TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POET II

VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ

JOSEF WEIGEL

TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ PO ET II GE08_M01

Základní druhy vyrovnání (2. ást)

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Tento text neprošel jazykovou ani redak ní úpravou. Za jazykovou stránku odpovídá autor © Doc. Ing. Josef Weigel, CSc., Brno 2006

Obsah

OBSAH 1 Úvod 5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot ebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klí ová slova.........................................................................................6 1.5 Metodický návod na práci s textem ......................................................6 2 Vyrovnání podmínkových m ení...............................................................7 2.1 Podstata úlohy, použitá symbolika a postup ešení...............................8 2.1.1 Použitá symbolika.................................................................10 2.1.2 Postup ešení .........................................................................11 2.2 Sestavení podmínkových rovnic .........................................................11 2.3 Odchylkové a p etvo ené podmínkové rovnice ..................................13 2.4 Normální rovnice pro koreláty ............................................................16 2.5 ešení normálních rovnic – výpo et korelát.......................................19 2.6 Výpo et oprav a vyrovnaných m ení ................................................20 2.6.1 Výpo et oprav.......................................................................20 2.6.2 Výpo et vyrovnaných m ení ...............................................20 2.7 Kontroly ..............................................................................................21 2.8 P íklady ...............................................................................................23 2.8.1 Vyrovnání délek....................................................................23 2.8.2 Vyrovnání nivela ní sít .......................................................27 2.9 Výpo et charakteristik p esnosti .........................................................29 2.9.1 Jednotková st ední chyba po vyrovnání (aposteriorní).........29 2.9.2 St ední chyby m ených veli in (aposteriorní).....................32 2.9.3 St ední chyby vyrovnaných veli in ......................................32 2.9.4 St ední chyby funkcí vyrovnaných m ení ...........................35 2.10 P íklad 2.1 (vyrovnání délek) - pokra ování ......................................37 2.11 P echod na vyrovnání zprost edkujících m ení.................................39 3 Smíšené druhy vyrovnání ..........................................................................43 3.1 Vyrovnání zprost edkujících m ení s podmínkami ...........................43 3.2 Vyrovnání podmínkových m ení s neznámými ................................45 3.3 P íklady ...............................................................................................47 4 Dodatek A...................................................................................................55 4.1 Vektory................................................................................................55 4.2 Matice..................................................................................................60 4.2.1 Základní pojmy .....................................................................60 4.2.2 Operace s maticemi...............................................................62 4.2.3 Inverzní matice......................................................................71 4.2.4 Elementární matice ...............................................................74 4.3 Lineární a kvadratické formy ..............................................................79 4.4 Vlastní ísla a vlastní vektory .............................................................84 4.5 Pseudoinverzní matice ........................................................................89

- 3 (105) -

TCHVP - Základní druhy vyrovnání 2. ást

5 Záv r ........................................................................................................... 99 5.1 Shrnutí ................................................................................................ 99 5.2 Studijní prameny ................................................................................ 99 5.2.1 Seznam použité literatury..................................................... 99 5.2.2 Seznam dopl kové studijní literatury................................. 100 5.3 Autotest............................................................................................. 100 5.4 Klí ................................................................................................... 101 5.5 Koresponden ní úkoly...................................................................... 102

- 4 (105) -

Úvod

1

Úvod

1.1

Cíle

Cílem tohoto modulu je seznámit studenty oboru geodézie a kartografie se základními druhy vyrovnávacích úloh používaných v tomto oboru. U ební text navazuje na p edcházející dva moduly. Modul „M ické chyby“, který pojednává o základních pojmem teorie chyb, definuje jednotlivé druhy m ických chyb a podrobn se zabývá charakteristikami p esnosti. V další ásti definuje zákony hromad ní (p enášení) m ických chyb. Modul „Základní druhy vyrovnání 1. ást“ se zabývá metodou nejmenších tverc (MN ) a podrobn popisuje postup p i vyrovnání p ímých m ení (stejné i rozdílné p esnosti) a p i vyrovnání zprost edkujících m ení. Tento text s názvem „Základní druhy vyrovnání 2. ást“ navazuje na p edcházející modul vyrovnáním podmínkových m ení a n kterými dalšími druhy vyrovnání, p edevším takovými, které základní druhy kombinují. Celá tvrtá kapitola je v nována p ehledu matematických vztah týkajících se vektor a matic a práci s nimi. Jejich cílem je soust edit hlavní poznatky z této oblasti matematiky do jedné ásti tak, aby student p i aplikacích maticových zápis ve vyrovnávacím po tu se mohl ihned podívat na jejich matematické základy. Proto jsou v n kterých ástech dopl ovány tyto p ehledy p ípady jejich užití ve vyrovnávacím po tu. Rozsah informací v této tvrté kapitole p ekra uje požadavky na studenta v p edm tu Teorie chyb a vyrovnávací po et. Student se s nimi ale setká p i aplikacích vyrovnávacího po tu v dalších odborných p edm tech, p ípadn p i studiu odborných text z této oblasti. Celý výb r je zam en na finální ást tvté kapitoly, tj. na problematiku pseudoinverzních matic, které se v geodézii stále ast ji uplat ují zejména p i vyrovnání volných sítí.

1.2

Požadované znalosti

U student se p edpokládají dobré znalosti z p edm t Matematika I a Matematika II. V matematice se jedná o problematiku lineární algebry (práce s vektory a maticemi, ešení linearních systém rovnic), dále musí znát derivace funkcí jedné a více prom nných (parciální derivace) a jejich využití p i rozvoji funkcí v ady (zejména Taylorova ada). Znalosti z p edm t Geodézie I a Geodézie II jsou nutné p edevším k pochopení praktických p íklad . Nezbytná je rovn ž znalost terminologie definované v modulu „M ické chyby“ a modulu Základní druhy vyrovnání 1. ást“ .

1.3

Doba pot ebná ke studiu

Obsah modulu je sestaven tak, že je využíván v p edm tu „Teorie chyb a vyrovnávací po et II“. Celkový rozsah doby studia tohoto modulu lze odhadnout na 50 hod, z toho 25 hodin na zvládnutí p íklad . 2. kapitola – 30 hodin, 3. kapitola.–10 hodin, 4.

- 5 (105) -


kapitola – (10 hodin – p i základních znalostech matematiky). asy jsou pouze orienta ní, nebo záleží na tom, jaké výpo etní prost edky student použije a jak je umí ovládat. asy jsou odhadnuty pro základní znalosti tabulkového procesoru Excel.

1.4

Klí ová slova

Zde jsou uvedena jen hlavní klí ová slova. Podrobn jší len ní je uvedeno na za átku každé kapitoly. Vyrovnání podmínkových m ení, podmínkové rovnice, odchylkové rovnice, p etvo ené podmínkové rovnice, normální rovnice pro koreláty, koreláty, charakteristiky p esnosti, smíšené vyrovnání, vyrovnání podmínkových m ení s neznámými, vyrovnání zprost edkujících m ení s dalšími neznámými.

1.5

Metodický návod na práci s textem

Text a p íklady v n m uvedené jsou se azeny tak, aby se postupovalo ve shod s výpo etním postupem vyrovnání podmínkových m ení. Vzorové p íklady jsou proto dopln ny detailním postupem výpo tu. Výpo ty jsou p evážn sestaveny tak, aby mohly být po ítány na kalkula kách. Doporu uji student m, aby si každý p íklad nejprve vypo ítali ru n (na kalkula ce se zápisem mezivýsledk na papír) a teprve potom jej realizovali nap íklad v tabulkovém procesoru Excel. Cílem totiž není jen vypo ítat správný výsledek, ale pochopit detailn jeho jednotlivé fáze. Text je dopln n velmi podrobným Dodatkem A, který umož uje studentovi konfrontovat vzorce v klasické podob s jejich zápisem v maticové podob . Pochopení základních operací s maticemi výrazn usnadní studium složit jších maticových zápis v n kterých odvozeních. Pokud student ovládá n jaký programovací jazyk, nebo pracuje s programovacími systémy typu MATCAD, MATLAB a pod., je vhodné v novat tvorb program v t chto systémech více asu, nebo si tak student ušet í as p i výpo tech jednotlivých aplikací vyrovnávacího po tu v navazujících odborných p edm tech. Samoz ejm orienta ní as uvedený ve stati 1.3 pro studium tohoto modulu pak bývá p ekro en i vícenásobn .

- 6 (105) -

Vyrovnání podmínkových m ení

2


Cílem této kapitoly je seznámit studenty s t etím z hlavních druh vyrovnání, a to s vyrovnáním podmínkových m ení. Jak již bylo uvedeno v p edcházejícím modulu [6] rozeznáváme ve vyrovnávacím po tu t i základní druhy vyrovnávacích úloh: • vyrovnání p ímých m ení • vyrovnání zprost edkujících m ení • vyrovnání podmínkových m ení Všechny t i druhy jsou založeny na d íve uvedeném principu MN . Uvedené len ní je klasické a vystihuje nej ast jší p ípady zem m ické praxe. Protože v principu vychází z jedné metody (MN ), jedná se vlastn o ešení jedné obecné úlohy vyjád itelné souborem funkcí ve tvaru

f ( L, X , k ) = 0 ,

(2.1)

kde L jsou m ené parametry, X ur ované parametry (tzv. neznámé) a k jsou vhodné konstanty. Vyrovnání p ímých m ení je p ípad, kdy ur ovaný parametr nebo parametry je možno p ímo m it. Pro jednotlivá m ení a jeden ur ovaný parametr bude mít funkce (2.1) tvar Li = X .

(2.2)

P i vyrovnání zprost edkujících m ení m íme jednu skupinu parametr (nap . úhly a délky) a jinou skupinu parametr ur ujeme - po ítáme (nap . sou adnice bod ). Funkce (2.1) budou mít v tomto p ípad tvar

L = f ( X , k ).

(2.3)

Vyrovnání podmínkových m ení je p ípad, kdy skupina m ených parametr musí spl ovat p edem dané matematické podmínky (nap íklad sou et úhl v trojúhelníku musí být roven 2 , resp. 180o nebo 200gon). Funkce (2.1) budou mít v tomto p ípad tvar

f ( L, k ) = 0 .

(2.4)

Konstanty k asto v zápise funkcí vynecháváme. Konstantou je nap . výše uvedených 180o a pod. V této kapitole bude ešen problém nadbyte ných m ení sestavením vhodných podmínek. Studium této úvodní kapitoly zabere asi 25 až 30 hodin. Vyrovnání podmínkových m ení, podmínkové rovnice, odchylkové rovnice, p etvo ené podmínkové rovnice, normální rovnice, koreláty, charakteristiky p esnosti,

- 7 (105) -


V modulu M ické chyby [5] byl stru n vysv tlen pojem nadbyte ná (redundantní) m ení. Existují dva hlavní d vody používání nadbyte ných m ení: • kontrola m ení • zvýšení p esnosti výsledk m ení Opakovan zm ené veli iny mají obvykle vyšší p esnost a veli iny z nich ur ované, mají po spole ném zpracování (vyrovnání) obvykle také vyšší p esnost, než veli iny ur ené jen jednou. P i vyrovnání m žeme rovn ž vypo ítat odhady t chto p esností. Z kontrolních d vod se m í nejen jednotlivé veli iny vícekrát (opakovan ), ale m í se též další veli iny (nap . se zm í v trojúhelníku nadbyte n i t etí úhel, nebo sou et všech t í úhl má být 180o, a pod.). M íme-li veli iny v nadbyte ném po tu (nap . t etí úhel v trojúhelníku) nebude vlivem m ických chyb v jednotlivých nam ených úhlech spln n teoretický vztah, že sou et všech t í úhl má být p esn 180o. Abychom tento nesoulad odstranili, musíme použít n jakou metodu vyrovnání, tj. p i adit k m eným veli inám (t em úhl m) takové t i opravy, aby podmínka 180o byla po jejich zavedení spln na. Uvedeným postupem využívajícím metodu nejmenších tverc se zabývá práv tato kapitola.

2.1

Podstata úlohy, použitá symbolika a postup ešení

V geodetické praxi se asto z opakovaných m ení ur ují hodnoty veli in, které mají spl ovat p edem dané (známé) matematické podmínky. Klasickým p íkladem je již d íve uvedený sou et t í úhl v trojúhelníku. Jiným p íkladem je sou et nivela ních p evýšení v nivela ním po adu, který je vložen mezi dva nivela ní body o známých (zadaných) výškách. Kdybychom veli iny nevyrovnali, dostali bychom nap . p i výpo tu nivela ního po adu r zné výšky, pokud by byly po ítány r znými cestami Cílem vyrovnání podmínkových m ení je ur it opravy vi , o které je t eba opravit nam ené hodnoty li , aby byly p esn spln ny p edem dané matematické podmínky vyplývající z dané úlohy vyrovnání. Sou asn musí být spln na základní podmínka metody nejmenších tverc pv 2 = min , definovaná vztahem (2.9), resp. vztahy (2.7) a (2.8) uvedených v modulu [6]. Nelze jednozna n definovat, která konkrétní m ená veli ina je nadbyte ná (redundantní). Zm íme-li v trojúhelníku všechny t i úhly ( , , ), je jeden z nich nadbyte ný, i když nem žeme konkrétn ur it který z nich. Každý (nadbyte ný) t etí úhel lze totiž vypo ítat z ostatních dvou (nutných) úhl . Kontrolní otázky 2.1: a) Kolik je nutných a kolik nadbyte ných m ení v oboustrann p ipojeném i oboustrann orientovaném polygonovém po adu, když všechny veli iny (úhly a délky s) byly zm eny práv jednou ? Zadané (známé) jsou sou adnice Y, X bod A, B, C a D. Mají se vypo ítat sou adnice bod 1, 2 a 3 . Schema sít je nakresleno na obrázku . 1.

- 8 (105) -


b) Kolik by bylo nadbyte ných m ení, kdybychom zm ili každou veli inu 2x ?

Obrázek 2.1 Schéma polygonového po adu c) Kolik je nadbyte ných m ení v uzav eném nivela ním po adu, tvo eném osmi nivela ními oddíly, ve kterém známe nadmo skou výšku jednoho nivela ního bodu ? d) Kolik je nadbyte ných m ení v uzav eném nivela ním po adu, tvo eném osmi nivela ními oddíly, p i emž žádná nivela ní zna ka nemá známou (zadanou) výšku ? e) Kolik je nadbyte ných m ení v uzav eném nivela ním po adu, tvo eném osmi nivela ními oddíly, ve kterém známe nadmo skou výšku dvou nivela ních bod ? Odpov di 2.1 : a) Celkem bylo zm eno n = 9 veli in (5 úhl a 4 délky s). Nutných veli in je k = 6 (t i nov ur ované body, každý má dv neznámé sou adnice). Nadbyte ných veli in je tedy r = 3. b) n = 2.9 = 18, k = 6, r = 18 – 6 = 12 c) po et nivela ních oddíl (nam ených p evýšení) n = 8 , po et nutných m ení k = 7 je dán po tem nov ur ovaných výšek 7 bod (jedna výška je známa), po et nadbyte ných m ení r = n – k = 1 je shodný s možností vytvo ení jednoho kontrolního sou tu (uzáv ru) všech nam ených p evýšení. d) po et všech m ení, nutných m ení a nadbyte ných m ení bude identický s p edcházející variantou c), nebo lze sestavit jeden kontrolní uzáv r, aniž bychom museli znát výšku n kterého z bod . e) n = 8, k = 6, r = 2. Stanovení po tu nutných a nadbyte ných m ení nemusí být vždy jednoduchou úlohou. P i tvorb projektu (plánu) m ení musíme do n j nezbytn za adit ty veli iny, které jsou nutné ke korektnímu ešení zadaného problému (výpo etní úlohy). Tyto nutné veli iny musí být zm eny minimáln jednou. Samoz ejm m že existovat více kombinací nutných veli in, jejich po et je však v zadané

- 9 (105) -


úloze stejný. V p íkladu v kontrolních otázkách 2.1 lze nap . vypo ítat sou adnice bodu 1, 2, a 3 volným polygonovým po adem orientovaným na bod A. Nutnými veli inami jsou v tomto p ípad t i úhly A, 1 a 2 a t i délky sA1, s12 a s23., tj. k = 6. Jinou variantou je nap . výpo et bod 1 a 2 volným orientovaným po adem z bodu A a výpo et bodu 3 volným orientovaným po adem (rajonem) z bodu C (nutné veli iny A, 1, sA1, s12, C, s3C), tj. op t k = 6. Ostatní m ené veli iny lze považovat za nadbyte né. Z p edcházejícího textu je z ejmé, že rozhodnout jednozna n , zda konkrétní nam ená veli ina je nutná nebo nadbyte ná nemusí být jednoduché. Našt stí t ídit jednotlivé veli iny na nutné a nadbyte né není ve vyrovnávacím po tu ani pot eba. Musíme ale vždy p esn v d t, kolik je veli in nutných a kolik nadbyte ných.

2.1.1

Použitá symbolika

V dalším textu bude používána následující symbolika: n ..............

po et m ení (po et m ených veli in)

k ..............

po et neznámých veli in (po et ur ovaných parametr )

r .............. po et nadbyte ných m ení ( r = n – k ) ~ ~ ~ ~ ~ l .............. vektor pravých hodnot m ených veli in l T = l1 , l2 ,..., ln

(

)

l ..............

vektor m ení (nam ených hodnot)

l T = (l1 , l 2 ,..., l n )

v ..............

vektor oprav

v T = (v1 , v2 ,..., vn )

(

)

l = l + v ..... vektor vyrovnaných m ení

l T = l1 , l 2 ,..., l n

u ............... vektor odchylek

uT = (u1 , u 2 ,..., u r )

k ............... vektor korelát

k T = (k1 , k 2 ,..., k r )

P ...............

matice vah

B ............... matice plánu – matice koeficient p etvo ených podmínkových rovnic N .............. matice koeficient normálních rovnic

Ql l

matice váhových koeficient vyrovnaných m ení

mo

apriorní jednotková st ední chyba

σ o2

apriorní variance

mo

aposteriorní jednotková st ední chyba

σ o2

aposteriorní variance

- 10 (105) -


2.1.2

Postup ešení

P i ešení geodetické úlohy s nadbyte nými veli inami použijeme nej ast ji následující výpo etní postup s využitím tzv. korelátového ešení : 1. Stanovení po tu nadbyte ných m ení a sestavení (p vodních) podmínkových rovnic 2. Sestavení odchylkových rovnic 3. Linearizace úlohy se sestavením p etvo ených podmínkových rovnic 4. Sestavení normálních rovnic pro koreláty 5.

ešení normálních rovnic – výpo et korelát

6. Výpo et oprav a vyrovnaných hodnot pro m ené veli iny 7. Kontrola spln ní podmínkových rovnic 8. Výpo et charakteristik p esnosti Uvedený postup popisuje chronologicky jednotlivé kroky výpo etního algoritmu, jehož cílem je nalezení vyrovnaných hodnot m ených veli in, které již budou p esn spl ovat zadané matematické podmínky které, vlivem m ických chyb, nebyly p ed vyrovnáním p esn spln ny. Po bod 3 tohoto postupu, existuje alternativní postup pomocí p echodu na metodu vyrovnání zprost edkujících m ení: 4. volba neznámých a sestavení rovnic oprav 5. sestavení normálních rovnic pro zvolené neznámé a jejich ešení 6. Výpo et oprav a vyrovnaných hodnot m ených veli iny 7. Kontrola spln ní podmínkových rovnic 8. Výpo et charakteristik p esnosti

2.2

Sestavení podmínkových rovnic

Je-dáno n m ení l1 , l 2 ,..., l n s jejich vahami p1 , p 2 ,..., p n . Pravé hodnoty ~ ~ ~ m ených veli in ozna me l1 , l2 ,..., ln . Každá nadbyte ná veli ina umož uje sestavit jednu podmínkovou rovnici, celkem tedy musíme sestavit r p vodních podmínkových rovnic, ve tvaru:

(~ ~ ~ ~ ϕ b (l1 , l2 ,

ϕ a l1 , l2 ,

(~ ~

ϕ r l1 , l2 ,

) )

~ , ln = 0 , ~ , ln = 0 ,

(2.5)

)

~ , ln = 0 .

- 11 (105) -


Pro odlišení od po adí m ení i = 1, 2, ... , n budeme po adí jednotlivých rovnic ozna ovat písmeny j = a, b, ... , r . Jednotlivé podmínkové rovnice musí být vzájemn nezávislé, to znamená, že není možno žádnou podmínkovou rovnici vypo ítat z ostatních podmínkových rovnic. Rovnice (2.5) lze zapsat v maticovém tvaru

(~ )

ϕ lT =0 ,

(

(2.6)

)

~ ~ ~ ~ kde l T = l1 , l2 ,..., ln je vektor pravých hodnot m ených veli in a symbolem ( . ) je vyjád eno r podmínkových funkcí j ( . ) z rovnic (2.5). Protože pravé hodnoty m ených veli in neznáme, budeme požadovat spln ní t chto vztah pro veli iny vyrovnané, které jsme ozna ili l1 , l 2 ,..., l n . Podmínkové rovnice (2.5) budou tedy platit i pro vyrovnané hodnoty m ených veli in:

( ϕ b (l1 , l 2 ,

ϕ a l1 , l 2 ,

(

ϕ r l1 , l 2 ,

) , ln ) = 0 ,

, ln = 0 , (2.7)

)

, ln = 0 .

V maticové podob budou mít rovnice (2.7) tvar:

ϕ (l T ) = 0 .

(2.8)

Vyrovnané hodnoty li dostaneme tak, že k nam eným hodnotám li p i teme opravy vi , získané v rámci dále popsaného postupu vyrovnání. Rovnice (2.7) lze tedy psát též ve tvaru

ϕ a (l1 + v1 , l 2 + v 2 , ϕ b (l1 + v1 , l 2 + v 2 ,

, l n + vn ) = 0 , , l n + vn ) = 0 ,

ϕ r (l1 + v1 , l 2 + v 2 ,

, l n + vn ) = 0 .

(2.9)

Kontrolní otázka 2.2 V rovinném trojúhelníku byla zm ena jedna strana a všechny t i vnit ní úhly. Kolik bude nutno sestavit podmínkových rovnic a jaký budou mít tvar?

Odpov d 2.2 P edpokládejme, že byly zm eny následující veli iny: délka strany c, úhly , , . Úhly byly zm eny v šedesátinné úhlové mí e, tj. ve stupních.

- 12 (105) -


Rovinný trojúhelník je jednozna n zadán t emi prvky, z nichž alespo jeden je délkový. Protože byly v trojúhelníku zm eny ty i prvky, je jeden z nich nadbyte ný, nebo n = 4, k = 3, r = n – k = 1 a je proto možno sestavit jednu podmínkovou rovnici tvaru (2.5): ~ ~ ϕ a c~,α~, β , γ~ = α~ + β + γ~ − 180 o = 0 .

(

)

Je z ejmé, že podmínkovou rovnici pro sou et t í úhl v trohúhelníku je možno sestavit i bez znalosti kterékoliv délky v tomto trojúhelníku. ešení trojúhelníku bez definované délky by ale nebylo jednozna né.

Kontrolní otázka 2.3 P edpokládejme, že v rovinném trojúhelníku byly tentokrát zm eny všechny prvky, tj. všechny t i úhly a všechny t i délky. Kolik bude p vodních podmínkových rovnic a jaký budou mít tvar?

Odpov d 2.3 n = 6, k = 3, r = n – k = 3. Sestavíme t i podmínkové rovnice, nap . ve tvaru: ~ ~ ~ ϕ a a~, b , c~, α~, β , γ~ ≡ α~ + β + γ~ − 180 o = 0, ~ ~ ~ ~ ϕ b a~, b , c~,α~, β , γ~ ≡ a~ sin β − b sin α~ = 0, ~ ~ ϕ c a~, b , c~, α~, β , γ~ ≡ a~ sin γ~ − c~ sin α~ = 0.

( ( (

) ) )

Zatímco první podmínková rovnice je v lineárním tvaru, ostatní dv jsou nelineární a vznikly ze sinových v t, které platí v rovinném trojúhelníku. Samoz ejm mohly být napsány i v jiné podob , nap . jako kosinovy v ty. P i jejich sestavení musíme dbát na jejich vzájemnou nezávislost.

2.3

Odchylkové a p etvo ené podmínkové rovnice

Dosadíme-li do rovnic (2.5) místo pravých hodnot hodnoty nam ené nebudou tyto podmínky p esn spln ny, nebo v nam ených hodnotách se vyskytují m ické chyby. Na pravé stran rovnic místo nulových hodnot obdržíme n jaké odchylky u , proto budeme takto vzniklé rovnice nazývat odchylkové rovnice :

ϕ a (l1 , l 2 , ϕ b (l1 , l 2 ,

, ln ) = u a ,

, l n ) = ub ,

ϕ r (l1 , l 2 ,

, ln ) = u r .

(2.10)

V maticové podob bude systém odchylkových rovnic mít tvar

ϕ (l T ) = u .

(2.11)

- 13 (105) -


V n kterých p ípadech odchylky u nazýváme uzáv ry, zejména když mají charakter uzáv ru nap . polygonového i nivela ního po adu, uzáv ru trojúhelníku a pod. Úkolem vyrovnání je nyní najít takové opravy vi k nam eným hodnotám li , aby odchylkové rovnice (2.10) p ešly na rovnice (2.9) resp. (2.7), ve kterých podmínky nulových pravých stran jsou již spln ny. Takovýchto ešení je nekone n mnoho, protože po et hledaných oprav (tj. po et m ení n je v tší než po et podmínkových rovnic n > r . P vodní podmínkové rovnice mohou být lineární i nelineární. V dalším postupu musí být linearizovány. K linearizaci využijeme Taylorovy ady s uvážením len pouze 1. ádu. To p edpokládá, že v rovnicích (2.9) budou i opravy malé vzhledem k nam eným hodnotám.

∂ϕ a ∂ϕ v1 + a v 2 + ∂l1 ∂l 2

ϕ a (l1 + v1 , l 2 + v2 ,

, l n + v n ) = ϕ a (l1 , l 2 ,

, ln ) +

ϕ b (l1 + v1 , l 2 + v 2 ,

, l n + v n ) = ϕ a (l1 , l 2 ,

, ln ) +

∂ϕ b ∂ϕ v1 + b v 2 + ∂l1 ∂l 2

+

ϕ r (l1 + v1 , l 2 + v2 ,

, l n + v n ) = ϕ a (l1 , l 2 ,

, ln ) +

∂ϕ r ∂ϕ v1 + r v 2 + ∂l1 ∂l 2

+

+

∂ϕ a vn = 0 , ∂l n

∂ϕ b vn = 0 , ∂l n ∂ϕ r vn = 0 . ∂l n (2.12)

Ozna íme-li parciální derivace ∂ϕ a = ai ∂li

,

∂ϕ b = bi ∂li

,

,

∂ϕ r = ri ∂li

, ( i = 1, 2,

, n)

(2.13)

napíšeme, s uvážením rovnic (2.10), rovnice (2.12) ve tvaru a1v1 + a 2 v 2 + b1v1 + b2 v 2 +

+ an vn + u a = 0 , + bn v n + u b = 0 ,

r1v1 + r2 v 2 +

+ rn v n + u r = 0 .

(2.14)

Rovnice (2.14) nazýváme p etvo ené podmínkové rovnice a m žeme je stru n zapsat:

(av ) + u a

=0 ,

(bv ) + ub = 0

,

,

(rv ) + u r

=0 .

(2.15)

Vytvo me nyní matici koeficient p etvo ených podmínkových rovnic a ozna me ji B. Dále sestavme opravy vi do vektoru oprav v a odchylky uj do vektoru odchylek (uzáv r ) u :

- 14 (105) -


B=

a1

a2

an

b1

b2

bn

r1

r2

rn

v1 , v=

ua

v2

, u=

vn

ub

0 0=

ur

0

(2.16)

.

0

P etvo ené podmínkové rovnice (2.14) budou mít v maticovém zápisu tvar:

Bv + u = 0 .

(2.17)

Matice B se též nazývá matice plánu. Po et jejich ádk je roven po tu podmínkových rovnic r a po et sloupc po tu m ených veli in n . Jejími prvky jsou parciální derivace podmínkových funkcí podle jednotlivých m ení. Kontrolní otázka 2.4 Jakých rozm r bude matice B z p íkladu uvedeném v kontrolní otázce 2.1 a jak budou vypo teny její prvky? Odpov d 2.4 n = 6, r = 3. Matice B bude mít 18 prvk uspo ádaných do 3 ádk a 6 sloupc . Jejími prvky jsou parciální derivace vypo tené podle (2.13) 0 B = sin β sin γ

0

0

1

1

1

− sin α 0

0 − sin α

− b cos α − c cos α

a cos β 0

0 a cos γ

Po dosazení nam ených hodnot do vztah uvedených pro jednotlivé prvky matice a jejich výpo tu je matice ur enai íseln . Obdobn m žeme vypo ítat i vektor odchylek u z odchylkových rovnic. V rovnicích (2.14) známe tedy hodnoty parciálních derivací a hodnoty odchylek. Zatím nejsou známy hodnoty oprav. Po et t chto rovnic je p i vyrovnání (p i nadbyte ných m eních) menší než po et oprav ( r < n ). Kdyby bylo n = r , bylo by v p etvo ených podmínkových rovnicích jen tolik oprav, kolik je rovnic a opravy bychom mohli jednozna n vypo ítat, nebo by se nejednalo o p eur enou úlohu vyrovnání. Protože je oprav obecn více než rovnic, je úloha matematicky neur itá a pro jednozna né ešení p idáme další podmínku pro ur ované opravy, a to podmínku definovanou metodou nejmenších tverc , tj. v T P v = min . Opravy je možno vypo ítat dv ma zp soby: 1.

ešením pomocí tzv. korelát (korelátovým vyrovnáním)

2. p echodem na metodu vyrovnání zprost edkujících m ení Druhému zp sobu, který se používá z ídka, bude v nována až sta 2.11. V dalším se proto budeme podrobn v novat korelátovému vyrovnání.

- 15 (105) -


2.4

Normální rovnice pro koreláty

Pro jednozna né ešení p etvo ených podmínkových rovnic doplníme systém t chto rovnic o další hlavní podmínku MN , kterou musí spl ovat opravy vi . Z matematického hlediska jde o tzv. vázaný extrém, tj. ur ení extrémní hodnoty (minima sou tu tverc oprav) vázaného podmínkami (2.14). V takových p ípadech se používá Lagrangeova postupu, kdy násobíme vedlejší podmínky (2.14) zatím neur enými Lagrangeovými koeficienty, které nazval Gauss koreláty. P esn ji e eno násobíme tyto podmínky koeficienty - 2 kj a p i teme k funkci

Ω=

pv 2 :

pv 2 − 2k a ( av + u a ) − 2k b ( bv + ub ) −

− 2k r ( rv + u r ) = min .

(2.18)

Pro lepší názornost si funkci (2.18) rozepišme Ω = p1v12 + p 2 v 22 + − 2k b (b1v1 + b2 v 2 +

+ p n v n2 − 2k a (a1v1 + a 2 v 2 + + bn v n + u b ) −

+ an vn + u a ) −

− 2k r (r1v1 + r2 v 2 +

+ rn v n + u r ) = min

V maticové podob lze podmínku (2.18) psát ve tvaru (2.19) Ω = v T P v − 2k T ( Bv + u) = min .

(2.19)

Ve vztahu (2.19) se nov vyskytuje vektor korelát k pro který platí

k T = (k a

kb

kr ) .

(2.20)

K ur ení minima funkce (2.18) položíme její parciální derivace podle prom nných vi rovny nule, tj. ∂Ω = 2 p1v1 − 2a1k a − 2b1k b − ∂v1

− 2r1k r = 0

,

∂Ω = 2 p 2 v 2 − 2a 2 k a − 2b2 k b − ∂v 2

− 2r2 k r = 0 ,

∂Ω = 2 p n v n − 2a n k a − 2bn k b − ∂v n

− 2rn k r = 0 .

Z rovnic (2.21) vyjád íme postupn opravy vi pomocí korelát

- 16 (105) -

(2.21)

kj


v1 =

1 1 a1k a + b1k b + p1 p1

v2 =

1 1 a2 k a + b2 k b + p2 p2

+

1 r2 k r p2

,

vn =

1 1 an k a + bn k b + pn pn

+

1 rn k r pn

.

+

1 r1k r p1

,

(2.22)

K ur ení neznámých koeficient (korelát) ka až kr dosadíme opravy z rovnic (2.22) do p etvo ených podmínkových rovnic (2.14). Po dosazení a uspo ádání dostaneme systém rovnic, který se nazývá normální rovnice pro koreláty

( (

(

aa )k a + ( p ba )k a + ( p

ab )k b + p bb )k b + p

ra )k a + ( p

rb )k b + p

+( +(

+(

ar )k r + u a = 0 , p br )k r + ub = 0 , p

(2.23)

rr )k r + u r = 0 . p

Pro zjednodušení zápisu zavedeme místo vah pi jejich reciproké hodnoty (tzv. váhové koeficienty i kofaktory – viz [5]) qi = 1/pi . Dále si uv domíme, že pro sou iny platí komutativní zákon, tj. nap . ba = ab . Obdobn jako p i vyrovnání zprost edkujících použijeme pro vyjád ení sou t tzv. Gaussovy suma ní znaky [6]. Normální rovnice pro koreláty pak p epíšeme do tvaru:

[qaa]k a + [qab]k b + [qab]k a + [qbb]k b +

+ [qar ]k r + u a = 0 , + [qbr ]k r + ub = 0 ,

[qar ]k a + [qbr ]k b +

+ [qrr ]k r + u r = 0 .

(2.24a)

Mají-li všechna m ení stejnou p esnost m žeme ji zvolit za jednotkovou a dosadit za všechny váhy íslo 1, tj. pi = qi = 1 pro všechna i = 1, 2,...., n.

[aa]k a + [ab]kb + [ab]k a + [bb]k b +

+ [ar ]k r + u a = 0 ,

+ [br ]k r + u b = 0 ,

[ar ]k a + [br ]k b +

+ [rr ]k r + u r = 0 .

- 17 (105) -

(2.24b)


Normální rovnice m žeme psát i v maticovém tvaru. Pro jejich odvození zderivujeme maticovou funkci (2.19) a tuto derivaci položíme rovnu nule ∂Ω = 2 Pv − 2 B T k = 0 ∂v a odtud tzv. rovnice oprav (2.22) v maticovém tvaru

v = P −1 B T k .

(2.25a)

V p ípad všech stejn p esných m ení bude rovnice (2.25a) zjednodušena na

v = BT k .

(2.25b)

Po dosazení rovnic (2.25a) do (2.17) dostaneme normální rovnice pro koreláty v maticovém tvaru

BP −1 B T k + u = 0 ,

(2.26a)

který je maticovou podobou klasického zápisu (2.23) i (2.24a). V p ípad stejn p esných m ení p ejde (2.26a) na

BB T k + u = 0 ,

(2.26b)

Ve vzorci (2.26a) ozna me sou in BP −1 B T = N

(2.27a)

a matici N nazv me matici koeficient normálních rovnic pro koreláty.

N=

qaa

qab

qar

qab

qbb

qbr

qar

qbr

qrr

=

[qaa ] [qab] [qab] [qbb]

[qar ] [qbr ]

[qar ] [qbr ]

[qrr ]

.

(2.28a)

V p ípad stejn p esných m ení p ejde rovnice (2.27a) na (2.27b) BB T = N

(2.27b)

a v klasickém zápise (2.28a) na (2.28b)

- 18 (105) -


N=

2.5

aa

ab

ar

ab

bb

br

ar

br

rr

=

[aa] [ab] [ab] [bb]

[ar ] [br ]

[ar ] [br ]

[rr ]

.

(2.28b)

ešení normálních rovnic – výpo et korelát

Systém normálních rovnic (2.23) i (2.24) je lineární systém, který je možno ešit více zp soby. Velmi efektivní jsou zejména elimina ní metody, itera ní metody, ortogonaliza ní metody aj. P i ešení tohoto systému lze s výhodou využít skute nosti, že se jedná o systém symetrický, tzn. že matice koeficient normálních rovnic je maticí symetrickou. S výhodou lze proto použít nap . Choleského metodu – podrobnosti viz. Dodatek A ve 4. kapitole. V dalším budeme nej ast ji používat ešení normálních rovnic pomocí inverzní matice. P i použití matice N m žeme p epsat normální rovnice (2.26) na jednoduchou maticovou rovnici vyjad ující lineární systém rovnic s po tem r neznámých (neznámými veli inami v tomto systému rovnic jsou nov zavedené koeficienty k tzv. koreláty).

N k+u=0 .

(2.29)

Takovýto systém je výhodné ešit nap . s využitím inverzní matice k matici koeficient normálních rovnic N-1. Touto maticí vynásobíme zleva systém rovnic (2.29) a vypo ítáme vektor korelát k

N −1 Nk + N −1u = 0 , k = − N −1u. Po dosazení z rovnice (2.27) m žeme napsat maticovou funkci pro výpo et neznámých korelát k = − (BP −1 B T )−1 u .

(2.30a)

Mají-li všechny m ené veli iny stejnou p esnost bude matice vah jednotková a ze systému ji m žeme vypustit. Vektor korelát se pak vypo ítá ze zjednodušeného vztahu: k = − ( B B T ) −1 u .

(2.30b)

Koreláty jsou jen pomocné koeficienty, které nemají samostatné uplatn ní ve vyrovnání. Tvo í jen mezivýsledek a jsou p i tomto postupu použity p i výpo tu oprav.

- 19 (105) -


2.6

Výpo et oprav a vyrovnaných m ení

2.6.1

Výpo et oprav

Známe-li koreláty kj , m žeme je dosadit do rovnic oprav (2.22). Pokud pracujeme místo vah s váhovými koeficienty p ejdou rovnice (2.22) na tvar:

v1 = q1 (a1 k a + b1 k b +

+ r1 k r )

,

v 2 = q 2 (a 2 k a + b2 k b +

+ r2 k r ) ,

v n = q n ( a n k a + bn k b +

+ rn k r ) ,

(2.31a)

respektive

v1 = a1 k a + b1 k b +

+ r1 k r

,

v 2 = a 2 k a + b2 k b +

+ r2 k r

v n = a n k a + bn k b +

+ rn k ,

,

(2.31b)

v p ípad stejných vah. V maticové podob jsou rovnice oprav vyjád eny maticovou rovnicí (2.25a) (2.25b). Dosadíme-li do vztahu (2.25a) rovnici (2.30a) m žeme vypo ítat vektor oprav podle

(

v = − P −1 B T B P −1 B T

)−1 u

.

(2.32a)

Rovnice (2.32a) v sob zahrnuje hlavní ást výpo etního postupu, kdy p i znalosti vstupních hodnot vyjád ených maticí plánu B , maticí vah P a vektorem odchylek u získáme p ímo vektor oprav v k m eným veli inám l . V p ípad stejných vah p ejde (2.32a) na (2.32b)

(

v = −BT B BT

)−1 u

.

(2.32b)

Rovnici (2.32b) jsme získali dosazením (2.25b) do (2.30b) nebo vypušt ním inverzní matice k matici vah z rovnice (2.32a).

2.6.2

Výpo et vyrovnaných m ení

Se teme-li vektor v s vektorem m ených hodnot l obržíme vektor vyrovnaných m ení (vektor vyrovnaných hodnot m ených veli in) l .

- 20 (105) -


l =l +v

,

(2.33)

nebo v rozepsaném tvaru

l1 l2

=

ln

l1 l2

+

ln

v1 v2

, i

vn

l1 = l1 + v1

,

l2 = l2 + v2

,

l n = l n + vn

.

(2.34)

Pokud nás nezajímá výpo et charakteristik p esnosti, mohli bychom po záv re né kontrole dosazením vyrovnaných m ení do podmínkových rovnic výpo et ukon it. Získali jsme totiž vyrovnané hodnoty, které již spl ují zadané matematické (geometrické) podmínky, tj. nap . že vyrovnané úhly v trojúhelníku již dávají p i jejich sou tu p esn 180o.

2.7

Kontroly

V pr b hu výpo tu je vhodné provád t nezbytné kontroly. Typ a rozsah kontrolních výpo t záleží na tom, jaké výpo etní pom cky byly p i ešení použity (kalkulátor, tabulkový procesor apod.). V plném rozsahu jsou vstupní veli iny, tj. matice plánu B a vektor u kontrolovány záv re nou kontrolou dosazením vyrovnaných hodnot m ených veli in do p vodních podmínkových rovnic. a) V p ípad ru ního výpo tu je vhodné kontrolovat již sestavení p etvo ených podmínkových rovnic, které m žeme kontrolovat ihned po linearizaci podmínkových rovnic (tj. po výpo tu parciálních derivací). Tato kontrola spo ívá v následujícím postupu: 1. všechny nam ené veli iny zv tšíme o jednotku v ádech po ítaných oprav

l1 = l1 + 1 , l 2 = l 2 + 1 ,

, ln = ln + 1 .

2. vypo ítáme odchylky (uzáv ry) w s takto zm n nými hodnotami

ϕ a (l1 , l 2 ,

)

, l n = wa

(

, ϕ b l1 , l 2 ,

3. porovnáme p vodní uzáv ry p i emž by m lo platit:

wa = u a +

a , wb = u b +

)

, l n = wb

,

(

, ϕ r l1 , l 2 ,

)

, l n = wr

u s nov vypo ítanými uzáv ry w ,

b ,

, wr = u r +

r .

(2.35)

b) Kontrola koeficient normálních rovnic p i ru ním výpo tu je velmi vhodným opat ením proti numerické chyb p i jejich sestavování. K tomuto ú elu vypo teme pomocné koeficienty s1 , s2 , ... , sn podle: - 21 (105) -

.


si = −(ai + bi +

+ ri ) , i = 1, 2,

,n .

Spole n s koeficienty normálních rovnic vypo teme sou tové leny i pro kontrolní koeficienty si . Kontrolní vztahy pak budou mít tvar:

qaa + qab +

qab + qbb +

+ +

qar + qbr +

qas = 0 , qbs = 0 ,

qar +

qbr +

+

qrr +

qrs = 0 .

(2.36)

Kontrola ešení normálních rovnic, výpo tu korelát a výpo tu oprav. c) Kontroly postupu ešení lineárního systému normálních rovnic p i ešení Gaussovou elimina ní metodou jsou velmi podrobn popsány ve v tšin u ebnic vyrovnávacího po tu. Zde je již nebudeme uvád t, protože se v sou asnosti používá ru ní výpo et neznámých ze systém lineárních rovnic jen velmi z ídka a pro velmi malý po et neznámých. Použijeme-li p i výpo tu postup, jehož výsledkem je inverzní matice k matici normálních rovnic m žeme se o správnosti jejího výpo tu p esv d it nap . jejím vynásobením s p vodní maticí normálních rovnic, nebo výsledkem t chto sou in je jednotková matice

NN −1 = N −1 N = I

.

Výpo et korelát a výpo et oprav m žeme zkontrolovat pomocí tzv. Sigmových zkoušek: Σ I = −uT k = − k T u , Σ III =

v T P v , kdy Σ I = Σ III

(2.37)

Další podrobnosti lze nalézt v u ebnicích [2] a [4] a mnoha dalších. d) Nejd ležit jší kontrolou je záv re ná kontrola dosazením vyrovnaných hodnot m ených veli in do p vodních podmínkových rovnic! – viz. (2.7).

( ϕ b (l1 , l 2 ,

ϕ a l1 , l 2 ,

(

ϕ r l1 , l 2 ,

) , ln ) = 0 ,

, ln = 0 ,

)

, ln = 0 .

Tato kontrola musí být spln na až na p ípadné chyby ze zaokrouhlení, které p i rozsáhlejších výpo tech mohou dosáhnout signifikatních hodnot. Jisté diference mohou být zp sobeny i zanedbáním len druhých a vyšších ád p i linearizaci Taylorovým rozvojem. Tato záv re ná kontrola bohužel nekontroluje špatné sestavení podmínkových rovnic, kterým musíme proto již od po átku v novat mimo ádnou pozornost.

- 22 (105) -


2.8

P íklady

V této stati budou uvedeny dva vzorové p íklady, z nichž první již byl ešen vyrovnáním zprost edkujících m ení. Protože metoda vyrovnání podmínkových m ení vychází ze stejných princip , tj. z metody nejmenších tverc , musí ob metody dát identické výsledky, proto i zadání prvního p íkladu je identické s p íkladem uvedeným ve vyrovnání zprost edkujících m ení viz. modul [6].

2.8.1

Vyrovnání délek

Jako první vzorový p íklad použijeme p íklad 4.2 z modulu [6], kde byl tento p íklad ešen metodou vyrovnání zprost edkujících m ení.

P íklad 2.1 Zadání:

Pro kontrolu dálkom r byla vybudována testovací základna, tvo ená ty mi body A, B, C, a D, p ibližn stejn vzdálenými jeden od druhého (viz obr. 4.1). Každý testovaný p ístroj má za úkol zm it všech šest v úvahu p icházejících délek (l1, l2, ... , l6) a jejich vyrovnáním ur it t i délky x, y, z mezi jednotlivými body AB, BC, CD. Testovaným dálkom rem byly nam eny následující hodnoty vodorovných délek v metrech: l1 [m]

l2 [m]

l3 [m]

l4 [m]

l5 [m]

l6 [m]

140,211

150,035

159,816

290,245

309,845

450,052

Dále p edpokládejme, že všechny nam ené hodnoty byly ur eny se stejnou p esností.

Obrázek 2.1: Schéma m ených veli in na testovací základn a) Ur ení po tu nadbyte ných m ení (po tu podmínkových rovnic):

Po et m ení n = 6, po et nutných m ení k = 3, po et nadbyte ných m ení r = n – k = 6 – 3 = 3. Po et nadbyte ných m ení je roven po tu podmínkových rovnic. Pro porovnání s vyrovnáním metodou zprost edkujících m ení bylo v obrázku ponecháno zna ení neznámých veli in x, y, z.

- 23 (105) -


b) Sestavení podmínkových rovnic:

Z více možností sestavení t í vzájemn nezávislých podmínkových rovnic vybereme nap íklad: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ϕ a ( l1 , l2 , l3 , l4 , l5 , l6 ) ≡ l1 + l2 − l4 = 0 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ϕ b ( l1 , l2 , l3 , l4 , l5 , l6 ) ≡ l2 + l3 − l5 = 0 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ϕ a ( l1 , l2 , l3 , l4 , l5 , l6 ) ≡ l1 + l2 + l3 − l6 = 0 . c) Sestavení odchylkových rovnic a výpo et odchylek

Odchylkové rovnice podmínkových rovnic:

získáme

dosazením

nam ených

hodnot

do

l1 + l2 – l4

=140,211 + 150, 035 – 290,245

= + 0,001 m ,

l2 + l3 – l5

= 150,035 + 159, 816 – 309,845

= + 0,006 m ,

l1 + l2 + l3 – l6 =140,211 + 150,035 + 159,816 – 450,052 = + 0,010 m . íselné údaje na pravé stran rovnic jsou odchylky (uzáv ry) a m žeme z nich sestavit vektor uzáv r : + 0,001

u1

u = u 2 = + 0,006 . u3 + 0,010 d) Sestavení p etvo ených podmínkových rovnic

Koeficienty p etvo ených podmínkových rovnic jsou parciální derivace podmínkových rovnic podle jednotlivých m ených veli in a1 = + 1,

a2 = + 1,

a3 =

0,

a4 = – 1,

a5 = 0,

a6 = 0 ,

b1 =

0,

b2 = + 1,

b3 = + 1,

b4 = 0,

b5 = – 1,

b6 = 0 ,

c1 = + 1,

c2 = + 1,

c3 = + 1,

c4 = 0,

c5 = 0,

c6 = – 1 .

P etvo ené podmínkové rovnice v klasické podob vypadají následovn : + 1v1 + 1v2 + 0v3 – 1v4 + 0v5 + 0v6 + 0,001 = 0 , + 0v1 + 1v2 + 1v3 + 0v4 – 1v5 + 0v6 + 0,006 = 0 , + 1v1 + 1v2 + 1v3 + 0v4 + 0v5 – 1v6 + 0,010 = 0 . V maticové podob potom Bv + u = 0

,

kde

v1 +1 +1 B=

0

0 +1 +1 +1 +1 +1

−1

0

0 0

−1 0 0 −1

v2

0 , v=

v3 v4 v5 v6

- 24 (105) -

+ 0,001 , u = + 0,006 + 0,010

.


e) Sestavení normálních rovnic pro koreláty Protože jsou všechna m ení stejn p esná (viz. zadání), m žeme jim p isoudit stejné váhy, nejlépe rovny jedni ce. p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1 . Pokud bychom p ece jen cht li sestavit matici vah, byla by to jednotková matice:

P=

p1

0

0

0

0

0

1 0 0 0 0 0

0

p2

0

0

0

0

0 1 0 0 0 0

0

0

p3

0

0

0

0 0

0 0

0 0

p4 0

0 p5

0 0

0

0

0

0

0

p6

=

0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

=I .

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

Inverzní matice P-1 , která má na diagonále reciproké váhy bude v tomto p ípad rovn ž maticí jednotkovou:

1 p 1

P

−1

=

0

0

0

0

0

0

1 p 2

0

0

0

0

0

0

1 p 3

0

0

0

0

0

0

1 p 4

0

0

0

0

0

0

1 p 5

0

0

0

0

0

0

q1 0 0 = 0 0 0

0 q2 0 0 0 0

0 0 q3 0 0 0

0 0 0 q4 0 0

0 0 0 0 q5 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 q6 0 0 0

1 p 6

Protože se jedná o jednotkové matice, nebudeme váhy v dalším výpo tu uvád t. Dále vypo ítáme koeficienty normálních rovnic pro koreláty tak, že vypo teme jednotlivé suma ní leny podle (2.24b) Normální rovnice tedy budou: + 3 ka + 1 kb + 2 kc + 0,001 = 0 , + 1 ka + 3 kb + 2 kc + 0,006 = 0 , + 2 ka + 2 kb + 4 kc + 0,010 = 0 . V maticové podob :

BP −1 B T k + u = BB T k + u = Nk + u = 0 ,

- 25 (105) -

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 =I 0 0 1


kde matice koeficient normálních rovnic N bude: +1 +3

+1 + 2

ka

0

N = +1 + 3 + 2

a k = kb kc

, 0= 0

+2 +2 +4

0

+1

+1 +1 +1 , BT =

0

0

+1 +1

−1

0

0

0

−1

0

0

0

−1

f) Výpo et korelát = ešení normálních rovnic Libovolnou metodou pro ešení systému t í lineárních rovnic pro t i neznámé nyní vypo teme z normálních rovnic neznámé parametry ili koreláty. ka = +0,00200 ; kb = – 0,00050 ; kc = – 0,00325 . Pokud budeme pracovat s maticemi musíme nejprve vypo ítat inverzní matici N -1 k matici N . K výpo tu použijeme vhodný výpo etní program, kterým bývá vybavena v tšina tabulkových procesor nebo matematických po íta ových knihoven. N

−1

0,5 =

− 0,25

0

0 0,5 − 0,25 − 0,25 − 0,25 0,5

.

O správném výpo tu inverzní matice se m žeme p esv d it jejím vynásobením s p vodní maticí, výsledkem sou inu obou matic musí být matice jednotková, nebo platí: NN-1 = N-1N = I

.

Koreláty vypo teme z rovnice k = – N-1u + 0,00200 k = − 0,00050 − 0,00325

.

g) Výpo et oprav Výpo et provedeme pro n které opravy klasicky v1 = a1k a + b1k b +

+ r1k r = +1k a + 0k b + 1k c = −0,00125m ,

v 2 = a 2 k a + b2 k b +

+ r2 k r = +1k a + 1k b + 1k c = −0,00175m ,

v6 = a6 k a + b6 k b +

+ r6 k r = +0k a + 0k b − 1k c = +0,00325m .

a pro všechny opravy maticov :

- 26 (105) -

.


v = BT k =

1

0

1

1

1

1

0

1

1

−1

0

0

0

−1

0

0

0

−1

− 0,00125 + 0,00200 − 0,00050 = − 0,00325

− 0,00175 − 0,00375 − 0,00200

v metrech.

+ 0,00050 + 0,00325

h) Výpo et vyrovnaných m ení Opravy p i teme k m eným veli inám a dostaneme vyrovnané hodnoty m ených veli in

l1 l2 l3

v1 v2 v3

140,20975 150,03325 l2 l3 159,81225 , v metrech . = + = l4 v4 290,24000 l4 l5 v5 309,84550 l5 l6 v6 450,05525 l6 l1

Po kontrole spln ní podmínkových rovnic výsledky vhodn zaokrouhlíme, v tomto p ípad na milimetry. Velikost zaokrouhlení je dána p esností m ení o jejímž výpo tu bude pojednáno pozd ji. i)

Kontrola spln ní podmínkových rovnic

Vyrovnané hodnoty m ených veli in dosadíme do p vodních podmínkových rovnic a p esv d íme se o spln ní stanovených podmínek: l1 + l 2 − l 4 l 2 + l3 − l5

= 140,20975 + 150,03325 − 290,24300

= 0,00000 ,

= 150,03325 + 159,81225 − 309,84550

= 0,00000 ,

l1 + l 2 + l3 − l 6 = 140,20975 + 150,03325 + 159,81225 − 450,05525 = 0,00000 . Další postup ve výpo tu tohoto p íkladu bude uveden ve stati 2.10.

2.8.2

Vyrovnání nivela ní sít

P íklad 2.2 Na obrázku 2.2 je nakreslena schématicky malá nivela ní sí tvo ená 4 body, ve které byla zm ena nivela ní p evýšení mezi všemi body navzájem. Celkem tedy bylo zm eno 6 p evýšení (výškových rozdíl ) l1 , l2 , ... , l6 metodou geometrické nivelace ze st edu. Šipky na obrázku ozna ují sm r stoupání jednotlivých p evýšení. V p íkladu bude vysv tlen jen postup a nebudou v n m proto uvád ny konkrétní íselné hodnoty nam ených výškových rozdíl .

- 27 (105) -


l2

l1

l6

l5

l3

l4 Obrázek 2.2 Schéma nivela ní sít a) Ur ení po tu nadbyte ných m ení = po tu podmínkových rovnic: K ur ení vzájemné výškové polohy sta í ur it 3 výškové rozdíly. Protože celkem bylo zm eno 6 výškových rozdíl , jsou 3 z nich nadbyte né. Po et všech m ení n = 6, po et nutných m ení k = 3, po et nadbyte ných m ení r = n – k = 3 . b) Sestavení podmínkových rovnic Každé nadbyte né m ení umož uje sestavit jednu podmínkovou rovnici. Musíme tedy sestavit 3 podmínkové rovnice podle zásady, že v uzav eném nivela ním po adu musí být sou et p evýšení roven nule. ~ ~ ~ l1 + l2 − l5 = l1 + l 2 − l5 = 0 , ~ ~ ~ l5 − l3 − l4 = l5 − l3 − l 4 = 0 , ~ ~ ~ l1 + l6 − l4 = l1 + l 6 − l 4 = 0 . c) Sestavení odchylkových rovnic a výpo et odchylek l1 + l 2 − l5 = u a

,

l5 − l3 − l 4 = u b , l1 + l6 − l 4 = u c . d) Sestavení p etvo ených podmínkových rovnic 1v1 + 1v 2 + 0v3 + 0v 4 − 1v5 + 0v6 + u a = 0 , 0v1 + 0v 2 − 1v3 − 1v 4 + 1v5 + 0v6 + u b = 0 , 1v1 + 0v 2 + 0v3 − 1v 4 + 0v5 + 1v6 + u c = 0 .

- 28 (105) -


e) Sestavení normálních rovnic pro koreláty + 3k a − 1k b + 1k c + u a = 0 , − 1k a + 3k b + 1k c + u b = 0 , + 1k a + 1k b + 3k c + u c = 0 . Další postup spo ívá v ešení normálních rovnic, tj. ve výpo tu neznámých korelát, následném výpo tu oprav a vyrovnaných m ení. Jejich dosazením do podmínkových rovnic ov íme spln ní zadaných matematických podmínek. íseln je p íklad ešen v 3. kapitole.

Kontrolní otázka 2.5 Co si myslíte že se stane p i vyrovnání podmínkových m ení, když zavedeme mén podmínkových rovnic, než je jejich stanovený po et? Kontrolní otázka 2.6 Co si myslíte že se stane p i vyrovnání podmínkových m ení, když zavedeme více podmínkových rovnic, než je jejich stanovený po et? Pokuste se sestavit v obou vzorových p íkladech jiné(nebo další) podmínky než byly v p íkladech použity. Kontrolní otázka 2.7 Jak ur ím výšky bod v p íkladu 2.2, když nebyla žádná výška zadána? Kontrolní otázka 2.8 Zm ní se po et podmínkových rovnic v p íkladu 2.2, když budeme znát výšku jednoho bodu, p ípadn dvou bod v uvedené nivela ní síti? Odpov di na uvedené otázky jsou uvedeny v klí i

2.9

Výpo et charakteristik p esnosti

Obdobn jako p i vyrovnání zprost edkujícíh m ení tvo í výpo ty charakteristik p esnosti významnou ást výpo etního postupu, nebo nám umož ují posoudit p esnost výsledk vyrovnání, p ípadn p esnost funkcí vyrovnaných veli in (vyrovnaných m ení).

2.9.1

Jednotková st ední chyba po vyrovnání (aposteriorní)

M ené veli iny li vstoupily do vyrovnání s apriorní p esností vyjád enou bu sm rodatnými odchylkami nebo základními st edními chybami mi . i Slovem apriorní zde rozumíme „ur eny p ed vyrovnáním“ a slovem aposteriorní „ur eny v rámci vyrovnání“. Tyto veli iny m žeme sestavit do p íslušných kovarian ních matic. V mnoha p ípadech se p esnost m ených

- 29 (105) -


veli in vyjad uje vahami pi . Mezi charakteristikami p esnosti a váhami platí vztahy vyplývající z definice váhy, kdy se do výpo tu vah zavádí vhodná konstanta o2 - apriorní jednotková varianci, i mo2 - apriorní úplná variance. Váhy pi , respektive váhové koeficienty qi vypo ítáme podle známých vztah , definovaných již v p edcházejícím modulu [5]. pi =

σ o2

,

σ i2

pi =

mo2

, resp. qi =

mi2

σ i2 σ o2

, qi =

mi2

.

mo2

P ipome me, že váhový koeficient qi je vlastn reciproká váha. V mnoha praktických aplikacích se váhy m ených veli in stanoví jiným zp sobem, nap . z délky nivela ních oddíl , po tu m ených skupin apod. Variance (v p ípad korelovaných veli in i kovariance) m žeme sestavit do kovarin ní matice ( nebo C ) , váhy do váhové matice P a váhové koeficienty (kofaktory) do kofaktorové matice Q. Mezi t mito maticemi platí již d íve uvedené vztahy

= σ o2 P −1 = σ o2 Q , P = Q −1 . Abychom rozlišili kovarian ní a další uvedené matice pro m ené veli iny od kovarian ních a dalších matic pro vyrovnané veli iny, doplníme v tomto textu tyto matice p íslušnými indexy. Protože jsou tyto matice tvercové, budou indexy p íslušn zdvojeny. Pro vyjád ení apriorní p esnosti m ených veli in ozna ení: ll

li

budeme používat

- apriorní kovarian ní matici m ených veli in,

Qll - apriorní matice váhových koeficient (kofaktor ). Z vyrovnání jsme obdržely opravy k m eným veli inám, které svojí velikostí jsou významným zdrojem informace o p esnosti m ení. Velké opravy sv d í o v tším rozptylu m ených hodnot, než opravy malé. Pro výpo et odhadu této p esnosti z oprav vypo teme aposteriorní jednotkovou varianci σ o2 podle

σ o2 = σ o2 =

pv 2 = n−k v2 = n−k

pv 2 r v2 r

,

(2.38a)

.

(2.38b)

Vzorec (2.38b) se používá v p ípad stejné p esnosti m ených veli in (pi = 1). Jednotkovou st ední chybu(aposteriorní) vypo teme podle obdobných vztah : mo = mo =

pv 2 = n−k v2 = n−k

pv 2 r

.

(2.39)

v2 r

- 30 (105) -


V maticové podob budou vzorce (2.38) vyjád eny:

σ o2

vT P v vT P v kT u = = =− n−k r r

σ o2

vT v vT v = = n−k r

,

(2.40)

a vzorce (2.39) mo = mo =

vT P v = n−k T

v v = n−k

vT P v r v

T

.

(2.41)

v

r

Vztahy bez matice vah P platí pro stejn p esná m ení. V uvedených vzorcích je sou et tverc oprav d len íslem r , tj. po tem nadbyte ných m ení, což je po et podmínkových rovnic. V statistické terminologii se vlastn jedná o po et stup volnosti. Aposteriorní jednotková variance nebo aposteriorní jednotková st ední chyba jsou (na rozdíl od jejich apriorních hodnot) náhodné veli iny. Obecn lze p edpokládat, že s v tším po tem nadbyte ných veli in budou tyto aposteriorní hodnoty ur eny spolehliv ji. Pokud nebyla m ení zatížena hrubými chybami nebo omyly a p edpokládáme normální rozd lení m ických chyb, pak

pro n → ∞ bude σ o2 → σ o2

(2.42)

Problematice testování apriorní a aposteriorní jednotkové variance bude v nována samostatná sta v dalším studijním modulu. Pokud je takovýmto testem prokázáno, že nebyla nedodržena p edpokládaná apriorní p esnost, budeme v další výpo tech charakteristik p esností používat apriorní jednotkovou varianci ( i apriorní jednotkovou st ední chybu). Pokud se aposteriorní jednotková variance statisticky významn liší od apriorní hodnoty a po et m ení je dostate n velký, lze v dalších výpo tech používat aposteriorní hodnotu. V každém p ípad je ale vhodné zabývat se p í inami tohoto rozdílu. V p ípadech, kdy byly použity p ímo váhy m ených veli in bez znalosti apriorní p esnosti m ení (nap . váhy jako délky nivela ních oddíl ) je použití aposteriorních hodnot velmi cennou informací o p esnosti použité metody nebo použitých metod.

- 31 (105) -


2.9.2

St ední chyby m ených veli in (aposteriorní)

Dojde-li k rozhodnutí dále používat aposteriorní odhad jednotkové variance, m žeme vypo ítat aposteriorní p esnosti m ených veli in podle

σ li =

σo pi

= σ o qi

, ml i =

mo pi

= mo qi

.

(2.43)

P i maticovém vyjád ení nalezneme kvadráty t chto hodnot na diagonále p íslušných kovarian ních matic:

σ l2

0

1

C ll = σ o2 P −1 = σ o2 Q =

ll

= mo2 P −1 = mo2 Q =

σ

0

2 l2

0 0

,

(2.44)

.

(2.45)

σ l2

0

0

ml21 0

0 ml22

0 0

0

0

ml2n

n

V p ípad , že matice Q nejsou jen diagonální (p i závislých m eních), budou výsledné kovarian ní matice ve vztazích (2.44) a (2.45) maticemi plnými.

2.9.3

St ední chyby vyrovnaných veli in

Odvození matice váhových koeficient Ql l vyrovnaných m ených veli in li vychází ze zákona hromad ní váhových koeficient (odvozeného v modulu [5]). Tento zákon umož uje vypo ítat matici váhových koeficient funk ních hodnot, známe-li matici váhových koeficient vstupních veli in. Pro y = H x

a Qxx

Qyy = H Qxx HT .

bude

Nejprve si odvodíme funk ní vztah mezi opravami a m enými veli inami. Pro jeho odvození vyjdeme ze vztahu (2.17)

Bv + u = 0

(

,

)

u = − Bv = − B l − l = Bl nebo

(2.46)

,

Bl = 0 .

V dalším využijeme vztahu (2.32a) ve kterém ozna íme inverzní matici vah P-1 pro m ené veli iny jejich maticí váhových koeficient Qll :

(

v = −Qll B T B Qll B T

)−1 u .

(2.47)

- 32 (105) -


Dosazením (2.46) do (2.47) obdržíme p ímý vztah mezi opravami a m enými veli inami, který bývá n kdy využíván ke studiu vlivu p sobení chyby v n které m ené veli in na jednotlivé opravy, tj. vlastn na vyrovnané veli iny.

(

v = −Qll B T B Qll B T

)−1 B l = H l

.

(2.48)

Nejprve si odvodíme matici váhových koeficient oprav

Qvv = HQll H T

(

)−1 B) Q (−Qll BT (B Qll BT )−1 B)T −1 −1 = Qll B T (B Qll B T ) B Q B T (B Qll B T ) BQll −1 = Qll B T (B Qll B T ) BQll . = (−Qll B T B Qll B T

Výraz v závorce je matice koeficient normálních rovnic pro koreláty (2.27a). Matici kofaktor oprav v lze pak psát:

Qvv = Qll B T N −1 B Qll

.

(2.49a)

P i stejn p esných m eních

(

Qvv = B T N −1 B = B T B B T

)−1 B

.

(2.49b)

Matice kofaktor oprav se využívá p i testování velikosti jednotlivých oprav. Tento zp sob testování bude objasn n až v dalším modulu. Tato matice bude nyní využita pro záv re né odvození matice kofaktor vyrovnaných hodnot m ených veli in.

(

)

l = l + v = I − Qll B T N −1 B l ,

(2.50a)

kde I je jednotková matice. P i stejn p esných m eních bude vztah (2.50a) vyjád en bez matice kofaktor

(

l = l + v = I − BT B BT

)−1 B

l ,

(2.50b)

- 33 (105) -


Matice kofaktor vyrovnaných hodnot m ených veli in l tedy bude

Ql l = ( I − Qll B T N −1 B ) Qll ( I − Qll B T N −1 B )T = (Qll − Qll B T N −1 BQll )( I − B T N −1 BQll ) = Qll − Qll B T N −1 BQll − Qll B T N −1 BQll + Qll B T N −1 BQll B T N −1 BQll = Qll − Qll B T N −1 BQll − Qll B T N −1 BQll + Qll B T N −1 NN −1 BQll = Qll − Qll B T N −1 BQll

.

Ql l = Qll − Qvv = ( I − Qll B T N −1 B)Qll

.

(2.51a)

A pro p ípad stejn p esných m ení Ql l = Qll − Qvv = I − B T ( B B T ) −1 B .

(2.51b)

Jak matice kofaktor oprav, tak i matice kofaktor vyrovnaných m ení jsou matice symetrické a obvykle plné tzn., že mívají obsazeny i nediagonální prvky. Ql l 11 Ql l

2 1

Ql l 1 2 Ql l

2 2

Ql l 1 n Ql l

Ql l n 1

Ql l n 2

Ql l n n

2 n

Ql1l1

=

Ql1l 2

Ql1l n

Ql 2 l1

Ql 2 l 2

Ql 2 l n

Ql n l1

Ql n l 2

Ql n l n

Qv1v1

−

Qv1v 2

Qv 2 v1

Qv 2 v 2

Qv 2 v n

Qv n v1

Qv n v 2

Qv n v n

St ední chyby oprav, resp. sm rodatné odchylky oprav získáme vynásobením jednotkové st ední chyby (sm rodatné odchylky) odmocninou z p íslušného diagonálního prvku kofaktorové matice oprav mvi = mo Qvi vi

, σ vi = σ o Qvi vi

.

(2.52)

Stejným zp sobem ur íme i st ední chyby vyrovnaných m ení, resp. sm rodatné odchylky vyrovnaných m ení: ml = mo Ql l i i i

, σ l = σ o Ql l i i i

.

(2.53)

Pokud použijeme p i výpo tu st edních chyb i sm rodatných odchylek aposteriorní odhady, nahradíme ve vzorcích (2.52) a (2.53) apriorní hodnoty mo a σ o hodnotami mo a σ o . P íslušné kovarian ní matice získáme obdobn Kovarian ní matice oprav bude pro apriorní jednotkovou varianci ozna ena vv a pro její aposteriorní odhad

C vv . Pro st ední chyby (úplné variance) budou matice dopln ny pruhem:

- 34 (105) -

Qv1v n


2 vv = σ o Qvv C vv = σ o2 Qvv

, ,

2 vv = mo Qvv , C vv = mo2 Qvv .

(2.54)

Kovarian ní matice vyrovnaných hodnot m ených veli in se vypo tou obdobn ll

= σ o2 Ql l

C l l = σ o2

Ql l

,

ll

= mo2 Ql l

, Cl l =

mo2

Ql l

,

(2.55)

.

Na diagonále p íslušných matic se nacházejí variance nebo tverce st edních chyb. Na mimodiagonálních prvcích p íslušné kovariance. Struktura t chto matic je stejná jako u matic (2.44) nebo (2.45), ale jejich prvky se týkají tentokrát vyrovnaných m ení.

2.9.4

St ední chyby funkcí vyrovnaných m ení

U vyrovnání podmínkových m ení jsou hlavním výsledkem vyrovnání hodnoty vyrovnaných m ení (nap íklad vyrovnaná p evýšení v nivela ní síti – viz. p íklad 2.1 ve stati 2.8.2 ). Tyto hodnoty obvykle vstupují do dalších výpo etních vztah . V uvedené nivela ní síti bude nutno vypo ítat výšky bod . Budeme-li znát (nebo zvolíme-li) výšku jednoho bodu, lze ostatní výšky vypo ítat jako funkci jednoho nebo více vyrovnaných p evýšení. Protože vyrovnané hodnoty nelze již pokládat za vzájemn nezávislé, nebo prošly spole ným vyrovnáním, není možno použít zákony hromad ní chyb pro nezávislé veli iny. P i odvozování matice kofaktor pro funk ní hodnoty použijeme stejný postup jako p i odvození st edních chyb vyrovnaných m ení. Pro jednoduchost uvažujme pouze dv lineární funkce n vyrovnaných m ení

y1 = f (l1 , l 2 ,

, l n ) = f1 l1 + f 2 l 2 +

+ f n ln

y 2 = g (l1 , l 2 ,

, l n ) = g1 l1 + g 2 l 2 +

+ g n ln

.

Tyto funkce lze zapsat v maticovém tvaru

f y1 = 1 g1 y2

f2 g2

fn gn

l1 l2

, nebo též

y=F l .

(2.56)

ln Dále p edpokládejme, že známe charakteristiky p esnosti vyrovnaných m ení vyjád ené nap . kovarian ní matici l l nebo maticí váhových koeficient

Ql l . Obdobn jako ve stati 2.9.3 aplikujeme na funkci (2.56) zákon hromad ní

váhových koeficient vyrovnaných m ení:

ímž získáme matici kofaktor

- 35 (105) -

funk ních hodnot


Q ff = Q yy = F Ql l F T .

(2.57)

bude mít matice Q ff dva sloupce a dva ádky. Na její diagonále se budou nacházet kofaktory p íslušných funk ních hodnot. V tomto p ípad

Q ff =

Q ff

Q fg

Q gf

Q gg

=

Q y1 y1 Q y 2 y1

Q y1 y 2 Q y2 y2

.

Sm rodatné odchylky (st ední chyby) funk ních hodnot se vypo tou známým zp sobem s využitím bu apriorních nebo aposteriorních jednotkových hodnot (sm rodatných odchylek, st edních chyb):

σ y1 = σ o Q y1 y1

, σ y2 = σ o Qy2 y2

σ y1 = σ o Q y1 y1

, σ y2 = σ o Qy2 y2

m y1 = mo Q y1 y1

, m y1 = mo Q y1 y1

m y1 = mo Q y1 y1

, m y1 = mo Q y1 y1

(2.58)

Obdobn je možno ur it p íslušné kovarian ní matice funkcí vyrovnaných veli in 2 ff = σ o Q ff

C ff = σ o2 Q ff

,

2 ff = mo Q ff

, C l l = mo2 Q ff

,

(2.59)

.

P i odvození jsme p edpokládali, že ob uvedené funkce jsou lineární. Pokud by lineární nebyly, bylo by nutno je linearizovat standardním postupem použitým již d íve, tj. jejich rozvojem do Taylorovy ady se zanedbáním derivací vyšších ád . Maticí F ve vytahu (2.57) pak bude matice p íslušných parciálních derivací, což lze zjednodušen zapsat

∂f ∂l1 F= ∂g ∂l1

∂f ∂l 2 ∂g ∂l 2

∂f f1 ∂l n = ∂g g1 ∂l n

f2

fn

g2

gn

- 36 (105) -

(2.60)


2.10 P íklad 2.1 (vyrovnání délek) - pokra ování Ve stati 2.8.1 byl po ítán p íklad 2.1 na vyrovnání délek. Výpo et byl ukon en ur ením vyrovnaných hodnot m ených veli in, které již spl ovaly stanovené podmínky. Zde bude následovat výpo et charakteristki p esností. jednotková st ední chyba mo =

v2 = n−k

0,0000335 = 6−3

0,0000335 = 0,00334 , 3

st ední chyby jednotlivých m ení Vzhledem k tomu, že neznáme základní st ední chybu, použijeme v dalších výpo tech její aposteriorní odhad mo . Všechna m ení jsou stejn p esná a proto budou mít stejné st ední chyby mi

mi =

mo pi

= mo q i =

0,00334 1

= 0,00334 m = 3,3 mm .

st ední chyby vyrovnaných m ení Nejprve vypo teme matici kofaktor oprav + 0,50 + 0,25

− 0,25 + 0,25 − 0,25

0

+ 0,25 + 0,50 + 0,25 − 0,25 − 0,25 Qvv = B T ( B B T ) B =

0

+ 0,25 + 0,50 + 0,25 − 0,25 − 0,25

0

− 0,25 − 0,25 + 0,25 + 0,50 + 0,25 − 0,25 − 0,25 − 0,25

− 0,25

0

+ 0,50 − 0,25

0

− 0,25 − 0,25 − 0,25 + 0,50

0

a po ní matici kofaktor vyrovnaných m ení. Na její diagonále se nacházejí váhové koeficienty jednotlivých m ených veli in. + 0,50 − 0,25

0

+ 0,25 − 0,25 + 0,25

− 0,25 + 0,50 − 0,25 + 0,25 + 0,25 Ql l = I − B T ( B B T ) B =

0

− 0,25 + 0,50 − 0,25 + 0,25 + 0,25

+ 0,25 + 0,25 − 0,25 + 0,50 − 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25

0

0

0

0

+ 0,25

+ 0,50 + 0,25

+ 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,50

- 37 (105) -


Protože všechny koeficienty na diagonále této matice jsou stejné (+0,5), je z ejmé, že všechna vyrovnané m ení budou mít stejnou p esnost.

m1 = mo Ql l = mo Q11 = 0,00334 0,5 = 0,00236m = 2,4mm 11 m2 = mo Q22 = 2.4mm,

, m6 = mo Q66 = 2.4mm.

st ední chyby funkcí vyrovnaných m ení Pro ilustraci výpo tu st ední chyby funkce ur íme st ední chybu délky s = x+y (viz obr. 2.1). Tato délka m že být vypo tena r znými postupy, nap . jako sou et prvního a druhého m ení, nebo jako rozdíl šestého a t etího m ení. Ukažme si, že ob ma postupy obdržíme stejný výsledek 1. funkce

s = l1 + l 2 = 290,24300m ,

2. funkce

s = l 6 − l 3 = 290,24300m ,

který je samoz ejm identický, nebo délky již jsou vyrovnány a spl ují proto podmínkové rovnice. V našem p ípad byla uvažovaná délka s také p ímo m ena a vyrovnána ( tvrté vyrovnané m ení).

s = l4 . Chceme-li vypo ítat p esnost obou funkcí, musíme nejprve ur it matici F jejich parciálních derivací (2.60). V tomto p íklad jsou ob funkce lineární:

F=

+1 +1

0

0

−1 0 0 +1

0

0 0

0

.

Matici kofaktor funk ních hodnot vypo ítáme ze vztahu (2.57) + 0,5 + 0,5 Q ff = F Ql l F T = . + 0,5 + 0,5 Oba diagonální prvky v matici kofaktor funkcí mají stejnou hodnotu. St ední chyby m s1 , m s 2 funkcí s1 a s2 budou tedy stejné, nebo se jedná o jednu veli inu

m s1 = mo Q11 = 2,4mm m s 2 = mo Q22 = 2,4mm

.

Výsledky jsou shodné i se st ední chybou tvrtého vyrovnaného m ení .

- 38 (105) -


2.11 P echod na vyrovnání zprost edkujících m ení Jak bylo uvedeno ve stati 2.1.2 popisující obecný postup vyrovnání podmínkových m ení, m že po sestavení p etvo ených rovnic oprav následovat dvojí postup. P i prvním tzv. korelátovém ešení, se p ejde na normální rovnice pro koreláty. Tento postup byl detailn popsán v p edcházejících statích. Alternativní postup je p echod na vyrovnání zprost edkujících m ení, který bude rámcov popsán v této stati. Výchozími rovnicemi pro p echod na vyrovnání zprost edkujících m ení jsou p etvo ené rovnice oprav (2.14). resp. (2.17):

a1v1 + a 2 v 2 + b1v1 + b2 v 2 +

+ an vn + u a = 0 , + bn v n + u b = 0 ,

r1v1 + r2 v 2 +

+ rn v n + u r = 0 .

V této soustav je n neznámých oprav vázaných r rovnicemi (podmínkami). V této soustav zvolíme k = n – r oprav jako zprost edkující neznámé. Zbylých r oprav ur íme z podmínkových rovnic jako funkce zvolených zprost edkujících neznámých. = 1x1 + 0 x2 + v2 = 0 x1 + 1x 2 +

+ 0 xk + 0 xk

v1

= 0 x1 + 0 x 2 + vk +1 = Ak +1 x1 + Bk +1 x 2 +

+0 +0

+ 1xk + 0 + K k +1 x k + Lk +1

vk

vk + 2 = Ak + 2 x1 + Bk + 2 x2 +

+ K k + 2 x k + Lk + 2

vk + r = Ak + r x1 + Bk + r x 2 +

+ K k + r xk + Lk + r

(2.61)

V rovnicích (2.61) je tedy celkem n oprav, nebo k + r = n Rovnice (2.61) jsou vlastn p etvo ené rovnice oprav jak jsme je definovali p i vyrovnání zprost edkujících m ení. Použití MN na systém rovnic oprav vede k normálním rovnicím. V p ípad stejných vah bude systém normálních rovnic mít tvar:

( (

AA)x1 + (

AB )x 2 +

+(

AB )x1 + ( BB )x 2 +

+

(

AK )x1 + ( BK )x 2 +

+ ( KK )x k + ( KL ) = 0 .

(

AK )x k + (

AL ) = 0 ,

BK )x k + ( BL ) = 0 ,

(2.62)

Jejich ešením získáme neznámé x1, x2 , ... , xk a tím i s nimi identické opravy v1 = x1 , v2 = x2 , ... , vk = xk . Zbývajících r oprav vypo teme ze zbývajících rovnic oprav v soustav (2.61), p esn ji e eno všechny opravy vypo teme z této soustavy rovnic.

- 39 (105) -


V p ípad r zn p esných m ení použijeme p i výpo tu koeficient normálních rovnic váhy. Koeficienty pak budou mít tvar pAA ,

pAB ,

,

pAL atd .

Výpo et vyrovnaných hodnot m ených veli in, kontrolu spln ní podmínkových rovnic a výpo et charakteristik p esnosti již provádíme d íve popsaným postupem.

P íklad 2.3 Použítí metody p echodu na vyrovnání zprost edkujících m ení si ukážeme na p íkladu 2.1 ze stati 2.8.1, ve kterém po sestavení p etvo ených podmínkových rovnic použijeme místo korelátového ešení práv postup p echodem na vyrovnání zprost edkujících m ení. P etvo ené podmínkové rovnice z p íkladu 2.1 mají tvar: + 1v1 + 1v2 + 0v3 – 1v4 + 0v5 + 0v6 + 0,001 = 0 , + 0v1 + 1v2 + 1v3 + 0v4 – 1v5 + 0v6 + 0,006 = 0 , + 1v1 + 1v2 + 1v3 + 0v4 + 0v5 – 1v6 + 0,010 = 0 . Nejprve ur íme po et neznámých. Ten bude roven po tu nutných m ení k . V tomto p ípad je po et všech m ení n = 6, po et nadbyte ných m ení r = 3 a tedy po et nutných k = 3. Zvolíme nap . první t i opravy jako neznámé tj. v1 = x1 , v 2 = x2 , v3 = x3 . Z p etvo ených podmínkových rovnic vypo teme zbylé t i opravy. Absolutní leny v t chto rovnicích jsou uzáv ry uj podmínkových rovnic. v4 = v1 + v2 + ua , v5 = v2 + v3 + ub , v6 = v1 + v2 + v3 + uc . Nov vytvo ené rovnice oprav uspo ádáme do jejich maticového tvaru v1

1 0 0

v2

0 1 0

v3

0

x1

v5

0 1 1

0 x2 + 0,001 x3 0,006

v6

1 1 1

0,010

v4

=

0 0 1

0

1 1 0

, tj.

v = Ax + L .

Z rovnic oprav již sestavíme normální rovnice podle (2.62), tj

AT A x + AT L = 0 . V íselném vyjád ení budou mít tvar: 3 2 1

x1

0,011

2 4 2

x 2 + 0,016 = 0

1 2 3

x3

0,017

0 .

0

- 40 (105) -


Jejich ešením získáme neznámé: x1 = -0,00125m = v1 , x2 = -0,00175m = v2 , x3 = -0,00375 m = v3 . Zbylé t i opravy vypo teme z výše uvedených rovnic oprav: v4 = -0,00200m , v5 = +0,00050m , v6 = +0,00325 . Protože jsou opravy identické s opravami z p íkladu 2.1, nebude další výpo et již provád n a odkazuji tená e na postup uvedený v tomto p íkladu.

- 41 (105) -


- 42 (105) -

Smíšené druhy vyrovnání

3


Cílem této kapitoly je seznámit studenty s komplikovan jšími p ípady vyrovnání, než dosud uvedené dva základní druhy, tj. vyrovnání zprost edkujících m ení a vyrovnání podmínkových m ení. V této kapitole budou uvedeny dva další druhy vyrovnání a to vyrovnání zprost edkujících m ení spl ující další podmínky a vyrovnání podmínkových m ení dopln né dalšími neznámými. Tyto metody budou uvedeny jen ve svých principech a ukázány budou jen na jednom p íkladu. Pro jeho lepší pochopení bude jeden p íklad ešen více metodami sou asn . Student tak má možnost porovnat náro nost výpo tu p i vyrovnání zprost edkujících m ení a p i vyrovnání podmínkových m ení. Doba pot ebná ke zvládnutí této kapitoly je asi 10 hodin. V této dob doporu uji si zejména rozepsat vzorce v maticovém tvaru, což pom že p i pochopení složit jších maticových zápis . Vyrovnání zprost edkujících m ení s neznámými, vyrovnání podmínkových m ení s dalšími neznámými, volné sít . Rozvoj výpo etní techniky výrazn rozší il možnosti praktického použití složit jších vyrovnávacích úloh. V této kapitole budou p edstaveny dva druhy smíšeného vyrovnání, které se stále ast ji používají v sofwarovém zabezpe ení p eur ených geodetických úloh. První uvedená metoda vyrovnání zprost edkujících m ení s dalšími podmínkami nalezla široké uplatn ní zejména v problematice ešení tzv. volných sítí.

3.1

Vyrovnání podmínkami

zprost edkujících

m ení

s

P edpokládejme standardní p ípad vyrovnání zprost edkujících m ení ve kterém bylo zm eno n zprost edkujících veli in pro k ur ovaných parametr (neznámých.). Nejprve se sestaví n zprost edkujících funkcí, tj funkcí které popisují matematický vztah mezi zprost edkujícími veli inami (m eními) a ur ovanými parametry (neznámými). Po zavedení p ibližných hodnot neznámých a linearizaci celého systému zprost edkujících rovnic, získáme p etvo ené rovnice oprav ve tvaru: v = A x + l′ , které doplníme p íslušnou maticí vah m ených veli in P . Na podrobnosti odkazuji tená e na modul [6], který se zabývá podrobn vyrovnáním zprost edkujích m ení. Tento systém rovnic oprav nyní doplníme dalším systémem r podmínkových rovnic, kterými budou mezi sebou vázány ur ované parametry (neznámé veli iny). Pro n budou platit podmínky

- 43 (105) -


ϕ(~ xT ) = 0 , které m žeme po linearizaci p epsat na tvar

( )

B T δx + u = 0 , kde u = ϕ x oT

.

P i n m ení, k neznámých a r podmínkách dostáváme soubor (n + r) rovnic, p i emž musí platit n > k > r . Pro jednoduchost uvažujme jen t i neznámé x, y, z a dv podmínkové rovnice ozna ené a . V tomto p ípad bude k = 3 a r = 2 . Po et m ení ponecháme n . Pro názornost si uvedené systémy rovnic rozepišme. Rovnice oprav: v1 = a1δx + b1δy + c1δz + l1′ , v 2 = a 2δx + b2δy + c 2δz + l 2′ , v n = a nδx + bnδy + c nδz + l n′

(3.1)

.

Podmínkové rovnice:

α1δx + α 2δy + α 3δz + α o = 0 , β1δx + β 2δy + β 3δz + β o = 0 .

(3.2)

P íslušné vektory a matice budou:

v=

v1 v2

, A=

vn

α1 B = α2 α3

a1 a2

b1 b2

an

bn

l1′ x l′ , δx = y , l ′ = 2 , z cn l n′ c1 c2

β1 α 0 β2 , u = o , 0 = . βo 0 β3

Úlohu lze ešit t emi r znými postupy. Zde uvedeme jeden, který vyplývá z Lagrangeova ešení pro vázané extrémy, který již byl použit ve stati 2.4 a p i n mž jsou ur ovány další neznámé parametry, které jsme nazvali koreláty. Základní podmínka MN minimum funkce

je dopln na o další podmínky, takže se hledá

Ω = v T P v + 2k T ( B T δx + u) = min .

(3.3)

Tento postup vede na rozší ený systém normálních rovnic, ve kterém se vyskytují blokové matice

AT P A B

δx

0

k

BT

+

AT P l ′ u

=0 .

(3.4)

Další postup je již z ejmý. ešením uvedeného systému normálních rovnic a k . obdržíme nejen neznámé veli iny δx, δy, δz , ale též koreláty k

- 44 (105) -


Neznámé veli iny samoz ejm musí spl ovat zadané podmínky. Aposteriorní jednotková variance se v tomto druhu vyrovnání vypo te podle:

σ o2 =

3.2

vT P v n−k +r

.

(3.5)

Vyrovnání podmínkových m ení s neznámými

Tato úloha se v geodézii vyskytuje v p ípadech, když v podmínkových rovnicích vystupují krom vyrovnaných m ení ješt další, p ímo nem ené neznámé, které chceme vyrovnáním rovn ž ur it. M že to být p ípad, kdy všechna m ení jsou zatížena systematickou chybou zp sobenou n jakým faktorem (funkci p sobení musíme znát). Druhým p ípadem je situace, kdy neznámé parametry vstupují do podmínkových rovnic individuáln . Ozna ímeli op t písmeny n po et m ení, r po et podmínkových rovnic a k po et neznámých parametr , musí pro n platit

n>r>k , n>r+k .

(3.6)

P edpokládejme, že výsledky m ení li jsou zatíženy chybami, zp sobenými dv ma parametry x a y (první p ípad). Ozna íme-li výsledky nezatížené vlivem t chto parametr jako li , bude (v p ípad lineární funkce pro oba parametry) pro m ené veli iny platit

li = lí + α i x + β i y

.

(3.7)

P íkladem tohoto p sobení m že být neznámá sou tová a násobná konstanta dálkom ru, koeficient teplotní roztažnosti, refrak ní koeficient apod. V maticovém vyjád ení a p i zobecn ní funkce parametr podmínkových rovnic psát

f( x T ) lze soustavu

ϕ (l T ) = 0 , kde l = l + v = v + l + f( x T ) .

(3.8)

V druhém p ípad lze soustavu podmínkových rovnic psát

ϕ (l T , x T ) = 0 .

(3.9)

P etvo ené podmínkové rovnice pro uvedený p íklad pak krom m ených veli in obsahují další dv neznámé x a y a mají tvar:

- 45 (105) -

n oprav


a1v1 + a 2 v 2 +

+ a n v n + α a δx + β a δy + u a = 0 ,

b1v1 + b2 v 2 +

+ bn v n + α bδx + β bδy + u b = 0 ,

r1v1 + r2 v 2 +

+ rn v n + α r δx + β r δy + u r = 0 .

(3.10)

Koeficienty ai , bi , ... , ri v p etvo ených podmínkových rovnicích ur íme jako parciální derivace podmínkových rovnic podle jednotlivých m ených veli in u kterých zavedeme p ibližné hodnoty neznámých parametr f( x oT ) . Koeficienty a .... r jsou parciální derivace podmínkových rovnic podle x a

y op t s uvážením p ibližných hodnot z p íslušných odchylkových rovnic.

f( x oT ) . Odchylky u se vypo tou

Systém p etvo ených podmínkových rovnic (3.10) lze v maticovém tvaru psát:

AT v + B x + u = 0 ,

(3.11)

kde

A=

a1

b1

r1

a2

b2

r2

an

bn

rn

, B=

αa αb

βa βb

αr

βr

ua

, δx =

u δx , u= b . δy ur

P i p ímém ešení systému (3.11) využijeme op t Lagrangeova postupu ešením vázaných extrém pomocí korelát. Hledáme tedy minimum funkce:

Ω = v T P v + 2k T ( AT v + B δx + u) = min ,

(3.12)

který vede na systém normálních rovnic, kde nap . matice koeficient normálních rovnic je tvercová bloková matice, tvo ená ty mi submaticemi.

AT PA B B

T

0

k x

+

u 0

=0

.

(3.13)

Po vy ešení tohoto lineárního systému rovnic získáme neznámé koreláty k i neznámé parametry x . Z nich pak vypo ítáme opravy a vyrovnané hodnoty již standardním postupem. Odhad aposteriorní p esnosti (jednotkové variance) bude u tohoto druhu vyrovnání ur en podle vztahu: - 46 (105) -


σ o2 =

3.3

vT P v . r−k

(3.14)

P íklady

V této stati bude uveden v podstat jeden p íklad, který bude ilustrovat použití smíšeného vyrovnání. Nejprve tento p íklad vypo teme klasickým vyrovnáním zprost edkujících m ení. Poté jej vypo teme vyrovnáním podmínkových m ení a následn vyrovnáním zprost edkujících m ení s podmínkami, p i emž modifikujeme zadání p íkladu p idáním další podmínky.

P íklad 3.1 Vypo ítejme výšky bod X , Y, Z je li zadána výška bodu A a jsou zm ena nivela ní p evýšení l1 , l2, ... , l6 .(viz obr.2.3). Šipky na obrázku vyzna ují sm r stoupání. Všechna m ení jsou ur ena se stejnou p esností. Zadáno: A = 250,000 m l1 = 1,253m, l2 = 2,080m, l3 = 0,428m, l4 = 2,900m, l5 = 3,335m, l6 = 1,650m.

Obrázek 3.1: Schema nivela ní sít

ešení p íkladu : K ešení p íkladu m žeme použít oba d íve uvedené základní druhy: A) Vyrovnání zprost edkujících m ení B) Vyrovnání podmínkových m ení

- 47 (105) -


A) Vyrovnání zprost edkujících m ení a) Sestavení zprost edkujících funkcí ~ Obecn : li = f i ( x o , y o , A) ~ ~ l1 = − X + A,

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ l2 = Y − A, l3 = Y − Z , l4 = − X + Z , l5 = − X + Y , l6 = Z − A

b) Výpo et (volba) p ibližných hodnot

x o ≈ A − l1 ,

y o ≈ A + l 2 , z o ≈ A + l6 .

xo = 248,750m , yo = 252,080m , zo = 251,650m . c) Výpo et p etvo ených rovnic oprav Obecn :

vi = ai δx + bi δy + ci δz + (lio − li ), kde lio = f i ( x o , y o , A). Význam jednotlivých koeficient je následující (fi jsou zprost edkující funkce):

ai =

∂f i ∂x

o

, bi =

∂f i ∂y

o

, ci =

∂f i

∂z o

.

P etvo ené rovnice oprav jsou uvedeny v klasickém i maticovém vyjád ení: v1 = −1δx + 0δy + 0δz − 0,003,

v 2 = +0δx + 1δy + 0δz + 0,000, v3 = +0δx + 1δy − 1δz + 0,002,

v = Aδx + l ′,

v 4 = −1δx + 0δy + 1δz + 0,000, v5 = −1δx + 1δy + 0δz − 0,005,

v6 = +0δx + 0δy + 1δz + 0,000.

v1 v2 v3 v4 v5 v6

−1

0

0

− 0,003

0 +1

0

+ 0,000

δx 0 +1 −1 + 0,002 δy + = −1 0 +1 + 0,000 δz −1 +1 0

0

− 0,005

0 +1

+ 0,000

.

- 48 (105) -


d) Výpo et normálních rovnic(již jen v maticovém vyjád ení)

AT Aδ x + AT l ′ = 0 .

+ 3 − 1 − 1 δx

+8

0

− 1 + 3 − 1 δy + − 3 = 0 . − 1 − 1 3 δz −2 0

e) Výpo et neznámých a vyrovnaných výšek

N

−1

T

= ( A A)

−1

+ 0,50 + 0,25 + 0,25 = + 0,25 + 0,50 + 0,25 , δx = − N + 0,25 + 0,25 + 0,50

−1 T

A l′ =

− 0,00275 0,00000 − 0,00025

X = x o + δx = 248,74725m, Y = 252,08000m, Z = 251,64975m. f) Výpo et oprav a vyrovnaných m ení Opravy po ítáme 2x. Jednou z p etvo ených rovnic oprav a podruhé z p vodních rovnic oprav s nelinearizovanými zprost edkujícími funkcemi. v1 = −1δx + 0δy + 0δz − 0,003 = −0,00025, v1 = A − x − l1 = −0,00025. v 2 = +0δx + 1δy + 0δz + 0,000 = +0,00000, v 2 = y − A − l 2 = 0,00000. v3 = +0δx + 1δy − 1δz + 0,002 = +0,00225, v3 = y − z − l3 = +0,00225.

v 4 = −1δx + 0δy + 1δz + 0,000 = +0,00250, v 4 = z − x − l 4 = +0,00250. v5 = −1δx + 1δy + 0δz − 0,005 = −0,00225, v5 = y − x − l5 = −0,00225.

v6 = +0δx + 0δy + 1δz + 0,000 = −0,00025, v6 = z − A − l 6 = −0,00025.

Výpo et vyrovnaných nam ených hodnot:

l1 = l1 + v1 = 1,25275m, l 2 = l 2 + v 2 = 2,08000m, l3 = l3 + v3 = 0,43025m, l 4 = l 4 + v 4 = 2,90250m, l5 = l5 + v5 = 3,33275m, l 6 = l 6 + v6 = 1,64975m. g) Výpo et charakteristik p esnosti (aposteriorní) jednotková st ední chyba: mo =

v2 = n−k

0,0000165 = 0,002345 3

(aposteriorní) st ední chyby m ených veli in: 1 ml i = mo = mo qi = mo 1 = 0,0023m pi

- 49 (105) -


st ední chyby vyrovnaných výšek bod Q xx = N −1 , m X = mo Q XX = mo 0,50 = 0,0017 m, mY = mo QYY = 0,0017 m, m Z = mo QZZ = 0,0017 m.

st ední chyby vyrovnaných m ení + 0,50 − 0,25 − 0,25 0

Ql l = A Q xx AT =

+ 0,25

+ 0,25 + 0,25 − 0,25

0 + 0,25

0,50

0

+ 0,25 + 0,25

+ 0,25 + 0,50 − 0,25 + 0,25 − 0,25 − 0,25 + 0,50 + 0,25 + 0,25

0

+ 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,50 − 0,25 + 0,25 − 0,25 + 0,25

0

0 + 0,50

ml = mo Q11 = mo 0,5 = 0,0017 m, ml = mo Q22 = 0,0017 m, atd . 1

2

Výsledek vyrovnání zprost edkujících m ení (po zaokrouhlení):

X + m X = 248,747 m ± 1,7 mm, Y = 252,080m ± 1,7 mm, Z = 251,650m ± 1,7 mm. B) Vyrovnání podmínkových m ení

Tento p íklad byl teoreticky ešen již v p íklad 2.2 za ínajícím na str. 27. Dosazením nam ených hodnot do podmínkových rovnic obdržíme odchylkové rovnice a vektor odchylek u . l1 + l 2 − l5 = u a = −0,002m = −2mm , −2 l5 − l3 − l 4 = u b = +0,007 m = +7 mm , u = + 7 . +3 l1 + l 6 − l 4 = u c = +0,003m = +3mm , Zadáme-li do dalších výpo t odchylky v milimetrech, budou v milimetrech i opravy. Matice koefient p etvo ených podmínkových rovnic: +1 +1 B=

0 +1

0

0 −1

0

0 −1 −1 +1 0 0 0 −1 0 +1

.

Matice koeficient normálních rovnic pro koreláty: N = BB

T

+ 3 −1 +1 = −1 + 3 +1 +1 +1 + 3

.

- 50 (105) -


Inverzní matice k matici koefient normálních rovnic: + 0,50 + 0,25 − 0,25

N −1 = ( BB T ) −1 = + 0,25 + 0,50 − 0,25 − 0,25 − 0,25 + 0,25

.

Koreláty nemusíme po ítat, pokud jsme schopni vypo ítat opravy p ímo z rovnic (2.32b), tj.: − 0,25 + 0,00 + 2,25 v = − BT (BBT )−1 u = mm. + 2,50 − 2,25 − 0,25 Opravy jsou identické s ešením A) tj. s p edcházejím vyrovnáním metodou zprost edkujících m ení, proto budou i identické vyrovnané hodnoty m ených veli in li = li + vi a nebudeme je zde znovu uvád t. Na rozdíl od p edcházejícího zp sobu vyrovnání jsme tentokrát nezískali výšky bod . Ty musíme vypo ítat p i tením vyrovnaných m ení (p evýšení) ke známé výšce bodu A. Protože jsou spln ny všechny podmínky v síti je lhostejné, jakou k výpo tu výšek nov ur ovaných bod X, Y a Z použijeme cestu, tj. která p evýšení se budou podílet na výpo tu jednotlivých výšek. Výsledné výšky zde op t nebudeme uvád t, nebo jsou identické s výsledky z p edcházejícího vyrovnání zprost edkujících m ení. P íklad 3.2:

P edpokládejme obdobné zadání jako v p edcházejícím p íklad 3.1, kde byla zam ena sí 4 bod A, X, Y, Z (viz obr. 3.1) prost ednictvím 6 nam ených p evýšení mezi t mito body. Bod A m l jako jediný zadanou výšku, proto jsme ji použily jako vztažnou pro výpo et ostatních výšek. P edpokládejme nyní, že v této síti máme zadány 2 vztažné body, nap . bod A a bod B = X. Zadání: Vypo ítejte výšky bod Y, Z jsou-li zadány výšky bod A a B a jsou zm ena nivela ní p evýšení l1 , l2, ... , l6 (viz obr.2.3, kde místo ozna ení bodu X ozna íme tento bod jako bod B). Šipky na obrázku vyzna ují sm r stoupání. Všechna m ení jsou ur ena se stejnou p esností. A = 250,000 m , B = 248,750 m. l1 = 1,253m, l2 = 2,080m, l3 = 0,428m, l4 = 2,900m, l5 = 3,335m, l6 = 1,650m. Problém lze ešit 2 zp soby A) výpo et vázané sít s body A a B jako body pevnými, tzn. že se jim vyrovnáním nezm ní výšky a nam ená p evýšení se vyrovnáním p izp sobí jejich zadaným výškám. Ve svém d sledku to znamená, že se sí nam ených nivela ních p evýšení deformuje sítí pevných bod .

- 51 (105) -


B) vyrovnání volné sít , kde budeme body A a B považovat za body vztažné a sí se výškov vyrovná mezi tyto body tak, že jejich zadaným výškám p isoudí také korekci. P i tomto vyrovnání nedochází k deformaci nam ených p evýšení vlivem pevn daných výšek bod . Úkol 3.1 Vypo ítejte variantu A ob ma metodami, tj. vyrovnáním zprost edkujících m ení a vyrovnáním podmínkových m ení. P i vyrovnání zprost edkujících m ení musíte sestavit systém 5 zprost edkujících rovnic pro 2 neznámé veli iny Y a Z. Po et m ených p evýšení bude o jedno menší (bude to m ení l1, které má nyní jen kontrolní význam - jako kontrolní p evýšení mezi zadanými pevnými výškami A a B).

Do vyrovnání podmínkových m ení m že vstoupit jen 5 p evýšení, nebo p evýšení l1 je kontrolní a nebude (nemusí) se na vyrovnání podílet. Proto musíte sestavit 3 podmínkové rovnice: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ l2 − l3 − l6 = 0, l5 − l3 − l4 = 0, l2 − l3 − l4 + A − B = 0. Kontrolou správnosti výpo tu bude shoda obou zp sob

ešení.

B) Zde si uvedeme ešení tohoto p ípadu jako vyrovnání volné sít . Vyrovnání zprost edkujícíh m ení s podmínkami

Problém ešíme nejprve jako vyrovnání zprost edkujících m ení, ve kterém všechny 4 body (A, B, Y, Z) považujeme za nov ur ované (neznámé). a) Nejprve sestavíme zprost edkující funkce pro 6 neznámé parametry. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ li = f i ( A, B , Y , Z ), l1 = A − X , l2 = Y − A, ~ ~ ~ ~ ~ ~ l4 = Z − B , l5 = Y − B ,

m ených p evýšení a 4

~ ~ ~ l3 = Y − Z , ~ ~ ~ l6 = Z − A.

b) Výpo et p ibližných hodnot. Protože body A a B budeme považovat za body vztažné, musíme jejich známé výšky považovat za výšky p ibližné. P ibližné výšky bod Y a Z ur íme libovolným zp sobem. Ao=250,000m , Bo=248,750m , yo=252,080m , zo=251,650m . c) Sestavení p etvo ených rovnic oprav +1 −1

0

− 0,003

0

0

δA 0,000 0 0 0 + 1 − 1 δB + 0,002 0 + = , Aδx + l ′ = 0 . 0 − 1 0 + 1 δy 0,000 0 0 − 1 + 1 0 δz − 0,005 0

−1

0 +1

−1

0

0

0 +1

0,000

0

d) Sestavení normálních rovnic + 3 −1 ( AT A)δx + AT l ′ = Nδx + h =

−1

−1

−1 + 3 −1

−1

−1

−1 + 3 −1

−1

−1

−1 + 3

- 52 (105) -

δA − 0,003 0 δB + 0,008 0 + = . δy − 0,003 0 δz − 0,002 0


Uvedený systém normálních rovnic nemá jednozna né ešení, nebo matice koeficient normálních rovnic N je singulární (viz. kap. 4 – Apendix, )nebo její ádky jsou lineárn závislé (viz. Dodatek A). O tom se snadno p esv d íme sou tem všech ty ádk ( ádkových vektor ), který dává nulový vektor. K takové singulární matici neexistuje matice inverzní a problém musíme ešit jiným zp sobem. e) rozší ení matice koeficient normálních rovnic V Dodatku A (kap.4) jsou uvedeny zp soby ešení singulárních matic. Jedním z t chto zp sob je rozší ení invertované matice na blokovou matici o systém vhodn volených submatic. V našem p ípad je defekt matice d(N) = 1 (jeden lineárn závislý ádek) a submatice B bude mít 1 sloupec o 4 prvcích (bude to vlastn vektor). Singularita v matici normálních rovnic vznikla proto, že jsme nezadali do systému ani jednu pevnou výšku bodu. V nivela ních sítích pot ebujeme k výpo tu výšek bod alespo jednu zadanou výšku n kterého z nich. My jsme ale všechny výšky považovali za p ibližné. Dva body (A, B), které jsou v tomto systému, mají výjime né postavení. Považuje je za body vztažné. Budeme chtít, aby se nivela ní sí na tyto body navázala a p itom nedošlo k její deformaci. Stanovíme tedy dodate nou podmínku, aby sou et tverc odchylek na t chto bodech byl minimální, tj. aby platilo: A2 + B2 = min, tedy 2 A + 2 B = 0 nebo A+ B=0. Tato podmínka vede na vektor BT=(1 1 0 0) a uzáv r u = (0). O tyto veli iny rozší íme systém normálních rovnic na tvar, viz. (3.4)

δx

AT A B B

k

0

h

+

=0,

u

δA − 0,003 0 − 1 + 3 − 1 − 1 + 1 δB + 0,008 0 −1 −1 + 3 −1 0 δy + − 0,003 = 0 . −1 −1 −1 + 3 0 δz + 0,002 0

+ 3 −1

−1

−1 +1

+1 +1

0

0

0

k

0,000

0

f) ešení systému rozší ených normálních rovnic je nyní již jednoduché, protože matice koeficient rozší eného systému normálních rovnic je již regulární a lze k ní nalézt inverzní matici:

+ 3 −1 −1 −1 +1 −1 + 3 −1 −1 +1 −1 −1 + 3 −1 −1 −1 −1 + 3 +1 +1 0 0

0 0 0

−1

+ 0,125 − 0,125 =

− 0,125 + 0,125

0 0

0 0

+ 0,500 + 0,500

0 0 + 0,375 + 0,125 + 0,500 0 0 + 0,125 + 0,375 + 0,500 + 0,500 + 0,500 + 0,500 + 0,500 0

Výpo et neznámých se již provede obvyklým zp sobem. A=0,001375m, B=-0,001375m, y=+0,001375m, z=+0,001125m, k=0 .

- 53 (105) -


A = A o + δA = 250,001375m, B = B o + δB = 248,748625m , Y = y o + δy = 252,081375m, Z = z o + δz = 251,651125m . g) výpo et oprav a vyrovnaných m ení v1 = – 0,00025m, v2 = 0,00000 m, v3 = +0,00225m, v4 =+0,00250m,

v5 = -0,00225m, v6 = -0,00025m.

Opravy jsou stejné jako v p íklad p evýšení.

3.1, budou tedy stejná i vyrovnaná

Výsledky: A = 250,0014m ± 0,8mm, B = 248,7486m ± 0,8mm, Y = 252,0814m ± 1,4mm, Z = 251,6511m ± 1,4mm. Záv r: Vyrovnání volné nivela ní sít metodou zprost edkujících m ení s podmínkou vazby na vztažné body A a B zachovalo stejné opravy jako u sít vázané na jeden bod a celou sí umístilo do výškové úrovn mezi p vodní body A a B tak, že uvážilo jejich výšky i vyrovnané m ení mezi t mito dv ma body.

Úkol 3.2 Rozepište normální rovnice (3.4) a (3.14) z maticového tvaru do klasického zápisu.

- 54 (105) -

Dodatek A

4

Dodatek A

4.1

Vektory

Vektor x je do sloupce uspo ádaná n-tice ísel (ve vyrovnávacím po tu nej ast ji reálných). Jednotlivá ísla xi se nazývají prvky vektoru. Jsou-li všechny prvky vektoru rovny nule, vytvo í nulový vektor 0. Vektor s opa nými znaménky u všech prvk se nazývá opa ný vektor -x k vektoru x.

x =

−x1 −x = −x 2 ,

x1 x2 ,

0 0 = 0 . 0

−x n

xn

Na po adí ísel (prvk ) záleží, protože si je m žeme p edstavit jako sou adnice bodu vzhledem k osám sou adného systému. íslo n ozna uje typ vektoru (rozm r vektoru). Vektory jsou stejného typu (stejného rozm ru), když jsou tvo eny stejným po tem prvk . Dva vektory x , y jsou stejné (totožné), tj. x = y , jestliže jsou stejného typu a všechny jejich odpovídající si prvky se navzájem rovnají, tzn. xi = yi pro všechna i.

Sou et a rozdíl vektor : x1 x+ y=z=

x2

y2

+

xn

x − y = z =

x1 + y1

y1

x2 + y 2

=

xn

=

xn + y n

yn

x1 y1 x2 − y2

z1

=

x1 − y1 x2 − y 2 xn − yn

yn

z2

,

(4.1)

zn

=

z1 z2 . zn

Násobení vektoru reálným íslem (skalárem): x1 c. x = y = c.

x2 xn

c.x1 =

c.x 2 c.x n

y1 =

y2

.

(4.2)

yn

- 55 (105) -


Lineární n-rozm rný vektorový prostor Vn je množina libovolných vektor s n prvky spl ující následující axiomy: a)

x+y=y+x,

b)

x + ( y + z) = ( x + y) + z ,

c)

x+0=x,

d)

x + ( - x) = 0 ,

e)

c.(x + y) = c.x + c.y ,

f)

(c1 + c2).x = c1.x + c2.x ,

g)

c1.(c2.x) = (c1.c2).x ,

h)

1.x = x ,

i)

0.x = 0 .

(4.3)

Nejd ležit jším p ípadem vektorových prostor je n-rozm rný prostor En, který je tvo en všemi uspo ádanými n-ticemi reálných ísel (vektory typu n, kde n je libovolné p irozené íslo). Jsou-li vektory x1, x2, ... ,xk stejného typu, potom jako lineární kombinací t chto vektor je ozna ován vektor c1.x1 + c2..x2 + … + ck.xk , kde c1, c2, …, ck jsou libovolná reálná ísla. Systém vektor x1, x2., ... , xk se nazývá lineárn závislý, když existují reálná ísla c1, c2,...,ck, z nichž alespo jedno je r zné od nuly, taková, že c1.x1 + c2..x2 + … + ck.xk = 0. V opa ném p ípad se systém vektor

(4.4) x1, x2, ... , xk nazývá lineárn nezávislý.

Každý systém vektor obsahující nulový vektor je lineárn závislý. Systém nenulových vektor x1, x2, ... , xk je lineárn závislý práv tehdy, když n který z vektor x1, x2 , ... , xk je lineární kombinací ostatních. Libovolná podmnožina V´ lineárního vektorového prostoru V (spl ující axiomy 4.3) se nazývá lineární podprostor. Každý lineární podprostor V´ lineárního vektorového prostoru V je op t lineárním vektorovým prostorem. Lineární obal množiny A = { x1, x2, ... , xk }; k ≥ 1 je tvo en všemi možnými lineárními kombinacemi vektor z množiny A. Báze prostoru V je každý nezávislý systém vektor prostoru V takový, že V je jeho lineárním obalem. Vektory dané báze se nazývají bázové vektory. Každý lineární vektorový prostor má n jakou bázi. Všechny báze prostoru V mají stejný po et vektor . Základní používanou bází jsou bázové vektory tohoto typu:

- 56 (105) -

Dodatek A

1 e1 =

0

0 , e2 =

0

0

1

,

0

, ek =

0

.

(4.5)

1

Každý vektor x ∈ V se dá vyjád it pomocí prvk dané báze (bázových vektor ) práv jediným zp sobem. K výše uvedené bázi se vektor x vyjád í následovn :

x=

x1 x2

= x1.e1 + x 2 .e 2 + ... + x k e k =

xk 1 = x1.

0

0 + x2 .

0

1

0 + ... + x k .

0

0

.

(4.6)

1

Transponovaný vektor xT k vektoru x vznikne transpozicí (zám nou sloupce a ádku).

x1 x2 ,

x =

x T = ( x1 , x 2 ,

, x n ).

(4.7)

xn Vektor x se nazývá sloupcový vektor a vektor xT ádkový vektor. V dalším textu bude vždy odlišen ádkový vektor od sloupcového vektoru ozna ením transpozice symbolem T. Transpozicí již transponovaného vektoru vznikne vektor p vodní. Pro transponování platí:

a)

( x T )T = x,

b)

c. x T = c.( x1 , x 2 ,

c)

( x + y )T = x T + y T .

, x n ) = (c.x1 , cx2 ,

, cxn ),

Skalárním sou inem dvou vektor (stejného typu) se nazývá reálné vzniklé jako sou et sou in odpovídajících si prvk obou vektor . x T y = x1. y1 + x 2 . y 2 + xT x =

n

+ xn . y n =

n

xi . y i ,

i =1

xi2 .

i =1

- 57 (105) -

(4.8)

íslo (4.9)


V praxi vyrovnávacího po tu je velmi asto používán sou et tverc oprav ve tvaru:

v 2 = v T v = v12 + v22 +

+ vn2 .

(4.10)

Sou tovým vektorem s se bude nazývat vektor, jehož všechny prvky jsou rovny jedné. Název vyplývá z jeho sou tové funkce p i skalárním sou inu.

s=

1 1

,

(4.11)

1

pro v =

v1 v2

,

bude

v = s T v = (1 1

1)

vn

v1 v2

= v1 + v 2 +

+ vn .

vn

Tímto zp sobem lze vypo ítat i íslo n jako s je typu (n).

n = sTs , kde sou tový vektor

Pro sou in vektor stejného typu platí: a)

x T y = y T x,

b)

( x + y )T z = x T z + y T z ,

c)

(c. x )T y = (c. x T ) y = c( x T y ),

d)

x T x ≥ 0,

pro libovolné x ,

pro libovolné reálné c,

(4.12)

x T x = 0 práv tehdy, když x = 0.

Norma vektoru (euklidovská) se vypo ítá jako druhá odmocnina ze sou tu tverc jeho prvk , tj.:

x = ( x T x )1 / 2 =

xT x =

n

xi2 .

(10.13)

i =1

Norma vektoru vyjad uje délku vektoru x, neboli vzdálenost bodu ur eného sou adnicemi (prvky) x1, x2, … , xn od po átku systému 0, 0,…, 0.

- 58 (105) -

Dodatek A

Pro normu vektoru platí:

a)

x ≥ 0,

x = 0, práv když x = 0 ,

b)

c. x = c. x ,

c)

x+ y ≤ x + y,

d)

xT y ≤ x . y .

pro libovolné reálné íslo c,

(4.14)

Úhel mezi dv ma vektory x a y se vypo ítá: cos α =

xT y . x. y

(4.15)

Dva nenulové vektory x, y jsou na sebe kolmé, neboli ortogonální, práv když xTy = 0,

(4.16)

tj. když cos α = 0. Pokud jsou vektory na sebe kolmé a délky t chto vektor jsou rovny jedné, nazývají se takové vektory ortonormálními vektory. Ortogonální skupina (ortogonální systém) vektor je taková skupina vektor , u které je každá dvojice r zných vektor navzájem kolmá (ortogonální). Pokud má ješt každý vektor jednotkovou délku, nazývá se taková skupina ortonormální skupinou vektor (ortonormálním systémem vektor ). Normování vektoru je postup, p i kterým vytvo íme z vektoru jednotkové délky x : x=

x , x

x

vektor

(4.17)

x T x = 1. Skupinu vektor a1, a2, ... , as lze p evést na skupinu vektor ortogonálních b1, b2, ... , bs nap . pomocí Grammovy-Schmidtovy ortogonaliza ní metody: b1 = a1 , b2 = a 2 − b3 = a 3 −

a 2T b1 b1

b, 2 1

(4.18)

a 3T b1

a 3T b2

b1

b2

b − 2 1

2

b2 ,

atd.

- 59 (105) -


Skupinu ortogonálních vektor b1, b2, ... , bs p evedeme na skupinu ortonormálních vektor b1, b2, ... , bs normováním každého vektoru pomocí vztahu (4.17). Jako ortogonální báze (ortonormální báze) se ozna uje taková báze, jejíž bázové vektory jsou vzájemn ortogonální (ortonormální).

4.2

Matice

Matice A je systém n . m prvk (obvykle reálných ísel) uspo ádaných do n ádk a m sloupc :

a11 a 21 A =

a12 a 22

a1m a2m .

a n1

an2

a nm

ísla aij se nazývají prvky matice A. Uvedená matice A je typu (n,m). Bude-li užite né zd raznit typ matice, bude p íslušná matice ozna ována také typem A(n,m). Matici lze též chápat jako uspo ádanou množimu m (sloupcových) vektor a1, a2, ... , am :

(a1

a2

a m ),

kde

a11 a 21 , a1 = a2 = a n1

a12 a 22 , an2

, am

a1m a 2m . = a nm

Vektor m žeme považovat za jednosloupcovou matici, tj. matici typu (n,1).

4.2.1

Základní pojmy

Nulová matice je matice jejíž všechny prvky jsou nulové. Bude ozna ována stejn jako nulový vektor, tj. symbolem 0. Nap . nulová matice typu (4,3) bude

0 0 = 00 0

0 0 0 0

0 0 . 0 0

tvercová matice je matice která má stejný po et sloupc jako ádk tj. m = n, nap . matice A typu (4,4) bude

- 60 (105) -

Dodatek A

A( 4, 4 )

1,2 2,7 5,6 4,2 = 5,0 4,3 7,2 10,3

5,2 1,8 8,6 5,8 . 9,5 1,1 5,9 2,0

Symetrická matice je tvercová matice, pro kterou platí, že aij = aji . Jako p íklad je uvedena op t matice typu (4,4) se zvýrazn ním symetrie jednoho z prvk a31=a13 = 3,8. Všechny mimodiagonální prvky jsou symetrické vzhledem k hlavní diagonále, která je symbolicky znázorn na plnými kroužky,

A( 4, 4 )

5,8 4,1 3,8 0,9 4,1 8,2 0,6 0 = 3,8 0,6 11,6 3,1 0,9 0 3,1 9,2

• =

•

3,8

3,8 •

. •

Prvky aii , kde i=1, 2, ... , n které se nacházejí na hlavní diagonále matice se nazývají diagonálními prvky, ostatní prvky mimo hlavní diagonálu mimodiagonálními prvky. Diagonální matice je tvercová matice u které jsou všechny mimodiagonální prvky rovny nule, tzn. aij = 0, pro všechna i ≠ j.

a11 D = 0

0 a 22

0 0

0

0

a nm

= diagD = diag (a11 , a 22 ,

, a nn ).

Jednotková matice je diagonální matice, u které se všechny prvky hlavní diagonály rovnají jedné, tj. aii = 1, pro i = 1, ... , n. Jednotkové matice budeme ozna ovat I, nebo I(n), p ípadn E nebo E(n).

1 0 I = 0 1 0 0

0 0 = diag (1, 1, ... , 1). 1

Horní (pravá) trojúhelníková matice Tr je matice u které všechny prvky pod hlavní diagonálou jsou nulové, dolní (levá) trojúhelníková matice Tl je matice u které všechny prvky nad hlavní diagonálou jsou nulové:

a11 Tr = 0

a12 a 22

0

0

a1m a2m , a nm

a11 a 21 Tl =

0 a 22

a n1

an2

- 61 (105) -

0 0 . a nm


Bloková matice je matice vytvo ená (rozd lená) submaticemi pat i ných typ , nap .:

A( 5,7 ) =

A11 A21

A12 A22

=

a11 a 21

a12 a 22

a13 a 23

a14 a 24

a15 a 25

a16 a 26

a17 a 27

a31 a 41 a51

a 32 a 42 a 52

a33 a 43 a53

a34 a 44 a54

a35 a 45 a55

a 36 a 46 a 56

a37 a 47 a57

=

B C D E ,

je - li matice B = A11 typu (2,3), pak jsou ostatní matice typ : C = A12 typu (2,4), D = A21 typu (3,3) a E = A22 typu (3,4).

4.2.2

Operace s maticemi

Transponování matice Transponovaná matice AT k matici A vznikne zám nou (transpozicí) ádk a sloupc . Je-li matice A typu (n,m) je transponovaná matice AT typu (m,n).

A=

a11

a12

a1m

a 21

a 22

a 2m

a n1

an2

a nm

,

AT =

a11

a 21

a n1

a12

a 22

an2

a1m

a 2m

a mn

.

(4.19)

Transponování blokové matice

A( n, m) =

B C , D E

A(Tm, n) =

BT CT

DT . ET

(4.20)

Samoz ejm se transponováním m ní i typy odpovídajících submatic, nap . jeli B typu (k,l) bude BT typu (l,k) a pod.

- 62 (105) -

Dodatek A

Sou et a rozdíl matic Dv matice A, B stejného typu (n,m) se se tou (ode tou) tak, že se se tou (ode tou) jejich odpovídající prvky tj. cij = aij + bij pop . dij = aij – bij, pro i = 1,2,...,n , j = 1,2,...,m.

C = A+ B =

a11 + b11 a 21 + b21

a12 + b12 a 22 + b22

a1n + b1m a 2m + b2m

a n1 + bn1

a n 2 + bn 2

a nm + bnm

=

c11 c 21

c12 c 22

c1m c2m

c n1

cn2

c nm

,

(4.21)

D = A−B =

a11 − b11 a 21 − b21

a12 − b12 a 22 − b22

a1n − b1m a 2m − b2m

a n1 − bn1

a n 2 − bn 2

a nm − bnm

=

d11 d 21

d12 d 22

d1m d 2m

d n1

d n2

d nm

Sou et a rozdíl blokových matic

A=

A1 A3

A+ B =

A2 B B2 , B= 1 , A4 B3 B4 A1 + B1 A3 + B3

A2 + B2 A − B1 , A− B = 1 A4 + B4 A3 − B3

A2 − B2 . A4 − B4

(4.22)

Všechny submatice musí být vhodného typu. Pro sou et dvou a více matic stejného typu a jejich transponování platí:

a) b)

A + B = B + A, ( A + B ) + C = A + ( B + C ),

c)

( A + B ) T = AT + B T ,

d)

( AT )T = A,

(4.23)

e) pro symetrickou matici A platí AT = A. Rovnost matic Dv matice stejného typu se sob rovnají A = B,

(4.24)

- 63 (105) -

.


jestliže se sob rovnají všechny jejich odpovídající si prvky, tj. aij = bij , pro i = 1,2,...,n , j = 1,2,...,m. Jestliže A = B, pak A–B=B–A=0 A – A = 0, A – 0 = A,

(4.25)

kde 0 je nulová matice. Násobení matice íslem Matice se násobí reálným íslem tak, že se tímto íslem vynásobí všechny její prvky,tj. bij = c.aij , pro i = 1,2,...,n , j = 1,2,...,m.

(4,26)

a11 a B = c.A = c. 21

a12 a 22

a1m a2m

c.a11 c = .a 21

c.a12 c.a 22

c.a1m c.a 2 m

b11 b = 21

b12 b22

b1m b2 m

a n1

an2

a nm

c.a n1

c.a n 2

c.a nm

bn1

bn 2

bnm

Násobení matic Nech existuje matice A typu (n,p) a matice B typu (p,m), pak pro prvky matice C typu (n,m), získané sou inem C = A B , platí pravidlo:

cij =

p k =1

aik bkj , pro i = 1,2,..., n , j = 1,2,..., m.

(4.27)

Názorn ji je operace sou inu dvou matic A a B vyjád ena p i odlišném ozna ení jejich prvk :

A( n, p ) =

a1

a2

ap

b1

b2

bp

n1

n2

np

C ( n, m) = AB =

, B( p , m ) =

α1 α2

β1 β2

µ1 µ2

αp

βp

µp

aα

aβ

aµ

bα

bβ

bµ

nα

nβ

nµ

- 64 (105) -

.

,

(4.28)

Dodatek A

P i ru ním výpo tu je vhodné uspo ádat matice do tzv. Falkova schématu, ve kterém leží každý ur ovaný prvek matice C na pr se íku p íslušného ádku matice A a sloupce matice B, viz šipky v uvedeném schématu, kde c22 = b1.β1 B( p , m )

A( n , p ) =

a1 b1

a2 b2

ap bp

n1

n2

np

α1 α 2 =

β1 β2

µ1 µ2

αp

βp

µp

c 22

= C ( n, m)

c11 c = 21

c12 c 22

c1m c2m

c n1

cn2

c nm

+ b2.β2 + ...+ bp.βp.

Uvedeným schématem lze postupn násobit i n kolik matic za sebou. D ležité je uv domit si, že sou in matic je definován jen pro takové dv matice, u nichž po et sloupc matice první se rovná po tu ádk matice druhé, tzn, že nap . pro první matici typu (n,p) a druhou matici typu (p,m) bude výsledná matice sou inu první a druhé typu (n,m). Sou in druhé a první bude definován jen v p ípad , kdy by platilo n = m . V dalším budeme vždy p edpokládat, že p i násobení matic jsou tyto matice pat i ného typu. Pro násobení matice vektorem platí stejný požadavek na jejich typy, nebo vektor m žeme považovat za matici typu (m,1). Je-li matice A typu (n,m) a vektor x typu (m,1) bude jejich sou in Ax = b vektor typu (n,1). Tímto zp sobem je obvykle popsán systém n lineárních rovnic.

A=

a11

a12

a1m

a 21

a 22

a 2m

a n1

a n2

a nm

Ax = b =

x1 ,x=

x2

,

xm

a11 x1 + a12 x 2 +

+ a1m x m

a 21 x1 + a 22 x 2 +

+ a 2m x m

a n1 x1 + a n 2 x 2 +

+ a nm x m

bn

pro i = 1, 2,

, n.

obecn tedy bi =

m

a ij x j ,

j =1

b1 =

b2

,

- 65 (105) -

(4.29)


Násobení vektoru maticí je možné s využitím transponované podoby vektoru. Samoz ejm musí být spln na podmínky správných typ . Je-li matice A op t typu (n,m) musí být vektor y tentokrát typu (n,1), resp. transponovaný vektor ( ádkový vektor) yT typu (1,n). Výsledkem sou inu yTA = cT je rovn ž T ádkový vektor c typu (1,m). y1 y=

y2

, A=

yn

kde

a11

a12

a1m

a 21

a 22

a 2m

a n1

an2

a nm

c1 c2

c =

=

cm obecn tedy ci =

, y T A = c T = (c1 c 2

y1 a11 + y 2 a 21 + y1 a12 + y 2 a 22 +

+ y n a n1 + yn an2 ,

y1 a1m + y 2 a 2 m +

+ y n a nm

n j =1

y j a ji ,

pro i = 1, 2,

c m ), (4.30)

, m.

Násobení dvou vektor stejného typu xTy (tzv. skalární sou in) již bylo definováno v (4.9). Zde definujme sou in dvou vektor op t stejného typu (n,1) ve tvaru xyT = Z, yxT = ZT , jehož výsledkem je matice typu (n,n):

p ípadn

x1 x2

x=

,y=

xn xy T =

x1 x2

y1 y2

,

yn

( y1

y2

yn ) =

xn

x1 y1 x 2 y1

x1 y 2 x2 y2

x1 y n x2 yn

x n y1

xn y 2

xn y n

= Z . (4.31)

Pro násobení matic (p íslušných typ ) platí:

a) b) c)

A( BC ) = A( BC ), A( B + C ) = AB + AC , ( A + B )C = AC + BC ,

d) e) f) g)

( ABC )T = C T B T AT , obecn AB ≠ BA (jsou - li definovány), A0 = 0 , 0A = 0 , kde 0 jsou vhodné nulové matice, A( n, m) I ( m) = A( n, m) , I ( n) A( n, m) = A( n, m) ,

(4.32)

kde I m a I n jsou jednotkové matice. - 66 (105) -

Dodatek A

Ve vyrovnávacím po tu jsou asto používány sou iny ATA = N , ATPA = N, i ATQA = N. Ozna íme-li:

A( n, k ) =

a1

b1

k1

a2

b2

k2

an

bn

kn

n11 N (k , k ) =

Q ( n, n ) =

A(Tk , n) =

,

n12

n1k

n21 n22

n2k

nk1 bk 2 q1 0

k kk 0

0

0

q2

0

0

,

a1

a2

an

b1

b2

bn

k1

k2

kn

p1

0

0

0

p2

0

0

0

pn

, P( n, n) =

kde

,

,

P = diag ( p1 , p 2 ,

, pn )

Q = diag (q1 , q 2 ,

, qn )

,

qn

budou sou iny ATA = N , ATPA = N, i ATQA = N rovny:

AT A =

a1

a2

an

a1

b1

k1

b1

b2

bn

a2

b2

k2

k1

k2

kn

an

bn

kn

paa

pab

pak

pba

pbb

pbk

pka

pkb

pkk

AT PA =

kde

aa =

n

a i ai =

i =1

n

ai2 ,

i =1

ab =

n

=

, AT QA =

ai bi , ... atd.,

i =1

Matice N jsou symetrické, tedy normálních rovnic.

aa

ab

ak

ba

bb

bk

ka

kb

kk

, (4,33)

qaa

qab

qak

qba

qbb

qbk

qka

qkb

qkk

pab =

n i =1

pi ai bi ,...atd .

NT = N a nazývají se matice koeficient

Matice A se nazývá matice plánu, matice P matice vah a Q matice váhových koeficient (matice kofaktor ).

- 67 (105) -


Násobení blokových matic Nech matice A a matice B jsou blokové matice vhodných typ : A=

A1

A2

A3

A4

C = AB =

,B=

C1

C2

C3

C4

B1

B2

B3

B4

,

, kde

C1 = A1 B1 + A2 B3 , C 2 = A1 B2 + A2 B4 , C 3 = A3 B1 + A4 B3 , C 4 = A3 B2 + A4 B4 ,

C = AB =

tedy

A1 B1 + A2 B3 A3 B1 + A4 B3

A1 B2 + A2 B4 . A3 B2 + A4 B4

(4.34)

Determinant matice Determinantem tvercové matice A(n,n) budeme zna it íslo det(A), které se vypo ítá: det( A) =

n k =1

(−1) ( j + k ) a jk A jk , nebo det( A) =

n

(−1) ( j + k ) a jk A jk ,

j =1

(4.35)

kde Ajk jsou subdeterminanty matic vzniklých vypušt ním j-tého ádku a k-tého sloupce. Determinant matice typu (2,2)

A=

a11

a12

a 21

a 22

, det( A) = a11a 22 − a12 a 21.

Determinant matice A typu (3,3) a11

a12

a13

A = a 21 a31

a 22 a32

a 23 a33

se vypo ítá

- 68 (105) -

(4.36)

Dodatek A

det( A) = a11 det

a 22 a32

a 23 a − a12 det 21 a33 a31

a 23 a + a13 det 21 a33 a31

a 22 , tedy (4.37) a32

det( A) = a11 a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21 a32 − a11 a 23 a 32 − a12 a 21 a33 − a13 a 22 a31 . Hodnota determinantu matice se nezm ní, když k n kterému sloupci ( ádku) matice p i teme lineární kombinaci jiných sloupc ( ádk ) této matice. Násobíme-li n který sloupec ( ádek) matice A íslem c, bude determinant takto vzniklé matice mít hodnotu c.det(A). Zam níme-li v matici dva sloupce ( ádky), determinant zm ní znaménko. Pravidla pro práci s determinanty: a)

det( AB ) = det( BA),

b)

det( AB ) = det( A)det( B ),

c)

det( AT ) = det( A),

d)

det(diagD) = d11d 22

(4.38) d nn ,

e) det( I ) = 1, det(0 ) = 0. Regulární matice je tvercová matice, která má nenulový determinant, tj. det(A)≠0.

Singulární matice je tvercová matice, jejíž determinant se rovná nule, tj. det(A)=0.

Hodnost matice Hodnost matice A je íslo h(A), které udává maximální po et lineárn nezávislých vektor (sloupc ) matice A(n,m). Hodnost matice se sou asn rovná po tu lineárn nezávislých ádk (sloupc ). Hodnost matice A(n,m) je maximáln rovna menšímu z ísel n, m, tj. h(A) ≤ min(n,m). Jsou-li tvercové matice A a B stejného typu (n,n) u nichž h(A) = r, h(B) = s, tak je h(A + B) = r + s – n.

(4.39)

Pro sou in dvou matic AB platí, že hodnost sou inu h(AB) ≤ min{h(A),h(B)}. Regulární matice A typu (n,n) má hodnost h(A) = n. Singulární matice A typu (n,n) má hodnost h(A) < n.

- 69 (105) -


Hodnost diagonální matice se rovná po tu nenulových prvk této matice. Hodnost transponované matice je stejná jako u matice p vodní, tj. h(AT) = h(A).

(4.40)

Stopa matice Stopa ( tvercové) matice je íslo tr(A), které se vypo ítá jako sou et prvk hlavní diagonály matice A(n,n) tj.: tr ( A) = a11 + a 22 +

+ a nn .

(4.41)

Pro stopy matic platí: a)

tr ( A + B ) = tr ( A) + tr ( B ),

b)

jsou - li definovány AB a BA, pak tr ( AB ) = tr ( BA),

c)

tr ( AT ) = tr ( A).

(4.42)

Idempotentní matice Idempotentní matice je taková matice pro kterou platí AA = A. Idempotentní matice je symetrická, tj. A = AT. Hodnost idempotentní matice se rovná její stop , tj. h(A) = tr(A).

Norma matice Norma matice A(n,n) se vypo ítá jako odmocnina ze sou tu diagonálních prvk tj:

2 2 A = a11 + a 22 +

2 + a nn , nebo

tverc

(4.43)

A = tr ( AT A) .

- 70 (105) -

Dodatek A

4.2.3

Inverzní matice

Inverzní matice A-1 ke tvercové regulární matici matice, pro kterou platí:

A je taková tvercová

A −1 A = AA −1 = I , kde I je jednotková matice.

(4.44)

Existuje ada metod pro výpo et inverzní matice. Podrobn se jimi zabývá numerická matematika. Výpo et inverzní matice je sou ástí prakticky všech programových produkt , které pracují s maticemi, nap . EXCEL, MATCAD, MATLAB aj.

(4.45a - e)

Pro inverzi tvercových regulárních matic stejného typu platí: a) ( AT ) −1 = ( A −1 ) T , b) ( ABC ) -1 = (C −1 B −1 A −1 ),

c) je - li A symetrická tj. A = AT , je i A −1symetrická, tj. A −1 = ( A −1 ) T , d) je - li D = diag (d1 , d 2 ,

, d n ), je D −1 = diag (1 / d1 ,1 / d 2 ,

,1 / d n ),

e) je - li T trojúhelníková matice (nap . horní), je i T −1 trojúhelníková matice (horní). Ortogonální matice Regulární matice C typu (n,n) je ortogonální, když pro ni platí: CT C = I, nebo též C -1 = CT.

(4.46)

Sloupce ( ádky) matice C tvo í ortonormální skupinu vektor , tj. jsou navzájem na sebe kolmé a všechny mají jednotkovou délku. P íkladem ortogonální matice jsou známé matice rotace, nap . R(2,2):

R=

cos α

− sin α

sin α

cos α

, R −1 = R T =

cos α

sin α

− sin α

cos α

.

(4.47)

Determinant ortogonální matice det(C) = det(CT) = det(C-1) = 1.

(4.48)

- 71 (105) -


Ve vyrovnávacím po tu se asto používá diagonální matice vah P a k ní inverzní matice váhových koeficient Q, kde za p edpokladu pi > 0 , qi > 0 pro všechna i:

P=

p1 0

0 p2

0 0

0

0

pn 1 p1

Q = P −1 =

,

0

0

0

1 p2

0

0

0

1 pn

=

q1 0

0 q2

0 0

0

0

qn

.

(4.49)

Definujeme-li pro váhy pi > 0 následující matice: 1

P

12

=

p1

p1

0

0

0

p2

0

0

0

pn

, P

−1 2

=

0 0

0 1 p2 0

0 0

= Q1 / 2 ,

1 pn

pak platí:

P = P1/2 P1/2, P-1 = P-1/2 P-1/2 ,

Q = Q1/2 Q1/2 .

(4.50)

a vztah N = ATPA ,viz (5.32), lze psát jako

N = ATP1/2P1/2A = BTB, kde B = P1/2A. Obdobn

N = ATQA,

lze psát jako

N = ATQ1/2Q1/2A.

- 72 (105) -

(4.51)

Dodatek A

Inverze blokové matice Ozna me blokové matice:

A B , X = C D

E X −1 = G

F H ,

I = 0I 0I .

a p edpokládejm , že matice jsou vhodných typ a všechny k inverzi p ipadající submatice jsou regulární. Potom lze odvodit vztahy:

E = A −1 + A −1 B ( D − CA −1 B ) −1 CA −1 , H = ( D − CA −1 B ) −1 , F = − A −1 BH = − A −1 B ( D − CA −1 B ) −1 ,

(4.52)

G = − HCA −1 = −( D − CA −1 B ) −1 CA −1. Odvození vyplývá z definice inverzní matice, u níž platí:

X X -1 = I, takže lze podle pravidel pro násobení blokových matic, viz. (4.34) psát:

AE + BG = I , AF + BH = 0, CE + DG = I , CF + DH = I . Pom rn

astým p ípadem jsou symetrické blokové matice u nichž

C = BT a D = 0. Samoz ejm regulární.

musí platit, že všechny submatice p ipadající k inverzi jsou

Výsledná inverzní matice je rovn ž symetrická.

X=

A BT

B , 0

X −1 =

E FT

F , H

E = A −1 − A −1 B ( B T A −1 B ) −1 B T A −1 ,

(4.53)

H = −( B T A −1 B ) −1 , F = − A −1 BH , F T = − HB T A −1.

- 73 (105) -


4.2.4

Elementární matice

Elementárními maticemi budeme nazývat matice, pomocí kterých se realizují elementární operace s maticemi (elementární úpravy ádk matice), p i nichž se nem ní typ matice ani její hodnost. Elementární matice jsou tvercové a jejich typ je stejný jako po et ádk matice, kterou upravují. Pozor: elementární matice nejsou maticemi bázových vektor , viz (4.66). 0 1 0

0

1 0 0

0

1 0 0

0

1 0 0

0

0 c 0

0

c 1 0

0

E1 = 0 0 1 0 0 0

0 , E2 = 0 0 1

0 , E3 = 0 0 1

0 , (4.54)

1

1

1

0 0 0

0 0 0

Elementární matice E1 zam ní navzájem dva ádky matice (zde druhý a t etí ádek). Elementární matice E2 vynásobí ádek matice reálným íslem (zde druhý ádek íslem c). Elementární matice E3 vynásobí ádek reálným íslem a výsledek p i te k dalšímu ádku (zde vynásobí první ádek íslem c a p i te jej k druhému ádku. Násobení reálným íslem znamená vynásobit tímto íslem každý prvek p íslušného ádku. Se íst dva ádky znamená se íst jejich odpovídající si prvky. Elementární matice E2 je diagonální a podle (4.45d) bude k ní inverzní matice rovnéž diagonální. Elementární matice E3 je trojúhelníková, bude podle (4.45e) k ní p íslušející inverzní matice rovn ž trojúhelníková.

E1−1 = E1 , 1

0

0

0

0 1/ c 0

0

E 2−1 = 0

0

1

0 , E 3−1 =

0

0

0

1

1

0 0

0

−c 1 0

0

0

0 1

0 ,

0

0 0

1

(4.55)

P i elementárních operacích se upravovaná matice násobí elementárními maticemi zleva. Mezi elementární matice lze za adit i tzv. matice zrcadlení, které jsou zvláštním p ípadem elementární matice E2 ve které konstanta c = -1. Ve vektorovém prostoru E3 se asto užívají následující t i matice zrcadlení:

- 74 (105) -

Dodatek A

−1 0 0

P1 =

1

0 0

1 0

0

0 1 0 , P2 = 0 − 1 0 , P3 = 0 1 0 . 0 0 1 0 0 1 0 0 −1

(4.56)

Matice zrcadlení zm ní p i násobení zleva znaménka všech prvk p íslušného ádku násobené matice a tím vlastn m ní orientaci p íslušné osy sou adného systému. Matice zrcadlení tak m ní levoto ivý sou adný systém na pravoto ivý sou adný systém a naopak.. Pro matice zrcadlení platí následující vztahy:

P1 P2 = − P3 , P2 P3 = − P1 , P3 P1 = − P2 , PiT = Pi ,

Pi Pi = − Pi ,

Pi−1 = Pi ,

pro i = 1,2,3.

(4.57)

P íklad 4.1 P íklad na použití matic zrcadlení: 1 − 3 8 0 5 A = 2 0 6 4 4 , 5 2 0 − 5 7

1 − 3 8 0 5 P3 A = 2 0 6 4 4 . − 5 − 2 0 5 − 7

Výpo et inverzní matice s použitím elementárních matic Jedním ze zp sob výpo tu inverzní matice A-1 k matici A je rozší it tuto matici o blokovou matici jednotkovou a vytvo it tak blokovou matici B. U takto vytvo ené matice B se vhodnými elementárními úpravymi ádk p em ní matice A na matici jednotkovou a tím se p etvo í i matice jednotková I na matici inverzní A-1 .

B = ( A I ), ↓

(

C= I

↓

(4.58)

)

A −1 .

Uvedený postup využívá tzv. Gaussovy elimina ní metody, u které se nejprve p em ní matice A na horní trojúhelníkovou matici (pod hlavní diagonálou má samé nuly), poté se eliminují prvky nad hlavní diagonálou (rovn ž samé nuly), Diagonální matice se p etvo í na matici jednotkovou pod lením každého ádku hodnotou jeho diagonálního prvku

- 75 (105) -


P íklad 4.2 P íklad na použití elementárních matic p i výpo tu inverzní matice Je dána regulární matice A , ke které se má vypo ítat inverzní matice A-1 . Matice A se rozší í p idáním jednotkové matice I na blokovou matici B . 1 4 0 A = 2 4 2 , 3 10 2

1 4 0 1 0 0 B = (A I ) = 2 4 2 0 1 0 , 3 10 2 0 0 1

Dále se realizují postupné sou iny s využitím elementárních matic. Elementární matice jsou v p íslušném sou inu vždy nalevo:

1 0 0 − 2 1 0 − 3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 − 1/ 2 1

1 4 0 0 − 4 2 0 − 2 2

1 4 0 2 4 2 3 10 2

1 0 0 0 1 0 0 0 1

=

1 4 0 0 − 4 2 0 − 2 2

1 0 0 − 2 1 0 − 3 0 1

1 4 0 = 0 − 4 2 0 0 1

1 0 0 1 4 0 0 − 1/ 4 0 0 − 4 2 0 0 1 0 0 1

1 0 0 − 2 1 0 − 2 − 1/ 2 1

=

1 0 0 − 2 1 0 , − 2 − 1/ 2 1

1 4 0 1 0 0 0 1 − 1/ 2 1/ 2 − 1/ 4 0 , − 2 − 1/ 2 1 0 0 1

1 0 0 1 4 0 1 0 0 1 4 0 0 1 − 1/ 2 0 1 − 1/ 2 1/ 2 − 1/ 4 0 = 0 1 0 − 2 − 1/ 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 − 4 0 1 4 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1

1 0 0 − 2 1 0 , − 3 0 1

1 0 0 1 0 0 − 1/ 2 − 1/ 2 − 1/ 2 = 0 1 0 − 2 − 1/ 2 1 0 0 1

1 0 0 − 1/ 2 − 1/ 2 − 1/ 2 , − 2 − 1/ 2 1 − 2 3 2 − 1/ 2 − 1/ 2 1/ 2 . − 2 − 1/ 2 1

. Záv re ná matice je již bloková matice C obsahující inverzní matici A-1.

(

C = I

)

A −1 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

3 2 − 2 − 1/ 2 − 1/ 2 1/ 2 , − 2 − 1/ 2 1

3 2 − 2 A −1 = − 1 / 2 − 1 / 2 1 / 2 . − 2 − 1/ 2 1

Kontrola : 3 2 − 2 1 4 0 1 0 0 A. A − 1 = I = 2 4 2 − 1 / 2 − 1 / 2 1 / 2 = 0 1 0 . 3 10 2 1 0 0 1 − 2 − 1/ 2 V uvedeném p íklad bylo k získání inverzní matice použito postupné násobení elementárními maticemi. P i ozna ení postupn T1, T2 , D, T3 a T4, jsou matice T1, T2 dolní trojúhelníkové, matice D je diagonální a matice T3 , T4 jsou horní trojúhelníkové matice.

- 76 (105) -

Dodatek A

Inverzní matici A-1 lze rovn ž získat jako sou in elementárních matic (násobených postupn zleva) a p vodní matici A jako sou in jejich inverzních podob. Každou regulární matici A lze rozložit na sou in t í matic (4.57) , z nichž K a M jsou dolní a horní trojúhelníkové matice a L je diagonální matice. (T4T3 DT2T1 ) I = T4T3 DT2T1 = A−1, (T4T3 DT2T1 ) −1 = ( A−1 ) −1 = A = T1−1T2−1D −1T3−1T4−1,

A = KLM,

(4.59)

kde K = T1−1T2−1 , L = D −1, M = T3−1T4−1.

P íklad 4.2 - pokra ování V uvedeném p íklad bude mít rozklad (4.2) podobu: −1 1

K = T T

−1 3

−1 2

M = T T

−1 4

1 0 0 1 0 0 1 0 0 = 2 1 0 0 1 0 = 2 1 0 , 3 0 1 0 1/ 2 1 3 1/ 2 1

1 0 0 L = 0 − 4 0 , 0 0 1

1 0 0 1 4 0 1 4 0 = 0 1 − 1/ 2 0 1 0 = 0 1 − 1/ 2 , 0 0 1 0 0 1 0 0 1

0 1 4 0 1 0 0 1 0 0 1 4 A = KLM = 2 1 0 0 − 4 0 0 1 − 1/ 2 = 2 4 2 . 3 10 2 1 3 1/ 2 1 0 0 1 0 0 Pro symetrické a regulární matice A = AT platí rozklad:

A = CDC T , nebo A = C T DC ,

(4.60)

AT = (CDC T )T = (C T DC ) = A, kde C je dolní (horní) trojúhelníková matice, D diagonální matice a C T horní (dolní) trojúhelníková matice.

V p ípadech, kdy všechny prvky na hlavní diagonále matice D jsou kladné, lze podle (4.50) rozložit tuto matici na sou in dvou stejných matic

D = D1/2D1/2 a psát:

- 77 (105) -


A = CD1 / 2 D1 / 2 C T = GG T ,

(4.61)

kde G = CD1 / 2 .

Matice G je dolní trojúhelníková matice. Rozklad symetrické matice na sou in (4.51) se nazývá Choleského rozklad. Choleského rozklad je používán pro výpo et inverzní matice nebo ešení lineárních systém rovnic tzv. Choleského metodou. Pro výpo et inverzní matice A-1 platí:

A −1 = (GG T ) −1 = (G T ) −1 G −1 = (G -1 )T G -1 ,

(4.62)

G = (CD1 / 2 ), G −1 = D −1 / 2 C −1 , A −1 = (CDC T ) −1 = (C T ) −1 D −1C −1 = (C −1 )T D −1 / 2 D −1 / 2 C −1.

P íklad 4.3 P íklad na Choleského rozklad a inverzi symetrické matice A 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 A = 2 6 2 = CDC T = 2 1 0 0 2 0 0 1 1 = GG T , 0 2 4 0 1 1 0 0 2 0 0 1 1 0 0 1 kde G = CD 1 / 2 = 2 1 0 0 0 1 1 0

0 2 0

0 0 2

1 = 2 0

0 2 2

0 0 , 2

1 0 0 1 1 − 2 2 0 0 A − 1 = (C T ) − 1 D − 1C − 1 = − 2 1 0 0 1/ 2 0 0 1 −1 = 0 1/ 2 0 2 −1 1 0 0 1 1 − = (G − 1 ) T G − 1 = 0 0

2 2 1 2 0

2 2 1 − 2 1 2

1 2 − 2 2 2

0 1 2 2 − 2

- 78 (105) -

0 0 1 2

5 − 2 = − 2 1

1 1 1 − . 2 1 −1 2

Dodatek A

4.3

Lineární a kvadratické formy

Lineární transformací vektoru x na vektor y se nazývají vztahy:

y ( m,1) = B( m, n) x ( n,1) , z (m,1) = y ( m,1) + c ( m,1) = B( m, n) x ( n,1) + c ( m,1) ,

(4.63) (4.64)

kde matice B typu (m,n) je matice lineární transformace a vektor c typu (m,1) je vektor translace (posunu). Vztah (4.63) popisuje lineární zobrazení mezi dv ma vektorovými prostory, tj. transformaci vektoru x∈En na vektor y∈Em , pop ípad z∈Em (4.64). Bude-li matice B typu (n,n) bude ve vztahu (4.63) realizovat transformaci vektoru x typu (n,1) na vektor y (p ípadn vektor z) stejného typu (n,1), tj. transformaci do stejného vektorového prostoru. Délku transformovaného vektoru y m žeme vypo ítat jako odmocninu ze skalárního sou inu yTy (viz 4.9 a 4.13), tedy:

yT y =

x T B T Bx

.

(4.65)

Lineární transformace tedy m ní délky tranformovanch vektor Obecn totiž pro B platí:

x T B T Bx ≠ x T x ,

(4.66)

zn., že transformace (4.63) zm nila p vodní délku transformovaného vektoru x. Taková transformace se nazývá afinní transformace. Protože se m ní transformací délky, m ní se p i afinní transformaci i úhly mezi vektory. V p ípad , že v rovnici (4.65) bude matice B = C, kde C je ortogonální matice, bude pro tuto transformaci platit:

y = Cx , C T C = I , yT y =

x T C T Cx =

xT x .

(4.67)

- 79 (105) -


Lineární transformace u níž je matice transformace ortogonální se nazývá ortogonální transformace. Ortogonální transformace zachovává v transformacích typu (4.63) délky vektor a tím zachovává i úhly mezi vektory. P i ortogonální transformaci dochází k rotaci vektor kolem jednotlivých os sou adného systému, v p ípad transformace (4.64) i k posunu po átku sou adného systému (translaci). P i této ortogonální transformaci jsou zachovány délky mezi dv ma libovolnými vektory tj. nap . (z1 - z2). Délky vlastních transformovaných vektor se m ní vzhledem k nenulové translaci. M jme dva r zné ortonormální systémy bázových vektor pat ící jednomu vektorovému prostoru Vn , viz (4.5) a vytvo me z nich matice bázových vektor (matice bází):

E = (e1 e 2

e n ),

(

E * = e1*

e *2

)

e *n .

(4.68)

Sou in:

C = ( E * )T E ,

(4.69)

je matice ortogonální transformace. Ortogonální transformace vlastn popisuje lineární transformaci mezi dv ma ortonormálními bázemi.

(e1* )T e1

C = ( E * )T E =

(e *2 )T e1

(e1* )T e 2

(e1* )T e n

(e *2 )T e 2

(e *2 )T e n

(e n* )T e1 (e n* )T e 2

(e n* )T e n

kde cij = (ei* )T e j , pro i, j = 1,2,

,

(4.70)

, n.

Prvky cij ortogonální matice C jsou vektorové sou iny vždy dvou bázových vektor z r zných ortonormálních bází. Podle (4.15) vyjad ují tedy kosiny úhl mezi jednotlivými bázovými vektory, nebo ve jmenovateli výrazu (4.15) jsou normy t chto vektor , které jsou u ortonormálních vektor rovny jedné. Lze tedy psát:

cos α11

C=

cos α12

cos α1n

cos α 21

cos α 22

cos α 2n

cos α n1

cos α n 2

cos α nn

.

(4.71)

- 80 (105) -

Dodatek A

Z uvedeného d vodu se prvky ortogonální matice nazývají sm rové kosiny. Ortogonální transformace p evádí jeden systém bázových vektor na druhý systém bázových vektor a jednotlivé prvky ortogonální matice C jsou pak sm rové kosiny mezi p vodními a transformovanými bázovými vektory. Ve vektorovém prostoru E3 jsou standardn používány následující ortogonální matice rotací:

1

R1 (α ) = 0 0

0 cos α − sin α

cos β

0 sin α , R2 ( β ) =

cos α

0 − sin β

0

1

0

sin β

0

cos β

cos γ

sin γ

0

, R3 (γ ) = − sin γ

cos γ

0 .

0

0

1 (4.72)

Úhly α, β, γ jsou úhly pooto ení kolem jednotlivých os sou adného systému. Matice rotace R1(α) vyjad uje pooto ení kolem osy x1, tj. v rovin x2, x3 o úhel α ( v kladném smyslu), R2(β) pooto ení kolem osy x2 , tj. v rovin x1, x3 o úhel β a R3(γ) pooto ení kolem osy x3, tj. v rovin x1, x2 o úhel γ. Jsou-li úhly pooto ení dostate n malé tj. dα,, dβ, dγ, lze dosadit do matic rotací (4.72) sin dα = dα, sin dβ = dβ, sin dγ = dγ a cos dα, = cos dβ = cos dγ = 1. Matice rotací budou mít pak diferenciální podobu:

1 0 R1 (dα ) = 0 1 0 − dα

0 1 dα , R 2 ( dβ ) = 0 1 dβ

0 − dβ 1 1 0 , R3 (dγ ) = − dγ 0 1 0

dγ 1 0

0 0 , 1 (4.73)

1 R = R1 (dα ) R2 (dβ ) R3 (dγ ) = − dγ dβ

dγ 1 − dα

− dβ dα . 1

(4.74)

P i násobení matic v rovnici (4.74) byly zanedbány sou iny dαdβ, dαdγ, dβdγ, nebo se jejich hodnoty blíží nule.

- 81 (105) -


Násobíme-li dv ortogonální matice je výsledná matice rovn ž ortogonální, nebo pro ortogonální matice A a B platí:

A −1 = AT , B −1 = B T , C = AB, C −1 = ( AB ) −1 = B −1 A −1 = B T AT = ( AB )T = C T .

(4.75)

Jako bilinearní formu budeme ozna ovat íslo vzniklé sou inem: a = y T A z,

(4.76)

kde vektory i matice jsou vhodného typu, nap typu (n,m).

y typu(n,1), z typu(m,1), A

tzv. kvadratická forma Ω vzniklá

Zvláštní p ípad bilineární formy je sou inem: = x T B x,

(4.77)

kde matice B je tvercová a regulární typu (n,n) pro vektor x typu (n,1). P íkladem kvadratické formy užívané ve vyrovnávacím po tu je sou et tverc oprav. Ozna íme-li vektor oprav v a diagonální matici vah P bude kvadratická forma (4.78) vyjad ovat vážený sou et tverc oprav:

v T = (v1 v 2

v n ), P = diag ( p1

= v T P v = (v1 v 2

Je-li matice P tverc oprav:

vn )

p n ),

p2

p1

0

0

v1

0

p2

0

v2

0

0

pn

vn

=

n i =1

pi vi2 . (4.78)

jednotková bude kvadratická forma (4.79) vyjad ovat sou et

- 82 (105) -

Dodatek A

= v T P v = v T I v = v T v = (v1 v 2

vn )

v1

1 0

0

0 1

0 v2

0 0

=

n

vi2 . (4.79)

i =1

1 vn

Metoda nejmenších tverc (MN ) je metoda, která je založena na minimalizaci kvadratické formy (4.77), resp. (478) nebo (4.79). Pro lineární transformaci (10.63) lze v p ípad regulární matice B napsat její inverzní podobu (zp tnou transformaci), která je vlastn ešením systému lineárních rovnic (4.63):

y = Bx

x = B −1 y.

(4.80)

Skalární sou in xTx viz (4.9) je vlastn kvadratická forma s jednotkovou maticí. Podle (4.80) bude:

x T x = ( B −1 y )T ( B −1 y ) = y T ( B −1 )T B −1 y = y T A y,

(4.81)

kde matice A je symetrická matice, viz (4.33) vyjad ující vztah kvadratických forem v lineárním systému rovnic (4.80). Je-li transformace (4.80) ortogonální jsou stejné i její kvadratické formy viz (4.67). Symetrickou matici A typu (n,n) nazveme pozitivn definitní, kvadratická forma (10.82) je kladná (je kladné íslo):

x T A x > 0 pro všechny x ≠ 0.

jestliže

(4.82)

Symetrickou matici A typu (n,n) nazveme pozitivn semidefinitní, jestliže kvadratická forma (4.83) je nezáporná:

x T A x ≥ 0 pro všechny x ≠ 0.

(4.83)

- 83 (105) -


P esné definice pozitivn definitních matic a pozitivn semidefinitních matic viz (.84a) vycházejí z teorie vlastních ísel a vlastních vektor , která je uvedena ve stati 4.4. Pro pozitivn definitní a pozitivn semidefinitní matice platí: (4.84a –i) a)

symetrická matice je pozitivn definitní tehdy a jen tehdy, jestliže všechna její vlastní (charakteristická) ísla jsou kladná a pozitivn semidefinitní, jestliže jsou nezáporná, p i emž alespo jedno je nulové,

b)

je-li A definitní,

c)

jestliže B je libovolná matice typu (n,m) s hodností m je matice BTB pozitivn definitní, p i libovolné hodnosti je BTB pozitivn semidefinitní,

d)

je-li A pozitivn definitní matice typu (n,n), pak i sou in BTAB je pozitivn definitní pro všechny matice B typu (m,n) s hodností n . P i jiné hodnosti matice B je uvedený sou in pozitivn semidefinitní,

e)

determinant pozitivn definitní matice je kladné íslo

f)

pozitivn definitní matice má všechny submatice na hlavní diagonále pozitivn definitní a platí tedy, že všechny diagonální prvky jsou kladné, tj.:

pozitivn definitní, je i inverzní matice A-1 pozitivn

aii > 0 a sou asn

aii ajj > aij2, pro každé i a j.

g)

symetrická matice je pozitivn definitní, když diagonální prvky p i Gausov eliminaci p íslušející diagonální matici L (4.59) jsou kladné,

h)

symetrická matice je pozitivn definitní, když matice G Choleského rozkladu (4.61) je regulární dolní trojúhelníková matice,

i)

pro stopu pozitivn definitní nebo pozitivn semidefinitní matice A platí: tr (A) > 0 pro

4.4

A ≠ 0.

Vlastní ísla a vlastní vektory

Vlastní íslo (též charakteristické íslo) tvercové matice A typu (n,n) je takové íslo λ (skalár), že pro nenulový vektor x typu (n,1) platí rovnice:

Ax = λx ,

(4.85)

kde vektor x se nazývá vlastní vektor p íslušející k vlastnímu íslu λ.

- 84 (105) -

(charakteristický vektor)

Dodatek A

Vlastní ísla λi matice A získáme ešením tzv. charakteristické rovnice (charakteristického polynomu)

det( A − λI ) = 0, a11 − λ det

a12

a1n

a 21

a 22 − λ

a 2n

a n1

an2

a nn − λ

= 0,

(4.86)

λn + p1λn −1 +

+ p n − 2 λ2 + p n −1λ + p n = 0. Vlastní ísla matice A typu (n,n) jsou ko eny algebraického polynomu (4.86) a je jich práv n a zna í se λ1, λ2, ...,λn . Vlastní ísla mohou být reálná i komplexní, tj. i nulová Ve skupin vlastních ísel se mohou n která opakovat, což souvisí s vícenásobnými ko eny rovnice (4.86). Proto se n kdy používá termín jednoduchá vlastní ísla, dvojnásobná vlastní ísla, atd. Vlastní vektory xi p íslušející vlastním ísl m λi se vypo tou ze soustavy rovnic: ( A − λ i I ) x i = 0.

(4.87)

Vlastních vektor je rovn ž n. Nulový vektor nem že být vlastním vektorem. Pro vlastní ísla a vlastní vektory platí:

(4.88a-g)

a)

symetrická matice má všechna vlastní ísla reálná,

b)

pozitivn definitní matice má všechna vlastní ísla kladná, pozitivn semidefinitní má všechna vlastní ísla nezáporná, viz (4.84a),

c)

vlastní ísla diagonální matice jsou její diagonální prvky,

d)

u symetrické matice jsou vlastní vektory ortogonální,

e)

po et nenulových vlastních ísel matice A matice,

f)

vlastní ísla matice jsou invariantní k její ortogonální transformaci,

g)

stopa symetrické matice se rovná sou tu jejich vlastních tr(A)=λ1+λ2+...+λn.

- 85 (105) -

je roven hodnosti této

ísel


P íklad 4.4 P íklad na výpo et vlastních ísel a vlastních vektor : Uvedený p íklad je jednoduchou ilustrací postupu výpo tu vlastních ísel a vlastních vektor . P ímé použití charakteristického polynomu k ešení vlastních ísel u rozsáhlých matic je velmi problematické. Proto byly vyvinuty i další, zejména iterativní postupy. U rozsáhlejších programových systém jako EXCEL, MATCAD, MATLAB a pod., je výpo et vlastních ísel a vlastních vektor jejich sou ástí. 1 −2

A= det

1

4

, det( A − λI ) = 0,

1− λ

−2

1

4−λ

= (1 − λ )(4 − λ ) + 2 = λ2 − 5λ + 6 = 0.

λ1 = 2, λ2 = 3, 1) ( A − λ1 I ) x1 = 0 , 1 − λ1

−2 4 − λ1

1

−1 − 2

x1 =

x11 = 2, x12 = −1,

1

x11 x12

2

x1 =

x11 x12

2

=

0

=

−1

0

− x11 − 2 x12 = 0,

,

x11 + 2 x12 = 0,

,

2) ( A − λ 2 I ) x 2 = 0 , 1 − λ2 1

−2 4 − λ2

x2 =

x 21 = 1, x 22 = −1,

−2 −2 1

x2 =

1 x 21 x 22

x 21

=

x 22 =

1 −1

0 0

,

− 2 x 21 − 2 x 22 = 0, x 21 + 1x 22 = 0,

.

Podle (4.88d) jsou vlastní vektory symetrické matice typu (n,n) ortogonální. Využitím vztahu (4.17) pro normování vektoru je m žeme p evést na ortonormální skupinu vektor . Uspo ádáním normovaných vektor do matice dostaneme ortogonální matici X typu (n,n):

xi =

xi , xi

X = ( x1

x2

x n ),

(4.89)

která umožnuje diagonizaci matice A nebo platí:

XT AX = , X T X = I, kde = diag (λ1 λ2 λn ).

(4.90)

- 86 (105) -

Dodatek A

Pro symetrickou matici A platí sou in:

XT ,

A= X

(4.91)

kde Λ je diagonální matice vlastních ísel a X je ortogonální matice k nim p íslušných normovaných vlastních vektor . Rozepsáním vzorce (4.91) pomocí sloupc matice X dostaneme tzv. spektrální rozklad symetrické matice A : n

A=

λi x i x Ti .

(4.92)

i =1

P íklad 4.5 P íklad na výpo et symetrické matice podle (4.91)a její spektrální rozklad:

A=

1

−5

−5

1

x1 = x1 =

c

λ1 = 6, λ2 = −4, d

,

x1 =

x1T x1 = c 2 ,

x1 1/ 2 , = x1 − 1/ 2

x2 =

x2 1/ 2 , = x2 1/ 2

−c

A= X

, x2 =

XT =

d

1/ 2

6

=

x 2T x 2 = d 2 ,

x2 = X=

0 1/ 2 0 − 4 1/ 2

− 1/ 2 1/ 2

,

0 −4

6

1/ 2

0

1/ 2

1/ 2

,

− 1/ 2 1/ 2

− 1/ 2 1/ 2

=

1

−5

−5

1

,

Spektrální rozklad

A = λ1 x1 x1T + λ2 x 2 x T2 = 6 =6

1/ 2

− 1/ 2

− 1/ 2

1/ 2

−4

1/ 2 − 1/ 2

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

=

(1 /

)

− 1/ 2 − 4

2

3

−3

−3

3

+

(1 /

2 1/ 2 =

1

−5

−5

1

1/ 2 1/ 2

−2 −2 −2 −2

=

)

.

Známe-li vlastní ísla a vlastní vektory regulární symetrické matice A , která má podle (4.88e) všechna vlastní ísla nenulová, lze využít jejího rozkladu (4.91) pomocí ortogonální matice X a diagonální matice vlastních ísel Λ k výpo tu inverzní matice:

A −1 = ( X

X T ) −1 = ( X T ) −1 −1 X −1 = ( X T )T - 87 (105) -

−1

XT = X

−1

X T . (4.93)


Singulární matice má n která vlastní ísla nulová a proto k ní není definována inverzní matice A-1 , nebo v diagonální matici Λ-1 rozkladu (4.93) by se muselo d lit nulou.

P íklad 4.6 P íklad na výpo et inverzní matice pomocí rozkladu (4.93) K výpo tu použije již jednou ur ené matice z p edcházejícího p íkladu

A=

1 −5 , −5 1

A −1= X −1 X T =

X=

1/ 2 1/ 2 , − 1/ 2 1/ 2

=

6 0 , 0 −4

0 1/ 2 1/ 2 1/ 6 − 1/ 2 1/ 2 0 − 1/ 4 1/ 2 1/ 2

− 1/ 2 1/ 2

=

− 1 / 24 − 5 / 24 . − 5 / 24 − 1 / 24

Kontrola A A −1 =

1 − 5 − 1 / 24 − 5 / 24 1 0 = = I. −5 1 − 5 / 24 − 1 / 24 0 1

Dále platí: a)

jestliže matice A a B jsou regulární matice typu (n,n), potom matice B A B-1 má stejný charakteristický polynom, stejná vlastní ísla, stejnou stopu a stejnou hodnost jako má matice A,

b)

jestliže C je ortogonální matice, pak matice A a matice CT A C mají stejná charakteristická ísla.

Speciálním p ípadem jsou idempotentní matice. Idempotentní matice A taková tvercová matice pro kterou platí

A A = A2 = A .

je

(4.94)

Vlastnosti idempotentních matic:

(4.95a-e)

a)

idempotentní matice je symetrická, tj. A = AT,

b)

idempotentní matice má na diagonále jen kladné nebo nulové prvky,

c)

vlastní ísla idempotentní matice jsou rovna jedné nebo nule,

d)

hodnost idempotentní matice se rovná její stop , tj. h(A) = tr(A)

e)

je-li idempotentní matice A regulární, rovná se jednotkové matici A= I.

- 88 (105) -

Dodatek A

Vlastnost (4.95d) vyplývá z vlastnosti (10.95c), nebo po et vlastních ísel idempotentní matice, které se rovnají jedné , je dán hodností matice h(A). Tato skute nost vyplývá z definice vlastních ísel a definice idenpotentní matice:

Ax = λx ,

AAx = λAx = λλx = λ 2 x = A 2 x ,

Pro matici A 2 platí také definice vlastních ísel A 2 x = λx , ale také

A 2 x = λ2 x,

− λ ) x = 0,

pro x ≠ 0 bude (

(

2

λ (λ − 1) = 0

4.5

λi =

0 1

λx = λ 2 x , 2

− λ ) = 0 pro všechna λi ,

pro všechna i.

Pseudoinverzní matice

Inverzní matice je definována pro regulární, tj. tvercové matice A typu (n,n) s plnou hodností h(A) = n. Je-li matice A singulární tzn., že má n která vlastní ísla nulová, inverzní matice k ní neexistuje. Rovn ž neexistuje možnost invertovat matice obdélníkové typu (n,m). Uvažujme matici A typu (n,m) libovolné hodnosti. Pseudoinverzní maticí k matici A nazveme matici A typu (m,n), pro kterou platí:

A A − A = A.

(4.96)

Takto definovaná zobecn ná inverze vždy existuje, ale není jednozna n ur ena. Známe-li alespo jednu pseudoinverzní matici A k matici A , potom všechny pseudoinverzní matice k matici A typu (n,m) jsou dány vztahem:

A − A A − + ( I ( m) − A − A) B + C ( I ( n) − A A − ),

(4.97)

kde I jsou jednotkové matice daného typu a B a C jsou libovolné matice typu (m,n). D sledkem je skute nost, že i pro symetrické matice A nemusí být její pseudoinverzní matice symetrické. Spl uje-li matice A i další podmínky podle (4.98) nazývá se MooreovaPenroseova pseudoinverzní matice a ozna uje se A+ :

- 89 (105) -


A A + A = A, A + AA + = A + ,

(4.98)

( AA + )T = AA + , ( A + A)T = A + A. Mooreova-Penroesova inverze má jednozna né ešení, tudíž matice A+ k matici A je práv jedna. ada autor rozlišuje i názvem matice. A a A+. . Vzhledem ktomu, že matice A+.je jen zvláštním p ípadem matice A budeme pro ob používat pojmenování pseudoinverzní matice a rozlišovat je budeme ozna ením kladného nebo záporného znaménka v jejich indexu. Pseudoinverzní matici A+ lze vypo ítat s použitím zobecn né inverze podle: A + = AT ( A AT ) − A ( AT A) − AT .

(4.99)

Pro pseudoinverzní matice A+ vedle podmínek (4.98) též platí: a) ( AT ) + = ( A + )T , b) ( A + ) + = A, c)

je - li

A regulární

(4.100) A − = A + = A −1.

K výpo tu matice A , resp. A+ existuje ada metod. Jednou z metod jak vypo ítat pseudoinverzní matici A je p em nit matici A na vhodnou blokovou matici a k ní definovat A . P em me matici A typu (n,m) s hodností h(A) = r < min(n,m) na blokovou matici, kde submatice B je tvercová matice typu (r,r) s plnou hodností h(B) = r, tzn. že její sloupce ( ádky) jsou lineárn nezávislé. P em na matice A se realizuje p eskládáním sloupc ( ádk ) matice tak, aby vzájemn nezávislé sloupce ( ádky) byly v levé ásti matice. P edpokládejme, že matice A již byla uvedeným postupem p em n na a p ipome me, že existuje tedy inverzní matice B-1 k matici B:

A( n, m) =

B( r , r ) D( n − r , r )

C (r , m − r ) B C = . E (n − r , m − r ) D E

(4.101)

Vzhledem k lineární závislosti zbylých sloupc matic C a E bude existovat matice M popisující tuto závislost: C = B M, E = D M,

tedy

E = D B −1C .

(4.102)

Jedna z množiny matic A k matici A bude i matice ur ená z následujícího vztahu (4.103): - 90 (105) -

Dodatek A

A(−m, n) =

B −1 0 , 0 0

B C . D E

A( n, m) =

kde

(4.103)

P íklad 4.7

P íklad na výpo et pseudoinverzní matice A : Matice A typu (3,2) má hodnost h(A) = 1, tzn., že druhý sloupec je lineárn závislý na sloupci prvním. Matice M ze vztahu (4.102) bude tedy typu (1,1).

A=

1

2

1

2

1

2 =

1

2 =

−1 − 2

−1 − 2

B = (1), C = (2 ), D = A− =

A −1 0 0 0

=

1 −1

B

C

D

E 2

, E=

1 0 0 0 0 0

−2

,

= DB −1C , B −1 = (1),

.

Chceme-li vypo ítat pseudoinverzní matici A+ k matici A (4.102) a (4.103) ve vztahu (4.99).

uplatníme postup

P íklad 4.8

P íklad na výpo et pseudoinverzní matice A+ k matici A : P edpokládejme stejnou matici A jako v p edešlém p íklad 4.7.

A=

1

2

1

2 ,

−1 − 2

AT =

1 1

−1

2 2 −2

,

A + = AT ( A AT ) − A ( AT A) − AT , Sestavíme nejprve matice (A AT) a (AT A) a vypo teme jakoukoliv jejich pseudoniverzní matici, tedy i matici ur enou (vypo tenou) podle (4.103). P ipome me že h(A) = 1.

- 91 (105) -


A AT =

5 5 − 5 5 5 − 5 , − 5 − 5 5

( A AT ) − =

6 , A T A = 63 12

1/ 5 0 0 0 0 0 , 0 0 0

( A T A) − = 1 0/ 3 00 ,

1 / 15 − 1 / 15 A + = A T ( A A T ) − A ( A T A) − A T = 21 // 15 15 2 / 15 − 2 / 15 .

Snadno se lze p esv d it, že výsledná matice A spl uje podmínky (4.98). V p ípad , že by k pseudoinverzi p ipadající matice byly regulární, pseudoinverze se zm ní na klasickou inverzi, viz (4.100c). Následující p íklad je ukázkou takového postupu.

P íklad 4.9: Vypo ítejme pseudoinverzní matici h(A)=2.

A+ k matici A

typu (3,2) s hodností

1 1 A = 2 4 , 0 −1 AA

T

2 3 −1 3 5 −1, = 1 −1 1

9 , A T A = 95 10

T

(A A )

−

5 − 3 0 2 0 , = − 3 0 0 0

( A T A) − = ( A T A) − 1 =

3/6 − 3/6 , 5/6 − 3/6

A + = A T ( A A T ) − A ( A T A) − A T = 2 / 06 − 31 // 66 − 53 // 66 . Pseudoinverzne symetrických matic Ve vyrovnávacím po tu se velmi asto pracuje se maticemi ATA (symetrickými), které tvo í koeficienty matice soustavy tzv. normálních rovnic viz.(4.33). Výsledný sou in obvykle ozna ujeme N tedy: N = AT A.

(4.104)

Je-li matice A typu (n,m) shodností h(A) = r < min(n,m) , bude podle (4.40c) matice N tvercová a symetrická typu (m,m) s hodností h(N) = r.

- 92 (105) -

Dodatek A

Matici pak ozna ujeme jako matici s neúplnou hodností, jejíž tzv. defekt je íslo

d = m – r.

(4.105)

Defekt d vlastn vyjad uje po et závislých sloupc ( ádk , vektor ) symetrické matice N , keré jsou lineární kombinací zbylých r nezávislých sloupc (vektor ). V p ípad , že r = m, tj. d = 0, mluvíme o takové matici jako o matici s plnou hodností. Protože p i nenulovém defektu je r < m , je matice N singulární (matice má nulový determinant), neexistuje k takové matici inverzní matice N-1 , definovaná vztahem (4.44). M žeme však k takové matici vypo ítat matice pseudoinverzní A nebo A+.

P i výpo tu pseudoinverzních matic k symetrickým maticím lze vedle postupu využívajícího inverze vhodn uspo ádané blokové matice viz (4.103), využít i jiné postupy, nap . dopln ní matice N o matice odstra ující singularitu , i využití vlastních ísel matice N. Tyto t i nazna ené postupy budou dále uvedeny.

A)

Použití blokových matic

Tato metoda je vlastn úpravou postupu uvedeného v (4.99) pro symetrickou matici N. P edpokládejme, že matice N typu (m,m) má nenulový defekt d=m – r. Rozd lme matici N na ty i submatice , N12 , N21 a N22, p i emž vhodným p eskupením ádk (sloupc ) bude matice N11 typu (r,r) s plnou hodností h(A) = r. Protože je matice N symetrická, bude matice N12 typu (r,m-r) a matice N21 typu (m-r,r), p i emž jedna je transponovanou podobou druhé. Matice N22 bude typu (m-r,m-r) a m že být i nulová.

N=

N 11 N 21

det( N ) = 0,

N 12 T , N 12 = N 21 , N 22 ale

podle (4.100) platí

(4.106)

-1 det( N 11 ) ≠ 0, proto existuje N 11 ,

−1 N 22 = N 21 N11 N12 .

Podle vztahu (4.99) pro výpo et pseudoinverzních matic musíme nalézt matici (N N) .k matici N N. Podle pravidel pro násobení blokových matic (4.34) vypo teme sou in N N , který bude rovn ž blokovou maticí. Pro její levou horní submatici, která je typu (r,r) s plnou hodností a tudíž regulární, lze

- 93 (105) -


vypo ítat inverzní matici W. Zbylé t i submatice nemusíme po ítat, nebo stejn nahrazeny podle (4.103) budou v pseudoinverzní matici (N N) nulovými maticemi.

(N N ) =

(N N )− =

N 11 N 11 + N 12 N 21 ?

? ?

( N 11 N 11 + N 12 N 21 ) −1 0

,

0 0

=

W 0

0 , (4.107) 0

kde W = ( N 11 N 11 + N 12 N 21 ) −1. Ozna me výslednou pseudoinverzní matici k matici N jako matici Q = N + . Tato matice vznikle výpo tem podle (4.99) s využitím pseudoinverze (4.107). Matice bude symetrická typu (m,m) s hodností h(Q) = r bude op t bloková a symetrická. V blokové podob ji zobrazuje vztah (4.108).

N+ =Q =

kde

N 11 W N 11 W N 11 N 21 W N 11 W N 11

N 11 W N 11 W N 12 Q Q12 , (4.108) = 11 N 21 W N 11 W N 12 Q21 Q 22

W = ( N 11 N 11 + N 12 N 21 ) −1 ,

T T N 12 = N 21 , Q12 = Q 21 .

Tato úprava pseudoinverze symetrické matice se nazývá Helmertovou inverzí. Pro velký po et maticových operací se používá v praktických aplikacích jen výjime n .

B)

Dopn ní invertované matice na matici regulární

Symetrická matice N = AT A je p i nenulovém defektu matice A singulární. P edložené ešení rozši uje matici AT A na blokovou symetrickou matici D s plnou hodností, která je již regulární a lze k ní proto vypo ítat inverzní matice D-1.. Je-li matice A typu (n,m) s hodností h(A) = r, je matice N = AT A typu (m,m) singulární pokud r < m. Potom doplníme systém o vhodnou matici B typu (r,m) a matici BT:

D=

N

BT

B

0

=

AT A B T B

0

.

(4.109)

det( N ) = 0, det( D) ≠ 0. Matice B rozši ující systém musí být zvolena tak, aby bloková matice R typu(m,m) m la plnou hodnost:

- 94 (105) -

Dodatek A

A

R=

B

, h( R) = m.

(4.110)

Volba matice B není jednozna ná. Nejednozna nost ešení vázané na volbu matice B vede k hledání takové matice – ozna íme ji E, která umožní vypo ítat pseudoinverzní matici = N +. Samoz ejm musí být spln na základní podmínka (4.110) a rovn ž: A

R=

E

, h( R) = m,

AT A E T = 0 , tedy i A E T = 0.

(4.111)

Zp sob volby matice E bude popsán v následující kapitole zabývající se ešením lineárních rovnic. Rozložíme-li matici N na submatice Nii podle (4.106) bude:

(

−1 E = − N 21 N 11

)

I.

(4.112)

Známe-li matici E , lze vypo ítat N + = (AT A) + podle:

D

−1

AT A E T = E 0

−1

=

Qe

( EE T ) −1 E

E T ( EE T ) −1 0

(4.113)

kde Qe = ( AT A) + . Protože u matice D jsou na její hlavní diagonále i nulové prvky, je nutno volit výpo etní metodu, která umož uje takové inverzní matice ešit. Jsou to zejména metody umož ující p eskládáním ádk (sloupc ) dostat na diagonálu nenulové prvky. Další možností je vypo ítat pseudoinverzní matici Qe z následujícího vztahu:

Qe = ( AT A + E T E ) −1 − E T ( E E T E E T ) −1 E .

(4.114)

Praxe dává ob ma ešením podle (4.113) a (4.114) p ednost p ed Helmertovou inverzí podle (4.108).V geodetické praxi je tato metoda aplikována zejména ve vyrovnání tzv. volných sítí.

C)

Výpo et pseudoinverze pomocí vlastních ísel a vlastních vektor

P edpokládejme obdobn jako v p edcházejících metodách singulární symetrickou matici N typu (m,m) s hodností h(N) = r < m. Podle (4.88a, 4.88e) bude p íslušet k matici N práv tolik nenulových vlastních ísel, jako je hodnost této matice, tj. práv r . Zbylá vlastní ísla budou nulová a bude jich stejn jako je defekt této matice, tj. d = m - r.

- 95 (105) -


Metoda využívající vlastní ísla a vlastní vektory matice N pro nalezení její pseudoinverzní matice N + vychází z rozkladu matice N podle (4.91), p ípadn (4.92). Matice X ve vztahu (4.91) sestavená z vlastních vektor však bude tentokráte sestavena jen z vlastních vektor p íslušejících k nenulovým vlastním ísl m. Matici ozna me V a bude typu (m,r), diagonální matici vlastních nenulových ísel ozna me stejn jako v (4.91) Λ . Tato matice bude typu (r,r). Pseudoinverzní matici pak získáme podle vztahu (4.93). N =V VT , kde V = (v1 v 2 N + =V kde

−1

−1

v r ),

= diag (λ1 λ2

λr ) ,

VT ,

(4.115)

= diag (1 / λ1 1 / λ2

1 / λr ) .

Obdobn lze využít spektrálního rozkladu podle (4.92) s reciprokýmí (inverzními) hodnotami vlastních ísel matice N. Mimo výše uvedené t i metody ešení pseudoinverzních matic existují ješt další. Podrobn ji se touto problematikou zabývají specializované publikace numerické matematiky. P íklad 4.10

P íklad na výpo et pseudoinverzní matice k matici symetrické. Pro zadanou matici N typu (2,2) s hodností h(N) = 1 použijme postupy A), B) a C). N = 12 24 .

ad A) Nejprve rozložíme matici N na submatice, Nii tak, aby N11 byla regulární. N 11 N 21

N =

N 12 N 22

= 12 24 ,

det( N 11 ) = 1 ≠ 0,

T N 12 = N 21 ,

1 , 5 N 11 W N 11 W N 12 N 21 W N 11 W N 12

W = ( N 11 N 11 + N 12 N 21 ) − 1 = (1 + 4) − 1 = N+ = Q =

=

N 11 W N 11 W N 11 N 21 W N 11 W N 11

1 1 .1 . .1 5 5 1 1 2 . .1 . .1 5 5

1.

1 1 .1 . .2 5 5 1 1 2 . .1 . .2 5 5

1.

- 96 (105) -

=

1 25 2 25

=

2 25 . 4 25

Dodatek A

ad B) Matici N rozší íme o vhodnou submatici E a submatice ET a 0 tak , aby výsledná matice byla regulární a spl ovala podmínky (4.111), resp. (4.112)

N E

ET 0

=

1 2 − 2 2 4 1 0 − 2 1

1 2 − 2 2 4 1, − 2 1 0 1 25 2 25 − 10 25

−1

=

(

− 10 25 5 25

2 25 4 25 5 25

)

I = (− 2 1),

E = - N 21 N 11− 1

kde

N+

=

0

N

,

+

=

0

1 25 2 25

2 25 . 4 25

Druhou možností je využít vztahu (4.114)

N + = Qe = ( AT A + E T E ) −1 − E T ( E E T E E T ) −1 E , AT A =

1 2 4 −2 , ET E = , E E T = (5), E E T E E T = (25), 2 4 1 −2

1 5 0 , ( AT A + E T E ) −1 = 5 AT A + E T E = 0 5 0 4 25 E T ( E E T E E T ) −1 E = −2 25

0 1 5

−2 1 25 , N+ = 5 1 0 25

, ( E E T E E T ) −1 =

4 25 − −2 1 5 25 0

−2 1 25 = 25 1 2 25 25

1 , 25 2 25 . 4 25

ad C) K matici N nalezneme vlastní ísla a vlastní vektory. má vzhledem k její singularit jedno íslo nulove. K ob ma Matice N nenulovým ísl m pak vypo teme p íslušné normované vlastní vektory x1 a x2. Druhý vektor p íslušejí nulovému vlastnímu íslu po ítat již nemusíme, nebo se v rozkladu (4.115) neuplatní.

λ1 = 5, λ2 = 0, v1 =

1

2

5 , v = 2 2

5 , 1

5

= (5),

−1

V T = v1 −1 v1T =

=

1 , 5

5 1

N + =V

−1

5 2

1 5

1 5

5 - 97 (105) -

1 2 = 25 2 5 25

2 25 . 4 25


Uvedený p íklad je sice velmi jednoduchý, ale dob e ilustruje všechny t i postupy. Složit jší p íklady by velmi znep ehlednily výpo ty a obtížn by se p i studiu kontrolovaly b žnými výpo etními prost edky.

- 98 (105) -

Záv r

5

Záv r

5.1

Shrnutí

Tento studijní text je již t etím modulem zajiš ujícím p edm t Teorie chyb a vyrovnávací po et Studijní text Základní druhy vyrovnání – 2. ást seznamuje studenta s další základní úlohou vyrovnávacího po tu a sice s vyrovnáním podmínkových m ení. Tomuto druhu vyrovnání je v nována celá druhá kapitola. T etí kapitola objas uje složit jší druhy tzv. smíšených vyrovnání. Velmi rozsáhlá tvrtá kapitola s názvem Dodatek A je v nována p ehledu vzorc a pravidel pro po ítání s vektory a maticemi. Jejím cílem je podat ucelen jší p ehled z maticového po tu, který student m že použít p i studiu nejen tohoto modulu a dalších problém z vyrovnávacího po tu, ale i v dalších p edm tech na vyrovnávací po et navazující. Jsou to zejména p edm ty Geodetické sít , Fotogrammetrie a Inženýrská geodézie. Rozsah dodatku p ekra uje v n kterých ástech osnovy matematiky pro bakalá ské studium. P esto tyto pasáže byly do modulu za azeny, nebo na tuto základní literaturu se velmi asto obracejí i studenti magisterského studia i doktorského studia. Studenti si z nich mohou vybrat jen ty pasáže, které pot ebují pro pochopení konkrétní studované problematiky. Rovn ž se málokdy p i studiu jiného p edm tu vracejí ke skript m z matematiky (t eba je již prodali) a tak by jim tento dodatek mohl pomoci si rychle vzpomenout na d íve probíranou látku z maticového po tu a aplikovat ji p i studiu vyrovnávacích úloh . Studium teorie vyrovnání není možné bez praktických p íklad . Bohužel úspornost této formy výkladu neumož uje uvést více konkrétních p íklad a variant ešení. Zde musím studenta odkázat na n které sbírky p íklad a studijní texty. Rozsah textu rovn ž neumož uje v novat se n kterým specifickým otázkám podrobn ji. ada mén významn jších informací musela být z textu vypušt na.

5.2

Studijní prameny

5.2.1

Seznam použité literatury

[1]

Hampacher, M.- Radouch V.: Teorie chyb a vyrovnávací po et 10 skripta Vydavatelství VUT , Praha 1997, 159 stran,

[2]

Hampacher, M.- Radouch V.: Teorie chyb a vyrovnávací po et 20 skripta Vydavatelství VUT , Praha 1997, 140 stran,

[3]

Chmelík, M.:Vyrovnávací po et – P ehled vyrovnání metodou nejmenších tverc , skripta Vojenská akademie, Brno 1996, 14 stran.

[4]

Vykutil, J.: Teorie chyb a vyrovnávací po et, skripta ES VUT, Brno 1988, 309 stran.

[5]

Weigel, J.: M ické chyby, studijní opory GE04 – M01, VUT v Brn 2005

- 99 (105) -


[6]

Weigel, J.: Základní druhy vyrovnání 1. ást, studijní opory GE04 – M02, VUT v Brn 2005

[7]

Wolf, P.R. Ghilani, - Ch.D.:Adjustment Computations – Statistics and Least Squares in Surveying and GIS, John Wiley & Sohn, Inc. , 1997, 564 pp.

5.2.2

Seznam dopl kové studijní literatury

[8]

Hampacher, M.- Radouch V.: Teorie chyb a vyrovnávací po et (p íklady a návody ke cvi ením), skripta Vydavatelství VUT , Praha 1995, 164 stran

[9]

Koch, K. R.: Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models. Springer 1999, 333 pp.

[10]

Koutková, H. – Moll,I.:Úvod do pravd podobnosti a matematické statistiky, skripta CERM, Brno 2000, 192 stran.

[11]

Koutková, H. – Dlouhý, O.: Sbírka p íklad z pravd podobnosti a matematické statistiky, skripta CERM, Brno 2001, 58 stran.

[12]

Wolf, H.: Ausgleichungsrechnung, Formeln zur praktishen Anwendung, D mmler Bonn, 1975

[13]

Wolf, H.: Ausgleichungsrechnung II, Aufgaben und Beispiele zur praktishen Anwendung, D mmler Bonn, 1979

5.3

Autotest

5.1 Kolik je nutných m ení (k = ?) a kolik nadbyte ných m ení (r = ?) v rovinném obrazci tvo eném p ti trojúhelníky s jedním centrálním bodem (obrázek 5.1), ve kterém byla zadána jedna délka (vyzna ena siln ji) a všech 15 úhl (v každém trojúhelníku byly zm eny všechny t i úhly) ? Celkem tedy bylo zm eno 16 prvk (n = 16). Kolik bude podmínkových rovnic ?

Obrázek 5.1

- 100 (105) -

Záv r

5.2 Kolik je nutných m ení (k = ?) a kolik nadbyte ných m ení (r = ?) v rovinném obrazci (stejný obrázek 5.1), ve kterém bylo tentokrát zm eno všech 10 délek, ale žádný úhel ? Zamyslete se nad tím jak by mohly vypadat v tomto p ípad podmínkové rovnice. 5.3 Kolik je nutných m ení (k = ?) a kolik nadbyte ných m ení (r = ?) v rovinném ty úhelníku, ve kterém byly zm eny všechny ty i délky i ob úhlop í ky? Celkem tedy bylo zm eno 6 délek (n = 6). Kolik bude podmínkových rovnic? 5.4 Jakého typu bude výsledná matice D , která vznikne vynásobením matic D = A B C , když Akl , Bl,m , Cmk ? 5.5 Sestavte podmínkové rovnice pro trojúhelník ve kterém byly zm eny všechny t i úhly a všechny t i délky (viz kontrolní otázka 2.3 na str.13). Sestavte k nim koeficienty p etvo ených podmínkových rovnic.

5.4

Klí

2.5 P i menším po tu zadaných podmínek než daný problém vyžaduje zajistí výpo etní postup (vyrovnání) spln ní jen zadaných podmínek. Ve vyrovnávací úloze tak vznikne riziko, že p i dalším použití vyrovnaných hodnot (v dalších výpo tech s t mito hodnotami) se vyskytnou nejednozna nosti ešení p i volb r zných vyrovnaných veli in jako vstupních hodnot do t chto výpo t . 2.6 V p ípad sestavení více podmínek než je jejich požadovaný po et vznikne mezi podmínkovými rovnicemi závislost, jejímž d sledkem je singularita matice koeficient normálních rovnic. K této matici pak není definována inverzní matice a úloha nemá tímto zp sobem ešení. 2.7 Výšky bod vypo ítáme tak, že alespo jednomu z nich p isoudíme n jakou výšku. Výšky ostatních bod vypo teme standardním zp sobem jako sou et výšky a p íslušného p evýšení. 2.8 Po et zadaných výšek v nivela ní síti je významný pro stanovení po tu podmínek. P i jedné zadané výšce se po et podmínkových rovnic nem mí, p i dvou výškách je možno sestavit další podmínku pro p evýšení propojující tyto výšky, p i t ech výškách dv podmínky atd.Problém lze ešit jako vázanou i volnou sí .– podrobnosti viz p íklady v 3. kapitole. 5.1) První trojúhelník (3 body sít ) je dán 3 prvky (délkou a dv ma úhly), každý další ze 3 bod m že být ur en postupn protínáním z úhl (vždy 2 úhly). Po et nutných veli in je tedy k = 9. Po et všech veli in n = 16 , tedy po et nadbyte ných veli in bude r = n – k = 7. Musíme tedy sestavit 7 podmínkových rovnic, z nichž bude 5 rovnic trojúhelníkových (spln ní podmínky 180o v každém trojúhelníku), 1 podmínka záv rová (sou et st edových úhl musí dát 360o) a 1 podmínka stranová, kterou sestavíme tak,

- 101 (105) -


že budeme požadovat, aby se rovnala zadaná délka délce vypo ítané postupn sínovými v tami p es všech 5 trojúhelník z té samé zadané délky. 5.2 Po et m ených délek je n= 10, podle p edcházejícího úkolu je po et nutných m ení k = 9 . Po et nadbyte ných m ení r = n – k = 1. Musíme sestavit jednu podmínkovou rovnici. Tato podmínka je pom rn komplikovaná a sestavuje se jako sou et st edových úhl (360o), které vypo ítáme vždy z p íslušných t í délek z každého trojúhelníku, nap kosínovou v tou. 5.3 Obdobný problém jako v p edcházející p ípad 5.2. ty úhelník je dán p ti prvky a nam eno bylo šest délek. Je tedy nutno sestavit 1 podmínkovou rovnici. 5.4 Sou in matic je definován v (4.28). Postupným násobením získáme matici Dkk . 5.5 V trojúhelníku ve kterém bylo zm eno všech šest prvk (3 délky a 3 úhly) je možno sestavit 3 podmínkové rovnice. Obvykle se sestavují ve tvaru: ~ ~ ~ α~ + β + γ~ − 180 o = 0, b sin α~ − a~ sin β = 0, c~ sin α~ − a~ sin γ~ = 0. P etvo ené podmínkové rovnice budou mít tvar: 1vα + 1v β + 1vγ + 0v a + 0vb + 0vc + u a = 0,

(b cos α )vα + (− a cos β )v β + 0vγ + (− sin β )va + (sin α )vb + 0vc + ub = 0, (c cosα )vα + 0v β + (− a cos γ )vγ + (− sin γ )va + 0vb + (sin α )vc + u c = 0.

5.5

Koresponden ní úkoly

Úkol 5.1 Ur ete vyrovnané výšky bod P1, P2 a P3 zam ené nivela ním po adem o ty ech nivela ních oddílech, který byl vetknutý mezi dva nivela ní body o známých výškách A a B (viz obr. 3.2).

Obrázek 3.2: Schéma nivela ního po adu P evýšení

h

Délka oddílu

z bodu na bod

[m]

[km]

A

P1

+14,335

0,52

P1

P2

+8,882

0,44

P2

P3

25,710

0,75

P3

B

16,028

0,32

- 102 (105) -

Záv r

Výška bodu A HA = 245,832m , Výška bodu B HB = 310,773m . P i vyrovnání nivela ního po adu uvažujte váhy nep ímo úm rné délkám nivela ních oddíl , tj pi = 1 / si [km] . Vypo ítejte: a) Metodou vyrovnání zprost edkujících m ení vyrovnané výšky bod P1, P2 a P3, jednotkovou st ední chybu, st ední chyby vyrovnaných výšek, vyrovnaná m ení a jejich st ední chyby. c)

Metodou vyrovnání podmínkových m ení vypo ítejte vyrovnané výšky bod P1, P2 a P3 a st ední jednotkovou chybu.

Studenti budou dále zpracovávat z tohoto studijního textu dv koresponden ní úlohy, z nichž první bude na obecné sestavování p etvo ených podmínkových rovnic u vyrovnání podmínkových m ení ( 3 p íklady), druhá na vyrovnání podmínkových m ení (2 p íklady). P íklady budou zadány student m v pr b hu konzultací. Ostatní úkoly zadané v textu nebudou u itelem kontrolovány a je v zájmu student si p íslušné téma procvi it. P ípadné nejasnosti je možno ešit v rámci ádných konzultací.

- 103 (105) -

Záv r

Místo pro poznámky

- 105 (105) -

TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POET II

Recommend Documents