DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET – SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2009

Diferenciální počet

2

Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.


3

Obsah Diferenciální počet ..................................................................................................................... 8 Elementární funkce ................................................................................................................ 8 Elementární funkce .......................................................................................................... 17 Varianta A ........................................................................................................................ 17 Elementární funkce .......................................................................................................... 19 Varianta B ........................................................................................................................ 19 Elementární funkce .......................................................................................................... 21 Varianta C ........................................................................................................................ 21 Diferenciální počet ................................................................................................................... 23 Spojitost funkce .................................................................................................................... 23 Spojitost funkce ................................................................................................................ 27 Varianta A ........................................................................................................................ 27 Spojitost funkce ................................................................................................................ 30 Varianta B ........................................................................................................................ 30 Spojitost funkce ................................................................................................................ 31 Varianta C ........................................................................................................................ 31 Diferenciální počet ................................................................................................................... 33 Spojitost funkce v bodě ........................................................................................................ 33 Spojitost funkce v intervalu.................................................................................................. 35 Spojitost funkce v intervalu.............................................................................................. 38 Varianta A ........................................................................................................................ 38 Spojitost funkce v intervalu.............................................................................................. 39 Varianta B ........................................................................................................................ 39 Spojitost funkce v intervalu.............................................................................................. 41 Varianta C ........................................................................................................................ 41 Diferenciální počet ................................................................................................................... 43


4

Limita funkce v bodě ............................................................................................................ 43 Limita funkce v bodě ........................................................................................................ 46 Varianta A ........................................................................................................................ 46 Limita funkce v bodě ........................................................................................................ 48 Varianta B ........................................................................................................................ 48 Limita funkce v bodě ........................................................................................................ 50 Varianta C ........................................................................................................................ 50 Diferenciální počet ................................................................................................................... 52 Jednostranné limity funkce v bodě ....................................................................................... 52 Jednostranné limity funkce v bodě ................................................................................... 55 Varianta A ........................................................................................................................ 55 Jednostranné limity funkce v bodě ................................................................................... 57 Varianta B ........................................................................................................................ 57 Jednostranné limity funkce v bodě ................................................................................... 59 Varianta C ........................................................................................................................ 59 Diferenciální počet ................................................................................................................... 61 Nevlastní limity funkce v bodě ............................................................................................ 61 Nevlastní limity funkce v bodě ........................................................................................ 65 Varianta A ........................................................................................................................ 65 Nevlastní limity funkce v bodě ........................................................................................ 67 Varianta B ........................................................................................................................ 67 Nevlastní limity funkce v bodě ........................................................................................ 69 Varianta C ........................................................................................................................ 69 Diferenciální počet ................................................................................................................... 71 Limita funkce v nevlastním bodě ......................................................................................... 71 Limita funkce v nevlastním bodě ..................................................................................... 76 Varianta A ........................................................................................................................ 76


5

Limita funkce v nevlastním bodě ..................................................................................... 78 Varianta B ........................................................................................................................ 78 Limita funkce v nevlastním bodě ..................................................................................... 80 Varianta C ........................................................................................................................ 80 Diferenciální počet ................................................................................................................... 82 Užití limit funkce ................................................................................................................. 82 Užití limit funkce ............................................................................................................. 86 Varianta A ........................................................................................................................ 86 Užití limit funkce ............................................................................................................. 88 Varianta B ........................................................................................................................ 88 Užití limit funkce ............................................................................................................. 90 Varianta C ........................................................................................................................ 90 Diferenciální počet ................................................................................................................... 92 Derivace funkce v bodě ........................................................................................................ 92 Derivace funkce v bodě .................................................................................................... 94 Varianta A ........................................................................................................................ 94 Derivace funkce v bodě .................................................................................................... 95 Varianta B ........................................................................................................................ 95 Derivace funkce v bodě .................................................................................................... 97 Varianta C ........................................................................................................................ 97 Diferenciální počet ................................................................................................................... 99 Derivace elementárních funkcí............................................................................................. 99 Derivace elementárních funkcí....................................................................................... 100 Varianta A ...................................................................................................................... 100 Derivace elementárních funkcí....................................................................................... 102 Varianta B ...................................................................................................................... 102 Derivace elementárních funkcí....................................................................................... 104


6

Varianta C ...................................................................................................................... 104 Diferenciální počet ................................................................................................................. 106 Derivace funkcí v součtu, v součinu, podílu a rozdílu ....................................................... 106 Diferenciální počet ................................................................................................................. 107 Derivace složené funkce ..................................................................................................... 107 Derivace složené funkce ................................................................................................. 108 Varianta A ...................................................................................................................... 108 Derivace složené funkce ................................................................................................. 110 Varianta B ...................................................................................................................... 110 Derivace složené funkce ................................................................................................. 112 Varianta C ...................................................................................................................... 112 Diferenciální počet ................................................................................................................. 114 Průběh funkce ..................................................................................................................... 114 Průběh funkce – monotónnost funkce ............................................................................ 120 Varianta A ...................................................................................................................... 120 Průběh funkce – extrémy funkce .................................................................................... 122 Varianta B ...................................................................................................................... 122 Průběh funkce – extrémy funkce .................................................................................... 124 Varianta C ...................................................................................................................... 124 Diferenciální počet ................................................................................................................. 126 Průběh funkce ..................................................................................................................... 126 Průběh funkce – extrémy funkce pomocí 2. derivace .................................................... 130 Varianta A ...................................................................................................................... 130 Průběh funkce – konvexnost a konkávnost funkce ........................................................ 132 Varianta B ...................................................................................................................... 132 Průběh funkce – inflexní body funkce ........................................................................... 134 Varianta C ...................................................................................................................... 134


7

Diferenciální počet ................................................................................................................. 136 Průběh funkce ..................................................................................................................... 136 Průběh funkce ................................................................................................................. 138 Varianta A ...................................................................................................................... 138 Průběh funkce ................................................................................................................. 150 Varianta B ...................................................................................................................... 150 Průběh funkce ................................................................................................................. 152 Varianta C ...................................................................................................................... 152 Diferenciální počet ................................................................................................................. 154 Užití diferenciálního počtu ................................................................................................. 154 Užití diferenciálního počtu ............................................................................................. 155 Varianta A ...................................................................................................................... 155 Užití diferenciálního počtu ............................................................................................. 157 Varianta B ...................................................................................................................... 157 Užití diferenciálního počtu ............................................................................................. 159 Varianta C ...................................................................................................................... 159


8

Diferenciální počet Elementární funkce Základní vlastnosti funkcí zopakovat: co je funkce, definiční obor -

, obor hodnot funkce -

, graf funkce, rovnost funkcí, funkce

sudá a lichá, funkce klesající a rostoucí, funkce prostá, funkce inverzní, funkce složená, funkce omezená, funkce periodická, extrémy funkce. Tyto vlastnosti funkcí se nevyšetřují pouze v celém definičním oboru, ale většinou v nějakém intervalu, který je podmnožinou definičního oboru funkce.

1) Polynomická funkce n-tého stupně Kde n je celé nezáporné číslo,

jsou reálné koeficienty, kde

.

Definiční obor jsou reálná čísla. Příklady jednoduchých polynomických funkcí: konstantní funkce lineární funkce kvadratická funkce

2) Racionální funkce

Definičním oborem funkce je množina reálných čísel, kromě všech nulových bodů polynomu Q (x). (to jsou čísla x, pro která platí Mezi nejdůležitější racionální funkce patří:

)


a) Nepřímá úměrnost

y

k 1 x

0

k 1 k 1

b) Lineární lomená funkce

y

a c 

d c

0

x

9


3) Mocninná funkce 

přirozený exponent



celý záporný exponent



racionální exponent

y  x 2 n1

y  x 2 n

y  x 2n

0

0

y  x 2 n1

y

p

y  x q , p  q, q  2n

0 p q

y  x , p  q, q  2n  1

x

10


4) Exponenciální funkce

a 1

0  a 1

1 0

5) Logaritmická funkce

a 1 0

1

0  a 1

11


6) Goniometrické funkce

y 1

x

0

1

y 1

0

x

-1

y

0

12


y

x

x

0

7) Absolutní hodnota reálného čísla

y

4

0

x

4

8) Signum reálného čísla

1

-1

13


9) Celá část reálného čísla – (intičr)

Celá část reálného čísla x je celé číslo n, pro které platí

.

y

x

Umět načrtnout grafy funkcí

V diferenciálním počtu se často využívá vlastností - rovnost funkce a složená funkce.

14


Funkce f , g se rovnají na množině

15

, platí-li pro každé

.

1) 2)

y  x2

y

Funkce mají řadu společných vlastností, ale nerovnají se, jak vyplývá z grafu.

y x

x

0

funkce se rovnají na intervalu

2

-2

2

-2

2


Funkce h je složena z funkcí f, g právě když platí:

f – vnitřní funkce, g – vnější funkce. Operace skládání funkcí není komutativní

.

16


17

Elementární funkce Varianta A Určete definiční obor a obor hodnot funkce. Určete, zda je funkce omezená a rozhodněte o monotónnosti funkce.

Výsledek řešení: , Funkce je omezená shora číslem 16, není omezená zdola. Je rostoucí v intervalu

, klesající v intervalu

.


18

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete definiční obor a obor hodnot funkce. Určete, zda je funkce omezená a rozhodněte o monotónnosti funkce.

; omezená zdola číslem 0, shora omezená není,

[ rostoucí v

, klesající v

]

2) Určete definiční obor a obor hodnot funkce. Určete, zda je funkce omezená a rozhodněte o monotónnosti funkce.

[

; v intervalu omezená shora číslem 2, rostoucí v

omezená zdola číslem 2, v intervalu a

]


[

; není omezená, rostoucí v

]


[

; je omezená zdola číslem -1, shora omezená není, rostoucí na

]


Elementární funkce Varianta B Určete definiční obor a obor hodnot funkcí f, g a najděte funkce složené

a

a určete jejich definiční obory a obory hodnot.

Výsledek řešení:

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete definiční obor a obor hodnot funkcí f, g a najděte funkce složené a určete jejich definiční obory a obory hodnot.

[ ]

a

19


2) Určete definiční obor a obor hodnot funkcí f, g a najděte funkce složené

a


[ ] 3) Určete definiční obor a obor hodnot funkcí f, g a najděte funkce složené

a


[ ] 4) Určete definiční obor a obor hodnot funkcí f, g a najděte funkce složené a určete jejich definiční obory a obory hodnot.

[ ]

a

20


Elementární funkce Varianta C Vyšetřete rovnost funkcí:

y

1

0 -1


Funkce f a g se rovnají.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

2

x

21


22

1) Vyšetřete rovnost funkcí:

[funkce

;

[funkce

;

, pak

]


]


[funkce

;

]


[funkce

;

]


23

Diferenciální počet Spojitost funkce Spojitý – představa něčeho plynulého, nepřerušovaného. Funkce je spojitá, jestliže její graf můžeme nakreslit jedním tahem. Ale jak určit spojitost funkcí, které nemůžeme načrtnout? Zkoumání spojitosti funkcí, to je sledování změn funkce v konkrétním bodě, případně v okolí tohoto bodu. Jak se mění funkční hodnoty funkce f (x) blízko hodnoty f (a), když se bude měnit x velmi málo od bodu a? Přičemž funkční hodnota funkce v bodě a může, ale i nemusí existovat. Například na obrázcích jsou grafy jednoduchých funkcí, tyto funkce nabývají odlišných vlastností v bodě 2:

y

y

0

0

2

x

y

0

x

2

y

2

x 0

2

x


24

y

y

0

2

0

x

y

y

1

1

0 -1

2

2

0 -1

x

2

x

x

Okolí bodu Okolím bodu a nazýváme otevřený interval . Číslo a nazýváme střed okolí a číslo

, kde

delta je kladné reálné číslo

delta poloměr okolí.

a Delta okolí bodu a reálná čísla x, která vyhovují nerovnostem

nebo

, jsou všechna


Levým okolím bodu a nazýváme polozavřený interval

25

, kde delta je kladné reálné

číslo.

a Pravým okolím bodu a nazýváme polozavřený interval

, kde delta je kladné reálné

číslo.

a Prstencové okolí bodu a (redukované okolí) Množina

, dostaneme vyjmutím bodu a z okolí bodu a. . (z levého okolí i pravého okolí vyjmeme bod a).

a

Přírůstek argumentu a přírůstek funkce proměnná x se nazývá argument funkce y je funkcí argumentu x. Nechť funkce f je definována v nějakém okolí Rozdíl

.

nazýváme přírůstek argumentu v bodě a, označujeme

Nechť funkce f je definována v nějakém okolí Rozdíl

bodu a, nechť

bodu a, nechť

.

.

nazýváme přírůstek funkce v bodě a odpovídající přírůstku

argumentu a označujeme

.


y

y

f(a) f(x)

0

x

a x

x

26


Spojitost funkce Varianta A Načrtněte graf funkce a rozhodněte, zda je funkce spojitá, nebo nespojitá.

y

-5

0

-5

- 10

Výsledek řešení: ; Funkce není spojitá.

5

x

27


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Načrtněte graf funkce a rozhodněte, zda je funkce spojitá, nebo nespojitá.

y

3 4 -3

0

x

;

[

; Funkce není spojitá]

2) Načrtněte graf funkce a rozhodněte, zda je funkce spojitá, nebo nespojitá.

y

0 -1

2

x

[

;

; Funkce není spojitá]

28



y 6

-4

0

2

8

x

- 12

; Funkce je spojitá]

[


y 9

-2

0

1

4

x

[

;

; Funkce je spojitá]

29


30

Spojitost funkce Varianta B Pomocí definice okolí bodu, vyřešte v

rovnici:

Hledáme taková x, pro která bude platit, že vzdálenost od bodu 5 na číselné ose musí být menší než 4.

0

1

9

5

Výsledek řešení: Řešením je každý bod intervalu s poloměrem

považujeme za okolí bodu 5

. Interval

, jeho středem je číslo 5.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Pomocí definice okolí bodu, vyřešte v

rovnici: [

2) Pomocí definice okolí bodu, vyřešte v

]

rovnici: [

3) Pomocí definice okolí bodu, vyřešte v

]

rovnici:

[ 4) Pomocí definice okolí bodu, vyřešte v [

]

rovnici: ]


31

Spojitost funkce Varianta C Vyjádřete přírůstek funkce

, a určete jeho hodnotu pro

, je-li

. Výsledek řešení:

Hodnota přírůstku funkce pro pro

,a

je

.


Příklady k procvičení: 1) Vyjádřete přírůstek funkce .

, a určete jeho hodnotu pro [

2) Vyjádřete přírůstek funkce .

, je-li ]

, a určete jeho hodnotu pro [

, je-li ]


3) Vyjádřete přírůstek funkce a určete jeho hodnotu pro

, je-li

.

[ 4) Vyjádřete přírůstek funkce a určete jeho hodnotu pro

, je-li

[

32

] .

]


33

Diferenciální počet Spojitost funkce v bodě Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a).

Úloha 1: Exponenciální funkce

, která je definována v okolí bodu

.

Sledujeme hodnoty x okolo bodu 2, a funkční hodnoty okolo bodu 9. Když se bod x blíží k bodu 2, blíží se hodnoty funkce f (x) k hodnotě 9. Tzn., že funkce f je spojitá v bodě 2. Ať zvolíme jakkoliv malé

okolí bodu 9 na ose y, vždy se podaří najít takové

okolí bodu 2 na ose x, tak

y



9 

1 0 2  2 2 

x


34

Jestliže je funkce spojitá v bodě a, musí být definována nejen v bodě a, ale i v jistém okolí bodu a. 

Funkce



Funkce



Funkce



Funkce



Funkce

je spojitá v každém bodě. je spojitá v každém bodě. je spojitá v každém bodě. jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru. je pro n liché spojitá v

a pro n sudé je spojitá v intervalu

Jsou-li funkce f, g spojité v bodě a, pak je také spojitou funkcí v bodě a jejich součet f + g, rozdíl f - g, součin f . g a podíl f / g.

.


35

Spojitost funkce v intervalu Funkce f je v bodě a spojitá zprava, jestliže ke každému

existuje takové

je splněna pro všechna x z intervalu

nerovnost

Funkce f je v bodě a spojitá zleva, jestliže ke každému je splněna pro všechna x z intervalu

, že

. tak, že nerovnost

existuje .

Příklad: Tyto funkce nejsou spojité v bodě -4, 4, ale jsou jednostranně spojité.

y

2

f : y  x4

0

-4

y

g

f

g: y  4 x

x

2

0



Funkce f je spojitá v bodě a, právě když je v tomto bodě spojitá zprava i zleva.



Funkce je spojitá v otevřeném intervalu

4

, je-li spojitá v každém bodě tohoto

intervalu. 

Funkce je spojitá v uzavřeném intervalu

, je-li spojitá v

, a v bodě a je

spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva.

Funkce Funkce

a

jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru. je pro n liché spojitá v

a pro n sudé je spojitá v intervalu

.

x


36

Věta Weierstrassova. Je-li funkce spojitá v uzavřeném intervalu , že

platí

platí

, existuje alespoň jeden takový bod , a alespoň jeden takový bod

, že

.

Funkce spojitá v uzavřeném intervalu nabývá v tomto intervalu alespoň v jednom bodě maxima a alespoň v jednom bodě minima. Funkce je omezená v tomto intervalu.

y

f x1 

f x2 

0

a

x1

x2 b

x


37

Věta Bolzanova – Weierstrassova. Je-li funkce f spojitá v

, potom ke každému číslu K, které leží mezi čísly

a

, existuje alespoň jeden takový bod

a

, že

.

y f(a)

K

f(b) 0

a

c

x

b

(Darbouxova vlastnost) Je-li funkce f spojitá v

a mají-li čísla

a

potom existuje alespoň jeden takový bod

, různá znaménka, tj. , v němž platí

.

y

b 0 a

c

c

c

x

V okolí bodu c tedy mění hodnoty funkce f znaménko + na – nebo znaménko – na +. Nejdříve určíme body c, pro které je

pak zkoumáme znaménka hodnot dané funkce.


38

Spojitost funkce v intervalu Varianta A Ukaž, že rovnice

má kořen v intervalu

.

Výsledek řešení: Využíváme Darbouxovy vlastnosti: I) Funkce je spojitá v intervalu

.

II) Pro funkci platí:

III) Jsou splněny všechny předpoklady, proto existuje

, takové, že

. (c je kořen

rovnice)

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Ukaž, že rovnice 2) Ukaž, že rovnice

má kořen v intervalu má kořen v intervalu

3) Ukaž, že rovnice


.

4) Ukaž, že rovnice


.

.

.


39

Spojitost funkce v intervalu Varianta B V

řešte nerovnici

.


-2

0

1

3

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) V

2) V

řešte nerovnici

řešte nerovnici

. [

]

[

]

.


3) V

40

řešte nerovnici

[

4) V

]

řešte nerovnici

[

]]


41

Spojitost funkce v intervalu Varianta C V

řešte nerovnici


Nebo

Řešení můžeme efektivně nalézt pomocí tabulky, kde vyjádříme znaménko funkce v daném intervalu.


-

-

+

+

+

+

+

+

-

-

+

+

-

-

-

+

-

+

+

+


42

Příklady k procvičení: 1) V

řešte nerovnici

[

2) V

]

řešte nerovnici

[

3) V

]

řešte nerovnici [

4) V

]

řešte nerovnici [

]


43

Diferenciální počet Limita funkce v bodě Funkce f má v bodě a limitu L, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu L existuje okolí bodu a tak, že pro všechna

z tohoto okolí náleží hodnoty f (x) zvolenému okolí

bodu L. platí:

-

Nezáleží na tom, zda f (a) je či není definováno.

-

Funkce f má v bodě a nejvýše jednu limitu.

Příklad: Nakreslete graf funkce

. x 3  0,3 f  0,3    0,09 x  0,3 3

y

x 3  0,2  f  0,2     0,04 x  0,2 3

f  0,1 

x 3  0,1   0,01 x  0,1 3

x 3 0,3   0,09 x 0,3 3

f 0,3 

x 3 0,2  f 0,2     0,04 x 0,2 3

0

x

f 0,1 

x 3 0,1   0,01 x 0,1 3

Když za x budeme dosazovat hodnoty blízké bodu a = 0, pak odpovídající hodnoty f (x) budou blízké hodnotě L = 1. Zdá se, že se můžeme k hodnotě L = 1 přiblížit libovolně blízko. Ovšem za x nemůžeme dosadit a = 0. Je to obdobné jako u spojitosti funkce, ale rozdíl je v tom, že f (a) pro a = 0 nemusí být definována. Nezáleží na tom, zda f (a) je či není definována. Pro čísla x velmi blízká k bodu a = 0 jsou funkční hodnoty f (x) velmi blízko k číslu L = 1.


44

Hlavní rozdíl mezi limitou a spojitostí funkce je v okolí bodu a. U spojitosti požadujeme, aby funkce byla v bodě a definována, u definice limity nezávisí na tom, zda je funkce v bodě a definována, či nikoliv. U limity hodnota f (a) nerozhoduje o určení. Pracujeme s okolím bodu a, ze kterého je bod a vyjmut

.

Funkce f je spojitá v bodě a pravě tehdy, když

.

Věta o limitě dvou funkcí: Jestliže

platí, že

potom má v bodě a limitu i funkce f a platí

Počítáme-li

a současně

, .

, kde P(x), Q(x) jsou polynomické funkce a platí P(a) = 0, Q(a) = 0,

potom mají polynomy společného dělitele (x – a).

Pokud by opět platilo, že R(a) = 0, S(a) = 0, pak

Pokud by opět platilo, že R(a) ≠ 0, S(a) = 0, pak řešíme (dozvíme se později).

Věta o třech limitách Jestliže pro všechna

z jistého okolí bodu a platí

a současně

, potom existuje také limita funkce g v bodě a, platí .

Limita


V blízkosti bodu 0 grafy obou funkcí

y y=x

téměř splývají. Můžeme tedy tvrdit, že

y = sin x

pro velmi malé hodnoty x lze psát .

0

x

Věty o součtu, rozdílu, součinu a podílu limit. Jestliže lim f x   A, lim g x   B potom platí: x a

x a

45


46

Limita funkce v bodě Varianta A Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě:

Výsledek řešení: Racionální funkce

Je spojitá v , proto pro každé

je

rovna funkční hodnotě

.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě:

[f: , g: ] 2) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě:

[f:

, g: ]


47

3) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě:

[f:

, g:

]


[f: , g:

]


48

Limita funkce v bodě Varianta B Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě:


Není spojitá v , definiční obor funkce je

. Funkce není v bodě 1 definována,

není spojitá v tomto bodě. Využijeme věty o dvou limitách: Provedeme úpravu funkce

Funkce


je spojitá v , proto

.


Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě:

[f: , g: ] 2) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě:

[f: , g:


[f: , g: ]


[f: , g: ]

]

49


50

Limita funkce v bodě Varianta C Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě:


Není spojitá v , definiční obor funkce je

. Funkce je v bodě 1 definována,

je v tomto bodě spojitá. Využijeme věty o součtu limit:

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě:

[f:

, g: ]


[f: , g: ]


51


[f:

, g: ]


[f: , g: ]


Diferenciální počet Jednostranné limity funkce v bodě Jako je funkce spojitá zprava a zleva, může existovat limita zprava a zleva. Příklad:

y

y f

1

0

g

1

x

x

0

y

y h

k

1

0 -1

x 0

x

Pro funkce h(x), k(x) limita v bodě 0 neexistuje, ale tyto funkce mají jednostranné limity.

52


53

Funkce f má v bodě a limitu L zleva, jestliže ke každému - okolí bodu L existuje levé okolí bodu a tak, že pro všechna

z levého okolí bodu a patří funkcí hodnoty f(x) do

- okolí bodu L.

Funkce f má v bodě a limitu L zprava, jestliže ke každému - okolí bodu L existuje pravé okolí bodu a tak, že pro všechna

z pravého okolí bodu a patří funkcí hodnoty f(x) do

- okolí bodu L.

Limita funkce f v bodě a existuje, právě když existují v bodě a limity zprava a zleva a jsou si rovny. Potom se limita funkce f v bodě a rovná společné hodnotě limit zprava a zleva.

Příklady: y

y f

g

1 0

1 x

0

x


54

y h

1 0

x


55

Jednostranné limity funkce v bodě Varianta A Vypočtěte limitu funkce:

Výsledek řešení: Funkce není spojitá v , definiční obor funkce je

. Limitu této funkce můžeme určit

pouze jednostranně (zprava). y

f

2 0

x

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce:

[f: , g: ]


56

2) Vypočtěte limitu funkce:

[f: , g: ] 3) Vypočtěte limitu funkce:


[f: , g: ]


57

Jednostranné limity funkce v bodě Varianta B Vypočtěte limitu funkce:


. Limitu této funkce můžeme určit

pouze jednostranně (zleva). y

f

3 0

x


[f: , g: ]


58




[f:

, g: ]


59

Jednostranné limity funkce v bodě Varianta C Vypočtěte limitu funkce:

Výsledek řešení: Funkce je spojitá v , definiční obor funkce je

.

y

f

2 0

x


[f: 2) Vypočtěte limitu funkce:

[f: ,]

,]


60


[f: 4) Vypočtěte limitu funkce:

[f: ,]

,]


61

Diferenciální počet Nevlastní limity funkce v bodě V případě, že funkce má limitu rovnu reálnému číslu, říkáme této limitě limita vlastní. Jestliže, jsou funkční hodnoty v absolutní hodnotě velké, říkáme, že funkce má v bodě a nevlastní limitu.

Funkce f má v bodě a nevlastní limitu , že pro všechna



, jestliže ke každému číslu K existuje takové

, z okolí

bodu a je

.

,

Funkční hodnoty funkce rostou nade

y

všechny meze, ať se blížíme k nule zprava, nebo zleva. Zvolím-li libovolné číslo K, vždy najdeme

f

takové

, že pro všechna bude

0

x

. V tomto

případě má funkce limitu v nekonečnu.





62


, z okolí

bodu a je

.

,

y f

Čím blíže bude x k nule, tím bude větší funkční

0 -1

hodnota, ale záporná. 1

x




je

,

y

x 0

zleva, jestliže ke každému číslu K existuje takové .





zleva, jestliže ke každému číslu K existuje takové

je

.

,

y f

0



1  2

Funkce f má v bodě a nevlastní limitu takové

, že pro všechna



y

0

1

zprava, jestliže ke každému číslu K existuje je

,

x

63

.


Funkce f má v bodě a nevlastní limitu takové

, že pro všechna



je

,

y

0

1

zprava, jestliže ke každému číslu K existuje

x

.

64


65

Nevlastní limity funkce v bodě Varianta A Vypočtěte limitu funkce:

Výsledek řešení: Funkce

není spojitá v , definiční obor funkce je

. Nezáleží, zda se k bodu 0

přibližujeme zleva, či zprava v obou případech rostou funkční hodnoty nade všechny meze. y

f

0

Zvolíme si je


x

, pak stačí zvolit

. Bude platit, že


66

Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce:

[f:

,g:

]

[f:

,g:

]

[f:

,g:

]

[f:

,g:

]





67

Nevlastní limity funkce v bodě Varianta B Vypočtěte limitu funkce:


. Nezáleží, zda se k bodu 0

přibližujeme zleva, či zprava v obou případech rostou funkční hodnoty nade všechny meze, ale v záporných hodnotách. y

f

0

Zvolíme si Bude platit, že


, pak stačí zvolit

x

. je


68

Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce:

[f:

,g:

]

[f:

,g:

]

[f:

,g:

]

[f:

,g:

]





69

Nevlastní limity funkce v bodě Varianta C Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě:


není spojitá v , definiční obor funkce je

. Záleží, zda se k bodu 0 přibližujeme

zleva, či zprava v obou případech rostou funkční hodnoty nade všechny meze v kladných hodnotách i v záporných hodnotách. y

f

0

x

Počítáme zde limitu zprava a limitu zleva.



70

Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu funkce ve vlastním bodě:

[zleva

, zprava

]

[zleva

, zprava

]

[zleva

, zprava

]

[zleva

, zprava

]





71

Diferenciální počet Limita funkce v nevlastním bodě Funkce f má v nevlastním bodě , že pro všechna



limitu L, jestliže ke každému

patří funkční hodnoty f (x) do okolí

existuje takový bod .

, y Když x roste nade všechny meze, a blíží se k nekonečnu, funkční hodnoty jsou stále menší a blíží se k nule. x 0

Funkce f má v nevlastním bodě , že pro všechna



limitu L, jestliže ke každému

patří funkční hodnoty f (x) do okolí

existuje takový bod .

,

y

Když se x bude přibližovat k minus nekonečnu, budou se funkční hodnoty blížit k -1.

0

-1

x


Funkce f má v nevlastním bodě číslo

, že pro všechna




limitu

platí

72

.

,

y

Když x roste nade všechny meze, a blíží se k plus nekonečnu, funkční hodnoty se také přibližují k plus nekonečnu.

0

1

x


, že pro všechna



platí


limitu .

,

y

Když x roste nade všechny meze, a blíží se k plus nekonečnu, funkční

0

hodnoty se přibližují k minus nekonečnu.

x



, že pro všechna




limitu

platí

73

.

,

y Když x se blíží k minus nekonečnu, funkční hodnoty se přibližují k plus nekonečnu.

0

x


, že pro všechna




limitu

platí

.

, y

Když x se blíží k minus nekonečnu, funkční hodnoty se přibližují také k minus nekonečnu.

2

-2

0

x


Celkem existuje 15 typů limit. Nevlastních limit je 10 typů. Funkce může mít jeden z 5 typů vlastní limity, kdy limitou je reálné číslo. Při výpočtu limit jsou důležité tzv. neurčité výrazy: ,

,

,

,

,

,

u těchto výrazů není možné určit limitu pouhým dosazením. Platí následující vztahy: I)

II)

III)

74


Důležité limity

Je-li

Je-li

75


76

Limita funkce v nevlastním bodě Varianta A Vypočtěte limitu v nevlastním bodě.


není spojitá v , definiční obor funkce je přibližují k

v obou případech se funkční hodnoty přibližují k ose x (funkční

nebo k

hodnoty jdou k nule). y

f

0

. Záleží, zda se hodnoty pro x

2

x


77

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: 1) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě.

[f: , g:

]

2) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě.

[f:

, g: ]


[f: , g: ] 4) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě.

[f: , g: ]


Limita funkce v nevlastním bodě Varianta B Vypočtěte limitu v nevlastním bodě.

Výsledek řešení: Funkce Je spojitá v , definiční obor funkce je nebo k

. Záleží, zda se hodnoty pro x přibližují k

v obou případech funkční hodnoty rostou do plus nekonečna. y

f

0

x

-4

Při výpočtu limit v nevlastních bodech postupujeme tak, že vytýkáme člen s nejvyšší mocninou, který určuje výsledek limity.

78


79


[f:

, g:

]

[f:

, g:

]

[f:

, g:

]

[f:

, g:

]





80

Limita funkce v nevlastním bodě Varianta C Vypočtěte limitu v nevlastním bodě.



[f:

, g:

]

[f:

, g:

]




[f: , g: ] 4) Vypočtěte limitu v nevlastním bodě.

[f:

, g: ]

81


82

Diferenciální počet Užití limit funkce Asymptoty grafu funkce S asymptotami funkce se setkáváme hlavně u hyperbol, ale i u elementárních funkcí (exponenciální, logaritmická, tangens). Ne každá funkce má své asymptoty. Asymptoty nám umožňují sestrojení grafu funkce, neboť funkce se k asymptotě přibližuje. Máme dva druhy asymptot, asymptoty se směrnicí, asymptoty bez směrnice. Asymptoty se směrnicí mají vyjádření ve tvaru Asymptoty bez směrnice mají vyjádření ve tvaru definována, ale je definována v

. , kde bod c je bod, v němž není funkce

nebo v

.

Asymptota se směrnicí Je dána funkce f, jejíž graf je na obrázku a přímka p. Co musí být splněno pro přímku p, aby byla asymptotou grafu funkce? Jestliže se x, které náleží definičnímu oboru funkce blíží k hodnotám se velikost rozdílu

bude blížit k nule.

Toto vyjádření mnohem přesněji popisuje limita funkce.

y

f

0 p

d

x

y  ax  b

x

, případně

, pak


Přímku nazveme asymptotou grafu funkce, jestliže pro x blížící se k

nebo

83

se rozdíl

bude blížit k nule.

Jak určíme konstanty a, b v rovnici

?

Asymptota bez směrnice Jsou to přímky rovnoběžné s osou y. Tato asymptota nemůže nikdy protnout graf funkce, jinak by to nebyla funkce, tzn., že graf funkce se pouze přibližuje k této asymptotě. Nechť je funkce definována v

. Přímka o rovnici

se nazývá

asymptota bez směrnice grafu funkce f, právě když má funkce f v bodě a aspoň jednu jednostrannou nevlastní limitu. Body, ve kterých mohou být asymptoty bez směrnice, jsou takové body, ve kterých není funkce definována. V těchto bodech vyšetřujeme jednostranné nevlastní limity. Pokud existuje aspoň jedna taková limita, pak přímka

je asymptotou bez směrnice.


84

Tečna grafu funkce Tečna je přímka, která má s kružnicí společný právě jeden bod. Tečna je kolmá ke spojnici středu O a bodu dotyku T. Prochází-li přímka dvěma různými body S, T kružnice, je přímka TS sečnou kružnice. Čím blíže zvolíme bod S k bodu T, tím méně se poloha sečny TS liší od polohy tečny t kružnice v bodě T. Říkáme, že tečna t je mezní nebo též limitní polohou sečny TS, blíží-li se bod S po kružnici k bodu T. T t

S O

Úloha: Mějme zadanou parabolu

. Na této parabole leží bod

. Tento bod bude

dotykový bod pro tečnu této paraboly. Zvolme na parabole bod S, vyjádřeme přímku ST (sečnu). Pokusme se najít vyjádření tečny, která prochází bodem T s využitím limity funkce. Bod S má souřadnice je přírůstek funkce

Směrnice

Pro

. , odpovídající přírůstku

argumentu x.

přímky ST se rovná podílu:

, se bod S blíží k bodu T, limitní polohou přímky ST je tečna t v bodě T, která má

směrnici:

Tečna t má rovnici:


y t S

3  y 2

3 2

T

1 0

1 2

1  x 2

Graf funkce

má v bodě

právě když v bodě

existuje vlastní limita:

Pak tečna procházející bodem

x

který náleží funkci f tečnu se směrnicí

je přímka o rovnici:

85


Užití limit funkce Varianta A Určete asymptoty grafu funkce


Asymptota bez směrnice má vyjádření: Asymptoty se směrnicí:

Asymptoty se směrnicí:


86


87

Příklady k procvičení: 1) Určete asymptoty grafu funkce

[

]

2) Určete asymptoty grafu funkce

[

]


[

]

[

]



Užití limit funkce Varianta B Najděte rovnici tečny grafu funkce v bodě T, který má danou souřadnici x. ,

.

Výsledek řešení: Tečna ke grafu funkce má rovnici: Směrnice tečny má vyjádření:

Souřadnice

bodu T:

Tečna má rovnici:


88


89

Příklady k procvičení: 1) Najděte rovnici tečny grafu funkce v bodě

.

[ 2) Najděte rovnici tečny grafu funkce v bodě

]

.


]

.


]

.

[

]


Užití limit funkce Varianta C Najděte rovnici tečny k dané křivce, v bodě

Výsledek řešení: Rovnici křivky si vyjádříme jako funkci jedné proměnné:

Směrnice tečny má vyjádření:

Tečna má rovnici:


90


91

Příklady k procvičení: 1) Najděte rovnici tečny k dané křivce, v bodě

[

]

2) Najděte rovnici tečny k dané křivce, v bodě

[ 3) Vypočítej odchylku tečen grafu dané funkce v bodech

]

,

[

4) Vypočítej odchylku tečen grafu dané funkce v bodech

]

,

[

]


92

Diferenciální počet Derivace funkce v bodě Derivace funkce patří k infinitezimálnímu počtu. Slouží k vyšetřování průběhu funkce, určování maxim a minim, k sestrojování grafů funkcí. Má mnoho aplikací ve fyzice, chemii. Mějme funkci f definovanou v jistém okolí bodu

.

Existuje-li vlastní limita:

nazýváme ji derivací funkce f v bodě Derivace funkce f v bodě

.

značíme symbolem

Další obměny výpočtu derivace:

Kromě symbolu

se pro označení derivace používá také

.


93

Geometrická interpretace derivace funkce v bodě: Pro směrnici

tečny v bodě

.

Tato limita je definována jako derivace funkce f v bodě Rovnici tečny grafu funkce f v bodě

Funkce f má v intervalu Má-li funkce f v bodě

, a proto lze psát

.

můžeme psát jako:

derivaci, jestliže má derivaci v každém bodě

.

derivaci, je v tomto bodě spojitá.

Mějme funkci f definovanou v jistém levém, resp. Pravém okolí bodu

.

Existuje-li

Nazýváme ji derivací funkce f v bodě

zleva

.

Existuje-li

Nazýváme ji derivací funkce f v bodě

Funkce f má v intervalu

zprava

.

derivaci, jestliže má derivaci v každém bodě

v bodě a má derivaci zprava a v bodě b má derivaci zleva.

a


94

Derivace funkce v bodě Varianta A Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě

.


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě

2) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě



. [

]

[

]

.

. [

]

[

]

.


Derivace funkce v bodě Varianta B Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě

.



Příklady k procvičení: 1) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě

.


.

95



.


.

96


Derivace funkce v bodě Varianta C Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě

.



Příklady k procvičení: 1) Pomocí limity funkce, vypočtěte derivaci funkce v bodě

.


.

97



.


.

98


Diferenciální počet Derivace elementárních funkcí 1) Pro konstantní funkci

2) Pro funkci

3) Pro funkci

4) Pro funkci

5) Pro funkci

6) Pro funkci

7) Pro funkci

8) Pro funkci

99


Derivace elementárních funkcí Varianta A Vypočtěte první derivaci funkce

v libovolném bodě jejího definičního oboru.

Výsledek řešení: Jde o derivaci mocninné funkce


Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.

2) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.

100




101


Derivace elementárních funkcí Varianta B Vypočtěte první derivaci funkce

v libovolném bodě jejího definičního

oboru. Výsledek řešení: Jedná se o derivaci dvou funkcí v součinu


Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.


102




103


Derivace elementárních funkcí Varianta C Vypočtěte první derivaci v libovolném bodě definičního oboru funkce

Výsledek řešení: Jedná se o derivaci dvou funkcí v podílu

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte první derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru.


104




105


106

Diferenciální počet Derivace funkcí v součtu, v součinu, podílu a rozdílu Jestliže funkce součin funkcí

Pro funkci

a a

mají v bodě a pro

derivaci, má v bodě i podíl

:

derivaci i součet, rozdíl a


107

Diferenciální počet Derivace složené funkce Většina funkcí je složena z funkcí elementárních, jejichž derivace již známe. Derivaci složené funkce provedeme následovně. Jestliže funkce v bodě

má derivaci v bodě , má složená funkce

Derivace složené funkce derivace vnější funkce podle x v bodě

, kde , podle z v bodě

.

Derivace exponenciální a logaritmické funkce Pro funkci

Pro funkci

Pro funkci

Pro funkci

a jestliže funkce derivaci v bodě

v bodě

má derivaci a platí:

je součinem dvou čísel, hodnoty

a hodnoty derivace vnitřní funkce


Derivace složené funkce Varianta A Vypočtěte první derivaci v libovolném bodě definičního oboru funkce

Výsledek řešení: Jedná se o derivaci dvou funkcí v součinu



108




109


Derivace složené funkce Varianta B Vypočtěte první derivaci v libovolném bodě definičního oboru funkce

Výsledek řešení: Jedná se o derivaci složené funkce



110




111


Derivace složené funkce Varianta C Vypočtěte první derivaci v libovolném bodě definičního oboru funkce

Výsledek řešení: Jedná se o derivaci složených funkcí v součinovém tvaru.



112




113


114

Diferenciální počet Průběh funkce Vyšetřujeme průběh funkce. Základem jsou věty pro zkoumání průběhu funkcí, které objasňují vlastnosti funkcí. Tyto vlastnosti určujeme pomocí diferenciálního počtu. Rolleova věta: Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti: a) je spojitá v uzavřeném intervalu

.

b) v každém bodě otevřeného intervalu

má derivaci

c) Potom existuje v otevřeném intervalu

aspoň jeden bod c, v němž

.

y T

f(c)

funkce je spojitá v uzavřeném

t

intervalu a hodnoty

.

Graf má v každém bodě tečnu. Mezi těmito tečnami bude aspoň jedna rovnoběžná s osou x. Dotykový bod

0

a

c

b

x

T má souřadnice

.


115

Příklad: Zjisti, zda tato funkce vyhovuje předpokladům Rolleovy věty.

y T

4

t Existuje aspoň jedno

f

3

,

v němž

0 1

3

2

4

x

5

Příklad: Zjisti, zda tato funkce vyhovuje předpokladům Rolleovy věty.

y Funkce je spojitá v uzavřeném intervalu, , ale funkce nemá derivaci v každém bodě otevřeného intervalu (

0

x

– derivace neexistuje).


116

Lagrangeova věta o střední hodnotě umožňuje odhadnout přírůstek funkce na základě její derivace. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti: a) je spojitá v uzavřeném intervalu b) v každém bodě otevřeného intervalu Potom existuje v otevřeném intervalu

má derivaci aspoň jeden bod c, pro který platí:

t

y T

B

A

0

a

c

b

x

Graf funkce, která splňuje podmínky Lagrangeovy věty, má v každém bodě Tětiva spojující body

tečnu.

grafu má směrnici

Podle Lagrangerovy věty existuje aspoň jedna tečna, která má stejnou směrnici. Existuje aspoň jeden bod

grafu dané funkce, v němž je tečna t rovnoběžná s tětivou

AB. Platí-li

pro každé

, potom f je konstantní funkce.


117

Monotónnost funkce a derivace Jde o zjištění monotónnosti funkce (rostoucí, klesající) pomoci derivace. Má-li funkce f v každém bodě intervalu

kladnou derivaci, je v tomto intervalu

rostoucí. Máli funkce f v každém bodě intervalu

zápornou derivaci, je v tomto intervalu

klesající. Důkaz: Jsou-li částí intervalu

Je-li

dva libovolné různé body intervalu

, je uzavřený interval

. Podle Lagrangeovy věty existuje takové číslo

, že platí:

. Protože

Tzn., že funkce je rostoucí. Je-li

. Protože

Tzn., že funkce je klesající. Intervaly, ve kterých je funkce rostoucí nebo klesající, se nazývají intervaly monotónnosti.


118

Extrémy funkce a 1. derivace Extrémy funkce jsou maxima a minima funkce, (největší a nejmenší hodnota funkce) na dané množině. Touto množinou je nejčastěji definiční obor funkce nebo nějaký uzavřený interval, který je podmnožinou tohoto definičního oboru.

y

0

x

Funkce f nabývá na svém definičním oboru (množina reálných čísel) největší hodnoty v bodě , nejmenší hodnoty v bodě

. V bodech

,

nabývá funkce hodnot, které již nejsou

nejmenší a největší na celém definičním oboru. Jsou to lokální minima a lokální maxima. V bodech

,

nabývá funkce globálního maxima a minima.

Lokální maximum, případně minimum, kterých funkce nabývá v jistém uzavřeném intervalu, nemusí být vždy největší, případně nejmenší hodnotou funkce v tomto intervalu. Pokud interval omezíme jinak, potom se můžou funkční hodnoty funkce změnit, většinou to bývají krajní body intervalu, kde funkce dosahuje globální extrémy. Funkce f má v bodě všechna x z Funkce f má v bodě všechna x z

lokální maximum, existuje-li takové okolí platí:

, že pro

bodu

, že pro

.

lokální minimum, existuje-li takové okolí platí:

bodu

.


Pokud platí ostrá nerovnost Má-li funkce f v bodě platí:

119

jde o ostré lokální extrémy.

,

lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace

, pak

.

Obrácená věta neplatí, to znamená, že pokud má funkce v bodě derivaci, která je nulová , nemusí mít v tomto bodě extrém (bod je pouze podezřelý z extrému).

Stacionární body Jak postupujeme při určování lokálních extrémů funkce. Z podmínky nutně vyplývat, že funkce má v bodě Má-li funkce

v bodě

nemusí

lokální extrém.

derivaci a je-li

, pak bod

nazýváme nulovým

bodem 1. derivace nebo také stacionárním bodem. Tyto stacionární body jsou řešením . V těchto bodech může, ale nemusí mít funkce lokální extrémy. Tyto body

rovnice

jsou pouze podezřelé z extrémů. Nechť

. Jestliže existuje takové okolí má

, že v intervalech

různá znaménka, má funkce f v bodě

ostrý lokální extrém.

Mění-li se znaménko derivace z plus na minus, má funkce v bodě

lokální maximum,

mění-li se znaménko derivace z minus na plus, má funkce v bodě

lokální minimum.

Nemění-li se znaménko, lokální extrém v bodě

a

nenastává. Možnosti průběhu funkce okolo

stacionárního bodu znázorňují obrázky. Krajní grafy ukazují možnost extrému funkce.


Průběh funkce – monotónnost funkce Varianta A Pomocí první derivace určete intervaly monotónnosti funkce.

Výsledek řešení: Hledáme intervaly, ve kterých je

, a ve kterých je

Funkce

je rostoucí v intervalu

Funkce

je klesající v intervalu

.

a

.


Příklady k procvičení: 1) Pomocí první derivace určete intervaly monotónnosti funkce.

.

120


[f: rostoucí v –

, klesající v –

g: rostoucí v –

a

klesající v

]

2) Pomocí první derivace určete intervaly monotónnosti funkce.

[f: rostoucí v – g: rostoucí v –

, klesající v a

klesající v

]


[f: klesající v g: rostoucí v

, klesající v

]


[f: rostoucí v g: rostoucí v

, klesající v

]

121


122

Průběh funkce – extrémy funkce Varianta B Pomocí vlastností funkce a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce.


Stacionární body jsou

, jsou to body podezřelé z extrémů funkce. Zkoumejme

vlastnost funkce kolem těchto bodů:

Funkční hodnoty funkce f v okolí bodu 2 jsou menší než funkční hodnota funkce v bodě 2. Funkce má v bodě

maximum.

Funkční hodnoty funkce f v okolí bodu 3 jsou větší než funkční hodnota funkce v bodě 3. Funkce má v bodě

minimum.



Příklady k procvičení: 1) Pomocí vlastností funkce a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. [f: maximum v bodě

, minimum v bodě

]

2) Pomocí vlastností funkce a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. [f: maximum v bodě

, minimum v bodě

]

3) Pomocí vlastností funkce a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. [f: maximum v bodě

, minimum v bodě

]

4) Pomocí vlastností funkce a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce.

[f: maximum v bodě

, minimum v bodě

]

123


Průběh funkce – extrémy funkce Varianta C Pomocí první derivace a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce.



, jsou to body podezřelé z extrémů funkce.

Zkoumejme vlastnost funkce kolem těchto bodů pomocí první derivace:

V okolí stacionárního bodu

mění první derivace znaménko z minus na plus.

Funkce se mění z klesající na rostoucí, proto v bodě

V okolí stacionárního bodu

mění první derivace znaménko z plus na minus.

Funkce se mění z rostoucí na klesající, proto v bodě


existuje minimum.

existuje maximum.

124


Příklady k procvičení: 1) Pomocí první derivace a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. [f: maximum v bodě

, minimum v bodě

]

2) Pomocí první derivace a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce. [f: maximum v bodě

, minimum v bodě

]

3) Pomocí první derivace a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce.

[f: maximum v bodě

minimum v bodě

]

4) Pomocí první derivace a stacionárního bodu určete maxima a minima funkce.

[f: maximum v bodě

minimum v bodě

]

125


126

Diferenciální počet Průběh funkce Extrémy funkce a 2. derivace Pomocí 1. derivace lze určovat extrémy funkce, pokud vyšetříme vlastnosti funkce v okolí stacionárního bodu. Pokud dochází ke změně znaménka první derivace funkce v okolí stacionárního bodu, pak v tomto bodě existuje extrém. Lokální extrém lze určit pomocí 2. derivace, pokud je to výhodné a jednodušší než znaménkové změny pomocí 1. derivace. Pokud je výpočet 2. derivace jednodušší než určování znaménkové změny.

y

4

-2

2

0 -2 -3

-8

3

6

8

x


127

, lze určit, kde nabývá funkce kladných hodnot, kde záporných, kde je

Z grafu funkce

rovna nule. Podle tohoto průběhu můžeme určit, kde je funkce

monotónní a její lokální

extrémy. Pomocí grafu

Nechť Je-li f v bodě

Je-li

určíme extrémy funkce

.

je

-

má v tomto intervalu maximum.

je

-

má v tomto intervalu minimum.

a nechť existuje v bodě , má funkce f v bodě

druhá derivace.

ostré lokální maximum, je-li

, má funkce

ostré lokální minimum. , nelze o existenci lokálního extrému rozhodnout. Potom je třeba zjistit

existenci extrému funkce pomocí znaménkové změny 1. derivace v okolí bodu

.


128

Konvexnost a konkávnost funkce Grafy funkcí mohou být na svém definičním oboru, nebo na podmnožině tohoto definičního oboru konkávní, nebo konvexní. y

y

t

konvexní t konkávní

x

0

x

0

Kdybychom sestrojovali k těmto grafům tečny v libovolných bodech, pak v prvním případě vždy leží graf funkce nad tečnou, ve druhém případě vždy leží graf funkce pod tečnou. Obě dvě funkce jsou rostoucí, ale z hlediska tečen jsou opačné. Funkce f, která má derivaci v bodě okolí

bodu

, že

sestrojenou v bodě

bodu

sestrojenou v bodě

konvexní, existuje-li takové

leží body grafu funkce f nad tečnou .

Funkce f, která má derivaci v bodě okolí

, je v bodě

, je v bodě

, že

konkávní, existuje-li takové

leží body grafu funkce f pod tečnou .

Je-li

, pak je funkce f v bodě

konvexní.

Je-li

, pak je funkce f v bodě

konkávní.

Jestliže v každém bodě intervalu platí, že

, pak je funkce f v intervalu konvexní.

Jestliže v každém bodě intervalu platí, že

, pak je funkce f v intervalu konkávní.


129

Inflexní body y

y

g f t

T

t

T

x

0

x

0

Oba grafy funkce mají tečnu. Graf funkce f přechází z polohy nad tečnou do polohy pod tečnou. V levém okolí bodu

je funkce f konvexní, a v pravém okolí bodu

je konkávní.

Graf funkce g přesně naopak. Bod T je významným bodem grafů obou funkcí, protože je bodem, ve kterém grafy obou funkcí mění výrazně svůj průběh. Nechť funkce f má v bodě

derivaci. Přechází-li v tomto bodě graf funkce f z polohy nad

tečnou do polohy pod tečnou nebo z polohy pod tečnou do polohy nad tečnou nazýváme bod inflexní bod funkce f. V okolí inflexního bodu

měnit znaménko, pokud bude

bude 2. derivace funkce

existovat. se mění z plus na minus – konvexní na konkávní. se mění z minus na plus – konkávní na konvexní. Hodnota 2. derivace v inflexním bodě bude rovna 0. inflexním bodem funkce f a má-li funkce f v tomto bodě druhou derivaci, pak

Je-li bod .

Obrácená věta neplatí. Řešením rovnice

získáme body, které by mohly být body

inflexními. Jistotu získáme až po zjištění znaménkových změn druhé derivace v okolí těchto bodů. Nechť funkce f má druhou derivaci v každém bodě v okolí bodu druhá derivace bod

má v intervalech

je inflexním bodem funkce f.

a

. Nechť tato různá znaménka, pak


130

Průběh funkce – extrémy funkce pomocí 2. derivace Varianta A Pomocí druhé derivace určete maxima a minima funkce.



jsou to body podezřelé z extrémů funkce. Pomocí druhé

derivace zkoumejme vlastnosti těchto bodů:

Na základě vlastnosti 2. derivace nemůžeme rozhodnout, zda v tomto bodě je maximum, nebo minimum a musíme si pomoci první derivací:

První derivace funkce nemění v okolí bodu

znaménko, proto v tomto bodě funkce

nenabývá žádného extrému.

Druhá derivace funkce nabývá v bodě v tomto bodě minima.

kladných hodnot, proto funkce nabývá


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Pomocí druhé derivace určete maxima a minima funkce.

[f: maximum v bodě

, minimum v bodě

]

2) Pomocí druhé derivace určete maxima a minima funkce.

[f: maximum v bodě

, minimum v bodě

]


[f: maximum v bodě

minimum v bodě

]


[f: maximum v bodě

minimum v bodě

]

131


132

Průběh funkce – konvexnost a konkávnost funkce Varianta B Určete, ve kterých bodech a intervalech je funkce konvexní a konkávní.

Výsledek řešení: Pro určení konvexnosti a konkávnosti funkce potřebujeme znát nulové body druhé derivace a hodnoty druhé derivace funkce v okolí těchto bodů.

Nulové body druhé derivace neexistuji, ale od

, ve kterém není druhá derivace funkce

definována rozděluje reálnou osu na dva intervaly s odlišnými vlastnostmi funkce. Intervaly konvexnosti a konkávnosti.

v tomto intervalu je funkce konkávní.

v tomto intervalu je funkce konvexní.



Příklady k procvičení: 1) Určete, ve kterých bodech a intervalech je funkce konvexní a konkávní. [f: konkávní v intervalu

, konvexní v intervalu

]

2) Určete, ve kterých bodech a intervalech je funkce konvexní a konkávní.

[f: konkávní v intervalu


]




]




]

133


134

Průběh funkce – inflexní body funkce Varianta C Určete inflexní body funkce, pokud existují.

Výsledek řešení: Nechť funkce f má druhou derivaci v každém bodě v okolí bodu druhá derivace bod

má v intervalech

a

je inflexním bodem funkce f.

Bod

je inflexním bodem funkce.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete inflexní body funkce, pokud existují.

[inflexní body funkce

]

. Nechť tato různá znaménka, pak


2) Určete inflexní body funkce, pokud existují.


]



]



]

135


136

Diferenciální počet Průběh funkce

Vyšetřování průběhu funkce 1.

určení definičního oboru, vlastnost sudé, liché a periodické funkce.

2.

body, ve kterých není funkce definována, ale má v nich jednostranné limity, výpočet těchto limit, limity v nevlastních bodech, intervaly spojitosti.

3.

průsečíky s osami x, y, znaménka funkčních hodnot.

4.

výpočet 1. derivace, nulové body 1. derivace a body, ve kterých není definována 1. derivace.

5.

lokální extrémy, intervaly monotónnosti.

6.

výpočet 2. derivace, nulové body 2. derivace a body, ve kterých není definována 2. derivace.

7.

inflexní body, intervaly konvexnosti a konkávnosti.

8.

asymptoty.

9.

obor hodnot.

10.

graf funkce.


Užití derivace při výpočtu některých limit L´Hospitalovo pravidlo 1: Nechť

a nechť existuje vlastní nebo nevlastní

Potom existuje také

a platí:

L´Hospitalovo pravidlo 2: Nechť

a nechť existuje vlastní nebo nevlastní

Potom existuje také

a platí:

O

nepředpokládáme nic, ani existenci této limity.

137


Průběh funkce Varianta A Vyšetři průběh funkce: 1) Definiční obor, sudost lichost, periodičnost.

Funkce není periodická. 2) Body, ve kterých není funkce definována, ale má v nich jednostranné limity, výpočet těchto limit, limity v nevlastních bodech, intervaly spojitosti. Funkce je definovaná na všech reálných číslech. Není třeba určovat jednostranné limity. Je spojitá.

3) Průsečíky s osami x, y. Znaménka funkčních hodnot. Průsečíky s osou x:

Průsečík s osou y:

138


Znaménka funkčních hodnot mezi nulovými body:

4) Výpočet 1. derivace, nulové body 1. derivace a body, ve kterých není definována 1. derivace.

5) Lokální extrémy, intervaly monotónnosti.

139


Extrémy:

6) Výpočet 2. derivace, nulové body 2. derivace a body, ve kterých není definována 2. derivace.

7) Inflexní body, intervaly konvexnosti a konkávnosti. Z druhé derivace vyplývá, že inflexním bodem je bod

8) Asymptoty

Asymptota se směrnicí neexistuje. Asymptota bez směrnice také neexistuje.

9) Obor hodnot

.

140


10) Graf funkce

y

0


x

141


Příklady k procvičení: 1) Určete průběh funkce a pokuste se nakreslit graf funkce.

1)

, ani sudá ani lichá, funkce není periodická.

2) Funkce je spojitá.

3)

4)

5)

Extrémy:

142


6)

7) Inflexní bod je

.

8) Asymptota se směrnicí neexistuje. Asymptota bez směrnice také neexistuje.

9)

143


2) Určete průběh funkce a pokuste se nakreslit graf funkce.

1)

, ani sudá ani lichá, funkce není periodická.


3)

4)

5)

Extrémy:

144


6)

7) Inflexní bod je

.

8) Asymptota se směrnicí neexistuje. Asymptota bez směrnice také neexistuje.

9)

145



1)

, Ani sudá ani lichá, funkce není periodická.

2) Funkce není spojitá. Bod nespojitosti je

3)

4)

5)

Extrémy:

. Intervaly spojitosti jsou

146


6)

7) Inflexní bod není.

8) Asymptota se směrnicí je Asymptota bez směrnice je

9)

.Tato asymptota protne graf funkce v jednom bodě. .

147



1)

. Ani sudá ani lichá, funkce není periodická.


3)

4)

5)

Extrémy:

6)

148


7) Inflexní body jsou

8) Asymptota se směrnicí je

.Tato asymptota protne graf funkce v jednom bodě.

Asymptota bez směrnice neexistuje.

9)

149


150

Průběh funkce Varianta B Vypočtěte následující limitu podle L´Hopitalova pravidla:


Po dosazení za proměnnou x, dostáváme neurčitý výraz . Pro výpočet limity použijeme prvního L´Hopitalova pravidla.


Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte následující limity podle L´Hopitalova pravidla:

[

]


151

2) Vypočtěte následující limity podle L´Hopitalova pravidla:

[

]

[

]

[

]




152

Průběh funkce Varianta C Vypočtěte následující limitu podle L´Hopitalova pravidla:


Po dosazení za proměnnou x, dostáváme neurčitý výraz

. Pro výpočet limity použijeme

druhého L´Hopitalova pravidla.

L´Hopitalova pravidlo použijeme ještě jednou.


Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte následující limity podle L´Hopitalova pravidla:

[ ]


153


[ ] 3) Vypočtěte následující limity podle L´Hopitalova pravidla:

[ ] 4) Vypočtěte následující limity podle L´Hopitalova pravidla

[ ]


154

Diferenciální počet Užití diferenciálního počtu Tečna a normála grafu funkce Nalezení rovnice tečny a normály grafu dané funkce pomocí diferenciálního počtu. Tečna a normála grafu funkce jsou k sobě kolmé. Mají-li přímky p, q po řadě směrnice

Označíme-li

směrnici tečny a

pak platí:

směrnici normály ke grafu funkce

v jeho bodě

pak platí:

Pro rovnici tečny dostáváme:

Pro rovnici normály dostáváme:

Obsahy a obvody rovinných útvarů U rovinných útvarů se setkáváme se dvěma typy úloh. 1) Hledáme útvar, který má při daném obvodu maximální obsah. 2) Vepisujeme do daného útvaru jiný útvar maximálního obsahu.

Povrchy a objemy těles U těles hledáme tvar tělesa, které bude mít minimální povrch při daném objemu. Nebo nalezení tělesa s maximálním objemem při daném povrchu. Případně vepsat danému tělesu jiné těleso maximálního objemu.


155

Užití diferenciálního počtu Varianta A Ve kterém bodě má graf funkce

tečnu se směrnicí 2? Napište rovnici tečny a

normály v tomto bodě. Výsledek řešení:

Hledanou souřadnicí bodu

je

Tečný bod, který leží na grafu funkce Rovnice tečny:

Rovnice normály:

Příklad: Varianta A Varianta B

je,

.


156

Varianta C Příklady k procvičení: 1) Ve kterém bodě má graf funkce

tečnu se směrnicí 3? Napište rovnici

tečny a normály v tomto bodě. [

]

2) Ve kterém bodě má graf funkce

tečnu se směrnicí

rovnici tečny a normály v tomto bodě. [

]

3) Určete rovnici tečny a normály v bodě

[

, křivky

]

4) Určete rovnici tečny a normály v bodě

[

, křivky

]

? Napište


Užití diferenciálního počtu Varianta B Do kruhu o poloměru

2r

vepište obdélník největšího obsahu.

b

a

Výsledek řešení: Obvod kruhu Obsah obdélníku Vzorec pro výpočet obsahu obdélníků je předpis funkce, která obsahuje dvě neznámé, kdy jednu proměnnou musíme nahradit pomocí známých veličin, abychom dostali funkci jedné neznámé.

Postupujeme při výpočtu, jako bychom hledali maximum dané funkce (obsah má být co největší), neznámá je strana b.

Ověříme, zda stacionární bod je opravdu bodem maxima.

157


Obdélník největšího obsahu bude čtverec o straně

158

.


Příklady k procvičení: 1) Do kruhu o poloměru

vepište obdélník největšího obvodu. [Obdélní největšího obvodu bude čtverec o straně

2) Do půlkruhu o poloměru

]

vepište obdélník největšího obsahu. [Obdélní největšího obsahu o stranách

]

3) Určete rozměry obdélníkového dvora s co největším obsahem, máme-li k oplocení pletiva a jednu stranu dvora tvoří stěna budovy. [

]

4) Půdorys divadelního jeviště je sjednocením obdélníku a půlkruhu. Obvod půdorysu je 40 m. Určete rozměry půdorysu, víte-li, že byly stanoveny tak, aby obsah půdorysu jeviště byl co největší. [

]


159

Užití diferenciálního počtu Varianta C Do koule o poloměru

vepište válec největšího povrchu. 2R

2

v

r

Výsledek řešení: Povrch válce

Vzorec pro výpočet povrchu válce je předpis funkce, která obsahuje dvě neznámé,

kdy

jednu proměnnou musíme nahradit pomocí známých veličin, abychom dostali funkci jedné neznámé.

Postupujeme při výpočtu, jako bychom hledali maximum dané funkce (povrch má být co největší), neznámá je výška válce v.


Ověříme, zda stacionární bod je opravdu bodem maxima.

Válec největšího povrchu bude o rozměrech


160


161

Příklady k procvičení: 1) Do koule o poloměru

vepište rotační kužel největšího objemu. [

2) Drát délky

,

]

rozdělte na dva díly. Z jednoho dílu udělejte kružnici, z druhého čtverec.

Vypočtěte poměr délek obou dílů drátu, má-li být součet obsahů kruhu a čtverce největší. [ 3) Z kmene tvaru rotačního komolého kužele délky

a průměrů

]

a

máme

[

]

vytesat trám čtvercového průřezu tak, aby měl největší objem.

4) Plechový žlab má průřez rovnoramenného lichoběžníku. Menší základna a obě ramena mají stejnou délku

. Jak široký musí být žlab nahoře, aby pojal co nejvíce vody. [

]

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

Recommend Documents