Zákony hromadění chyb

ˇ chyb. Zákony hromadení ˇ skuteˇcných chyb. Zákon hromadení ˇ stˇredních Zákon hromadení chyb.

Tomáš Bayer | [email protected] ˇ Pˇrírodovedecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie.

ˇ ˇ Karlovy Tomáš Bayer | [email protected] (Pˇrírodovedecká Zákony fakulta hromad Univerzity ení chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 1 / 27

Obsah pˇrednášky

1

ˇ Chyby a jejich delení

2

ˇ náhodných chyb Zákon hromadení

3

ˇ skuteˇcných chyb Zákon hromadení

4

ˇ stˇredních chyb Zákon hromadení


1. Úvod ˇ V pˇrírodních vedách nás zajímají jak kvalitativní tak kvantitativní charakteristiky. ˇ rením: délka, úhel, Kvantitativní charakteristiky zpravidla urˇcovány meˇ cˇ as, odrazivost... ˇ rení získáme ruzný Pˇri opakovaném meˇ ˚ výsledek ⇒ rušivé vlivy. ˇ pˇrístroj, snížení vlivu Zvýšení pˇresnosti: lepší metodika, pˇresnejší okolních chyb. ˇ rení náhodnou veliˇcinou. Výsledek meˇ ˇ hodnoty (stˇrední hodnota) a Cílem vyrovnání nalezení nejspolehlivejší stanovení meze spolehlivosti (chyba).



2. Veliˇcina a její chyba ˇ rená) a skuteˇcná X (neznámá) Pˇribližná x (meˇ Skuteˇcná chyba ε ε=X −x

ε > 0 ⇔ X > x|ε < 0 ⇔ X < x.

Urˇcení skuteˇcné hodnoty X = x + ε. Odhad skuteˇcné chyby εx |ε| = |X − x| ≤ εx . Platí x − εX ≤ X ≤ x+εx ⇒ X = x ± εx .



3. Veliˇcina a její chyba ˇ rení = žádné meˇ ˇ rení Jedno meˇ x1 = X − ε1 , x2 = X − ε2 , ..., xn = X − εn Skuteˇcná chyba εi = X − xi .

(1)

Skuteˇcná hodnota X = xi + εi . X nebývá známa, místo ní zavádíme vyrovnanou hodnotu x. Oprava vi = x − xi . Relativní chyba εr = .

ε . |X |

(2) (3)



4. Typy chyb Existují cˇ tyˇri základní skupiny chyb: 1

Omyly Špatná metodika, nesprávný postup, omyl.

2

Hrubé chyby ˇ rení za nepˇríznivých okolností. Meˇ ˇ opakovaným meˇ ˇ rením, možno detekovat v datech. Odstranení Každá metoda a postup má stanovenu pˇresnost: chyby v mezích jsou nevyhnutelné, nad tyto meze hrubé.

3

Náhodné chyby ∆ Náhodné hodnoty, vzájemneˇ nezávislé.

4

Systematické chyby c Podobné hodnoty, vzájemneˇ závislé.

Náhodné a systematické chyby patˇrí mezi nevyhnutelné chyby, nelze ˇ rickou technikou. je eliminovat žádnou meˇ



5. Náhodné a systematické chyby Náhodné chyby ∆ ˇ Náhodný charakter, promenlivé za stejných podmínek, stejné metodice. Vzájemneˇ nezávislé, nelze jejich hodnoty pˇredvídat. E(∆) = 0. Systematické chyby c ˇ nejakým ˇ Nabývají podobných hodnot, ovlivneny faktorem v podobné míˇre. Mají stejnou systematickou složku, vzájemneˇ závislé (korelované). Konstantní: ˇ rením/výpoˇctem: stejná velikost a znaménko, nelze vylouˇcit meˇ x1 = X − c, x2 = X − c, ..., xn = X − c ˇ Promenlivé: ˇ Hodnoty rámcoveˇ promenlivé, avšak nikoliv zcela náhodné, E(c) = c. ˇ Skutecná chyba εi = ∆i + ci .

(4)



ˇ náhodných chyb 6. Zákon hromadení Náhodné chyby jednotliveˇ nepodléhají zákonitostem, jako celek pro neˇ platí pravidla jako u náhodných jevu. ˚ Tˇri Gaussovy zákonitosti: ˇ než velké chyby. Z1: Malé chyby se vyskytují cˇ asteji Z2: Chyby nad urˇcitou mez se nevyskytují. ˇ Z3: Pravdepodobnost vzniku kladné/záporné chyby je stejná. Elementární chyba δ ˇ Náhodná chyb vzniká lineární kombinací vetšího poˇctu elementárních chyb δ ruzné ˚ velikosti, jejichž znaménko je náhodné (seˇctou se cˇ i odeˇctou). Velká chyba: stˇret elementárních chyb s kladnými znaménky. Malá chyba: stˇret elementárních chyb s ruznými ˚ znaménky. ε=

m X

(5)

δj .

j=1

Veliˇcina xi = X − εi ,

εi =

m X j=1

δj,i ⇒ xi = X −

m X

δj,i

j=1



7. Ukázka rozložení chyb



8. Základní soubor a rozložení chyb ˇ rení tvoˇrící aproximaci Veliˇcinu X urˇcujeme z koneˇcného poˇctu meˇ základního souboru. ˇ Rozložení hodnot pˇribližneˇ odpovídá Gaussovu rozdelení. Stˇrední hodnoty chyb a veliˇcin E(δ) = 0, E(ε) = 0, E(x) = X .

(6)

Pˇredpoklad pusobení ˚ náhodných chyb Pn Pn xi i=1 εi lim = 0, lim i=1 = X . n n Pˇredpoklad pusobení ˚ systematických chyb Pn Pn εi xi lim i=1 = c, lim i=1 = X − c. n n

ˇ ˇ Karlovy Tomáš Bayer | [email protected] (Pˇrírodovedecká Zákony fakulta hromad Univerzity ení chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a10 kartogra / 27


9. Ukázka polohy c: systematické chyby



10. Pˇresnost veliˇciny X ˇ rit) ruznými Hodnotu veliˇciny X lze odhadnout (meˇ ˚ metodami s ruznými ˚ hodnotami elementární chyby. Každou z metod lze charakterizovat ruzným ˚ souborem hodnot εi . ˇ Za pˇresnejší oznaˇcujeme takovou metodu, která má vuˇ ˚ ci jiné metodeˇ menší rozptyl xi kolem stˇrední hodnoty. ˇ rit Hodnotu rozptylu lze meˇ stˇrední chybou σ, σ 2 = V (x). ˇ prum ˚ ernou chybou, ˇ pravdepodobnou chybou. Variance V (x) Druhý centrální moment V (x) = E(x − E(x))2 = E(∆2 ) = σ 2 . U skuteˇcných chyb definujeme základní stˇrední (kvadratickou) chybu m q ¯ 2 = E(x − X )2 = E(ε2 ) ⇒ m = E(ε2 ). m Mocnina základní stˇrední chyby je stˇrední hodnota ze cˇ tverce skuteˇcné chyby.



11. Vlastnosti základní stˇrední chyby Charakterizuje soubor hodnot jako celek, hodnotí jeho pˇresnost. ˇ ˇ hodnota m, tím menší pˇresnost. Cím vetší Platí i pˇri výskytu systematických chyb, bývá nazývána úplnou variancí. Pozor: E(∆2 ) 6= E(ε2 ) E(ε2 ) = E((∆ + c)2 ) = E(∆2 + 2∆c + c 2 ) Pak E(ε2 ) = E(∆2 ) + 2E(∆)E(c) + E(c 2 ) Platí m2 = σ 2 + c 2 .

(7)

Základní stˇrední chyba obsahuje vliv náhodné i systematické složky. ˇ Ctverec základní stˇrední chyby je souˇctem cˇ tvercu˚ variance a stˇrední hodnoty systematické složky (poloha centra).



12. Další charakteristiky pˇresnosti Empirická stˇrední chyba m ˇ rení. Náhodná veliˇcina, spoˇctená z koneˇcného souboru n meˇ ˇ Odmocnina z prum ˚ erné hodnoty cˇ tverce chyb s Pn 2 i=1 εi m= . n

(8)

Mezní chyba εα ˇ pˇrípustná chyba. Nejvetší Volena jako 2-3 násobek základní stˇrední chyby (do intervalu padne ˇ rení). 95% meˇ (9) εα ∈ h2m, 3mi . ˇ Prum ˚ erná chyba v ˇ První moment, prum ˚ erná hodnota absolutní chyby. v = E(|ε|).

(10)



ˇ skuteˇcných chyb 13. Zákon hromadení Ukazuje vliv chyb vstupních veliˇcin na jejich funkce. ˇ Jeho znalost umožnuje volit metody a pˇrístroje poskytující výsledek s požadovanou pˇresností. Pˇredpoklad: chyby vstupních veliˇcin vzájemneˇ nezávislé. Dána: ˇ Funkce f n promenných x1 , x2 , ..., xn , diferencovatelná, spojitá y = f (x1 , x2 , ..., xn ). Vstupní chyby argumentu˚ ε1 , ε2 , ...., εn . Hledáme: Chybu funkce εf . Odvození diferenciálem nebo Taylorovým rozvojem.



ˇ skuteˇcných chyb 14. Odvození zákonu hromadení Platí f + εf = f (x1 + ε1 , x2 + ε2 , ..., xn + εn ) Tayloruv ˚ rozvoj, neuvažujeme chyby vyšších ˇrádu, ˚ existence derivací ∂f hhhh((( ( hh f (x x2( , ..., xn h )/h Af + εf = ( (1 ,( 0+ ∂x1

· ε1 + 0

∂f ∂x2

· ε2 + ... + 0

∂f ∂xn

· εn + R2 0

Pak εf =

∂f ∂x1

· ε1 + 0

∂f ∂x2

· ε2 + ... + 0

∂f ∂xn

· ε n + R2 0

ˇ skuteˇcných chyb: Zákon hromadení εf =

n X ∂f · εi . ∂xi 0

(11)

i=1



15. Varianta: levá strana také funkcí ˇ pˇrípad, levá strana vztahu též funkcí Složitejší g(f ) = f (x1 , x2 , ..., xn ). Pak ∂g fC + ∂f

0

hhh(((( ∂f · εf = ( f (x( x2h , ..., hxh n )/ 1 ,( h0 + ∂x1

∂f · ε1 + ∂x 2 0

∂f · ε2 + ... + ∂x n 0

· εn + R 2 . 0

ˇ skuteˇcných chyb Modifikovaná varianta zákona hromadení εf =

n 1 X ∂f . · εi . ∂g ∂xi 0 ∂f

0

(12)

i=1

ˇ Použití: kosínová veta √ c = a2 + b2 − ... ⇒ εc = 21 (...)−1/2 εa + ... c 2 = a2 + b2 − ... ⇒ εc =

1 2c

[(2a + ...)εa + ...



16. Obrácená úloha Urˇcení skuteˇcných chyb argumentu˚ tak, aby chyba funkce nepˇrekroˇcila za danou hodnotu. ˇ nezávislé. Chyby vstupních hodnot opet ˇ Rovnice o více promenných, lze ˇrešit pouze pˇri stanovení vhodných poˇcáteˇcních podmínek. Dána: ˇ Funkce f n promenných x1 , x2 , ..., xn , diferencovatelná, spojitá y = f (x1 , x2 , ..., xn ). Chyba funkce εf . Hledáme: Chyby argumentu˚ ε1 , ε2 , ...., εn . Dveˇ základní varianty: Princip stejného vlivu, Rovnost odhadu absolutních chyb.



17. Princip stejného vlivu Platí εf =

∂f ∂x1

· ε1 + 0

∂f ∂x2

· ε2 + ... + 0

∂f ∂xn

· εn 0

Podmínka: jednotlivé cˇ leny rozvoje se uplatní stejnou hodnotou ∂f ∂f ∂f · ε1 = · ε2 = ... = · εn . ∂x1 0 ∂x2 0 ∂xn 0 Pak εf = n

∂f ∂xi

Výsledný vztah

· εi . 0

εf

εi = n

∂f ∂xi

. .

(13)

0

ˇ V nekterých pˇrípadech nelze použít, pˇríliš vysoké požadavky pˇresnosti na argumenty.



18. Rovnost odhadu absolutních chyb Pˇredpokládáme, že všechny argumenty mají být urˇceny se stejnou hodnotou skuteˇcné chyby. Vliv jednotlivých cˇ lenu˚ bude ruzný. ˚ Podmínka ε1 = ε2 = ... = εn = ε. Pak εf εf

∂f + ∂x 2 0 n X ∂f = ε . ∂xi 0 ∂f = ε( ∂x1

∂f + ... + ∂x n 0

). 0

i=1

Výsledný vztah ε= P n

εf

∂f i=1 ∂xi

. .

(14)

0



ˇ stˇredních chyb 19. Zákon hromadení Skuteˇcné chyby v praxi nebývají, na rozdíl od stˇredních chyb, známy. Pˇredpoklady: ˇ ˇ “Sudé” rozdelení pravdepodobnosti, E(εi ) = 0 Chyby jsou vzájemneˇ nezávislé. Funkce jsou spojité a diferencovatelné.

Dána: ˇ Funkce f n promenných x1 , x2 , ..., xn , diferencovatelná, spojitá y = f (x1 , x2 , ..., xn ). Vstupní chyby argumentu˚ m1 , m2 , ...., mn . Hledáme: Chybu funkce mf .



ˇ stˇredních chyb (1/2) 20. Odvození zákona hromadení Vyjdeme ze vztahu εf =

∂f ∂x1

· ε1 + 0

∂f ∂x2

· ε2 + ... + 0

∂f ∂xn

· εn . 0

Umocníme na druhou a pˇreuspoˇrádáme

2 ∂f ∂f · ε2 · εn +2 + ... + ∂x2 0 ∂xn 0 0 ∂f ∂f ∂f · ε1 · ε2 ... · εn + ... +2 ∂x1 0 ∂x2 0 ∂xn 0

εf εf

=

∂f ∂x1

2

· ε1

+

Aplikujeme E

"

E(εf εf )

=

" " 2 # 2 # 2 # ∂f ∂f ∂f · ε1 +E · ε2 + ... + E · εn ∂x1 0 ∂x2 0 ∂xn 0 ∂f ∂f ∂f 2E( · ε1 )E( · ε2 )...E( · εn ) + ... ∂x1 0 ∂x2 0 ∂xn 0

E



ˇ stˇredních chyb (2/2) 21. Odvození zákona hromadení Platí m2i = E(ε2i )

E(εi ) = 0.

Všechny smíšené cˇ leny vypadnou. Pak m2f

=

∂f ∂x1

2

· m1 0

+

∂f ∂x2

2

· m2

+ ... +

0

∂f ∂xn

2

· mn

+ 0.

0

ˇ stˇredních chyb Zákon hromadení m2f =

2 n X ∂f · mi ∂xi 0

(15)

i=1



22. Varianta: levá strana také funkcí (1/2) ˇ pˇrípad, levá strana vztahu též funkcí Složitejší g(f ) = f (x1 , x2 , ..., xn ). Pak

∂g ∂f

2

· εf

2 ∂f ∂f · ε2 · εn + + ... + ∂x2 0 ∂xn 0 0 ∂f ∂f ∂f · ε1 · ε2 ... · εn + ... +2 ∂x1 0 ∂x2 0 ∂xn 0

=

0

∂f ∂x1

2

· ε1

+

Aplikace stˇrední hodnoty

" E

∂g ∂f

2 #

· εf 0

" =

E

∂f ∂x1

2 #

∂f +2E( ∂x1

· ε1

" +E

0

∂f · ε1 )E( ∂x2 0

∂f ∂x2

2 #

"

· ε2

+ ... + E

0

∂f · ε2 )...E( ∂xn 0

∂f ∂xn

· εn 0

· εn ) + ... 0



23. Varianta: levá strana také funkcí (2/2) Pak

m2f

∂g ∂f

2

· εf 0

2 2 ∂f ∂f = · m1 + · m2 + ... ∂x1 0 ∂x2 0 2 ∂f ... + · mn . ∂xn 0

ˇ stˇredních chyb Modifikovaná varianta zákona hromadení m2f

=

∂g ∂f

1 . 0

· εf

2 n X ∂f · mi 2 ∂xi 0

(16)

i=1



24. Obrácená úloha Urˇcení skuteˇcných chyb argumentu˚ tak, aby chyba funkce nepˇrekroˇcila za danou hodnotu. Dána: ˇ Funkce f n promenných x1 , x2 , ..., xn , diferencovatelná, spojitá y = f (x1 , x2 , ..., xn ). Chyba funkce mf . Hledáme: Chyby argumentu˚ m1 , m2 , ...., mn . Dveˇ základní varianty: Princip stejného vlivu, Rovnost odhadu absolutních chyb.



25. Princip stejného vlivu Jednotlivé cˇ leny mají stejný vliv

∂f ∂x1

2

· m1 0

=

∂f ∂x2

2

· m2 0

Pak m2f = n

=

∂f ∂xi

∂f ∂xn

2

· mn 0

2

· mi 0

Výsledný vztah mi = √

mf n

∂f ∂xi

. .

(17)

0


Zákony hromadění chyb

Recommend Documents