b a její Riemannův integrál (R-integrál) přes a, b pak definujeme jako b
f (x) dx =
a
Jestliže platí
b
f (x) dx =
b
a
b
f (x) dx .
a
f (x) dx <
b
a
f (x) dx
a
říkáme, že funkce f není riemannovsky integrovatelná na a, b. Označení. Množinu všech riemannovsky integrovatelných funkcí na a, b budeme značit symbolem R(a, b). Definice. Nechť D ∈ D(a, b), D = {x0 , x1 , . . . , xn }. Pak množinu V = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn }, kde ξi ∈ xi−1 , xi , i = 1, 2, . . . , n, jsou libovolné, nazýváme výběr reprezentantů dělicích intervalů dělení D. Definice. Nechť funkce f je omezená na a, b. Označme σ(f, D, V) =
n
f (ξi )(xi − xi−1 ) .
i=1
Číslo σ(f, D, V) nazýváme integrální součet funkce f při dělení D a výběru reprezentantů V. Definice. Nechť funkce f je omezená na a, b. Říkáme, že integrální součty σ(f, D, V) mají limitu A ∈ R, jestliže ke každému > 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé dělení D ∈ D(a, b) s normou ν(D) < δ a libovolný výběr reprezentantů V, platí |σ(f, D, V) − A| < . Číslo A pak nazýváme Riemannův integrál funkce f přes interval a, b a značíme A=
b
f (x) dx .
a
Poznámka. Definice R-integrálu přes dolní a horní součty a definice přes integrální součty jsou ekvivalentní. 100
∞ Definice. Nechť {D n }∞ n=1 je posloupnost dělení intervalu a, b. Posloupnost {D n }n=1 se nazývá nulová, jestliže lim ν(D n ) = 0 . n→∞
Věta. Nechť funkce f je omezená na a, b a {D n }∞ n=1 je nulová posloupnost dělení intervalu a, b. Pak platí lim s(f, D n ) =
n→∞
b
lim S(f, D n ) =
f (x) dx ,
n→∞
a
b
f (x) dx .
a
Je-li f ∈ R(a, b), pak lim s(f, D n ) = lim S(f, D n ) =
n→∞
n→∞
b
f (x) dx ,
a
a je-li Vn libovolný výběr reprezentantů dělicích intervalů dělení D n , pak lim σ(f, D n , Vn ) =
n→∞
II.1.2.
b
f (x) dx .
a
Podmínky existence R-integrálu
Věta. Nechť f je monotónní na a, b. Pak f ∈ R(a, b). Věta. Nechť f je spojitá na a, b. Pak f ∈ R(a, b). Věta. Nechť f je omezená na a, b a má v a, b konečně mnoho bodů nespojitosti. Pak f ∈ R(a, b). Věta. Nechť f a g jsou omezené na a, b a množina {x ∈ a, b; f (x) = g(x)} je konečná. Pak f ∈ R(a, b), právě když g ∈ R(a, b). V tomto případě platí b
f (x) dx =
b
a
II.1.3.
g(x) dx .
a
Vlastnosti R-integrálu.
Věta. Nechť f ∈ R(a, b). Pak platí: 1) Je-li f (x) ≥ 0, x ∈ a, b, pak
b
2) je-li |f (x)| ≤ K, x ∈ a, b, pak
a
f (x) dx ≥ 0,
b f (x) dx a
101
≤ K(b − a).
Věta. Nechť f, g ∈ R(a, b), k ∈ R. Pak 1) (f + g) ∈ R(a, b) a platí b
(f (x) + g(x)) dx =
b
a
f (x) dx +
a
2) kf ∈ R(a, b) a platí
b
g(x) dx ,
a
k f (x) dx = k
a
b
b
f (x) dx .
a
Věta. Nechť f, g ∈ R(a, b) a f (x) ≤ g(x), x ∈ a, b. Pak b a
f (x) dx ≤
b
g(x) dx .
a
Věta. Nechť f ∈ R(a, b). Pak |f | ∈ R(a, b) a platí b f (x) dx a
≤
b a
|f (x)| dx .
Věta. Nechť a, b, c ∈ R, a < c < b, a nechť f ∈ R(a, c) a f ∈ R(c, b). Pak f ∈ R(a, b) a platí b
f (x) dx =
c
a
f (x) dx +
a
b
f (x) dx .
c
Věta. Nechť f ∈ R(a, b) a c, d ⊂ a, b. Pak f ∈ R(c, d). Definice. Nechť f je definovaná na uzavřeném intervalu s krajními body a, b. Pak 1) je-li a < b a f ∈ R(a, b), pak 2) je-li a = b, definujeme
a a
b a
f (x) dx značí R-integrál, který byl definován,
f (x) dx = 0,
3) je-li a > b a f ∈ R(b, a), definujeme
b a
f (x) dx = −
a b
f (x) dx.
Věta. Nechť a, b, c ∈ R. Nechť f ∈ R(min{a, b, c}, max{a, b, c}). Pak platí b a
f (x) dx =
c
f (x) dx +
a
b c
102
f (x) dx .
II.1.4.
Příklady
1. Najděte s(f, D n ) a S(f, D n ) pro následující funkce na odpovídajících intervalech, kde D n volte tak, že dělicí intervaly mají stejnou délku: a) f (x) = x3 na −2, 3, √ b) f (x) = x na 0, 1, c) f (x) = 2x na 0, 10. 2. Najděte σ(f, D n , V) pro funkci f (x) = 1 + x na intervalu −1, 4, kde D n volte tak, že dělicí intervaly mají stejnou délku a ξi jsou středy dělicích intervalů. 3. Najděte s(f, D n ) pro funkci f (x) = x4 na intervalu 1, 2, kde D n volte tak, aby délky dělicích intervalů tvořily geometrickou posloupnost (xi = aq i ). Vypočítejte lim s(f, D n ). n→∞
4. Podle definice R-integrálu vypočítejte
T 0
(v0 +gt) dt , kde v0 a g jsou konstanty.
Následující R-integrály vypočítejte jako limity odpovídajících integrálních součtů σ(f, D n , V), kde {D n }∞ n=1 je nulová posloupnost dělení: 2