Diferenciální a integrální počet
1. Limita funkce - výpočty, užití Vypočtěte následující limity: 3x + 3 1.8 1.1 lim 2 x® 2 x - 1 1.2 lim
x+4 x2 +1
1.3 lim
5 + 10 x x-5
x ®-1
x®0
1.4 -2.lim 1 x® 4
p x® 4
2 - 4x 6 - 8x
1.7 lim ( - cos x ) x ®-
2p 3
x2 + x - 2 x ®-2 x 2 + 2 x
2 - x -3 1.30 lim 2 x®7 x - 49 1.31 lim x® 0
1.32 lim x® 0
sin 4 x x + 1 -1 1 - cos 2 x x2
1 - cos x 1.33 lim x® 0 x2 1.34 lim x.cotg x x®0
1 - cos 2 x 1.35 lim x ® 0 x.sin x 1.54 Určete lim
x ®¥
x2 + 4 x + 3 x ®-1 x3 + 1
1.23 lim
3x 2 - 6 x + 3 x ®1 x3 - 1
1.24 lim
x3 - 8 x2 - x - 2
1.25 lim
1.16 lim 1.17 lim
æ -1 ö 1.11 lim ç 2 + log ( x + 2 ) ÷ x ®-1 x è ø
1.18 lim x® 2
1.19 lim
x 2 + 3x 1.13 lim x®0 x
tg x x ®p sin 2 x x sin 2 1.37 lim 2 2 x®0 x
5sin 4 x 2x
1.28 lim
x®0
x2 + x - 2 x ®-2 x 2 + 5 x + 6 x ®-3
1 - cos3 x x ® 0 x.sin 2 x
1.45 lim
2 x3 - x 2 + 5 x ®¥ x 2 + x - 2
1.50 lim
1 - cos 2 x + tg x x.sin x
x®0
1 - cos 2 x x
1.46 lim ( 4 x 3 - 2 x 2 + x - 4 )
sin x - cos x 1 - tg x
x + 4 -1
x ®-¥
x+2 - 2
2
x®0
x+3
1.49 lim ( -4 x 3 - 2 x 2 + x - 4 )
sin 2 x
tg x - sin x 1.43 lim x®0 x3 1.44 lim
p x® 4
1.26 lim
1.21 lim
1 - cos 2 x 1.38 lim x ® 0 x.sin 2 x
1.40 lim
x 4 - 16 x ®-2 x 2 + 4 x + 4
1.27 lim
x®0
1.39 lim
3tg 2 x x ®0 2 x 2
x sin 5 x
1.42 lim
1.36 lim
7sin 2 2 x x®0 x2
1.20 lim x®0
x2 - 4 x - 5 x ®-1 x +1
2cos2 x sin x x®0 x
x2 + 2 x - 3 x ®-3 x+3
sin x x®0 2 x
x+6 +4 1- x
1.14 lim
1.29 lim
1.22 lim
xö æ 1.10 lim ç x 2 + 5cos ÷ x®0 2ø è
x ®-2
2
x2 - 5 x + 6 x ®3 x 2 - 6 x + 9
1.15 lim
p 6
1 + sin 2 x 1 - cos 4 x
1.12 lim
3
1.6 lim sin 2 x p x®
x®
1.9 lim
1.5 lim sin x p x®
3. lim cos x
x ®¥
4 x 3 - x + 15 x ®-¥ 3 x 3 + x 2 + x - 2
1.51 lim
4x2 - 2x +1 x ®-¥ 2 x 3 - 3 x 2 + 2
1.52 lim 1.53 lim
x ®¥
1.47 lim ( -4 x 3 - 2 x 2 + x - 4 )
x - 6x 3x + 1
x ®¥
1.48 lim ( 4 x 3 - 2 x 2 + x - 4 )
1 - sin 2 x p 1 + cos 4 x x®
1.41 lim
x ®-¥
4
4x - 3 a určete, pro která x se budou funkční hodnoty zadané funkce lišit od vypočtené limity o 2x + 1
méně než 0,001. 1 - 2x2 a určete, pro která x se budou funkční hodnoty zadané funkce lišit od vypočtené limity x ®¥ 2 + 4 x 2 o méně než 0,01. Určete asymptoty grafu funkce f: 1 x x2 x2 x3 1.56 y = x + 1.57 y = 1.58 y = 1.59 y = 2 1.60 y = 2 2 x 1+ x x +1 x +1 x +1 1.55 Určete lim
1.61 y =
x2 - x -1 2x
1.62 y =
4 x - x3 x2 + 4
1.63 y = 2 -
1.66 Napište rovnici tečny grafu funkce f : y =
3 x +1
1.64 y = 3x +
1 v bodě T = [1; 1] . x
1.67 Napište rovnici tečny grafu funkce f : y = x 2 + 1 v bodě T = [ -2; y0 ] . 1.68 Napište rovnici tečny grafu funkce f : y = 2sin x v bodě T = [ 0; y0 ] .
1
3 x-2
1.65 y = x.2 x + 3 + 4
Diferenciální a integrální počet
2. Derivace - výpočty, tečna grafu funkce Na základě definice derivace určete derivaci následujících funkcí: 2.1 f : y = 4 1 2 2.3 h : y = x 3 - 2 2.5 j : y = - 4 2.6 l : y = x + 2 x+6 x 2.2 g : y = -5 x + 2 2.4 k : y = 2 x + 4 x - 3 V následujících příkladech určete definiční obor funkce a její derivaci v libovolném bodě definičního oboru: 1 2 2.7 y = x 4 + 3 x2 - 2 2.9 y = x 2.10 y = 2.8 y = 5x x 2.11 y =
x x5 x3
2.15 y = 2 x x 2.19 y =
x3 - x + 2 x2
2.12 y = sin x + 5
2.13 y = - cos x + sin x + 2
2.16 y = ( sin x )
2.17 y = 2 x.sin x
2.20 y =
2
x + x +1
2.21 y =
x
2.14 y = x 2 + sin x - p
x2 x +1
2.18 y =
-2 .cos x x
2.22 y =
sin x 1 - cos x
2.23 y = ( 2 x - x ) - 2
2.24 y = sin ( x3 - 2 x 2 + x )
2.25 y = cos 2 ( x 2 + 3 x - 5 )
2.26 y = sin 2 ( - x 2 + 3)
2.27 y = ln ( x + 5)
2.28 y = ln ( - x 2 + x )
2.29 y = log 2 ( x3 + 2 x 2 - 15 x )
2.30 y = logp2 ( x 2 - 4 )
2.31 y = ln ( ln ( sin x ) )
æ xö 2.32 y = ln ç tg ÷ è 2ø
2.33 y = e x + ee + ee
4
2
2.35 y = 2e3 x + 2
2.36 y = -e x
2.39 y = 2 1 - x .cos x
2.40 y = cos x3 .tg x3
2
x
+ x+2
ex
1 2 6
.ln
2.37 y = e x - 2 tg x3
2.38 y = 5x
2.41 y = ecos x + sin x .cotg x
2.42 y = e tg x + x
Vypočtěte první a druhou derivaci následujících funkcí: 2 2 x2 2.44 y = ( x 3 + 3x 2 - 25) 2.43 y = 2.45 y = + 15 x x -1 2.47 Napište rovnici tečny grafu funkce f : y =
2.34 y =
2
-2
cotg 2 ( 2 x + 1)
3
2
(x
2
+ 4x - 7)
2.46 y = sin 2 3x.cos 3x
ép ù 2.48 Napište rovnici tečny a normály grafu funkce g : y = 2sin 3x + 1 v bodě T = ê ; y0 ú . ë6 û x v bodě T = [2e; y0 ] . 2
2.50 Napište rovnici tečny grafu funkce f : y = log x - 3 v bodě T = [1; y0 ] . ép ù 2.51 Napište rovnici tečny grafu funkce f : y = sin x v bodě T = ê ; y0 ú . ë4 û 2.52 Ve kterém bodě má graf funkce f : y = 1 - x 2 tečnu se směrnicí 1? Napište v tomto bodě rovnici tečny i normály. 2.53 Napište rovnice tečen ke grafu funkce f : y = 4 x - x 2 v jejích průsečících s osou x a y. 2.54 Určete vzdálenost vrcholu paraboly y = x 2 - 4 x + 5 od její tečny sestrojené v průsečíku paraboly s osou y. 2.55 Pod jakým úhlem protíná graf funkce y = sin x osu x?
3. Průběh funkce Určete intervaly monotónnosti následujících funkcí: 3.1 y = x 3 - 12 x 3.2 y = 3x 4 - 8 x 3 - 48 x 2 + 2 3.5 y =
2x x2 +1
3.9 y = xe- x
3.6 y =
1 +x x
3.10 y = 2e - x
3.3 y = 5 x 6 - 6 x 5 - 15 x 4 - 40 x + 10 1- x2 3.11 y = x + sin x 3.7 y =
2
Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce: 3.13 y = 2 x3 - 3x 2 3.14 y = ( 2 x + 3) ( x 2 + x + 1) 2
3.15 y = x 3 + x 2 + x + 1
3.4 y = x 5 - x 3 3.8 y =
x +x 1- x
3.12 y =
3.16 y =
ln x 4x
3
x 3-2 x 3+2
8 v bodě T = [ 2; y0 ] . x2 + 4
2.49 Napište rovnici tečny a normály grafu funkce h : y = x.ln
3
ln x x
Diferenciální a integrální počet 3.17 y = ln 3 x
æ x ö 3.18 y = ç ln - 1÷ è 2 ø
3.21 y = cos 2 x
3.22 y = sin 3 x + cos3 x
2
3.19 y = x - 2ln x
3.20 y = sin 2 x + 1
3.23 y = tg 2 x
3.24 y = tg x - cotg x
3.25 Najděte maximum a minimum funkce f : y = 2 x 3 - 27 x 2 - 9 v intervalu -4; 2 . Určete intervaly, v nichž je daná funkce konvexní a konkávní a určete jejich inflexní body: 3.26 y = 4 x 2 - 5 x + 3 3.27 y = x3 - 2 x5 3.28 y = x 4 - 4 x 3 3.29 y = - x 3 + 6 x 2 - 28 3.30 y =
1 +1 x
Vyšetřete průběhy funkcí: 3.34 f : y = x 3 - 6 x 2 + 9x
3.31 y =
1
( 2 x + 5)
2
-4
3.32 y =
3.35 f : y = x 3 - 3x 2 + 7
2x - 5 x +3
3.36 f : y =
x2 x -1
3.38 f : y = x 2 + 4 x
3.39 f : y = x + 3 x 2
3.40 f : y = x +
3.42 f : y = x 2 .e - x
3.43 f : y = x.e- x
3.44 f : y = e x
3.46 f : y =
ln x x
3.47 f : y =
x ln x
3.50 f : y = 2 x 2 - ln x
3.51 f : y = x - ln (1 + x )
3.54 f : y = sin x + cos x
3.55 f : y = sin 2 x
3.33 y =
1 x
x2 - 10 x +1
3.37 f : y =
5 ( x - 2) x2
3.41 f : y = x3 +
x4 4
æ ex ö 3.48 f : y = ln ç 2 ÷ è 1- x ø
e x + e- x 2 æ 1+ x ö 3.49 f : y = ln ç ÷ è 1- x ø
3.52 f : y = ln (1 + x 2 )
3.53 f : y = x.ln x
3.56 f : y =
2
sin x 2 + cos x
3.45 f : y =
3.57 f : y = x + cos x
4. Využití diferenciálního počtu 4.1 Číslo 28 rozložte na dva sčítance tak, aby jejich součin byl maximální. 4.2 Najděte pravoúhelník, který má: a) při daném obvodu maximální obsah, b) při daném obsahu minimální obvod. 4.3 Najděte rovnoramenný trojúhelník, který má při daném obvodu maximální obsah. 4.4 Do rovnoramenného trojúhelníku vepište pravoúhelník maximálního obsahu. Určete rozměry tohoto pravoúhelníku. 4.5 Ramena a menší základna lichoběžníka mají délku po 10 cm . Určete jeho větší základnu tak, aby obsah lichoběžníka byl největší. 4.6 Drátěným pletivem délky 120 m je třeba ohradit obdélníkový pozemek ze tří stran (na čtvrté straně je dům) tak, aby měl největší obsah. Určete rozměry tohoto pozemku. 4.7 Celková délka všech stěn u domu znázorněného na obr. 1 má být 90 m . Při jaké šířce x chodby bude obsah podlah ostatních tří místností největší? 4.8 Najděte pravidelný čtyřboký hranol, který má při daném povrchu maximální objem. obr. 1 4.9 Do kužele o poloměru podstavy 4 dm a výšce 6 dm je vepsán válec největšího objemu. Zjistěte rozměry válce a jeho objem. 4.10 Kolikrát větší je objem koule než objem největšího válce vepsaného této kouli? 4.11 Na parabole 2 x 2 - 2 y - 9 = 0 najděte bod, jehož vzdálenost od počátku soustavy souřadnic je minimální. 4.12 Tvrdý papír tvaru obdélníku má rozměry 60 cm a 28 cm . V rozích se odstřihnou stejné čtverce a zbytek se ohne do tvaru otevřené krabice. Jak dlouhá musí být strana odstřižených čtverců, aby objem krabice byl největší? 4.13 Jaké rozměry by musela mít podstava krabice na mléko, kdyby se mléko vyrábělo ve dvoulitrových krabicích, aby spotřeba papíru na výrobu krabice byla minimální? Krabici považujte za pravidelný čtyřboký hranol, odpad papíru na lepení, … neuvažujte. 4.14 Zjistěte rozměry otevřeného bazénu se čtvercovým dnem o objemu 32 m3 tak, aby na vyzdění jeho stěn a dna bylo potřeba co nejmenší množství materiálu. 4.15 Tunel má průřez ve tvaru obdélníka s přilehlým půlkruhem. Obvod průřezu je 18 m . Při jakém poloměru půlkruhu bude obsah průřezu největší? 3
Diferenciální a integrální počet 4.16 K baterii o elektromotorickém napětí 10 V a vnitřním odporem 2 W je připojen spotřebič. Při jakém odporu spotřebiče bude jeho výkon maximální? 4.17 Dva světelné zdroje jsou umístěny 30 cm od sebe a poměr jejich svítivosti je 8: 27. Jak daleko od prvního zdroje leží na jejich spojnici bod, který je nejméně osvětlen? Předpokládejte, že světelné zdroje jsou stejného druhu a že paprsky dopadají na uvažované místo kolmo. 4.18 Silnice, která má šířku b, je osvětlována lampou, která je nad osou silnice. V jaké výšce nad silnicí musí být lampa, aby okraj silnice byl co nejvíce osvětlen? 4.19 Určete, kdy jsou si nejblíže předmět a skutečný obraz vytvořený spojnou čočkou o dané ohniskové vzdálenosti f. 4.20 Průřez odpadového kanálu má tvar rovnoramenného lichoběžníku. Jeho hloubka je h, obsah průřezu S. Jaký má být sklon bočních stěn, má-li být spotřeba materiálu na vyzdění kanálu minimální? 4.21 Základna nakloněné roviny má délku d. Určete (při konstantním d) výšku nakloněné roviny tak, aby kulička o hmotnosti m sjela z vrcholu nakloněné roviny v nejkratším čase. Tření a odpor vzduchu zanedbejte. 4.22 Drát délky 200 mm rozdělte na dvě části. Jednu potom ohneme do tvaru kruhu, druhou do tvaru čtverce. Rozdělení drátu proveďte tak, aby součet obsahů obou vytvořených ploch byl co nejmenší.
5. Neurčitý integrál K dané funkci f určete v jejím definičním oboru primitivní funkci F tak, aby graf funkce F procházel daným bodem: ép ù x 4 - 3x 2 + 1 5.1 f : y = 2sin x ; A = ê ; 3ú ; B = [1; - 4] 5.2 f : y = x2 ë3 û 5.3 f : y = 4e x + 5sin x ; C = [0; 5]
5.4 f : y = -1 +
4 ; D = [e; - 2] x
Vypočtěte: 5.5
5.9
ò(x
ò
6
+ 5 x 2 - 4 x + 7 )dx 5.6
3
x2 3 x4 3 x
dx
2
5.10
x 3 + ax 2 + b ò 5 x dx
5.14
ò
ò tg
5.13
ò ( 4e
5.17
ò sin
5.18
5.21
1 - sin 3 x ò sin 2 x dx
æ e- x ö 5.22 ò e x ç1 + ÷dx 2 è cos x ø
x
+ cos x )dx
ò ( x + 3) ( x - 2)dx
cos 2 x dx 2 x
2sin 2 x dx 5sin x 2
xdx
5.7
ò
x 5 + 3x 3 + 1 dx 4 x3
5.19
ò ( 5sin
2
5.27
5.35 ò cos 2 xdx
5.36 ò e x .sin xdx
5.37 ò e x .cos xdx
ò xe
5.45
ò ( 4 x + 5)
5.50
2x
dx 8
ò
3
dx
5 - 6xdx
x-5
5.55
ò x + 2 dx
5.60
òx
2
ò x .sin xdx 5.32 ò x .ln xdx
cos ( 2 - x 3 ) dx
3
5.41
ò x.ln ( x - 1) dx
5.46
ò ( 3x + 2 )
5.51
òx
1
3
34
dx
2 + 5 x 4 dx
x x 5.56 ò sin cos dx 2 2 5.61
ò tg xdx
2
ò sin
5.24
3 - 2 cotg 2 x ò cos2 x dx
5.42
2x ò sin 2 x dx
5.47
òx
4x dx +1
2
ò x.e dx 5.33 ò ln xdx x
5.28
2
5.38
ò
1 dx x.cos 2 x
5.20
2
x xö æ 5.23 ò ç sin - cos ÷ dx 2 2 è ø
ò x cos xdx 5.31 ò x .ln xdx
5.40
x 5.16 ò sin 2 dx 2
x + 5cos 2 x )dx
5.26
2
æ x + 3a ö 5.12 ò ç 2 ÷ dx è a ø
2 sin 2 x dx 3cos x
ò
ò x sin xdx 5.30 ò ln xdx 5.25
3
2
æ 5 - x2 ö 5.11 ò ç 3 ÷ dx è x ø 5.15
x x 3 - 2 4 x5 - 1 ò x2 3 x4 dx
5.8
ln 2 x dx x
5.43 ò cos ( ln x ) dx 4x
5.29
ò x .e dx
5.34
ò
ln x dx x2
5.39
ò
3ln x dx 5x
5.44
ò x .e
5.49
òx
5.54
ò ( a - bx )
2
3
x
-x
dx
1 - 4 x 2 dx
5.48
ò
5.53
x2 ò 1 - 3x3 dx
5.57 ò sin 2 xdx
5.58
ò cos ( 3x + 2 ) dx
4
5.59
ò x sin ( x
5.62 ò e 2 x +9 dx
5.63
ò xe
dx
5.64
ò ( x + 3) e
5.52
4
ò
2
dx 2 - 3x
(x
2
- 5)
3
dx
2
1- 5 x
dx
3
2
dx
+ 3) dx x2 + 6 x
dx
Diferenciální a integrální počet 5.65
ò ( 2e
+ e- x ) dx
5.66 ò e sin x .cos xdx
5.70
ò (1 + 3cos 2x ) dx
ò (1 + 3cos 2x )
x
2
5.71
5.67 ò e x .x 2 dx 2
2
dx
5.72
ò
5.68
( sin x - cos x )
ò
e
x
x
dx
5.69
ò
1 + ln x dx x
2
dx
sin 2 x
6. Určitý integrál Vypočtěte: 2
6.1
ò(
)
4
3 ò ( 4 x - 2 x + 1) dx
6.2
1
p
2
1 6.4 ò dx x e
0
5
6.6 Vypočtěte integrál
ò f ( x )dx , je-li f ( x ) = 2x
2
10
e2
6.3 0, 5ò ( sin x + cos x ) dx
2 x 3 + 1 dx
6.5
ò 4dx
-5
pro x Î -1; 1 , f ( x ) = x + 1 pro x Î 1; 2 a f ( x ) =
-1
x Î 2; 5 . 3 p 2
6.7 Vypočtěte integrál
ò f ( x )dx , je-li f ( x ) = sin x 0
3 pro x Î 0; p a f ( x ) = cos x + 1 pro x Î p ; p . 2
Vypočtěte: 2
6.8
1
ò 2 17 - 4xdx
6.9
-4
ò 0
p
6.12
ò cos
x.sin xdx
6.13
6.10
dx
6.17
1 ò1 2 ln xdx
6.21
ò ( 2 x + 3) sin xdx 0
6.11
9
6.18
ò 4
cos x
ò 1 + sin xdx 1
6.15 ò 3xe 2 x +1dx 0
1
dx
6.19
x -1
2
ò 0
xdx 4 - x2
e
3 p 2
6.22
p 3 p 6
2p ö æ 1 + sin 2 ç 4 x ÷ 3 ø è 6.14 òp 2 æ 2p ö dx cos ç 4 x ÷ 4 3 ø è
dx òe 2 x.ln x
p
2e
15
p 4
ò 4sin x.cos xdx
4
e3 x ò0 e3 x + 1dx
2 3 ò x ( 2 x - 1) dx
-1
-p
2
6.20
( 4 x2 + 1)
2
2p 2
p 3
6.16
1
x
6.23 ò 4 x.ln xdx
ò x .cos xdx 2
3e
6.24
1
p
7. Užití integrálního počtu 7.1 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = x 2 + 2 , y = 0 , x = -2 a x = 1 . 7.2 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = ( x + 2 ) , y = 0 a x = -4 . 3
7.3 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = e x , y = 0 , x = -1 a x = 0 . 7.4 Vypočtěte obsah plochy pod jedním „obloukem“ funkce y = sin x . 7.5 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = x3 a y = x . 7.6 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = x3 a y = x . 7.7 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = x 2 - 6 a y = x . 7.8 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = x 2 - 1 a y = 1 - x 2 . 7.9 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami x 2 + y = 4 a y =
3 . x2
7.10 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = x 4 , y = x 2 a y = 16 . 7.11 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = x 2 + 3 , x + y - 9 = 0 a osami x a y. 7.12 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = x 2 - 4 x + 2 a y = - x 2 + 6 x - 6 . 7.13 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = e x , y = e-2x a x = 1 .
5
ò e
ln x dx x3
6 pro x
Diferenciální a integrální počet 7.14 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y = cos x a y =
2 2 x . (Nápověda: křivky se p
ép 2ù protnou v bodě P = ê ; ú .) ë4 2 û 7.15 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen parabolou y = - x 2 + 4 x - 3 a jejími tečnami v bodech T1 = [ 0; - 3] a T2 = [3; 0] . 7.16 Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y = x 2 , y = 0 a x = 2 kolem osy x. 7.17 Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y = ln x , y = 0 a x = e kolem osy x. 1 7.18 Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y = x 2 , y = 1 a x = 4 kolem 4 osy x. 7.19 Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami x 2 + y 2 - 2 x = 0 , y = x a y = 0 kolem osy x. x2 + 1 , x + y - 5 = 0 , x = -5 , x = 4 a osou x. 2 Vypočtěte též objem tělesa, které vznikne rotací právě popsaného útvaru kolem osy x. 7.21 Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami x 2 - y 2 = 4 , y = 2 a y = -2 kolem osy y. 7.22 Vypočtěte objem kulové úseče, která je částí koule o poloměru r a jejíž výška je v. 7.23 Odvoďte vztah pro výpočet objemu koule o poloměru r. 7.24 Určete práci potřebnou k vynesení družice o hmotnosti 250 kg do výšky 300 km nad povrch Země. 7.20 Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami y =
Hmotnost Země je 5,98.1024 kg , poloměr Země 6378 km a gravitační konstanta 6, 67.10-11 N .m2 .kg -2 . Při řešení neuvažujte kinetickou energii družice. 7.25 Vypočtěte velikost tlakové síly, kterou působí voda na svislá obdélníková vrata propusti se základnou 8 m a výškou 6 m . Vypočtěte také tlakovou sílu působící jen na dolní polovinu vrat. 7.26 Vypočtěte velikost tlakové síly, kterou působí voda na svislou desku ve tvaru rovnoramenného trojúhelníka ponořenou ve vodě, jejíž základna délky l je v úrovni vodní hladiny a výška je rovna h. 7.27 Vypočtěte velikost tlakové síly, kterou působí voda na svislý polokruh, jehož průměr 2r je v úrovni vodní hladiny. 7.28 Čelo přehrady má průřez rovnoramenného lichoběžníka s horní základnou 20 m , dolní základnou 10 m a výškou 6 m . Vypočítejte velikost tlakové síly, kterou působí voda na přehradu. 7.29 Určete velikost tlakové síly, která působí na svislou desku tvaru rovnoramenného trojúhelníku, jejíž základna délky a, rovnoběžná s vodní hladinou, je v hloubce h a protilehlý vrchol leží v úrovni vodní hladiny. 7.30 Na obr. 2 je znázorněn graf závislosti velikosti zrychlení na čase pro pohyb hmotného bodu, který začínal svůj pohyb z klidu. Popište pohyb hmotného bodu, určete velikost rychlosti na konci sledovaného úseku a celkovou uraženou dráhu. obr. 2
6
Diferenciální a integrální počet
ŘEŠENÍ 1. Limita funkce - výpočty, užití 1.9 1 1.10 5 1.11 -1 1.12 2 1.13 3 1.14 -6 1.15 neexistuje 2 1.16 3 1.17 0 1.18 4
1.1 3 3 1.2 2 1.3 -1 1.4 1.5
1 2
3 2
1.6 0 1 1.7 2 3 1.8 2 1.54 2; x >
4999 2
1 99 1.55 - ; x > 2 10 1.56 x = 0 ; y = x
1 2 1 1.20 5 1.21 10 1.22 2 1.23 28 3 1.24 2 1.25 neexistuje 1.26 -4 1.27 -3 1.28 2 1.19
3 2
1.29
1.30 -
1 4 1 1.38 2 3 1.39 4
1 2 1.44 3 1.45 neexistuje 1.46 ¥ 1.47 -¥ 1.48 -¥ 1.49 ¥ 1.50 ¥ 4 1.51 3 1.52 0 1.53 -2
1.37 1 56
1.31 8 1.32 2 1 1.33 2 1.34 1 1.35 2 1 1.36 2
1.40 1.41
1.43
2 2
1 4
1.42 4 2
1.57 y = 0
1.61 x = 0 ; y = 0, 5 x - 0, 5
1.58 x = -1 ; y = x
1.62 y = - x - 1
1.65 asymptoty nejsou 1.66 x + y - 2 = 0
1.59 y = 1
1.63 y = 2
1.67 4 x - y - 3 = 0
1.60 y = x
1.64 x = 2 ; y = 3 x
1.68 2 x - y = 0
2. Derivace - výpočty, tečna grafu funkce 2.1 0 2.2 -5
2.3 3x 2 2.4 4 x + 4
2.5
2.7 D ( f ) = ; y ¢ = 4 x3 + 6 x 2.8 D ( f ) = - {0} ; y ¢ = 2.9 D ( f ) = 0; ¥ ) ; y ¢ =
1 5 x2
1 2 x
2.10 D ( f ) = ( 0; ¥ ) ; y ¢ = 2.11 D ( f ) = ( 0; ¥ ) ; y ¢ =
(pro x Î ( 0; ¥ ) )
1 x x 1
2 x
2.12 D ( f ) = ; y ¢ = cos x
4 x5
2.6 1 -
2
( x + 6)
2.22 D ( f ) = - {2kp ; k Î } ; y ¢ =
2.24 D ( f ) = ; y ¢ = ( 3x 2 - 4 x + 1) .cos ( x3 - 2 x 2 + x )
(
2.25 D ( f ) = ; y ¢ = - ( 2 x + 3) .sin 2 ( x 2 + 3x - 5) 2
2.27 D ( f ) = ( -5; ¥ ) ; y ¢ =
2.18 D ( f ) = - {0} ; y ¢ = 2
x sin x + cos x x2
x3 + x - 4 2.19 D ( f ) = - {0} ; y ¢ = x3
( 3x
2
+ 4 x - 15) .log ( x3 + 2 x 2 - 15 x )
(x
3
+ 2 x 2 - 15 x ) .ln10
2.30 D ( f ) = ( -¥; - 2 ) È ( 2; ¥ ) ; y ¢ =
12 x.logp ( x 2 - 4)
(x
2
- 4 ) .ln p
2.31 D ( f ) = 0 ; derivace neexistuje 2.32 D ( f ) = ( 2kp ; ( 2k + 1) p ) ; k Î ; y ¢ =
7
)
-2 x + 1 -x2 + x
2.29 D ( f ) = ( -5; 0 ) È ( 3; ¥ ) ; y¢ = 2
3
1 x+5
2.14 D ( f ) = ; y ¢ = 2 x + cos x
2.17 D ( f ) = ; y ¢ = 2sin x + 2 x cos x
(
)
2.26 D ( f ) = ; y ¢ = -6 x ( - x 2 + 3) .sin 2 ( - x3 + 3)
2.28 D ( f ) = ( 0; 1) ; y ¢ =
2.16 D ( f ) = ; y ¢ = sin 2 x
-1 1 - cos x
2.23 D ( f ) = ; y ¢ = 2 ( 2 x 4 - x )( 8 x 3 - 1)
2.13 D ( f ) = ; y ¢ = sin x + cos x 2.15 D ( f ) = 0; ¥ ) ; y ¢ = 3 x (pro x Î ( 0; ¥ ) )
2
1 sin x
3
Diferenciální a integrální počet 2.20 D ( f ) = ( 0; ¥ ) ; y ¢ =
x æ 1ö 12 x çè x ÷ø
2.21 D ( f ) = - {-1} ; y ¢ =
x2 + 2x
( x + 1)
2
2.33 D ( f ) = ; y ¢ = e x + e x .ee + e x .ee .ee x
x
ex
æ ö 2 3ö æ2 3 2 ; ¥ ÷ ; y¢ = 2 2.34 D ( f ) = çç -¥; ÷÷ È çç ÷ 3 ø è 3 3x - 4 è ø
2.35 D ( f ) = ; y ¢ = 6e3 x + 2 2.36 D ( f ) = ; y ¢ = - ( 2 x + 1) e x
2
+ x +2
æ p 3x 2 ö ïì ïü 2.37 D ( f ) = - í 3 ( 2k + 1) ; k Î ý ; y ¢ = e x - 2 ç tg x3 + ÷ 2 cos 2 x3 ø ïî ïþ è ì1 2.38 D ( f ) = - í î2
(
3
2 æ 6 ( 2 x + 1) ö 2 3 3 ü ÷ kp - 1 ; k Î ý ; y ¢ = 2.5x - 2.cotg ( 2 x + 1) ç x.cotg ( 2 x + 1) .ln 5 - 2 3 ç þ sin ( 2 x + 1) ÷ø è
)
æ cos x ö 2.39 D ( f ) = ( -¥ ; 1 ; y ¢ = - 1 - x ç + 2sin x ÷ (pro x Î ( -¥; 1) ) è 1- x ø ìï üï p 2.40 D ( f ) = - í 3 ( 2k + 1) ; k Î ý ; y ¢ = 3 x 2 .cos x3 2 îï þï 1 ö æ 2.41 D ( f ) = - {kp ; k Î } ; y ¢ = ecos x + sin x ç ( cos x - sin x ) .cotg x - 2 ÷ sin xø è 2 ææ p ö 1 ì ü ö + 2 ÷ ( x2 + 4 x - 7 ) + 2 x + 4 ÷ 2.42 D ( f ) = - í( 2k + 1) ; k Î ý ; y ¢ = etg x + x ç ç 2 2 cos x ø î þ èè ø
2.43 y ¢ = -
2 4 ; y ¢¢ = 3 x2 x
2.44 y ¢ = 2 ( x 3 + 3x 2 - 25)( 3x 2 + 6 x ) ; y ¢¢ = 2 ( 3x 2 + 6 x ) + 2 ( x3 + 3 x 2 - 25 ) ( 6 x + 6 ) 2
2.45 y ¢ =
x2 - 2x
( x - 1)
2
; y ¢¢ =
2
( x - 1)
3
2.46 y ¢ = 3cos 3x.sin 6 x - 3sin 3 3x ; y ¢¢ = -9sin 3 x.sin 6 x + 18cos 3 x.cos 6 x 2.47 x + 2 y - 4 = 0 2.48 t: y - 3 = 0 , n: x -
2.49 t: 2 x - y - 2e = 0 , n: x + 2 y - 6e = 0
p =0 6
2.50 x - y ln10 - 3ln10 - 1 = 0
27 sin 6 x 2 æ pö 2.51 x 2 - 2 y + 2 ç 1 - ÷ = 0 è 4ø
2 2 : t: x - y = 0 , n: x + y - 2 = 0 ; x = : t: x - y + 2 = 0 , n: x + y = 0 2 2 p 2.53 [0; 0] : 4 x - y = 0 ; [ 4; 0] : 4 x + y - 16 = 0 16 37 2.55 ± 2.54 4 37 2.52 x =
3. Průběh funkce Ve výsledcích úloh 3.1 až 3.24 je uvedena spolu s definičním oborem pouze množina, v níž je zadaná funkce rostoucí. Množina, v níž je funkce klesající, tvoří doplněk do definičního oboru dané funkce. 3.1 D ( f ) = ; x Î ( -¥; - 2 ) È ( 2; ¥ ) 3.7 D ( f ) = - {-1; 1} ; x Î D ( f ) 3.2 D ( f ) = ; x Î ( -2; 0 ) È ( 4; ¥ )
3.8 D ( f ) = - {1} ; x Î D ( f )
3.3 D ( f ) = ; x Î ( -1; 0 ) È ( 2; ¥ )
3.9 D ( f ) = ; x Î ( -¥; 1)
æ ö 15 ö æ 15 3.4 D ( f ) = ; x Î çç -¥; ; ¥ ÷÷ ÷÷ È çç 5 ø è 5 è ø
3.10 D ( f ) = ; x Î ( -¥; 0 )
3.5 D ( f ) = ; x Î ( -1; 1)
3.12 D ( f ) = ( 0; ¥ ) ; x Î ( 0; e 2 )
3.11 D ( f ) = ; x Î - {( 2k + 1)p ; k Î }
3.6 D ( f ) = - {0} ; x Î ( -¥; - 1) È (1; ¥ ) 3.13 D ( f ) = ; x Î ( -¥; 0 ) È (1; ¥ ) ; xmax = 0 , xmin = 1
8
Diferenciální a integrální počet 3.14 D ( f ) = ; x Î D ( f ) ; extrémy neexistují 3.15 D ( f ) = ; x Î D ( f ) ; extrémy neexistují
3.16 D ( f ) = ( 0; ¥ ) ; x Î ( 0; e 4 ) ; xmax = e4 , minimum není 3.17 D ( f ) = ( 0; ¥ ) ; x Î D ( f ) ; extrémy neexistují 3.18 D ( f ) = ( 0; ¥ ) ; x Î ( 2e; ¥ ) ; xmin = 2e , maximum není 3.19 D ( f ) = ( 0; ¥ ) ; x Î ( 2; ¥ ) ; xmin = 2 , maximum není
p æp ö ìp ü ìp ü 3.20 D ( f ) = ; x Î ç ( 4k - 1) ; ( 4k + 1) ÷ ; k Î ; xmax Î í ( 4k + 1) ; k Î ý , xmin Î í ( 4k - 1) ; k Î ý 4 è4 ø î4 þ î4 þ æp ö ìp ü 3.21 D ( f ) = ; x Î ç ( 2k + 1) ; ( k + 1)p ÷ ; k Î ; xmax Î {kp ; k Î } , xmin Î í ( 2k + 1) ; k Î ý è2 ø î2 þ
p p æp ö æp ö æ ö x Î ç ( 8k + 1) ; ( 2k + 1) ÷ È ç ( 4k + 3) ; 2p ( k + 1) ÷ È ç p ( 2k + 1) ; (8k + 5) ÷ ; k Î ; 2 4 è4 ø è2 ø è ø p p p p ì ü ì ü xmax Î í ( 4k + 1) ; (8k + 5 ) ; 2kp ; k Î ý , xmin Î í (8k + 1) ; ( 4 k + 3 ) ; p ( 2k + 1) ; k Î ý 4 2 î2 þ î4 þ
3.22 D ( f ) = ;
p ìp ü æ ö 3.23 D ( f ) = - í ( 2k + 1) ; k Î ý ; x Î ç kp ; ( 2k + 1) ÷ ; k Î ; xmin Î {kp ; k Î } , maxima nejsou 2 î2 þ è ø 3.24 D ( f ) = ; x Î D ( f ) ; extrémy neexistují 3.25 D ( f ) = ; xmax = 0 , xmin = -4 Ve výsledcích úloh 3.26 až 3.33 je uvedena spolu s definičním oborem pouze množina, v níž je zadaná funkce konvexní. Množina, v níž je funkce konkávní, tvoří doplněk do definičního oboru dané funkce. 3.26 D ( f ) = ; x Î D ( f ) ; inflexní bod není æ 15 ö æ 15 ö 15 ïü ïì 15 ; 0; 3.27 D ( f ) = ; x Î çç -¥; ÷÷ È çç 0; ÷÷ ; xinf Î íý 10 ø è 10 ø 10 ïþ ïî 10 è 3.28 D ( f ) = ; x Î ( -¥; 0 ) È ( 2; ¥ ) ; xinf Î {0; 2} 3.29 D ( f ) = ; x Î ( -2; ¥ ) ; xinf = 2 3.30 D ( f ) = - {0} ; x Î ( 0; ¥ ) ; inflexní bod není ì 5ü 3.31 D ( f ) = - í- ý ; x Î D ( f ) ; inflexní bod není î 2þ 3.32 D ( f ) = - {-3} ; x Î ( -¥; - 3) ; inflexní bod není 3.33 D ( f ) = - {-1} ; x Î ( -¥; - 1) ; inflexní bod není 3.34 D ( f ) =
3.35 D ( f ) =
9
Diferenciální a integrální počet 3.36 D ( f ) = - {1}
3.37 D ( f ) = - {0}
3.38 D ( f ) = - ( -4; 0 )
3.39 D ( f ) =
3.40 D ( f ) = - {0}
3.41 D ( f ) =
3.42 D ( f ) =
3.43 D ( f ) =
3.44 D ( f ) =
3.45 D ( f ) =
10
Diferenciální a integrální počet 3.46 D ( f ) = ( 0; ¥ )
3.47 D ( f ) = ( 0; 1) È (1; ¥ )
3.48 D ( f ) = ( -1; 1)
3.49 D ( f ) = ( -1; 1)
3.50 D ( f ) = ( 0; ¥ )
3.51 D ( f ) = ( -1; ¥ )
3.52 D ( f ) =
3.53 D ( f ) = ( 0; ¥ )
3.54 D ( f ) =
3.55 D ( f ) =
11
Diferenciální a integrální počet 3.56 D ( f ) =
3.57 D ( f ) =
4. Využití diferenciálního počtu 4.1 14 a 14 4.2 a) čtverec, b) čtverec 4.3 trojúhelník je rovnostranný z v 4.4 ´ , kde z je délka základny a v výška trojúhelníka 2 2 4.5 20 cm
4.12 čtverec o straně 6 cm
4.6 30 m ´ 60 m
4.16 2 W
4.7 2 m
4.17 12 cm
4.8 a = 4.9 r = 4.10
4.13 a = 3 2 dm = 1, 26 dm 4.14 a = 4 m 4.15 a =
18 m 2, 5 m 4 +p
b 2 4 4.19 a = 2 f
3 2P , v= 2 P , kde P je povrch hranolu 4 8
4.18 x =
8 128p dm , v = 2 dm , V = dm3 3 9
p 3 4.21 h = d 4.20 a =
3 krát
1ù é 4.11 A = ê2; - ú 2û ë
4.22 čtverec:
4d pd 112 mm , kruh: 88 mm p +4 p +4
5. Neurčitý integrál 5.1 F ( x ) = -2cos x + 4 5.2 F ( x ) =
x3 1 1 - 3x - 3 x 3
5.3 F ( x ) = 4e - 5cos x + 6
f ( x ) dx =
5.5
ò
5.6
ò f ( x ) dx =
5.7 5.8 5.9
ò
x 4 5 x3 + - 2x2 + 7x + C 4 3
5.40
ò f ( x ) dx =
5.41
ò f ( x ) dx = 2 ln ( x - 1) ( x
5.42
ò f ( x ) dx = -2 x cotg x + 2ln sin x + C
ò f ( x ) dx = 6 ò
5.10 5.11
x+ 36
13.x.12 x 17
36.x. x f ( x ) dx = 53. 6 3 x
3
ax
2
ò f ( x ) dx = 15 + 10 -5
ò f ( x ) dx = x
5
+
+
3 7.x 2 . 3 x
10 1 +C 3 3x 2 x
2
1 æx ö - 1) - x ç + 1 ÷ + C 2 è2 ø
x
-x
f ( x ) dx =
3
2
( 4x + 5)
9
5.45
ò
5.46
ò f ( x ) dx = 6 ( 3x + 2 )
5.47
ò f ( x ) dx = 2ln ( x
5.48
ò f ( x ) dx =
5.49
ò f ( x ) dx = 12 (1 - 4 x )
+C
+C b + ln x + C 5
1ö æ ç x- 2 ÷+C è ø
1
5.43
x3 3 1 f ( x ) dx = + x - 2 + C 12 4 8x 24
e2 x 2
ò f ( x ) dx = 2 ( cos ( ln x ) + sin ( ln x ) ) + C 5.44 ò f ( x ) dx = -e ( x + 3x + 6 x + 6 ) + C
x 4 4 x3 3 2 + - x - 18 x + C 4 3 2
6
3ln 2 x +C 10
ò
x
5.4 F ( x ) = - x + 4ln x - 6 + e
f ( x ) dx =
5.39
12
+C
36 -1
2
(x
-1
+C
+ 1) + C
-1 2
2
- 5)
2
+C 2 3
+C
Diferenciální a integrální počet 5.12
5.13 5.14 5.15 5.16
ò
f ( x ) dx =
ö 1 æ x4 27 + 3ax 3 + a 2 x 2 + 27a 3 x ÷ + C 5.50 6 ç 2 a è 4 ø
ò f ( x ) dx =
-1 3 4 (5 - 6x) + C 8 1
5.51
ò f ( x ) dx = 25 ( 2 + 5 x )
2 5
4
+C
ò
f ( x ) dx = 4e x + sin x + C
ò
4 f ( x ) dx = sin x + C 5
5.52
ò f ( x ) dx =
-2 2 - 3x + C 3
ò
-2 3 f ( x ) dx = cos x + C 3
5.53
ò f ( x ) dx =
-1 ln 1 - 3x 3 + C 9
ò
1 1 f ( x ) dx = x - sin x + C 2 2
5.54
ò f ( x ) dx = 2b . ( a - bx )
5.55
ò f ( x ) dx = x - 7 ln x + 2 + C
5.56
ò f ( x ) dx = -
5.57
ò
5.58
ò
5.59
ò f ( x ) dx = - 2 cos ( x
5.60
ò f ( x ) dx = - 3 sin ( 2 - x ) + C
5.61
ò f ( x ) dx = - ln cos x + C
5.62
ò f ( x ) dx = 2 e
5.63
ò f ( x ) dx = - 5 e
5.64
ò f ( x ) dx = 2 e
5.65
ò f ( x ) dx = 2e
ò f ( x ) dx = - cotg x - 2 x + C 5.18 ò f ( x ) dx = - cotg x - x + C 5.19 ò f ( x ) dx = 5 x + C 5.20 ò f ( x ) dx = tg x - cotg x + C 5.21 ò f ( x ) dx = - cotg x + cos x + C 5.22 ò f ( x ) dx = e + tg x + C 5.23 ò f ( x ) dx = x + cos x + C 5.24 ò f ( x ) dx = 3tg x + 2cotg x + C 5.25 ò f ( x ) dx = - x cos x + sin x + C 5.26 ò f ( x ) dx = x sin x + cos x + C 5.27 ò f ( x ) dx = 2 x sin x + ( 2 - x ) cos x + C 5.28 ò f ( x ) dx = e ( x - 1) + C 5.29 ò f ( x ) dx = e ( x - 2 x + 2 ) + C 5.30 ò f ( x ) dx = x ( ln x - 1) + C 5.17
x
2
x
x
2
1
1
2
+C
cos x +C 2 x sin 2 x f ( x ) dx = +C 2 4 4 f ( x ) dx = tg ( 3x + 2 ) + C 3 1
2
+ 3) + C
1
1
3
2x+ 9
1
1
+C 1ö æ çx+ ÷+C 5ø è
1- 5 x
x2 + 6 x
2x
+C
1 - e -2 x + 4 x + C 2
ò
f ( x ) dx =
1ö x3 æ ç ln x - ÷ + C 3è 3ø
5.66
ò f ( x ) dx = e
5.32
ò
f ( x ) dx =
1ö x4 æ ç ln x - ÷ + C 4 è 4ø
5.67
ò f ( x ) dx = 2 e
x2
5.33
ò f ( x ) dx = x ( ln
5.68
ò f ( x ) dx = 2e
x
5.34
ò f ( x ) dx = - x (1 + ln x ) + C
5.69
2 ò f ( x ) dx = 3 (1 + ln x )
5.35
ò f ( x ) dx = 2 + 4 sin 2 x + C
5.70
ò f ( x ) dx = x + 2 sin 2 x + C
5.71
ò f ( x ) dx =
5.72
ò f ( x ) dx = - x - 2 ln cos x + ln sin x + C
5.31
2
x - 2ln x + 2 ) + C
1
x
f ( x ) dx =
1
ex ( sin x - cos x ) + C 2
5.36
ò
5.37
e ò f ( x ) dx = 2 ( sin x + cos x ) + C
x
5.38
ò
f ( x ) dx =
+C
sin x
1
1ö æ çx- ÷+C xø è +C 3
+C
3
11 9 x + 3sin 2 x + sin 4 x + C 2 8 1
ln 3 x +C 3
6. Určitý integrál 6.1 15
6.10
1 1 - 316 ) ( 96
6.17
13
1 ln ( ln 4 ) 2
Diferenciální a integrální počet 138 16 2 5 5 6.3 1 6.4 1 6.5 60 23 5 6.6 + 6ln 6 2 6.2
6.11 ln
6.19 2 - 3
3 8 6.13 0
1 2 6.21 2p + 6
6.12
6.14 -
p 2 1 6.8 - 27 - 333 3 6.7 1 +
(
6.9
6.18 4 2 - 2 3
2+ 3 3
6.15
)
6.20 e +
p 2
9 6.22 - p 2 + 5p + 2 4 6.23 e 2 + 1
3 e ( e 2 - 1) 4
6.24
1 e6 + 1 6.16 ln 3 2
1 10
- ln 3e + 13 18e 2
7. Užití integrálního počtu 7.12 9
7.1 9 7.2 4
1æ 1 ö 7.13 e + ç 2 - 3 ÷ 2èe ø
1 7.3 1 e 7.4 2 5 7.5 12 1 7.6 4 5 7.7 20 6 8 7.8 3 7.9
7.14
æ pö 2 ç1 - ÷ è 8ø
9 4 32 7.16 p 5 7.17 ( e - 2 )p 12 p 5 7.19 p
(
2 12 3 - 20
199 7.11 6
3
)
7.20
63 2807 , p 2 15
64 7.21 p 3
pv ( 3r 2 + v 2 ) 6
4 7.23 V = p r 3 3 7.24 W =
k mM Z h = 7.108 J ( RZ + h ) RZ
7.25 F =
r gah2 3r gah2 = 144.104 N , F = = 108.104 N 2 8
7.26 F =
r glh2 6
7.27 F =
2 r gr 3 3
7.28 F =
r gh2 ( a + 2c ) = 240.104 N 6
7.29 F =
r gah2 = 144.104 N 3
7.15
7.18
512 7.10 15
7.22 V =
7.30 9 m.s -1 , 30 m
14
