LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE - CVIČENÍ

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT – MATEMATIKA

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění ﬁnančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky.

Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D.

[email protected]

MT – MATEMATIKA

Limita funkce, spojitost funkce - CVIČENÍ

2

Cvičení 1 . (Limita spojité funkce) 2 1. limx→0 1−x x2 −2 Řešení. Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). Víme, že je-li funkce f (x) spojitá v x0 , pak dostaneme po dosazení bodu x0 do funkce funkční hodnotu, která je zároveň limitou funkce v daném bodě. Tedy 1 − 02 1 1 1 − x2 = = =− 2 2 x→0 x − 2 0 −2 −2 2 lim

2. limx→ π2 x2 sin x Řešení. Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). Víme, že je-li funkce f (x) spojitá v x0 , pak dostaneme po dosazení bodu x0 do funkce funkční hodnotu, která je zároveň limitou funkce v daném bodě. Tedy limπ x2 sin x =

x→ 2

π 2 2

· sin

π π2 π2 = ·1= 2 4 4

3. limx→1 (x + 1) ln x Řešení. Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). Víme, že je-li funkce f (x) spojitá v x0 , pak dostaneme po dosazení bodu x0 do funkce funkční hodnotu, která je zároveň limitou funkce v daném bodě. Tedy lim (x + 1) ln x = (1 + 1) · ln 1 = 2 · 0 = 0 x→1

Cvičení 2 . (Limita polynomu a racionální lomené funkce pro x → ±∞) 1. limx→∞ (x3 + 5x − 6) Řešení. Víme, že platí lim (a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ) = lim a0 xn x→±∞

x→±∞

Tedy lim (x3 + 5x − 6) = lim x3 x→∞

x→∞

Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). Tedy lim x3 = ∞3 = ∞ x→∞

MT – MATEMATIKA


2. limx→−∞ (3x2 − x − 5) Řešení. Víme, že platí lim (a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ) = lim a0 xn

x→±∞

x→±∞

Tedy lim (3x2 − x − 5) = lim 3x2 x→−∞

x→−∞

Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). Tedy lim 3x2 = 3 · (−∞)2 = 3 · ∞ = ∞ x→−∞

3. limx→−∞ (2x5 + 1) Řešení. Víme, že platí lim (a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ) = lim a0 xn

x→±∞

x→±∞

Tedy lim (2x5 + 1) = lim 2x5 x→−∞

x→−∞

Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). Tedy lim 2x5 = 2 · (−∞)5 = 2 · (−∞) = −∞ x→−∞ 3

3x −2x+1 4. limx→∞ 2x 3 +x2 −x Řešení. Víme, že platí

a0 x n a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = lim m m−1 x→±∞ b0 x + b1 x + · · · + bm−1 x + bm x→±∞ b0 xm lim

Tedy

3x3 − 2x + 1 3x3 3 = lim = čitatel a jmenovatel se zkrátí = lim x→∞ 2x3 + x2 − x x→∞ 2x3 x→∞ 2 lim

Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). Tedy lim x→∞

3 3 = není žádně x, není kam dosadit = 2 2

3

MT – MATEMATIKA 3


2

−x +2 5. limx→−∞ 7x x2 +2x+7 Řešení. Víme, že platí

a0 x n a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = lim x→±∞ b0 xm x→±∞ b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm−1 x + bm lim

Tedy

7x3 − x2 + 2 7x3 7x = lim = lim 7x = čitatel a jmenovatel se zkrátí = lim x→−∞ x2 + 2x + 7 x→−∞ x2 x→−∞ x→−∞ 1 lim

Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). Tedy lim 7x = 7 · (−∞) = −∞ x→−∞ 2

6. limx→∞ x3x−x−8 4 +4x Řešení. Víme, že platí a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an a0 x n = lim x→±∞ b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm−1 x + bm x→±∞ b0 xm lim

Tedy

x2 − x − 8 x2 1 = lim = čitatel a jmenovatel se zkrátí = lim 4 4 x→∞ 3x + 4x x→∞ 3x x→∞ 3x2 lim

Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). Tedy lim x→∞

1 1 1 1 = = = =0 3x2 3 · (∞)2 3·∞ ∞

4

MT – MATEMATIKA


5

Cvičení 3 . (Limita funkce, dostaneme-li po dosazení a0 , kde a ∈ R∗ r 0) 1. limx→0 x1 Řešení. Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). 1 1 lim = x→0 x 0 Víme, že tyto limity počítáme pomocí jednostranných limit, které se musí rovnat. Tedy • Limita zleva

• Limita zprava

1 1 1 = −∞ lim = − = 0 −0, 0000 . . . 001 x→0− x 1 1 1 = ∞ lim = + = + 0 0, 0000 . . . 001 x→0 x

Víme, že funkce f (x) má v bodě x0 limitu, právě tehdy když obě jednostranné limity (zleva i zprava) jsou si rovny. Tedy limx→0

1 x

neexistuje.

1 2. limx→3 x−3 Řešení. Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). 1 1 1 = = lim x→3 x − 3 3 − 3 0

Víme, že tyto limity počítáme pomocí jednostranných limit, které se musí rovnat. Tedy • Limita zleva

• Limita zprava

1 1 1 1 = −∞ lim = = = − 3 − 3 2, 9999 . . . 999 − 3 −0, 0000 . . . 001 x→3− x − 3 1 1 1 1 = ∞ = = lim = + 3 − 3 3, 0000 . . . 001 − 3 0, 0000 . . . 001 x→3+ x − 3


1 x−3

neexistuje.

MT – MATEMATIKA


6

3. limx→−4 x+12 x+4 Řešení. Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). x + 12 −4 + 12 8 lim = = x→−4 x + 4 −4 + 4 0 Víme, že tyto limity počítáme pomocí jednostranných limit, které se musí rovnat. Tedy • Limita zleva −4 + 12 8 8 x + 12 = −∞ = = = do čitatele dosadíme − 4, protože čitatel není problémový = − lim −4 + 4 −4, 0000 . . . 001 + 4 −0, 0000 . . . 001 x→−4− x + 4

• Limita zprava

−4 + 12 8 8 x + 12 = ∞ = = lim = do čitatele dosadíme − 4, protože čitatel není problémový = + + −4 + 4 −3, 9999 . . . 999 + 4 0, 0000 . . . 001 x→−4 x + 4

Víme, že funkce f (x) má v bodě x0 limitu, právě tehdy když obě jednostranné limity (zleva i zprava) jsou si rovny. Tedy limx→−4 4. limx→5

x+12 x+4

neexistuje.

6 (x−5)2

Řešení. Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). 6 6 6 6 = = = lim 2 2 x→5 (x − 5) (5 − 5) 02 0


• Limita zprava

6 6 6 6 6 = = = = ∞ lim = − 2 2 2 2 (5 − 5) (4, 9999 . . . 999 − 5) (−0, 0000 . . . 001) 0, 0000 . . . 001 x→5− (x − 5) 6 6 6 6 6 = = = = ∞ lim = + 2 2 2 2 (5 − 5) (5, 0000 . . . 001 − 5) (0, 0000 . . . 001) 0, 0000 . . . 001 x→5+ (x − 5)


6 (x−5)2

= ∞.

MT – MATEMATIKA

5. limx→−6


7

−8 (x+6)3

Řešení. Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). −8 −8 −8 −8 = = = lim x→−6 (x + 6)3 (−6 + 6)3 03 0


• Limita zprava

−8 −8 −8 −8 −8 lim = = = = (−6− + 6)3 (−6, 0000 . . . 001 + 6)3 (−0, 0000 . . . 001)3 −0, 0000 . . . 001 = ∞ x→−6− (x + 6)3 −8 −8 −8 −8 −8 = = = = lim (−6+ + 6)3 (−5, 9999 . . . 999 + 6)3 (0, 0000 . . . 001)3 0, 0000 . . . 001 = −∞ x→−6+ (x + 6)3

Víme, že funkce f (x) má v bodě x0 limitu, právě tehdy když obě jednostranné limity (zleva i zprava) jsou si rovny. Tedy limx→−6

−8 (x+6)3

neexistuje.

x+8 6. limx→2 2−x Řešení. Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). x + 8 2 + 8 10 = = lim x→2 2 − x 2 − 2 0


2 + 8 x+8 10 10 = ∞ lim = = = do čitatele dosadíme 2, protože čitatel není problémový = − 2−2 2 − 1, 9999 . . . 999 0, 0000 . . . 001 x→2− 2 − x

• Limita zprava

2 + 8 10 10 x+8 = = = −∞ = do čitatele dosadíme 2, protože čitatel není problémový = lim 2 − 2+ 2 − 2, 0000 . . . 001 −0, 0000 . . . 001 x→2+ 2 − x


x+8 2−x

neexistuje.

MT – MATEMATIKA


8

7. limx→0 x12 Řešení. Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). 1 1 1 lim 2 = 2 = x→0 x 0 0


• Limita zprava

1 1 1 1 = ∞ = lim 2 = − 2 = (0 ) (−0, 0000 . . . 001)2 0, 0000 . . . 001 x→0− x 1 1 1 1 = ∞ lim 2 = + 2 = = (0 ) (0, 0000 . . . 001)2 0, 0000 . . . 001 x→0+ x

Víme, že funkce f (x) má v bodě x0 limitu, právě tehdy když obě jednostranné limity (zleva i zprava) jsou si rovny. Tedy limx→0 8. limx→6

1 x2

= ∞.

6 (6−x)4

Řešení. Víme, že při výpočtu limity limx→x0 f (x) postupujeme tak, že dosadíme bod x0 do funkce f (x). 6 6 6 6 = = = lim 4 4 x→6 (6 − x) (6 − 6) 04 0


• Limita zprava

6 6 6 6 6 = ∞ lim = = = = 4 − 4 4 4 − (6 − 6 ) (6 − 5, 9999 . . . 999) (0, 0000 . . . 001) 0, 0000 . . . 001 x→6 (6 − x) 6 6 6 6 6 = ∞ = = = = lim 4 + 4 4 4 + (6 − 6 ) (6 − 6, 0000 . . . 001) (−0, 0000 . . . 001) 0, 0000 . . . 001 x→6 (6 − x)


6 (6−x)4

= ∞.

MT – MATEMATIKA


Cvičení 4 . (Limita složené funkce) 1. limx→∞ sin(arctg x) Řešení. Víme, že při výpočtu limity složené funkce limx→x0 g(f (x)) postupujeme tak, že nejdříve určíme limitu vnitřní složky. Svými slovy řečeno - vnoříme se limitou až k vnitřní složce, tedy limx→x0 g(f (x)) = g (limx→x0 f (x)). π lim sin(arctg x) = sin lim arctg x = vypočítáme nejdříve limitu v závorce (tedy dosadíme) = sin (arctg ∞) = sin = 1 x→∞ x→∞ 2 5x2 +1

2. limx→∞ e x2 −8 Řešení. Víme, že při výpočtu limity složené funkce limx→x0 g(f (x)) postupujeme tak, že nejdříve určíme limitu vnitřní složky. Svými slovy řečeno - vnoříme se limitou až k vnitřní složce, tedy limx→x0 g(f (x)) = g (limx→x0 f (x)). lim e

5x2 +1 x2 −8

=e

limx→∞

5x2 +1 x2 −8

=

x→∞

vypočítáme nejdříve limitu v závorce (je to typ - Limita polynomu a racionální lomené funkce pro x → ±∞ viz Cvičení 2) =

=e

limx→∞

5x2 x2

= e(limx→∞ 5) = e5

1 3. limx→1 arctg 1−x Řešení. Víme, že při výpočtu limity složené funkce limx→x0 g(f (x)) postupujeme tak, že nejdříve určíme limitu vnitřní složky. Svými slovy řečeno - vnoříme se limitou až k vnitřní složce, tedy limx→x0 g(f (x)) = g (limx→x0 f (x)). 1 1 = arctg lim = lim arctg x→1 1 − x x→1 1−x

a

vypočítáme nejdříve limitu v závorce (je to typ - Limita funkce, dostaneme-li po dosazení , kde a ∈ R∗ r 0 viz Cvičení 3) = 0 1 = arctg = 0

víme, že tuto limitu v závorce počítáme pomocí jednostranných limit, které se musí rovnat. Tedy

• Limita zleva

• Limita zprava

1 1 1 1 = ∞ lim = = = − − 1−1 1 − 0, 9999 . . . 999 0, 0000 . . . 001 x→1 1 − x 1 1 1 1 = −∞ = = = lim + + 1−1 1 − 1, 0000 . . . 001 −0, 0000 . . . 001 x→1 1 − x

9

MT – MATEMATIKA


1 Víme, že funkce f (x) má v bodě x0 limitu, právě tehdy když obě jednostranné limity (zleva i zprava) jsou si rovny. Tedy limx→1 1−x neexistuje. Víme, že když limita vnitřní složky neexistuje, potom neexistuje ani původní limita složené funkce ze zadání, kterou jsme počítali. Tedy limx→1 arctg neexistuje.

10

1 1−x

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE - CVIČENÍ

Recommend Documents