Euklidovsk´ y prostor. Funkce dvou promˇ enn´ ych: z´ akladn´ı pojmy, limita a spojitost. Vyˇsˇs´ı matematika, Inˇzen´yrsk´a matematika LDF MENDELU
Podpoˇreno projektem Pr˚ uˇrezov´ a inovace studijn´ıch program˚ u Lesnick´ e a dˇrevaˇrsk´ e fakulty MENDELU v Brnˇ e (LDF) s ohledem na discipl´ıny spoleˇ cn´ eho z´ akladu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. ˇ e republiky. ˇ c. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za pˇrispˇ en´ı finanˇ cn´ıch prostˇredk˚ u EU a st´ atn´ıho rozpoˇ ctu Cesk´ Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
1 / 25
Prostor Rn R – mnoˇzina re´aln´ych ˇc´ısel (prvky zn´azorˇ nujeme jako body na ˇc´ıseln´e ose) Rn – mnoˇzina uspoˇr´adan´ych n-tic re´aln´ych ˇc´ısel Prvky mnoˇzin R2 a R3 zn´azorˇ nujeme obvykle v kart´ezsk´e souˇradnicov´e soustavˇe. R2 – mnoˇzina uspoˇr´ adan´ych dvojic re´ aln´ych ˇc´ısel (prvky zn´ azorˇ nujeme jako body v rovinˇe) - souˇradnicov´e osy: x, y R3 – mnoˇzina uspoˇr´ adan´ych trojic re´ aln´ych ˇc´ısel (prvky zn´ azorˇ nujeme jako body v trojrozmˇern´em prostoru) - souˇradnicov´e osy: x, y, z - souˇradnicov´e roviny: xy (z = 0), xz (y = 0), yz (x = 0)
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
2 / 25
Vzd´ alenost v Rn Definice (Euklidovsk´ y metrick´ y prostor) Necht’ A = (a1 , a2 ) ∈ R2 , B = (b1 , b2 ) ∈ R2 . Euklidovsk´a vzd´alenost bod˚ u A, B je ˇc´ıslo %(A, B) definovan´e vztahem p %(A, B) = (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 . Pravidlo %, kter´e dvojici bod˚ u pˇriˇrazuje jejich Euklidovskou vzd´alenost se naz´yv´a euklidovsk´a metrika. Mnoˇzina R2 s euklidovskou metrikou definovanou pro kaˇzd´e dva body z R2 se naz´yv´a euklidovsk´y metrick´y prostor a znaˇc´ı se E2 . Euklidovsk´a vzd´alenost dvou bod˚ u je rovna d´elce u ´seˇcky, kter´a tyto body spojuje:
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
3 / 25
Analogicky se definuje euklidovsk´a vzd´alenost v Rn a v´ıcerozmˇern´e euklidovsk´e prostory En . Napˇr´ıklad euklidovsk´a vzd´alenost bod˚ u A = (a1 , a2 , a3 ) ∈ R3 , B = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 je definov´ana vztahem p %(A, B) = (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 + (a3 − b3 )2 .
Pˇr´ıklad (Euklidovsk´ a vzd´ alenost bod˚ u) Urˇcete euklidovskou vzd´alenost bod˚ u 1
A = (2, 1), B = (3, 4) ρ(A, B) =
2
p
(3 − 2)2 + (4 − 1)2 =
√
1+9=
√
10
A = (2, 1, 3), B = (0, 1, 4) p √ √ ρ(A, B) = (0 − 2)2 + (1 − 1)2 + (4 − 3)2 = 4 + 0 + 1 = 5
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
4 / 25
Vˇ eta (Vlastnosti euklidovsk´ e metriky) Pro libovoln´e body A, B, C ∈ En plat´ı: 1
%(A, B) = 0 ⇐⇒ A = B (totoˇznost)
2
%(A, B) = %(B, A) (symetrie)
3
%(A, B) + %(B, C) ≥ %(A, C) (troj´ uheln´ıkov´a nerovnost)
Vzd´alenost dvou bod˚ u se ˇcasto definuje i jin´ym zp˚ usobem, pomoc´ı jin´e metriky neˇz euklidovsk´e. Pˇritom se zcela pˇrirozenˇe poˇzaduje, aby kaˇzd´a metrika, kter´a definuje vzd´alenost, mˇela vlastnosti uveden´e v pˇredchoz´ı vˇetˇe. Napˇr´ıklad: %1 (A, B) = |a1 − b1 | + |a2 − b2 |, %∞ (A, B) = max{|a1 − b1 |, |a2 − b2 |}.
Poznamenejme, ˇze v R definuj´ı uveden´e metriky %, %1 , %∞ stejnou vzd´alenost (jsou totoˇzn´e). Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
5 / 25
Definice (Okol´ı bodu) Necht’ A ∈ En , ε > 0 je re´aln´e ˇc´ıslo. ε-okol´ım Oε (A) bodu A rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech bod˚ u, kter´e maj´ı od dan´eho bodu A vzd´alenost menˇs´ı neˇz ε, tj. Oε (A) = {X ∈ En : %(X, A) < ε}. ˆ ε (A) bodu A rozum´ıme Ryz´ım (redukovan´ym, prstencov´ym) ε-okol´ım O mnoˇzinu ˆ ε (A) = Oε (A) r {A}. O Nebude-li polomˇer okol´ı podstatn´y, budeme index ε vynech´avat. ε-okol´ı bodu A ∈ E2 je mnoˇzina vˇsech bod˚ u uvnitˇr kruhu se stˇredem v bodˇe A a polomˇerem ε ε-okol´ı bodu A ∈ E3 je mnoˇzina vˇsech bod˚ u uvnitˇr koule se stˇredem v bodˇe A a polomˇerem ε
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
6 / 25
Pokud bychom uvaˇzovali jinou metriku neˇz euklidovskou, potom by okol´ı mˇelo jin´y tvar, napˇr´ıklad volbou metriky %∞ dost´av´ame ˇctvercov´e, resp. krychlov´e okol´ı. ε-okol´ı v metrik´ach %, %1 , %∞ :
V dalˇs´ım budeme vzd´alenost ch´apat jako euklidovskou. Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
7 / 25
V´ yznaˇ cn´ e body a mnoˇ ziny bod˚ u Necht’ M ⊆ En je nepr´azdn´a mnoˇzina bod˚ u. Bod A ∈ M se naz´yv´a vnitˇrn´ı bod mnoˇziny M , jestliˇze existuje okol´ı tohoto bodu, kter´e cel´e patˇr´ı do mnoˇziny M . Mnoˇzina vˇsech vnitˇrn´ıch bod˚ u mnoˇziny M se naz´yv´a vnitˇrek mnoˇziny M. Bod A se naz´yv´a hraniˇcn´ı bod mnoˇziny M , jestliˇze v kaˇzd´em jeho okol´ı leˇz´ı alespoˇ n jeden bod, kter´y patˇr´ı do mnoˇziny M a z´aroveˇ n alespoˇ n jeden bod, kter´y nepatˇr´ı do mnoˇziny M . Mnoˇzina vˇsech hraniˇcn´ıch bod˚ u mnoˇziny M se naz´yv´a hranice mnoˇziny M. Hraniˇcn´ı body nemus´ı patˇrit do mnoˇziny.
∗ A je vnitˇrn´ı bod ∗ B ∈ M je hraniˇcn´ı bod ∗ C 6∈ M je hraniˇcn´ı bod
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
8 / 25
Mnoˇzina M se naz´yv´a otevˇren´a, jestliˇze kaˇzd´y jej´ı bod je jej´ım vnitˇrn´ım bodem. Mnoˇzina M se naz´yv´a uzavˇren´a, jestliˇze obsahuje vˇsechny sv´e hraniˇcn´ı body.
∗ M1 je uzavˇren´a ∗ M2 je otevˇren´a ∗ M3 nen´ı ani uzavˇren´a ani otevˇren´a
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
9 / 25
Mnoˇzina M se naz´yv´a ohraniˇcen´a (omezen´a), jestliˇze leˇz´ı v okol´ı (libovolnˇe velk´em) nˇejak´eho bodu z En .
∗ M1 je ohraniˇcen´a ∗ M2 nen´ı ohraniˇcen´a
Mnoˇzina M se naz´yv´a souvisl´a, jestliˇze kaˇzd´e dva body z t´eto mnoˇziny lze spojit lomenou ˇc´arou, kter´a cel´a leˇz´ı v M. Otevˇren´a a souvisl´a mnoˇzina se naz´yv´a oblast, uzavˇren´a a souvisl´a mnoˇzina se naz´yv´a uzavˇren´a oblast.
∗ M1 je souvisl´a ∗ M2 nen´ı souvisl´a
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
10 / 25
Funkce dvou promˇ enn´ ych Definice (Funkce dvou promˇ enn´ ych) Necht’ M ⊆ R2 je nepr´azdn´a mnoˇzina. Pravidlo f , kter´e kaˇzd´emu prvku (x, y) ∈ M pˇriˇrazuje pr´avˇe jeden prvek z ∈ R, se naz´yv´a funkce dvou promˇenn´ych. P´ıˇseme f : R2 → R nebo explicitnˇe z = f (x, y). Mnoˇzina M se naz´yv´a definiˇcn´ı obor funkce f a znaˇc´ı se D(f ). Mnoˇzina vˇsech z ∈ R, pro nˇeˇz existuje bod (x, y) ∈ M takov´y, ˇze z = f (x, y), se naz´yv´a obor hodnot funkce f a znaˇc´ı se H(f ). Promˇenn´e x, y se naz´yvaj´ı nez´avisl´e promˇenn´e, z se naz´yv´a z´avisl´a promˇenn´a. Kaˇzd´a funkce je jednoznaˇcnˇe urˇcena sv´ym definiˇcn´ım oborem a funkˇcn´ım pˇredpisem (tj. pˇredpisem, kter´y kaˇzd´emu bodu (x, y) z definiˇcn´ıho oboru pˇriˇrazuje funkˇcn´ı hodnotu f (x, y)). Pokud nen´ı definiˇcn´ı obor zadan´y a funkˇcn´ı pˇredpis je d´an vzorcem, pak definiˇcn´ım oborem rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech (x, y) ∈ R2 , pro nˇeˇz m´a dan´y vzorec smysl. Definiˇcn´ı obor funkce zobrazujeme jako mnoˇzinu bod˚ u v rovinˇe xy. Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
11 / 25
Pˇr´ıklad
√ 2 2 4−x −y Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce z = ln(x−y+2) a zakreslete v rovinˇe xy. ˇ sen´ı: Body z definiˇcn´ıho oboru mus´ı splˇ Reˇ novat n´asleduj´ıc´ı tˇri podm´ınky: 1
4 − x2 − y 2 ≥ 0 x2 + y 2 ≤ 4 2
ln(x − y + 2) 6= 0 x − y + 2 6= 1 y 6= x + 1 3
x−y+2>0 y <x+2 Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
12 / 25
Grafick´ e zn´ azornˇ en´ı funkce dvou promˇ enn´ ych Definice (Graf funkce) Grafem funkce dvou promˇenn´ych z = f (x, y) rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech uspoˇr´adan´ych trojic (x, y, f (x, y)) ∈ R3 , kde (x, y) ∈ D(f ). Grafem funkce dvou promˇenn´ych je mnoˇzina bod˚ u v trojrozmˇern´em prostoru, obvykle nˇejak´a plocha. Pro z´ısk´an´ı pˇredstavy, jak´y je tvar t´eto plochy n´am pomohou ˇrezy v´yznaˇcn´ymi rovinami - souˇradnicov´e roviny (x = 0, y = 0, z = 0) a roviny s nimi rovnobˇeˇzn´e, pˇredevˇs´ım ˇrezy rovinami z = c, c ∈ R. Definice (Vrstevnice funkce) Vrstevnic´ı funkce z = f (x, y) na u ´rovni c rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech bod˚ u (x, y) ∈ R2 , pro kter´e f (x, y) = c.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
13 / 25
Pˇr´ıklad (Rovina) Urˇcete vrstevnice funkce z = 3 − 2x − y a nakreslete graf. Vrstevnice: 3 − 2x − y = c, c ∈ R ⇒ y = 3 − 2x − c c = −1 : y = 4 − 2x c = 0 : y = 3 − 2x c = 1 : y = 2 − 2x c = 2 : y = 1 − 2x .. . Graf - urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky se souˇradn´ymi osami:
x = 0, y = 0 ⇒ z = 3 x = 0, z = 0 ⇒ y = 3 y = 0, z = 0 ⇒ x = 3/2 Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
14 / 25
Pˇr´ıklad (Paraboloid) Urˇcete vrstevnice funkce z = x2 + y 2 . x2 + y 2 = c, c ≥ 0 ⇒ kruˇznice
c=0:
(0, 0)
c = 1 : x2 + y 2 = 1 c = 4 : x2 + y 2 = 4 c = 9 : x2 + y 2 = 9 .. .
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
15 / 25
Pˇr´ıklad (Kuˇ zel) p Urˇcete vrstevnice funkce z = x2 + y 2 . p x2 + y 2 = c, c ≥ 0 ⇒ x2 + y 2 = c2 ⇒ kruˇznice
c=0:
(0, 0)
c = 1 : x2 + y 2 = 1 c = 2 : x2 + y 2 = 4 c = 3 : x2 + y 2 = 9 .. .
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
16 / 25
Grafy nˇ ekter´ ych funkc´ı
z = x2 + y 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
z=
p x2 + y 2
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
z=
1 x2 +y 2
VMAT, IMT
17 / 25
Grafy nˇ ekter´ ych funkc´ı
z = x3 + y 3
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
z = ln(x2 + y 2 )
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
z = e−x
2
−y 2
VMAT, IMT
18 / 25
Grafy nˇ ekter´ ych funkc´ı
z = xe−x
2
−y 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
z=
p 4 − x2 − y 2
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
p z = − 4 − x2 − y 2
VMAT, IMT
19 / 25
Limita funkce dvou promˇ enn´ ych
Definice (Limita funkce) Necht’ f : R2 → R je funkce definovan´a v nˇejak´em ryz´ım okol´ı bodu ˇ ˇze funkce f m´a v bodˇe (x0 , y0 ) limitu rovnu ˇc´ıslu L ∈ R, (x0 , y0 ) ∈ R2 . Rekneme, jestliˇze ke kaˇzd´emu ε > 0 existuje ˇc´ıslo δ > 0 tak, ˇze pro vˇsechny body (x, y) z ryz´ıho δ-okol´ı bodu (x0 , y0 ) plat´ı |f (x, y) − L| < ε. P´ıˇseme lim
f (x, y) = L.
(x,y)→(x0 ,y0 )
Bod (x0 , y0 ) se naz´yv´a limitn´ı bod. Podobnˇe jako pro funkci jedn´e promˇenn´e je moˇzn´e definovat i nevlastn´ı limity a limity v nevlastn´ıch bodech. (Za nevlastn´ı bod povaˇzujeme bod, jehoˇz alespoˇ n jedna souˇradnice je nevlastn´ı.)
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
20 / 25
Vlastnosti limit Pro limitu funkce dvou promˇenn´ych plat´ı podobn´a tvrzen´ı jako pro limitu funkce jedn´e promˇenn´e. Funkce nemus´ı b´yt v bodˇe (x0 , y0 ) definovan´a a m˚ uˇze zde m´ıt limitu. Funkce m˚ uˇze m´ıt v bodˇe nejv´yˇse jednu limitu. Limita souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu funkc´ı je rovna souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu limit jednotliv´ych funkc´ı (za pˇredpokladu, ˇze vˇsechny limity existuj´ı a pˇr´ısluˇsn´e operace jsou definov´any, tj. nejedn´a se o neurˇcit´e v´yrazy.) V´ypoˇcet limity funkce dvou promˇenn´ych je mnohem obt´ıˇznˇejs´ı neˇz u funkce jedn´e promˇenn´e: U funkce jedn´e promˇenn´e se k limitn´ımu bodu m˚ uˇzeme bl´ıˇzit jen po pˇr´ımce ze dvou stran, u funkce dvou promˇenn´ych se m˚ uˇzeme bl´ıˇzit z nekoneˇcnˇe mnoha r˚ uzn´ych smˇer˚ u po r˚ uzn´ych kˇrivk´ach. Existuj´ı-li dvˇe r˚ uzn´e cesty vedouc´ı k r˚ uzn´ym hodnot´am limity, pak limita v dan´em bodˇe neexistuje. Neexistuje ˇz´adn´a analogie l’Hospitalova pravidla.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
21 / 25
Spojitost funkce Definice (Spojitost funkce) ˇ Rekneme, ˇze funkce dvou promˇenn´ych f je spojit´a v bodˇe (x0 , y0 ), jestliˇze m´a v tomto bodˇe vlastn´ı limitu a plat´ı lim (x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y) = f (x0 , y0 ).
ˇ Rekneme, ˇze funkce dvou promˇenn´ych f je spojit´a na mnoˇzinˇe M ⊆ R2 , jestliˇze pro kaˇzd´y bod (x0 , y0 ) ∈ M plat´ı lim (x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y) = f (x0 , y0 ),
kde (x, y) ∈ M.
Je-li funkce v dan´em bodˇe spojit´a, mus´ı b´yt v tomto bodˇe definovan´a. Body, v nichˇz nen´ı funkce spojit´a, se naz´yvaj´ı body nespojitosti. Souˇcet, rozd´ıl a souˇcin funkc´ı spojit´ych v bodˇe (x0 , y0 ) je funkce spojit´a v bodˇe (x0 , y0 ). Pod´ıl dvou funkc´ı spojit´ych v bodˇe (x0 , y0 ) je funkce spojit´a v bodˇe (x0 , y0 ), pokud (x0 , y0 ) nen´ı nulov´ym bodem jmenovatele. Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
22 / 25
Vlastnosti spojit´ ych funkc´ı Vˇ eta (Weierstrassova) Necht’ funkce dvou promˇenn´ych f je spojit´a na ohraniˇcen´e a uzavˇren´e mnoˇzinˇe M ⊂ R2 . Pak f nab´yv´a na M sv´e nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı hodnoty. D˚ usledek: Funkce, kter´a je spojit´a na ohraniˇcen´e a uzavˇren´e mnoˇzinˇe, je na t´eto mnoˇzinˇe ohraniˇcen´a.
Vˇ eta (Bolzanova) Necht’ funkce dvou promˇenn´ych f je spojit´a na souvisl´e mnoˇzinˇe M ⊂ R2 a necht’ pro dva body A, B ∈ M plat´ı f (A) 6= f (B). Pak ke kaˇzd´emu ˇc´ıslu c leˇz´ıc´ımu mezi f (A) a f (B) existuje C ∈ M tak, ˇze f (C) = c. D˚ usledek: Necht’ funkce dvou promˇenn´ych f je spojit´a na souvisl´e mnoˇzinˇe M ⊂ R2 a necht’ pro dva body A, B ∈ M plat´ı f (A) · f (B) < 0. Pak existuje C ∈ M tak, ˇze f (C) = 0. Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
23 / 25
Vyuˇ zit´ı syst´ em˚ u poˇ c´ıtaˇ cov´ e algebry
Vyuˇzit´ı syst´em˚ u Sage, Maxima, Wolfram Alpha: http://user.mendelu.cz/marik/akademie/
Matematick´e v´ypoˇcty online (MAW) - definiˇcn´ı obory: http://um.mendelu.cz/maw-html/index.php?lang=cs&form=df3d
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
24 / 25
Pˇr´ıklad Urˇcete definiˇcn´ı obor, vrstevnice a nakreslete graf pro x ∈ [−3, 3] a y ∈ [−10, 10] funkce p y = x2 − y. ˇ sen´ı pomoc´ı Wolfram Alpha (http://www.wolframalpha.com/): Reˇ Definiˇcn´ı obor: domain sqrt(x^2-y) Vrstevnice: contour plot sqrt(x^2-y) Graf (viz real part“): ” graph sqrt(x^2-y) for x from -3 to 3, y from -10 to 10
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Euklidovsk´ y prostor. Funkce. Limita.
VMAT, IMT
25 / 25
