Funkce – z´akladn´ı pojmy a vlastnosti Aplikovan´a matematika I ˇ ıhov´ Dana R´ a Mendelu Brno
Obsah
1 2 3 4
Pojem funkce Vlastnosti funkc´ı Inverzn´ı funkce Z´akladn´ı element´arn´ı funkce Mocninn´e Exponenci´aln´ı Logaritmick´e Goniometrick´e Cyklometrick´e
5
Transformace grafu funkce
6
Operace s funkcemi
Leonard Euler
Pojem funkce Definice (funkce) Necht’ D je nepr´azdn´a mnoˇzina re´aln´ych ˇc´ısel. Pravidlo f , kter´e kaˇzd´emu re´aln´emu ˇc´ıslu x ∈ D pˇriˇrazuje pr´ avˇ e jedno re´aln´e ˇc´ıslo y, se naz´yv´a re´aln´a funkce jedn´e re´aln´e promˇenn´e (struˇcnˇe funkce). Zapisujeme y = f (x). x - argument funkce f (nez´avisle promˇenn´a). y - funkˇcn´ı hodnota funkce f v bodˇe x (z´avisle promˇenn´a) . D - definiˇ cn´ı obor funkce f , znaˇc´ı se D(f ). Mnoˇzina vˇsech re´aln´ych ˇc´ısel f (x), kter´a dostaneme pro vˇsechna x ∈ D, se naz´yv´a obor hodnot funkce f a znaˇc´ı se H(f ).
Pˇr´ıklad (funkce) y = cos x, D(f ) = R, H(f ) = h−1, 1i 1 y = , D(f ) = R \ {0} protoˇze x 6= 0, H(f ) = R \ {0} x Obsah y kruhu je funkc´ı jeho polomˇeru x, tedy y = πx2 . D(f ) = (0, +∞), nebot’ polomˇer kruhu je vˇzdy kladn´e ˇc´ıslo, H(f ) = (0, +∞). Nen´ı-li definiˇcn´ı obor pro funkci f zad´an, pak j´ım rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech re´aln´ych ˇc´ısel, pro kter´e m´a v´yraz f (x) smysl.
Pˇr´ıklad (definiˇcn´ı obor) √
2x − 1 1 1 2x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ a tedy D(f ) = h , +∞) 2 2 Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce y = log(5 − 3x) 5 5 5 − 3x > 0 ⇒ x < a tedy D(f ) = (−∞, ) 3 3 x Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce y = 4+x 4 + x 6= 0 ⇒ x 6= −4 a tedy D(f ) = R \ {−4} Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce y =
Graf funkce Definice (graf funkce) Grafem funkce y = f (x) s definiˇcn´ım oborem D(f ) rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech bod˚ u [x, f (x)] roviny, kde x ∈ D(f ) ve zvolen´e kart´ezsk´e souˇradnicov´e soustavˇe. Definiˇcn´ı obor zn´azorˇ nujeme na ose x, obor hodnot na ose y. Libovoln´a rovnobˇeˇzka s osou y prot´ın´a graf funkce nejv´yˇse v jednom bodˇe.
Pˇr´ıklad (ˇc. 1 graf funkce) Kˇrivka y 2 = x nen´ı grafem funkce, protoˇze jednomu x nemohou b´yt pˇriˇrazena dvˇe r˚ uzn´a re´aln´a ˇc´ısla. y y2 = x
1 0
1
x
−1
Pˇr´ıklad (ˇc. 2 graf funkce) 2 2 x − 2, grafem je pˇr´ımka y = kx + q, smˇernice k = , q = −2. 3 3 Pr˚ useˇc´ıky s osami: 2 s osou x [x, 0] (y = 0): 0 = x − 2 ⇒ x = 3 [3, 0] 3 2 s osou y [0, y] (x = 0): y = · 0 − 2 ⇒ y = −2 [0, −2] 3
y=
y y = 23 x − 2 0 −2
D(f ) = R, H(f ) = R
3
x
Pˇr´ıklad (ˇc. 3 graf funkce) 2 , grafem je hyperbola. x x 6= 0 ⇒ D(f ) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞), H(f ) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) y=
y
y = x2 0
Pozn´amka (zad´an´ı funkce) Zp˚ usoby zad´an´ı funkce: explicitn´ı y = f (x), (”y = vzorec pro x ”) √ napˇr. y = tg x, y = 5x , y = 2x3 − 1, y = − x + 2 implicitn´ı F (x, y) = 0, (”vzorec pro x a y = 0 ”) napˇr. log(xy) − 2x + y = 0 tabulka funkˇcn´ıch hodnot graf
x
Vlastnosti funkc´ı Definice (parita funkce) Funkce f s definiˇcn´ım oborem, kter´y m´a tu vlastnost, ˇze s kaˇzd´ym bodem x obsahuje i bod −x, se naz´yv´a sud´ a, jestliˇze pro kaˇzd´e x ∈ D(f ) plat´ı f (−x) = f (x), lich´ a, jestliˇze pro kaˇzd´e x ∈ D(f ) plat´ı f (−x) = −f (x). Graf sud´e funkce je soumˇern´y podle osy y, napˇr. y = cos x. Graf lich´e funkce je soumˇern´y podle poˇc´atku souˇradnic, napˇr. y = sin x. Nutn´ym pˇredpokladem pro tuto vlastnost je, aby definiˇcn´ı obor byl soumˇern´y podle poˇc´atku souˇradnic. Obecnˇe nemus´ı b´yt funkce ani sud´a ani lich´a.
Parita funkce Pˇr´ıklad (sudost, lichost funkce) graf lich´e funkce 1 y= x y
graf sud´e funkce y = x2 y
f (x) −x 0
f (x)
x
−f (x) −x
0
x
soumˇernost podle osy y
x soumˇernost podle poˇc´atku
x
Pˇr´ıklad (sudost, lichost funkce) Rozhodnˇete, zda n´asleduj´ıc´ı funkce jsou sud´e nebo lich´e. x 1 y= 2 ,x∈R x +1 −x x −x = = − = −f (x) f (−x) = (−x)2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 Funkce je tedy lich´a. 2
1 − x2 y= ,x∈R 1 + x2 1 − x2 1 − (−x)2 = = f (x) f (−x) = 1 + (−x)2 1 + x2 Funkce je tedy sud´a.
3
2x2 + 3 ⇒ D(f ) = R \ {2} x−2 Nen´ı splnˇen pˇredpoklad, ˇze definiˇcn´ı obor s kaˇzd´ym x obsahuje tak´e −x, funkce nen´ı ani sud´a ani lich´a. y=
Monotonie funkce Definice (monotonie funkce) ˇ Necht’ f je funkce a M ⊆ D(f ) podmnoˇzina definiˇcn´ıho oboru. Rekneme, ˇze funkce f je na mnoˇzinˇe M rostouc´ı, jestliˇze pro kaˇzd´e dvˇe x1 , x2 ∈ M takov´e, ˇze x1 < x2 plat´ı f (x1 ) < f (x2 ). klesaj´ıc´ı, jestliˇze pro kaˇzd´e dvˇe x1 , x2 ∈ M takov´e, ˇze x1 < x2 plat´ı f (x1 ) > f (x2 ). neklesaj´ıc´ı, jestliˇze pro kaˇzd´e dvˇe x1 , x2 ∈ M takov´e, ˇze x1 < x2 plat´ı f (x1 ) ≤ f (x2 ). nerostouc´ı, jestliˇze pro kaˇzd´e dvˇe x1 , x2 ∈ M takov´e, ˇze x1 < x2 plat´ı f (x1 ) ≥ f (x2 ). Funkce rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı se naz´yvaj´ı ryze monotonn´ı, neklesaj´ıc´ı nebo nerostouc´ı se naz´yvaj´ı monotonn´ı.
Pˇr´ıklad (rostouc´ı, klesaj´ıc´ı funkce) graf rostouc´ı funkce y = ex y
x1 < x2
graf klesaj´ıc´ı funkce y = e−x y
f (x2 )
f (x1 )
f (x1 )
f (x2 )
0 x1 x2 x ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
x1 x1 < x2
x2 0 x ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
obˇe funkce jsou ryze monotonn´ı na D(f ) = R
Pˇr´ıklad (neklesaj´ıc´ı, nerostouc´ı funkce) graf neklesaj´ıc´ı funkce y
graf nerostouc´ı funkce y f (x1 ) = f (x2 )
f (x1 ) = f (x2 ) 0 x1 0 x1
x1 < x2
⇒
x2
x2
x
x
f (x1 ) ≤ f (x2 )
x1 < x2
⇒
f (x1 ) ≥ f (x2 )
obˇe funkce jsou monotonn´ı na D(f ) = R
Pˇr´ıklad 1 Funkce y = nen´ı na cel´em sv´em definiˇcn´ım oboru D(f ) = R \ {0} klesaj´ıc´ı a x tedy ani monotonn´ı. y
x1 < x2 ale f (x1 ) < f (x2 )
f (x2 ) x1 0 x2 f (x1 )
x
Je klesaj´ıc´ı pouze v kaˇzd´em z interval˚ u (−∞, 0) a (0, ∞).
Ohraniˇcenost funkce Definice (ohraniˇcenost funkce) ˇ ˇze Necht’ f je funkce a M ⊆ D(f ) podmnoˇzina definiˇcn´ıho oboru. Rekneme, funkce f je na mnoˇzinˇe M zdola ohraniˇ cen´ a, jestliˇze existuje takov´e d ∈ R, ˇze pro kaˇzd´e x ∈ M plat´ı f (x) ≥ d. shora ohraniˇ cen´ a, jestliˇze existuje takov´e h ∈ R, ˇze pro kaˇzd´e x ∈ M plat´ı f (x) ≤ h. ohraniˇ cen´ a, jestliˇze je na mnoˇzinˇe M ohraniˇcen´a shora i zdola. Je-li funkce ohraniˇcen´a zdola, pak existuje vodorovn´a pˇr´ımka y = d takov´a, ˇze graf funkce leˇz´ı cel´y nad touto pˇr´ımkou. Je-li funkce ohraniˇcen´a shora, pak existuje vodorovn´a pˇr´ımka y = h takov´a, ˇze graf funkce leˇz´ı cel´y pod touto pˇr´ımkou. Je-li funkce ohraniˇcen´a, leˇz´ı cel´y graf mezi dvˇema vodorovn´ymi pˇr´ımkami.
Pˇr´ıklad y=
√
y = −x2 je ohraniˇcen´a shora y h
x je ohraniˇcen´a zdola
0
y
0
x
x
d y = sin x je ohraniˇcen´a y h 2π −π
− π2
0
π 2
π
x
d
Prost´a funkce
Definice (prost´a funkce) ˇ Rekneme, ˇze funkce f je na mnoˇzinˇe M prost´ a, jestliˇze pro kaˇzd´e x1 , x2 ∈ M takov´e, ˇze x1 6= x2 , plat´ı f (x1 ) 6= f (x2 ). Kaˇzd´a funkˇcn´ı hodnota odpov´ıd´a pouze jedin´emu argumentu. Graf prost´e funkce prot´ın´a kaˇzd´a vodorovn´a pˇr´ımka v nejv´yˇse jednom bodˇe.
Vˇeta Kaˇzd´a ryze monotonn´ı funkce na mnoˇzinˇe M je prost´a. Je-li tedy funkce na mnoˇzinˇe M rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı, je zde prost´a.
Pˇr´ıklad funkce y = x2 nen´ı prost´a na D(f ) = R funkce y = x3 je prost´a na D(f ) = R y
y
f (x1 ) = f (x2 ) x
0
x1
x2
0
x
na intervalu (−∞, 0) je klesaj´ıc´ı a tedy prost´a na intervalu (0, ∞) je rostouc´ı a tedy tak´e prost´a
Periodiˇcnost funkce Definice (periodiˇcnost funkce) Funkce f s definiˇcn´ım oborem, kter´y m´a tu vlastnost, ˇze s kaˇzd´ym bodem x obsahuje tak´e bod x + p, kde p > 0, se naz´yv´a periodick´ a s periodou p, jestliˇze pro vˇsechna x ∈ D(f ) plat´ı f (x + p) = f (x).
Pˇr´ıklad Goniometrick´e funkce y = sin x a y = cos x jsou periodick´e funkce se z´akladn´ı periodou 2π (jsou ale periodick´e tak´e s periodou 4π, 6π atd.). y 1 2π −π
0
− π2
π 2
π
x
-1 Goniometrick´e funkce y = tg x a y = cotg x jsou periodick´e s periodou π.
Inverzn´ı funkce Definice (inverzn´ı funkce) Necht’ f je prost´a funkce. Funkce f −1 , kter´a kaˇzd´emu ˇc´ıslu y ∈ H(f ) pˇriˇrazuje pr´avˇe to ˇc´ıslo x ∈ D(f ), pro kter´e plat´ı y = f (x), se naz´yv´a inverzn´ı funkce k funkci f . Znaˇc´ıme ji f −1 , tedy x = f −1 (y). D(f )
H(f ) f y
x f −1 H(f −1 ) Plat´ı D(f −1 ) = H(f ),
D(f −1 )
H(f −1 ) = D(f ).
f je inverzn´ı funkce k funkci f −1 . Grafy funkc´ı f a f −1 jsou symetrick´e podle pˇr´ımky y = x. Je-li funkce f rostouc´ı (klesaj´ıc´ı), je i f −1 rostouc´ı (klesaj´ıc´ı).
Chceme-li k funkci f naj´ıt inverzn´ı funkci, zamˇen´ıme v zad´an´ı funkce y = f (x) promˇenn´e x a y. Z rovnice x = f (y) pak vyj´adˇr´ıme promˇennou y.
Pˇr´ıklad Urˇcete inverzn´ı funkci k funkci y = 3x − 1. y y = 3x − 1 f : y = 3x − 1 je prost´a (rostouc´ı) D(f ) = R H(f ) = R
y=x 2
f −1 : x = 3y − 1 x + 1 = 3y ⇒ y = D(f −1 ) = R H(f −1 ) = R
1 1 x+ 3 3
y = 31 x+ 13
1 −1
0 −1
1
2
x
Z´akladn´ı element´arn´ı funkce
Z´akladn´ı element´arn´ı funkce mocninn´e exponenci´aln´ı logaritmick´e goniometrick´e cyklometrick´e Vˇsechny funkce, kter´e ze z´akladn´ıch element´arn´ıch funkc´ı z´ısk´ame koneˇcn´ym poˇctem operac´ı sˇc´ıt´an´ı, odˇc´ıt´an´ı, n´asoben´ı, dˇelen´ı a skl´ad´an´ım tˇechto funkc´ı navz´ajem, se naz´yvaj´ı element´ arn´ı funkce.
Mocninn´e funkce Mocninn´a funkce je funkce tvaru y = xa , kde x ∈ (0, ∞), mocnitel a ∈ R je ˇc´ıslo libovoln´e, ale pevn´e. Pro r˚ uzn´e mocnitele m˚ uˇze m´ıt r˚ uzn´e definiˇcn´ı obory, nebot’ je lze nˇekdy rozˇs´ıˇrit. Mezi mocninn´e funkce patˇr´ı y = xn ,
D(f ) = (−∞, ∞), 1 , D(f ) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞), xn √ = n x, D(f ) = h0, ∞),
y = x−n = 1
y = xn kde n ∈ N.
√ n Pro n lich´e m˚ uˇzeme definiˇcn´ı√obor funkce y = x rozˇs´ıˇ√ rit na mnoˇzinu (−∞, ∞) √ n n tak, ˇze pro kladn´e ˇc´ıslo a je −a = − a. Tedy napˇr.√3 −8 = −2 . √ Pro n sud´e plat´ı, ˇze n −a nen´ı v R definov´ana, napˇr. −4.
mocninn´e funkce parabola y = x2 y
pˇr´ımka y = x y
0
x
0 D(f ) = R, H(f ) = R
x
D(f ) = R, H(f ) = h0, ∞)
mocninn´e funkce kubick´a parabola y = x3 y
hyperbola y =
1 x
y
0
x
D(f ) = R, H(f ) = R
0
x
D(f ) = R r {0}, H(f ) = R r {0}
mocninn´e funkce y=
1 x2 y
odmocnina y =
√
x
y
0 0 x D(f ) = R r {0}, H(f ) = (0, ∞)
x
D(f ) = h0, ∞), H(f ) = h0, ∞)
Exponenci´aln´ı funkce exponenci´aln´ı funkce y = ax (a > 0, a 6= 1) y = ax (a > 1) y
y = ax (0 < a < 1) y
a
1
1 a
0 1 x D(f ) = R, H(f ) = (0, ∞) ⇒ ax > 0
0
1
rostouc´ı pro a > 1 a klesaj´ıc´ı pro 0 < a < 1 ·
speci´aln´ı pˇr´ıpad y = ex , kde e = 2, 71828 je tzv. Eulerovo ˇc´ıslo
x
Pˇr´ıklad (exponenci´aln´ı funkce) x 1 Nakreslete grafy funkc´ı y = 2x a y = . 2 y y = ( 12 )x
y = 2x
2 1 1 2
−1
0
1
x
x 1 Graf funkce y = je totoˇzn´y s grafem y = 2−x . Plat´ı totiˇz 2 x 1 1 = x = 2−x 2 2
Logaritmick´e funkce logaritmick´e funkce y = loga x (a > 1)
y = loga x (0 < a < 1)
y
y
1
1 0
1
a
x
0 a 1
D(f ) = (0, ∞), H(f ) = R rostouc´ı pro a > 1 a klesaj´ıc´ı pro 0 < a < 1 a = e, y = ln x (= loge x), tzv. pˇrirozen´y logaritmus a = 10, y = log x (= log10 x), tzv. dekadick´y logaritmus
x
Pˇr´ıklad (logaritmick´e funkce) Nakreslete grafy funkc´ı y = log2 x a y = log 12 x. y = ( 12 )x
y = 2x
y
y=x
y = log2 x 1 0
1 2
1
x
2 y = log 12 x
Logaritmick´a funkce y = loga x a exponenci´aln´ı funkce y = ax o stejn´em z´akladu a jsou vz´ajemnˇe inverzn´ı a plat´ı vztah, y = loga x
⇔
x = ay
Pro logaritmickou funkci plat´ı loga a = 1
speci´alnˇe
log 10 = 1, ln e = 1,
loga 1 = 0
speci´alnˇe
log 1 = 0, ln 1 = 0,
loga x =
ln x ln a
speci´alnˇe
Pˇr´ıklad log2 x = 5 log x = −3 ln x = 2
⇔ x = 25 ⇔ x = 10−3 ⇔ x = e2
log x =
ln x ln 10
Pˇr´ıklad (logaritmick´e funkce) Nakreslete grafy funkc´ı y = ln x a y = log x. y y = ln x 1 y = log x 0
1
e
10 x
Goniometrick´e funkce goniometrick´e funkce y = sin x 1 y 2π −2π
− 32 π −π
0
− π2
π 2
π
x
3 2π
-1 y = cos x 1 y 2π −2π
− 32 π
−π
0
− π2
π 2
-1 D(f ) = R, H(f ) = h−1, 1i funkce jsou periodick´e se z´akladn´ı periodou p = 2π funkce y = cos x je sud´a, funkce y = sin x je lich´a
π
3 2π
x
goniometrick´e funkce y = tg x,
tg x =
sin x cos x
y = cotg x,
cotg x =
y
cos x sin x
y
−π
π 0
− π2
x
π 2
π D(f ) = R r { (2k + 1), k ∈ Z}, 2 H(f ) = R
0
− π2
−π
π x
π 2
D(f ) = R r {kπ, k ∈ Z}, H(f ) = R
funkce jsou periodick´e se z´akladn´ı periodou p = π, jsou obˇe lich´e
Hodnoty goniometrick´ych funkc´ı
Hodnoty goniometrick´ych funkc´ı ve vybran´ych u ´hlech
Stupnˇe
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
120◦
135◦
150◦
180◦
Radi´any
0
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π
√ 3 2
√
1
3 2
√
0
1 2
√
sin α
2 2
1 2
0
√
0
− 12
√ − 23
−1
3
-
√ − 3
−1
√ − 33
0
√ 3 3
0
−
−1
√ − 3
-
√
cos α
1
3 2
2 2
√
2 2
√
tg α
0
cotg α
-
3 3
√
3
1 1
1 2
√
−
2 2
√
3 3
Cyklometrick´e funkce
Inverzn´ı funkce k y = sin x π 2
y
y = arcsin x
1 2π −π
− π2 −1
0
1
x
3 2π
y = sin x
-1 y=x
π
π 2
− π2
π π Inverzn´ı funkce k funkci y = sin x, x ∈ h− , i, je funkce y = arcsin x 2 2
Inverzn´ı funkce k y = cos x y = arccos x
π y
y=x
π 2
1 2π −π
− π2 −1
0 -1
1
π 2
π
3 2π
y = cos x
Inverzn´ı funkce k funkci y = cos x, x ∈ h0, πi, je funkce y = arccos x
x
cyklometrick´e funkce y = arcsin x y
y = arccos x y
π 2
−1
π
π 6
0
1 2
π 2 π 3
x
1
− π2
−1
π π D(f ) = h−1, 1i, H(f ) = h− , i 2 2 funkce y = arcsin x je rostouc´ı a lich´a
0
1 2
1
D(f ) = h−1, 1i, H(f ) = h0, πi funkce y = arccos x je klesaj´ıc´ı
Inverzn´ı funkce k y = tg x y y = tg x π 2
y = arctg x − π2
x
0
π 2
x
− π2 y=x
π π Inverzn´ı funkce k funkci y = tg x, x ∈ (− , ), je funkce y = arctg x 2 2
Inverzn´ı funkce k y = cotg x y π y = arccotg x
π 2
0
π 2
x
π
y = cotg x
y=x
Inverzn´ı funkce k funkci y = cotg x, x ∈ (0, π), je funkce y = arccotg x
cyklometrick´e funkce y = arctg x y
y = arccotg x y
π 2
π
π 4
0
1
x
− π2 π π D(f ) = R, H(f ) = (− , ) 2 2 funkce y = arctg x je rostouc´ı a lich´a
π 2 π 4
0
1
x
D(f ) = R, H(f ) = (0, π) funkce y = arccotg x je klesaj´ıc´ı
Pˇr´ıklad (urˇcen´ı funkˇcn´ı hodnoty) 1 π π 1 = , protoˇze sin = 2 6 6 2 √ ! √ ! √ π π 2 2 2 arcsin − = − arcsin = − , protoˇze sin = a funkce 2 2 4 4 2 y = arcsin x je lich´a √ √ ! π π 3 3 = , protoˇze cos = arccos 2 6 6 2 √ ! √ 3 3 5 π π 5 arccos − = π, protoˇze cos = aπ− = π 2 6 6 2 6 6 π √ √ π arctg 3 = , protoˇze tg = 3 3 3 arcsin
Pˇr´ıklad (definiˇcn´ı obor) 2x − 1 . 3 Funkce y = arccos x m´a definiˇcn´ı obor h−1, 1i, proto mus´ı platit Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce y = arccos
−1 ≤ −1
≤
−3 −2 −1
≤ ≤ ≤
2x − 1 3 2x − 1 2x x
2x − 1 ≤1 3 a
2x − 1 3 2x − 1 2x x
≤
1/ · 3
≤ ≤ ≤
3 4 2
Definiˇcn´ı obor je tedy D(f ) = h−1, 2i
Transformace grafu funkce Pozn´amka (pˇriˇcten´ı ˇc´ısla k argumentu) graf funkce y = f (x ± c) (posun ve smˇeru osy x) y = (x − 1)2 y
y = (x + 1)2 y
−1
0
x
0
1
x
Pozn´amka (pˇriˇcten´ı ˇc´ısla k funkˇcn´ı hodnotˇe) graf funkce y = f (x) ± c (posun ve smˇeru osy y) y = x2 + 1
y = x2 − 1 y
y
1 0
x 0
−1
x
Pˇr´ıklad Nakreslete graf funkce y = 2 + log2 (x + 1). Posuny ← 1, ↑ 2; a = 2 > 1 ⇒ rostouc´ı funkce; x + 1 > 0 ⇒ D(f ) = (−1, ∞) y y = 2 + log2 (x + 1) 3 2
y = log2 x
1 −1 − 34 0
1
x
2
pr˚ useˇc´ıky a osami: x=0 ⇒y y=0 ⇒0 −2 2−2 1 −1 4 3 − 4
= [0, 2] = = = =
2 + log2 1 = 2 2 + log2 (x + 1) log2 (x + 1) x+1 x
= x 3 [− , 0] 4
Pozn´amka (vyn´asoben´ı funkˇcn´ı hodnoty ˇc´ıslem −1) graf funkce y = −f (x) (pˇreklopen´ı kolem osy x) y y
y=
√
x y = ex
e 1 0
x √ y=− x
0
x
−1 -e
soumˇernost podle osy x
1
y = −ex
Pozn´amka (vyn´asoben´ı argumentu ˇc´ıslem −1) graf funkce y = f (−x) (pˇreklopen´ı kolem osy y) y y=
√
y −x
y=
√
y = ln(−x)
x
y = ln x 1
-e 0
−1
0
1
e
x
x
soumˇernost podle osy y
Operace s funkcemi
Pozn´amka (operace s funkcemi) Funkce lze sˇc´ıtat, odˇc´ıtat, n´asobit a dˇelit: (f + g)(x)
=
f (x) + g(x)
(f − g)(x)
= f (x) − g(x)
(f · g)(x) = f (x) · g(x) f f (x) (x) = , kde g(x) 6= 0 g g(x) Definiˇcn´ı obor tˇechto funkc´ı je pr˚ unikem definiˇcn´ıch obor˚ u jednotliv´ych funkc´ı s t´ım, ˇze v pˇr´ıpadˇe pod´ılu nav´ıc poˇzadujeme, aby g(x) 6= 0.
Skl´ad´an´ı funkc´ı Definice (sloˇzen´a funkce) Necht’ je d´ana funkce u = g(x) s definiˇcn´ım oborem D(g), oborem hodnot H(g) a funkce y = f (u), kter´a je definov´ana na mnoˇzinˇe D(f ) ⊇ H(g). Sloˇ zenou funkc´ı (f ◦ g)(x) rozum´ıme pˇriˇrazen´ı, kter´e kaˇzd´emu x ∈ D(g) pˇriˇrad´ı ˇc´ıslo y = f (g(x)), tj. hodnotu funkce f v ˇc´ısle g(x). Funkce g se naz´yv´a vnitˇrn´ı sloˇzka, funkce f vnˇejˇs´ı sloˇzka sloˇzen´e funkce. D(f ) H(g)
D(g)
H(f )
g x
f g(x)
f (g(x))
f ◦g
Funkce sloˇzen´a vznikne dosazen´ım libovoln´e funkce za argument jin´e funkce. Opakov´an´ım postupu skl´ad´an´ı funkc´ı dostaneme v´ıcen´asobnˇe sloˇzen´e funkce.
Pˇr´ıklad Funkce y =
p
log x, m´a vnˇejˇs´ı sloˇzku y =
√
u a vnitˇrn´ı sloˇzku u = log x.
Funkce y = sin(x2 ), m´a vnˇejˇs´ı sloˇzku y = sin u a vnitˇrn´ı sloˇzku u = x2 . p √ Funkce y = ln cos(3x), m´a vnˇejˇs´ı sloˇzku y = ln z a vnitˇrn´ı sloˇzky z = v, v = cos u, u = 3x.
Urˇcov´an´ı definiˇcn´ıch obor˚ u Pozn´amka Pˇri urˇcov´an´ı definiˇcn´ıch obor˚ u sloˇzen´ych funkc´ı a pod´ılu funkc´ı je tˇreba br´at v u ´vahu n´asleduj´ıc´ı podm´ınky: f (x) funkce tvaru y = je definovan´a pro g(x) 6= 0, g(x) p funkce tvaru y = f (x) je definovan´a pro f (x) ≥ 0, funkce tvaru y = loga f (x) je definovan´a pro f (x) > 0, π funkce tvaru y = tg(f (x)) je definovan´a pro f (x) 6= (2k + 1) , k ∈ Z, 2 funkce tvaru y = cotg(f (x)) je definovan´a pro f (x) 6= kπ, k ∈ Z, funkce tvaru y = arcsin(f (x)) a y = arccos(f (x)) jsou definov´any pro −1 ≤ f (x) ≤ 1.
Pˇr´ıklad Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce y = ln(x + 2) +
p
x2
ex−1 − 5x + 6 + x−4
1
x + 2 > 0 ⇒ x > −2
2
x2 − 5x + 6 ≥ 0 ⇒ (x − 3)(x − 2) ≥ 0 ⇒ x ∈ (−∞, 2 > ∪ < 3, ∞) + 2
3
−
+ 3
x − 4 6= 0 ⇒ x 6= 4
−2
2
3
4
D(f ) = (−2, 2i ∪ h3, 4) ∪ (4, ∞)
Vz´ajemnˇe inverzn´ı z´akladn´ı element´arn´ı funkce √
x √ y= 3x
y = x2 , x ≥ 0
y = ex
y = ln x
y = ax , a 6= 1, a > 0
y = loga x
y = sin x, x ∈ h− π2 , π2 i
y = arcsin x
y = cos x, x ∈ h0, πi
y = arccos x
y=
y = tg x, x ∈ − π2 , π2
y = x3
y = arctg x
y = cotg x, x ∈ (0, π)
y = arccotg x
Pro vz´ajemnˇe inverzn´ı funkce f a f −1 plat´ı f −1 (f (x)) = x,
f (f −1 (x)) = x
pro vˇsechna x, pro kter´a m´a tento z´apis smysl.
Pˇr´ıklad Pro vˇsechna x, pro kter´a maj´ı uveden´e operace smysl, napˇr´ıklad plat´ı: x = ln(ex ) = eln x x = loga (ax ) = aloga x √ 2 √ 2 x= x = x x = sin(arcsin x) = arcsin(sin x) x = tg(arctg x) = arctg(tg x)
