Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce.
Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá:
Daná funkce je lichá. Je tedy souměrná podle počátku. 3. Dále si spočítáme průsečíky grafu funkce s osami x,y: Průsečík s osou y je v bodě [0;0]. Průsečík s osou x získáme řešením rovnice . Dále je . Daná rovnice se rovná nule právě tehdy když . Rovnice x²+2=0 se nikdy nerovná 0. Rovnice má tedy jedno řešení x=0. Průsečík s osou x je v bodě [0;0]. 4. V dalším kroku budeme danou funkci derivovat. Tedy . Stacionární body neexistují. 5. daná funkce je tedy rostoucí. 6. Dále provedeme druhou derivaci funkce . Nyní druhou derivaci funkce položíme rovnu nule 6x=0 ⇔ x=0. Bod x=0 je nulový bod druhé derivace. 7. Nyní hledáme inflexi funkce. Bod x=0 určuje intervaly (-∞,0),(0,+∞). Sestrojíme si tedy tabulku:
f ''(x)
(-∞,0) Konkávní
9. Nyní budeme hledat asymptoty funkce tedy
(0,+∞) + Konvexní
8.
a
. Graf funkce nemá asymptoty se směrnicí ani asymptoty bez směrnice. 10. Dále určíme obor hodnot: H(f)=R
11. Nakonec sestrojíme graf funkce:
Mocninná funkce: Příklad 2 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce.
Řešení: 1. Za prvé si určíme definiční obor funkce: D(f)=R. 2. Hned jako další krok zjistíme, zda je daná funkce sudá nebo lichá:
Funkce je sudá. Je tedy souměrná podle osy y. 3. Dále budeme určovat průsečíky grafu funkce s osami x,y: Průsečík s osou y je v bodě [0;0]. Průsečík s osou x vypočítáme vyřešením rovnice . Rovnici budeme řešit substitucí tedy x²=a. Získáme rovnici a²-6a+5=0 dále je . Kořeny rovnice získáme tak, že dosadíme do rovnice x²=a a1 a a2. Dosadíme a1=5 do rovnice x²=a a dostáváme rovnici x²=5 tedy . Dále dosadíme a2=1 do rovnice x²=a a dostáváme rovnici x²=1 tedy x=±1. Průsečíky s osou x jsou v bodech . 4. Dále budeme funkci derivovat tedy rovnu 0 a dostaneme rovnici:
. Dále položíme derivaci funkce rovnici upravíme do součinového tvaru:
. Kořeny rovnice jsou body
.
5. V dalším kroku si určíme monotónnost funkce. Body
určují
. Sestrojíme si tabulku:
intervaly
6. f '(x)
Klesající
+ Rostoucí
Klesající
+ Rostoucí 7. Dále
budeme funkci podruhé derivovat . Nyní druhou derivaci funkce položíme rovnu nule rovnici upravíme do tvaru . Kořeny rovnice jsou body
a
.
8. Nyní budeme řešit inflexi funkce. Body a určují intervaly . Pro určení inflexe si sestrojíme tabulku: (-∞,-1)
(-1,1)
(1,+∞)
f ''(x)
+ Konvexní
Konkávní
10. Dále budeme hledat asymptoty funkce:
+ Konvexní
9.
a
. Graf funkce nemá asymptoty se směrnicí ani asymptoty bez směrnice. 11. Nyní si určíme obor hodnot: 12. Nakonec sestrojíme graf funkce:
Zadání: Vyšetřete průběh exponenciální funkce.
Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor funkce, tedy 2. 2) Dále určíme paritu funkce:
.
Daná funkce není ani sudá ani lichá. 3. Nyní určíme průsečíky grafu funkce s osami x,y: Průsečík s osou y graf funkce nemá, protože z definičního oboru funkce je zřejmé, že za x nelze dosadit 0. Průsečík garfu funkce s osou x dostaneme tak, že za y dosadíme 0. Po dosazení
. Po úpravě nám vyjde
0 za y dostaneme rovnici
. Průsečík s
osou x je tedy v bodě . 4. Dále budeme počítat první derivaci funkce. První derivace funkce je rovna . Dále vypočítáme nulové body první derivace funkce. Nulové body vypočítáme tak, že položíme první derivaci funkce rovnu nule, Dostaneme tedy . Po úpravě nám vyjde kvadratická rovnice
rovnici
.
Kořeny této kvadratické rovnice jsou body a . 5. V dalším kroku určíme monotónnost funkce, vyšetříme tedy znaménka první derivace na definičním oboru funkce f. Body určují intervaly sestrojíme tabulku:
,
,
a bod nespojitosti z definičního oboru
a a
. Pro zjištění monotónnosti si 6.
f '(x)
+ Rostoucí
Klesající
Klesající
+ Rostoucí 7. Dále
budeme počítat druhou derivaci funkce. Druhá derivace funkce je . Dále položíme druhou derivaci funkce rovnu nule. Dostaneme
. Po úpravě nám vyjde rovnice ve tvaru
rovnici
. Nulový
bod druhé derivace je tedy v bodě . 8. Nyní můžeme určit inflexi funkce. Nulový bod druhé derivace a bod nespojitosti z definičního oboru nám určují intervaly sestrojíme tabulku:
,
a
. Pro určení inflexe si 9.
f ''(x)
Konkávní
Konkávní
+ Konvexní 10. Dále
počítáme asymptoty se směrnicí.
. Po úpravě vyjde k=1. Dále počítáme
q, tedy . Po úpravě vyjde q=-3. Asymptota má tedy tvar y=x-3. Zbývá vyšetřit chování funkce v bodě x=0, ve kterém není funkce definována, tedy ,
.
11. Dále si určíme obor hodnot funkce, tedy 12. Nakonec sestrojíme graf funkce:
Zadání: Vyšetřete průběh exponenciální funkce.
Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor funkce, tedy D(f)=R. 2. 2) Dále určíme paritu funkce:
Daná funkce není ani sudá ani lichá. 3. Nyní budeme určovat průsečíky grafu funkce s osami x,y: Průsečík grafu funkce s osou y dostaneme tak, že za x dosadíme 0. Po dosazení nám vyjde, že průsečík s osou y je v bodě [0,0]. Průsečík grafu funkce s osou x vypočítáme dosazením 0 za y. Po dosazení a úpravě rovnice nám vyjde průsečík s osou x v bodě [0,0]. 4. Dále budeme počítat první derivaci funkce. První derivace funkce je . Nyní položíme první derivaci funkce rovnu nule, . Daná rovnice se rovná nule právě tehdy když se
dostaneme rovnici
. Nulové body první derivace jsou tedy body a . 5. V dalším kroku si určíme monotónnost funkce. Nulové body první derivace nám určují intervaly (-∞,0), (0,2) a (2,∞). Pro určení monotónnosti si sestrojíme tabulku: (-∞,0) (0,2) (2,∞) + f '(x) Klesající Rostoucí Klesající 7. Dále si vypočítáme druhou derivaci funkce. Druhá derivace funkce je
6.
. Nyní položíme druhou derivaci funkce rovnu nule. Dostaneme tedy rovnici ve tvaru je vždy kladný stačí nám vyřešit rovnici
. Protože výraz . Kořeny této kvadratické
rovnice jsou body a . 8. Nyní můžeme určit inflexi funkce. Nulové body druhé derivace určují intervaly ,
a
. Pro určení inflexe si sestrojíme tabulku: 9.
f ''(x)
+ Konvexní
Konkávní
+ Konvexní 10. Dále
budeme určovat asymptoty funkce. Asymptoty bez směrnice daná funkce vzhledem k definičnímu oboru nemá, proto budeme počítat asymptoty se směrnicí, tedy a
. Asymptota tedy vyšla y=0, je to tedy osa x.
11. Dále určíme obor hodnot funkce, tedy 12. Nakonec sestrojíme graf funkce:
Vyšetřete průběh logaritmické funkce.
Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor funkce, tedy D(f)=(0,1)∪(1,∞). 2. Dále určíme paritu funkce:
Daná funkce není ani sudá ani lichá. 3. Nyní budeme určovat průsečíky grafu funkce s osami x,y: Průsečík s osou y spočítáme tak že za x dosadíme 0. Z definičního oboru funkce vyplívá, že za x nelze 0 dosadit, graf funkce nemá průsečík s osou y. Průsečík s osou x dostaneme dosazením 0 za y průsečík je tedy v bodě [0,0]. 4. Dále budeme funkce derivovat. První derivace funkce je
. Dále
položíme první derivaci funkce rovnu nule. Dostáváme rovnici ve tvaru . Daná rovnice se rovná nule právě tehdy když se její čitatel rovná nule, řešíme tedy rovnici ln x-1=0. Nulový bod první derivace je x=e. 5. V dalším kroku budeme počítat monotónnost funkce. Nulový bod definičního oboru funkce a nulový bod první derivace funkce nám určují intervaly (0,1), (1,e) a (e,∞). Pro určení monotónnosti funkce si sestrojíme tabulku: (0,1) (1,e) (e,∞) + f '(x) Klesající Klesající Rostoucí 7. Dále budeme počítat druhou derivaci funkce. Druhá derivace funkce je
6.
. Dále položíme druhou derivaci funkce rovnu nule, dostaneme tedy rovnici ve tvaru . Daná rovnice se rovná nule právě tehdy když se její čitatel rovná nule a čitatel rovnice se rovná nule právě tehdy když se 2-ln x=0. Nulový bod druhé derivace je tedy bod x=e2. 8. V dalším kroku zjistíme inflexi funkce. Bod z definičního oboru a nulový bod druhé derivace nám určují intervaly (0,1), (1,e2) a (e2,∞). Pro určení inflexe si sestrojíme tabulku: (0,1)
(1,e2)
(e2,∞)
f ''(x)
Konkávní
+ Konvexní
Konkávní
9.
10. Dále počítáme asymptoty funkce. Nejprve budeme počítat asymptoty bez směrnice. Z definičního oboru je zřejmé, že asymptota bez směrnice je x=1. Asymptota se směrnicí neexistuje. 11. Dále si určíme obor hodnot, tedy: 12. Nakonec sestrojíme graf funkce:
.
