Vektorový počet
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů Ex, Ey , Ez tak, že platí:
OEx ⊥ OEy ⊥ OEz ⊥ OEx |OEx| = |OEy | = |OEz | = 1
Obrázek 1: Pravotočivá soustava
Obrázek 2: Levotočivá soustava 1
Vektorový počet
Vzdálenost dvou bodů (Pythagorova věta)
Geometrický vektor
− − → • vázaný – orientovaná úsečka AB − • volný – každý vektor → a stejně velký, stejně orientovaný a rovno− − → běžný s AB Operace s geometrickými vektory
→ − − • Součet vektorů: → a + b
Platí: − − − − 1. → u +→ v =→ v +→ u → − → − → − − − − 2. ( u + v ) + w = → u + (→ v +→ w) → − − − − 3. ∃ o ∈ V (nulový vektor) tak, že → o +→ u =→ u −→ − − → nulový vektor AA, BB, . . . − − − − − 4. ∀→ u ∈ V ∃(−→ u ) ∈ V tak, že → u + (−→ u) = → o − − → − − → opačný vektor k vektoru AB je BA 2
Vektorový počet
→ − − • Rozdíl vektorů: → a − b
− • Násobení vektoru číslem: c · → a = (ca1, ca2, ca3)
Platí: − − − − 1. a(→ u +→ v ) = a→ v + a→ u → − → − → − 2. (a + b) u = a u + b u − − 3. b(a→ u ) = (ba)→ u → − → − 4. 1 u = u , kde 1 je jednotkový prvek z T . → − − • Kolineární vektory (rovnoběžné): existuje c takové, že → a = c· b → − − nebo b = c · → a Souřadnice vektoru Souřadnicové vektory −−→ → − e1 = OEx = (1, 0, 0) −−→ → − e2 = OEy = (0, 1, 0) −−→ → − e3 = OEz = (0, 0, 1) polohový vektor bodu X − − → → − x = OX = (x1, x2, x3)
3
Vektorový počet
→ − → − − a +→ u = b ⇓ − − − → → → − − u = AB = b − → a = = (b1, b2, b3) − (a1, a2, a3) = = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)
Aritmetický vektor
→ − − − − x = x1→ e1 + x2→ e2 + x3→ e3 ⇓ → − x = (x1, x2, x3) . . . aritmetické vyjádření souřadnic vektoru Nerozlišujeme mezi geometrickými vektory a aritmetickými vyjádřeními jejich souřadnic.
• Součet vektorů: (x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) Opět platí: − − − − 1. → u +→ v =→ v +→ u → − → − → − − − − 2. ( u + v ) + w = → u + (→ v +→ w) → − − − − 3. ∃ o ∈ V (nulový vektor) tak, že → o +→ u =→ u → − → − → − → − − 4. ∀ u ∈ V ∃(− u ) ∈ V tak, že u + (− u ) = → o • Rozdíl vektorů: (x1, x2, x3) − (y1, y2, y3) = = (x1 − y1, x2 − y2, x3 − y3)
4
Vektorový počet
• Násobení vektoru číslem: c · (x1, x2, x3) = (cx1, cx2, cx3) Opět platí: − − − − 1. a(→ u +→ v ) = a→ v + a→ u → − → − → − 2. (a + b) u = a u + b u − − 3. b(a→ u ) = (ba)→ u → − → − 4. 1 u = u , kde 1 je jednotkový prvek z T . Velikost vektoru
p → − | x | = x21 + x22 + x23
p − − → |AB| = (b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2 − Jednotkový vektor: |→ u| = 1
5
Vektorový počet
Eukleidovský prostor
6
Vektorový počet
Lineární kombinace vektorů, lineární závislost − → jsou vektory v E . Řekneme, že vektor Definice: Nechť → u1 , . . . , − u n n → − − → jestliže existují čísla v je lineární kombinací vektorů → u1 , . . . , − u n λ1, . . . , λn tak, že → − − − →= v = λ1→ u1 + λ2→ u2 + . . . + λn− u n
n X
− λi→ ui .
i=1
− − Příklad: Jsou dány vektory → u = (1, 0, 0), → v = (0, 1, 0). Napište vektor, který bude jejich lineární kombinací.
− − Definice: Vektory → v1 , . . . , → vn jsou lineárně závislé, jestliže jeden z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. − − Vektory → v1 , . . . , → vn jsou lineárně nezávislé, jestliže nejsou lineárně závislé tj. žádný z nich nelze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. 7
Vektorový počet
→ − − Příklad: Jsou dány vektory → a = (1, 2, 0), b = (0, 1, 1). Napište → − − vektor, který je lineárně závislý s vektory → a, b.
− − − Příklad: Zjistěte, zda vektory → u,→ v a→ w jsou lineárně závislé. − − − 1. → u = (1, 0, 0), → v = (0, 1, 0), → w = (1, 2, 0). − − − 2. → u = (1, 0, 0), → v = (0, 1, 0), → w = (0, 0, 3).
8
Vektorový počet
Lineární kombinace vektorů, lineární závislost Platí:
− − − − 1. Dva vektory → u,→ v jsou LZ, když → u = c·→ v (jeden je násobkem druhého). Mohu je umístit na jednu přímku - jsou kolineární. − − − − 2. Tři vektory → u, → v,→ w jsou LZ, když jeden z nich (např. → u) − − − mohu vyjádřit → u = k·→ v +l·→ w . Mohu je umístit do jedné roviny - jsou komplanární.
• Kolik v rovině (E2) existuje maximálně LN vektorů? • Kolik v prostoru (E3) existuje maximálně LN vektorů? → − → − → − Vektory 0 u, v , w u1 u2 A = @ v1 v2 w1 w2
napíšeme 1 do matice A. u3 v3 A. w3
− − − Co znamená že vektory → u,→ v,→ w jsou LZ? Mohu jeden řádek (vektor) napsat jako lin. kombinaci ostatních =⇒ 1. hodnost matice je menší než n (počet vektorů) 2. det A = 0 (čtvercová matice)
9
Vektorový počet
Báze, dimenze Definice: Báze vektorového (Euklidovského) prostoru je množina vek− →, pro kterou platí: torů → u1 , . . . , − u n
− → jsou LN 1. → u1 , . . . , − u n − 2. Každý další vektor → v z tohoto prostoru můžeme vyjádřit jako − → lin. kombinaci vektorů → u1 , . . . , − u n Definice: Dimenze vektorového (tj. i Euklidovského) prostoru je počet vektorů báze. (neboli max počet lin. nezávislých vektorů).
Ortogonální báze – vektory báze jsou kolmé. Ortonormální báze – vektory báze jsou kolmé a jednotkové. V E3 tvoří bázi každé tři LN vektory Speciální případ báze v E3 (tu používáme)
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) Souřadnice vektoru jsou koeficienty lineární kombinace vektorů e1 , e 2 , e 3 . např. (−5, 2, 3) = −5 · e1 + 2 · e2 + 3 · e3 10
Vektorový počet
Skalární součin − − Definice: Skalární součin vektorů → x ·→ y je reálné číslo a platí: − − − − − − a) jestliže → x =→ o nebo → y =→ o pak → x ·→ y = 0, − − − − − − − − b) jestliže → x = 6 → o a→ y 6= → o pak → x ·→ y = |→ x | · |→ y | · cos ϕ, − − kde ϕ je odchylka polopřímek určených vektory → x,→ y ◦ ◦ (ϕ ∈< 0 ; 180 >). Platí: − − − − 1. → x ·→ y =→ y ·→ x − − − − − − − 2. (→ x +→ y)·→ z =→ x ·→ z +→ y ·→ z P3 − − 3. → x ·→ y = x1y1 + x2y2 + x3y3 = i=1 xi yi − − − − − − 4. pokud → x 6= → o a → y 6= → o pak → x ·→ y = 0, právě když → − − x ⊥→ y (ϕ = 90o) Geometrický význam: → − − − − x ·→ y = |→ x | · |→ y | · cos ϕ − − − − Jestliže |→ y | = 1 pak → x ·→ y = |→ x | · cos ϕ r − = cos ϕ ⇒ r = |→ x | cos ϕ → − |x|
− − − Pokud je → y jednotkový vektor, pak skalární součin → x ·→ y je velikost − − pravoúhlého průmětu vektoru → x na přímku určenou vektorem → y. 11
Vektorový počet
− Příklad: Najděte jednotkový vektor → u , který je kolmý k vektorům → − → − a = (1, 2, 0) a b = (0, 3, 0). (pomocí skalárního součinu)
Definice: Směrové kosiny vektoru u jsou kosiny úhlů αi, které svírá − − vektor → u s vektory báze → e i, i = 1, 2, 3.
→ − − e1 · → u = → − − ei · → u = − Příklad: Určete velikost pravoúhlého průmětu vektoru → a = (1, 0, 0) → − do vektoru b = (3, 4, 0).
12
Vektorový počet
Vektorový součin − − − Definice: Vektorový součin vektorů → x ×→ y je vektor → z a platí: − − − − − a) pro → x,→ y kolineární je → x ×→ y =→ o jinak − − − − − |→ x ×→ y | = |→ x | · |→ y | · sin ϕ, kde ϕ je odchylka vektorů → x, → − y. − − − − − z =→ x ×→ y je kolmý k vektorům → x,→ y. b) → − − − c) vektory → x,→ y ,→ z tvoří pravotočivý systém (v pravotočivé bázi). Platí: − − − − 1. → x ×→ y = −(→ y ×→ x) − − − x ×→ x =→ o 2. → − − − − − − − − 3. → e1×→ e2=→ e 3, → e2×→ e3=→ e 1, → e3×→ e = ˛ ˛ ˛ ˛ 1 „˛ ˛ x2 x3 ˛ ˛ x1 x3 ˛ ˛ x1 → − → − ˛ ˛ ˛,˛ 4. x × y = ˛ , − ˛˛ ˛ y2 y3 y1 y3 ˛ ˛ y1 − − − − − − − 5. → x × (→ y +→ z)=→ x ×→ y +→ x ×→ z − − 6. |→ x ×→ y | . . . obsah rovnoběžníka
→ − e2 x2 y2
˛« ˛ ˛ ˛
− Příklad: Najděte jednotkový vektor → u , který je kolmý k vektorům → − → − a = (1, 2, 0) a b = (0, 3, 0). (pomocí vektorového součinu)
13
Vektorový počet
Smíšený součin Definice: Smíšený součin (vnější) vektorů je číslo ˛ ˛ x1 x2 x3 ˛ → − → − → − → − → − → − ( x , y , z ) = x · ( y × z ) = ˛˛ y1 y2 y3 ˛ z1 z2 z3
˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛
Platí: − − − 1. Vyjadřuje objem V rovnoběžnostěnu určeného vektory → x ,→ y ,→ z, objem čtyřstěnu je 61 V
− − − − − − − − − − − − 2. (→ x ,→ y ,→ z ) = (→ z ,→ x ,→ y ) = (→ y ,→ z ,→ x ) = −(→ y ,→ x ,→ z) − − − 3. (→ e ,→ e ,→ e )=1 1
2
3
− − − − − − 4. (→ x ,→ y ,→ z ) = (→ x ×→ y)·→ z Příklad: Vypočtěte objem čtyřstěnu ABCD . A = [2, 4, 5], B = [1, 0, 0], C = [0, 2, 0], D = [0, 0, 3].
14
