Limita a spojitost funkce Z´aklady vyˇsˇs´ı matematiky ˇ ıhov´ Dana R´ a Mendelu Brno
Pr˚ uˇrezov´ a inovace studijn´ıch program˚ u Lesnick´ e a dˇrevaˇrsk´ e fakulty MENDELU v Brnˇ e (LDF) s ohledem na discipliny spoleˇ cn´ eho z´ akladu reg. ˇ c. CZ.1.07/2.2.00/28.0021
Obsah
1
Definice limity funkce Okol´ı bodu Limita funkce Nevlastn´ı limita Limita v nevlastn´ım bodˇe
2
Vlastnosti limit
3
Spojitost funkce
4
Vlastnosti spojit´ych funkc´ı V´ypoˇcet limit
5
Pravidla pro poˇc´ıt´ an´ı s limitami Spojit´ a funkce Sloˇzen´ a funkce Pod´ıl funkc´ı Polynom a racion´ aln´ı funkce
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
Limita funkce - okol´ı bodu Definice (okol´ı bodu) Necht’ x0 a δ > 0 jsou re´aln´a ˇc´ısla. Okol´ım bodu x0 naz´yv´ame otevˇren´y interval (x0 − δ, x0 + δ), znaˇc´ıme Oδ (x0 ). x0 − δ
x0
x0 + δ
Jestliˇze z okol´ı Oδ (x0 ) vyjmeme bod x0 , hovoˇr´ıme o ryz´ım okol´ı bodu x0 , ¯ δ (x0 ). znaˇc´ıme O x0 − δ
x0
x0 + δ
Ryz´ım okol´ım bodu x0 rozum´ıme tedy mnoˇzinu (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ). Ryz´ı okol´ı bodu se naz´yv´a tak´e prstencov´e okol´ı bodu.
Definice (jednostrann´e okol´ı bodu) Necht’ x0 a δ jsou re´aln´a ˇc´ısla, δ > 0. Prav´ ym okol´ım bodu x0 naz´yv´ame interval hx0 , x0 + δ). x0
x0 + δ
Lev´ ym okol´ım bodu x0 naz´yv´ame interval (x0 − δ, x0 i. x0 − δ
x0
Prav´ ym ryz´ım okol´ım bodu x0 nazveme interval (x0 , x0 + δ). x0
x0 + δ
Lev´ ym ryz´ım okol´ım bodu x0 nazveme interval (x0 − δ, x0 ). x0 − δ
x0
Pˇr´ıklad (pojem limita) x2 − 3x − 4 Sledujme chov´an´ı funkce y = v okol´ı bodu x = 4. V tomto bodˇe nen´ı x−4 dan´a funkce definovan´a: D(f ) = R r {4}, tj. x 6= 4. (x − 4)(x + 1) x2 − 3x − 4 = =x+1 y= x−4 x−4 y 5 P´ıˇseme x2 − 3x − 4 lim =5 x→4 x−4 4
0
x
Pokud jsou hodnoty x bl´ızk´e ˇc´ıslu 4 (avˇsak r˚ uzn´e od 4), jsou funkˇcn´ı hodnoty bl´ızk´e ˇc´ıslu 5.
Limita funkce Definice (limita funkce) ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´a v bodˇe x0 ∈ R limitu L ∈ R, jestliˇze ke kaˇzd´emu ε > 0 ¯ δ (x0 ) bodu x0 plat´ı existuje δ > 0 takov´e, ˇze pro vˇsechna x z ryz´ıho okol´ı O f (x) ∈ Oε (L). P´ıˇseme lim f (x) = L . x→x0
Nepˇresnˇe z´apis lim f (x) = L znamen´a, ˇze jsou-li hodnoty x bl´ızk´e x0 x→x0
(avˇsak x 6= x0 ), jsou funkˇcn´ı hodnoty f (x) bl´ızk´e L. Hodnota limity nez´avis´ı na funkˇcn´ı hodnotˇe v bodˇe x0 , funkce v tomto bodˇe nemus´ı b´yt v˚ ubec definov´ana. Zvol´ıme-li libovolnˇe u ´zk´y p´as kolem pˇr´ımky y = L, pak k nˇemu mus´ıme umˇet naj´ıt interval kolem bodu x0 tak, aby graf funkce f na mnoˇzinˇe (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ) leˇzel cel´y ve zvolen´em p´asu.
Pozn´amka (geometrick´y v´yznam limity) lim f (x) = L
x→x0
y L+ε L L−ε
x0 − δ x0 x0 + δ
x
V ryz´ım okol´ı bodu x0 prob´ıh´a graf funkce f v p´asu ohraniˇcen´em pˇr´ımkami ˇıˇrku 2ε tohoto p´asu vol´ıme libovolnˇe. y = L − ε, y = L + ε. S´
Jednostrann´e limity Definice (jednostrann´e limity) Nahrad´ıme-li v definici limity ryz´ı okol´ı bodu x0 prav´ym ryz´ım okol´ım, dost´av´ame definici limity zprava lim+ f (x) = L . x→x0
Nahrad´ıme-li v definici limity ryz´ı okol´ı bodu x0 lev´ym ryz´ım okol´ım, dost´av´ame definici limity zleva lim− f (x) = L . x→x0
Tyto limity naz´yv´ame jednostrann´ e limity. V pˇr´ıpadˇe limity zleva bereme v u ´vahu jen body leˇz´ıc´ı vlevo od x0 , tj. x ∈ (x0 − δ, x0 ). V pˇr´ıpadˇe limity zprava uvaˇzujeme pouze body leˇz´ıc´ı vpravo od x0 , tj. x ∈ (x0 , x0 + δ).
Definice (Rozˇs´ıˇren´a mnoˇzina re´aln´ych ˇc´ısel) Rozˇs´ıˇrenou mnoˇzinou re´aln´ych ˇc´ısel R∗ rozum´ıme mnoˇzinu re´aln´ych ˇc´ısel R rozˇs´ıˇrenou o body −∞ a +∞. Tedy R∗ = R ∪ {−∞, +∞}. Body ±∞ naz´yv´ame nevlastn´ı body, zat´ımco body mnoˇziny R naz´yv´ame vlastn´ı body. Pro a ∈ R definujeme operace: −∞ − ∞ = −∞ a+∞=∞ ∞·∞=∞ a − ∞ = −∞ (−∞) · (−∞) = ∞
∞+∞=∞
∞ · (−∞) = −∞ | ± ∞| = ∞ a ∞
=
a −∞
=0
Je-li a > 0, pak a · ∞ = ∞, a · (−∞) = −∞ Je-li a < 0, pak a · ∞ = −∞, a · (−∞) = ∞ Nejsou definov´any operace ∞ − ∞,
±∞ · 0,
±∞ ±∞
a nen´ı definov´ano dˇelen´ı nulou.
Tyto v´yrazy se naz´yvaj´ı neurˇcit´e v´yrazy.
Varianty limity Moˇzn´e varianty limity vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe:
lim f (x) = L ,
x→x0
nevlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe: vlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇ e: nevlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇe:
lim f (x) = ±∞ ,
x→x0
lim f (x) = L ,
x→±∞
lim f (x) = ±∞ ,
x→±∞
kde x0 , L ∈ R. O limitˇe ve vlastn´ım bodˇe mluv´ıme, kdyˇz se x pˇribliˇzuje ke koneˇcn´emu ˇc´ıslu, a o limitˇe v nevlastn´ım bodˇe, kdyˇz se x bl´ıˇz´ı k +∞ nebo k −∞. O vlastn´ı limitˇe mluv´ıme, pokud je limita rovna koneˇcn´emu ˇc´ıslu, a o nevlastn´ı limitˇe, pokud je limita rovna +∞ nebo −∞.
Nevlastn´ı limita Definice (nevlastn´ı limita) Funkce f m´a v bodˇe x0 ∈ R nevlastn´ı limitu +∞, jestliˇze ke kaˇzd´emu ˇc´ıslu ¯ δ (x0 ) bodu x0 h ∈ R existuje δ > 0 takov´e, ˇze pro vˇsechna x z ryz´ıho okol´ı O plat´ı f (x) > h. P´ıˇseme lim f (x) = +∞ . x→x0
Funkce f m´a v bodˇe x0 ∈ R nevlastn´ı limitu −∞, jestliˇze ke kaˇzd´emu ˇc´ıslu ¯ δ (x0 ) bodu x0 d ∈ R existuje δ > 0 takov´e, ˇze pro vˇsechna x z ryz´ıho okol´ı O plat´ı f (x) < d. P´ıˇseme lim f (x) = −∞ . x→x0
Nevlastn´ı limita vyjadˇruje skuteˇcnost, ˇze v okol´ı bodu x0 funkce neomezenˇe roste nebo kles´a. Analogicky s pouˇzit´ım prav´eho (lev´eho) ryz´ıho okol´ı v definici nevlastn´ı limity m˚ uˇzeme definovat nevlastn´ı limitu zprava (zleva).
Pozn´amka (geometrick´y v´yznam nevlastn´ı limity) lim f (x) = +∞
x→x0
y
h
x0 − δ
x0
x0 + δ
x
Graf funkce f na mnoˇzinˇe (x0 − δ, x0 + δ) r {x0 } leˇz´ı cel´y nad pˇr´ımkou y = h.
Pˇr´ıklad (nevlastn´ı limita) 1 = +∞ x→0 x2
1 neexistuje x→0 x y
lim
lim
y
0
0
x
x
Limita existuje, i kdyˇz funkce nen´ı definov´ana v bodˇe 0.
lim
x→0+
1 1 = +∞ a lim = −∞ x x→0− x
Limita v nevlastn´ım bodˇe
Definice (limita v nevlastn´ım bodˇe) Funkce f m´a v nevlastn´ım bodˇ e +∞ limitu L ∈ R, jestliˇze ke kaˇzd´emu ˇc´ıslu ε > 0 existuje ˇc´ıslo k ∈ R takov´e, ˇze pro vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla x > k plat´ı f (x) ∈ Oε (L). P´ıˇseme lim f (x) = L . x→+∞
Funkce f m´a v nevlastn´ım bodˇ e −∞ limitu L ∈ R, jestliˇze ke kaˇzd´emu ˇc´ıslu ε > 0 existuje ˇc´ıslo m ∈ R takov´e, ˇze pro vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla x < m plat´ı f (x) ∈ Oε (L). P´ıˇseme lim f (x) = L .
x→−∞
Pozn´amka (geometrick´y v´yznam limity v nevlastn´ım bodˇe) lim f (x) = L
x→+∞
y
L+ε L L−ε
x
k
Graf funkce f leˇz´ı pro kaˇzd´e x > k uvnitˇr p´asu o ˇs´ıˇrce 2ε, kter´y je sestrojen kolem pˇr´ımky y = L.
Pˇr´ıklad (limita v nevlastn´ım bodˇe) lim
x→+∞
1 1+ x
= 1,
lim
x→−∞
1 1+ x
=1
y y = 1+ x1 1 0
x
Nevlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇe Pˇredchoz´ı definici limity v nevlastn´ıch bodech lze rozˇs´ıˇrit i na pˇr´ıpad, kdy hodnota limity bude nevlastn´ı.
Pˇr´ıklad (nevlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇe) lim ex = +∞,
lim ln x = +∞
x→+∞
x→+∞
y
ale
lim ex = 0
x→−∞
y
1 0
1
e
e
x
1 0
1
x
Vlastnosti limit
Vˇeta (jednoznaˇcnost limity) Funkce m´a v kaˇzd´em bodˇe nejv´yˇse jednu limitu.
Vˇeta (souvislost limity s jednostrann´ymi limitami) Funkce f m´a ve vlastn´ım bodˇe x0 limitu pr´avˇe, kdyˇz m´a v tomto bodˇe limitu zprava i zleva a obˇe jsou si rovny: lim f (x) = L pr´avˇe, kdyˇz
x→x0
lim f (x) = lim− f (x) = L.
x→x+ 0
Limita neexistuje, jestliˇze nˇekter´a z jednostrann´ych limit neexistuje, jednostrann´e limity jsou navz´ajem r˚ uzn´e.
x→x0
Pˇr´ıklad Funkce f je zadan´a grafem, D(f ) = R r {−1, 1}: y 2 1 1 3
−3
−1
1
lim f (x) = 0
x→−3
x
lim f (x) = ∞
x→−∞
lim f (x) =
3
x→1 1 3
lim f (x) neexistuje, nebot’
x→3
lim− f (x) = 13 , lim+ f (x) = 2
lim f (x) neexistuje, nebot’
x→3
x→−1
lim f (x) = ∞,
x→−1−
lim f (x) = −∞
x→3
lim f (x) = ∞
x→∞
x→−1+
Spojitost funkce
Definice (Spojitost v bodˇe) Funkce f se naz´yv´a spojit´ a v bodˇ e x0 ∈ R, je-li v tomto bodˇe definov´ana a m´a v bodˇe x0 limitu rovnou funkˇcn´ı hodnotˇe, tj. lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0
Definice (spojitost zprava a zleva) ˇ Rekneme, ˇze funkce f je spojit´ a zprava v bodˇ e x0 ∈ R, jestliˇze lim+ f (x) = f (x0 ), x→x0
spojit´ a zleva v bodˇ e x0 ∈ R, jestliˇze lim f (x) = f (x0 ). x→x− 0
Definice (spojitost na intervalu) ˇ Rekneme, ˇze funkce f je spojit´ a na otevˇren´ em intervalu (a, b), jestliˇze je spojit´a v kaˇzd´em vnitˇrn´ım bodˇe tohoto intervalu. ˇ Rekneme, ˇze funkce f je spojit´ a na uzavˇren´ em intervalu ha, bi, jestliˇze je spojit´a ve vˇsech jeho vnitˇrn´ıch bodech, v bodˇe a je spojit´a zprava a v bodˇe b je spojit´a zleva.
Definice (body nespojitosti) Body, ve kter´ych funkce f nen´ı spojit´a, se naz´yvaj´ı body nespojitosti.
Pˇr´ıklad (body nespojitosti) Funkce f zadan´a grafem y 2 1 1 3
−3
−1
m´a body nespojitosti −3, −1, 1, 3, v bodˇe 3 je spojit´a zleva
1
3
x
Vˇeta (spojitost element´arn´ıch funkc´ı) Z´akladn´ı element´arn´ı funkce a funkce, kter´e vznikly souˇctem, rozd´ılem, souˇcinem, pod´ılem a skl´ad´an´ım tˇechto funkc´ı, tzn. element´arn´ı funkce, jsou spojit´e v kaˇzd´em vnitˇrn´ım bodˇe sv´eho definiˇcn´ıho oboru.
Pozn´amka Body nespojitosti z´akladn´ıch element´arn´ıch funkc´ı jsou body, v nichˇz tyto funkce nejsou definovan´e. Body nespojitosti funkce y = tg x jsou body
π 2
+ kπ, k ∈ Z,
funkce y = cotg x jsou body kπ, k ∈ Z, racion´aln´ı lomen´e funkce jsou nulov´e body jmenovatele.
Vlastnosti spojit´ych funkc´ı Vˇeta (Weierstrassova vˇeta) Necht’ f je funkce spojit´a na uzavˇren´em intervalu ha, bi. Pak je na intervalu ha, bi ohraniˇcen´a, nab´yv´a na intervalu ha, bi sv´e nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı hodnoty. y max
y = f (x)
b 0 a min
x
Vˇeta (Bolzanova vˇeta) Necht’ funkce f je spojit´a na uzavˇren´em intervalu ha, bi. Pak f nab´yv´a na ha, bi vˇsech hodnot mezi svou nejmenˇs´ı a nejvˇetˇs´ı hodnotou. Jestliˇze plat´ı f (a) · f (b) < 0 (tj. f (a) a f (b) maj´ı opaˇcn´a znam´enka), pak existuje ˇc´ıslo c ∈ (a, b) s vlastnost´ı, ˇze f (c) = 0. y
y = f (x)
f (a) c
b
0 a
x
f (b)
Graf funkce f prot´ın´a osu x v bodˇe c. Na Bolzanova vˇetˇe je zaloˇzena metoda p˚ ulen´ı interval˚ u.
V´ypoˇcet limit Vˇeta (pravidla pro poˇc´ıt´an´ı s limitami) Necht’ f a g jsou funkce, kter´e maj´ı limitu v bodˇe x0 ∈ R∗ a necht’ c ∈ R je libovoln´a konstanta. Pak plat´ı lim c = c,
x→x0
lim c · f (x) = c · lim f (x),
x→x0
x→x0
lim f (x) ± g(x) = lim f (x) ± lim g(x), x→x0
x→x0
x→x0
lim f (x) · g(x) = lim f (x) · lim g(x),
x→x0
x→x0
lim f (x) f (x) x→x0 lim = x→x0 g(x) lim g(x)
x→x0
pokud
lim g(x) 6= 0.
x→x0
x→x0
Tyto vzorce m˚ uˇzeme pouˇz´ıt i pˇri poˇc´ıt´an´ı s nevlastn´ ımi limitami, pokud nevedou
∞
k neurˇcit´ym v´yraz˚ um k0 · ∞k, k∞ − ∞k, ∞ .
Pˇr´ıklad (pravidla pro poˇc´ıt´an´ı s limitami) 1
lim (3ex − 2e−x ) = 3 · lim ex − 2 · lim e−x = 3 − 2 = 1
x→0 2
x→0
lim (arctg x + arccotg x) = lim arctg x + lim arccotg x =
x→∞
3
x→0
x→∞
x→∞
π π +0= 2 2
lim ln(2x − 1) ln(2x − 1) 0 x→1 lim = = =0 2 2 x→1 x +4 5 lim (x + 4) x→1
4
lim (ex − 1) · cos x = lim (ex − 1) · lim cos x = 0 · 1 = 0
x→0
x→0
x→0
Limita spojit´e funkce
Je-li funkce f spojit´ a v bodˇe x0 , je hodnota limity rovna funkˇcn´ı hodnotˇe v bodˇe x0 . Limitu poˇc´ıt´ame dosazen´ım x0 do funkce.
Pˇr´ıklad (v´ypoˇcet limity dosazen´ım) 1
x3 − 3x + 5 0−0+5 5 lim = = − x→0 x2 − 4 0−4 4
2
lim arctg(1 − x) = arctg(1 − 0) = arctg 1 =
x→0
π 4
Limita sloˇzen´e funkce
Vˇeta (limita sloˇzen´e funkce) ¯ δ (x0 ) Necht’ lim g(x) = b a lim f (u) = L. Necht’ existuje takov´e ryz´ı okol´ı O x→x0
u→b
bodu x0 , ˇze pro vˇsechna x z tohoto okol´ı je g(x) 6= b. Pak sloˇzen´a funkce f (g(x)) m´a v bodˇe x0 limitu a plat´ı lim f (g(x)) = lim f (u) = L.
x→x0
u→b
Pˇri v´ypoˇctu limity sloˇzen´e funkce nejprve urˇc´ıme limitu vnitˇrn´ı sloˇzky. Pokud je limita vnitˇrn´ı sloˇzky vlastn´ı, dosad´ıme jej´ı hodnotu do vnˇejˇs´ı sloˇzky. nevlastn´ı nebo pokud obdrˇz´ıme nedefinovan´y v´yraz, pouˇzijeme substituci a uvedenou vˇetu.
Pˇr´ıklad (limita sloˇzen´e funkce) 1
lim cos(e−x ) = cos 0 = 1,
x→∞
π
2
lim earctg x = e− 2 ,
x→−∞
3
lim ln
x→0+ 4
protoˇze
1 = lim ln u = ∞, x u→∞ u→∞
x→∞
lim arctg x = −
x→−∞
protoˇze
lim arctg (e−x ) = lim arctg u =
x→−∞
lim e−x = 0
protoˇze
π , 2
lim
x→0+
π 2
1 =∞ x
protoˇze
lim e−x = ∞
x→−∞
Limita pod´ılu funkc´ı - 1. u´prava funkce
Vˇeta (Limita funkc´ı shoduj´ıc´ıch se v ryz´ım okol´ı) ¯ δ (x0 ) bodu x0 plat´ı f (x) = g(x) a existuje Jestliˇze pro vˇsechna x z ryz´ıho okol´ı O lim g(x) = L, pak tak´e x→x0
lim f (x) = L.
x→x0
0
Vˇetu m˚ uˇzeme pouˇz´ıt pˇri v´ypoˇctu limit racion´aln´ı lomen´e funkce typu
0 .
Pˇr´ıklad
x2 − 3x − 4 0
= lim (x − 4)(x + 1) = lim (x + 1) = 5. lim =
0 x→4 x→4 x→4 x−4 x−4
k Limita pod´ılu funkc´ı - 2. limita typu 0
Vˇeta (limita typu k0 ) Necht’ lim f (x) = k 6= 0, k ∈ R∗ a lim g(x) = 0. Existuje-li ryz´ı okol´ı bodu x0 , x→x0
x→x0
ˇze pro vˇsechna x z tohoto okol´ı plat´ı f (x) > 0, g(x)
pak
f (x) < 0, g(x)
pak
lim
f (x) = +∞, g(x)
lim
f (x) = −∞. g(x)
x→x0
x→x0
Vˇeta plat´ı i pro jednostrann´a okol´ı a pˇr´ısluˇsn´e jednostrann´e limity.
k ∗
Pˇri v´ypoˇctu limity typu
0 , kde k 6= 0, k ∈ R je potˇreba urˇcit obˇe jednostrann´e limity a zjistit, zda se rovnaj´ı. Nen´ı-li tomu tak, limita neexistuje.
Pˇr´ıklad (limita typu k0 ) 1
1 x
neexistuje, protoˇze lim =
x→1 1 − x 0
1 x
= lim
0− = −∞, x→1+ 1 − x
2
1 x
lim =
0+ = +∞. x→1− 1 − x
2 2x
= +∞, protoˇze = lim
0 2 x→1 (x − 1)
2 2x
= +∞, lim =
0+ 2 x→1+ (x − 1)
2 2x
= +∞. lim =
0+ 2 x→1− (x − 1)
k Limita pod´ılu funkc´ı - 3. limita typu ∞
k Vˇeta (limita typu ∞ ) Necht’ lim f (x) = k, k ∈ R a lim g(x) = ±∞. Pak x→x0
x→x0
lim
x→x0
f (x) = 0. g(x)
Pokud dostaneme po dosazen´ı do limity pod´ılu funkc´ı
f (x) g(x)
k ∈ R (ˇc´ıslo k je koneˇcn´e), potom je limita rovna nule.
k Pˇr´ıklad (Limita typu ∞ ) 1
2
4 4
lim 2 =
∞ = 0 x→∞ x
sin x 0
=0 lim =
+ −∞ x→0 ln x
k
v´yraz typu
∞ , kde
Limita polynomu a racion´aln´ı lomen´e funkce v ±∞ Vˇeta (limita polynomu a racion´aln´ı lomen´e funkce v nevlastn´ıch bodech) Plat´ı lim (a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ) = lim a0 xn ,
x→±∞
x→±∞
a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an a0 xn lim = lim . x→±∞ b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm−1 x + bm x→±∞ b0 xm
Pˇr´ıklad 1
lim (−3x3 − x2 + 1) = lim −3x3 = (−3) · lim x3 = +∞
x→−∞ 2
3
4
x→−∞
x→−∞
2x5 + x2 − 2 2x5 2 3 2 lim = lim = lim x = · lim x3 = −∞ 2 2 x→−∞ 3x − 2x + 3 x→−∞ 3x x→−∞ 3 3 x→−∞ 3x4 − 2x3 + x 3x4 3 3 lim = lim = lim = x→+∞ x→+∞ 4x4 x→+∞ 4 4x4 − 1
4
2 2x + 3 2x 2
=0 lim = lim = lim =
∞ x→∞ 3x3 − x2 + 4 x→∞ 3x3 x→∞ 3x2
Pozn´amka
0 ∞
Limity typu
0 a ∞ se ˇreˇs´ı pomoc´ı derivac´ı a tzv. l’Hospitalova pravidla.
Podpoˇreno projektem
Pr˚ uˇrezov´ a inovace studijn´ıch program˚ u Lesnick´ e a dˇrevaˇrsk´ e fakulty MENDELU v Brnˇ e (LDF) s ohledem na discipliny spoleˇ cn´ eho z´ akladu reg. ˇ c. CZ.1.07/2.2.00/28.0021
ˇ e republiky za pˇrispˇen´ı finanˇcn´ıch prostˇredk˚ u EU a st´ atn´ıho rozpoˇctu Cesk´
