2.7. Průběh funkce Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) definiční obor; sudost, lichost; periodičnost, 2) intervaly spojitosti a body nespojitosti, 3) průsečíky grafu funkce s osami, 4) intervaly, kde je funkce kladná resp. záporná, 5) intervaly, kde funkce roste resp. klesá, 6) extrémy, 7) intervaly, kde je funkce konvexní resp. konkávní, 8) inflexní body, 9) asymptoty, 10) limity funkce v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti a nakreslit graf funkce se všemi jeho podstatnými rysy. 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost - viz. kapitoly 2.1. a 2.2. Př. Urči D f a zjisti, je-li funkce f sudá, lichá nebo periodická. 1) f ( x) =
x2 − 3 ⋅ log 2 (x + 2) x−5
x2 − 3 ≥ 0 x− 3 . x+ 3 ≥0
(
)(
(+)
(
∧ x−5≠ 0 ∧ x+2 > 0 x≠5 x > −2
)
( −)
− 3
x ∈ − ∞, − 3 ∪
(
D f = − 2, − 3 ∪
(+)
3 3 ,+∞
)
)
3 ,5 ∪ (5,+∞ )
funkce f není sudá ani lichá (podle D f ); není periodická 2) f ( x) = 3. sin 2 x Df = R
⇒ f je lichá f (− x) = 3. sin[2.(− x )] = −3. sin 2 x = − f ( x) funkce f je π -periodická 2) Intervaly spojitosti a body nespojitosti - u elementárních funkcí určíme z definičního oboru
Př. f ( x) =
2x5 − 4 + ln (3 x − 7 ) 2 x − 16
2 x − 16 ≠ 0 ∧ 3 x − 7 > 0
1
2 x ≠ 24
x>
7 3
x≠4 7 7 D f = ,+∞ − { 4} = ,4 ∪ (4,+∞ ) 3 3 7 intervaly spojitosti: ,4 , (4,+∞ ) 3 bod nespojitosti: 4
3) Průsečíky grafu funkce s osami - s osou x : Px = [?,0] ... řešíme rovnici 0 = f ( x)
- s osou y : Py = [0, ?] ... řešíme rovnici y = f (0)
Př. f ( x) = 3 − 3 x
2
−2
Px : 0 = f ( x)
Py : y = f (0)
0 = 3 − 3x 31 = 3 x
2
2
−2
y = 3 − 30 − 2 1 y = 3− 9 26 y= 9 26 Py = 0, 9 2
−2
1 = x2 − 2 x2 = 3 x1, 2 = ± 3
[ = [+
] 3 ,0]
Px1 = − 3 ,0
Px 2
4) Intervaly, na kterých je funkce kladná (resp. záporná) - řešíme nerovnici f ( x) > 0 (resp. f ( x) < 0 )
Př. f ( x) = 2 x 3 + 4 x 2 − 6 x Df = R 2x3 + 4x 2 − 6x > 0 2x x2 + 2x − 3 > 0 2 x( x + 3)( x − 1) > 0 řešení můžeme vyznačit na číselné ose, kde si na množině D f vyznačíme nulové body funkce f (mezi nimi funkce f zachovává znaménko)
(
( −)
−3
)
(+)
( −)
0
(+)
1
f ( x) > 0 na (− 3,0) a na (1,+∞ )
2
f ( x) < 0 na (− ∞,−3) a na (0,1)
5) Intervaly, na kterých funkce roste (resp. klesá) VĚTA: Nechť funkce f má na intervalu (a, b ) ; a, b ∈ R ∗ ; derivaci. Je-li • f ′( x) > 0 pro každé x ∈ (a, b ) , pak f je rostoucí na (a, b ) • f ′( x) < 0 pro každé x ∈ (a, b ) , pak f je klesající na (a, b ) • f ′( x) ≤ 0 pro každé x ∈ (a, b ) , pak f je nerostoucí na (a, b ) • f ′( x) ≥ 0 pro každé x ∈ (a, b ) , pak f je neklesající na (a, b ) • f ′( x) = 0 pro každé x ∈ (a, b ) , pak f je konstantní na (a, b ) Poz. Je-li funkce f spojitá v některém z krajních bodů intervalu (a, b ) , lze tento bod zahrnout do příslušného intervalu monotónnosti. Př. Urči intervaly monotónnosti funkce f: 1) f ( x) = x 2 .e x Df = R
f ′( x) = 2 x.e x + x 2 .e x = x.e x (2 + x ) Df′ = R
0 = f ′( x) = x.e x (2 + x ) x1 = −2, x2 = 0 řešení můžeme vyznačit na číselné ose, kde si na množině D f ′ vyznačíme nulové body funkce f ′ (mezi nimi funkce f ′ zachovává znaménko)
f′ : f:
(+)
( −)
(+)
−2
0
f roste na (− ∞,−2 a na 0,+∞ ) f klesá na − 2,0 x2 − 3 2) f ( x) = x−2 D f = R − { 2}
(
)
2 x( x − 2 ) − x 2 − 3 2 x 2 − 4 x − x 2 + 3 x 2 − 4 x + 3 = = (x − 2)2 (x − 2)2 (x − 2)2 D f ′ = R − { 2} f ′( x) =
x 2 − 4 x + 3 ( x − 3)( x − 1) = (x − 2)2 (x − 2)2 x1 = 1, x2 = 3
0 = f ′( x) =
f′ : f:
(+)
( −)
1
( −)
2
(+)
3
f roste na (− ∞,1 a na 3,+∞ )
3
f klesá na 1,2 ) a na (2,3
6) Extrémy DEF: (lokální extrémy funkce) Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ D f lokální minimum (resp. lokální maximum), jestliže existuje okolí O ( x0 ) bodu x0 takové, že pro všechna x0 ∈ O ( x0 ) platí:
f ( x) ≥ f ( x0 ) ( resp. f ( x) ≤ f ( x0 ) ). Bod [x0 , f ( x0 )] se pak nazývá bod lokálního minima funkce f (resp. bod lokálního maxima funkce f) Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ D f ostré lokální minimum (resp. ostré lokální
maximum), jestliže existuje prstencové okolí P ( x0 ) bodu x0 takové, že pro všechna x0 ∈ P( x0 ) platí: f ( x) > f ( x0 ) ( resp. f ( x) < f ( x0 ) ). Souhrnně hovoříme o lokálních extrémech funkce f.
Př.
x1
x2 x3
x4
x5
[x1 , f (x1 )] ... bod ostrého lokálního minima [x2 , f (x2 )] ... bod ostrého lokálního maxima [x3 , f (x3 )] ... bod lokálního minima [x4 , f (x4 )] ... bod lokálního maxima [x5 , f (x5 )] ... bod ostrého lokálního minima na celém ( x3 , x4 ) existuje lokální minimum i maximum funkce f VĚTA 1: (nutná podmínka existence extrému) Má-li funkce f v bodě x0 ∈ R lokální extrém, pak je buď f ′( x0 ) = 0 nebo f ′( x0 ) neexistuje. DEF: Bod x0 ∈ R , ve kterém platí, že f ′( x0 ) = 0 , se nazývá stacionární bod (SB) funkce f. VĚTA 2: (postačující podmínka existence extrému) Nechť f ′( x0 ) = 0 a nechť f ′′( x0 ) > 0 ( resp. f ′′( x0 ) < 0 ). Pak má funkce f v bodě x0 ostré lokální minimum (resp. ostré lokální maximum).
VĚTA 3: (zobecněná postačující podmínka existence extrému) Nechť x0 ∈ R : f ′( x0 ) = f ′′( x0 ) = ... = f (n−1) ( x0 ) = 0 ≠ f (n ) ( x0 ) . Potom platí: • je-li n ∈ N liché, nemá funkce f v bodě x0 extrém,
• je-li n ∈ N sudé a f (n ) ( x0 ) > 0 , má funkce f v bodě x0 ostré lokální minimum,
4
• je-li n ∈ N sudé a f (n ) ( x0 ) < 0 , má funkce f v bodě x0 ostré lokální maximum. VĚTA 4: Nechť funkce f je spojitá v bodě x0 a má derivaci v nějakém prstencové okolí P( x0 ) bodu x0 . Potom platí: • je-li f ′( x) < 0 pro každé x0 ∈ P − ( x0 ) a f ′( x) > 0 pro každé x0 ∈ P + ( x0 ) , má funkce f v bodě x0 ostré lokální minimum,
• je-li f ′( x) > 0 pro každé x0 ∈ P − ( x0 ) a f ′( x) < 0 pro každé x0 ∈ P + ( x0 ) , má funkce f v bodě x0 ostré lokální maximum. Stručně řečeno, mění-li funkce f ′ v bodě x0 znaménko, má funkce f v bodě x0 extrém. Jedná-li se o změnu z − na +, pak se v bodě x0 mění funkce f z klesající na rostoucí a jedná se o minimum, jedná-li se o změnu z + na − , pak se v bodě x0 mění funkce f z rostoucí na klesající a jedná se o maximum. Postup při hledání lokálních extrémů: 1. určíme tzv. body podezřelé z extrému (BPE), což jsou body, kde f ′ je rovna nule nebo neexistuje 2. rozhodneme, zda v bodě podezřelém z extrému je či není extrém
Př. Urči lokální extrémy funkce f: 1) f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 + 5 Df = R f ′( x) = 4 x 3 − 12 x 2 + 8 x , D f ′ = R SB: 0 = f ′( x)
(
)
0 = 4 x 3 − 12 x 2 + 8 x = 4 x x 2 − 3 x + 2 = 4 x( x − 2 )( x − 1) x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 BPE: 0, 1, 2 f ′′( x) = 12 x 2 − 24 x + 8 , D f ′′ = R f ′′(0) = 8 > 0 ⇒ (podle věty 2) funkce f má v bodě x = 0 ostré lokální minimum o velikosti f (0) = 5 f ′′(1) = −4 < 0 ⇒ (podle věty 2) funkce f má v bodě x = 1 ostré lokální maximum o velikosti f (1) = 6 f ′′(2) = 8 > 0 ⇒ (podle věty 2) funkce f má v bodě x = 2 ostré lokální minimum o velikosti f (2) = 5 6 2) ) f ( x) = x
Df = R f ′( x) = 6 x 5 , D f ′ = R SB: 0 = f ′( x) 0 = 6x5 x1 = 0 BPE: 0 f ′′( x) = 30 x 4 , D f ′′ = R f ′′(0) = 0 ⇒ podle věty 2 nelze rozhodnout
5
máme dvě možnosti: α ) hledat řešení pomocí věty 3: f ′′′( x) = 120 x 3 , D f ′′′ = R , f ′′′(0) = 0 f (4 ) ( x) = 360 x 2 , D f ( 4 ) = R , f (4 ) (0) = 0 f (5 ) ( x) = 720 x , D f ( 5 ) = R , f (5 ) (0) = 0 f (6 ) ( x) = 720 , D f ( 6 ) = R , f (6 ) (0) = 720 > 0 ⇒ (podle věty 3) funkce f má v bodě x = 0 ostré lokální minimum o velikosti f (0) = 0 β ) hledat řešení pomocí věty 4: ( −) (+) f′ :
f:
0
funkce f má v bodě x = 0 ostré lokální minimum o velikosti f (0) = 0
DEF: (globální extrémy funkce) Nechť M ⊆ D f a x0 ∈ M . Řekneme, že funkce f nabývá na množině M globálního minima (resp. globálního maxima) v bodě x0 , jestliže pro všechna x ∈ M platí: f ( x) ≥ f ( x0 ) (resp. f ( x) ≤ f ( x0 ) ).
Poz. 1) Globální extrém funkce f na množině M ⊆ D f nemusí existovat 2) Funkce, která je spojitá na uzavřeném intervalu, nabývá na tomto intervalu svého globálního minima i maxima 3) Při hledání globálních extrémů funkce f na intervalu a, b postupujeme takto: 1. V intervalu (a, b ) najdeme body podezřelé z lokálních extrémů (body, kde f ′ je rovna nule nebo neexistuje) 2. Vypočteme funkční hodnoty v bodech podezřelých z extrému a v krajních bodech a, b intervalu a, b 3. V bodě, kde je funkční hodnota nejmenší (resp. největší), nabývá funkce f svého globálního minima (resp. maxima)
7) Intervaly, na kterých je funkce konvexní (resp. konkávní) DEF: Řekneme, že funkce f je konvexní (resp. konkávní) na intervalu I ⊆ D f , jestliže pro každé dva body x1 , x2 ∈ I takové, že x1 < x2 , a pro každá čísla α1 , α 2 ∈ R taková, že α1 ≥ 0, α 2 ≥ 0, α1 + α 2 = 1 , platí: f (α1 x1 + α 2 x2 ) ≤ α1 f ( x1 ) + α 2 f ( x2 ) (resp. f (α1 x1 + α 2 x2 ) ≥ α1 f ( x1 ) + α 2 f ( x2 ) ). Jestliže je tato nerovnost v případě α1 > 0, α 2 > 0 ostrá, nazýváme funkci f ryze konvexní (resp. ryze konkávní) na I.
6
Obr. 1)
2)
x1
x2
graf funkce leží pod sečnou ⇒ ⇒ funkce je ryze konvexní
x1
x2
graf funkce leží nad sečnou ⇒ ⇒ funkce je ryze konkávní
VĚTA: (postačující podmínka konvexity) Nechť funkce f má na intervalu I ⊆ D f vlastní nebo nevlastní druhou derivaci. Platíli f ′′( x) ≥ 0 (resp. f ′′( x) > 0 ) na intervalu I, je funkce f konvexní (resp. ryze konvexní) na intervalu I, platí-li f ′′( x) ≤ 0 (resp. f ′′( x) < 0 ) na intervalu I, je funkce f konkávní (resp. ryze konkávní) na intervalu I. Př. Urči intervaly konvexity funkce f: 1) f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 5 x − 6 Df = R f ′( x) = 3 x 2 − 6 x + 5 , D f ′ = R f ′′( x) = 6 x − 6 , D f ′′ = R
0 = f ′′( x) = 6 x − 6 = 6( x − 1) x1 = 1 řešení můžeme vyznačit na číselné ose, kde si na množině D f ′′ vyznačíme nulové body funkce f ′′ (mezi nimi funkce f ′′ zachovává znaménko)
f′ : f:
( −)
(+)
∩
1
∪
f je ryze konvexní na (1,+∞ ) f je ryze konkávní na (− ∞,1) 2) f ( x) = x − ln( x 2 − 9) Df : x2 − 9 > 0
(x − 3)(x + 3) > 0 (+)
( −)
−3
(+)
3
D f = (− ∞,−3) ∪ (3,+∞ )
f ′( x) = 1 −
2x , D f ′ = (− ∞,−3) ∪ (3,+∞ ) x −9 2
7
f ′′( x) = − f ′′( x) =
(
)
2 x 2 − 9 − 2 x.2 x
(x
2
2 x 2 + 18
(x
2
−9
)
2
−9
)
2
2 x 2 + 18
=
(x
2
−9
)
2
, D f ′′ = (− ∞,−3) ∪ (3,+∞ )
> 0, ∀x ∈ D f ⇒ f je ryze konvexní na (− ∞,−3) a na (3,+∞ )
8) Inflexní body DEF: Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ∈ R inflexi (průhyb), jestliže existuje f ′( x0 ) ∈ R a takové δ > 0 , že funkce f je ryze konvexní na P − ( x0 , δ ) a ryze konkávní na P + ( x0 , δ ) nebo naopak. Bod [x0 , f ( x0 )] se pak nazývá inflexní bod funkce f.
Poz. V inflexním bodě musí existovat tečna (vyplývá to z existence f ′( x0 ) ∈ R ) a charakter funkce se zde mění z ryze konvexní na ryze konkávní nebo naopak, viz. obrázek. Obr.
f (x0 )
f (x0 )
x0
x0
VĚTA: (nutná podmínka existence inflexního bodu) Má-li funkce f v bodě x0 inflexi, pak f ′′( x0 ) = 0 nebo f ′′( x0 ) neexistuje. VĚTA: (postačující podmínka existence inflexního bodu) Nechť f ′′( x0 ) = 0 a f ′′′( x0 ) ≠ 0 . Pak má funkce f v bodě x0 inflexi. Postup při hledání inflexních bodů: 1. určíme tzv. body podezřelé z inflexe (BPI), což jsou body, kde f ′′ je rovna nule nebo neexistuje 2. rozhodneme, zda v bodě podezřelém z inflexe je či není inflexe
Př. Urči inflexní body funkce f: x 1) f ( x) = 1 + x2 Df = R
f ′( x) = f ′′( x) =
1 + x 2 − x.2 x
(1 + x )
2 2
− 2 x(1 + x 2
BPI: 0 = f ′′( x)
=
1 − x2
, Df′ = R
(1 + x ) ) − (1 − x ).2(1 + x ).2 x 2 x(x − 3) = , D (1 + x ) (1 + x ) 2
2 2 2
2 4
2
2
2 3
f ′′
=R
8
0=
(
) = 2 x(x − 3 )(x + 3 ) ) (1 + x )
2x x2 − 3
(1 + x
2 3
2 3
x1 = − 3, x2 = 0, x3 = 3
f′ : f:
( −)
∩
(+)
− 3
∪
( −)
0
∩
(+)
3
∪
3 3 inflexní body funkce f : − 3 ,− , [0,0] a 3 , 4 4 2) f ( x) = 3 x 5 Df = R 2
5 5 f ′( x) = x 3 = ⋅ 3 x 2 , D f ′ = R 3 3 1 5 2 −3 10 f ′′( x) = ⋅ x = 3 , D f ′′ = R − {0} 3 3 9 x BPI: x1 = 0 (bod, kde f ′′ neexistuje, ale f ′ i f ano) 0 = f ′′( x) 10 0 = 3 ... nemá řešení 9 x (+) f′ : ( − ) f: ∩ 0 ∪ inflexní bod funkce f : [0,0]
9) Asymptoty DEF: (asymptota svislá - bez směrnice) Řekneme, že přímka x = x0 je svislou asymptotou funkce f, je-li aspoň jedna jednostranná limita funkce f v bodě x0 nevlastní (tzn. je rovna + ∞ nebo − ∞ ). Př. f ( x) =
1 x
1 1 = −∞ , lim+ = +∞ x → 0 x x přímka x = 0 (osa y) je svislá asymptota funkce f lim
x →0 −
9
Poz. Svislou asymptotu může mít funkce pouze v bodě x0 ∈ R , ve kterém není spojitá, ale musí být definována aspoň na nějakém (levém nebo pravém) prstencovém okolí tohoto bodu. DEF: (asymptota šikmá - se směrnicí) Řekneme, že přímka y = ax + b; a, b ∈ R , je asymptotou funkce f v + ∞ (resp. v -∞ ), platí-li lim [ f ( x) − (ax + b)] = 0 (resp. lim [ f ( x) − (ax + b)] = 0 ). x→+∞
x→−∞
Př. f ( x) = arctgx π 2
0 −
přímka y =
π 2
přímka y = −
π 2
je asymptota funkce f v + ∞
π 2
je asymptota funkce f v − ∞
VĚTA: Přímka y = ax + b je asymptotou funkce f v + ∞ (resp. v − ∞ ) ⇔ f ( x) ⇔ lim = a ∈ R ∧ lim [ f ( x) − ax ] = b ∈ R x →+∞ x → +∞ x
f ( x) = a ∈ R ∧ lim [ f ( x) − ax ] = b ∈ R . resp. ⇔ lim x →−∞ x→−∞ x Př. Urči všechny asymptoty funkce f ( x) =
4 + x3 : 4 − x2
1. Svislé asymptoty: D f = R − {± 2} body nespojitosti: ± 2 4 + x 3 (+ ) lim = +∞ 2 (+ ) x→2 − 4 − x 4 + x 3 (+ ) lim+ = −∞ ... přímka x = 2 je asymptota funkce f 2 (− ) x→2 4 − x 4 + x 3 (− ) lim− = +∞ 2 (− ) x→−2 4 − x 4 + x 3 (− ) lim+ = −∞ ... přímka x = −2 je asymptota funkce f 2 (+ ) x→−2 4 − x 2. Šikmé asymptoty: a) v + ∞ :
10
4 4 x 3 3 + 1 +1 3 f ( x) 4+ x 4+ x x +∞ x lim = lim = lim = = lim = = lim x →+∞ x →+∞ 4 − x 2 x x →+∞ 4 x − x 3 x − ∞ x →+∞ x 3 4 − 1 x→+∞ 4 − 1 2 x2 x 0 +1 = = −1 = a 0 −1 4 + x3 4 + x3 + x 4 − x2 4x + 4 ( ) lim [ f ( x) − ax ] = lim − − 1 x = lim = lim = 2 2 x→+∞ x →+∞ 4 − x x →+∞ 4 − x 2 4−x x→+∞ 3
(
3
)
(
)
4 4 4 4 x2 + 2 + 2 x x +∞ x x = 0+0 =0=b = = lim = xlim − ∞ →+∞ x 2 4 − 1 x→+∞ 4 − 1 0 − 1 2 x2 x ⇒ přímka y = − x je asymptota funkce f v + ∞ b) v − ∞ : 4 4 x 3 3 + 1 +1 3 3 3 f ( x) 4+ x 4+ x x −∞ x lim = lim = lim = = lim = = lim x →−∞ x →−∞ 4 − x 2 x x →−∞ 4 x − x 3 x + ∞ x →−∞ x 3 4 − 1 x→−∞ 4 − 1 2 x2 x 0 +1 = = −1 = a 0 −1 4 + x3 4 + x3 + x 4 − x2 4x + 4 ( ) lim [ f ( x) − ax ] = lim − − 1 x = lim = lim = 2 2 x→−∞ x →−∞ 4 − x x →−∞ 4 − x 2 4−x x→−∞
(
)
(
)
4 4 4 4 x2 + 2 + 2 x x −∞ x x = 0+0 =0=b = = lim = xlim − ∞ →−∞ x 2 4 − 1 x→−∞ 4 − 1 0 − 1 2 x2 x ⇒ přímka y = − x je asymptota funkce f v − ∞ 10) Limity funkce v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti Př. f ( x) =
log( x − 1) x2 − 6x + 9
Df : x −1 > 0
∧ x2 − 6x + 9 ≠ 0
x >1
(x − 3)2 ≠ 0
x≠3
D f = (1,+∞ ) − {3} = (1,3) ∪ (3,+∞ ) log(x − 1) −∞ lim = = −∞
x2 − 6x + 9 4 log( x − 1) log 2 log( x − 1) lim− 2 = = lim− 2 x→3 x − 6 x + 9 0 x→3 ( x − 3) log( x − 1) log 2 log( x − 1) lim+ 2 = = lim+ 2 x→3 x − 6 x + 9 0 x→3 ( x − 3) x→1+
(+ ) (+ ) (+ ) (+ )
= +∞ = +∞
11
1 log( x − 1) + ∞ 1 1 (x − 1)ln10 = lim lim 2 = = =0 = lim x →+∞ x − 6 x + 9 x →+∞ (2 x − 6 )( x − 1) ln 10 +∞ + ∞ x→+∞ 2 x − 6 L 'H
Př. Urči průběh funkce: x 1) f ( x) = 1 + x2 • Df = R •
• • •
•
−x x =− = − f ( x) ⇒ f je lichá 2 1+ x2 1 + (− x ) f není periodická f je spojitá na R, nemá body nespojitosti průsečíky s osami: Px = [?,0] x 0= 1 + x2 0=x Px = [0,0] = Py f (− x) =
f ′( x) =
1 + x 2 − x.2 x
=
1 − x2
, Df′ = R
(1 + x ) (1 + x ) − 2 x (1 + x ) − (1 − x ).2(1 + x ).2 x 2 x(x − 3 )(x + 3 ) , D f ′′( x) = = (1 + x ) (1 + x ) 2 2
2 2
2 2
2
2
2 4
•
)(
2x x − 3 x + 3
(− ∞,− 3 )
− 3
− −
− 0
∩
(
)
(1 + x )
(−
)
3 ,−1 − + ∪
) ... x
1
2 3
3 − 4
•
=R
x ... x1 = 0 1 + x2 1 − x2 BPE: 0 = f ′( x) = ... x1 = −1, x2 = 1 2 1 + x2 BPI: 0 = f ′′( x) =
•
f ′′
NB: 0 = f ( x) =
(
f′ f ′′ f
2 3
= − 3, x2 = 0, x3 = 3
−1
(− 1,0)
0 + ∪
+ + ∪
−
1 2
0 + 0
0
(0,1)
1
+ − ∩
0 − ∩ 1 2
(1, 3 ) − − ∩
3 − 0
(
3 ,+∞ − + ∪
3 4
f ( x) < 0 na (− ∞,0) f ( x) > 0 na (0,+∞ ) funkce f - je rostoucí na − 1,1
- je klesající na (− ∞,− 1 a na 1,+∞ )
1 - má bod ostrého lokálního maxima 1, 2
12
)
•
•
•
1 - má bod ostrého lokálního minima − 1,− 2 funkce f - je ryze konvexní na − 3 ,0 a na 3 ,+∞
( ) ( ) - je ryze konkávní na (− ∞,− 3 ) a na (0, 3 )
3 3 - má inflexní body: − 3 ,− , [0,0], 3 , 4 4 asymptoty: a) bez směrnice: neexistují (funkce f je spojitá na R) b) se směrnicí: f ( x) x 1 1 v + ∞ : lim = lim = lim = =0=a 2 2 x →+∞ x →+∞ 1 + x x x x →+∞ 1 + x +∞ x 1 1 x + ∞ L 'H lim [ f ( x) − ax] = lim − 0 . x = lim = = =0=b = lim 2 2 x →+∞ x → +∞ 1 + x x→+∞ 1 + x + ∞ x→+∞ 2 x + ∞ ⇒ přímka y = 0 je asymptota funkce f v + ∞ f ( x) x 1 1 v − ∞ : lim = lim = lim = =0=a 2 2 x →−∞ x →−∞ 1 + x x x x →−∞ 1 + x +∞ x 1 1 x − ∞ L 'H lim [ f ( x) − ax ] = lim − 0 . x = lim = = =0=b = xlim x →−∞ x →−∞ 1 + x 2 x →−∞ 1 + x 2 → +∞ 2x − ∞ +∞ ⇒ přímka y = 0 je asymptota funkce f v − ∞ limity v krajních bodech D f :
(
)
(
)
lim f ( x) = 0 (viz. předchozí bod)
x →+∞
lim f ( x) = 0 (viz. předchozí bod)
x→−∞
•
graf funkce:
y
1/ 2 3/4 − 3
−1
x 0
1
3
− 3/4 −1/ 2
13
2) f ( x) = x. ln x •
D f = (0,+∞ )
•
f není sudá ani lichá ( − x ∉ D f )
• •
f není periodická f je spojitá na D f , nemá body nespojitosti
•
Py = [0, ?]
průsečíky s osami: Px = [?,0]
0 = x. ln x
0 ∉ D f ⇒ Py neexistuje
x =1 Px = [1,0]
(0 ∉ D !) f
1 f ′( x) = ln x + x. = ln x + 1 , D f ′ = (0,+∞ ) x 1 f ′′( x) = , D f ′′ = (0,+∞ ) x • NB: 0 = f ( x) = x. ln x ... x1 = 1 1 BPE: 0 = f ′( x) = ln x + 1 ... x1 = e −1 = e 1 BPI: 0 = f ′′( x) = ... nemá řešení x −1 −1 1 (1,+∞ ) 0, e e e −1 ,1 f′ 0 + + + − f ′′ + + + + + ∪ ∪ ∪ ∪ f ∪
•
(
)
(
)
− e −1 • •
0
f ( x) < 0 na (0,1) f ( x) > 0 na (1,+∞ )
funkce f - je rostoucí na e −1 , + ∞ )
(
- je klesající na 0, e −1 • •
[
−1 −1 - má bod ostrého lokálního minima e ,−e funkce f - je ryze konvexní na (0,+∞ ) - nemá inflexní body asymptoty: a) bez směrnice:
]
1 ln x − ∞ lim f ( x) = lim+ x. ln x = (0.∞ ) = lim+ = = lim+ x = lim+ (− x ) = 0 x →0 + x →0 x →0 1 + ∞ x →0 − 1 x → 0 x x2 ⇒ asymptota bez směrnice neexistuje b) se směrnicí: L 'H
14
f ( x) x. ln x = lim = lim ln x = +∞ x → +∞ x →+∞ x x ⇒ asymptota se směrnicí neexistuje limity v krajních bodech D f :
v + ∞ : lim
x →+∞
•
lim f ( x) = 0 (viz. předchozí bod)
x→ 0 +
lim f ( x) = lim x. ln x = (+ ∞ )( . + ∞ ) = +∞
x →+∞
•
x →+∞
graf funkce:
y
0
e −1
1
x
− e −1
3) f ( x) = cos 3 x − 3. cos x •
Df = R
•
f je spojitá na R, nemá body nespojitosti
•
f (− x) = cos 3 (− x ) − 3. cos(− x ) = cos 3 x − 3. cos x = f ( x) ⇒ f je sudá
•
f ( x + 2kπ ) = cos 3 ( x + 2kπ ) − 3. cos( x + 2kπ ) = cos 3 ( x) − 3. cos( x) = f ( x), ∀k ∈ Z ⇒ f je 2π - periodická ⇒ stačí zkoumat průběh funkce f na libovolném intervalu délky 2π , ten se pak periodicky opakuje. Zvolme pro tento účel např. interval 0,2π :
•
průsečíky s osami: Px = [?,0]
0 = cos 3 x − 3. cos x = cos x(cos 2 x − 3)
y = cos 3 0 − 3. cos 0 = −2
π
Py = [0,−2] 2 3 x2 = π 2 π Px1 = ,0 2 3 Px 2 = π ,0 2 2 f ′( x) = 3 cos x.(− sin x) − 3.(− sin x) = 3.sin x(1 − cos 2 x) = 3.sin 3 x , D f ′ = R x1 =
•
Py = [0, ?]
f ′′( x) = 3.3 sin 2 x. cos x = 9.sin 2 x. cos x , D f ′′ = R
15
•
NB: 0 = f ( x) = cos 3 x − 3. cos x = cos x(cos 2 x − 3) ... x1 =
π 2
, x2 =
3 π 2
BPE: 0 = f ′( x) = 3. sin x ... x1 = 0 , x2 = π , x3 = 2π 3
0 f′ f ′′ f
•
•
0 0 -2
π 0, 2 + +
∪
π 2 + 0 0
π f ( x) < 0 na 0, a na 2 π 3 f ( x) > 0 na , π 2 2 funkce f - je rostoucí na
π ,π 2 + −
∩
π 0 0 2
π
3 , x3 = π , x4 = π , x5 = 2π 2 2 3 3 3 2π π π , π π ,2π 2 2 2 0 − − − 0 + 0 − 0 -2 ∩
BPI: 0 = f ′′( x) = 9. sin 2 x. cos x ... x1 = 0 , x2 =
∪
3 π ,2π 2
0, π
- je klesající na π ,2π
•
•
•
- má bod ostrého lokálního maxima [π ,2] - má body ostrého lokálního minima [0,−2], [2π ,−2] π 3 funkce f - je ryze konvexní na 0, a na π ,2π 2 2 π 3 - je ryze konkávní na , π 2 2 π 3 - má inflexní body: ,0, π ,0 2 2 asymptoty: a) bez směrnice: neexistují (funkce f je spojitá na R) b) se směrnicí: f ( x) cos3 x − 3. cos x = lim v + ∞ : lim ... neexistuje x →+∞ x →+∞ x x ⇒ asymptota funkce f v + ∞ neexistuje f ( x) cos 3 x − 3. cos x v − ∞ : lim = lim ... neexistuje x →−∞ x → −∞ x x ⇒ asymptota funkce f v − ∞ neexistuje limity v krajních bodech D f :
lim f ( x) ... neexistuje
x→±∞
•
graf funkce:
16
y 2
− 2π
−π
x
0
π
2π
3π
−2
17
