Logika
Pravda jako funkce - ano, nebo ne? Nehledě na to, jestli jsou pravidla pro logickou platnost zabudována v našem myšlení, nebo nikoliv, máme velmi silné intuice o platnosti a neplatnosti nejrůznějších úsudků. Zřejmě bychom se všichni shodli na tom, že následující úsudek je platný: "Pavla je žena a pracuje v bance; tudíž Pavla je bankéřka: Podobně bychom se shodli, že následující úsudek je neplatný: "Josef je tesař; tudíž je tesař a hraje baseball." Naše intuice však mohou být problematické. Co si kupříkladu myslíte o následujícím úsudku? Premisy úsudku zapisujeme nad vodorovnou čáru a vyvozený závěr pod čarou. Quido je bohatý. Quido není bohatý. Prasata umí létat. Tento úsudek by celá řada lidí považovala za neplatný. Zdá se totiž, že to, zda Quido je, či není bohatý, nemá nic společného s leteckými schopnostmi prasat. A co si myslíte o následujících dvou úsudcích? Quido je bohatý. . Quido je bohatý nebo prasata umí létat. Quido je bohatý nebo prasata umí létat. Quido není bohatý . Prasata umí létat. Zdá se, že první úsudek je platný. Uvažujme totiž jeho závěr. Logikové věty tohoto typu označují jako disjunkce a jednotlivé složky po obou stranách slůvka "nebo" jako členy disjunkce. Co musí disjunkce splňovat, aby byla pravdivá? Jednoduše to, že musí být pravdivý alespoň jeden z jejích dvou členů. Tudíž v každé situaci, kdy je pravdivá premisa, je pravdivý rovněž závěr úsudku. Druhý úsudek nám rovněž připadá platný. Jestliže je pravdivá disjunkce dvou vět a není-li jedna z nich pravdivá, pak musí být pravdivá ta druhá věta. Pokusíme-li se však sloučit tyto dva zřejmě platné úsudky do jednoho úsudku, nastane problém, protože dostaneme následující úsudek: Quido je bohatý . Quido je bohatý nebo prasata umí létat. Prasata umí létat.
Quido není bohatý.
Zdá se totiž, že tento úsudek je neplatný. To nemůže být v pořádku. Spojíme-li dva platné úsudky tímto způsobem, nesmíme nikdy dostat neplatný úsudek. Jestliže jsou v nějaké situaci pravdivé všechny premisy úsudku, pak musí být pravdivá rovněž tvrzení, která z nich logicky plynou - a tak dále, až konečně dospějeme k závěru úsudku. Kde jsme tedy udělali chybu? Abychom mohli na tuto otázku odpovědět ortodoxním způsobem, musíme si blíže vysvětlit potřebné detaily. Za prvé, větu "Prasata umí létat" zapíšeme jako p a větu "Quido je bohatý" jako q. To nám umožní vyjadřovat se hutněji, ale nejenom to: zamyslíte-li se nad tím, zjistíte, že dvě konkrétní věty, které jsme ve výše uvedených příkladech použili, jsou pro pochopení problému vlastně nepodstatné; místo nich jsem mohl použít libovolné jiné dvě věty. Nemusíme si tudíž vůbec všímat toho, co ony dvě věty říkají. Přesně to děláme, používáme-li místo celých vět jednotlivá písmena. Z věty "Quido je bohatý nebo prasata umí létat" tak dostaneme "q nebo p". Logikové tuto větu nejčastěji zapisují jako q ∨ p. A jak to bude s větou "Quido není bohatý"? Nejprve větu přeformulujme tak, že zápor umístíme na začátek věty, čímž dostaneme větu "Není pravda, že Quido je bohatý". Tímto způsobem Mgr Miroslav Kučera – text: Logika průvodce pro každého, Graham Priest, dokořán 2007 1
Logika dostaneme "Není pravda, že q". Logikové to obvykle zapisují jako ¬ q a hovoří o negaci věty q. A když už jsme u toho, jak bychom zapsali větu "Quido je bohatý a zároveň prasata umí létat", neboli q a zároveň p"? Logikové tuto větu obvykle zapisují jako q ∧ p a říkají jí konjunkce vět p a q, a samostatným větám p a q členy konjunkce. Za použití těchto technických nástrojů můžeme zřetězený úsudek, který jsme zkoumali výše, zapsat podstatně hutnějším způsobem: q . q∨ p p
¬ q
Co můžeme říci o tomto úsudku? Některé věty jsou pravdivé a některé jiné věty nepravdivé. Používejme písmeno P jako zkratku za slovo "pravda" a písmeno N jako zkratku za slovo "nepravda". V návaznosti na jednoho ze zakladatelů moderní logiky, německého matematika a filozofa Gottloba Frega, označujeme P a N, tj. pravdu a nepravdu, jako pravdivostní hodnoty. Máme-li nějakou větu a, pak si můžeme položit následující otázku: jaký vztah platí mezi pravdivostní hodnotou věty a a pravdivostní hodnotou její negace ¬ a? Přirozená odpověď zní tak, že je-li první věta pravdivá, pak druhá věta je nepravdivá, a naopak. Jinými slovy, jestliže je pravdivá věta "Quido je bohatý", pak věta "Quido není bohatý" je nepravdivá, a naopak. Tento poznatek si můžeme poznamenat následovně: ¬ a má pravdivostní hodnotu P právě tehdy, když a má pravdivostní hodnotu N. ¬ a má pravdivostní hodnotu N právě tehdy, když a má pravdivostní hodnotu P.
Logikové tyto dvě zákonitosti označují jako pravdivostní podmínky negace. Předpokládáme-li, že každá věta je pravdivá nebo nepravdivá, ale nikoli obojí, pak můžeme tyto podmínky znázornit pomocí následující tabulky, kterou logikové označují jako pravdivostní tabulka: a P N
¬a N P
Jestliže a má jednu ze dvou pravdivostních hodnot,Které jsou zapsány v levém sloupci, pak ¬ a má odpovídající pravdivostní hodnotu v pravém sloupci. Jak je tomu s disjunkcí? Jak jsem již poznamenal, přirozeně předpokládáme, že disjunkce a ∨ b je pravdivá tehdy, jestliže alespoň jedna z vět a a b je pravdivá (a také jsou-li obě věty pravdivé), a nepravdivá v jiném případě. Tento poznatek si můžeme poznamenat jako pravdivostní podmínky disjunkce: a ∨ b má pravdivostní hodnotu P právě tehdy, jestliže alespoň jedna ze dvou vět a a b má pravdivostní hodnotu P. a ∨ b má pravdivostní hodnotu N právě tehdy, jestliže věty a a b mají pravdivostní hodnotu N. Obě podmínky můžeme znázornit pomocí následující pravdivostní tabulky: a P P N N
b P N P N
a ∨ b P P P N
Mgr Miroslav Kučera – text: Logika průvodce pro každého, Graham Priest, dokořán 2007
2
Logika Každý řádek - kromě prvního řádku, který tvoří záhlaví - nyní vyjadřuje možnou kombinaci pravdivostních hodnot pro věty a (první sloupec) a b (druhý sloupec). Existují přesně čtyři takovéto kombinace, a tudíž právě čtyři řádky tabulky. Ke každé z těchto kombinací nám tabulka podává odpovídající pravdivostní hodnotu disjunkce a ∨ b (třetí sloupec). A když už jsme u toho, jak spolu souvisí pravdivostní hodnoty vět a a b a konjunkce a ∧ b? Přirozený předpoklad zní, že věta a ∧ b je pravdivá právě tehdy, když jsou pravdivé obě věty a a b, a nepravdivá v jiném případě. Například věta "Honza má 35 let a má hnědé vlasy" je pravdivá jedině tehdy, když jsou pravdivé obě dílčí věty "Honza má 35 let" a "Honza má hnědé vlasy". Tento poznatek si můžeme poznamenat jako pravdivostní podmínky konjunkce: a ∧ b má pravdivostní hodnotu P právě tehdy, když obě věty a a b mají pravdivostní hodnotu P. a ∧ b má pravdivostní hodnotu N právě tehdy, když alespoň jedna ze dvou vět a a b má pravdivostní hodnotu N. Obě podmínky můžeme znázornit pomocí následující pravdivostní tabulky: a P P N N
b P N P N
a ∧b P N N N
Jak to všechno souvisí s problémem, který jsme uvedli na začátku? Položme si znovu otázku, kterou jsem nadnesl v závěru předchozí kapitoly: co je to situace? Je přirozené předpokládat, že ať rozumíme situacemi cokoliv, musí být situace nějakým způsobem rozhodující pro pravdivostní hodnoty vět. Kupříkladu v jedné konkrétní situaci může být pravda to, že Quido je bohatý, a nepravda to, že prasata umí létat. V nějaké jiné situaci naopak nemusí být pravda, ze Quido je bohatý, a naopak může být pravda, že prasata umí létat. (Poznamenejme, že některé situace mohou být čistě hypotetické!) Jinými slovy, situace rozhodují o tom, jakou pravdivostní hodnotu (P nebo N) mají v dané situaci všechny relevantní věty. Relevantními větami zde rozumíme věty, které neobsahují žádný výskyt slov "a", "nebo" a "ne" ("není pravda, že"). Máme-li k dispozici základní informace o nějaké situaci, můžeme pomocí pravdivostních tabulek vypočítat hodnoty složených vět, které tato slova obsahují. Předpokládejme například, že máme následující situaci: p:P q:N r:P
(Písmenem r můžeme označit například větu "Rebarbora je výživná". Zápisem "p : P" rozumíme, že situace přiděluje větě p pravdivostní hodnotu P atd.) Jaká je výsledná pravdivostní hodnota kupříkladu věty p ∧ ( ¬ r v q)? Pravdivostní hodnotu této věty vypočítáme přesně stejným způsobem, jako bychom pomocí tabulek pro násobení a sčítání počítali výslednou číselnou hodnotu výrazu 3 x (-6 + 2). Pravdivostní hodnota r je P. Tudíž podle pravdivostní tabulky pro ¬ platí, že pravdivostní hodnota ¬ r je N. Jelikož q má hodnotu N, říká nám pravdivostní tabulka pro ∨ , že hodnota věty ¬ r ∨ q je N. A jelikož pravdivostní hodnota p je P, platí podle pravdivostní tabulky pro ∧ , že výsledná hodnota věty p ∧ ( ¬ r ∨ q) je N. Tímto způsobem můžeme krok za krokem vypočítat pravdivostní hodnotu každé formule, která obsahuje výrazy ∧ , ∨ a ¬ . Mgr Miroslav Kučera – text: Logika průvodce pro každého, Graham Priest, dokořán 2007
3
Logika Nyní si z minulé kapitoly připomeňme poznatek, že úsudek považujeme za platný tehdy, neexistuje-li žádná situace, v níž by všechny premisy byly pravdivé a závěr nebyl pravdivý (nebo byl nepravdivý). Jinými slovy, úsudek je platný, neexistuje-li žádný způsob, jak relevantním větám úsudku přidělit pravdivostní hodnoty P a N tak, aby všechny premisy měly pravdivostní hodnotu P a závěr neměl pravdivostní hodnotu P. Uvažujme kupříkladu úsudek, kterým jsme se zabývali výše: q/ q ∨ p. (Zapisuji tento úsudek na jeden řádek, abych vydavateli ušetřil peníze za papír.) Relevantní věty jsou p a q. Pro tyto dvě věty existují celkem čtyři možné kombinace pravdivostních hodnot a pro každou z nich můžeme vypočítat pravdivostní hodnotu premisy a závěru. Celý výpočet můžeme shrnout do následující tabulky:
q P P N N
p P N P N
q∨ p P N N N
q P P N N
První dva sloupce nám udávají všechny možné kombinace pravdivostních hodnot pro věty p a q. Zbývající dva sloupce udávají odpovídající pravdivostní hodnoty premisy a závěru. Třetí a první sloupec jsou stejné. To je však nahodilá vlastnost tohoto příkladu, protože premisa se shoduje s jednou z relevantních vět. Čtvrtý sloupec můžeme vypočítat na základě pravdivostní tabulky disjunkce. Na základě těchto informací je zřejmé; že úsudek je platný. Opravdu totiž neexistuje žádný řádek, v němž by premisa q byla pravdivá a závěr p ∨ q nebyl pravdivý. A jak je tomu s úsudkem q ∨ p, ¬ q/p? Postupujeme-li stejně jako u předchozího příkladu, dostaneme tabulku: q P P N N
p P N P N
q∨ p P P P N
¬q N N P P
p P N P N
Tentokrát tabulka obsahuje pět sloupců, protože úsudek obsahuje dvě premisy. Pravdivostní hodnoty premis a závěru můžeme vypočítat na základě pravdivostních tabulek pro disjunkci a negaci. Znovu je tomu tak, že neexistuje žádný řádek, kde by byly pravdivé všechny premisy a závěr nebyl pravdivý. Tudíž i tento úsudek je platný. Vraťme se konečně se k úsudku, s nímž jsme začali, neboli: q, ¬ q/p. Postupujeme-li analogicky jako u výše uvedených příkladů, dostaneme tabulku:
q P P N N
p P N P N
q P P N N
¬q N N P P
p P N P N
Také tento úsudek je platný; a nyní již víme proč. Vskutku, v tabulce není žádný řádek, v němž by obě premisy byly pravdivé a závěr nebyl pravdivý. Na žádném řádku totiž nejsou pravdivé obě premisy. Na závěru úsudku vlastně vůbec nezáleží! Logikové někdy o této situaci říkají, že úsudek je triviálně platný (platný prázdným způsobem) - tj. je platný jedině díky tomu, že všechny premisy nemohou být zároveň pravdivé. Mgr Miroslav Kučera – text: Logika průvodce pro každého, Graham Priest, dokořán 2007 4
Logika A to je zároveň řešení problému, kterým jsme začali. Předcházející výklad ukázal, že naše původní intuice o tomto úsudku byla nesprávná. Konec konců, také o mnoha jiných zdánlivě správných názorech se v minulosti ukázalo, že byly chybné. Zdá se kupříkladu zřejmé, že Země se nehýbe. Stačí však, abychom začali navštěvovat nějaký kurz fyziky, a dovíme se, že se ve skutečnosti řítí ohromnou rychlostí napříč vesmírem. Můžeme dokonce vysvětlit, proč naše logická intuice selhala. Většina úsudků, s nimiž se v běžné praxi setkáváme, nemá totiž triviální povahu. Naše intuice se vyvinuly právě v tomto kontextu a nemusí platit obecně - stejně jako způsob, jakým se učíme chodit (například snaha nenaklánět se dopředu či do stran) nemusí fungovat v jiných situacích (kupříkladu učíme-li se jezdit na kole).
Mgr Miroslav Kučera – text: Logika průvodce pro každého, Graham Priest, dokořán 2007
5
