Diferenciální a integrální po et princip a praxe
1. úvodní díl
Úvodem Tato publikace je ur ena t m, kte í alespo do n jaké míry umí derivovat a integrovat, ale smysl t chto inností jim není zcela jasný. Výklad je veden mén odborným nádechem pro snadn jší orientaci a rychlejší pochopení.
1. Krátce o limitách Lze íct, že limita se zajímá o to, k jaké hodnot sm uje k ivka funkce nebo posloupnosti 1 v libovoln zvoleném míst . Jako p íklad použijeme jednoduchou funkci f ( x) . Graf této x funkce vypadá takto:
graf 1
Pokud nás bude zajímat, k jaké hodnot se bude k ivka funkce neustále p ibližovat, pokud nám 1 hodnoty na ose x neustále porostou, zápis bude následující: lim Z grafu již vidíme, že pokud x x budeme brát stále v tší hodnoty na ose x, k ivka funkce se nám bude po ád více p ibližovat nule, 1 tedy lim 0 . Pokud se budeme zajímat o to, kam se hodnoty funkce blíží, sm uje-li x po ád x x blíž k nule, situace je už složit jší. I když by n kte í z nás automaticky v tuto chvíli prohlásili, že je jasné, že pro x blížící se nule, se hodnota funkce blíží do plus nekone na, což dob e ukazuje graf 1, 1 není to ve skute nosti pravda. Shlédn me graf 2, na kterém je naše funkce f ( x) zobrazena x lépe, i v záporných hodnotách.
graf 2
Graf 2 jasn ukazuje, že limita pro x blížící se nule není jednozna ná, m že být i . My ovšem m žeme up esnit, jestli x p jde k nule zprava nebo zleva. Potom limita naší funkce, kde x p jde k nule zprava, bude a limita, kde x p jde k nule zleva, bude , tedy: lim
x
0
1 x
,
lim
x
0
1 x
Limity nám tedy íkají, kam sm ují hodnoty funkce. Ob as se v praxi hodí, prohlásit t eba o n jaké veli in , že se tzv. „limitn blíží nule“, chceme-li nazna it, že veli ina není p ímo nulová, ale neustále se nule víc a víc blíží (a nikdy p esné nuly nedosáhne).
2. Derivace P edstavme si graf libovolné funkce. Pokud tuto funkci zderivujeme, získáme novou funkci, která nám popisuje, jak rychle se v naší p vodní funkci m ní hodnoty (!). Tomuto tvrzení v nujme velkou pozornost, jeho pochopení je st žejní. Páni matematici nám zkrátka sestavili ur itá pravidla, podle kterých naší funkci „p epíšeme“ na jinou a získáme tak její derivaci. Získáme tedy k ivku, která nám ukazuje, jak moc se hodnoty v naší p vodní funkci m nily a zárove i jakým sm rem, zda hodnoty rostly nebo klesaly. Ud láme si názorný p íklad, kde máme graf, který nám vyjad uje urazenou vzdálenost automobilu v závislosti na ase - viz. graf 3.
graf 3
Nyní sledujme derivaci této funkce, tedy graf, popisující rychlosti zm n:
graf 4 Pokud vidíme souvislost mezi grafem 3 a 4, prohlé me si i graf 5, který je derivací grafu 4, tedy druhou derivací grafu 3.
graf 5 Všimn me si, že v grafu 4 je p ibl. v x-ové hodnot 44 vrchol funkce a kdybychom si tento vrchol tém donekone na zv tšili („p iblížili“), mohli bychom íct, že místo k ivky je tu vlastn vodorovná p ímka, tedy oblast, kde se hodnoty funkce tém v bec nem ní, tedy jsou tu nulové zm ny funkce a derivace (graf 5) nám to viditeln potvrzuje: P ibl. v x-ové hodnot 44 v grafu 5 je velikost zm n skute n na hodnot nula. Na grafu 5 lze zárove pozorovat, že ást k ivky je nad nulou (r st hodnot grafu 4) a druhá ást k ivky je pod nulou (klesání hodnot grafu 4).
Derivováním tedy získáváme novou funkci, která nám popisuje rychlost zm n naší p vodní funkce.
Pomocí derivací tedy m žeme vyšet ovat pr b h funkce, m žeme sledovat, kde jsou na funkci vrcholy nebo „sedla“ (zkrátka tzv. lokální extrémy), kde funkce klesá, kde roste a tím pádem i kde má logicky minima a maxima, m žeme hledat i tzv. inflexní body, atd. Vra me se ješt na chvíli ke grafu 3, který zobrazuje, jakou vzdálenost urazil automobil v závislosti na ase. Pokud tuto funkci zderivujeme a získáme tak graf 4, máme funkci velikostí zm n na dráze a tyto velikosti zm n p ece p ímo odpovídají rychlosti automobilu. Všimn me si, jak graf 4 názorn vystihuje rychlost automobilu vzhledem k tomu, jak se jeho poloha m nila v grafu 3. P eci, ím více se zm nila poloha, tím v tší musí být rychlost (=rychlost zm n). Derivací fukce polohy tedy p ímo získáváme rychlost automobilu v konkrétní chvíli. Co se stane, pokud zderivujeme graf rychlosti automobilu (graf 4) a získáme graf 5 ? Jaká fyzikální veli ina ur uje velikosti zm n rychlosti? Odpov dí je p irozen : zrychlení. Zrychlení m ní rychlost, je tedy jinými slovy velikostí zm n rychlosti. Graf 5 tedy odpovídá zrychlení automobilu. Všimn me si, že k ivka zrychlení (graf 5) je skute n nap ed nad hodnotou nula, tedy automobil stále zrychloval, i když zrychloval stále mén a mén . Potom se k ivka dostala pod nulu do záporných hodnot, tedy automobil za al zpomalovat, což názorn vidíme jak na grafu rychlosti (graf 4), tak na grafu polohy (graf 3). Pokud tedy chceme v praxi sledovat polohu, rychlost i zrychlení n jakého objektu, sta í nám, pouze m it jeho polohu. První a druhou derivací potom snadno získáme pr b h jeho rychlosti a pr b h jeho zrychlení. Ve všech t ech grafech (3 – 5) jsme uvažovali polohu, rychlost i zrychlení vždy vzhledem k plynoucímu asu t. Dále jsme ekli, že derivací vzdálenosti je rychlost a derivací rychlosti je zrychlení, ale toto tvrzení je pot eba ješt up esnit, protože v jiných podobných p ípadech je situace o n co složit jší. Je nutno íct, že rychlost je derivace dráhy podle asu a podobn zrychlení je derivace rychlosti podle asu. V naší ukázce jsme tento fakt v bec nemuseli zd raz ovat, protože jsme m li dráhu, rychlost i zrychlení p ímo rovnou v závilosti na ase.
Rychlost zm ny dráhy (v ase) je tedy p ímo rychlost objektu, který sledujeme. Zm ny rychlosti (v ase) p irozen odpovídají zrychlení našeho objektu. Derivacemi dráhy v ase m žeme jednoduše získat pr b h rychlosti a zrychlení a vyšet ovat tyto funkce dle libosti (sledovat, kde rychlost rostla, kde je její maximum, kde klesala, atd.)
Zatím jsme se o derivacích bavili jen obecn . Abychom však um li derivování a celý diferenciální po et v praxi používat a um li takové rovnice ešit, m síme se seznámit s pojem diferenciál.
3. Diferenciál Dokud neumíme pracovat s diferenciálním a integrálním po tem, jsme omezeni, nap íklad v p ípad dráhy a asu, spo ítat pouze jakousi pr m rnou rychlost. Ukažme si p íklad: Automobil jede po silnici. Pokud chceme zjistit, jakou pr m rnou rychlostí automobil jel v dob od chvíle t1 do chvíle t2, poznamenáme si, jakou vzdálenost urazil v t chto asech. as zahájení m ení – t1: V tuto chvíli už urazil automobil vzdálenost – s1: as ukon ení m ení – t2: Ve chvíli ukon ení m ení byla urazená vzdálenost – s2:
10 s 200 m 20 s 480 m
Ob as se používá pro ozna ení n jaké pr m rné hodnoty proužek nad symbolem veli iny, ozna íme si tedy naší hledanou pr m rnou rychlost jako v . Pr m rná rychlost, kterou hledáme, je urazená vzdálenost za dobu asu, tedy:
s t
v
s2 t2
s1 t1
480 200 20 10
28 m / s
Abychom se postupn dostali k podstat diferenciál , zám rn toto p e teme tak, že pr m rná rychlost je „díl dráhy za uplynutý díl asu“. Tento dílek m žeme chápat i jako p ír stek dráhy, pop . asu. Matematika nám v této v ci p ináší ur ité zobecn ní zmín ného dílku nebo p ír stku a zavádí tzv. diferenciál „d“. Obecn tedy m žeme zapsat, že naše pr m rná rychlost automobilu je p ír stek dráhy za p ír stek asu, tedy diferenciál dráhy za diferenciál asu. Jakmile však zavádíme diferenciál, získáváme mocný nástroj k ešení našich matematických a fyzikálních „problém “. M žeme ešit, vyjad ovat a vypo ítávat to, co bychom jen t žko d lali bez dif. po tu, ale o tom až pozd ji. asto se v praxi setkáme s diferenciálními rovnicemi i tam, kde nap íklad v bec nejsou pot eba. Jedná se pouze o ur itý oficiální zápis daného vztahu a pokud k tomu situace sm uje, lze diferenciální rovnici p epsat na „normální“, tedy nediferenciální nebo „jednoduchý“ tvar. Ukázky diferenciálních rovnic: Vztah pro hustotu:
dm dV
- p ír stek/dílek hmotnosti ku p ír stku/dílku objemu.
Vztah pro rychlost: v
ds dt
- p ír stek/dílek dráhy za p ír stek/dílek asu.
ds s je vysp lejší a univerzáln jší, než zápis v . Diferenciální dt t tvar totiž rovnou po ítá s možností, že by se veli iny mohly r zn m nit. Pokud se zrovna nem ní a jsou konstantní, není problém, si diferenciály ze vztahu odmyslet.
Uv domme si, že zápis v
Pokud se ovšem veli iny ve vztahu r zn m ní, p i ešení takové rovnice už p ímo s ), ale na s se již díváme jako na funkci, tedy ds je nepovažujeme veli iny za rozdíly (nap . v t pro nás diferenciál funkce. (!) Zlomek pak íká, že budeme tuto funkci derivovat podle t ds (uvažujeme vztah v ). dt .
Ud lejme si krátký a názorný p íklad myšlenky, že ds považujeme za diferenciál funkce a celý vztah považujeme za derivaci funkce s podle t. ekn me, že by automobil s každou sekundou své jízdy urazil vzdálenost 28 metr , mohli bychom tedy funkci s definovat takto:
s
28 t ,
p esn ji: s (t )
Celou diferenciální rovnici lze pak zapsat nap íklad takto: v
28 t d 28 t dt
(derivace funkce s podle t)
Zkusme si tuto jednoduchou dif. rovnici vy ešit. Skute n dostáváme, že v = 28 . Pro tento p ípad je použití diferenciálních rovnic úpln zbyte né, protože rychlost je tu zkrátka konstantní (s každou sekundou urazí konstantní vzdálenost 28 m), na což v bec diferenciální po et nepot ebujeme. Pokud by se nám ovšem rychlost b hem jízdy r zn m nila, už nejsme schopni jednoduše spo ítat urazenou vzdálenost. Pouze bychom mohli vypo ítat pr m rnou rychlost vozidla v a p ibližn pak dopo ítat urazenou vzdálenost známým vztahem s v t , což by mohlo být hodn nep esné. P esné ešení bychom nalezli pomocí diferenciální rovnice, ale o tom až v následující kapitole.
Diferenciál tedy chápejme jako dílek nebo p ír stek hodnot funkce. Zavedení diferenciál tvo í z „oby ejné“ rovnice diferenciální rovnici, díky které jsme schopni spo ítat to, co bez dif. po tu mnohdy nelze.
4. Sestavování a ešení diferenciálních rovnic Nyní se podíváme na to, jak rozeznat situace, kdy bychom mohli „nasadit“ diferenciální po et a uvedeme si n kolik názorných p íklad , jak sestavenou rovnici v dif. tvaru ešit. Jednou ze situací, kdy nás „zachrání“ diferenciální po et je t eba p ípad, kdy se automobil pohybuje r znou rychlostí a uráží tak v ase pr b žn r zn dlouhou dráhu. Pokud chceme v takovém p ípad znát nap íklad urazenou dráhu za ur itou dobu, nem žeme použít b žný vztah s v t , protože bychom byli omezeni, pracovat pouze s n jakou pr m rnou rychlostí, což by asto vedlo k zna ným nep esnostem a neumožnilo by to, jednoduše a p esn vy ešit i další otázky, které by mohly být s ešením rychlosti spjaty. Jak tedy pro p ípad našeho automobilu sestavit diferenciální rovnici? Prohlédn me si následující ukázky a zvažme, jak bychom mohli analogicky sestavit diferenciální rovnici pro p ípad našeho automobilu.
dV dt
Q
dW dt
P
Pr b žn r zné množství objemu V, prote ené za dt v závislosti na m nícím se pr toku Q.
Pr b žn r zn veliká práce W, vykonaná za dt v závislosti na m nícím se výkonu P.
Pln si uv domme, že veli iny dV a dW jsou pr b žn r zn veliké jen díky pr b žn se m nícím veli inám Q a P. Pokud tedy analogicky hledáme rovnici pro rychlost našeho automobilu, p irozen dostáváme: ds dt
v
Pr b žn r zná délka dráhy s, urazená za dt v závislosti na m nící se rychlosti v.
Nyní sledujme praktické p íklady použití jednoduchých diferenciálních po t :
P íklad 1 Automobil neustále zvyšuje svou rychlost s každou sekundou o 20%. Jakou vzdálenost urazí od doby své jízdy t1 = 40 sekund do doby t2 = 42 sekund ? ešení:
Hledáme dráhu, která díky r zné rychlosti r zn p ibývá. ds Tomu odpovídá diferenciální rovnice v Ud láme jednoduchou úpravu rovnice, abychom jí dt mohli vy ešit integrováním, dostáváme tedy ds v dt . Nasadíme na celou rovnici integrál: 42
ds
v dt 40
Kdybychom rovnou tento vztah integrovali, nikam bychom se nedostali, protože v tuto chvíli rychlost v figuruje v integrálu jako konstanta, což neodpovídá realit , rychlost je p eci r zná. Musíme si tedy rychlost vyjád it tak, aby to byla funkce asu (aby potom byla zintegrovatelná podle dt). Hledáme tedy funkci v(t ) ? . Funkci v(t ) nalezneme velice snadno, protože víme, že s každou sekundou se rychlost zvýší o 20%, tedy dostáváme: v(t ) 1,2 t . Všimn me si, že tomu viditeln odpovídá i fakt, že zrychlení a = 1,2 m.s-2
(v=at)
Funkci v(t) tedy máme vyjad enou a po dosazení m žeme pokra ovat v integrování dif. rovnice: 42
ds
1,2 t dt 40
s 1,2
42 2 2
40 2 2
s = 98,4 m Automobil tedy od doby své jízdy 40 s do doby 42 s urazil vzdálenost 98,4 m.
P íklad 2 Za jakou dobu dopadne na povrch Zem t leso, které letí z výšky 1000 m, pokud zanedbáme odpor prost edí? Tíhové zrychlení: 9,81 m.s-2.
ešení: Mohli bychom sice rovnou použít známý vztah
s
pokusíme tuto úlohu ešit diferenciálním po tem.
1 2 a t , ale zám rn se pro názornost 2
s , jenže tady se díky v gravita nímu zrychlení rychlost t lesa stále m ní (zv tšuje). Musíme tedy použít dif. po et.
Kdyby byla rychlost konstantní, použili bychom jednoduchý vztah t
ds dt
Podobn jako v p íkladu 1: Pokud v(t) = a t , pak:
ds
v
ds
v dt
ds
v dt
a t dt
Zrychlení a tu odpovídá tíhovému zrychlení g, které je konstantní, tedy: Dostáváme: s
t2 g 2
Po dosazení:
1000
t2 9,81 2
ds
g
t dt
t = 14,3 s
T leso tedy dopadne na povrch Zem p ibližn za 14,3 s.
P íklad 3 U elektrického za ízení kolísá jeho výkon. M ením a výpo ty bylo zjišt no, že výkon kolísá podle této rovnice: P = 100 + 16 sin(2t). Pr b h výkonu v ase vidíme na grafu 6. Úkolem je zjistit, jakou za ízení vykoná elektrickou práci za dobu 4 minuty od jeho spušt ní.
graf 6
ešení: Výkon nám kolísá, není konstantní a nem žeme proto jednoduše použít vztah A = P t . Hledáme elektrickou práci A, která roste pr b žn r znou rychlostí v závislosti na kolísavém dA Všimn me si, že princip z stává oproti výkonu P. Tomu odpovídá dif. rovnice: P dt p íklad m 1 a 2 stále stejný. Potom i postup ešení je obdobný jako v p edchozích p íkladech: dA dt
dA
P
P dt
dA
P dt
Za výkon P si musíme v integrálu dosadit funkci, jejímž parametrem je as. Tuto funkci známe ze zadání: P = 100 + 16 sin(2t) . Dále zadání úlohy ur ilo, že máme vypo ítat elektrickou práci v pr b hu 4 min., což je doba odpovídající 240 sekundám. Dostáváme:
240
dA
240
100 16 sin( 2 t ) dt 0
0
240
480
dA 100 dt 16 0
A 100 240 0
0
8
240
dA 100 dt 16 sin( 2 t ) dt
1 sin( a ) da 2
cos(2 . 480)
0
240
substituce : 2t a 2 dt da da dt 2
480
dA 100 dt 8 sin( a) da 0
cos(2 . 0)
0
A
24 000 8 0,5 1
A = 24 012 Ws B hem doby 4 minuty byla vykonána elektrická práce: 24 012 Ws
P íklad 4 Pod úhlem 45° od povrchu zem byla rychlostí v0 = 50 m/s z po átku sou adnicového systému vyst elena d lová koule. a) Jaká byla doba letu koule? b) Jaký byl dost el koule? c) Jaké nejv tší výšky koule dosáhla? P i ešení této úlohy zanedbáváme odpor prost edí. obr. 1
P íprava k ešení: Pravd podobn bude nejvhodn jší, nejprve si rozložit po áte ní rychlost do sm r sou adnicového systému, tedy ur it, že v x 0 v0 cos , v y 0 v 0 sin . Dále ur eme, že rychlost koule b hem letu ve sm ru osy x bude v x a rychlost ve sm ru osy y bude v y . Jak budou tyto rychlosti definované? Rychlost v x vychází z po áte ní rychlosti v x 0 a vzhledem k tomu, že jí v bec nic neovliv uje, lze zkrátka rovnou napsat, že v x
v x0 .
Rychlost v y obdobn vychází z po áte ní rychlosti v y 0 , ale tuto rychlost už ovliv uje jiná rychlost, která se vytvá í vlivem tíhového zrychlení g. Jelikož obecn platí vztah v a t , m žeme tuto rychlost tvo enou tíhovým zrychlením definovat jako g t . Záporné znaménko používáme p irozen proto, že tato rychlost p sobí do záporných hodnot sou adnice y. Rychlost v y tedy vypadá takto: v y v y 0 g t
Máme tedy rychlostní rovnice pro let koule: v x
v x0 , v y
v y0
gt
ešení a) Jaká byla doba letu koule? Dopad koule na zem je jinými slovy moment, kdy poloha koule ve sm ru osy y je rovna nule. Možná bychom tedy mohli dobu letu vypo ítat z rovnice, která definuje polohu d lové koule ve sm ru osy y. Jelikož víme, že derivace dráhy podle asu je rychlost, pak zp tn zintegrováním rovnice rychlosti podle asu získáme rovnici polohy.
y
v y0
g t dt
y
v y 0 dt
Vypo ítáme pot ebou rychlost v y 0 Dosadíme do polohové rovnice y
g t dt v 0 sin
v y0 t
y vy0
g
v y 0 dt
g t dt
50 sin 45
t2 a vypo ítáme: 0 2
y
v y0 t
g
t2 2
v y 0 = 35,355 m/s
35,355 t 9,81
t2 . 2
ešením rovnice jsou dv doby: t = 7,208 s a t´ = 0 s . Doba t´ = 0 odpovídá momentu t sn p ed vypálením d lové koule (v tuto chvíli byla poloha koule ve sm ru osy y také nulová). Proto p ipadá v úvahu ešení: 7,208 sekund Doba letu d lové koule: 7,208 sekund
ešení b) Jaký byl dost el koule? Dost el koule odpovídá její poloze v ose x ve chvíli, kdy koule dopadla na zem. Pokud tedy získáme rovnici s parametrem asu, která bude popisovat polohu koule vzhledem k ose x, snadno tak dost el vypo ítáme. Polohovou rovnici získáme op t integrováním a to rychlostní rovnice v x v x 0 podle asu:
x
v x 0 dt
x
v x 0 dt
x
Vypo ítáme pot ebou rychlost v x 0 Dosadíme do polohové rovnice x
v x0 t v0 cos v x0 t
v x0
50 cos 45
x = 35,355 . 7,208
v x 0 = 35,355 m/s
x = 254,84 m
Dost el d lové koule byl 254,84 metr .
ešení c) Jaké nejv tší výšky koule dosáhla? Vhledem k tomu, že ešíme tuto úlohu se zanedbáním odporu prost edí, trajektorií naší d lové koule není reálná balistická k ivka, nýbrž parabola, což m žeme pozorovat na grafu 7. Logicky bychom tedy ekli, že nejv tší dosaženou výšku letu koule získáme tak, že si vezmeme polovinu dost elu v ose x a dopo ítáme hodnotu y v tomto bod , což odpovídá vrcholu paraboly, tedy i maximální dosažené výšce koule v letu. My si však ešení maximální dosažené výšky ukážeme pomocí diferenciálního po tu. V komplikovan jších p ípadech bychom nemuseli mít takto symetrickou parabolu a ešení jsme potom schopni najít jedin jen p es dif. po et. Trajektorie letu d lové koule:
graf 7
Koule dosáhne maximální výšky v míst , kde si lze její pohyb v tomto okamžiku p edstavit jako pohyb po p ímce. Správn ji bychom m li íct, že nekone n zv tšený vrchol k ivky (zde vrchol paraboly) je nekone n krátká vodorovná p ímka. Jde-li tedy o vodorovnou p ímku, hodnoty grafu se v tomto míst tedy nem ní, jinými slovy, velikosti zm n jsou nulové. Nulové velikosti zm n v tomto konkrétním bod p eci znamenají nulovou derivaci funkce v tomto bod , což jsme si ukazovali v kapitle 2 na grafech 4 a 5. Pokud se tedy budeme ptát, kdy bude derivace funkce na grafu 7 rovna nule, získáme tak sou adnici x, která odpovídá vrcholu naší paraboly a budem tak moci jednoduše dopo ítat hodnotu y v tomto nalezeném bod x, tedy vrchol. Hledáme-li velikosti zm n funkce y v závislosti na veli in x, derivujeme funkci y podle x, tedy: dy dx
t2 , kde je parametr t, nikoliv x. 2 Uv domme si však, že tvar k ivky na grafu 7 ovliv uje jak polohová rovnice y = …, tak polohová rovice x = … . Využijme tohoto faktu a slu me tyto dv rovnice do jedinné rovnice y = … (zbavíme se tak zárove prom nné t): V tuto chvíli však máme k dispozici pouze rovnici y
x
v x0 t , y
v y0 t
g
t2 2
t
x , y vx0
v y0
x v x0
v y0 t
g
g
2
x v x0
Nyní máme funkci y(x)
2
a m žeme derivovat: y'
dy dx
v y0 v x0
g
x v x20
35,355 x 9,81 35,355 35,3552
0
Vypo ítáme x pro hodnotu y ' 0 :
Dostáváme x = 127,421 m. Máme tedy polohu koule v x-ové sou adnici, kdy koule dosáhla
maximální výšky. Nyní už m žeme dle rovnice y
maximální výšku koule: y
v y0
127,421 35,355 127, 421 9,81 35,355 2 35,355
x v x0
g
x v x0 2
2
snadno dopo ítat
2
Koule dosáhla b hem svého letu maximální výšky 63,709 metr .
Dostáváme: y = 63,709 m
P íklad 5 Na tomto jednoduchém p íkladu si ucelíme porozumn ní a metodiku ešení diferenciálních rovnic. Budeme se zabývat prací W, kterou t leso vykoná silovým ú inkem F a pohybem po dráze s. Vztah pro práci W bychom sice mohli napsat jednoduše b žným zp sobem W F s , ale použijeme vysp lejší a oficiáln jší zápis v diferenciálním tvaru, tedy:
dW
F ds
„Díl (nebo p ír stek) vykonané práce W vzhledem k p sobení síly F na dílku (nebo p ír stku) dráhy s.“
Samotné zadání zní takto: Vypo ítejte práci W, kterou t leso vykonalo po dráze z polohy s1 do polohy s2, pokud: a) síla F byla konstantní, F = 50 N, s1 = 0 m, s2 = 2 m b) síla F se pr b žn s dráhou r zn m nila dle rovnice F 0,26 s 2 , s1 = 0 m, s2 = 2 m c) síla F byla konstantní, ale m nila se rychlost pohybu t lesa zrychlením a = 1 m.s-2 a tento pohyb z polohy s1 do polohy s2 trval 2 sekundy
ešení a) síla F = konst. = 50 N, s1 = 0 m, s2 = 2 m s2
Diferenciální rovnici dW
dW
F ds integrujeme:
F ds .
Jelikož je F konstantní,
s1 s2
vytýkáme jej p ed integrál a dostáváme:
dW
F ds , tedy:
W
F s2
s1
s1
Vypo ítáme velikost vykonané práce: W
ešení b) síla F
50 2 0
W = 100 J
0,26 s 2 , s1 = 0 m, s2 = 2 m s2
Diferenciální rovnici dW
F ds integrujeme:
dW
F ds . V tomto p ípad už F není s1
konstanta a nelze jej tak vytknout p ed integrál. Musíme v integrálu vyjád it funkci F(s), aby byl integrál integrovatelný podle ds. Funkci F(s) známe ze zadání, v integrálu jí tedy vyjád íme:
0,26 s 2 ds a pokra ujeme integrováním a dosazením hodnot:
dW
s2
dW
0,26 s 2 ds s1
W
0,26
3 2
s 3
3 1
s 3
W
0,26
3
2 3
3
0 3
W = 0,693 J
ešení c) síla F byla konstantní, ale m nila se rychlost pohybu t lesa zrychlením a = 1 m.s-2 a tento pohyb z polohy s1 do polohy s2 trval 2 sekundy s2
Diferenciální rovnici dW
F ds integrujeme:
dW
F ds . V tomto p ípad je sice F s1
konstantní, ale neznáme polohy s1 a s2, oproti tomu známe dobu pohybu a zrychlení. Vzpome me ds si na vztah v ds v dt . Dosa me tedy v dt do integrálu (zárove F je konst., vytkli dt t2
jsme jej p ed integrál):
dW
F v dt
Nyní tedy integrujeme podle t a protože v není
t1
konstanta, musíme si jej vyjád it jako funkci asu. To lze vy ešit p es vztah v a t . Tento vztah skute n m žeme p ímo použít, nemusíme ho hledat v diferenciálním tvaru, protože a se nem ní, m ní se pouze plynule t a p irozen s tím i pak v. Diferenciální tvar bychom hledali, kdyby se pr b žn m nilo i a, což v tomto p ípad neplatí. t2
Dosadíme tedy do integrálu za v :
dW
F a t dt
Zrychlení známe ze zadání a tak už jsme
t1 t2
schopni, dopracovat se k výsledku:
dW
F 1 t dt t1
W
50
22 2
02 2
W
t 22 F 2
t12 2
W = 100 Nm
V praxi se m žeme setkat s mnohem složit jšími diferenciálními rovnicemi, které se eší p íslušnými metodami. V této kapitole jsme se pouze seznámili s podstatou a smyslem rovnic v diferenciálním tvaru a p íklady složit jších dif. rovnic ešit nebudeme.
P vodn bylo v plánu, pokra ovat v této publikaci ješt do problematiky p ímého sestavování integrál , ešení parciálních derivací a divergencí, ale o tom více až v dalším díle.
Další díly o ekávejte na internetových stránkách http://adambenda.net
ur eno k volnému ší ení Adam Benda (
[email protected], http://adambenda.net) 10. 2. 2008
