Re´ aln´e funkce v´ıce promˇenn´ ych Reálnou funkcí n–reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n–tici reálných čísel z nějaké podmnožiny kartézského součinu R ×· · ·× R = R n přiřazuje nějaké reálné číslo. Zcela analogicky s teorií reálných funkcí jedné reálné proměnné zavádíme pojem definiční obor funkce n–reálných proměnných a obor funkčních hodnot. Funkce více proměnných (slovo reálných již budeme vynechávat) zadáváme obvykle opět funkčními předpisy. Příklady takovýchto zadání jsou f (x, y) = x2 + y 2 + 3x − 5y, f (x, y) = sin (x2 +y 2 ), f (x, y, z) = ln (x + y 2 + z 3 ) nebo (není-li název funkce podstatný) z = x2 + y 2 , z = sin (x2 + y 2 ), atd. Opět je možno hovořit o elementárních funkcích více proměnných, což jsou funkce zadané předpisem, ve kterém jsou obsaženy pouze názvy proměnných, reálná čísla, závorky, znaménka pro sčítání, odčítání, násobení, dělení a symboly označující základní elementární funkce (mocninné, exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické). Spojitost funkcí více proměnných Opět, zcela analogicky jako v případě funkce jedné proměnné, řekneme, že funkce f (x1 , ..., xn) je spojitá v bodě A = (a1 , ..., an), jestliže ke každému okolí V bodu f (A) existuje okolí U bodu A takové, že f (X) ∈ V pro každý bod X ∈ U . Vzhledem k tomu, že pojem hraniční body definičního oboru funkce více proměnných je mnohem složitější než hraniční body intervalů, zavedeme pojem spojitost funkce vzhledem k množině. Definice. Řekneme, že funkce f (X) n proměnných je v bodě A spojitá vzhledem k množině M , jestliže ke každému okolí V bodu f (A) existuje okolí U bodu A takové, že pro každý bod X ∈ U ∩ M je f (X) ∈ V . Řekneme, že funkce n proměnných je spojitá na množině M , jestliže je spojitá v každém bodě A ∈ M vzhledem k množině M . Je snadno vidět, že funkce je ve vnitřním bodě množiny M spojitá vzhledem k množině M , právě když je v něm spojitá. Naproti tomu v hraničním bodě množiny M může být funkce spojitá vzhledem k M a nemusí být v něm spojitá. Ověřte si toto tvrzení u funkce √ z = x + y v bodech na ose x. Stejně jako v případě limit funkcí více proměnných, vystačíme se spojitostí vzhledem k příslušným definičním oborům. Platí následující věta. Věta. Elementární funkce n proměnných jsou spojité na svých definičních oborech.
Vlastnosti spojitých funkcí Na závěr této kapitoly si připomeňme dvě velice důležité vlastnosti spojitých funkcí. Věta (Bolzanova). Je-li funkce (jedné proměnné) f (x) spojitá na intervalu I a jsou–li a, b ∈ I, pak funkce f (x) nabývá všech hodnot mezi f (a) a f (b).
2
Věta (Weierstrassova). Funkce (jedné proměnné) f (x) spojitá na uzavřeném intervalu I nabývá na tomto intervalu největší a nejmenší funkční hodnoty; to jest existují reálná čísla c, d ∈ I taková, že pro každé x ∈ I je f (c) ≤ f (x) ≤ f (d). Obě věty je možno formulovat i pro funkce více proměnných. Přitom je nutno v Bolzanově větě pojem interval nahradit souvislou množinou (tj. každé dva body množiny je možno spojit křivkou, která celá do ní patří). Každý interval je souvislá množina a samozřejmě ne každá množina je souvislá. Souvislou množinu budeme nazývat dále oblastí. Například množina M = {(x, y); xy > 0} není souvislá a jistě naleznete elementární (a tedy spojitou) funkci dvou proměnných definovanou na této množině, která nenabývá všech mezihodnot. Ve Weierstrassově větě je zase nutno uzavřený interval nahradit omezenou uzavřenou oblastí, to jest množinou, která je souvislá, uzavřená a je obsažena v nějakém okolí bodu (0, ..., 0). Připomeňme, že podmnožina M množiny Rn se nazývá otevřená, jestliže s každým bodem obsahuje i nějaké jeho okolí a podmnožina M množiny Rn se nazývá uzavřená, jestliže její doplněk v Rn , tj. množina Rn \ M , je otevřená množina. Upozorňujeme, že nestačí jenom nahradit uzavřený interval uzavřenou oblastí. Uzavřený interval je již „omezenýÿ, ale ne každá uzavřená oblast v Rn je omezená. Například množina {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1} je jistě uzavřená a není omezená. Nalezněte spojitou funkci dvou proměnných, která na této množině nabývá libovolně velkých hodnot. Věta (Bolzanova). Nechť funkce f (X) (n proměnných) je spojitá na nějaké oblasti M a nechť A, B ∈ M . Potom funkce f (X) nabývá na M všech hodnot mezi f (A) a f (B). Věta (Weierstrassova). Funkce f (X) (n proměnných) spojitá na uzavřené a omezené oblasti M nabývá na této množině největší a nejmenší funkční hodnoty; to jest existují body C, D ∈ M takové, že pro každý bod X ∈ M je f (C) ≤ f (X) ≤ f (D). Parciální derivace funkcí více proměnných Pojem derivace funkce jedné reálné proměnné nelze do teorie funkcí více reálných proměnných převést jiným „rozumnýmÿ způsobem než jako limity stejného typu, při kterých se „měníÿ pouze jedna proměnná. Dostaneme tak pojem parciální derivace podle příslušné proměnné. Definice. Řekneme, že funkce f (x1 , . . . , xn ) má v bodě (a1 , . . . , an ) parciální derivaci podle proměnné xi , 1 ≤ i ≤ n, rovnou A, jestliže je (tj. existuje a je rovno) f (a1 , . . . , ai + ∆x, . . . , an ) − f (a1 , . . . , ai , . . . , an ) = A. ∆x→0 ∆x lim
Tuto skutečnost vyjadřujeme zápisem ∂f (a1 , . . . , an ) = A. ∂xi Obdobně jako u funkcí jedné reálné proměnné hovoříme o nevlastní parciální derivaci podle proměnné xi , je-li A ∈ {−∞, ∞}.
3
Analogicky jako u funkcí jedné proměnné definujeme u funkce f (x1 , . . . , xn ) pro každé i, 1 ≤ i ≤ n, funkci n proměnných, která každému bodu A ∈ D(f ), v němž existuje vlastní parciální derivace podle proměnné xi , přiřazuje její hodnotu a značíme ji ∂f (x1 , . . . , xn ) ∂xi
nebo
fx′ i (x1 , . . . , xn ).
Tuto funkci nazýváme parciální derivací funkce f podle proměnné xi . Z definice parciální derivace ihned plyne, že parciální derivaci funkce podle proměnné xi určíme tak, že všechny ostatní proměnné, to jest kromě proměnné xi , považujeme za konstanty a určíme derivaci funkce jedné proměnné, to jest proměnné xi . Příklad. Určeme parciální derivace funkce dvou proměnných f (x, y) = xy . Chceme-li určit parciální derivaci dané funkce podle proměnné x, použijeme známý vzorec (xα )′ = α · xα−1 a dostaneme ∂f (x, y) = y · xy−1 . ∂x Pro určení parciální derivace funkce f (x, y) = xy podle proměnné y musíme použít vzorec (ax )′ = ax · ln a a dostaneme ∂f (x, y) = xy · ln x. ∂y z
Příklad. Určeme parciální derivace funkce tří proměnných g(x, y, z) = xy . Postupujeme obdobně jako v předcházejícím příkladě, navíc použijeme pravidlo o derivování složené funkce a dostaneme: z ∂g ∂g z y z −1 yz , ∂y = xy · ln x · z · y z−1 , ∂g · ln x · y z · ln y. ∂x = y · x ∂z = x Analogie mezi derivací funkce jedné proměnné a parciálními derivacemi funkce více proměnných není úplně stoprocentní, například z existence vlastní derivace funkce v bodě plyne spojitost funkce v tomto bodě, ale existence všech parciálních derivací funkce více proměnných v bodě ještě nezaručuje spojitost funkce v tomto bodě, jak ukážeme v příštím příkladě. Zhruba lze říci, že analogií existence derivace funkce v bodě je u funkcí více proměnných existence spojitých derivací v bodě. Ve skutečnosti spojitost funkce zaručují i slabší podmínky. Například jsou-li všechny parciální derivace funkce více proměnných omezené v nějakém okolí bodu A, pak už je funkce v tomto bodě A spojitá. Příklad. Funkce dvou proměnných 0, je-li xy = 0, f (x, y) = 1, je-li xy 6= 0, má v bodě (0, 0) obě parciální derivace rovny 0. Přitom v každém okolí tohoto bodu existují body, v nichž nabývá funkce hodnotu 1. Protože je f (0, 0) = 0, není tato funkce v bodě (0, 0) spojitá. Parciální derivace vyšších řádů Obdobně jako u funkcí jedné proměnné lze opakovaným určováním parciálních derivací získávat derivace vyšších řádů. Jelikož se u funkcí více proměnných mohou měnit proměnné, podle kterých derivujeme, ujasněme si symboliku značení parciálních derivací. Derivujeme-li funkci n proměnných nejprve podle proměnné xi a tuto výslednou funkci
4
podle proměnné xj , i 6= j, označíme tuto „druhou parciální derivaciÿ symbolicky takto: ∂ ∂xj
∂f ∂xi
=
∂ 2f . ∂xi ∂xj
Derivujeme-li dvakrát podle proměnné xi , používáme značení ∂ ∂xi
∂f ∂xi
=
∂ 2f . ∂xi 2
Například u funkce dvou proměnných f (x, y) máme čtyři možnosti pro parciální derivace druhého řádu, a to: ∂ 2f , ∂x2
∂ 2f , ∂x∂y
∂ 2f , ∂y∂x
∂ 2f . ∂y 2
Příklad. Určeme všechny parciální derivace druhého řádu funkce dvou proměnných f (x, y) = x · ln (x2 + y). Určeme nejprve parciální derivace podle obou proměnných. ∂f ∂f 1 2x2 1 2 2 ∂x = ln (x + y) + x · x2 +y · 2x = ln (x + y) + x2 +y , ∂y = x · x2 +y . Nyní určeme parciální derivace druhého řádu. 4x·(x2 +y)−2x2 ·2x ∂2f ∂2f y−x2 2x 1 −2x2 = + , = + = , 2 2 2 2 2 2 2 ∂x x +y (x +y) ∂x∂y x +y (x +y) (x2 +y)2 ∂2f ∂y∂x
=
1 x2 +y
+x·
−2x (x2 +y)2
=
y−x2 ∂2f , 2 2 (x +y) ∂y 2
=x·
−1 (x2 +y)2
=
−x (x2 +y)2 .
∂ 2f ∂ 2f = . Musí nás ∂x∂y ∂y∂x tedy okamžitě napadnout otázka: je to náhoda, nebo to platí vždy? Odpověď na tuto otázku je: není to náhoda a platit to nemusí. Přesnější odpověď dává následující věta. Jistě jsme si všimli, že v předcházejícím příkladu nastalo
Věta. Jsou-li obě parciální derivace
∂ 2f ∂ 2f a spojité v bodě A = (a1 , a2 ), potom ∂x∂y ∂y∂x
∂ 2f ∂ 2f (a1 , a2 ) = (a1 , a2 ). ∂x∂y ∂y∂x Jelikož, jak již víme, jsou elementární funkce spojité ve všech vnitřních bodech svých definičních oborů a jelikož parciální derivace elementárních funkcí jsou opět funkce elementární, dostáváme ihned následující tvrzení. Důsledek. Je-li f (x, y) elementární funkce dvou proměnných, pak je ∂ 2f ∂ 2f = ∂x∂y ∂y∂x ve všech bodech, v nichž obě tyto parciální derivace existují. Poznámka. Existence obou „smíšenýchÿ derivací je nutná. Například pro funkci danou ∂ 2f ∂ 2f předpisem f (x, y) = |x| + y existuje (0, 0) a přitom neexistuje (0, 0). Pro∂y∂x ∂x∂y myslete toto tvrzení. Samozřejmě je možno výše uvedené tvrzení o rovnosti „smíšenýchÿ
5
parciálních derivací rozšířit i na parciální derivace vyšších řádů; speciálně pro elementární funkce platí, že při určování parciálních derivací nezáleží na pořadí proměnných, podle kterých jsme derivovali, ale pouze na počtu derivování podle jednotlivých proměnných, samozřejmě pokud všechny existují. Je tedy například: ∂ 7f ∂ 7f ∂7f = = = ... . ∂x4 ∂y 3 ∂y 3 ∂x4 ∂x2 ∂y∂x2 ∂y 2
Příklady k procvičení Vypočtěte parciální derivace daných funkcí podle všech proměnných: 2 √ 2) f (x, y) = y · x − 3 yx ; 1) f (x, y) = 2x3 · y − 4x · y 2 + 2x + 3; x·y 3) f (x, y) = 2y x+1 ; 4) f (x, y) = x−y ; x 2x−y 5) f (x, y) = arccotg y ; 6) f (x, y) = x · e + 3y 2 − 1; x
7) f (x, y) = x · y · 2 y ;
8) z =
cos 2 x 2y ; 1+sin q 1−x2 +2y 2−2y ;
x+y ; 10) z = 9) f (x, y) = arctg 1−xy q y−2x 12) z = arctg √ 11) f (x, y) = ln x−y ; x+y ; 2· xy−x2 p p 13) z = x · ln (x + x2 + y 2 ) − x2 + y 2 ; 14) z = x · y · arctg xy − ln (x2 + y 2 ); 2 15) z = ln 1−x 16) z = arcsin √ 2x 2 + ln y; 2−2y + ln (1 + y); x +y
2
3
17) f (x, y, z) = x · y + 2x · z − 3y · z ; 19) f (x, y, z) = (x + y)ex+z ;
18) f (x, y, z) = z · tg (3xy − 1); 20) f (x, y, z) = (x + 2y)z .
Vypočtěte hodnoty prvních parciálních derivací daných funkcí v daném bodě A: p √ 2 2 3 )2 21) z = (y3x−x , A = (1, 2); 22) z = x2 − y 2 + y · arcsin xy , A = (2, 2). 3 ·y 2 p p 2 ∂2f funkce f (x, y) = x · ln (x + x2 + y 2 ) − x2 + y 2 . 23) Vypočtěte ∂∂xf2 a ∂x∂y 24) Vypočtěte
∂2f ∂y 2
a
∂2f ∂x∂y
funkce f (x, y) = ln (x − y · ex ).
25) Vypočtěte všechny parciální derivace 2. řádu funkce f (x, y) = 2
2
y2 2
+ arctg xy .
∂ f 26) Vypočtěte ∂x∂y (1, 1) funkce f (x, y) = ex+y · ln x + y 3 . 27) Vypočtěte hodnoty prvních a druhých parciálních derivací funkce f (x, y) = sin x + y 2 · cos (2x · y) v bodě A = ( π2 , 1). 28) Vypočtěte hodnoty všech parciálních derivací 1. a 2. řádu v bodě A = (1, 2) pro √ funkci f (x, y) = x · y 2 − xy + 2 · x.
Výsledky 1) 3) 5) 6) 7)
∂f ∂x ∂f ∂x ∂f ∂x ∂f ∂x ∂f ∂x
= 6x2 y − 4y 2 + 2, = 2y x+1 · ln y, y = − x2 +y 2,
∂f ∂y
∂f ∂y
=
= e2x−y (1 + 2x), x
= 2 y (y + xln 2),
∂f ∂y
= 2x3 − 8xy;
= 2(x + 1)y x ;
2) 4)
x ; x2 +y 2 ∂f 2x−y + 6y; ∂y = −xe x ∂f x2 y = 2 x − ln 2 ; ∂y y
∂f ∂x ∂f ∂x
=
y √ 2 x
+3 2
y = − (x−y) 2,
√ y 2 ∂f x x , ∂y = 2 ∂f x ∂y = (x−y)2 ;
− 6 xy ;
6
8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28)
∂z ∂x ∂f ∂x ∂z ∂x
sin 2x = − 1+sin 2y ,
=
∂f 1 1+x2 , ∂y
∂z ∂y
=
2
xsin 2y = − cos (1+sin 2 y)2 ;
1 1+y 2 ;
2 x ∂z √ 3−x , ∂y = ; 2 (2−2y)(1−x +2y) (2−2y) (2−2y)(1−x2 +2y) ∂f y ∂f x = x2 −y = − x2 −y 2, 2; ∂x ∂y ∂z 1 ∂z √ √x ∂x = − xy−x2 , ∂y = y· xy−x2 ; p ∂z ∂z = ln (x + x2 + y 2 ), ∂y = √−y2 2 ; ∂x x+ x +y x(y 2 −2) y(x2 +2) ∂z x ∂z x ∂x = y · arctg y + x2 +y 2 , ∂y = x · arctg y − x2 +y 2 ; ∂z 2x ∂z 2 ∂x = − 1−x2 , ∂y = 1−y 2 ; y x2 +y 2 −xy ∂z ∂z ∂x = x2 +y 2 , ∂y = y(x2 +y 2 ) ; ∂f ∂f 2 3 ∂f 2 ∂x = 2xy + 2z, ∂y = x − 3z , ∂z = 2x − 9yz ; ∂f 3yz 3xz = cos 2 (3xy−1) , ∂f = cos 2 (3xy−1) , ∂f = tg (3xy − 1); ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f x+z x+z (1 + x + y), ∂y = e , ∂z = (x + y)ex+z ; ∂x = e ∂f z−1 z−1 z , ∂f , ∂f ∂x = z(x + 2y) ∂y =√2z(x + 2y) ∂z = (x + 2y) ln (x + 2y). √ ∂z ∂z 3, ∂y (A) = 43 ; ∂x (A) = − √ ∂z 2 ∂z π (A) = ∂x 2 , ∂y (A) = 4 ; ∂2f ∂2f √ 21 2 , ∂x∂y = 2 2 y√ 2 2 . ∂x2 = x +y x +y +x x +y ex (1−x) ∂2f ∂2f e2x = (x−yex )2 , ∂y2 = − (x−ye x )2 . ∂x∂y 2 2 2 2 ∂ f 2xy ∂ f y −x ∂2f 2xy = , = , 2 2 2 2 2 2 2 ∂x (x +y ) ∂x∂y (x +y ) ∂y 2 = 1 − (x2 +y 2 )2 . ∂2f 2 ∂x∂y (1, 1) = 2e . ∂2f ∂2f ∂2f 2 (A) = 3, (A) = 2π, 2 ∂x ∂x∂y ∂y 2 (A) = π − 2. ∂f ∂f ∂2f ∂2f ∂2f 9 ∂x (A) = 7, ∂y (A) = 3, ∂x2 (A) = − 2 , ∂x∂y (A) = 5, ∂y 2 (A) = 2.
= −√
Extrémy funkcí V mnoha praktických úlohách technických nebo „ekonomicky laděnýchÿ potřebujeme nalézt ty body definičního oboru funkce, ve kterých jsou funkční hodnoty nějakým způsobem extrémní. Budeme rozeznávat tři základní typy takovýchto extrémů. Jsou to extrémy lokální, absolutní a vázané. Lokální a absolutní extrémy Definice. Řekneme, že funkce f jedné nebo více proměnných má v bodě A svého definičního oboru lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu A, U ⊆ D(f ), takové, že pro každé X ∈ U , X 6= A je f (X) ≤ f (A), resp. f (X) ≥ f (A). Pokud pro každé X ∈ U , X 6= A je f (X) < f (A), resp. f (X) > f (A), hovoříme o ostrém lokálním maximu, resp. o ostrém lokálním minimu.
7
Definice. Řekneme, že funkce f jedné nebo více proměnných má v bodě A svého definičního oboru absolutní maximum, resp. absolutní minimum, jestliže pro každé X ∈ D(f ) je f (X) ≤ f (A), resp. f (X) ≥ f (A). Pokud je pro všechna X ∈ D(f ), X 6= A splněna nerovnice f (X) < f (A), resp. f (X) > f (A), hovoříme o ostrém absolutním maximu, resp. o ostrém absolutním minimu. Výše definované pojmy souhrnně nazýváme lokální extrémy, ostré lokální extrémy, absolutní, popřípadě ostré absolutní extrémy. Slovo absolutní někdy vynecháváme. Pokud budeme chtít zdůraznit, že nějaký extrém není ostrý, použijeme pro něj označení neostrý extrém. Poznámka. Lokální extrémy může mít funkce pouze ve vnitřních bodech svého definičního oboru, absolutní extrémy může mít jak ve vnitřních bodech svého definičního oboru (pak to jsou ale také lokální extrémy), tak v hraničních bodech svého definičního oboru. Existence absolutních extrémů, a to jak maxima tak minima, je zaručena u spojitých funkcí jedné proměnné definovaných na uzavřeném intervalu a u spojitých funkcí více proměnných definovaných na omezených uzavřených oblastech (Weierstrassova věta). V ostatních případech funkce samozřejmě extrémy mít může, ale také nemusí. Vyšetřujme nejprve lokální extrémy funkcí. Je možno celkem snadno odvodit následující větu, která omezuje možnosti pro existenci lokálních extrémů. Význam této věty tkví právě v tom, že značně omezuje počet bodů, ve kterých by funkce mohla mít lokální extrém. Věta (nutná podmínka). Jestliže má funkce f (x) jedné proměnné v bodě a lokální extrém a zároveň derivaci, pak je nutně f ′ (a) = 0. Jestliže má funkce f (x1 , . . . , xn ) v bodě A lokální extrém a zároveň parciální derivaci podle proměnné xj , pak je nutně ∂f (A) = 0. ∂xj Poznámka. Má-li funkce f více proměnných v nějakém bodě A lokální extrém, pak ∂f ∂f (A) = 0 pro všechna j, pro které existuje (A). ∂xj ∂xj Výše uvedená nutná podmínka není zdaleka postačující. Například funkce y = x3 je rostoucí na celém svém definičním oboru a je y ′ (0) = 0. Obdobně funkce z = x3 + y 3 ∂z ∂z nemá v bodě (0, 0) lokální extrém (dokažte) a je (0, 0) = (0, 0) = 0. ∂x ∂y p Příklad. Ve kterých bodech může mít funkce z = x2 + y 2 extrémy a jaké? ∂z Definičním oborem funkce je R×R. Obě dvě parciální derivace této funkce ∂x = √ 2x 2 x +y
8
a
∂z ∂y
=√
y x2 +y 2
existují ve všech bodech s výjimkou bodu (0, 0), v žádném bodě se obě
parciální derivace současně nerovnají 0. Funkce tedy může mít lokální a absolutní extrém pouze v bodě (0, 0). V tomto bodě má funkce ostré absolutní minimum. Zdůvodněte. p Příklad. Ve kterých bodech může mít funkce z = 9 − x2 − y 2 extrémy a jaké? Definičním oborem funkce je kruh se středem v bodě [0, 0] a poloměrem 3. Parciální ∂z ∂z derivace ∂x = √ −x2 2 a ∂y = √ −y2 2 má daná funkce ve všech bodech vyjma 9−x −y
9−x −y
bodů ležících na kružnici o rovnici x2 + y 2 = 9. Obě parciální derivace se rovnají nule v bodě (0, 0). Funkce tedy může mít lokální (a následně i případně absolutní) extrém pouze v bodě (0, 0). Jistě si snadno ověříte, že v tomto bodě má funkce ostré absolutní maximum. V každém hraničním bodě definičního oboru (kružnice se středem v [0, 0] a poloměrem 3) funkce může mít absolutní extrém, a také má, a to neostré absolutní minimum. Zdůvodněte. V předcházejících příkladech nebylo těžké potvrdit extrém, v mnoha jiných je toto podstatně obtížnější. Naštěstí zná matematika mnohé postačující podmínky pro existenci lokálních extrémů. My si zde připomeneme pouze tři nejzákladnější takové podmínky. Další je možno nalézt v mnoha jiných obsáhlejších knihách o diferenciálním počtu. Věta. Nechť funkce f (x, y) má v nějakém okolí bodu (a, b) spojité parciální derivace druhého řádu a nechť je ∂f ∂f (a, b) = (a, b) = 0. ∂x ∂y Označme
∂ 2f ∂ 2f D(a, b) = (a, b) · (a, b) − ∂x2 ∂y 2
∂ 2f (a, b) ∂x∂y
2
.
Platí: a) je-li D(a, b) > 0, má funkce v bodě (a, b) lokální extrém, a to ostré lokální maximum, ∂ 2f ∂ 2f je-li (a, b) < 0, a ostré lokální minimum, je-li (a, b) > 0; ∂x2 ∂x2 b) je-li D(a, b) < 0, nemá funkce v bodě (a, b) lokální extrém; c) je-li D(a, b) = 0, může funkce v bodě (a, b) mít lokální extrém, ale také nemusí. Příklad. Funkce z = x3 + y 3 nemá v bodě (0, 0) lokální extrém. Funkce z = x4 + y 4 má v bodě (0, 0) evidentně lokální a také absolutní minimum. Obě funkce splňují předpoklady předcházející věty a pro obě je, jak si snadno ověříte, D(0, 0) = 0. Příklad. Nalezněme extrémy funkce z = 2x3 + x · y 2 + 5x2 + y 2 . Funkce je definována na R × R, má spojité parciální derivace libovolného řádu a je ∂z ∂z 2 2 ∂x = 6x + y + 10x, ∂y = 2x · y + 2y. Lokální extrémy může tedy funkce mít pouze v bodech, ve kterých jsou obě parciální derivace rovny 0. Řešme proto soustavu dvou rovnic 6x2 + y 2 + 10x = 0, 2x · y + 2y = 0. Z druhé rovnice ihned plyne, že musí být y = 0 nebo x = −1. Po dosazení do první rovnice ihned dostáváme body A = (0, 0), B = (− 53 , 0), C = (−1, 2) a D = (−1, −2), ve kterých by funkce mohla mít lokální extrémy. Určeme si parciální derivace druhého řádu. Dostaneme
9 ∂ 2z ∂x2 =12x
+ 10,
∂ 2z ∂y 2
= 2x + 2,
∂ 2z ∂x∂y
= 2y.
∂2z a ∂x 2 (0, 0) = 10, má 40 ∂2z 5 a , 0 = − 2 3 ∂x 3
Protože je D(0, 0) = 20 funkce z v bodě A ostré lokální minimum; −10, má funkce z v bodě B ostré lokální protože je D − 53 , 0 = maximum; jelikož je D(−1, 2) = D(−1, −2) = −16, nemá daná funkce z v bodech C a D lokální extrémy. Ukažte, že funkce nemá absolutní extrémy. Příklad. Nalezněme lokální a absolutní extrémy funkce z = x3 + y 3 + x + y. ∂z ∂z = 3x2 + 1 a ∂y = 3y 2 + 1 existují ve všech bodech R × R, Protože parciální derivace ∂x a protože v žádném nemohou nabývat hodnoty 0, daná funkce nemá žádné lokální ani absolutní extrémy. p √ Příklad. Nalezněme extrémy funkce z = 9 − x2 − 16 − y 2 . ∂z −x ∂z Nejprve hledejme lokální extrémy. Jelikož je ∂x = √9−x a ∂y = √ y 2 (ověřte), je bod 2 16−y
(0, 0) jediným bodem, ve kterém by funkce mohla mít lokální extrém. Vypočtěme proto všechny parciální derivace druhého řádu. Dostaneme ∂2z −9 ∂2z ∂2z √ 16 2 3 , ∂x∂y = (√9−x , ∂y = 0. 2 = 2 )3 ∂x2 (
16−y )
Jelikož je D(0, 0) < 0, daná funkce nemá v tomto bodě lokální extrém. Tedy funkce nemá v žádném bodě lokální extrém. Hledejme tedy absolutní extrémy, které funkce jistě má (je spojitá na definičním oboru h−3, 3i × h−4, 4i). Absolutní extrémy m˚ uže funkce mít pouze v některém ze svých hraničních bod˚ u, tj. pouze na množině {(x, y); x ∈ {3, −3}, y ∈ h−4, 4i} ∪ {(x, y); x ∈ h−3, 3i, y ∈ {−4, 4}}. Uvažujme danou funkci na množině {(x, p y); x ∈ {3, −3}, y ∈ h−4, 4i}. Tato funkce je na této množině dána předpisem z = − 16 − y 2 . Snadno zjistíme, že tato funkce jedné proměnné má absolutní minimum v bodě y = 0 a absolutní maximum v bodech y = 4 a y = −4. Obdobně zjistíme, že na množině {(x, y); x ∈ h−3, 3i, y ∈ {−4, 4}} nabývá daná funkce √ největší hodnoty v bodě x = 0 a nejmenší hodnoty v bodech x = 3 a x = −3. p Funkce z = 9 − x2 − 16 − y 2 nabývá nejmenší a největší hodnoty v některém ze získaných bod˚ u (3, 0), (3, −4), (3, 4), (−3, 0), (−3, −4), (−3, 4), (0, 4) a (0, −4). Porovnáním funkčních hodnot v těchto bodech dostaneme, že neostré absolutní maximum má funkce v bodech (0, 4) a (0, −4) (hodnota tohoto maxima je 3) a neostré absolutní minimum v bodech (3, 0) a (−3, 0) (hodnota tohoto minima pPorovnejte tento výsledek √ je −4). 2 s obr. 7, na kterém je zobrazen graf funkce z = 9 − x − 16 − y 2 .
Poznámka. Pokud hledáme pouze absolutní extrémy funkcí, jejichž existence je zaručena spojitostí funkce jedné proměnné na uzavřeném intervalu nebo spojitostí funkce více proměnných na omezené uzavřené oblasti, můžeme postupovat zjednodušeným způsobem takto: 1. nejprve si zjistíme body podezřelé z extrému a vypočteme funkční hodnoty v těchto bodech, 2. porovnáme funkční hodnoty a nalezneme body, ve kterých jsou funkční hodnoty nejmenší a body, ve kterých jsou funkční hodnoty největší. Připomeňme, že body podezřelé z extrému jsou u funkce jedné proměnné a) hraniční body definičního oboru, b) body definičního oboru funkce, ve kterých funkce nemá derivaci, c) body definičního oboru funkce, ve kterých má funkce derivaci rovnou nule. Body podezřelé z extrému jsou u funkcí více proměnných
10
2 z 0 -2
2 0 y
-2 -2
0 x 2
Obr. 7. Graf funkce z =
√
9 − x2 −
p 16 − y 2
a) hraniční body definičního oboru, b) body definičního oboru funkce, ve kterých funkce nemá alespoň jednu parciální derivaci, c) body definičního oboru funkce, ve kterých má funkce všechny parciální derivace rovny nule. Ilustrujme si tento postup na dvou příkladech. Příklad. Nalezněme absolutní extrémy funkce definované na množině h−1, 1i × h−1, 1i předpisem f (x, y) = x2 + y 2 . Daná funkce je spojitá na definičním oboru a má obě parciální derivace. Podezřelými body z extrému jsou hraniční body definičního oboru a bod A1 = (0, 0), který je jediným bodem, ve kterém má funkce obě parciální derivace rovny 0. Hraničními body definičního oboru jsou množiny M1 = h−1, 1i × {−1}, M2 = h−1, 1i × {1}, M3 = {−1} × h−1, 1i a M4 = {1} × h−1, 1i. Funkce f (x, y) je na množině M1 = h−1, 1i × {−1} totožná s funkcí jedné proměnné f1 (x) = f (x, −1) = x2 + 1 definované na intervalu h−1, 1i. Absolutní extrémy může tato funkce jedné proměnné nabývat v hraničních bodech intervalu h−1, 1i a v bodě x = 0, který je jediným bodem, ve kterém má funkce f1 (x) derivaci rovnou nule. Získali jsme tak další tři body podezřelé z extrému, a to body A2 = (−1, −1), A3 = (1, −1) a A4 = (0, −1). Pokud analogicky vyšetříme chování funkce f (x, y) na množinách M2 , M3 a M4 , dostaneme další podezřelé body A5 = (−1, 1), A6 = (1, 1), A7 = (0, 1), A8 = (−1, 0), A9 = (1, 0). Funkční hodnoty v bodech podezřelých z extrému jsou: f (0, 0) = 0, f (±1, 0) = 1, f (0, ±1) = 1, f (±1, ±1) = 2. Funkce f (x, y) má v bodě (0, 0) ostré absolutní minimum a v bodech (±1, ±1) neostré absolutní maximum. Vázané extrémy U funkcí dvou a více proměnných má reálný význam také vyšetřovat extrémy funkcí vzhledem k podmnožině definičního oboru dané nějakými dalšími omezujícími podmínkami, které se nazývají vazební podmínky. Hovoříme potom o vázaných extrémech. Tyto
11
omezující podmínky mohou být zadány různými způsoby. My se budeme zabývat pouze případy, kdy jsou vazební podmínky dány nějakou soustavou rovnic. Definice. Řekneme, že funkce f (X) n proměnných má v bodě A ∈ D(f ) lokální maximum (resp. minimum) vázané podmínkami g1 (x1 , . . . , xn ) = 0, g2 (x1 , . . . , xn ) = 0, . . . , gr (x1 , . . . , xn ) = 0, jestliže bod A splňuje vazební podmínky (tj. g1 (A) = g2 (A) = · · · = gr (A) = 0) a jestliže je f (A) ≥ f (X) (resp. f (A) ≤ f (X)) pro všechny body X z nějakého okolí U ⊆ D(f ) bodu A, X 6= A, které splňují vazební podmínky (tj. g1 (X) = g2 (X) = · · · = gr (X) = 0). Vázaná lokální maxima a vázaná lokální minima souhrnně nazýváme vázanými extrémy. Nahrazením požadavku „pro všechny body X z nějakého okolí U ⊆ D(f ) bodu Aÿ požadavkem „pro všechny body X ∈ D(f )ÿ, dostáváme definice absolutních vázaných extrémů. Podmínky g 1 (x1 , . . . , xn ) = 0, g2 (x1 , . . . , xn ) = 0, . . . , gr (x1 , . . . , xn ) = 0, se nazývají vazební podmínky nebo krátce vazby. Dosazovací metoda Otázkou zůstává, jak hledat a určovat vázané extrémy. V případě, že je možno z vazebních podmínek jednoznačně vyjádřit některé proměnné, můžeme dosazením těchto proměnných do všech ostatních vztahů převést problém na hledání vázaných extrémů funkce (a vazebních podmínek) s menším počtem proměnných, případně na hledání extrémů funkce jedné proměnné. Příklad. Nalezněme extrémy funkce f (x, y) = x4 − 2y 2 vázané podmínkou 3x − y = 0. Z vazební podmínky dostáváme y = 3x. Hledejme extrémy funkce h(x) = x4 − 2(3x)2 , tedy funkce h(x) = x4 − 18x2 . Tato funkce je elementární, má všude derivaci a extrémy může mít tedy pouze v bodech, kde je její derivace rovna 0. Derivace funkce h(x) je h′ (x) = 4x3 −36x. Rovnice 4x3 −36x = 0 má stejná řešení jako rovnice x(x2 −9) = 0, tedy x1 = 0, x2 = 3, x3 = −3. Funkce h(x) má, jak jistě ihned vidíte, v bodě x1 ostré lokální maximum, v bodech x2 a x3 ostré lokální minimum. Proto má funkce f (x, y) = x4 − 2y 2 v bodě (0, 0) ostré vázané lokální maximum, f (0, 0) = 0, které není absolutním vázaným maximem (ukažte), a v bodech (3, 9) a (−3, −9) ostré vázané lokální minimum a zároveň neostré absolutní minimum, jehož hodnoty jsou f (3, 9) = f (−3, −9) = −81. Poznámka. Stejným způsobem bychom mohli také postupovat v případě, že sice nelze z vazebních podmínek proměnnou vyjádřit jednoznačně, ale pouze jako sjednocení konečného počtu možností. V tomto případě úlohu řešíme opakováním předchozího postupu pro jednotlivé možnosti. Příklad. Nalezněme absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2 − y 2 vázané podmínkou x2 + y 2 = 4. √ √ Z vazební podmínky dostaneme y = ± 4 − x2 . Uvažujme první případ y = 4 − x2 . 2 Dostaneme h(x) √ = 2x − 4. Tato funkce je definována na intervalu h−2, 2i (nezapomínejme, že y = 4 − x2 ), má ostré lokální a absolutní minimum v bodě x = 0 a neostré
12
√ absolutní maximum v bodech x = −2 a x = 2. Druhý případ y = − 4 − x2 nám dává stejnou funkci jedné proměnné, a tedy i stejné body x = 0, x = −2 a x = 2. Funkce f (x, y) = x2 − y 2 může mít vázané extrémy v bodech A = (0, 2), B = (−2, 0), C = (2, 0) a D = (0, −2). Protože je f (A) = −4, f (B) = 4, f (C) = 4 a f (D) = −4, má tato funkce neostré vázané absolutní minimum v bodech A, D a neostré vázané absolutní maximum √ v bodech B, C. Všimněte si, že kdybychom neuvažovali definiční obory funkcí y = ± 4 − x2 , pak bychom nezjistili vázané absolutní extrémy v bodech B = (−2, 0) a C = (2, 0). Příklad. Nalezněme extrémy funkce f (x, y, z) = 13x2 − 2y 2 + z 2 vázané podmínkou 2x + y − 5 = 0. Z vazební podmínky dostaneme y = 5−2x. Po dosazení získáme funkci dvou proměnných ∂h h(x, z) = 5x2 +40x+z 2 −50. Parciální derivace ∂h ∂x = 10x+40 a ∂z = 2z se současně rov∂ 2h nají 0 pouze v bodě (−4, 0). Snadno se přesvědčíte, že je D(−4, 0) = 20 a ∂x 2 (−4, 0) = 10. Funkce h(x, z) má tedy v bodě (−4, 0) ostré lokální minimum, které je také ostrým absolutním minimem (ukažte). Proto funkce f (x, y, z) má v bodě (−4, 13, 0) ostré absolutní (a samozřejmě i lokální) vázané minimum, jehož hodnota je f (−4, 13, 0) = −130. Funkce nemá absolutní ani lokální vázané maximum. Závěrem si ukažme řešení dvou praktických příkladů, při kterém využijeme dosazovací metodu hledání extrémů funkcí dvou proměnných. Příklad. Určeme rozměry uzavřené válcové nádoby (konzervy, . . .) daného objemu V tak, aby její povrch byl co nejmenší (tedy aby například na její výrobu bylo potřeba co nejméně materiálu). Označme R poloměr nádoby a v její výšku. Funkce S(R, v) = 2πR2 +2πRv vyjadřuje povrch nádoby. Máme najít minimum této funkce vzhledem k vazební podmínce πR2 v = V . Z vazební podmínky si vyjádříme proměnnou v a po jejím dosazení do funkce S(R, v) dostaneme funkci jedné proměnné s(R) = 2πR2 + 2V . Derivace této funkce (podle proR 2V 4πR3 −2V ′ měnné R) je s (R) = 4πR − R2 = . Tato funkce má (ověřte) lokální i absolutní R2 q V . Hodnotě R0 odpovídá (podle vazební podmínky πR2 v = V ) minimum v bodě R0 = 3 2π q q 3 V V 3 4V bod v0 = πR2 = = 2R0 . Funkce S(R, v) má vázané absolutní miniπ = 2· 0 q 2π q V V mum v odpovídajícím bodě 3 2π , 2 · 3 2π . Hledané rozměry válcové nádoby tedy jsou q V v = 2R = 3 2π . Příklad. Určeme rozměry jámy (silážní jámy, bazénu,. . .) tvaru kvádru daného objemu V tak, aby součet obsahů stěn a dna byl co nejmenší (tedy aby například na její vyzdění bylo potřeba co nejméně materiálu). Označme rozměry dna a, b a hloubku c. Funkce S(a, b, c) = ab+2(ac+bc) vyjadřuje součet obsahů stěn a dna. Máme najít minimum této funkce vzhledem k vazební podmínce abc = V . Z vazební podmínky si vyjádříme proměnnou c a po jejím dosazení dostaneme funkci dvou proměnných s(a, b) = ab + 2V + 2V . Parciální derivace této funkce podle b a proměnných a, b jsou ∂s ∂a
Soustava rovnic
=b−
2V a2
,
∂s ∂b
=a−
2V b2
.
13
b − 2V a − 2V a2 = 0, b2 = 0 √ √ √ má jediné řešenía0 = b0 = 3 2V . Snadno si ukážete, že D( 3 2V , 3 2V ) = 3. Protože √ √ 3 ∂ 2S 2V , 3 2V = 2, má funkce s(a, b) v tomto bodě skutečně lokální minimum, které ∂x2 je i absolutní.qZbýváq už jenom určit hodnotu proměnné c. Dostaneme √ √ 3 3 2V = . Hledané rozměry jámy jsou a = b = 2c = 2V . c0 = a0V·b0 = 3 V4 = 3 2V 8 2 Příklady k procvičení Najděte body, ve kterých mají následující funkce dvou proměnných lokální extrémy, určete charakter extrémů a vypočtěte jejich hodnoty: 30) z = 2x · y − 3x2 − 2y 2 + 10; 32) z = x3 + y 3 − 3x · y;
34) 36) 38) 40)
2
z z z z
= x2 + 4y + 2yx ; = −y 2 + x − ex−2y ; 2 2 = e −x −y ; = 3ln x + x · y 2 − y 3 ;
31) z = x2 − x · y + y 2 − 2x + y; 3 33) z = y − x3 + ln (x − y);
35) 37) 39) 41)
z z z z
= 5x · y + 25 + y8 ; x x = e 2 (x + y 2 ); = y 2 · ln x − 4x; 2 = x · e −x − 2y 2 .
U každé z následujících funkcí je určena vazební podmínka g(x, y) = 0, resp. g(x, y, z) = 0. Určete body, v nichž dané funkce mají vázané lokální extrémy, a vypočtěte jejich hodnoty: 43) 45) 47) 49) 51) 53) 55)
z z z z z z z
= x · y − x + y − 1, x + y − 1 = 0; = x12 + y12 , x1 + y1 − 14 = 0; = 1 + 4x + y 2 , x2 + y 2 − 4 = 0; = (x − 1)2 + (y − 2)2 , y − 3x = 5; = ex·y , 2x + 3y − 1 = 0; 5 = 0; = x1 + y3 , x12 + y12 − 18 = cos 2 x + cos 2 y, x + y − π = 0 pro
44) u = x2 + y 2 + z 2 , 2x − y + z − 6 = 0; 46) z = x + y, x12 + y12 − 12 = 0; 48) u = x1 + y1 + 1z , x + y + z − 1 = 0; 50) z = 4x + 3y, x2 + y 2 − 1 = 0; 1 1 52) z = 2x + y, 2x + 4y − 1 = 0; 3 3 54) z = 6(x + y), x + y − 16 = 0; x ∈ (0, 2π), y ∈ (0, 2π).
56) Určete absolutní extrémy funkce z = x3 + y 3 − 3x · y definované na h0, 2i × h−1, 2i. √ √ √ √ 57) Určete lokální a absolutní extrémy funkce z = 1 + x + 2 · 4 − x + y − 1 + 5 − y. 58) Určete absolutní extrémy funkce z = 2x2 − 4y 2 − 3x + 2y, jejímž definičním oborem je D(z) = {(x, y); x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}. 59) Vypočtěte rozměry toho obdélníka o obsahu 25 cm2 , který má nejkratší úhlopříčku. 60) Jaké rozměry bude mít krabice bez víka, kterou vyrobíme z obdélníkového plechu o rozměrech 50 cm, 80 cm tak, aby měla maximální objem? Výsledky 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36)
ostré ostré ostré ostré ostré ostré ostré
lokální lokální lokální lokální lokální lokální lokální
maximum je v bodě (0, 0), z(0, 0) = 10; minimum je v bodě (1, 0), z(1, 0) = −1; minimum je v bodě (1, 1), z(1, 1) = −1; maximum je v bodě (1, 0), z(1, 0) = − 13 ; minimum je v bodě (1, −1), z(1, −1) = −1; 5 4 5 4 minimum je v bodě ( 2 , 5 ), z 2 , 5 = 30; maximum je v bodě (2, 1), z(2, 1) = 0;
14
37) 38) 39) 40) 41) 43) 44) 45) 46) 47) 48) 49) 50) 51) 52) 53) 54) 55) 56) 57) 58) 59) 60)
ostré lokální minimum je v bodě (−2, 0), z(−2, 0) = − e2 ; ostré lokální maximum je v bodě (0, 0), z(0, 0) = 1; nemá lokální extrémy; nemá lokální extrémy; ostré lokální maximum je v bodě ( √12 , 0), z( √12 , 0) = √12e . ostré vázané lokální maximum v bodě (− 12 , 32 ), z − 12 , 32 = 14 ; ostré vázané lokální minimum v bodě (2, −1, 1), u(2, −1, 1) = 6; 1 ; ostré vázané lokální minimum v bodě (8, 8), z(8, 8) = 32 ostré vázané minimum je v bodě (2, 2), z(2, 2) = 4, ostré vázané maximum je v bodě (−2, −2), z(−2, −2) = −4; ostré vázané lokální maximum v bodě (2, 0), z(2, 0) = 9; ostré vázané lokální minimum v bodě ( 13 , 13 , 13 ), u 13 , 13 , 13 = 9; ), z(− 45 , 13 ) = 18 ; ostré vázané lokální minimum v bodě (− 45 , 13 5 5 5 4 3 4 3 ostré vázané lokální maximum v bodě ( 5 , 5 ), z( 5 , 5 ) = 5, ostré vázané lokální minimum v bodě (− 45 , − 35 ), z(− 45 , − 35 ) = −5; 1 ostré vázané lokální maximum v bodě ( 14 , 16 ), z( 14 , 16 ) = e 24 ; ostré vázané lokální minimum v bodě ( 43 , 34 ), z( 34 , 34 ) = 94 , ostré vázané maximum je v bodě ( 14 , − 14 ), z( 14 , − 14 ) = 14 ; ostré vázané lokální maximum v bodě (6, 2), z(6, 2) = 53 , ostré vázané minimum je v bodě (−6, −2), z(−6, −2) = − 53 ; ostré vázané lokální maximum v bodě (2, 2), z(2, 2) = 24; ostré vázané lokální maximum v bodě (π, 0), z(π, 0) = 2; ostré vázané minimum je v bodě ( π2 , π2 ), z( π2 , π2 ) = 0. ostré absolutní maximum je v bodě (2, −1), z(2, −1) = 13, neostré absolutní minimum v bodě (1, 1), z(1, 1) = −1 a v bodě (0, −1), z(0, −1) = −1. √ ostré lokální a absolutní maximum v bodě (0, 3), z(0, 3) = 5 + 2 2, neostré √ √ absolutní minimum v bodě (4, 1), z(4, 1) = 2 + 5 a v bodě (4, 5), z(4, 5) = 2 + 5. ostré absolutní maximum je v bodě 0, 14 , z(0, 14 ) = 14 , ostré absolutní minimum v bodě (0, 1), z(0, 1) = −2. a = 5 cm, b = 5 cm. 10 cm, 30 cm, 60 cm.
