Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Obsah PŘEDMLUVA OBSAH I. PRIMITIVNÍ FUNKCE Definice a vlastnosti primitivní funkce Metody výpočtu primitivních funkcí Racionální funkce . . . . . . Iracionální funkce . . . . . . Goniometrické funkce . . . . . Hyperbolické funkce . . . . . . Exponenciální funkce . . . . . Integrace některých dalších funkcí .

. . . . . . . .

3 5 7 7 13 27 42 71 88 92 95

II. RIEMANNŮV INTEGRÁL Definice a vlastnosti R-integrálu . . . . . . . . . . . . . . . R-integrál jako funkce horní meze . . . . . . . . . . . . . . Metody výpočtu R-integrálu . . . . . . . . . . . . . . . .

99 99 105 107

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

III. NEVLASTNÍ RIEMANNŮV INTEGRÁL 117 Nevlastní R-integrál na neomezeném intervalu . . . . . . . . . . 117 Nevlastní R-integrál z neomezené funkce . . . . . . . . . . . . 130 Nevlastní R-integrál z neomezené funkce na neomezeném intervalu . . . 142 IV. APLIKACE RIEMANNOVA Obsah množin v R2 . . Délka křivky v R2 . . Objem rotačního tělesa . Obsah rotační plochy .

INTEGRÁLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

147 147 158 166 180

DODATEK 191 Vybrané vztahy mezi funkcemi . . . . . . . . . . . . . . . 191 Shodné transformace kartézských souřadnic v rovině . . . . . . . . 193 Polární souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 VÝSLEDKY

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

5

I Primitivnı´ funkce I.1. I.1.1.

Definice a vlastnosti primitivnı´ funkce Existence a jednoznačnost primitivní funkce

Definice. Nechť funkce f (x) a F (x) jsou definovány na intervalu I. Jestliže pro každé x ∈ I platí (1) F (x) = f (x) , nazývá se funkce F (x) primitivní funkce k funkci f (x) na intervalu I. (V krajních bodech intervalu I, které do I patří, jde o příslušné jednostranné derivace.) Poznámka. Z rovnice (1) plyne, že funkce F (x) je spojitá na I. Věta (nutná podmínka existence). Nechť k funkci f (x) existuje na I primitivní funkce, pak f (x) je darbouxovská na I. Poznámka. Připomeňme, že funkce f se nazývá darbouxovská na intervalu I ⊆ ⊆ D( f ), jestliže pro každé dva body x1 , x2 z I s vlastností f (x1 ) < f (x2 ) a každé číslo y0 ∈ R, pro něž f (x1 ) < y0 < f (x2 ), existuje v intervalu o krajních bodech x1 , x2 bod x0 takový, že f (x0 ) = y0 . Věta (postačující podmínka existence). Nechť funkce f (x) je spojitá na I, pak k funkci f (x) existuje na I primitivní funkce. Věta. Nechť F (x) je primitivní funkce k f (x) na I, pak pro libovolné c ∈ R je F (x) + c primitivní funkce k f (x) na I. Věta. Nechť F (x) a G(x) jsou primitivní funkce k f (x) na I, pak existuje c ∈ R tak, že F (x) − G(x) = c pro každé x ∈ I. Důsledek. Nechť F (x) je primitivní funkce k f (x) na I, pak {F (x) + c; c ∈ R} je množina všech primitivních funkcí k f (x) na I. Označení. Množina všech primitivních funkcí k funkci f (x) na intervalu I se značí symbolem f (x) dx , (2) a vzhledem k předchozím tvrzením můžeme psát

f (x) dx = F (x) + c ,

(3)

kde F (x) je nějaká primitivní funkce k f (x) na I a c ∈ R je libovolná konstanta. 7

Symbol f (x) dx se čte integrál z funkce f (x) a postup hledání primitivní funkce se nazývá integrování. I.1.2.

Vlastnosti primitivní funkce

Věta. Nechť funkce f (x) má primitivní funkci na I, pak

f (x) dx

= f (x)

na I. Nechť funkce f (x) má derivaci na I, pak

f (x) dx = f (x) + c ,

c ∈ R,

na I. Věta. Nechť funkce f (x) a g(x) mají primitivní funkce na I a k ∈ R. Pak funkce f (x) + g(x) a kf (x) mají primitivní funkce na I a platí

f (x) + g(x) dx =

f (x) dx +

kf (x) dx = k

g(x) dx , (4)

f (x) dx .

Poznámka. Nechť F je třída elementárních funkcí, tj. množina všech funkcí, které vzniknou konečným počtem algebraických operací a skládáním ze základních elementárních funkcí *) , pak platí: Je-li funkce f (x) ∈ F , pak její derivace f (x) ∈ F , ale její primitivní funkce F (x) = f (x) dx nemusí patřit do F . √ x 2 Např. funkce ex , sinx x , ln1x , e−x , sin x2 , sin x apod. mají primitivní funkci na svém definičním oboru, protože jsou spojité, ale tyto primitivní funkce nejsou elementární funkce. I.1.3.

Vzorce

Ze známých vzorců pro derivace funkcí plynou následující vzorce, které platí na každém intervalu, který patří do definičního oboru integrované funkce.

xα dx =

I.

II.

xα+1 +c, α+1

α ∈ R, α = −1

dx = ln |x| + c x

*) Za základní elementární funkce považujeme mocninnou funkci, exponenciální funkci, logaritmickou funkci, goniometrické funkce a funkce k nim inverzní, hyperbolické funkce a funkce k nim inverzní.

8

ex dx = ex + c

III.

ax dx =

IV.

V.

ax +c, ln a

a ∈ R, a > 0, a = 1

sin x dx = − cos x + c

cos x dx = sin x + c

VI.

VII.

VIII.

IX.

dx = − cotg x + c sin2 x dx = tg x + c cos2 x dx = arctg x + c = − arccotg x + c +1

x2

X.

XI.

XII.

√

dx = arcsin x + c = − arccos x + c 1 − x2

√

√ dx x + x2 ± 1 + c = ln 2 x ±1

dx 1 1 + x ln = +c 1 − x2 2 1 − x sinh x dx = cosh x + c

XIII.

XIV.

cosh x dx = sinh x + c

XV.

XVI.

I.1.4.

dx = tgh x + c cosh2 x

Řešené příklady

(x − 2e ) dx = x

1.

2.

dx = − cotgh x + c sinh2 x

x dx − 2

x2 − 2ex + c e dx = 2 x

√ √ 1 2 ( x − 2 3 x)2 24 5 − 16 dx = dx − 4 x dx + 4 x− 3 dx = x − x 6 + 6x 3 + c x 5

9

3.

4.

x 1 + cos x 1 x sin x 1 cos dx = dx + cos x dx = + dx = +c 2 2 2 2 2 2 2

tg2 x dx =

sin2 x 1 − cos2 x 1 dx = dx = dx − dx = cos2 x cos2 x cos2 x

= tg x − x + c

5.

3x · 52x dx =

75x dx =

75x +c ln 75

Použitím vzorců najděte primitivní funkce:

6.

7.

(3 − x2 )3 dx

16.

x2 + 3 dx x2 − 1 √ √ 1 + x2 + 1 − x2 √ dx 18. 1 − x4

x2 (5 − x)4 dx

8.

9.

1−x x

17.

2

dx

a a2 a3 + + dx x x2 x3

19.

x+1 √ dx x √ √ 3 x − 2 x2 + 1 √ dx 11. 4 x

10.

12.

14.

15.

√

1 x2

(2x + 3x )2 dx 2x+1 − 5x−1 dx 10x

21.

(1 + sin x + cos x) dx

22.

(1 − x) √ dx x3x 1−

13.

20.

3

x2 dx 1 − x2

23.

√ x x dx

√

1 − sin 2x dx, 0 ≤ x ≤ π

cotg2 x dx

(a sinh x + b cosh x) dx

24.

x4 + x−4 + 2 dx x3

25.

x2 dx 1 + x2

26.

10

tgh2 x dx cotgh2 x dx

27. Dokažte, že je-li

f (x) dx = F (x) + c, pak

1 f (ax + b) dx = F (ax + b) + c, a

a = 0.

Použitím vzorců a příkladu 27 najděte primitivní funkce:

28.

29.

30.

dx x+a

40.

(2x − 3)10 dx √ 3

41.

1 − 3x dx

42.

33.

34.

35.

36.

37.

√

44.

√

45.

46.

dx 2 − 3x2

47.

dx √ 3x2 − 2

48.

dx 2 x −x+2

49.

=

7 4

38.

3x2

39.

√

2x−1 √ 7

2

50.

+1

51.

dx − 2x − 1

52.

dx 1 − 2x − x2

53. 11

(sin 5x − sin 5α) dx dx sin (2x + π4 ) dx 1 + cos x dx 1 − cos x dx 1 + sin x

Návod: x2 − x + 2 = = (x − 12 )2 + 74 =

2

dx 2 − 3x2

e3x + 1 dx ex + 1 e−x + e−2x dx

43.

dx 2 + 3x2

dx 2x2 − x + 2

dx 2 − 5x √ 5 1 − 2x + x2 dx 32. 1−x 31.

√

sinh(2x + 1) + cosh(2x − 1) dx

dx cosh2

x 2

sin2 x dx cos2 x dx sinh2 x dx cosh2 x dx

54.

55.

56.

sin4 x dx

62.

4

cos x dx

63.

dx 2 (sin x) cos2 x

64.

57.

65.

dx (sinh x) cosh2 x

(sin x) sin(x + α) dx

67.

(sin 3x) sin 5x dx

68.

61.

x x cos cos dx 2 3

60.

sin(2x −

π ) 6

69.

cos(3x +

π ) dx 4

70.

71. Vypočtěte

|x| dx x|x| dx

66.

59.

(sin2 3x) sin3 2x dx

2

58.

(cosh x) cosh 3x dx

Návod: 1 = sin2 x + cos2 x

(sinh x) sinh 2x dx

f (x) dx, kde f (x) =

(x + |x|)2 dx e−|x| dx max(1, x2 ) dx [x] | sin πx| dx,

x≥0

1 − x2 pro |x| ≤ 1 1 − |x| pro |x| > 1

⎧ ⎪ ⎪ ⎨

1 pro − ∞ < x ≤ 0 72. Vypočtěte f (x) dx, kde f (x) = x + 1 pro 0 < x ≤ 1 ⎪ ⎪ ⎩ 2x pro 1 < x < +∞ 73. Vypočtěte f (2x) dx

74. Najděte f (x), je-li f (x2 ) = x1 , x > 0 75. Najděte f (x), je-li f (sin2 x) = cos2 x

76. Najděte f (x), je-li f (ln x) =

1

pro 0 < x ≤ 1

x pro 1 < x < +∞

12

a f (0) = 0.

I.2. I.2.1.

Metody vy´pocˇtu primitivnıćh funkcı´ Substituce

Věta (1. věta o substituci). Nechť funkce ϕ(x) je definována na intervalu I1 , ϕ(I1 ) ⊂ I2 , a nechť existuje ϕ (x) na I1 . Nechť funkce f (t) je definována na intervalu I2 . Má-li funkce f (t) primitivní funkci na I2 , pak funkce f (ϕ(x))ϕ (x) má primitivní funkci na I1 . Je-li F (t) primitivní funkce k funkci f (t) na intervalu I2 , je F (ϕ(x)) primitivní funkce k funkci f (ϕ(x))ϕ (x) na intervalu I1 . Poznámka. 1. větu o substituci zapisujeme ve tvaru

f (ϕ(x))ϕ (x) dx =

f (t) dt ,

(5)

kde t = ϕ(x), dt = ϕ (x) dx, x ∈ I1 , t ∈ I2 . Věta (2. věta o substituci). Nechť funkce ϕ(t) je definována na intervalu I1 , ϕ(I1 ) = I2 , a nechť existuje ϕ (t) = 0 na I1 . Nechť funkce f (x) je definována na intervalu I2 . Funkce f (x) má primitivní funkci na I2 , právě když má funkce f (ϕ(t))ϕ (t) primitivní funkci na I1 . 1. Je-li F (x) primitivní funkce k funkci f (x) na I2 , je F (ϕ(t)) primitivní funkce k funkci f (ϕ(t))ϕ (t) na I1 . 2. Je-li Φ(t) primitivní funkce k funkci f (ϕ(t))ϕ (t) na I1 , je Φ(ϕ−1 (x)) primitivní funkce k funkci f (x) na I2 . Poznámka. První část 2. věty o substituci je vlastně 1. věta o substituci s omezeným předpokladem ϕ = 0. Druhou část 2. věty o substituci zapisujeme ve tvaru

f (x) dx =

f (ϕ(t))ϕ (t) dt ,

(6)

kde x = ϕ(t), dx = ϕ (t) dt, t ∈ I1 , x ∈ I2 . I.2.2.

Per partes

Věta (metoda per partes). Nechť funkce u(x), v(x) mají derivace u (x), v (x) na intervalu I. Existuje-li na I primitivní funkce k jedné z funkcí u (x)v(x), u(x)v (x), existuje i ke druhé z nich. Je-li F (x) primitivní funkce k u(x)v (x) na intervalu I, je u(x)v(x) − F (x) primitivní funkce k u (x)v(x) na intervalu I. Poznámka. Metodu per partes zapisujeme ve tvaru

u(x)v (x) dx = u(x)v(x) −

13

u (x)v(x) dx .

(7)

Poznámka. Pro volbu funkcí u(x) a v (x) ve vzorci (7) neexistuje žádné pravidlo. Ze zkušenosti zjistíme, že ve většině případů volíme jako u(x) funkce ln, arcsin, arccos, arctg, arccotg, xn a jako v (x) funkce ex , sin, cos, xn , 1. V případě, že integrál u (x)v(x) dx je složitější než původní, je vhodné zkusit volit u(x) a v (x) obráceně nebo jiným způsobem tehdy, když u(x)v (x) je součin aspoň tří funkcí. Metodu per partes tedy používáme tak, že volíme funkce u(x) a v (x) a počítáme u (x) a v(x), přitom v(x) je libovolná primitivní funkce k v (x), zpravidla volíme integrační konstantu rovnu nule. Poznámka. Při hledání primitivních funkcí používáme také kombinaci substituční metody a metody per partes a dále samozřejmě vztahy (4) a vzorce I.1.3. Většinou existuje více způsobů nalezení primitivní funkce k dané funkci, např. různé √ 2 a − x2 dx lze nalézt metodou substituce i metoda per partes — primitivní funkci per partes nebo Eulerovými substitucemi (I.4.2.1) nebo Ostrogradského metodou (I.4.2.3) nebo goniometrickými substitucemi (I.4.2.6). Nalezené primitivní funkce se přitom mohou lišit pouze o konstantu. I.2.3.


77. Použitím 1. věty o substituci najděte primitivní funkce: √ 3 x2 1 + x3 dx a) Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞), volíme t = ϕ(x) = 1 + x3 , pak dt = 3x2 dx. I1 = (−∞, ∞), I2 = (−∞, ∞), ϕ(I1 ) = (−∞, ∞) = I2 .

x

b)

√

2 3

1+

x3

1 dx = 3

√ 3

t dt =

1√ 1 3 4 t + c = 3 (1 + x3 )4 + c . 4 4

dx √ (1 + x) x

Primitivní funkci hledáme na intervalu (0, +∞), volíme t = ϕ(x) = √ . I1 = (0, ∞), I2 = (−∞, ∞), ϕ(I1 ) = (0, ∞) ⊂ I2 . dt = 2dx x

dx √ =2 (1 + x) x

√

x, pak

√ dt = 2 arctg t + c = 2 arctg x+c. 1 + t2

dx √ x x2 + 1 Primitivní funkci hledáme na intervalech (−∞, 0) a (0, +∞), volíme t = ϕ(x) = √ = x2 + 1, pak dt = √xx2 +1 dx. c)

Funkce f (t) = t21−1 je definována na sjednocení intervalů (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ ∪ (1, +∞) = Df , tedy 14

1) I1 = (−∞, 0), ϕ(I1 ) = (1, +∞) ⊂ Df . 2) I1 = (0, +∞), ϕ(I1 ) = (1, +∞) ⊂ Df .

dx √ = x x2 + 1

x dx √ = x2 x2 + 1 √ 1 t − 1 dt 1 x2 + 1 − 1 = = ln + c = ln √ 2 +c. t2 − 1 2 t + 1 2 x + 1 + 1

x2 dx (1 − x)100 Primitivní funkci hledáme na intervalech (−∞, 1) a (1, +∞), volíme t = ϕ(x) = = 1 − x, pak dt = −dx. d)

Funkce f (t) =

(1−t)2 t100

je definována na (−∞, 0) ∪ (0, +∞) = Df , tedy

1) I1 = (−∞, 1), ϕ(I1 ) = (0, +∞) ⊂ Df . 2) I1 = (1, +∞), ϕ(I1 ) = (−∞, 0) ⊂ Df .

x2 (1 − t)2 dx = − dt = (1 − x)100 t100 dt dt dt 1 1 1 +2 − = − + +c= =− 100 99 98 99 98 t t t 99t 49t 97t97 1 1 1 − + +c . = 99(1 − x)99 49(1 − x)98 97(1 − x)97 78. Použitím 1. věty o substituci najděte primitivní funkce: ex dx a) 2 + ex Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞), volíme t = ϕ(x) = 2 + ex , pak dt = ex dx. Funkce f (t) = 1t je definována na sjednocení intervalů (−∞, 0)∪(0, +∞) = Df , tedy I1 = (−∞, +∞), ϕ(I1 ) = (2, +∞) ⊂ Df .

ex dx = 2 + ex

dt = ln |t| + c = ln(2 + ex ) + c . t

ln2 x dx x Primitivní funkci hledáme na intervalu (0, +∞), volíme t = ϕ(x) = ln x, pak dt = dx . I1 = (0, ∞), I2 = (−∞, +∞), ϕ(I1 ) = (−∞, +∞) = I2 . x

b)

ln2 x dx = x

t2 dt = 15

ln3 x t3 +c= +c 3 3

sin x √ dx cos3 x

c)

Primitivní funkci hledáme na intervalech − π2 + 2kπ, π2 + 2kπ , k ∈ Z, volíme t = ϕ(x) = cos x, pak dt = − sin x dx.

Ik = − π2 + 2kπ, π2 + 2kπ , k ∈ Z, ϕ(Ik ) = (0, 1 pro každé k ∈ Z, I2 = = (0, +∞), ϕ(Ik ) ⊂ I2 .

sin x √ dx = − cos3 x

dt 2 2 √ = √ +c= √ +c. cos x t t3

dx sin x Primitivní funkci hledáme na intervalech (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z.

d)

1) Volíme t = ϕ(x) = cos x, pak dt = − sin xdx. Funkce f (t) = t21−1 je definována na sjednocení intervalů (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞) = Df a ϕ((kπ, (k + 1)π)) = (−1, 1) pro každé k ∈ Z, tedy ϕ((kπ, (k + 1)π)) ⊂ Df

dx = sin x

sin x dx = sin2 x

sin x dx = 1 − cos2 x

t2

dt = −1

1 cos x − 1 1 t − 1 +c. = ln + c = ln 2 t+1 2 cos x + 1 2) Volíme t = ϕ(x) = tg x2 , pak dt =

dx 2 cos2

x 2

.

Funkce f (t) = 1t je definována na sjednocení intervalů (−∞, 0) ∪ (0, +∞) = Df a ϕ((kπ, (k + 1)π)) = (0, +∞) pro k ∈ Z sudé, ϕ((kπ, (k + 1)π)) = (−∞, 0) pro k ∈ Z liché, tedy ϕ((kπ, (k + 1)π)) ⊂ Df .

dx = sin x

dx = 2(sin x2 ) cos x2 = ln |t| + c =

dx x (tg 2 )2 cos2

ln tg

x 2

=

dt = t

x +c. 2

79. Použitím 2. věty o substituci najděte primitivní funkce: dx √ a) 1 + ex Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞), položíme t = dt (t > 1), vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = ln(t2 − 1), pak dx = t2t2 −1 .

16

√

1 + ex

I2 = (−∞, +∞), I1 = (1, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (1, +∞).

2t 1 dt · 2 dt = 2 = t t −1 t2 − 1 √ 1 + ex − 1 t − 1 +c. + c = ln √ = ln 1 + ex + 1 t + 1 √

dx = 1 + ex

dx √ x2 1 − x2 Primitivní funkci hledáme na intervalech (−1, 0) a (0, 1), volíme x = ϕ(t) = = sin t, pak dx = cos t dt.

b)

1) I2 = (−1, 0), I1 = (− π2 , 0), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (− π2 , 0), 2) I2 = (0, 1), I1 = (0, π2 ), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (0, π2 ).

dx cos t dt dt √ = = = 2 (sin t) cos t sin2 t x2 1 − x2 √ √ cos t 1 − sin2 t 1 − x2 = − cotg t + c = − =− +c=− +c. sin t sin t x (Poznámka: Primitivní funkci lze též vyjádřit ve tvaru − cotg arcsin x + c.)

dx √ 2+ x √ Primitivní funkci hledáme na intervalu (0, +∞), položíme t = x (t > 0), vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = t2 , pak dx = 2t dt. c)

I2 = (0, +∞), I1 = (0, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (0, +∞).

t+2−2 dt dt = 2 dt − 4 = 2+t 2+t √ √ = 2t − 4 ln(2 + t) + c = 2 x − 4 ln(2 + x) + c .

dx √ = 2+ x

2t dt = 2 2+t

80. Použitím metody per partes najděte primitivní funkce:

a)

ln x dx

u = ln x u = x1 ln x dx v =1 v=x

= x ln x −

dx =

= x ln x − x + c = x(ln x − 1) + c

b)

x sin x dx

u=x u = 1 x sin x dx = −x cos x + v = sin x v = − cos x

= −x cos x + sin x + c 17

cos x dx =

81. Použitím metody per partes najděte primitivní funkce:

a)

x2 ex dx

u = x2 x e dx v = ex

= x2 ex − 2xex + 2

b)

u = 2x = x2 ex − 2 v = ex

2 x

u = 1 v = ex

u=x xe dx v = ex x

ex dx = x2 ex − 2xex + 2ex + c = ex (x2 − 2x + 2) + c

arccos2 x dx

x u = arccos2 x u = − 2√arccos 1−x2 arccos x dx v =1 v=x 2

= x arccos2 x + 2

=

1 u = arccos x u = − √1−x x arccos x 2 √ √ dx √ x = 2 v = 1−x2 v = − 1 − x2 1−x

√ = x arccos2 x − 2 1 − x2 arccos x − 2 dx = √ = x arccos2 x − 2 1 − x2 arccos x − 2x + c

82. Použitím metody per partes najděte primitivní funkce: √ a) a2 + x2 dx

√

a2 + x2 √ dx = a2 + x2 u=x u =√ 1 a2 dx x2 dx + √ 2 = √ 2 x 2 2 = a + x2 a + x2 v = √a2 +x2 v = a + x √ √ √ a2 + x2 dx = = a2 ln(x + a2 + x2 ) + x a2 + x2 − √ √ = a2 ln(x + a2 + x2 ) + x a2 + x2 − I. I=

a2 + x2 dx =

Máme tedy

2I = a2 ln(x +

√

√ a2 + x2 ) + x a2 + x2

a odsud dostáváme √ √ a2 x√ 2 ln(x + a2 + x2 ) + a2 + x2 dx = a + x2 + c 2 2

eax cos bx dx,

b)

I=

a = 0, b = 0

u = cos bx u = −b sin bx e cos bx dx = v = a1 eax v = eax ax

1 ax b ax u = sin bx u = b cos bx = e cos bx + e sin bx dx = v = a1 eax v = eax a a 18

1 ax b b2 e cos bx + 2 eax sin bx − 2 eax cos bx dx. a a a Tedy 1 b b2 I = eax cos bx + 2 eax sin bx − 2 I a a a Dále řešíme tuto rovnici a dostáváme eax eax cos bx dx = 2 (a cos bx + b sin bx) + c a + b2 =

83. Odvoďte rekurentní vzorce pro integrály:

a)

sinn x dx,

In =

n ∈ N, n > 2

u = sinn−1 x u = (n − 1)(sinn−2 x) cos x sin x dx = v = sin x v = − cos x n

In =

= −(sin

n−1

= −(sin

n−1

= −(sin

n−1

x) cos x + (n − 1) x) cos x + (n − 1) x) cos x + (n − 1)

(sinn−2 x) cos2 x dx = (sinn−2 x)(1 − sin2 x) dx =

n−2

(sin

x) dx − (n − 1)

sinn x dx.

Máme tedy In = −(sinn−1 x) cos x + (n − 1)In−2 − (n − 1)In . Dále řešíme tuto rovnici a dostaneme rekurentní vzorec 1 n−1 In−2 In = − (sinn−1 x) cos x + n n

dx , a = 0, n ∈ N, n > 1 + x2 )n Integrál upravíme 2 a + x2 − x2 dx x2 1 1 1 In = 2 dx = − dx. a (a2 + x2 )n a2 (a2 + x2 )n−1 a2 (a2 + x2 )n b)

(a2

Druhý integrál řešíme per partes

u=x x2 dx x v = (a2 +x 2 )n (a2 + x2 )n

u = 1 v = 2(1−n)(a12 +x2 )n−1

1 x + = 2 2 n−1 2(1 − n)(a + x ) 2(n − 1)

(a2

=

dx . + x2 )n−1

Po dosazení pak dostaneme rekurentní vzorec In =

2a2 (n

x 2n − 3 In−1 + 2 2 2 n−1 − 1)(a + x ) 2a (n − 1) 19

Pro n = 1 je I.2.4.

a2

dx 1 x = arctg . 2 +x a a

Příklady

84. Nechť funkce ϕ(x) má spojitou derivaci na intervalu I. Dokažte, že platí

(ϕ(x))α ϕ (x) dx =

⎧ α+1 ⎨ (ϕ(x)) ⎩

α+1

je-li α ∈ R, α = −1

+ c1

je-li α = −1

ln |ϕ(x)| + c2

Substituční metodou najděte primitivní funkce:

85.

86.

87.

− 1)

99.

91.

92.

93.

94.

95.

100.

101.

x4 dx (x5 + 1)4

102.

x dx 4 + x4

√

dx x) √ x

x2 + 1 dx x4 + 1

α

√

x2 dx , 1 + xα+2

103.

2

104.

1 dx (sin ) 2 x x

105.

dx √ x x2 − 1

x2 dx 1+x

x3 dx 3+x

106.

dx 107.

x(1 − x) 20

x(1 − x)10 dx 1+x dx 1−x

α∈R

x dx

1 + x2 +

xe−x dx

1 x

x2 − 1 dx x4 + 1

x3 dx x8 − 2

dx √ x

Návod: volte t = x −

x2 dx

x

(sin

3 2

2

90.

√

e

(8x3 + 27) 3

96.

98.

x dx

89.

x(1 + x)

x dx (1 + x2 )2 (x2

dx

97.

x dx 3 − 2x2

88.

x dx √ 1 − x2

(1 + x2 )3

108.

(1 + x)2 dx 1 + x2

125.

(2 − x)2 dx 2 − x2

126.

x5 dx x+1

127.

109. 110.

dx √ 111. x+1+ x−1 √ 112. x 2 − 5x dx

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

120.

121.

122.

123.

124.

√

√ 3

128.

129. 130.

131.

√

dx 1 + e2x

dx (x ln x) ln ln x ln x √ dx x 1 + ln x

√ x2 3 1 − x dx

134.

dx 1+x 1 − x x2 − 1

√ ln(x + 1 + x2 )

1 + x2

132. 133.

(sin5 x) cos x dx sin x dx 1 + cos x

tg x dx

x3 (1 − 5x2 )10 dx

135.

cotg x dx

x2 dx √ 2−x

136.

x5 dx √ 1 − x2

137.

2

x5 (2 − 5x3 ) 3 dx

138.

dx x e + e−x

139.

ex dx 4 − e2x

140.

e2x dx 1 + ex

141.

√ 4

2x dx 1 − 4x

ln

dx √ x+ 4x

√ 3 x3 1 + x2 dx

√

√

x dx 1 − 3x

dx √ 1+ 3 x+1 √

2x 3x dx 9x − 4x

21

√ (cos5 x) sin x dx sin3 x √ dx cos x √

sin x dx 1 + 2 cos x

sin x + cos x √ dx 3 sin x − cos x sin x √ dx cos 2x cos x √ dx cos 2x

dx

142.

143.

144.

145.

146.

√

158.

sinh x √ dx cosh 2x √ √

sin x cos x a2 sin2 x + b2 cos2 x

dx

150.

151.

152.

153.

154.

155.

156.

sin x cos3 x dx 1 + cos2 x

161.

dx cos4 x

Návod: 1 = sin2 x + cos2 x

dx √ 2 (sin x) 4 cotg x

162.

dx

163.

dx sin x + 2 cos2 x

164.

dx 2 + cos2 x

165.

2

149.

(cosh2 x) 3 tgh2 x

148.

cos3 x dx sin x

160.

147.

dx sin x cos3 x

159.

sin 2x dx sin2 x − cos2 x

157.

cos x dx 2 + cos 2x

sin3 x dx

166.

cos3 x dx

167. tg3 x dx 168.

dx cos x

169.

dx sinh x

170.

cos ln x dx x ln tg x dx sin 2x etg x + cotg x dx cos2 x √

cos x dx esin x − 1

dx √ (arcsin x) 1 − x2 2

cotg3 x dx

sin2 x dx cos6 x

arccos2 2x √ dx 1 − 4x2 √

ln arccos x dx 1 − x2 arccos x

arctg x dx 1 + x2 √ arctg x dx √ 171. x 1+x

dx cosh x

dx 2 sin x cos x

172.

22

arctg ex dx cosh x

Metodou per partes najděte primitivní funkce:

xα ln x dx ,

173.

α ∈ R, α = −1

175.

2

ln x dx 174. x √ x ln2 x dx 177.

178.

179.

180.

181.

182.

183.

184.

185.

176.

192.

ln2 x √ dx x2 x

193.

186. 187.

188.

xe−x dx 2

x3 e−x dx

x3 arctg x dx

ln(x +

197.

x sin2 x dx

198.

x2 sin 2x dx

x ln

x − sin x dx 1 − cos x

199.

200.

√

1 + x2 ) dx

1+x dx 1−x

x2 ln

1−x dx 1+x

x ln x √ dx 1 + x2

x dx cos2 x

ln(x2 − 1) √ dx x+1 √ x ln(x + 1 + x2 ) √ dx 202. 1 + x2

ln sin x dx sin2 x

203.

arctg x dx

204.

201.

3

1 x ln 1 + dx x

(sin x) ln tg x dx

arcsin x dx

205.

191.

x2 arccos x dx

190.

ln2 x dx

arcsin x dx x2 x arccos x √ 195. dx 1 − x2 √ 196. x 1 − x2 arcsin x dx

189.

dx

194.

ln ln x dx x

x cosh 3x dx

3

x sinh x dx

ln x x

x arctg x dx

206. 23

3

x5 ex dx arcsin2 x dx

207.

2

ln (x +

208.

209.

210.

211.

√

2

1+

x

222.

223.

√

x sin

225. x

dx

√

arctg

x dx

√

227. x dx

arccotg ex dx ex √ 216. a2 − x2 dx , x

√

dx

xex sin2 x dx xex dx (x + 1)2

228.

x2 ex dx (x + 2)2

229.

a = 0

a = 0

a2 + x2 dx ,

ln(x + a)x+a (x + b)x+b dx (x + a)(x + b)

230.

sin ln x dx

231.

cos ln x dx

232.

219.

2

(ex − cos x)2 dx

218.

cos x ex

xex sin x dx

217.

e2x sin2 x dx

226.

215.

2

earccos x dx

dx

eax sin bx dx

221.

224.

xe

214.

x2 sin ln x dx

x2 ) dx

dx 2 (a + x2 )2

213.

√

220.

x2 dx (1 + x2 )2

e

212.

x arctg2 x dx

2 1− x

2

ex dx

xf (x) dx

233. Nechť f (x) je ryze monotónní spojitá funkce na intervalu I a f −1 (x) je její inverzní funkce na intervalu f (I). Dokažte, že je-li

f (x) dx = F (x) + c , pak

f −1 (x) dx = xf −1 (x) − F f −1 (x) + c .

Uvažujte případy: a) f (x) = xn (n > 0); b) f (x) = ex ; c) f (x) = arcsin x; d) f (x) = argtgh x. Odvoďte rekurentní vzorce pro integrály In (n ∈ N): 24

234. In =

235. In =

236. In =

237. In =

xn eax dx, a = 0

n

ln x dx

240. In =

xα lnn x dx, α = −1

241. In =

√

xn dx, n > 2 x2 + a

242. In =

n

238. In =

cosn x dx, n > 2

239. In =

243. In =

sin x dx, n > 2

sinhn x dx, n > 2 coshn x dx, n > 2 dx , n>2 sinn x dx , n>2 coshn x

Najděte primitivní funkce:

244.

245.

x8 e−x dx

248.

4

ln x dx

246.

249.

x3 ln3 x dx

√

247.

250.

x6 dx x2 + 9

251.

cos5 x dx sin6 x dx dx dx sin5 x dx dx cosh7 x

252. Dokažte následující vzorce

I.

a2

II.

III.

IV.

V.

VI.

x dx 1 = arctg + c , 2 +x a a

a = 0

a + x dx 1 +c, ln = 2 2 a −x 2a a − x

a = 0

1 x dx ln |a2 ± x2 | + c = ± a2 ± x2 2 √

x dx = arcsin + c , 2 a −x

a2

a>0

√

√ dx = ln |x + x2 ± a2 | + c , 2 2 x ±a

√

√ x dx = ± a2 ± x2 + c , a2 ± x2

a>0

25

a>0

VII.

VIII.

√ √

a2 − x2 dx =

x x√ 2 a2 a − x2 + arcsin + c , 2 2 a

x2 ± a2 dx =

√ x√ 2 a2 x ± a2 ± ln |x + x2 ± a2 | + c , 2 2

a>0 a>0

Upravením kvadratického trojčlenu na tvar y 2 ± a2 , resp. a2 − y 2 , kde y je lineární funkce proměnné x, a použitím příkladu 252 najděte primitivní funkce:

253.

254.

255.

256.

257.

258.

dx , a + bx2

ab = 0

x+1 dx x2 + x + 1

259.

dx 7x2 + 5

260.

dx 2 2x − 5x + 7

261.

dx 5 − 12x − 9x2

262.

x2

x3 dx x4 − x2 + 2

x5 dx x6 − x3 − 2

dx 2 15x − 34x + 15

263.

x dx 4 x − 2x2 − 1

264.

dx 3 sin x − 8 sin x cos x + 5 cos2 x 2

265. Dokažte, že je-li

x dx − 2x cos α + 1

y = ax2 + bx + c,

sin x cos x dx sin4 x + cos4 x a = 0,

pak platí

266.

267.

268.

dx √ , a + bx2

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

y 1 √ √ ln + ay + c1 a 2

pro a > 0

⎪ ⎩

1 −y √ arcsin √ 2 + c2 −a b − 4ac

pro a < 0

dx √ =⎪ y ⎪ ⎪

b = 0

269.

√

dx x + x2

270.

√

dx 2 + 3x − 2x2

271.

26

√

x2

dx − 2x + 5

√

dx 17 − 4x − x2

√

x dx 1 − 3x2 − 2x4

272.

√

273.

274.

275.

(sinh x) cosh x

sinh4 x + cosh4 x

√

x dx 5 + x − x2

√

x+1 dx 2 x +x+1

I.3.1.

276.

dx

277.

279.

√

x3 dx x4 − 2x2 − 1

√

x + x3 dx 1 + x2 − x4

√

√

278.

280.

I.3.

cos x dx 1 + sin x + cos2 x

2 + x − x2 dx 2 + x + x2 dx

√ x x4 + 2x2 − 1 dx

Raciona´lnı´ funkce Rozklad na parciální zlomky

Definice. Racionální funkcí se nazývá funkce f (x) tvaru f (x) =

P (x) , Q(x)

(8)

kde P (x) a Q(x) jsou polynomy s reálnými koeficienty. Věta. Nechť n ∈ N ∪ {0} a Q(x) je polynom s reálnými koeficienty stupně n, tj. Q(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , kde ai ∈ R, i = 0, . . . , n, an = 0. Pak platí Q(x) = an (x − α1 )k1 (x − α2 )k2 . . . (x − αi )ki (x2 + p1 x + q1 )l1 · · (x2 + p2 x + q2 )l2 . . . (x2 + pj x + qj )lj ,

(9)

kde α1 , α2 , . . . , αi jsou reálné různé kořeny polynomu Q a k1 , k2 , . . . , ki jejich násobnosti a kvadratické členy (x2 +p1 x+q1 ), (x2 +p2 x+q2 ), . . . , (x2 +pj x+qj ) jsou reálné, navzájem různé a mají komplexně sdružené kořeny (komplexní kořeny polynomu Q), jejichž násobnosti jsou l1 , l2 , . . . , lj . Poznámka. Vztah (9) se nazývá rozklad polynomu Q na součin kořenových činitelů. V rozkladu (9) může být i = 0 nebo j = 0, pak rozklad neobsahuje lineární nebo kvadratické členy. Platí ovšem k1 + k2 + · · · + ki + 2l1 + 2l2 + · · · + 2lj = n .

27

Věta (o rozkladu racionální funkce na parciální zlomky). Nechť P (x) je reálný polynom stupně m a Q(x) je reálný polynom stupně n a (9) je rozklad polynomu Q(x) na součin kořenových činitelů. Pak existuje polynom R(x) stupně m − n (je-li m < n je R(x) ≡ 0) a n reálných čísel A11 , A12 , . . . , A1k1 , A21 , A22 , . . . , A2k2 , ..., Ai1 , Ai2 , . . . , Aiki , B11 , C11 , B12 , C12 , . . . , B1l1 , C1l1 , B21 , C21 , B22 , C22 , . . . , B2l2 , C2l2 , ..., Bj1 , Cj1, Bj2 , Cj2, . . . , Bjlj , Cjlj

(10)

tak, že pro každé x ∈ R, pro které Q(x) = 0, platí P (x) = R(x) + Q(x) + +

+ + +

A11 A12 A1k1 + + · · · + + x − α1 (x − α1 )2 (x − α1 )k1 A21 A22 A2k2 + +···+ + 2 x − α2 (x − α2 ) (x − α2 )k2 ... Ai1 Ai2 Aiki + +···+ + 2 x − αi (x − αi ) (x − αi )ki

B11 x + C11 B12 x + C12 B1l1 x + C1l1 + + · · · + + x2 + p1 x + q1 (x2 + p1 x + q1 )2 (x2 + p1 x + q1 )l1 B22 x + C22 B2l2 x + C2l2 B21 x + C21 + + · · · + + x2 + p2 x + q2 (x2 + p2 x + q2 )2 (x2 + p2 x + q2 )l2 ...

+

Bjl x + Cjlj Bj1 x + Cj1 Bj2 x + Cj2 + 2 +···+ 2 j . 2 2 x + pj x + qj (x + pj x + qj ) (x + pj x + qj )lj

(11)

Poznámka. Hledání primitivní funkce k racionální funkci (8) se tedy skládá ze dvou částí. Nejprve nalezneme rozklad (11) a pak nalezneme primitivní funkce k parciálním zlomkům. Nalézt rozklad (11) znamená nalézt n konstant (10).

28

Je-li m ≥ n, vydělíme polynomy P (x) : Q(x) a dostaneme P1 (x) P (x) = R(x) + , Q(x) Q(x) 1 (x) kde stupeň P1 (x) je menší než stupeň Q(x). Zbytek, tj. racionální funkci PQ(x) , pak rozkládáme na parciální zlomky. Je-li m < n, je R(x) ≡ 0 a racionální funkci

P1 (x) P (x) = Q(x) Q(x) rozkládáme přímo na parciální zlomky. Důležité! Rozkládat na parciální zlomky můžeme jen racionální funkci stupeň P1 (x) je menší než stupeň Q(x).

P1 (x) , Q(x)

kde

1 (x) , kde stupeň P1 (x) < n, je součtem parciálních Nechť tedy racionální funkce PQ(x) zlomků z rovnosti (11), tj. zkráceně

Bjl x + Cjlj P1 (x) A11 +···+ 2 j , = Q(x) x − α1 (x + pj x + qj )lj

(12)

potom při hledání konstant (10) postupujeme následujícím způsobem: Sečteme zlomky na pravé straně rovnosti (12) a porovnáme polynomy v čitateli racionálních funkcí na obou stranách rovnosti (12). Dostaneme tak rovnost dvou polynomů, kterou můžeme k nalezení konstant (10) využít dvěma způsoby: *) 1) Dva polynomy se sobě rovnají, mají-li u stejných mocnin proměnné x stejné koeficienty. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin proměnné x dostaneme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých konstantách. 2) Dva polynomy (funkce) se sobě rovnají, rovnají-li se funkční hodnoty v každém bodě. Dosazováním různých vhodně zvolených čísel, nejlépe kořenů polynomu Q, dostaneme také soustavu n lineárních rovnic o n neznámých konstantách, která má v případě dosazování kořenů polynomu Q jednodušší tvar. Tato metoda je výhodná zejména v případě, kdy má polynom Q jednoduché kořeny. Obě metody lze vzájemně kombinovat, např. postupným dosazením i reálných různých kořenů získáme přímo i konstant a dalších n − i konstant získáme ze soustavy n − i rovnic, které dostaneme buď porovnáním koeficientů u vybraných n − i mocnin proměnné x (např. nejvyšších nebo nejnižšších) nebo dosazením dalších n−i různých čísel. *) Poznámka. Má-li polynom Q pouze násobné reálné kořeny, můžeme k nalezení konstant (10) použít metodu derivování. Postupným dosazováním všech různých j-násobných kořenů (j = = 1, 2, . . . , k, kde k ∈ N je největší násobnost) do (j − 1). derivace rovnosti dvou polynomů v čitateli rovnosti (12) získáme všechny konstanty (10), viz [4].

29

I.3.2.

Integrace parciálních zlomků

• 1. druhu

⎧ A ln |x − α| + c1 ⎪ ⎨

A dx = ⎪ (x − α)k ⎩

• 2. druhu

pro k = 1

A + c2 (1 − k)(x − α)k−1

(x2

pro k > 1

Bx + C dx + px + q)k

Nechť B = 0, pak upravíme

Bx + C B dx = 2 k (x + px + q) 2 =

B 2

2x + 2C −p B 2x + p + 2C B B dx = dx = 2 k 2 (x + px + q) 2 (x + px + q)k

2x + p Bp dx + C − 2 k (x + px + q) 2

(x2

dx . + px + q)k

První integrál najdeme podle 1. věty o substituci, kde t = ϕ(x) = x2 + px + q.

⎧ 2 ⎪ ⎨ ln(x

+ px + q) + c1 1 + c2 2 (1 − k)(x + px + q)k−1

2x + p dx = ⎪ (x2 + px + q)k ⎩

pro k = 1 pro k > 1

Druhý integrál je vlastně také parciální zlomek 2. druhu pro případ B = 0. Upravíme kvadratický trojčlen

2x + p x + px + q = 2 2

2

p2 + q− 4

2

=a

2x + p 2a

2

+1 ,

2

kde označíme a2 = q − p4 , což lze vzkledem k tomu, že x2 + px + q nemá reálné kořeny. Dále substitucí t = ϕ(x) = 2x+p dostváme 2a

dx = 2 (x + px + q)k

Pro k = 1 je

dt t2 +1

a2k

dx 2x+p 2a

2

k

+1

=

1

a2k−1

(t2

dt . + 1)k

= arctg t, pro k > 0 označme

Ik =

dt (t2 + 1)k

a metodou per partes odvodíme rekurentní vzorec (viz př. 83b) Ik =

t 2k − 3 Ik−1 . + 2 k−1 2(k − 1)(t + 1) 2(k − 1) 30

(13)

Upravíme-li kvadratický trojčlen na tvar

p x + px + q = x + 2 2

kde a2 = q −

p2 , 4

2

+ a2 ,

a označíme-li

Ik =

(x +

dx p 2 ) 2

+ a2

k

dostaneme rekurentní vzorec ve tvaru (viz př. 83b) Ik = pro k > 1, a

x+

p 2

2a2 (k − 1) (x + p2 )2 + a2

k−1

+

2k − 3 Ik−1 2a2 (k − 1)

x+ dx 1 = arctg p 2 2 (x + 2 ) + a a a

p 2

(14)

.

Poznámka. Z popsané metody integrace parciálních zlomků vyplývá, že primitivní funkcí ke každé racionální funkci je elementární funkce. Poznámka. Uvedená metoda integrace racionální funkce je obecná. S její pomocí lze nalézt primitivní funkci ke každé racionální funkci za podmínky, že jsou známy nebo mohou být vypočítány všechny kořeny polynomu ve jmenovateli. V některých případech vidíme, že není nezbytně nutné použít tuto obecnou metodu, ale použití jiného způsobu (algebraické úpravy integrované funkce na jiný tvar, substituční metoda, metoda per partes) vede rychleji k cíli. (viz př. 349–366).

I.3.3.

Ostrogradského metoda

(x) V případě násobných kořenů polynomu Q(x) je rozklad racionální funkce PQ(x) na parciální zlomky spojen s náročným výpočtem konstant (10) a dále pak integrace parciálních zlomků zvláště v případě násobných komplexních kořenů vede na opakované používání rekurentního vzorce (13) resp. (14), tedy ke zdlouhavým výpočtům. Tyto problémy řeší algebraická metoda výpočtu racionální části primitivní funkce k racionální funkci, která se nazývá Ostrogradského metoda. Jak víme z integrace parciálních zlomků, má-li polynom Q(x) násobné kořeny, reálné nebo komplexní, je primitivní funkce vždy součtem racionální funkce a funkcí ln a arctg (případně jen jedné z nich).

31

Věta. Nechť P (x) a Q(x) jsou reálné polynomy, stupeň P < stupeň Q, a polynom Q(x) má násobné kořeny. Pak existují dva polynomy P1 (x) a P2 (x) tak, že platí

P (x) P1 (x) dx = + Q(x) Q1 (x)

P2 (x) dx , Q2 (x)

(15)

kde Q1 (x) · Q2 (x) = Q(x) a polynom Q2 (x) má jen jednoduché kořeny, stupeň P1 ≤ ≤ stupeň Q1 − 1, stupeň P2 ≤ stupeň Q2 − 1. P1 (x) se Q1 (x) P (x) dx. Q(x)

Poznámka. Vztah (15) se nazývá Ostrogradského vzorec, část a

P2 (x)

Q2 (x)

dx transcendentní část primitivní funkce

nazývá racionální

Poznámka. Metoda spočívá v nalezení polynomů P1 (x) a P2 (x) a integraci transcen P2 (x) dentní části Q dx metodou rozkladu na parciální zlomky. Polynomy P1 (x) a 2 (x) P2 (x) vyjádříme obecně s neurčitými koeficienty. Derivováním rovnosti (15) dostaneme P (x)Q1 (x) − P1 (x)Q1 (x) P2 (x) P (x) = 1 + Q(x) Q21 (x) Q2 (x) a po úpravě Q (x)

P1 (x)Q2 (x) − P1 (x) Q11 (x) Q2 (x) + P2 (x)Q1 (x) P (x) = . Q(x) Q1 (x)Q2 (x)

(16)

Porovnání polynomů v čitateli zlomků na obou stranách rovnosti (16) vede k rovnosti dvou polynomů a např. porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x, je-li stupeň Q = n, dostaneme soustavu n lineárních rovnic pro n neznámých koeficientů polynomů P1 (x) a P2 (x). Tato soustava rovnic je většinou jednodušší než soustava (x) rovnic pro koeficienty při rozkladu funkce PQ(x) na parciální zlomky. Dále je výhodné, že racionální část

I.3.4.

P1 (x) Q1 (x)

získáme pouze algebraickou cestou bez použití integrace.


x dx (x + 1)(x + 2)(x − 3) Rozkladem na parciální zlomky

281. Najděte primitivní funkci

A B C x = + + (x + 1)(x + 2)(x − 3) x+1 x+2 x−3 odkud x = A(x + 2)(x − 3) + B(x + 1)(x − 3) + C(x + 1)(x + 2) . 32

Dosazením

x = −1 : −1 = −4A ⇒ A = x = −2 : −2 = 5B

⇒ B = − 25

3 = 20C ⇒ C =

x=3:

1 4

3 20

x dx dx dx dx 1 2 3 = − + = (x + 1)(x + 2)(x − 3) 4 x + 1 5 x + 2 20 x − 3 1 2 3 = ln |x + 1| − ln |x + 2| + ln |x − 3| + c . 4 5 20

2x4 + 5x2 − 2 dx 2x3 − x − 1 Vydělením a rozkladem jmenovatele dostaneme


2x4 + 5x2 − 2 6x2 + x − 2 6x2 + x − 2 = x + = x + 2x3 − x − 1 2x3 − x − 1 (x − 1)(2x2 + 2x + 1) Rozkladem na parciální zlomky 6x2 + x − 2 A Bx + C = + 2 2 (x − 1)(2x + 2x + 1) x − 1 2x + 2x + 1 odkud

6x2 + x − 2 = A(2x2 + 2x + 1) + (Bx + C)(x − 1) .

Dosazením x = 1 : 5 = 5A ⇒ A = 1 a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x2 :

6 = 2A + B ⇒ B = 4

x0 : −2 = A − C ⇒ C = 3 . Je tedy

2x4 + 5x2 − 2 dx 4x + 3 dx = x dx + + dx = 3 2 2x − x − 1 x−1 2x + 2x + 1 x2 4x + 2 dx + ln |x − 1| + dx + 2 = = 2 2 2x + 2x + 1 (2x + 1)2 + 1 =

x2 + ln |x − 1| + ln(2x2 + 2x + 1) + arctg(2x + 1) + c . 2

33

2x3 + x2 + 5x + 1 dx (x2 + 3)(x2 − x + 1) Rozkladem na parciální zlomky


2x3 + x2 + 5x + 1 Ax + B Cx + D = + (x2 + 3)(x2 − x + 1) x2 + 3 x2 − x + 1 odkud 2x3 + x2 + 5x + 1 = (Ax + B)(x2 − x + 1) + (Cx + D)(x2 + 3) a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x3 : 2 = A + C x2 : 1 = −A + B + D x1 : 5 = A − B + 3C x0 : 1 = B + 3D dostaneme A = 0, B = 1, C = 2, D = 0. Upravíme

1 x2 − x + 1 = x − 2

2

⎡

3 2x − 1 3 + = ⎣ √ 4 4 3

2

⎤

+ 1⎦

a vypočteme

2x3 + x2 + 5x + 1 dx 2x dx = + dx = 2 2 2 2 (x + 3)(x − x + 1) x +3 x −x+1 4 1 x 2x − 1 dx √ √ dx + = = arctg + 2 √ ) +1 x2 − x + 1 3 3 3 ( 2x−1 3 √ 1 x 2 3 2x − 1 2 = √ arctg √ + ln(x − x + 1) + +c . arctg √ 3 3 3 3


x4 + 1 dx x5 + x4 − x3 − x2

Úpravou jmenovatele x5 + x4 − x3 − x2 = x2 (x3 + x2 − x − 1) = x2 (x + 1)(x2 − 1) = x2 (x + 1)2 (x − 1) a rozkladem na parciální zlomky dostaneme x4 + 1 D A B C E + . = + 2+ + 5 4 3 2 2 x +x −x −x x x x + 1 (x + 1) x−1 34

Máme x4 + 1 = Ax(x + 1)2 (x − 1) + B(x + 1)2 (x − 1) + + Cx2 (x2 − 1) + Dx2 (x − 1) + Ex2 (x + 1)2 , odkud dosazením x=0:

1 = −B ⇒ B = −1

x = −1 : 2 = −2D ⇒ D = −1 x=1:

2 = 4E

⇒E=

1 2

a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x4 : 1 = A + C + E x1 : 0 = −A − B dostaneme A = 1, B = −1, C = − 12 , D = −1, E = 12 . Je tedy

x4 + 1 dx = x5 + x4 − x3 − x2 1 dx dx dx 1 dx dx − + = − − = x x2 2 x+1 (x + 1)2 2 x − 1 1 1 1 1 + ln |x − 1| + c . = ln |x| + − ln |x + 1| + x 2 x+1 2

285. Vypočtěte

4x2 − 8x dx (x − 1)2 (x2 + 1)2

Rozkladem na parciální zlomky dostaneme B Ex + F 4x2 − 8x A Cx + D + + 2 = + 2 . 2 2 2 2 (x − 1) (x + 1) x − 1 (x − 1) x +1 (x + 1)2 Máme 4x2 − 8x = A(x − 1)(x2 + 1)2 + B(x2 + 1)2 + + (Cx + D)(x − 1)2 (x2 + 1) + (Ex + F )(x − 1)2 , odkud dosazením x=1: x=i:

−4 = 4B −4 − 8i = (Ei + F )(i − 1)2 = 2E − 2iF

35

a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x5 : 0 = A + C x4 : 0 = −A + B − 2C + D x0 : 0 = −A + B + D + F dostaneme A = 2, B = −1, C = −2, D = −1, E = −2, F = 4. Je tedy

=2

dx − x−1

= 2 ln |x − 1| +

4x2 − 8x dx = (x − 1)2 (x2 + 1)2

dx − (x − 1)2

2x + 1 dx − x2 + 1

2x − 4 dx = (x2 + 1)2

1 1 − ln(x2 + 1) − arctg x + 2 +4 x−1 x +1

dx . (x2 + 1)2

Podle rekurentního vzorce (13) je

(x2

1 dx x + arctg x . = 2 2 + 1) 2(x + 1) 2

Máme tedy

1 1 + 2x 4x2 − 8x (x − 1)2 + arctg x + + 2 +c. dx = ln 2 2 2 2 (x − 1) (x + 1) x +1 x−1 x +1

286. Ostrogradského metodou vypočtěte (příklad 285)

4x2 − 8x dx (x − 1)2 (x2 + 1)2

Protože Q(x) = (x − 1)2 (x2 + 1)2 je Q1 (x) = (x − 1)(x2 + 1), Q2 (x) = (x − − 1)(x2 + 1) a P1 (x) = Ax2 + Bx + C, P2 (x) = ax2 + bx + c. Tedy

4x2 − 8x Ax2 + Bx + C ax2 + bx + c + dx . dx = (x − 1)2 (x2 + 1)2 (x − 1)(x2 + 1) (x − 1)(x2 + 1)

Derivováním 4x2 − 8x = (x − 1)2 (x2 + 1)2 =

(2Ax + B)(x − 1)(x2 + 1) − (3x2 − 2x + 1)(Ax2 + Bx + C) ax2 + bx + c + (x − 1)2 (x2 + 1)2 (x − 1)(x2 + 1)

36

a po úpravě 4x2 − 8x = (2Ax + B)(x3 − x2 + x − 1) − (Ax2 + Bx + C)(3x2 − 2x + 1) + + (ax2 + bx + c)(x3 − x2 + x − 1) . Porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x5 : 4

0=a

x :

0 = −A + b

x3 :

0 = −2B + c − b

2

x :

4 = A + B − 3C + b − c

x1 : −8 = −2A + 2C + c − b x0 :

0 = −B − C − c

dostaneme A = 3, B = −1, C = 0, a = 0, b = 3, c = 1. Rozložíme na parciální zlomky D Ex + F 3x + 1 = + 2 , 2 (x − 1)(x + 1) x−1 x +1 a tedy

3x + 1 = D(x2 + 1) + (Ex + F )(x − 1),

odkud dosazením x = 1 : 4 = 2D ⇒ D = 2 a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x2 : 0 = D + E ⇒ E = −2 x0 : 1 = D − F ⇒ F = 1 . Je tedy

4x2 − 8x 3x2 − x +2 dx = (x − 1)2 (x2 + 1)2 (x − 1)(x2 + 1) =

dx − x−1

2x − 1 dx = x2 + 1

3x2 − x + 2 ln |x − 1| − ln(x2 + 1) + arctg x + c = (x − 1)(x2 + 1) =

(x − 1)2 3x2 − x + ln + arctg x + c . (x − 1)(x2 + 1) x2 + 1

37

287. Najděte racionální část primitivní funkce

(x2

dx + 1)3

Použijeme Ostrogradského metodu. Protože Q(x) = (x2 +1)3 , je Q1 (x) = (x2 + + 1)2 , Q2 (x) = x2 + 1 a P1 (x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D, P2 (x) = ax + b. Tedy

dx Ax3 + Bx2 + Cx + D = + (x2 + 1)3 (x2 + 1)2

ax + b dx . x2 + 1

Derivováním 1 (x2 + =

1)3

=

(3Ax2+ 2Bx + C)(x2 + 1)2 − 2(x2 + 1)(2x)(Ax3 + Bx2 + Cx+ D) ax+ b + 2 (x + 1)4 x +1

a po úpravě 1 = (3Ax2 + 2Bx + C)(x2 + 1) − 4x(Ax3 + Bx2 + Cx + D) + (ax + b)(x2 + 1)2 . Porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x5 : 0 = a x4 : 0 = −A + b x3 : 0 = −2B x2 : 0 = 3A − 3C + 2b x1 : 0 = −4D x0 : 1 = C + b dostaneme A = 38 , B = 0, C = 58 , D = 0, a = 0, b = 38 . Racionální část primitivní funkce je

1 3x3 + 5x . 8 (x2 + 1)2

I.3.5. Příklady Rozkladem na parciální zlomky najděte primitivní funkce:

288.

289.

dx (x − 1)(x + 3)

290.

dx 2 x +x−2

291.

38

x dx (x + 2)(x + 3) 2x + 3 dx (x − 2)(x + 5)

292.

293.

294.

295.

296.

297.

x dx 2 2x − 3x − 2

308.

x dx 3 x − 3x + 2

309.

x2 − 5x + 9 dx x2 − 5x + 6

310.

x3 + 1 dx x3 − 5x2 + 6x

311.

x10 dx x2 + x − 2

312.

3x3 − 5x + 8 dx x2 − 4

313.

2x + 11 dx + 6x + 13

314.

298.

x2

299.

300.

301.

302.

303.

304.

306.

307.

x2 + 1 dx (x2 − 1)(x2 − 4)

dx (x + 1)(x + 2)2 (x + 3)3 dx x5 + x4 − 2x3 − 2x2 + x + 1

x4

dx − 13x2 + 36

x2 + 5x + 4 dx x4 + 5x2 + 4

x6 − 2x4 + 3x3 − 9x2 + 4 dx x5 − 5x3 + 4x

315.

dx (x + 1)(x2 + 1)

x4 dx x4 + 5x2 + 4

316.

2x2 + 41x − 91 dx (x − 1)(x + 3)(x − 4)

317.

4x2 + 4x − 11 dx (2x − 1)(2x + 3)(2x − 5)

318.

5x − 3 dx (x − 2)(3x2 + 2x − 1)

319.

(x2

dx − 2)(x2 + 3)

(x2

dx − 4x + 4)(x2 − 4x + 5)

(x −

x2 + 1 dx (x + 1)2 (x − 1) x x2 − 3x + 2

x5 + x4 − 8 dx x3 − 4x

x2 dx x2 − 6x + 10

305.

320.

2

dx 3 6x − 7x2 − 3x

322. 323. 39

dx +1

x dx x3 − 1 dx −1

x6

5x − 14 dx 3 x − x2 − 4x + 4

dx x(1 + x)(1 + x + x2 ) x3

321.

dx

x dx + 2x + 2)

1)2 (x2

dx −1

x4

324.

325.

326.

dx 2 (x + 1)(x2 + 2)

329.

dx x4 + 1

330.

dx −1

x8

327.

x4

328.

dx +1

x8

dx (1 + x)(1 + x2 )(1 + x3 )

331.

dx + x2 + 1

x5

dx 6 x +1

332.

−

x4

dx + − x2 + x − 1 x3

x2 dx x4 + 3x3 + 92 x2 + 3x + 1

333. Při jaké podmínce je primitivní funkce

ax2 + bx + c dx x3 (x − 1)2

racionální funkce? Ostrogradského metodou najděte primitivní funkce:

334.

335.

336.

337.

338.

x dx (x − 1)2 (x + 1)3

339.

(x4

dx 3 (x + 1)2

340.

x2 + 3x − 2 dx (x − 1)(x2 + x + 1)2

dx 2 (x + 1)3

341.

dx 4 3 x + 2x + 3x2 + 2x + 1

342.

x2 dx (x2 + 2x + 2)2

343.

344.

dx + 1)2

(x4

dx − 1)3

3x4 + 4 dx x2 (x2 + 1)3

x(2x2 + 2x − 1) dx (x − 1)2 (x2 + x + 1)3

x6 − x5 + x4 + 2x3 + 3x2 + 3x + 3 dx (x + 1)2 (x2 + x + 1)3

Najděte racionální část primitivní funkce:

345.

(x2 + 1) dx (x4 + x2 + 1)2

346.

dx 3 (x + x + 1)3

40

347.

(4x5 − 1) dx (x5 + x + 1)2

348. Při jaké podmínce je primitivní funkce

αx2 + 2βx + γ dx (ax2 + bx + c)2

a = 0, b2 = 4ac,

racionální funkce? Použitím vhodných postupů (algebraických úprav, substituce, rozkladu na parciální zlomky apod.) najděte primitivní funkce:

349.

350.

351.

352.

353.

354.

360.

x dx x8 − 1

361.

x3 dx x8 + 3

362.

x2 + x dx x6 + 1

x dx + 3x4 + 2

356.

x dx + 2x5 + 2)2

x2n−1 dx xn + 1

367.

x3n − 1 dx (x2n + 1)2

368.

dx 10 x(x + 2)

369.

358.

x4 − 1 dx x(x4 − 5)(x5 − 5x + 1)

x2 − 1 dx x4 + x3 + x2 + x + 1

x5 − x dx x8 + 1

x2 + 1 dx x4 + x2 + 1

x2 + 1 dx x6 + 1

x4 + 1 dx x6 + 1

366.

357.

359.

9

(x10

1 − x7 dx x(1 + x7 )

365.

11

x8

364.

x4 dx (x10 − 10)2

dx + 1)2

x(x10

363.

x4 − 3 dx x(x8 + 3x4 + 2)

355.

x3 dx (x − 1)100

dx dx + x2 )

x6 (1

41

x8

dx dx + x4 + 1

I.4.

Iraciona´lnı´ funkce

Při hledání primitivních funkcí některých funkcí (transcendentních) lze integrované funkce vhodnou substitucí (nebo více substitucemi) převést na integraci racionálních funkcí. V této části uvedeme nejvíce používané substituce pro některé významné třídy iracionálních funkcí. Úmluva. Označme R(x1 , . . . , xn ) racionální funkci n proměnných, tj. podíl dvou polynomů s reálnými koeficienty n proměnných, kde za proměnné dosazujeme funkce, např. √ √ √ x2 + x 3 . √ = R x, x, 1 + x 1 + 1 + x3

I.4.1.

R x,

ax + b s1 cx + d

,...,

ax + b sn cx + d

dx

Předpoklady: n ∈ N, s1 , . . . , sn ∈ Q, a, b, c ∈ R, ad − bc = 0. I.4.1.1.

Substituce

Položíme

ax + b , cx + d kde s je společný jmenovatel zlomků s1 , . . . , sn (jsou z Q), vypočítáme x, volíme substituci b − dts x = ϕ(t) = s ct − a a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce. ts =

I.4.1.2.



x−a dx , x+a

a>0

Primitivní funkci hledáme na intervalech (−∞, −a) a (a, +∞), položíme

t=

x−a x+a 2

vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = −a tt2 +1 , pak −1 dx =

(t2

42

4at dt . − 1)2

1) I2 = (−∞, −a), I1 = (1, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (1, +∞), 2) I2 = (a, +∞), I1 = (0, 1), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (0, 1).

x−a dx = x+a

t

4at dt = 4a (t2 − 1)2

t2 dt . (t2 − 1)2

Rozkladem na parciální zlomky t2 B D A C + + = + , 2 2 2 (t − 1) t − 1 (t − 1) t + 1 (t + 1)2 takže t2 = A(t + 1)2 (t − 1) + B(t + 1)2 + C(t − 1)2 (t + 1) + D(t − 1)2 . Dosazením

1 4 1 4

t = −1 : 1 = 4D ⇒ D = 1 = 4B ⇒ B =

t=1:

a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x t3 : 0 = A + C t0 : 0 = −A + B + C + D dostaneme A = 14 , C = − 14 . Můžeme tedy dopočítat náš integrál

=a

=

x−a t2 dt = dx = 4a x+a (t2 − 1)2

dt dt dt dt + + − 2 t−1 (t − 1) t+1 (t + 1)2

t − 1 2at − a ln 2 t+1 t −1

=

+c=

x−a x+a a ln x−a x+a

x−a 2a ln x+a

− 1

k = c − a ln 2a .

43

=

x−a

− 2a x+a −2a + 1 x+a

x−a − 1 + (x + a) x+a

kde

+ k,

+c=

√ √ 3 x + x2 + 6 x √ dx x(1 + 3 x)


Primitivní funkci hledáme na intervalu (0, +∞) = I2 , protože s1 = 23 , s2 = 16 , s3 = 13 je s = 6, volíme x = ϕ(t) = t6 , dx = 6t5 dt. I1 = (0, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (0, +∞). √ √ 3 x + x2 + 6 x √ dx = x(1 + 3 x)

=6

5 t6 + t4 + t 5 t + t3 + 1 dt 3 t dt = 6 dt = 6 t dt + 6 = 6 2 2 t (1 + t ) 1+t 1 + t2 √ 3√ 3 3 x2 + 6 arctg 6 x + c . = t4 + 6 arctg t + c = 2 2

dx


3

(2 + x)(2 − x)5

Primitivní funkci hledáme na intervalech (−∞, −2), (−2, 2), (2, +∞). Upravíme 3

1

=

(2 + x)(2 − x)5

položíme t3 =

3

2−x , 2+x

vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = 2 pak dx = −12

1 2−x , 2 + x (2 − x)2

1 − t3 , 1 + t3

t2 dt . (1 + t3 )2

1) I2 = (−∞, −2), I1 = (−∞, −1), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na (−∞, −1), 2) I2 = (−2, 2), I1 = (0, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na (0, +∞), 3) I2 = (2, +∞), I1 = (−1, 0), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na (−1, 0).

3

= −12

dx

(2 + x)(2 − x)5

(t3 + 1)2 t3 3 dt = − 6 3 2 16t (t + 1) 4

44

=

3

2 − x dx = 2 + x (2 − x)2

dt 31 3 = 2 +c= 3 t 8t 8

3

2+x 2−x

2

+c .

I.4.1.3.

Příklady

Vypočítejte:

dx √ 1+ x √ x dx √ 374. 1+ x √ 1−2 x √ dx 375. 1+2 x √ 3 x √ √ dx 376. x( x + 3 x) 373.

377.

382.

384.

a>0

(x + 1)2 (x − 1)4

3

dx

(x − a)(b − x)

,

a > 0, b >

>0 a > 0, b > 0, a = b

(x − a)n+1 (x − b)n−1

1+

dx ,

dx

389.

dx

√

x3 (a − x)

4

388.

(x + a)(x + b) dx ,

392.

x

387.

a>0

x dx x + 1 x3

5

386.

x dx , 2a − x

x+4 dx x

n

√

385.

dx √ √ (1 + 4 x) 3 x √ x+1+1 √ 379. dx x+1−1 √ x32+x √ dx 380. x+ 32+x √ 1− x+1 √ dx 381. 1+ 3 x+1

x

391.

378.

x+1 dx x−1

3

383.

dx √ √ x(1 + 2 x + 3 x)

390.

√ √ x+1− x−1 √ √ dx x+1+ x−1

dx ,

a > 0, b > 0, a = b, n ∈ N

dx √ x+ 1+x

393. Dokažte, že primitivní funkce

R x,

n

(x −

a)p (x

−

b)q

dx ,

kde R(x, y) je racionální funkce proměnných x a y = ∈ Z. p, q ∈ Z, a, b ∈ R, je elementární funkce, jestliže p+q n 45

n

(x − a)p (x − b)q ,

I.4.2.

R x,

ax2

+ bx + c

dx

Předpoklady: a, b, c ∈ R, a = 0, b2 − 4ac = 0. I.4.2.1.

Eulerovy substituce

1. Eulerova substituce: Je-li a > 0, položíme √ √ ax2 + bx + c = ± ax + t , vypočítáme x a volíme substituci x = ϕ(t) =

t2 − c √ b ∓ 2 at

a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. 2. Eulerova substituce: Je-li c > 0, položíme √ √ ax2 + bx + c = xt ± c , a za předpokladu x = 0 vypočítáme x a volíme substituci √ ±2 ct − b x = ϕ(t) = a − t2 a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. Jestliže bod 0 patří do definičniho oboru integrované funkce, pak pro x > 0 a pro x < 0 volíme integrační konstanty a dodefinujeme integrací získanou funkci v bodě 0 tak, aby primitivní funkce byla spojitá na celém definičním oboru integrované funkce. 3. Eulerova substituce: Má-li polynom ax2 + bx + c reálné kořeny (různé), pak ax2 + bx + c = a(x − α1 )(x − α2 ) a √

x − α1 x − α2 ax2 + bx + c = |x − α2 | a = |x − α1 | a , x − α2 x − α1

čímž se dostaneme k případu funkce, který je řešen v sekci I.4.1 (str. 42). √ √ Poznámka. Znaménko u a v 1. Eulerově substituci √ a u c ve 2. Eulerově substituci volíme většinou s přihlédnutím k tvaru funkce R(x, ax2 + bx + c), ale v podstatě lze volit libovolně. Poznámka. Z uvedených substitucí je zřejmé, že bychom vystačili s 1. a 3. Eulerovou substitucí, protože pro a < 0 musí mít polynom ax2 + bx + c reálné kořeny, aby 46

integrovaná funkce neměla definiční obor roven prázdné množině. Nejsou-li kořeny polynomu ax2 + bx+ c celočíselné, vede často 3. Eulerova substituce ke složitým algebraickým úpravám integrované funkce proměnné t, a proto, pokud to jde, používáme v těchto případech 2. Eulerovu substituci. Jestliže polynom ax2 + bx + c splňuje podmínky dvou nebo všech tří Eulerových substitucí, lze použít kteroukoliv z těchto substitucí (s přihlédnutím k předešlé poznámce).

I.4.2.2.

R1 (x) dx √ ax2 + bx + c

√ Eulerovými substitucemi lze převést integraci každé funkce R(x, ax2 + bx + c) P (t) proměnné t. V některých případech ale může být na integraci racionální funkce Q(t) polynom Q(t) dosti vysokého stupně nebo nelze algebraickými metodami nalézt jeho kořeny, takže nedokážeme polynom Q(t) rozložit na součin kořenových činitelů, a tedy nenalezneme rozklad (11). V takových případech lze použít při integraci jiné metody nebo substituce. Každou racionální funkci √ R(x, ax2 + bx + c) lze algebraickými úpravami vyjádřit ve tvaru součtu √

R1 (x) + R2 (x) , ax2 + bx + c

kde R1 (x) a R2 (x) jsou racionální funkce. Jestliže nyní nalezneme rozklad (11) racionální funkce R1 (x) na součet polynomu Pk (x) a parciálních zlomků, dostaneme se k integrálům následujících tří typů:

√

I.

III.

III.

(x −

α)k

dx √ ax2 + bx + c

Ax + B √ dx , (x2 + px + q)k ax2 + bx + c

I.4.2.3.

Pk (x) dx ax2 + bx + c

p2 − 4q < 0.

Pk (x) √ dx ax2 + bx + c

Primitivní funkci tohoto typu nalezneme tzv. metodou Ostrogradského; podobně jako při integraci racionálních funkcí nalezneme část výsledku algebraickými operacemi. 47

Věta. Nechť Pk (x) je reálný polynom stupně k. Pak existuje polynom Q(x), stupeň Q(x) ≤ k − 1, a konstanta λ tak, že platí

√

√ Pk (x) dx = Q(x) ax2 + bx + c + λ ax2 + bx + c

√

ax2

dx . + bx + c

(17)

Poznámka. Metoda spočívá v nalezení polynomu Q(x) a konstanty λ a dále v na1 lezení primitivní funkce k funkci √ax2 +bx+c . Polynom Q(x) vyjádříme obecně s neurčitými koeficienty a derivováním rovnosti (17) dostáváme √ λ 2ax + b Pk (x) 2 + bx + c + Q(x) √ √ = Q + , (x) ax ax2 + bx + c 2 ax2 + bx + c ax2 + bx + c √ odkud po vynásobení výrazem ax2 + bx + c dostaneme rovnost dvou polynomů √

Pk (x) = Q (x)(ax2 + bx + c) +

1 Q(x)(2ax + b) + λ . 2

(18)

Porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x na obou stranách rovnosti (18) dostaneme soustavu k + 1 lineárních rovnic pro k neznámých koeficientů polynomu Q(x) a konstantu λ. Primitivní funkci

√

ax2

dx + bx + c

nalezneme úpravou kvadratického trojčlenu ax2 + bx + c podle vzorců X. a XI. uvedených v sekci I.1.3 Vzorce (str. 9).

I.4.2.4.

dx √ (x − α)k ax2 + bx + c

Primitivní funkci tohoto typu převedeme substitucí na typ I. Položíme t=

1 , x−α

vypočítáme x a volíme substituci x = ϕ(t) = přejdeme k integrálu

− sgn t

1 t

+ α a podle 2. věty o substituci

tk−1 dt

(aα2 + bα + c)t2 + (2aα + b)t + a

který je řešen v sekci I.4.2.3 (str. 47).

48

,

I.4.2.5.

(Ax + B) dx √ , (x2 + px + q)k ax2 + bx + c

p2 − 4q < 0, k ∈ N

1. Je-li x2 + px + q = ax2 + bx + c, pak upravíme

(Ax + B) dx (x2 + px + q)

A = 2

2k+1 2

(2x + p) dx (x2 + px + q)

2k+1 2

Ap + B− 2

dx (x2 + px + q)

2k+1 2

První integrál nalezneme podle 1. věty o substituci. Substitucí t = ϕ(x) = x2 + px + q, druhý integrál nejprve upravíme

dx (x2 + px + q)

kde t = x +

p 2

a γ2 = q −

p2 . 4

2k+1 2

dt

=

(t2 + γ 2 )

2k+1 2

,

Dále položíme u= √

t2

t , + γ2

vypočítáme t a volíme substituci (Abelovu) t = ϕ(u) = √

γu 1 − u2

a konečně podle 2. věty o substituci dostáváme

dt (t2

+

γ2)

2k+1 2

=

1 γ 2k

(1 − u2)k−1 du .

2. Je-li x2 + px + q = ax2 + bx + c, pak hledáme substituci x = ϕ(t) takovou, aby v obou kvadratických trojčlenech vymizely lineární členy. V případě p = ab jde o substituci x=t− V případě p =

b a

p . 2

položíme

αt + β , t+1 kde α, β ∈ R. Dosadíme za x do obou kvadratických trojčlenů a zjistíme, že čísla α, β jsou řešením soustavy rovnic x=

2αβ + p(α + β) + 2q = 0 2aαβ + b(α + β) + 2c = 0, 49

tedy

bq − pc aq − c , αβ = , ap − b ap − b což znamená, že α, β jsou kořeny kvadratické rovnice α + β = −2

(ap − b)z 2 + 2(aq − c)z + (bq − pc) = 0 . Substituce x = t − p2 , resp. x =

αt+β , t+1

(t2

převádí hledaný integrál na integrál tvaru

P (t) dt √ , + λ)k st2 + r

kde P (t) je polynom stupně 2k − 1 a λ > 0. Pro k > 1 rozložíme racionální funkci P (t) + λ)k

(t2

na parciální zlomky a dostaneme součet integrálů typu

t dt √ , 2 (t + λ)l st2 + r

(t2

dt √ , + λ)l st2 + r

l = 1, 2, . . . , k.

První integrál nalezneme podle 1. věty o substituci substitucí u = ϕ(t) = a druhý integrál podle 2. věty o substituci Abelovou substitucí: položíme v=√

√ st2 + r

st , st2 + r

vypočítáme t a volíme substituci (Abelovu)

t = ϕ(v) =

v r √ , s s − v2

které převádí hledaný integrál na integrál tvaru

s

I.4.2.6.

l

(s − v 2 )l−1 dv . ((r − sλ)v 2 + λs2 )l

Goniometrické a hyperbolické substituce

Primitivní funkci

R(x,

√

ax2 + bx + c) dx

lze vždy algebraickými úpravami kvadratického trojčlenu a odpovídající lineární substitucí upravit na jeden z následujících typů √ √ √ R(t, α2 − t2 ) dt , R(t, t2 − α2 ) dt , R(t, α2 + t2 ) dt .

50

Substitucemi v případech √ α2 − t2 : t = α sin u, t = α cos u, t = α tgh u, √ α t2 − α2 : t = , t = ± α cosh u, t = α cotgh u, cos u √ t2 + α2 : t = α sinh u, t = α tg u, t = α cotg u, podle 2. věty o substituci přejdeme k primitivní funkci

R1 (sin u, cos u) du ,

resp.

R2 (sinh u, cosh u) du ,

kterou nalezneme buď použitím vzorců nebo dalšími substitucemi (viz I.5, I.6). I.4.2.7.


dx x + x2 + x + 1 Primitivní funkci hledáme na intervalech (−∞, −1) a (−1, +∞). Použijeme 1. Eulerovu substituci. Položíme √ x2 + x + 1 = −x + t ,

394. Vypočtěte

√

vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = pak dx = 2

t2 − 1 , 1 + 2t

t2 + t + 1 dt . (1 + 2t)2

1) I2 = (−∞, −1), I1 = (− 12 , 0), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (− 12 , 0), 2) I2 = (−1, +∞), I1 = (0, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (0, +∞).

I=

dx √ =2 x + x2 + x + 1

1 t2 + t + 1 dt . t (1 + 2t)2

Rozkladem na parciální zlomky t2 + t + 1 B C A + = + , 2 t(1 + 2t) t 1 + 2t (1 + 2t)2 takže

t2 + t + 1 = A(1 + 2t)2 + Bt(1 + 2t) + Ct .

51

Dosazením t=0:

1=A

t = − 12 :

3 4

t=1:

3 = 9A + 3B + C ⇒ B = − 32

= − 12 C

⇒ C = − 32

Je tedy

dt dt dt −3 −3 = I =2 t 1 + 2t (1 + 2t)2 3 3 1 = 2 ln |t| − ln |1 + 2t| + +c= 2 2 1 + 2t √ √ 3 = 2 ln(x + x2 + x + 1) − ln(1 + 2x + 2 x2 + x + 1) + 2 3 1 √ + + c. 2 1 + 2x + 2 x2 + x + 1

395. Vypočtěte

1+

√

dx 1 − 2x − x2

√ √ Primitivní funkci hledáme na intervalu (−1 − 2, −1 + 2) = I2 . Použijeme √ 2. Eulerovu substituci: položíme 1 − 2x − x2 = xt−1 a pro x = 0 vypočítáme x a volíme t−1 , x = ϕ(t) = 2 2 t +1 pak 1 + 2t − t2 dt . dx = 2 2 (t + 1)2 √ √ 2), 0), I1 = (1 − 2, 1), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 1) x < 0: I√ 2 = (−(1 + na (1 − 2, 1), √ √ √ 2) x > 0: I2 = (0, 2 − 1), I1 = (1, 1 + 2), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (1, 1 + 2).

I=

dx √ = 1 + 1 − 2x − x2

1 + 2t − t2 t2 − 2t − 1 dt . 2 2 dt = − (t + 1)2 t(t − 1)(t2 + 1) 2 tt−1 2 +1 t

1

Rozkladem na parciální zlomky A B Ct + D t2 − 2t − 1 = + + , t(t − 1)(t2 + 1) t t−1 t2 + 1 takže t2 − 2t − 1 = A(t − 1)(t2 + 1) + Bt(t2 + 1) + (Ct + D)t(t − 1) .

52

Dosazením

t = 0 : −1 = −A ⇒ A = 1 t = 1 : −2 = 2B ⇒ B = −1

a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné t t3 : 0 = A + B + C ⇒ C = 0 t2 : 1 = −A + D

⇒ D = 2.

Je tedy

t − 1 dt + 2 arctg t + c0 = = ln I=− 2 t +1 t √ √ 1 − 2x − x2 + 1 − x 1 − 2x − x2 + 1 = ln √ − 2 arctg + c0 . x 1 − 2x − x2 + 1

Závěr:

dt + t

dt −2 t−1

√

Protože lim ln

x→0

a

√ lim arctg

x→0−

1 − 2x − x2 + 1 − x √ =0 1 − 2x − x2 + 1

π 1 − 2x − x2 + 1 =− , x 2

√ lim arctg

x→0+

π 1 − 2x − x2 + 1 = , x 2

volíme pro x > 0 a pro x < 0 integrační konstanty a dodefinujeme integrací získanou funkci v bodě 0 tak, aby primitivní funkce

dx 1 + 1 − 2x − x2 √ √ byla spojitá na intervalu (−(1 + 2), −1 + 2). Označme √ √ 1 − 2x − x2 + 1 − x 1 − 2x − x2 + 1 , F0 (x) = ln √ − 2 arctg x 1 − 2x − x2 + 1 √

F (x) =

pak

⎧ ⎪ ⎪ F0 (x) − π ⎨

F (x) =

396. Vypočtěte

⎪ ⎪ ⎩

+ c pro x ∈ (−(1 +

c

√

pro x = 0

F0 (x) + π + c pro x ∈ (0, −1 +

2), 0)

√

2)

√ x − x2 + 3x + 2 √ dx x + x2 + 3x + 2

Primitivní funkci hledáme na intervalech (−∞, −2), (−1, − 23 ) a (− 23 , +∞), přičemž −1 a −2 jsou kořeny polynomu x2 + 3x + 2. Použijeme 3. Eulerovu substituci. Upravíme √ x+2 , x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1) = |x + 1| x+1 53

položíme

t=

x+2 , x+1

vypočítáme x a volíme

2 − t2 , t2 − 1

x = ϕ(t) = pak dx = −

(t2

2t dt . − 1)2

1) I2 = (−∞, −2), I1 = (0, 1), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na (0, 1), 2) I2 = (−1, − 23 ), I1 = (2, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na (2, +∞). 3) I2 = (− 23 , +∞), I1 = (1, 2), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na (1, 2). a) x > −1 ⇒ |x + 1| = x + 1

x − (x + 1)

x+2 x+1

x + (x + 1)

x+2 x+1

=

2−t2 t2 −1 2−t2 t2 −1

2

− ( t2−t 2 −1 + 1)t +

2 ( 2−t t2 −1

−2t dt = −2 2 + 1)t (t − 1)2

dx =

(t +

t(t + 2) dt . − 1)(t − 2)

1)3 (t

Rozkladem na parciální zlomky A B E C D t2 + 2t = + + + + (t + 1)3 (t − 1)(t − 2) t + 1 (t + 1)2 (t + 1)3 t − 1 t − 2 takže t2 + 2t = A(t + 1)2 (t − 1)(t − 2) + B(t + 1)(t − 1)(t − 2) + + C(t − 1)(t − 2) + D(t + 1)3 (t − 2) + E(t + 1)3 (t − 1) . Dosazením

t = −1 :

C = − 16

t=1:

D = − 38

t=2:

E=

8 27

a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné t t4 : 0 = A + D + E

⇒A=

t0 : 0 = 2A + 2B + 2C − 2D − E ⇒ B =

54

17 216 5 − 36

.

Je tedy

x − (x + 1)

x+2 x+1

x + (x + 1)

x+2 x+1

=−

dx =

1 3 dt 17 dt 5 16 dt dt dt + + + − = 108 t + 1 18 (t + 1)2 3 (t + 1)3 4 t − 1 27 t − 2

=−

1 1 3 16 17 5 1 − ln |t + 1| + ln |t − 1| − ln |t − 2| + c , − 2 18 t + 1 6 (t + 1) 108 4 27

kde

t=

√

x+2 , x+1

resp. t =

x2 + 3x + 2 . x+1

b) x < −2 ⇒ |x + 1| = −(x + 1)

x + (x + 1)

x − (x + 1)

x+2 x+1 x+2 x+1

dx = −2

t(t − 2) dt , (t − 1)3 (t + 1)(t + 2)

substitucí −t = y převedeme na tvar, který je řešen v části a), kde √ x+2 x2 + 3x + 2 y=− , resp. y = , x+1 x+1 tzn., že pro x > −1 i pro x < −2 dostáváme stejný výsledek.

397. Vypočtěte

12x3 + 16x2 + 9x + 2 √ dx 4x2 + 4x + 2

Použijeme Ostrogradského metodu (17); protože stupeň Pk (x) = 3, je stupeň Q(x) ≤ 2, tedy Q(x) = ax2 + bx + c, pak

√ 12x3 + 16x2 + 9x + 2 2 √ +bx+c) 4x2 + 4x + 2+λ dx = (ax 2 4x + 4x + 2

√

dx , 4x2 + 4x + 2

derivací získáme 12x3 + 16x2 + 9x + 2 √ = 4x2 + 4x + 2 √ λ 4x + 2 +√ 2 , = (2ax + b) 4x2 + 4x + 2 + (ax2 + bx + c) √ 2 4x + 4x + 2 4x + 4x + 2 √ dále násobíme výrazem 4x2 + 4x + 2 a dostaneme rovnost dvou polynomů 12x3 + 16x2 + 9x + 2 = (2ax + b)(4x2 + 4x + 2) + (ax2 + bx + c)(4x + 2) + λ , 55

porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x3 : 12 = 8a + 4a

⇒a=1 3 4 1 8 1 4

2

x : 16 = 8a + 4b + 4b + 2a ⇒ b = x1 :

9 = 4a + 4b + 4c + 2b ⇒ c =

x0 :

2 = 2b + 2c + λ

⇒λ=

,

a

√

dx = 4x2 + 4x + 2

Výsledkem tedy je

dx

(2x + 1)2 + 1

=

√ 1 ln 2x + 1 + 4x2 + 4x + 2 . 2

12x3 + 16x2 + 9x + 2 √ dx = 4x2 + 4x + 2 √ 1 √ 2 3 1 2 = x + x+ 4x + 4x + 2 + ln 2x + 1 + 4x2 + 4x + 2 + c . 4 8 8

398. Vypočtěte

(x +

2)2

dx √ x2 + 2x − 5

Primitivní funkci hledáme na intervalech (−∞, −1 − Položíme 1 , t= x+2 vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) =

1 −2, t

dx = −

√

6) a (−1 +

√

6, +∞).

1 dt . t2

√ 1) I2 = (−∞, −1 − 6), I1 = 1−1√6 , 0 , ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na 1−1√6 , 0 , √ 2) I2 = (−1 + 6, +∞), I1 = 0, 1+1√6 , ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na 0, 1+1√6 .

dx √ = (x + 2)2 x2 + 2x − 5

t2

1 − 2 2 1 1 t ( t − 2) + 2( t − 2) − 5

=

dt = −

√

|t| dt ; 1 − 2t − 5t2

upravíme 1 6 5t + 2t − 1 = (25t2 + 10t + 1 − 6) = 5 5 2

56

5t + 1 √ 6

2

−1 .

a) t ∈

−

1√ ,0 1− 6

√

|t| dt = 1 − 2t − 5t2 1 =− 10

=−

√

t dt 1 = − 10 1 − 2t − 5t2

−10t − 2 1 √ dt − 2 5 1 − 2t − 5t

5 6

−10t − 2 + 2 √ dt = 1 − 2t − 5t2 dt

√ )2 1 − ( 5t+1 6

=

5t + 1 1√ 1 1 − 2t − 5t2 − √ arcsin √ + c = 5 5 5 6

5 +1 1 2 1 5 x+2 √ √ arcsin +c= =− 1− − − 5 x + 2 (x + 2)2 5 5 6 √ 1 x2 + 2x − 5 1 x+7 =− − √ arcsin √ +c= 5 |x + 2| 5 5 6(x + 2) √ x+7 x2 + 2x − 5 1 = +c, − √ arcsin √ 5(x + 2) 5 5 6(x + 2)

b) t ∈ 0, 1+1√6

−

√

|t| dt =− 1 − 2t − 5t2

√

t dt = 1 − 2t − 5t2

1√ 5t + 1 1 1 − 2t − 5t2 + √ arcsin √ + c = 5 5 5 6 √ 1 x+7 x2 + 2x − 5 + √ arcsin √ = +c, 5(x + 2) 5 5 6(x + 2) √ √ Výsledkem pro x ∈ (−∞, −1 − 6) ∪ (−1 + 6, +∞) je =

dx √ = (x + 2)2 x2 + 2x − 5

399. Vypočtěte

√

1 x+7 x2 + 2x − 5 + √ arcsin √ +c. 5(x + 2) 5 5 6 |x + 2|

dx √ (x2 + x + 1) x2 + x − 1

√

√

Primitivní funkci hledáme na intervalech −∞, −1−2 5 a −1+2 5 , +∞ ; protože koeficienty u x jsou v obou kvadratických trojčlenech stejné, volíme substituci 1 x = ϕ(t) = t − , 2 pak dx = dt. 57

√

1) I2 = −∞, − 12 −

√

, I1 = −∞, −

5 , 2 √ − 12 + 25 , +∞ ,

na −∞, − 2) I2 =

5 2

I1 =

5 2

5 , +∞ 2

, ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0

, ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na

dx √ = (x2 + x + 1) x2 + x − 1 dt

=

√

√

(t − 12 )2 + (t − 12 ) + 1

(t − 12 )2 + (t − 12 ) − 1

=

√

5 , +∞ 2

dt

t2 +

3 4

t2 −

5 4

a dále použijeme Abelovu substituci. Položíme t v= t2 −

5 4

vypočítáme t a volíme

t = ϕ(v) = pak

dt =

1) I2 = −∞, − 2) I2 =

= −4

5 2

√

5 , +∞ 2

√

t2 +

−1 5 √ dv . 4 (v 2 − 1) v 2 − 1

, I1 = (−∞, −1), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (v) < 0 na (−∞, −1),

, I1 = (1, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (v) < 0 na (1, +∞).

dt

3 4

v 5 √ , 4 v2 − 1

t2 −

5 4

1 dv =√ −3 6

8v 2

1 =√ 6

=

1 5 v2 4 v2 −1

+

3 4

√ √ 3 + 8v √ + c ln √ 3 − 8v

√ 3 (x + 1 )2 2 ln √ 1 3 (x + )2 2

5√ 1 4 v2 −1

1 =√ 6

− 54 + − 54 −

√ √

−dv 5 √ = 2 4 (v − 1) v 2 − 1

√ 3 t2 ln √ 3 t2

√ 8t +c= √ − 54 − 8t − 54 +

8(x + 12 )

+c

8(x + 12 )

=

√ √ √ 3 x2 + x − 1 + 2(2x + 1) 1 √ = √ ln √ √ 2 +c. 6 3 x + x − 1 − 2(2x + 1)

58

.

dx √ + 2) 2x2 − 2x + 5 Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, ∞), a protože koeficienty u x v kvadratických trojčlenech jsou různé, položíme

400. Vypočtěte

(x2

x=

αt + β t+1

a dosadíme

x2 + 2 =

αt + β t+1

2

+2=

(α2 + 2)t2 + (2αβ + 4)t + β 2 + 2 (t + 1)2

αt + β 2x − 2x + 5 = 2 t+1 2

=

2

αt + β −2 t+1

+5=

(2α2 − 2α + 5)t2 + (4αβ − 2α − 2β + 10)t + 2β 2 − 2β + 5 . (t + 1)2

Protože chceme, aby v kvadratických trojčlenech vymizely lineární členy, musí platit 2αβ + 4 = 0 , 4αβ − 2α − 2β + 10 = 0 , tedy α +β = 1,

αβ = −2 ,

a čísla α, β jsou kořeny kvadratické rovnice z 2 − 3z − 2 = 0 . Řešením této rovnice jsou čísla −1 a 2, volíme-li tedy např. α = −1, β = 2, pak −3 2−t a dx = dt . x = ϕ(t) = t+1 (t + 1)2 1) I2 = (−∞, −1), I1 = (−∞, −1), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na (−∞, −1), 2) I2 = (−1, +∞), I1 = (−1, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na (−1, +∞).

(x2 = −3

dx √ = + 2) 2x2 − 2x + 5

dt (t + 1)2 |t + 1| 1 √ =− 2 2 2 3 (3t + 6) 9t + 9 (t + 1)

(t2

|t + 1| √ dt . + 2) t2 + 1

a) t ∈ (−∞, −1), a tedy x ∈ (−∞, −1) 1 − 3

1 |t + 1| dt √ = 2 2 3 (t + 2) t + 1

1 t dt √ + 2 2 (t + 2) t + 1 3 59

(t2

dt √ . + 2) t2 + 1

Integrál

(t2

t dt √ + 2) t2 + 1

nalezneme podle 1. věty o substituci substitucí u = ϕ(t) = du = √

√

t2 + 1, pak

t dt , t2 + 1

√ I1 = (−∞, −1), I2 = R, ϕ(I1 ) = ( 2, +∞) ⊂ I2 , ϕ (t) < 0 na (−∞, −1),

t dt du √ = = arctg u + c1 = 2 2 2 u +1 (t + 2) t + 1

= arctg √ = arctg

√

t2 + 1 + c1 =

2 2x arctg

− 2x + 5 + c1 = (x + 1)2

2x2 − 2x + 5 + c1 = − arctg |x + 1|

Integrál

√

2x2 − 2x + 5 + c1 . x+1

dt √ + 2) t2 + 1 nalezneme Abelovou substitucí: položíme (t2

v=√

t , +1

t2

vypočítáme t a volíme t = ϕ(v) = √

v , 1 − v2

pak dt =

I2 = (−∞, −1), I1 = −1, −

dt √ = (t2 + 2) t2 + 1

√

2 2

(1 −

1 − v2

.

, ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na −1, − 1

v2 1−v2

dv √

v2)

+2

√ 1 1−v2

√

2 2

,

dv dv √ = = 2 − v2 (1 − v 2 ) 1 − v 2

√ √ √ 2 + v 2 t2 + 1 + t 1 1 + c2 = √ ln √ √ + c2 = = √ ln √ 2 2 2 2−v 2 2 2 t + 1 − t √ √ 2 2(2x2 −2x+5) 2−x 2 2x −2x+5 + 2−x + 1 1 (x+1)2 x+1 |x+1| x+1 = √ ln √ 2x2 −2x+5 2−x + c2 = √ ln √ 2 + c2 = 2 2 2 (x+1)2 − x+1 2 2 2(2x −2x+5) − 2−x |x+1|

60

x+1

− 2(2x2 − 2x + 5) + 2 − x 1 + c2 = = √ ln 2 2 − 2(2x2 − 2x + 5) − 2 + x

2(2x2 − 2x + 5) + 2 − x 1 + c2 . = − √ ln 2 2 2(2x2 − 2x + 5) − 2 + x

Výsledkem pro x ∈ (−∞, −1) je √ 2(2x2 − 2x + 5) + 2 − x 1 2x2 − 2x + 5 1 + c3 − √ ln − arctg 3 x+1 6 2 2(2x2 − 2x + 5) − 2 + x b) t ∈ (−1, ∞), a tedy x ∈ (−1, +∞) −

1 1 |t + 1| dt t dt dt 1 √ √ √ = − − = 3 (t2 + 2) t2 + 1 3 (t2 + 2) t2 + 1 3 (t2 + 2) t2 + 1

1 = − arctg 3

√

1 − 2x + 5 − √ x+1 6 2

2x2

2(2x2 ln 2(2x2

Protože √ π 2x2 − 2x + 5 = , lim arctg x→−1+ x+1 2

− 2x + 5) + 2 − x

+ c4 . − 2x + 5) − 2 + x

Závěr:

a

2(2x2 lim ln x→−1 2(2x2

√ lim arctg

x→−1−

π 2x2 − 2x + 5 =− , x+1 2

√ 18 + 3 = ln √ , 18 − 3 − 2x + 5) − 2 + x − 2x + 5) + 2 − x

zvolíme na intervalech (−∞, −1) a (−1, +∞) integrační konstanty a dodefinujeme integrací získanou funkci v bodě −1 tak, aby primitivní funkce

F (x) =

(x2

dx √ + 2) 2x2 − 2x + 5

byla spojitá na intervalu (−∞, ∞). Označme pro x = −1 √ 2 − 2x + 5) + 2 − x 2 2(2x 1 1 2x − 2x + 5 , − √ ln F0 (x) = − arctg 3 x+1 6 2 2(2x2 − 2x + 5) − 2 + x pak

F (x) =

F0 (x) + c

pro x < −1

F0 (x) + 13 π + c pro x > −1 √ 1 18 + 3 π +c. F (−1) = − √ ln √ 6 6 2 18 − 3 61

,

401. Vypočtěte

dx 3

(1 − x2 ) 2

Primitivní funkci hledáme na intervalu (−1, 1), volíme substituci x = ϕ(t) = sin t, pak dx = cos t dt.

I2 = (−1, 1), I1 = − π2 , π2 , ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na − π2 , π2 .

dx (1 − x2 )

= tg t + c =

402. Vypočtěte

3 2

=

cos t dt (1 − sin2 t)

3 2

=

dt = cos2 t

x sin t sin t +c= √ +c= √ +c. 2 cos t 1 − x2 1 − sin t

x2 dx √ x2 − 2

√ √ Primitivní funkci hledáme na intervalech (−∞, − 2) a ( 2, +∞). √ a) x ∈ (−∞, − 2), √ √ volíme substituci x = ϕ(t) = − 2 cosh t, pak dx = − 2 sinh t dt. √ I2 = (−∞, − 2), I1 = (0, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na (0, +∞),

=−

x2 dx √ =− x2 − 2

2 cosh2 t

√

2 cosh2 t − 2

(cosh 2t + 1) dt = −

2 sinh t dt = −2

cosh2 t dt =

1 sinh 2t − t + c1 = − sinh t cosh t − t + c1 = 2

x = −(cosh t) cosh2 t − 1 − t + c1 = √ 2

x2 x − 1 − argcosh − √ + c1 = 2 2

x2 x√ 2 x − 1 + c1 = = x − 2 − ln − √ + 2 2 2 √ √ x√ 2 x − 2 + ln 2 − ln x2 − 2 − x + c1 = = 2 √ x√ 2 −2 + ln 2 + c1 = = x − 2 + ln √ 2 2 x −2+x √ √ x√ 2 x − 2 + ln −(x + x2 − 2 ) − ln 2 + ln 2 + c1 = = 2 √ x√ 2 = x − 2 + ln −(x + x2 − 2 ) + c . 2

62

√ b) x ∈ (−∞, − 2),

√ √ volíme substituci x = ϕ(t) = 2 cosh t, pak dx = 2 sinh t dt. √ I2 = ( 2, +∞), I1 = (0, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (0, +∞),

x2 dx √ = x2 − 2

√

2 cosh2 t

2

2 cosh t − 2

x = (cosh t) cosh2 t − 1 + t + c2 = √ 2

2 sinh t dt = 2

x x2 − 1 + argcosh √ + c2 = 2 2

cosh2 t dt =

x√ 2 x x2 x − 2 + ln √ + = − 1 + c2 = 2 2 2 √ √ √ x√ 2 x√ 2 x − 2+ln x + x2 − 2 −ln 2+c2 = x − 2+ln x + x2 − 2 +c . = 2 2 √ √ Výsledkem pro x ∈ (−∞, − 2) ∪ ( 2, +∞) je

√ x√ 2 x2 dx √ x + x2 − 2 + c . = x − 2 + ln 2 2 x −2

dx , a>0 + a2 Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞), volíme substituci x = = ϕ(t) = a tg t, pak dx = cosa2 t dt.

403. Vypočtěte

√

x2

I2 = (−∞, +∞), I1 = − π2 , π2 , ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na − π2 , π2 ,

dx √ = x2 + a2

1 2

sin t a2 cos 2t

a dt = 2 + a2 cos t

1 1 + sin t dt = ln + c0 cos t 2 1 − sin t

(viz příklad 78 d)). Dále upravujeme

1 + sin t 1 1 1 + sin t + c0 = ln ln + tg t + c0 = + c0 = ln 2 1 − sin t cos t cos t

=

=

sin2 t + cos2 t ln cos2 t x2 ln 2 a

+ tg t + c0

= ln tg2 +1 + tg t + c0 =

√ x + 1 + + c0 = ln x + x2 + a2 + c0 − ln |a| = a

= ln x +

√

63

x2 + a2 + c .

I.4.2.8.

Příklady

Vypočítejte:

404.

1+

dx

x(1 + x)

418.

2

√ x x2 − 2x + 2 dx

419.

dx √ x − x2 − x + 1

420.

dx √ 407. 2 1 + x + 2x + 2 √ x + 1 + x + x2 √ dx 408. 1 + x + 1 + x + x2 √ ( 1 + x + x2 − 1)2 √ dx 409. x2 1 + x + x2

421.

405.

406.

√

√

√

a2 − x2 dx ,

411.

412.

413.

422.

dx √ + 1) x2 − 1

x2 dx 1 + x + x2

1 − x + x2 √ dx 1 + x − x2 √

x3 dx 1 + 2x − x2

x10 dx √ 1 + x2 √ 424. x4 a2 − x2 dx , 423.

a = 0

x2 + 2x + 2 dx x x2

426.

a = 0

x3 − 6x2 + 11x − 6 √ dx x2 + 4x + 3

x3 + 2x2 + x − 1 √ dx x2 + 2x − 1 √ 3 − 4x + 4x2 dx 427.

+x+1 dx (x + 1)2

(3x + 2) dx √ (x + 1) x2 + 3x + 3 (x2

√

1 − x2

425.

414.

(x2

410.

(1 +

dx √

x2 )

√ x x2 + 2x + 2 dx

√ x2 x2 + 4 dx

428.

dx √ + 1) 3x2 + 1

429.

x dx √ (2x2 + 1) 3x2 + 5 √ 2 x +1 dx 416. x2 + 2 √ 2 x +2 dx 417. x2 + 1

415.

430.

dx √ x x2 + x + 1

431.

x2

432. 64

√

dx +x−1

x2

x2 + 1 √ dx x x4 + 1

433.

434.

435.

436.

437.

438.

x dx √ (1 + x) 1 − x − x2

451.

dx √ (x + 1) x2 + 1

452.

441. 442.

(x +

1)5

(x −

1)2

443.

444.

445.

446.

447.

448.

(x2

dx √ x2 + 3x + 1

dx √

3

455.

457.

(x −

(x + 1) dx (x2 + x + 1) 2

454.

dx √ x4 x2 − 1 1)3

7

456.

dx (x2 + 1) 2

453.

dx √ x2 + 1

x3

5

(x2 + x + 1) 2

dx √ x2 + 2x − 5

458.

x2 + 2x

(x + 3) dx √ (x2 + 1) x2 + x + 1 dx √ (x2 − x + 1) x2 + x + 1 dx √ (x2 + x + 1) x2 + x − 1 x dx √ (3x2 + 2x + 3) 2x2 − x + 2 x2 dx √ (4 − 2x + x2 ) 2 + 2x − x2

√

460.

a2 − x2 dx ,

x dx √ 2 (x − 1) x2 − x − 1

461.

x3 dx √ (1 + x) 1 + 2x − x2

462.

x dx √ 2 (x − 3x + 2) x2 − 4x + 3

463.

dx √ 2 (x + x − 2) x2 + 2x + 3

464.

dx (x2

√ √

3

+ a2 ) 2

,

x2 dx , a2 + x2

a2 + x2 dx ,

65

(2x + 3) dx √ + 2x + 3) x2 + 2x + 4

459.

x dx √ 1 + 2x − x2

3

+ 4x + 7) 2 dx

dx √ (1 − x)2 1 − x2

dx √ − x) x2 + x + 4 dx

(x2

dx √ (x − 1) x2 − 2

2)2

(x3

450.

(x +

440.

449.

dx √ (x + 1) x2 + x + 1

439.

1 − x + x2 √ dx x 1 + x − x2

a+x dx , a−x

a = 0 a = 0 a = 0 a = 0 a>0

465.

x−a dx , x+a

466.

471.

a>0

dx

(x − a)(b − x)

,

472.

a, b > 0

Návod: x − a = (b − a) sin2 t

473.

(x − a)(b − x) dx , a, b > 0

467.

468.

dx

,

a, b > 0

(x + a)(x + b)

469.

470.

√

I.4.3.

dx √ 2 x + 1 − x2 − 1

√

x(x + 1) √ dx x+ x+1

x2 + 1 √ dx (x2 − 1) x4 + 1

476.

(x + a)(x + b) dx , a, b > 0

dx √ 1−x+ 1+x

2+

√

x2 − 1 √ dx (x2 + 1) x4 + 1

475.

Návod: x + a = (b − a) sinh2 t

√

474.

x dx √ (1 − x3 ) 1 − x2

477.

dx √ x x4 + 2x2 − 1 x2 + 1 √ dx x x4 + x2 + 1

xm (a + bxn )p dx

Předpoklady: a, b ∈ R, m, n, p ∈ Q. Poznámka. Jsou-li a = 0, b = 0, n = 0, p = 0, nazývá se primitivní funkce tohoto tvaru binomický integrál. Primitivní funkce tohoto typu patří do množiny elementárních funkcí pouze ve třech případech: • p je celé číslo, m+1 je celé číslo, n m+1 + p je celé číslo, • n

•

I.4.3.1.

Substituce

p je celé číslo. Jde o případ funkce, který je řešen v sekci I.4.1. Volíme substituci x = ϕ(t) = ts , kde s ∈ N je společný jmenovatel zlomků m a n, a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce. 66

m+1 n

je celé číslo. Položíme a + bxn = ts , kde s ∈ N je jmenovatel zlomku p, vypočítáme x a volíme substituci

x = ϕ(t) =

n

ts − a b

a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce. m+1 n

+ p je celé číslo. Za předpokladu x = 0 položíme ax−n + b = ts , kde s ∈ N je jmenovatel zlomku p, vypočítáme x a volíme substituci

x = ϕ(t) =

n

a ts − b

a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce. Patří-li bod 0 do definičního oboru integrované funkce, pak pro x > 0 a pro x < 0 volíme integrační konstanty a dodefinujeme integrací získanou funkci v bodě 0 tak, aby primitivní funkce byla spojitá na celém definičním oboru integrované funkce.

I.4.3.2.


√ x √ 478. Vypočtěte dx (1 + 3 x)2 Primitivní funkci hledáme na intervalu (0, +∞). Protože p je celé číslo, volíme x = ϕ(t) = t6 , pak dx = 6t5 dt.

I2 = (0, +∞), I1 = (0, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (0, +∞). Je tedy

√ x t3 t8 5 √ dx = 6t dt = 6 dt = (1 + 3 x)2 (1 + t2 )2 (1 + t2 )2

=6

=6

kde t =

√ 6

4t2 + 3 t − 2t + 3 − dt = (1 + t2 )2 4

2

4t2 + 4 1 t − 2t + 3 − + 2 dt = 2 2 (1 + t ) (t + 1)2 4

2

3t 6 − 21 arctg t + c , = t5 − 4t3 + 18t + 2 5 t +1 x. 67

479. Vypočtěte

√

x5 dx 1 − x2

= Primitivní funkci hledáme na intervalu (−1, 1). Protože m = 5, n = 2, m+1 n √ 2 2 2 = 3 je celé číslo, √ položíme t = 1 − x , vypočítáme |x|√= 1 − t a pro x > 0 volíme ϕ(t) = 1 − t2 a pro x < 0 volíme ϕ(t) = − 1 − t2 . Funkce ϕ(t) je definována na intervalu −1, 1, ale protože není prostá, ϕ (0) = 0, vybereme si jeden z intervalů (−1, 0) nebo (0, 1), na kterém je ϕ (t) = 0 a existuje tedy ϕ−1 (x) a tím jsou splněny předpoklady 2. věty o substituci. √ t a) x > 0: Volíme substituci x = ϕ(t) = 1 − t2 , pak dx = − √1−t 2 dt. I2 = (0, 1), I1 = (0, 1), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na (0, 1),

√

5

x dx √ =− 1 − x2 √ kde t = 1 − x2 .

1 − t2 t

5

√

t dt 2 1 2 2 = − 1 − t dt = −t + t3 − t5 + c, 2 3 5 1−t

√ b) x < 0: Volíme substituci x = ϕ(t) = − 1 − t2 , pak dx =

√ t 1−t2

dt.

I2 = (−1, 0), I1 = (0, 1), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (0, 1), 5 √ − 1 − t2 t dt x5 dx 2 3 1 5 2 2 √ √ t − t + c, = = − 1 − t dt = −t+ t 3 5 1 − x2 1 − t2 √ kde t = 1 − x2 . √ Závěr: Protože limx→0 1 − x2 = 1, dostáváme pro x ∈ (−1, 1)

√

3 5 √ x5 2 √ 1 √ 2 + 2 2 dx = − 1 − x 1 − x − 1 − x +c. 3 5 1 − x2

dx 1 + x3 Primitivní funkci hledáme na intervalech (−∞, −1) a (−1, +∞). Protože m = = 0, n = 3, p = − 13 , m+1 + p = 0 je celé číslo, položíme t3 = 1 + x−3 , x = 0, n vypočítáme x a volíme 1 , x = ϕ(t) = √ 3 3 t −1 pak t2 dx = − 4 dt . (t3 − 1) 3

480. Vypočtěte

√ 3

1) I2 = (−∞, −1), I1 = (0, 1), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na (0, 1), 68

2) I2 = (−1, 0), I1 = (−∞, 0), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na (−∞, 0). 3) I2 = (0, +∞), I1 = (1, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) < 0 na (1, +∞).

I=

dx √ =− 3 1 + x3

1 t

1 √ 3 3 t −1

√ 3

t2 t3 − 1

4

dt = −

t3

t dt . −1

Rozkladem na parciální zlomky A Bt + C t = + t3 − 1 t − 1 t2 + t + 1 t = A(t2 + t + 1) + (Bt + C)(t − 1) a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné t t2 :

A+B = 0

1

A−B+C = 1

0

A−C = 0

t : t :

A = 13 , B = − 13 , C =

1 3

.

Upravíme kvadratický trojčlen 1 3 t + t + 1 = (4t2 + 4t + 1 + 3) = 4 4 2

2t + 1 √ 3

2

+1

a pokračujeme dále ve výpočtu integrálu 1 I=− 3 =−

1 3

1 dt + t−1 3

1 dt + t−1 6

t2

t−1 dt = +t+1

1 2t + 1 dt − 2 t +t+1 2

1 1 2 = − ln |t − 1| + ln(t2 + t + 1) − 3 6 3

t2

dt = +t+1 dt

2t+1 √ 3

2

= +1

√ 2t + 1 1 t2 + t + 1 3 arctg √ + c0 = = ln − 2 6 (t − 1) 3 3 √ 3

1 = ln 6

2

1+x3 x √ 3

+

1+x3 x

√ 3

1+x3 x 2

+1

−1

√

2 3 arctg − 3

√ 3

1+x3 x√

3

+1

+ c0 =

√ 2 √ √ √ 3 1 + x3 + x 3 1 + x3 + x2 3 1 2 3 1 + x3 + x √ + c0 . = ln √ − arctg 2 √ 3 6 3 x 3 1 + x3 − 2x 3 1 + x3 + x2

69

Závěr:

Protože

√ π 2 3 1 + x3 + x √ lim arctg = , x→0+ 2 x 3 a

√

√ π 2 3 1 + x3 + x √ =− , lim arctg x→0− 2 x 3

√ + x 3 1 + x3 + x2 = 0, lim ln √ 2 √ x→0 3 1 + x3 − 2x 3 1 + x3 + x2 3

1 + x3

2

zvolíme na intervalech (−1, 0) a (0, +∞) integrační konstanty a dodefinujeme integrací získanou funkci v bodě 0 tak, aby primitivní funkce

F (x) =

√ 3

dx 1 + x3

byla spojitá na intervalu (−1, +∞). Označme pro x = 0 √

√ √ √ + x 3 1 + x3 + x2 3 1 2 3 1 + x3 + x √ , − F0 (x) = ln √ arctg 2 √ 3 6 3 x 3 1 + x3 − 2x 3 1 + x3 + x2 3

1 + x3

2

pak F (x) =

⎧ ⎨ F0 (x) + c ⎩F

√ F (0) =

I.4.3.3.

0 (x)

+

√ 3 π 3

pro x < 0 + c pro x > 0

,

3π +c. 3 2

Příklady

Vypočítejte:

481.

482.

483.

484.

√ 3

dx √ x (1 − 6 x)

485.

√ 3

dx √ x2 (1 + 3 x)3

486.

√

x

√ 6

dx 1 + x6

dx √ x (1 + 4 x)10

x3

487.

x dx √ 3 1 + x2

dx

x2

5

1+

3

(x + 1)2 dx

488. 70

3

1 x

1+

√ 4

x dx

√ 1+ 4x √ dx 489. x √ 3 x 490. √ dx 1+ 3x

3

494.

x2

3

(2 +

√ 3

√ 3

√

496.

dx x3 )5

√ 4

495.

(1 + x2 )3

492.

x3

dx

491.

493.

497.

dx √ 3 2 − x3

dx 1 + x4

x − x3 dx 3x − x3 dx

x3 + x4 dx

498. V jakém případě je primitivní funkce

√

1 + xm dx ,

m ∈ Q,

elementární funkcí?

I.5.

Goniometricke´ funkce

I.5.1.

R(sin x, cos x) dx

I.5.1.1.

Substituce

I. Univerzální substituce. Za předpokladu x ∈ (−π, π) položíme tg

x = t, 2

vypočítáme x a volíme substituci x = ϕ(t) = 2 arctg t a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. Vyjádříme funkce sin x a cos x pomocí funkce tg x2 sin x =

2 sin x2 cos x2 2 tg x2 2t = 2 , = 2 x x 2 x 2 tg 2 + 1 t +1 sin 2 + cos 2

cos2 x2 − sin2 x2 1 − tg2 x2 1 − t2 = . cos x = = tg2 x2 + 1 t2 + 1 sin2 x2 + cos2 x2 71

Poznámka. Pro x ∈ (−π + 2kπ, π + 2kπ), k ∈ Z, plyne z rovnice tg x2 = t x = ϕk (t) = 2 arctg t + 2kπ . Protože pro každé k ∈ Z platí ϕk (t) =

t2

2 , +1

ϕ−1 k ((−π + 2kπ, π + 2kπ)) = (−∞, +∞) ,

a i vyjádření funkcí sin x a cos x pomocí funkce tg x2 je stejné na každém intervalu (−π+2kπ, π+2kπ), dostaneme pro x ∈ (−π+2kπ, π+2kπ) substitucí x = 2 arctg t+ + 2kπ stejnou racionální funkci proměnné t pro každé k ∈ Z. Formálně tedy stačí nalézt primitivní funkci na intervalu (−π, π) substitucí x = ϕ(t) = 2 arctg t, a pak na intervalech (−π + 2kπ, π + 2kπ) zvolit integrační konstanty a dodefinovat integrací získanou funkci v bodech π + 2kπ tak, aby primitivní funkce byla spojitá na celém definičním oboru integrované funkce. Univerzální substituci je možné použít při integraci funkce R(sin x, cos x) v každém případě, někdy se ale dostaneme k racionální funkci proměnné t, která obsahuje polynomy dosti vysokých stupňů a obtížně se hledá rozklad polynomu ve jmenovateli na kořenové činitele (pokud ho lze vůbec najít). Proto při speciálním tvaru funkce R(sin x, cos x) používáme následující substituce: II. 1) R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x).

Za předpokladu x ∈ − π2 , π2 položíme tg x = t , vypočítáme x a volíme substituci x = ϕ(t) = arctg t a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. Vyjádříme funkce sin x a cos x pomocí funkce tg x sin x =

cos x =

sin x cos x 1 cos x

1 1 cos x

=

=

sin x cos x sin2 x+cos2 x cos2 x

1 sin2

x+cos2 cos2 x

x

t tg x =√2 , = t +1 tg2 x + 1 1 1 . = =√2 t +1 tg2 x + 1

Poznámka. U substituce tg x = t nastává analogická situace jako u univerzální substituce tg x2 = t. Pro x ∈ (− π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z, plyne z rovnice tg x = t x = ϕk (t) = arctg t + kπ 72

a pro každé k ∈ Z platí ϕk (t)

1 = 2 , t +1

ϕ−1 k

π π − + kπ, + kπ = (−∞, +∞) . 2 2

Vyjádření sin x a cos x pomocí funkce tg x se sice na intervalech (− π2 + kπ, π2 + kπ) √ liší znaménkem sgn cos x, protože cos x = (sgn cos x) cos2 x, ale vzhledem ke tvaru funkce R(sin x, cos x) se znaménka minus buď zkrátí nebo vynásobí na znaménko plus, takže není nutné znaménko sgn cos x uvažovat. Pro x ∈ (− π2 + kπ, π2 + kπ) dostaneme substitucí x = arctg t+kπ stejnou racionální funkci proměnné t pro každé k ∈ Z. Formálně tedy stačí nalézt primitivní funkci na intervalu (− π2 , π2 ) substitucí x = ϕ(t) = arctg t, a pak na intervalech (− π2 +kπ, π2 +kπ) zvolit integrační konstanty a dodefinovat integrací získanou funkci v bodech π2 + kπ tak, aby primitivní funkce byla spojitá na celém definičním oboru integrované funkce. Poznámka. Použijeme-li při integraci funkce R(sin x, cos x), která splňuje podmínku R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) univerzální substituci tg x2 = t, dostaneme v racionální funkci proměnné t polynomy dvojnásobně vyšších stupňů než při použití substituce tg x = t. II. 2) R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x). V tomto případě lze funkci R(sin x, cos x) upravit na tvar R1 (cos x) sin x, kde R1 je racionální funkce jedné proměnné cos x. Volíme substituci t = ϕ(x) = cos x a podle 1. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. II. 3) R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x). V tomto případě lze funkci R(sin x, cos x) upravit na tvar R2 (sin x) cos x, kde R2 je racionální funkce jedné proměnné sin x. Volíme substituci t = ϕ(x) = sin x a podle 1. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. Poznámka. V některých případech je vhodné použít i jiné substituce, například t = sin2 x nebo t = cos2 x apod., záleží to na tvaru funkce R(sin x, cos x). Poznámka. Uvedené substituce I a II lze použít i při integraci jiných funkcí proměnných sin x a cos x, např. funkcí iracionálních. V tomto případě ale musíme uvažovat znaménko při vyjádření funkcí sin x a cos x pomocí funkce tg x.

73

I.5.1.2.


499. Vypočtěte

dx (2 + cos x) sin x

Primitivní funkci hledáme na intervalech (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z. Protože je R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), volíme t = ϕ(x) = cos x; dt = − sin x dx. Funkce 1 f (t) = − (2 + t)(1 − t2 ) je definována na sjednocení intervalů (−∞, −2)∪(−2, −1)∪(−1, 1)∪(1, +∞) = = Df a ϕ ((kπ, (k + 1)π)) = (−1, 1) pro každé k ∈ Z, tedy ϕ ((kπ, (k + 1)π)) ⊂ ⊂ Df .

I=

dx =− (2 + cos x) sin x

sin x dx = − (2 + cos x)(1 − cos2 x)

dt (2 + t)(1 − t2 )

Rozkladem na parciální zlomky 1 A B C = + + 2 (2 + t)(1 − t ) 2+t 1−t 1+t 1 = A(1 − t2 ) + B(2 + t)(1 + t) + C(2 + t)(1 − t) a dosazením 1 = 6B

⇒B=

t = −1 : 1 = 2C

⇒C =

t=1:

1 6 1 2

.

t = −2 : 1 = −3A ⇒ A = − 13 Je tedy 1 I= 3 =

1 dt − 2+t 6

1 dt − 1−t 2

dt = 1+t

1 1 1 ln |2 + t| + ln |1 − t| − ln |1 + t| + c = 3 6 2

1 (2 + t)2 (1 − t) 1 (2 + cos x)2 (1 − cos x) = ln + c = ln +c. 6 (1 + t)3 6 (1 + cos x)3

500. Vypočtěte

sin2 x dx 1 + sin2 x

Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞). Nejprve upravíme

sin2 x dx dx dx = dx − =x− 2 2 1 + sin x 1 + sin x 1 + sin2 x

74

a primitivní funkci

dx 1 + sin2 x hledáme na (−∞, +∞). Protože R(− sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), pro x ∈ (− π2 , π2 ) položíme tg x = t, vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = arctg t, pak dx =

dt . 1 + t2

I2 = (− π2 , π2 ), I1 = (−∞, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (−∞, +∞).

dx 1 dt dt = = = 2 2 t 2 2 2t + 1 1 + sin x 1 + 1+t2 1 + t

√ √ 1 1 = √ arctg 2t + c0 = √ arctg 2 tg x + c0 . 2 2 Protože

√

lim

arctg

lim

arctg

x→( π2 +kπ )+

a x→( π2 +kπ )−

2 tg x = −

√

2 tg x =

π 2

π 2

pro každé k ∈ Z pro každé k ∈ Z,

zvolíme na intervalech (− π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z, integrační konstanty a dodefinujeme integrací získanou funkci v bodech π2 + kπ, k ∈ Z, tak, aby primitivní funkce dx F (x) = 1 + sin2 x byla spojitá na intervalu (−∞, ∞). Tedy

F (x) =

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

√ 1 1 √ arctg 2 tg x + √ kπ + c pro x ∈ (− π2 + kπ, π2 + kπ) 2 2

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

1 1 π √ + √ kπ + c 22 2

Závěr:

501. Vypočtěte

pro x =

sin2 x dx = x − F (x), 1 + sin2 x

π 2

.

+ kπ

x ∈ (−∞, +∞) .

dx 2 sin x − cos x + 5

Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞). Pro x ∈ (−π, π) položíme tg x2 = t, vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = 2 arctg t, pak dx = 75

2 dt . +1

t2

I2 = (−π, π), I1 = (−∞, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (−∞, +∞).

I=

dx = 2 sin x − cos x + 5

2

2t t2 +1

1 2 dt = 1−t2 2 − t2 +1 + 5 t + 1

3t2

dt ; + 2t + 2

upravíme kvadratický trojčlen 1 5 3t + 2t + 2 = (9t2 + 6t + 1 + 5) = 3 3 2

3t + 1 √ 5

2

+1

a pokračujeme ve výpočtu integrálu √ √ 3 tg x2 + 1 3 dt 5 5 3t + 1 √ = I= + c0 . arctg √ + c0 = arctg 2 3t+1 5 5 5 5 5 √ + 1 5 Protože lim

x→(π+2kπ)+

a

arctg

3 tg x2 + 1 π √ =− 2 5

3 tg x2 + 1 π √ = arctg lim x→(π+2kπ)− 2 5

pro každé k ∈ Z pro každé k ∈ Z,

zvolíme na intervalech (−π + 2kπ, π + 2kπ), k ∈ Z, integrační konstanty a dodefinujeme integrací získanou funkci v bodech π + 2kπ, k ∈ Z, tak, aby primitivní funkce dx F (x) = 2 sin x − cos x + 5 byla spojitá na intervalu (−∞, +∞). Tedy ⎧√ √ x ⎪ + 1 3 tg 5 5 ⎪ ⎪ ⎪ √2 + arctg kπ + c pro x ∈ (−π + 2kπ, π + 2kπ) ⎪ ⎨ 5 5 5 . F (x) = √ √ ⎪ ⎪ ⎪ π 5 5 ⎪ ⎪ ⎩ + kπ + c pro x = π + 2kπ 5 2 5

502. Vypočtěte

sin x cos x dx sin4 x + cos4 x

Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞). Volíme t = ϕ(x) = sin2 x, pak dt = 2 sin x cos x dx. I1 = (−∞, +∞), I2 = (−∞, +∞), ϕ(I1 ) = 0, 1 ⊂ I2 .

I=

sin x cos x 1 dx = 4 2 sin x + cos4 x

76

dt 1 = t2 + (1 − t)2 2

dt ; 2t2 − 2t + 1

upravíme kvadratický trojčlen 2t2 − 2t + 1 =

1 2 1 4t − 4t + 1 + 1 = (2t − 1)2 + 1 2 2

a dokončíme výpočet integrálu

I=

I.5.1.3.

1 1 dt = arctg(2t − 1) + c = arctg(2 sin2 x − 1) + c . 2 (2t − 1) + 1 2 2

Příklady

Vypočítejte:

514.

sin x + sin3 x dx cos 2x

515.

2 sin3 x + (cos2 x) sin 2x dx sin4 x + 3 cos2 x

516.

cos2 x dx sin 4x

517.

cos x dx 2 sin x − 6 sin x + 5

518.

503.

504. 505.

506.

507.

508.

509.

510.

511.

512.

513.

sin x dx (3 cos x − 1)3

a2

dx sin x + b2 cos2 x 2

dx (a sin x + b cos x)2

2 cos2

dx cos 2x − sin 2x

4 cos2

sin 2x dx 3 + 4 sin2 x

519.

cos5 x + cos3 x dx sin4 x + sin2 x

520.

cos x − cos 3x dx 1 − sin4 x

521.

tg x dx tg x − 3

522.

cos x − sin x dx cos x + sin x

523.

524. 77

dx x − 2 sin 2x + sin2 x

dx , 5 + cos2 x

|x| <

π 2

dx 2 + 3 sin 2x − 4 cos2 x dx , a cos2 x + b sin 2x + c sin2 x dx tg x + 4 tg x 2

sin x−a 2 dx sin x+a 2

dx x + sin x cos x + sin2 x

1 + tg x dx sin 2x sin x dx sin x + cos3 x 3

c>0

525.

526.

527.

538.

sin2 x − cos2 x dx sin4 x + cos4 x

539.

528.

529.

dx sin x + cos4 x

541.

dx (sin x + 2 cos2 x)2 2

542.

2

cos x dx , sin x + b2 cos2 x)2 a2 + b2 = 0 (a2

531.

532.

2

543.

sin2 x cos2 x dx sin8 x + cos8 x

544.

dx sin x + cos6 x

545.

dx sin x + cos x

546.

6

533.

534.

√

dx 3 cos x + sin x

547.

535.

dx , a cos x + b sin x a2 + b2 = 0

536.

537.

551.

548.

sin2 x dx sin x + 2 cos x

549.

1 + sin x dx sin 2x + 2 sin x

550.

dx , a cos x + b sin x + c

dx , 1 + ε cos x a) 0 < ε < 1, b) ε > 1

540.

sin x cos x dx 1 + sin4 x

sin x cos x dx sin x + cos x

4

530.

sin 2x dx 4 sin x + cos4 x

c>

dx 1 + 4 cos x dx 4 + cos x dx 4 − sin x dx sin 2x + 4 sin x − 4 sin2 x sin x dx (1 − cos x + sin x)2 2 sin x − sin 2x dx sin3 x + (1 − cos x)3 dx 6 − 5 sin x + sin2 x dx cos x + sin x + 1 dx 4 cos x − 3 sin x + 5 dx 3 cos x + sin x + 5 dx 7 cos x − 4 sin x + 8

√ a2 + b2 > 0

552. Najděte čísla A, B, C tak, že pro a2 + b2 = 0 platí rovnost

a1 sin x + b1 cos x dx = Ax + B ln |a sin x + b cos x| + C . a sin x + b cos x 78

553.

554.

sin x − cos x dx sin x + 2 cos x

555.

sin x dx sin x − 3 cos x

556.

dx 3 + 5 tg x a1 sin x + b1 cos x dx (a sin x + b cos x)2


a1 sin x + b1 cos x + c1 dx = a sin x + b cos x + c

= Ax + B ln |a sin x + b cos x + c| + C

558.

559.

560.

sin x + 2 cos x − 3 dx sin x − 2 cos x + 3

561.

1 − sin x + cos x dx 1 + sin x − cos x

562.

√

dx . a sin x + b cos x + c

2 sin x + cos x dx 3 sin x + 4 cos x − 2 1 − cos(x − a) dx 1 − cos(x + a)

sin x dx 2 + sin x + cos x


a1 sin2 x + 2b1 sin x cos x + c1 cos2 x dx = a sin x + b cos x dx . = A sin x + B cos x + C a sin x + b cos x

564.

565.

sin2 x dx sin x + 2 cos x

sin2 x − sin x cos x + 3 cos2 x dx sin x + cos x

sin2 x − sin x cos x + 2 cos2 x dx sin x + 2 cos x

566.

1 − 2 sin 2x + 2 cos2 x dx sin x + cos x

567.

79

568. Najděte čísla A, B tak, že platí rovnost

a1 sin x + b1 cos x du1 du2 dx = A +B , 2 2 2 k 1 u 1 + λ1 k2 u22 + λ2 a sin x + 2b sin x cos x + c cos x

kde (a − c)2 + b2 = 0 a λ1 , λ2 jsou řešení rovnice (a − λ)(c − λ) = b2 , λ1 = λ2 a ui = (a − λi ) sin x + b cos x,

569.

570.

ki =

1 , a − λi

i = 1, 2 .

2 sin x − cos x dx 3 sin2 x + 4 cos2 x sin x + cos x dx 2 sin x − 4 sin x cos x + 5 cos2 x 2

571.

sin x − 2 cos x dx 1 + 4 sin x cos x

572. Nechť

dx , (a sin x + b cos x)n Dokažte rekurentní vzorec In =

1 In = (n − 1)(a2 + b2 )

a2 + b2 = 0, n ∈ N .

b sin x − a cos x + (n − 2)In−2 , (a sin x + b cos x)n−1

n > 1,

a pomocí tohoto vzorce najděte

573. Nechť

dx . (sin x + 2 cos x)3

dx , (a + b cos x)n Dokažte rekurentní vzorec In =

|a| = |b|, n ∈ N .

b sin x 1 − (2n − 3)aIn−1 + (n − 2)In−2 , n > 1, In = (n − 1)(b2 − a2 ) (a + b cos x)n−1 a pomocí tohoto vzorce najděte

a)

b)

dx , (1 + ε cos x)2

0 < ε < 1,

dx , (1 + ε cos x)3

ε > 1,

80

sinν x cosμ x dx

I.5.2.

Předpoklady: μ, ν ∈ Q. I.5.2.1.

Poznámky

I. μ, ν ∈ Z. Pak sinν x cosμ x = R(sin x, cos x) a tento případ je řešen v odstavci I.5.1. II. μ, ν nejsou současně celá čísla. Substitucí

u = ϕ(x) = sin2 x

převedeme podle 1. věty o substituci primitivní funkci

sinν x cosμ x dx na binomický integrál 1 2

(1 − u)

μ−1 2

u

ν−1 2

du

(viz. I.4.3.)

Primitivní funkce tohoto typu patří do množiny elementárních funkcí ve třech případech: 1) 2) 3)

μ−1 2 ν−1 2 ν−1 2

I.5.2.2.

je celé číslo ⇒ μ je celé liché číslo, + 1 je celé číslo ⇒ ν je celé liché číslo, +1+

μ−1 2

je celé číslo ⇒ ν + μ je celé sudé číslo.

Substituce

1) μ je celé liché číslo. Podle 1. věty o substituci volíme substituci t = ϕ(x) = sin x . 2) ν je celé liché číslo. Podle 1. věty o substituci volíme substituci t = ϕ(x) = cos x . 3) μ + ν je celé sudé číslo. Položíme t = tg x nebo t = cotg x a podle 2. věty o substituci volíme substituci x = arctg t nebo x = arccotg t . 81

Výše uvedené substituce převádí primitivní funkci

sinν x cosμ x dx na integrál z racionální funkce proměnné t nebo na binomický integrál proměnné t. I.5.2.3.


cos5 x dx

574. Vypočtěte

Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞). Protože je R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), volíme t = ϕ(x) = sin x, pak dt = cos x dx. I1 = (−∞, +∞), I2 = (−∞, +∞), ϕ(I1 ) = −1, 1 ⊂ I2 .

5

cos x dx =

2

2

(1 − sin x) cos x dx =

2 2

(1 − t ) dt =

(1 − 2t2 + t4 ) dt =

2 1 2 1 = t − t3 + t5 + c = sin x − sin3 x + sin5 x + c . 3 5 3 5

dx sin x cos4 x

575. Vypočtěte

4

Primitivní funkci hledáme na intervalech k π2 , (k + 1) π2 , k ∈ Z. Protože je R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x), pro x ∈ (− π2 , 0) ∪ (0, π2 ) položíme t = tg x, vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = arctg t, pak dx = t2dt+1 .

1) I2 = − π2 , 0 , I1 = (−∞, 0), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (−∞, 0),

2) I2 = 0, π2 , I1 = (0, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (0, +∞),

dx = 4 sin x cos4 x

=

1 1+t2 t4 (1+t2 )2

·

dt 1 (1+t2 )2

=

(1 + t2 )3 dt = t4

3 1 3 1 t3 t + 3 + 2 + 4 dt = + 3t − − 3 + c = t t 3 t 3t 2

1 1 1 = tg3 x − 3 + 3 tg x − +c. 3 tg x tg x Protože definiční obor integrované funkce je π π k , (k + 1) , Df = 2 2 k∈Z je primitivní funkce spojitá na Df . 82

576. Vypočtěte

dx √ 3 cos x sin2 x

Primitivní funkci hledáme na intervalech k π2 , (k + 1) π2 , k ∈ Z. Protože je ν = − 23 a μ = −1, a tedy μ je celé liché číslo, volíme t = ϕ(x) = sin x, pak dt = cos x dx. Funkce

1 √ 3 (1 − t2 ) t2 je definována na sjednocení intervalů (−∞, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞) = π π = Df a pro Ik = k 2 , (k + 1) 2 , k ∈ Z, je ϕ(Ik ) = (0, 1) nebo ϕ(Ik ) = (−1, 0), tedy pro každé k ∈ Z je ϕ(Ik ) ⊂ Df . f (t) =

I=

dx √ = 3 cos x sin2 x

cos x dx √ = 3 (1 − sin2 x) sin2 x

=

dt √ = 3 (1 − t2 ) t2

2

t− 3 (1 − t2 )−1 dt .

Nyní řešíme binomický integrál (viz I.4.3), a protože p = −1 je celé číslo, volíme substituci t = ϕ(u) = u3, pak dt = 3u2 du. 1) I2 = (−1, 0), I1 = (−1, 0), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (u) > 0 na (−1, 0), 2) I2 = (0, 1), I1 = (0, 1), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (u) > 0 na (0, 1).

I=

−2

6 −1

u (1 − u )

2

· 3u du = −3

du . −1

u6

Nalezneme rozklad na parciální zlomky u6

1 A B Cu + D Eu + F = + + 2 + 2 −1 u+1 u−1 u −u+1 u +u+1

1 = A(u − 1)(u4 + u2 + 1) + B(u + 1)(u4 + u2 + 1) + + (Cu + D)(u2 − 1)(u2 + u + 1) + (Eu + F )(u2 − 1)(u2 − u + 1) . Dosazením u=1:

1 = 6B

⇒B=

1 6

u = −1 : 1 = −6A ⇒ A = − 16

.

a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné u u5 : 4

A+B+C +E = 0

u :

−A + B + C + D − E + F = 0

u2 :

−A + B − C + E = 0

u1 :

A+B−D+F = 0 C = 16 , D = − 13 , E = − 16 , F = − 13 . 83

Upravíme kvadratický trojčlen 1 3 u ± u + 1 = (4u2 ± 4u + 1 + 3) = 4 4 2

2u ± 1 √ 3

2

+1

a pokračujeme dále ve výpočtu integrálu I=

1 2

1 du − u+1 2

1 du − u−1 4

=

+

1 2u − 4 du + 2 u −u+1 4

1 u + 1 1 ln − 2 u − 1 4

1 + 2 2u−1 √ +1 4 3 du

2u + 4 du = +u+1

u2

2u − 1 du + u2 − u + 1

2u + 1 du + 2 u +u+1

du 2u+1 √ 3

2

= +1

√ √ 1 u + 1 1 u2 + u + 1 2u − 1 2u + 1 3 3 = ln + +c, + arctg √ arctg √ + ln 2 2 u−1 4 u −u+1 2 2 3 3 √ kde u = 3 sin x. Poznámka. Kdybychom hned volili substituci u =

√ 3

sin x, potom je

cos x du = √ dx 3 sin2 x a dostali bychom

577. Vypočtěte

dx √ = 3 cos x sin2 x

cos x dx √ = 3 (1 − sin2 x) sin2 x

du . 1 − u6

dx √ 3 tg x

Primitivní funkci hledáme na intervalech k π2 , (k + 1) π2 , k ∈ Z. Protože je ν = − 13 a μ = 13 , a tedy μ + ν = 0 je celé sudé číslo, položíme t = tg x pro x ∈ (− π2 , 0) ∪ (0, π2 , 0), vypočítáme x a volíme x = ϕ(t) = arctg t, pak dt dx = 1+t 2. 1) I2 = (− π2 , 0), I1 = (−∞, 0), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (−∞, 0), 2) I2 = (0, π2 ), I1 = (0, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (0, +∞).

I=

dx dt 1 √ √ = = t− 3 (1 + t2 )−1 dt . 3 3 2 tg x (1 + t ) t

84

Nyní řešíme binomický integrál (viz I.4.3), a protože p = −1 je celé číslo, volíme substituci t = ϕ(u) = u3, pak dt = 3u2 du. 1) I2 = (−∞, 0), I1 = (−∞, 0), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (−∞, 0), 2) I2 = (0, +∞), I1 = (0, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (t) > 0 na (0, +∞).

I=

u−1 (1 + u6 )−1 · 3u2 du =

3 2

2u du 3 = 1 + u6 2

dv , 1 + v3

kde jsme použili substituci u2 = v. Nalezneme rozklad na parciální zlomky v3

1 A Bv + C = + 2 +1 1+v v −v+1

1 = A(v 2 − v + 1) + (Bv + C)(1 + v) . Dosazením

v = −1 : 1 = 3A v =1:

1 = A + 2B + 2C

v =0:

1 = A+C A = 13 , B = − 13 , C =

2 3

.

Upravíme kvadratický trojčlen 1 3 v − v + 1 = (4v 2 − 4v + 1 + 3) = 4 4 2

2v − 1 √ 3

2

+1

a pokračujeme dále ve výpočtu integrálu 1 2v − 4 3 dv 1 dv − dv = I= = 2 1 + v3 2 1 + v 4 v2 − v + 1 √ 1 1 2v − 1 3 2 = ln |1 + v| − ln(v − v + 1) + +c= arctg √ 2 4 2 3 √ 1 (u2 + 1)2 2u2 − 1 3 √ = ln 4 +c, + arctg 4 u − u2 + 1 2 3 √ kde u = 3 tg x.

Poznámka. Kdybychom hned volili substituci v = dv =

3

tg2 x, potom je

dx 2 1 √ 3 3 tg x cos2 x

a dostali bychom

3 dx √ = 3 tg x 2

3 2 cos2 x dx √ = 3 2 3 tg x cos x 2 85

dv . 1 + v3

I.5.2.4.

Příklady

Vypočítejte:

578.

579.

580.

581.

582. 583.

584.

585.

586.

587.

588.

589.

sin3 x cos4 x dx

590.

591.

592.

593.

cos4 x dx sin3 x

cos3 x dx sin5 x

cos5 x dx sin3 x

596.

cos3 x sin8 x dx 597. sin4 x cos5 x dx 5

598.

5

599.

cos5 2x sin7 2x dx

cos3 x cos 2x dx

600. 601.

sin2 x cos2 x dx

603.

cos6 x dx 2

604.

4

605.

sin4 x cos6 x dx

dx cos3 x

606.

dx sin3 x

607.

sin4 x dx cos x

608.

sin3 x dx cos4 x

609. 86

dx sin x cos4 x dx sin x cos5 x dx sin x cos4 x 2

602. sin6 x dx

dx sin x cos3 x

3

cos2 3x sin x dx

sin x cos x dx

595.

sin x cos x dx

594.

cos3 x dx

dx sin4 x sin4 x dx cos6 x tg5 x dx tg6 x dx cotg6 x dx sin 2x dx cos3 x sin 3x dx cos x cos 3x dx sin5 x

610. Odvoďte rekurentní vzorce pro integrály:

sinn x dx;

a) In =

b) Kn =

a pomocí těchto vzorců najděte

cosn x dx;

sin6 x dx a

n ∈ N, n > 2

cos8 x dx.

611. Odvoďte rekurentní vzorce pro integrály: dx dx ; b) Kn = ; n ∈ N, n > 2 a) In = n sin x cosn x dx dx a a pomocí těchto vzorců najděte . 5 cos7 x sin x

612.

613.

614.

615.

616.

617.

618.

619.

620.

sin5 x

√ 3

623.

cos x dx

cos3 x √ dx 5 sin x

sin x sin

625.

3

sin x √ dx cos x 3 cos x dx √ 3 cos x sin 2x

627.

dx √ cos x sin3 2x

628.

√ 3 √ 3

dx 629.

sin x cos x

dx sin x

cos5

630.

x

sin2 x √ dx cos2 x tg x √

sin x sin(x + a) sin(x + b) dx

5

3

x x sin dx 2 3

626.

631.

tg x dx

632.

tg3 x dx

622.

cos x cos 2x cos 3x dx

624.

621.

sin 5x cos x dx

633.

cos2 ax cos2 bx dx sin3 2x cos2 3x dx dx sin(x + a) sin(x + b) dx sin(x + a) cos(x + b) dx cos(x + a) cos(x + b) dx sin x − sin a dx cos x + cos a

dx √ tg x

634.

87

tg x tg(x + a) dx

I.6.

Hyperbolicke´ funkce

I.6.1.

R(sinh x, cosh x) dx

I.6.1.1.

Substituce

Při hledání této primitivní funkce používáme analogické substituce jako v případě R(sin x, cos x) dx (viz I.5.1).

I. Univerzální substituce. Položíme t = tgh

x , 2

pak

2t 1 + t2 2 dt , cosh x = , dx = 1 − t2 1 − t2 1 − t2 a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. sinh x =

II. 1) R(− sinh x, − cosh x) = R(sinh x, cosh x). Položíme t = tgh x , pak t 1 dt , cosh x = √ , dx = 2 2 1 − t2 1−t 1−t a podle 2. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. sinh x = √

II. 2) R(− sinh x, cosh x) = −R(sinh x, cosh x). V tomto případě volíme substituci t = cosh x a podle 1. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t.

II. 3) R(sinh x, − cosh x) = −R(sinh x, cosh x). V tomto případě volíme substituci t = sinh x a podle 1. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t. 88

I.6.2.

sinhν x coshμ x dx

Předpoklady: μ, ν ∈ Q. Při hledání této primitivní funkce používáme analogické substituce jako v případě sinν x cosμ x dx (viz I.5.2). 1) Je-li μ celé liché číslo, volíme t = sinh x, 2) Je-li ν celé liché číslo, volíme t = cosh x, 3) Je-li μ + ν celé sudé číslo, volíme t = tgh x nebo t = cotgh x, a přejdeme k integrálu z racionální funkce proměnné t nebo k binomickému integrálu proměnné t (viz I.4.3). Poznámka. Protože hyperbolické funkce jsou definovány pomocí exponenciální funkce ex , lze funkce R(sinh x, cosh x) a sinhν x coshμ x vyjádřit jako racionální nebo iracionální funkci proměnné ex a použít substituci uvedenou v části I.7. I.6.3.


635. Vypočtěte

dx cosh x + 3 cosh x 3

Volíme t = sinh x,

dx = 3 cosh x + 3 cosh x

= =

pak dt = cosh x dx.

dx = cosh x (cosh2 x + 3)

1 dt = (1 + t2 )(4 + t2 ) 3

dt 1 − 1 + t2 3

cosh x dx = cosh x (cosh2 x + 3) 2

dt = 4 + t2

1 1 t 1 1 sinh x arctg t − arctg + c = arctg sinh x − arctg +c. 3 6 2 3 6 2

636. Vypočtěte

dx 3 sinh x − 7 sinh x cosh x + 2 cosh2 x 2

Protože R(− sinh x, − cosh x) = R(sinh x, cosh x), volíme t = tgh x, potom dt dx = 1−t 2 .

dx = 2 3 sinh x − 7 sinh x cosh x + 2 cosh2 x

1 dt = = 3t2 − 7t + 2 5

3 dt − t−2 5

1 3t2 1−t2

−

7t 1−t2

+

2 1−t2

dt = 1 − t2

1 t − 2 1 tgh x − 2 dt = ln = ln +c . 3t − 1 5 3t − 1 5 3 tgh x − 1 89

637. Vypočtěte

sinh3 x √ dx 3 cosh2 x

Protože ν = 3 je celé liché číslo, volíme t = cosh x, pak dt = sinh x dx.

I.6.4.

2 4 3 1 2 sinh3 x t −1 − 23 3 dt − √ √ dx = dt = t t dt = t 3 (t − 1) + c = 3 3 7 t2 cosh2 x 3√ 3 cosh x (cosh2 x − 7) + c . = 7

Příklady

Vypočítejte:

638.

639.

640.

641.

642.

643.

644.

645.

646.

647.

648.

sinh 2x + 4 sinh x dx cosh2 x − 3 cosh x

649.

sinh 2x dx (sinh x + 1)(cosh2 x − sinh x)

650.

4 cosh x − 3 sinh x dx 2 cosh x − sinh x

651.

dx 1 + tgh x

652.

sinh 2x dx 1 + sinh4 x dx (cosh 2x + cosh2 x)2 cosh x dx 3 sinh x − 4 cosh x dx sinh x + 2 cosh x

dx dx 653. 2 2 sinh x − 4 sinh x cosh x + 9 cosh x 2 sinh x − cosh x

dx 2 10 cosh x − 2 sinh 2x − 1

654.

dx 4 + 3 sinh2 x

655.

dx 1 − 6 sinh 2x − 37 cosh2 x

656.

tgh x dx (tgh x + 2)2

657.

658.

cosh 2x dx 4 sinh x + cosh4 x

659. 90

dx (1 + cosh x)2 dx 2 sinh x + 5 sinh x + 2 2

sinh2 x dx 1 − sinh2 x

dx 1 + 10 cosh x

dx cosh x + sinh x + 2 dx 3 cosh x + 5 sinh x + 3 sinh x + 2 cosh x dx 2 sinh x − cosh x − 1

660.

661.

662.

663.

664.

665.

666.

667.

cosh x + 2 sinh x + 3 dx 4 cosh x + 5 sinh x + 6

677.

sinh 2x dx 5 sinh x + 3 cosh x

678.

cosh 2x dx 3 sinh x + 5 cosh x

679.

2 sinh x − cosh x dx 3 sinh2 x + 4 cosh2 x

680.

2 sinh x + cosh x dx (3 sinh2 x + 4 cosh2 x)2

681.

sinh2 x cosh2 x dx

682.

cosh4 x dx

683.

670.

671. 672.

673.

674.

675.

676.

3

sinh2 x dx

tgh2 x dx cosh4 x 3

tgh x dx sinh x sinh 7x dx

sinh x sinh 2x sinh 3x dx

sinh3 x dx

cosh x cosh 2x cosh 3x dx

684.

685.

cotgh2 x dx

686.

dx sinh x cosh2 x

687.

dx sinh x cosh2 x

3

cosh3 x

tgh x dx

669.

tgh4 x dx

668.

tgh3 x dx

688.

dx cosh5 x

689.

sinh4 x dx cosh3 x

690.

sinh4 x dx cosh6 x

691.

cosh5 x dx sinh x

692.

dx 4 sinh x cosh2 x

693.

cosh3 x sinh x dx sinh2 x cosh3 x dx sinh4 x cosh

x dx 2

sinh3 x cosh 2x dx sinh2 2x cosh2 2x dx sinh2 x cosh4 x dx sinh4

x x cosh2 dx 2 2

sinh ax sin bx dx

91

sinh ax cos bx dx

I.7.

Exponencia´lnı´ funkce

I.7.1.

f (eax) dx

Předpoklady: a ∈ R, f (x1 ) je racionální nebo iracionální funkce jedné proměnné x1 = eax . Při hledání primitivní funkce volíme substituci t = ϕ(x) = eax , pak dt = aeax dx, a podle 1. věty o substituci přejdeme k integrálu z racionální nebo iracionální funkce proměnné t. V případě, že výraz f (eax ) dx neobsahuje přímo součin eax dx, rozšíříme integrovanou funkci výrazem eax , přičemž definiční obor integrované funkce se nezmění, protože eax > 0 pro každé x ∈ R. I.7.2.


694. Vypočtěte

dx 1 + ex

Primitivní funkci hledáme na intervalu (−∞, +∞), volíme t = ϕ(x) = ex , pak dt = ex dx. Funkce 1 f (t) = t(1 + t) je definována na sjednocení intervalů (−∞, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, +∞) = Df , tedy I1 = (−∞, +∞), ϕ(I1 ) = (0, +∞) ⊂ Df ,

dx ex dx dt dt dt = = − = = 1 + ex ex (1 + ex ) t(1 + t) t 1+t

= ln |t| − ln |1 + t| + c = x − ln(1 + ex ) + c .

695. Vypočtěte

√

e2x + 4ex − 1 dx

√ Primitivní funkci hledáme na intervalu (ln( 5−2), +∞), volíme t = ϕ(x) = ex , pak dt = ex dx. Funkce √ t2 + 4t − 1 f (t) = t √ √ 5)) ∪ ( 5 − 2, +∞) = Df , je definována na sjednocení intervalů (−∞, −(2 + √ √ tedy I1 = (ln( 5 − 2), +∞), ϕ(I1 ) = ( 5 − 2, +∞) ⊂ Df , √ √ 2x √ 2 e + 4ex − 1 x t + 4t − 1 2x x dt e + 4e − 1 dx = e dx = I= x e t 92

a použijeme 1. Eulerovu substituci; položíme táme t a volíme

t2 + 4t − 1 = −t + u, vypočí-

1 u2 + 4u − 1 du . 2 (2 + u)2 √ √ + 5)), I = (−∞, −(2 + 5)), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (u) > 0 na 1) I2 = (−∞, −(2 1 √ (−∞, −(2 + 5)), √ √ √ 2) I2 = ( 5 − 2, +∞), I1 = ( 5 − 2, +∞), ϕ(I1 ) = I2 , ϕ (u) > 0 na ( 5 − − 2, +∞). t = ϕ(u) =

u2 + 1 2(2 + u)

√

1 I= 2 1 = 2

⇒

dt =

2

u +1 − 2(2+u) + u u2 + 4u − 1 du = 2 u +1 (2 + u)2 2(2+u)

(u2 + 4u − 1)2 1 du = (u2 + 1)(2 + u)2 2

1 du + 2

4u3 + 9u2 − 12u − 3 du (u2 + 1)(2 + u)2

a nalezneme rozklad na parciální zlomky 4u3 + 9u2 − 12u − 3 A Cu + D B = + + (u2 + 1)(2 + u)2 2 + u (2 + u)2 u2 + 1 4u3 + 9u2 − 12u − 3 = A(2 + u)(u2 + 1) + B(u2 + 1) + (Cu + D)(2 + u)2. Dosazením u = −2 :

25 = 5B ⇒ B = 5

a porovnáním koeficientů u mocnin proměnné u u3 :

4 = A+C

u2 :

9 = 2A + B + 4C + D

0

u : −3 = 2A + B + 4D A = 4, C = 0, D = −4 . Pokračujeme dále ve výpočtu integrálu I=

1 2

du + 2

5 du + 2+u 2

du −2 (2 + u)2

du = u2 + 1

1 5 1 u + 2 ln |2 + u| − − 2 arctg u + c0 = 2 2 2+u √ √ 1 1 5 √ − = (t + t2 + 4t − 1) + 2 ln(2 + t + t2 + 4t − 1) − 2 2 2 + t + t2 + 4t − 1 √ − 2 arctg(t + t2 + 4t − 1) + c0 = =

93

=

I.7.3.

√ 1 1 1√ 2 1√2 t + 4t − 1 + 2 ln(2 + t + t2 + 4t − 1) − 1 − t + t + 4t − 1 − t+ 2 2 2 2 √ − 2 arctg(t + t2 + 4t − 1) + c0 = √ √ = e2x + 4ex − 1 + 2 ln 2 + ex + e2x + 4ex − 1 − √ − 2 arctg ex + e2x + 4ex − 1 + c .

Příklady

Vypočítejte:

696.

697.

698.

699.

700.

701.

702.

703.

dx (1 + ex )2

704.

(ex−1

e2x dx 1 + ex

705.

(1 + ex )2 dx 1 + e2x

706.

ex + e3x dx 1 − e2x + e4x

708.

dx 2 − ex − e2x

709.

dx 1 + ex + e2x + e3x

710.

dx x (e − 1)4

711.

dx e + ex dx x x 1 + e + e3 + e6 x 2

707.

dx − (ex+1 + 1)2

x 2

dx 2x e + ex − 2

+

1)2

x

1 + e2 dx x (1 + e 4 )2 √

dx ex − 1

√

dx 1 + ex + e2x

x e

−1 dx ex + 1

√

dx √ 1 + ex + 1 − ex

712. Dokažte, že je-li P (x) polynom stupně n, pak

ax

ax

P (x) e dx = e

(n) P (x) P (x) (x) nP − + · · · + (−1) +c. a a2 an+1

94

Vypočítejte:

713.

714.

715.

3 3x

x e dx

716.

(x2 − 2x + 2)e−x dx

717.

2

x7 e−x dx √

x2 e

x

dx

2

(x3 + x)e−x dx

718. Dokažte, že primitivní funkce

R(x) eax dx , kde R(x) je racionální funkce taková, že polynom ve jmenovateli má jen reálné kořeny, je vyjádřena elementárními funkcemi a transcendentní funkcí

eax dx = li (eax ) + c , x

kde li x =

dx , x ∈ (0, 1), lim li x = 0. x→0+ ln x

Pomocí funkce li(eax ) vyjádřete:

1 −x 1− e dx x

719.

720.

e2x dx x2 − 3x + 2

721.

x4 e2x dx (x − 2)2

722. V jakém případě je primitivní funkce

P

1 x

x

e dx ,

kde P

an 1 a1 +···+ n , = a0 + x x x

elementární funkcí?

I.8.

Integrace neˇkteryćh dalsˇ´ıch funkcı´

Vypočítejte:

723.

724.

x dx x3 + 8

725.

x4 dx x2 + 4

726.

95

dx + x2 )

x6 (1

x2 dx (1 − x2 )3

a0 , a1 , . . . , an ∈ R ,

727.

728.

729.

730.

dx 4 x + x2 + 1

742.

(x2 − 1) dx x4 + 3x3 + 5x2 + 3x + 1

743.

dx 8 x + x4 + 1

744.

dx √ √ 731. x+ 3x √ 2+ x+1 √ dx 732. (x + 1)2 − x + 1 733.

1+

2

x

734.

735.

x2

736.

√

737.

3

739.

ln (1 + x + x2 ) dx (1 + x)2 x ln (4 + x4 ) dx

(x ln x)2 √ dx x

√ √ ln( 1 − x + 1 + x) dx

ln x − 1 dx ln2 x

747. 748.

dx

ln x dx (ln x + 1)2 √ x ln(1 + 1 + x2 ) √ 750. dx 1 + x2 √ √ 751. x x2 + 1 ln x2 − 1 dx 749.

x dx 1−x

x+2 √ dx 1 − x2

752.

x √ dx 1−x x

753.

746.

x5 dx 1 + x2

738.

x

ln (1 + x + x2 ) dx x2

745.

√ 1 − x √

x3 dx (x8 + 1)2

1+x √ dx x + x + x2

√

x x √ ln dx 1−x 1 − x2

(1 + x2 )3

dx

755.

dx √ x x4 − 2x2 − 1 √ 1 + 1 − x2 √ dx 741. 1 − 1 − x2

√

dx

1 + x2 )

(1 + x2 )3

dx √ x 1 + x3 + x6

ln(x +

754.

x2 (1 − x)

ln x

dx

ax2 + b x − 1 ln dx x2 − 1 x + 1

x ln x dx (1 + x2 )2 √ x ln(x + 1 + x2 ) 757. dx (1 − x2 )2

740.

756.

96

758.

ex ln(1 + e−x ) dx

776.

xx (1 + ln x) dx

759.

760.

761.

777.

dx (2 + sin x)2 sin 4x dx sin x + cos8 x

762.

763.

764.

765.

766.

sin 2x dx 1 + cos4 x

781.

768.

769.

783. 784.

770.

eax cos2 bx dx eax sin3 bx dx 787.

2

772.

773.

774.

775.

789.

790.

xex sin2 x dx

x

xex dx (1 + ex )2 xex dx (x + 1)2

791.

x3 sin x2 dx

2 1− x

2

792.

x cotg x dx 97

dx

ex+e dx

788.

x2 ex cos x dx

x

2

x−1 x2 + 1

ex dx 2

ex dx

2 − sin2 x dx

dx − (ex−1 + 1)2

√ e2x ex + e2x dx

dx

xex sin x dx

√

xe

+

1)2

x+1 dx 2x

786.

771.

1 + e2x dx (1 + ex )2 (ex+1

785.

sin x ex

2 2

ln x cos ln x dx x sin x ln cos x +

sin x dx 2 + sin 2x

(1 + x ) cos x dx

767.

1 + sin x x e dx 1 + cos x

782.

x5 sin 5x dx

sin x − cos x x e dx sin2 x

sin x √ dx cos x 1 + sin2 x √

780.

√

x cos x − sin x dx x2

779.

dx √ sin x 1 + cos x

x sin x dx (1 + cos x)2

778.

8

x dx 1 + cos x

793.

x arctg(x + 1) dx

794.

795.

796.

797.

x(1 + x2 ) arccotg x dx √

x arctg

809. x dx

arctg

√

1 dx x−1

813.

1 dx x √ 2 x dx 801. arcsin 1+x √ 802. x 1 − x2 arccos x dx

804.

805.

806.

807.

√

814.

815.

earcsin x dx (2x + 1)earctg x dx

818.

x arctg x dx (1 + x2 )2

819.

x arctg x dx 1 + x2

820.

xearctg x

(1 + x2 )3

x4 arctg x dx 1 + x2

earctg x

(1 + x2 )3

ax + b arctg x dx x2 + 1

dx

arcsin ex dx ex

817.

2

dx

x arctg x ln(1 + x2 ) dx

816.

1 − x2 arcsin x dx

√

x arccos x (1 − x2 )3

812.

x arccos

803.

arccos x

x dx

arcsin x 1 + x2 √ dx x2 1 − x2 (1 − x2 )3

811.

(2x + 3) arccos(2x − 3) dx

x3 arccos x dx 1 − x2

800.

√

x arcsin(1 − x) dx

arcsin

799.

√

810.

798.

808.

dx

dx

√ arctg ex √ x dx e (1 + ex )

tgh2 x + 1 dx

98

sinh x arctg sinh x dx

II Riemannu˚v integra´l II.1.

Definice a vlastnosti R-integra´lu

II.1.1.

Integrální součty a definice R-integrálu

Definice. Nechť n ∈ N ∪ {0}. Množina D = {x0 , x1 , . . . , xn } se nazývá dělení intervalu a, b, jestliže platí a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b . Čísla xi se nazývají dělicí body a intervaly xi−1 , xi dělicí intervaly dělení D. Číslo ν(D) = max{(xi − xi−1 ); i = 1, . . . , n} se nazývá norma dělení D. Označení. Množinu všech dělení intervalu a, b budeme značit symbolem D(a, b). Definice. Nechť funkce f je omezená na a, b. Označme s(f, D) = S(f, D) =

n i=1 n

mi (xi − xi−1 ) ,

mi = inf{f (x); x ∈ xi−1 , xi },

Mi (xi − xi−1 ) ,

Mi = sup{f (x); x ∈ xi−1 , xi }.

i=1

Číslo s(f, D) nazýváme dolní součet a číslo S(f, D) horní součet funkce f při dělení D. Definice. Nechť funkce f je omezená na a, b. Označme b a

b

Číslo

b

a

f (x) dx = sup{s(f, D); D ∈ D(a, b)} , f (x) dx = inf{S(f, D); D ∈ D(a, b)} .

f (x) dx nazýváme dolní Riemannův integrál a číslo

a

mannův integrál funkce f přes interval a, b.

99

b a

f (x) dx horní Rie-

Definice. Nechť funkce f je omezená na a, b. Jestliže platí b

f (x) dx =

b

a

f (x) dx ,

a

nazývá se funkce f riemannovsky integrovatelná na a, b a její Riemannův integrál (R-integrál) přes a, b pak definujeme jako b

f (x) dx =

a

Jestliže platí

b

f (x) dx =

b

a

b

f (x) dx .

a

f (x) dx <

b

a

f (x) dx

a

říkáme, že funkce f není riemannovsky integrovatelná na a, b. Označení. Množinu všech riemannovsky integrovatelných funkcí na a, b budeme značit symbolem R(a, b). Definice. Nechť D ∈ D(a, b), D = {x0 , x1 , . . . , xn }. Pak množinu V = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn }, kde ξi ∈ xi−1 , xi , i = 1, 2, . . . , n, jsou libovolné, nazýváme výběr reprezentantů dělicích intervalů dělení D. Definice. Nechť funkce f je omezená na a, b. Označme σ(f, D, V) =

n

f (ξi )(xi − xi−1 ) .

i=1

Číslo σ(f, D, V) nazýváme integrální součet funkce f při dělení D a výběru reprezentantů V. Definice. Nechť funkce f je omezená na a, b. Říkáme, že integrální součty σ(f, D, V) mají limitu A ∈ R, jestliže ke každému > 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé dělení D ∈ D(a, b) s normou ν(D) < δ a libovolný výběr reprezentantů V, platí |σ(f, D, V) − A| < . Číslo A pak nazýváme Riemannův integrál funkce f přes interval a, b a značíme A=

b

f (x) dx .

a

Poznámka. Definice R-integrálu přes dolní a horní součty a definice přes integrální součty jsou ekvivalentní. 100

∞ Definice. Nechť {D n }∞ n=1 je posloupnost dělení intervalu a, b. Posloupnost {D n }n=1 se nazývá nulová, jestliže lim ν(D n ) = 0 . n→∞

Věta. Nechť funkce f je omezená na a, b a {D n }∞ n=1 je nulová posloupnost dělení intervalu a, b. Pak platí lim s(f, D n ) =

n→∞

b

lim S(f, D n ) =

f (x) dx ,

n→∞

a

b

f (x) dx .

a

Je-li f ∈ R(a, b), pak lim s(f, D n ) = lim S(f, D n ) =

n→∞

n→∞

b

f (x) dx ,

a

a je-li Vn libovolný výběr reprezentantů dělicích intervalů dělení D n , pak lim σ(f, D n , Vn ) =

n→∞

II.1.2.

b

f (x) dx .

a

Podmínky existence R-integrálu

Věta. Nechť f je monotónní na a, b. Pak f ∈ R(a, b). Věta. Nechť f je spojitá na a, b. Pak f ∈ R(a, b). Věta. Nechť f je omezená na a, b a má v a, b konečně mnoho bodů nespojitosti. Pak f ∈ R(a, b). Věta. Nechť f a g jsou omezené na a, b a množina {x ∈ a, b; f (x) = g(x)} je konečná. Pak f ∈ R(a, b), právě když g ∈ R(a, b). V tomto případě platí b

f (x) dx =

b

a

II.1.3.

g(x) dx .

a

Vlastnosti R-integrálu.

Věta. Nechť f ∈ R(a, b). Pak platí: 1) Je-li f (x) ≥ 0, x ∈ a, b, pak

b

2) je-li |f (x)| ≤ K, x ∈ a, b, pak

a

f (x) dx ≥ 0,

b f (x) dx a

101

≤ K(b − a).

Věta. Nechť f, g ∈ R(a, b), k ∈ R. Pak 1) (f + g) ∈ R(a, b) a platí b

(f (x) + g(x)) dx =

b

a

f (x) dx +

a

2) kf ∈ R(a, b) a platí

b

g(x) dx ,

a

k f (x) dx = k

a

b

b

f (x) dx .

a

Věta. Nechť f, g ∈ R(a, b) a f (x) ≤ g(x), x ∈ a, b. Pak b a

f (x) dx ≤

b

g(x) dx .

a

Věta. Nechť f ∈ R(a, b). Pak |f | ∈ R(a, b) a platí b f (x) dx a

≤

b a

|f (x)| dx .

Věta. Nechť a, b, c ∈ R, a < c < b, a nechť f ∈ R(a, c) a f ∈ R(c, b). Pak f ∈ R(a, b) a platí b

f (x) dx =

c

a

f (x) dx +

a

b

f (x) dx .

c

Věta. Nechť f ∈ R(a, b) a c, d ⊂ a, b. Pak f ∈ R(c, d). Definice. Nechť f je definovaná na uzavřeném intervalu s krajními body a, b. Pak 1) je-li a < b a f ∈ R(a, b), pak 2) je-li a = b, definujeme

a a

b a

f (x) dx značí R-integrál, který byl definován,

f (x) dx = 0,

3) je-li a > b a f ∈ R(b, a), definujeme

b a

f (x) dx = −

a b

f (x) dx.

Věta. Nechť a, b, c ∈ R. Nechť f ∈ R(min{a, b, c}, max{a, b, c}). Pak platí b a

f (x) dx =

c

f (x) dx +

a

b c

102

f (x) dx .

II.1.4.

Příklady

1. Najděte s(f, D n ) a S(f, D n ) pro následující funkce na odpovídajících intervalech, kde D n volte tak, že dělicí intervaly mají stejnou délku: a) f (x) = x3 na −2, 3, √ b) f (x) = x na 0, 1, c) f (x) = 2x na 0, 10. 2. Najděte σ(f, D n , V) pro funkci f (x) = 1 + x na intervalu −1, 4, kde D n volte tak, že dělicí intervaly mají stejnou délku a ξi jsou středy dělicích intervalů. 3. Najděte s(f, D n ) pro funkci f (x) = x4 na intervalu 1, 2, kde D n volte tak, aby délky dělicích intervalů tvořily geometrickou posloupnost (xi = aq i ). Vypočítejte lim s(f, D n ). n→∞

4. Podle definice R-integrálu vypočítejte

T 0

(v0 +gt) dt , kde v0 a g jsou konstanty.

Následující R-integrály vypočítejte jako limity odpovídajících integrálních součtů σ(f, D n , V), kde {D n }∞ n=1 je nulová posloupnost dělení: 2

5.

−1

1

6. 9.

0

b a

10.

b a

2

x dx x

a dx , dx , x2

7. 8.

a>0 0
Návod: volte ξi =

√

π 2

0

x 0

sin x dx cos t dt

xi−1 xi , i = 1, . . . , n.

xm dx 0 < a < b, m = −1

Návod: volte dělení D n tak, že souřadnice xi dělicích bodů tvoří geometrickou posloupnost (xi = aq i ).

11.

b a

dx x

0
Návod: dělení D n volte jako v příkladu 10.

12. Dokažte, že nespojitá funkce f (x) = sgn sin πx má R-integrál na 0, 1. 13. Dokažte, že funkce

1

f (x) =

− [ x1 ] je-li x = 0, 0 je-li x = 0, x

má R-integrál na intervalu 0, 1.

103

14. Dokažte, že Riemannova funkce 1

f (x) =

q

0

pro x = pq , p ∈ Z \ {0}, q ∈ N, p, q nesoudělná, v ostatních bodech z R,

má R-integrál na intervalu 0, 1. 15. Dokažte, že Dirichletova funkce

χ(x) =

1 pro x ∈ Q, 0 pro x ∈ R \ Q,

nemá R-integrál na žádném intervalu. 16. Nechť funkce f (x) má R-integrál na a, b a pro x ∈ a, b platí A ≤ f (x) ≤ ≤ B. Nechť funkce g(x) je spojitá na A, B. Dokažte, že funkce g(f (x)) má R-integrál na a, b. 17. Jsou-li funkce f (x) a g(x) riemannovsky integrovatelné, je také funkce f (g(x)) riemannovsky integrovatelná? Uvažujte příklad

f (x) =

1 pro x = 0, 0 pro x = 0,

a g(x) je Riemannova funkce (viz př. 14). 18. Uveďte příklad funkce, která je spojitá v bodě x0 a nemá R-integrál na žádném intervalu, který obsahuje bod x0 . 19. Uveďte příklad funkce f (x), pro kterou platí, že f (x) nemá R-integrál na a, b a f 2 (x) má R-integrál na a, b. 20. Dokažte, že je-li funkce f (x) spojitá a kladná na 0, 1, pak platí 1

lim

n

n→∞

f ( n1 )f ( n2 ) . . . f ( nn ) = e

0

ln f (x) dx

.

21. Nechť funkce f (x) má R-integrál na a, b a pro x ∈ a, b platí f (x) = 0. Dokažte, že lim

b

h→0 a

|f (x + h) − f (x)| dx = 0 .

22. Nechť funkce f (x) a g(x) mají R-integrál na a, b. Dokažte, že platí nerovnost (Cauchyova–Buňakovského) b a

f (x)g(x) dx ≤

b a

104

f 2 (x) dx

b a

g 2 (x) dx .

23. Nechť funkce f (x) a g(x) mají R-integrál na a, b a nechť p, q ∈ R, p > 1, 1 + 1q = 1. Dokažte, že platí nerovnost (Hölderova) p b a

|f (x) g(x)| dx ≤

a αp p

Návod: Použijte nerovnost αβ ≤

b

+

1 p b

|f (x)|p dx βq q ,

a

1

|g(x)|q dx

q

.

α ≥ 0, β ≥ 0.

24. Nechť funkce f (x) a g(x) mají R-integrál na a, b a nechť p ∈ R, p > 1. Dokažte, že platí nerovnost (Minkowského) b a

1

|f (x) + g(x)| dx p

p

≤

b a

1

|f (x)| dx p

p

+

b a

1

|g(x)|p dx

p

.

Který integrál je větší?

25.

π 2

0

1

26.

1 2

1

27.

0

2

28. 29.

1

π

II.2. II.2.1.

0

π

sin x dx nebo x

−x

e

√

nebo

1 2

dx √ 3 x

1

dx nebo

dx 1 + x2

−x2

e

0

1

dx √ x

sin x dx x

0

2

e−x dx

2

nebo

1

dx x 2π

2

cos x dx nebo

2

e−x cos2 x dx

π

R-integra´l jako funkce hornı´ meze Teorie

Definice. Nechť funkce f (x) má R-integrál na intervalu a, b. Pak funkci F (x) =

x

kde c, x ∈ a, b ,

f (t) dt ,

c

(∗)

nazýváme integrál jako funkce horní meze.

Poznámka. Analogicky definujeme funkci xc f (t) dt integrál jako funkce dolní meze. Platí c x f (t) dt = − f (t) dt . x

c

105

Věta. Funkce F (x) definovaná vztahem (∗) má vlastnosti 1) F (x) je spojitá na a, b, 2) je-li funkce f (x) spojitá v bodě x0 ∈ a, b, pak má funkce F (x) derivaci v x0 a platí F (x0 ) = f (x0 ). Důsledek. Je-li f (x) spojitá na a, b, pak F (x) = f (x) pro každé x ∈ a, b. Poznámka. Nechť f je spojitá na intervalu J . Pak funkce F (x) =

x

kde c, x ∈ J ,

f (t) dt ,

c

je primitivní funkce k funkci f na intervalu J . II.2.2.

Příklady

Vypočítejte derivace: d b sin x2 dx 30. a) dx a d b sin x2 dx b) da a d b sin x2 dx c) db a

d x2 √ 31. a) 1 + t2 dt dx 0 dt d x3 √ b) 2 dx x 1 + t4 d cos x c) cos πt3 dt dx sin x

32. Nechť funkce f (x) je spojitá na A, B a nechť a, b ⊂ A, B. Vypočítejte d b f (x + y) dy , dx a

kde A − a < x < B − b .

33. Nechť f (x) je spojitá kladná funkce. Dokažte, že funkce x

t f (t) dt ϕ(x) = 0 x 0 f (t) dt je rostoucí na 0, +∞). Vypočítejte limity: x

34. lim

0

x→0

cos t2 dt x

36. lim

e2t dt sin x √ tg t dt 37. lim 0tg x √ x→0+ sin t dt 0 x→+∞

x

35. lim

x→+∞

0

x t2 e dt x0 2

arctg2 t dt √ x2 + 1

106

0

II.3.

Metody vy´pocˇtu R-integra´lu

II.3.1.

Teorie

Věta (Leibnizův–Newtonův vzorec). Nechť f ∈ R(a, b) a nechť F je primitivní funkce k funkci f na a, b. Pak platí b a

f (x) dx = F (b) − F (a) .

Poznámka. Používáme též označení F (b) − F (a) = [F (x)]ba . Věta (per partes). Nechť funkce u, v mají derivaci na intervalu a, b a nechť u , v ∈ R(a, b). Pak platí b a

u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)]ba −

b

u (x)v(x) dx .

a

Věta (1. věta o substituci). Nechť funkce f je spojitá na a, b. Nechť funkce ϕ má derivaci na α, β a ϕ ∈ R(α, β). Nechť ϕ(α, β) ⊂ a, b. Pak platí β

f (ϕ(x))ϕ (x) dx =

ϕ(β)

α

f (t) dt .

ϕ(α)

Věta (2. věta o substituci). Nechť funkce f je spojitá na a, b. Nechť funkce ϕ má derivaci ϕ = 0 na α, β a ϕ ∈ R(α, β). Nechť ϕ(α, β) = a, b. Pak platí b

f (x) dx =

a

β

f (ϕ(t))|ϕ (t)| dt

=

α

ϕ−1 (b) ϕ−1 (a)

f (ϕ(t)) ϕ (t) dt .

Při výpočtu R-integrálů používáme kromě výše uvedených vět ještě vlastnosti R-integrálu (viz II.1.3), a sice Věta. Nechť f, g ∈ R(a, b). Pak 1) 2) 3)

b a b a b a

(f (x) + g(x)) dx = k f (x) dx = k f (x) dx =

c a

b

b

f (x) dx +

a

f (x) dx +

g(x) dx,

a

f (x) dx ,

a

b

b

kde k ∈ R, f (x) dx ,

c

107

kde a < c < b.

II.3.2.

Řešené příklady 1

38. Užitím Leibnizova–Newtonova vzorce vypočítejte Funkce F (x) = 12 ln(x2 + x + 1) − x , a tedy f (x) = x2 +x+1

√

3 3

−1 x2

x dx +x+1

√ arctg 2x+1 je primitivní funkce k funkci 3

√ 1 x 1 3 2x + 1 2 = dx = ln(x + x + 1) − arctg √ 2 3 −1 x2 + x + 1 3 −1 √ √ √ √ 3 3 3 1 1 π = ln 3 − √ . = ln 3 − arctg 3 + arctg − 2 3 3 3 2 2 3

1

4 39. Dokažte nerovnost (e − 1) < 9

1 0

1 ex dx < (e − 1) . (x + 1)(2 − x) 2

Na intervalu 0, 1 platí pro funkci

1 (x+1)(2−x)

nerovnost

1 1 4 ≤ ≤ 9 (x + 1)(2 − x) 2 a je-li x = 0, x =

1 2

a x = 1, platí na 0, 1 4 1 1 < < , 9 (x + 1)(2 − x) 2

tedy i

1 ex 4 x e < < ex . 9 (x + 1)(2 − x) 2

Odtud dostáváme 1 1 1 x ex dx 4 1 x < e dx < e dx 9 0 2 0 0 (x + 1)(2 − x) a protože

1 x e dx 0

= [ex ]10 = e − 1, je nerovnost dokázána.

40. Užitím R-integrálu vypočítejte limitu posloupnosti {sn }∞ n=1 , kde sn =

1α + 2α + · · · + nα , nα+1

Protože součet sn =

α > 0.

n 1 i ( )α n i=1 n

je integrálním součtem funkce f (x) = xα na intervalu 0, 1, tak 1

lim sn =

n→∞

0

xα+1 x dx = α+1 α

108

!1 0

=

1 . α+1

41. Užitím metody per partes vypočítejte 1

a)

0

2

x3 e−x dx ;

π

b)

−π

n∈N

cosh x cos nx dx,

2

2

a) Volíme u = x2 , v = x e−x , pak u = 2x, v = − 12 e−x a dostáváme 1 0

=−

1 1 2 2 2 x3 e−x dx = [− x2 e−x ]10 + x e−x dx = 2 0 1

1 1 1 1 1 1 2 1 + − e−x = − − + = − . 0 2e 2 2e 2e 2 2 e

b) Použijeme dvakrát metodu per partes. Nejprve volíme u = cosh x, v = = cos nx, pak u = sinh x, v = n1 sin nx a dostáváme !π

1 cosh x sin nx n

I=

−π

π

1 n

−

−π

sinh x sin nx dx = −

π

1 n

−π

sinh x sin nx dx .

Nyní znovu použijeme metodu per partes. Volíme u = sinh x, v = sin nx, pak u = cosh x, v = − n1 cos nx a dostáváme I=−

1 n

!π

π

1 sinh x cos nx n2

sinh x sin nx dx =

−π

−π

−

1 n2

π −π

cosh x cos nx dx .

Po dosazení dostáváme rovnici I = (−1)n

2 sinh π 1 − 2 I, 2 n n

a tedy I = (−1)n

2 sinh π . n2 + 1

42. Užitím substituce vypočítejte 1 √ a√ a) x 1 + x2 dx ; b) a2 − x2 dx 0

0

a) Použijeme 1. větu o substituci. Volíme t = ϕ(x) = 1+x2 , pak dt = ϕ (x) dx = = 2x dx a meze integrace jsou ϕ(0) = 1, ϕ(1) = 2. Dostáváme 1 0

√ 1 2√ 1 √ 3 2 1 √ x 1 + x2 dx = t dt = t = (2 2 − 1) . 1 2 1 3 3

b) Použijeme 2. větu o substituci. Volíme x = ϕ(t) = a sin t, potom dx = = ϕ (t) dt = a cos t dt a meze integrace jsou ϕ−1 (0) = 0, ϕ−1 (a) = π2 . Dostáváme tedy a√ 0

a2 − x2 dx =

= a2

0

π 2

π 2

a2 − a2 sin2 t a cos t dt = a2

0

cos2 t dt =

a2 2

0

π 2

(1 + cos 2t) dt =

109

π 2

0

| cos t| cos t dt =

a2 sin 2t t+ 2 2

!π 2

0

=

πa2 . 4

II.3.3.

Příklady

Použitím Leibnizova–Newtonova vzorce vypočítejte integrály: 8

43. 44.

√ 3

x dx

47.

sin x dx

48.

−1

π 0

√3

45.

√1 3

46.

sinh 2

1 2

− 12

2

49.

dx 1 − x2

50.

Dokažte nerovnosti: 51.

1 √ < 10 2

52.

1 √ < 20 3 2

1 0

1 0

200

53. 0 <

0

1

54. 1 <

55. 0 <

√

x9 1 dx < 10 1+x

√ 3

x19 1 dx < 20 1 + x6

e−5x dx < 0,01 x + 20

1 + x20 1 dx < 1 + 40 1+x 21

0

3 π 4 π 4

sin x dx < ln 3 x

1

cos x dx < 2 sin 1 −1 1 + x2

56. sin 1 <

2 π+2 < 57. ln π 2 58. 0 <

π 0

1 60. < 3

1 −1

π 2

0

π+2 sin x dx < ln x(x + 1) 2

π sin x √ dx < √ 5 5 2 x +2 2

1 1 < 59. √ 3 π 9

1 −1

0

3 π + arctg x √ dx < 3 2 x2 + 8

cos x dx < 1 2 + x2 110

−1 x2

dx , 0<α<π − 2x cos α + 1

100π √ 0

dx 1 + x2

|1 − x| dx

1

dx 1 + x2 √

sinh 1

√

1 − cos 2x dx

Pomocí R-integrálu vypočítejte limity posloupností:

61. lim

n→∞

n 1 b − a f a+i n i=1 n

1 1 1 + +···+ n+1 n+2 2n

62. lim

n→∞

63. lim n n→∞

1 1 1 + 2 +···+ 2 2 2 2 n +1 n +2 2n

2π n−1 1 π + · · · + sin π sin + sin n→∞ n n n n

64. lim

⎛

1 1 65. lim ⎝ 1 + + n→∞ n n

2 1+ +···+ n

⎞

n 1+ ⎠ n

√ n

n! n

66. lim

n→∞

1 2 2n − 1 + + · · · + n2 n2 n2

67. lim

n→∞

68. lim

n→∞

13 23 (4n − 1)3 + + · · · + n4 n4 n4

n−1

69. lim

n→∞

i=1

70. lim sin n→∞

i iπ 1+ sin 2 n n

n 1 π n i=1 2 + cos iπ n

n 1 (nx + i)(nx + i + 1) , n→∞ n2 i=1

71. lim

n

x>0

i

2n 72. lim 1 n→∞ i=1 n + i 73. Vypočítejte: 2

a)

0

f (x) dx, je-li f (x) =

0

pro 0 ≤ x ≤ 1, 2 − x pro 1 < x ≤ 2.

1

b)

2 x

f (x) dx, je-li f (x) =

x t 1−x 1−t

pro 0 ≤ x ≤ t, pro t < x ≤ 1.

111

74. Vypočítejte následující integrály I = I(α) a nakreslete jejich grafy jako grafy funkcí parametru α: 1

a) I = b) I = c) I =

0

π 0

π 0

x|x − α| dx sin2 x dx 1 + 2α cos x + α2 sin x √ dx 1 − 2α cos x + α2

Metodou per partes vypočítejte integrály: ln 2

75. 76.

dx

78.

x sin x dx

79.

xe

0

π 0

1 e

| ln x | dx

0

arccos x dx

√3

2

80.

x cos x dx

0

e 1

2π

77.

−x

0

x arctg x dx

Dokažte rovnosti (n ∈ N):

81.

π 2

0

cosn x cos(n + 2)x dx = 0

Návod: Použijte dvakrát metodu per partes na integrál Příklady 82–86 řešte analogicky.

82.

0

83.

85. 86.

π 2

0

84.

π 2

π 2

0

π 0

π 0

cosn x sin(n + 2)x dx =

1 n+1

sinn x cos(n + 2)x dx = − sinn x sin(n + 2)x dx =

sin nπ 2 n+1

cos nπ 2 n+1

sinn−1 x cos(n + 1)x dx = 0 cosn−1 x sin(n + 1)x dx = 0

112

π 2

0

cosn+2 x cos(n + 2)x dx.

Substituční metodou vypočítejte integrály: 1

87.

√

−1

1

88.

89.

0

90. 91.

3 4

0

(1 − 2ax + a2 )(1 − 2bx + b2 )

|a| < 1, |b| < 1, ab > 0

dx √ (x + 1) x2 + 1

0

0

,

√ x2 a2 − x2 dx

ln 2 √ 1

92.

dx

−1

a

x dx 5 − 4x

ex − 1 dx

arcsin

√

x

x(1 − x)

dx

93. Dokažte, že je-li funkce f (x) spojitá na 0, 1, pak

a) b)

π 2

0

π 0

f (sin x) dx =

π 2

0

x f (sin x) dx =

f (cos x) dx ,

ππ f (sin x) dx . 2 0

94. Dokažte, že pro funkci f (x) spojitou na −a, a platí a) b)

a

−a a −a

f (x) dx = 2

a 0

f (x) dx , je-li f (x) sudá,

f (x) dx = 0 , je-li f (x) lichá.

95. Dokažte, že jedna z primitivních funkcí sudé funkce je funkce lichá a každá primitivní funkce liché funkce je funkce sudá. 96. V integrálu

2π 0

f (x) cos x dx

použijte substituci t = sin x. 97. Dokažte rovnost

1 0

1 arctg x dx = x 2

113

0

π 2

t dt . sin t

98. Vypočítejte integrál

1

ln(1 + x) dx 1 + x2 0 použitím substituce x = tg t a vzorce √ 2 cos( π4 − α) 1 + tg α = . cos α 99. Dokažte rovnost

1

arctg x dx = 1+x

0


1 0

2

1 1+x− x

1 2

ln(1 + x) dx . 1 + x2

1

ex+ x dx

použitím substituce t = x + x1 . 101. Vypočítejte integrál cos ln −2πn

1 e


3 −1

kde f (x) =

1 dx , x

kde n ∈ N.

f (x) dx , 1 + f 2 (x) (x + 1)2 (x − 1) . x3 (x − 2)

103. Dokažte, že je-li f (x) spojitá funkce na (−∞, +∞) a periodická s periodou p, pak a+p p f (x) dx = f (x) dx , 0

a

kde a ∈ R je libovolné. 104. Dokažte, že funkce F (x) =

x 0

sinn t dt

a

G(x) =

x 0

cosn t dt

jsou periodické s periodou 2π, je-li n liché, a je-li n sudé, je každá z nich součtem lineární funkce a periodické funkce.

114

Vypočítejte integrály: 105. 106.

π −π

π

109.

π 2

2

− π2

−1

π 3

− π3

0

1

113. 114.

x sin x dx 1 + cos2 x

(x2 sin 5x + cos π

2

112.

119.

π 3

0

π 0

115. 116.

1

e 1

121.

x + tg3 x) dx 3

122.

2

x ex dx

0

1

dx 2 − sin x x

−2 −3

0

1

n 1

1

124.

√ x2 1 − x2 dx

0

√ 3

1 − x dx

dx x x2 − 1 √

√ x15 1 + 3x8 dx x2 ln x dx xn ln x dx x(2 − x2 )12 dx

1

125.

2

(x sin x) dx arctg

π 2

2

123.

√

0

1

2x7 − x5 + 2x3 − x + 1 dx cos2 x

3

+ 2ex dx e2x + 1

9

(cos x + x sin x) dx

−3

111.

2

120.

0

1 2x e

118.

(ex + e−x ) tg x dx

π

110.

117.

2

1

108.

sin x dx

ex sin x dx

−π

107.

√ 3

126.

x dx

0

π 0

arcsin

127.

0

x dx

ex cos2 x dx

3

dx √ x 1 + ln x

√

arcsin

x dx 1+x

Použitím rekurentních vzorců vypočítejte integrály (n ∈ N): π

sin nx dx sin x

130. In =

Návod: Použijte v In+2 vzorec pro sin(α + β).

131. In =

128. In =

0

129. I2n+1 =

π 0

0

132. In = 115

π 2

0

cos(2n + 1)x dx cos x

π 2

0

π 4

sinn x dx

cosn x dx tg2n x dx

133. In =

0

1

134. In =

0

135. In =

0

sin x − cos x sin x + cos x

2n+1

137. In =

dx

xm lnn x dx ,

π 2

0

π 2

0

2 n

(1 − x ) dx

1

136. In =

π 4

138. In =

π 2

0

cosn x cos nx dx sinn x sin nx dx 1

m∈N

139. B(m, n) = m∈N

n

cos x sin nx dx

*)

0

xm−1 (1 − x)n−1 dx ,

Návod: po integraci per partes dosaďte rovnost x = 1 − (1 − x) a rekurentní vztahy odvoďte postupně pro n a pro m.

Návod: Po integraci per partes přičtěte k oběma stranám rovnosti In . Analogicky řešte příklady 137 a 138.

Vypočítejte integrály (z nespojitých funkcí): 3

140.

0

2

141.

0

3

sgn(x − x ) dx

143.

[ex ] dx

144.

6

142.

0

[x] sin

0

x sgn cos x dx

n+1 1

ln[x] dx ,

n∈N

1

πx dx 6

146. Vypočítejte

π

145.

| cos x|

√

0

sgn sin ln x dx

sin x dx ,

E

kde E ⊂ 0, 4π je množina, na které je funkce

√

sin x definovaná.

*) B(m, n) je speciální případ Eulerova integrálu 1. druhu — funkce beta B(a, b), kde a, b ∈ a > 0, b > 0.

116

R,

III Nevlastnı´ Riemannu˚v integra´l III.1.

Nevlastnı´ R-integra´l na neomezene´m intervalu

III.1.1. III.1.1.1.

Definice a metody výpočtu Konvergence a divergence

Definice. Nechť a ∈ R a funkce f (x) je definovaná na intervalu a, +∞). Nechť f (x) je riemannovsky integrovatelná na každém intervalu a, b, kde b ∈ R, b > a. Označme x F (x) = f (t) dt , x ∈ a, +∞) . a

Existuje-li vlastní limita limx→+∞ F (x), říkáme, že nevlastní integrál konverguje a definujeme

+∞ a

f (x) dx

+∞

f (x) dx = lim F (x) . x→+∞

a

Neexistuje-li vlastní limx→+∞ F (x), říkáme, že nevlastní integrál diverguje. Poznámka. Analogicky definujeme nevlastní integrál

a

−∞

+∞ a

f (x) dx

f (x) dx, kde a ∈ R.

Definice. Nechť f (x) je definovaná na (−∞, +∞) a je riemannovsky integrovatelná +∞ na každém omezeném intervalu. Říkáme, že nevlastní integrál −∞ f (x) dx konverguje, jestliže pro nějaké (a tedy pro každé) a ∈ R konvergují oba nevlastní integrály a +∞ f (x) dx, f (x) dx. Pak definujeme −∞ a +∞ −∞

f (x) dx =

a −∞

+∞

f (x) dx +

f (x) dx . a

Věta (nutná podmínka konvergence). Nechť existuje limx→+∞ f (x). Pak lim f (x) = 0 . x→+∞

117

+∞ a

f (x) dx konverguje a nechť

III.1.1.2.

Metody výpočtu

Věta (linearita integrálu). Nechť integrály a+∞ f (x) dx a Pak pro libovolné k1 , k2 ∈ R konverguje integrál

+∞ a

g(x) dx konvergují.

+∞ a

(k1 f (x) + k2 g(x)) dx

a platí +∞ a

+∞

(k1 f (x) + k2 g(x)) dx = k1

+∞

f (x) dx + k2

a

g(x) dx .

(1)

a

Poznámka. Obrácená věta neplatí. Jestliže a+∞ (f (x) + g(x)) dx konverguje, tak +∞ dx dx f (x) dx a a+∞ g(x) dx konvergovat nemusí. Například 2+∞ 1−x a 2+∞ 1+x a +∞ 1 2 1 divergují, ale 2 + 1+x dx = 2+∞ 1−x 2 dx konverguje (viz př. 1). Dále platí, že 1−x +∞ +∞ f (x) dx konverguje a g(x) dx diverguje, pak nutně jestliže a a +∞ (f (x) + g(x)) dx diverguje. a Věta (Leibnizův–Newtonův vzorec). Nechť funkce f (x) je spojitá na intervalu a, +∞) a funkce F (x) je primitivní funkce k funkci f (x) na a, +∞). Pak platí +∞

f (x) dx = lim F (x) − F (a) , x→+∞

a

(2)

přitom integrál v (2) konverguje, právě když existuje vlastní limx→+∞ F (x). Věta (o substituci). Nechť funkce f (x) je spojitá na a, +∞) a funkce ϕ(t) má spojitou derivaci na α, β), ϕ (t) > 0. Nechť ϕ(α) = a, limt→β− ϕ(t) = +∞. Pak platí +∞

β

f (x) dx = a

f (ϕ(t)) ϕ(t) dt .

(3)

α

Přitom oba integrály v (3) buď současně konvergují nebo současně divergují. Věta (o substituci). Nechť funkce f (x) je spojitá na α, β) a funkce ϕ(t) má spojitou derivaci na a, +∞), ϕ (t) > 0. Nechť ϕ(a) = α, limt→+∞ ϕ(t) = β. Pak platí β

α

+∞

f (x) dx =

f (ϕ(t)) ϕ(t) dt .

(4)

a

Poznámka. Věty o substituci lze analogicky vyslovit pro ϕ (t) < 0. Substituce daná vztahem (4) se používá hlavně při integraci funkcí f (sin x, cos x), kdy volíme substituční funkci ϕ(t) = arctg x nebo ϕ(t) = 2 arctg x. Přitom, je-li integrál 118

na levé straně rovnosti (4) nevlastní vlivem funkce (viz III.2), pak oba integrály v (4) buď současně konvergují nebo současně divergují. Věta (per partes). Nechť funkce u(x), v(x) mají spojitou derivaci na a, +∞) a nechť existuje vlastní limita limx→+∞ u(x)v(x). Pak platí +∞

u(x)v (x) dx = u(x) v(x) a

kde

u(x)v(x)

+∞ a

+∞ a

−

+∞

u (x)v(x) dx ,

(5)

a

= lim u(x)v(x) − u(a)v(a) . x→+∞

Přitom oba integrály v (5) buď současně konvergují nebo současně divergují. III.1.1.3.


1. Rozhodněte o konvergenci nebo divergenci integrálů: ! +∞ x dx dt 1 t−1 x = = lim = lim ln a) x2 − 1 x→+∞ 2 t2 − 1 x→+∞ 2 t + 1 2 2 1 x−1 1 1 − ln lim ln = ln 3 ⇒ integrál konverguje. = 2 x→+∞ x + 1 3 2 +∞

b)

0

cos 2x dx = lim

x

x→+∞ 0

cos 2t dt = lim

x→+∞

sin 2t 2

!x 0

=

sin 2x neexistuje ⇒ integrál diverguje. x→+∞ 2 ! +∞ x 1 3t x 3x 3t c) e e dx = lim e dt = lim = x→+∞ 1 x→+∞ 3 1 1 1 lim e3x − e3 = +∞ ⇒ integrál diverguje. = 3 x→+∞ = lim

+∞

d)

0 +∞ dx dx dx = + = 2 2 2 x + 4x + 9 −∞ x + 4x + 9 −∞ x + 4x + 9 0 0 x dt dt = lim + lim = x→−∞ x t2 + 4t + 9 x→+∞ 0 t2 + 4t + 9 0 x t+2 t+2 1 1 + lim √ arctg √ = = lim √ arctg √ x→−∞ 5 5 x x→+∞ 5 5 0 x+2 x+2 1 2 1 1 = √ arctg √ − √ lim arctg √ + √ lim arctg √ − 5 5 5 x→−∞ 5 5 x→+∞ 5 2 1 π 1 π 1 1 +√ = √ π ⇒ integrál konverguje. − √ arctg √ = − √ − 2 5 5 5 52 5

119

+∞

2. Vyšetřete, pro která α ∈ R konverguje integrál +∞

a) α = 1:

1

dx = lim xα x→+∞

1 = 1−α

x 1

lim

+∞

1

dt 1 = lim α x→+∞ (1 − α) tα−1 t 1

xα−1

x→+∞

dx . xα

x

= 1

1

pro α > 1 +∞ pro α < 1 1−α

−1 =

x dt dx = lim = lim [ln t]x1 = lim ln x = +∞ x→+∞ 1 t x→+∞ x→+∞ x 1 +∞ dx Integrál 1 xα konverguje pro α > 1 a diverguje pro α ≤ 1.

b) α = 1: Závěr:

3. Vypočítejte integrály: +∞

a)

2

dx 1 = − 2 (x + 1) (x + 1)

+∞

+∞

1 . 3

= 2

dx √ 2 1 x x +x+1 Řešíme substitucí x = 1t , pak dx = − t12 dt a meze integrace jsou x = 1 ⇒ t = 1 a x → +∞ ⇒ t → 0+. Pak +∞ 0 1 dx dt dt √ √ =− = = 2 2 1 1 0 x x +x+1 t +t+1 (t + 1 )2 + 3 b)

= ln t + 1

c)

−1

1 + x2 dx = 2 1 + x4

1 0

1 √2 + t +t+1 2

1 + x2 dx = 2 1 + x4

!1 0

1

řešíme substitucí t = x − x1 , pak dt = 1 + = 0 ⇒ t → −∞ a x = 1 ⇒ t = 0, pak 0

=2

−∞

2 = ln 1 + √ 3

1 +1 x2 1 + x2 x2

0

2

1 x2

√ dt t = 2 arctg √ 2 t +2 2

+∞

4

.

dx =

dx a meze integrace jsou x = √

0

= −∞

2 π. 2

arctg x dx x2 1 Řešíme metodou per partes. Volíme u = arctg x a v = v = − x1 , a dostáváme

d)

+∞ 1

arctg x arctg x dx = − 2 x x

!+∞ 1

+∞

+

1

pak u =

1 1+x2

dx = x(x2 + 1)

π +∞ 1 x π x = + − 2 dx = + ln √ 2 4 x x +1 4 1 x +1 120

1 , x2

+∞

= 1

π 1 + ln 2 . 4 2

a

III.1.1.4.

Příklady

Vypočítejte integrály nebo rozhodněte o jejich divergenci: +∞

4.

2

+∞

5.

0

dx x2

19. 20.

+∞

7.

1

0

8.

−∞

0

9.

−∞

10.

−∞

1

+∞

12. e

+∞

13. e

+∞

14.

0

+∞

15.

1

+∞

16.

1

+∞

17.

1

+∞

18.

1

0

dx √ x 1 + x5 + x10 sinh x dx sinh 2x

+∞

e−3x dx

22.

0

+∞

23.

2

+∞

x+1 dx x2 + 1

+∞

11.

21.

dx x+1

+∞

1

+∞

sin 3x dx

0

−∞

dx √ x x2 − 1

+∞

dx 2 x +4

+∞

6.

−2

24.

1

+∞

dx 2 2x − 5x + 7

25.

dx √ x

26.

dx x ln x

27.

0

ex

dx √ + ex

x dx x3 − 1 x2 + 1 dx x4 + 1 x2 + 12 dx (x2 + 1)2

+∞ −∞

+∞ 2

(x2

dx √ x x2 + x − 1

+∞

dx x ln2 x

28.

0

+∞

x 2−x dx

29.

ln(x2 + x) dx x

0

+∞

30.

1

+∞

dx √ x x−1

31.

0

+∞

dx √ (1 + x) x

32.

0

+∞

x4 dx (x5 + 1)4

33. 121

0

dx + x + 1)2

(

√

e−

x2

√ 3

x

dx + 1 + x)2 dx

arctg 2x dx x2 arctg x √ dx (1 + x2 ) 1 + x2 x earctg x √ dx (1 + x2 ) 1 + x2 e−ax sin bx dx ,

a>0

+∞

34.

−ax

e

0

+∞

cos bx dx ,

a>0

36. Vypočítejte

35.

x

e− 2

E

0

e−ax sin2 bx dx ,

a>0

| sin x − cos x| √ dx , sin x

kde E ⊂ (0, +∞) je definiční obor funkce za integračním symbolem. Použitím rekurentních vzorců vypočítejte integrály (n ∈ N): +∞

37. In =

0

xn e−x dx

+∞

38. In =

(ax2

−∞

dx , + bx + x)n

a > 0, ac − b2 > 0

39. Dokažte rekurentní vzorec In = pro integrál

n(n − 1) In−2 , n2 + α2

+∞

In =

0

e−αx sinn x dx ,

Substituční metodou vypočítejte integrály:

40.

0

41.

43.

π 2

sin x dx sin x + cos3 x 3

0

42.

sin2 x dx 1 + sin2 x

π 2

π 2

a2

0

π 0

dx , a + b cos x

2π

44.

0

dx , sin x + b2 cos2 x 2

dx , 1 + ε cos x

ab = 0

a2 > b2 > 0 0<ε<1

122

n > 1,

α > 0.

III.1.2.

Srovnávací kriteria konvergence

Věta (srovnávací kriterium). Nechť 0 ≤ f (x) ≤ g(x) pro x ∈ a, +∞). Pak platí +∞

1)

konverguje-li

+∞

g(x) dx , konverguje i a

+∞

2)

diverguje-li

f (x) dx , a

+∞

f (x) dx , diverguje i a

g(x) dx . a

Věta (limitní srovnávací kriterium). Nechť f (x) ≥ 0 a g(x) > 0 pro x ∈ a, +∞) a nechť existuje limita f (x) = k. (6) lim x→+∞ g(x) Pak platí +∞

1)

je-li k < +∞ a konverguje-li +∞

2)

+∞

g(x) dx , konverguje i a

+∞

g(x) dx , diverguje i

je-li k > 0 a diverguje-li a

f (x) dx , a

f (x) dx . a

Poznámka. Je-li v limitě (6) k ∈ (0, +∞), pak oba integrály a+∞ f (x) dx, a+∞ g(x) dx buď současně konvergují nebo současně divergují. Speciálně: Je-li f (x) ∼ g(x), x → → +∞, pak oba integrály a+∞ f (x) dx, a+∞ g(x) dx buď současně konvergují nebo současně divergují. III.1.2.1.


45. Vyšetřete konvergenci nebo divergenci integrálů: +∞ sin2 3x √ a) dx. 3 1 x4 + 1 Pro x ∈ 1, +∞) platí nerovnost 1 sin2 3x √ < , 0≤ √ 3 3 x4 + 1 x4 a protože integrál

+∞

1 √ dx 3 1 x4 konverguje (viz př. 2), konverguje i vyšetřovaný integrál. +∞

b)

1

√

dx . 4x + ln x

Nechť f (x) = √

1 4x + ln x 123

1 a g(x) = √ , x

a protože

√ f (x) x 1 lim = lim √ = , x→+∞ g(x) x→+∞ 2 4x + ln x

tak z divergence integrálu

+∞ 1

dx √ x

(viz př. 2) plyne divergence vyšetřovaného integrálu. +∞

c)

1

x dx. x3 + sin x

Protože x3

x 1 ∼ 2, + sin x x

a integrál

x → +∞

+∞

1 dx x2 1 konverguje (viz př. 2), konverguje i vyšetřovaný integrál. 46. Vyšetřete, pro která α, β ∈ R konverguje

+∞ 2

dx . xα lnβ x

a) α > 1: Položíme ε = α − 1, pak ε > 0. Integrovanou funkci upravíme následujícím způsobem 1 1 1 1 = = ε . ε β β β 1+ xα ln x x1+ε ln x x 2 ln x x 2 Protože pro každé β je 1 = 0, x lnβ x existuje x0 ≥ 2 tak, že pro x > x0 platí lim

x→+∞

ε 2

1 < 1. x lnβ x ε 2

Odtud plyne pro x > x0 nerovnost xα Protože

1 1 < 1+ ε . β x 2 ln x +∞ x0

konverguje, konverguje i

+∞ x0

dx ε x1+ 2

dx . xα lnβ x

124

Vyšetřovaný integrál vyjádříme jako součet dvou integrálů +∞ 2

dx = α x lnβ x

x0

dx + α x lnβ x

2

+∞ x0

dx , lnβ x

xα

kde první z nich je (vlastní) R-integrál a druhý konverguje, takže vyšetřovaný integrál konverguje pro α > 1 a β libovolné. b) α = 1:

+∞

+∞ dt dx , = 2 ln 2 tβ x lnβ x dt a protože ln+∞ 2 tβ konverguje pro β > 1 a diverguje pro β ≤ 1, tak vyšetřovaný integrál konverguje pro α = 1, β > 1 a diverguje pro α = 1, β ≤ 1.

c) α < 1: Položíme ε = 1 − α, pak ε > 0. Integrovanou funkci upravíme následujícím způsobem ε

1 1 x2 1 . = = β β β 1− ε2 α 1−ε x ln x x ln x ln x x Protože pro každé β je

ε

x2 lim = +∞ , x→+∞ lnβ x existuje x0 ≥ 2 tak, že pro x > x0 platí ε

x2 > 1. lnβ x Odtud plyne pro x > x0 nerovnost 1 1 > ε . β x1− 2 xα ln x Protože

+∞ x0

diverguje, diverguje i

dx ε x1− 2

+∞

dx , x0 lnβ x a tedy vyšetřovaný integrál diverguje pro α < 1 a β libovolné. xα

Závěr:

Integrál

+∞

dx 2 lnβ x konverguje pro α > 1, β libovolné, pro α = 1, β > 1, a diverguje pro všechna ostatní α a β. xα

125

III.1.2.2.

Příklady

Vyšetřete konvergenci nebo divergenci integrálů: +∞

47.

0

+∞

48.

0

√ 3

0

+∞

50.

0

+∞

52.

1

58.

dx

59.

60.

61. 62. 63.

0

0

0

+∞

64.

ln x √ dx x x2 − 1 sin x1 dx (x − cos πx )2 ln(1 + x5 ) √ dx x+ x

+∞

+∞

sin2 3x √ dx 3 x4 + 2

0

0

+∞

sin2 x dx x2

0

1

+∞

sin x dx x

0

1

0

2 cos − 1 dx x

2

+∞

2

+∞

55.

x

dx

dx dx x x2 + 1

+∞

54.

57.

√ 3

+∞

53.

x5 + 2

1 + arcsin x1 √ dx 1+x x

+∞

x7 + 1 √ x+1 √ dx 1 + 2 x + x2

0

1

+∞

x

√ 3

+∞

51.

56.

x2 dx x4 − x2 + 1

+∞

49.

+∞

x3 + 7 dx x5 − x2 + 2

1

4

e− x2 − e− x2 dx −2

x

x3 arctg dx 1 + x2 3

x 1 √ arctg dx x 2+x x dx 1 + sin2 x x2

Vyšetřete, pro která α ∈ R konvergují integrály: 0

65.

−∞

e

+∞

66. e

+∞

67.

1

+∞

68. e

+∞

69.

1

αx

+∞

70.

dx

+∞

dx α x ln x

71.

72.

0

+∞

dx x lnα x

1

+∞

ln x dx xα

ln 1 +

2

73. 1 x

e −1 dx , α

0

+∞

a = 0

74. 126

0

eαx dx (x − 1)α ln x lnα cosh x dx x2 ln3 (1 + x1 ) dx 1 + xα sin2 x ln(1 + x2 ) dx (x + α)2 cos ax dx , 1 + xα

a = 0

Vyšetřete, pro která α, β ∈ R konvergují integrály: +∞ lnα x 75. dx 1 e (e x2 − 1)β +∞

76.

2

√ 3

lnα x x2 arctgβ

+∞

77.

0

III.1.3. III.1.3.1.

1 x

dx

dx 1+

xα | sin x|β

dx

Bolzanovo–Cauchyovo kriterium Teorie

Věta. Integrál a+∞ f (x) dx konverguje, právě když ke každému ε > 0 existuje x0 > a tak, že pro libovolné x1 > x0 a x2 > x0 platí x 2 x1

f (x) dx

< ε.

Poznámka. Bolzanovo–Cauchyovo kriterium (B-C kriterium) se často používá pro +∞ důkaz divergence integrálu: Integrál a f (x) dx diverguje, jestliže existuje ε > 0 tak, že pro libovolné x0 > a existují x1 > x0 a x2 > x0 tak, že x 2 f (x) dx x1

III.1.3.2.

≥ ε.

Příklad +∞

sin2 x dx pro α ≤ 1. xα 1 Nechť x0 ∈ (1, +∞) a vezměme n ∈ N tak, že πn > x0 , a položme x1 = πn a x2 = 2πn. Pak platí

78. Dokažte divergenci integrálu

x 2 x1

sin2 x dx = xα

2πn πn

2πn

sin2 x dx ≥ xα

2πn

2πn

πn

sin2 x dx ≥ x

1 πn 1 1 1 1 − cos 2x dx = = . sin2 x dx = 2πn πn 2πn πn 2 2πn 2 4 Existuje tedy ε = 14 tak, že pro libovolné x0 > 1 existují x1 = πn > x0 a x2 = 2πn > x0 , pro které platí ≥

x 2

sin2 x dx ≥ ε , xα x1 tedy pro α ≤ 1 daný integrál diverguje. 127

III.1.4. III.1.4.1.

Postačující podmínky konvergence Absolutní a relativní konvergence

Věta. Nechť

+∞ a

|f (x)| dx konveguje, pak konverguje i

+∞ a

f (x) dx.

Definice. Integrál a+∞ f (x) dx se nazývá absolutně konvergentní, jestliže konverguje +∞ |f (x)| dx, a relativně konvergentní, jestliže a+∞ f (x) dx konverguje a a+∞ |f (x)| dx a diverguje. III.1.4.2.

Dirichletovo a Abelovo kriterium

Věta (Dirichletovo kriterium). Nechť existuje K > 0 tak, že ab f (x) dx ≤ K pro každé b > a. Nechť funkce g(x) je monotónní na a, +∞) a limx→+∞ g(x) = 0. Pak a+∞ f (x)g(x) dx konverguje.

+∞ Věta (Abelovo kriterium). Nechť f (x) dx konverguje a funkce g(x) je monoa +∞ tónní a omezená na a, +∞). Pak a f (x) g(x) dx konverguje.

III.1.4.3.

Řešené příklady +∞

sin x dx konverguje relativně. x 1 Konvergenci dokážeme podle Dirichletova kriteria: Pro každé b > 1 je

79. Dokažte, že integrál

b 1

sin x dx = cos 1 − cos b ,

tedy existuje K > 0 tak, že 1b sin x dx ≤ K pro každé b > 1. Funkce klesající na 1, +∞) a limx→+∞ x1 = 0, tedy 1+∞ sinx x dx konverguje.

1 x

je

Použitím srovnávacího kriteria ukážeme, že 1+∞ | sinx x |dx diverguje. Na intervalu 1, +∞) platí nerovnost | sin x| sin2 x ≥ , x x a protože

+∞ sin2 x 1

x

dx diverguje (viz př. 78), diverguje i

+∞ sin x | |dx. 1

+∞

80. Vyšetřete absolutní a relativní konvergenci integrálu

1

x

sin x dx , α ∈ R. xα

a) α > 1: Na intervalu 1, +∞) platí nerovnost | sin x | ≤ x1α , a protože pro +∞ sinxxα +∞ dx dx absolutně. α > 1 integrál 1 xα konverguje, konverguje 1 xα b) 0 < α ≤ 1: Funkce f (x) = sin x a g(x) = x1α splňují na 1, +∞) předpoklady Dirichletova kriteria: Existuje K > 0 tak, že | 1b sin x dx| = | cos 1 − cos b| ≤ K 128

α pro každé b > 1, a funkce x1α je klesající na 1, +∞), protože její derivace − xα+1 +∞ sin x 1 je záporná, a limx→+∞ xα = 0, takže 1 dx konverguje. xα

sin2 x xα

x x |dx plyne z nerovnosti | sin | ≥ Divergence integrálu 1+∞ | sin xα xα +∞ sin2 x gence 1 dx (viz př. 78). xα

a z diver-

x dx diverguje. Pro liboc) α ≤ 0: Dokážeme pomocí B-C kriteria, že 1+∞ sin xα volné x0 > 1 vezmeme n ∈ N tak, že platí 2πn > x0 , a položíme x1 = π6 + 2πn a x2 = 56 π + 2πn. Pak

x 2 x1

sin x dx = xα

5 π+2πn 6 π +2πn 6

sin x dx ≥ xα

5 π+2πn 6 π +2πn 6

1 sin x dx ≥ 2

5 π 6 π 6

Existuje tedy ε = π3 tak, že pro libovolné x 0 > 1, existují x1 = x dx ≥ ε. x2 = 56 π + 2πn > x0 , pro které xx12 sin xα

π 6

dx =

π . 3

+ 2πn > x0 a

x Závěr: Integrál 1+∞ sin dx konverguje absolutně pro α > 1, konverguje relaxα tivně pro 0 < α ≤ 1 a diverguje pro α ≤ 0.

+∞

81. Dokažte, že

1

sin x arctg x dx konverguje pro α > 0. xα

x Funkce f (x) = sin a g(x) = arctg x splňují na intervalu 1, +∞) předpoklady xα +∞ sin x Abelova kriteria: 1 dx konverguje pro α > 0 (viz př. 80) a funkce arctg x xα je rostoucí a omezená na 1, +∞).

III.1.4.4.

Příklady

Vyšetřete absolutní nebo relativní konvergenci integrálů: +∞

82.

0

+∞

83.

−∞

88.

(x − 1) sin 2x dx x2 − 4x + 5

89.

+∞

84.

0

0

+∞

86.

0

+∞

87.

1

1

+∞ 0

sin x dx sin √ √ x x x2 sin

90.

sin x dx

1

1−e

+∞ 4

91.

x cos x dx

1

+∞ 3

cos x3 dx x+1

+∞

2

+∞

85.

+∞

x cos 7x dx 2 x + 2x + 2

92.

2

sin (x + 2x) dx sgn sin ln x dx x

93. 129

1

√

2 sin x

x− 3

1−e

x dx

dx

cos x arctg √ dx 3 x2

+∞ √ 2

sin x x

sin x2 x ln 1 − x−1

dx

Vyšetřete absolutní nebo relativní konvergenci integrálů pro α ∈ R: +∞

94.

1

+∞

95.

2

+∞

96.

2

+∞

97.

1

+∞

98.

+∞ 2

1

III.2.

(x + 1)α sin x dx ln x

102.

1

+∞ 1

+∞

cos x dx α x + ln x

103.

sin x dx (ln(x + 1) − ln x)α

104.

2

+∞ 1

+∞

sin x dx (arctg − arctg x12 )α

105.

1

+∞

(x arctg x − ln(1 + x))α sin x dx

+∞

100.

101.

1 x

2

99.

+∞

xα sin x dx x3 + 1

106.

1

+∞

cos x dx (2x − cos ln x)α

107.

1

cos(1 + 2x) √ dx ( x − ln x)α x+1 sin x3 dx xα √ cos x dx xα ln x x2 cos x3 dx (3x − arctg x)α sin(x + x2 ) dx xα

1 sin x + x

dx xα

1 xα (sin ) cos x dx x

Nevlastnı´ R-integra´l z neomezene´ funkce

III.2.1. III.2.1.1.

Definice a metody výpočtu Konvergence a divergence

Definice. Nechť a, b ∈ R, a < b, a nechť funkce f (x) je definovaná a neomezená na intervalu a, b). Nechť f (x) je riemannovsky integrovatelná na každém intervalu a, c, kde a < c < b. Označme F (x) =

x

f (t) dt ,

a

x ∈ a, b) .

Existuje-li vlastní limita limx→b− F (x), říkáme, že nevlastní integrál verguje a definujeme b f (x) dx = lim F (x) . a

x→b−

Neexistuje-li vlastní limx→b− F (x), říkáme, že nevlastní integrál Poznámka. Analogicky definujeme nevlastní integrál mezená na (a, b.

130

b a

b a

b a

f (x) dx kon-

f (x) dx diverguje.

f (x) dx, kde f (x) je neo-

V obecném případě, je-li funkce f (x) definovaná na (a, b) a neomezená na nějakém pravém okolí bodu a a také neomezená na nějakém levém okolí bodu b, říkáme, že nevlastní integrál ab f (x) dx konverguje, jestliže pro nějaké (a tedy pro každé) c ∈ (a, b) konvergují oba nevlastní integrály ac f (x) dx, cb f (x) dx. Pak definujeme b

f (x) dx =

a

III.2.1.2.

c

f (x) dx +

a

b

f (x) dx .

c

Metody výpočtu

Věta (linearita integrálu). Nechť nevlastní integrály ab f (x) dx, ab g(x) dx konvergují. Pak pro libovolná k1 , k2 ∈ R konverguje nevlastní integrál ab (k1 f (x)+k2 g(x)) dx a platí b

a

b

(k1 f (x) + k2 g(x)) dx = k1

a

f (x) dx + k2

Poznámka. Jestliže ab f (x) dx konverguje a integrál b a (k1 f (x) + k2 g(x)) dx diverguje.

b a

b

g(x) dx .

(7)

a

g(x) dx diverguje, pak nutně

Věta (Leibnizův–Newtonův vzorec). Nechť funkce f (x) je spojitá na a, b) a funkce F (x) je primitivní funkce k funkci f (x) na a, b). Pak platí b a

f (x) dx = lim F (x) − F (a) , x→b−

(8)

přitom nevlastní integrál v (8) konverguje, právě když existuje vlastní limita limx→b− F (x). Věta (o substituci). Nechť funkce f (x) je spojitá na a, b) a funkce ϕ(t) má spojitou derivaci na α, β), ϕ (t) > 0. Nechť ϕ(α) = a a limt→β− ϕ(t) = b. Pak platí b

f (x) dx =

a

β

f (ϕ(t))ϕ (t) dt .

(9)

α

Přitom oba integrály v (9) buď současně konvergují nebo současně divergují. Poznámka. Větu o substituci lze analogicky vyslovit pro ϕ (t) < 0. Věta (per partes). Nechť funkce u(x), v(x) mají spojitou derivaci na a, b) a nechť existuje vlastní limita limx→b− u(x)v(x). Pak platí b a

u(x)v (x) dx =

[u(x)v(x)]ba

−

b

u (x)v(x) dx ,

a

kde [u(x)v(x)]ba = limx→b− u(x)v(x) − u(a)v(a). Přitom oba integrály v (10) buď současně konvergují nebo současně divergují. 131

(10)

III.2.1.3.


108. Rozhodněte o konvergenci nebo divergenci integrálů: !x 1 x √ dx dt √ √ = lim = lim −2 1 − t = a) 0 1 − x x→1− 0 1 − t x→1− 0 √ 1 − x − 1 = 2 ⇒ integrál konverguje. = −2 lim x→1−

1

b)

!

1 1 1 1 1 1 1 dx = lim dt = lim sin sin cos = x→0+ x t2 x→0+ x t t x 0 x2 1 1 = lim cos 1 − cos = cos 1 − lim cos , limita neexistuje ⇒ x→0+ x→0+ x x ⇒ integrál diverguje.

0

c)

x dx dt = lim = lim [ln |t|]x−1 = lim ln |x| = −∞ ⇒ x→0− x→0− x→0− −1 x −1 t ⇒ integrál diverguje.

1

d)

dx √ = 1 − x2

0

dx √ + 1 − x2

1

dx = −1 −1 0 1 − x2 0 x dt dt √ √ = lim + lim = 2 x→−1+ x x→1− 0 1−t 1 − t2 = lim [arcsin t]0x + lim [arcsin t]x0 = x→−1+

√

x→1−

π π = lim (− arcsin x) + lim arcsin x = − − + =π⇒ x→−1+ x→1− 2 2 ⇒ integrál konverguje. 109. Vyšetřete, pro která α ∈ R konverguje integrál a) α = 1:

1 0

dx = lim xα x→0+

1 = 1−α

1 x

1 0

dx . xα

dt 1 = lim α x→0+ (1 − α)tα−1 t

1 − lim

1

x→0+

xα−1

=

1

= x

1 1−α

pro α < 1, +∞ pro α > 1.

1

1 dx dt = lim = lim [ln t]1x = − lim ln x = +∞ . b) α = 1: x→0+ x→0+ x→0+ 0 x x t 1 dx Závěr: Integrál 0 xα konverguje pro α < 1 a diverguje pro α ≥ 1.

110. Vypočítejte integrály: 1 √ ( 6 x + 1)2 √ dx a) x 0 1

I=

0

dx √ +2 6 x

1 0

dx √ + 3 x

1 0

dx 6√ 6 √ = x5 x 5 132

!1

3√ 3 +2 x2 2 0

!1

√ 1 31 . + 2 x = 0 5 0

1

b)

0

dx √ (2 − x) 1 − x

√ a meze integrace jsou x = 0 ⇒ Řešíme substitucí t = 1 − x, pak dt = − √dx 1−x ⇒ t = 1 a x → 1− ⇒ t → 0+. Pak 1 0

1

c)

0

dx √ = −2 (2 − x) 1 − x

0

dt =2 2 t +1

1

1

t2

0

dt π = 2 [arctg t]10 = . +1 2

ln x √ dx x

√ Řešíme metodou per partes. Volíme u = ln x a v = √1x , pak u = x1 a v = 2 x a dostáváme 1 1 √

1 √ 1 √ ln x dx √ dx = 2 x ln x − 2 √ = −2 lim x ln x − 4 x = −4 . 0 0 x→0+ x x 0 0


π 2

0

ln sin x dx.

Nejprve dokážeme konvergenci metodou per partes. Volíme u = ln sin x a v = x a v = x a dostáváme = 1, pak u = cos sin x

π 2

π 2

ln sin x dx = [x ln sin x]0 −

0

= − lim x ln sin x − x→0+

π 2

0

0

π 2

x cotg x dx =

x cotg x dx = −

π 2

0

Protože funkce x cotg x je omezená na intervalu (0, π2 , je R-integrál, tedy vyšetřovaný integrál konverguje. Výpočet: Označme I =

I=2

π 4

0

π 2

0

x cotg x dx .

π 2

0

x cotg x dx (vlastní)

ln sin x dx, substitucí x = 2t dostáváme

ln sin 2t dt = 2

π 4

0

(ln 2 + ln sin t + ln cos t) dt =

π

π

π 4 4 ln 2 + 2 ln sin t dt + 2 ln cos t dt , 2 0 0 dále substitucí t = π2 − z v posledním integrálu dostáváme =

π 4

ln cos t dt =

0

z čehož plyne rovnost I= a tedy

0

π 2

π 2 π 4

ln sin z dz ,

π ln 2 + 2I , 2

ln sin x dx = − 133

π ln 2 . 2

III.2.1.4.

Příklady

Vypočítejte integrály nebo rozhodněte o jejich divergenci: 1

112.

dx √ x

0

0

113.

−2

4

115.

√

0

2

116.

0

√

0

2

118.

0

2

120.

121.

√

2

131.

123.

1 2

0

1

124. 125.

0

π 0

126.

0

π 4

e 0

−1

133.

tg x dx

−1

dx ex − 1 1

dx x3

1

dx x3

ex ex

1

134.

dx √ (x − 1) x2 − 2

135.

dx ,

arccos x √ dx −1 1 − x2

1 0

1

136.

b>a

137.

dx x ln2 x

−1

1

138.

dx x ln2 x

0

1

139.

tg x dx

−1

140.

sin x + cos x √ dx 3 sin x − cos x

π 2

0

arcsin x √ dx 1 − x2 dx

(1 − x2 ) arcsin x

0

1

ln x dx

0

cotg x dx

π π π x sin 2 − cos 2 x x x

1

1

122.

√

0

dx

b−x

π 2

0

132.

x2 dx √ 9 − x2

x

a

√

0

130.

dx 1 − x2

b x−a

π 4

2

|x2 − 1|

0

3

119.

129.

dx x+x

| cos x| √ dx sin x

0

dx √ √ x x − 2x + x

1

117.

128.

dx x

−1

0

dx √ (x + 1) 3 x + 1

0

114.

127.

π

dx

(1 − x2 ) arccos x

x3 arcsin x √ dx 1 − x2 x3 ln

1+x dx √ 1 − x 1 − x2

ln cos x dx

Návod: viz př. 111

134

dx

141.

π 0

x ln sin x dx

142.

Návod: viz př. 111

π 2

0

(ln cos x) cos 2nx dx ,

n∈N

Návod: viz kap. II př. 129

Pomocí rekurentních vzorců vypočítejte integrály (n ∈ N): 1

143. In =

III.2.2. III.2.2.1.

0

√

1

xn dx 1 − x2

144. In =

0

xα lnn x dx ,

α > −1

Srovnávací kriteria konvergence Teorie

Věta (srovnávací kriterium). Nechť 0 ≤ f (x) ≤ g(x) pro x ∈ a, b). Pak platí b

1) konverguje-li 2) diverguje-li

b a

a

g(x) dx, konverguje i

f (x) dx, diverguje i

b a

b a

f (x) dx,

g(x) dx.

Věta (limitní srovnávací kriterium). Nechť f (x) ≥ 0 a g(x) > 0 pro x ∈ a, b) a nechť existuje limita f (x) = k. (11) lim x→b− g(x) Pak platí 1) je-li k < +∞ a konverguje-li 2) je-li k > 0 a diverguje-li

b a

b a

g(x) dx, konverguje i

g(x) dx, diverguje i

b a

b a

f (x) dx,

f (x) dx.

Poznámka. Je-li v limitě (11) k ∈ (0, +∞), pak oba nevlastní integrály ab f (x) dx, b Jestliže f (x) ∼ a g(x) dx buď současně konvergují nebo současnědivergují. Speciálně: b b ∼ g(x), x → b−, pak oba nevlastní integrály a f (x) dx, a g(x) dx buď současně konvergují nebo současně divergují. III.2.2.2.


145. Vyšetřete konvergenci nebo divergenci integrálů: 1

cos2 x1 √ dx x 0 Pro x ∈ (0, 1 platí nerovnost a)

cos2 1 1 0≤ √ x ≤ √ , x x protože

1 dx √ 0

x

konverguje (viz př. 109), konverguje i vyšetřovaný integrál. 135

1

dx 0 1 − x3 Nechť f (x) = b)

1 1−x3

a g(x) =

1 , 1−x

protože

f (x) 1−x 1 = lim , = x→1− g(x) x→1− 1 − x3 3 lim

dx (viz př. 109) plyne divergence vyšetřovaného tak z divergence integrálu 01 1−x integrálu. √ 3 1 ln(1 + x2 ) √ dx √ c) x sin x 0 Protože √ √ 3 3 1 x2 ln(1 + x2 ) √ ∼ √ = √ , x → 0+ , 3 x sin x x x

a

1 dx √ 0

3

x

konverguje (viz př. 109), konverguje i vyšetřovaný integrál. 1

| ln x| dx. xα 0 a) α < 1: Položíme ε = 1 − α, pak ε > 0. Integrovanou funkci upravíme následujícím způsobem

146. Vyšetřete pro která α ∈ R konverguje

ε

| ln x| | ln x| x 2 | ln x| = 1−ε = . ε α x x x1− 2 ε

Protože limx→0+ x 2 | ln x| = 0, existuje x0 ∈ (0, 1) tak, že pro x ∈ (0, x0 ) platí ε x 2 | ln x| < 1. Odtud plyne pro x ∈ (0, x0 ) nerovnost | ln x| 1 < ε . xα x1− 2

dx Protože 0x0 1− ε konverguje, konverguje i x 2 jádříme jako součet dvou integrálů

1 0

| ln x| dx = xα

x0 0

x0 | ln x| 0

xα

| ln x| dx + xα

dx. Vyšetřovaný integrál vy-

1 x0

| ln x| dx , xα

kde druhý z nich je (vlastní) R-integrál a první konverguje, takže vyšetřovaný integrál konverguje pro α < 1. b) α ≥ 1: V tomto případě platí pro x ∈ (0, 1e ) | ln x| > 1, a odtud plyne pro x ∈ (0, 1e ) nerovnost | ln x| 1 > α. α x x

1

Protože 0e xdxα diverguje, diverguje i diverguje pro α ≥ 1. Závěr:

Integrál

1 | ln x| 0

xα

1 e

0

| ln x| xα

dx, a tedy vyšetřovaný integrál

dx konverguje pro α < 1 a diverguje pro α ≥ 1. 136

III.2.2.3.

Příklady

Vyšetřete konvergenci nebo divergenci integrálů: 8

147.

0

2

148.

0

1

149.

0

159.

dx 1 − x10

160.

2

150. 151.

x3

1

π 0

153.

0

π 0

154.

1

1

156.

−1

1

157.

0

163.

cos x − sin x dx cos x + sin x

164.

0

0

π 0

π 0

π 0

0

1

dx ln(1 + x)

166.

dx

0

1

167.

x(ex − e−x )

0

Vyšetřete pro která α ∈ R konvergují integrály: 168.

169.

π 0

1 2x2 6e + 24 cos x − 13x4 − 30

170.

sinα x

0

1 0

1

1 − cos x dx xα

α x

e (cos x)

1 x3

171.

0

1

172.

dx

0

173.

dx 137

π 2

0

sinh x dx − cos x

√

dx x + arctg x

ln x

x(1 − x)3

0

165.

x dx −1

ex2

1

dx

tg(x3 − 7x2 + 15x − 9)

3

π

1

162.

0

161.

dx √ 3 sin x

− π4

3

155.

x−2 dx − 3x2 + 4

1 dx √ sin cos x x

π 4

esin x

1

sin x dx x2

2π

152.

158.

16 + x4 dx 16 − x4

√ 5

√

2

dx √ 2 x + 3x

dx

ln x √ dx sin x ln sin x √ dx 3 x ln sin x √ dx x sin x ln |1 − 4 sin2 x| dx arcsin(x2 + x3 ) dx x ln2 (1 + x) dx arccos x √ eαx − 1 + x dx cosh x − cos x √ e2 + x2 − ecos x dx xα 2

cos2 2x − e−4x dx xα tg x

174.

π 2

0

0

177.

1 2

0

1

178.

0

1

179.

1 + 2 cos x

cos 2 x

1

176.

√

5

0

1

175.

eα cos x −

0

180.

dx

1 1+x α −1

2

cosh(αx) − ln(1 + x2 ) − 1 √ dx 3 8 − x3 − 2

181.

1

1

α

ln(ex + x) − x dx tg x

182.

0

1

ln tg x dx (4x cos x − π sin x)α

183.

0

1

lnα cosh x1 dx ln3 (1 + x) √ ln 1 + 2x − xex dx 1 − cosα x

184.

0

1

185.

0

1−x

ln(2 + x) dx

arctg(x − 1) √ dx (x − x)α sin(arcsin x + x3 ) − x dx sinα x 5

(1 − x)− 3 dx arctgα (x − x2 ) arctg(x + x2α ) dx x lnα (1 + x) dx ln |x − α|

Vyšetřete, pro která α, β ∈ R konvergují integrály: 1

186.

0

187.

π 2

0

1

188.

0

III.2.3. III.2.3.1.

1

x (1 − x) dx α

β

189.

0

α

190.

β

sin x cos x dx 1 dx x ln x α

191.

β

1 2

0

π 0

xα (1 − x)β ln x dx lnα x1 dx tgβ x sinα−1 x dx , (1 + β cos x)α

β≥0

Bolzanovo–Cauchyovo kriterium Teorie

Věta Nechť funkce f (x) je definovaná na a, b) a neomezená na nějakém levém okolí bodu b. Pak nevlastní integrál ab f (x) dx konverguje, právě když ke každému ε > 0 existuje x0 ∈ (a, b) tak, že pro libovolné x1 ∈ (x0 , b) a x2 ∈ (x0 , b) platí x 2 x1

f (x) dx

138

< ε.

Poznámka. B-C kriterium se často používá pro důkaz divergence integrálu: Nevlastní integrál ab f (x) dx diverguje, jestliže existuje ε > 0 tak, že pro libovolné x0 ∈ (a, b) existují x1 ∈ (x0 , b) a x2 ∈ (x0 , b) tak, že x 2 f (x) dx x1

III.2.3.2.

≥ ε.

Příklad 1

192. Dokažte divergenci

0

sin2

dx 1 . 1−x 1−x

1 Nechť x0 ∈ (0, 1) a vezměme n ∈ N tak, že n > π(1−x . Položme x1 = 1 − 0) 1 1 x2 = 1 − 2πn , a dále provedeme substituci t = 1−x . Pak platí

1 1− 2πn 1− 1 πn

dx 1 sin = 1 − x 1 − x 2

1 = 2πn

2πn πn

2πn πn

1 sin2 t dt ≥ t 2πn

2πn

sin2 t dt =

πn

1 πn 1 1 − cos 2t dt = = . 2 2πn 2 4

Existuje tedy ε = 14 tak, že pro libovolné x0 ∈ (0, 1) existují x1 = 1 − 1 , pro které platí x2 = 1 − 2πn x2 x1

1 , πn

1 πn

a

dx 1 ≥ ε, sin 1 − x 1 − x 2

tedy daný integrál diverguje.

III.2.4. III.2.4.1.

Postačující podmínky konvergence Absolutní a relativní konvergence

Věta Nechť funkce f (x) je definovaná na a, b) a neomezená na nějakém levém okolí bodu b. Nechť ab |f (x)| dx konverguje, pak konverguje i ab f (x) dx.

Definice. Nevlastní integrál ab f (x) dx se nazývá absolutně konvergentní, konvergujeb -li a |f (x)| dx, a relativně konvergentní, jestliže ab f (x) dx konverguje a ab |f (x)| dx diverguje.

139

III.2.4.2.

Dirichletovo a Abelovo kriterium

Nechť funkce f (x) g(x) je definovaná na a, b) a neomezená na nějakém levém okolí bodu b. Pak platí

Věta (Dirichletovo kriterium). Nechť existuje K > 0 tak, že | ac f (x) dx| ≤ K pro každé c ∈ (a, b). Nechť funkce g(x) je monotónní na a, b) a limx→b− g(x) = 0. b Pak nevlastní integrál a f (x) g(x) dx konverguje.

Věta (Abelovo kriterium). Nechť (nevlastní) integrál ab f (x) dx konverguje a funkce g(x) je monotónní a omezená na a, b). Pak nevlastní integrál ab f (x) g(x) dx konverguje. III.2.4.3.

Řešené příklady 1

193. Dokažte, že

0

sin

dx 1 konverguje relativně. 1−x 1−x

Konvergenci dokážeme podle Dirichletova kriteria. Položíme 1 1 , sin 2 (1 − x) 1−x

f (x) =

g(x) = 1 − x .

Pro každé c ∈ (0, 1) je c 0

1 1 1 dx = − cos sin 2 (1 − x) 1−x 1−x

!c 0

= cos 1 − cos

1 , 1−c

existuje tedy K > 0 tak, že c 0

1 1 dx ≤K sin 2 (1 − x) 1−x

pro každé c ∈ (0, 1). Funkce 1 − x je klesající na 0, 1) a limx→1− (1 − x) = 0, 1 dx tedy 01 sin 1−x konverguje. 1−x Pomocí srovnávacího kriteria ukážeme, že tervalu 0, 1) platí nerovnost

a protože verguje.

1 1 0

sin2 1−x

1 1 0 1−x

1 sin 1−x dx diverguje. Na in-

1 1 1 1 sin sin2 , ≥ 1−x 1−x 1−x 1−x

1 1−x

dx diverguje (viz př. 192), také

140

1 1 0 1−x

1 sin 1−x dx di-

1

194. Vyšetřete absolutní a relativní konvergenci

xα sin

0

Použijeme výsledku příkladu 80. Substitucí t = 1 0

1 x sin dx = x α

+∞

1 x

1 dx , x

α ∈ R.

dostáváme

sin t dt tα+2

1

t a 1+∞ tsin α+2 dt konverguje absolutně pro α + 2 > 1, konverguje relativně pro 0 < α + 2 ≤ 1 a diverguje pro α + 2 ≤ 0.

Závěr: Integrál 01 xα sin x1 dx konverguje absolutně pro α > −1, konverguje relativně pro −2 < α ≤ −1 a diverguje pro α ≤ −2. III.2.4.4.

Příklady

Vyšetřete absolutní nebo relativní konvergenci integrálů: 1

195.

x3 + x2 cos x1 √ 1 x−1 √ cos √ dx x x x x2 +

0

1

196.

√

1

sin x1

0

197.

dx

0

198.

1−e

1 2

0

√ 3

x2 cos

1 x

dx x2

cos3 ln x dx x ln x

Vyšetřete absolutní nebo relativní konvergenci integrálů pro α ∈ R: 1

199.

0

(1 − x)α sin

1

200.

0

1

201.

0

202.

1 2

0

1

203.

0

204.

0

205.

π 4

0

π 4

1

π dx 1−x

206.

1 xα sin dx 2 x +1 x

1 cos √ − 1 x

x 1−x

α

1

207. dx xα

0

1

208.

1 cos 2 dx x

0

1

cos x1 dx x2 ( x1 + sin x1 )α

209.

dx 1 sin x sinα x

210.

sin

−1

0

1 0

1

α

211.

(tg x) cos cotg x dx 141

0

sin

1+x dx 1 − x (1 − x2 )α

1 xα sin dx x e −1 x xα (arctg x) cos

1 dx x

sin xα dx x2 sin x1 √ dx ( x − x)α 1 (1 − x)α sin dx x x

212. Vyšetřete pro která α, β ∈ R absolutně nebo relativně konverguje integrál 1

cos x1 dx . xα (1 − x2 )β

0

III.3.

Nevlastnı´ R-integra´l z neomezene´ funkce na neomezene´m intervalu

III.3.1.

Konvergence a divergence

Definice. Nechť funkce f (x) je definovaná na intervalu (a, +∞) a neomezená na nějakém pravém okolí bodu a. Jestliže pro nějaké (a tedy pro každé) x0 ∈ R, x0 > a, konvergují oba nevlastní integrály x0

+∞

f (x) dx ,

f (x) dx ,

a

řekneme, že nevlastní integrál

x0

+∞ a

+∞

f (x) dx = a

f (x) dx konverguje a klademe x0

+∞

f (x) dx +

f (x) dx . x0

a

Jestliže aspoň jeden z integrálů ax0 f (x) dx, nevlastní integrál a+∞ f (x) dx diverguje.

+∞ x0

f (x) dx diverguje, pak řekneme, že

Poznámka. Vyšetřování konvergence nevlastního integrálu a+∞ f (x) dx, kde f (x) je neomezená na nějakém pravém okolí bodu a, se převádí na vyšetřování konvergence dvou nevlastních integrálů popsaných v částech III.1 a III.2. III.3.2.


213. Vyšetřete konvergenci nebo divergenci integrálů: +∞

a)

0

√

dx , x3 + x

+∞

b)

− 32

x+3 √ dx . x2 2x + 3

a) Daný integrál budeme vyšetřovat např. na intervalech (0, 1) a (1, +∞), +∞ 0

dx √ = x3 + x

1 0

dx √ + x3 + x

142

+∞ 1

√

dx . x3 + x

1

1.

0

1 dx dx √ = . √ √ 2 3 0 x +x x x +1

Konvergenci dokážeme podle Abelova kriteria: 01 √dxx konverguje a funkce je klesající a omezená na 0, 1. +∞ dx √ . 2. 1 x3 + x Konvergenci dokážeme podle limitního srovnávacího kriteria. Platí √ a protože

+∞ dx √ 1

+∞

Závěr:

0

1 1 ∼√ , +x x3

√ 1 x2 +1

x → +∞ ,

x3

konverguje, konverguje i vyšetřovaný integrál.

x3

√ dx x3 +x

konverguje.

= +∞, budeme daný integrál vyšetřovat na inb) Protože i limx→0 x2 √x+3 2x+3 3 tervalech (− 2 , 0) a (0, +∞). 0 x+3 √ 1. dx. − 32 x2 2x + 3 √ dx a meze integrace jsou Použijeme substituci t = 2x + 3, potom dt = √2x+3 √ x → − 32 + ⇒ t → 0 a x → 0− ⇒ t → 3, tedy 0 − 32

x+3 √ dx = 2 x2 2x + 3

√3 0

t2 + 3 dt = (t2 − 3)2

√

2t = − 2 t −3

! 3 0

= − lim √

t→ 3−

t2

2t = +∞ ⇒ integrál diverguje. −3

+∞

x+3 √ dx. 0 2x + 3 Daný integrál budeme vyšetřovat např. na intervalech (0, 1) a (1, +∞), tedy

2.

x2

+∞

1

+∞ x+3 x+3 √ √ dx + dx . 2 2 0 0 x 0 2x + 3 x 2x + 3 √ dx a meze 2a) První integrál řešíme substitucí t = 2x + 3, pak dt = √2x+3 √ √ integrace jsou x → 0+ ⇒ t → 3 a x = 1 ⇒ t = 5, tedy

x+3 √ dx = 2 x 2x + 3

1 0 √

= −

2t 2 t −3

! 5 √

3

x+3 √ dx = 2 2 x 2x + 3

√ = − 5 + lim √

t→ 3+

t2

143

√5 √

3

t2 + 3 dt = (t2 − 3)2

2t = +∞ ⇒ integrál diverguje. −3

2b) Konvergenci druhého integrálu dokážeme podle limitního srovnávacího kriteria, platí 1 x+3 √ ∼ √ , x → +∞ , 2 x 2x + 3 x3 a protože

+∞ dx √ 1

+∞

Závěr:

− 32

x3

konverguje, konverguje i vyšetřovaný integrál.

x+3 √ x2 2x+3

dx diverguje. +∞

dx . xα 0 Daný integrál budeme vyšetřovat např. na intervalech (0, 1) a (1, +∞), pak platí +∞ 1 +∞ dx dx dx = + , α α x xα 0 0 x 1 a protože první integrál konverguje pro α < 1 (viz př. 109) a druhý integrál +∞ dx konverguje pro α > 1 (viz př. 2), tak 0 xα diverguje pro každé α ∈ R.

214. Vyšetřete, pro která α ∈ R konverguje

III.3.3.

Příklady

Vypočítejte integrály: +∞

215.

√

2

+∞

216.

1

+∞

217.

1

+∞

218.

+∞

dx √ (x − 1) x2 − 2

219.

dx √ (2x − 1) x2 − 1

220.

dx √ (4x2 − 1) x2 − 1

221.

arctg(1 − x)

0

3

(x − 1)4

0

+∞ 0

+∞ 1

ln x dx 1 + x2 x ln x dx (1 + x2 )2 2 − x2 √ dx x3 x2 − 1

+∞

dx

222.

0

(xα

dx , + 1)(x2 + 1)

Vyšetřete, pro která α ∈ R konvergují integrály: +∞

223.

0

+∞

224.

0

+∞

225.

0

α−1 −x

x

e

+∞

dx

226.

+∞

ln(1 + x) dx xα arctg ax dx , xα

0

227. a = 0

144

0

x

4α 3

√

arctg

xα−x dx

x dx 1 + xα

α∈R

Vyšetřete, pro která α ∈ R, α ≥ 0, konvergují integrály: +∞ √ 1 + x3 + xα − 1 228. dx x3 0 +∞

229.

0

+∞

230.

0

+∞

231.

0

arctg

xα dx 1 + x2 x

ln(1 + x + xα ) √ dx x3 ln(xα + ex ) √ dx x3 + x5

Vyšetřete, pro která α, β ∈ R konvergují integrály: +∞

232.

1

+∞

233.

0

xα

xα dx , 1 + xβ

+∞

234.

0

+∞

235.

0

+∞

236.

−∞

+∞

237.

0

+∞

238.

0

+∞

239.

0

+∞

240.

0

+∞

241.

0

dx lnβ x

xα

β≥0

dx + xβ

xα |x − 1|β dx |x − 1|α |x + 1|β dx xα arctg x dx , 2 + xβ

β≥0

arctgα x dx (x2 + 2)(ex − 1)β eαx ( x + 1 − 1)β sinβ √ 3

x x+1

dx

lnα (ex − x) √ x dx (x + x)β arcsin x+1 ln(x2 + 1) − 2 ln x √ dx ( 4 x + 1 − 1)α arctgβ x

145

Vyšetřete absolutní a relativní konvergenci integrálů pro α ∈ R: +∞

242.

0

+∞

243.

0

+∞

xα sin sin x dx

244.

sin sin x1 dx xα

245.

0

+∞ 0

xα tg sin

1 dx x

sin(x + x1 ) dx xα

Vyšetřete absolutní a relativní konvergenci integrálů pro α, β ∈ R: +∞

246.

0

α

β

x sin x dx ,

+∞

β = 0

247.

0

xα sin x dx , 1 + xβ

β≥0

Dokažte následující rovnosti za předpokladu, že integrály na levé straně rovností konvergují: +∞ β 1 +∞ 2 248. f αx + dx = f x + 4αβ dx , α > 0 , β > 0 . x α 0 0 +∞

249.

0

+∞

250.

0

f (x2 ) dx = α

x α f + α x

+∞

251.

0

+∞ 0

f α2 x2 − 2αβ +

α > 0, β > 0.

+∞ ln x x α dx f dx = ln α + , x α x x 0

1 ln x f x + α dx = 0 , x x α

β2 dx , x2

α = 0 .

146

α > 0.

IV Aplikace Riemannova integra´lu IV.1.

Obsah mnozˇin v R2

IV.1.1.

Obsah omezené množiny

Definice. Nechť funkce f (x) je spojitá a nezáporná na intervalu a, b. Pak číslo b

S(A) =

f (x) dx

(1)

a

nazýváme obsahem množiny A = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} ,

(2)

tj. množiny omezené přímkami y = 0, x = a, x = b a grafem funkce f (x). Poznámka. Nechť funkce f (x) spojitá a nekladná na intervalu a, b. Pak definujeme obsah množiny A = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ 0} , jako číslo

b

S(A) =

a

f (x) dx .

Poznámka. Při výpočtu obsahu množin v R2 vycházíme z principu, že S(A ∪ B) = S(A) + S(B) , kde A ⊂ R2 , B ⊂ R2 jsou množiny, pro které platí A ∩ B = ∅ nebo A ∩ B má nulový obsah, tzn. A ∩ B je jednorozměrná množina v R2 . Věta. Nechť funkce f (x) a g(x) jsou spojité na intervalu a, b a nechť g(x) ≤ f (x) pro x ∈ a, b. Pak pro obsah S(A) množiny A = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f (x)} platí S(A) =

b a

(f (x) − g(x)) dx .

147

(3)

Věta. Nechť funkce y = f (x) je na intervalu a, b zadána parametricky rovnicemi x = ϕ1 (t),

y = ϕ2 (t),

t ∈ α, β ,

(4)

kde funkce ϕ1 (t) a ϕ2 (t) jsou spojité na intervalu α, β, ϕ2 (t) ≥ 0 a ϕ1 (t) = 0 pro t ∈ α, β, ϕ1 (α, β) = a, b. Pak pro obsah množiny A ze vztahu (2) platí β

S(A) =

α

ϕ2 (t) |ϕ1 (t)| dt .

(5)

Poznámka. Je-li v parametrickém zadání (4) ϕ2 (t) ≤ 0 pro t ∈ α, β, je ve vzorci (5) absolutní hodnota integrálu. Pro funkci x = f (y) na intervalu c, d platí analogicky: Věta. Nechť f (y) je spojitá a nezáporná funkce na intervalu c, d, pak pro obsah S(A) množiny A = {(x, y) ∈ R2 ; c ≤ y ≤ d, 0 ≤ x ≤ f (y)} (6) platí S(A) =

d

f (y) dy .

(7)

c

Věta. Nechť funkce f (y) a g(y) jsou spojité na intervalu c, d a nechť g(y) ≤ f (y) pro y ∈ c, d. Pak pro obsah S(A) množiny A = {(x, y) ∈ R2 ; c ≤ y ≤ d, g(y) ≤ x ≤ f (y)} platí S(A) =

d c

(f (y) − g(y)) dy .

(8)

Věta. Nechť funkce x = f (y) je na intervalu c, d zadána parametricky rovnicemi y = ψ1 (t),

x = ψ2 (t),

t ∈ γ, δ ,

kde funkce ψ1 (t) a ψ2 (t) jsou spojité na intervalu γ, δ, ψ2 (t) ≥ 0, ψ1 (t) = 0 pro t ∈ γ, δ, ψ1 (γ, δ) = c, d. Pak pro obsah množiny A ze vztahu (6) platí S(A) =

δ γ

ψ2 (t) |ψ1 (t)| dt .

(9)

Věta. Nechť funkce r(ϕ) je spojitá a nezáporná na intervalu α, β, 0 ≤ α < β ≤ 2π. Pak pro obsah množiny A ⊂ R2 , která je omezená křivkou r = r(ϕ), kde r a ϕ jsou polární souřadnice v R2 , a „polopřímkami ϕ = α, ϕ = β platí 1 S(A) = 2

β α

148

r 2 (ϕ) dϕ .

(10)

IV.1.2.

Obsah neomezené množiny

Definice. Nechť J je jeden z intervalů a, b), (a, b nebo (a, b) (interval nemusí být omezený). Nechť funkce f (x) je definovaná a nezáporná na intervalu J a nechť b b nevlastní integrál a f (x) dx konverguje nebo a f (x) dx = +∞. Pak číslo S(A) =

b

f (x) dx

(11)

a

(z R∗ ) nazýváme obsahem neomezené množiny A = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ J , 0 ≤ y ≤ f (x)} . Poznámka. Je-li f (x) ≤ 0 na intervalu J , pak ve vztahu (11) je absolutní hodnota integrálu. IV.1.3.


1. Vypočítejte obsah množiny v R2 , která je omezená parabolou y = 6x − x2 − 7 a přímkou y = x − 3. y =x−3

1 1

y = 6x − x2 − 7

Obr. 1 Meze integrace budou x-ové souřadnice průsečíků grafů funkcí y = 6x − x2 − 7 a y = x − 3. Platí 6x − x2 − 7 = x − 3, a tedy x1 = 1, x2 = 4. Na intervalu 1, 4 platí x − 3 ≤ 6x − x2 − 7 (viz obr. 1). Podle vzorce (3) S=

4 1

(6x − x2 − 7) − (x − 3) dx =

149

4 1

(5x − x2 − 4) dx =

9 . 2

2. Vypočítejte obsah množiny v R2 , která je omezená elipsou √ k této elipse v bodě ( a2 , 23 b) a přímkou y = 0 (viz obr. 2).

x2 a2

2

+ yb2 = 1, tečnou

a 2

Obr. 2 Oblouk elipsy a tečnu k elipse vyjádříme jako funkce proměnné y √ √ 3 a 2 a x1 (y) = b − y 2 , x2 (y) = (2b − 3y) , 0 ≤ y ≤ b. b b 2 Na intervalu 0,

3 b 2

platí x1 (y) ≤ x2 (y). Podle vzorce (8)

√

S=

√

3 b 2

0

√

a (x2 (y) − x1 (y)) dy = b

3 b 2

0

(2b −

√

a 3y) dy − b

√

3 b 2

0

b2 − y 2 dy .

Substitucí y = b sin t vypočítáme integrál

√ 3 b 2

b2 − y 2 dy =

0

0

π 3

2

2

2

b cos t dt = b

√

π 3 + . 6 8

Pro obsah S tedy platí

S = ab

√

√

√

√

3 3 π 3 3 π 3− − ab = ab . + − 8 6 8 2 6

3. Vypočítejte obsah množiny v R2 , která je omezená křivkou x = a sin t cos2 t, y = a cos t sin2 t, 0 ≤ t ≤ π2 . Platí x(0) = y(0) = 0 a x( π2 ) = y( π2 ) = 0; pro t ∈ (0, π2 ) je x(t) > 0 a y(t) > 0, křivka je tedy uzavřená. Zjistíme, kolik funkcí je uvedenými parametrickými rovnicemi definováno pro t ∈ 0, π2 : x (t) = a cos t (cos2 t − 2 sin2 t) √ x (t) = 0 ⇔ cos t = 0 ∨ cotg t = 2 , cos t = 0 ⇒ t = π2 je krajní bod intervalu, proto tento parametr neuvažujeme. √ Označme t0 hodnotu parametru, pro kterou cotg t0 = 2. Pak parametrické 150

rovnice definují pro t ∈ 0, t0 funkci f1 (x) a pro t ∈ t0 , π2 funkci f2 (x) s vlastnostmi f1 (x) : t ∈ 0, t0 , x (t) ≥ 0, x(0, t0 ) = 0, x(t0 ), π f2 (x) : t ∈ t0 , , x (t) ≤ 0, x(0, t0 ) = 0, x(t0 ), 2 a na intervalu 0, x(t0 ) platí f1 (x) ≤ f2 (x) (viz obr. 3). y=x

f2 (x)

y(t0 )

f1 (x)

x(t0 ) Obr. 3 Podle vzorce (3) S=

x(t0 ) 0

(f2 (x) − f1 (x)) dx =

x(t0 ) 0

f2 (x) dx −

x(t0 ) 0

f1 (x) dx ,

a podle vzorce (5) v parametrickém vyjádření

S= =−

π 2

y(t)|x (t)| dt −

t0

π 2

t0

y(t) x (t) dt −

t0 0

t0 0

y(t)|x (t)| dt =

y(t) x (t) dt = −

0

π 2

y(t)x (t) dt .

Pro výpočet obsahu S využijeme metodu per partes

π 2

π

y (t) x(t) dt = [y(t)x(t)]02 −

0

π

a protože [y(t)x(t)]02 = 0, platí S =

2S =

0

π 2

π 2

0

0

π 2

y(t)x (t) dt ,

y (t)x(t) dt, a tedy

y (t)x(t) dt −

0

π 2

y(t)x (t) dt .

Pak 1 2 (y (t)x(t) − y(t)x (t)) dt = 2 0 π a2 2 πa2 . sin2 t cos2 t dt = sin2 2t dt = 8 0 32 π

S= =

a2 2

0

π 2

151

4. Vypočítejte obsah množiny v R2 omezené hyperbolou x2 − y 2 = a2 a přímkami y = 0 a y = xy00 x, kde bod (x0 , y0 ) leží na dané hyperbole (x0 > 0, y0 > 0). Přejdeme k polárním souřadnicím x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, pak rovnice hyperboly x2 − y 2 = a2 je tvaru

a2 , r = cos 2ϕ

3 5 π π ϕ∈ − , π, π . ∪ 4 4 4 4

2

Protože množina je omezená přímkami se směrnicemi k1 = 0 a k2 = ϕ ∈ 0, α, kde tg α = xy00 < 1 (viz obr. 4).

y0 x0

> 0, je

y=x

y0 a x0

Obr. 4 Podle vzorce (10) 1 S= 2

α 0

a2 r (ϕ) dϕ = 2 2

α 0

a2 1 + tg α a2 x0 + y0 dϕ = ln = ln , cos 2ϕ 4 1 − tg α 4 x0 − y0

a protože x20 − y02 = a2 , dostáváme S=

(x0 + y0 )2 x0 + y0 a2 a2 ln ln . = 2 4 a 2 a

5. Vypočítejte obsah neomezené množiny v R2 , která je omezená grafem funkce 1 y = √1−x 2 a přímkami x = −1, x = 1, y = 0. 1 Funkce y = √1−x 2 je kladná na intervalu (−1, 1), přímky x = −1 a x = 1 jsou její vertikální asymptoty. Podle vzorce (11)

1

S=

−1

√

dx = [arcsin x]1−1 = π . 1 − x2

152

6. Vypočítejte obsah neomezené množiny v R2 , která je omezená grafem funkce y = arctg x a osou x, x ≥ 0. Funkce arctg x je nezáporná na intervalu 0, +∞). Podle vzorce (11) +∞

S=

= lim

x→+∞

arctg x dx = x arctg x −

0

ln(1 + x2 ) x arctg x − 2

protože

ln(1 + x2 ) = lim x arctg x − x→+∞ 2x

ln(1 + x2 ) =0 x→+∞ x lim

IV.1.4.

a

lim arctg x =

x→+∞

Příklady

Vypočítejte obsah množiny omezené křivkami: 7. y = sin x , 8. y =

1 , x

y = 0,

9. y = e−x ,

x = a,

x = 0,

10. y = a cosh 11. y =

0≤x≤π

y = 0,

x2 , 2

x , a

y = 0,

a>b>0

x=a

x = 0,

x = x0

3 y =2− x 2

12. y = 2 x − x2 , y = x √ 13. y = x , y = x − 2 ,

x=0

14. y = x −

π , 2

y = cos x ,

15. y = x ,

y=

π sin x 2

16. y = sin x , 17. y = ax ,

x = b,

y = 0,

y = cos x , y = a,

18. y = | ln x| ,

x=0

0≤x≤

x = 0,

y = 0,

x=

π 4

a>1 1 , 2

+∞ 1 ln(1 + x2 ) = 0 2

x=2

153

π . 2

= +∞ ,

19. y = √

a2 , a2 − x2

20. y = sin2 x , 21. y = x ,

y = 2a ,

a>0 0≤x≤π

y = x sin x ,

y = x + sin2 x ,

0≤x≤π

2 cos x , 3

x=0

22. y = tg x ,

y=

23. y = −x2 ,

y = x2 − 2x − 4 y = −xe−x ,

24. y = ln(1 + x) , 25. y =

6 , x+5

y = |x| ,

x2 , 2

28. y = arctg 29. y =

y= √

x ≥ −2

√ y =x 1−x

26. y = x − x2 , 27. y =

x=1

1 1 + x2 y + x2 = 0 ,

x,

a3 , a2 + x2

10 , 30. y = 2 x +4

2ay = x2 x2 + 5x + 4 y= x2 + 4

31. y = (x2 − 2x) ex , 2

32. y = |x|3 e−x ,

x=1

y=0

|x| = a ,

a>0

33. y = 2x2 ex , y = −x3 ex √ x 34. y = , y = 0, x = 1 1 + x3 35. y = xα ,

y = x−α ,

36. y = xα ,

y = xα ,

1

37. y = 2x−3 + 1 , 38. y = 3x ,

x = a,

α > 0,

x ≥ 0,

α>1

y = 23−x + 1 ,

9 y = (3−x + 1) , 4

39. y = arcsin x ,

y=

3 2

y=9

y = arccos x ,

y=0 154

0
40. y = x + 1 ,

x = sin πy ,

41. y = (x + 1)2 ,

x = sin πy ,

42. y = ln(x + 6) , 43.

0≤y≤1

y = 0,

y = 0,

y = 3 ln x ,

x = 0,

0≤y≤1 y=0

x2 y 2 + 2 =1 a2 b

44. y 2 = 2px ,

27py 2 = 8(x − p)3

45. y 2 = 2px ,

x2 = 2py

46. y 2 =

x3 , 2a − x

x = 2a

47. (y − x)2 = xα ,

x = a2 ,

48. (y − x + 2)2 = 9y ,

a > 0,

x = 0,

α>0

y=0

49. a2 y 2 = x2 (a2 − x2 ) 50. a4 y 2 = (a2 − x2 )3 51. x4 − ax3 + a2 y 2 = 0 52. x4 y 2 = a5 (x − a) , 53. y 2 = sin2 x cos x ,

x = 2a −

π π ≤x≤ 2 2

54. (y − arcsin x)2 = x − x2

55. V jakém poměru dělí parabola x2 = 2y obsah kruhu x2 + y 2 = 8? 56. Vypočítejte obsah množiny omezené osou x, křivkou y = (x − 1)5 + 1 a tečnou k ní, která je rovnoběžná s přímkou 10x − 2y − 5 = 0. 57. Vypočítejte obsah množiny omezené parabolou y = x2 − 2x + 3, tečnou k ní v bodě (3, 6) a osami souřadnic. 58. Nechť y(x) = ax2 + bx + c je větší než nula pro x1 ≤ x ≤ x2 . Dokažte, že obsah množiny omezené křivkami y = y(x), x = x1 , x = x2 , y = 0 je roven 1 (x2 6

kde x0 =

x1 +x2 2

− x1 ) (y(x1 ) + y(x2 ) + 4y(x0 )) ,

(Simpsonův vzorec). 155

Vypočítejte obsah množiny omezené křivkami: 59. x = 2t − t2 ,

y = 2t2 − t3

60. x = a(t − sin t) ,

y = a(1 − cos t) ,

61. x = a(cos t + t sin t) ,

0 ≤ t ≤ 2π ,

y = a(sin t − t cos t) ,

0 ≤ t ≤ 2π ,

62. x = a(2 cos t − cos 2t) ,

y = a(2 sin t − sin 2t)

a 63. x = (3 cos t + cos 3t) , 4

a y = (3 sin t − sin 3t) 4

64. x =

c2 cos3 t , a

65. x = a cos t ,

y= y=

c2 sin3 t , b

y=0 x = a,

c2 = a2 − b2

a sin2 t 2 + sin t

66. x4 + y 4 = ax2 y Návod: Vyjádřete křivku v parametrickém tvaru, položte y = tx.

67. r 2 = a2 cos 2ϕ 68. r = a(1 + cos ϕ) 69. a) r = a sin 3ϕ b) r = a sin nϕ ,

n∈N

70. r = 3 + 2 cos ϕ 71. r =

a , cos(ϕ − π3 )

72. r = a cos ϕ ,

0≤ϕ≤

π 2

r = a(cos ϕ + sin ϕ) ,

(množina obsahuje bod ( a2 , 0))

V následujících příkladech vyjádřete křivky v polárních souřadnicích: 73. x3 + y 3 = 3axy 74. x4 + y 4 = a2 (x2 + y 2 ) 75. (x2 + y 2 )2 = 2a2 xy 76. (x2 + y 2 )2 = a2 x2 + b2 y 2 156

y≤0

77. x4 + y 4 = ax2 y 78. (x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 ) 79. (x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ) ,

x2 + y 2 = a2 ,

x2 + y 2 ≥ a2

Vypočítejte obsah neomezené množiny omezené křivkami: 80. y = e−x | sin x| , 81. y =

a3 , a2 + x2

y = 0,

x≥0

y=0

x2

82. y = xe− 2 , y = 0 , x ≥ 0 √ x 83. y = , y = 0, x ≥ 1 (x + 1)2 84. y = e−x tgh x , 85. y =

(x2

86. y 2 =

x+1 , + 4x + 5)2

xn , (1 + xn+2 )2

87. r = tg ϕ , 88. r =

y = 0,

1 , ϕ

r= r=

x≥0

x > 0,

1 , cos ϕ

1 , sin ϕ

x ≥ −1

y = 0,

n > −2

0≤ϕ< 0<ϕ≤

π 2

π 2

Vypočítejte obsah neomezené množiny omezené křivkou a její asymptotou: √ a + a2 − x2 √ 2 − a − x2 , y = 0 89. y = a ln x 90. xy 2 = 8 − 4x 91. (x + 1) y 2 = x2 ,

x<0

92. (4 − x) y 2 = x3 93. (1 − x2 ) y 2 = x2 , 94. x = cos 2t ,

x>0

y = (cos 2t) tg t ,

3 π ≤t≤ π 4 4 157

IV.2. IV.2.1.

De´lka krˇivky v R2 Definice křivky

Definice. Nechť ϕ je spojité zobrazení intervalu α, β do R2 , tj. ϕ(t) = (ϕ1 (t), ϕ2 (t)),

t ∈ α, β ,

kde ϕ1 (t), ϕ2 (t) jsou spojité funkce na intervalu α, β. Pak množinu K = {(x, y) ∈ R2 ; x = ϕ1 (t), y = ϕ2 (t), t ∈ α, β} nazýváme křivkou v rovině a rovnice x = ϕ1 (t),

y = ϕ2 (t),

t ∈ α, β ,

parametrickými rovnicemi křivky K. IV.2.2.

Délka křivky

Věta. Nechť K je křivka definovaná parametrickými rovnicemi x = ϕ1 (t),

y = ϕ2 (t),

t ∈ α, β .

Nechť funkce ϕ1 (t) a ϕ2 (t) mají spojitou derivaci na intervalu α, β, pak křivka K má konečnou délku a platí d(K) =

β

2 ϕ2 1 (t) + ϕ2 (t) dt .

α

(12)

Věta. Nechť funkce f (x) má spojitou derivaci na intervalu a, b. Pak křivka K, která je grafem funkce y = f (x) na intervalu a, b má konečnou délku a platí d(K) =

b

1 + f 2 (x) dx .

(13)

a

Analogicky platí: Věta. Je-li křivka K grafem funkce x = f (y) na intervalu c, d, kde funkce f (y) má spojitou derivaci na intervalu c, d, pak pro délku křivky K platí d(K) =

d

1 + f 2 (y) dy .

c

158

(14)

Věta. Nechť funkce r(ϕ) má spojitou derivaci na intervalu α, β, 0 ≤ α < β ≤ 2π. Nechť křivka K je definována rovnicí ϕ ∈ α, β ,

r = r(ϕ) ,

kde r a ϕ jsou polární souřadnice v R2 . Pak pro délku křivky K platí d(K) =

β

r 2 (ϕ) + r 2 (ϕ) dϕ .

(15)

α

IV.2.3.


95. Vypočítejte obvod křivočarého trojúhelníka vymezeného kružnicí x2 + y 2 = 2 a grafem funkce y = |x| (viz obr. 5).

A

B

P

1 r=

√ 2

Obr. 5 Dané křivky se protínají v bodech (−1, 1) a (1, 1), vrcholy křivočarého trojúhelníka jsou tedy A = (−1, 1), B = (1, 1) a P = (0, 0). Délky stran P A a P B jsou stejné křivky, která je grafem √ (viz obr. 5). Délka strany P B je délka 1 funkce y = x na intervalu 0, 1. Protože y = 2√x , je derivace y neomezená na pravém redukovaném okolí bodu 0, není tedy spojitá na 0, 1 a nemůžeme pro výpočet použít vzorec (13). Vyměníme proměnné a délka strany P B je délka křivky, která je grafem funkce x = y 2 , y ∈ 0, 1. Pro výpočet použijeme vzorec (14) 1

d(P B) = integrál řešíme substitucí y = 1 0

1+ !

1 2

0

1 + 4y 2 dy ,

sinh t, pak

4y 2 dy

1 = 2

argsinh 2 0

cosh2 t dt = !

argsinh 2 argsinh 2 1 1 1 = sinh 2t + t = sinh t 1 + sinh2 t + t = 4 2 4 0 0 √ 1 √ 1 √ 2 5 + ln(2 + 5 ) . = (2 5 + argsinh 2) = 4 4

159

2 2 Délka strany AB je délka části kružnice > 0. √ x + y = 2 pro x ∈ −1, 1 a y −x 2 Kružnice je tedy grafem funkce y = 2 − x , x ∈ −1, 1. Protože y = √2−x2 , je derivace y spojitá na −1, 1, a pro výpočet použijeme vzorec (13)

1 + f 2 (x) = 1 + 1

d(AB) = Závěr:

−1

x2 2 = , 2 2−x 2 − x2

√ 2 π dx = [ 2 arcsin x]1−1 = √ . 2 2−x 2

Obvod křivočarého trojúhelníka PAB je roven √ √ π 1 d(AB) + 2d(P B) = √ + 5 + ln(2 + 5 ) . 2 2

96. Vypočítejte poloměr kružnice se středem v bodě (0, 0), která dělí oblouk aste2 2 2 roidy x 3 + y 3 = a 3 , x ≥ 0, y ≥ 0, na tři části stejné délky. Oblouk asteroidy vyjádříme parametrickými rovnicemi x = a sin3 t ,

y = a cos3 t ,

0≤t≤

π , 2

a délku oblouku vyjádříme v závislosti na parametru t. Označme A = (0, a), B = (a, 0) a C = (x(t0 ), y(t0)) (viz obr. 6). A C −a

B

Obr. 6 Protože x = 3a sin2 t cos t, y = −3a cos2 t sin t, jsou derivace x , y spojité na intervalu 0, π2 . Pro výpočet délky oblouku asteroidy od bodu A (t = 0) do bodu C (t = t0 ) použijeme vzorec (12) d(t0 ) = 3a

t0 0

sin t cos t dt =

Délka celého oblouku AB (t0 = π2 ) je rovna d = 160

3a 2 sin t0 . 2 3a . 2

d 3

Z podmínky, že délka AC je rovna

dostáváme

1 1 =⇒ sin t0 = √ , cos t0 = sin2 t0 = 3 3 Souřadnice bodu C jsou x0 = 3√a 3 a y0 = hledané kružnici, platí pro poloměr r

2 3

2 a, 3

2 . 3

a protože bod C leží na

a x20 + y02 = √ . 3

r=

97. Vypočítejte délku kardioidy, která je zadána v polárních souřadnicích rovnicí r = a(1 + cos ϕ), ϕ ∈ 0, 2π. Protože r = −a sin ϕ, je funkce r spojitá na 0, 2π, použijeme pro výpočet délky vzorec (15) 2π

d= √ =a 2

2π

0

IV.2.4.

0

a2 (1 + cos ϕ)2 + a2 sin2 ϕ dϕ =

√ 1 + cos ϕ dϕ = a 2

2π

Vypočítejte délku křivky: √ 98. y = x3 , 0 ≤ x ≤ 4 √ 2 (y − 1)3 , 0 ≤ x ≤ 2 3 3 √ 1 ≤x≤1 100. y = 2x − x2 − 1 , 4 99. x =

101. x2 = 5y 3 , x2 + y 2 ≤ 6 x√ x + 12 , −11 ≤ x ≤ −3 102. y = 6 103. y =

x (1 − x) , 3

xα + x2−α 104. y = , 2 α(α − 2)

2π ϕ ϕ cos dϕ = dϕ = 2a 2 2 0 0 π 2π ϕ ϕ = 2a cos dϕ − 2a cos dϕ = 8a . 2 2 0 π

Příklady

0 ≤ x0 ≤ x ≤ 1 1 ≤ x ≤ x0 161

2 cos2

105. y =

3 √ 1√ 3 3 x− x5 , 2 5

1≤x≤8

106. Pro jaká α ∈ Q, α = 0, je délka křivky y = axα , 0 < x0 ≤ x ≤ t, elementární funkce proměnné t? Vypočítejte délku křivky: 107. y = cosh x ,

0≤x≤a

108. y = sinh2 x , |x| ≤ a √ 109. y = ln(x − x2 − 1 ) , 110. y = ln tgh

x , 2

1
0
111. Nechť M = (x, y), x = 0, je bod křivky y = a cosh xa , nechť t je tečna k této křivce v bodě M a M1 je průmět bodu M na osu x, N je průmět bodu M1 na tečnu t. Dokažte, že délka oblouku AM, kde A = (0, a), je rovna délce úsečky MN. Vypočítejte délku křivky: 1 112. y = x2 , 0 ≤ x ≤ 2 4 1 113. y = 4 − x2 , 2

y≥0

114. y 2 = 8x , −4 ≤ y ≤ 4 √ 115. y = 4 x − 2 , 2 ≤ x ≤ 3 1 1 116. y = x2 − ln x , 2 4

1≤x≤3

1 1 117. x = y 2 − ln y , 1 ≤ y ≤ e 4 2 √ √ 118. y = ln x , 2 2 ≤ x ≤ 2 6 119. y = ex ,

0 ≤ x ≤ x0

120. y = ln(x2 − 1) , a2 , 121. y = a ln 2 a − x2

2≤x≤5 0≤x≤b

x

ln 9 ≤ x ≤ ln 64

122. y = 2 1 + e 2 ,

2 π ≤x≤ π 3 3 π 0≤y≤ 3

123. y = ln sin x , 124. x = ln cos y ,

125. y = arcsin ex , − ln 7 ≤ x ≤ − ln 2

126. y =

x√ 2 − x2 , 4

127. y = x 128. y =

√

x , 1−x

129. x = 2 arctg √

131. y = 2

0≤x≤

5 6

1 − x2 + arcsin x ,

130. y =

0≤x≤1

1−y − 1 − y2 , 1+y

x − x2 − arccos

√

0≤x≤

√

ex − 1 − arctg

|y| ≤ a < 1 11 15 ≤x≤ 36 16

1 −x,

√

9 16

ex − 1 ,

0 ≤ x ≤ x0

√ √ √ a+ x √ − 4 ax , 0 ≤ x ≤ x0 < a 132. y = 2a ln √ a− x √ a + a2 − x2 √ 2 133. y = a ln − a − x2 , 0 < x0 ≤ x ≤ a x √ √ 134. y = x2 − 32 + 8 ln x + x2 − 32 , 6 ≤ x ≤ 9

135. x = a cos3 t , 136. x =

c2 cos3 t , a

y = a sin3 t , y=

137. x = a(t − sin t) ,

c2 sin3 t , b

0 ≤ x ≤ 2π ,

y = a(1 − cos t) ,

138. x = a(cos t + t sin t) , 139. x = cosh3 t ,

0 ≤ t ≤ 2π

0 ≤ t ≤ 2π


y = sinh3 t ,

0 ≤ t ≤ t0 163

c2 = a2 − b2

0 ≤ t ≤ 2π

140. x = a(sinh t − t) , 141. x = aeαt cos t ,

y = a(cosh t − 1) ,

0 ≤ t ≤ t0

y = aeαt sin t ,

t 142. x = a cos t + ln tg 2

,

143. x = sin4 t ,

y = cos2 t ,

144. x = cos4 t ,

y = sin4 t ,

0 ≤ t ≤ t0

y = a sin t ,

0 < t0 ≤ t ≤

π 2 π 0≤t≤ 2 0≤t≤

145. x = a cos5 t ,

y = a sin5 t ,

0 ≤ t ≤ 2π

146. x = a cos3 t ,

y = b sin3 t ,

0 ≤ t ≤ t0 ≤

147. x = (t2 − 2) sin t + 2t cos t , 148. x = 8at3 ,

y = 4t3 ,

π , 2

a = b

y = (t2 − 2) cos t − 2t sin t ,

y = 3a(2t2 − t4 ) ,

149. x = 6 − 3t2 ,

π 2

0≤t≤π

y≥0

x≥0

150. Najděte přímku y = konstanta, která dělí oblouk cykloidy x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π, na tři části stejné délky. 151. Dokažte, že délka elipsy x =√a cos t, y = b sin t je rovna délce jedné vlny sinusovky y = c sin xb , kde c = a2 − b2 . 152. Dokažte, že délka oblouku křivky x = at − b sin t, y = a − b cos t, 0 ≤ t ≤ 2π, a > 0, b > 0, je rovna délce elipsy s poloosami a + b a |a − b|. 153. Dokažte, že délka d(e) elipsy s poloosami a a b vyhovuje nerovnosti

π(a + b) < d(e) < π 2(a2 + b2 ) .

Vypočítejte délku smyčky křivky:

154. x = t2 ,

y=t

155. x = 2t3 (1 − t2 ) , 2

156. x = a(t − 1) ,

1 − t2 3 y=

√

15 t4

2a t y = √ t3 − 4 3

164

Vypočítejte délku křivky: 0 ≤ ϕ ≤ 2π

157. r = aϕ , 158. r = aeαϕ ,

α > 0,

0
159. r = a sin ϕ 160. a) r = a cos3

ϕ ; 3

ϕ , n

161. r = a sinn

b) r = a sin4

n ∈ N,

ϕ 4

je-li: a) n sudé; b) n liché

162. r = a(1 − cos ϕ) 163. r = a(1 − sin ϕ) , 164. r = a tgh

−

π π ≤ϕ≤− 2 6

ϕ , 2

0 ≤ ϕ ≤ 2π

,

3 π ≤ϕ≤ ϕ 2 2

165. r =

p sin2

166. r =

p , 1 + cos ϕ

ϕ 2

|ϕ| ≤

π 2

167. Vypočítejte délku smyčky křivky:

a) r =

a ; sin3 ϕ3

b) r =

a cos4

ϕ 4

168. Nechť funkce r(t) a ϕ(t) mají spojité derivace na intervalu (α, β). Dokažte, že pro délku křivky zadanou rovnicemi r = r(t), ϕ = ϕ(t), kde r, ϕ jsou polární souřadnice v rovině, platí d=

β

r 2 (t)ϕ2 (t) + r 2 (t) dt .

α

Vypočítejte délku křivky: 169. r = 1 + cos t ,

ϕ = t − tg

t , 2

0 ≤ t ≤ t0 < π

1 1 170. ϕ = r+ , 1≤r≤3 2 r √ a r 2 − a2 − arccos , a < r1 ≤ r ≤ r2 171. ϕ = a r 172. ϕ = arccos

r 2 + ab , (a + b)r

a≤r≤b 165

IV.3. IV.3.1.

Objem rotacˇnı´ho teˇlesa Pojem rotačního tělesa

V části IV.1 jsme viděli, že pomocí Riemannova integrálu lze určit obsah jednoduchých rovinných oborů. V této části uvedeme, jak lze vypočítat Riemannovým integrálem objem jistých těles v R3 a sice rotačních a v části IV.4 uvedeme, jak lze vypočítat obsah pláště takových těles. Pracujeme zde s pojmy intuitivně sice zřejmými, ale jejich přesné definice lze zavést až po vybudování příslušného matematického aparátu (teorie míry). Předpokládejme, že A ⊂ R2 je neprázdná omezená souvislá množina, která má kladný obsah. Pak rotací množiny A kolem nějaké přímky, která leží také v R2 , vznikne v R3 rotační těleso, např. je-li funkce f (x) spojitá a nezáporná na intervalu a, b, pak rotací množiny A = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} kolem osy x vznikne rotační těleso v R3 . IV.3.2.

Objem rotačního tělesa

Věta. Nechť funkce f (x) je spojitá a nezáporná na intervalu a, b. Pak pro objem V rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny A = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} a) kolem osy x, platí V =π

b

(16)

f 2 (x) dx ,

(17)

xf (x) dx .

(18)

a

b) kolem osy y (je-li 0 ≤ a < b), platí V = 2π

b a

Poznámka. Je-li funkce f (x) spojitá a nekladná na intervalu a, b, pak rotací množiny A = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ 0} kolem osy x, vznikne stejné rotační těleso, jako rotací množiny A = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ −f (x)} kolem osy x. Je tedy zřejmé, že takové těleso má objem daný vzorcem (17). Věta. Nechť funkce f (x) a g(x) jsou spojité na a, b a nechť 0 ≤ g(x) ≤ f (x) pro x ∈ a, b. Pak pro objem V rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny A = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f (x)} a) kolem osy x, platí V =π

b a

(f 2 (x) − g 2 (x)) dx , 166

(19)

b) kolem osy y (je-li 0 ≤ a < b), platí b

V = 2π

a

x (f (x) − g(x)) dx .

(20)

Věta. Nechť funkce y = f (x) je na intervalu a, b zadána parametricky rovnicemi x = ϕ1 (t), y = ϕ2 (t), t ∈ α, β, kde funkce ϕ1 (t) a ϕ2 (t) jsou spojité na intervalu α, β, ϕ2 (t) ≥ 0 a ϕ1 (t) = 0 pro t ∈ α, β, ϕ1 (α, β) = a, b. Pak pro objem V rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny A ze vztahu (16) kolem osy x, platí V =π

β α

ϕ22 (t) |ϕ1 (t)| dt .

(21)

Pro funkci x = f (y) na intervalu c, d platí analogicky: Věta. Nechť f (y) je spojitá a nezáporná funkce na intervalu c, d. Pak pro objem V rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny A = {(x, y) ∈ R2 ; c ≤ y ≤ d, 0 ≤ x ≤ f (y)} a) kolem osy y, platí V =π

d

(22)

f 2 (y) dy ,

(23)

y f (y) dy .

(24)

c

b) kolem osy x (je-li 0 ≤ c < d), platí V = 2π

d c

Věta. Nechť funkce f (y) a g(y) jsou spojité na c, d a nechť 0 ≤ g(y) ≤ f (y) pro y ∈ c, d. Pak pro objem V rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny A = {(x, y) ∈ R2 ; c ≤ y ≤ d, g(y) ≤ x ≤ f (y)} a) kolem osy y, platí V =π

d c

(f 2 (y) − g 2(y)) dy ,

(25)

b) kolem osy x (je-li 0 ≤ c < d), platí V = 2π

d c

y (f (y) − g(y)) dy .

(26)

Věta. Nechť funkce x = f (y) je na intervalu c, d zadána parametricky rovnicemi y = ψ1 (t), x = ψ2 (t), t ∈ γ, δ, kde funkce ψ1 (t) a ψ2 (t) jsou spojité na intervalu 167

γ, δ, ψ2 (t) ≥ 0 a ψ1 (t) = 0 pro t ∈ γ, δ, ψ1 (γ, δ) = c, d. Pak pro objem V rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny A ze vztahu (22) kolem osy y, platí V =π

δ γ

ψ22 (t)|ψ1 (t)| dt .

(27)

Věta. Nechť funkce r = r(ϕ) má spojitou derivaci na intervalu α, β, kde je (a) 0 ≤ α < β ≤ π, (b) − π2 ≤ α < β ≤ π2 . Pak pro objem V rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny zadané nerovnostmi α ≤ ϕ ≤ β, 0 ≤ r ≤ r(ϕ), kde r a ϕ jsou polární souřadnice v rovině, kolem a) polární osy, platí β 2 r 3 (ϕ) sin ϕ dϕ , (28) V = π 3 α b) „přímky ϕ = π2 , platí 2 β 3 V = π r (ϕ) cos ϕ dϕ . 3 α

(29)

Poznámka. Pro objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny A ⊂ R2 kolem přímky ax + by + c = 0, která není osou x ani osou y, neexistuje obecný předpis. Od kartézské soustavy souřadnic (P, x, y) přejdeme k soustavě souřadnic (P , u, v), kde osa u je přímka ax + by + c = 0, a dále postupujeme podle konkrétního zadání příkladu (viz př. 176). IV.3.3.


173. Nechť množina A je omezená parabolou y = 4−x2 , polopřímkou y = 0, x ≤ 0 a polopřímkou y = 3x, x ≥ 0. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny A kolem osy x. Nejprve najdeme x-ovou souřadnici průsečíku paraboly y = 4−x2 a polopřímky y = 3x, x ≥ 0. Platí 4 − x2 = 3x, odkud x1 = 1, x2 = −4, vyhovuje pouze x = 1 (viz obr. 7). 4

1 Obr. 7 168

Hledaný objem pak bude rozdílem objemů V1 a V2 , kde V1 je objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny {(x, y) ∈ R2 ; −2 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 4 − x2 } kolem osy x, a V2 je objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3x} kolem osy x. Pro výpočet použijeme vzorec (17) 1

1

153 V1 = π (4 − x ) dx = π, 5 −2 2 2

V2 = π

V = V1 − V2 =

0

(3x)2 dx = 3π ,

138 π. 5

174. Vypočítejte objem rotačního tělesa, vzniklého rotací kruhu (x − a)2 + y 2 ≤ a2 kolem osy y (viz obr. 8). a

f2 (y) f1 (y)

a

−a Obr. 8 Kruh je omezený funkcemi f1 (y) = a −

a2 − y 2 ,

f2 (y) = a +

a2 − y 2 ,

−a ≤ y ≤ a ,

a pro y ∈ −a, a platí f1 (y) ≤ f2 (y). Pro výpočet použijeme vzorec (25) V =π

a −a

(a +

a2

−

y 2 )2

− (a −

a2

−

y 2 )2

dy = 4πa

a dále řešíme substitucí y = a sin t 3

V = 4πa

π 2

− π2

cos2 t dt = 2π 2 a3 .

169

a −a

a2 − y 2 dy

175. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené asteroidou x = a cos3 t, y = a sin3 t, 0 ≤ t ≤ 2π, kolem osy x. Asteroida je symetrická kolem osy x i kolem osy y, proto hledaný objem je 2V , kde V je objem tělesa, které vznikne rotací množiny omezené asteroidou a souřadnými osami, tj. t ∈ 0, π2 . Pro výpočet použijeme vzorec (21)

V =π

0

π 2

2

6

2

3

a sin t |3a cos t(− sin t)| dt = 3πa

π 2

0

(1 − cos2 t)3 cos2 t sin t dt

a dále řešíme substitucí x = cos t V = 3πa3 hledaný objem je tedy

1 0

(1 − x2 )3 x2 dx =

16 3 πa , 105

32 πa3 . 105

176. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené parabolou 2y = 4 − x2 a přímkou x + y − 2 = 0 kolem přímky x + y − 2 = 0. os Posunutím počátku P = (0, 0) do bodu P = (0, 2) a otočením souřadných √ π 2 o úhel − 4 přejdeme k souřadné soustavě (P , u, v), kde u = (x − y + 2) 2 a √ 2 v = (x + y − 2) 2 (viz obr. 9). y v P

P

1

u

x

Obr. 9 V této souřadné soustavě bude parabola 2y = 4 − x2 zadána parametrickými rovnicemi √ √ 2 2 , v(x) = (x + y(x) − 2) , u(x) = (x − y(x) + 2) 2 2 kde y(x) = 12 (4 − x2 ), x ∈ 0, 2. Pro výpočet použijeme vzorec (21) 2

V =π

0

√ 1 2 2 (2x − x ) (1 + x) dx = v (x)|u (x)| dx = π 2 0 8 √ √ 2 2 2 2 2 4 5 π (4x − 3x + x ) dx = π. = 16 0 15 2

2

170

IV.3.4.

Příklady

Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny v R2 omezené danými křivkami kolem osy x: 177. y 2 = 2px ,

y = 0,

x=a

178. xy = a2 ,

y = 0,

x = a,

1 , 179. y = √ 4 x

y = 0,

x=

2

x a

180. y = b

3

,

182. y = a cosh 183. y =

√

y = 0,

x e−x ,

x=1

π 2

0≤x≤

y = 0,

x , a

1 , 4

x = a (x ≥ 0)

y = 0,

181. y = sin 2x ,

x = 2a

y = 0,

x = 0,

x=b

x=a

ln x , y = 0, x = e x √ 185. y = sin x , y = 0 , 0 ≤ x ≤ π 2 184. y =

186. y = eαx sin πx ,

n − 1 ≤ x ≤ n (n ∈ N)

y = 0,

π 6

187. y = √

1 , cos x

y = 0,

x = 0,

x=

188. y =

1 , + x2

y = 0,

x = 0,

x=a

x2 − 1 , x−3

y=0

a2

189. y =

190. y = x ,

y=

191. y = sin x , 192.

y = 0,

y = cos x ,

x2 y 2 + = 1, 25 9

193. 2py = x2 ,

1 , x

x2 −

x=2

y = 0,

y2 = 1, 15

2qy = (x − a)2 ,

0≤x≤ x≥0

y=0

171

π 2

y = 2 − log2 x ,

194. y = 2x ,

x = 0,

y=0

1 , y=0 1 + x2 √ 196. y = e−x sin x , y = 0 (0 ≤ x < +∞) 195. y =

197. y = e−x sin πx , 198.

x2 y 2 + 2 =1 a2 b

199.

x2 y 2 − 2 = 1, a2 b

200.

x2 y 2 − 2 = −1 , a2 b

y = 0 (0 ≤ x < +∞)

x=a+h |x| = h

201. (x − a)2 + (y − a)2 = a2 , 202. y 2 (2a − x) = x3 ,

0≤x≤a

x = a,

203. y 2 (x − a) + x2 (x + a) = 0 , 204. y 2 (x − a)2 = x3 (2a − x) , 205. y 2 = 2x , 206. y = x ,

y = 2, y=

207. y = sin x ,

1 , x

y=

208. y = sin2 x ,

x= x=

2 x, π

0≤x≤

210. 2px = y 2 ,

2q(a − x) = y 2

211. 2px = y 2 ,

2q(x − a) = y 2 ,

x2 y 2 213. 2 − 2 = 1 , a b

0≤x≤

π 2

0≤x≤π

y = x sin x ,

x , 2a − x

a , 2

0≤x≤

x=3

2qx = y 2

212. y = x

a , 2

x=0

209. 2py = x2 ,

y = 0 (x ≤ a , y ≤ a)

x = 0,

q>p>0

y=

x(2a − x)

x = 0,

y = 0,

y=h

172

a 2

a 2

214. 2py = x2 , 215.

2py = x(2x − a) ,

y2 x2 − = 1, 9 25

y=0

x2 y 2 − = −1 25 9

216. x2 + (y − a)2 = r 2 ,

a>r>0

x2 (y − 3)2 217. + =1 4 9 218. x2 − xy + y 2 = a2 Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny v R2 omezené smyčkou dané křivky kolem osy x: 219. (x − 4) y 2 = x(x − 3)

221. y 2 (a − 3x) = x2 (a + x)

220. y 2 (x − a) + x2 (x + a) = 0

222. x2 y 2 = (x + a)2 (4a2 − x2 )

223. Nechť funkce y = f (x) má spojitou derivaci na a, b, 0 ≤ a ≤ b, a nechť f (b) = maxx∈a,b f (x) nebo f (b) = minx∈a,b f (x). Nechť množina A ⊂ R2 je omezená grafem funkce y = f (x), a ≤ x ≤ b, částí přímky y = f (a), 0 ≤ x ≤ a, přímky y = f (b), 0 ≤ x ≤ b, a příslušnou úsečkou na ose y. Dokažte, že pro objem V rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny A kolem osy y platí V =

b 2 x f (x) dx . π a

Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené danými křivkami kolem osy y: 224. xy = k 2 , 2

225. y = ex ,

y = 0,

x = a,

y = 0, 2

x = b,

x = 0,

0
x=1

π 3

226. y = tg x ,

y = 0,

x=

227. y = sin x ,

y = 0,

2πn ≤ x ≤ π(2n + 1) (n ∈ N)

228. 2py = a2 − (x − b)2 , 229. y = |x − b| − a , 230. y = cos x2 , 231. y = sin x ,

y = 0,

y = 0,

y = 1, y = 1,

0
0
x=1 x=0 173

232. y = cos x ,

233. y =

0 ≤ x ≤ 2π

y = 1,

0 je-li 0 ≤ x ≤ π , sin x je-li π ≤ x ≤ 52 π

234. y 2 (2a − x) = x3 , 235. y 2 = 4x ,

|y| = a ,

x = 0,

y=1

x=0

y=x

2

236. y = e−x ,

y = 0,

x=0

Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené danými křivkami (a) kolem osy x, (b) kolem osy y: 237. y = 2x − x2 ,

y=0

238. y = (x − a)(x − b) ,

y = 0,

239. y = sin x ,

0≤x≤π

y = 0,

0≤a
240. y = arcsin x ,

y = 0,

x=1

241. y =

a3 , a2 + x2

y = 0,

x = 0,

242. y =

a3 , a2 + x2

y=

243. y = x

3 + 3x , 3−x

244. 2py = (x − a)2 , 245. 2py = x2 ,

248.

y = 6,

x = 0 (0 ≤ x ≤ 2)

2py = a2

y = e2x ,

y = x + sin2 x ,

x=0 0≤x≤π

x2 y 2 + 2 =1 a2 b 2

249.

a 2

y = |x|

246. y = ex + 6 , 247. y = x ,

x=a

x a

3

2

+

x b

3

=1

174

Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené danými křivkami kolem přímky y = 1: 250. y =

√ 3

x,

y=

251. y =

√ 3

x,

y = x2

252. y = 2x2 − 1 ,

1 , x

y = 0,

1 , y= √ 3 x

x=2

y = −1 ,

x=8

Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené danými křivkami kolem přímky l: π π 253. y = arcsin x , x = 1 , y = − a) l : y = ; b) l : x = 1 2 2 254. y = x ,

y = x + sin2 x ,

255. 2py = x2 ,

y−x=

3 p 2

0 ≤ x ≤ π,

l:y=x

a) l : y = 0 ;

b) l : x = 0 ;

c) l : y − x =

3 p 2

256. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené smyčkou konchoidy (x − a)2 (x2 + y 2) = 4a2 x2 kolem přímky x = a. 257. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené danými křivkami kolem přímky x = a: √ 3 2 2 a , x = a (x ≥ 0) 1) y (x − a) + x (x + a) = 0 , |y| = 2 a (0 ≤ x ≤ a) 2) (x − a)2 y 2 = x3 (2a − x) , x = 2 258. Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ xα , α > 0} kolem osy x je roven

a 4

S; S je obsah podstavy tělesa pro x = a. Vypočítejte α.

259. Rovina kolmá na osu rotačního paraboloidu vytíná z něho úseč o poloměru základny r a výšce h. Vypočítejte objem této úseče. 260. Dvojvypuklá čočka je omezená souosými rotačními paraboloidy. Průměr čočky je D (průměr kružnice, ve které se paraboloidy protínají) a tloušťka čočky na ose je h. Vypočítejte objem čočky. 261. Dutovypuklá čočka je omezená souosými rotačními paraboloidy. Průměr čočky je D (průměr kružnice, ve které se paraboloidy protínají) a tloušťka čočky na ose je h. Vypočítejte objem čočky. 175

262. Dvojdutá čočka je omezená souosými rotačními paraboloidy a válcem o poloměru r. Tloušťka čočky na ose je h, na kraji je H. Vypočítejte objem čočky. 263. Oblouk AB kružnice o poloměru r má úhlovou délku 2α. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené obloukem AB a tětivou AB kolem přímky obsahující tětivu AB. 264. Parabolická úseč je omezená obloukem paraboly a její tětivou délky 2a kolmou k ose paraboly. Vzdálenost tětivy od vrcholu paraboly je h. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací této úseče kolem přímky obsahující tětivu. 265. Vypočítejte objem sudu parabolického tvaru, tzn. rovina procházející osou sudu protíná boční povrch v obloucích parabol s vrcholy na střední obvodové kružnici. Výška sudu je h, dna mají průměr d a střední řez má průměr D. 266. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené 2 2 2 asteroidou x 3 + y 3 = a 3 kolem přímky y = x. 267. Úseč paraboly je omezená obloukem paraboly y 2 = 4ax a její tětivou, která leží na přímce y = 2x. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací této úseče kolem přímky y = 2x. 268. Dokažte, že objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené x obloukem paraboly a + yb = 1 a přímkou xa + yb = 1 kolem této přímky, je 8 roven 15 π r 2 H, kde r je největší poloměr příčného kruhového řezu a H je délka tohoto tělesa na ose rotace. 269. 1) Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací úseče paraboly 2py = x2 , kterou vytíná přímka y = kx, (k > 0), kolem této přímky. 8 π r 2 H, kde r je 2) Dokažte, že objem rotačního tělesa z bodu 1) je roven 15 největší poloměr příčného kruhového řezu a H je délka tohoto tělesa na ose rotace.

270. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené křivkou (4 − x)y 2 − x3 = 0 a její asymptotou kolem této asymptoty. 271. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené parabolou y = ax2 a její evolutou x = 4a2 t3 , a) kolem osy x; b) kolem osy y.

176

y = 3at2 +

1 2a

Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené danými křivkami kolem přímky l: 272. x = t3 ,

y = t2 ,

273. x = a sin t ,

y = 0,

|x| = 1

y = a sin 2t ,

a) l : y = 0;

0 ≤ t ≤ 2π

b) l : x = 0

a) l : y = 0;

b) l : x = 0

274. x = a(t − sin t) , y = a(1 − cos t) , y = 0 (0 ≤ t ≤ 2π) a) l : y = 0; b) l : x = 0; c) l : x = πa; d) l : y = 2a 275. x = a sin3 t , y = b cos3 t (0 ≤ t ≤ 2π) a) l : y = 0; b) l : x = 0; c) l : x = a √ 276. x = a cosh3 t , y = a sinh3 t , x = 2 2a 277. x =

1 cosh3 t , 2

2at2 , 278. x = 1 + t2

y=

1 sinh3 t , 2

2at3 y= , 1 + t2

279. x = a(1 + cos t) ,

x = 0,

x=a

l:y=0 |y| =

1 2

a) l : y = 0;

y = a(tg t + sin t) ,

x=

3 a 2

l:x=0 b) l : x = a a) l : y = 0;

b) l : x = a

280. Přímka y = 32 a dělí množinu omezenou obloukem cykloidy x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π, a přímkou y = 0 na dvě části. Vypočítejte poměr objemů rotačních těles, které vzniknou rotací každé ze dvou získaných množin kolem přímky y = 32 a. 281. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené smyčkou dané křivky (a) kolem osy x; (b) kolem osy y: 1) x = 2t − t2 ,

y = 4t − t3

2) x =

2a , 2 t +1

y=a

t3 − t t2 + 1

Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny zadané nerovnostmi v polárních souřadnicích kolem polární osy: 282. 0 ≤ r ≤ aϕ ,

0≤ϕ≤π

283. πr 3 ≤ ϕ ≤ π 284. 0 ≤ r ≤ a cos2 ϕ 285. 0 ≤ r ≤ 2a sin ϕ 286. 0 ≤ r ≤ a cos3 ϕ 287. 0 ≤ r ≤ a sin2 ϕ 177

288. 0 ≤ r ≤ aekϕ ,

2πn ≤ ϕ ≤ (2n + 1)π

289. 0 ≤ r ≤ a 3 cos 3ϕ ,

|ϕ| ≤

(n ∈ Z)

π 6

3 7 π≤ϕ≤ π 6 2

290. 0 ≤ r ≤ a 3 cos 3ϕ , 291. 0 ≤ r ≤ a (1 + cos ϕ) 292. 0 ≤ r ≤ 2a 293. 0 ≤ r ≤

sin2 ϕ , cos ϕ

0≤ϕ≤

p , 1 + ε cos ϕ

π 3

0≤ϕ≤

π 2

294. 0 ≤ r ≤ a cos 2ϕ

295. 0 ≤ r ≤ a sin 2ϕ 296. 0 ≤ r ≤ − 297. 0 ≤ r ≤

3a cos 2ϕ , (2 + cos 2ϕ) sin ϕ

a , cos ϕ cos 2ϕ

π 3 ≤ϕ≤ π 4 4

0≤ϕ≤

π 6

298. 0 ≤ r ≤ a 2 sin 2ϕ Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené Pascalovou závitnicí kolem polární osy: 299. r = a cos ϕ + l ,

l
300. r = a cos ϕ − l ,

l
301. r = a cos ϕ + l ,

l≥a

Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny zadané nerovnostmi v polárních souřadnicích kolem „přímky ϕ = π2 :

302. 0 ≤ r ≤ a sin ϕ 303. 0 ≤ r ≤ a cos 2ϕ

304. 0 ≤ r ≤ a 3 cos 3ϕ ,

305. 0 ≤ r ≤ a 3 cos 3ϕ ,

|ϕ| ≤

π 6

5 π ≤ϕ≤ π 2 6 178

306. 0 ≤ r ≤ a (1 + cos ϕ) , 307. 0 ≤ r ≤ a 308. 0 ≤ r ≤

cos 2ϕ , cos ϕ

p , 1 + cos ϕ

|ϕ| ≤

|ϕ| ≤

π 2

π 4

|ϕ| ≤

π 2

309. 0 ≤ r ≤ a cos 2ϕ 310. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené smyčkou konchoidy: 1) r = 4a + 2) r = 2a +

a cos ϕ a cos ϕ

kolem polární osy kolem „přímky ϕ = π2

311. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené kardioidou r = a(1 + cos ϕ) kolem „přímky r cos ϕ = − a4 . 312. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené jednou smyčkou lemniskáty r 2 = a2 sin 2ϕ a) kolem „přímky ϕ = π4 ,

b) kolem „přímky ϕ = − π4 .

Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené danou křivkou kolem osy x: 313. x4 + y 4 = a2 x2

315. (x2 + y 2 )3 = a2 x4

314. x4 + y 4 = 2axy 2

316. x(x2 − y 2 ) = a(x2 + y 2 ) ,

x = 3a

Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené danou křivkou kolem osy y: 317. x4 + y 4 = ay 3

320. (x2 + y 2 )3 = a2 (x2 − y 2)2

318. x4 + y 4 = 2axy 2

321. (x2 + y 2 )3 = a2 x2 y 2

319. (x2 + y 2 )3 = a4 y 2

322. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny omezené lemniskátou (x2 + y 2)2 = a2 (x2 − y 2 ) a) kolem osy x, b) kolem osy y, c) kolem přímky y = x. (Návod: Křivku vyjádřete v polárních souřadnicích.) 179

IV.4. IV.4.1.

Obsah rotacˇnı´ plochy Pojem rotační plochy

Rotační plochou v R3 rozumíme plášť rotačního tělesa, které jsme definovali v části IV.3. Předpokládejme, že K je křivka v R2 , pak rotací křivky K kolem nějaké přímky, která také leží v R2 , vznikne v R3 rotační plocha, např. je-li funkce f (x) spojitá a nezáporná na intervalu a, b, pak rotací křivky K = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, y = f (x)} kolem osy x vznikne rotační plocha, která je vlastně pláštěm rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny A = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} kolem osy x. IV.4.2.

Obsah rotační plochy

Věta. Nechť funkce f (x) má spojitou derivaci na intervalu a, b. Pak pro obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky K = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, y = f (x)} a) kolem osy x, platí

b

S = 2π

a

|f (x)| 1 + f 2 (x) dx ,

(30)

b) kolem osy y (je-li 0 ≤ a < b), platí S = 2π

b

x 1 + f 2 (x) dx .

(31)

a

Věta. Nechť funkce x = ϕ1 (t) a y = ϕ2 (t) mají spojitou derivaci na intervalu α, β. Pak pro obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky K = {(x, y) ∈ R2 ; x = ϕ1 (t), y = ϕ2 (t), t ∈ α, β} a) kolem osy x, platí S = 2π

β α

2 ϕ2 (t) ϕ2 1 (t) + ϕ2 (t) dt .

(32)

je-li ϕ2 (t) ≥ 0 na α, β, S = 2π

β α

2 |ϕ2 (t)| ϕ2 1 (t) + ϕ2 (t) dt ,

je-li ϕ2 (t) ≤ 0 na α, β; 180

(33)

b) kolem osy y, platí S = 2π

β α

2 ϕ1 (t) ϕ2 1 (t) + ϕ2 (t) dt ,

(34)

je-li ϕ1 (t) ≥ 0 na α, β, S = 2π

β α

2 |ϕ1 (t)| ϕ2 1 (t) + ϕ2 (t) dx ,

(35)

je-li ϕ1 (t) ≤ 0 na α, β. Pro funkci x = f (y) na intervalu c, d platí analogicky: Věta. Nechť funkce f (y) má spojitou derivaci na intervalu c, d. Pak pro obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky K = {(x, y) ∈ R2 ; c ≤ x ≤ d, x = f (y)} a) kolem osy y, platí S = 2π

d c

|f (y)| 1 + f 2 (y) dy ,

(36)

b) kolem osy x (je-li 0 ≤ c < d), platí S = 2π

d

y 1 + f 2 (y) dy .

(37)

c

Věta. Nechť funkce r(ϕ) má spojitou derivaci na α, β, kde (a) 0 ≤ α < β ≤ π, (b) − π2 ≤ α < β ≤ π2 . Pak pro obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky definované rovnicí r = r(ϕ), ϕ ∈ α, β, kde r a ϕ jsou polární souřadnice v R2 , a) kolem polární osy, platí S = 2π

β

r(ϕ) r 2 (ϕ) + r 2 (ϕ) sin ϕ dϕ ,

(38)

α

b) kolem „přímky ϕ = π2 , platí S = 2π

β

r(ϕ) r 2 (ϕ) + r 2 (ϕ) cos ϕ dϕ .

(39)

α

Poznámka. Nechť rovinná rektifikovatelná křivka K, jejíž délka je s0 , leží celá v jedné polorovině, která vznikne rozdělením roviny přímkou l, tj. „na jedné straně od přímky l . Nechť r(s) je vzdálenost konce oblouku křivky délky s od přímky l a nechť r(s) je spojitá funkce na intervalu 0, s0 . Pak pro obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky K kolem přímky l platí S = 2π

s0 0

(viz př. 327) 181

r(s) ds .

(40)

IV.4.3.


2 2 323. Vypočítejte √ obsah rotační plochy, vzniklé rotací paraboly 2ay = x − a , 0 ≤ x ≤ 2 2a, (a) kolem osy x; (b) kolem osy y. (viz obr. 10)

3.5a

a 1

√ 2 2a

−a Obr. 10 a) Pro výpočet použijeme vzorec (30) S= ⎛

= 2π ⎝

a 2 a 0

2√2a 2 x 2π 0

− a2 x2 1 + dx = 2a a2

− x2 x2 1 + 2 dx + 2a a

2√2a a

⎞

x2 − a2 x2 1 + 2 dx⎠ , 2a a

substitucí x = at dostáváme 2

S = πa

−

1 0

√ 2 2 (t − 1) 1 + t dt +

√ 2 2

1

√

2

(t − 1) 1 +

t2

dt .

√ Primitivní funkci F (t) k funkci f (t) = (t2 − 1) 1 + t2 nalezneme např. substitucí t = sinh u nebo 1. Eulerovou substitucí. Dostáváme F (t) =

√ √ 5 1 t (2t2 − 3) 1 + t2 − ln(t + 1 + t2 ) , 8 8

a potom √ √ S = πa2 −F (1) + F (0) + F (2 2) − F (1) = 10πa2 2 .

b) Pro výpočet použijeme vzorec (31) 2√2a

S = 2π

0

x2 2 x 1 + 2 dx = πa2 a 3

182

x2 1+ 2 a

3 2

=

52 2 πa . 3

324. Přímka y = a protíná oblouk cykloidy x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π, v bodech A a B. Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací oblouku cykloidy AB kolem přímky y = a (viz obr. 11). y−a

P A P

B

y=a

2πa

πa Obr. 11

Body A a B odpovídají hodnotám parametru t = π2 a t = 32 π. Posunutím počátku do bodu (0, a) a souřadných os na přímky u = x, v = y − a, přejdeme k souřadné soustavě (P , u, v). V této souřadné soustavě má oblouk cykloidy AB parametrické rovnice u = a(t−sin t), v = −a cos t, t ∈ π2 , 32 π. Pro výpočet použijeme vzorec (32)

S = 2π

= −4πa2

3 π 2 π 2

3 π 2

cos t sin

π 2

−a cos t a2 (1 − cos t)2 + a2 sin2 t dt =

t dt = −2πa2 2

3 π 2 π 2

sin −

t 3 16 √ + sin t dt = 2πa2 . 2 2 3

325. Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací elipsy x2 + 4y 2 = 36 (a) kolem osy x; (b) kolem osy y. √ a) Oblouk elipsy lze pro y ≥ 0 vyjádřit jako graf funkce y = 12 36 − x2 , −6 ≤ x ≤ 6. Tato funkce nemá na intervalu −6, 6 spojitou derivaci (tato derivace je na (−6, 6) neomezená), nelze tedy použít vzorec (30). Do stejné situace se dostaneme, vyjádříme-li oblouk elipsy pro x ≥ 0, y ≥ 0 jako graf √ 2 funkce x = 2 9 − y , 0 ≤ y ≤ 3, takže nelze pro výpočet použít ani vzorec (37). V takových případech si pomůžeme tak, že zvolíme nějakou vhodnou spojitě derivovatelnou parametrizaci dané křivky, například parametrické rovnice 2 2 elipsy xa2 + yb2 = 1 jsou x = a cos t, y = b sin t, t ∈ 0, 2π. Oblouk elipsy x2 + + 4y 2 = 36 pro y ≥ 0 vyjádříme parametricky, tedy x = 6 cos t, y = 3 sin t, t ∈ 0, π, a pro výpočet použijeme vzorec (32) S = 2π

π 0

3 sin t 36 sin2 t + 9 cos2 t dt = 36π

Hledaný integrál řešíme substitucí cos t = √ S = 24 3π

π 3

− π3

√2 3

π 0

sin t 1 −

sin ϕ a dostáváme

√ √ cos2 ϕ dϕ = 2 3π(4π + 3 3) .

183

3 cos2 t dt . 4

b) Oblouk elipsy x2 + 4y 2 = 36 pro x ≥ 0 opět vyjádříme parametricky x = 6 cos t, y = 3 sin t, t ∈ − π2 , π2 , a pro výpočet použijeme vzorec (34)

S = 2π

π 2

− π2

2

6 cos t 36 sin t +

9 cos2

t dt = 36π

Hledaný integrál řešíme substitucí sin t = √

argsinh √3

S = 12 3π

√ − argsinh 3

√1 3

π 2

− π2

cos t 1 + 3 sin2 t dt .

sinh ϕ a dostáváme

√ √ √ cosh2 ϕ dϕ = 12 3π 2 3 + ln(2 + 3 ) .

326. Vypočítejte obsah rotační plochy vzniklé rotací smyčky křivky 9x2 = y(3 − y)2 (a) kolem osy x; (b) kolem osy y. Smyčka křivky odpovídá hodnotám y ∈ 0, 3 a x ∈ − 23 , 23 (viz obr. 12).

1 −1

2 3

1

Obr. 12 √ Pro x ≥ 0, resp. x ≤ 0, lze křivku vyjádřit jako graf funkce x = 13 y(3 − y), √ y ∈ 0, 3, resp. x = − 13 y(3 − y), y ∈ 0, 3. Tato funkce nemá na intervalu 0, 3 spojitou derivaci, takže budeme postupovat stejně jako v příkladu 325. Zvolíme vhodnou spojitě derivovatelnou parametrizaci křivky 9x2 = y(3 − y)2, např. y = t2 , t ∈ R, pak parametrické rovnice křivky jsou x = 13 t(3−t2 ), y = t2 , √ √ t ∈ R. Oblouk smyčky křivky odpovídá hodnotám parametru t ∈ − 3, 3 . a) Pro výpočet použijeme vzorec (32) √3

S = 2π

√ − 3

t2

√ 3 56 π. (1 − t2 )2 + 4t2 dt = 2π √ t2 (1 + t2 ) dt = 5 − 3 √3

b) Při rotaci smyčky křivky kolem osy y uvažujeme pouze část křivky pro √ x ≥ 0, tj. t ∈ 0, 3 . Pro výpočet použijeme vzorec (34) √3

S = 2π

0

1 2 t (3 − t2 ) (1 − t2 )2 + 4t2 dt = π 3 3

184

√3 0

(3t − t3 )(1 + t2 ) dt = 3π .

327. Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací grafu funkce y = √ √ 0 ≤ x ≤ 4 2, kolem přímky 3y − 2x = 0.

x3 , 3

r(x) √

x 142 Obr. 13

√ 3 Vzdálenost r(x) (viz obr. 13) bodu (x, x3 ) od přímky 3y − 2x = 0 je rovna √ √ | − 2x + x3 | 1 √ 4 √ r(x) = = √ ( 2x − x3 ) , 0 ≤ x ≤ 2 . 11 11 Pro výpočet použijeme vzorec (40). Nejprve vyjádříme

1 + y 2 (x) dx =

ds =

√

1 + x4 dx

a dosadíme 4 √ 2

S = 2π

0

√

r(x) 1 +

x4

2 dx = √ π 11 0

√ 4

2

√ √ ( 2x − x3 ) 1 + x4 dx =

√ 4 4 √ √ 2 2 √ √ 2 2 4 √ √ π π 2x 1 + x dx − x3 1 + x4 dx . = 11 0 11 0 Integrál

4 √ 2

0

√ 2x 1 + x4 dx

2

řešíme substitucí t = x a pak například substitucí t = sinh u nebo 1. Eulerovou substitucí a dostáváme 4 √ 2

0

√ 4 2x 1 + x dx =

Integrál

√ 0

√

√ t√ 1 1 + t2 dt = 1 + t2 + ln(t + 1 + t2 ) 2 2 √ √ 6 1 √ = + ln( 2 + 3 ) . 2 2

2

√ 4 √ 2 3 x 1 + x4 dx 0

řešíme substitucí t = 1 + x4 a dostáváme √ 4 √ 3√ 2 √ 3 1 1 − . x3 1 + x4 dx = t dt = 4 1 2 6 0 185

!√2 0

=

Pro hledaný obsah S tedy dostáváme √ √ √

√ 6 1 √ 3 1 π 2 2π + ln( 2 + 3 ) − √ − S= √ = 2 6 11 2 11 2 √ √ π π = √ ln( 2 + 3 ) + √ . 22 3 11

IV.4.4.

Příklady

Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací dané křivky kolem osy x: √ 328. y = 2 x , 3

0≤x≤1

329. y = x , 330. y = e−x ,

0≤x≤a

336. y =

2 3 x2 , 3

0≤x≤1

337. y =

1 , x

|x| ≤ b

0≤x≤π

332. y = sin x ,

πx , 2b

|x| ≤ b

0≤x≤a

x , a

335. y = x

0≤x≤a

x 331. y = a cosh , a

333. y = a cos

334. 2ay = a2 + x2 ,

21 5 ≤x≤ 4 4

338. y = tg x ,

1≤x≤a 0≤x≤

π 4

Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací dané křivky kolem osy y:

339. x = ln y −

y2 − 1 ,

340. 4x + 2 ln y = y 2 ,

5 5 ≤y≤ 4 3

e−1 ≤ y ≤ e

ln 2 ≤ y ≤ ln 3

341. x = cosh y ,

−

342. 3x = 4 cos y , 343. y 2 = 2(x − 1) ,

344. x = a arcsin

π ≤y≤0 2

0≤y≤1

y + y(a − y) , a

3 a ≤y≤ a 4 4

Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací dané křivky kolem osy x: 345. y 2 = 4x ,

0≤x≤3

346. y 2 = 4 + x ,

−4 ≤ x ≤ 2 186

1 1 347. x = y 2 − ln y , 1 ≤ y ≤ e 4 2 √ a + a2 − y 2 2 − a − y2 , 348. x = a ln y

0
349. Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací grafu funkce y = e−x , x ≥ 0, kolem její asymptoty. Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací dané křivky kolem osy y: 350. y =

x2 , 2p

351. y = a cosh

0≤x≤b x , a

0≤x≤b

√ 1 (arcsin x + x 1 − x2 ), 2 √ √ 353. y = arcsin x + x − x2 352. y =

0≤x≤1

354. Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací grafu funkce √ a + a2 − x2 √ 2 − a − x2 , x ≥ 0 , y = a ln x kolem její asymptoty. 355. Dokažte, že pro objem V rotačního tělesa, které vznikne rotací množiny {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a cosh xa } kolem osy x, a pro obsah S rotační plochy, která vznikne rotací křivky {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ a, y = a cosh xa } kolem osy x, platí 2V = aS. 356. Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací oblouku křivky, který vytíná přímka y = 53 a na grafu funkce y = a cosh xa , kolem přímky y = 53 a. 357. Vypočítejte obsah rotační plochy vzniklé rotací oblouku paraboly y 2 = 2px, který na této parabole vytíná přímka x = p2 , kolem přímky y = p. 358. Povrch konvexního zrcadla je úsečí rotačního paraboloidu. Výška úseče je rovna h a poloměr úseče je roven R. Vypočítejte obsah povrchu zrcadla. 359. Nechť T je rotační těleso, které vznikne rotací množiny omezené parabolou ay = a2 − x2 a osou x kolem osy x. Vypočítejte poměr obsahu povrchu tělesa T k obsahu povrchu koule, která má stejný objem jako těleso T .

187

Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací dané křivky kolem osy x: 360. x = et cos t ,

y = et sin t ,

361. x = a(2 cos t − cos 2t) , 362. x = a cos t + a ln tg

t , 2

2kπ ≤ t ≤ (2k + 1)π

(k ∈ N)

y = a(2 sin t − sin 2t) y = a sin t ,

0 < y0 ≤ y ≤ a

√ 1 3 1 t , y = 4 − t2 , |t| ≤ 2 2 3 2 √ 364. x = 2 3 cos t , y = sin 2t 363. x =

365. x = cos t + ln tg

t , 2

y = sin t

Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací dané křivky kolem přímky l: √ 1 366. x = 2 sin t , y = sin 2t , 0 ≤ t ≤ π 4 a) l : y = 0; b) l : x = 0 367. x = a(t + sin t cos t) , a) l : y = 0;

0≤t≤

π 2

b) l : x = 0

368. x = a(3 cos t − cos 3t) , a) l : y = 0;

y = a sin2 t ,

y = a(3 sin t − sin 3t) ,

0≤t≤

π 2

b) l : x = 0

369. x = a(t sin t + cos t) ,


0≤t≤π

a) l : y = 0; b) l : x = −a 370. x = a(t − sin t) ,

y = a(1 − cos t) ,

0 ≤ t ≤ 2π

a) l : y = 0; b) l : x = 0; c) l : y = 2a; d) l : x = πa; e) l : y = a 371. x = a cos3 t , a) l : y = 0;

y = a sin3 t ,

0 ≤ t ≤ 2π

b) l : x = a

√ t 2 (t − 3) , |t| ≤ 6 3 a) l : y = 0; b) l : x = 0; c) l : x = 3

372. x = t2 ,

y=

at (3 − t2 ) , 3 a) l : y = 0; b) l : x = 0

373. x = a(t2 + 1) ,

y=

|t| ≤

188

√

3

Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky K kolem přímky l (návod: zvolte spojitě derivovatelnou parametrizaci křivky K): 374. K : x2 + (y − b)2 = a2 , 375. K : 4x2 + y 2 = 4 ;

a) l : y = 0;

376. K : 16y 2 = 2x2 − x4 ; 377. K : 3x2 + y 4 = y 2;

b ≥ a > 0;

l:y=0

b) l : x = 0

a) l : y = 0;

b) l : x = 0

l:x=0

378. K :

x2 y 2 + 2 = 1, a2 b

0 < b ≤ a;

379. K :

x2 y 2 − 2 = 1, a2 b

a ≤ x ≤ λa, λ > 1;

2

2

2

380. K : x 3 + y 3 = a 3 ;

a) l : y = 0;

a) l : y = x;

b) l : x = 0

a) l : y = 0;

b) l : x = 0

b) l : x + y = a

1√ x (x − 12) , 0 ≤ x ≤ 12; l : y = 0 6 √ √ 382. K : y = arcsin x + x − x2 ; l : y = 0 381. K : y =

383. Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací smyčky křivky 9ay 2 = = x(3a − x)2 kolem (a) osy x; (b) osy y. 384. Nechť S(a) je obsah rotační plochy, která vznikne rotací grafu funkce y = cos x, −π ≤ x ≤ π, kolem přímky y = a. Pro jaké a bude číslo S(a) nejmenší? Vypočítejte tento nejmenší obsah. 385. Nechť S(k) je obsah rotační plochy vzniklé rotací cykloidy x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π, kolem přímky y = ka, 0 ≤ k ≤ 2. 1) Vypočítejte S(k). 2) Pro jaké k bude číslo S(k) nejmenší? Vypočítejte tento nejmenší obsah. 386. Na kružnici o poloměru R je vyznačen oblouk AB úhlové délky 2α. Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací oblouku AB kolem přímky obsahující tětivu AB. 387. Na kružnici o poloměru R je vyznačen oblouk AB úhlové délky 2α. Přímka, která je rovnoběžná s tětivou AB, vytíná na oblouku AB menší oblouk CD úhlové délky 2β (β < α). Rotací oblouku AB kolem přímky CD vznikne rotační plocha. 1) Vypočítejte obsah této rotační plochy. 2) Pro jaké β bude obsah této rotační plochy nejmenší? Vypočítejte tento nejmenší obsah. 189

388. Vypočítejte obsah rotační plochy vzniklé rotací oblouku paraboly y 2 = 2px, který na této parabole vytíná přímka y = 2x, kolem přímky y = 2x. Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky zadané v polárních souřadnicích, kolem polární osy: 389. r = 2a sin ϕ

390. r =

cos 2ϕ

391. r 2 = a2 sin 2ϕ 392. r = a + b cos ϕ ,

1) a > b; 2) a < b

Vypočítejte obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky zadané v polárních souřadnicích, kolem přímky l: 393. r = a(1 + cos ϕ) a) l : polární osa; b) l : r cos ϕ = 2a; c) l : 4r cos ϕ = −a 394. r 2 = 2a2 cos 2ϕ a) l : polární osa; b) l : ϕ = π2 ; c) l : ϕ =

190

π 4

Dodatky D.1

Vybrane´ vztahy mezi funkcemi

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi: sin2 x + cos2 x = 1

π sin ± x = cos x 2 π cos ± x = ∓ sin x 2

π = − cos x sin x − 2 π cos x − = sin x 2

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos2 x − sin2 x

sin2 x =

1 (1 − cos 2x) 2

cos2 x =

1 (1 + cos 2x) 2

sin(x±y) = sin x cos y±cos x sin y

cos(x±y) = cos x cos y∓sin x sin y

x−y x+y cos 2 2 x−y x+y sin sin x−sin y = 2 cos 2 2

x−y x+y cos 2 2 x−y x+y sin cos x−cos y = −2 sin 2 2

1 (cos(x − y) − cos(x + y)) 2 1 cos x cos y = (cos(x − y) + cos(x + y)) 2 1 sin x cos y = (sin(x − y) + sin(x + y)) 2 1 2 tg x2 tg x = sin x = cotg x 1 + tg2

x 2

cos x+cos y = 2 cos

sin x+sin y = 2 sin

sin x sin y =

sin x 1 − cos x x = = 2 1 + cos x sin x tg x sin x = sgn cos x 1 + tg2 x

tg(x ± y) =

tg

cos x =

tg x ± y 1 ∓ tg x tg y

cos x = sgn cos x

191

1 − tg2 x2 1 + tg2 x2

1 1 + tg2 x

Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi: √ arcsin x = arccos 1 − x2 , (0 ≤ x ≤ 1) π arcsin x + arccos x = , |x| ≤ 1 2 π 1 arctg x + arctg = sgn x , x = 0 x 2 π arctg x + arccotg x = 2 x arcsin x = arctg √ , |x| < 1 1 − x2 x arctg x = arcsin √ 1 + x2

arcsin x + arcsin y = (−1) arcsin x 1 − ε

y2

√ 2 + y 1 − x + επ ,

kde ε = 0 ⇔ xy ≤ 0 ∨ x2 + y 2 ≤ 1; ε = sgn x ⇔ xy > 0 ∧ x2 + y 2 > 1. x+y arctg x + arctg y = arctg + επ , 1 − xy kde ε = 0 ⇔ xy < 1; ε = sgn x ⇔ xy > 1. Vztahy mezi hyperbolickými funkcemi: cosh2 x − sinh2 x = 1 cosh x + sinh x = ex cosh x − sinh x = e−x sinh 2x = 2 sinh x cosh x cosh 2x = sinh2 x + cosh2 x 1 sinh2 x = (cosh 2x − 1) 2 1 cosh2 x = (cosh 2x + 1) 2 Vyjádření inverzních funkcí k hyperbolickým funkcím logaritmy: √ argsinh x = ln x + x2 + 1 √ argcosh x = ln x + x2 − 1 , x ≥ 1 1 1+x ln , |x| < 1 2 1−x 1 x+1 , |x| > 1 argcotgh x = ln 2 x−1

argtgh x =

192

D.2

Shodne´ transformace karte´zskyćh sourˇadnic v rovineˇ

Věta. Jakýkoli přechod od jedné soustavy kartézských souřadnic v rovině k jiné stejně orientované soustavě kartézských souřadnic lze provést jedním posunutím a jedním otočením. Věta (posunutí). Transformace souřadnic bodu X při přechodu od kartézské soustavy (O; x, y) ke kartézské soustavě (O ; x , y ), přičemž osy x , y jsou rovnoběžné po řadě s osami x, y a mají stejnou orientaci a počátek O má v soustavě (O; x, y) souřadnice m, n, je dána vzorci x = x − m , y = y − n ; a naopak

x = x + m , y = y + n .

Věta (otočení). Transformace souřadnic bodu X při přechodu od kartézské soustavy (O; x, y) ke kartézské soustavě (O; x , y ), které vznikne pootočením kolem společného počátku o úhel α je dána vzorci x = x cos α + y sin α , y = −x sin α + y cos α ; a naopak

x = x cos α − y sin α , y = x sin α + y cos α .

Věta. Při jakémkoli přechodu od kartézské souřadné soustavy (O; x, y) ke kartézské soustavě (O ; x , y ) se transformuje podle vztahů x = (x − m) cos α + (y − n) sin α , y = −(x − m) sin α + (y − n) cos α , kde čísla m, n jsou souřadnice nového počátku O v soustavě (O; x, y) a α je úhel otočení os souřadnic, a naopak x = x cos α − y sin α + m , y = x sin α + y cos α + n .

193

D.3

Pola´rnı´ sourˇadnice

Poloha bodu P určená polárními souřadnicemi r, ϕ (viz obr. 14): • souřadnice r je vzdálenost bodu P od pevně zvoleného počátku souřadnic O (pól), • souřadnice ϕ je orientovaný úhel, který svírá úsečka OP s pevně zvolenou polopřímkou p s počátečním bodem O (polární osou) P

r

ϕ O

p Obr. 14

Pro polární sořadnice r, ϕ platí r ≥ 0,

0 ≤ ϕ < 2π .

Přechod mezi kartézskými a polárními souřadnicemi, je-li pól v počátku kartézské soustavy a polární osa je kladná část osy x, je dán vztahy x = r cos ϕ , a naopak

y = r sin ϕ ;

r=

x2 + y 2 ,

y pro x > 0, y > 0, ϕ = arctg x π ϕ= pro x = 0, y > 0, 2 y pro x < 0, ϕ = π + arctg x 3 ϕ = π pro x = 0, y < 0, 2 y pro x > 0, y < 0. ϕ = 2π + arctg x

194

Vy´sledky I.1 *) 7 7 6. 27x − 9x3 + 95 x5 − x7 7. 625 x3 − 125x4 + 30x3 − 10 x6 + x7 8. x − x1 − 2 ln |x| 3 3 √ √ √ √ 2 12 4 a3 9. a ln |x| − ax − 2x 10. 2 x( x3 + 1) 11. 45 x 4 x − 24 x x5 + 43 x3 12. − √33x (1 + 2 17 2

+7) + 32 x − 35 x2 + 18 x3 ) 13. 4(x7 √ 14. ln |x| − 4x1 4 15. x − arctg x 16. −x + 12 ln | 1+x | 4x 1−x √ x x x x−1 4 6 9 2 17. x + 2 ln | x+1 | 18. arcsin x + ln(x + 1 + x2 ) 19. ln 4 + 2 ln 6 + ln 9 20. − 5x ln 5 + + 5·2x1ln 2 21. x − cos x + sin x 22. (sin x + cos x) sgn(cos x − sin x) 23. −x − cotg x (2x−3)11 24. a cosh x+b sinh x 25. x−tgh x 26. x−cotgh x 28. ln |x+a| 29. 30. − 14 (1− 22 √ √ √ √ √3x −3x) 3 1 − 3x 31. − 25 2 − 5x 32. − 52 5 (1 − x)2 33. √16 arctg 32 x 34. 2√1 6 ln √2+ 2− 3x √ √ x−1 √ 35. √13 arcsin 32 x 36. √13 ln | 3x + 3x2 − 2 | 37. √27 arctg 2x−1 38. 14 ln | 3x+1 | 7

√ 2x 2 2 − x + 2) √ 39. arcsin x+1 40. ln 4x−1+2 2(2x 41. e2 −ex +x 42. −e−x − 12 e−2x 2 2 43. − 15 cos 5x − x sin 5α 44. − 12 cotg(2x + π4 ) 45. tg x2 46. − cotg x2 47. − tg( π4 − x2 ) cosh(2x+1)+sinh(2x−1) 49. 2 1 x 1 sinh 2x 53. + sinh 2x 4 2 4

2 tgh x2 50. x2 − 14 sin 2x 51. x2 + 14 sin 2x 52. − x2 + 1 1 54. 38 x − 14 sin 2x + 32 sin 4x 55. 38 x + 14 sin 2x + 32 sin 4x + x 1 1 56. tg x − cotg x 57. − cotgh x − tgh x 58. 2 cos α − 4 sin(2x + α) 59. 4 sin 2x − 1 5 1 π sin 8x 60. 3 sin x6 + 35 sin 56 x 61. 12 cos(x + 12 π) − 10 cos(5x + 12 ) 62. 23 sinh3 x − 16 3 3 1 3 1 63. 18 sinh 4x + 14 sinh 2x 64. − 16 cos 2x − 64 cos 4x + 48 cos 6x + 128 cos 8x − 192 cos 12x 2 2 x|x| x |x| 2x (x+|x|) x −x 65. 2 66. 3 67. 68. e − 1, je-li x < 0; 1 − e , je-li x ≥ 0 69. x, je-li 3 2 3 3 cos πx 71. x − x3 , je-li |x| ≤ 1; |x| ≤ 1; x3 + 23 sgn x, je-li |x| > 1 70. [x]π − (−1)[x] [x] π 2 x − x2 |x| + 16 sgn x, je-li |x| > 1 72. x, je-li −∞ < x ≤ 0; x2 + x, je-li 0 ≤ x ≤ 1; √ 2 x2 + 12 , je-li x > 1 73. 12 f (2x) 74. 2 x 75. x − x2 76. x, je-li −∞ < x ≤ 0; ex − 1, je-li 0 < x < +∞ 48.

I.2 85.

√ − 1 − x2

86.

1 − 14 ln |3 − 2x2 | 87. − 2(1+x 2)

88.

− √x12 −1

89. 18

√ 3

8x3 + 27

4 √ √ 2 2 x −√2 1 4 93. − 12 e−x 94. cos x1 95. arctg x2 − 1 90. − 15(x51+1)3 91. 14 arctg x2 92. √ ln 8 2 x + 2 √ √ √ 98. 2e x 96. 2 arcsin x 97. (2 sgn x) ln |1 + x| + |x| 99. −2 cos x √ √ √ 2 1 x2 −√2x+1 2 α+2 + α+2 √ 100. √12 arctg xx√−1 101. ln 102. ln x 1 + x pro α+2 2 2 2 x2 + 2x+1 √ 1 1 (1 − x)12 − 11 (1 − x)11 α = −2; √12 ln |x| pro α = −2 103. 2 1 + 1 + x2 104. 12 105.

−x − 2 ln |x − 1| 106.

x2 2

− x + ln |x + 1| 107.

*)

x3 3

− 32 x2 + 9x − 27 ln |3 + x|

V kapitole I nejsou ve výsledcích uváděny přímo primitivní funkce, ale pouze funkce, které jsou nalezeny integrací bez ohledu na spojitost.

195

108.

x + ln(1 + x2 ) 109. −x + 2 ln |2 − x2 | +

√3 2

√

4 3 x5 − x4 + x3 − 5 − 8+30x (2 − 5x)3 375

√2 | 110. ln | x+ x− 2

112. 111. 13 (x + 1)3 − (x − 1)3 √ √ √ √ 3 3 1+2x 3 3 113. − 10 (1 − 3x)2 114. 2 3 (x + 1)2 −3 x + 1+3 ln |1+ x + 1| 115. 2 x−4 4 x+ √ 3 3 3 3 + 4 ln(1 + 4 x) 116. 14 (1 + x2 )7 − 38 3 (1 + x2 )4 117. − 140 (1 − x)4 (14x2 + 12x + 9)

−

x2 2

+ x − ln |x + 1|

√ √ 2 1 2 11 2 4 (1−5x ) 119. − 15 2 − x(3x +8x+32) 120. − 15 1 − x2 (3x +4x2 +8) 3 x 3 121. − 6+25x (2 − 5x3 )5 122. arctg ex 123. arcsin e2 124. 47 4 (1 + ex )7 − 43 4 (1 + ex )3 1000 √ x x 1 125. 2(ln 3−ln ln | 33x −2 | 126. ln12 arcsin 2x 127. ln( 1 + e2x − 1) − x 128. ln |ln(ln x)| 2) +2x √ √ 2 2 129. 23 (ln x − 2) 1 + ln x 130. − 14 ln 1+x 131. (ln(x + 1 + x2 ))3 132. 16 sin6 x 1−x 3 √ 2 133. − ln(1+cos x) 134. − ln | cos x| 135. ln | sin x| 136. ( 23 − 47 sin2 x+ 11 sin4 x) sin3 x √ √ √ √ 3 137. 2 cos x( 15 cos2 x−1) 138. − 1 + 2 cos x 139. 32 1 − sin 2x 140. − √1 ln | 2 cos x+ 2 √ √ √ + cos 2x| 141. √12 arcsin( 2 sin x) 142. √12 arcsin( 23 sin x) 143. √12 ln( 2 cosh x + √ √ √ a2 sin2 x+b2 cos2 x 2 4 4 2 2 , a = b 145. 2 sin x − 1 146. − cotg3 x + cosh 2x) 144. a2 −b2 3 √ tg x 147. 3 3 tgh x 148. √12 arctg( √2 ) 149. √16 arctg( 23 tg x) 150. − cos x + 13 cos3 x x 151. sin x− 13 sin3 x 152. 12 tg2 x+ln | cos x| 153. − 12 cotg2 x−ln | sin x| 154. 12 ln | 1+sin | 1−sin x 1 cosh x−1 1 1+sin x 1 1 155. 2 ln | cosh x+1 | 156. arctg sinh x 157. 2 ln | 1−sin x | − sin x 158. 2 cos2 x + ln | tg x| 159. ln | sin x|− 12 sin2 x 160. − 12 cos2 x+ 12 ln(cos2 x+1) 161. tg x+ 13 tg3 x 162. 13 tg3 x+ √ + 15 tg5 x 163. sin ln x 164. 14 ln2 tg x 165. etg x + ln | tg x| 166. 2 arctg esin x − √1 2 1 1 1 1 3 2 2 167. − arcsin x 168. − 6 arccos 2x 169. − 2 ln arccos x 170. 2 arctg x 171. arctg x 2 3 2 xα+1 1 1 1 3 2 x 172. arctg e 173. α+1 (ln x− α+1 ) 174. − x (ln x+2 ln x+2) 175. − 2x2 (ln x+ 2 ln x+ √ + 32 ln x+ 34 ) 176. x(ln2 x−2 ln x+2) 177. 23 x3 (ln2 x− 43 ln x+ 89 ) 178. − 27√8 x3 ( 94 ln2 x+ 118. − 1+55x 6600

2

2

2

2

+3 ln x+2) 179. (ln ln x−1) ln x 180. −(x+1)e−x 181. − x 2+1 e−x 182. x4 − x4 sin 2x− 2 − 18 cos 2x 183. − x2 cos 2x + x2 sin 2x + 14 cos 2x 184. −x cotg x2 185. x cosh x − sinh x 3 2 2 186. ( x3 + 2x ) sinh 3x − ( x3 + 27 ) cosh 3x 187. x tg x + ln |cos x| 188. −(x + (ln sin x + 9 √ 2 1 +1) cotg x) 189. x arctg x− 2 ln(1+x2 ) 190. x arcsin x+ 1 − x2 191. − x2 + x 2+1 arctg x 3 2√ 4 x3 192. x3 arccos x − 2+x 1 − x2 193. x 4−1 arctg x − + x4 194. − x1 arcsin x + 9 12 √ √ 2 −1 | 195. −x − 1 − x2 arccos x 196. − 13 (1 − x2 )3 arcsin x + x9 (3 − x2 ) + ln | 1−x x √ √ 2 3 197. x ln(x + 1 + x2 ) − 1 + x2 198. x + x 2−1 ln 1+x 199. x3 ln 1−x − 13 ln |x2 − 1−x 1+x √ √ √ 2 − 1| − 13 x2 200.√ 1 + x2 (ln x − 1) + ln 1+ x1+x 201. 2 x + 1 (ln(x2 − 1) − 4) + √ √ √ √ 2 √2 202. + 2 2 ln √x+1+ 1 + x2 ln(x + 1 + x2 ) − x 203. x2 ln |1 + x1 | + x2 − x+1− 2 3

x−1 − 12 ln |x + 1| 204. − cos x ln tg x + 12 ln | cos | 205. 13 (x3 − 1)ex 206. x arcsin2 x + cos x+1 √ 2 + 2 1 − x2 arcsin x − 2x 207. x 2+1 arctg2 x − x arctg x + 12 ln(1 + x2 ) 208. x ln2 (x + √ √ √ x 1 x + 1 + x2 )−2 1 + x2 ln(x+ 1 + x2 )+2x 209. − 2(1+x 2 ) + 2 arctg x 210. 2a2 (a2 +x2 ) + √ √ √ √ √ √ x 2( x − 1)e 212. 2e x (x2 x − 5x2 + 20x x − 60x + 120 x − + 2a13 arctg xa 211. √ √ √ √ √ − 120) 213. 2 x(6 − x) cos x + 6(x − 2)√sin x 214. (x + 1) arctg x − x x 2 arccotg e 215. − − x + 12 ln(e2x + 1) 216. x2 a2 − x2 + a2 arcsin xa 217. x8 (2x2 + ex

196

√ √ 4 +a2 ) a2 + x2 − a8 ln(x+ a2 + x2 ) 218. x2 (sin ln x−cos ln x) 219. x2 (sin ln x+cos ln x) √ 3 ax 220. x10 (3 sin ln x − cos ln x) 221. a2e+b2 (a sin bx − b cos bx) 222. 12 (x − 1 − x2 )earccos x 223. 18 e2x (2 − sin 2x − cos 2x) 224. − 18 e−2x (2 + cos 2x − sin 2x) 225. x2 + 14 sin 2x + x − 10 (cos 2x + + 12 e2x − ex (cos x + sin x) 226. 12 ex (x sin x − x cos x + cos x) 227. ex ( x−1 2 x 1 e x−2 x + 2 sin 2x) + 50 (4 sin 2x − 3 cos 2x)) 228. x+1 229. x+2 e 230. ln(x + a) ln(x + b) n 231. ex (1 − x4 ) 232. xf (x) − f (x) 234. In = a1 xn eax − na In−1 235. In = x ln x − √ α+1 n − nIn−1 236. In = xα+1 lnn x − α+1 In−1 237. In = n1 xn−1 x2 + a − n−1 aIn−2 n 1 n−1 n−1 1 n−1 n−1 238. In = − n (cos x) sin x + n In−2 239. In = n (sin x) cos x + n In−2 n−1 n−1 1 n−1 1 240. In = n (cosh x) sinh x − n In−2 241. In = n (sinh x) cosh x + n−1 I n n−2 cos x sinh x 1 n−2 1 n−2 −x 8 242. In = − n−1 + I 243. I = + I 244. −e (x + n n−1 n−2 n−1 coshn−1 x n−1 n−2 sinn−1 x 4 3 2 7 6 5 + 8x + 8.7x + 8.7.6x + · · · + 8!x + 8!) 245. x(ln x√− 4 ln x + 12 ln x − 24 ln x + 4 3 1 ) 247. 16 x2 + 9( 83 x5 − 30x3 + 405x) − + 24) 246. x4 (ln3 x − 34 ln2 x + 38 ln x − 32 √ 1 1 ln(x + x2 + 9) 248. 15 sin x (3 cos4 x + 4 cos2 x + 8) 249. − 96 sin 2x (8 sin4 x + − 3645 16 2 5 1 cos x 3 cos x 3 cos x−1 1 sinh x 5 sinh x + + 10 sin x + 15) + 16 x 250. − 4 sin4 x − 8 sin2 x + 16 ln | cos x+1 | 251. 6 cosh6 x + 24 cosh4 x

5 sinh x √ + 58 arctg ex 253. √1ab arctg ab x 254. √135 arctg 75 x 255. √231 arctg 4x−5 16 cosh2 x 31 2 √ x −( 2+1) 1 3x+5 1 3x−5 1 1 2 256. 6 ln | 1−3x | 257. 16 ln | 5x−3 | 258. 4√2 ln x2 +(√2−1) 259. 2 ln(x + x + 1) + √ α √ + 33 arctg 2x+1 260. 12 ln(x2 − 2x cos α + 1) + (cotg α) arctg x−cos 261. 14 ln(x4 − x2 + sin α 3 2 x−5 cos x +2)+ 2√1 7 arctg 2x√−1 262. 19 ln |x3 +1|(x3 −2)2 263. 12 ln | 3 sin | 264. 12 arctg tg2 x 7 x−cosx √ sin √ |b| 266. √1 ln bx + a + bx2 , je-li b > 0; √1 arcsin x , je-li a > 0, b < 0 a b |b| √ √ √ √ 267. ln |x+ 12 + x2 + x| 268. 22 arcsin 4x−3 269. ln(x−1+ x2 − 2x + 5) 270. arcsin x+2 5 21 √ √ 2 +3 4 4 2 4x 2 sin x−1 2 √ 271. 4 arcsin 17 272. arcsin 273. ln cosh 2x + 2(sinh x + cosh x) 3 √ √ 4 √ √ 275. x2 + x + 1 + 12 ln(x + 12 + x2 + x + 1) 274. − 5 + x − x2 + 12 arcsin 2x−1 21 √ √ √ 2 276. 12 x4 − 2x2 − 1+ 12 ln x2−1+ x4 − 2x2 − 1 277. − 12 1 + x2 − x4 + 34 arcsin 2x√−1 5 √ √ √ 2x+1 2 + 9 arcsin 2x−1 2 + 7 ln(x+ 1 + 2 + x + x2 ) √ 278. 2x−1 2 + x − x 279. 2 + x + x 4 8 8 2 3 √4 √ 2 x2 +1 1 4 2 4 2 280. 4 x + 2x − 1 − 2 ln x + 1 + x + 2x − 1

+

I.3

3

|x+3| ln | x−1 | 289. 13 ln | x−1 | 290. ln (x+2) 291. ln |(x − 2)(x + 5)| 292. 25 ln |x − 2 x+3 x+2 1 1 ln |2x + 1| 293. 29 ln | x−1 | − 3(x−1) 294. x + 3 ln | x−3 | 295. x + 16 ln |x| − − 2| + 10 x+2 x−2

288. 14

9

8

7

6

5

4

3

2

ln |x − 3| 296. x9 − x8 + 3x7 − 5x6 + 11x − 21x + 43x − 85x + − 92 ln |x − 2| + 28 3 5 4 3 2 1 x−1 3 2 11 3 2 + 171x + 3 ln | (x+1)1024 | 297. 2 x + 2 ln |x − 2| + 2 ln |x + 2| 298. ln(x + 6x + 13) + 299. x + 3 ln(x2 − 6x + 10) + 8 arctg(x − 3) 300. x + 13 arctg x − 83 arctg x2 + 52 arctg x+3 2 (x−1)4 (x−4)5 (2x−1)2 (2x−5)3 (x−2)7 (3x−1)3 1 1 301. ln (x+3)7 ln + 302. 18 ln 303. 304. x+1 10 2x+3 15 (x+1) 308. 311.

(3x+1)9 (2x−3)2 (x−1)3 1 307. ln ln 11 2 33 x 2 (x−2)(x+2)16 5 3 2 2 (x+1)(x+2) (x−2) x 1 x+1 4 x−2 5 9x +50x+68 1 + x2 +4x+ln x(x+2) 310. 4(x+2)(x+3) 3 309. 12 ln( x−1 ) | x+2 | 2 + 8 ln 3 (x+3)17 2 2 2 3x +3x−2 3 x+1 1 x−3 2 x+2 3 − 8(x−1)(x+1) 313. arctg x+ 56 ln xx2 +1 314. x2 + 2 + 16 ln | x−1 | 312. 60 ln( x+3 ) | x−2 | +4

+ 12 ln |x2 − 1| 305. − x25x−6 + 4 ln | x−1 | 306. −3x+2 x−2

197

+

x(x−2)(x+1)√|x2 −1| 315. 12 ln x+2

317.

2

arctg x + 14 ln (x+1) x2 +1

(x−1)2

√

316. 202

√

√2 | − ln | x− x+ 2

√

3 15

arctg √x3

1 1 1 8 x − x−2 − arctg(x − 2) 318. − 5(x−1) + 50 ln x2 +2x+2 − 25 arctg(x + 1) 319. ln | x+1 |−

√ √ √ (x+1)2 (x−1)2 2 3 1 3 2x−1 1 3 2x+1 √ √ √ arctg 2x+1 320. ln 321. ln 2 −x+1 + 3 arctg 2 +x+1 + 3 arctg 3 6 x 6 x 3 3 3 √ 2 1 x −x+1 2x+1 √ + arctg 2x−1 √ )) 323. 1 ln | x−1 | − 1 arctg x 322. 16 (ln | x−1 | + ln − 3(arctg 2 x+1 √ 2 x +x+1 4 x+1 3 √3 √ √ √2 2 x 2 x2 +√2x+1 √ 324. arctg x − 2 arctg 325. 8 (ln 2 + 2(arctg( 2x − 1) + arctg( 2x + 1))) 2 x − 2x+1 √ √ √ √ √ 1 x−1 2 x2 +√2x+1 326. 8 ln | x+1 | − 2 arctg x + 2 ln x2 − 2x+1 + 2(arctg( 2x − 1) + arctg( 2x + 1)) √ √ √ 2 2 3 2x+1 2x−1 √ √ ) 328. 1 ( 3 ln x +√3x+1 + 2 arctg x + + (arctg + arctg 327. 14 ln xx2 +x+1 −x+1 6 3 x2 − 3x+1 √ √ √3 √ 6√ 2 √ √ √ √ √ 2− 2 x2 +√2− 2x+1 2+ 2 x2 +√2+ 2x+1 +arctg(2x+ 3)+arctg(2x− 3)) 329. 16 ln 2 + 16 ln 2 + √ √ x − 2+√ 2x+1 √ √ √ √ √ x√− 2− 2x+1 √ √ √ √ √ 2 2 2 2 2 2 √ 2− √ 2− √ 2+ √ 2+ arctg 2x+ +arctg 2x− + 2− arctg 2x+ +arctg 2x− + 2+ √ √ √ √ 8 8 2+ 2 2+ 2 √ 2− 2 2− 2 √ 2 (x−1)2 1 1 3 2x−1 1 3 2x−1 √ √ 330. − 6(x+1) + 16 ln x(x+1) 331. ln 2 −x+1 + 2 arctg x − 9 arctg 2 +x+1 − 3 arctg 6 x 3 3 2 2 8 2 x +x+2 332. 25 ln xx2+2x+2 1 + 5 arctg(x+1)− 5 arctg(2x+1) 333. a+2b+3c = 0 334. − 8(x−1)(x+1)2 + +x+ 2 √ 2 x(3x2 +5) 1 x+1 2 3 3 √ + arctg 2x−1 336. + 16 ln | x−1 | 335. 3(x3x+1) + 9(x(x+1) 2 −x+1) 2 + 8 arctg x 9 8(x2 +1) 3 √ √ √ 4 3 2x+1 1 x 3 2 x2 +√2x+1 √ 337. 3(x2x+1 + arctg 338. +arctg(x+1) 339. + (ln + 2 +x+1) 2 9 4(x4 +1) 32 √ x2 − 2x+1 3 √ √ x +2x+2 2 (x−1) 8 3 √ + 2(arctg( 2x − 1) + arctg( 2x + 1))) 340. 3(x5x+2 arctg 2x+1 2 +x+1) + 9(x2 +x+1) + 9 3 1 7x5 −11x 21 x−1 21 57x4 +103x2 +32 57 x+1 341. 32 ( (x4 −1)2 + 4 ln|x+1|− 2 arctg x) 342. −8x(x2 +1)2 − 8 arctg x 343. 2(x2 +x+1)2 (1−x) 3 +2x (x2 +1)2 486x5 −357x4 +810x3 +315x2 −312x+448 x 344. − (x+1)(x2 +x+1)2 345. 6(xx4 +x 347. − x5 +x+1 2 +1) 346. − 1922(x3 +x+1)2 1 3 3 1 1 x2 −1 348. aγ + cα = 2bβ 349. − 96(x−1) 96 − 97(x−1)97 − 98(x−1)98 − 99(x−1)99 350. 8 ln | x2 +1 | − √ √ 2 2 4 2 1 − 14 arctg x2 351. 123 arctg √x 3 352. 13 arctg x3 + 63 arctg 2x√−1 + 12 ln x(x4 −x+1) 2 +1 3 √ √ 4 4 5 5 4 4 1 √10 |) 355. x + 1 ln x4 +1 4 353. 58 ln x4x+2 − ln x4x+1 354. − 100 ( x10x−10 + 2010 ln | xx5 − 4 4 (x +2) + 10 5 +2 1 1 5 356. − 10(x10x +2x 357. n1 (xn − ln |xn + 1|) 358. 2n (arctg xn − 5 +2) − 10 arctg(x + 1) n |x7 | x(x4 −5) 1 x10 1 x10 1 − x2nx +1 ) 359. 20 ln x10 360. 10 ( x101+1 + ln x10 ) 361. 17 ln (1+x 7 )2 362. 5 ln | x5 −5x+1 | +2 +1 √ √ 2 √ √ √ 4 2x2 +(1− 5)x+2 3 √2x +1 √ √ ) 363. 55 ln 2x2 +(1+√5)x+2 364. 82 ln xx4 − 365. (arctg 2x+1 + arctg 2x−1 3 + 2x2 +1 3 3 √ √ √ √ 2 3 x +√3x+1 1 1 366. 12 ln 2 + 2 (arctg(2x + 3) + arctg(2x − 3)) 367. arctg x + 3 arctg x3 x − 3x+1 √ √ √ 2 √3x+1 + 3 (arctg 2x+1 √ √ ) 368. − 5x15 + 3x13 − x1 − arctg x 369. 123 ln xx2 + + arctg 2x−1 6 − 3x+1 3 3

−

I.4.1

√ √ √ √ √ √ 2 x − 2 ln(1 + x) 374. x −√2 x + 2 ln(1 √ + x) 375. 2 x − x − ln(1 + 2 x) √ 3x 6 x−1 x 4 x 3 3 7 2 4 √ √ √ √ 376. ln ( √ 377. 4 ln (1+ √ 378. (1+ √ 6 x+1)6 6 x )2 (1− 6 x+2 3 x)3 − 14 arctg 4 x)2 − 1+ 4 x 7 √ √ 379. x + 4( x + 1 + ln | x + 1 − 1|) 380. 34 t4 − 32 t2 − 34 ln |t − 1| + 15 ln(t2 + t + 2) − 8 √ √ √ , kde t = 3 2 + x 381. 6t − 3t2 − 2t3 + 3 t4 + 6 t5 − 6 t7 + 3 ln(t2 + 1) − − 2756 7 arctg 2t+1 2 7 7 √ √ 5 √ 2 +t+1 6 1 2 2 2 + −6 arctg t, kde t = x + 1 382. 2 (x −x x − 1+ln |x+ x − 1|) 383. 13 ln tt2 −2t+1 373.

√ 2 3 3

x √ arctg 2t+1 + t32t−1 , kde t = 3 x+1 384. 3a2 arcsin 2a − 3a+x x(2a − x) x−1 2 3 √ √ √ √ 4 9 3 x+4−2 5 x+1 5 at 2a t2 +√2t+1 5 − ( 385. 2( x + 4 + ln | √x+4+2 |) 386. 54 ( x+1 ) ) 387. − + ln − x 9 x 1+t4 8 t2 − 2t+1

+

198

√

√

√

2a (arctg( 2t−1)−arctg( 2t+1)), kde t = 4 a−x 388. − 32 4 x √ √ 2 390. 2x+a+b (x + a)(x + b) − (b−a) ln( x + a + x + b ), 4 4 √ √ √ n n x−b 1 391. b−a 392. x + 2 x − x(1 + x) − ln( x + x x−a 2

−

I.4.2

√

404. 2255

√

√5+1 + ln 2t+ 2t− 5+1

2(4t−3) , 5(t2 +t−1)

kde t = −x +

3

389. 2 arcsin

x−a b−x

x + a > 0, x + b > 0

+ 1)

x(1 + x)

x+1 x−1

405. 18 13 (t

− 1)3 +

+ 13 (t − 1)−3 + (t − 1)2 − (t − 1)−2 + (t − 1) + (t − 1)−1 + 12 ln |t − 1|, kde t = √ √ √ = x + x2 − 2x + 2 406. 2 ln |x − x2 − x + 1| − 32 ln |2x − 1 − 2 x2 − x + 1| − √ √ √ 2 +2x+2 408. x2 + x + 1 + − 2(2x−1−23√x2 −x+1) 407. ln(x + 1 + x2 + 2x + 2) + 1− x1+x √ √ √ √ 2 2 1+2x+2 √ x +x+1 409. 2(1− x +x+1) +ln |1+2x+2 x2 + x + 1| 410. x a2 − x2 + + 12 ln (2+x+2 x 2 x2 +x+1)2 2+x+√2(x2 +2x+2) √ √ √ a2 x 2 2 + 2 arcsin |a| 411. x + 2x + 2 + ln |x+ 1 + x + 2x + 2| − 2 ln x √ √ √ 2 2 +x+1 x +x+1 412. − xx+1 413. 3 ln(x + 32 + + ln(2x + 1 + 2 x2 + x + 1) + 12 ln 1−x+2x+1 √ √ √ √ √ √ √ 2 +3x+3 2 +1+ 2x 2 1 √ 415. 14 ln √ 2x +1√ + 12 + x x+1 ) 414. 42 ln √3x + x2 + 3x + 3)+ln( x+1 2 2 +10+ 7 14 3x +1− 2x 6x √ 2 √ √ √ 2(x +1)−x 416. ln(x + x2 + 1) + 22 ln √x2 +2 417. ln(x + x2 + 2) + arctg √xx2 +2 √ 2 √ √ √ √ √ 418. 22 arctg √ 2x 2 419. 42 ln √x2 −1+√2x 420. 2x−3 x2 + x + 1 − 18 ln(x + 12 + 4 1−x x −1− 2x √ √ √ 1 2 + 11 arcsin 2x−1 √ 1 + x − x 422. − 1 + 2x − x2 (2x2 +5x+ + x2 + x + 1) 421. 1−2x 4 8 6 5 √ √ 9 9 7 21 5 21 3 63 63 √ 423. ( x10 − 80 x + 160 x − 128 x + 256 x) x2 + 1− 256 ln(x+ x2 + 1) +19)+4 arcsin x−1 2 √ √ 5 2 3 4 6 2 x 424. ( x6 − a24x − a16x ) a2 − x2 + a16 arcsin |a| 425. ( x3 − 14 x + 37) x2 + 4x + 3 − 3 √ √ − 66 ln |x + 2 + x2 + 4x + 3| 426. 16 (2x2 + x + 7) x2 + 2x − 1 − 2 ln |x + 1 + √ √ √ + x2 + 2x − 1| 427. 2x−1 4x2 − 4x + 3+ 12 ln(2x−1+ 4x2 − 4x + 3) 428. 16 (2x2 + 4 √ √ √ 3 2 + 2x + 2) 429. x +2x x2 + 4 − 2 ln(x + + x + 1) x2 + 2x + 2 − 12 ln(x + 1 + x 4 2 √ √ √ √ 2 2 x −1+ x4 +1 1 x−2 √ + arcsin 432. ln + x2 + 4) 430. − ln 2+x+2 xx +x+1 431. x +x−1 x 2 x 5|x| √ √ √ 2 2 +x+1 2+x+2 1+x−x 1 2x−1 2−x+2 x √ 433. − 1 + x − x2 − ln − arcsin 434. − ln x 2 x+1 5√ √ √ 2 1−x+ 2(x +1) x2 +x+1 √ 435. ln 3+x+2x+1 + arcsin 2x+1 437. arcsin √ x−2 436. − 22 ln x+1 5 √ √ √ 2|x−1| √ √ 2−x x2 +2x−5 5 x+7 1 1+ x2 +1 x2 +1 2 439. √ 438. 3(1−x) 1 − x + arcsin 440. ln − 2 5(x+2) 25 2 x2 6|x+2| √ √ |x| √ √ √ 2 +3x+1 5(x+1)+2 x 2x2 +1 3x−5 11 5 2 −1 2 + 3x + 1 − 441. x 442. x ln 3 2 3x 20(x−1) 200 √ x−1 √ √ √ √ 2 2 3x+5 3 1 1+2x−x 2 2+ 1+2x−x 2 + 2x − x arcsin 444. − ln 443. 2 |x+1| 2(1−x) 2 1−x 8 8(x+1) √ √ 2 √ − 446. − x+1 1 + 2x − x2 + 2 arcsin x−1 445. 12 ln 3x+1+2x+1x −x−1 + arcsin √ x−3 2 5|x−1| 2 √ 2 √ √ √ √ 1−x+ 3(x +2x+3) 2 2x −4x+3 1 3 447. − x x−1 − 2 arcsin x−2 448. ln − − 22 arcsin x+1 9 √ √x+2 2 √ √ √ √ 2 2(x+2)+ 3(x +2x+3) 2 3+x+ 6(x +x+4) 1 449. ln 8+x+4 xx +x+4 − 126 ln − − 186 ln x−1 2 x−1 √

2

x +x+4 450. − 14 ln 7−x+4x+1

√ x+2 3 x2 +4x+7

− 23 ( √xx2 +1 )3 + 15 ( √xx2 +1 )5 453.

451. 89 √x2x+1 2 +x+1

√2(x−1) 3 x2 +x+1

454.

199

ln

2 √ 2x+1 ( x2 +x+1 )3 452. √xx2 +1 − 27 √ 2 √ √ 2(x +2x+4) 2 +2x+4−1 x 2 √ − 2 arctg x+1 x2 +2x+4+1

−

√3(x2 +x+1)−√2(x+1) √ 2(x2 +x+1) 6 √ + 455. 456. 6 ln 1−x x2 −x+1 1+x− 2(x +x+1) √ √ √ √ 3(x2 +x+1)+ 2(2x+1) 2 2(2x2 −x+2)− 7(1−x) √ √ √ √ 2 +x+1 458. 6414 ln √ + + 22 arctg √x2(1−x) √ √ 457. 66 ln √ 2 3(x +x+1)− 2(2x+1) 2 2(2x2 −x+2)+ 7(1−x) √ √ √ √ √ √ √ 2 −x+2 2 2(1−x) 2 √ √2+2x−x + 459. arcsin x−1 − 66 ln √6+ arctg √2+2x−x + 147 arctg 2 √2x 2 3 7(x+1) 3 6− 2+2x−x2 √ √ √ 2 x a2 x x x a 2 2 2 2 2 2 460. 2 a − x + 2 arcsin |a| 461. a2 √a2 +x2 462. 2 a + x − 2 ln(x + a + x ) √ √ √ √ 2 463. x2 a2 + x2 + a2 ln(x + a2 + x2 ) 464. a arcsin xa − a2 − x2 465. x2 − a2 − √ (b−a)2 x−a 2x−a−b −a ln(x+ x2 −a2 ) 466. 2 arcsin x−a 467. arcsin + (x−a)(b−x) b−a 4 b−a 4 √ 2 2

1+x+√2(x2 +x+1) √ √ 2 + 2 2 arctg ln

√

√ √ 2 ln( x + a+ x + b), je-li x+ a > 0, x+ b > 0; −2 ln( −(x + a) + −(x + b)), √ √ 2 je-li x+a < 0, x+b < 0 469. 2x+a+b (x + a)(x + b)− (b−a) ln( x + a+ x + b), kde 4 4 √ 2 √ √ √x +1 x + a > 0, x + b > 0 470. x4 x2 + 1 + x2 − 1 + 14 ln x+ x+ x2 −1 √ 2 √ √ √ 4 4 4 1 471. 3t − √ ln √3t2 + √4 12t+1 + 2 arctg( 12t + 1) + 2 arctg( 12t − 1) , kde t = 1+x 4 1−x √ √ 3 12 √ 3t − 12t+1 3 3 5 5 2 2 2 2 2 2 472. 1 + x − 1 − x − 2 arcsin x 473. 3 (x + (1 + x) ) + 5 (x − (1√ + x) 2 ) 468.

√

474. − 22

√

arcsin x2 2x 475. − +1

√

2 2

√ √ x4 +1+ 2x 476. 12 x2 −1

ln

2

2

2

4

2

x (2x +1+2 x −1 √ x +x +1) arcsin √ 477. 2x2 2(x2 +2+2 x4 +x2 +1)

I.4.3

√ √ √ √ √ √ −(6 6 x + 3 3 x + 2 x + 6 ln | 6 x − 1|) 482. − 32 (1 + 3 x)−2 483. 49 (1 + 4 x)−9 − √ √ 2 3 1 − 12 (1 + 4 x)−8 484. 35 t5 − 2t3 + 3t, kde t = 1 + x2 485. 16 ln t−1 + 12 ln tt2 −t+1 + t+1 +t+1 √ √ 6 3 2t+1 2t−1 5 5 9 4 5 6 + 6 (arctg √3 + arctg √3 ), kde t = 1 + x 486. − 9 t + 4 t , kde t = 1 + x1 √ 13 √ 10 11 8 5 3 487. 11 (x + 1) 3 − 34 (x + 1) 3 + 35 (x + 1) 3 488. 12 (1 + 4 x) 3 − 18 (1 + 4 x) 3 + 36 (1 + 3 5 7 √ √ √ √ √ 7 4 7 4 7 12 6 18 4 4 4 4 3 + x) 3 − 3(1 + x) 3 489. 7 (1 + x) 3 − 3(1 + x) 3 490. 7 (1 + x) 2 − 5 (1 + √ 3 √ 5 √ 3 √ 1 (2−x3 )2 3x3 +4 493. − + 3 x) 2 + 6(1 + 3 x) 2 − 6(1 + 3 x) 2 491. √xx2 +1 492. − √ 3 4x2 3 2 481.

8x (x +2) √ √ 4 (t+1)2 t+1 1 1+x4 t 1 √ , kde ln | t−1 | − 2 arctg t, kde t = x 495. 2(t3 +1) − 12 ln t2 −t+1 − 63 arctg 2t−1 3 √ √ 3 2 2 (t+1) 3t 1 3 2t−1 3x−x3 x 1+x √ t = 3 1−x 496. − ln − arctg , kde t = 497. (8x2 + 3 x2 2(t t2 −t+1 2 x 24 x 3 +1) 4 + 1) 498. m = k2 , kde k ∈ Z \ {0} + 2x − 3) + 18 ln x( 1+x x

494. 14

I.5.1

√

√

√

√2 cos x | 505. 3 (arctg 2 cos √x−1 −arctg 2 cos √x+1 )+ 503. 6(3 cos1x−1)2 504. 12 cos x− 3 4 2 ln | 1− 3 1+ 2 cos x 3 3 2 cos2 x−cos x+1 1 sin2 x 1 5−sin x 1 506. ln 507. ln 508. ln(3 + 4 sin x) 509. sin x− + 12 ln (cos 2 x+cos x+1)3 8 cos 2x 4 1−sin x 4 x 1 − 6 arctg sin x 510. ln 1+sin − 2 arctg sin x 511. 10 (x + 3 ln | sin x − 3 cos x|) 1−sin x x+a 1 512. ln | sin x + cos x| 513. x cos a − 2 sin a ln | sin 2 | 514. ab arctg( ab tg x) √ √ √ 2 tg x+1 x+1+√2 x 2 1 515. a(a sincos 516. 147 arctg √ 517. ln | tg | 518. 2−tg x+b cos x) 4 x 7 tg x+1− 2

−

2 sin x

√ √ 2 tg x+3−√13 c tg x+b 5 13 1 2 √ tg x) 520. ln | | 521. c√ac−b 2 arctg 2 , je-li ac > b 6 26 2 tg x+3+ 13 ac−b √ 17 ln | sin x|−ln | sin x+4 cos x|−4x tg x+ln | tg x| 1−sin x cos x 522. 523. 524. 16 ln 1+2 + 33 arctg 2 tg√x−1 68 2√ sin 3 √ √ xcos x √ 2 2 1−√2 sin x cos x 2 525. arctg(2 sin x − 1) 526. 4 ln 527. 2 arctg( 2 tg x + 1)+ 1+ 2 sin x cos x √ √ tg x 2 1 x cos x 528. 2 arctg sin x 529. 3 8 2 arctg √2 − 4(sinsin + arctg( 2 tg x − 1) 2 x+2 cos2 x) √

519. 3030

arctg(

200

√ √ √ √ √ √ arctg( ab tg x) 2+ 2 2 tg√ x+ 2+ 2 2 tg√ x− 2+ 2 sin x cos x + 531. arctg +arctg − √ √ 4 2ab3 2b2 (a2 sin2 x+b2 cos2 x) 2− 2 2− 2 √ √ √ √ √ √ √ √ 2 2 tg√ x+ 2− 2 2 tg√ x− 2− 2 532. arctg +arctg arctg(2tg x+ 3)+arctg(2tg x− 3) − 2− √ √ 4 2+√ 2 2+ √2 √ √ 2 2 x−sin x− 2 cos b cos x−a sin x− a +b 1 √ x− 3 sin x−2 535. √ 1 534. 533. 22 ln cossin ln ln x+cos x 2 √ a cos x+b sin x a2 +b2 3 cos x+sin x √ x 2 tg −(1− 5) x x 536. − 2 sin x+cos + 4255 ln 2 tg x2 −(1+√5) 537. 18 tg2 x2 + 12 tg x2 + 14 ln | tg x2 | 538. sin x−cos + 5 2 2 √ √ x √ √ tg −(1+ 2) √ε−1 tg x2 +√ε+1 2 1−ε x √ 1 + 42 ln tg x2 −(1−√2) 539. a) √1−ε arctg( tg ) b) ln 2 1+ε 2 ε−1 tg x2 − ε+1 ε2 −1 √ 2√ 4 tg x −1 3 tg x2 +√5 540. √1 ln √ 541. √2 arctg( 35 tg x2 ) 542. √2 arctg √ 2 543. 16 ln | tg x2 |+ 15 3 tg x2 − 5 15 15 15 (tg x2 +1)2 tg x2 1 1 + 56 ln | tg x2 − 3| − 12 ln | tg x2 − 1| 544. 1+tg ln + 545. x + ln x 2 1+tg 2 3 tg x2 −tg x2 +1 2 √ √ √ x x x 2 tg −1 2 tg −1 3 tg −1 + 2 3 3 arctg √23 546. 2 3 3 arctg √23 − 22 arctg 2√22 547. ln |1+tg x2 | 548. 3+92tg x 2 2 tg x2 +1 tg x −5 (c−a) tg x +b 1b 549. √215 arctg √15 550. ln | tg x2 −3 | 551. √ 2 2 2 2 arctg √ 2 2 2 2 552. A = aa1 2a+b , +b2 c −a −b c −a −b 2 x 3 1 , C ∈ R 553. − x5 − 35 ln | sin x + 2 cos x| 554. 10 + 10 ln | sin x − 3 cos x| B = aba12−ba +b2 √ b tg x2 −a−√a2 +b2 3x 5 a1 b−ab1 1 a1 a+b1 b √ 555. 34 + 34 ln |5 sin x + 3 cos x| 556. a2 +b2 a sin x+b cos x + ln x 2 2 b tg 2 −a+ a +b (a2 +b2 )3 1b 1 , B = aba12−ba , C = c1 − cA 558. − 3x + 45 ln | sin x − 2 cos x + 3| − 557. A = aa1 2a+b +b2 +b2 5 √ x x √ 5 tg +1 tg 2 559. −x + 2 ln | tg x +1 | 560. x2 − 12 ln( 2 + sin x + cos x) + (√2−1) 2tg x +1 − 65 arctg 22 2 2 √ √ 7+ 3(2 tg x −1) 2x 1 561. 5 − 5 ln |3 sin x+4 cos x−2|+ 5√421 ln √7−√3(2 tg x2 −1) 562. (cos 2a)x−(sin 2a) ln |1− 2 2b1 −(a1 −c1 )b )a+2b1 b 2 x+a − cos(x + a)| − 2(sin a) cotg 2 563. A = , B = − (a1 −ca21+b , C = 2 +b2 2 a √ √ 2 tg x2 −(1−√5) 2 1 4 5 = c1 − bA 564. − 5 sin x − 5 cos x + 25 ln 2 tg x −(1+ 5) 565. − sin x + 3 cos x + 2√ √ √ √ x−sin x− 2 1 3 5 2 cos x−sin x− 2 | 566. sin x + cos x + ln | | 567. 15 sin x + + 2 2 ln | cossin x+cos 2 4 sin x+cos x √ 2 xx √ 2 tg −(1− 5) x 2 )+b1 b 1 )+b1 b , B = a1 (a−λ 569. 14 ln 2−sin − + 35 cos x+ 8255 ln 2 tg x2 −(1+√5) 568. A = a1 (a−λ b(λ −λ ) b(λ −λ 2+sin x 2 1 1 2) 2 √ √ √ √ √ √ x 570. 6 ln √6+2 sin x+cos x + 3 arctg(sin x−2 cos x) 571. − 6 ln √6+2(sin x−cos x) + − 2 3 3 arctg cos 60 5 24 3 6−2 sin x−cos x 6−2(sin x−cos x) √ √ √ √ x+cos x)+√2 1 2 sin x−cos x 5 cos x−2 sin x− 5 1 √ 2 572. 573. + 3 8 2 ln 2(sin + ln | | a) · 2 2 10 (sin x+2 cos x) 5 sin x+2 cos x 1−ε 2(sin x+cos x)− 2 1−ε2 √ x √ 2 2 ε−1 tg + ε+1 ε sin x −3ε cos x−4 tg x2 ) − 1+ε b) 2(ε21−1)2 ε(1+ε + √εε2+2 ln √ε−1 tg x2 −√ε+1 · arctg( 1−ε 1+ε cos x cos x)2 −1 2 530.

I.5.2 3 7 5 9 11 5 7x 9 6 578. sin x− sin3 x 579. cos7 x − cos5 x 580. sin9 x − sin11 x 581. sin5 x − 2 sin + sin9 x 582. sin6 x − 7 8 10 8 10 12 5 7x + − sin4 x + sin10 x 583. sin162x − sin10 2x + sin24 2x 584. sin x cos2 x + 2 sin5 x 585. − 16 cos 7 5 3 24 cos5 x x sin 4x 5x 11 5 5 3 3 5 + 5 −3 cos x 586. 8 − 32 587. 16 − 16 sin x cos x− 6 sin x cos x− 16 sin x cos x 5 x 588. 5x + 16 sin5 x cos x + 56 sin3 x cos3 x + 11 sin x cos5 x 589. 16 − 16 cos5 x sin x + 16 16 5 1 1 4x+sin 8x x x cos3 x sin x + 16 sin x cos x 590. 24x−8 sin + sin3202x 591. 2 sin + 12 ln | 1+sin | + 24 2048 cos2 x cos x cos x 1 1−cos x 1 1+sin x sin3 x 1 1 592. − 2 sin2 x + 2 ln | sin x | 593. 2 ln 1−sin x − 3 −sin x 594. 3 cos3 x − cos x 595. − cos x− 4 2 2 x x − 2cos − 32 ln | 1−cos | 596. − cotg4 x 597. sin2 x − 2 sin1 2 x − 2 ln | sin x| 598. tg2 x + sin x sin2 x 4 2 2 x | 600. tg4 x + 3 tg2 x − cotg2 x + 3 ln | tg x| + ln | tg x| 599. cos1 x + 3 cos1 3 x + ln | 1−cos sin x 3 5 4 2 tg3 x 601. + 2 tg x − cotg x 602. − cotg3 x − cotg x 603. tg5 x 604. tg4 x − tg2 x − 3 201

5

3

5

3

− ln | cos x| 605. tg5 x − tg3 x + tg x − x 606. x − cotg5 x + cotg3 x − cotg x 607. cos2 x 1 608. ln | cos x| − cos 2x 609. sin22 x − 4 sin 610. a) In = − n1 sinn−1 x cos x + n−1 I 4x n n−2 1 n−1 1 5 5 3 5 n−1 b) Kn = n cos x sin x+ n Kn−2 , I6 = − 6 sin x cos x− 24 sin x cos x− 16 sin x cos x+ 5x 1 7 35 35 7 cos5 x sin x + 192 cos3 x sin x + 128 cos x sin x + 35x 611. a) + 16 , K8 = 8 cos x sin x + 48 128 cos x sin x 1 n−2 1 n−2 1 cos x 3 cos x + I b) K = + K , I = − − + In = − n−1 n 5 n−1 n−2 n−1 cosn−1 x n−1 n−2 sinn−1 x √4 sin4 x 8 sin24 x 3 1−cos x 1 sin x 5 sin x 5 sin x 5 1+sin x 3 3 + 8 ln | sin x |, K7 = 6 cos6 x + 24 cos4 x + 16 cos2 x + 16ln | cos x | 612. − 80 cos√4 x(5 cos x− √ 2 x+5 2 tg x 5 5 √ − 16 cos2 x + 20) 613. 28 sin4 x 7 − 2 sin2 x 614. 35 cos 615. (tg2 x + 3 cos x 5 √ √ 2 1 + 5) 616. 3tg√2x−3 617. − 32 √ 618. −2 cotg x + 23 tg3 x 619. 2 tg x − 3 tg x 2

tg x √ √ √ √ √ √ tg x+√2 tg x+1 x−√2 tg x+1 2 2 − 4 ln tg x− 2 tg x+1 + 2 (arctg( 2 tg x−1)+arctg( 2 tg x+1)) 620. 42 ln tg + tg x+√ 2 tg x+1 √ √ √ √ √ tg x+√2 tg x+1 2 2 + 2 (arctg( 2 tg x − 1) + arctg( 2 tg x + 1)) 621. 2 tg x − 4 ln tg x− 2 tg x+1 − √ √ √ √ √ √ √ x+√2 tg x+1 2 − 22 (arctg( 2 tg x−1)+arctg( 2 tg x+1)) 622. 42 ln tg + (arctg( 2 tg x− tg x− 2 tg x+1 2 √ − 1) + arctg( 2 tg x + 1)) 623. − 83 cos6 x + 3 cos4 x − 12 cos2 x 624. x4 + sin82x + sin164x + 3 3 3 cos 5x − 14 cos 7x + 22 cos 11x 626. − 12 cos(a − b) cos x − + sin246x 625. 32 cos x6 − 10 6 6 6 2(a−b)x 2(a+b)x 1 − 14 cos(x + a + b) + 12 cos(3x + a + b) 627. x4 + sin8a2ax + sin8b2bx + sin16(a−b) + sin16(a+b) sin(x+b) 3 1 3 1 1 628. 14 (− 34 cos 2x+ 16 cos 4x+ 12 cos 6x− 32 cos 8x+ 48 cos 12x) 629. sin(a−b) ln | sin(x+a) | x−a x−a sin cos cos(x+b) 1 2 2 2 630. cos(a−b) ln | sin(x+a) | 631. sin(a−b) ln | cos(x+a) | 632. cos1 a ln | cos x+a | 633. sin1 a ln cos x+a cos(x+b) 2 2 cos x 634. −x + (cotg a) ln | cos(x+a) | √

I.6 638. 13

10

x) ln (3−cosh cosh4 x

639. 13

2

√

x−sinh x+1 2 3 √ x−1 640. 5x − 2 ln(2 cosh x−sinh x) ln sinh(sinh + 3 arctg 2 sinh x+1)2 3 3 3

√ √ tgh√x−2 tgh x−2 sinh2 x 5 5 642. arctg 643. arctg tgh√x−2 644. 14 ln | tgh x+2 | 2 5 5 5 5 1 2 645. tgh 1x+6 646. 59 ln(2 + tgh x) − 18 ln(1 − tgh x) − 12 (1 + tgh x) − 3(2+tgh 647. −x + x) √ √ √ √ x+1 3 tgh x + 42 ln | √22 tgh | 648. − 22 arctg sinh22x 649. arctg(2 tgh2 x − 1) 650. 4(tgh − 2 x+2)√ tgh x−1 √ √ √ √ x √ x 651. − 4x − 3 ln|3 sinh x−4 cosh x| 652. 2 3 arctg 3ex 653. 3 ln| e −√3 | − 82 arctg tgh 7 7 3 3 2 ex + √3 √ √ √ 3 tgh x2 (tgh x2 −2+ 5)2 |2 tgh x2 −1− 5| 3 2 11 1 x 1 5 x 654. 33 arctg √11 655. 2 tgh 2 − 6 tgh 2 656. 15 ln (tgh x −2−√5)2 |2 tgh x −1+√5| 2 2 5 657. − 12 ln(1 + 2e−x ) 658. 15 ln |5 tgh x2 + 3| 659. 4x + ln |2 sinh x − cosh x√− 3 3 √ 2 tgh x2 −5+3 5 2 x 2x 1 5 − 1| + 3 ln |2 tgh 2 − 1| 660. 3 − 3 ln |4 cosh x + 5 sinh x + 6| − 15 ln | 2 tgh x −5−3√5 | 2 3 tgh x2 +1 5 tgh x2 +3 1 17 661. 18 (5 sinh x−3 cosh x− 15 ln | |) 662. (5 sinh x−3 cosh x− arctg ) x 4 tgh 2 +3 8 2 4 √ √ √ √ √ √ x 4 tgh +3 x−√3 x 5 663. 2121 ln √77 cosh − 147 arctg 7 sinh 664. − 17 ( 4 cosh x+3 + 4 7 7 arctg √72 ) 2 sinh x cosh x+ 3 3 4x 4x 665. − x8 + sinh 666. 3x + sinh4 2x + sinh 667. cosh3 x − cosh x 668. ln cosh x 669. x − 32 8 32 1 1 x x 671. − 32 ln | tgh x2 | − cosh − 2cosh 672. 4 sinh + − cotgh x 670. ln | tgh x2 | + cosh x x sinh2 x cosh4 x 5 3 4 sinh x x + 34 arctg ex 673. 32 sinh x − 2sinh − 32 arctg sinh x 674. tgh5 x 675. sinh4 x + + 83cosh 2 x cosh2 x tgh2 x 677. ln cosh x − 2 + sinh2 x + ln | sinh x| 676. tgh x + 2 cotgh x − 13 cotgh3 x √ tgh3 x 3 3 3 3 678. x − tgh x − 3 679. 55 sinh5 x (11 + 5 sinh2 x) 680. 55 tgh5 x (11 − 5 tgh2 x) √ √ 1+ tgh x 8x 6x 6x 4x 681. 12 ln | 1−√tgh x | − arctg tgh x 682. sinh − sinh 683. cosh − cosh − cosh8 2x 16 12 24 16

641. x2

+

sinh 2x 4

+

202

4

5

3

4x 6x + sinh8 2x + sinh + sinh 685. cosh4 x 686. sinh5 x + sinh3 x 687. 32 sinh5 x2 + 16 24 5 3 8x + 64 sinh7 x2 + 32 sinh9 x2 688. 25 cosh5 x−cosh3 x+ cosh x 689. sinh − x8 690. sinh48 2x + 7 9 64 3 4x x x 2x x 1 + sinh − 16 691. sinh − sinh + 16 692. a2 +b 2 (a cosh ax sin bx − b sinh ax cos bx) 64 24 32 1 693. a2 +b2 (a cosh ax cos bx + b sinh ax sin bx)

684. x4

I.7 1 x x + 1+e 697. ex − ln(1 + ex ) 698. x + 2 arctg ex 699. − x2 + x − ln(1 + e ) + 13 ln |ex − 1| + 16 ln(ex + 2) 700. arctg(2 sinh x) 701. x2 − 13 ln |ex − 1| − 16 ln(ex + 2) √ 1 1 1 702. x− 12 ln((1+ex ) 1 + e2x )− 12 arctg ex 703. x−ln |1−ex |+ 1−e x + 2(1−ex )2 + 3(1−ex )3 x x 1 704. 4 sinh (e−x + cosh 1(x − ln(1 + ex cosh 1))) 705. −x − 2e− 2 + 2 ln(1 + e 2 ) 706. x − 1 √ x x x −3 ln((1+e 6 ) 1 + e 3 )−3 arccotg e 6 707. x+ 8 x4 708. 2 arctg ex − 1 709. − ln( 12 + 1+e x √ √ √ √ 1−ex − 1+ex −x x −x −2x 2x 711. + + e + 1 + e + e ) 710. ln(e + e − 1) − 2 arctg eex −1 x +1 2e

696.

√

x

√

x

3

2

2

−1)(1−√1−e ) 2 + 14 ln ((√1+e 713. e3x ( x3 − x3 + 2x − 27 ) 714. −e−x (x2 +2) 715. −e−x (1+ x2 ) 9 1+ex +1)(1+ 1−ex ) 2

−x2

− e (x6 + 3x4 + 6x2 + 6) 717. 2et (t5 − 5t4 + 20t3 − 60t2 + 120t − 120), kde √ 2 2x − t = x 719. −e−x − li(e−x ) 720. e4 li(e2x−4 ) − e2 li(e2x−2 ) 721. e2 (x2 + 3x + 21 2 32 an ) + 64e4 li(e2x−4 ) 722. a1 + a1!2 + a2!3 + · · · + (n−1)! =0 − x−2 716.

I.8 1 723. 12

2

−2x+4 ln x(x+2) + 2

√

3 6

x3 3

1 − x1 − 3x3 √ 2 x+x3 1 1+x √ √ ) 727. 14 ln xx2 +x+1 + 3 (arctg 2x−1 + arctg 2x+1 − arctg x 726. 8(1−x 2 )2 − 16 ln | 1−x | −x+1 √ 6 3 3 √ √ √ 2 3 2x2√ +3x+2 3 x2 +√3x+1 3 2x−1 2x+1 √ √ 728. arctg 729. ln x2 − 3x+1 + 6 (arctg 3 + arctg 3 ) 3 12 3x √ √ √ √ √ 1 x4 4 6 3 √ x+1 − 730. 8 ( x8 +1 + arctg x ) 731. 6 x − 3 x + 2 x − 6 ln(1 + 6 x) 732. ln x+2−2 x+2+ x+1 √ √ √ √ √ 1+2√ x+1 2 3 1 2 − 3 arctg 733. ( x − 2) 1 − x − arcsin x 734. − 24 (8x + 10x + 3 √ √ √ 2 1 (3x4 − 4x2 + + 15) x(1 − x) + 58 arcsin x 735. − x2 1 − x2 − ln 1+ |x|1−x 736. 15 √ √ √ (1+t)2 2t−1 3 1−x √ − 3 arctg , kde t = + 8) 1 + x2 737. − 43 1 − x x 738. 12 ln 1−t+t 2 x 3 √ √ 1 2+x3 +2 1+x3 +x6 1 x2 +1 2+x2 2 2 √ 739. − 3 ln | | 740. 2 arccos 2x2 741. − x − x 1 − x − 2 arcsin x x3 √ √ √ 2 2 ln(x2 +x+1) 5+2x 2 + x+ 3 ln |1+2x+2 x +x| 743. ln √ |x| √ 742. − x +2x + x − + 3 arctg 2x+1 2 4 8 x 3 x2 +x+1 √ ln(x2 +x+1) (x+1)2 1 2x+1 x2 x2 4 2 √ 744. − − 2 ln x2 +x+1 + 3 arctg 3 745. 2 ln(4 + x ) − x + 2 arctg 2 √ x+1 √ √ 2x2 x 2 746. 125 (25 ln x − 20 ln x + 8) 747. − x2 + x ln( 1 − x + 1 + x) + 12 arcsin x √ √ √ √ 2 x 2 ) ln(1+ 1 + x2 )− 1 + x2 751. − x +7 x2 + 1+ 748. lnxx 749. 1+ln 750. (1+ 1 + x x 9 √ √ √ √ √ √ √ √ 2 2 2 √2 | 752. 1−x − 1 − x2 ln √ x −ln 1+ 1−x + + 13 ( x2 + 1)3 ln x2 − 1− 32 ln | √xx2 +1− 2 x 1−x +1+ 2 √ √ √ 2+ √ x √x ln x −ln(x+ 1 + x2 ) 754. − ln +arctg 1+x 753. 1 + x ln(x+ 1 + x2 ) 1−x 1+x2 1+x2 √ ln(x+ 1+x2 ) ln x 1 x2 755. a(x ln | x−1 |−ln |x2 −1|)+ a+b ln2 | x−1 | 756. − 2(1+x + 2 ) + 4 ln 1+x2 757. x+1 4 x+1 2(1−x2 ) √ √ √ √ x 2 2 tg +1 cos x √2x | 758. (1+ex ) ln(1+e−x )+x 759. xx 760. + 82 ln | √xx2 +1− + 4 9 3 arctg √23 3(2+sin x) +1+ 2x √ √ √ √ √ √ 1 2 √2−√1+cos x 763. − ln(cos2 x+ 1 + cos4 x) 761. 22 ln cos 4x+7+4√2 762. √1+cos + ln 4 x cos 4x+7−4 2 2+ 1+cos x √ arctg x−1 724. 3

− 4x + 8 arctg x2 725. − 5x15 +

203

√ √ √ √ 2+ 1+sin2 x 2 1 sin x−cos x 1 √ 764. 2 ln 765. arcsin − ln(sin x + cos x + 2 + sin 2x) | cos x| 2 2 3 1 4 3 24 1 12 2 24 5 4 766. − 5 (x − 5 x + 125 x) cos 5x + 5 (x − 25 x + 625 ) sin 5x 767. (21 − 10x2 + ax ax cos bx) sin 2bx + x4 ) sin x − (20x − 4x3 ) cos x 768. e2 ( a1 + a cos 2bx+2b ) 769. e4 ( 3(a sinabx−b − 2 +b2 a2 +4b2 a sin 3bx−3b cos 3bx e−2x ex ) 770. 8 (cos 2x − sin 2x − 2) 771. 2 (x sin x − x cos x + cos x) − a2 +9b2 x ex 2 772. 2 (x sin x+x2 cos x−2x sin x+sin x−cos x) 773. e2 (x−1− x5 (cos 2x+2 sin 2x)+ 2 1 + 25 (4 sin 2x − 3 cos 2x)) 774. 12 (sin x2 − x2 cos x2 ) 775. ln | sin x| − x cotg x − x2 x sin x x e 776. x tg x2 + ln(1 + cos x) 777. 1+cos − tg x2 778. sinx x 779. sin 780. ex 1+cos x x √ x √ 781. ln x sin ln x + cos ln x 782. 1 + cos2 x − cos x ln(cos x + 1 + cos2 x) −x

1 e − cotgh (x − ln(1 + ex cotgh 1)) − 4 sinh 785. −2−x ( x+1 + 4 1 ln 2 √ √ √ √ 1 1 1 3 2x x 2x x 2x + ln2 2 ) 786. 2e (x x − 3x + 6 x − 6) 787. 3 ( e + e ) − 8 (1 + e ) e + e + √ √ x xex ex x 790. x+1 791. (1 − + 18 ln( 1 + ex + ex ) 788. ee 789. 1+e x − ln(1 + e ) 3 4 x ex x 1 x2 2 − x )e 792. 1+x2 793. − 2 + 2 ln(x + 2x + 2) + 2 arctg(x + 1) 794. x4 + x12 + √ √ √ 2 2 arccotg x 795. − x3 + 13 ln(1 + x) + 2x3 x arctg x 796. − 3+x 2x − x2 + + (x +1) 4 4 √ 2 + 2x 4−3 arcsin(1 − x) 797. − 2x+21 −x2 + 3x − 2 + (x2 + 3x − 55 ) arccos(2x − 4 8 √ √ 1 1 1 1 2 − 3) 798. 2 x − x + (x − 2 ) arcsin x 799. (x − 1) arctg x−1 + 2 ln(x2 − 2x + 2) √ √ √ 2 sgn x 800. − 2 x2 − 1 + x2 arccos x1 801. 2|1 − x| + (1 + x) arcsin 21+xx 802. 19 (x3 − √ √ 2 − 3x − 3( 1 − x2 )3 arccos x) 803. − x4 + x2 1 − x2 + 14 arcsin2 x 804. ax arctg x − 2 3 arctg2 x 805. − x6 − (x − x3 ) arctg x + 12 arctg2 x + 23 ln(1 + x2 ) − 12 a ln(x2 + 1) − a−b 2 √ √ 3 x 1−x2 806. − 4(1+x 1 + x2 arctg x − ln(x + 1 + x2 ) 808. − 6x+x − 2 ) − 4(1+x2 ) arctg x 807. 9 √ √ 2 2 x 1 − x2 arccos x 809. − 1−x arcsin x+ 12 arcsin2 x+ln |x| 810. √1−x − 2+x 2 arccos x− 9 x √ 2 arccos x 1 1+x 1+x x −ln 1 − x2 811. √1−x2 + 2 ln 1−x 812. x−arctg x+( 2 arctg x− 2 )(ln(1+x2 )−1) √ √ 813. x − e−x arcsin ex − ln(1 + 1 − e2x ) 814. 12 (x + 1 − x2 )earcsin x 815. (x2 + √ √ arctg x arctg x (x−1)e √ √ 817. 818. x − ln(1 + ex ) − 2 e−x − arctg2 ex + 1)earctg x 816. (x+1)e 2 2 2 1+x 2 1+x √ √ √ 1+tgh2 x+ 2 tgh x 2 2 819. −2 ln(tgh x+ 1 + tgh x)+ 2 ln √ 820. −x+(cosh x) arctg sinh x √ 2

783.

x+

2 x 1+e √ x

784.

1+tgh x− 2 tgh x

II.1 1. a) s = c)

65 125 65 175 125 1 &n−1 − 175 + 4n 2 ; S = 4 + 2n + 4n2 b) s = n i=0 4 2n √ n 10 −1 10 210 −1 10 10 2 25 2−1 5 s = n 10 ; S = n 2 n 10 2. 2 3. s = (2 − 1) √ ; 31 n 32−1 5 2 n −1 2 n −1 m+1 −am+1 a−1 7. 1 8. sin x 9. a1 − 1b 10. b m+1 11. ln ab 25. druhý ln a

6. 28.

&n

S =

4.

v0 T + g T2

26.

i=0 2

5.

i n

3

první 27. druhý

druhý 29. první

II.2 30. a) 0; b)

√ − sin a2 ; c) sin b2 31. a) 2x 1 + x4 ; b)

· sin x + (cos π sin3 x) cos x

32.

2

√ 3x 1+x12

43. 45 4

44.

π 6 1 b b−a a

2 45.

√ 200 2 61.

46. π3

47.

1 sin α 64. π2

1 48. 1 49.

f (x) dx 62. ln 2 63. 204

π 4

2x 3 − √1+x 8 ; c) − (cos π cos x)·

f (x + b) − f (x + a) 34. 1 35.

II.3 50.

1 n

i ; n

π2 4

36.

0 37. 1

α α arctg 1−cos + arctg 1+cos sin α sin α √ 65. 23 ( 23 − 1) 66. 1e 67. 2

π √ 71. x + 12 72. ln12 73. a) 56 ; b) 2t 74. a) 13 − α2 , je-li α < 0; 3 3 α − 13 , je-li α > 1; 13 − α2 + α3 , je-li 0 ≤ α ≤ 1; b) π2 je-li |α| ≤ 1; 2απ 2 , je-li |α| > 1; 2 2 c) 2, je-li |α| ≤ 1; |α| , je-li |α| > 1 75. 12 ln 2e 76. π 77. 4π 78. 2(1 − 1e ) 79. 1 √ √ √ 4 2 3 1 √1 ln 1+√ab 89. πa √1 ln 9+4 2 91. 2 − π 92. π 80. 2π − 87. 88. 90. 3 2 6 16 7 2 4 2 ab 1− ab 1 0 96. 0 f (arcsin t) − f (π − arcsin t) dt + −1 f (2π + arcsin t) − f (π − arcsin t) dt 5 π −2πn 98. π8 ln 2 100. 32 e 3 101. 12 + e− 2 1−e − 12 e−2πn 102. arctg 32 − 2π 105. 0 1−e−π 27 √ π π2 π 1 4 π 106. 0 107. 2 108. 0 109. 4 110. 6 sin 9 111. 2 3 112. 2 (e − 1) 113. 16 √ √ 3 2 114. π6 − π4 115. 5π − 3 + 1 116. 2( 2 − 1) 117. 12 ln e 2+1 + 2 arctg e − π2 6 √ √ n+1 29 118. 2π9 3 119. − 468 120. π3 − arctg 8 121. 270 122. 83 ln 2 − 79 123. nn+1 ln n − 7 √ n+1 124. 8191 125. π4 126. 35 (eπ − 1) 127. 43 π − 3 128. 0 pro n sudé, − n(n+1)−1 2 26 (2k)!! π π pro n liché 129. (−1)n π 130. I2k = (2k−1)!! pro n = 2k, k ∈ N; I2k+1 = (2k+1)!! (2k)!! 2 n−1 pro n = 2k + 1, k ∈ N 131. viz 130 132. (−1)n π4 − 1 − 13 + 15 − · · · + (−1) 2n−1 √ 2 (−1)n−1 (−1)n n! 2n (n!) 133. (−1)n − ln 2 + 12 1 − 12 + · · · + 134. 2 135. n (2n+1)! (m+1)n+1 (n−1)!(m−1)! 1 2 22 23 2n π π nπ 137. 2n+1 138. 2n sin 2 139. (m+n−1)! 140. −1 136. 2n+1 1 + 2 + 3 + · · · + n 2 −π 141. 14 − ln 7! 142. 30 143. − π4 144. ln n! 145. ee−π −1 146. 83 π +1

68.

43 69. 56 π 70.

III.1.1 4. 12 12. 21. 28. 36. 44.

2π √ 11. diverguje 31 √ 1 diverguje 13. 1 14. ln12 2 15. diverguje 16. π 17. π2 18. 120 19. − π6 20. 15 ln(1+ 2 3 3 ) √ √ √ π ln 7 3 π 5 3 π 13π 4π √ √ 27. arcsin 5 22. 2(1−ln 2) 23. + ( −arctg ) 24. 25. 26. 4 6 3 2 3 4 5 2 2 3 3 2 5 π 1 π2 b a 2b2 29. 6 30. arctg 2 + ln 4 31. 2 − 1 32. 2 e 33. a2 +b2 34. a2 +b2 35. a(a2 +4b2 ) 3 √ √ √ (2n−3)!!πan−1 4 1 2π 2 3 π − π8 2 8 e 1−e−π 37. n! 38. 40. 41. π 42. 2|ab| 43. √ 2π 2 1 4 9 a −b (2n−2)!!(ac−b2 )n− 2 √ 2π 1−ε2

5. π4

6.

diverguje 7.

1 3e3

8.

diverguje 9. diverguje 10.

III.1.2 47. konverguje 48. konverguje 49. diverguje 50. konverguje 51. konverguje 52. konverguje 53. diverguje 54. konverguje 55. konverguje 56. konverguje 57. konverguje 58. konverguje 59. konverguje 60. diverguje 61. konverguje 62. konverguje 63. diverguje 64. diverguje 65. α > 0 66. α > 1 67. α > 1 68. α > 1 69. diverguje pro každé α 70. α < 0 71. α < −2 72. α > 2 73. α ≥ 0 74. α > 0 75. β < − 12 , α libovolné; β = − 12 , α < −1 76. β < − 13 , α libovolné; β = − 13 , α < −1 77. α > max{1, β} III.1.3–4 82. konverguje relativně 83. konverguje relativně 84. konverguje relativně 85. konverguje relativně 86. konverguje relativně 87. diverguje 88. konverguje relativně 89. konverguje relativně 90. konverguje relativně 91. konverguje relativně 92. konverguje relativně 93. konverguje relativně 94. konverguje absolutně pro α < 2, konverguje relativně pro 2 ≤ α < 3 95. konverguje absolutně pro α < −1, konverguje relativně pro −1 ≤ α ≤ 0 96. konverguje absolutně pro α > 1, konverguje 205

relativně pro α ≤ 1 97. konverguje absolutně pro α < −1, konverguje relativně pro −1 ≤ α < 0 98. konverguje absolutně pro α < −1, konverguje relativně pro −1 ≤ α < 0 99. konverguje absolutně pro α < −1, konverguje relativně pro −1 ≤ ≤ α < 0 100. konverguje absolutně pro α > 1, konverguje relativně pro 0 < α ≤ 1 101. konverguje absolutně pro α > 2, konverguje relativně pro 0 < α ≤ 2 102. konverguje absolutně pro α > 2, konverguje relativně pro −1 < α ≤ 2 103. konverguje absolutně pro α > 1, konverguje relativně pro 12 ≤ α ≤ 1 104. konverguje absolutně pro α > 3, konverguje relativně pro 0 < α ≤ 3 105. konverguje absolutně pro α > 1, konverguje relativně pro −1 < α ≤ 1 106. konverguje absolutně pro α > 1, konverguje relativně pro 0 < α ≤ 1 107. konverguje absolutně pro α < 0, konverguje relativně pro 0 ≤ α < 1 III.2.1 112. 2 113. diverguje 114. diverguje 115. 2 ln 3 116. diverguje 117. π2 118. π2 + √ 120. π2 121. π8 (b − a)(3b + a) 122. −1 123. ln12 124. diverguje + ln(2 + 3) 119. 9π 4 √ √ √ 125. diverguje 126. − 32 127. 4 128. 42 π + ln √2+1 129. √π 130. 2 131. diverguje 2−1 √ 2 √ 132. − 2e 133. diverguje 134. 12 π 2 135. 18 π 2 136. 2π 137. 2 π 138. 79 139. 5π 3 (n−1)!! (n−1)!! π 140. − π2 ln 2 141. − 12 π 2 ln 2 142. (−1)n+1 4n 143. n!! pro n liché; n!! π2 pro n (−1)n n! sudé 144. (α+1) n+1 III.2.2 147. konverguje 148. konverguje 149. konverguje 150. diverguje 151. diverguje 152. konverguje 153. konverguje 154. konverguje 155. diverguje 156. diverguje 157. konverguje 158. konverguje 159. diverguje 160. konverguje 161. konverguje 162. konverguje 163. konverguje 164. diverguje 165. konverguje 166. diverguje 167. konverguje 168. α < 3 169. α < 7 170. α ≤ 12 171. α = 12 172. α < 3 173. α < 4 174. α = 1 175. α2 = 2 176. α > 0 177. α < 1 178. α < −2 179. α = 0 180. −2 < α < 1 181. α < 2 182. α < 4 183. α < − 23 184. α < 0, 0 < α < 2 185. α < −1, 0 < α < 1, α > 2 186. α > −1, β > −1 187. α > −1, β > −1 188. α > −1, β > −1 189. α > −1, β > −2 190. β < 1, α libovolné; β = 1, α < −1 191. β < 1, α > 0; β > 1, 0 < α < 1 III.2.3–4 195. konverguje relativně 196. diverguje 197. konverguje relativně 198. konverguje relativně 199. konverguje absolutně pro α > −1, konverguje relativně pro −2 < α ≤ ≤ −1 200. konverguje absolutně pro α > −1, konverguje relativně pro −2 < α ≤ −1 201. konverguje absolutně pro α < 1, konverguje relativně pro 1 ≤ α < 32 202. konverguje absolutně pro α > −1, konverguje relativně pro −3 < α ≤ −1 203. konverguje absolutně pro α > 1, konverguje relativně pro 0 < α ≤ 1 204. konverguje absolutně pro α < 1, konverguje relativně pro 1 ≤ α < 2 205. konverguje absolutně pro α > > −1, konverguje relativně pro −2 < α ≤ −1 206. konverguje absolutně pro α < 1, konverguje relativně pro 1 ≤ α < 2 207. konverguje absolutně pro α > 0, konverguje relativně pro −1 < α ≤ 0 208. konverguje absolutně pro α > −2, konverguje rela206

tivně pro −3 < α ≤ −2 209. konverguje absolutně pro α > 1, konverguje relativně pro α < −1 210. konverguje absolutně pro α < 1, diverguje pro α ≥ 1 211. konverguje relativně pro α > −1, diverguje pro α ≤ −1 212. konverguje absolutně pro α < 1, β < 1, konverguje relativně pro 1 ≤ α < 2, β < 1 III.3

√

√

√

3π 2 215. 3π 216. 2 93π 217. 18 218. 3 ln − π4 (3 + 2 3 ) 219. 0 220. 0 221. 0 222. π4 4 2 223. α > 0 224. 1 < α < 2 225. 1 < α < 2 226. − 92 < α < − 34 227. α > −1 228. 2 < α < 4 229. 0 < α < 2 230. α > 12 231. α > 12 232. α > 1, β < 1 233. α > −1, β − α > 1 234. min{α, β} < 1, max{α, β} > 1 235. α > −1, β > −1, α + β < −1 236. α > −1, β > −1, α + β < −1 237. α > −2, β − α > 1 238. β − α < 1, β ≥ 0 239. α < 0, β < 12 240. β − α > 1, β − 4α < 0 241. α + β < 1, α > −4 242. konverguje absolutně pro −2 < α < −1, konverguje relativně pro −1 ≤ α < 0 243. konverguje absolutně pro 0 < α < 1, konverguje relativně pro 1 ≤ α < 2 244. konverguje absolutně pro −1 < α < 0, konverguje relativně pro −2 < α ≤ −1 245. konverguje relativně pro 0 < α < 2 246. konverguje < 0, konverguje relativně pro 0 ≤ α+1 < 1 247. konverguje absolutně pro −1 < α+1 β β

absolutně pro α > −2, α + 1 < β, konverguje relativně pro α > −2, α < β ≤ α + 1

IV.1 2 2 7. 2 8. ln ab 9. 1 − e−a 10. a2 sinh xa0 11. 125 12. 16 13. 16 14. 1 + π8 15. π − π4 12 3 √ √ √ 16. 2 − 1 17. a + 1−a 18. 32 ln 2 − 12 19. 2a2 ( 3 − π3 ) 20. π2 21. π2 22. 13 + ln 23 ln a 1 23. 9 24. 2 ln 2 − 2e 25. 6 ln 2 − 52 26. 10 27. π2 − 13 28. π2 − 23 29. a2 ( π2 − 13 ) 2 30. 5(arctg 12 + arctg 3) + 15 ln 2 − 7 31. 4 32. 1 − ea (1 + a2 ) 33. 18e−2 − 2 34. π6 2 √ 2α a1+α a1−α 1−ln 2 45 ln 3−24 35. 1−α 36. α−1 37. 38. 39. 2 − 1 40. π2 + 12 41. π2 + 13 2 + α+1 + α−1 α+1 ln 2 ln 9 42. 50. 61. 69. 76. 84.

√ 3 α+2 2 88 2 2 p 45. 4p3 46. 3πa2 47. 4aα+2 48. 12 49. 4a3 15 2 (π−2)a2 3πa2 8 51. πa8 52. 53. 83 54. π4 55. 3π+2 56. 85 57. 92 59. 15 60. 3πa2 4 2 9π−2 2 4 2 2 16 √ a2 (π + 43 π 3 ) 62. 6πa2 63. 3πa 64. 3πc 65. πa2 ( √ − 9) 66. 8πa 67. a2 68. 3πa 8 8ab 2 3 2 √ 2 √ 2 2 2 2 a) πa4 ; b) πa4 70. 11π 71. 2 33a 72. a4 (π − 1) 73. 3a2 74. 2a2 π 75. a2 √ 2 π π(a2 +b2 ) √ 77. 8πa 78. a2 79. a2 ( 3 − π3 ) 80. 12 eeπ +1 81. πa2 82. 1 83. π4 + 12 2 −1 2 2 π 2π − 1 85. 4−π 86. n+2 87. π4 88. π1 89. πa4 90. 4π 91. 83 92. 12π 93. 2 94. 4+π 2 8 2

12 ln 2 − 6 ln 3 + 1 43. πab 44.

IV.2

√ √ √ 10 − 1) 99. 14 100. arcsin 34 101. 134 102. 25 103. √1 (2 − x0 − x0 3 ) 3 27 3 3 sgn α 104. √ (x0 α − x0 2−α ) 105. 54 106. α = k+1 , k ∈ Z, k = 0, k = −1 107. sinh a 5 k 2 α(α−2) √ √ √ √ √ sinh b 108. sinh 2a 109. b2 − 1 − a2 − 1 110. ln sinh 112. 2 + ln( 2 + 1) 113. 6 2+ a √ √ √ √ √ 5+1 1 1 2 +ln(3+2 2) 114. 4 2+ln( 2+1) 115. 5+4 ln 2 116. 4+ 4 ln 3 117. 4 (e +1) √ √ √ e2x0 +1+1 1 4 2x 0 118. 2 + 2 ln 3 119. x0 − 2 + e + 1 − ln √2+1 120. 3 + ln 2 121. a ln a+b −b a−b √ √ √ √ 3 π+1 3 122. 2(1+ln 2 ) 123. ln 3 124. ln(2+ 3) 125. ln(2+ 3) 126. 4 127. 1+ 2 ln(2+ 3) √ √ √ √ x0 a 128. 22 129. 2 2( 1 + a − 1 − a) 130. 76 131. 2(e 2 − 1) 132. 2a ln a−x − x0 0 8 98. 27 (10

207

√

4 2(5 + 4 ln 2) 135. 6a 136. ab (a3 − b3 ) 137. 8a 138. 2π 2 a √ √ t √ √ 3 2 cosh 20 + cosh t0 √ 139. 12 (cosh 2t0 ) 2 − 1 140. 2a cosh t20 cosh t0 − 1 − 2a ln 1+ √ √ √ 2 √ a 1+α2 at0 1 141. (e − 1) 142. −a ln sin t0 143. 4 2 5 + ln(2 + 5) 144. 1 + 22 ln(1 + α 3 √ √ √ 2 2 2 sin2 t ) 2 −a3 3 0 + 2) 145. 5a 1 + 63 ln(2 + 3) 146. (a cos t0 +b 147. π3 148. 48a b2 −a2 √ √ √ √ 149. 26 150. y = 16a 154. 4 9 3 155. 8 156. a 3 3 157. πa 1 + 4π 2 + a2 ln(2π+ 1 + 4π 2 ) 9 √ 2 (2k)!! (2k+1)!! 158. a 1+α 159. πa 160. a) 3πa ; b) 16a 161. a) 2a (2k−1)!! ; b) πa (2k)!! , k ∈ N 162. 8a α 2 √3 √ √ √ 163. 2a 164. a(2π − tgh π) 165. 2p( 2 + ln(1 + 2)) 166. p( 2 + ln(1 + 2)) 167. a) √ √ √ 4+ln 3 1 2 2 171. 2a (r2 − r1 ) 172. π2 (b − a) 12 3a; b) a(7 2 + 3 ln(1 + 2)) 169. t0 170. 2

a ln xa0

133.

134.

IV.3

3 2 π(1−e−2a (1+2a)) π2 πa2 a 2b 183. 177. πpa2 178. πa2 179. π 180. 3πab 181. 182. b + sinh 7 4 2 2 a 4 3 π(π+2) π 3 sinh α (2n−1)α π 184. π(2 − 5e ) 185. π2 186. 2α(π e 187. ln 3 188. 189. π(6 − 2 +α2 ) 2 8a3 5 π(π−2) 6 5 √πa √ 4 194. π 191. 192. 20π 193. − − 4 − 8 ln 2) 190. 5π 6 4 20( p+ q) 2 ln 2 ln2 2

2 2π 2 2 π3 4πab2 195. π2 196. 5(eπe 199. πb h2 (h + 3a) 200. 2πb h(h2 + 3a2 ) 2π −1) 197. 4(1+π 2 ) 198. 3 3a2 3a2 3 3 3 3 201. πa6 (10 − 3π) 202. πa3 (24 ln 2 − 16) 203. πa (24 ln 4 − 31) 204. πa (35 − 24 ln 4) 24 24

√ 2 12πpq πpqa2 πpqa2 208. π24 (4π 2 − 15) 209. 5 3 pq 2 210. p+q 211. q−p 2 2 3 17 πa5 213. 2πab (1 + hb2 ) 2 − 1 214. 240 215. 70π 216. 2π 2 r 2 a 3 4p2

205.

4π 206. 8π 207.

212.

πa3 (6 − 8 ln 2) 3

π2 12

3

3

36π 2 218. 8πa 219. π2 (15 − 16 ln 2) 220. πa3 (6 ln 2 − 4) 221. πa (4 ln 4 − 3) 3 81 3 πa 2 222. 3 (17 − 24 ln 2) 224. 2πk (b − a) 225. π(e − 1) 226. π ln 2 227. π 2 (8n + 2) 3 3 2 −8π 228. 43 πap b 229. 2πa2 b 230. π(1 − sin 1) 231. π4 (π 2 − 8) 232. 4π 3 233. 25π +8π 4 217.

πa3 (50−15π) 3 3

π π 237. a) 16π ; b) 8π 238. a) 30 (b − a)5 ; b) π6 (b + 15 3 2 3 + a)(b − a) 239. a) 2 ; b) 2π 2 240. a) π4 (π 2 − 8); b) π4 241. a) πa8 (π + 2); 2 3 b) πa3 ln 2 242. a) π 4a ; b) πa3 (ln 2 − 12 ) 243. a) 4π(44 − 27 ln 3); b) 4π (27 − 3 √ 2πa5 4πa4 32 4 3 3 − 5 3π) 244. a) 5p2 ; b) 3p 245. a) 15 πp ; b) 3 πp 246. a) 4π(2 + 9 ln 3);

234.

235. 128π 15 π2

236.

3

2

3

32 b) 3π(2 ln 3 − 1) ln 3 247. a) π2 + 3π8 ; b) π2 248. a) 43 πab2 ; b) 43 πa2 b 249. a) 105 πab2 ; 2 32 πa2 b 250. 2π (1 + 5 ln 2) 251. 13 π 252. 433 π 253. a) π 3 − 4π; b) π 2 254. 83π√2 b) 105 5 30 15 √ √ √ 45 64 2 2πa3 πa3 3 3 3 255. a) 272 πp ; b) πp ; c) πp 256. (9 3 − 4π) 257. 1) (16 − 3 3); 15 4 15 3 12 √ πr 2 (H+h) πa3 3 πr 2 h πhD 2 πhD 2 2) 3 (2π − 3 3) 258. α = 2 259. 2 260. 261. 262. 8 8 2 πh(8D 2 +4Dd+3d2 ) 3 1 16 71 3 2 263. 2πr (sin α − α cos α − 3 sin α) 264. 15 πah 265. 266. πa3 60 210 √ √ 3 5 5π √p k 267. 2755 πa3 269. 1) 4π 270. 16π 2 271. a) 9235a2π 272. a) 6π ; 3 ; b) 4a3 15 1+k 2 7 3

3

2 3

2

a) 16πa ; b) π 2a 274. a) 5π 2 a3 ; b) 6π 3 a3 ; c) πa (9π6 −16) ; d) 7π 2 a3 15 √ 3 32 32 2+16 275. a) 105 πab2 ; b) 105 πa2 b; c) 34 π 2 a2 b 276. 26 105 πa3 277. 116 π 278. a) 8πa (33ln 2−2) ; 105 3 πa3 (24 ln 4−1) 1 b) 2πa (10−3π) 279. a) ; b) 23 π 2 a3 280. 25 281. 1a) 64π ; 1b) 64π ; 2a) 3 24 35 105 3 πa (6 ln 2−4) 4πa3 2π 2 a3 2π 4πa3 πa3 64 2 2 3 ; 2b) 3 282. 3 (π −6) 283. 3 284. 21 285. 2π a 286. 15 287. 105 πa3 3 3 2πa3 3πa3 8πa3 3kπ 3 51 288. 3(9k + 1)e6kπn 289. πa 290. 291. 292. πa − 16 ln 2 2 +1) (e 24 8 3 4 b)

3π 4

273.

208

√ √ √ πa3 (3 2 ln( 2+1)−2) πp3 2+ε π 2 a3 16 3 2 3 2πa3 3 294. 295. 296. π a 297. 9 ln − 2 2 3 (1+ε) 12 4 9 9 2√ √ 2 a3 3 π(a+l)4 π(a−l)4 4πl(l2 +a2 ) π√ 4πa3 32 2 3 299. 300. 301. 302. 15 303. 105 πa 304. 3πa 298. 6a 6a 3 4 2 √ √ 2 3 3 πa3 (16+5π) πa3 (3π−8) 4πp3 2π a 305. 3πa 306. 307. 308. 309. 310. 1) πa3 (51 − 8 4 √ 3 15 8 √ √ √ √ √ 2 3 3 3 2 3 − 32 ln 4); 2) 4πa (6 ln(2+ 3 3)+3 3−4π) 311. 13π4 a 312. a) 2πa (3 ln(24 2+1)− 2) ; b) 2π8 a 3 3 3 2 3 2 3 3 313. 2πa 314. 2πa 315. 4πa 316. 2πa3 ( 73 − ln 2) 317. π16a 318. π √a 319. 8πa 3 3 21 15 2 2 √ √ √ 3 2 3 2 3 8πa3 πa3 2 320. 4πa (16 2 − 9) 321. 322. a) 2 ln(1 + 2) − ; b) π4√a2 ; c) π 4a 105 105 4 3

293.

IV.4

3 √ √ √ −2a π(10 2 −1) a 2b −a 1 + e−2a−ln e−a + 1+e √ 331. 328. 98π 329. 330. π 2−e 2πa b + sinh 2 a 3 27 1+ √ 2 √ √ √ √ 8b2 πa+ π 2 a2 +4b2 πa2 2 2 2 332. 2π 2+ln(1+ 2 ) 333. 2a π a + 4b + π ln 334. 8 3 ln(1+ 2 )+ 2b √ √ √ √ √ √ √ 4 4πa2 3+ 13 π 2− aa2+1 + +7 2 335. 243 21 13 + 2 ln 2 336. 18 7 2+3 ln(1+ 2 ) 337. π √ √ √ √ ' ( 2 4 π(16 ln 3−9 ln 2−5) √5−1 338. π 339. + ln a√+1+a 5 − 2 + ln 340. π8 sinh 4 − 4e−2 6 2+1 2 2−2 √ √ √ √ ln 3) π(11 2+7 ln(1+ 2)) πa2 (11−9 3+2π(2 3−1)) π 185 + 144 ln 32 342. π(20+9 343. 344. 341. 144 9 8 6 √ √ 56π 62π π 3 345. 3 346. 3 347. 3 (e + 3e − 4) 348. 2πa(a − b) 349. π 2 + ln(1 + 2 ) 3 √ b b 2π 2 + b2 2 − p3 350. 2π p 2πa a + b sinh − a cosh (2 2 − 1) 353. 4π 351. 352. 3p a a 3 3 √ 3 √ 2 20 πR 2 2 2 2 2 3 354. 2πa 356. 2πa ( 9 − ln 3) 357. 2πp 2 + ln(1 + 2 ) 358. 6h2 4h + R −R √ √ √ 5√ 4 2π (4k+1)π 2 359. 360. 14 5+17 ln(2+ 5 ) cosh π 361. 128 3 5 e 5 πa 362. 4πa(a−y0 )

128

10

√

2 π 10 2π 2πa2 363. 59,2π 364. 15π 367. a) 4πa 8 (4 + ln 5) 365. 4π 366. a) 2 ; b) 3 3 ; b) 3 (3π − 2 2 2 − 4) 368. a) 9π 2 a2 ; b) 24πa2 369. a) 6π 2 a2 ; b) 3πa2 (π 2 − 4) 370. a) 64πa 3 ; b) 16π a ;

√ √ 8πa2 (3π−4) 16πa2 (2 2−1) 32πa2 12πa2 2 372. a) 12π; b) 184 6π ; ; d) ; e) 371. a) ; b) 12πa 3 3 5 5 √ √ √3 4π 2 ; b) 96 3 πa2 2 ab 375. a) 8π + √ (32 3 + 6) 373. a) 3πa 374. 4π ln(2 + c) 4π 5 5 3 √ √ 2 arcsin ε 2 √ 376. a) π; b) 103 2 π 377. 5π + 3); b) 2π + 38π 32 (4+ ln 5) 378. a) 2πb + 2πab ε ; 3 √ √ √ 2 2 2 2 2 a(1+ε) √λ ε −1 ; , ε = a a−b 379. a) πab λ λ2 ε2 − 1 − ab − 1ε ln λε+ b) 2πa2 + 2πb ε ln b ε+ ε2 −1 √ √ √ √ √ √ 2 2 2 λ2 ε2 −1 a2 +b2 √ ε λ2 − 1 λ2 ε2 − 1 + (ε2 − 1) ln ε λ −1+ , ε = 380. a) 3πa (4 2− b) 2πa 2 ε a 5 ε −1 √ √ 2 2 381. 48π 382. 2π (3π − 4) 383. a) 3πa2 ; b) 56 3 πa2 384. a = 0; − 1); b) 6πa 3 √ 5 √ 3 2 3 2 2 ; 2) k = 3k − 4 + (4 − 2k) Smin = 4π 2 + ln(1 + 2 ) 385. 1) 16πa 3 2 , Smin = 8πa 386. 4πR2 (sin α − α cos α) 387. 1) 4πR2 (2 sin β − sin α − (2β − α) cos β); 2) β = α2 , √ √ 2 Smin = 16πR2 (sin α2 ) sin2 α4 388. 12πp√5 7 2 − 8 + 3 ln(1 + 2 ) 389. 4π 2 a2 390. 2π(2 − √ 2 2b2 b4 4πb2 96πa2 84πa2 − 393. a) 32πa − 2) 391. 4πa2 392. 1) 4πa2 1 + 3a 2 5 ; b) 5 ; c) 5 15a4 ; 2) 15 √ √ 2 2 2 394. a) 4πa (2 − 2); b) 4 2πa ; c) 8πa

c)

209

Literatura [1] Fichtengol’c, G. M.: Kurs diferenciálního a integrálního počtu II. Fizmatgiz, Moskva, 1962 (rusky). [2] Děmidovič, B. P.: Sbírka úloh a příkladů z matematické analýzy. Moskva, 1961 (rusky). [3] Kudravcev, L. D. a kol.: Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Moskva, 1986 (rusky). [4] Rektorys, K. a kol.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha, 1995. [5] Kojecká, J.: Řešené příklady z MA II. PřF UP, Olomouc, 1989, skripta. [6] Novák, V.: Integrální počet v R. Brno, 1986, skripta. [7] Brabec, J., Martan, F., Rozenský, Z.: Matematická analýza I. SNTL, Praha, 1989. [8] Nagy, J., Nováková, E., Vacek, M.: Integrální počet. SNTL, Praha, 1984. [9] Jarník, V.: Integrální počet I. Academia, Praha, 1974. [10] Vanžura, J.: Primitivní funkce, Riemannův integrál a jeho aplikace. UP, Olomouc, 1990, skripta. [11] Kopáček, J.: Matematika pro fyziky I. MFF UK, Praha, 1977, skripta.

211

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Recommend Documents