TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ

JOSEF WEIGEL

TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I GE04_M01 MĚŘICKÉ CHYBY

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

TCHVP – Měřické chyby

Tento text neprošel jazykovou ani redakční úpravou. Za jazykovou stránku odpovídá autor © Doc. Ing. Josef Weigel, CSc., Brno 2005

- 2 (64) -

Obsah

OBSAH 1 Úvod 5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klíčová slova.........................................................................................6 1.5 Metodický návod na práci s textem ......................................................6 2 Měření a zdroje jeho chyb ...........................................................................7 2.1 Měření a jeho fáze.................................................................................7 2.2 Podmínky ovlivňující měřický proces ................................................10 2.2.1 Metoda měření ......................................................................10 2.2.2 Podmínky při měření.............................................................11 3 Měřické chyby.............................................................................................15 3.1 Definice chyb ......................................................................................15 3.2 Rozdělení chyb a jejich struktura........................................................18 3.2.1 Omyly a hrubé chyby............................................................19 3.2.2 Systematické chyby - c .........................................................20 3.2.3 Náhodné chyby - ∆ ...............................................................21 3.2.4 Úplné chyby - ε .....................................................................22 4 Charakteristiky měření..............................................................................25 4.1 Charakteristiky polohy........................................................................25 4.1.1 Střední hodnota .....................................................................26 4.1.2 Aritmetický průměr...............................................................26 4.1.3 Modus a medián....................................................................27 4.1.4 Další charakteristiky polohy .................................................28 4.2 Charakteristiky proměnlivosti (míry přesnosti) ..................................30 4.2.1 Variance a směrodatná odchylka ..........................................30 4.2.2 Přesnost měření a základní střední chyba .............................31 4.2.3 Další charakteristiky proměnlivosti ......................................33 4.3 Vlastnosti středních hodnot a variancí ................................................35 4.4 Měření s různou přesností ...................................................................36 4.4.1 Váhy měření p......................................................................36 4.4.2 Váhové koeficienty q ...........................................................37 4.4.3 Určování vah v praxi.............................................................38 4.4.4 Matice vah a váhových koeficientů ......................................39 4.4.5 Příklady na výpočet vah........................................................39 4.5 Dvojrozměrné a vícerozměrné náhodné veličiny................................40 4.5.1 Střední hodnota náhodného vektoru .....................................41 4.5.2 Kovariance a kovarianční matice..........................................42 4.5.3 Korelační koeficient a korelační matice ...............................43 5 Chyby funkcí měřených veličin (zákony hromadění chyb) ....................45 5.1 Zákon hromadění pravých (skutečných) chyb ....................................46

- 3 (64) -


5.2 5.3 5.4

Zákon hromadění variancí (středních chyb)....................................... 47 Opačná úloha a princip stejného vlivu ............................................... 53 Zákony hromadění vah a váhových koeficientů................................. 56 5.4.1 Zákon hromadění vah........................................................... 56 5.4.2 Příklady ................................................................................ 57 5.4.3 Zákon hromadění váhových koeficientů .............................. 58 5.5 Zákony hromadění pro více funkcí počítaných současně................... 59 6 Závěr ........................................................................................................... 63 6.1 Shrnutí ................................................................................................ 63 6.2 Studijní prameny ................................................................................ 63 6.2.1 Seznam použité literatury..................................................... 63 6.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury................................... 63 6.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny......................................... 64 6.4 Klíč ..................................................................................................... 64

- 4 (64) -

Úvod

1

Úvod

1.1

Cíle

Cílem modulu Měřické chyby je objasnit studentům oboru Geodézie a kartografie základní pojmy z teorie měření a měřických chyb a zdroje těchto chyb. Studenti budou seznámeni se vzorci a způsoby používanými při stanovení charakteristik přesnosti výsledků měření. V závěru budou seznámeni se zákony (vztahy, pravidly) podle kterých se přesnosti (nejistoty) vstupních veličin projeví na výsledcích funkčních vztahů, tj. na přesnostech (nejistotách) výsledků realizovaných výpočtů. Student musí pochopit teoretický význam nadbytečných měření, naučí se rozlišovat různé způsoby vyjádření přesnosti měřených a vypočtených veličin. Po nastudování tohoto modulu by měl získat předpoklady pro rozlišování pojmů vnitřní a vnější přesnost měření.

1.2

Požadované znalosti

Při studiu tohoto modulu se studenti neobejdou bez základních znalostí z předmětu Matematika I a některých pasáží i z předmětu Matematika II. Pochopit musí zejména kapitoly týkající se derivací jednoduchých funkcí, rozvojů funkcí pomocí řad, především Taylorovy řady. Rovněž základní znalosti z teorie jednoduchého integrálu budou nezbytné. Souběžně s tímto předmětem probíhá ve stejném semestru i výuka v předmětu Pravděpodobnost a matematická statistika. Bez nadsázky lze říci, že teorie chyb a metody používané ve vyrovnávacím počtu jsou zcela založeny na principech a teoriích definovaných v teorii pravděpodobnosti a v matematické statistice. Matematické základy budou okamžitě aplikovány v tomto předmětu a proto se doporučuje studovat tento modul souběžně s texty předmětu Pravděpodobnost a matematická statistika. Znalosti z předmětu Geodézie I jsou nutné především k pochopení praktických příkladů.

1.3

Doba potřebná ke studiu

Obsah modulu je sestaven tak, že je pak v plné míře využíván v navazujícím předmětu Teorie chyb a vyrovnávací počet II. Protože se jedná o úvodní modul těchto dvou předmětů, jsou jeho znalosti klíčové pro pochopení navazujících informací. V prezenční formě studia je předmětu Teorie chyb a vyrovnávací počet I věnován rozsah výuky 2 hod přednášek a 2 hodiny cvičení týdně, po dobu 13 až 14 týdnů. Celková časová náplň pro nastudování tohoto modulu je asi 50 hodin, z toho se předpokládá 20 hodin na studium teorie a 30 hodin na procvičování příkladů. Časový rozsah jednotlivých kapitol tohoto modulu je uveden vždy u příslušné kapitoly.

- 5 (64) -


1.4

Klíčová slova

Měření, měřické chyby, náhodné chyby, systematické chyby, hrubá chyba, omyl, charakteristiky přesnosti, variance, kovariance, směrodatná odchylka, střední chyba, jednotková střední chyba, váhy měření, zákony hromadění chyb.

1.5

Metodický návod na práci s textem

Text a příklady v něm uvedené jsou seřazeny tak, aby se postupovalo od jednodušších příkladů k příkladům složitějším. Vzorové příklady jsou ve většině případů doplněny postupem výpočtu. Výpočty jsou sestaveny tak, aby mohly být počítány na kalkulačkách. Doporučuji studentům, aby si každý příklad nejprve vypočítali ručně (na kalkulačce se zápisem mezivýsledků na papír) a teprve potom jej realizovali například v tabulkovém procesoru Excel. Cílem totiž není jen vypočítat správný výsledek, ale pochopit detailně jeho jednotlivé fáze. Zvláště doporučuji, aby si student všímal velikosti každého čísla, počtu jeho cifer a jak se které číslo uplatní ve výsledku. V některých příkladech je možno sledovat vliv zaokrouhlování na celkový výsledek. Počet platných cifer má velký význam při výpočtech charakteristik přesnosti – středních chyb a vah. Musíme si uvědomit, že se jedná o čísla přibližná, neboť střední chyby středních chyb (charakteristiky přesnosti charakteristik přesnosti) bývají u těchto empirických odhadů dosti pesimistické.

Pokud student ovládá nějaký programovací jazyk, nebo pracuje s programovacími systémy typu MATCAD, MATLAB a pod., je vhodné věnovat tvorbě programů v těchto systémech více času, neboť si tak student ušetří čas při výpočtech jednotlivých aplikací vyrovnávacího počtu v navazujících odborných předmětech. Samozřejmě orientační čas uvedený ve stati 1.3 pro studium tohoto modulu pak bývá překročen i vícenásobně.

- 6 (64) -

Měření a zdroje jeho chyb

2


Cílem této kapitoly je objasnit pojem měření v širších souvislostech než je jen realizace vlastního procesu měření. Dále budou uvedeny hlavní zdroje způsobující rozdílnost výsledků v opakovaných měřeních. Průměrný čas k nastudování druhé kapitoly je 3,5 hodiny

Objekt, znak, náhodná proměnná, fáze měření, měřický proces, zpracovatelský proces, pravé chyby, skutečné chyby, opravy,

Předměty a jevy v přírodě a společnosti existují a uskutečňují se nezávisle na našem vědomí a neustále se mění a vyvíjejí. Jejich zkoumáním se zabývají jednotlivé vědní obory a disciplíny. Nezbytnou složkou tohoto zkoumání jsou kvantitativní stránky předmětů a jevů. I tyto existují nezávisle na našem vědomí. Měření je důležitý prostředek v procesu poznání právě kvantitativních stránek předmětů a jevů. Oborů a vědních disciplín ve kterých se provádí měření je velké množství. Zeměměřictví (geodézie a kartografie) je jedním z oborů, v jehož činnosti hraje měření dominantní roli. S pojmem měření jsou úzce spjaty pojmy chyby měření a přesnost měření.

2.1

Měření a jeho fáze

Zkoumané předměty či jevy nazýváme objekty. Na každém objektu je nutno definovat jeho znaky, které chceme měřit (pozorovat). Je-li objektem např. nějaká osoba, je poměrně snadné definovat a změřit takové znaky jako je její výška, hmotnost, aj.. Poněkud obtížnější může být definovat a změřit její IQ nebo oblíbenost a téměř nemožné např. zbabělost, smysl pro spravedlnost apod.. V technických disciplínách, mezi které zeměměřictví patří, bývá vymezení jednotlivých znaků obvykle jednoznačnější než v disciplínách humanitních. Ze znaků, definovaných na určitém objektu nebo jevu budou dále uvažovány jen ty, které jsou měřitelné. V praxi má mnoho znaků proměnný charakter a proto je nazýváme proměnnými. Základní dělení proměnných je na proměnné vyjádřené číselnými hodnotami (kvantitativní proměnné) a na proměnné vyjádřené slovním popisem (kvalitativní proměnné). Při dalším zpracování se kvalitativním proměnným obvykle přiřazuje stanovený číselný kód. Podle počtu sledovaných znaků rozdělujeme proměnné na: 1. Jednorozměrné proměnné, když je na objektu zkoumán (měřen, pozorován) jen jeden znak 2. Vícerozměrné proměnné, když jsou zkoumány (měřeny, pozorovány) dva a více znaků

- 7 (64) -


Veličinou budeme nazývat proměnnou, kterou lze vyjádřit matematicky (skupinou čísel, funkcí aj.). Podle počtu hodnot, kterých proměnná nabývá rozdělujeme proměnné na: 1. Spojité proměnné, které mohou nabýt nespočetně nekonečného počtu hodnot 2. Diskrétní proměnné (nespojité), které nabývají konečného nebo nejvýše spočetného nekonečného počtu hodnot. Měřením budeme nazývat: a) proces, ve kterém se určité veličině přiřazuje její hodnota neboli výsledek měření, b) jednotlivý výsledek procesu měření. Hodnota veličiny je její kvantitativní vyjádření v nějakém zvoleném vztažném systému. Hodnota se nejčastěji vyjadřuje reálným číslem doplněným rozměrem veličiny. Rozměry veličin bývají uváděny v měřických jednotkách nebo jejich násobcích. Existují samozřejmě i veličiny, jejichž hodnoty jsou bezrozměrné. Pokud lze veličiny přímo změřit, nazýváme výsledky těchto měření přímá měření, pokud jsou hodnoty veličin určeny prostřednictvím známého funkčního vztahu k jiné nebo k jiným (obvykle přímo měřeným veličinám), nazýváme je nepřímá měření. Příkladem přímého měření je třeba úhel, jehož hodnota je určena pomocí vhodného přístroje na měření úhlů, např. úhloměru, teodolitu aj. Dalšími typickými příklady přímých měření jsou: délky měřené pásmem, teplota teploměrem, čas hodinkami, hmotnost váhami apod.

Mezi nepřímo měřené veličiny můžeme zařadit např. obsahy ploch, objemy těles, vzdálenosti a směrníky počítané ze souřadnic, výšky bodů počítané z přímo měřených převýšení, převýšení počítaná ze známých výšek apod.. Otázka 2.1: Lze délky měřené elektronickým tachymetrem (totální stanicí) zařadit do kategorie přímých měření? Odpověď 2.1: Ve většině případů považujeme za přímá měření ta měření, která jsou výstupem z nějakého měřicího přístroje, tj. i elektronického tachymetru. Bude-li výstupem naměřená „šikmá vzdálenost“, pak by bylo možno tuto hodnotu považovat za výsledek procesu přímého měření délek. Bude-li výstupem „vodorovná vzdálenost“, můžeme ji zařadit mezi nepřímá měření, neboť k převodu ze šikmé délky na vodorovnou musel přístroj naměřit i další veličinu - svislý úhel a k převodu použít nějakou matematickou funkci, vztah nebo tabulku. Rovněž by měla být k tomuto převodu v přístroji k dispozici přímo změřená výška přístroje i výška odrazného systému, a případně známy i některé další veličiny (poloměr Země aj.).

Z uvedených příkladů je vidět, že zařazení nějakého výsledku mezi přímá nebo nepřímá měření může být někdy dosti komplikované. Exaktní vymezení přímých a nepřímých měření je uvedeno např. na str. 12 literatury [9].

- 8 (64) -


Nejprve se budeme detailněji věnovat hlavně přímým měřením. Z hlediska teorie chyb doplníme měřický proces ještě o zpracovatelský proces. Měřický proces se dále rozdělí na přípravnou fázi měření a vlastní měření a zpracovatelský proces na fázi určení hodnoty měřené veličiny a na fázi úpravy hodnoty. Schématicky jsou tyto fáze ukázány na obr. 2.1. Příprava měření Měřický proces Vlastní měření Přímé měření Určení hodnoty Zpracovatelský proces Úprava hodnoty

Obrázek 2.1 Schéma jednotlivých fází přímého měření Moderní měřické přístroje a systémy v sobě slučují, ve větší či menší míře, měřický i zpracovatelský proces. Příkladem veličiny získané pomocí složitého měřicího systému je určování polohy bodů metodou GPS, neboť lze v něm jen obtížně pro uživatele oddělit měřický proces od zpracovatelského procesu, Na příkladu měření délky elektronickým tachymetrem budou ve zjednodušené podobě ukázány jednotlivé fáze měření. V přípravné fázi je nutno ověřit správnou funkci dálkoměru a na srovnávací základně, nebo jinou vhodnou metodou, stanovit konstanty přístroje a odrazného systému (hranolu). Řadíme sem též rektifikaci přístroje a pomocných zařízení (seřízení libel, centrovačů atd.) a nastavení dalších konstant a parametrů v přístroji. Při vlastním měření dbáme na kvalitní centraci a horizontaci přístroje a odrazného systému, dále změříme výšky přístroje a odrazného zařízení, rovněž změříme teplotu vzduchu, případně i vlhkost a atmosférický tlak. Délku změříme několikrát (opakovaně) a zaznamenáme jednotlivé výsledky. Současně s měřenou délkou měříme a zaznamenáváme i hodnoty svislého úhlu, nejlépe v obou polohách dalekohledu. Ve zpracovatelské fázi se nejprve zavedou k opakovaně měřeným délkám jejich korekce z komparace a z vlivu atmosféry a pak se vypočte pro šikmou délku její průměrná hodnota Při následné úpravě této hodnoty se prostřednictvím matematických redukcí převede šikmá délka na vodorovnou délku v nulové nadmořské výšce a podle potřeby se převede i do roviny kartografického zobrazení (např. S-JTSK).

- 9 (64) -


2.2

Podmínky ovlivňující měřický proces

Z hlediska teorie chyb považujeme měření za pokus. Obecně je pokus jakákoliv činnost nebo proces, který je libovolně opakovatelný a uskutečňuje se za předem vymezených podmínek. Pokusy rozdělujeme na deterministické a stochastické. Jako deterministické pokusy jsou označovány pokusy, které za vymezených podmínek vedou při jejich opakování vždy ke stejným výsledkům. Jako stochastické (náhodné) pokusy jsou označovány pokusy, kdy na výsledek pokusu působí ještě další podmínky (vlivy), které jsou obvykle náhodného charakteru a způsobují, že se výsledky opakovaných pokusů liší.

Pod pojmem předem vymezené podmínky rozumíme především použitou metodu měření. Metoda měření v sobě zahrnuje předepsané měřicí zařízení a požadovaný (doporučený) postup měření. Součástí metody měření bývá i vymezení vhodných podmínek pro měření. Podmínky působící na výsledky měření: 1. Metoda měření (deterministické podmínky) !

měřicí zařízení

!

postup měření

2. Podmínky při měření (stochastické podmínky) !

skutečný stav měřícího zařízení

!

vliv prostředí na měření

!

vliv lidského faktoru při měření

2.2.1

Metoda měření

Každá metoda měření vyžaduje: Měřicí zařízení, což je komplex měřicích přístrojů s jejich přídavnými zařízeními a dalšími nezbytnými pomůckami a doplňky. Měřicí zařízení musí splňovat parametry požadované kvality. Kvalitou se z hlediska teorie chyb rozumí u přístrojů především: !

citlivost – nejmenší diference hodnot měřené veličiny, která koresponduje s příslušným dílkem stupnice přístroje,

!

replikovatelnost, (schopnost opakovat údaje), stálost distribuční funkce chyb měření při opakování měření,

!

přesnost (vnitřní a vnější).

Do parametrů kvality patří i řada dalších, např. složitost obsluhy, poruchovost, energetická náročnost aj. Zvláštní pozornost si zaslouží zejména možnost pravidelné kontroly vybraných parametrů kvality měřicího zařízení, např. porovnávání měřicího zařízení s předepsanými etalony tzv. komparace či kalibrace. Postup měření (technologický postup) je souhrn postupů, pravidel a podmínek předepsaných pro danou metodu měření. Postup měření vyžaduje zejména použití všech předepsaných přístrojů a pomůcek v souladu s návodem či předpisem pro jejich používání. Důležité je dodržení pořadí a návazností jednotlivých

- 10 (64) -


úkonů, dodržení předepsaného či přiměřeného tempa měření, důsledná registrace všech požadovaných údajů atd. V dalším budeme předpokládat, že použitá metoda měření je teoreticky správná a za doporučených podmínek realizovatelná.

2.2.2

Podmínky při měření

Každé reálné měření se koná v konkrétních vnějších podmínkách (teplota, tlak a vlhkost vzduchu, sluneční svit, vítr apod.) a ve většině případů se na vlastním měření podílí i lidský faktor (měřič a jeho pomocníci). Z toho je zřejmé, že při měření nelze obecně oddělovat deterministické podmínky (vyžadované metodou měření) od podmínek náhodných, daných aktuálním (okamžitým) stavem celého systému. 1.

Vliv měřícího zařízení

Vliv měřícího zařízení (jeho skutečného stavu) na výsledky měření záleží na: !

celkovém stavu přístrojů, zařízení a pomůcek, zejména na kvalitě prováděné i provedené údržby (seřízení přístrojů, rektifikace libel aj.),

!

"okamžitém" stavu (urovnání přístrojů a měřických latí, zaostření dalekohledu, vnitřní pnutí v přístrojích a stojanech, vliv nastavení indexů a stupnic a jejich osvětlení, vliv tzv. mrtvých chodů ustanovek, vliv napětí v bateriích aj.). Velké riziko pro zhoršení aktuálního stavu přináší rovněž nešetrný transport přístrojů a pomůcek na lokalitu a zpět. I správně a dobře provedená rektifikace přístroje v laboratoři může být znehodnocena otřesy při jeho nešetrném transportu na lokalitu.

2.

Vliv prostředí

Prostředí ve kterém se měření uskutečňuje se řadí k jedněm z nejvýznamnějších faktorů ovlivňujících výsledky měření: !

Působení prostředí na měřický paprsek nebo signál. Velká část geodetických měření využívá některého z druhů elektromagnetické záření (světelné vlny, radiové vlny), které je výrazně ovlivňováno prostředím, kterým se šíří. Rychlost a směr šíření elektromagnetických vln jsou závislé na indexech lomu daného prostředí, kde zejména okamžitý stav atmosféry (troposféry, případně i ionosféry) způsobuje celou řadu jevů (např. refrakci, difrakci, zpoždění signálu aj.), které jsou proměnlivé s časem a místem. Vlivem jiných elektromagnetických zdrojů záření působí prostředí na elektromagnetický signál a způsobuje jeho zašumění, rušení či degradaci. Nezanedbatelný může být i vliv falešných odrazů signálu, či ohyb světelného paprsku vlivem blízkých objektů a překážek. Mohou nastat situace, kdy při snížené viditelnosti (opar, smog, déšť, sněžení, mlha či silné chvění obrazu) se zmenší dosah měřícího zařízení nebo je měření zcela znemožněno.

!

Působení prostředí na měřící zařízení. Prostředí dále působí přímo na měřící přístroje a některé pomůcky, např. při osvitu přístroje či stojanu přímým sluncem nebo za mrazu v nich nastávají různá pnutí. Teplota vzduchu ovlivňuje teplotu měřidel (pásem, latí,..) a tím mění i jejich délku. Silnější vítr způsobuje chvění přístrojů a latí, zvětšuje průhyb

- 11 (64) -


pásma, způsobuje kývání olovnice, či znemožňuje použití slunečníku pro ochranu přístroje před přímým slunečním zářením. Rovněž málo únosný terén (bláto, sníh, led, rozměklý asfalt, oranice, tráva apod.) výrazně snižuje stabilitu přístrojů a pomůcek v průběhu měření. Podobný charakter mají i vibrace v průmyslových závodech či silný dopravní ruch, které způsobují chvění přístrojů a snižují jejich stabilitu. !

Působení prostředí na měřiče a jeho pomocníky, zejména je-li nepříznivé (velké vedro či chlad, silný vítr, mrholení, déšť, sníh, hluk apod.).

!

Další vlivy. Mezi další vlivy prostředí řadíme např. působení slapových jevů (změny v tíhovém poli Země vyvolané vzájemnou polohou Slunce a Měsíce), působení magnetického pole Země aj., které mají velmi často periodický charakter.

Při studiu vlivu prostředí na výsledky měření se zkoumají vlivy jednotlivých jejich složek pokud možno odděleně. Toto studium má obvykle jak teoretickou, tak i experimentální část, která může mít laboratorní nebo terénní charakter. 3.

Vliv lidského faktoru.

Měřič a jeho pomocníci vnášejí do procesu měření lidský faktor. Ten se může projevit příznivě i nepříznivě. Především se od měřiče očekává, že umí měřit. K tomu účelu musí být vybaven schopnostmi, znalostmi a zkušenostmi: !

Schopnost. Ne každý člověk je schopen kvalitně měřit. Například při vyhodnocování fotogrammetrických snímků musí být jejich vyhodnocovatel obdařen schopností stereoskopického vidění. Při náročných měřeních v komplikovaném terénu musejí být měřiči i pomocníci dostatečně fyzicky zdatní apod. S pojmem schopnost bezprostředně souvisí i pojem dovednost. Dovednost je zjednodušeně řečeno rozvinutá a využitá schopnost. Schopnost a dovednost ovlivňují výsledky měření obvykle přímo.

!

Znalosti se získávají především studiem, ať již řádným, v rámci příslušného odborného vzdělávání, tak i studiem při řešení teoretických a praktických problémů. Znalosti působí na kvalitu měření velmi často nepřímo, většinou se projeví již při výběru vhodné metody měření či volbě postupu měření.

!

Zkušenosti jsou užitečné zejména při řešení nestandardních problémů. Měřické zkušenosti obvykle přinášejí efektivní, ale někdy i netradiční řešení. Nejsou-li zkušenosti dostatečně doplněné znalostmi, mohou někdy působit i negativně, neboť svádí k přeceňování praxe na úkor teorie.

!

Aktuální fyzický a psychický stav. Lidské jednání je ovlivňováno nejen povahou člověka a jeho fyzickou kondicí, ale též jeho okamžitým psychickým stavem. Toto jednání může být ovlivněno momentálními starostmi, problémy, povinnostmi či potřebami. Určitou roli zde hraje i motivace jedince či skupiny k získání kvalitních výsledků.

- 12 (64) -


Z uvedeného vyplývá, že při správnosti metody měření ovlivňují vlastní měření především náhodné podmínky, které jsou v neustálém pohybu a změně a v každém okamžiku vytvářejí více či méně odlišnou situaci. Je-li měřický proces dostatečně citlivý (přesný), pak je schopen změny podmínek registrovat ve výsledcích měření. Důsledkem je, že při opakovaném měření za vymezených podmínek obdržíme rozdílné výsledky měření, které se navzájem v malých mezích liší. Vývoj metod měření dlouhodobě směřuje ke zkvalitňování přístrojů, pomůcek a postupů měření. Objevují se nové teorie, metody, přístroje a technologie. Podrobně jsou studovány i podmínky měření, zejména vlivy prostředí. U mnoha podmínek při měření lze považovat jejich vliv na výsledek měření spíše za systematický (lze jej popsat nějakou funkční závislostí) než za náhodný. Poznání těchto zákonitostí (systematičností) a eliminace jejich vlivu na měřené výsledky je významných prostředkem pro zvyšování přesnosti a vývoji metod měření. Limitujícími pro zvyšování přesnosti měření se tak u řady metod stávají především vlivy prostředí. Lidský faktor je prostřednictvím automatizace a elektronizace postupně z celého procesu měření vytěsňován. Kontrolní otázky 2.2: a) Můžeme předem předvídat jakou hodnotou ovlivní prostředí naměřenou hodnotu ?

b) Je výhodněji měřit pomalejším tempem, ale o to pečlivěji, nebo při měření přiměřeně spěchat ? c) Můžeme zvýšit přesnost přímého měření zvýšením přesnosti některých částí použitých přístrojů a pomůcek? Zvýši se přesnost úhlových měření například doplněním teodolitu citlivější přídavnou libelou, nebo při nivelaci vybavením nivelační latě přesnější libelou? d) Je vhodnější z hlediska proměnlivosti přírodních podmínek měřit za stejných klimatických podmínek, nebo je výhodnější podmínky prostředí vhodně prostřídat ? e) Co si představujete pod pojmy vnitřní a vnější přesnost měření ? Odpovědi na otázky 2.2: Na žádnou z uvedených otázek neexistuje jednoznačná odpověď. Jedním z cílů studia tohoto předmětu je získat teoretické a částečně i praktické poznatky pro kvalifikovanější odpověď na uvedené otázky. Proto doporučuji studentům zapsat si nyní své názory na problematiku nastíněnou v otázkách a průběžně je konfrontovat s poznatky získanými v průběhu dalšího studia.

- 13 (64) -


- 14 (64) -

Charakteristiky měření

3

Měřické chyby

3.1

Definice chyb

Každá fyzikální veličina vyjadřuje určitou vlastnost (znak) hmotného objektu. Každý hmotný objekt je v neustálém pohybu a podléhá neustálým změnám, proto i příslušná veličina nabývá v různých časových okamžicích různou velikost. Tyto velikosti nazveme pravými hodnotami. Je zřejmé, že pravé hodnoty většiny veličin jsou proto proměnlivé. U „statických“ objektů velmi často považujeme objekt a jeho znaky za neměnné a pravou hodnotu proto za stálou. Procesem měření se pokoušíme určit tuto hodnotu pravé veličiny. Pravé hodnoty (bezchybné hodnoty) jsou známy obvykle pouze v matematických či geometrických vztazích. Pravou hodnotou je např. součet n vnitřních úhlů v uzavřeném rovinném mnohoúhelníku, který se rovná právě hodnotě (n - 2)180o. Pro n = 3 (součet úhlů v trojúhelníku) je to všeobecně známých 180o. Jiným příkladem je velikost rozdílu dvojího měření téže veličiny (např. rozdílu měření „TAM a ZPĚT“). Tento rozdíl by měl být přesně nulový.

Kontrolní otázky 3.1: a) Jaký bude součet vnějších úhlů v n-úhelníku? b) Lze za pravou hodnotu považovat chybu vzniklou zaokrouhlením nějakého čísla? c) Nalezněte alespoň jeden další příklad na pravou hodnotu. Odpovědi jsou uvedeny v závěrečné kapitole v klíči. Zdálo by se nesmyslné, a zejména neekonomické, pravé veličiny získávat měřením, když jejich hodnoty již známe. V geodézii a kartografii existuje mnoho situací, kdy přesto takové hodnoty určujeme. Obvykle je to z důvodu kontroly správnosti výsledků našich měření a při určování přesnosti těchto výsledků.

Obecně nelze měřením pravou hodnotu měřené veličiny zjistit neboť: !

každé měření je ovlivněno proměnlivými podmínkami za kterých je realizováno,

!

pravé hodnoty chyb způsobené proměnlivostí podmínek jsou nepoznatelné,

!

tyto chyby ovlivňují výsledek měření.

Skutečnou hodnotou nějaké veličiny budeme označovat číslo ~ x , které se dostatečně málo liší od její pravé hodnoty, a jímž se pravá hodnota nahrazuje. Skutečná hodnota je měřením poznatelná a představuje obvykle tu hodnotu, která by byla získána nejdokonalejšími metodami měření s použitím nejlepších přístrojů a při nejlepší eliminací nepříznivých vlivů vyvolaných proměnlivým charakterem podmínek při měření. Opakováním měření lze řadu těchto nepříznivých vlivů snížit či výrazně eliminovat. Skutečná hodnota je proto určována z velmi rozsáhlých měřických souborů.

- 15 (64) -


Je zřejmé, že získání skutečných hodnot měřených veličin je velmi komplikované a nákladné. Pravé a skutečné hodnoty mají velký význam nejen ve vlastní teorii měření ale též v teorii chyb. Pravé hodnoty a skutečné hodnoty budeme v dalším textu považovat prakticky za identické a příslušné veličiny označovat vlnovkou nad symbolem veličiny, např. ~ x . U statických veličin budeme pravé (skutečné) hodnoty považovat za konstanty.

Chybou měření budeme v teorii chyb nazývat rozdíl mezi zvolenou referenční hodnotou a její naměřenou hodnotou.

Podle volby referenční hodnoty budeme rozeznávat různé druhy chyb: Pravá chyba (skutečná chyba) ε i je rozdíl mezi naměřenou hodnotou xi a její pravou (skutečnou) hodnotou ~ x.

Mějme n výsledků opakovaných měření veličiny X, které označíme x1 , x 2 ,..., x n . Skutečné (pravé) chyby ε i jednotlivých měření vypočítáme

ε i = xi − ~x ,

(3.1)

kde i = 1,2,...,n. Student může v dalším textu považovat pojmy pravá chyba a skutečná chyba za identické. V praxi z kontrolních a jiných důvodů měření několikrát opakujeme. Neurčíme při tom skutečnou hodnotu měřené veličiny ~ x , ale z těchto opakovaných měření jen její vyrovnanou hodnotu, (nejpravděpodobnější hodnotu) x . Vyrovnaná hodnota se ke skutečné hodnotě obvykle blíží. Byla-li opakovaná měření vykonána stejnou metodou měření, za obdobných podmínek při měření a jsou-li tato měření vzájemně nezávislá, je možno vyrovnanou hodnotu vypočítat jednoduchým aritmetickým průměrem (viz stať 3.1.1 textu [12]): n

1 x = (x1 + x2 + ...+ xn ) = n

∑ xi

i=1

n

=

∑x n

.

(3.2)

Oprava vi je rozdíl mezi vyrovnanou hodnotou x a naměřenou hodnotou xi .

vi = x − xi .

(3.3)

Opravy se též nazývají nejpravděpodobnější chyby, domnělé chyby či rezidua. - 16 (64) -


Pro opravy vypočítané podle (3.3) platí důležitý kontrolní vztah

∑ v =0

(3.4)

.

Důkaz vztahu (3.4) je velmi jednoduchý a vyplývá přímo z (3.3) a (3.2). Jeho odvození je rovněž ve stati 3.1.1 textu [12] Jaký je vztah mezi skutečnou chybou a opravou? ε + v = ( x − ~x ) + ( x − x ) = x − ~x = ε . i

i

i

i

x

(3.5)

Ze vztahu (3.5) vyplývá, že součet ε x skutečné chyby ε i s příslušnou opravou vi je konstantní hodnota pro všechna měření xi (i = 1, 2, ... , n). Hodnotě ε x říkáme skutečná chyba aritmetického průměru.

Poznámka 3.1

Vzorec (3.2) je rozepsán ve třech podobách. Při použití značky součtu (suma) by měly být formálně uváděny vždy indexy sčítanců (viz. druhý vztah). V dalším textu budeme používat neformální zápis a označení indexů bude často vynecháváno (viz.třetí vztah). Poznámka 3.2 V případě výpočtu oprav je referenční hodnotou vyrovnaná hodnota (např. aritmetický průměr) a jednotlivá měření se od něj odečítají. V teorii pravděpodobnosti a v řadě dalších vědních disciplín je tomu právě naopak (aritmetický průměr se odečítá od naměřených hodnot). V teorii chyb je hlavním důvodem skutečnost, že chceme opravy získané při procesu vyrovnání k měřeným veličinám přičítat a tak získat vyrovnané hodnoty. Je to však jen otázkou konvence znamének oprav a znamének pravých a skutečných chyb. V teorii chyb a vyrovnávacím počtu se vžilo pravidlo, že znaménko opravy se určuje podle hesla „má býti - mínus jest“ . Znaménka pravých a skutečných chyb jsou v tomto textu přizpůsobena již matematické konvenci. Poznámka 3.3 V praxi se občas porovnávají výsledky měření získané dvěma metodami, z nichž jedna je mnohem přesnější (minimálně o jeden řád přesnější). Rozdíly mezi výsledky získanými oběma metodami se často považují za skutečné chyby, tj. jako by přesnější metoda byla bezchybná. Takovým chybám se též říká kvaziskutečné chyby.

Úkol 3.1

Délka mezi dvěma body byla měřena třemi různými metodami vždy 10 krát

- krokováním (kroky byly přibližně metrové), - pásmem, - elektronickým dálkoměrem. Výsledky jednotlivých měření jsou uvedeny v tab. 3.1. Vypočítejte: - průměrné hodnoty pro jednotlivé metody a příslušné opravy k těmto průměrným hodnotám, - (kvazi)skutečné chyby jednotlivých výsledků z metody krokování. Považujte pro tuto metodu průměrnou hodnotu určenou dálkoměrem za skutečnou hodnotu měřené délky. Určete průměrnou délku kroku.

- 17 (64) -


Tabulka 3.1 Výsledky opakovaného měření jedné délky třemi různými metodami krokování

pásmo

dálkoměr

xi [počet

yi [m]

zi [m]

i

1

126

125,65

125,640

2

133

125,63

3

144

4 5

i

krokování

pásmo

dálkoměr

xi [počet

yi [m]

zi [m]

6

128

125,66

125,647

125,647

7

133

125,67

125,646

125,64

125,641

8

124

125,66

125,657

117

125,67

125,653

9

139

125,64

125,652

127

125,60

125,650

10

130

125,69

125,647

kroků]

3.2

kroků]

Rozdělení chyb a jejich struktura

Jednou z hypotéz o vzniku měřických chyb je představa, že pravá chyba měření vzniká jako algebraický součet tzv. elementárních chyb δ . Obecně je měření velmi složitý proces s mnoha dílčími činnostmi a vlivy, z nichž každý může být zdrojem jiné chyby. Elementární chyby mají v každém okamžiku různou velikost i znaménko a výsledná chyba je součtem velkého množství těchto elementárních chyb.

εi = ∑δ .

(3.6)

Při měření úhlů teodolitem lze za elementární chyby považovat chyby v zacílení, chyby v koincidenci, chyby v dělení stupnic, chyby z dalších konstrukčních nedokonalostí přístroje, chyby z kroucení stativu v průběhu měření, chyby z vlivu refrakce atd.

Takto definované elementární chyby lze případně dále dělit na chyby v zacílení na levý cíl a na pravý cíl, chyby dělení stupnice pro levý cíl a pro pravý cíl atd. Z příčin uvedených ve stati 2.2 nelze obecně podchytit všechny elementární chyby. Úkol 3.2

Pokuste se vyjmenovat hlavní elementární chyby vyskytující se při měření délek pásmem. Různá velikost i znaménko jednotlivých elementárních chyb způsobují, že se ve výsledné chybě tyto elementární chyby z velké části vzájemně eliminují. Velikost každé elementární chyby je omezená, tzn. že nepřekročí určité limitní hodnoty. Pokud při měření nedošlo k nějakému omylu, chyby jednotlivých měření prakticky nepřekročí v absolutní hodnotě limitní hodnotu danou součtem limitních absolutních hodnot jednotlivých elementárních chyb. Z čistě teoretického hlediska může být elementárních chyb nekonečně mnoho a limitní

- 18 (64) -


hodnota chyby měření by proto mohla být nekonečně velká. Naše zkušenosti však tomu nenasvědčují. Naopak, vyskytne-li se v nějakém měření „velká chyba“, předpokládáme že došlo při měření k nějakému selhání či omylu. Při měření působí jak vlivy náhodné tak i vlivy systematické. Proto dělíme chyby principiálně na náhodné chyby a systematické chyby . Uvedené dva typy chyb doplňme ještě o další, které se při měření rovněž vyskytují. Jsou to omyly a hrubé chyby. Schéma rozdělení jednotlivých měřických chyb podle jejich typu je na obr. 3.1. Základním kritériem pro rozhodnutí, zda je měření zatíženo hrubou chybou nebo omylem, je překročení objektivně stanovené meze, která je definována tzv. mezní chybou εmez . Platí-li pro i-té měření

ε i > ε mez

,

(3.7)

pak takové měření z dalšího procesu vylučujeme a obvykle nahrazujeme měřením novým. Stanovení mezních chyb je poměrně komplikovaná záležitost a bude jí věnována pozornost později.

Menší než objektivně Náhodné chyby

stanovená mezní chyba

∆

Výsledky měření zatížené těmito chybami jsou použity v dalším zpracování

| εi | ≤ |εmez|

Systematické chyby

c

Měřická chyba εi Větší než objektivně

Výsledky by měly být z dalšího zpracování

stanovená mezní

vyloučeny jako

chyba

odlehlé hodnoty

| εi | > |εmez|

(hodnoty zatížené hrubými chybami či omyly)

Omyly

Obrázek 3.1 Typy měřických chyb

3.2.1

Omyly a hrubé chyby

Omyl vznikne nejčastěji lidskou nepozorností nebo při selhání nějaké funkce měřícího přístroje. Pozná se obvykle tak, že výsledky zatížené omylem se nápadně liší od předpokládané hodnoty nebo hodnot získaných při opakovaných měřeních. Omyly mohou být i úmyslné. Hrubá chyba je chyba která sice překročí mezní chybu, ale její příčinou nebyl omyl. Za zatížené hrubou chybou považujeme ta měření, ve kterých se soustře- 19 (64) -


dily elementární chyby převážně se stejným znaménkem, takže ve svém součtu jejich velikost překročila mezní chybu. Velikost mezní chyby bývá stanovena obvykle tak, že ji překročí 5 % nebo 1% ze všech tzv. „správných“ měření. Dalšími příčinami vzniku hrubých chyb jsou např.: nedodržený postup měření, nedokonale seřízený přístroj, nepříznivé podmínky při měření apod.. V uspořádaném souboru opakovaných měření zaujímají měření zatížená hrubou chybou nebo omylem nápadně krajní pozice a říkáme jim proto odlehlé hodnoty. Proti omylům a hrubým chybám se zabezpečujeme opakovanými a kontrolními měřeními. Příkladem kontrolního měření je změření nadbytečného třetího úhlu v trojúhelníku nebo oboustranné připojení a orientace polygonového pořadu apod. V geodézii platí známé pravidlo: Jedno měření – žádné měření Odlehlé hodnoty z dalšího procesu vylučujeme a vyloučené měření obvykle nahrazujeme měřením novým.

Příklady typických omylů způsobených měřičem či jeho pomocníky jsou: zacílení na jiný bod, opomenutí nebo zanedbání nějakého úkonu (koincidence rysek stupnice, urovnání libely), záměny bodů, čísel, znamének, chybná čtení, chybný zápis a mnoho dalších. Rovněž přístroje a měřící systémy mohou vykazovat během měření nějaké poruchy či vady, které zatíží výsledky mylnými údaji.

Hrubé chyby mohou být také způsobeny např. silným větrem, silným ozářením přístroje sluncem, vibracemi přístroje, chvěním vzduchu, nedostatečným osvětlením stupnic, neseřízenými nebo neurovnanými libelami na přístrojích a latích, neseřízeným centračním zařízením, menší pečlivostí měřiče, spěchem nebo přílišným otálením při měření, únavou měřiče a obdobnými příčinami. I když budeme měřit velmi pečlivě, kvalitním přístrojem a za ideálních podmínek, určité procento výsledků bude zatíženo tzv. hrubými chybami, tj. chybami které překročí námi stanovenou mez.

3.2.2

Systematické chyby - c

Systematické chyby – jsou chyby, které systematicky ovlivňují výsledky měření. Příčinou jsou různé faktory (známé i neznámé), na kterých jsou výsledky závislé. Někdy lze formulovat zákon (pravidlo), kterým se systematické chyby řídí, či definovat funkci vlivu faktoru na výsledek měření. V mnoha případech tyto faktory ani funkce jejich působení neznáme.

Systematické chyby rozdělujeme na: !

konstantní (stálé), které se vyznačují stejným znaménkem a přibližně stejnou velikostí,

!

jednostranné, které mají stejné znaménko ale proměnlivou velikost,

!

proměnlivé, jejichž znaménka jsou různá a velikosti proměnlivé.

V literatuře se můžeme setkat s dalšími kategoriemi systematických chyb. Např. skupinové chyby působí ve skupině měření jako konstantní a jejich veli- 20 (64) -


kost se liší skupinu od skupiny. Periodické chyby se opakují v rámci určité periody. Osobní chyby příslušející konkrétnímu měřiči. Jako chyby teorie se nazývají chyby vzniklé při zjednodušení matematických vztahů (rozvoje v řady, některá numerická řešení apod.).

Příklady jevů které způsobují konstantní systematické chyby: nesprávná délka měřidla, posunutý počátek stupnice latě, chybná konstanta odrazného hranolu, indexová chyba svislého kruhu teodolitu aj.

Příklady jevů které způsobují jednostranné systematické chyby: vybočení pásma ze směru, nevodorovnost pásma, nesvislost měřické latě, chybná násobná konstanta dálkoměru aj. Příklady jevů které způsobují proměnlivé systematické chyby: nepravidelné dělení stupnic, refrakce, proměnlivá teplota měřidla, slapové jevy aj.. Systematické chyby se v procesu měření snažíme eliminovat, nebo snížit jejich vliv na únosnou míru. Z časového hlediska existují tři způsoby eliminace:

!

před měřením: správnou funkci přístroje a příslušných pomůcek zabezpečujeme pomocí jejich rektifikace, komparace apod. (tzv. konstrukční eliminace). Do této skupiny patří i zaškolení a výcvik měřické skupiny nebo kontrolní měření.

!

při měření (tzv. technologická eliminace): jedná se o: použití vhodného postupu měření (např. měření ve dvou polohách dalekohledu), volbu vhodné doby a příznivých podmínek pro měření - při opakovaných měřeních se podle potřeby střídají doby i podmínky, registraci všech požadovaných prvků pro následné zavádění korekcí či oprav apod..

!

po měření (tzv. matematická eliminace): zavádění oprav a korekcí, analýza naměřených dat, zpracování nadbytečných měření aj.

Každý přístroj a každá metoda má své specifické zdroje systematických chyb. Zbytkové systematické chyby které se nepodařilo dostatečně eliminovat z procesu měření a zpracování jsou pro většinu metod limitujícím faktorem zvyšování jejich přesnosti.

3.2.3

Náhodné chyby - ∆

Náhodné chyby zatěžují výsledky měření náhodně, neboť jejich velikost a znaménko závisí na náhodě. Velikost i znaménko jsou dány náhodnou kombinací většího počtu elementárních chyb. V jednotlivých případech se neřídí žádným zákonem, proto je nelze předvídat ani určit a nelze je proto z měření vyloučit. Teprve v souboru chyb se chovají podle zákonů pravděpodobnosti. Tyto zákony nám poskytují o projevech, charakteru a účinku náhodných chyb informace, které se využívají ve zpracovatelském procesu. Jednotlivé náhodné chyby považujeme za vzájemně nezávislé.

Typické náhodné chyby vznikají při cílení, urovnání libely, při koincidenci stupnic, odhadu části nejmenšího dílku čtení, při centraci, provážení, přiřazení apod. Rovněž i chyby v poloze jednotlivých dílků stupnic mohou mít náhodný charakter.

- 21 (64) -


Vlastnosti náhodných chyb:

!

náhodné chyby oscilují kolem nulové střední hodnoty,

!

pravděpodobnost výskytu kladné i záporné chyby určité velikosti je stejná,

!

pravděpodobnost výskytu náhodné chyby je funkcí její velikosti, přičemž malé chyby jsou četnější než chyby velké,

!

pravděpodobnost, že absolutní hodnota chyby překročí určitou limitní hodnotu je prakticky nulová.

Teoreticky mají náhodné chyby normální rozdělení pravděpodobnosti s nulovou střední hodnotou E(∆) = 0 a rozptylem. σ2. Symbolicky to zapíšeme ∆ ~ N( 0 ; σ2). Funkce hustoty pravděpodobnosti bude v tomto případě

f (∆) =

1

2 2 e − ∆ / 2σ .

σ 2π

(3.8)

Podrobněji se problematikou normálního rozdělení zabývají všechny učebnice pravděpodobnosti a matematické statistiky.

3.2.4

Úplné chyby - ε

Označíme-li u skutečné chyby ε její náhodnou složku jako ∆ a systematickou složku jako c , můžeme je též nazvat úplnou chybou a psát:

εi = ∆i + ci

.

(3.9)

Protože je nemožné jednoznačně oddělit náhodné a systematické působení jednotlivých elementárních chyb, je teoreticky nemožné jednoznačně oddělit náhodnou a systematickou složku skutečné chyby. Při praktických experimentech se systematická složka obvykle popisuje nějakým matematickým modelem. Působí-li při měření pouze náhodné vlivy bude pro jednotlivé elementární chyby platit E(δ) = 0 a s uvážením vztahu (3.4) bude

E (ε ) = 0

(3.10)

,

respektive lim

∑ε = 0 ,

lim

n→∞ n

∑ x = lim x = µ

n→∞ n

n→∞

.

(3.11)

Symbolem E(.) bude označována střední hodnota, viz stať 4.1.1. Působí-li při měření systematické chyby bude E (ε ) = E (c)

(3.12)

.

Chyby úplné se též nazývají celkové chyby nebo totální chyby.

- 22 (64) -


Úkol 3.2

Vypočítejte jednotlivé hodnoty a vykreslete graf funkce (2.8) pro parametr σ = 1 a proměnlivou veličinu ε (resp. ∆ ) v intervalu (-5,0 ; +5,0) s krokem 0,1. Do stejného grafu vykreslete tutéž funkci s parametrem σ = 1,5. Úkol vypracujte v Excelu nebo v obdobném programu. Výsledný graf je na obrázku 3.2

f(ε)

σ=1

σ = 1,5

0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 -5

-4

-3

-2

-1

0

ε

1

2

3

4

5

Obrázek 3.2 Grafy funkce f(ε) pro dva různé parametry σ

- 23 (64) -


4


Cílem této kapitoly je definovat pojmy, které vyjadřují přesnost měření jednou hodnotou (střední chybou, směrodatnou odchylkou). Podrobněji bude využito normální rozdělení pravděpodobnosti. Student by se měl současně naučit počítat pravděpodobnosti výskytu chyb na určitém intervalu (konfidenčním intervalu) v předmětu Pravděpodobnost a matematická statistika. Tato kapitola proto velmi úzce navazuje na tento předmět. Průměrný čas k nastudování této kapitoly je odhadnut na 12 hodin

Přesnost měření. Základní a výběrový soubor. Střední hodnota. Aritmetický průměr. Variance. Směrodatná odchylka. Základní a výběrové charakteristiky. Vnitřní a vnější přesnost měření. Váhy měření. Váhové koeficienty. Kovariance, Korelační koeficient. Kovarianční matice. Korelační matice.

Jednotlivé chyby nemohou dostatečně spolehlivě vyjádřit přesnost měření, neboť mají převážně náhodný charakter. Za přesnější proto nebudeme považovat jednotlivý výsledek měření, který má menší skutečnou chybu (opravu) než výsledek jiný, ale taková měření, která vykazují menší rozptyl kolem skutečné hodnoty (pravé hodnoty) v celém souboru. Veličiny, které charakterizují velikost tohoto rozptylu nazýváme charakteristiky (míry) přesnosti. V této kapitole se proto budeme zabývat soubory měření.

Každé metodě měření přísluší jiný počet a jiné střední velikosti elementárních chyb. Takto je dán pro každou metodu a průměrné podmínky základní soubor možných výsledků měření a tudíž i skutečných chyb s určitými parametry rozdělení. Praktická měření jsou však omezena svým rozsahem (opakovaných měření je vždy omezený počet). Souboru výsledků měření s konečným počtem hodnot pak říkáme výběrový soubor. Při opakovaném měření téhož znaku na nějakém objektu provedených stejnou metodou měření a za „stejných“ podmínek měření, lze předpokládat, že jednotlivé výsledky měření jsou náhodné veličiny se stejným rozdělením pravděpodobnosti. Pokud jsou jednotlivá měření dále vzájemně nezávislá a jejich počet je n, říkáme jim náhodný výběr o rozsahu n . Výběrový soubor je vlastně jednou konkrétní realizací náhodného výběru.

4.1

Charakteristiky polohy

Předpokládejme, že náhodná veličina je popsána příslušným zákonem rozdělení (rozložení) pravděpodobnosti (pravděpodobnostní funkcí pro diskrétní veličiny nebo funkcí hustoty pravděpodobnosti pro spojité veličiny). Dalším možným vyjádřením náhodné veličiny je distribuční funkce. Všechny uvedené pojmy byly vysvětleny v předmětu Pravděpodobnost a matematická statistika a student je najde např. v [7]. V geodetických aplikacích pracujeme většinou s naměřenými hodnotami, které mají sice obecně spojitý charakter, ale jsou vyjádřeny číselnými hodnotami v diskrétních bodech daných citlivostí přístroje (obvykle nejmenším dílkem stupnice přístroje). Ve většině aplikací předpokládáme, že měřené veličiny mají normální rozdělení pravděpodobností.

- 25 (64) -


Předpokládejme nyní, že existuje náhodná veličinu X , kterou definuje konkrétní metoda měření aplikovaná na konkrétní znak objektu. Předpokládejme, že x . Tuto hodnotu obvykle netento znak má pravou hodnotu, kterou označíme ~ známe a pokoušíme se ji danou metodou měření zjistit.

4.1.1

Střední hodnota

Střední hodnotu označujeme znakem E(.) a vypočítá se pro spojité náhodné veličiny vztahem (4.1) a pro diskrétní náhodné veličiny vztahem (4.2) E ( X ) = ∫ xf ( x)dx ,

(4.1)

E ( X ) = ∑ xp( x) ,

(4.2)

Ω

x∈Ω

kde Ω je základní prostor, f(x) distribuční funkce a p(x) pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Praktická realizace vzorců pro výpočet střední hodnoty vyžaduje znalost rozdělení pravděpodobnosti. V případě konkrétní metody měření můžeme pouze předpokládat určitý teoretický typ rozdělení pravděpodobností anebo rozsáhlými experimenty tento typ empiricky určíme. Takovému rozsáhlému souboru měření říkáme základní soubor. Při opakovaných měřeních získáme náhodný výběr ze základního souboru, neboli výběrový soubor, kdy (X1 , X2 ,..., Xn) vytvoří náhodný vektor o rozsahu n , jehož každý prvek je náhodnou veličinou se stejným rozdělením pravděpodobnosti. Nestranným odhadem střední hodnoty bude v tomto případě aritmetický průměr. Pro n→∞ konverguje aritmetický průměr ke střední hodnotě µx:

µ x = lim ( n→∞

1 n ∑ xi ) = E ( X ) . n i =1

(4.3)

Poznámka 4.1

x , pokud by při měření nepůsobily žádné Střední hodnota µx by se rovnala pravé hodnotě ~ systematické chyby a naměřených veličin by byl nekonečně velký počet. Takovou situaci můžeme předpokládat pouze teoreticky a proto tvrdíme, že je pravá hodnota měřením nepoznatelná. Vždy z měření určíme jen její odhad.

4.1.2

Aritmetický průměr

Označme výsledky n opakovaných měření písmeny li , kde i = 1, 2, ... , n.

Aritmetický průměr vypočítáme podle vztahu (4.4) n

1 x = (l1 + l2 + ...+ ln ) n

∑li

= i=1 n

=

∑l , n

což je vlastně zvláštní případ střední hodnoty.

- 26 (64) -

(4.4)


Pro ilustraci použijme data z měření pásmem, viz tabulka 3.1. 1 1 x = (l1 + l2 + ... + ln ) = (l1 + l2 + ... + ln ) = 125, 65 m . n 10

Takto definovaný aritmetický průměr se také nazývá jednoduchý aritmetický průměr, nebo též prostý aritmetický průměr, neboť existuje též vážený(obecný) aritmetický průměr. Vážený (obecný) aritmetický průměr Pokud byly měřené hodnoty určené s rozdílnou přesnosti, je každé z nich možno přisoudit nějakou váhu, což je číslo charakterizující jejich přesnost. Podrobněji bude o problematice stanovení vah pojednáno ve stati 4.4. Výsledek měření určený s vyšší přesností má větší váhu, než výsledek měření určený s menší přesností. Váhy označujeme písmenem p. n

∑ pi li

p l + p l + ...+ pnl n ) x= 11 2 2 = i=1 n p1 + p2 +L+ pn

=

∑ pi

∑ pl . ∑p

(4.5)

i=1

4.1.3

Modus a medián

Sestavme naměřené hodnoty v tom pořadí jak byly měřeny do vektoru s označením l . Stejná data potom uspořádejme (setřiďme) podle velikosti a označme je lig . Pro takto uspořádaná data platí: l1g ≤ l2g ≤ L≤ lng .

(4.6)

Uspořádaná (setříděná) data sestavme do vektoru lg . Hodnota aritmetického průměru se jejich setříděním samozřejmě nemění, takže je možno aritmetické průměry počítat z originálních nebo i uspořádaných dat. 125,65   125,63 125,64    l1  125,67    l  125,60 , l = 2  = M 125,66      l  125,67  10   125,66   125,64 125,69  

125,60   125,63 125,64    l1g  125,64  g  l  125,65  lg =  2  =  M 125,66    l g  125,66  10    125,67   125,67 125,69  

.

Modus je u diskrétních hodnot hodnota s největší četnosti. V uvedeném příkladě nelze tuto veličinu určit jednoznačně. - 27 (64) -


Medián Jako medián xm budeme označovat „hodnotu“, která se nachází uprostřed uspořádaného souboru dat. Medián dělí obor náhodné veličiny na dvě stejně pravděpodobné poloviny: P( X ≥ xm ) = P( X ≤ xm ) = 0,5 .

(4.7)

Pokud má soubor sudý počet dat, tak vypočítáme průměr z obou „prostředních hodnot“: xm = l(gn+1) / 2 xm =

1 g (ln / 2 + l(gn+ 2 ) / 2 ) 2

L je − li

n liché

číslo,

L je − li

n

číslo.

sudé

(4.8) V našem příkladě má uspořádaný soubor lg sudý počet prvků (n = 10), z čehož vyplývá, že se nacházejí „uprostřed souboru“ dvě hodnoty l5g = 125,65 a l6g = 125,66 . Medián se vypočítá jako jejich průměr:

xm = 125,655 m . Jednou z výhod mediánu je skutečnost, že na rozdíl od aritmetického průměru je lépe odolný vůči hrubým chybám v datech (poskytuje robustnější odhady). Vyskytne-li se v souboru některé měření zatížené hrubou chybou nebo omylem a není-li ze souboru předem vyloučeno, objeví se po setřídění souboru toto měření nejčastěji na jeho krajní pozici. Protože medián je určen jen z dat uprostřed souboru, není samozřejmě krajními pozicemi ovlivněn.

4.1.4

Další charakteristiky polohy

Existují i další charakteristiky polohy, které nám umožňují nahradit soubor měření jednou průměrnou hodnotou. Geometrický průměr se vypočítá podle vzorce: xg = n l1 l2 L ln .

(4.9)

Harmonický průměr se počítá podle vzorce:

xh =

n , 1 1 1 + + L+ l1 l2 ln

(4.10)

neboť se vlastně jedná o aritmetický průměr z reciprokých hodnot: 1 1 1 + + L+ 1 l1 l2 ln . = xh n

(4.11)

- 28 (64) -


Kvadratický průměr je počítán jako druhá odmocnina z aritmetického průměru druhých mocnin: l12 + l22 L + ln2 . n

xq =

(4.12)

Mini-max průměr Jedním z velmi jednoduchých způsobů jak vypočítat průměrnou hodnotu je určit ji jako aritmetický průměr z obou krajních hodnot lmin a lmax: xmm =

lmin + lmax . 2

(4.13)

Tento způsob se prakticky nepoužívá, neboť výsledná hodnota je určená z okrajový hodnot uspořádaného souboru, které mohou být zatíženy hrubými chybami nebo i omyly. Robustní aritmetický průměr Robustnější (více odolnější k hrubým chybám) je tzv. robustní aritmetický průměr, který je počítán obvykle jen z 90% naměřených dat s vyloučením 10% obou okrajových hodnot xr =

1 m ∑li , j i=k

.

(4.14)

kde j = int(0,8 n), k = int(0,1n) +1, m = int(0,9 n).

Uvedené způsoby odhadu průměrné hodnoty nejsou jistě kompletní. U některých z nich můžeme definovat např. jejich vážené varianty. Problematika použití konkrétního způsobu výpočtu průměrné hodnoty pro konkrétní typ dat překračuje rámec tohoto textu. Například vzorec (4.12) pro výpočet kvadratického průměru se velmi často používá při stanovení průměrných hodnot charakteristik přesnosti apod. V praxi se nejčastěji používají k výpočtu průměrné hodnoty prostý a vážený aritmetický průměr. Úkol 4.1

Vypočítejte všechny výše uvedené průměry pro dva soubory naměřených dat pásmem a dálkoměrem, tak jak byly sestaveny v tabulce 3.1. Vážený aritmetický průměr výpočítejte ve dvou variantách. V prvním případě váženého aritmetického průměru použijte pro všechny naměřené hodnoty stejné váhy pi=1, v druhém případě přiřaďte stejným hodnotám váhu odpovídající jejich počtu a tyto hodnoty uvažujte ve váženém průměru pouze jednou. Úkol vypracujte v Excelu.

- 29 (64) -


4.2

Charakteristiky proměnlivosti (míry přesnosti)

Obdobně jako charakteristiky polohy nahrazují náhodnou veličinu (naměřený soubor dat) jedním číslem, vyjadřujícím jeho „střední nebo průměrnou“ hodnotu, budou charakteristiky proměnlivosti vyjadřovat jedním číslem míru koncentrace (rozptýlenosti) náhodné veličiny (naměřených hodnot) kolem jejich „střední hodnoty“. Často označujeme tyto hodnoty jako míry přesnosti.

4.2.1

Variance a směrodatná odchylka

Variance V(X) je definována jako druhý centrální moment náhodné veličiny:¨ V ( X ) = E (( X − E ( x )) 2 ) .

(4.15)

Variance se též nazývaná rozptyl nebo disperze . Základní charakteristikou proměnlivosti je střední kvadratická odchylka od střední hodnoty. Nazýváme ji též směrodatná odchylka či standardní odchylka nebo jen standard a označujeme písmenem σ . Mezi variancí a směrodatnou odchylkou platí jednoduchý vztah: V (X ) = σ 2,

(4.16)

směrodatnou odchylku definujeme pak jako kladnou část druhé odmocniny:

σ = + V(X ) .

(4.17)

Poznámka 4.2

Ve vzorcích se obvykle v případě více úrovní závorek používají postupně závorky kulaté, hranaté, atd. Vzhledem k tomu, že v dalším textu budou hranaté závorky použity jako tzv. Gaussovy sumy, budeme ve většině vzorců používat pouze kulaté závorky a čtenář si musí sám rozkódovat jejich úroveň. Obdobný způsob závorkování je ostatně použit v kalkulátorech, tabulkových procesorech i ve většině programovacích jazyků.

Varianci a směrodatnou odchylku je možno určit pro náhodné veličiny, u nichž známe funkci rozdělení jejich pravděpodobnosti (např. jejich distribuční funkci). V případě náhodného výběru (výběrového souboru) obdržíme výběrové charakteristiky tzv. výběrovou varianci s2 a výběrovou směrodatnou odchylku s . Při jejich výpočtu buď známe střední hodnotu náhodné veličiny (základního souboru) E(X) = µx, nebo ji nejprve odhadneme z náhodného výběru (výběrového souboru) jako x .

Odchylky od pravých hodnot, viz vztah (3.1), jsme v třetí kapitole nazvali pravé chyby ε . Odchylky od aritmetického průměru, vztah (3.3), jsme nazvali opravami v . V případě, že je soubor měření zatížen jen náhodnými chybami

- 30 (64) -


(εi = ∆i) a při opakovaném měření byla použita stejná metoda měření, můžeme výběrovou varianci vypočítat při známé střední hodnotě z pravých chyb: n

s = E ((li − E ( X )) ) = E (ε i ) = 2

2

2

∑ε i =1

n

2 i

∑ε = n

2

.

(4.18)

Neznáme-li pravé chyby, použijeme k odhadu výběrové variance opravy vi : n

∑ ( x − li ) 2

s 2 = i =1

n −1

n

∑ vi2

2

∑v . = i =1 = n −1 n −1

(4.19)

Uspořádáme-li pravé chyby do vektoru ε a opravy do vektoru v můžeme vzorce (4.18) a (4.19) přepsat ve tvaru:

s2 =

1 T ε ε , n

s2 =

1 T v v n −1

kde

(4.20) ,

(4.21)

 ε1   v1      ε 2  v  ε = , v = 2 M M     ε 2   v2 

.

Z rozdílů mezi základním a výběrovým souborem vyplývá vzájemný vztah mezi variancí σ2 a výběrovou variancí s2 : 1 n

σ 2 = lim ( ε T ε ) = lim ( s 2 ) n →∞

n →∞

.

(4.22)

Odmocninu z výběrové variance nazýváme výběrovou směrodatnou odchylkou: s = + s2 .

4.2.2

(4.23)

Přesnost měření a základní střední chyba

Variance, resp. směrodatná odchylka, obdobně jako střední hodnota je charakteristikou náhodné veličiny. Jak již bylo uvedeno v 3. kapitole, přísluší každé metodě měření jiná skupina elementárních chyb. Tím je dán pro každou metodu a střední podmínky měření příslušný základní soubor možných měření a tedy i chyb ε . Při porovnání dvou metod měření stejné veličiny budeme označovat jako přesnější tu metodu, která bude vykazovat menší rozptyl kolem střední hodnoty (menší varianci).

- 31 (64) -


Doposud jsme předpokládali, že v měření nepůsobily žádné systematické chyby. Tento předpoklad je možno chápat jako čistě teoretický, neboť patrně neexistuje měření, které by nebylo zatíženo alespoň zbytkovými systematickými chybami. V některých případech se postupně daří potlačit systematické chyby na úroveň chyb náhodných. Pro jednoduchost předpokládejme, že náhodná veličina má také konstantní systematickou složku (chybu) velikosti c. Pravé chyby jsme definovali jako součet náhodné a systematické složky, vztahy (3.1) a (3.9). Protože náhodné chyby mají nulovou střední hodnotu (3.10), budou mít pravé chyby zatížené konstantní systematickou chybou střední hodnotu rovnu tomuto vlivu (3.12). Dosadíme-li ze vztahu (3.9) do vztahu (4.15) pro výpočet variance bude:

σ 2 = E (ε 2 ) = E (( ∆ + c ) 2 ) = E ( ∆2 ) + 2 E ( ∆ ) E ( c) + E ( c 2 ) = E ( ∆2 ) + c 2 = σ 2 + c 2 (4.24) Veličině σ 2 říkáme úplná variance a v geodézii se často značí m 2 . Ve vzorci (4.24) byla střední hodnota systematické složky označena c , protože tento vztah platí obecně, nejen pro systematické chyby konstantního charakteru. Ze vzorce je zřejmé, že v souboru měření, který není zatížen systematickou chybou, nebo u kterého bude střední hodnota systematických chyb rovna nule, se bude úplná variance σ 2 rovnat náhodné varianci σ2. Odmocnina z úplné variance se nazývá základní střední chyba

m = + E (ε 2 ) m = σ 2 +c2

,

.

(4.25)

Každé metodě měření přísluší konkrétní základní střední chyba m . Její hodnota charakterizuje jedním číslem celý základní soubor chyb, tj. všechny možné jeho hodnoty. Současně se tato veličina v geodézii nejčastěji používá pro porovnávání vzájemné přesnosti dvou a více metod navzájem. Základní střední chyba definuje tzv. vnější přesnost měření (anglicky accuracy). Pro určitou veličinu, metodu měření a standardní podmínky při měření, bývá hodnota základní střední chyby m obvykle předem známá, je konstantní během celého měření a není závislá na prováděném, nebo i teprve plánovaném měření [1]. Základní střední chybou výrobci geodetických přístrojů obvykle charakterizují jejich přesnost. Základní střední chyba musí vyjadřovat všechny vlivy (složky) ovlivňující měření, tedy i chyby systematické. Uskutečníme-li náhodný výběr (tj. opakujeme-li měření stejnou metodou za obdobných podmínek) obdržíme výběrový soubor a z něho můžeme vypočítat výběrovou střední chybu m obdobně jako výběrovou směrodatnou odchylku a výběrovou varianci (4.18) a (4.23): m =

∑ε n

2

, m2 =

εT ε . n

- 32 (64) -

(4.26)


Pokud nepůsobí při měření systematické chyby tak se bude výběrová střední chyba rovnat výběrové směrodatné odchylce m = s . Poněkud odlišná situace je při výpočtu výběrové střední chyby v případech, kdy neznáme pravé hodnoty chyb εi . V těchto případech odhadujeme střední (průměrnou) hodnotu veličiny z výběrového souboru, např. aritmetickým průměrem (4.4) a dále počítáme s opravami vi od tohoto aritmetického průměru. Výběrová střední chyba vypočtená obdobně jako (4.21) a (4.23) bude: m =+

∑v

2

n −1

,

m2 =

vT v . n −1

(4.27)

Působí-li v každém měření konstantní systematická chyba c , bude touto chybou zatížen i vypočtený aritmetický průměr. Opravy vi , příslušející jednotlivým měřením li , ale již nebudou tímto vlivem zatíženy, neboť se při jejich výpočtu (rozdíl aritmetického průměru a měřených veličin) hodnota c vyruší. Výběrová střední chyba m v těchto případech proto vyjadřuje vnitřní přesnost měření (anglicky precision). Úkol 4.2

Vypočítejte výběrové střední chyby pro všechny tři soubory v tabulce 3.1. Jakým způsobem by se dala odhadnou vnější přesnost měření pásmem ?

4.2.3

Další charakteristiky proměnlivosti

Obdobně jako u charakteristik polohy můžeme i zde použít i jiné charakteristiky proměnlivosti než byly směrodatné odchylky a střední chyby. Průměrná chyba Průměrná chyba se vypočte jako průměr z absolutních hodnot chyb. Má svoji základní (označenou pruhem) a výběrovou podobu: n

ν = E ( ε ) ,. ν =

∑ε i =1

i

.

n

(4.28)

Pravděpodobná chyba Pravděpodobná chyba se vypočítá jako medián z absolutních hodnot chyb to znamená, že leží uprostřed uspořádaného souboru absolutních hodnot chyb (4.8). Obecně pro její odhad platí: P ( ε > r ) = .P( ε < r ) = 0,5 .

(4.29)

Obdobně se vypočítá výběrová pravděpodobná chyba r . V základním souboru náhodných chyb s normálním rozdělením pravděpodobnosti N ( 0 ; σ2) platí mezi výše uvedenými mírami přesnosti teoretický poměr

σ : ν : r = 1 : 0,80 : 0,67

.

(4.30)

Standardní odchylka je z uvedených charakteristik tedy největší, viz. [3].

- 33 (64) -


Absolutní a relativní chyba Zatím byly chyby uvažovány bez přihlédnutí k velikosti příslušné měřené veličiny. V některých případech je vhodné použít poměr δ absolutní chyby εx k velikosti měřené veličiny x , tj.

δ=

εx

.

x

(4.31)

V praxi se relativní chyba dosti často vyjadřuje v procentech

εx

δ% =

x

⋅ 100 ,

(4.32)

nebo se převádí na zlomek s čitatelem rovným jedné

δ=

εx x

=

1 k

.

(4.33)

Relativní chyby jsou vhodné k porovnávání přesnosti měření různě velkých veličin stejného druhu. V geodézii se používají relativní chyby velmi často pro vyjádření přesnosti délek. Například přesnost měření pásmem je možno odhadnout relativní chybou 1 : 5 000 až 1 : 2 000 (tj. 2 cm na 100 metrů až 5 cm na 100 metrů). Geodetické základny byly měřeny s vysokou relativní přesností délek, vyjádřenou relativní chybou 1 : 1 000 000, tzn. s přesností asi 1 mm na 1 km (na 1 milion milimetrů). V tomto případě jde o poměr 1.10-6, pro který se používá zkratka ppm (parts-per- million). Tato zkratka je velmi často používána při stanovení charakteristik přesnosti elektronických dálkoměrů a totálních stanic. V některých úlohách kosmické geodézie se pracuje i se zkratkou ppb (parst-per-billion), tj. 1 . 10-9 , existujeje i zkratka ppt (parst-per-trillion).

Pokud požadujeme, aby relativní chyba vyjadřovala přesnost nějaké metody měření, nahrazujeme ve vzorcích (4.31) až (4.33) pravé chyby εx jejími charakteristikami přesnosti , tj. směrodatnou odchylkou σx nebo základní střední chybou m x

δx =

σx x

, nebo δ x =

mx x

.

(4.34)

Při neznalosti základních charakteristik přesnosti σx nebo m x používáme také jejich výběrové hodnoty sx nebo mx . Úkol 4.3

Vypočítejte průměrnou, pravděpodobnou a relativní chybu pro všechny tři soubory z tabulky 3.1.

- 34 (64) -


4.3

Vlastnosti středních hodnot a variancí

Při práci se středními hodnotami a variancemi můžeme využít následující tvrzení: A: Střední hodnota součinu konstanty k a náhodné veličiny X je rovna součinu konstanty a střední hodnoty této náhodné veličiny E (k . X ) = k .E ( X ) .

(4.35a)

B: Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin X a Y je rovna součtu jejich středních hodnot E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y ) .

(4.35b)

C: Střední hodnota součinu dvou nezávislých náhodných veličin X a Y je rovna součinu jejich středních hodnot E ( X .Y ) = E ( X ). E (Y ) .

(4.35c)

D: Variance konstanty je rovna nule V (k ) = k .

(4.35d)

E: Variance součinu konstanty k a náhodné veličiny X je rovna součinu čtverce konstanty a variance náhodné veličiny V (k. X ) = k 2 ⋅V ( X ) .

(4.35e)

F: Variance součtu nebo rozdílu dvou nezávislých náhodných veličin je rovna součtu variancí těchto veličin V ( X ± Y ) = V ( X ) + V (Y ) .

(4.35f)

Praktické využití uvedených vět ukážeme na odvození alternativního vzorce pro výpočet variance. Při tomto odvození vyjdeme ze vztahu (4.15): V ( X ) = E (( X − E ( x )) 2 ) = E ( X 2 − 2 ⋅ X ⋅ E ( X ) + ( E ( X )) 2 ) = = E ( X 2 ) − 2 ⋅ E ( X ) ⋅ E ( X ) + ( E ( X )) 2 = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2

. (4.36)

Vypočítejme charakteristiky náhodné veličiny Y , která vznikne lineární transformací náhodné veličiny X ( a, b jsou konstanty):

Y=a+bX ,

(4.37)

E (Y ) = E ( a + b ⋅ X ) = E ( a ) + E (b ⋅ X ) = a + b ⋅ E ( X ) ,

(4.38)

V (Y ) = V ( a + b ⋅ X ) = V ( a ) + b 2 ⋅ V ( X ) = b 2 ⋅ V ( X ) .

(4.39)

- 35 (64) -


4.4

Měření s různou přesností

Opakujeme-li měření téže veličiny za stejných podmínek, mají všechna měření stejnou přesnost a jedná se o náhodný výběr ze stejného základního souboru, vyjádřený základní střední chybou m (směrodatnou odchylkou σ). Budou-li podmínky při měření různé, bude každé z nich výběrem z jiného základního souboru a naměřené hodnoty budou mít pochopitelně i různou přesnost mi (σi). Výsledky mají různou přesnost, měří-li tentýž měřič různě přesnými přístroji nebo stejným přístrojem za různých ostatních podmínek. Různou přesnost mají také výsledky jedné veličiny měřené v sériích sice stejným přístrojem, ale určené aritmetickými průměry z různého počtu opakování v každé sérii. Rozdílnou přesnost mohou mít i výsledky pořízené měřiči s různou měřickou zkušeností za jinak stejných podmínek. Zpracováváme-li společně veličiny stejného druhu ale rozdílné velikosti mají obvykle rozdílnou přesnost i výsledky měření stejným přístrojem, stejným měřičem a za stejných podmínek (tj. stejnou metodou měření). Např. výsledky měření rozdílných délek, výsledky z nivelačních měření s různě dlouhými nivelačními oddíly apod.

4.4.1

Váhy měření p

Výsledky přesnějšího měření jsou obecně méně vzdálené od pravé hodnoty měřené veličiny a proto by se měly více uplatnit při výpočtu nejpravděpodobnější hodnoty měřené veličiny, než výsledky určené s menší přesností. Přesnějším měřením je tedy třeba přisoudit větší váhu než výsledkům méně přesných měření. Čím přesnější měření, tím je menší jeho střední chyba (směrodatná odchylka) a proto mu přisoudíme tím větší váhu. Váha měření je obecně definována jako vhodně volená konstanta k dělená variancí σ2 (střední chybou měření umocněná na druhou , tj. m2): p=

k

σ

2

p=

,

k . m2

(4.40)

Nejspolehlivěji je váha měření určena při použití základní střední chyby m : p=

k . m2

(4.41)

Reálná konstanta k se volí tak, aby bylo k > 0 , neboť číselně charakterizuje varianci „měření”, kterému bychom přisoudili váhu p = 1. Takové měření nazýváme měření o jednotkové váze. Toto „měření“ může být jen fingované, to znamená, že v daném souboru výsledků měření nemusí být vůbec obsazeno, nebo nemusí vůbec existovat. Konstanta k se tedy číselně rovná σ 02 a nazýváme ji jednotkovou variancí. Váhu pak definujeme vztahem: pi =

σ 02 σ i2

.

(4.42)

- 36 (64) -


Váhu pi=1 má „měření“ u kterého σ i2 = σ 02 . Známe-li naopak váhu měření pi a jednotkovou varianci σ 02 (konstantu k), můžeme vypočítat jednotlivé variance

σ i2 podle: σ i2 =

σ 02 pi

, σi =

σ0

.

pi

(4.43)

Při práci s výběrovými soubory nahrazujeme variance σ ve vzorcích (4.42) a (4.43) výběrovými variancemi s . Neboť obecně předpokládáme při měření působení systematických chyb, lze uvedené vztahy přepsat pro střední chyby: pi =

m02 , resp. mi2

pi =

m02 mi2

(4.44)

a m02 m = pi 2 i

, mi =

m0 . pi

(4.45)

Veličina m0 se nazývá jednotková střední chyba . Jednotková střední chyba odpovídá „měření“, kterému jsme přisoudili jednotkovou váhu p0 = 1 . Při společném zpracování výsledků měření musí být konstanta k, resp. jednotková variance použita stejná pro všechna společně zpracovávaná měření. p1σ 12 = p2σ 22 = K = pnσ n2 = p0σ 02 = σ 02

,

p1m12 = p2 m22 = K = pn mn2 = p0 m02 = m02

.

(4.46)

Poznámka 4.3

Z definice (4.40) vyplývá, že váhy mají ve jmenovateli rozměr střední chyby (směrodatné odchylky) na druhou. Jen ze vzorce (4.42) bychom mohli dojít k nesprávnému závěru, že váhy jsou čísla bezrozměrná. Musíme si ovšem uvědomit, že jednotková variance

σ 02

, případně

2 0

m , zde plní funkci konstanty k . Váha má tedy rozměr v jednotkách rozměru střední chyby na mínus druhou.

4.4.2

Váhové koeficienty q

V mnoha případech je výhodnější pracovat s reciprokými váhami, tzv. váhovými koeficienty. Označujeme je q a definujeme: qi =

1 σ i2 = pi σ 2 0

, nebo qi =

m2 1 = i . pi m 2 0

Při výpočtu směrodatných odchylek nebo středních chyb bude platit:

- 37 (64) -

(4.47)


σ i2 =

σ 02

= σ 02 qi

, σi =

m02 = m02 qi pi

, mi =

pi

σ0

= σ 0 qi

,

(4.48)

m0 = m0 qi pi

.

(4.49)

pi

nebo mi2 =

Váhové koeficienty q nazýváme též kofaktory .

4.4.3

Určování vah v praxi

Vzorce pro výpočet vah nelze uplatňovat zcela mechanicky. Vypočteme-li výběrovou střední chybu z malého souboru výsledků měření, je její hodnota určena se značnou nejistotou. Náhodným seskupením přibližně stejně velkých pravých chyb můžeme například dostat tři přibližně stejné výsledky měření, výběrová střední chyba by vyšla velmi malá a výsledku z takovýchto tří měření bychom přisoudili neoprávněně velkou váhu. Výběrové střední chyby se určí celkem spolehlivě již pro 25 až 30 měření. Je-li výběrová střední chyba vypočtena z výběrového souboru u kterého n > 25 až 30 je možno ve vzorci (4.44) použít výběrovou střední chybu m namísto základní střední chyby m . V některých případech však základní střední chybu neznáme a počet měření je také malý. Pro určení výběrové střední chyby (případně váhy) by n nemělo klesnout pod hodnotu 9 nebo 10 měření. I když neznáme základní střední chybu měření m , tj. střední chybu odpovídající jedenkrát naměřené hodnotě danou metodou, můžeme přesto takovému (jednomu) měření přisoudit např. váhu p = 1. Výsledkům, které byly vypočteny z více měření (obvykle aritmetickým průměrem z n hodnot) pak přisuzujeme váhu p = n . Důkaz tohoto pravidla bude uveden později. Geometrickou nivelací určujeme převýšení v různě dlouhých nivelačních oddílech (úsecích, pořadech). Je zvykem volit jednotkovou váhu p0 = 1 pro nivelační oddíl o délce 1 kilometr. Nivelační oddíl přesně o délce R = 1 km se ale nemusí vůbec v žádném z nivelačních měření vyskytovat, přesto můžeme definovat (nebo i vypočítat) jemu odpovídající jednotkovou střední chybu m0 . Taková chyba se u nivelace nazývá jednotková kilometrová střední chyba. Váhy u nivelačních měření pak jednoduše definujeme jako reciprokou hodnotu délky příslušného nivelačního oddílu, tj. pi = 1/Ri , kde R dosazujeme v kilometrech. Jednotková kilometrová střední chyba je samozřejmě různá pro různé metody nivelace (technická nivelace, přesná nivelace, velmi přesná nivelace), proto vztah pi = 1/Ri může být použit jen při kombinaci výsledků měření stejnou metodou. U všech měření pro které určujeme váhy podle (4.46) musí být vždy použita stejná konstanta k = m02 .

- 38 (64) -


4.4.4

Matice vah a váhových koeficientů

Uspořádáme-li váhy pi na diagonálu čtvercové matice P bude se taková matice nazývat matice vah nebo též váhová matice. Obdobně pro váhové koeficienty (kofaktory) qi můžeme sestavit matici váhových koeficientů Q nazývanou též maticí kofaktorů nebo kofaktorovou maticí.  p1  0 P = M  0

0 p2

M 0

0  q1   L 0 0 , Q = M O M    M pn  0

L

0 q2

M 0

0  L 0 . O M  M qn 

L

(4.50)

Mezi oběma maticemi platí inverzní vztahy: P = Q −1

4.4.5

, Q = P −1 .

(4.51)

Příklady na výpočet vah

Příklad 4.1

Teodolitem Zeiss Theo 010 jsme změřili 3 úhly, každý ve 30 skupinách. Výběrové střední chyby jednotlivých úhlů byly: m1 = 0,8cc , m2 = 1,2cc a m3 = 0,6cc. Váhy vypočteme např. tak, že zvolíme konstantu k = 1. p1 = 1/0,82 = 1,6 ; p2 = 1/1,22 = 0,7 ; p3 = 1/0,62 = 2,8 . Při jiné volbě konstanty k bychom obdrželi jiné váhy. Například při požadavku aby váha prvního měření byla považována za jednotkovou bychom museli zvolit k = 0,64 = 0,82 . Váhy při této volbě konstanty budou: p1 = 0,64/0,82 = 1; p2 = 0,64/1,22 = 0,44 ; p3 = 0,64/0,62 = 1,8 . Z příkladu je zřejmé, že váhy vyjadřují jen relativní poměr mezi veličinami. Příklad 4.2 Úhel α jsme změřili ve 3 skupinách, úhel β stejným teodolitem a za stejných podmínek v 6 skupinách a úhel γ opět za stejných podmínek ve 2 skupinách. Protože jde o malé počty měření (skupin) a vypočtené střední chyby by byly značně nespolehlivé, volíme jejich váhy rovny (přesněji řečeno váhy jejich aritmetických průměrů) přímo počtu měření: pα = 3 , pβ = 6 , pγ = 2 . V tomto případě jsme vlastně zvolili střední chybu měření v jedné skupině jako jednotkovou střední chybu. Vidíme, že praxe může tímto způsobem volit váhy, aniž by musela být předem známa přesnost měření.

- 39 (64) -


Příklad 4.3 Délku d jsme změřili dvěma různými dálkoměry. Pro první dálkoměr byla základní střední chyba m1 = 0,005 m , pro druhý m2 = 0,010 m. Při výpočtu vah zvolme konstantu k = 0,0001 p1 = 0,0001/0,0052 = 0,0001/0,000025 =4 ; p2 = 0,0001/0,012 = 1. Pokud bychom uvažovali přesnosti v jiných jednotkách, např. v milimetrech m1 = 5 mm, m2 =10 mm, mohli bychom volit i jinou konstantu k, např. k=100: p1 = 100/52 = 100/25 =4 ; p2 = 100/102 = 1. V mnoha případech je výhodné vhodnou volbou konstanty převést váhy na čísla řádově velikosti jednotek. Vzhledem k vlastnostem výběrových středních chyb (výběrových variancí) obvykle není nutno uvádět váhy na více než dvě až tři platné cifry.

4.5

Dvojrozměrné a vícerozměrné náhodné veličiny

V předcházejících kapitolách se vyskytly situace kdy byl: - opakovaně měřen na jednom objektu jeden jeho znak (veličina) za stejných podmínek (tzv. náhodný výběr ze stejného základního souboru), - opakovaně měřen na jednom objektu jeden jeho znak různými metodami, tj. s různou přesností (náhodné výběry z různých základních souborů lišících se hodnotou variance, ale někdy i střední hodnotou, pokud při použitých metodách měření působily různé systematické vlivy), - byly měřeny různé objekty stejnou metodou (na každém objektu jen jeden znak). Uvedený výčet můžeme doplnit také o situace, kdy měříme: - stejnou metodou na jednom objektu více znaků, - různými metodami na jednom objektu více znaků, - na více objektech jeden znak více metodami, - na více objektech více znaků jednou metodou, - na více objektech více znaků různými metodami. Zařazení, co se chápe objektem a co jeho znakem, může být někdy obtížné. Určujeme-li souřadnice bodu (v rovině, v prostoru) je pochopitelné, že má jeden objekt (bod) dva nebo tři znaky (rovinné nebo prostorové souřadnice). Měříme-li tři úhly v trojúhelníku, můžeme je chápat jako jeden znak (vodorovný úhel) na třech objektech (vždy příslušné stanovisko a jeho dvě orientace), nebo jeden objekt (trojúhelník) se třemi znaky (jeho úhly).

- 40 (64) -


4.5.1

Střední hodnota náhodného vektoru

Problematiku si ukážeme na příkladu dvojrozměrného náhodného vektoru: L  L =  1  ,  L2 

(4.52)

kde L1 a L2 jsou náhodné veličiny. Předpokládejme, že byl realizován náhodný výběr (obou veličin) o stejném počtu hodnot, např. ve stejném počtu měření n . Měřený vektor l bude určen dvěma výběrovými vektory l1 a l2 :  l 1T   l11 l12 L l1n   l1   . l =   , kde  T  =   l2   l 2   l21 l22 L l2 n 

(4.53)

Střední hodnotu náhodného vektoru pak určíme jako vektor středních hodnot jednotlivých náhodných veličin: 1 n    lim ∑ l1 j   E ( L1 )   n →∞ n j =1   µ1   = =   = µ . E ( L) =  n  E ( L2 )   lim 1 l   µ 2   n →∞ ∑ 2 j  n j =1  

(4.54)

Pokud působí při měření jen náhodné vlivy, bude střední hodnoty velmi blízké pravým hodnotám a odchylky od nich můžeme považovat za pravé (skutečné) chyby. Vektor pravých chyb získáme: ε  ε =  1 , ε2 

 ε T   l − µ1 l12 − µ1 L l1n − µ1   . kde  1T  =  11 ε l µ l µ L l µ − − − 21 2 22 2 2 n 2    2

(4.55)

V případě výběrových vektorů (tvořených výběrovými soubory) získáme průměrnou hodnotu vektoru jako vektor aritmetických průměrů: 1 n   ∑l   x1   n i =1 1i  x =   =  n  .  x2   1 l   n ∑ 2i   i =1 

(4.56)

V případě dvou výběrových souborů obdržíme místo vektoru pravých chyb vektor oprav od aritmetického průměru:  v1   v 1T   x1 − l11 x1 − l12 L x1 − l1n     . v =  , kde  T  =  v2   v 2   x 2 − l21 x 2 − l22 L x 2 − l2 n 

- 41 (64) -

(4.57)


Velmi snadno zobecníme uvedené vztahy na vícerozměrný náhodný vektor, např. m – rozměrný náhodný vektor L.  L1    L  L =  2 , M    Lm   l1    l  l =  2 , M    lm 

4.5.2

 E ( L1 )   µ1   ε1         E ( L2 )   µ 2   ε2  = µ ε = = E ( L) =  ,  M , M   M         E ( Lm )   µ m   εm   x1   v1       x2  v  x =  , v =  2 . M M      xm   vm 

(4.58)

Kovariance a kovarianční matice

Mějme dvojrozměrný náhodný vektor s náhodnými složkami X a Y. Pro tyto veličiny jsme již dříve definovaly jejich střední hodnoty E(X) , E(Y) a variance V(X) a V(Y) viz. vztahy (4.2) a (4.15). Uvedené charakteristiky však nic neříkají o intenzitě (těsnosti) vztahu mezi oběma veličinami X a Y. Těsnost vztahu měří kovariance cov(X,Y), která je definována jako střední hodnota součinu odchylek obou veličin od jejich středních hodnot: cov( X , Y ) = E (( X − E ( X ))(Y − E (Y ))) .

(4.59)

Pro její výpočet se někdy používá i alternativní vztah cov( X ,Y ) = E ( X ⋅ Y ) − E ( X ) ⋅ E (Y ) .

(4.60)

Označme vektor pravých chyb veličiny X jako εX a vektor pravých chyb veličiny Y jako εY , potom můžeme definovat kovarianční matici ΣXY jako   εT  Σ XY = E   XT (ε X  ε  Y 

  E ( ε TX ε X ) E ( ε TX εY )   . εY ) =  T T  E ε ε E ε ε ( ) ( ) Y X Y Y   

(4.61)

Protože diagonální prvky kovarianční matice jsou podle (4.15) a (4.18) variancemi příslušných náhodných veličin a mimodiagonální prvky kovariancemi, bude cov( X , Y )   σ X2  V(X ) Σ XY =  = V (Y )   σ YX  cov(Y , X )

σ XY   . σ Y2 

(4.62)

Kovarianční matice v případě dvojrozměrného náhodného vektoru je rozměru (2x2) a je symetrickou maticí, neboť σYX = σXY = cov(X,Y) = cov(Y,X) . Označení σYX pro kovarianci cov(X,Y) je jen symbolické pro zjednodušující zápis především v maticových vztazích. V případě m- rozměrného náhodného vektoru x = (X1 X2 … Xm)T bude kovarianční matice čtvercová a symetrická o rozměrech (m,m). Označíme-li cov(Xi,Xj) = Cij pro i, j = 1, 2, … , m , lze kovarianční matici napsat

- 42 (64) -


 C11 C12  C21 C Σ =  21 M M   Cm1 Cm1

L C1m   σ 12 σ 12   L C21   σ 21 σ 22 = O M   M M   L Cmm   σ m1 σ m 2

L σ 1m   L σ 2m  . O M   L σ m2 

(4.63)

Pracujeme-li s výběrovými soubory měření můžeme v případě známých pravých hodnot nebo pravých chyb vypočítat výběrovou kovarianční matici, kterou značíme C

1 T  ε1 ε1 n 1 T C =  n ε2 ε1  M 1 T  εm ε1 n

1 T ε1 ε2 n 1 T ε2 ε1 n M 1 T εm ε2 n

1 T  ε1 εm   2 n   s1 1 T  s L ε2 εm = 21   n O M   M 1 T   sm1 L εm εm  n  L

L s1m   L s2 m  . O M   L sm2 

s12 s22 M sm 2

(4.64)

Musíme-li počítat průměrné hodnoty bude výběrová kovarianční matice vypočtena  1 T v1 v1   n −1  1 T C =  n − 1 v2 v1  M  1 T vm v1   n −1

1 T v1 v2 n −1 1 T v2 v1 n −1 M 1 T vm v2 n −1

1 T  v1 vm   2 n −1   s1 1 T  s L v2 vm = 21   n −1   M O M 1 T   sm1 L vm vm  n −1  L

s12 s22 M sm 2

L s1m   L s2 m  . O M   L sm2 

(4.65)

V geodetických aplikacích dosazujeme v některých případech do matice (4.63) na diagonálu základní střední chyby na druhou (úplné variance) a na mimodiagonální pozice příslušné kovariance, případně do vztahů (4.64) a (4.65) výběrové střední chyby na druhou a příslušné výběrové kovariance:  m 12  m Σ =  21 M  m  m1

4.5.3

m12 m

2 2

M mm 2

 m 12 L m1m    L m2 m  m , C =  21  M O M   2   L mm   mm1

m12 m

2 2

M mm 2

L m1m   L m2 m  . O M   L mm2 

(4.66)

Korelační koeficient a korelační matice

Na kovarianci mezi dvěma náhodnými veličinami X a Y je založen i korelační koeficient (párový korelační koeficient, Pearsonův korelační koeficient), který se vypočítá - 43 (64) -


ρ XY =

σ XY cov( X , Y ) , nebo ρ XY = . σ X ⋅σY V ( X ) ⋅ V (Y )

(4.67)

Korelační koeficient nabývá hodnot na uzavřeném intervalu <-1;+1> a je to bezrozměrné číslo. Je-li korelační koeficient nulový, potom veličiny X a Y se považují za veličiny vzájemně lineárně nezávislé (nekorelované). Známe-li kovarianční matici, můžeme pro každou dvojici náhodných veličin vypočítat jejich korelační koeficient podle vztahu

ρ ij =

Cij Cii ⋅ C jj

, nebo ρ ij =

σ ij . σ i ⋅σ j

(4.68)

Tyto korelační koeficienty je možno také sestavit do korelační matice ρ  1  ρ ρ =  21 M   ρ m1

ρ12 1

M

ρ m2

L ρ1m   L ρ 2m  , O M   L 1 

(4.69)

která je opět symetrická, neboť platí ρij = ρji . Známe-li hodnotu korelačního koeficientu ρij a obě směrodatné odchylky σi a σj můžeme vypočítat kovarianci σij (platí i pro základní střední chyby):

σ ij = ρ ij ⋅ σ i ⋅ σ j

, nebo mij = ρ ij ⋅ mi2 ⋅ m j2 .

(4.70)

V případě výběrových souborů počítáme výběrové koeficienty korelace rij a výběrovou korelační matici R

rij =

1  sij sij mij mij r = = , rij = , R =  21 M s 2i ⋅ s 2j si ⋅ s j m 2i ⋅ m 2j mi ⋅ m j   rm1

r12 1

M rm 2

L r1m   L r2 m  . (4.71) O M   L 1 

Příklad 4.4

Vypočítejte průměrné hodnoty, výběrové směrodatné odchylky a výběrový korelační koeficient pro dva náhodné výběry l1 a l2 , oba o rozsahu n=10. l1T=(50;46;45;56;54;48;53;55;50;43), l2T=(56;58;45;55;46;53;56;62;44;45)

Řešení příkladu 4.4 x1 = 50,0 ; x2 = 52,0 ; s12 = 20,0 ; s22 = 41,8 ; s1 = 4,5 ; s2 = 6,5

s12 = 12,7 ; r12 = 0,44 .

- 44 (64) -


5

Chyby funkcí měřených veličin (zákony hromadění chyb)

Cílem této kapitoly je seznámit studenta s nejvýznamějšími zákony teorie chyb, tj. se zákony hromadění (přenášení) chyb. Student se naučí počítat přesnost výsledků (funkčních hodnot), když bude znát přesnosti veličin vstupujících do daných funkcí. Při zpětné úloze se naučí plánovat přesnost jednotlivých měření tak, aby chyba výsledku funkce, do které tato měření vstupují, nepřekročila předem danou hodnotu. Průměrný čas k nastudování této kapitoly je odhadnut na 16 hodin.

Zákon hromadění pravých chyb, zákon hromadění středních chyb, zákony hromadění vah a váhových koeficientů. Zpětná úloha a princip stejného vlivu.

V geodetické praxi jsou velmi časté případy, kdy nějakou veličinu, např. y nemůžeme přímo měřit, ale počítáme ji pomocí veličin x1 , x2 , … , xk , které měřit můžeme. Hledaná veličina je tedy funkcí měřených veličin, což obecně zapíšeme:

y = f (x1 , x2 , … , xk).

(5.1)

Naměřené hodnoty jsou zatíženy chybami. Je samozřejmé, že tyto chyby se musí projevit v hodnotě výsledné funkce. Chyba funkční hodnoty (chyba funkce) bude tedy záviset na chybách vstupních veličin x1 , x2 , … , xk . Protože výsledky měření jsou náhodné veličiny, lze obecně předpokládat, že náhodnou veličinou bude i vypočtená funkční hodnota Y Y = f (X1 , X2 , … , Xk) .

(5.2)

Kdybychom znali pravé (bezchybné) hodnoty veličin ~ x1 , ~ x2 , K , ~ x k , mohly ~ bychom vypočítat i bezchybnou hodnotu y ~ y = f (~ x1 , ~ x2 , K , ~ xk ) .

(5.3)

Ve většině případů pravé hodnoty veličin vstupujících do funkce neznáme, proto je měříme. Každou měřenou veličinu vstupující do funkce tak representují dvě hodnoty: výsledná hodnota měření (při jednom měření naměřená hodnota, při opakovaném měření její průměrná hodnota) a její chyba (např. pravá chyba, směrodatná odchylka, střední chyba apod.). Při výpočtech veličin často používáme různá čísla „matematického původu“, např. π, e, ρ ..., trigonometrické a jiné funkce a to vždy na určitý počet desetinných míst. Chyby těchto čísel (ze zaokrouhlení) se mohou také přenášet na výpočtem určovanou funkční hodnotu. U těchto čísel však snadno určíme jejich pravou chybu, neboť jejich hodnoty můžeme určit na mnohem větší počet platných cifer, než jich skutečně použijeme při výpočtu. Chyby čísel, s nimiž vstupujeme do výpočtu funkce, se přenášejí na vypočtenou hodnotu funkce podle pravidel, kterým se obecně říká zákony hromadění - 45 (64) -


(přenášení) chyb. Jsou to nejdůležitější zákony v oboru praktických měření. Jedině jejich dokonalá znalost vede k ekonomickému měření a počítání, tj. k vypracování takové metody měření, konstrukce přístroje nebo početního postupu, kdy dosáhneme požadované přesnosti výsledku s nejmenším vynaložením času a sil [1]. V této kapitole budeme předpokládat, že veličiny vstupující do funkcí jsou vzájemně nezávislé (nekorelované).

5.1

Zákon hromadění pravých (skutečných) chyb

Skutečnou chybu εf funkce f můžeme vypočítat za předpokladu, že známe skutečné chyby εi měřených veličin xi . Bezchybnou funkční hodnotu bychom mohli vypočítat podle vztahu (5.3) jen x1 , ~ x2 , K , ~ xk : z bezchybných měření ~ ~ y = f (~ x1 , ~ x2 , K , ~ xk ) . Označme měřené hodnoty x1 , x2 , … , xk a jejich pravé chyby ε1 , ε2 ,…, εk . Mezi pravými hodnotami, měřenými hodnotami a pravými chybami budou platit podle definice (3.1) vztahy x1 , ε 2 = x 2 − ~ x2 , L , ε k = xk − ~ xk a ε y = y − ~ y. ε 1 = x1 − ~ (5.4) Dosadíme-li do funkčního vztahu naměřené hodnoty, dostaneme místo pravé hodnoty ~ y , vypočtenou funkční hodnotu y , která se od pravé hodnoty liší o hodnotu její pravé chyby εy y = f (x1 , x2 , … , xk) ~ y + ε y = f (~ x1 + ε 1 , ~ x 2 + ε 2 ,L, ~ xk + ε k ) .

(5.5)

Protože chyby ε jsou vzhledem k vlastním hodnotám x obvykle malé, můžeme na pravé straně rovnice (5.5) rozvinout funkci v řadu podle Taylora a omezit se jen na členy 1. řádu, tj. napsat ∂f ∂f ∂f ~ y + ε y = f (~ x1 , ~ x 2 ,L, ~ xk ) + ~ ε 1 + ~ ε 2 + L + ~ ε k . ∂xk ∂x1 ∂x 2

(5.6)

Odtud ∂f

∂f

∂f

ε y = ~ ε1 + ~ ε 2 + L + ~ ε k . ∂x ∂x ∂x 1

2

(5.7)

k

Rovnici (5.7) nazýváme zákonem hromadění (přenášení) pravých chyb . Jde o totální diferenciál funkce (5.3) ve které jsou diferenciály dxi nahrazeny pravými chybami εi . Jednotlivé parciální derivace jsou napsány jen symbolicky, ve skutečnosti se jedná o výpočet parciální derivace v bodě (x1 , x2 , … , xk ) - viz (5.8) .

- 46 (64) -


Označíme-li vektor měřených hodnot x = (x1 , x2 , … , xk)T a vektor pravých hodnot x~ = ( ~ x1 , ~ x2 , K , ~ xk )T , můžeme definovat vektor parciálních derivací f.

 ∂f  ~  ∂x

T

  ∂f  =  ∂~   x1 x~ = x 

∂f ∂~ x2

L

∂f ∂~ xk

  = ( f1  x~ = x

f2

L

f k ) = f T . (5.8)

Pokud uspořádáme i pravé chyby měřených veličin εi do vektoru pravých chyb ε = (ε1 ε2 … εk )T můžeme zapsat zákon hromadění pravých chyb v maticové symbolice εy = f T . ε

.

(5.9)

Příklad 5.1

Vypočítejme obvod kružnice, jejíž průměr je přesně d = 100,000 m, použijeme-li zaokrouhlené číslo π = 3,14 . Funkce f ≡ o = π.d . Pravá chyba επ čísla π bude επ = - 0,00159 a tedy pravá chyba obvodu kružnice bude εo =

∂f ε π = d ⋅ ε π = −0,159 m . ∂π

Vypočítali jsme obvod kružnice se zcela zbytečnou chybou asi 16 cm, neboť v daném případě mělo být číslo π použito na minimálně šest platných cifer, tj. π = 3,14159 , potom by vyšel obvod O = 314,159 m. Chybně vypočtená hodnota o = 3,14 . 100,000 = 314,000 m se liší od pravé hodnoty O právě o chybu – 0,159 m.

5.2

Zákon hromadění variancí (středních chyb)

Protože pravé (skutečné) chyby nebudeme většinou znát, je účelné převést vztah (5.9) na vztah ve kterém budou vystupovat střední chyby. S uvážením vztahu (4.25) lze psát:

ε y = f T ε, ε y2 = ( f T ε )( f T ε ) T = f T εε T f ,

(5.10)

E (ε y2 ) = f T E ( εε T ) f .

Pokud má funkce f parciální derivace f1 , f2 , … , fk podle jednotlivých proměnných spojité a skutečné chyby εi jsou malé, potom bude  ε 12 ε 1ε 2  2  ε 2ε 1 ε 2 T E ( εε ) = E  M M  ε ε ε ε k 2  k 1

L ε 1ε k   E (ε 12 ) E (ε 1ε 2 )   L ε 2ε k   E (ε 2ε 1 ) E (ε 22 ) = M O M   M   2  L ε k   E (ε k ε 1 ) E (ε k ε 2 )

což je vlastně kovarianční matice Σ.

- 47 (64) -

L E (ε 1ε k )   L E (ε 2ε k )   , O M  L E (ε k2 ) 


 σ 12 σ 12  σ 22 σ T E ( εε ) =  21 M M  σ  k1 σ k 2

L σ 1k   L σ 2k  =Σ. O M   L σ k2 

Třetí rovnice v (5.10) tak definuje varianci funkční hodnoty (výsledku funkce):

σ y2 = f T Σ f ,

(5.11)

neboť E (ε y2 ) = σ y2 .

Pokud jsou všechny proměnné X ve funkčním vztahu (5.2) vzájemně nezávislé a působí-li v nich jen náhodné chyby, platí s uvážením vztahu (3.10) E (ε i ε j ) = E (ε i ) = E (ε j ) = 0,

pro i ≠ j .

(5.12)

Kavarianční matice Σ bude v tomto případě diagonální  σ 12 0  2  0 σ2 Σ = M M   0 0 

0  L 0 O M   L σ k2  L

(5.13)

a rovnice (5.11) bude mít v klasické podobě tvar:

σ y2 = f12σ 12 + f 22σ 22 + L + f k2σ k2 .

(5.14)

Vztah (5.14) se nazývá zákon hromadění (přenášení) variancí a patří k jedněm z nejdůležitějších zákonů teorie chyb. Pro lepší názornost jej rozepíšeme i s příslušnými parciálními derivacemi: 2

2

 ∂f  ∂f   ∂f  σ =  ~  σ 12 +  ~  σ 22 + L +  ~  ∂x1   ∂x 2   ∂x k 2 y

2

 2  σ k 

.

(5.15)

V uvedeném zákoně se jednotlivé členy na pravé straně rovnice sčítají kvadraticky tzn., že se výsledná hodnota (variance) funkce s počtem proměnných stále zvětšuje (narůstá její hodnota). Hodnoty parciálních derivací číselně určujeme v bodě x~ = x , viz. (5.8). Protože se odmocnina z variance, tj. směrodatná odchylka σ, používá jako charakteristika přesnosti (4.17), lze přepsat rovnici (5.15) na tvar:

- 48 (64) -


2

2

 ∂f  ∂f   ∂f  σ y =  ~  σ 12 +  ~  σ 22 + L +  ~  ∂x1   ∂x 2   ∂xk

2

 2  σ k . 

(5.16)

Příklad 5.2

Vypočítejme směrodatnou odchylku dvou funkcí vyjadřující a) součet, b) rozdíl dvou nezávislých náhodných veličin X1 a X2, když známe jejich směrodatné odchylky σ1 a σ2 . a) Y = X 1 + X 2 , σ y2 = (+ 1) ⋅ σ 12 + (+ 1) ⋅ σ 22 = σ 12 + σ 22 ,

σ y = σ y2 ,

b) Y = X 1 − X 2 , σ y2 = (+ 1) ⋅ σ 12 + (− 1) ⋅ σ 22 = σ 12 + σ 22 ,

σ y = σ y2 .

2

2

2

2

Výsledná směrodatná odchylka pro obě funkce je stejná, neboť se jednotlivé součiny příslušných derivací a k nim náležejících směrodatných odchylek sčítají kvadraticky. Příklad 5.3 Vypočítejme varianci a směrodatnou odchylku funkce součtu n proměnných, které mají stejné směrodatné odchylky σi = σ , pro i=1,2,…,n . Y = X 1 + X 2 + L + X n , σ y2 = σ 12 + σ 22 + L + σ n2 = σ 2 + σ 2 + L + σ 2 = nσ 2 ,

σy =σ n

.

(5.17)

Příklad 5.4 Vypočítejme varianci a směrodatnou odchylku pro funkci aritmetického průměru z n proměnných, které mají stejné variance: 2

2

2

1 σ2 1 1 1 Y = X = ( X 1 + X 2 + L + X n ), σ x2 =   σ 2 +   σ 2 + L +   σ 2 = , n n n n n

σx =

σ n

.

(5.18)

Při měření v geodézii používáme měřické metody, jejichž přesnost lze charakterizovat příslušnými základními středními chybami. Vstupují-li výsledky těchto měření do nějakého matematického vztahu (funkce), lze přesnost výsledku této funkce odhadnout ze vztahu (5.15), resp. (5.16), ve kterém nahradíme variance (resp. směrodatné odchylky), úplnými variancemi (resp. základními středními chybami). Mějme tedy funkci - viz. (5.1) y = f (x1 , x2 , … , xk) , kde x1 , x2 , … , xk jsou výsledky měření, a m1 , m2 ,L, mk jejich základní střední chyby. Potom bude podle (5.15)

- 49 (64) -


2

2

 ∂f  ∂f   ∂f  m =  ~  m12 +  ~  m22 + L +  ~  ∂x1   ∂x 2   ∂x k 2 y

2

 2  mk 

(5.19)

a střední chyba funkce se vypočítá jako kladná část příslušné odmocniny 2

2

 ∂f  ∂f   ∂f  m y =  ~  m12 +  ~  m22 + L +  ~  ∂x1   ∂x2   ∂x k

2

 2  mk 

.

(5.20)

Vzorce (5.19) či (5.20) vyjadřují zákon hromadění středních chyb , který je mimořádně důležitý pro teorii i geodetickou praxi a často bývá považován za nejdůležitější zákon v teorii chyb – [3] . Připomeňme, že vztahy (5.19), resp. (5.20) platí jen pro vzájemně nezávislé (nekorelované) měřené veličiny, které mají sudé rozdělení pravděpodobností, takže E(ε) = 0 (nemusí to být normální rozdělení). Podle zákona rozdělení středních chyb vypočteme střední chybu funkce měřených veličin vždy, když známe základní střední chyby měřených veličin. V těch případech, kdy neznáme základní střední chyby měřených veličin m , použijeme jejich odhad prostřednictvím výběrových středních chyb m. Ve vzorci (5.20) pak nahradíme základní střední chyby měřených veličin výběrovými středními chybami 2

2

 ∂f  ∂f   ∂f  m y =  ~  m12 +  ~  m22 + L +  ~  ∂x1   ∂x 2   ∂x k

2

 2  mk . 

(5.21)

Musíme si však uvědomit, že i výsledná střední chyba funkce je jen odhadem příslušné základní střední chyby funkce. Ta je určena tím spolehlivěji, čím spolehlivěji jsou určeny výběrové střední chyby měřených veličin vstupujících do vzorců. Označíme-li pro zjednodušení jednotlivé parciální derivace symboly fi a jejich vektor f , obdobně jako v (5.8), lze vztah (5.19) přepsat v klasické i maticové podobě následovně m y2 = f12 m12 + f 22 m22 + L + f k2 mk2 , my2 = f T Σ f ,

(5.22)

které jsou obdobou vzorců (5.14) a (5.11). Připomeňme, že v tomto případě bude matice úplných variancí diagonální  m 12   0 Σ = M   0 

0 m

2 2

M

0

0   L 0  . O M   L mk2  L

- 50 (64) -

(5.23)

Charakteristiky měření Poznámka 5.1

Při praktických aplikacích musíme dbát na to, aby ve vzorci (5.19) všechny součiny parciálních derivací a příslušných středních chyb, tj. hodnoty fi mi byly vyjádřeny ve stejných fyzikálních jednotkách. Ve stejných jednotkách bude vyjádřena i výsledná chyba funkce. Poznámka 5.2

Vzorec (5.22) vyjadřuje v obecnější rovině zákon hromadění úplných variancí korelovaných veličin tj. v případech, kdy matice (5.23) není pouze diagonální, ale na mimodiagonálních pozicích má příslušné kovarince vypočtené např. podle (4.70). Kovarianční matice má v těchto případech tvar:  m 12  m Σ =  21 M  m  k1

m12 m

2 2

M

mk 2

L m1k   L m2 k  . O M   L mk2 

Poznámka 5.3

Při odhadech přesností měřených veličin pomocí výběrových variancí (výběrových směrodatných odchylek či výběrových střední chyb) budou obdobou vzorce (5.22) vztahy: s2y = f T C f ,

(5.24)

m2y = f T C f .

(5.25)

Příslušné kovarianční matice nemusí být ve vzorcích (5.24) a (5.25) pouze diagonální - viz předcházející poznámka 5.2 Poznámka 5.4

Při odhadech přesností měřených veličin pomocí základních středních chyb si musíme uvědomit, že střední chyby v sobě zahrnují i střední vliv jejich systematických složek. Uvedené zákony hromadění by bylo nutno rozšířit na zákony společného působení náhodných i systematických vlivů, což překračuje rámec tohoto základního kurzu. Příklad 5.5

V řadě geodetických metod měříme z kontrolních důvodů hledanou veličinu vždy 2x (např. při měření délek změříme délku jednou Tam a podruhé Zpět). Obě měření jsou obvykle vykonána stejnou metodou tzn., že u obou měření můžeme předpokládat stejnou přesnost, vyjádřenu stejnou základní střední chybou m. Vypočítejme střední chybu rozdílu měření tam (T) a zpět (Z), když základní střední chyba jedenkrát měřené délky je m =5 mm. D = T – Z, mD = m 2 + m 2 = m 2 = 5 2 = 7,07mm . Příklad upozorňuje na skutečnost, že diference (rozdíl) dvojího měření, která má teoreticky nulovou střední hodnotu, nemá nulovou střední chybu. Kdybychom obě měření znovu opakovali, obdržíme pro ně jinou velikost diference, ale ta má stejnou střední chybu mD = m 2 jako diference u první dvojice mě-

- 51 (64) -


ření. Nezáleží tedy na velikosti diference, ale na přesnosti měření. Samozřejmě, že velikost diference nesmí překročit předem danou dovolenou odchylku, která se stanoví jako určitý, obvykle dvou až tří, násobek střední chyby diference. Příklad 5.6 V rovinném trojúhelníku byly měřeny úhly α a β s následujícími středními chybami mα = 3´´ , mβ = 5´´. Střední chyba mγ úhlu γ vypočteného ze vzorce γ = 180 o- (α + β) , bude mγ = mα2 + mβ2 = 32 + 52 = 5,8′′ =& 6′′ . Příklad 5.7 V rovinném trojúhelníku byly změřeny následující veličiny: strana a =125,45 m s přesností ma= 12 mm, strana b = 86,48 m s přesností mb = 10 mm, úhel mezi oběma stranami γ = 58,5685 g s přesností 1 c . Připomeňme, že 1 c = 100 cc = 0,01g = 10mgon. Vypočítejme střední chybu mP obsahu plochy P určené podle vzorce P=

1 a b sin γ . 2

Střední chybu určíme ze zákona hromadění středních chyb. Pro její výpočet podle (5.19) musíme nejprve určit parciální derivace funkce P podle proměnných a, b, γ . ∂P 1 ∂P 1 ∂P 1 P P = b cos γ = = f a , = a cos γ = = f b , = ab cos γ = P cotgγ = f γ . ∂a 2 a ∂b 2 b ∂γ 2 Číselné hodnoty parciálních derivací vypočteme tak, že do jejich vztahů dosadíme měřené veličiny. P= 4315,68 [m2]; fa= 34,4016 ; fb =49,9038 ; fγ =3286,28 . U parciálních derivací nejsou uvedeny jednotky [m] a [m2], ale musí pro ně platit poznámka 5.1 . Protože je střední chyba mγ vyjádřena v jednotkách mgon, musíme ji převést na obloukovou míru pomocí ρ (ρmgon = 63662 mgon).  mγ m P = f m + f m + fγ   ρ  2

2 a

2 a

2 b

2 b

2

2

  P 2 2  P 2 2 m2  =   ma +   mb + (Pcotgγ )2 γ2 .  a ρ b 

mP2 = (34,4016) 2 ⋅ (0,012) 2 + ( 49,9038) 2 ⋅ (0,010) 2 + (3286,28) 2 ⋅ (0,000157) 2 = = 0,17042 + 0,24904 + 0,26620 = 0,68566 . mP = 0,68566 = 0,82 [m2]. Vzhledem k velikosti střední chyby obsah plochy zaokrouhlíme na celé m2 , Výsledek je také možno psát ve tvaru P = ( 4316 ± 0,8 ) m2.

- 52 (64) -


Příklad 5.8 V rovinném trojúhelníku byly změřeny následující veličiny: strana a = ( 126,14 ± 0,04 ) m, úhly

β = 131,3750 g ± 60 cc, γ = 26,0500 g ± 60 cc .

Máme vypočítat stranu b a její střední chybu mb . Stranu b vypočítáme podle sinusové věty b=a

sin β . sin( β + γ )

Parciální derivace této funkce jsou ∂b sin β b = = , ∂a sin(β + γ ) a ∂b a cos β sin(β + γ ) − a sin β cos(β + γ ) sin γ , = =a 2 2 ∂β sin (β + γ ) sin (β + γ )

∂b sin β cos(β + γ ) sin β cos(β + γ ) = −a = −a = −b cotg(β + γ ) . 2 ∂γ sin (β + γ ) sin(β + γ ) sin(β + γ ) Další výpočet ponecháme na čtenáři. Výsledná střední chyba bude mb = 0,062 m. Úkol 5.1

Odvoďte vztahy pro výpočet středních chyb následujících funkcí, přičemž předpokládejte, že známe střední chyby všech veličin vstupujících do uvedených funkcí: a ) obsah plochy obdélníku P = a ⋅ b , b ) délka strany c) směrník

5.3

s = ∆x 2 + ∆y 2

σ = arctg

∆y ∆x

,

.

Opačná úloha a princip stejného vlivu

V praxi se často požaduje, aby určitá veličina byla vypočtena z měřených hodnot se stanovenou přesností. Je tedy předem dána nejvyšší přípustná směrodatná odchylka (střední chyba) funkce a je třeba určit nejvyšší směrodatné odchylky) střední chyby měřených veličin tak, aby stanovená přesnost byla dosažena. Jde tedy o inverzní (opačnou) úlohu k zákonu hromadění středních chyb, neboť známe výslednou střední chybu funkce a počítáme střední chyby měřených veličin. Tvar funkce a tím i příslušné parciální derivace jsou samozřejmě známy.

- 53 (64) -


Označme (stejně jako dříve) měřené veličiny x1 , x2 , … , xk a jejich směrodatné odchylky σ , σ , K , σ , případně střední chyby m1 , m2 ,L, mk . Variance 1

2

k

funkce y = f (x1 , x2 , … , xk) je dána vzorcem – viz. (5.15) ,

σ 2y

2

2

 ∂f  ∂f   ∂f  =  ~  σ 12 +  ~  σ 22 + L +  ~  ∂x1   ∂x 2   ∂x k

2

 2  σ k . 

resp. (5.19) při použití základních středních chyb m y2

2

2

 ∂f  ∂f   ∂f  =  ~  m12 +  ~  m22 + L +  ~  ∂x1   ∂x 2   ∂x k

2

  mk2 . 

V uvedených vzorcích je nyní zadána hodnota variance funkce σ 2y (resp. kvadrátu střední chyby m y2 ), známý je funkční vztah a tak jsou známy též hodnoty parciálních derivací (vypočtené v bodě odhadu měřených hodnot). Úkolem je

určit

směrodatné

σ ,σ , K ,σ

odchylky

1

2

k

(resp.střední

chyby

m1 , m2 ,L, mk ). Z jedné rovnice nelze určit k neznámých bez použití nějaké doplňující podmínky. Ta bude vyjádřena tzv. principem stejného vlivu. Při tomto principu budeme požadovat, aby měřené veličiny se stejnou hodnotou podílely na celkovém výsledku - varianci funkce. Prakticky to znamená rozdělit zadanou varianci funkce σ 2y na k stejných dílů, čímž obdržíme k rovnic vždy o jedné neznámé, pro které platí:

σ 2y

 ∂f =  k  ∂xi

2

 2  σ i 

⇒

σ i2 =

σ 2y  ∂f k   ∂xi

  

2

.

(5.26)

Jednotlivé směrodatné odchylky se vypočítají jako odmocnina z příslušných variancí (viz. vztah 4.17) V případě použití základních středních chyb vypočteme střední chyby pro jednotlivé měřené veličiny obdobným způsobem podle následujících vztahů: m1 =

my  ∂f   k   ∂x1 

, m2 =

my  ∂f   k   ∂x2 

, L , mk =

my  ∂f k   ∂xk

  

. (5.27)

Vypočtené hodnoty směrodatných odchylek (středních chyb) vyjadřují nejvýše přípustné směrodatné odchylky (střední chyby) veličin, které máme změřit. Podle velikosti těchto chyb pak zvolíme přístroje, metody a počet opakování měření tak, aby jejich střední chyby nepřekročily stanovené hodnoty. Správnost vypočtených směrodatných odchylek (středních chyb) ověříme jejich dosazením do rovnic (5.15) resp. (5.19).

- 54 (64) -


Příklad 5.9

Máme určit převýšení h změřením vodorovné vzdálenosti s a výškového úhlu β tak, aby střední chyba mh převýšení h nepřekročila 2 mm. : Dáno: přibližná délka s ≈ 100 m, výškový úhel β ≈ 12,5 g , mh ≤ 2 mm. V tomto případě je funkce pro výpočet převýšení dána vzorcem h = s ⋅ tgβ , pro který bude mít zákon hromadění středních chyb tvar 2

2

2  ∂h  2  s  ∂h  m ≥   ms2 +   mβ = (tg β ) ms2 +  2  ∂s   ∂β   cos β 2 h

2

 2  mβ . 

Podle vzorců (5.26, resp. 5.27) položíme mh2 ≥ (tg 2 β ) ms2 2

2

,

2 mh2  s  mβ ≥   2  cos 2 β  ρ 2

.

Protože jsou všechny členy v uvedených vztazích kladné, je jejich řešení jednoznačné. Po dosazení číselných hodnot obdržíme výsledek ms ≤ 7 mm , mβ ≤ 8,6 cc . Ve vzorcích příkladu 5.8 je namísto označení rovností použito označení nerovností, což vyjadřuje skutečnost, že je možno měřit lépe, než je požadavek vypočtený podle principu stejného vlivu.

Při použití principu stejného vlivu se může stát, že pro některou veličinu, kterou máme měřit, dostaneme tak malou střední chybu (směrodatnou odchylku), že její měření by bylo s touto vypočtenou přesností velmi náročné, případně i nemožné. V těchto případech nedodržíme princip stejného vlivu, ale rozdělíme chyby nerovnoměrně, s přihlédnutím k přesnosti přístrojů a pomůcek, které máme k dispozici. Prakticky to znamená, že zvýšíme požadavky na přesnost jiné veličiny nebo veličin na úkor snížení přesnosti u té veličiny, u které by bylo obtížné požadovanou přesnost měření dosáhnout. V případech, kdy požadavek na výslednou přesnost je již tak náročný, že jej není možno realizovat tímto způsobem, je možno změnit buď hodnoty parciálních derivací volbou jiného bodu derivace, nebo použít jinou funkci. Obvykle to znamená zvolit např. jinou konfiguraci měřického obrazce při použití stejné metody výpočtu, či zvolit jinou metodu měření. Předpokládejme, že máme určit se zadanou přesností výšku špatně přístupného bodu. Zvolíme–li např. metodu trigonometrického měření výšek, je nutno vypočítat přesnost pro měřenou délku a svislý úhel. Do vztahů pro parciální derivaci dosadíme předpokládané hodnoty délky a svislého úhlu (dle situace na lokalitě). Vede-li použití principu stejného vlivu k vyšším nárokům na přesnost jedné z měřených veličin než můžeme zajistit, pokusíme se nejprve rozdělit přesnost nerovnoměrně, tj. snížit přesnost jedné veličiny na úkor zvýšení přesnosti druhé veličiny. Dále se můžeme pokusit o výběr jiného místa měření na lokalitě (jiné stanovisko s jinými hodnotami délky a úhlu a tím i jinými hodnotami parciálních derivací). Další možností je použití jiné metody, např. metody přesné nivelace, případně tento požadavek na přesnost odmítnout jako problém s dostupným přístrojovým vybavením neřešitelný. - 55 (64) -


5.4

Zákony hromadění vah a váhových koeficientů

5.4.1

Zákon hromadění vah

V předcházejících statích jsme zavedli pojmy váha p a váhový koeficient q, kterými v některých případech vyjadřujeme přesnost. Připomeňme základní vztah mezi směrodatnou odchylkou a váhou (4.42) pi =

σ 02 . σ i2

Konstanta σ 02 vyjadřuje jednotkovou varianci, neboli „přesnost takového měření“ , kterému jsme přisoudili váhu 1. Tato konstanta musí být zvolena pro všechny veličiny stejná. Jejich variance vypočítáme

σ = 2 i

σ 02 pi

,

a po dosazení do zákona hromadění variancí (5.15) obdržíme 2

σ 02

2

2

 ∂f  ∂f  σ 2  ∂f  σ 2 =  ~  0 +  ~  0 + L +  ~ p y  ∂x1  p1  ∂x 2  p2  ∂x k

 σ 02   pk

,

(5.28)

kde py je vypočtená váha funkce. Celou rovnici podělíme jednotkovou variancí a dostaneme vzorec pro výpočet váhy funkce, který vyjadřuje tzv. zákon hromadění vah 2

2

 ∂f 1  ∂f  1  ∂f  1 =  ~  +  ~  + L +  ~ p y  ∂x1  p1  ∂x 2  p2  ∂x k

2

 1   pk

.

(5.29)

Obdobným způsobem můžeme odvodit vzorec pro váhu funkce ze zákona hromadění středních chyb - (5.19) 2

2

 ∂f  ∂f   ∂f  m =  ~  m12 +  ~  m22 + L +  ~  ∂x1   ∂x 2   ∂x k 2 y

2

 2  mk 

m02 . do kterého dosadíme podle (4.45) za střední chyby m = pi 2 i

2

2

 ∂f m02  ∂f  m02  ∂f  m02 =  ~  +  ~  + L +  ~ p y  ∂x1  p1  ∂x2  p2  ∂x k

2

 m02   pk

,

(5.30)

Rovnici (5.30) podělíme jednotkovou střední chybou na druhou a obdržíme vzorec pro výpočet váhy funkce, který je identický s rovnicí (5.29) 2

2

 ∂f 1  ∂f  1  ∂f  1 =  ~  +  ~  + L +  ~ p y  ∂x1  p1  ∂x 2  p2  ∂x k

- 56 (64) -

2

 1  .  pk


5.4.2

Příklady

Příklad 5.10

Jaká bude váha součtu dvou veličin, které byly měřeny stejně přesně, takže jsme jim přisoudili stejnou váhu p1 = p2 = p ? y = x1 + x 2 , 2

2

1  ∂f  1  ∂f  1 2 2 1 2 1 =  ~  +  ~  = (1) + (1) = p y  ∂x1  p1  ∂x 2  p2 p p p

,

py =

p . 2

Pokud stanovíme váhu jednoho měření za jednotkovou bude p1 = p2 = p = 1 . Výsledná váha součtu dvou veličin bude rovna jedné polovině , tj. py = 1/2 . Totéž platí pro rozdíl dvou stejně přesných veličin – viz příklad 5.2 . Příklad lze rozšířit na součet nebo rozdíl n stejně přesně měřených veličin. y = x1 ± x2 ± … ± xn , p1 = p2 = … = p n = 1 , py = 1/n . Příklad 5.11 Jaká bude váha aritmetického průměru z n stejně přesně měřených veličin ? 1 x = (l1 + l 2 + ... + l n ) , p1 = p2 = … = p n = p , n 2

2

2

2

2

2

 ∂f  1  1  1  1  1 1  ∂f  1  ∂f  1 1 1   =  +  + L +  +L+   = +  =   p x  ∂l1  p1  ∂l2  p2 n p  ∂ln  pn  n  p  n  p 2

1 1 1 = n  = n p n⋅ p

,

py = n ⋅ p

.

Přisoudíme-li jedenkrát měřené veličině váhu 1 , bude mít aritmetický průměr z n stejně přesných měření váhu n . Příklad 5.12 Daný úhel byl změřen prvním teodolitem směrodatnou odchylkou σ1 = 4 cc , druhým teodolitem se směrodatnou odchylkou σ 2 = 10 cc . Jakou váhu má první měření, přisoudíme-li druhému váhu p2 = 1 ? p1 =

σ 02 4

2

,

p2 =

σ 02 10

2

⇒ σ 02 = 100,

p1 =

100 100 = = 6,25 =& 6 . 42 16

- 57 (64) -


5.4.3

Zákon hromadění váhových koeficientů

Ve stati 4.4.2 jsme zavedli pojem reciproká váha neboli váhový koeficient či kofaktor, který jsme označili písmenem qi . Platí pro něj podle (4.47)

qi =

1 . pi

Dosadíme-li do zákona hromadění vah (5.29) místo vah váhové koeficienty, obdržíme vzorec vyjadřující zákon hromadění váhových koeficientů 2

 ∂f   ∂f q y =  ~  q1 +  ~  ∂ x1   ∂x 2

2

 ∂f   q 2 + L +  ~   ∂x k

2

  q k 

.

(5.31)

Ve vzorci vyjadřuje hodnota qy váhový koeficient (kofaktor) zadané funkce. Vzorec (5.31) má i svoji maticovou podobu qy = f T Q f ,

(5.32)

ve kterém je vektor f vektor parciálních derivací funkce podle jednotlivých proměnných (5.8) a matice Q je příslušná matice váhových koeficientů (4.50):   ∂f     x1      ∂~   ∂f        = f =   ∂~ x  2    M     ∂f      ~    ∂x   k 

f1   f2  , M   f k 

 q1  0 Q= M  0

0 q2 M 0

0  L 0 . O M  M qn  L

Ve stati 4.4.4 jsme rovněž definovali matici vah P , která je inverzní maticí k matici kofaktorů Q , protože podle (4.51) platí P = Q −1 , Q = P −1 . Zákon hromadění vah (5.29) lze v maticovém tvaru proto psát 1 = q y = f T P −1 f . py

(5.33)

Zákon hromadění vah a zákon hromadění váhových koeficientů jsou vlastně identické vzorce, ve kterých jsou použity jednou reciproké váhy, podruhé váhové koeficienty, což jsou identické hodnoty. Matici váhových koeficientů, resp. matici vah, můžeme využít i při výpočtu středních chyb funkcí, tj. v zákonech hromadění středních chyb, či zákonech hromadění variancí. Následující vzorce vycházejí ze vztahů (5.11) a (5.22):

- 58 (64) -


σ 2 = f T Σ f = σ 02 f T Q f = σ 02 f T P −1 f , y

(5.34) m y2 = f T Σ f = m02 f T Q f = m02 f T P −1 f ,

Ve vzorcích se využívá znalosti základních charakteristik přesnosti, existují ale i jejich výběrové varianty. I zde platí poznámka 5.2 na str. 48, že v případě korelovaných veličin nebudou kovarianční matice, matice vah a matice váhových koeficientů jen diagonální.

5.5

Zákony hromadění pro více funkcí počítaných současně

V této stati se budeme zabývat případy, kdy stejné vstupní veličiny máme dosadit do více funkcí současně. Zajímá nás přesnost výsledných funkčních hodnot, když známe přesnost hodnot vstupujících do výpočtu těchto funkcí. Jako příklad uveďme výpočet souřadnicových rozdílů v úloze, která se v geodézii nazývá výpočet rajonu. Příklad 5.13

Dáno: délka s a její směrodatná odchylka σ s , směrník α a jeho směrodatná odchylka σ α . Máme určit: souřadnicové přírůstky ∆x , ∆y a jejich směrodatné odchylky. Z geodézie víme, že se souřadnicové přírůstky vypočítají ze vzorců: ∆x = f1 ( s, α ) = s ⋅ cos α ,

∆y = f 2 ( s, α ) = s ⋅ sin α .

Pro výpočet směrodatných odchylek souřadnicových přírůstků můžeme použít zákon hromadění variancí (5.15) opakovaně (tzn. pro každý přírůstek samostatně): 2

2

2

2

 ∂f1  2  ∂f1  2 2 2 2 2 2 2 2 2  σs +  σ α = f 11 σ s + f 12 σ α = (cosα ) σ s + (− s ⋅ sin α ) σ α ,  ∂s   ∂α 

σ2 = ∆x

σ

2 ∆y

 ∂f   ∂f  2 2 =  2  σ s2 +  2  σ α2 = f 212σ s2 + f 222σ α2 = (sin α ) σ s2 + (s ⋅ cosα ) σ α2 .  ∂s   ∂α 

Uspořádejme nyní, obdobně jako v (5.8), parciální derivace obou funkcí z příkladu 5.12 do dvou vektorů příslušných parciálních derivací a směrodatné odchylky měřených veličin do příslušné kovarianční matice Σ f  f1 =  11  ,  f12 

σ 2 0  f   . f 2 =  21  , Σ =  s 2  f  22   0 σα 

Variance obou souřadnicových přírůstků můžeme vypočítat též opakovaným použitím zákona hromadění variancí v maticové podobě: 2 2 σ ∆x = f1T Σ f1 , σ ∆y = f 2T Σ f 2 .

- 59 (64) -


Uspořádejme nyní parciální derivace obou funkcí do matice parciálních derivací F f F =  11  f12

f 21   = ( f1 f 22 

f2 ) .

Použití matice F nám umožňuje vypočítat variance souřadnicových přírůstků pro obě funkce současně podle obecnějšího vztahu

Σ ff = F T Σ F

,

(5.35)

kde kovarianční matice Σ ff má na diagonále variance určovaných souřadnicových přírůstků a na mimodiagonálních prvcích jejich kovariance 2  σ ∆x Σ ff =  σ  ∆y , ∆x

σ ∆x, ∆y  2  σ ∆y 

.

(5.36)

Matice je symetrická, takže σ ∆y , ∆x = σ ∆x, ∆y . Vidíme, že použitím maticového vztahu jsme získali nejen variance souřadnicových přírůstků, tj. variance hledaných funkčních hodnot, ale též jejich vzájemnou kovarianci, z které lze určit i míru závislosti (korelaci) mezi oběma vypočítanými funkčními hodnotami ∆x a ∆y . Zobecněme nyní vzorec (5.36) na m funkcí do kterých vstupuje k hodnot (proměnných) y1 = f1 ( x1 , x 2 ,L, x k ) , y 2 = f 2 ( x1 , x 2 ,L, x k ) ,

M y m = f m ( x1 , x 2 ,L, x k ) .

(5.37)

Označme příslušné parciální derivace těchto funkcí následujícími symboly f11 =

∂f ∂f ∂f1 , f12 = 1 , L , f1k = 1 , ∂x k ∂x1 ∂x 2

f 21 =

∂f 2 ∂f ∂f , f 22 = 2 , L , f 2 k = 2 , ∂x1 ∂x 2 ∂x k

M f m1 =

(5.38)

∂f m ∂f ∂f , f m 2 = m , L , f mk = m . ∂x1 ∂x 2 ∂x k

Matice F bude tvořena parciálními derivacemi fij těchto funkcí podle jednotlivých proměnných

- 60 (64) -


   F =  

f11

f 21 L

f12

f 22 L

M f1k

M f 2k

O L

f m1   f m2  . M   f mk 

(5.39)

Zákony hromadění variancí nebo středních chyb vyjádřené vztahy (5.31) až (5.34) můžeme zobecnit pro více funkcí následovně: Σ ff = F T Σ F = σ 02 F T Q F = σ 02 F T P −1 F ,

(5.40)

Σ ff = F T Σ F = m02 F T Q F = m02 F T P −1 F ,

(5.41)

Na levé straně uvedených rovnic jsou kovarianční matice výsledných funkčních hodnot y1 , y2 , … , ym . Při tomto zobecnění jsme nahradili u těchto matic index y indexem ff , který lépe vyjadřuje, že se jedná o charakteristiky funkcí. Zákon hromadění vah (váhových koeficientů) můžeme rovněž zobecnit pro více funkcí Q ff = F T Q F = F T P −1 F ,

(5.42)

ve kterém je matice Qff je maticí váhových koeficientů pro počítané funkční hodnoty y1 , y2 , … , ym . Rovnice (5.40) a (5.41) lze pak psát jednoduše jako Σ ff = σ 02 Q ff ,

Σ ff = m02 Q ff

.

(5.43)

Samozřejmě existují i výběrové varianty uvedených zákonů. Úkol 5.2

Odvoďte vztah pro výpočet kovariance σ ∆x, ∆y , tj. pro výpočet mimodiagonálního členu matice (5.36) z příkladu 5.13.

- 61 (64) -

Závěr

6

Závěr

Tento studijní text pokrývá první část předmětu Teorie chyb a vyrovnávací počet I. Protože současně probíhá výuka základů pravděpodobnosti a matematické statistiky je zde vynechána celá teorie normálního rozdělení, teorie dalších rozdělení náhodných veličin, problematika a intervalových odhadů a statistických testů. Předpokládá se však, že studenti budou umět s těmito informacemi zacházet.

6.1

Shrnutí

Za rozhodující pro pochopení zde probírané problematiky teorie chyb považuji problematiku korektního stanovení přesnosti měření na základě opakovaných experimentů a určování přesnosti funkcí, do kterých takto určené měřené veličiny vstupují.

6.2

Studijní prameny

6.2.1

Seznam použité literatury

[1]

Hampacher, M.- Radouch V.: Teorie chyb a vyrovnávací počet 10 skripta Vydavatelství ČVUT , Praha 1997, 159 stran,

[2]

Chmelík, M.:Vyrovnávací počet – Přehled vyrovnání metodou nejmenších čtverců, skripta Vojenská akademie, Brno 1996, 14 stran.

[3]

Vykutil, J.: Teorie chyb a vyrovnávací počet, skripta ES VUT, Brno 1988, 309 stran.

[4]

Wolf, P.R. Ghilani, - Ch.D.:Adjustment Computations – Statistics and Least Squares in Surveying and GIS, John Wiley & Sohn, Inc. , 1997, 564 pp.

6.2.2

Seznam doplňkové studijní literatury

[5]

Hampacher, M.- Radouch V.: Teorie chyb a vyrovnávací počet (příklady a návody ke cvičením), skripta Vydavatelství ČVUT , Praha 1995, 164 stran

[6]

Koch, K. R.: Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models. Springer 1999, 333 pp.

[7]

Koutková, H. – Moll,I.:Úvod do pravděpodobnosti a matematické statistiky, skripta CERM, Brno 2000, 192 stran.

[8]

Koutková, H. – Dlouhý, O.: Sbírka příkladů z pravděpodobnosti a matematické statistiky, skripta CERM, Brno 2001, 58 stran.

[9]

Kubáček, L. – Kubáčková, L.: Statistika a metrologie, Universita Palackého v Olomouci 2000, 307 stran.

- 63 (64) -


[10]

Wolf, H.: Ausgleichungsrechnung, Formeln zur praktishen Anwendung, Dűmmler Bonn, 1975

[11]

Wolf, H.: Ausgleichungsrechnung II, Aufgaben und Beispiele zur praktishen Anwendung, Dűmmler Bonn, 1979

6.3 [12]

6.4

Odkazy na další studijní zdroje a prameny Weigel, J.: Teorie chyb a vyrovnávací počet I – Základní druhy vyrovnání (1. část)

Klíč

3.1 a) Součet vnějších úhlů v uzavřeném n-úhelníku je roven hodnotě (n+2).π pro úhly v obloukové míře; (n+2).180o pro úhly ve stupňové (šedesátinné) míře a (n+2).200g pro úhly v grádové (setinné) míře. 3.1 b) Ano 3.1 c) Pravá chyba je z definice odchylka od pravé hodnoty. Pravá hodnota v teorii chyb může být získána různými způsoby. První způsob je přijetím nějakého fyzikálního nebo jiného standardu. Druhý je dán nejčastěji geometrickými zákony a třetí rozhodnutím nějaké uznávané autority. První způsob nejčastěji souvisí s kalibračními či obdobnými měřeními. Druhý způsob vyplývá z geometrie měřených veličin, kdy můžeme nejčastěji porovnávat a kontrolovat až funkční hodnoty více měřených veličin (součet úhlů v trojúhelníku apod.) nikoliv samotné měřené hodnoty. Do třetí skupiny, která se zdá nejproblematičtější, se někdy řadí např. souřadnice a výšky bodů základního bodového pole, grafické podklady, které se měřením nesmí měnit, některé údaje databází, rozhodnutí oprávněných orgánů, např.soudů apod. Zde již ale opouštíme oblast teorie chyb a přesouváme se do mnohem komplikovanější technicko-právní problematiky činnosti zeměměřičů.

- 64 (64) -

TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I

Recommend Documents