2.6. Limita funkce
Nechť c ∈ R ∗ je vnitřní nebo krajní bod intervalu definičního oboru funkce f . (Funkce v něm může, ale nemusí být definovaná.) Jestliže vzorům x ”blízkým” bodu c, ale různým od c, (tedy x ∈ (c − d, c) ∪ (c, c + d)) přiřazuje funkce f obrazy f (x) ”blízké” nějaké hodnotě L, nazýváme tuto hodnotu L limita funkce f v bodě c a značíme lim f (x) = L. x→c
Formální definice limity funkce: Nechť c ∈ R∗ je vnitřní nebo krajní bod intervalu definičního oboru funkce f . Bod L ∈ R∗ nazýváme limitou funkce f v bodě c, pokud pro všechny posloupnosti argumentů (xn ) obsažené v D(f ) r {c} platí implikace xn → c =⇒ f (xn ) → L. 34
35
Jestliže lim f (x) = L a L je reálné číslo, x→c říkáme, že funkce f má v bodě c vlastní limitu. Pokud lim f (x) = ±∞, hovoříme x→c o limitě nevlastní. Může se stát, že limita v bodě c neexistuje. Funkce f má v bodě c nejvýše jednu limitu. Jestliže bod c je reálné číslo, říkáme, že se jedná o limitu ve vlastním bodě a pro c = ±∞ hovoříme o limitě v nevlastním bodě. Můžeme tedy rozlišit čtyři typy limit (bod c je na ose x, limita L na ose y): (1) vlastní limita ve vlastním bodě (c ∈ R , L ∈ R ), (2) vlastní limita v nevlastním bodě (c = ±∞, L ∈ R ), (3) nevlastní limita ve vlastním bodě (c ∈ R , L = ±∞), (4) nevlastní limita v nevlastním bodě (c = ±∞, L = ±∞).
36
Pokud se při vyšetřování limity ve vlastním bodě c omezíme jen na argumenty x menší než c, tj. x ∈ (c − d, c), hovoříme o limitě zleva v bodě c a značíme lim f (x). x→c−
Analogicky pro argumenty x ∈ (c, c + d) jde o limitu zprava v bodě c a značíme lim f (x). x→c+
Limita zleva v bodě c a limita zprava v bodě c se nazývají jednostranné limity. Platí: Jestliže ve vlastním bodě c existují obě jednostranné limity a rovnají se L, pak v bodě c existuje limita L. lim f (x) = lim f (x) = L ⇒ lim f (x) = L
x→c−
x→c+
x→c
Jestliže ve vlastním bodě c existují obě jednostranné limity a jsou různé, pak limita v bodě c neexistuje. lim f (x) 6= lim f (x) ⇒ lim f (x) neex.
x→c−
x→c+
x→c
37
Limity základních funkcí v krajních bodech D(f ) určíme z grafů. 1 1 = −∞, lim = ∞, lim x→0+ x x→0− x lim ex = 0, lim ex = ∞,
x→−∞
x→∞
lim ax = 0, lim ax = ∞ pro a > 1,
x→−∞
x→∞
lim ax = ∞, lim ax = 0 pro 0 < a < 1,
x→−∞
x→∞
lim ln x = −∞, lim ln x = ∞,
x→0+
lim tg x = ∞,
x→ π 2−
x→∞
lim tg x = −∞,
x→ π 2+
lim cotg x = −∞, lim tg x = ∞,
x→0−
x→0+
lim arctg x = − π2 , lim arctg x =
x→−∞
x→∞
π 2.
38
Věta (o limitě aritmetických operací pro fce) .
lim (f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x),
x→c
x→c
x→c
lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x),
x→c
x→c
x→c
lim f (x) f (x) x→c = , lim x→c g(x) lim g(x) x→c
pokud výrazy na pravých stranách existují. Věta platí i pro jednostranné limity.
Pokud některá z limit lim f (x), lim g(x) x→c x→c neexistuje nebo nastane neurčitý výraz, nemůžeme větu o limitě aritmetických operací bezprostředně použít.
39
Platí: Pro limitu složené funkce lim f (g(x)) x→c
mějme limitu vnitřní funkce lim g(x) = d. x→c
A) Pokud je vnější funkce f spojitá v bodě d, potom
lim f (g(x)) = f (d) .
x→c
B) Pokud je bod lim g(x) = d krajním box→c
dem otevřeného intervalu D(f ), je limita složené fce rovna limitě vnější funkce f v bodě d: lim f (g(x)) = lim f (y).
x→c
y→d
40
2.5. Funkce a její vlastnosti Spojité funkce Pokud bod c ∈ D(f ) je vnitřní nebo krajní bod nějakého intervalu z D(f ), funkce f se nazývá spojitá v bodě c, pokud lim f (x) = f (c). x→c
Pokud lim f (x) = f (c), funkce f se nax→c+
zývá zprava spojitá v bodě c, pokud lim f (x) = f (c), funkce f se nax→c−
zývá zleva spojitá v bodě c. Platí: Pokud c je vnitřním bodem D(f ), pak funkce f je spojitá v c, právě když je spojitá v c zprava i zleva. P o z n á m k a : V bodech spojitosti se limita rovná funkční hodnotě. Limitu v bodě c, ve kterém je funkce spojitá, vypočítáme velmi snadno tak, že dosadíme x = c. Funkce je spojitá, jestliže ”navzájem blízkým” vzorům (argumentům) přiřazuje ”navzájem blízké” obrazy (funkční hodnoty).
41
Platí: Jestliže funkce f a g jsou spojité v bodě f c, pak funkce f + g, f − g, f.g, , f [g] jsou g také spojité v c. Řekneme, že funkce f je spojitá v množině M, jestliže je spojitá ve všech bodech této množiny. Platí: Elementární funkce jsou spojité v celém svém definičním oboru.
2.7. Výpočet limit funkcí Při výpočtu limity elementární funkce zkusíme formálně dosadit x = c nebo vypočítáme limitu ”člen po členu”. Získáme-li hodnotu, která je definovaná, je to hledaná limita. Většinou dostaneme některý z neurčitých výrazů. Většinu neurčitých limitních typů vypočítáme pomocí derivací (tzv. l’Hospitalovo pravidlo – a viz kapitola o derivacích). Na typ , a 6= 0 se 0 ale l’Hospitalovo pravidlo užít nesmí.
42
a A. Neurčitý typ ” , a 6= 0” 0 Limity tohoto typu se mohou počítat pomocí jednostranných limit. Vypočítáme limitu zleva a limitu zprava. Pokud jsou stejné, je stejná i výsledná limita. Pokud jsou jednostranné limity různé, hledaná limita neexistuje.
B. Limity v nevlastních bodech c = ∞ nebo c = −∞ V nevlastních bodech c = ∞ nebo c = −∞ můžeme při výpočtu limit funkce užít všechna pravidla pro výpočet limit posloupností. V bodě c = −∞ je třeba dát pozor na znaménko.
43
C. Limity exponenciálních funkcí s prog(x) měnným základem ” lim [f (x)] ” x→c
Pro neurčitý typ ”1∞ ” můžeme užít vzorce lim
x→±∞
lim
x→±∞
³
µ
1 1+ x
¶x
a ´x = ea , 1+ x
=e
a∈R
Případně tyto funkce převedeme na exponenciální funkci s konstantním základem e podle vzorce f g = eg·ln f . D. Výpočet limit v krajních bodech D(f ) Pracujeme s elementárními funkcemi, které jsou spojité ve svém definičním oboru. V bodech spojitosti se limita rovná funkční hodnotě. Zajímavější je výpočet limit v krajních bodech D(f ), kde může nastat některý z neurčitých limitních typů.
