1
Funkce více proměnných
Je-li n + 1 proměnných veličin obsaženo v nějaké rovnici, můžeme kteroukoliv z nich pokládat za funkci ostatních n nezávisle proměnných. Takové funkce mají podobné vlastnosti jako funkce jedné nezávislé proměnné. Mohou být tzv. elementární, tj. vzniknou pomocí algebraických operací ze základních elementárních funkcí; mohou být složené, tj. některá z nezávisle proměnných sama může být funkcí; mohou být vyjádřeny v explicitním nebo implicitním tvaru, atd. Nejprve se budeme věnovat funkcím dvou proměnných v explicitním tvaru, tj. funkcím, které se dají vyjádřit ve tvaru z = f (x, y). Takové funkce se vyskytují často. Např. obsah obdélníka S závisí na délce x a šířce y obdélníka, je tedy funkcí obou proměnných. To, že hodnota S závisí na x a y značíme S(x, y). Známý vzorec pro výpočet obsahu obdélníka lze tedy zapsat ve tvaru S(x, y) = x · y.
(1)
Vzorec (1) ovšem vůbec nemusí vyjadřovat pouze obsah obdélníka. Pokud například proměnná x znamená počet platících návštěvníků v kině a y cenu vstupenky na příslušné představení, vzorec (1) vyjadřuje množství peněz utržených za představení; pokud x značí cenu 1 kg jablek a y je celková hmotnost nakoupených jablek, vzorec (1) vyjadřuje peněžní obnos, který jsme za jablka zaplatili, atd. Určitě jste schopni pro vzorec (1) podobné příklady vymyslet sami. Všechny takové příklady budou mít společnou jednu vlastnost: uspořádané dvojici čísel (x, y) přiřadí právě jedno číslo, které charakterizuje hodnotu vyšetřované veličiny. Každé uspořádané dvojici reálných čísel můžeme přiřadit bod v rovině, kterou označíme symbolem E2 . Stejně tak můžeme každé reálné číslo znázornit jako bod na přímce (tzv. číselné ose), tu označíme symbolem E1 . Z matematického hlediska jde o zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny E2 do E1 . Stejně jako u funkce jedné proměnné znázorňujeme i u funkcí dvou proměnných pro lepší představu o jejich charakteru (průběhu) graf funkce. I z tohoto důvodu zobrazujeme množinu čísel jako bod v rovině, resp. v prostoru. Uvažujme např. obdélník o rozměrech 10 × 20. Obsah obdélníka je roven číslu 200. Totéž můžeme zapsat pomocí funkčního předpisu S(20, 10) = 200. Množině (dvojici) čísel (20, 10) přiřazujeme hodnotu 200. Ve vodorovné rovině najdeme bod o souřadnicích [20, 10] a ve výšce 200 nad tímto bodem umístíme bod. Podobným způsobem zobrazíme hodnoty obsahu i u ostatních možných rozměrů obdélníka. Tím získáme nad vodorovnou rovinou xy souvislou plochu – graf funkce S(x, y). V následujících odstavcích budeme tyto dosud intuitivní pojmy korektně formalizovat. Definice 1.1: Mějme v rovině určené kartézskými osami x a y množinu bodů M . Jestliže známe způsob, kterým každému z bodů množiny M přiřadíme právě jedno reálné číslo, tak říkáme, že tímto předpisem je na množině M definována funkce dvou reálných proměnných x a y. Množině M říkáme definiční obor funkce. Stejně jako u funkcí jedné proměnné může mít funkce daná jedním předpisem různé definiční obory. Pokud nebude uvedeno jinak, budeme definičním oborem rozumět tzv. maximální definiční obor, tj. množinu všech bodů, pro které má daný předpis smysl.
1
Příklad 1.1: Funkce z = x2 y je definována v celé reálné rovině. Funkce z = 1 − x2 − y 2 je definována pro všechny body [x, y], ve kterých je splněna nerovnice 1 − x2 − y 2 ≥ 0, tj. x2 + y 2 ≤ 1. Maximálním definičním oborem je tedy kruh se středem v počátku a poloměrem rovným 1 (včetně své hranice). Stejně jako v případě funkcí jedné proměnné tak i v případě funkcí s více nezávislými proměnnými se definují pojmy jako limita funkce v bodě, spojitost funkce v bodě, derivace funkce a další. Pojem limity je opřen o pojem σ-okolí bodu. Definice 1.2: σ-okolím bodu P nazýváme množinu všech bodů, které mají od bodu P vzdálenost menší než σ. Tuto množinu značíme Pσ . Podle výše uvedené definice bod P patří také do Pσ . V rovině xy tvoří Pσ všechny body ležící ve vnitřku kružnice se středem v bodě P a poloměrem σ. V trojrozměrném prostoru je Pσ vnitřek kulové plochy, atd. Definice 1.3: Říkáme, že funkce z = f (x, y) má v bodě P = [x0 , y0 ] limitu rovnu číslu A, existuje-li ke každému (libovolně malému) číslu ε > 0 takové číslo σ > 0 (závislé v obecném případě na volbě čísla ε), že pro všechny body [x, y] = P z Pσ platí |f (x, y) − A| < ε, tj. lim
(x,y)⇒(x0 ,y0 )
=A
⇔
(∀ε > 0)(∃σ > 0)[(x, y) ∈ Pσ ⇒ |f (x, y) − A| < ε].
Předchozí definice má názorný význam. Funkce f (x, y) má v bodě P limitu rovnu číslu A, jestliže pro body dostatečně blízké bodu P jsou všechny hodnoty funkce f (x, y) dostatečně blízké hodnotě A. Pro limitu funkce dvou proměnných lze vyslovit řadu vět. Nejužívanější z nich jsou tyto: Věta 1.1: Mají-li funkce f (x, y), resp. g(x, y) v bodě (x0 , y0 ) limitu rovnu číslu A, resp. číslu B, pak také funkce f (x, y) + g(x, y), kf (x, y), f (x, y)g(x, y) a je-li B = 0 tak i funkce f (x, y)/g(x, y) mají v bodě (x0 , y0 ) limitu a platí [f (x, y) ± g(x, y)] = A + B,
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
lim
[f (x, y)g(x, y)] = AB,
(x,y)→(x0 ,y0 )
lim
kf (x, y) = kA,
(x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y) A = . g(x, y) B
Jestliže grafem funkce dvou proměnných je „souvislá, nikde nepřerušená plocha, označujeme příslušnou funkci jako spojitou funkci. Tato představa je snad názorná, nicméně není to korektní vymezení spojitosti funkce. Tím je až následující definice. Definice 1.4: Řekneme, že f (x, y) je spojitá funkce v bodě P = [x0 , y0 ], jestliže je v tomto bodě definována a jestliže k libovolnému ε > 0 existuje takové σ > 0, že pro všechny body z Pσ je |f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε. Dále vyslovíme dvě věty, které usnadní rozhodování o tom, zda je funkce v určitém bodě spojitá. 2
Věta 1.2: Nechť f (x, y) je definována v bodě P = [x0 , y0 ]. Funkce f (x, y) je v bodě P f (x, y) = f (x0 , y0 ). spojitá tehdy a jen tehdy, jestliže platí lim (x,y)→(x0 ,y0 )
Věta 1.3: Funkce složená ze spojitých funkcí je funkce spojitá. Jestliže funkce f a g jsou spojité v bodě P = [x0 , y0 ], potom i funkce f ± g, f g jsou spojité v bodě P . Jestliže navíc platí g(x0 , y0 ) = 0, pak i funkce f /g je spojitá v bodě P . Pomocí předchozí věty je možné rozhodnout o spojitosti velké třídy funkcí. Stejně jako v případě funkcí jedné proměnné jsou základní elementární funkce spojité na svých definičních oborech. Bežnými algebraickými operacemi z těchto funkcí vzniknou opět funkce spojité na svých definičních oborech.
1.1
Parciální derivace
Víme, jak derivovat množství funkcí jedné nezávisle proměnné a současně víme, co tyto výsledky mohou znamenat. V této kapitole se budeme zabývat tím, jak derivovat funkce dvou nezávisle proměnných a co mohou výsledky získané touto derivací znamenat. Začneme jednoduchými příklady. Příklad 1.2: Společnost vyrábějící kolečkové brusle zjistila, že její týdenní náklady na výrobu se dají vyjádřit pomocí funkce C(x) = 6000 + 700x, kde x je počet týdně vyrobených párů bruslí. Derivací získáme funkci C (x) = 700. Tato ukazuje, o kolik vzrostou, resp. klesnou náklady při zvýšení, resp. snížení výroby o jeden pár bruslí týdně. Příklad 1.3: Stejná společnost přibrala do výrobního programu i výrobu inline bruslí. Nákladová funkce se potom změnila do tvaru C(x, y) = 8000 + 700x + 850y, kde x, resp. y je množství kolečkových, resp. inline bruslí vyrobených týdně. Budeme zkoumat, jak se změní náklady při změně objemu výroby. Předpokládejme, že změníme počet týdně vyráběných kolečkových bruslí a počet vyráběných inline bruslí zachováme beze změny. Z příkladu (1.2) víme, že tuto změnu popisuje funkce C = 700. Tedy, zvýšení, resp. snížení výroby o jeden pár kolečkových bruslí týdně zvedne, resp. sníží náklady o 700 Kč. Uvažujme nyní ten příklad, že výroba kolečkových bruslí zůstává stále na konstantní úrovni a mění se počet týdně vyráběných inline bruslí. Je zřejmé, že zvýšení, resp. snížení výroby o jeden pár inline bruslí týdně zvedne, resp. sníží náklady o 850 Kč. Oba tyto výsledky je možné získat derivací původní funkce C(x, y) tak, že proměnné, které se nemění, považujeme za konstanty, jejichž derivace je rovna nule. Tedy, Cx (x, y) = 700,
Cy (x, y) = 850.
Výraz Cx (x, y) znamená, že y považujeme za konstantní veličinu a derivujeme pouze podle proměnné x, stejně tak v případě výrazu Cy (x, y) považujeme x za konstantu a derivujeme pouze podle proměnné y. Cx (x, y), resp. Cy (x, y) nazýváme parciální (částečné) derivace podle proměnné x resp. y. Definice 1.5: Nechť f (x, y) je funkce dvou proměnných s definičním oborem M . Nechť bod [x0 , y0 ] je vnitřním bodem množiny M . Řekneme, že funkce f (x, y) má v bodě [x0 , y0 ] parciální derivaci podle proměnné x (označení ∂f /∂x, nebo fx ), jestliže existuje vlastní limita f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) . h→0 h
fx (x0 , y0 ) = lim
3
Analogicky definujeme parciální derivaci podle proměnné y (označení ∂f /∂y, nebo fy )pomocí limity f (x0 , y0 + k) − f (x0 , y0 ) . fy (x0 , y0 ) = lim k→0 k Pro ilustraci tohoto pojmu se vrátíme k příkladu (1.3). Společnost vyrábí 160 kolečkových, resp. 120 inline bruslí týdně. Její náklady jsou C(160, 120) = 8000+700·160+850·120 = 222000 Kč týdně. Parciální derivací funkce C(x, y) podle proměnné x je limita C(160 + h, 120) − C(160, 120) = h→0 h lim
(8000 + 700(160 + h) + 850 · 120) − (8000 + 700 · 160 + 850 · 120) 700h = lim = 700. h→0 h→0 h h Dostali jsme parciální derivaci funkce C podle x v bodě [160, 120]. Podobně bychom mohli určit tuto derivaci i pro jiný uvažovaný objem výroby, tj. v jiných bodech definičního oboru. Pokaždé bychom přitom zjistili, že hodnota derivace činí 700. Můžeme tedy psát, že v libovolném bodě definičního oboru je Cx (x, y) = 700. Tím jsme přešli od pojmu derivace funkce v bodě k pojmu derivace funkce. Našli jsme předpis, který libovolnému bodu z definičního oboru přiřazuje jistou hodnotu. V praxi probíhá výpočet parciální derivace podle určité proměnné tak, že jedině tuto proměnnou považujeme ve výrazu za nekonstantní veličinu. K ostatním proměnným se chováme jako ke konstantám. Tato představa někdy činí začátečníkům jisté problémy. Uvedu proto sled příkladů, který by mohl pomoci k lepšímu porozumění. lim
Příklad 1.4: Vrátíme se k funkci jedné proměnné. Derivací funkce f (x) = 5x je funkce f (x) = 5. Derivací funkce f (x) = 10x je funkce f (x) = 10. Derivací funkce f (x) = 15x je funkce f (x) = 15. Obecně, jestliže číslo c znamená nějakou konstantu, tak derivací funkce f (x) = cx je funkce f (x) = c. Onu konstantu c můžeme vyjádřit pomocí jiného písmene, např. y. Pak derivace funkce f (x) = yx je funkce f (x) = y. Podobně můžeme počítat i složitější funkce. Např. derivací funkce f (x) = 3x2 + 6x + 12 je funkce f (x) = 3 · 2x + 6. Pokud je c konstanta, pak derivací funkce f (x) = cx2 + 2cx + 4c je funkce f (x) = 2cx + 2c. Pokud k vyjádření konstantní veličiny c použijeme písmeno y, je derivací funkce f (x) = yx2 + 2yx + 4y funkce f (x) = 2xy + 2y. 2 2 Do třetice všeho dobrého. Derivací funkce f (x) = ex +9 je funkce f (x) = 2xex +9 . Deri2 2 vací funkce f (x) = ex +16 je funkce f (x) = 2xex +16 . Obecně, pokud písmenem y značíme 2 2 2 2 nějakou konstantní veličinu, tak derivací funkce f (x) = ex +y je funkce f (x) = 2xex +y . Poslední výsledky v každém z odstavců v příkladu (1.4) můžeme považovat též za parciální derivace funkce f (x, y) podle proměnné x. Analogicky bychom mohli vypočítat parciální derivace uvedených funkcí podle proměnné y. Příklad 1.5: Parciální derivací funkce f (x, y) = xy podle y je funkce fy (x, y) = x. Pro funkci f (x, y) = yx2 + 2yx + 4y = y(x2 + 2x + 4) je parciální derivací podle proměnné 2 2 y funkce fy (x, y) = x2 + 2x + 4. Pro funkci f (x, y) = ex +y je parciální derivací podle 2 2 proměnné y funkce fy (x, y) = 2yex +y .
4
1.2
Parciální derivace vyšších řádů
Z předchozích příkladů je vidět, že derivací funkce je opět funkce. Je tedy možné opět ji zderivovat a dostat tak derivaci druhého řádu. Protože však „máme na výběr to, podle které proměnné derivujeme, musíme uvést pořadí proměnných, podle kterých byla derivace provedena. Je navíc vidět, že derivací druhého řádu je větší množství. V případě funkcí dvou proměnných jsou celkem čtyři derivace druhého řádu. Derivace druhého řádu Jestliže z = f (x, y), pak ∂ ∂2z = 2 ∂x ∂x
∂2z ∂ = ∂x∂y ∂y
∂2z ∂ = ∂y∂x ∂x
∂2z ∂ = ∂y 2 ∂y
∂z ∂x
∂z ∂x ∂z ∂y
∂z ∂y
= fxx (x, y) = fxx ,
= fxy (x, y) = fxy , = fyx (x, y) = fyx ,
= fyy (x, y) = fyy .
Příklad 1.6: Vypočtěme všechny parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) = 3x2 − 2xy 3 + 1. Vypočtěme nejdříve fx a fy : ∂f = 6x − 2y 3 , ∂x
∂f = −6xy 2 . ∂y
Parciální derivace druhého řádu jsou rovny funkcím: ∂2z ∂ = ∂x2 ∂x ∂2z ∂ = ∂y∂x ∂x
∂z ∂x
∂z ∂y
∂2z ∂ = ∂x∂y ∂y
= 6,
∂2z ∂ = 2 ∂y ∂y
2
= −6y ,
∂z ∂x
∂z ∂y
= −6y 2 ,
= −12xy.
Příklad 1.7: Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) = ex Vypočtěme nejdříve fx a fy : ∂f 2 2 = 2xex +y , ∂x
2 +y 2
.
∂f 2 2 = 2yex +y . ∂y
Parciální derivace druhého řádu jsou rovny funkcím: ∂ ∂2z = ∂x2 ∂x
∂2z ∂ = ∂y∂x ∂x
∂z ∂x
∂z ∂y
= 2ex
2 +y 2
x2 +y 2
= 4xye
2 +y 2
+ 4x2 ex ,
,
∂2z ∂ = ∂x∂y ∂y
∂2z ∂ = 2 ∂y ∂y
∂z ∂y
∂z ∂x
= 2ex
2 +y 2
2 +y 2
,
2 +y 2
.
= 4xyex + 4y 2 ex
a f je nutné si uvědomit, že derivujete součin dvou funkcí, a Pro pochopení výpočtu fxx yy proto je nutné použít známé pravidlo (uv) = u v + uv .
5
1.3
Lokální extrémy funkcí více proměnných
Mnohé praktické úlohy vedou k problému nalezení největší a nejmenší hodnoty funkce. Existence bodů, v nichž funkce více proměnných, která je spojitá na uzavřené, omezené oblasti, nabývá těchto hodnot, je zaručena Weierstrassovou větou. Tato věta však neuvádí návod pro nalezení těchto bodů. Existují spojité funkce, pro které je prakticky nemožné najít vhodný postup pro nalezení největší, resp. nejmenší funkční hodnoty. Tento postup však známe v případě funkcí, které mají spojité parciální derivace 1. řádu podle všech proměnných, tj. pro diferencovatelné funkce. Definice 1.6: Řekneme, že funkce dvou proměnných nabývá ostrého lokálního maxima v bodě P = [x0 , y0 ], právě když existuje Pσ (okolí bodu P s poloměrem σ) takové, že pro všechny body z Pσ platí, že jejich funkční hodnota je rovna nejvýše f (P ), tj. P je ostré lokální maximum funkce f (x, y) ⇔ (∃Pσ )(∀A ∈ Pσ ) : f (A) ≤ f (P ).
Definice 1.7: Řekneme, že funkce dvou proměnných nabývá ostrého lokálního minima v bodě P = [x0 , y0 ], právě když existuje Pσ (okolí bodu P s poloměrem σ) takové, že pro všechny body z Pσ platí, že jejich funkční hodnota je rovna nejméně f (P ), tj. P je ostré lokální minimum funkce f (x, y) ⇔ (∃Pσ )(∀A ∈ Pσ ) : f (A) ≥ f (P ). Lokální maxima a minima souhrně nazýváme lokální extrémy funkce. V další části si popíšene metodu vhodnou k nalezení lokálních extrémů. Věta 1.4: Nechť funkce f (x, y) má v bodě P = [x0 , y0 ] lokální extrém a nechť v bodě P existují obě parciální derivace 1. řádu. Potom platí, že fx (P ) = 0 a fy (P ) = 0. Podle věty 1.4 může mít funkce lokální extrém pouze v těch bodech, ve kterých jsou všechny existující parciální derivace prvního řádu rovny nule, nebo v bodech, ve kterých neexistuje žádná parciální derivace. Je zřejmé, že v bodě, ve kterém má funkce lokální extrém a v kterém existují její parciální derivace 1. řádu podle obou proměnných, rovnají se tyto derivace nule. Bod, ve kterém jsou parciální derivace 1. řádu podle obou proměnných rovny nule, nazýváme stacionární bod funkce f . Existence stacionárního bodu S není postačující podmínkou toho, že funkce má v bodě S lokální extrém. Příklad 1.8: Pro funkci f (x, y) = xy, jejímž grafem je hyperbolický paraboloid, platí fx (0, 0) = 0, fy (0, 0) = 0. Bod [0, 0] je proto stacionární bod funkce f (x, y) = xy. Tato funkce však nemá v bodě [0, 0] lokální extrém, protože f (0, 0) = 0 a libovolném okolí bodu [0, 0] existují body s kladnou funkční hodnotou (x > 0, y > 0) i se zápornou funkční hodnotou (x > 0, y < 0). Postačující podmínku na existenci lokálního extrému v stacionární bodě funkce uvádí následující věta.
6
Věta 1.5: Nechť bod P = [x0 , y0 ] je stacionární bod funkce f (x, y) a nechť v nějakém okolí Pσ bodu P má funkce f (x, y) spojité všechny parciální derivace 2. řádu. Potom platí: a) Jestliže
f (x , y ), f (x , y ) 0 0 xy 0 0 D(x0 , y0 ) = xx (x , y ), f (x , y ) fyx 0 0 yy 0 0
>0
tak funkce f (x, y) má v bodě P = [x0 , y0 ] ostrý lokální extrém f (x0 , y0 ) a to ostré (x , y ) > 0 (resp. f (x , y ) > 0) a ostré lokální minimum jestliže je současně fxx 0 0 yy 0 0 (x , y ) < 0 (resp. f (x , y ) < 0). lokální maximum jestliže je současně fxx 0 0 yy 0 0 b) Jestliže D(x0 , y0 ) < 0, tak funkce nemá v bodě P = [x0 , y0 ] ostrý lokální extrém. Na základě obou předchozích vět postupujeme při hledání lokálních extrémů funkce f (x, y) takto. 1. Najdeme stacionární body dané funkce a body, ve kterých tato funkce nemá parciální derivace. 2. Vyšetříme zvlášť každý z bodů získaný v 1 a zjistíme, zda v něm má funkce extrém. V bodech, ve kterých neexistují parciální derivace postupujeme např. podle definice lokálního extrému. Ve stacionárních bodech postupujeme podle věty 1.5. Příklad 1.9: Nalezněme lokální extrémy funkce f (x, y) = −x2 − y 2 + 6x + 8y − 21. 1) Nalezneme stacionární body funkce. fx (x, y) = −2x + 6 = 0 x=3 fy (x, y) = −2y + 8 = 0 y=4 Funkce má jediný stacionární bod P = [3, 4]. 2) Vypočteme hodnotu D(3, 4). fxx (x, y) = −2,
Je
fxy (x, y) = 0,
fyx (x, y) = 0,
−2 0 D(3, 4) = 0 −2
fyy (x, y) = −2.
= 4 > 0.
Funkce f (x, y) má proto v bodě P = [3, 4] lokální extrém, a protože fx < 0, nastává v bodě P lokální maximum funkce f (x, y) = −x2 − y 2 + 6x + 8y − 21. Příklad 1.10: Nalezněme lokální extrémy funkce f (x, y) = x3 + y 3 − 6xy.
7
1) Nalezneme stacionární body funkce. fx (x, y) = 3x2 − 6y = 0 6y = 3x2 y = 12 x2 fy (x, y) = 3y 2 − 6x = 0 3y 2 = 6x
2 1 2 = 6x 2x 3 4 x = 6x 4 4 3x − 24x = 0
3
3x(x3 − 8) = 0 Z poslední rovnice vyplývá, že řešením jsou hodnoty x = 0 a po dosazení do substituce y = 0, nebo x = 2 a po dosazení y = 2. Funkce má dva stacionární body A = [0, 0] a B = [2, 2]. 2) Vypočteme parciální derivace 2. řádu. fxx (x, y) = 6x,
fxy (x, y) = −6,
fyx (x, y) = −6,
fyy (x, y) = 6y.
6x −6 D(x, y) = = 36xy − 36. −6 6y
Je
Pro bod A = [0, 0] platí: D(0, 0) = 36 · 0 · 0 − 36 = −36. V bodě A funkce f (x, y) = x3 + y 3 − 6xy nemá lokální extrém1 . Pro bod B = [2, 2] je D(2, 2) = 36 · 2 · 2 − 36 = 108 > 0. V bodě B má funkce lokální (2, 2) = 6 · 2 = 12 > 0, nastává v bodě B lokální minimum funkce extrém. Protože fxx f (x, y).
1.4
Vázané extrémy
V této části se budeme zabývat jistou třídou úloh na nalezení extrémů funkce. Uvedeme dvě metody řešení – dosazovací a metodu Lagrangeových multiplikátorů. Pro ilustraci uvedeme jednoduchý příklad. Příklad 1.11: Úspěšný český zemědělec se rozhodl na svém pozemku založit záhon na pěstování růží a kosatců. Oba záhony leží hned vedle sebe, mají být stejně velké a mají mít stejný, obdélníkový tvar. Budou obehnány drátěným pletivem, kterého je k dispozici celkem 360 m. Plot povede i mezi oběma záhony. Jaké mají být rozměry záhonů, jestliže chceme, aby oplocená plocha měla co největší obsah? y
x
Růže
x
Kosatce
x
1 Pro stacionární body [a, b] se zápornou hodnotou D(a, b) se používá název sedlový bod, resp. sedlo. Při pohledu na graf funkce se sedlovým bodem, je zpravidla jasné, jak název vznikl.
8
Jestliže společnou stranu záhonů označíme proměnnou x a celkovou délku obou záhonů dohromady proměnnou y, je celkový obsah obou záhonů roven S(x, y) = xy. Pokud by neexistovalo omezení proměnných x a y, bylo by možné vytvořit libovolně velkou plochu. My jsme však vázáni tím, že pletiva k oplocení pozemku je pouze 360 metrů. Jestliže x značí společnou šířku a y společnou délku obou záhonů, tak k oplocení potřebujeme 3x + 2y metrů pletiva. Hodnoty x a y proto musí vyhovovat vztahu 3x + 2y = 360. Toto omezení možných hodnot x a y nazýváme vazbou. Příklad 1.11 můžeme matematicky vyjádřit ve tvaru: Nalezněte maximum funkce f (x, y) = xy za podmínky (vazby) 3x + 2y − 360 = 0. Tento problém je speciálním případem obecné třídy úloh ve tvaru: Nalezněte maximum (minimum) funkce z = f (x, y) za podmínky (vazby) g(x, y) = 0. Maximum (minimum) funkce vyhovující vazbě nazýváme vázané maximum (minimum). V jednodušších případech (jako je příklad 1.11) je možné úlohu vyřešit tím, že z vazby g(x, y) = 0 vyjádříme jednu proměnnou pomocí druhé, tuto substituci použijeme ve funkci f (x, y) a tím získáme funkci jedné proměnné. Najít její lokální extrém je pak již zpravidla jednoduché. Vyřešme příklad 1.11 vyjádřením jedné proměnné pomocí druhé. Z rovnice vazby 3x + 2y = 360 vyjádříme y pomocí x. Tedy y = 12 (360 − 3x) = 180 − 32 x. Tímto vztahem nahradíme y ve předpisu f (x, y) = xy a dostaneme funkci jedné proměnné f (x) = funkčním 3 3 2 x 180 − 2 x = 180x − 2 x . Tato funkce již v sobě „nese považovanou vazbu. Nalezneme její lokální extrémy. f (x) = 180 − 3x = 0 x = 60 3 y = 180 − 2 x = 180 − 32 60 y = 90 f (x) = −3 < 0 . . . pro x = 60 funkce nabývá maxima. Rozměry obou záhonů budou 60 × 90 metrů. Obsah plochy záhonů bude roven 5 400 m2 a bude to největší možný obsah za udaných podmínek. Jestliže je vazba g(x, y) = 0 složitější rovnicí, popsaný způsob nepomůže a je nutné použít obecnější, např. Lagrangeovu metodu. Popíšeme tuto metodu. Je dána funkce f (x, y), kterou máme maximalizovat (minimalizovat) a vazba g(x, y) = 0. Z funkcí f a g sestrojíme novou funkci F ve tvaru F (x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y),
(2)
kde λ (tzv. Lagrangeův multiplikátor) je zatím libovolně zvolené číslo. Dále řešíme soustavu rovnic Fx = fx (x, y) + λgx (x, y) = 0 Fy = fy (x, y) + λgy (x, y) = 0 g(x, y) = 0 Vypočtenou(é) hodnotu(y) λ dosadíme do funkce F a dál hledáme známým postupem lokální extrémy funkce F pro konkrétní hodnotu(y) λ. 9
Příklad 1.12: Nalezněte vázané extrémy funkce při vazbě Sestrojíme funkci
f (x, y) = x + y
(3)
x2 + y 2 − 1 = 0.
(4)
F (x, y, λ) = x + y + λ(x2 + y 2 − 1)
a sestavíme soustavu rovnic z jejích parciálních derivací a rovnice vazby. Fx = 1 + 2λx = 0 Fy = 1 + 2λy = 0 x2 + y 2 − 1 = 0 Z prvních dvou rovnic vyjádříme x a y pomocí λ a dosadíme do třetí rovnice 1 1 x=− , y=− 2λ 2λ 1 1 4λ2 + 4λ2 − 1 = 0 λ1 = √12 λ2 = − √12 Uvažujme nejdříve případ λ =
√1 . 2
Této hodnotě přísluší Lagrangeova funkce
1 F (x, y, λ) = x + y + √ (x2 + y 2 − 1) 2
(5)
1 1 Najdeme její lokální extrémy. Dosazením do x = − 2λ , y = − 2λ zjistíme stacionární bod 1 1 √ √ P = [− 2 , − 2 ]. Vypočtěme parciální derivace druhého řádu. √ √ = 2, Fxy = 0, Fyx = 0, Fyy = 2 Fxx
Je tedy
√ 1 1 2 √0 = D −√ , −√ = 2 > 0. 0 2 2 2 √ (P ) = Současně platí, že Fxx 2 > 0. To znamená, že funkce (5) má v bodě P = [− √12 , − √12 ] ostré lokální minimum. Bod P je proto vázáné minimum funkce (3) při vazbě (4). Uvažujme nyní ten případ, že λ = − √12 . Této hodnotě přísluší Lagrangeova funkce
1 F (x, y, λ) = x + y − √ (x2 + y 2 − 1) 2
(6)
1 1 Najdeme její lokální extrémy. Dosazením do x = − 2λ , y = − 2λ zjistíme stacionární bod 1 1 S = [ √2 , √2 ]. Vypočtěme parciální derivace druhého řádu. √ √ = − 2, Fxy = 0, Fyx = 0, Fyy =− 2 Fxx
Je tedy
√ 1 1 0 − 2 √ = 2 > 0. D √ ,√ = 0 − 2 2 2 √ (S) = − 2 < 0. To znamená, že funkce (6) má v bodě S = [ √1 , √1 ] Současně platí, že Fxx 2 2 ostré lokální maximum. Bod S je proto vázané maximum funkce (3) při vazbě (4).
10
