ZÁKLADY MATEMATIKY 1 4. DERIVACE FUNKCE, APLIKACE 1. Pøírùstek a relativní pøírùstek funkce. Najdìte pøírùstek y funkce a relativní
y pro danou funkci y = f (x): pøírùstek - pomìr x a) f (x) = x + x ; 6 pro x = 1, x = 1; b) f (x) = 7x ; x + 1 pro x = 4, x = 2; c) f (x) = 1p=x pro x = ;4, x = 1; 5; d) f (x) = x ; 2 pro x = 2, x = 11. 2. Derivace funkce. Vypoètìte derivaci funkce y(x) a upravte ji na co nejjednodu¹¹í tvar, jestli¾e funkce y(x) je: p p p p (1) 2x ; 3x ; 6x +p10; (2) 4 3 x ; 5 4 x; (3) x x ; xp 3 x; = + x = + x 4 x; (4) x; p (5) 1=x + 2=x ; 3=x ; (6) x; = + 4 x ; (7) 2x x + 3x; = ; (8) (3x + 5)(2x ; 2); (9) (5x + 1)(3x ; 2x ); (10) x (2x ; 4x + 1); (11) x(3x + 2)(4x + 3); (12) jx ; 3j + jx + 1j; (13) 3(x + 4x + 4)(x + 2); (14) 5(2x + 2) (x ; 2); (15) (x ; 3x + 2)(4x + 4); (16) (3x ; 1)(2x ; 3); (17) (x ; 1)ex; (18) 4 + (x ; x ) ln x; (19) 5e x ; (20) lnxx ; (21) lnxx ; x e;x p p (23) ln x + 1; (24) eex + (22) 1 ; x ; ; e;x ; + 1; 1 ; x; x ; (25) 32xx ; (26) (27) 1 1+x 3x + 5 1 2 1 (29) 1 + x + x ; (30) 1 +2xx ; (28) x ; 1 ; x ; (31) p x (3x + 5) ; (32) (2 (33) (4 p + 3x) ; p3 x + 8x ; 7) ; (34) 4 ; x ; (35) ax + bx + c; (36) x p+ 1; p p x; p (37) a ; x ; (38) x 1 + x ; (39) 11 + ; x 2
3
2
2
0
0
0
0
9
2
5
1 2
3 2
3
2
3
2 3
1 4
3
5
2
4
2
2
4
2
2
2
2
3
3 +2
2
2
3
2
2
3
2
2
8
17
2
3
3
cos(5x + 3); sin ax cos bx; (1 + tg x) ; 4 x + 2;x; eax cos bx; x e;x; ; sin x ; ln 11 + sin x 2
3
2
2
2
v u u x3 (40) t 11 ; + x3 ;
(43) (46) (49) (52) (55) (58) (61)
2
10
2
v u u x (41) t 11 ; + x;
(44) (47) (50) (53) (56) (59) (62)
2
sin(2x + 3x + 2); cos x + cos x; p cotg x; 3x ; x ; (x + 2x ; 2)e x; ln(2x + 3); 1 + ln x ; 1 ; ln x 2
2
2
3
2
1
3
3
(42) (45) (48) (51) (54) (57) (60) (63)
p ( x + p1x ) ; 2 sin x + sin 2x; 1 + tg x ; 1 ; tg x sin(sin(sin x)); e x ; e; x ; ex ; 1 ; ex + 1 ln x; 1 + sin 2x 1 ; sin 2x 100
3
3
4
3. Derivace funkce, geometrický význam. Urèete rovnici teèny ke grafu funkce f (x) v bodì [x ; y ], jestli¾e funkce f (x) a x jsou (znázornìte gra cky): p a) 5x ; 3, x = 2; b) 4 x, x = 9; c) x(x ; 1), x = 1; x = 0; x = ;2; d) 4=x, x = ;4; e) 4=x, x = 1; f) x ; 1, x = 0; x = ;2; g) 1=x , x = 2; h) 1=x , x = 0; i) x(2x ; 1), x = 1; 0
0
0
0
2
2
0
0
2
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
j) ln x, x = 1; k) sin x, x = 0; l) cos x, x = 0; x = =2. 4. Derivace funkce, geometrický význam. Pro danou funkci y = y(x) najdìte v uvedených bodech smìrnici k teèny a rovnici teèny d, jestli¾e existuje; znázornìte gra cky: a) y = ;x + 4x + 7, x = 1; x = 4; b) y = (x + 1)(1 ; x ), x = 1; x = 2; p c) y = 1 ; 1=x + 2= x, x = 4; x = 0; d) y = x 3+x 1 , x = 0; x = ;1; + 1 , x = 0; x = 1; x , x = 1; x = 0; e) y = xx ; f) y = 1 2x ; 1 g) y = xex, x = 0; x = 1; h) y = (x ; 2) = ; x = 2. 5. Derivace funkce, geometrický význam. Najdìte rovnice teèny d a normály n ke grafu funkce f (x) v bodì x , jestli¾e f (x) je: p p ; 4 , x = 1. a) x + 1= x, x = 2; b) 12=x + 3=x ; 1=x , x = ;1; c) 23xx ; 5 6. Derivace funkce, geometrický význam. Napi¹te rovnice teèen ke grafu funkce f (x) v nulových bodech této funkce a teèny znázornìte gra cky: px ; 1 4 x ; 5 a) f (x) = 4 ; x ; b) f (x) = x ; 1 ; c) f (x) = x ; 5x + 6x; d) f (x) = px + 1 0
0
0
2
0
2
3
2
2
3 4
0
2
0
3
2
0
0
3
2
7. Derivace funkce, geometrický význam. Najdìte rovnici teèny ke grafu paraboly urèené rovnicí y = x ; 2x ; 3, pokud teèna a) je rovnobì¾ná s pøímkou 4x ; y + 10 = 0; b) je kolmá na pøímku x + 2y = 5; c) svírá s pøímkou 2x + y ; 2 = 0 úhel 45o . 8. Derivace funkce, geometrický význam. Urèete a gra cky znázornìte, ve kterém bodì teèna ke kubické parabole y = 3x svírá s osou ox úhel a) =4; b) =6; c) 0. 9. Derivace 2. øádu. Vypoètìte f 00(x), jestli¾e f (x) je funkce: p d) xe;x2 ; a) 3x ; 5x + 6; b) x (2x + 1) ; c) x; x; x ; h) x + 1 ; p e) x +2 1 ; f) 11 + g) ;x x;1 1+x p i) x ln x; j) ln(1 + x ); k) x x + 1; l) sin 2x; m) cos 5x; n) tg x; o) sin x; p) cos x. 10. Derivace vy¹¹ích øádù. Vypoètìte derivaci 4. øádu yIV (x), jestli¾e y(x) je funkce: a) x + 5x + 2x ; x ; b) 1p=(2x ; 1); c) x ln x; f) 3=x . d) x e;x; e) x; 11. Derivace vy¹¹ích øádù. Vypoètìte derivaci 4. øádu yIV (x), jestli¾e y(x) je funkce: 2
3
2
2
2
2
2
2
2
6
4
3
3
2
5
3
2
a) x ex; b) x ln x; c) ln (2 ; 4x); d) (5 ; 2x); . 12. Derivace vy¹¹ích øádù. Vypoètìte derivaci n-tého øádu y n (x) funkce y(x), jestli¾e y(x) je: a) a xn + a xn; + a xn; + ::: + an; x + an; b) 1=x; c) ln x; d) x ln x. 13. Funkce a její derivace. Znázornìte ve stejném souøadnicovém systému funkci f (x) a její derivaci f 0(x): a) f (x) = 3x ; 8 b) f (x) = x + 1 c) f (x) = x d) f (x) = x(x ; 3) e) f (x) = 1=x f) f (x) = x1 p g) f (x) = x + 1 h) f (x) = 2x i) f (x) = ln x j) f (x) = 1 + sin x k) f (x) = jx ; 2j l) f (x) = jx ; 1j + jx + 1j 14. Derivace funkce v bodì. Najdìte derivaci funkce v daném bodì, nebo potvrïte výpoètem a také gra cky, ¾e funkce v nìm není diferencovatelná: a) f (x) = ln (4 ; x) pro x = 1; x = 4; x = 5; p b) f (x) = x pro x = 0; x = 1; x = 16; c) f (x) = (x ; 1)p= pro x = 0; x = 1; x = ;1; d) f (x) = ln(x + 1 + x ) pro x = 0. 15. Derivace funkce v bodì. Naèrtnìte graf funkce f (x). Urèete, ve kterých bodech jejího de nièního oboru je derivace rovna 0 a ve kterých neexistuje. Jakou vlastnost má graf funkce v uvedených bodech? a) f (x) = xp; 3x; b) f (x) = p x ; x ; c) f (x) = jx ; 3j; d) f (x) = x x; e) f (x) = x + 4; f) f (x) = jx ; 4j. 16. Derivace funkce v bodì, geometrický význam. Nech» f (x) = x ; 4x ; 7; zakreslete graf této funkce. a) Napi¹te rovnici teèny d ke grafu této funkce v bodì, v nìm¾ x = ;2. b) Na grafu funkce najdìte v¹echny body, ve kterých je teèna d ke grafu rovnobì¾ná s osou ox. c) Na grafu funkce najdìte v¹echny body, ve kterých má teèna d ke grafu smìrnici rovnou 3. d) Na grafu funkce najdìte v¹echny body, ve kterých je teèna d rovnobì¾ná s pøímkou y = 7 ; 2x. 17. Derivace funkce na mno¾inì. Co se dá usoudit o grafu funkce mezi x = a a x = b, jestli¾e její derivace je kladná (resp. záporná) na uzavøeném intervalu ha; bi? 18. Derivace funkce na mno¾inì. Naèrtnìte graf alespoò jedné funkce takové, ¾e její derivace má v¹echny následující vlastnosti: a) f 0(x) > 0 pro x < 1 a pro x > 5, b) f 0(x) < 0 pro 1 < x < 5, c) f 0(1) = f 0(5) = 0. 19. Derivace funkce na mno¾inì. Naèrtnìte graf alespoò jedné funkce takové, ¾e její derivace má v¹echny následující vlastnosti: a) f 0(x) < 0 pro x < ;1 a pro x > 2, b) f 0(x) > 0 pro ;1 < x < 2, 3
4
3
( )
0
1
1
2
2
1
2
3
2
2
2
2 3
2
2
3
2
2
2
3
c) f 0(;1) = f 0(2) = 0. 20. Derivace funkce, aplikace. Cena urèitého zbo¾í v souèasnosti je 120 korun. Pøedpokládá se, ¾e cena tohoto zbo¾í roste tak, ¾e t mìsícù pozdìji bude urèena funkcí P (t) = 120 + 0; 1t + 0; 05t . a) Jakou rychlostí se mìní cena zbo¾í na konci 2. mìsíce? b) Jakou rychlostí se mìní cena zbo¾í na konci 9. týdne? 21. Derivace funkce, aplikace. Urèitý objekt se pohybuje po pøímce tak, ¾e po t minutách jeho vzdálenost od výchozího bodu je D(t) = 10t + t +5 1 metrù. a) Jakou rychlostí se pohybuje objekt na konci 4. minuty? b) Jakou vzdálenost projel objekt v prùbìhu 5. minuty? 22. Aplikace derivací. Z jednoho místa vycházejí souèasnì dvì auta: první pøímo na sever, druhé pøímo na západ. První auto se pohybuje rychlostí 30 km/hod., druhé rychlostí 40 km/hod. Zjistìte, jakou rychlostí se auta vzdalují od sebe. 23. Aplikace derivací. ®ebøík dlouhý 13 m se jedním koncem A opírá o zeï a druhým koncem B o podlahu. ®ebøík zaène padat tak, ¾e bod B se vzdaluje ode zdi rychlostí 1,6 m/min. Zjistìte, jakou rychlostí se pohybuje bod A v èase, kdy¾ bod B je ode zdi vzdálen 5 m. (Návod. Vyu¾ijte vztah x + y = 13 , znáte x0(t) = 1; 6 m/min. a na øe¹ení úlohy potøebujete vypoèíst y0(t)). 24. Aplikace derivací. Osoba 1,80 m vysoká jde smìrem k budovì rychlostí 0,6 m/sek. Budova má vý¹ku 30 m a na jejím ¹títu je svìtlo. Jakou rychlostí se mìní délka stínu jdoucí osoby? (Návod. Znázornìní pohybu osoby a jejího stínu vede na podobnost dvou pravoúhlých trojúhelníkù, v ní¾ pro velikost stínu s a vzdálenost x + s konce stínu od paty budovy platí vztah 30s = 1; 8(x + s); potøebujete vypoèíst ds dt , jestli¾e víte, ¾e dx = ;0; 6 m/sek.) dt 25. Aplikace derivací. Balon tvaru koule zmen¹uje svùj prùmìr rovnomìrnì rychlostí 2 cm za vteøinu. Vypoètìte, jakou rychlostí se zmen¹uje objem balonu v okam¾iku, kdy jeho polomìr je 1,6 m. 26. Aplikace derivací. Tlak P a objem V plynu jsou ve vztahu P = 1=V . a) Jakou rychlostí se mìní tlak plynu pøi mìnícím se objemu plynu? b) Jakou rychlostí se mìní objem plynu pøi mìnícím se tlaku plynu? 27. Výpoèet limity funkce l'Hospitalovým pravidlem. Presvìdète sa, ¾e následující limity mù¾ete vypoèítat l'Hospitalovým pravidlem, a urèete je: px ; 3 m;1 2 x ; 4 x a) xlim b) xlim c) xlim ! xn ; 1 ! x ; 9x ! x ; 5x + 6 n x + 2 x + 5 x ln x d) xlim e) lim f) lim x !1 x!1 e x! x ; 1 ln x sin 4x i) lim x ln x =x g) xlim x e h) lim + x! ! x x! + 28. Výpoèet limity funkce l'Hospitalovým pravidlem. Presvìdète sa, ¾e následující 2
2
2
2
2
1
2
9
3
1
1
0
0
0
4
2
limity mù¾ete vypoèítat l'Hospitalovým pravidlem, a urèete je: px x;1 ( x ; 1) 2 1 + a) xlim b) xlim c) xlim !1 ln x ! x ; 4x + 3 ! x x ln x e tg kx d) xlim e) xlim !1 1 + 3x !1 x ; 2x + 3 f) xlim ! x 3
1
3
0
2
4
0
29. Aplikace derivací - optimalizace. Který obdélník s plo¹ným obsahem 16 m má 2
nejmen¹í obvod? Jaký je ten obvod? 30. Aplikace derivací - optimalizace. Roh v 1. kvadrantu potøebujeme uzavøít závorou délky 20 metrù pøes body [a; 0], [0; b] tak, aby uzavøený segment tvaru trojúhelníku mìl maximální plo¹ný obsah. Pro jaké a, b to nastane? Znázornìte gra cky. 31. Aplikace derivací - optimalizace. Náklady výrobce na výrobu jednoho rádiopøijímaèe jsou 5 dolarù; jestli¾e se rádia budou prodávat za cenu x dolarù, pak se jich prodá 20 ; x kusù dennì. Jak stanovit cenu za 1 rádio, aby se dosáhl maximální denní zisk? Znázornìte gra cky. 32. Aplikace derivací - optimalizace. Obchod prodává skateboardy za 40 dolarù a pøi této cenì se prodá 50 kusù za mìsíc. Majitel obchodu chce zvý¹it cenu a oèekává, ¾e ka¾dý dolar zvý¹ení ceny pøinese sní¾ení prodeje o 2 skateboardy za mìsíc. Jestli¾e majitel nakupuje skateboardy za 25 dolarù, pøi jaké cenì bude jeho zisk za mìsíc maximální? Znázornìte gra cky. 33. Aplikace derivací - optimalizace. (Viz také kapitolu o funkcionálních modelech.) Knihkupectví získalo urèitou knihu od vydavatele jako dar za 3 dolary za kus a prodává ji za cenu 15 dolarù za kus. Pøi této cenì se prodalo 200 kusù za mìsíc. Aby se stimuloval prodej, knihkupectví chce sní¾it cenu a odhaduje, ¾e za ka¾dý 1 dolar sní¾ení ceny z 15 dolarù se prodá mìsíènì o 20 dal¹ích knih víc. Urèete, pøi jaké cenì knihy dosáhne knihkupectví nejvìt¹í zisk z jejího prodeje. 34. Aplikace derivací - optimalizace (celoèíselná promìnná). Na malé hydinové farmì chová majitel 120 slepic; ka¾dá z nich snese za rok 250 vajec. Jestli¾e se do ohrady pro slepice umístní víc slepic, dojde k pøíli¹nému zaplnìní ohrady, co¾ má za následek ni¾¹í nosnost slepic: pøi ka¾dé slepici navíc se produkce vajec sní¾í v¾dy o jedno vejce na ka¾dou slepici za rok. a) Najdìte maximální mo¾nou produkci vajec a poèet slepic, které zaruèí tuto maximální produkci. b) Øe¹te stejnou úlohu, prièem¾ pøedpokládejte sní¾ení produkce o 2 vejce na ka¾dou slepici za rok. c) Øe¹te pro pøedpokládané sní¾ení produkce o 3 vejce na ka¾dou slepici za rok. 35. Aplikace derivací - optimalizace. Poøadatel rockového koncertu mù¾e prodat na koncert 20 000 vstupenek za 10 dolarù za jednu vstupenku; pøedpokládá se, ¾e za ka¾dý jeden dolar zvý¹ení ceny nad 10 dolarù se prodá o 200 vstupenek ménì. Jak má poøadatel stanovit cenu vstupenky, aby dosáhl maximální mo¾ný pøíjem? Jaký bude ten maximální pøíjem a kolik vstupenek se tehdy prodá? 36. Aplikace derivací - optimalizace. Výrobce vyrábí prací prá¹ek s náklady 2 dolary na jedno balení. Prá¹ek se prodává za cenu 5 dolarù za jedno balení a pøi této cenì se za mìsíc prodá 4000 balení. Výrobce hodlá zvý¹it cenu a odhaduje, ¾e na ka¾dých 50 5
centù nárùstu ceny se bude prodávat za mìsíc o 200 balení ménì. Urèete funkci P (p) vyjádøující zisk výrobce v závislosti na cenì p za jedno balení a stanovte takovou cenu, pøi které by byl zisk výrobce maximální; jaký bude ten maximální zisk? 37. Aplikace derivací - optimalizace. Hotel "Blue Star" v Las Vegas, který má pøesnì 300 pokojù, se plnì obsadí ka¾dý den pøi cenì 80 dolarù za pokoj. Jestli¾e se cena za pokoj zvedne, pak se za ka¾dý dolar pøidaný k pùvodní cenì obsadí v¾dy o 3 pokoje ménì. Jestli¾e ka¾dý obsazený pokoj znamená pro hotel výdaje dohromady 10 dolarù na úklid a slu¾by, jak má mana¾ment hotela stanovit cenu za pokoj, aby jeho zisk byl maximální? Jaký je ten maximální zisk? Kolik pokojù zùstane pøitom volných ? (Návod. Funkci zisku hledejte jako rozdíl mezi pøíjmy a náklady mana¾mentu hotela.) 38. Aplikace derivací - optimalizace. Majitel broskvoòového sadu se rozhoduje, ve kterém èase pozbírá a prodá sklizeò ovoce. Pokud by to udìlal teï, na trhu dostane 30 Kè za 1 kg a z ka¾dého stromu by mohl pozbírat pøibli¾nì 60 kg zralých broskví. Broskve dozrávají a prùmìrná sklizeò z jedného stromu v prùbìhu následujících 4 týdnù stoupá mírou 6 kg na jeden strom za týden; jejich cena na trhu pøitom klesá, a to o 2 Kè za 1 kilogram za týden. Ve kterém èase je pro majitele nejvýhodnìji pozbírat a prodat ovoce? Jaký by mohl být jeho nejvy¹¹í pøíjem? 39. Aplikace derivací - optimalizace (celoèíselná promìnná). Dopravní spoleènost pronajímá na urèitou trasu autokary skupinám nejménì 35 osob za tìchto podmínek: jestli¾e je skupina pøesne 35-èlenná, pak ka¾dý zaplatí 60 dolarù; pro vìt¹í skupinu se poplatek ka¾dého cestujícího sni¾uje tolikrát o pùl dolaru, o kolik poèet osob v skupine pøesahuje 35. Urèete pøíjem dopravní spoleènosti v závislosti na velikosti skupiny a vypoètìte, pro jakou skupinu bude pøíjem spoleènosti nejvìt¹í. 40. Aplikace derivací - optimalizace. Chceme pou¾ít 450 metrù pletiva na oplocení dvou sousedních obdélníkových pozemkù o stejném plo¹ném obsahu (na stranì, kde sousedí, povede jen jedno oplocení). Jak stanovit jejich rozmìry, aby souèet plo¹ných obsahù pozemkù byl co nejvìt¹í? Jaký bude ten nejvìt¹í souèet plo¹ných obsahù? 41. Aplikace derivací - optimalizace nákladù. Mìsto Bory je 10 km východnì od mìsta Akáty a mìsto Cédry je 3 km ji¾nì od Borù. Z A do C se má postavit spojení silnicí, a to tak, ¾e se vyu¾ije stavba dálnice z A do B , prièem¾ se do C odboèí v nìjakém místì P na trase A ; B . Náklady na dálnici jsou 4 miliony Kè na 1 km, zatímco cena na stavbu silnice kdekoli jinde je 5 milionù Kè na 1 km. Kam se má umístit bod P , aby se minimalizovaly náklady? 42. Aplikace derivací - optimalizace nákladù. Z elektrárny na jedné stranì øeky ¹iroké 1200 metrù je tøeba vést kabel do továrny 2400 metrù ní¾ po proudu øeky. Náklady na polo¾ení kabelu pod vodou jsou 25 dolarù na jeden metr a po zemi 20 dolarù na jeden metr. Jakou trasu zvolit pro polo¾ení kabelu, aby náklady na jeho vedení byly minimální? Jaké budou ty minimální náklady? Pøedchozí úlohu øe¹te také pro pøípad, ¾e továrna se nachází a) 2000 metrù, b) 1200 metrù ní¾ po proudu øeky od továrny. 43. Aplikace derivací - optimalizace. Na pøímé ¹tìrkové cestì z A do B vzdálených a metrù jde chodec rychlostí 1,5 metrù za sekundu. Z kterého místa X na cestì má 6
odboèit, jestli¾e se chce dostat v nejkrat¹ím èase pøes pastvinu do C le¾ícího bokem od cesty v kolmé vzdálenosti b metrù od B ? Po pastvinì jde chodec rychlostí 1 metr za sekundu. Øe¹te také pro a = 240 metrù, b = 80 metrù. Jaký bude ten nejkrat¹í èas? 44. Aplikace derivací p- optimalizace. Který bod kru¾nice x + y = 1 má nejmen¹í vzdálenost od bodu P [1; 3]? 45. Aplikace derivací - optimalizace. Jsou dány kru¾nice k se støedem v bodì S [0; 0], polomìrem r = 2 a bod P [3; 4]; znázornìte gra cky. Vypoètìte a) minimální vzdálenost bodu P od kru¾nice k, b) maximální vzdálenost bodu P od kru¾nice k. 46. Aplikace derivací - optimalizace. Na grafu paraboly y = 18x urèete bod P [x ; y ], jeho¾ vzdálenost od pøímky 3x ; 4y + 69 = 0 je minimální. Vypoètìte tuto minimální vzdálenost. Znázornìte gra cky. 47. Aplikace derivací - optimalizace. Chodba ¹íøky 2,4 metrù se lomí do pravého úhlu a pokraèuje jako chodba ¹íøky 1,6 metrù. Zjistìte, jaký nejdel¹í ¾ebøík je mo¾né nést ve vodorovné poloze pøes tuto lomenou chodbu. Úlohu øe¹te také obecnì pro ¹íøky chodby a a b metrù. 48. Aplikace derivací - optimalizace. Z válcovitého kmenu s kruhovým prùøezem o polomìru r se má vytesat trám co nejvìt¹í nosnosti; nosnost trámu je urèená vztahem y = k s v , kde k je materiálová konstanta, s je ¹íøka a v je vý¹ka trámu. Jaké rozmìry s a v má mít prùøez trámu, aby jeho nosnost byla nejvìt¹í? 49. Aplikace derivací - optimalizace. Bod P se souøadnicemi [x ; 0] se zaène pohybovat po ose ox smeøem k poèátku souøadnicového systému rychlostí v , bod Q se souøadnicemi [0; y ] se ve stejném okam¾iku zaène pohybovat smeøem k poèátku souøadnicového systému po ose oy rychlostí v . a) Zjistìte, ve kterém èase bude vzdálenost bodù d(P; Q) nejmen¹í. Jaká bude ta nejmen¹í vzdálenost? b) Øe¹te úlohu pro x = y = 52, v = 4, v = 8 (viz také úlohy 22, 23 v 2. sérii.) 50. Aplikace derivací - optimalizace. Který obdélník s daným obvodem P má nejvìt¹í plo¹ný obsah? Jaký je ten plo¹ný obsah? 51. Aplikace derivací - optimalizace. Je daná parabola y = 12 ; x . Který do ní vepsaný obdélník s jednou stranou na ose ox a horními vrcholy na grafu paraboly má nejvìt¹í plo¹ný obsah? Jaký je ten plo¹ný obsah? Znázornìte gra cky. 52. Aplikace derivací - optimalizace. Do daného pravoúhlého trojúhelníku s odvesnami a, b vpi¹te obdélník, jeho¾ strany le¾í na odvesnách, tak, aby jeho plo¹ný obsah byl maximální. Jaký je ten maximální plo¹ný obsah? 53. Aplikace derivací - optimalizace. Urèete obdélník nejvìt¹ího plo¹ného obsahu se stranami rovnobì¾nými se souøadnicovými osami, který je mo¾né vepsat a) do kruhu urèeného kru¾nicí x + y = R ; b) do polokruhu urèeného kru¾nicí x + y = R a y 0; c) do elipsy x =a + y =b = 1. Znázornìte. 54. Aplikace derivací - optimalizace. Který pravoúhlý trojúhelník s pøeponou délky c cm má nejvìt¹í plo¹ný obsah? Jaký je ten plo¹ný obsah? (Viz také úlohu 30 této kapitoly.) 2
2
2
0
2
0
1
0
2
0
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7
2
0
55. Aplikace derivací - optimalizace. Do kru¾nice s polomìrem R vpi¹te rovnoramìnný trojúhelník s nejvìt¹ím plo¹ným obsahem. Jaký bude ten maximální plo¹ný obsah? Znázornìte gra cky. 56. Aplikace derivací - optimalizace. Z kartonu ¹íøky 0,8 m a délky 1,5 m se má vyrobit otevøená pravoúhlá krabice tak, ¾e v rozích kartonu se odøíznou malé ètverce a okraje pak ohneme nahoru. Jak máme odøezat ètverce v rozích, aby objem vzniklé krabice byl nejvìt¹í? Jaký je ten nejvìt¹í mo¾ný objem? 57. Aplikace derivací - optimalizace. Z kartonu tvaru ètvere se stranou délky a cm se má vyrobit otevøená pravoúhlá krabice tak, ¾e v rozích kartonu se odøíznou malé ètverce a okraje pak ohneme nahoru. Jak lze odøezat ètverce v rozích, aby objem vzniklé krabice byl nejvìt¹í? Jaký je ten nejvìt¹í mo¾ný objem? 58. Aplikace derivací - optimalizace. Dané kladné èíslo A rozlo¾te na dva sèítance x, y tak, aby a) souèin tìchto sèítancù byl nejvìt¹í; urèete také hodnotu toho nejvìt¹ího souèinu; b) souèin mocnin xm, yn byl nejvìt¹í; urèete také hodnotu toho nejvìt¹ího souèinu. 59. Aplikace derivací - prùmyslová výroba. V ekonomii se pou¾ívá pojem "míra rùstu" spí¹ v relativním ne¾ v absolutním významu. Napøíklad, nech» v urèitém odvìtví prùmyslu je u = f (t) poèet lidí zamìstnaných v èase t (pracovní síla) a nech» v = g(t) je prùmìrná produkce jedného èlovìka zamìstnaného v tomto odvìtví v èase t. Pak celková produkce odvìtví je souèinem y = uv. a) Jestli¾e pracovní síla roste mírou 4% za rok, tedy du=dt = 0; 04u, a produkce na 1 pracovníka roste mírou 5% za rok, èili dv=dt = 0; 05v, vypoèítejte, jakou mírou roste celková produkce v odvìtví y = y(t). b) Pøedpokládejme, ¾e pracovní síla v odvìtví klesá mírou 4% za rok, zatímco produkce na 1 pracovníka roste mírou 3% za rok. Bude celková produkce v odvìtví rùst nebo klesat? Jakou mírou? 60. Aplikace derivací - optimalizace. Do zdi potøebujeme vysekat otvor pro okno tvaru obdélníku, na který je nahoru nasazen polokruh. Obvod celého okna dohromady s polokruhovou èástí má být 8 m. Jaké mají být rozmìry okna, aby propou¹tìlo co nejvíc svìtla? 61. Aplikace derivací - optimalizace. Okno má tvar obdélníku, nad kterým je polokruh. Obdélník je z prùhledného skla, polokruhová èást je vyplnìna barevným sklem, které propu¹tí jen polovièní mno¾ství svìtla na plo¹nou jednotku ne¾ prùhledné sklo. Obvod okna je daný. Urèete jeho rozmìry tak, aby okno propou¹tìlo maximální mno¾ství svìtla. 62. Aplikace derivací - optimalizace. Na pøímce x+y = 2 urèete takový bod Q[x ; y ], jeho¾ vzdálenost od bodu P [1; 4] je nejmen¹í. Jaká je ta nejmen¹í vzdálenost? Znázornìte gra cky. 63. Aplikace derivací - optimalizace. Urèete minimální vzdálenost bodu P [x ; y ] od pøímky ax + by = c. 64. Aplikace derivací - optimalizace. Dvì strany trojúhelníku mají délky a, b metrù. 0
0
8
0
0
Jaký nejvìt¹í plo¹ný obsah mù¾e mít taký trojúhelník? 65. Aplikace derivací. Jakou rychlostí se mìní polomìr bubliny tvaru koule, jestli¾e se do ní vhání vzduch rychlostí 10 cm =sek? 66. Aplikace derivací. Jakou rychlostí klesá hladina vody v nádr¾i svislého válcovitého tvaru, jestli¾e se nádr¾ vypou¹tí rychlostí 3 litry za sekundu? 67. Aplikace derivací. Do nádr¾e tvaru rotaèního ku¾ele s vý¹kou 10 metrù a polomìrem základny 5 metrù, která je otoèena svým vrcholem dolù, vtéká voda rychlostí 2 metry krychlové za minutu. Jakou rychlostí se zvedá hladina vody ve chvíli, kdy¾ v nádr¾i je voda ve vý¹ce 6 metrù? 68. Procentní míra zmìny. Zamìstnavatel vám nabízí plat 18 000 korun za mìsíc a dává pøíslib, ¾e vám ho bude pravidelnì zvy¹ovat o 2 400 korun po ka¾dém odpracovaném roce. a) Jaký bude procentní nárùst platu po prvém odpracovaném roce, resp. po pátém zvý¹ení? b) Nakreslete graf funkce roèního procentního zvý¹ení platu. Co se dìje s hodnotami této funkce s rostoucí hodnotou t? 69. Procentní míra zmìny. Pøedpokladá sa, ¾e o x let po 1. lednu 1996 bude poèet obyvatel urèité oblasti P (x) = 2x + 4x = + 50 tisíc. a) Odhadnìte pomocí derivace pøírùstek poètu obyvatelstva v prùbìhu roku 2004. b) Odhadnìte procentní pøírùstek poètu obyvatelstva v prùbìhu roku 2004. 70. Procentní míra zmìny. Hrubé roèní výnosy urèité spoleènosti v èase t let od jejího zalo¾ení na zaèátku roku 1995 byly A(t) = 20t + 1000t + 20000 korun. a) Jakým roèním tempem rostly hrubé roèní výnosy spoleènosti na zaèátku roku 1996, resp. 1999? b) Jaké bylo procentní roèní tempo rùstu hrubých roèních výnosù spoleènosti na zaèátku roku 1999? 71. Procentní míra zmìny, diferenciál. Podle vykonané analýzy se ukázalo, ¾e prùmìrný nájem (v korunách) za tøípokojový byt x rokù po konci roku 1996 byl urèen funkcí N (x) = 20x + 50x + 1000. a) Odhadnìte pomocí diferenciálu, jaký bude pøírùstek na nájemném v roce 1997, resp. v roce 2001. b) Jaký bude procentní pøírùstek na nájemném v roce 2000? 72. Odhad pomocí diferenciálu. Odhaduje se, ¾e o t let odteï bude poèet obyvatel urèité oblasti P (t) = 30 ; t +6 1 tisíc. O kolik vzroste pøibli¾nì poèet obyvatel bìhem následujícího a) ètvrtroku, b) pùl roku, c) roku? 73. Odhad pomocí diferenciálu. Podle vykonané studie produktivity práce ranní smìny v urèitém podniku prùmìrný pracovník, který zaène pracovat v 8,00 hod., bude mít o x hodin pozdìji poskládaných f (x) = ;x + 6x + 15x pøístrojù. Pribli¾nì kolik pøístrojù poskládá pracovník mezi a) 9,00 a 9,15 hod.; b) 10,00 a 10,30 hod.? 3
2 3
2
2
3
9
2
74. Odhad pomocí diferenciálu. Pøedpokládejme, ¾e denní produkce urèitého podniku
je Q(K ) = 500K = jednotek, kde K je velikost kapitálové investice v tisícech korun; v souèasnosti je kapitálová investice 900 000 korun. Odhadnìte, jak se zmìní denní produkce, jestli¾e se kapitálová investice a) zvý¹í o 12 000 korun; b) sní¾í o 6 000 korun. 75. Odhad pomocí diferenciálu. Denní náklady urèité rmy (v dolarech) závislé na mno¾ství vyprodukovaných kusù urèitého výrobku jsou urèeny nákladovou funkcí C (x) = 30(x + 50) = + 200; v souèasnosti rma vyrábí dennì 350 kusù tohoto výrobku. Pomocí diferenciálu odhadnìte, o kolik se zmìní denní náklady rmy, jestli¾e se bude dennì vyrábìt 365 kusù. 76. Odhad pomocí diferenciálu. Nabídka jisté komodity urèitou rmou vyjádøena mno¾stvím kusù Q v závislosti na cenì komodity p je urèena funkcí Q(p) = 200(p ; 1) = . V souèasnosti je cena komodity p = 28 dolarù. Pomocí diferenciálu odhadnìte, o kolik se zmìní nabídka, pokud cena komodity a) klesne na 27,50 dolarù; b) vzroste na 28,25 dolarù. 77. Odhad pomocí diferenciálu. Ve velkomìstì je denní mno¾ství smogu v závislosti na poètu aut pøicházejících do mìsta urèené funkcí y = 2 + 0; 01x = , kde x je poèet pøicházejících aut a y je koncentrace smogu vyjádøená v tzv. poètu èástic na milion (p.p.m.); v souèasnosti se poèet pøicházejících aut zvý¹il o 250. Pomocí diferenciálu odhadnìte, jak se zmìní denní mno¾ství smogu, jestli¾e dennì pøichází do mìsta 22 500 aut. 78. Odhad pomocí diferenciálu. Pøedpokládejme, ¾e denní produkce podniku je urèena jako Q(K ) = 800K = jednotek, kde K je velikost kapitálové investice v tisícech korun. a) Odhadnìte, o kolik procent vzroste denní produkce, jestli¾e se kapitálová investice zvý¹í o 4 procenta, resp. sní¾í o 5 procent. b) Odhadnìte, o kolik procent je nutno zvý¹it kapitálovou investici, jestli¾e chce podnik zvý¹it denní produkci o 8 procent. 79. Odhad pomocí diferenciálu. Denní produkce podniku je Q(L) = 400L = jednotek, kde L je velikost pracovní síly v pracovních hodinách; v souèasnosti je dennì vyu¾ívaných 512 pracovních hodin. Odhadnìte, kolik pracovních hodin navíc je potøebných, aby se denní produkce zvý¹ila o 25 jednotek. 80. Odhad pomocí diferenciálu. Délka strany ètverce se zmìní z 12 cm na 12,5 cm. a) Odhadnìte, o kolik se pøitom zmìní délka úhlopøíèky tohoto ètverce. b) Vypoètìte zmìnu v délce úhlopøíèky pøesnì. 81. Odhad pomocí diferenciálu. Délka hrany krychle se zmen¹í z 18 cm na 15 cm. a) Odhadnìte, o kolik se pøitom zmìní objem krychle. b) Odhadnìte, o kolik se pøitom zmìní délka tìlesové úhlopøíèky u krychle. c) Vypoètìte tyto zmìny z a), b) pøesnì. 82. Odhad pomocí diferenciálu. Odhadnìte, jak se zmen¹í (zvìt¹í) velikost objemu krychle, jestli¾e se délka ka¾dé hrany zmen¹í o 2 procenta (zvìt¹í o 3 procenta). 83. Odhad pomocí diferenciálu. Hrana krychle byla zmìøena jako 10 cm s mo¾nou chybou 1%. S jakou pøesností je mo¾né urèit velikost objemu této krychle? 1 2
3 2
4 3
0
3 2
1 2
2 3
10
84. Odhad pomocí diferenciálu. Odhadnìte, jak se zmìní velikost povrchu krychle,
jestli¾e se délka její hrany zvìt¹í z 30 cm na 32 cm. 85. Odhad pomocí diferenciálu. Odhadnìte, jak se zmìní velikost plo¹ného obsahu kruhu s polomìrem 10 metrù, jestli¾e se jeho polomìr zvìt¹í na 10,5 metru. 86. Odhad pomocí diferenciálu. S jakou pøesností potøebujeme zmìøit polomìr r koule, aby bylo mo¾né vypoèíst velikost jejího povrchu s pøesností 1 %? 87. Odhad pomocí diferenciálu. Odhadnìte, jak se zmìní velikost objemu koule, jestli¾e se její a) polomìr zvìt¹í o 2 procenta; b) prùmìr zmen¹í o 3 procenta. 88. Odhad pomocí diferenciálu. Rotaèní ku¾el, jeho¾ vý¹ka a polomìr jsou stejné, má objem V = (1=3) h . Urèete, jaká nejvìt¹í chyba mù¾e být tolerovaná pøi mìøení vý¹ky h ku¾ele, jestli¾e pøípustná chyba pøi stanovení velikosti jeho objemu je nejvíc 1%. 89. Odhad pomocí diferenciálu. Výrobce razí mince z urèité slitiny; pøedpokládejme, ¾e v¹echny mince vycházející z výroby mají stejnou tlou¹»ku. Jaká je pøi výrobe mincí nejvìt¹í pøípustná chyba na polomìru mincí, aby tolerance hmotnosti mince nepøekroèila 1/1000 pøedepsané hodnoty hmotnosti? 90. Exponenciální modely - exponenciální rùst. Podle pøedpokladù bude poèet obyvatel P (t) urèitého státu o t let odteï urèen funkcí P (t) = 40e ; t milionù osob. a) Jaký je poèet obyvatel toho státu v souèasnosti? b) Jaký bude poèet obyvatel o 10 let, resp. o 20 let? 91. Exponenciální modely - exponenciální rùst. Podle pøedpokladù bude poèet obyvatel P (t) urèitého státu za t let odteï urèený jako P (t) = 30e ; t milionù osob. a) Jaký je poèet obyvatel toho státu v souèasnosti? b) Jaký bude poèet obyvatel o 5 let, resp. o 12 let? c) Pokud se trend rùstu nezmìní, ve kterém èase bude poèet obyvatel krajiny dvojnásobkem souèasného poètu? d) Jaká je procentní míra rùstu poètu obyvatel v souèasnosti, resp. v èase o 1 rok odteï, resp. v èase t let odteï? e) Zakreslete graf funkce P (t). 92. Exponenciální modely. Poèet obyvatel urèitého státu v roce 1975 byl 50 milionù a v roce 1995 dosáhl 66 milionù. a) Kolik obyvatel bude mít tento stát v roce 2005, jestli¾e poèet obyvatel roste lineárnì? Jaká bude rychlost jeho rùstu? b) Kolik obyvatel bude mít tento stát v roce 2005, jestli¾e poèet obyvatel roste exponenciálnì? c) Zakreslete grafy obou získaných funkcí ve stejném souøadnicovém systému. 93. Exponenciální modely. Hrubý domácí produkt (HDP) urèitého státu byl v roce 1985 100 miliard dolarù a v roce 1995 120 miliard dolarù. a) Jaký bude HDP státu v roku 2005, pokud roste lineárnì? b) Jaký bude HDP státu v roku 2005, pokud roste exponenciálnì? c) Zakreslete grafy obou získaných funkcí ve stejném souøadnicovém systému. 3
0 025
0 03
11
94. Exponenciální modely - exponenciální rùst. Pøedpokládá se, ¾e populace urèité
oblasti, kde ¾ije v souèasnosti N osob, se zvìt¹uje mírou 2% za rok. a) Urèete závislost velikosti populace té oblasti na èase a zakreslete ji gra cky. Za jaký èas se populace té oblasti zdvojnásobí? b) Nech» N = 200 000 osob; sestavte tabulku pro velikost populace té oblasti odteï v¾dy po 5 letech a¾ do èasu 25 let odteï a zakreslete data z tabulky do grafu. 95. Exponenciální modely - exponenciální rùst. V prùbìhu prvních 15 minut experimentu ve zkumavce byl zaznamenán rùst poètu bakterií urèitého druhu takto: na zaèátku bylo ve zkumavce 2000 bakterií, po 15 minutách 4500 bakterií. a) Jestli pøedpokládáme, ¾e poèet bakterií narùstá exponenciálnì, kolik bakterií bude ve zkumavce po 30 minutách? b) Jakou procentní mírou roste poèet bakterií? c) Za jaký èas se poèet bakterií zdvojnásobí? 96. Exponenciální modely - exponenciální rùst. Stát má v souèasnosti A obyvatel a roènì v nìm pøibývá h lidí na 1000 obyvatel. Jestli¾e pøedpokládáme, ¾e poèet obyvatel narùstá exponenciálnì, kolik obyvatel bude mít ten stát na konci n-tého roku? 97. Exponenciální modely - exponenciální rùst. Nech» v pøedchozí úloze je poèet A = 15 milionù a h = 125 lidí. Zakreslete graf funkce urèující poèet obyvatel závislý na èase (v letech) a napi¹te tabulku pro poèet obyvatel na konci prvního a¾ pátého roku odteï. 98. Exponenciální modely - exponenciální rùst. Poèet obyvatel dvou sousedních státù je dnes A tisíc, resp. B tisíc osob, pøièem¾ A < B . Poèet obyvatel prvního státu roste roènì o p osob na 1000 obyvatel, poèet obyvatel druhého státu klesá roènì o r osob na 1000 obyvatel. Za kolik let budou mít oba státy stejný poèet obyvatel? 99. Exponenciální modely - exponenciální klesání. Hodnota výrobního zaøízení v dolarech po t letech od jeho výroby je urèena jako V (t) = 5000e;t= + 450 dolarù. a) Jaká byla hodnota zaøízení, kdy¾ bylo nové? b) Jaká je hodnota zaøízení po 10 letech od jeho výroby? c) Naèrtnìte graf funkce V (t). Jaká bude hodnota zaøízení po dlouhém èase? 100. Exponenciální modely - exponenciální klesání. Mokrý ruèník zavì¹ený na ¹òùøe ztrácí vlhkost rychlostí, která je pøímoúmìrná obsahu jeho vlhkosti. Pokud ruèník ztratí 50 % obsahu vlhkosti za 2 hodiny, jak dlouho mu potrvá, ne¾ bude suchý na 95 %? 101. Exponenciální modely - exponenciální klesání. Rozpad radioaktivní látky je urèen klesající exponenciální funkcí: mno¾ství urèité radioaktivní látky v gramech, které z ní zùstane po t letech, je urèeno funkcí Q(t) = Q e; ; t. a) Zakreslete graf této funkce. b) Za aký èas zùstane z této rádioaktívní látky právì polovina pùvodního mno¾ství Q ? (Tento èas se nazýva poloèas rozpadu radioaktivní látky a charakterizuje danou látku.) 102. Exponenciální modely - exponenciální klesání. Urèitá radioaktivní látka se po t letech rozpadá tak, jak to urèuje funkce Q(t) = Q e; ; t. Po 5000 letech bylo nalezeno 2000 gramù této látky. Jaké bylo její pùvodní mno¾ství? 103. Exponenciální modely - exponenciální klesání. Poloèas rozpadu prvku radium 0
0
5
0
0 02
0
0
12
0 0001
je 1690 let. Jak dlouho potrvá, ne¾ se vzorek 50 gramù radia rozpadne na 5 gramù, resp. na 1 gram? 104. Exponenciální modely - exponenciální klesání. Jestli¾e v souèasnosti má nìjaká radioaktivní látka hmotnost 500 gramù a po 50 letech 400 gramù, kolik gramù z ní zùstane po 200 letech, resp. po 500 letech? Jaký je poloèas rozpadu této látky? 105. Exponenciální klesání, optimalizace. V prùbìhu konkrétního mìsíce prodeje poptávka zákazníkù po urèitém zbo¾í s jeho rostoucí cenou exponenciálnì klesá; jestli¾e p je cena za 1 kus tohoto zbo¾í v dolarech, pak poptávka D závislá na cenì p je urèena jako D(p) = 1000 e; ; p (D(p) je poèet kusù tohoto zbo¾í, který se prodá za ten mìsíc). Urèete takovou trhovou cenu tohoto zbo¾í, pøi které budou výdaje zákazníkù za zbo¾í nejvìt¹í. Urèete také velikost tìchto maximálních výdajù. (Návod. Výdaje V zákazníka závislé na cenì p jsou souèinem ceny zbo¾í a mno¾stva nakoupeného zbo¾í, èili výdaje V (p) = pD(p) = 1000p e; ; p.) 106. Exponenciální modely - køivka uèení. Podle experta rmy je hodinová výkonnost Q(t) pracovníka rmy v závislosti od poètu t mìsícù jeho zapracování ve rmì urèena jako Q(t) = 500 ; Ae;kt. Prùmìrný nový pracovník má na zaèátku (tedy pøi 0 mìsících praxe) hodinovou výkonnost 300 výrobkù, po 2 mìsících praxe 450 výrobkù. a) Urèete funkci Q(t) a znázornìte ji gra cky. b) Jakou hodinovou výkonnost bude mít prùmìrný pracovník po 4, resp. 6 mìsících praxe ve rmì? c) Jakou rychlostí se zvy¹uje jeho hodinová výkonnost po 2, resp. po 4, resp. po 6 mìsících praxe ve rmì? Znázornìte gra cky. 107. Exponenciální modely - køivka uèení. Nový, je¹tì neza¹kolený pracovník dílny, kde se montují urèité èásti mikrovlnných trub, je schopný sestavit za týden asi 200 kusù; pracovník s 5-týdenní zku¹eností montuje 233 kusù za týden. Analytikùm tohoto odvìtví je známo, ¾e i nejzku¹enìj¹í pracovník se pøibli¾uje výkonnosti nejvíc 300 dílù za týden. a) Sestavte køivku uèení odpovídající uvedeným datùm. b) V dílnì je podmínkou na získání mzdy v urèité vý¹ce výkonnost nejménì 250 dílù za týden. Kdy mù¾e pracovník oèekávat takovou mzdu? 108. Exponenciální modely - køivka uèení. Denní výstup (t.j. denní produkce) dìlníka, který pracuje v továrnì t týdnù, je urèen jako Q(t) = 120 ; Ae;kt výrobkù. Pøi nástupu do továrny je dìlník schopen vyrábìt 30 výrobkù za den, po 8 týdnech 80 výrobkù za den. Kolik výrobkù dennì je dìlník schopen vyrábìt po 4 týdnech, resp. po 4 mìsících práce v továrnì? Znázornìte gra cky. 109. Exponenciální modely - køivka uèení. Denní výstup (t.j. denní produkce) dìlníka, který pracuje v továrnì t týdnù, je urèen jako Q(t) = 120 ; Ae;kt výrobkù. Pri nástupu do továrny je dìlník schopen vyrábìt 30 výrobkù za den, po 10 týdnech 90 výrobkù za den. Vypoètìte, za jaký èas je mo¾né zaøadit dìlníka mezi ¹pièkové pracovníky, pokud za ¹pièkového pova¾ujeme dìlníka, jeho¾ denní výstup je nejménì 90 % z horní hranice 120 výrobkù za den. 110. Exponenciální modely - køivka uèení. Kdy¾ se zaèíná vyrábìt urèitý druh letadla, potøebuje rma na výrobu prvního z nich spolu 5000 pracovních hodin; poèet pracovních hodin potøebných na montá¾ druhého letadla je u¾ jenom 4600 hodin, pøi tøetím letadle staèí na dokonalou montá¾ u¾ jenom 2800 hodin. Stanovte køivku uèení, která urèuje 0 04
0 04
13
poèet hodin y(x) nutných na montá¾ v poøadí x-tého letadla. 111. Exponenciální modely - køivka uèení. Pøi prvém pokusu potøebuje my¹ 350 vteøin na to, aby úspì¹nì zvládla prùchod labyrintem, na druhý pokus se jí to podaøí za 335 vteøin, pøi tøetím pokusu to zvládne ji¾ za 325 vteøin. Najdìte, jak závisí èas potøebný na úspì¹ný prùchod labyrintem na poètu pokusù. Jaký je pøitom teoreticky nejkrat¹í mo¾ný èas? 112. Exponenciální modely - køivka uèení. Zoologové sledovali v urèité severské oblasti stáda sobù karibu; v roce 1985 napoèítali 10 000 kusù, v roce 1987 jich bylo víc, a to 11 000. Odborníci pøedpokládají, ¾e se rùst zpomalí, proto¾e podle odhadù u¾iví zdroje v oblasti nejvíce 15 000 kusù. Urèete poèet kusù sobù karibu P (t) v závislosti na èase t v letech za pøedpokladu omezeného rùstu. 113. Exponenciální modely - Newtonùv zákon ochlazování (z køivky uèení). Horké tìleso umístíme na ochlazení do prostøedí s ni¾¹í teplotou Ts, o ní¾ pøedpokládáme, ¾e se nemìní. Na základì mìøení bylo odvozeno, ¾e pro teplotu T (t) ochlazovaného tìlesa závislou na èase t platí T (t) = Ts + (T ; Ts)ekt, kde T je teplota tìlesa na zaèátku dìje (v èase t = 0); tento vztah se nazývá Newtonùv zákon ochlazování. Vyøe¹te úlohu: Natvrdo uvaøené vajíèko je pøi 98 st. C ponoøeno na ochlazení do nádoby s vodou 18 st. C teplou; po 5 min. sa teplota vajíèka sní¾í na 38 st. C. Za jaký èas se vajíèko ochladí na 20 st. C? 114. Exponenciální modely - Newtonùv zákon ochlazování. Jestli¾e se nìjaký malý odlitek ochladí ze 100 st. C na 80 st. C za 20 minut v prostøedí se stálou teplotou 20 st. C, za kolik minut se v tomto prostøedí ochladí ze 100 st. C na 60 st. C? 115. Exponenciální modely - Newtonùv zákon ochlazování. ©álek kakaa se ochladí z 90 st. C na 60 st. C za 10 minut v místnosti, ve které je stálá teplota 20 st. C. Za kolik minut se kakao ochladí a¾ na 35 st. C? 116. Exponenciální modely - Newtonùv zákon ochlazování. Tìleso s teplotou 25 st. C bylo umístìno do termostatu, v nìm¾ se udr¾uje stálá teplota 0 st. C. Za jaký èas se tìleso ochladí na 10 st. C, jestli¾e za 20 min. se ochladilo na 20 st. C? Ve kterém èase mìlo tìleso teplotu 24 st. C? 117. Exponenciální modely - Newtonùv zákon ochlazování (oteplování). V horkém letním dnu vyberete z lednièky chlazený nápoj a postavíte ho do místnosti, kde je 38 st. Vyjádøete teplotu nápoje jako funkci èasu, jestli¾e nápoj v lednièce mìl 10 st. a po 20 minutách mìl 18 st. C. 118. Exponenciální modely - Newtonùv zákon ochlazování (oteplování). Tìleso neznámé teploty bylo ulo¾eno do místnosti, v ní¾ se udr¾ovala teplota 30 st. C. Po 10 minutách mìlo tìleso teplotu 0 st. C a po 20 minutách od ulo¾ení do místnosti byla teplota tìlesa 15 st. C. Jaká byla teplota tìlesa na zaèátku? 119. Exponenciální modely - logistická køivka. Podle zdravotní dokumentace t týdnù po vypuknutí chøipky byl poèet onemocnìní f (t) = 1 + 34e; ; t tisíc osob. a) Naèrtnìte graf funkce f (t). 0
0
08
14
b) Kolik onemocnìní bylo zaznamenáno na zaèátku vypuknutí chøipky, resp. na konci tretího týdne? c) Pokud by trend pokraèoval podle uvedené funkce, k jaké hranici by se pøiblí¾il celkový poèet onemocnìní po dlouhém èase? 120. Exponenciální modely - logistická køivka. Podle zdravotní dokumentace t týdnù po vypuknutí infekèní ¾loutenky byl poèet onemocnìní f (t) = 1 +180 9e; ; t osob. a) Naèrtnìte graf funkce f (t). b) Kolik onemocnìní infekèní ¾loutenkou bylo zaznamenáno na zaèátku, resp. na konci tøetího, pátého, sedmého týdne? c) Pokud by trend pokraèoval podle uvedené funkce, k jaké hranici by se pøiblí¾il celkový poèet onemocnìní infekèní ¾loutenkou po dlouhém èase? 121. Exponenciální modely - logistická køivka. Urèete, kolik osob bude naka¾ených v èase t (v týdnech) od vypuknutí epidemie, jestli¾e spoleèenství sestává z 2000 osob, na zaèátku se nakazilo 500 osob a na konci prvního týdne bylo zaznamenaných 855 onemocnìní. 122. Exponenciální modely - logistická køivka. Epidemie v urèité oblasti se ¹íøí tak, ¾e na zaèátku onemocnìla 1/5 poètu jejího obyvatel a na konci 4. týdne byla nemocná 1/2 poètu obyvatel. O jaké èásti obyvatelstva té oblasti se dá pøedpokládat, ¾e bude posti¾ena na konci 8. týdne od vypuknutí epidemie? 123. Exponenciální modely - logistická køivka. Na lodi s 800 cestujícími onemocní 1 pasa¾ér záva¾nou infekèní nemocí, která se ¹íøí tak, ¾e po 12 hod. onemocní dal¹í 3 lidé. Vakcinu je mo¾né dodat na loï letecky, ale je známo, ¾e v èase od 60 do 72 hodin plavby zásilka kvùli povìtrnostným podmínkám nepøiletí. Kolik prípadù onemocnìní je mo¾né oèekávat, dokud pøijde vakcina? 124. Exponenciální modely - logistická køivka. O urèité pomluvì vìdìlo v èase jejího vypuknutí 1 % osob v urèité komunitì a po 1 dnu 10 % osob. Kolik procent osob u¾ bude o pomluvì informováno po 3 dnech? 125. Exponenciální modely - logistická køivka. Jiná pomluva se ¹íøí v je¹tì více pomlouvaèní spoleènosti: v èase jejího vypuknutí ví o ní 0,1 % osob z této spoleènosti a po 1 dnu 10 % osob. Kolik procent osob bude o pomluvì informováno o 3 dny? (Proè je tato spoleènost víc pomlouvaèní ne¾ spoleènost z pøedchozí úlohy?) 126. Exponenciální modely - logistická køivka. Pøímými svìdky dopravní nehody v malém mìsteèku byla 1/10 jeho obyvatel. Po 2 hodinách se o nehode dozvìdìla 1/4 obyvatel. Po jakém èase bude o nehodì informovaná pøesne polovina jeho obyvatel? 127. Exponenciální modely - logistická køivka. Poèet osob zúèastnìných na urèitém korupèním skandálu se zvy¹uje rychlostí, která je pøímoúmìrná poètu osob do skandálu u¾ zapletených a souèasnì poètu osob, které se je¹tì nezapletli. Novináøi zjistili, ¾e do skandálu na zaèátku se zapletlo 7 osob; 9 dal¹ích osob se do nìj zapletlo v prùbìhu 3 mìsícù, a dal¹ích 12 po následujících 3 mìsících. Pribli¾nì kolik osob se v del¹ím období zapletlo do skandálu? (Na této úloze si otestujete svoji algebraickou zruènost!) 128. Exponenciální modely - logistická køivka. V omezené uzavøené oblasti bylo vysazeno 100 stepných slepic; po 2 letech v této oblasti napoèítali 150 kusù. Ekologové 04
15
pøedpokládají, ¾e v té oblasti mù¾e ¾ít nejvíc 1000 kusù. Za jaký èas poèet slepic vzrostl na dvojnásobek pùvodního poètu? Kolik slepic tam bude ¾ít po 5 letech? 129. Exponenciální modely - logistická køivka. Do rybníku, v nìm¾ se u¾iví nejvíc 3000 kaprù, bylo nasazených 1000 kusù; po 3 letech se jejich poèet zdvojnásobil. Kolik kaprù bude ¾ít v rybníce v 6. roku od nasazení? 130. Exponenciální modely - logistická køivka; aplikace z chemie. Rychlost chemické reakce 2. druhu, která transformuje látku A na látku B , je pøímoúmìrná souèinu jejich koncentrací. Jaká bude koncentrace látky B za jednu hodinu, jestli¾e její pùvodní koncentrace byla 20 % a po 15 min. byla 50 %? (Návod. Pro reakce tohoto druhu platí: koncentrace x = x(t) látky B v èase t minut od zaèátku experimentu je urèena vztahem x(t) = 1 + 1ce;kt )
131. Exponenciální modely - logistická køivka. Odhaduje se, ¾e o t let odteï bude poèet obyvatel urèitého státu v milionech urèen funkcí P (t) = 2 + 330e; ; t 0 06
a) Jaký je poèet obyvatel státu v souèasnosti? Kolik obyvatel bude mít stát o 3 roky, o 5 let, resp. o 10 let odteï? b) Naèrtnìte graf funkce P (t). c) Jakou mírou (t.j. rychlostí) se zvy¹uje poèet obyvatel v èase t = 0, resp. v èase pøesnì 3 roky, 5 let? d) Jak se bude vyvíjet poèet obyvatel státu za velmi dlouhé období? 132. Exponenciální modely - logistická køivka. Øe¹te predchozí úlohu, jestli¾e poèet obyvatel státu (v milionech) o t let odteï je P (t) = 3 + 510e; ; t 0 05
133. Exponenciální modely - logistická køivka. Na základì odhadu odborníkù Zemì
nemù¾e u¾ivit víc ne¾ 40 miliard lidí. Poèet obyvatel Zemì t let po roku 1960 je pøibli¾nì P (t) = 1 + 1240e; ; t miliard. a) Pokud je tento model správný, jaká byla roèní míra rùstu poètu obyvatel Zemì v roku 1995? b) Jaká byla procentní roèní míra rùstu poètu obyvatel Zemì v roku 1995? c) Zakreslete graf funkce P (t). 134. Exponenciální modely - exponenciální rùst. Odhaduje se, ¾e o t let odteï bude poèet obyvatel urèitého státu P (t) = 25e ; t milionù. a) Naèrtnìte graf funkce P (t). b) Jaké je roèní tempo rùstu poètu obyvatel v souèasnosti (t = 0)? c) Jaké bude roèní tempo rùstu poètu obyvatel státu o 10 let odteï? d) Pokud bude trend pokraèovat, jaké bude procentní roèní tempo rùstu poètu obyvatel státu o 5, resp. o 10 let odteï? 135. Exponenciální modely - exponenciální klesání. Hodnota výrobního zaøízení po t letech od data jeho výroby je V (t) = 20 000e; ; t dolarù. a) Odhadnìte roènú míru poklesu hodnoty stroje o 5 let. b) Odhadnìte procentní roèní míru poklesu hodnoty stroje v souèasnosti, o 5 let, o t let odteï. 0 08
0 04
04
16
136. Exponenciální modely - logistická køivka. Podle pøedpokladù t týdnù po vypuk-
nutí chøipky bude poèet onemocnìní urèen funkcí Q(t) = 4 +80 76e;t tisíc. a) Jaký pøírùstek poètu onemocnìní se dá oèekávat bìhem prvního týdne? b) Odhadnìte týdenní míru rùstu poètu onemocnìní v prùbìhu druhého, tøetího týdne. 137. Exponenciální rùst - úroèení. Vlo¾ili jsme na úèet 5 000 dolarù pøi 5 procentní roèní úrokové míøe. Vypoètìte, kolik dolarù bude na úètu po 20 letech, jestli¾e úroèení je a) jednoduché, jednou roènì; b) slo¾ené, jednou roènì; c) spojité. 138. Exponenciální rùst - úroèení. Vlo¾ili jsme na úèet 15 000 korun pøi 8 procentní roèní úrokové míøe. Vypoètìte, kolik korun bude na úètu po 10 letech, jestli¾e úroèení je a) slo¾ené, dvakrát roènì; b) slo¾ené, ètyøikrát, ¹estkrát roènì; c) spojité. 139. Exponenciální rùst - úroèení. Vlo¾ili jsme na úèet 8 000 dolarù pøi 12 procentní roèní úrokové míøe. Vypoètìte, kolik dolarù bude na úètu po 6 letech pøi slo¾eném úroèení, pokud se úrok pøipisuje a) dvakrát za rok; b) ètvrtletnì; c) spojitì. 140. Exponenciální rùst - úroèení. Vlo¾ili jsme na úèet 12 000 dolarù pøi 10 procentní roèní úrokové míøe. Vypoètìte, kolik dolarù bude na úètu po 4 letech pøi slo¾eném úroèení, jestli¾e se úrok pøipisuje a) jednou za pùl roku; b) jednou mìsíènì; c) spojitì. 141. Exponenciální rùst - úroèení. Jak rychle se na úètu zdvojnásobí 2 000 dolarù, jestli¾e je tato suma vlo¾ena pøi 12 procentní roèní úrokové míøe a úrok se pøi slo¾eném úroèení pøipisuje a) ètvrtletnì; b) dvakrát za rok; c) roènì; d) spojitì? 142. Exponenciální rùst - úroèení. Za jaký èas se na úètu zdvojnásobí vlo¾ená suma dolarù, jestli¾e roèní úroková míra je 8 procent a úrok se pøi slo¾eném úroèení pøipisuje a) dvakrát za rok; b) jednou roènì; c) spojitì? 143. Exponenciální rùst - úroèení. Jak rychle se na úètu ztrojnásobí vlo¾ená suma dolarù, jestli¾e roèní úroková míra je 10 procent a úrok se pøi slo¾eném úroèení pøipisuje a) dvakrát za rok; b) jednou za mìsíc; c) spojitì? 144. Exponenciální rùst - úroèení. Jak rychle na úètu vzroste vlo¾ená suma 2 000 dolarù na 5 000 dolarù, jestli¾e roèní úroková míra je 8 procent a úrok se pøi slo¾eném úroèení pøipisuje a) 4{krát za rok; b) dvakrát za rok; c) jednou za rok; d) spojitì? 145. Exponenciální rùst - úroèení. O koupi chaty v zahradkáøské kolonii mají zájem tøi kupci. První nabízí 81 000 korun, z kterých by 64 000 zaplatil ihned a zbývajících 17 000 by zaplatil po tøech letech. Druhý nabízí 80 000 korun a zaplatí ich okam¾itì. Tøetí kupec dává 86 000 korun tak, ¾e okam¾itì zaplatí 60 000 a zbytek 26 000 dá po ¹esti letech. Pøedpokládejme, ¾e banka poskytuje nemìnnou roèní úrokovou míru 7 % pøi slo¾eném úroèení jednou za pùl roku; který z kupcù nabízí nejvíc? 146. Exponenciální modely - úroèení. Kolik dolarù je tøeba vlo¾it na úèet teï, aby 17
po 10 letech bylo na úètu 5 000 dolarù, jestli¾e roèní úroková míra je 10 procent a úrok se pøi slo¾eném úroèení pøipisuje a) 4{krát za rok; b) dvakrát za rok; c) jednou za rok; d) spojitì? 147. Exponenciální modely - úroèení. Kolik dolarù je tøeba vlo¾it na úèet teï, aby po 15 letech bylo na úètu 20 000 dolarù, jestli¾e roèní úroková míra je 8 procent a úrok se pøi slo¾enom úroèení pøipisuje a) ètvrtletnì; b) dvakrát za rok; c) jednou roènì; d) spojitì? 148. Exponenciální modely - anuita. Na konci ka¾dého roku vkládáte na svùj úèet 2 000 korun, pøièem¾ roèní úroková míra je 10 procent a úrok se pøipisuje spojitì. Kolik korun bude na va¹em úètu bezprostøednì po va¹em tøetím, resp. ètvrtém vkladu? 149. Exponenciální modely - anuita. Na konci ka¾dého roku vkládáte na svùj úèet 100 dolarù, pøièem¾ roèní úroková míra je 8 procent a úrok se vypoèítává spojitì. Kolik dolarù bude na va¹em úètu bezprostøednì po va¹em ètvrtém, resp. ¹estém vkladu? 150. Exponenciální modely - anuita. Na konci ka¾dého roku vkládáte na svùj úèet 1 000 dolarù, prièem¾ roèní úroková míra je 12 procent a úrok se pøipisuje jednou za pùl roku. Kolik dolarù bude na va¹em úètu bezprostøednì pøed pátým vkladem ? 151. Exponenciální modely - souèasná hodnota anuity. Banka nabízí 5 procentní roèní úrokovou míru, prièem¾ úrok se pøipisuje spojitì. Kolik dolarù máte vlo¾it na úèet na zaèátku prvního roku, abyste mohli konat pravidelné výbìry 2 000 dolarù na konci ka¾dého následujícího roku a po tøetím výbìru by stav na úètu byl nulový? 152. Exponenciální modely - souèasná hodnota anuity. Kolik dolarù vlo¾íte na úèet na zaèátku prvního roku, jestli¾e banka nabízí 6 procentní roèní úrokovou míru a úrok se pøipisuje spojitì, abyste mohli konat pravidelné výbìry 500 dolarù na konci ka¾dého z následujících ètyø rokù, pøièem¾ stav na úètu by byl po posledním výbìru nulový? 153. Exponenciální modely - optimální doba vlastnìní.p Pøedpokládejme, ¾e vlastníte pozemek, jeho¾ hodnota o t let pozdìji bude V (t) = 8000e t dolarù. Pokud roèní úroková míra zùstane dlouhodobì na stejné úrovni 6 procent a pøipisování bude spojité, po jakém èase by se vyplatilo pozemek prodat a získané peníze vlo¾it na úèet? 154. Exponenciální modely - optimální doba vlastnìní. Pøedpokládejme, p¾e va¹e rodina vlastní vzácný obraz, jeho¾ hodnota o t let pozdìji bude V (t) = 250e t dolarù. Pokud roèní úroková míra zùstane na stejné úrovni 6 procent a pøipisování bude spojité, po jakém èase by se va¹í rodinì vyplatilo obraz prodat a získané peníze vlo¾it na úèet? 155. Exponenciální modely - optimální doba vlastnìní. Pøedpokládejme, ¾e va¹e rodina vlastní vzácnou zbírku známek, její¾ souèasná hodnota je 1 200 dolarù a ka¾dý rok získává na cenì 200 dolarù. Pokud roèní úroková míra zùstane na stejné úrovni 8 procent a pøipisování bude spojité, po jakém èase by se va¹í rodinì vyplatilo zbírku prodat a získané peníze vlo¾it na úèet? 156. Aplikace na ekonomické velièiny. Dùle¾ité funkce, interpretace jejich míry zmìny (o nìkterých jsme se u¾ zmínili v pøedchozích úvahách nebo výpoètech): a) nákladová funkce C (x) - vyjádøuje závislost nákladù C na velikosti produkce x (x v jednotkách produkce); 2
18
b) funkce prùmìrných nákladù c(x) = C (xx) ; c) cenová funkce p(x) - vyjádøuje cenu p, pøi které bude po¾adováno x výrobkù; d) funkce tr¾by (pøíjmu) R(x) - vyjádøuje závislost tr¾by (pøíjmu) R(x) na velikosti produkce x (x opìt v jednotkách produkce); zøejmì platí R(x) = x p(x); e) zisková funkce, funkce zisku P (x) - vyjádøuje závislost zisku P na prodeji x výrobkù; zøejmì platí P (x) = R(x) ; C (x) (pøíjem minus náklady). Pro nìkteré z uvedených funkcí se uplatní míra zmìny, tedy derivace funkce: - derivace funkce nákladù C 0(x) se zavádí také jako funkce mezních nákladù, marginální náklady, - derivace funkce tr¾by (pøíjmu) R0(x) se de nuje jako funkce mezních tr¾eb, marginální tr¾by (pøíjmy). Proto¾e velmi èastým pøípadem v ekonomických aplikacích jsou výrobky poèítány na kusy - jednotky výroby nebo nákladù jsou tudí¾ celoèíselnou promìnnou, v derivaci se pou¾ívá pøírùstek x = 1 jako nejmen¹í mo¾ný pøírùstek nezávislé promìnné. Proces výpoètu limity v zavedeném smyslu pak nelze provést. Proto marginální velièiny jsou pouze pøibli¾nì rovné derivacím pøíslu¹ných funkcí, pøesnì zavedeným jako limita relativních pøírùstkù. Ukázka: Optimalizace prùmìrných nákladù (obecnì). Pro jakou velikost produkce x budou prùmìrné náklady c(x) minimální? Øe¹ení. Podmínka pro minimum prùmìrných nákladù je c0(x) = 0, tedy !0 0(x) ; C (x) C ( x ) x C 0 c (x) = x = = 0; proto c0(x) = 0 () x C 0(x) ; C (x) = 0, x tehdy ov¹em C 0(x) = C x(x) = c(x), nebo v jiné formulaci; mezní náklady se rovnají prùmìrným nákladùm. Proto i pro rostoucí náklady mù¾e existovat minimum prùmìrných nákladù. Gra cky, jejich minimální hodnota je y-ová souøadnice bodu prùseèíku funkce mezních nákladù C 0(x) a funkce prùmìrných nákladù c(x). 157. Optimalizace prùmìrných nákladù. Pøedpokládejme, ¾e urèitá rma mù¾e produkovat minimálnì 100 a maximálnì 1000 výrobkù dennì. Funkce nákladù C (x) závislých na poètu výrobkù x je urèena pøedpisem C (x) = 320+3; 5x +0; 03x (tisíc korun), cenová funkce je urèena jako p(x) = 8; 5 + 331 x a) Vypoèítejte, kolik výrobkù by mìlo být vyrobeno za den, aby prùmìrné náklady byly minimální. (Návod. Extrém hledejte na uzavøeném intervalu h100; 1 000i.) b) Vypoèítejte, kolik výrobkù by mìlo být vyrobeno za den, aby bylo dosa¾eno maximálního zisku. (Návod. Hledejte maximum funkce zisku P (x) = R(x) ; C (x) = x p(x) ; C (x) na uzavøeném intervalu h100; 1 000i.) 158. Optimalizace prùmìrných nákladù. Øe¹me pøedchozí úlohu za pøedpokladu, ¾e rmì bude zavedena 6% daò z ceny ka¾dého výrobku. (Návod. Opìt hledáme extrémy funkcí na uzavøeném intervalu h100; 1 000i.) Øe¹ení. Velikost minima prùmìrných nákladù se nezmìní, proto opìt x =: 326; 6 2
2
19
výrobkù. Funkce zisku bude teï P (x) = 0; 94x p(x) ; C (x): = 4; 49x ; 8; 86 ; 0; 03x a její kritický bod je x = 748; 333. Proto¾e P (748; 333) = 1671; 15, P (100) = 410; 14, P (1000) = ;1 484; 14, máme maximum pro 748,333 výrobkù za den; do¹lo ke sní¾ení výroby o 10 % 2
Øe¹ení úloh:
y = 522; c) y = 0; 0975, y = 0; 065; d) 1. a) y = 4, xy = 4; b) y = 1044, x x p : p y = 1= 11 =: 0; 3015 2. (1) 18x ; 15x ; 6; (2) 4=3x; = ; y = 11 = 3; 3166, x 5=4x; = ; (3) 3=2x = ; 7=3x = ; (4) ;1=2x; = + 3=2x = + 5=4x = ; (5) ; 1 ; 4 + 9 ; 8
3 4
1 2
4 3
3 2
4
1 2
2 3
1 4
x x x (6) ;2=3x; = + 5=4x = ; (7) 7x = ; 3=4x; = ; (8) 12x + 4; (9) 90x ; 28x ; 4x; (10) 10x ; 16x + 3x ; (11) 36x + 34x + 6; (12) ;2 na (;1; ;1), 0 na (;1; 3), 2 na (3; 1); v bodech ;1, 3 neexistuje; (13) 15x + 24x + 36x + 48x + 12; (14) 60(x ; 1); (15) 12x ; 16x ; 4; (16) 12x ; 11; (17) (x + 2x ; 1)ex; (18) ln x ; 3x ln x ; x + 1; (19) 15e x ; (20) 1 ;xln x ; (21) lnlnx ;x 1 ; (22) p ; x ; (23) x x+ 1 ; (24) (ex ;;e4;x) ; 1;x 2 ; (27) 3x + 15x ; (28) ; 2x + 6 ; (29) 1 + 2x ; (25) (3x;;51) ; (26) (1 ; + x) (3x + 5) (x ; 1) x (x + x + 1) 2x ; (31) 2x(3x + 5) + 24x (3x + 5) ; (32) 51(2 + 3x) ; (33) 24(4x + 8x ; (30) (12 ; +x ) 7) (x + 1); (34) p ; x ; (35) p 2ax + b ; (36) 2=3x(x + 1); = ; (37) ;3=2x (a ; 4;x 2 ax + bx + c v v p u u u u x ;1 1 + 2 x x ; 3 x 1 + x ; = t p p x ) ; (38) ; (39) x(1 ; x) ; (40) (1 + x ) 1 ; x ; (41) t 11 + ; x (1 + x) ; 1+x (42) 50(x = + x; = ) (x; = ; x; = ); (43) ;5 sin(5x +3); (44) (4x +3) cos(2x +3x +2); (45) 2 cos x + 2 cos 2x; (46) a cos ax cos bx ; b sin ax sin bx; (47) ;2x sin x ; 2 cos x sin x; x) ; (50) p ; 1 p ; (48) (cos x ;2 sin x) ; (49) 20 tg x(1cos+ tg x 2 x sin x x x (51) cos(sin(sin x)) cos(sin x) cos x; (52) 3 4 ln 4 ; 2;x ln 2; (53) 3x ln 3 ; 3x ; (54) 3(e x + x e; x); (55) eax(a cos bx ; b sin bx); (56) e x(3x +8x ; 8); (57) (ex2+e 1) ; (58) e;x(2x ; x ); ; 2 ; (62) 2 4 cos 2x 3. a) (59) 2=(2x + 3); (60) 4 lnx x ; (61) cos ; (63) x x(1 ; ln x) (1 ; sin 2x) y = 5x ; 3; b) y = 2=3x +6; c) y = 2(x ; 1); y = ;x; y +6 = 11(x +2); d) y = ;x=4 ; 2; e) y = 8 ; 4x; f) y = ;1; y = 12x +15; g) y = ;x=4+3=4; h) x není v Df ; i) y = 3x ; 2; j) y = x ; 1; k) y = x; l) y = 1; y = ;x + =2 4. a) k = 2, d: y = 2x + 8 v x = 1; k = ;4, d: y = ;4x + 23 v x = 4; b) k = ;6, d: y = ;6x + 6 v x = 1; k = ;88, d: y = ;88x + 141 v x = 2; c) k = ;1=16, d: x + 16y ; 32 = 0 v x = 4; v x = 0 funkce není de novaná; d) k = 3, d: 3x ; y = 0 v x = 0; k = 0, d: 2y + 3 = 0 v x = ;1; e) v x = 0, x = 1 funkce není de novaná; f) k = 0, d: y = 1 v x = 1; k = 0, d: y = 0 v x = 0; g) k = 1, d: y = x v x = 0; k = 2e, d: y = 2ex ; e v x = 1; h) v x = 2 není derivace 5 3
4
3
1 4
5 2
2
5 4
5
4
3
4
3
2
2
2
3 +2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
7
2
2
2 3
2
3
3
2
2
2
1 2 99
2
2
2
1 2
2
16
2
2
2
2
2
8
2 2
2
2
2
4
1 2
3
2
2
3
2
1 2
3 2
3
2
3 2
2
2
2
2
9
2
2
3
3
3
2
2
3
2
2
3
2
2
0
20
p p funkce de novaná 5. a) d: y ; 3=2 2 = p1 (x ; 2); smìrnice normály n je ;4 2; b) 4 2 d: y + 8 = ;3(x + 1), smìrnice normály n je 1=3; c) d: y ; 1=3 = ;7=9(x ; 1), smìrnice normály n je 9=7 6. a) y = ;4(x ; 2), y = 4(x + 2); b) y = 16(x ; 5=4); c) y = 6x, y = ;2(x ; 2), y = 3(x ; 3); d) y = 1=4(x ; 1) 7. a) y = 4(x ; 3); b) y +3 = 2(x ; 2); c) 27 = 3(x ; 5=2) 8. a) [1=3; 1=9]; b) [3; = ; 3; = ]; y + 143 = ; 1 = 3( x ; 5 = 6); y + 36 4 c) [0; 0] 9. a) 6; b) 48x + 24x + 2; c) ;1=4x; = ; d) e;x2 (4x ; 6x); e) (x +4 1) ; f) 4 ; g) ;3x(1+x ); = ; h) 4 ; i) 1=x; j) 2(1 ; x ) ; k) 4 + 3x ; l) ;4 sin 2x; (1 ; x) (x ; 1) (1 + x ) 4(1 + x) = sin x ; o) 2 cos 2x; p) 3 cos x(1 + sin x) 10. a) 120(3x + 1); b) m) ;25 cos 5x; n) 2cos x 384 ; c) 2=x ; d) e;x(x ; 12x + 36x ; 24); e) ; 15 x; = ; f) 5040x; 11. a) (2x ; 1) 16 ; 1 536 (x + 12x + 36x + 24)ex; b) 24 ln x + 50; c) (2 ; 4x) ; d) (55;760 2x) 12. a) a n!; b) (;1)nn! ; c) (;1)n (n ; 1)! ; d) (;1)n(n ; 2)! 13. 14. a) f 0(1) = ;1=3, f 0(4), f 0(5) xn xn xn; neexistují (4, resp. 5 nepatøí do de nièního oboru funkce); b) f 0(0) neexistuje, f 0(1) = 21 , f 0(16) = 1=8; c) f 0(0) = 0, f 0(1), f 0(;1) neexistují; d) f 0(x) = (1+x ); = , f 0(0) = 1 15. a) f 0( 32 ) = 0, relativní minimum; b) f 0( 32 ) = 0, relativní minimum; f 0(0) = 0, relativní maximum; c) f 0(3) neexistuje, relativní minimum; d) f 0(0) neexistuje, relativní minimum; e) f 0(;4) neexistuje, relativní minimum; f) f 0(2) neexistuje, relativní minima 16. a) 8x + y + 11 = 0; b) [2; ;11]; c) [7=2; ;35=4]; d) [1; ;10] 17. funkce roste (klesá) na ha; bi 18. 19. 20. a) P 0(2) = 0; 3 korun/mìsíc; b) P 0(2; 25) = 0; 325 korun/mìsíc 21. a) D0(4) = 9; 8 m/min; b) D(5) ; D(4) = 9; 83 m 22. 50 km/hod 23. ;2=3 m/min 24. ;0; 03829 m/sek (stín se zkracuje) 25. ;100 2 cm za vteøinu 0 0 26. a) P 0(t) = ; VV ((tt)) ; b) V 0(t) = ; PP ((tt)) 27. a) ;2; b) m=n; c) 1=54; d) 1; e) 0; f) 1; g) 1; h) 4; i) 0 28. a) 0; p b) ln 2; c) 1; d) 0; e) 1; f) k 29. ètverec o stranì 4 m, obvod 16 m 30. a = b = 10 2 31. x = 12; 5 dol. 32. x = 45 dol. 33. p = 14 dolarù 34. a) 185 slepic, max. produkce bude 34 225 vajec za rok; b) 122 nebo 123 slepic, stejná produkce 30 012 vajec; c) pøibl. 102 slepice (ménì ne¾ byl pùvodní stav), ale max. produkce 31 008 vajec za rok (tedy vy¹¹í ne¾ pùvodní produkce) 35. max. pøíjem 605 000 dolarù pøi cenì 55 dolarù; prodá se (jen) 11 000 vstupenek 36. funkce zisku je P (p) = 400 (15 ; p) (p ; 2) pro 2 p 15; pøi cenì p = 8; 5 dolarù zisk nejvìt¹í, a to 16 900 dolarù 37. funkce zisku je P (x) = 3 (100 ; x) (70 + x), 95 dol. za pokoj, max. zisku je 21 675 dol., 45 pokojù zùstane neobsazeno 38. funkce pøíjmu je P (x) = 12 (10 + x) (15 ; x); v polovinì tøetího týdne; 1 875 Kè 39. funkce pøíjmu je P (x) = (60 ; 0; 5x) (35+ x); skupina 77 nebo 78 osob; 2 886 dolarù 40. a = 225 4 m, b = 75 m; 8437,5 m 41. 4 km od B 42. nejprve pod vodou (2000 m) a pak 800 m 5 4
2
2
2
3 2
3
3
3
3
2
5 2
3
2 2
3 2
2
3
5
3
2
2
7 2
2
9
4
0
7
+1
+1
2
2
1 2
10
2
11 4
2
2
21
3
po zemi; tehdy minimum nákladù 66 000 dolarù; a) nejprve pod vodou (2000 m) a pak 400 m po zemi; minimum nákladù 58 000 dolarù; b) jenom køí¾em q pøes øeku, minimum p b 1; 25 nákladù 30 000 2 dolarù 43. vzdálenost x bodù X , B je 1; 25 m a minimální q 1; 25 p p èas 2=3(a + b 1; 25) vteøin (x = 64 1; 25 m, minimální èas 160(1 + 3 ) vteøin) p 44. [1=2; 3=2] 45. a) 3 (od bodu P [6=5; 8=5]); rb) 7 (od bodu Q[;r6=5; ;8=5]) q q 46. P [8; 12]; minimální vzdálenost 634 47. 2; 4 1 + 3 4=9 + 1; 6 1 + 3 9=4; r
q3
r
q
p
p
a 1 + a =b + b 1 + 3 b =a 48. s = 2=3 3r, v = 2=3 6r 49. a) minimální + y v ; b) minimální vzdálenost 52 p5 v èase 7,8 vzdálenost xqv ; y v v èase t = x vv + v 5 v +v 50. ètverec, a = P=4, plo¹ný obsah P =16 j. p. o. 51. strany obdélníku o rozmìrech 4, 8; maximální plo¹ný obsah 32 j. p. o. 52. x = a=2, y = b=2, maximální plo¹ný p obsah ab j. p. o. 53. a) 2 R ; b) R ; c) 2 ab 54. a = b = c= 2 2; maximální 4 plo¹ný obsah c4 j. p. o. 55. pro vý¹ku h rovnoramenného trojúhelníku h = 3=2 R, p max. plo¹ný obsah 3=4 R 3 j. p. o. 56. strana ètverce 1=6 m; maximální objem 49 m 57. strana ètverce a=6 m; maximální objem 2a m 58. a) x = y = A=2, 540 27 m n m nn mA nA A maximální souèin 4 ; b) x = m + n , y = m + n , maximální souèin A(m + m n)m n 8 m 61. 32 , 59. a) rùst mírou 9%; b) pokles mírou 1% 60. 4 16 m, + 4+ 8 + 3 16 + 4 62. Q[;1=2; 5=2], minimální vzdálenost 3=2 p2 63. jaxp+ by ; cj 64. 8 + 3 a +b 5 cm/sek 66. j. p. o. (trojúhelník je pravoúhlý) 65. maximální plo¹ný obsah ab 2 2r ; r3 dm/sek 67. objem rotaèního ku¾ele je V = 1=3 r h (u nás h = 2r), kde h je vý¹ka ku¾ele; hladina stoupá rychlostí 92 m/min (pøibli¾nì 0,071 m/min) 68. a) 100 91 100 10 procent (asi 1,01 %); 95 procent (asi 1,05 %); funkce klesá k 0 69. a) 3 tisíc; b) 4,065 % 70. a) 1 040 korun roènì, 1 160 korun roènì; b) 4,77 % 71. a) 50 korun, resp. 750 korun (rozdíl N (5) ; N (4)); b) 13,82 % 72. a) 1,5 tisíc; b) 3 tisíc; c) 6 tisíc 73. a) 6 pøístrojù; b) 13,5 pøístrojù 74. a) nárùst o 100 jednotek; b) pokles o 50 jednotek 75. 13 500 dol. 76. a) nabídka klesne o 400 kusù; b) stoupne o 200 kusù 77. 562; 5 p.p.m. 78. a) rùstpo 2 %, resp. pokles o 2,5 %; b) nárùst investicí o 16% 79. 0,75 p hod. 80. a), b) 0; 5 2 cm 81. a) zmen¹í sep pøibli¾nì o 2916 cm ; b) zmen¹í se o 3 3 cm; c) zmen¹ení pøesnì o 2457 cm , resp. o 3 3 cm 82. zmen¹í se o 6 %, zvìt¹í se o 9 % 83. 3 % 84. zvìt¹í se pøibl. o 720 cm 85. zvìt¹í se pøibl. o 10 m 2
2
0 2
2
2
0 1
2 1
0 1 2 1
2 2
0 2 2 2
2
2
2
2
2
3
3
3
+
2
+
0
0
2
2
2
2
2
3
3
2
22
2
86. 0; 5 % 87. a) zvìt¹í se o 6 %; b) zmen¹í se o 9 % 88. 0; 33 % 89. nejvíce 0,0005 polomìru 90. a) P (0) = 40 mil.; b) P (10) = 51; 361 mil., P (20) = 65; 949 mil. 91. a) P (0) = 30 mil.; b) P (5) = 34; 855 mil., P (12) = 42; 9999 mil; c) 23,1 let; d) stále stejná 3%. 92. a) 74 mil.; b) 75,83 mil. 93. a) 140 miliard; b) 144 miliard 94. a) Q(t) = N e ; t; pøibl. za 35 let 95. a) 10 125 bakterií; b) 5,4%; c) pøibl. za 12,817 minut 96. A(1 + h=1000)n lidí 97. 98. t = ln BA ln(1000 + p) ;1 ln(1000 ; r) 99. a) 5 450 dolarù; b) 1 126,676 dolarù; c) 450 dolarù 100. 8,644 hodin 101. b) pøibl. 35 let 102. 3297,44 gramù 103. Q(t) = Q 2;t= ; pøibl. 5614,1 let, resp. 9538,1 let 104. 204,8 gramù, resp. 53,687 gramù; poloèas rozpadu je 155,314 let 105. 25 dol.; max. výdaje jsou 9196,99 dol. 106. a) Q(t) = 500 ; 200 0; 25t= ; b) 487,5 výrobkù, 0
0 02
1690
0
2
resp. 496,875 výrobkù; c) 34,66 výrobkù za mìsíc, resp. 8,66 výrobkù za mìsíc,: resp. 2,166 : ; ; t výrobkù za mìsíc 107. a) P (t) = 300 ; 100e ; b) P (8) = 247 a P (9) = 251, proto teprve na konci 9. týdne 108. 60 výrobkù, resp. 102,22 výrobkù 109. v èase t > 18; 34 týdnù, tedy v prùbìhu 19. týdne po nástupu 110. y(x) = 35800=7 ; 1600=63 (9=2)t hodin 111. y(x) = 305 + 67; 5 e; ; x (k zaokrouhlen na 3 desatinná místa); 305 vteøin bf 112. P (t) = 15000 ; 5000 e = = t (za základ mocniny lze vzít 4=5) 113. T (t) = 18 + 80 4;t= ; èas potøebný na pokles teploty na T = 20: 5 ln 40= ln 4 =: 13 minut 114. T (t) = 20 + 80(4=3);t= , t = 20 lnln4=23 =: 48; 19 minut 115. T (t) = : t= 20 + 70(4=7)t= , t = 10 lnln34==14 7 = 27; 5 minut 116. T (t) = 25 (4=5) , 82,13 min.; t= v èase 3,66 min. 117. T (t) = 38 ; 28 (5=7)t= 118. T (t) = 30 ; (30 ;30T )t= ; , T = ;30 st. C 119. b) 1 tis. osob, resp. 3,1442 tis. osob; c) 4 tis. osob 120. b) 18, resp. 48,5, resp. 81,15, resp. 116,33 osob; c) 180 osob 121. y(t) = 1 + 32000 0; 4464t 122. prakticky v¹ichni budou posti¾eni 123. y(t) = 1 + 799800 ;; t , t v hodinách; e y(60) =: 188, y(72) =: 3858 pasa¾érù - témìr pìtkrát více ne¾ poèet v¹ech cestujících 1 , t ve dnech; A = 99, e;k = 1=11, 124. Poèet osob y(t) v procentech: y(t) = 1 + Ae ;kt 1 , t ve dnech, y(t) v procentech; : 93 % 125. y(t) = proto y(3) = 121 = 130 1 + Ae;kt 12321 =: 100 % 126. 4 hod. 127. k = 1=3 ln 3, A = 999, e;k = 1=111, proto y(3) = 12330 tedy souèasnì e;kt = 3;t= , A = 27=5, B = 224=5; poèet zapletených osob nepøesáhne hranici urèenou èíslem B , èili nejvíce 45 osob 128. y(t) = 1 + 91000 e; ; t ; poèet se ;k zdvojnásobí pøibl. za 3,5 roku; y(5) =: 261 slepic 129. y(t) = 1 +3000 2e;kt , e = 1=4; 1 y(6) = 8000=3 =: 2666; 6 kusù 130. c = 4, e;k = (1=4) = , tedy x(t) = ;t= ; 1 + 4 (4) proto x(60) = 64=65 =: 0; 9846 (koncentrace pøibl. 98,46 %) 131. a) 6 milionù; 6,66 mil., resp. 7,11 mil., resp. 8,23 mil.; c) 0; 216 mil./rok, 0; 222 mil./rok, 0; 224 mil./rok, 0 08
0 405
1 2 ln 4 5
5
20
10
20
10
20
0
10 1
0
0 01796
3
0 2313
3
1 15
23
15
0; 218 mil./rok; d) pøibli¾ovat se k 15 milionùm 132. a) 1,25 mil.; 1,586 mil., resp. 1,697 mil., resp. 1,987 mil.; c) 0; 039 mil./rok, 0; 040 mil./rok, 0; 041 mil./rok, 0; 042 mil./rok; d) pøibli¾ovat se k 10=3 milionùm 133. a) 0,39023 miliard roènì; b) 1,687% 134. b) 1 mil. roènì; c) 1,492 mil. roènì; v¾dy 4% 135. a) pokles 1 082,27 dol. za rok; b) pokles v¾dy 40% 136. a) 11,4 tisíc; b) 30,39 tisíc, resp. 55,76 tisíc 137. a) 10 000; b) 13 266,45; c) 13 591,41 dol. 138. a) 32 866,85; b) 33 120,60 resp. 33 207,10; c) 33 383,11 korun 139. a) 16 097,57; b) 16 262,35; c) 16 435,47 dol. 140. a) 17 729,46; b) 17 872,25; c) 17 901,90 dol. 141. a) 5,86 roku; b) 5,95 roku; c) 6,12 roku; d) 5,78 roku 142. a) 8,84 roku; b) 9,0 roku; c) 8,66 roku 143. a) 11,26 roku; b) 11,03 roku; c) 10,99 roku 144. a) 11,57 roku; b) 11,68 roku; c) 11,91 roku; d) 11,45 roku 145. druhý (pøi porovnání budoucí hodnoty ka¾dé z nabídek po 6 letech) 146. a) 1 862,15; b) 1 884,45; c) 1 927,72; d) 1 839,40 dol. 147. a) 6 095,64; b) 6 166,37; c) 6 304,83; d) 6 023,88 dol. 148. 6 653,15; 9 352,86 korun 149. 452,807; 739,70 dol. 150. 5 398,44 dol. 151. 5 433,55 dol. 152. 1 725,29 dol. 153. po 69,44 letech 154. po 138,89 p : : 4; 78; c(327) =: 4; 78; letech 155. po 6,5 roku 157. a) x = 400 6 = 326 ; 3; c (326) = 3 c(100) = 7; c (1000) = 6 ; 827, proto minimum pro 327 nebo 327 výrobkù za den; b) : x = 833, P (833) = 2 094; 33, P (100) = 481; P (1000) = 2 011, proto maximum pro 833 výrobkù za den
Klíèové pojmy Pøírùstek a relativní pøírùstek funkce Derivace funkce v bodì, de nice; geometrický, fyzikální význam; rovnice seèny a teèny ke grafu funkce v daném bodì Pravidla pro výpoèet derivací (derivace souètu, souèinu, podílu, slo¾ené funkce) Aplikace derivací v optimalizaèních úlohách, princip øe¹ení optimalizaèních úloh Výpoèet limit pomocí l'Hospitalova pravidla Diferenciál funkce v bodì: de nice, geometrický význam, pou¾ití Exponenciální modely: exponenciální rùst, klesání, køivka uèení se, logistická køivka; význam pou¾ití tìchto modelù; typické praktické úlohy, které lze modelovat exponenciálními modely Procentní míra zmìny, pou¾ití Exponenciální modely: úroèení slo¾ené, spojité; úroková míra, dal¹í odvozené pojmy Pou¾ití derivací v aplikacích z ekonomie: marginální velièiny Øíjen 2002
24
