Kapitola 5: Funkce více proměnných, jejich spojitost a limita

Sbírka příklad˚ u Matematika II pro strukturované studium

Kapitola 5: Funkce více proměnných, jejich spojitost a limita Chcete-li ukonˇ cit prohl´ıˇ zen´ı stisknˇ ete kl´ avesu Esc. Chcete-li pokraˇ covat stisknˇ ete kl´ avesu Enter.

. – p.1/13

Funkce více proměnných, jejich spojitost a limita • Definiˇ cn´ı obor funkce v´ıce promˇ enn´ ych • Graf funkce dvou promˇ enn´ ych • Limita funkce dvou promˇ enn´ ych Zpˇ et

. – p.2/13

Deﬁniční obor funkce více proměnných • Pˇ r´ıklad 5.1.1 Urˇ cete a nakreslete definiˇ cn´ı obor funkce f (x, y) = arcsin (2x − y) + arccos (x − 2y) . Napiˇ ste a zd˚ uvodnˇ ete, kter´ e z n´ asleduj´ıc´ıch vlastnost´ı D(f ) m´ a a kter´ e nem´ a: otevˇ ren´ a, uzavˇ ren´ a, souvisl´ a, konvexn´ı, omezen´ a. Urˇ cete hranici D(f ). Je funkce f (x, y) na sv´ em definiˇ cn´ım oboru omezen´ a? • Pˇ r´ıklad 5.1.2 Urˇ cete a nakreslete definiˇ cn´ı obor funkce x2 , f (x, y) = ln 2x − y

urˇ cete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, kter´ a proch´ az´ı bodem A = (1, 1). • Pˇ r´ıklad 5.1.3 Najdˇ ete a nakreslete definiˇ cn´ı obor funkce q √ f (x, y) = x − y. Kter´ e vrstevnice proch´ azej´ı body A = (1, 1), B = (5, 1), C = (4, 0)? Nakreslete je do obr´ azku. Zpˇ et

. – p.3/13

Příklad 5.1.1 Urˇ cete a nakreslete definiˇ cn´ı obor funkce f (x, y) = arcsin (2x − y) + arccos (x − 2y) . Napiˇ ste a zd˚ uvodnˇ ete, kter´ e z n´ asleduj´ıc´ıch vlastnost´ı D(f ) m´ a a kter´ e nem´ a: otevˇ ren´ a, uzavˇ ren´ a, souvisl´ a, konvexn´ı, omezen´ a. Urˇ cete hranici D(f ). Je funkce f (x, y) na sv´ em definiˇ cn´ım oboru omezen´ a? ?

Zpˇ et

. – p.4/13

Příklad 5.1.1 Urˇ cete a nakreslete definiˇ cn´ı obor funkce f (x, y) = arcsin (2x − y) + arccos (x − 2y) . Napiˇ ste a zd˚ uvodnˇ ete, kter´ e z n´ asleduj´ıc´ıch vlastnost´ı D(f ) m´ a a kter´ e nem´ a: otevˇ ren´ a, uzavˇ ren´ a, souvisl´ a, konvexn´ı, omezen´ a. Urˇ cete hranici D(f ). Je funkce f (x, y) na sv´ em definiˇ cn´ım oboru omezen´ a?

Výsledek:

D(f ) = {(x, y) ∈

R2 ,

2x − 1 ≤ y ≤ 2x + 1} ∩ {(x, y) ∈

= rovnobˇ eˇ zn´ık ABCD, A = [−1, −1], B = H = {(x, y) ∈ ∪ {(x, y) ∈

R2 ,

R2 ,

y=

y=

R2 ,

x−1 x+1 ≤y≤ }= 2 2

1 1 1 1 ,− , C = [1, 1], D = − , . 3 3 3 3

x−1 1 , x ∈ h−1, i} ∪ {(x, y) ∈ 2 3

x+1 1 , x ∈ h− , 1i} ∪ {(x, y) ∈ 2 3

R2 , y = 2x − 1, x ∈ h

1 , 1i} ∪ 3

R2 , y = 2x + 1, x ∈ h−1, −

1 i}. 3

D(f ) je uzavˇ ren´ a, souvisl´ a, konvexn´ı a omezen´ a mnoˇ zina, nen´ı otevˇ ren´ a. Funkce f (x, y) je na sv´ em definiˇ cn´ım oboru omezen´ a. Zpˇ et

. – p.4/13


Návod: Vyuˇ zijeme znalosti definiˇ cn´ıho oboru cyklometrick´ ych funkc´ı arcsin a arccos. Obˇ e tyto funkce jsou na sv´ em definiˇ cn´ım oboru omezen´ e, tedy i jejich souˇ cet je funkce omezen´ a na sv´ em definiˇ cn´ım oboru. Hranice D(f ) patˇ r´ı do definiˇ cn´ıho oboru, je tedy D(f ) uzavˇ ren´ a mnoˇ zina, nen´ı otevˇ ren´ a. Zb´ yv´ a rozhodnout, zda libovoln´ e dva body D(f ) lze spojit u ´ seˇ ckou, kter´ a cel´ a leˇ z´ı v D(f ) (konvexnost) a zda pro libovoln´ e dva body D(f ) existuje lomen´ aˇ ca ´ra, kter´ a je spojuje a leˇ z´ı cel´ a v D(f ) (souvislost). Abychom dok´ azali omezenost, mus´ıme naj´ıt ˇ c´ıslo K > 0, takov´ e, ˇ ze vzd´ alenost libovoln´ eho bodu D(f ) od poˇ ca ´tku je menˇ s´ı nebo rovna K. Zpˇ et

. – p.4/13


Řešení: Funkce arcsin(t) a arccos(t) jsou definov´ any pro t ∈ h−1, 1i, tedy mus´ı b´ yt −1 ≤ 2x − y ≤ 1,

−1 ≤ x − 2y ≤ 1.

Nerovnosti vyˇ reˇ s´ıme a dostaneme D(f ) = {(x, y) ∈

R2 ,

2x − 1 ≤ y ≤ 2x + 1} ∩ {(x, y) ∈

R2 ,

x+1 x−1 ≤y≤ }. 2 2

Jde o rovnobˇ eˇ zn´ık ABCD, A = [−1, −1], B =

1 1 1 1 ,− , C = [1, 1], D = − , . 3 3 3 3

Hranice definiˇ cn´ıho oboru je tvoˇ rena u ´ seˇ ckami AB, BC, CD a DA. Vˇ sechny tyto u ´ seˇ cky leˇ z´ı v definiˇ cn´ım oboru, mnoˇ zina D(f ) je tedy uzavˇ ren´ a a nen´ı otevˇ ren´ a. Dalˇ s´ı

. – p.4/13


Řešení: Spojnice libovoln´ ych dvou bod˚ u D(f ) leˇ z´ı cel´ a v D(f ), D(f ) je tedy konvexn´ı, a protoˇ ze libovoln´ e dva body D(f ) lze spojit lomenou ˇ carou, kter´ a cel´ a leˇ z´ı v D(f ), D(f ) je tedy souvisl´ a. Protoˇ ze ”nejvzd´ alenˇ ejˇ s´ımi” body ca ´tku jsou body A a C a jejich vzd´ alenost od √ od poˇ 2 poˇ ca ´tku je ρ(A, 0) = ρ(C, 0) = 2, kde 0 = [0, 0] ∈ R √ je poˇ ca ´tek souˇ radnic, alenost √ je vzd´ z´ıme K = 2. Pak libovoln´ eho bodu D(f ) od poˇ ca ´tku menˇ s´ı nebo rovna 2. Poloˇ ρ(X, 0) ≤ K ∀ X = [x, y] ∈ D(f ), mnoˇ zina D(f ) je tedy omezen´ a. π π Protoˇ ze obor hodnot funkce H(arcsin t) = h− , i a obor hodnot funkce 2 2 H(arccos t) = h0, πi, jsou obˇ e tyto funkce omezen´ e a tedy i jejich souˇ cet je funkce omezen´ a na sv´ em definiˇ cn´ım oboru. Zpˇ et

. – p.4/13


Maple: >

with(plots):

>

f:=(x,y)->arcsin(2*x-y)+arccos(x-2*y);

f := (x, y) → arcsin(2 x − y) + arccos(x − 2 y) Pro pˇ redstavu si nakresl´ıme graf dan´ e funkce. > plot3d(arcsin(2*x-y)+arccos(x-2*y), x=-1.0..1.0, y=-1..1,axes=normal,numpoints=400,orientation=[70,45]); 4 3 2 1

–1 –0.5

–0.5 1

0.5

–1

y 0.5 x 1

Pro definiˇ cn´ı obor mus´ı platit: −1 <= 2x − y <= 1, −1 <= x − 2y <= 1, Vypoˇ cteme souˇ radnice bod˚ u A, B, C, D, kde bod A je pr˚ useˇ c´ık pˇ r´ımek y = 2x + 1 a y = 0.5(x − 1), bod B pr˚ useˇ c´ık pˇ r´ımek y = 2x + 1 a y = 0.5(x − 1), bod C pr˚ useˇ c´ık pˇ r´ımek y = 2x − 1 a y = 0.5(x + 1), bod D pr˚ useˇ c´ık pˇ r´ımek y = 2x + 1 a y = 0.5(x + 1). Dalˇ s´ı

. – p.4/13


Maple: Definiˇ cn´ım oborem fce f je rovnobˇ eˇ zn´ık ABCD, hranice je tvoˇ rena u ´ seˇ ckami AB, BC, CD, DA a leˇ z´ı cel´ a v definiˇ cn´ım oboru f . > xA:=solve(2*x+1=0.5*(x-1)); xA := −1.

>

yA:=2*xA+1;

>

yA := −1. xB:=solve(2*x-1=0.5*(x-1)); xB := 0.3333333333

>

yB:=2*xB-1;

>

yB := −0.3333333334 xC:=solve(2*x-1=0.5*(x+1)); xC := 1.

>

yC:=2*xC-1;

yC := 1. >

Dalˇ s´ı

xD:=solve(2*x+1=0.5*(x+1));

xD := −0.3333333333 . – p.4/13


Maple: >

yD:=2*xD+1;

yD := 0.3333333334 > a1:=contourplot(arcsin(2*x-y)+arccos(x-2*y),x=-1.5..1.5, y=-1..1,axes=normal,grid=[50,50],filled=true, coloring=[yellow,green]): > a2:=implicitplot(0.5*(x-1)=y,x=-1.5..1.5, y=-2..2,axes=normal,grid=[50,50],color=black): > a3:=implicitplot(2*x+1=y,x=-1.5..1.5, y=-2..2,axes=normal,grid=[50,50],color=black): > a4:=implicitplot(2*x-1=y,x=-1.5..1.5, y=-2..2,axes=normal,grid=[50,50],color=black): > a5:=implicitplot(0.5*(x+1)=y,x=-1.5..1.5, y=-2..2,axes=normal,grid=[50,50],color=black): > a6:=PLOT(POINTS([-1,-1],[1/3,-1/3],[1,1],[-1/3,1/3], SYMBOL(BOX)), TEXT([-1,-1],’‘ A‘’,ALIGNBELOW,ALIGNRIGHT), TEXT([1/3,-1/3],’‘ B‘’,ALIGNBELOW,ALIGNRIGHT), TEXT([1,1],’‘ C‘’,ALIGNBELOW,ALIGNRIGHT), TEXT([-1/3,1/3],’‘ D‘’,ALIGNBELOW,ALIGNRIGHT)): > a7:=PLOT(CURVES([[-1,-1],[1/3,-1/3],[1,1],[-1/3,1/3], [-1,-1]],THICKNESS(4),COLOR(RGB, .5607, .7372, 0.0))): Dalˇ s´ı

. – p.4/13


Maple: Nakreslen´ı cel´ eho definiˇ cn´ıho oboru: > display({a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7}); 2

y

1

C

D –1.5

–1

A

–0.5

0

0.5 B

x

1

1.5

–1

–2

Zpˇ et

. – p.4/13


Mathematica: f [x , y ] = ArcSin[2x − y] + ArcCos[x − 2y]; Simplify[−1<=2x − y] y ≤ 1 + 2x

<< Algebra`InequalitySolve` Urˇ cen´ı definiˇ cn´ıho oboru funkce arcsin(2x − y). InequalitySolve[−1<=2x − y ≤ 1, y] −1 + 2x ≤ y ≤ 1 + 2x

<< Graphics`FilledPlot` g1 = FilledPlot[{−1 + 2x, 1 + 2x}, {x, −1, 1}]; 3 2 1 -1

-0.5

0.5

1

-1 -2

Dalˇ s´ı

-3

. – p.4/13


Mathematica: Urˇ cen´ı definiˇ cn´ıho oboru funkce arccos(x − 2y). InequalitySolve[−1<=x − 2y ≤ 1, y] − 21 +

x 2

1 2

+ x 2 1 g2 = FilledPlot − 2 + ≤y≤

x , +1 2 2

+

x 2

, {x, −1, 1}, PlotRange → {−3, 3} ; 3 2 1

-1

-0.5

0.5

1

-1 -2 -3

Urˇ cen´ı definiˇ cn´ıho oboru funkce f (x, y). , x Solve 1 + 2x== 21 + x 2 1 Solve 1 + 2x == − 2 + x , x 2 Dalˇ s´ı . – p.4/13


Mathematica: Solve −1 + 2x == − 12 + x , x 2 x 1 Solve −1 + 2x == 2 + 2 , x x → − 13 {{x → −1}} x → 13 {{x → 1}}

Definiˇ cn´ı obor je kosod´ eln´ık A1 B1 C1 D1 B1 = {x, 1 + 2x}/. x → − 31 ; A1 = {x, 1 + 2x}/.{x→ −1}; D1 = {x, −1 + 2x}/. x → 31 ; C1 = {x, −1 + 2x}/.{x → 1}; lichob = {A1, B1, C1, D1} {−1, −1}, − 31 , 13 , {1, 1}, 13 , − 31

r1 = Graphics[{RGBColor[0, 1, 0], Polygon[lichob]}]; Zakresl´ıme si mnoˇ zinu vˇ sech bod˚ u definiˇ cn´ıho oboru: Dalˇ s´ı . – p.4/13


Mathematica: Show[r1, Axes → True];

1

0.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.5

-1

Zpˇ et

. – p.4/13

Příklad 5.1.2 Urˇ cete a nakreslete definiˇ cn´ı obor funkce x2 , f (x, y) = ln 2x − y

urˇ cete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, kter´ a proch´ az´ı bodem A = (1, 1). ?

Zpˇ et

. – p.5/13


urˇ cete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, kter´ a proch´ az´ı bodem A = (1, 1).

Výsledek: D(f ) = {(x, y) ∈ H = {(x, y) ∈

R2 ,

R2 ,

x 6= 0, y < 2x}.

x = 0, y < 0} ∪ {(x, y) ∈

R2 ,

y = 2x}.

Bodem A proch´ az´ı 0−vrstevnice y = −x2 + 2x, x 6= 0. Zpˇ et

. – p.5/13



Návod: Nejprve urˇ c´ıme pˇ rirozen´ y definiˇ cn´ı obor funkce. Vyuˇ zijeme to, ˇ ze zn´ ame definiˇ cn´ı obor pˇ rirozen´ eho logaritmu. Vrstevnici najdeme tak, ˇ ze nejprve vypoˇ cteme pˇ r´ısluˇ snou z0 souˇ radnici bodu A a pak dopoˇ cteme odpov´ıdaj´ıc´ı z0 −vrstevnici. Zpˇ et

. – p.5/13



Řešení: Definiˇ cn´ı obor: Argument logaritmu mus´ı b´ yt kladn´ eˇ c´ıslo, zlomek je kladn´ y, je-li ˇ citatel i jmenovatel 2 2 kladn´ y nebo z´ aporn´ y. Protoˇ ze v ˇ citateli je x a x ≥ 0 ∀x ∈ R, mus´ıme vylouˇ cit x = 0 a poˇ zadovat, aby 2x − y > 0. Tedy x2 >0 2x − y

⇐⇒

x 6= 0 ∧ y < 2x

=⇒

D(f ) = {(x, y) ∈ R , x 6= 0, y < 2x}. Hranice definiˇ cn´ıho oboru je tvoˇ rena pˇ r´ımkou y = 2x a z´ apornou ˇ ca ´st´ı osy y: H = {(x, y) ∈

R2 ,

2

x = 0, y < 0} ∪ {(x, y) ∈

R2 ,

y = 2x}.

Obr´ azek je nakreslen v ˇ ca ´sti Maple. Vrstevnice: Vrstevnice grafu funkce je kˇ rivka v rovinˇ e xy, kterou dostaneme tak, ˇ ze provedeme ˇ rez grafu funkce rovinou z = z0 a kˇ rivku, kterou tak dostaneme, prom´ıtneme do roviny xy. Zn´ ame-li bod na vrstevnici, mus´ıme nejprve spoˇ c´ıtat na jak´ e vrstevnici dan´ y bod leˇ z´ı, tj. jakou m´ a zetovou souˇ radnici z0 . V naˇ sem pˇ r´ıpadˇ e dostaneme: A = (1, 1) : Dalˇ s´ı

12 z0 = ln 2−1

=⇒

z0 = 0. . – p.5/13



Řešení: Nyn´ı pro z0 = 0 najdeme rovnici vrstevnice, kter´ e odpov´ıd´ a toto z0 : x2 =0 ln 2x − y

⇐⇒

x2 =1 2x − y

⇐⇒ y = −x2 + 2x.

Vrstevnice je tedy parabola y = −(x − 1)2 + 1. Pozor, nesm´ıme zapomenout, ˇ ze bod (0, 0), kter´ y leˇ z´ı na t´ eto parabole, nepatˇ r´ı do definiˇ cn´ıho oboru a mus´ıme ho proto vynechat. Nulov´ a vrstevnice KA , kter´ a proch´ az´ı bodem A, je tedy KA = {(x, y) ∈ Je nakreslena v ˇ ca ´sti Maple.

R2 ,

2

y = −x + 2x, x 6= 0}.

Zpˇ et

. – p.5/13



Maple: >

with(plots):

>

f:=(x,y)->ln(xˆ2/(2*x-y));

x2 f := (x, y) → ln( ) 2x − y Pro pˇ redstavu si nakresl´ıme graf dan´ e funkce. > plot3d(ln(xˆ2/(2*x-y)), x=-3..3, y=-10..5,axes=normal,numpoints=1000,orientation=[120,30]);

y 3

2

12 4 x –5

–10 –8 –6 –4

–1

–2

–3

Dalˇ s´ı . – p.5/13



Maple: Vypoˇ cteme z-souˇ radnici bodu A > f(1,1); 0 Bod A leˇ z´ı na 0-vrstevnici (Maple vypoˇ cte tuto kˇ rivku v parametrick´ em tvaru): > solve(ln(xˆ2/(2*x-y))=0); {y = −x2 + 2 x, x = x} Nyn´ı si nakresl´ıme definiˇ cn´ı obor dan´ e funkce. Silnˇ eji je zn´ azornˇ ena 0-vrstevnice. Hranici definiˇ cn´ıho oboru tvoˇ r´ı pˇ r´ımka y = 2x a polopˇ r´ımka x = 0, y <= 0. Hranice do definiˇ cn´ıho oboru nepatˇ r´ı. > a1:=contourplot(ln(xˆ2/(2*x-y)),x=-3..0,y=-10..0,axes=normal, grid=[60,60],filled=true,coloring=[yellow,green]): > a2:=contourplot(ln(xˆ2/(2*x-y)),x=0..3,y=-10..5,axes=normal, grid=[60,60],filled=true,coloring=[yellow,green]): > a3:=contourplot(ln(xˆ2/(2*x-y)),x=-3..0,y=-10..5,axes=normal, grid=[100,100],contours=[0],thickness=3,color=blue): > a4:=contourplot(ln(xˆ2/(2*x-y)),x=0..3,y=-10..5,axes=normal, grid=[100,100],contours=[0],thickness=3,color=blue): Dalˇ s´ı

. – p.5/13



Maple: >

a5:=implicitplot(x=0,x=-3..3,y=-10..0,axes=normal,thickness=2, color=red): > a6:=implicitplot(y=2*x,x=-3..3,y=-10..5,axes=normal,grid=[50,50], thickness=5,color=red): > a7:=PLOT(POINTS([1,1],SYMBOL(CIRCLE)), TEXT([1,1],’‘ A‘’,ALIGNBELOW,ALIGNLEFT,FONT(SYMBOL,20))): >

display({a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7}); 4 2 –3

–2

–1 0

Α1

x

2

3

–2 –4 y –6 –8 –10

>

b1:=plot(-xˆ2+2*x,x=-3..3,y=-4..4,color=blue):

Dalˇ s´ı . – p.5/13



Maple: >

b2:=PLOT(POINTS([0,0],SYMBOL(BOX))): > b3:=PLOT(POINTS([1,1],SYMBOL(BOX)), TEXT([1,1],’‘ A‘’,ALIGNBELOW,ALIGNLEFT,FONT(SYMBOL,15))): >

display({b1,b2,b3}); 4 3 y

2 1

–3

–2

–1

0 –1

Α 1

x

2

3

–2 –3 –4

Zpˇ et

. – p.5/13



Mathematica: f [x , y ] = Log[(x∧ 2)/(2x − y)] h 2 i x Log 2x−y Urˇ c´ıme a nakresl´ıme definiˇ cn´ı obor funkce: InequalitySolve[(2x − y) > 0, y] y < 2x

g1 = FilledPlot[{2x, −9999}, {x, −2, 2}, PlotRange → {−4, 4}]; 4 3 2 1 -2

-1

1

2

-1 -2 -3 -4

Dalˇ s´ı . – p.5/13



Mathematica: Urˇ c´ıme z−tovou souˇ radnici vrstevnice: zA = f [1, 1] 0 Vypoˇ cteme pˇ redpis pro vrstevnici a zakresl´ıme ji do definiˇ cn´ıho oboru: Solve[f [x, y] == zA, y] y → 2x − x2

g2 = Plot[2x − x∧ 2, {x, −2, 2}, PlotStyle → {Thickness[0.008]}]; 1 -2

-1

1

2

-1 -2 -3 -4

Dalˇ s´ı . – p.5/13



Mathematica: Show[{g1, g2}]; 4 3 2 1 -2

-1

1

2

-1 -2 -3 -4

Zpˇ et

. – p.5/13

Příklad 5.1.3 Najdˇ ete a nakreslete definiˇ cn´ı obor funkce f (x, y) =

q

x−

√ y.

Kter´ e vrstevnice proch´ azej´ı body A = (1, 1), B = (5, 1), C = (4, 0)? Nakreslete je do obr´ azku. ?

Zpˇ et

. – p.6/13


q

x−

√ y.

Kter´ e vrstevnice proch´ azej´ı body A = (1, 1), B = (5, 1), C = (4, 0)? Nakreslete je do obr´ azku.

Výsledek: D(f ) = {(x, y) ∈

R2 ,

x≥

√ y, y ≥ 0}.

Bodem A proch´ az´ı 0−vrstevnice y = x2 , x ≥ 0; body B a C proch´ az´ı 2−vrstevnice y = (x − 4)2 , x ≥ 4. Zpˇ et

. – p.6/13


q

x−

√ y.


Návod: Nejprve urˇ c´ıme pˇ rirozen´ y definiˇ cn´ı obor funkce. Vyuˇ zijeme to, ˇ ze zn´ ame definiˇ cn´ı obor odmocniny. Vrstevnice najdeme tak, ˇ ze nejprve vypoˇ cteme pˇ r´ısluˇ snou z0 souˇ radnici kaˇ zd´ eho bodu a pak dopoˇ cteme odpov´ıdaj´ıc´ı z0 −vrstevnici. Zpˇ et

. – p.6/13


q

x−

√ y.


Řešení: Definiˇ cn´ı obor: Pod odmocninou mus´ı b´ yt nez´ aporn´ eˇ c´ıslo, tj. y≥0

∧

x−

D(f ) = {(x, y) ∈

√ y ≥ 0

R2 ,

x≥

=⇒

√ y, y ≥ 0}.

Obr´ azek je nakreslen v ˇ ca ´sti Maple. Vrstevnice: Vrstevnice grafu funkce je kˇ rivka v rovinˇ e xy, kterou dostaneme tak, ˇ ze provedeme ˇ rez grafu funkce rovinou z = z0 a kˇ rivku, kterou tak dostaneme, prom´ıtneme do roviny xy. Zn´ ame-li bod na vrstevnici, mus´ıme nejprve spoˇ c´ıtat na jak´ e vrstevnici dan´ y bod leˇ z´ı, tj. jakou m´ a zetovou souˇ radnici z0 . V naˇ sem pˇ r´ıpadˇ e dostaneme: Bod A=(1,1): Bod B=(5,1): Bod C=(4,0):

√ 1 p √ z0 = 5 − 1 p √ z0 = 4 − 0 z0 =

p

1−

=⇒

z0 = 0

=⇒

z0 = 2

=⇒

z0 = 2

Dalˇ s´ı . – p.6/13


q

x−

√ y.


Řešení: Nyn´ı pro vypoˇ cten´ a z0 najdeme rovnici kˇ rivky = vrstevnice, kter´ e odpov´ıd´ a toto z0 .

z0 = 0 :

z0 = 2 :

p √ 0= x− y √ x− y =0 √ 0≤ y=x y = x2 , x ≥ 0 p √ 2= x− y √ x− y =4 √ 0≤ y =x−4 y = (x − 4)2 , x ≥ 4

KA = {(x, y) ∈

R2 ,

y = x ∧ x ≥ 0}

KB,C = {(x, y) ∈

R2 ,

y = (x − 4) ∧ x ≥ 4}

2

2

Nulov´ a vrstevnice KA , kter´ a proch´ az´ı bodem A, i 2−vrstevnice KB,C , kter´ a proch´ az´ı body B, C jsou zakresleny do obr´ azku v ˇ ca ´sti Maple. Zpˇ et

. – p.6/13


q

x−

√ y.


Maple: >

with(plots):

>

f:=(x,y)->sqrt(x-sqrt(y));

p √ f := (x, y) → x − y Pro pˇ redstavu si nakresl´ıme graf dan´ e funkce. > plot3d(sqrt(x-sqrt(y)), x=0..10, y=0..5,axes=normal,numpoints=1000,orientation=[240,60]);

5

4

3 y 2

3 2.5 2 1.5 1 0.5 1 0

2

4

6 x

8

10

Vypoˇ cteme z-souˇ radnice bod˚ u A,B,C Dalˇ s´ı . – p.6/13


q

x−

√ y.


Maple: >

f(1,1);

0 >

f(5,1);

2 >

f(4,0);

2 Bod A leˇ z´ı na 0-vrstevnici (Maple vypoˇ cte tuto kˇ rivku v parametrick´ em tvaru): > solve(sqrt(x-sqrt(y))=0); √ {y = y, x = y} Body B,C leˇ z´ı na 2-vrstevnici (opˇ et v parametrick´ em tvaru): > solve(sqrt(x-sqrt(y))=2); {y = (x − 4)2 , x = x} Nyn´ı si nakresl´ıme definiˇ cn´ı obor dan´ e funkce. Silnˇ eji jsou zn´ azornˇ eny obˇ e vrstevnice. Nulov´ a vrstevnice a kladn´ aˇ ca ´st osy x tvoˇ r´ı hranici definiˇ cn´ıho oboru a patˇ r´ı do nˇ ej. > a1:=contourplot(sqrt(x-sqrt(y)),x=0..8,y=0..5,axes=boxed,grid=[50,50] ,filled=true,coloring=[yellow,green]): Dalˇ s´ı . – p.6/13


q

x−

√ y.


Maple: >

a2:=contourplot(sqrt(x-sqrt(y)),x=0..8,y=0..5,axes=boxed,grid=[50,50] ,contours=[2],thickness=2,color=black): > a3:=implicitplot(x=sqrt(y),x=0..8,y=0..5,axes=boxed,grid=[50,50],thic kness=3,color=black): > a4:=implicitplot(y=0,x=0..8,y=0..5,axes=boxed,thickness=2,color=red): >

a5:=implicitplot(x=sqrt(y),x=0..8,y=0..5,axes=boxed,grid=[50,50],thic kness=5,color=red): > a6:=PLOT(POINTS([1,1],[5,1],[4,0],SYMBOL(BOX)), TEXT([1,1],’‘ A‘’,ALIGNBELOW,ALIGNRIGHT), TEXT([5,1],’‘ B‘’,ALIGNBELOW,ALIGNRIGHT), TEXT([4,0],’‘ C‘’,ALIGNBELOW,ALIGNRIGHT)): >

display({a1,a2,a3,a4,a5,a6}); 5 4 3 y 2 1

Zpˇ et

A

B

0 0

2

4 x

C

6

8

. – p.6/13


q

x−

√ y.


Mathematica: f [x , y ] = Sqrt[x − Sqrt[y]] p √ x− y

Urˇ cen´ı a nakreslen´ı definiˇ cn´ıho oboru:

InequalitySolve[x − Sqrt[y]>=0, x] √ x≥ y √ ∧ y 2, y InequalitySolve (x)∧ 2 ≥ y ≤ x2

g1 = FilledPlot[{x∧ 2, 0}, {x, 0, 6}, PlotRange → {−2, 36}]; 35 30 25 20 15 10 5 1

2

3

4

5

6

Dalˇ s´ı . – p.6/13


q

x−

√ y.


Mathematica: Urˇ cen´ı a nakreslen´ı vrstevnic: zA = f [1, 1] 0 Solve[f [x, y] == zA, y] y → x2

g2 = Plot[x∧ 2, {x, 0, 6}, PlotStyle → {Thickness[0.01], RGBColor[1, 0, 0]}]; 35 30 25 20 15 10 5 1

2

3

4

5

6

zB = f [5, 1] 2 Dalˇ s´ı . – p.6/13


q

x−

√ y.


Mathematica: Solve[f [x, y] == zB, y] y → 16 − 8x + x2

g3 = Plot[16 − 8x + x∧ 2, {x, 2, 3}, PlotStyle → {Thickness[0.01], RGBColor[0, 0, 1]}]; 4 3 2 1

4.5

5

5.5

6

Show[{g1, g2, g3}]; 35 30 25 20 15 10 5

Zpˇ et

1

2

3

4

5

6

. – p.6/13

Graf funkce dvou proměnných • Pˇ r´ıklad 5.2.1 Vyˇ setˇ rete graf funkce f (x, y) =

p

x2 + y 2 ,

metodou ˇ rezu. • Pˇ r´ıklad 5.2.2 Urˇ cete vrstevnice funkce f (x, y) =

1 2 x +y 2 +1

pro dan´ e z0 =

1 1 2, 5.

Zpˇ et

. – p.7/13

Příklad 5.2.1 Vyˇ setˇ rete graf funkce f (x, y) = metodou ˇ rezu. ?

p

x2 + y 2 ,

Zpˇ et

. – p.8/13

Příklad 5.2.1 Vyˇ setˇ rete graf funkce f (x, y) = metodou ˇ rezu.

p

x2 + y 2 ,

Výsledek: 2 1 0 -1 -2 2

1.5 1 0.5 0 -2 -1 0 1 2

Zpˇ et

. – p.8/13


p

x2 + y 2 ,

Návod: Nakresl´ıme si postupnˇ eˇ rezy rovinami z = z0 , y = y0 , x = x0 , pro r˚ uzn´ e hodnoty konstant x0 , x0 , z0 . Zpˇ et

. – p.8/13


p

x2 + y 2 ,

Řešení: Nakresl´ıme si nejdˇ r´ıve ˇ rezy rovinami z = z0 pro z0 = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0. V rovinˇ e z0 = 0.5 dostanu kruˇ znici popsanou rovnic´ı x2 + y 2 = 0.25. V rovinˇ e z0 = 1.0 dostanu kruˇ znici popsanou rovnic´ı x2 + y 2 = 1.0. V rovinˇ e z0 = 1.5 dostanu kruˇ znici popsanou rovnic´ı x2 + y 2 = 2.25. V rovinˇ e z0 = 0.5 dostanu kruˇ znici popsanou rovnic´ı x2 + y 2 = 4. Vˇ sechny ˇ rezy si zakresl´ıme. 2 1 0 -1 -2 2

1.5

1 0.5 -2 -1 0 1 2

Zpˇ et

. – p.8/13


p

x2 + y 2 ,

Maple: Graf nebudeme vyˇ setˇ rovat metodou ˇ rezu, ale nakresl´ıme si ho pˇ r´ımo. > plot3d(sqrt(xˆ2+yˆ2),x=-2..2,y=-2..2,axes=’boxed’,orientation=[45,75] );

2.5 2 1.5 1 0.5 0 –2

–1

0 y

1

2

1

0x

–1

–2

Zpˇ et

. – p.8/13


p

x2 + y 2 ,

Mathematica: Graf nebudeme vyˇ setˇ rovat metodou ˇ rezu, ale nakresl´ıme si ho pˇ r´ımo. BoxRatios → {1, 1, 1}, ViewPoint->{1.5, −2.8, 1.0}]; Plot3D[Sqrt[x∧ 2 + y ∧ 2], {x, −2, 2}, {y, −2, 2}, 2},BoxRatios -2

-1

0

1 2

2

1

0 -2

-1 0 1 2

Zpˇ et

. – p.8/13

Příklad 5.2.2 Urˇ cete vrstevnice funkce f (x, y) = ?

1 x2 +y 2 +1

pro dan´ e z0 =

1 1 2, 5.

Zpˇ et

. – p.9/13

Příklad 5.2.2 Urˇ cete vrstevnice funkce f (x, y) =

1 x2 +y 2 +1

pro dan´ e z0 =

1 1 2, 5.

Výsledek: D(f ) = R2 , 2 1 z0 = 5 1

-2

1 z0 = 2

1

-1

2

-1

-2

Zpˇ et

. – p.9/13


1 x2 +y 2 +1

pro dan´ e z0 =

1 1 2, 5.

Návod: Nakreslete kˇ rivky, jej´ıˇ z body splˇ nuj´ı rovnici: 1 1 a) = 2 2 x + y2 + 1 1 1 = 2 . 5 x + y2 + 1 Zpˇ et

b)

. – p.9/13


1 x2 +y 2 +1

pro dan´ e z0 =

1 1 2, 5.

Řešení: Nakresl´ıme kˇ rivky, jej´ıˇ z body spln˚ uj´ı rovnici: 1 1 2 2 a) = 2 ⇒ x + y =1 2 x + y2 + 1 1 1 2 2 = 2 ⇒ x + y = 4. 5 x + y2 + 1 Vrstevnice jsou tedy kruˇ znice o polomˇ eru 1 a 2.

b)

2 1 z0 = 5 1

-2

1 z0 = 2

1

-1

2

-1

-2

Zpˇ et

. – p.9/13


1 x2 +y 2 +1

pro dan´ e z0 =

1 1 2, 5.

Maple: Nakresl´ıme pˇ r´ımo vrstevnice pro z0 = 12 a z0 = 51 . > plots[contourplot](1/(xˆ2+yˆ2+1),x=-2..2,y=-2..2,contours = [1/2,1/5],scaling=constrained); 2

y

–2

–1

1

0

1 x

2

–1

–2

Zpˇ et

. – p.9/13


1 x2 +y 2 +1

pro dan´ e z0 =

1 1 2, 5.

Mathematica: Nakresl´ıme pˇ r´ımo vrstevnice pro z0 =

1 2

a z0 =

1 5.

ContourPlot[1/(x∧ 2 + y ∧ 2 + 1), {x, −2, 2}, {y, −2, 2}, Contours → {1/2, 1/5}, ContourShading → False]; 2

1

0

-1

-2 -2

-1

0

1

2

Zpˇ et

. – p.9/13

Limita funkce dvou proměnných • Pˇ r´ıklad 5.3.1 Vypoˇ ctˇ ete

• Pˇ r´ıklad 5.3.2 Vypoˇ ctˇ ete

• Pˇ r´ıklad 5.3.3 Vypoˇ ctˇ ete • Pˇ r´ıklad 5.3.4 Vypoˇ ctˇ ete

√ xy + 4 . xy

lim

2−

lim

x4 − y 4 . x2 − y 2

lim

x y(x + y) . x2 + y 2

lim

y . x−y

(x,y)→(0,0)

(x,y)→(2,2)

(x,y)→(0,0)

(x,y)→(0,0)

Zpˇ et

. – p.10/13

Příklad 5.3.1 Vypoˇ ctˇ ete ?

lim

(x,y)→(0,0)

2−

√

xy + 4 . xy Zpˇ et

. – p.11/13

Příklad 5.3.1 Vypoˇ ctˇ ete

lim

(x,y)→(0,0)

2−

√

xy + 4 . xy

Výsledek: 1 . 4 Zpˇ et −

. – p.11/13


lim

(x,y)→(0,0)

2−

√

xy + 4 . xy

Návod: Limita je typu 00 “. Rozˇ s´ıˇ r´ıme funkci v´ yrazem 2 + ” vypoˇ cteme.

√ x y + 4, uprav´ıme a pak limitu

Zpˇ et

. – p.11/13


lim

(x,y)→(0,0)

2−

√

xy + 4 . xy

Řešení: Limita je typu lim

(x,y)→(0,0)

2−

0 “. 0 ”

Rozˇ s´ıˇ r´ıme funkci v´ yrazem 2 +

√ xy + 4 = xy

lim

(x,y)→(0,0)

√ x y + 4.

−x y = √ x y(2 + x y + 4)

lim

(x,y)→(0,0)

−

1 1 =− . √ 2 + xy + 4 4

Zpˇ et

. – p.11/13


lim

(x,y)→(0,0)

2−

√

xy + 4 . xy

Maple: ˇ S limitami to je v MAPLE horˇ s´ı. Casto n´ am limitu nespoˇ cte. > limit((2-sqrt(x*y+4))/(x*y),{x=0,y=0}); √ 2 − xy + 4 limit( , {y = 0, x = 0}) xy > limit(expand((2-sqrt(x*y+4))*(2+sqrt(x*y+4)))/(x*y*(2+sqrt(x*y+4))), {x=0,y=0}); 1 , {y = 0, x = 0}) √ 2 + xy + 4 Zda limita existuje zjist´ıme z obr´ azku. Potom m˚ uˇ zeme vypoˇ c´ıtat limity postupnˇ e podle x a potom podle y. > plot3d(expand((2-sqrt(x*y+4))*(2+sqrt(x*y+4)))/(x*y*(2+sqrt(x*y+4))), x=-1..1,y=-1..1,axes=box); limit(−

–0.24 –0.25 –0.26 –1

–1 –0.5

–0.5 y

0

0 0.5

0.5 1

x

1

Dalˇ s´ı . – p.11/13


lim

(x,y)→(0,0)

2−

√

xy + 4 . xy

Maple: >

limit(limit((2-sqrt(x*y+4))/(x*y),x=0),y=0);

−1 4 Zpˇ et

. – p.11/13


lim

(x,y)→(0,0)

2−

√

xy + 4 . xy

Mathematica: Nejdˇ r´ıve funkci uprav´ıme: (xy(2 + Sqrt[x ∗ y + 4])) Expand[(2 − Sqrt[xy + 4])(2 + Sqrt[xy + 4])]/ 4])]/(xy(2 − 2+√14+xy

f [x , y ] = −1/(2 + (xy + 4)∧ (1/2)) − 2+√14+xy

Ovˇ eˇ r´ıme si, zda limita existuje Plot3D[f [x, y], {x, −1, 1}, {y, −1, 1}];

-0.24 -0.25 -0.26

1 0.5

-1

0 -0.5 -0.5

0 0.5 1 -1

Dalˇ s´ı . – p.11/13


lim

(x,y)→(0,0)

2−

√

xy + 4 . xy

Mathematica: Vypoˇ cteme limity postupnˇ e podle x a potom podle y. Limit[Limit[f [x, y], x → 0], y → 0] − 41 Zpˇ et

. – p.11/13


lim

(x,y)→(2,2)

?

x4 − y 4 . x2 − y 2 Zpˇ et

. – p.12/13


lim

(x,y)→(2,2)

x4 − y 4 . x2 − y 2

Výsledek: 8. Zpˇ et

. – p.12/13


lim

(x,y)→(2,2)

x4 − y 4 . x2 − y 2

Návod: Limita je typu

0 “. ”0

Pokr´ at´ıme zlomek v´ yrazem x2 − y 2 .

Zpˇ et

. – p.12/13


lim

(x,y)→(2,2)

x4 − y 4 . x2 − y 2

Řešení: Limita je typu

lim

0 “. ”0

(x,y)→(2,2)

Pokr´ at´ıme zlomek v´ yrazem x2 − y 2 .

x4 − y 4 = x2 − y 2

lim

(x,y)→(2,2)

(x2 − y 2 )(x2 + y 2 ) = x2 − y 2

lim

(x,y)→(2,2)

x2 + y 2 = 8 .

Zpˇ et

. – p.12/13


lim

(x,y)→(2,2)

x4 − y 4 . x2 − y 2

Maple: >

limit((xˆ4-yˆ4)/(xˆ2-yˆ2),{x=2,y=2});

8 Zpˇ et

. – p.12/13


lim

(x,y)→(2,2)

x4 − y 4 . x2 − y 2

Mathematica: Nejdˇ r´ıve funkci uprav´ıme: f [x , y ] = Simplify[(x∧ 4 − y ∧ 4)/(x∧ 2 − y ∧ 2)] x2 + y 2

Ovˇ eˇ r´ıme si, zda limita existuje Plot3D[f [x, y], {x, 1, 3}, {y, 1, 3}];

15 10 5 0 1

3 2.5 2 1.5 1.5

2 2.5 31

Vypoˇ cteme limity postupnˇ e podle x a potom podle y. Limit[Limit[f [x, y], x → 2], y → 2] 8

Zpˇ et . – p.12/13


lim

(x,y)→(0,0)

?

x y(x + y) . x2 + y 2 Zpˇ et

. – p.13/13


lim

(x,y)→(0,0)

x y(x + y) . x2 + y 2

Výsledek: 0. Zpˇ et

. – p.13/13


lim

(x,y)→(0,0)

x y(x + y) . x2 + y 2

Návod: Pˇ ri v´ ypoˇ ctu limity pˇ rejdeme k pol´ arn´ım souˇ radnic´ım x y

= =

r cos t r sin t

r ∈ h0, ∞i , t ∈ h0, πi

.

Zpˇ et

. – p.13/13


lim

(x,y)→(0,0)

x y(x + y) . x2 + y 2

Řešení: Pˇ ri v´ ypoˇ ctu limity pˇ rejdeme k pol´ arn´ım souˇ radnic´ım x y lim

(x,y)→(0,0)

x y(x + y) = x2 + y 2 =

= =

r cos t r sin t lim

(r,t)→(0,t)

lim

(r,t)→(0,t)

r ∈ h0, ∞i , t ∈ h0, πi

.

r cos t r sin t(r cos t + r sin t) = r2

r cos t sin t(cos t + sin t) = 0 .

Zpˇ et

. – p.13/13


lim

(x,y)→(0,0)

x y(x + y) . x2 + y 2

Maple: > >

limit(x*y*(x+y)/(xˆ2+yˆ2),{x=0,y=0});

x y (x + y) , {y = 0, x = 0}) x2 + y 2 Opˇ et mus´ıme zjistit, zda limita existuje a pak vypoˇ c´ıtat limity postupnˇ e podle x a potom podle y. > plot3d(x*y*(x+y)/(xˆ2+yˆ2),x=-1..1,y=-1..1,axes=box); limit(

1 0.5 0 –0.5 –1 –1

–1 –0.5

–0.5 y

0

0 0.5

0.5 1

>

x

1

limit(limit(x*y*(x+y)/(xˆ2+yˆ2),x=0),y=0);

0 Zpˇ et

. – p.13/13


lim

(x,y)→(0,0)

x y(x + y) . x2 + y 2

Mathematica: Nejdˇ r´ıve definujeme funkci: f [x , y ] = xy(x + y)/(x∧ 2 + y∧ 2) xy(x+y) x2 +y 2

Ovˇ eˇ r´ıme si, zda limita existuje Plot3D[f [x, y], {x, −1, 1}, {y, −1, 1}],

1 0.5 0 -0.5 -1 -1

1 0.5 0 -0.5 -0.5

0 0.5 1 -1

Vypoˇ cteme limity postupnˇ e podle x a potom podle y. Limit[Limit[f [x, y], x → 0], y → 0] 0

Zpˇ et . – p.13/13


lim

(x,y)→(0,0)

?

y . x−y Zpˇ et

. – p.14/13


lim

(x,y)→(0,0)

y . x−y

Výsledek: Limita neexistuje. Zpˇ et

. – p.14/13


lim

(x,y)→(0,0)

y . x−y

Návod: Pˇ ri v´ ypoˇ ctu limity pˇ rejdeme k pol´ arn´ım souˇ radnic´ım x y

= =

r cos t r sin t

r ∈ h0, ∞i , t ∈ h0, πi

.

Zpˇ et

. – p.14/13


lim

(x,y)→(0,0)

y . x−y

Řešení: Pˇ ri v´ ypoˇ ctu limity pˇ rejdeme k pol´ arn´ım souˇ radnic´ım x y lim

(x,y)→(0,0)

y = x−y

lim

= =

(r,t)→(0,t)

r cos t r sin t

r ∈ h0, ∞i , t ∈ h0, πi

r sin t = r cos t − r cos t

lim

(r,t)→(0,t)

.

sin t sin t = cos t − cos t cos t − cos t

Limita z´ avis´ı na t, je pro kaˇ zd´ e t jin´ a. Limita neexistuje. Zpˇ et

. – p.14/13


lim

(x,y)→(0,0)

y . x−y

Maple: >

limit(y/(x-y),{x=0,y=0});

undefined Zpˇ et

. – p.14/13


lim

(x,y)→(0,0)

y . x−y

Mathematica: Nejdˇ r´ıve definujeme funkci: f [x , y ] = y/(x − y) y x−y

Spoˇ cteme limity podle x a y, potom podle y a x. Limit[Limit[f [x, y], x → 0], y → 0]== Limit[Limit[f [x, y], y → 0], x → 0] 0]==Limit[Limit[f False

Limity jsou r˚ uzn´ e, p˚ uvodn´ı limita tedy neexistuje. Zpˇ et

. – p.14/13

Kapitola 5: Funkce více proměnných, jejich spojitost a limita

Recommend Documents